GREEN FONKSİYONLARI ÜZERİNE Berat KARAAĞAÇ YÜKSEK

GREEN FONKSİYONLARI ÜZERİNE
Berat KARAAĞAÇ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MART 2010
ANKARA
Berat KARAAĞAÇ tarafından hazırlanan Green Fonksiyonları Üzerine adlı bu tezin
Yüksek Lisans tezi olarak uygun olduğunu onaylarım.
Prof. Dr. Aydın TİRYAKİ
…………………..
Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı
Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Yüksek
Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.
Prof. Dr. İbrahim Ethem ANAR
…………………..
Matematik A.. D., Gazi Üniversitesi.
Prof. Dr. Aydın TİRYAKİ
…………………..
Matematik A.. D., İzmir Üniversitesi
Doç. Dr. Fatma AYAZ
…………………..
Matematik A. D., Gazi Üniversitesi
Tarih:12/03/2010
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini
onamıştır.
Prof. Dr. Bilal TOKLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
…………………..
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu
çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf
yapıldığını bildiririm.
Berat KARAAĞAÇ
iv
GREEN FONKSİYONLARI ÜZERİNE
(Yüksek Lisans Tezi)
Berat Karaağaç
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Mart 2010
ÖZET
Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmıdır. İkinci bölüm
Green
fonksiyonunun
tarihsel
gelişimidir.
Üçüncü
bölüm
diferensiyel
denklemlere ilişkin problemler için Green Fonksiyonu, başlangıç değer
problemlerine ve sınır değer problemlerine ilişkin Green fonksiyonlarını içerir.
Dördüncü
bölüm
ise
zamandan
bağımsız
problemlere
ilişkin
Green
fonksiyonları ile ilgilidir.
Bilim Kodu
: 204.1.138
Anahtar Kelimeler
: Diferensiyel Denklem, Sınır Değer Problemleri,
Dirac-Delta fonksiyonu, Fredholm Alternatifi,
Sınır Koşulları, Özfonksiyonlar, Özfonksiyon
Açılımı
Sayfa Adedi
: 79
Tez Yöneticisi
: Prof. Dr. Aydın TİRYAKİ
v
ON THE GREEN FUNCTIONS
(M.Sc. Thesis)
Berat Karaağaç
GAZI UNIVERSITY
INSTUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
March 2010
ABSTRACT
This thesis consists of four chapters. The first chapter is introduction. The
second chapter is historical development of Green’s function. The third chapter
is related to Green Function for differential equations and involves initial value
problems and boundary value problems related to Green’s function. The fourth
chapter is related to the Green’s functions for time-independent problems.
Bilim Kodu
: 204.1.138
Anahtar Kelimeler
: Differential Equation, Boundary Value Problem,
Dirac-Delta Function, Fredholm Alternative,
Boundary Conditions, Eigen Functions, Eigen
Function Expansion.
Sayfa Adedi
: 78
Tez Yöneticisi
: Prof. Dr. Aydın TİRYAKİ
vi
TEŞEKKÜR
Yüksek lisans çalışmam boyunca her adımda bilgi ve hoşgörüsünden yararlandığım,
tez çalışmamın her safhasında emeği olan, değerli ilgi ve yardımlarını benden
esirgemeyen, tecrübesi ile beni yönlendiren ve kendisinden pek çok şey öğrendiğim
danışmanım Sayın Prof. Dr. Aydın TİRYAKİ ye, bugünlere gelmemi sağlayan
aileme teşekkürü bir borç bilirim.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET .......................................................................................................................... iv
ABSTRACT................................................................................................................. v
TEŞEKKÜR................................................................................................................ vi
İÇİNDEKİLER .......................................................................................................... vii
ÇİZELGELERİN LİSTESİ....................................................................................... viii
1. GİRİŞ ....................................................................................................................... 1
2. GREEN FONKSİYONUNUN TARİHÇESİ........................................................... 2
3. DİFERANSİYEL DENKLEMLERE İLİŞKİN PROBLEMLER İÇİN GREEN
FONKSİYONU. ...................................................................................................... 5
3.1. Başlangıç Değer Problemleri İçin Green Fonksiyonu ................................... 5
3.2. Sınır Değer Problemleri İçin Green Fonksiyonu. ........................................ 11
3.2.1. İkinci basamaktan denklemler için green fonksiyonu ....................... 12
3.2.2. n inci Basamaktan Denklemlere İlişkin Sınr Değer
Problemleri İçin Green Fonksiyonu................................................... 19
4. ZAMANDAN BAĞIMSIZ PROBLEMLERE İLİŞKİN GREEN
FONKSİYONU...................................................................................................... 54
4.1. Bir Boyutlu Isı Denklemine İlişkin Green Fonksiyonu ............................... 54
4.2. Green Fonksiyonu İçin Özfonksiyon Açılımı Yöntemi............................... 61
4.3. Fredholm Alternatifi ve Değiştirilmiş Green Fonksiyonu. .......................... 63
4.4. Fredholm Alternatifi. ................................................................................... 67
4.5. Değiştirilmiş Green Fonksiyonları............................................................... 71
KAYNAKLAR .......................................................................................................... 78
ÖZGEÇMİŞ ............................................................................................................... 79
viii
ÇİZELGELERİN LİSTESİ
Çizelge
Sayfa
Çizelge 4.1 Homojen Sınır Koşullarına Göre Lu = f ( x) çözümlerinin sayısı.......... 68
1
1. GİRİŞ
Diferensiyel denklemler çok geniş bir uygulama alanına sahiptir. Matematiksel
Fiziğin önemli modellerinden biri de diferensiyel denklem içeren problemlerdir.
Uygulamalı bilimlerde çok sık kullanılan problemler içinde Green Fonksiyonu
kavramı ayrıca bir önem arz etmektedir. Genel olarak L diferensiyel operatörü, u da
bulunması istenen fonksiyon ve f de verilmiş fonksiyon olmak üzere
Lu = f
denklemini göz önüne alalım L operatörü üzerindeki uygun koşullar altında
başlangıç ve sınır koşullarına bağlı olarak da bir integral denklem biçiminde ifade
edilebilir. u fonksiyonunun çözüm olduğu bu integral denklem Green Fonksiyonunu
içerir. Bu tezin amacı diferensiyel denklemlere ilişkin başlangıç değer ve sınır değer
problemlerinin çözümlerinin elde edilmesinde karşılaşılan Green fonksiyonunun
tanıtılmasıdır. Bu amaçla tezde diferensiyel denklemlere ilişkin başlangıç değer
problemleri için Green fonksiyonu, ikinci basamaktan sınır değer problemleri için
Green fonksiyonu, n inci basamaktan sınır değer problemleri için Green fonksiyonu
ve son olarak da zamandan bağımsız kısmi diferensiyel denklemlere ilişkin
problemler için Green fonksiyonu irdelenmiştir.
2
2. GREEN FONKSİYONUNUN TARİHÇESİ
1828 de George Green (1793-1841) Matematiksel analizin Manyetizma ve Elektrik
Teorisi üzerine uygulaması ile ilgili bir makale yayınlamıştır [1]. Daha sonraki
gelişmeler için çok önemli veri sağlayan bu matematiksel fizik çalışmasında Green,
belirlenmiş bir potansiyele sahip bir iletkenle çevrelenmiş bir hacim içerisindeki
elektrik potansiyelini belirlemeyi düşünmüş ve bugünkü notasyonlarla, bu
çalışmasında bir V hacmi içinde ve bu hacmi çevreleyen bir S yüzeyi üzerinde
belirli sınır koşullarını sağlayan ∇ 2 u = − f denkleminin çözümleri ile ilgilenmiştir.
Green, δ (r − r0 ) ,Dirac-Delta fonksiyonu olmak üzere
∇ 2 g ( r , r0 ) = −4πδ ( r − r0 )
(2.1)
Diferensiyel denkleminin çözümünden başlayarak işe koyuldu. Biliyoruz ki;
R 2 = (x − ξ ) + ( y − η ) + ( z − ζ ) olmak üzere Eş. 2.1 eşitliğinin çözümü g =
2
2
2
1
R
dir. Green aslında, g fonksiyonunun r = r0 daki tekil yapısının farkında olmasına
rağmen bu problemin çözümünde değişik bir yol izledi. Önce adını taşıyan aşağıdaki
Green özdeşliğini ispatladı:
∫∫∫ (ϕ∇ χ − χ∇ ϕ ) dV = ∫∫ (ϕ∇χ − χ∇ϕ ) ndS .
2
2
V
S
(2.2)
Burada, n yüzeyin dış normali χ ve ϕ ise sınırlı türevlere sahip skaler
fonksiyonlardır. r 0 civarlarındaki tekillikten dolayı Eş. 2.2 uygulanamadığı için
Green, r0 noktası komşuluğunda küçük bir yuvar tanımladı ve bu küçük yuvarın
hacmini V hacminden çıkararak
∫∫∫
V
g ∇ 2udV +
∫∫
S
g∇u.ndS = ∫∫∫ u∇ 2 gdV +
V
∫∫
S
u∇g .ndS − 4π u ( r0 )
(2.3)
3
Eş. 2.3 özdeşliğini elde etti çünkü, tanımlanan yuvar üzerindeki yüzey integrali ,
yuvarın yarıçapı 0’a yaklaşırken 4πu (r0 ) dı.. Daha sonra Green S yüzeyi boyunca,
hem g hem de u nun u = 0 homojen sınır koşulunu sağlamalarını zorunlu tuttu. Bu
durumda V hacminin içinde ∇ 2 u = − f ve ∇ 2 g = 0 denklemleri sağlanmış oldu bu
arada r0 ın V içinde olmadığını da göz önünde bulundurdu. u , S sınırında u nun
değeri olmak üzere S içerisinde herhangi bir r noktası için f = 0 olduğunda
u (r ) =
1
4π
∫∫
S
u ∇g.ndS
(2.4)
Eş. 2.4 ’ü elde etti. Bu ise g bilindiğinde sınır değer probleminin çözülebileceğini
gösteriyordu Green g fonksiyonunun var olmak zorunda olduğunu biliyordu. Çünkü
g fiziksel olarak r0 da ki noktasal bir yükteki elektrik potansiyelini tanımlıyordu.
Green in makalesi 1850 ve 1854 yılları arasında yayınlanıncaya kadar bilinmiyordu.
Makalenin yayınlanmasıyla, dikkatler matematiksel fiziğin incelendiği Alman
Matematiksel Fizik okuluna döndü. Green, g fonksiyonu için kendisi isim
vermemesine rağmen, Reimann (1826–1866) daha sonraları onu Green Fonksiyonu
olarak isimlendirdi [1]. 1877 de Carl Neumann (1832–1925) düzlemde, Laplace
denklemiyle ilgili çalışmasında Green fonksiyonu fikrini kullandı [1]. Neumann,
Green fonksiyonunun iki boyutlu eşdeğerinin üç boyutlu durumda olduğu gibi
1
r − r0
⎛ 1
formu ile tanımlanamayacağını fakat log ⎜⎜
⎝ r − r0
⎞
⎟⎟ formunda olduğunu
⎠
keşfetti.
Green Fonksiyonunun Laplace denkleminin çözümündeki başarısı ile diğer
denklemlerde de Green Fonksiyonu kullanılarak çözümler elde edilmeye başlandı.
Isı denklemi için, Hobson (1856–1933) bir, iki ve üç boyutta Green Fonksiyonunu
tanımladı ve Fransız matematikçi Appell (1855–1930) bir boyutlu ısı denklemi için
Green formülüne benzer bir formül olduğunun farkına vardı [1]. Bununla birlikte, ısı
4
denklemi için fonksiyonunun modern teorisini tanıtma görevi Sommerfeld (1868–
1951) e düştü[1].
Green Fonksiyonu alanında yol gösterici en büyük gelişme, üç boyutlu dalga
denklemindeki çalışmaları ile Kirchhoff
(1824–1887) olmuştur [1]. Kirchhoff,
Green in ikinci formülüyle başlayarak R =
( x − ξ )2 + ( y − η ) 2 + ( z − ζ ) 2
olmak
üzere üç boyutlu Green Fonksiyonunun (modern terminolojide)
g ( x, y, z, t ; ξ ,η, ζ ,τ
)=
δ (t −τ − R / c )
4π R
(2.5)
Eş. 2.5 şeklinde olduğunu gösterdi. Bu çözümü Green Fonksiyonu olarak
isimlendirmemesine rağmen, açıkçası çözümün belirli bir fonksiyon içerdiği fikrini
benimsedi ve şimdi bu fonksiyon Dirac-Delta fonksiyonu olarak bilinmektedir. .
Bulduğu bu çözümü Huygen prensibi için matematiksel açıklamaların yer aldığı,
ünlü Krichhoff un teoremini türetmek için kullandı.
Sınır Değer problemlerini içeren diferensiyel denklemler için Green Fonksiyonunun
uygulaması Burkhardt’ın (1861–1914) çalışmalarıyla başladı [1]. Burkhardt
Picard’ın adi türevli denklemler teorisi sonuçlarından faydalanarak Green
fonksiyonunu türetti. Daha sonra, Bocher (1867–1918) bu sonuçları n inci
basamaktan diferensiyel denklemlere ilişkin sınır değer problemlerine genişletti [1].
5
3. DİFERENSİYEL DENKLEMLERE İLİŞKİN PROBLEMLER İÇİN
GREEN FONKSİYONU
3.1. Başlangıç Değer Problemleri İçin Green Fonksiyonu.
A ( t ) n × n matris, x ( t ) ve b ( t ) n × 1 vektör fonksiyonu olmak üzere
x (t ) = A(t ) x(t ) + b(t ); x ( t0 ) = 0
(3.1)
problemini ele alalım. Eş. 3.1 in genel çözümü
x (t ) = xh (t ) + x p (t )
dır. Burada x h (t ) homojen denklemin genel çözümü ve
t
x p (t ) = ∫ Φ (t ,τ )b(τ )dτ
t0
(3.2)
özel çözümdür. Φ (t ,τ )
d
Φ (t ,τ ) = A(t )Φ (t ,τ ) ve t sabiti için Φ (t , t ) = I
dx
başlangıç değer probleminin tek çözüm olup literatürde durum geçiş (state-transition)
matrisi olarak bilinir ve
x ( t ) = Φ ( t , τ ) x (τ )
eşitliğini sağlar. x ( t ) ve x (τ ) da x ( t ) = A ( t ) x ( t ); x ( t0 ) = x0 homojen probleminin
sırasıyla t ve τ ya bağlı çözümlerini göstermektedir.
6
Φ (t ,τ ) matrisi aşağıdaki özellikleri sağlar;
(i) Φ (t, t ) = Ι
(ii) Φ −1 (t ,τ ) = Φ (τ , t )
(iii) Φ (t 2 , t 0 ) = Φ (t 2 , t1 )Φ (t1 , t 0 )
(iv) Φ ( t , t0 ) = x ( t ) x −1 ( t0 )
Tanım 3.1.
Başlangıç değer problemi için Green Fonksiyonu G (t ,τ )
d
G (t ,τ ) = A(t )G (t ,τ ) + I δ (t − τ )
dt
(3.3)
denklemini sağlayan ve t < τ için G (t ,τ ) = 0 özelliğine sahip matris fonksiyonu
olarak tanımlıdır. δ (t − τ ) Dirac-Delta fonksiyonu olup bu fonksiyonun bazı
özellikleri
⎧0, t ≠ τ
(i) δ ( t − τ ) = ⎨
⎩ ∞, t = τ
∞
(ii)
∫ f (τ )δ ( t − τ ) dτ = f ( t )
−∞
∞
(iii)
∫ δ ( t − τ )dτ = 1
−∞
7
(iv) δ ( t − τ ) = δ (τ − t )
⎧0, t < τ
d
için, δ ( t − τ ) = u ( t − τ )
(v) u ( t − τ ) = ⎨
dt
⎩1, t > τ
1
(vi) δ ⎡⎣c ( t − τ ) ⎤⎦ = δ ( t − τ )
c
dır [2].
Eş. 3.3 ün t üzerinden τ − den τ + ya kadar integrali alınırsa
τ+
∫
τ−
τ+
τ+
dG (t ,τ )
dt = ∫ A(t )G (t ,τ )dt + ∫ I δ (t − τ )dt
dt
τ−
τ−
G (τ ,τ ) − G (τ ,τ ) =
+
−
G (τ ,τ ) − G (τ ,τ ) =
+
−
τ+
τ+
τ−
τ−
∫ A(t )G(t ,τ )dt + I ∫
du (t − τ )
dt
dt
τ+
∫ A(t )G(t ,τ )dt + I
τ−
elde edilir.
t < τ için G (τ − ,τ ) = 0 , A(t ) ve G (t ,τ ) sürekli olduğundan integralin sağ tarafı da
sıfırdır. Böylece başlangıç koşulu
G (τ + ,τ ) = I
dır.
(3.4)
8
t > τ için Eş. 3.3 ün çözümü
G (t ,τ ) = Φ (t ,τ )
olup Eş. 3.3 ve u ( t − τ ) birim basamak fonksiyon olmak üzere
G (t ,τ ) = Φ (t ,τ )u (t − τ )
dur.
Başlangıç değer problemi için Green Fonksiyonu G (t ,τ ) , t = τ üzerinde döndürülen
state-transition Φ (t ,τ ) matrisinden başka bir şey değildir. Ayrıca bu Eş. 3.2 i elde
etmek için alternatif bir yaklaşımdır.
Eş. 3.3 ün her iki yanını b(τ ) ile çarpılırsa
d
[G (t ,τ )b(τ )] = A(t )G (t ,τ )b(τ ) + Ib(τ )δ (t − τ )
dt
+∞
+∞
+∞
⎤
d ⎡
G
(
t
,
τ
)
b
(
τ
)
d
τ
A
(
t
)
G
(
t
,
τ
)
b
(
τ
)
d
τ
I
=
+
⎢∫
⎥
∫
∫ b(τ )δ (t − τ )dτ
dt ⎣ −∞
−∞
−∞
⎦
ve δ fonksiyonunun
+∞
∫ b(τ )δ (t − τ )dx = b(t )
özelliği kullanılırsa
−∞
+∞
+∞
⎤
d ⎡
⎢ ∫ G (t ,τ )b(τ )dτ ⎥ = A(t ) ∫ G (t ,τ )b(τ )dτ + b(t )
dt ⎣ −∞
−∞
⎦
elde edilir. Bu ifade Eş. 3.1 ile karşılaştırıldığında
9
+∞
x p (t ) =
∫ G(t ,τ )b(τ )dτ
−∞
bulunur.
G ( t ,τ ) = Φ ( t ,τ ) u ( t − τ )
ifadesi yerine yazılırsa
+∞
t
+∞
t
−∞
−∞
t
−∞
χ p (t ) = ∫ G (t ,τ )b(τ )dτ = ∫ G ( t ,τ )b (τ ) dτ + ∫ G ( t ,τ )b (τ ) dτ = ∫ Φ ( t ,τ )b (τ ) dτ
elde edilir.
Böylece t0 başlangıç noktasından bağımsız ve etki (forcing) fonksiyonun bir
integrali olarak x p ( t ) özel çözümü elde edilir.
L ⎡⎣G ( t ,τ ) ⎤⎦ := G ( n ) + pn −1 ( t ) G ( n −1) + ... + p1 ( t ) G′ + p0 ( t ) G = δ ( t − τ )
şeklindeki skaler denkleme bunu uygulamak kullanışlıdır.
⎡G ⎤ ⎡ 0
⎤ ⎡ 0
⎤
1 0
0
⎤⎡ G
⎢
⎥ ⎢
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎥
0 1
⎢G ′ ⎥ ⎢ 0
⎢ G′ ⎥ ⎢ 0
⎥
⎥
d ⎢
⎥
G′′ ⎥ = ⎢
0 ⎥ ⎢ G ′′ ⎥ + ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
dt ⎢
⎥⎢
0
0
1 ⎥⎢
⎢
⎥ ⎢ 0
⎥ ⎢ 0
⎥
⎢ ( n −1) ⎥ ⎢ − p − p
⎢ ( n −1) ⎥ ⎢δ t − τ ⎥
⎥
−
−
p
p
)⎦
1
n−2
n −1 ⎦ ⎣ G
⎣G ⎦ ⎣ 0
⎦ ⎣ (
dır. Buradan
10
G := ⎡⎣G ; G′ ; G′′ ;… ; G ( n −1) ⎤⎦ , L ⎡⎣G ( t ,τ ) ⎤⎦ = δ ( t − τ ) olmak üzere t = τ sabiti için
G = G′ = G′′ = … = G ( n − 2) = 0, G ( n −1) = 1 başlangıç şartlarını sağlamalıdır.
Örnek 3.1.
Sönümsüz harmonik salınıma ilişkin mx + bx + kx = F ( t ) denklemini göz önüne
alalım.
Denklemin homojen kısmının çözümü
x ( t ) = c1e
−
b
t
2m
⎛ k
b2
cos ⎜
−
⎜ m 4m 2
⎝
b
⎞
⎛ k
t
−
b2
−
⎟ t + c2 e 2 m sin ⎜
⎟
⎜ m 4m 2
⎠
⎝
⎞
⎟t
⎟
⎠
dır. Green Fonksiyonu impulse denklemi sağlar. Yani
mG ′′ ( t ,τ ) + bG ′ ( t ,τ ) + kG ( t ,τ ) = δ ( t − τ )
t = τ için homojen denklemi göz önüne alarak x ( 0 ) = 0 ve x ( 0 ) = 1 başlangıç
şartları altında yukarıdaki x ( t ) çözümü. için c1 ve c2 sabitleri aşağıdaki gibi
belirlenir.
c1e − βτ cos ω1τ + c 2 e − βτ sin ω1τ = 0
c1 ( − β cos ω1τ − ω1 sin ω1τ ) e − βτ + c2 ( − β sin ω1τ + ω1 cos ω1τ ) e − βτ = 1
denklemlerinden c1 ve c 2
c1 = e − βτ
sin ω1τ
ω1
ve c2 = e− βτ
cos ω1τ
ω1
11
elde edilir. Böylece Green Fonksiyonu
G (t ,τ ) = e − β (t −τ )
sin ω1 (t − τ )
ω1
u (t − τ )
dır. Böylece
mx + bx + kx = F ( t )
denkleminin özel çözümü
t
χ p (t ) = ∫ F (τ )e − β (t −τ )
0
sin ω1 (t − τ )
ω1
dτ
dır.
3.2. Sınır Değer Problemleri İçin Green Fonksiyonu
Bu kesimde homojen olmayan lineer diferensiyel denklemler ve homojen sınır
şartlarına sahip sınır değer problemleri için Green Fonksiyonu üzerinde durulacaktır.
3.2.1. İkinci basamaktan denklemler için green fonksiyonu
[ a, b] kapalı aralığında p(x ) >0 ,
q ve f sürekli fonksiyonlar olmak üzere homojen
olmayan ikinci basamaktan Self-Adjoint
L ⎡⎣u ( x ) ⎤⎦ :=
du ( x ) ⎞
d ⎛
⎜ p ( x)
⎟+ q ( x ) u ( x )= f ( x )
dx ⎝
dx ⎠
(3.5)
12
denklemini göz önüne alalım. a1 , a2 , b1 ve b2 a1 + a 2 ≠ 0 ve b1 + b2 ≠ 0 özelliklerine
sahip reel sabitler olmak üzere denkleme ilişkin homojen sınır koşulları
BL ⎡⎣u ( x ) ⎤⎦:= a1u ( a )+ a2u ′ ( a )=0
BR ⎡⎣u ( x ) ⎤⎦:=b1u ( b )+b2u ′ ( b )=0
(3.6)
biçiminde verilmiş olsun
Tanım 3.2.
Eş. 3.5 ve Eş. 3.6 probleminin G ( x, τ ) , Green Fonksiyonu
L[G ( x,τ )]=δ ( x − τ )
(3.7)
denklemini sağlar.
Eş. 3.7 yi f (τ ) ile çarpıp, τ üzerinden a dan b ye integralini alınırsa
⎡b
⎤ b
L ⎢ ∫ G ( x,τ ) f (τ )dτ ⎥ = ∫ f (τ )δ ( x − τ )dτ = f ( x )
⎣a
⎦ a
elde edilir. Burada Eş. 3.5 göz önüne alınırsa, Eş. 3.5 ve Eş. 3.6 problemin çözüm
fonksiyonu
b
u ( x )= ∫ G ( x,τ ) f (τ )dτ
(3.8)
a
dir. G (x,τ ) nin x üzerinden sınır şartlarını sağlamasından dolayı, Eş. 3.8 in sağ
tarafının da sınır şartlarını sağladığı açıktır.
13
Eş. 3.7 nin τ − den τ + ya integrali alınırsa
τ
⎡d ⎛
⎤
dG ( x,τ ) ⎞
∫ ⎢ dx ⎜⎝ p ( x ) dx ⎟⎠+ q ( x ) G ( x,τ )⎥⎥ dx= ∫− δ ( x − τ )dx
⎣
⎦
τ− ⎢
τ
τ+
+
τ+
τ
dG ( x,τ ) ⎤ τ
⎡
du ( x − τ )
p
x
q
x
G
x
dx
dx =1
,
τ
+
=
(
)
(
)
(
)
⎢
⎥
∫
∫
dx ⎦τ − τ −
dx
−
⎣
τ
+
+
elde edilir. G ( x, τ ) sürekli olduğu için integralin sol tarafındaki ikinci terim sıfırdır.
İlk integralden
τ+
⎡
dG ( x,τ ) ⎤
⎢ p ( x)
⎥ =1
dx ⎦τ −
⎣
olup. p (x ) sürekli olduğu için p (τ − )= p (τ + ) dır. Böylece
τ+
⎡ dG ( x,τ ) ⎤
1
⎢
⎥ =
⎣ dx ⎦τ − p (τ )
(3.9)
bulunur.
Eş. 3.9 ; G ( x, τ ) fonksiyonunun birinci mertebeden türevinin sıçramalı süreksizliğe
sahip olduğunu gösterir. Böylece G ( x, τ ) fonksiyonu, x = τ noktasında sürekli
fakat bu noktada türevi bir sıçramalı süreksizliğe sahiptir.
L[u ( x )]=0 denkleminin sol sınır koşullarını sağlayan çözümü u L ( x ) ve sağ sınır
koşullarını sağlayan çözümü uR ( x ) ile gösterilsin
14
G ( x, τ ) sınır şartlarını sağlamak zorunda olduğundan
⎧⎪k1 (τ ) uL ( x ) , a ≤ x ≤ τ ≤ b
G ( x, τ ) = ⎨
⎪⎩k2 (τ ) uR ( x ) , a ≤ τ ≤ x ≤ b
dır.
G ( x, τ ) x = τ da sürekli olduğundan sağ ve sol limitler eşit olmalıdır. Yani;
k2 (τ ) u R (τ ) − k1 (τ ) u L (τ ) = 0.
G′ ( x, τ ) fonksiyonu sıçramalı süreksizliğe sahip olduğundan
k2 (τ ) u R′ (τ ) − k1 (τ ) u ′L (τ ) =
1
P (τ )
elde edilir. k1 (τ ) ve k 2 (τ ) için son iki denklem çözülürse
k1 (τ ) =
u R (τ )
u L (τ )
ve k 2 (τ ) =
P(τ )W (τ )
P(τ )W (τ )
bulunur. Burada W (τ ) , u L (τ ) ve u R (τ ) nin Wronskiyenini göstermektedir. Yani
W :=
uL (τ )
uL′ (τ )
uR (τ )
uR′ (τ )
= uL (τ ) uR′ (τ )−u′L (τ ) uR (τ )
dır. Yukarıda elde edilen k1 (τ ) ve k2 (τ ) yerine konulursa
15
G ( x, τ ) =
⎧⎪uL ( x ) uR (τ ) , a ≤ x ≤ τ ≤ b
1
⎨
P (τ ) W (τ ) ⎪⎩uL (τ ) uR ( x ) , a ≤ τ ≤ x ≤ b
elde edilir [3].
Örnek 3.2.
u′′ ( x ) = f ( x )
u ( 0) = 0
u ( L) = 0
sınır değer problemi için Green Fonksiyonunu bulalım. Homojen diferensiyel
denklemin genel çözümü
u ( x ) = c1 + c2 x
dir. Bu çözüm
G′′ ( x, τ ) = δ ( x − τ ), G ( 0, τ ) = 0 = G ′ ( L, τ )
şartlarını sağlayan Green Fonksiyonunu inşa etmek için kullanılır. Sol ve sağ sınır
koşulları için çözümler sırasıyla
uL ( 0 ) = x
uR ( L ) = L − x
olup. p ( x ) = 1 , q ( x ) = 0 ve W (τ ) =
τ
1
L −τ
= − L olduğu durumu göz önüne
−1
alınırsa homojen olmayan u ′′ ( x ) = f ( x ) , u ( 0 ) = 0 = u ( L ) sınır değer problemi için
Green fonksiyonu;
16
⎧ x ( L −τ )
, x <τ
⎪⎪−
L
G ( x,τ ) = ⎨
⎪− x0 ( L − τ ) , x > τ
⎪⎩
L
(3.10)
şeklindedir.
Özetlersek verilen homojen sınır şartları altında L ( u ) diferensiyeli için G ( x, τ )
Green fonksiyonu aşağıdaki şartları sağlamalıdır.
1. G ( x, τ )
fonksiyonu birinci ve ikinci mertebeden türevleri
a ≤ x, τ ≤ b
aralığındaki her x ≠ τ için x ve t ye göre süreklidir.
2. x = τ noktasında G ( x, τ ) fonksiyonunun birinci türevi
x =τ + ε
⎡ dG ( x, τ ) ⎤
1
=
⎢
⎥
⎣ dx ⎦ x =τ −ε p (τ )
bir sıçramalı süreksizliğe sahiptir.
3. Sabit τ için G ( x, τ ) verilen sınır şartlarını sağlar. Bununla birlikte G ( x, τ ) ,
x = τ noktası hariç homojen denklem
L[u ] = 0
ın çözümüdür.
17
Teorem 3.1.
Sınır değer problemleri için Green Fonksiyonu simetriktir. Yani G ( x, τ ) = G (τ , x )
dir.
İspat
a < τ < η < b için
G = G ( x, τ )
H = G ( x, η )
Green Fonksiyonlarını ele alalım. L operatörü Self-Adjoint olduğu için
GL [ H ] − HL [G ] =
d
⎡ p ( H ′G − HG′ ) ⎤⎦
dx ⎣
(3.11)
Lagrange özdeşliği sağlanır. G ve H Green Fonksiyonu olduğu için homojen
denklemi sağlar. Yani;
L[G ] = 0 ve L[H ] = 0
dır.
[ a, τ ] , [τ , η ] ve [η , b] aralıkları üzerinden integral alınırsa
τ
η
⎡⎣ p ( H ′G − HG′ ) ⎤⎦ a + ⎡⎣ p ( H ′G − HG′ ) ⎤⎦τ + ⎡⎣ p ( H ′G − HG ′ ) ⎤⎦η = 0
dır. Gerekli düzenlemeler yapılırsa
b
18
(
)
(
)
p (τ ) G (τ , τ ) ⎡⎣ H ′ τ − , η − H ′ τ + , η ⎤⎦
( ) ( )
+ p (η ) G (η , τ ) ⎡⎣ H ′ (η , η ) − H ′ (η , η ) ⎤⎦
+ p (η ) H (η , η ) ⎡⎣G ′ (η , τ ) − G ′ (η , τ ) ⎤⎦
+ p (τ ) H (τ , η ) ⎡⎣G ′ τ + , τ − G ′ τ − , τ ⎤⎦
−
+
+
−
(3.12)
+ [ p ( x )( H ′G − HG ′ )]a = 0
b
sağlanır. G′ ( x, τ ) ve H ′ ( x, η ) fonksiyonlarının sırasıyla x = τ ve x = η noktaları
hariç her yerde sürekli olmasından
G′ (η + , τ ) − G′ (η − , τ ) = 0
H ′ (τ + , η ) − H ′ (τ − , η ) = 0
yazılabilir. Ayrıca bu fonksiyonların
x =τ
süreksizliğine sahip olmasından
G′ (τ + , τ ) − G′ (τ − , τ ) =
1
p (τ )
H ′ (η − , η ) − H ′ (η + , η ) = −
1
p (η )
elde edilir. Böylece Eş. 3.12 de kullanılırsa
G (η , τ ) = H (τ , η )
elde edilir. H fonksiyonunun tanımından dolayı
G (η , τ ) = G (τ , η )
sağlanır [4].
ve
x =η
noktalarında sıçrama
19
3.2.2. n inci Basamaktan Denklemlere İlişkin Sınr Değer Problemleri İçin
Green Green Fonksiyonu
0 ≤ i ≤ n için pi ( x ) ∈ C ( I = [ a, b ]) ve aynı aralık üzerinde p0 ( x ) > 0 olmak üzere
n inci basamaktan
Ly ≡ p0 ( x ) y ( n ) + p1 ( x ) y ( n −1) + … + pn −1 ( x ) y′ + pn ( x ) y = f ( x )
n
n
j =1
j =1
U İ ( y ) ≡ ∑ aij y ( j −1) ( a ) + ∑ bij y ( j −1) ( b ) = 0, 1 ≤ i ≤ n
(3.13)
homojen olamayan sınır değer problemine ilişkin
Ly = 0
(3.14)
Ui ( y ) = 0
homojen sınır değer probleminin sadece aşikar çözüme sahip olduğunu varsayalım.
Başka bir anlatımla Ly = 0 denkleminin lineer bağımsız y1 , y2 , ..., yn çözümleri için
⎛ U1 ( y1 ) U1 ( y2 ) ... U1 ( yn ) ⎞
⎜
⎟
⎜ U 2 ( y1 ) U 2 ( y2 ) ... U 2 ( yn ) ⎟
U =⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ U ( y ) U ( y ) ... U ( y ) ⎟
n
2
n
n ⎠
⎝ n 1
matrisinin rankı n ye eşit ya da i, j = 1, 2, … , n
(
)
D (U ) = det U i ( y j ) ≠ 0
olsun.
(3.15)
20
Bu durumda Eş. 3.13 probleminin bir tek çözümü vardır. Bu çözüm Green
Fonksiyonu yardımı ile ifade edilebilir. [5].
Tanım 3.3.
0 ≤ i ≤ n için pi ( x ) ∈ C ( I ) ve I kapalı sonlu aralığında p0 ( x ) > 0 olsun. Ly = 0
denkleminin lineer bağımsız çözümlerinin Wronskiyeni
w ( y1 , y2 ,.... yn )( t ) =
y1 ( t )
y2 ( t ) ... yn ( t )
y1′ ( t )
y2′ ( t ) ... yn′ ( t )
y1( n −1) ( t )
y2( n −1) ( t ) ... yn( n −1) ( t )
olmak üzere
( −1)
=
H ( x, t ) =
p0 ( t ) W ( t )
n −1
y1 ( x )
y2 ( x ) ... yn ( x )
y1 ( t )
y2 ( t ) ... yn ( t )
y1′ ( t )
y2′ ( t ) ... yn′ ( t )
y1( n − 2) ( t )
y2( n − 2) ( t ) ... yn( n − 2) ( t )
(3.16)
fonksiyonuna L operatörüne ilişkin tek yanlı Green Fonksiyonu denir [6].
Tek yanlı Green fonksiyonunun bazı özelliklerini vermeye çalışalım:
Teorem 3.2.
n inci basamaktan L lineer diferensiyel operatörüne ilişkin tek yanlı Green
fonksiyonu H ( x, t ) ise bu durumda
21
(i) H ( x, t ) ve 1 ≤ k ≤ n için
∂k
H ( x, t ) türevleri I × I karesi üzerinde x ve t ye
∂x k
göre birlikte süreklidir.
∂k
(ii) 0 ≤ k ≤ n − 2 için k H ( x, t ) = 0
∂x
x =t
(iii)
∂ n −1
1
H ( x, t ) =
n −1
p0 ( t )
∂x
x =t
(iv) Lx H ( x, t ) = 0 dır. Burada Lx , L operatörü üzerinde x e göre türev alınacağını
göstermektedir.
Teorem 3.3.
L için tek yanlı Green Fonksiyonu H ( x, t ) olsun. f ( x ) I kapalı sonlu aralığı
üzerinde sürekli olan herhangi bir fonksiyon ve x0 ∈ I olmak üzere
x
y ( x ) = ∫ H ( x, t ) f ( t ) dt
x0
fonksiyonu, her x ∈ I için Ly = f ( x ) denklemini ve 0 ≤ k ≤ n − 1 için
y ( k ) ( x0 ) = 0
koşullarını sağlar.
(3.17)
22
İspat
∂ j H ( x, t )
türevlerini H j ( x, t ) sembolü ile
Sadelik açısından 0 ≤ j ≤ n için
∂x j
gösterelim. Eş. 3.17 den y′ ( x )
x
y′ ( x ) = H ( x, x ) f ( x ) + ∫ H1 ( x, t ) f ( t )dt
x0
x
= ∫ H1 ( x, t ) f ( t ) dt
x0
dır. Buradan
x
y′′ ( x ) = H1 ( x, x ) f ( x ) + ∫ H 2 ( x, t ) f ( t ) dt
x0
x
= ∫ H 2 ( x, t ) f ( t ) dt
x0
olur. Benzer şekilde devam edilirse 0 ≤ k ≤ n − 1 için
y(
k)
x
( x ) = ∫ H k ( x, t ) f ( t ) dt
(3.18)
x0
ve
y ( n ) ( x ) = H n −1 ( x, x ) f ( x ) +
x
∫ H ( x, t )dt
n
x0
f ( x) x
=
+ H n ( x, t ) f ( t ) dt
p0 ( x ) x∫0
elde edilir.
23
0 ≤ k ≤ n için y ( k ) ( x ) türevleri pn − k ( x ) ile çarpılır ve toplamı k üzerinden alınırsa
x
Ly ( x ) = f ( x ) + ∫ Lx H ( x, t ) f ( t ) dt
x0
= f ( x)
elde edilir.
Öte yandan Eş. 3.18 bağıntısına göre 0 ≤ k ≤ n − 1 için
y ( k ) ( x0 ) = 0
olacağı açıktır.
Teorem 3.4.
H ( x, t ) , Eş. 3.16 ile tanımlandığı gibi ve K ( x, t ) I × I karesi üzerinde x ve t ye
göre sürekli fonksiyonlar olmak üzere aşağıdaki özelliğe sahip olsun:
I üzerinde sürekli olan her f ( x ) için
x
y ( x ) = ∫ K ( x, t ) f ( t ) dt
x0
fonksiyonu, Ly = f denklemine ve y ( k ) ( x0 ) = 0
( 0 ≤ k ≤ n − 1)
çözümdür. Bu durumda I × I üzerinde K ( x, t ) = H ( x, t ) dir.
İspat
Varsayımlara göre
koşullarını sağlayan
24
x
x
x0
x0
y ( x ) = ∫ H ( x, t ) f ( t ) dt ve y ( x ) = ∫ K ( x, t ) f ( t ) dt olup her x ∈ I için
x
∫ ( H ( x, t ) − K ( x, t ) ) f ( t ) dt = 0
(3.19)
x0
yazılabilir.
J ( x , t ) = H ( x, t ) − K ( x, t )
alınırsa J ( x, t ) nin I × I karesi üzerinde x ve t ye göre sürekli olacağı açıktır.
Şimdi, J nin özdeş olarak sıfır olmadığını varsayalım.
Buna göre
J ( x1 , t1 ) ≠ 0
olacak şekilde I × I karesi içinde bir ( x1 , t1 ) noktası vardır. Ayrıca J nin sürekli
olması nedeniyle bir δ > 0 sayısı ve her
N = { x − x1 < δ ,
( x, t ) ∈ N
için J ( x, t ) ≠ 0 olmak üzere
t − t1 < δ }
komşuluğu vardır.
x0 ≤ t1 olduğu zaman ( t1 , t1 + δ ) aralığında f ( x ) ≠ 0 ve bu aralık dışında I nın her
yerinde sıfır olan sürekli bir f ( x ) fonksiyonu seçilebilir. Bu durumda
25
x
t1 +δ
x0
t1
∫ J ( x1 , t1 ) f ( t ) dt =
∫ J ( x , t ) f ( t ) dt ≠ 0
1
1
olacak şekilde bir x1 ∈ I noktası vardır. Bu ise Eş. 3.19 ile çelişir. Tersine x0 > t1 ise
( t1 − δ , t1 )
aralığında f ( x ) ≠ 0 ve bu aralığın dışında I nın her yerinde sıfır olan
sürekli bir f ( x ) fonksiyonu seçilebilir.
Bu arada,
Ly = f ( x )
0 ≤ k ≤ n − 1 için
y ( k ) ( x0 ) = 0 bir nokta sınır değer
probleminin çözümü olan Eş. 3.17 fonksiyonu x0 yerine x = a ya da x = b
noktalarındaki koşulları sağlaması gerekiyorsa y ( x ) in sırasıyla
x
y ( x ) = ∫ H ( x, t ) f ( t ) dt ,
a
b
y ( x ) = − ∫ H ( x, t ) f ( t ) dt
x
biçiminde yazılabileceği açıktır.
1
H ( x, t ) , t < x
2
1
g ( x, t ) = − H ( x, t ) , t > x
2
g ( x, t ) =
ile tanımlanan
g ( x, t )
fonksiyonu bazı özelliklere sahiptir:
olduğundan
1
Lx H ( x, t ) = 0, t < x
2
1
Lx g ( x, t ) = − Lx H ( x, t ) = 0, t > x
2
Lx g ( x, t ) =
ya da kısaca
(3.20)
Lx H ( x, t ) = 0
26
Lˆx g ( x, t ) = 0
olur. Burada
∧
L , parçalı türevlenebilir fonksiyonlar üzerinde uygulanan
L
operatörüdür.
Ayrıca I = [ a, b ] üzerinde f ( x ) sürekli bir fonksiyon olmak üzere
b
y ( x ) = ∫ g ( x, t ) f ( t ) dt
a
ise Ly ( x ) = f ( x ) dir. Gerçekten
x
b
y ( x ) = ∫ g ( x, t ) f ( t ) dt + ∫ g ( x, t ) f ( t ) dt
a
=
x
x
b
x
x
1
1
H ( x, t ) f ( t ) dt − ∫ H ( x, t ) f ( t ) dt
∫
2a
2x
1
1
= ∫ H ( x, t ) f ( t ) dt + ∫ H ( x, t ) f ( t ) dt
2a
2b
şeklinde yazar ve iki yana L operatörü uygulanırsa
x
⎞ 1 ⎛x
⎞
1 ⎛
Ly ( x ) = L ⎜ ∫ H ( x, t ) f ( t ) dt ⎟ + L ⎜ ∫ H ( x, t ) f ( t ) dt ⎟
2 ⎝a
⎠ 2 ⎝b
⎠
= f ( x)
bulunur.
Şimdi Eş. 3.13 problemine dönelim. Burada Eş. 3.14 Homojen probleminin sadece
aşikar çözüme sahip olduğu bir kez daha vurgulayarak
27
n
G ( x, t ) = g ( x, t ) + ∑ψ j ( t ) y j ( x )
(3.21)
j =1
fonksiyonu göz önüne alalım. Burada y j ( x ) ler Ly = 0 denkleminin lineer bağımsız
çözümleri ve ψ j ( t ) ler de bilinmeyen katsayılardır.
Yukarıdaki incelemelere göre
b
y ( x ) = ∫ G ( x, t ) f ( t ) dt
(3.22)
a
ise, Ly ( x ) = f ( x ) olacağı açıktır. Bununla birlikte y ( x ) in U i ( y ) = 0 koşullarını
sağlayacak şekilde 1 ≤ j ≤ n için ψ j ( t ) leri bulalım. Bunun için
b
U i ( y ) = ∫ U i ( G ) f ( t ) dt = 0
a
ya da 1 ≤ i ≤ n için
Ui (G ) = 0
olmalıdır. Burada U i , G deki x değişkeni üzerinde sınır operatörü olması nedeniyle
n
U i ( G ) = 0 = U i ( g ) + ∑ψ j ( t ) U i ( y j )
j =1
1 ≤ i ≤ n için
n
∑ψ ( t )U ( y ) = −U ( g )
j =1
j
i
j
i
(3.23)
28
yazılabilir. Bu sistemin 1 ≤ i, j ≤ n
(
U = Ui ( y j )
)
katsayıları matrisinin rankı maksimal olduğundan Cramer kuralı yardımıyla Eş. 3.23
sistemi ψ j ( t ) için çözülebilir. Bu değerler D (U ) = det U olmak üzere Eş. 3.21 de
yerlerine konulursa
G ( x, t ) =
g ( x, t )
y1 ( x )
U1 ( g )
U1 ( y1 ) U1 ( y2 ) ... U1 ( yn )
1
U2 ( g )
D (U )
Un ( g )
y2 ( x )
... yn ( x )
U 2 ( y1 ) U 2 ( y2 ) ... U 2 ( yn )
(3.24)
...
U n ( y1 ) U n ( y2 ) ... U n ( yn )
elde edilir.
Tanım 3.4.
Eş. 3.24 ile tanımlanan G ( x, t ) fonksiyonu, Eş. 3.14 homojen problemine ilişkin
Klasik Green Fonksiyonu ya da kısaca Green Fonksiyonu adını alır.
Bu tanımın ve önceki incelemelerin sonucu olarak Green Fonksiyonuna ilişkin iki
önemli teoremden söz edelim:
Teorem 3.5.
G ( x, t ) , n yinci basamaktan Eş. 3.14 lineer homojen problemi için Green
Foksiyonu olsun. Bu durumda
29
(i) G ( x, t ) ve 1 ≤ k ≤ n − 2 için
∂k
G ( x, t ) türevleri I × I karesi üzerinde x ve t
∂x k
ye göre süreklidir.
∂ n −1
∂ n −1
1
(ii) n −1 G ( x, t )
− n −1 G ( x, t )
=
p0 ( t )
∂x
∂x
x =t +
x =t −
^
(iii) L x G ( x, t ) = 0
(iv) 1 ≤ i ≤ n için U i ( G ) = 0 dir.
Teorem 3.6.
Eş. 3.14 homojen problemi sadece aşikar çözüme sahip ise, bu durumda ona ilişkin
bir tek Green Fonksiyonu vardır [5].
İspat
y1 , y2 , ..., yn fonksiyonları Ly = 0 denkleminin lineer bağımsız çözümleri olsun.
G ( x, t ) fonksiyonu, [ a, t ) aralığında Ly = 0 ın bir çözümü olduğundan a ≤ x < t
için
G ( x, t ) = a1 y1 ( x ) + a2 y2 ( x ) + … + an yn ( x )
ve benzer düşünceler ile t < x ≤ b için
G ( x, t ) = b1 y1 ( x ) + b2 y2 ( x ) + … + bn yn ( x )
30
yazılabilir. Burada a1 , a2 , … , an ve b1 , b2 , … , bn ler t nin belli fonksiyonlarıdır.
G ( x, t ) ve onun ilk
( n − 2)
basamaktan türevleri x = t noktasında sürekli
olduklarından
( a y ( t ) + ... + a y ( t ) ) − ( b y ( t ) + ... + b y ( t ) ) = 0
( a y′ ( t ) + ... + a y′ ( t ) ) − ( b y′ ( t ) + ... + b y′ ( t ) ) = 0
1 1
n
n
1 1
n
n
1 1
n
n
1 1
n
n
...
(a y
( n − 2)
1 1
...
( t ) + ... + an yn( n−2) ( t ) ) − ( b1 y1( n −2) + ... + bn yn( n−2) ( t ) ) = 0
denklemlerine varılır. Ayrıca
∂ n −1
∂ n −1
1
G ( t + 0, t ) − n −1 G ( t − 0, t ) =
n −1
p0 ( t )
∂x
∂x
özelliği
(a y
( n −1)
1 1
( t ) + … + an yn ( n−1) ( t ) ) − ( b1 y1( n−1) ( t ) + … + bn yn ( n−1) ( t ) ) = −
ile eşdeğer olduğu açıktır. Şimdi i = 1, 2, … , n için
Ci = bi − ai
denirse Ci ye göre
1
p0 ( t )
31
C1 y1 ( t ) + … + Cn yn ( t ) = 0
C1 y1′ ( t ) + … + Cn yn′ ( t ) = 0
…
.
(3.25)
.
C1 y1( n − 2) ( t ) + … + Cn y
C1 y1(
n −1)
( n −2)
n
(t ) = 0
( t ) + … + Cn yn( n −1) ( t ) =
1
p0 ( t )
sistemi elde edilir.
Bu sistemin katsayıları determinantı y1 , y2 , ..., yn lineer bağımsız fonksiyonların
x = t noktasındaki Wronskiyeni olduğundan sıfırdan farklıdır. Böylece Eş. 3.25
sisteminden Ci ler tek olarak bulunur.
Öte yandan ai ve bi fonksiyonlarını bulmak için U i ( y ) sınır koşulları
U i ( y ) = U ia ( y ) + U ib ( y )
(3.26)
biçiminde yazılsın, burada U ia ( y ) ve U ib ( y ) sırasıyla
n
∑ aij y (
j −1)
(a),
j =1
n
∑ b y( ) (b )
j =1
j −1
ij
toplamlarını göstermektedir. Buna göre
U
i
( G ) = a1U ia ( y1 ) + ... + anU ia ( yn ) + bU
1 ib ( y1 ) + … + bnU ib ( yn ) = 0
dır. ak
ak = bk − Ck
yazıldığında
bU
1 ib ( y1 ) + ... + bnU ib ( yn ) + ( b1 − C1 ) U ia ( y1 ) + ... + ( bn − Cn ) U ia ( yn ) = 0
yerine
32
elde edilir. Buradan Eş. 3.46 gösterimi nedeni ile
bU
1 i ( y1 ) + ... + bnU i ( yn ) = C1U ia ( y1 ) + ... + CnU ia ( yn )
sonucuna
varılır.
Böylece
i = 1, 2, … , n
için
(3.27)
Eş.
3.27
den
b1 , b2 , ..., bn
bilinmeyenlerine göre bir denklem sistemi elde edilir. Bu sistemin katsayılar
determinantı, varsayım nedeniyle sıfırdan farklı olduğundan sistemin, bir tek
b1 , b2 , ..., bn çözümü vardır ve dolayısıyla ai = bi − Ci bağlantısı nedeniyle ai
fonksiyonları tek olarak tanımlanır. Böylece Green Fonksiyonunun varlığı ve tekliği
kanıtlanmış olur [6].
Özel olarak n = 2 için Eş. 3.13 problemi
Ly ≡ p0 ( x ) y′′ + p1 ( x ) y′ + p2 ( x ) y = f ( x )
2
U i ( y ) ≡ ∑ aij y (
j −1)
j =1
2
( a ) + ∑ bij y ( j −1) ( b ) = 0 ( i = 1, 2 )
(3.28)
j =1
şeklinde ikinci basamaktan sınır değer problemine indirgenir. Ly = 0 ın y1 ve y2
lineer bağımsız çözümlerinin Wronskiyeni
W ( y1 , y2 )( t ) =
y1 ( t )
y2 ( t )
y1′ ( t )
y2′ ( t )
olmak üzere ikinci basamaktan L operatörüne ilişkin tek yanlı Green fonksiyonu
H ( x, t ) = −
dir.
1
p0 ( t )
y1 ( x )
y2 ( x )
y1 ( t )
y2 ( t )
W ( y1 , y2 )( t )
(3.29)
33
Buradan
⎧1
⎪⎪ 2 H ( x, t ) , t < x
g ( x, t ) = ⎨
⎪ − 1 H ( x, t ) , t > x
⎪⎩ 2
ve
D (U ) =
U1 ( y1 ) U1 ( y2 )
U 2 ( y1 ) U 2 ( y2 )
olmak üzere Eş. 3.28 den elde edilen homojen probleme ilişkin Green Fonksiyonu
g ( x, t )
G ( x, t ) =
1
U1 ( g )
D (U )
U2 ( g )
y1 ( x )
y2 ( x )
U1 ( y1 ) U1 ( y2 )
(3.30)
U 2 ( y1 ) U 2 ( y2 )
şeklindedir.
Ayrıca, U i ( y ) = 0 sınır koşulları
U1 ( y ) ≡ α1 y ( a ) + β1 y′ ( a ) = 0
U 2 ( y ) ≡ α 2 y ( b ) + β 2 y′ ( b ) = 0
(3.31)
biçiminde ayrılmış ise y1 ve y2 , Ly = 0 denklemini ve sırasıyla
U1 ( y1 ) = 0 ve U 2 ( y2 ) = 0 koşullarını sağlayan bağımsız çözümler olmak üzere,
Eş. 3.30 Green Fonksiyonu
y1 ( t ) y2 ( x )
⎧
, a≤t < x
⎪
⎪ p0 ( t ) W ( y1 , y2 )( t )
G ( x, t ) = ⎨
y1 ( x ) y2 ( t )
⎪
, x<t ≤b
⎪ p ( t ) W ( y , y )( t )
1
2
⎩ 0
şeklinde yazılabilir.
(3.32)
34
Örnek 3.3.
L ( y ) ≡ (1 + x 2 ) y′′ − 2 xy′ + 2 y = (1 + x 2 )
2
U1 ( y ) ≡ y ( 0 ) + y′ (1) = 0
U 2 ( y ) ≡ y′ ( 0 ) + y (1) = 0
problemini göz önüne alalım.
Ly = 0 denkleminin lineer bağımsız çözümleri y1 = x ve y2 = 1 − x 2 olduğundan
U1 ( y1 ) = 1 , U1 ( y2 ) = −1 , U 2 ( y1 ) = 2 , U 2 ( y2 ) = 0 olmak üzere
D (U ) =
1 −1
=2≠0
2 0
dır. O halde verilen problemin bir tek çözümü vardır. Şimdi bu çözümü bulalım:
H ( x, t ) =
( x − t )(1 + xt )
(1 + t )
2 2
ve buradan
⎧ ( x − t )(1 + xt )
, 0 ≤ t < x ≤1
⎪
2 2
⎪⎪ 2 (1 + t )
g ( x, t ) = ⎨
⎪ ( t − x )(1 + xt ) , 1 ≥ t > x ≥ 0
⎪
2 2
⎪⎩ 2 (1 + t )
olmak üzere
35
U1 ( g ) =
1 + 3t − t 2
2 (1 + t 2 )
2
ve U 2 ( g ) = 0
dır. Eş. 3.30 den Green Fonksiyonu
⎧ x (1 − t 2 ) + ( x 2 − 1)( t 2 − 2t − 1)
⎪
, 0 ≤ t < x ≤1
2
⎪⎪
2 (1 + t 2 )
G ( x, t ) = ⎨
2
2
2
⎪ x ( t − 1) + ( x − 1)( t − 4t − 1)
, 0 ≤ x < t ≤1
⎪
2 2
2
1
t
+
( )
⎪⎩
şeklinde bulunur. Buradan verilen problemin çözümü
1
y ( x ) = ∫ G ( x, t ) (1 + t 2 ) dt
0
2
(
)
2
2
2
x
2
1 x (1 − t ) + ( x − 1)( t − 2t − 1)
1 + t 2 ) dt
= ∫
(
2
20
(1 + t 2 )
2
2
2
1
2
1 x ( t − 1) + ( x − 1)( t − 4t − 1)
1 + t 2 ) dt
+ ∫
(
2
2x
(1 + t 2 )
=
1 4
x − 5x2 − 2 x + 8)
(
6
biçimindedir.
Homojen olmayan sınır değer problemleri (koşullar homojen olmayan)
Şimdi homojen olmayan i = 1, 2, … , n için
Ly = f ( x )
Ui ( y ) = γ i
(3.33)
36
sınır değer problemini göz önüne alalım.
Eş. 3.33 e ilişkin homojen problem sadece aşikar çözüme sahip ise, H i ( x )
fonksiyonları
⎧L ( Hi ) = 0
⎪
⎨U1 ( H i ) = … = U i −1 ( H i ) = U i +1 ( H i ) = … = U n ( H i ) = 0
⎪
⎩U i ( H i ) = 1
probleminin tek çözümü olmak üzere, Eş. 3.33 probleminin tek çözümü
b
y ( x ) = ∫ G ( x, t ) f ( t ) dt + γ 1 H1 ( x ) + γ 2 H 2 ( x ) + ... + γ n H n ( x )
(3.34)
a
şeklindedir [7].
n = 2 için Eş. 3.33
Ly ≡ p0 ( x ) y′′ + p1 ( x ) y′ + p2 ( x ) y = f ( x )
U1 ( y ) ≡ a11 y ( a ) + a12 y′ ( a ) + b11 y ( b ) + b12 y′ ( b ) = γ 1
(3.35)
U 2 ( y ) ≡ a21 y ( a ) + a22 y′ ( a ) + b21 y ( b ) + b22 y′ ( b ) = γ 2
ikinci basamaktan sınır değer problemine indirgenir. H1 ( x ) ve H 2 ( x ) sırası ile
⎧ L ( H1 ) = 0
⎪
⎨U1 ( H1 ) = 1 ve
⎪
⎩U 2 ( H1 ) = 0
⎧L ( H2 ) = 0
⎪
⎨U1 ( H 2 ) = 0
⎪
⎩U 2 ( H 2 ) = 1
problemlerinin çözümleri olmak üzere Eş. 3.35 in tek çözümü
37
b
y ( x ) = ∫ G ( x, t ) f ( t ) dt + γ 1 H1 ( x ) + γ 2 H 2 ( x )
a
şeklindedir.
Örnek 3.4.
y′′ = f ( x )
y (0) = 0
y (1) + y′ (1) = 2
problemini göz önüne alalım.
Buna ilişkin homojen problem sadece aşikar çözüme sahip olduğundan verilen
problemin bir tek çözümü vardır. Green Fonksiyonu kullanılarak y′′ = 0 denklemini
ve sırasıyla y ( 0 ) = 0 , y (1) + y′ (1) = 0 homojen koşullarını sağlamak üzere bağımsız
çözümler, y1 = x ve y2 = x − 2 biçimindedir. p0 ( t ) W ( y1 , y2 )( t ) = W ( t , t − 2 ) = 2
olduğundan homojen probleme ilişkin Green Fonksiyonu
⎧1
⎪⎪ 2 t ( x − 2 ) , 0 ≤ t < x ≤ 1
G ( x, t ) = ⎨
⎪ 1 x (t − 2) , 0 ≤ x < t ≤ 1
⎪⎩ 2
şeklindedir.
Öte yandan γ 1 = 0 ve γ 2 = 2 olduğundan sadece
y′′ = 0
y (0) = 0
y (1) + y′ (1) = 2
38
problemini sağlayan H 2 ( x ) =
x
fonksiyonu bulmak yeterlidir.
2
Böylece verilen homojen olmayan problemin çözümü
1
y ( x ) = ∫ G ( x, t ) f ( t ) dt + x
0
=
( x − 2) x t
2
∫
f ( t ) dt +
0
1
x
( t − 2 ) f ( t ) dt + x
2 ∫x
biçiminde bulunur.
Şimdi D (U ) = 0 olmak üzere sınır değer problemine dönelim: Lineer denklem
sistemlerinin çözümlerinin varlığı ve tekliği hakkında sonuçlar, sınır değer
problemleri için de geçerlidir. Buradan, homojen olmayan i = 0, 1, 2, ..., n
Ly = f ( x )
Ui ( y ) = γ i
(3.36)
sınır değer problemini göz önüne alalım.
y1 , y2 , ..., yn Ly = 0 nin lineer bağımsız çözümleri ve y p , Ly = f in bir özel çözümü
olmak üzere Ly = f denkleminin genel çözümü
y = C1 y1 + C2 y2 + ... + Cn yn + y p
dir. Sınır koşullarının uygulanmasıyla
(3.37)
39
C1U1 ( y1 ) + C2U1 ( y2 ) + ... + CnU1 ( yn ) = γ 1 − U1 ( y p )
C1U 2 ( y1 ) + C2U 2 ( y2 ) + ... +CnU 2 ( yn ) = γ 2 − U 2 ( y p )
(3.38)
...
C1U n ( y1 ) + C2U n ( y2 ) + ... +CnU n ( y1 ) = γ n − U n ( y p )
sistemi elde edilir.
Buradan katsayılar matrisi
⎛ U1 ( y1 ) U1 ( y2 ) ...U1 ( yn )
⎜
⎜ U ( y ) U 2 ( y2 ) ...U 2 ( yn )
A=⎜ 2 1
...
⎜
⎜ U ( y ) U ( y ) ...U ( y )
n
2
n
n
⎝ n 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
ve eklemeli matris
⎛ U1 ( y1 ) U1 ( y2 ) ...U1 ( yn )
⎜
⎜ U ( y ) U 2 ( y2 ) ...U 2 ( yn )
(A γ ) =⎜ 2 1
...
⎜
⎜
⎜ U n ( y1 ) U n ( y2 ) ...U n ( yn )
⎝
γ 1 − U1 ( y p )
γ 2 −U2 ( yp )
γ n −Un ( yp )
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
olmak üzere r ≤ n için
r = rank ( A ) = rank ( A γ ) ise Eş. 3.38 ve dolayısıyla Eş. 3.36 problemi en az bir
çözüme sahiptir. Buradan Eş. 3.36 problemi homojen ve D (U ) = 0 olduğunda
problemin en az bir çözümünün olacağı açıktır.
40
Örnek 3.5.
Ly ≡ ( 2 x 2 + 1) y′′ − 4 xy′ + 4 y = ( 2 x 2 + 1)
2
U1 ( y ) ≡ y ( 0 ) − y ′ ( 0 ) = 1
U 2 ( y ) ≡ y (1) = 0
problemini gözönüne alalım.
Ly = 0 denkleminin lineer bağımsız çözümleri
y1 = x ve y2 = 2 x 2 − 1
olduğundan
D (U ) =
U1 ( y1 ) U1 ( y2 )
U 2 ( y1 ) U 2 ( y2 )
=
−1 − 1
=0
1 1
dir. Buradan Ly = 0 , U1 ( y ) = U 2 ( y ) = 0 homojen problemin en az bir çözümü
vardır. Ancak verilen problemin çözümü olabilir veya olmayabilir. Şimdi ona
bakalım:
2
1
1
Ly = ( 2 x 2 + 1) nin özel bir çözümü y p ( x ) = x 4 + x 2 olduğundan ( A ) ve ( A γ )
3
2
matrisleri sırasıyla
1⎞
⎛ −1 −1
⎛ −1 −1⎞
⎜
⎟
A=⎜
ve
A
=
γ
( ) ⎜
⎟
1
1 −5 ⎟
⎝ 1 1⎠
6⎠
⎝
41
şeklindedir. Buna göre rank ( A ) = 1 ve rank ( A γ ) = 2 olması nedeniyle verilen
problemin çözümü yoktur. Ancak, L operatörü aynı kalmak üzere U1 ve U 2 sınır
operatörleri:
U1 ( y ) ≡ y ( 0 ) − y ′ ( 0 ) = 1
U 2 ( y ) ≡ y (1) = − 1
6
biçiminde değiştirilirse, bu kez elde edilen
Ly = ( 2 x 2 + 1)
2
U1 ( y ) = 1
U2 ( y) = − 1
6
sınır değer probleminin en az bir çözümü vardır. Gerçekten, bu durumda
⎛ −1 − 1 ⎞
⎛ −1 − 1 1 ⎞
⎟ ve ( A γ ) = ⎜
⎟
1 − 1⎠
⎝ 1 1⎠
⎝1
( A) = ⎜
matrislerinin rankı 1 e eşittir. Buradan değiştirilmiş problemin genel çözümü, C
keyfi olmak üzere
y ( x ) = C ( 2 x 2 − x − 1) + (1 3) x 4 + (1 2 ) x 2 − x
biçiminde bulunur.
Özdeğer problemlerine ilişkin green fonksiyonu
n yinci basamaktan i = 1, 2, ..., n için
42
Ly ≡ p0 ( x ) y ( n ) + p1 ( x ) y ( n −1) + ... + pn −1 ( x ) y′ + pn ( x ) y = 0
n
n
j =1
j =1
U i ( y ) ≡ ∑ aij y ( j −1) ( a ) + ∑ bij y ( j −1) ( b ) = 0
sınır değer probleminde, pi ( x ) katsayılarının bir keyfi λ sabitine bağlı olması
durumunda daha genel bir sınır değer problemi elde edilir. Böyle bir problem
i = 1, 2, ..., n için
Ly ≡ p0 ( x, λ ) y ( n ) + p1 ( x, λ ) y ( n −1) + ... + pn −1 ( x, λ ) y′ + pn ( x, λ ) y = 0
Ui ( y ) = 0
(3.39)
biçimindedir.
Tanım 3.5.
Eş. 3.39 probleminde olduğu gibi, x den bağımsız bir λ parametresi içeren sınır
değer problemlerine özdeğer problemleri denir.
Eş. 3.39 özdeğer problemi açık olarak y = 0 aşikar çözümüne sahiptir. Ancak bu
durumda D (U ) nun, λ ya göre bir fonksiyon olması gerektiğinden λ nın belli
değerleri için sınır değer probleminin aşikar olmayan çözümleri olmayabilir.
Tanım 3.6.
aşikar olmayan çözümlerin var olduğu λ nın değerlerine özdeğerler ve bunlara
karşılık gelen aşikar olmayan çözümlere de özfonksiyonlar denir[8].
43
Örnek 3.6.
(1 − λ x ) y′′ + λ 2 xy′ − λ 2 y = 0
y′ ( 0 ) + y′ (1) = 0
y′ ( 0 ) = 0
özdeğer problemlinin özdeğer ve özfonksiyonlarını bulalım: Diferensiyel denklemin
genel çözümü
y = C1eλ x + C2 x
dir. Sınır koşulları uygulanırsa
λ (1 + eλ ) C1 + 2C2 = 0
λ C1 + C2 = 0
bulunur. Bu sisteme ilişkin
D (λ ) =
λ (1 + eλ ) 2
λ
1
= λ ( eλ − 1)
katsayılar determinantı sadece λ = 0 için sıfırdır. Buradan λ = 0 için diferensiyel
denklemin genel gözümü
y = C1e0. x + C2 x = C1 + C2 x
olup sınır koşulları uygulanırsa y = C , C = keyfi aşikar olmayan çözümü elde edilir.
O halde λ = 0 özdeğer ve C ≠ 0 için y = C özfonksiyonlardır.
44
Şimdi p0 ( x ) , p1 ( x ) , p2 ( x ) , ..., pn ( x ) , f ( x ) fonksiyonları I = [ a, b ] kapalı sonlu
aralığı üzerinde sürekli ve I da p0 ( x ) ≠ 0 olmak üzere n inci basamaktan
Ly ≡ p0 ( x ) y ( n ) + p1 ( x ) y ( n −1) + ... + pn −1 ( x ) y′ + pn ( x ) y = λ y + f ( x )
(3.40)
diferensiyel denklemi ile 1 ≤ i ≤ n için
n
U i ( y ) ≡ ∑ aij y (
j =1
j −1)
n
( a ) +∑ bij y ( j −1) ( b ) = 0
(3.41)
j =1
iki nokta sınır koşullarından oluşan özdeğer problemini göz önüne alalım.
Homogen özdeğer problemleri
f(x)=0 olması durumunda Eş. 3.40 ve Eş. 3.41 den oluşan i = 1, 2, ..., n için
Ly = λ y
Ui ( y ) = 0
(3.42)
homojen problem elde edilir.
Eş. 3.42 probleminin özdeğerleri için Eş. 3.42 aşikar olmayan çözümlere sahiptir.
aşikar olmayan çözümlerin her biri, λ ya karşılık gelen özfonksiyonlardır. y ( x ) ≡ 0
çözümü bir özfonksiyon olamaz. λ = 0 bir özdeğer olabilir, ancak buna karşılık
gelen çözümün aşikar olmaması gerekir.
Aynı λ özdeğerine karşılık gelen öz fonksiyonların bir lineer kombinasyonu yine o
özdeğere karşılık olan bir özfonksiyondur. Gerçekten Ly1 = λ y1 ve Ly2 = λ y2 ise bu
durumda C1 ve C2 sabitleri için L ( C1 y1 + C2 y2 ) = λ ( C1 y1 + C2 y2 ) dir.
45
Ly = λ y denklemi, verilen bir λ değeri için n den fazla lineer bağımsız çözüme
sahip olmaz.
Önceki kısımda verilen D (U ) özdeğer problemi için λ
ya bağlı olması
gerektiğinden bu kez U ile D ( λ ) ilişkisi aşağıdaki gibi verilebilir.
Eş. 3.42 probleminin aşikar olmayan çözümlere sahip olması
⎛ U1 ( y1 ) ... U1 ( yn ) ⎞
⎜
⎟
U =⎜
...
⎟
⎜ U ( y ) ... U ( y ) ⎟
n
n ⎠
⎝ n 1
matrisin rankının n den küçük yada
D (λ ) =
U1 ( y1 ) ... U1 ( yn )
...
=0
U n ( y1 ) ... U n ( yn )
olması ile eşdeğerdir.
D ( λ ) , Eş. 3.42 sınır değer probleminin özdeterminantı adını alır. Buradan aşağıdaki
teorem verilebilir:
Teorem 3.7.
Eş. 3.42 probleminin özdeğerleri , D ( λ ) nın sıfırlarıdır. D ( λ ) özdeş olarak sıfır ise,
bu durumda her λ sayısı problemin bir özdeğeridir [5].
Bununla birlikte, D ( λ ) özdeş olarak sıfır değil ise, Eş. 3.42 sınır değer problemi en
fazla sayılabilir çoklukta özdeğerlere sahiptir.
46
λ , D ( λ ) özdeterminatının katlı ya da basit kökü olabilir. Basit kökler durumunda
yinelenme sayılarının bir olacağı açıktır. Öte yandan D ( λ ) nın sıfırı olmayabilir
ancak bu durumda Eş. 3.42 probleminin özdeğerleri yoktur.
Örnek 3.7.
− y′′ = λ y
U1 ( y ) ≡ y ( 0 ) + y (1) = 0
U 2 ( y ) ≡ y′ ( 0 ) − y′ (1) = 0
probleminde her λ sayısı bir özdeğerdir. Denklemin lineer bağımsız çözümleri
y1 ( x ) = e
ve y2 ( x ) = e −
−λ x
−λ x
olduğundan
U1 ( y1 ) = 1 + e
−λ
, U 1 ( y2 ) = 1 + e −
−λ
(
, U 2 ( y1 ) = −λ 1 − e
bulunur. Buradan
1+ e
−λ
1 + e−
−λ
D (λ ) =
=0
−λ − −λ e
−λ
− − λ + −λ e −
dır.
Öte yandan U1 ve U 2 sınır operatörleri
U1 ( y ) ≡ y ( 0 ) + 2 y (1)
U 2 ( y ) ≡ y′ ( 0 ) − 2 y′ (1)
−λ
−λ
), U
2
( y2 ) =
(
−λ e −
−λ
)
−1
47
şeklinde değiştirilirse, bu durumda elde edilen
− y′′ = λ y , U1 ( y ) = U 2 ( y ) = 0
özdeğer probleminin özdeğerleri yoktur. Çünkü
D (λ ) =
1 + 2e
−λ
−λ − 2 −λ e
1 + 2e −
−λ
−λ
− −λ + 2 −λ e −
−λ
= 6 −λ
dır. Her ne kadar λ = 0 için D ( λ ) = 0 ise de buna karşılık gelen çözüm, y = 0
aşikar çözümüdür.
Uygulamalarda, zaman zaman aşağıda olduğu gibi daha genel özdeğer problemleri
ile karşılaştırılabilir:
L diferensiyel operatörünün katsayıları ve aynı zamanda i = 1, 2, ..., n için
U i ( y ) = 0 sınır koşulları bir karmaşık λ sayısına bağlı olabilir. Bu durumda λ
özdeğerleri, i = 1, 2, ..., n için
Ly = 0 ; U i ( y ) = 0
sınır değer problemi aşikar olmayan bir çözüme sahip olacak şekilde bulunabilir.
Böyle problemler, genelleştirilmiş özdeğer problemleri adını alır.
Örnek 3.8.
λ bir karmaşık sayı olmak üzere
y′′ − 4 λ y′ + 4λ 2 y = 0
y ( 0 ) + y′ ( 0 ) = 0
y (1) − y′ (1) = 0
48
özdeğer problemini göz önüne alalım. Diferensiyel denklemin
y = C1e2 λ x + C2 xe 2 λ x
genel çözümüne, sınır koşulları uygulanırsa
(1 + 2λ ) C1 + C2 = 0
(1 − 2λ ) C1 − 2λC2 = 0
sistemine varılır. Buradan
D (λ ) =
1 + 2λ
1
= − (1 + 4λ 2 )
1 − 2λ − 2λ
olduğundan problemin özdeğerleri
λ1 =
i
i
, λ2 = −
2
2
ve bunlara karşılık gelen aşikar olmayan çözümler sırasıyla
{
}
= B {(1 − x ) cos x + x sin x − i ( (1 − x ) sin x − x cos x )}
y1 = A (1 − x ) cos x + x sin x + i ( (1 − x ) sin x − x cos x )
y2
şeklinde bulunur.
Şimdi Eş. 3.40 ve Eş. 3.41 den oluşan i = 1, 2, … , n için
49
Ly = λ y + f ( x )
(3.43)
Ui ( y ) = 0
homojen olmayan sınır değer problemini ele alalım.
y1 = y1 ( x, λ ) , y2 = y2 ( x, λ ) , ..., yn = yn ( x, λ )
fonksiyonları Ly = λ y denkleminin lineer bağımsız çözümleri olsun. Buna göre λ ,
Ly = λ y
(3.44)
Ui ( y ) = 0
homojen problemin özdeğeri değil ise D ( λ ) ≠ 0 dır.
Bu durumda Eş. 3.43 probleminin bir tek çözümü vardır. Bu çözüm sınır değer
problemlerindeki benzer düşünceden hareketle Green Fonksiyonu yardımıyla elde
edilebilir:
y1 , y2 , ..., yn çözümlerinin Wronskiyeni
W (t, λ ) =
y1 ( t , λ )
y1′ ( t , λ )
y1( n −1) ( t , λ )
y2 ( t , λ )
y2′ ( t , λ )
...
...
...
yn ( t , λ )
yn′ ( t , λ )
y2( n −1) ( t , λ ) ... yn ( n −1) ( t , λ )
olmak üzere Ly = λ y denklemine ilişkin tek yanlı Green Fonksiyonu
50
y1 ( x, λ )
y1 ( t , λ )
y1′ ( t , λ )
.
( −1)
H ( x, t , λ ) =
p0 ( t ) W ( t , λ )
n −1
( n −2)
1
y
(t, λ )
y2 ( x , λ )
y2 ( t , λ )
y2′ ( t , λ )
.
y
( n − 2)
2
(t, λ )
...
...
...
...
yn ( x , λ )
yn ( t , λ )
yn′ ( t , λ )
... y
( n − 2)
n
.
(t, λ )
dir. g ( x, t , λ ) fonksiyonu
⎧ 1
⎪⎪ 2 H ( x, t , λ ) , t < x
g ( x, t , λ ) = ⎨
⎪ − 1 H ( x, t , λ ) , t > x
⎪⎩ 2
şeklinde tanımlanmak üzere Eş. 3.44 problemine ilişkin Green Fonksiyonu
G ( x, t , λ ) =
1
D (λ )
g ( x, t , λ )
U1 ( g )
U2 ( g )
Un ( g )
y1 ( x, λ )
U1 ( y1 )
y2 ( x, λ ) ... yn ( x, λ )
U1 ( y2 ) ... U1 ( yn )
U n ( y1 )
...
...
...
U 2 ( y1 )
U 2 ( y2 )
U n ( y2 )
U 2 ( yn )
U n ( yn )
dir. Buradan Eş. 3.43 probleminin tek çözümü
b
y ( x ) = ∫ G ( x, t , λ ) f ( t ) dt
a
şeklindedir.
H ( x, t , λ ) ve G ( x, t , λ ) fonksiyonları, aşağıdaki uyarıları sağlarlar:
51
Uyarı 3.1.
H ( x, t , λ ) fonksiyonu ve 1 ≤ k ≤ n için
∂k
H ( x, t , λ ) türevleri [ a, b ] aralığındaki x , t ve her λ için ( x, t , λ ) üçlüsünün
∂x k
sürekli fonksiyonlarıdır.
Uyarı 3.2.
∂k
G ( x, t , λ ) türevleri k = 0, 1, 2, ..., n − 2 a ≤ x , t ≤ b aralığındaki her x , t ve Eş.
∂x k
3.44 ün bir özdeğeri olmayan λ değeri için ( x, t , λ ) nın sürekli fonksiyonlarıdır.
Örnek 3.9.
Ly ≡ x 2 y′′ + xy′ = λ y + 2 x
U1 ( y ) ≡ y′ (1) = 0
U 2 ( y ) ≡ y ( 2) = 0
problemini ele alalım.
Ly = λ y denkleminin lineer bağımsız çözümleri
y1 = x
λ
ve y2 = x −
λ
dir. Buradan
U1 ( y1 ) = λ , U1 ( y2 ) = − λ , U 2 ( y1 ) = 2 λ , U 2 ( y2 ) = 2−
λ
52
olup
D (λ ) =
λ
− λ
λ
− λ
2
2
= λ 2−
λ
+ λ 2 λ.
D ( λ ) yı sıfır yapan λ = 0 incelenirse homojen problemin bir özdeğeri olmadığı
görülür. O halde x ∈ [1, 2] için homojen olmayan problemin bir tek çözümü vardır.
Şimdi bu çözümü Green Fonksiyonu yardımıyla bulalım:
⎛⎛ x ⎞
⎜⎜ ⎟
H ( x, t , λ ) =
2 λ t ⎜⎝ ⎝ t ⎠
1
λ
λ
⎛t⎞
−⎜ ⎟
⎝ x⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
Ve
⎧ 1 ⎛⎛ x ⎞
⎪
⎜⎜ ⎟
⎪⎪ 4 λ t ⎝⎜ ⎝ t ⎠
g ( x, t , λ ) = ⎨
⎪ −1 ⎛ ⎛ x ⎞
⎜
⎪
⎜ ⎜⎝ t ⎟⎠
λ
4
t
⎪⎩
⎝
λ
λ
⎞
⎟, t < x
⎟
⎠
λ
⎛t⎞ ⎞
− ⎜ ⎟ ⎟, t > x
⎝ x ⎠ ⎟⎠
⎛t⎞
−⎜ ⎟
⎝ x⎠
olduğuna göre
(
U1 ( g ) = −
1 −
t
4t
U2 ( g ) = −
⎛⎛ 2 ⎞
⎜⎜ ⎟
4 λ t ⎜⎝ ⎝ t ⎠
1
λ
+t
λ
)
λ
⎛t⎞
−⎜ ⎟
⎝2⎠
dır. Buradan Green Fonksiyonu
λ
⎞
⎟
⎟
⎠
λ
53
g ( x, t , λ ) y1 ( x, t )
G ( x, t , λ ) =
U1 ( g )
U1 ( y1 )
D (λ )
U 2 ( g ) U 2 ( y1 )
y2 ( x , λ )
U 1 ( y2 )
U 2 ( y2 )
1
((
((
)
(
)
(
) )
⎧ 1
λ − λ
− λ
λ
− λ
+ x λ 2− λ − x − λ 2 λ t λ , t < x
⎪ 2tD ( λ ) x 2 − x 2 t
⎪
G ( x, t , λ ) = ⎨
⎪ 1
− x λ 2 λ − x − λ 2 λ t − λ + x − λ 2− λ + x λ 2− λ t λ , t > x
⎪⎩ 2tD ( λ )
) )
şeklindedir. Böylece verilen problemin çözümü λ ≠ 1 için
2
y ( x ) = ∫ G ( x, t , λ ) f ( t ) dt
1
(
)
⎛
2− λ + 2 λ
2 ⎜
=
x−
x
1− λ ⎜
λ 2− λ + 2 λ
⎝
(
biçiminde elde edilir [9].
)
(2
λ (2
− λ
λ
+
−2 λ
− λ
)
+2 λ
)
x−
λ
⎞
⎟
⎟
⎠
54
4. ZAMANDAN BAĞIMSIZ PROBLEMLERE İLİŞKİN GREEN
FONKSİYONU
4.1. Bir Boyutlu Isı Denklemine İlişkin Green Fonksiyonu
Bu kesimde basit yapılarından dolayı önce kaynak içermeyen ve homojen sınır
koşullarına sahip bir boyutlu ısı denklemine ilişkin problemi göz önüne alacağız.
Daha sonra kaynaklı Isı denklemi üzerinde duracağız. Her bir problem için Green
Fonksiyonu elde etmeye çalışacağız.
Kaynaklı Laplace denklemine ilşkin problemler ve diğer zamana bağlı problemler
için Green fonksiyonunun elde edilmesi daha karmaşık olduğu için üzerinde
durulmayacaktır [2,11].
Kaynak içermeyen ve homojen sınır koşullarına sahip bir boyutlu ısı denklemine
ilişkin
∂u
∂ 2u
=k 2
∂t
∂x
u ( 0, t ) = 0
u ( L, t ) = 0
u ( x, 0 ) = g ( x )
problemini göz önüne alalım. Değişkenlerine ayırma metodu kullanılırsa ve ilgili
koşullar uygulanırsa, an ler Fourier sinüs serisinin katsayıları olmak üzere
∞
u ( x, t ) = ∑ an sin
n =1
dır.
nπ x − k ( nπ / L )2 t
e
L
(4.1)
55
Burada
∞
g ( x ) = ∑ an sin
n =1
nπ x
L
(4.2)
olmak üzere
2
nπ x
g ( x ) sin
dx
∫
L0
L
L
an =
(4.3)
dir. Bu çözümün sınır şartlarını sağladığı kolaylıkla görülür. an in yukarıdaki değeri
seride yerine konularak, gerekli düzenlemeler yapıldığında ve geçici bir x0 değişkeni
göz önüne alındığında
nπ x0
nπ x − k ( nπ / L )2 t ⎞
⎛ ∞ 2
sin
u ( x, t ) = ∫ g ( x0 ) ⎜ ∑ sin
e
⎟ dx0
L
L
⎝ n =1 L
⎠
0
L
elde edilir.
Parantez içindeki ifade başlangıç koşulu için Etki Fonksiyonunu temsil eder ve x0
noktasındaki başlangıç sıcaklığına bağlı olarak t zamanda x konumundaki sıcaklığı
ifade eder. Bu sonucu ele almadan önce kaynakları içeren daha genel bir ısı denklemi
için benzer bir analiz yapmak yararlıdır. Homojen denklemin sınır şartları aynı
kalmak üzere homojen olmayan aşağıdaki problemi göz önüne alalım;
∂u
∂ 2u
= k 2 + Ψ ( x, t )
∂t
∂x
u ( 0, t ) = 0
u ( L, t ) = 0
u ( x, 0 ) = g ( x ) .
56
Fiziksel olarak bu problem, bir sicimi hareket ettiren bir dış kuvvetin mevcut
olduğunu ve sicimin denge konumundan (başlangıç konumu ve başlangıç hızı sıfır)
dış kuvvetin etkisinde kalarak hareketi olarak da yorumlanabilir. Şimdi an ( t ) ler
belirlemek üzere problemin
nπ x
L
∞
u ( x, t ) = ∑ an ( t ) sin
n =1
(4.4)
Formunda bir çözümünü arayalım.
sin
nπ x
ve u ( x, t ) aynı homojen sınır şartlarını sağladığından bu Fourier sinüs
L
serisi terim terime diferensiyellenebilir. Böylece an ( t ) çözümleri birinci basamaktan
2
L
dan
2
nπ x
⎛ nπ ⎞
a
q
t
dx.
+k⎜
=
=
Ψ ( x, t ) sin
(
)
n
⎟ n
∫
dt
L0
L
⎝ L ⎠
(4.5)
diferensiyel denklemini sağlar. Burada qn ( t ) fonksiyonları
∞
Ψ ( x, t ) = ∑ qn ( t ) sin
n =1
nπ x
L
(4.6)
Fourier sinüs serisinin katsayılarıdır. Eş. 4.5 in çözümü
an ( t ) = an ( 0 ) e
− k ( nπ / L ) t
2
+e
− k ( nπ / L ) t
2
t
k ( nπ / L ) t0
dt0
∫ qn ( t0 ) e
2
(4.7)
0
dır.
∞
g ( x ) = ∑ an ( 0 ) sin
n =1
nπ x
L
(4.8)
57
ve
an ( 0 ) =
2
nπ x
g ( x ) sin
dx
∫
L0
L
L
(4.9)
olmak üzere an ( 0 ) , u ( x, 0 ) = g ( x ) başlangıç koşulunun Fourier sinüs serisinin
katsayılarıdır.
Böylece yukarıda elde edilenler Eş. 4.4 da yerine yazılırsa
⎡⎛ 2 L
nπ x0 ⎞ − k ( nπ / L )2 t ⎤
nπ x
u ( x, t ) = ∑ ⎢⎜ ∫ g ( x0 ) sin
dx0 ⎥ sin
⎟e
L ⎠
L
n =1 ⎣
⎢⎝ L 0
⎦⎥
∞
⎡
∞
t
⎛2
nπ x
Ψ ( x , t ) sin
∫
L
⎝L
+ ∑ ⎢e − k ( nπ / L ) t ∫ ⎜
n =1
⎣⎢
2
0
L
0
0
0
0
2
⎤
⎞
nπ x
dx0 ⎟ e k ( nπ / L ) t0 dt0 ⎥ sin
L
⎠
⎦⎥
gerekli düzenlemeler yapılırsa
nπ x0
nπ x − k ( nπ / L )2 t ⎤
⎡∞ 2
sin
u ( x, t ) = ∫ g ( x0 ) ⎢ ∑ sin
e
⎥ dx0
L
L
⎣ n =1 L
⎦
0
L
nπ x0
nπ x − k ( nπ / L )2 ( t −t0 ) ⎤
⎡∞ 2
x
t
e
+ ∫ ∫ Ψ ( 0, 0 ) ⎢ ∑ sin
sin
⎥dt0 dx0
L
L
L
1
=
n
⎣
⎦
0 0
L t
elde edilir. Burada
∞
nπ x0
2
nπ x − k ( nπ / L )2 ( t −t0 )
sin
G ( x, t ; x0 , t0 ) = ∑ sin
e
L
L
n =1 L
(4.10)
ifadesine Green Fonksiyonu denir. Bu fonksiyon yardımı ile kaynak içeren ısı
denklemine ilişkin problemin çözümü
58
L
L t
0
0 0
u ( x, t ) = ∫ g ( x0 ) G ( x, t ; x0 , 0 )dx0 + ∫ ∫ Ψ ( x0, t0 ) G ( x, t ; x0 , t0 ) dt0 dx0
dır.
t0 = 0 anında Green Fonksiyonu G ( x, t ; x0 , 0 ) t zamanda ve x konumunda sıcaklık
üzerinde
x0
noktasındaki başlangıç sıcaklığının etkisini gösterir. İlaveten
G ( x, t ; x0 , t0 ) t0 zamanda x0 konumunda ψ ( x0 , t0 ) etki teriminin t zamanında ve
x konumundaki sıcaklık üzerine etkisini de gösterir.
Kararlı-durum ısı denklemine ilişkin kaynak fonksiyonu zamandan bağımsız olan
(ψ ( x, t ) = ψ ( x ) )
0=k
d 2u
+ψ ( x )
dx 2
problemini ele alalım. Bu durumda f ( x ) = −
d 2u
= f ( x)
dx 2
(4.11)
ψ ( x)
k
olmak üzere
(4.12)
denklemine ilişkin sınır koşulları
u ( 0 ) = 0 ve u ( L ) = 0
(4.13)
olsun.
Daha önceki kesimlerde olduğu gibi hareket edilirse, yukarıdaki problemin çözümü
59
L
L
⎛t
⎞
u ( x, t ) = ∫ g ( x0 )G ( x, t ; x0 , 0 ) dx0 + ∫ −kf ( x0 ) ⎜ ∫ G ( x, t ; x0 , t0 ) dt0 ⎟ dx0
0
0
⎝0
⎠
(4.14)
dır.
Eş. 4.12, Eş. 4.13 probleminin çözümü
L
u ( x, t ) → u ( x ) = ∫ f ( x0 ) G ( x, x0 )dx0
(4.15)
0
dır. Burada G
∞
G ( x, x0 ) = −∑
n =1
2
L
sin
nπ x0
nπ x
sin
L
L
2
⎛ nπ ⎞
⎜
⎟
⎝ L ⎠
(4.16)
dır.
ψ ( x ) = − k f ( x ) olmak üzere zamana bağlı problemin t → ∞ iken limitini alarak
kararlı-durum sıcaklık dağılımı u ( x ) elde edilir.
Kararlı-durum ısı denklemi için Eş. 4.16 ve Eş. 3.10 olmak üzere iki Green
fonksiyonu belirledik. Birbirlerinden farklı görünmelerine rağmen tamamen aynı
oldukları görülür. Özel olarak; Eş. 3.10 fonksiyonunun Fourier sinüs açılımının Eş.
4.16 fonksiyonu olduğu gösterilir;
∞
G ( x, x0 ) = ∑ bk sin
k =1
nπ x
L
olmak üzere Fourier sinüs serisinin bk katsayıları;
60
x
2
nπ x
2 0
nπ x
2
nπ x
bk = ∫ G ( x, x0 ) sin
dx = ∫ G ( x, x0 ) sin
dx + ∫ G ( x, x0 ) sin
dx
L0
L
L0
L
L x0
L
L
L
x ( L − x)
2 0 x ( L − x0 )
2
nπ x
nπ x
= ∫−
sin
sin
dx + ∫ − 0
dx
L0
L
L
L x0
L
L
x
L
x
xx
xx
2 0
nπ x
2
nπ x
= ∫ (− x + 0 ) sin
dx + ∫ (− x0 + 0 ) sin
dx
L0
L
L
L x0
L
L
L
x
2 0
nπ x
2
= − ∫ x sin
dx + 2
L0
L
L
x0
∫ x sin
0
2x
2x
nπ x
nπ x
dx + 20
dx − 0 ∫ sin
L x0
L
L
L
L
L
∫ x sin
x0
nπ x
dx
L
x0
x0
2
2
2 x0 ⎡ L
2⎡ L
nπ x ⎛ L ⎞
nπ x ⎤
nπ x ⎛ L ⎞
nπ x ⎤
= − ⎢−
+⎜
+⎜
x cos
x cos
⎥ + 2 ⎢−
⎥
⎟ sin
⎟ sin
L ⎢⎣ nπ
L ⎝ nπ ⎠
L ⎥⎦
L ⎢⎣ nπ
L ⎝ nπ ⎠
L ⎥⎦
0
0
2x
+ 0
nπ
L
2
L
2 x0 ⎡ L
nπ x ⎤
nπ x ⎛ L ⎞
nπ x ⎤
⎡ L
−
+
−
+
cos
x
cos
sin
⎢
⎥
⎜
⎟
2
⎢⎣ nπ
L ⎥⎦ x0 L ⎢⎣ nπ
L ⎝ nπ ⎠
L ⎥⎦
x0
2
2
nπ x0 ⎛ L ⎞
nπ x0 ⎤ 2 x0 ⎡ L
nπ x0 ⎛ L ⎞
nπ x0 ⎤
2⎡ L
−
+
+
−
+
x
cos
sin
x
cos
⎢
⎥
⎥
0
0
⎜
⎟
⎜
⎟ sin
2 ⎢
L ⎢⎣ nπ
L
L ⎥⎦ L ⎢⎣ nπ
L
L ⎥⎦
⎝ nπ ⎠
⎝ nπ ⎠
2
2 x0 ⎡
nπ x0 ⎤ 2 x0 ⎡ L2
Lx0
nπ x0 ⎛ L ⎞
nπ x0 ⎤
n
n
1
cos
1
cos
sin
+
−
−
+
−
+
−
(
)
(
)
⎢
⎥
⎜
⎟
nπ ⎢⎣
L ⎥⎦ L2 ⎣⎢ nπ
nπ
L
L ⎦⎥
⎝ nπ ⎠
=−
2
=
nπ x0 2 x0 2
nπ x0
2 x0
nπ x0
2 x0
nπ x0 2 ⎛ L ⎞
−
+
cos
sin
cos
sin
− ⎜
⎟
2
L
Lnπ
L
(nπ )
L
nπ
L
L ⎝ nπ ⎠
2
2x
2x
nπ x0 2 x0
2x
nπ x
2x
nπ x
n
n
+ 0 ( −1) − 0 cos
−
( −1) + 0 cos 0 − 0 2 sin 0
(nπ )
nπ
nπ
L
nπ
Lnπ
L
L
2
nπ x0
2⎛ L ⎞
=− ⎜
⎟ sin
L ⎝ nπ ⎠
L
bulunur. bk katsayıları Fourier serisinde yerine yazılırsa
2
nπ x0
2⎛ L ⎞
nπ x
sin
G ( x, x0 ) = −∑ ⎜
⎟ sin
L
L
n =1 L ⎝ nπ ⎠
∞
elde edilir.
61
4.2. Green Fonksiyonu İçin Özfonksiyon Açılımı Yöntemi
Bu kesimda homojen olmayan diferensiyel denklemlerden olan Strum-Liouville
denkleminin genel bir biçimine özfonksiyon açılımı yönteminin nasıl uygulanacağı
üzerinde durulacaktır.
L (u ) = f ( x )
(4.17)
denklemi ve homojen sınır koşulları göz önüne alalım. Bu probleme ilişkin özdeğer
problemi
L (φ ) = −λσφ
(4.18)
aynı homojen sınır şartları ile verilsin. Burada σ ağırlığı sabit olarak seçilir. Eş. 4.17
probleminin çözümü,
∞
u ( x ) = ∑ anφn ( x )
(4.19)
n =1
özfonksiyonların genelleştirilmiş bir Fourier Serisi gibi araştırılarak çözülür. φn ( x )
ve u(x) aynı homojen sınır koşullarını sağladığı için, her iki tarafın terim terime
türevi alınır
∞
∞
n =1
n =1
∑ an L (φn ) = −∑ anλnσφn = f ( x ) .
σ ağırlığı ile özfonksiyonların ortogonalligi göz önüne alınırsa
62
b
∫ f ( x ) φ dx
n
− an λn =
a
b
∫φ
(4.20)
σ dx
2
n
a
elde edilir.
Böylece gerekli düzenlemeler yapıldığında Homojen olmayan diferensiyel
denklemler için sınır değer probleminin çözümü
b
∞
a
n =1
u ( x ) = ∫ f ( x0 ) ∑
φn ( x ) φn ( x0 )
b
−λn ∫ φn σ dx
dx0
(4.21)
2
a
dır. Bu problemde Green Fonksiyonu, özfonksiyonların terimleri ile
∞
G ( x, x0 ) = ∑
n =1
φn ( x ) φn ( x0 )
b
(4.22)
−λn ∫ φn σ dx
2
a
şeklinde ifade edilir. λn özdeğerlerinin paydada oluşu önemlidir. Özdeğerlerden biri
sıfır ise Green fonksiyonu yoktur. Bu durum daha sonra incelenecektir. Bu kısımda
bütün λn özdeğerler sıfırdan farklı alınsın.
Örnek 4.1.
d 2u
= f ( x)
dx 2
u ( 0) = 0
u ( L) = 0
sınır değer problemi ile ilgili özdeğer problemi
63
d 2φ
= −λφ
dx 2
φ ( 0) = 0
φ ( L) = 0
olmak üzere, özdeğerler n = 1, 2,3,... için λn = ( nπ / L ) ve bu değerlere karşılık
2
gelen özfonksiyonlar ise sin ( nπ x / L ) dir. u ( x ) in Fourier sinüs serileri Eş. 4.19 de
belirtildiği gibidir. Özel olarak;
L
u ( x ) = ∫ f ( x0 ) G ( x, x0 )dx0
0
dir. Burada Green Fonksiyonunun Fourier sinüs serileri Eş. 4.22 den
2 ∞
G ( x, x0 ) = − ∑
L n =1
sin
nπ x0
nπ x
sin
L
L
2
⎛ nπ ⎞
⎜
⎟
⎝ L ⎠
dir. Bu ise zamana bağlı problemin t → ∞ iken limiti alınarak elde edilen Eş. 4.16
ile aynıdır.
Daha önceki kısımlarda Green Fonksiyonunun farklı durumlarını ele aldık. Green
fonksiyonu x noktasındaki çözümde kaynağın her x0 konumundaki etkisini gösterir.
f ( x ) kaynağı, sistemin bütün noktalarında bir kuvvetini gösterir.
4.3. Fredholm Alternatifi ve Değiştirilmiş Green Fonksiyonu
Eğer λ = 0 bir özdeğer ise Green Fonksiyonu yoktur. Bunun zorluğunu anlamak için
homojen olmayan ve aynı sınır koşulları ile verilen
64
L (u ) = f ( x )
(4.23)
problemini tekrar ele alalım. Özfonksiyon açılım yönteminden
b
∫ f ( x ) φ ( x ) dx
n
− an λn =
a
b
∫φ
n
(4.24)
σ dx
2
a
yerine yazılırsa önceki kısımlarda
∞
u = ∑ anφn ( x )
(4.25)
n =1
elde edildi.
Eğer λn = 0 ise homojen olmayan sınır değer probleminin hiç çözümü olmayabilir.
Özellikle, λn = 0 a karşılık gelen özfonksiyon için
b
∫ f ( x ) φ ( x )dx ≠ 0
n
a
ise λn = 0 özdeğerine karşılık gelen özfonksiyon Eş. 4.24 denklemi sağlanmaz.
Örnek 4.2.
d 2u
= ex
2
dx
du ( 0 )
=0
dx
du ( L )
=0
dx
(4.26)
65
sınır değer problemini ele alalım. Eş. 4.26 problemini integral alarak çözmeye
çalışırsak
du
= ex + c
dx
elde edilir. Sınır şartları uygulandığında
0 = 1+ c
0 = eL + c
bulunur ki, bu bir çelişkidir. λ = 0 , ilgili özdeğer problemi için bir özdeğer
olduğunda homojen olmayan bir sınır değer problemi için herhangi çözümlerin
olduğunu garanti etmez (
dφn ( 0 )
dφn ( L )
d 2φn 2
= −λnφn ;
= 0,
= 0 ).
2
dx
dx
dx
Bu örnekte fiziksel bir açıdan bakıldığında denge sıcaklık dağıtımını araştırıyoruz.
Kaynaklar ve sınır koşulları yalıtılmış biçimde olduğunda termal enerjinin net girdisi
yok ise bir denge sıcaklığının var olabileceğini biliyoruz [10]. Yani;
L
∫ e dx = 0
x
0
dır. Termal enerji sürekli hareket halinde olduğu için denge yoktur ( 0 =
d 2u x
− e ).
dx 2
Sıfır Özdeğer: Eğer λ = 0 bir özdeğer ise homojen sınır koşulları ile verilen
L (u ) = f ( x )
(4.27)
66
probleminin çözümünde oluşabilecek zorluklar gösterilebilir. Aynı homojen sınır
koşulları ile verilen φn özfonksiyonları
L (φn ) = −λnσφn
sağlar.
Böylece λ = 0 bir özdeğer ise, bu özdeğere karşılık gelen φh ( x ) özfonksiyonu aynı
homojen sınır koşulları ile birlikte
L ( φh ) = 0
(4.28)
denklemini sağlar. Böylece φh ( x ) , Eş. 4.27 probleminin aşikar olmayan bir homojen
çözümüdür. Aynı homojen sınır koşulları ile çözülen Eş. 4.27 probleminin aşikar
olmayan çözümlerini bulmak ile sıfır özdeğeri karşılık gelen özfonksiyonları denktir.
Eğer aşikar olmayan çözümler yok ise λ = 0 bir özdeğer değildir. Eğer aşikar
olmayan çözümler varsa λ = 0 bir özdeğerdir.
Bir homojen çözüm kavramı, bir sıfır özdeğerden daha kolaydır. Örneğin;
d 2φ
+ φ = ex
dx 2
φ ( 0) = 0
(4.29)
φ (π ) = 0
problemini ele alalım. φ = sin x bir homojen çözümdür. Bununla birlikte, λ = 0 bir
özdeğer olduğu konusu bir karışıklığa yol sebep verir. Eş. 4.29 problemi için özdeğer
problemi
67
d 2φ
+ φ = −λφ
dx 2
φ ( 0) = 0
φ (π ) = 0
2
d 2φ
⎛ nπ ⎞
2
+ ( λ + 1) φ = 0 şeklinde yazılır. Böylece n = 1, 2,3,... için λ + 1 = ⎜
dır.
⎟ =n
2
dx
⎝ π ⎠
bölüm olup bu durumda n = 1 için λ = 0 bir özdeğerdir.
4.4. Fredholm Alternatifi
Fredholm alternatifi homojen sınır koşulları ile verilen ve homojen olmayan
L (u ) = f ( x )
(4.30)
denklemi ve buna ilişkin homojen sınır koşullarından oluşan problem için Fredholm
alternatifi aşağıdaki gibi özetlenebilir.
λ = 0 bir özdeğer değildir yani, u = 0 homojen problemin tek bir çözümüdür.
veya
λ = 0 bir özdeğerdir. Bu durumda φh ( x ) homojen problemin aşikar olamayan
çözümleridir, öyle ki homojen olmayan problemin çözümleri yoktur veya problem
sonsuz sayıda çözüme sahip ise aşikar olmayan φh ( x ) çözümleri vardır.
φh ( x ) çözümleri aşikar olmayan homjen bir çözüm ise nasıl sonuçlar elde
edeceğimizi daha detaylı inceleyelim;
Eğer Eş. 4.24 ifadesindeki
68
b
∫ f ( x ) φ ( x )dx = 0
(4.31)
h
a
ise an sabit olduğu için, sonsuz sayıda çözüm vardır. Bu tek olmayan çözümler, bir
homojen φh ( x ) çözümün bir sabitle çarpımının toplanmasına karşılık gelir. Eş. 4.31
denklemi, ağırlık 1 alındığında etki fonksiyonu ile homojen çözümlerin ortogonal
olduğu anlamına gelir. Eğer
b
∫ f ( x ) φ ( x )dx ≠ 0
h
a
ise homojen sınır koşulları ile verilen, homojen olmayan problemin çözümü mevcut
değildir. Bu sonuçlar bir tabloda örneklenirse
Çizelge 4.1. λ Homojen sınır koşullarına göre Lu = f ( x ) çözümlerinin sayısı
b
∫ f ( x )φ ( x ) dx
n
a
=0
≠0
φh = 0 (λ ≠ 0)
1
uygulanamaz
φh ≠ 0 (λ = 0)
∞
0
Fredholm alternatifi farklı bir şekilde ifade edilirse; etki fonksiyonu bütün çözümlerle
ortogonal ise homojen sınır koşulları ile verilen Eş. 4.30 homojen olmayan
problemin çözümleri vardır. Eğer u = 0 tek homojen çözüm ise f ( x ) otomatik
olarak ortogonaldir ve bir çözümün olduğuna dikkat edilmelidir.
Fredholm alternatifinin bir kısmı özfonksiyon açılım yöntemi kullanılmadan
gösterilir. Homojen olmayan problem bir çözüme sahip ise
69
L (u ) = f ( x )
dir. Tüm homojen φh ( x ) çözümleri
L ( φh ) = 0
ı sağlar. Green formülünde v = φh alınırsa,
b
∫ ⎡⎣u.0 − φh . f ( x )⎤⎦dx = 0
b
∫ f ( x ) φ ( x ) dx = 0
veya
h
a
a
elde edilir.
Örnekler 4.3.
d 2u
= ex
dx 2
du ( 0 )
=0
dx
du ( L )
=0
dx
(4.32)
problemi ele alınırsa, u = 1 bir çözümdür. Fredholm alternatifine göre, e x ile bu
L
çözüm ortogonal ise çözüm vardır.
∫ e .1 dx ≠ 0
x
0
çözümü mevcut değildir.
olduğundan Eş. 4.32 probleminin
70
Diğer bir örnek;
d 2u
+ 2u = e x
2
dx
u ( 0) = 0
u (π ) = 0
problemi göz önüne alınırsa, bu problemin u = 0 dan farklı bir çözüme sahip
olmadığı için Fredholm alternatifi bir tek çözüm olduğunu ifade eder. Ancak, bu
çözümü belirlemek için, belirsiz katsayılar, parametrelerin değişimi veya
özfonksiyon açılımı ( sin nx kullanarak) gibi yöntemler kullanılmalıdır.
Son olarak;
2
d 2u ⎛ π ⎞
+⎜ ⎟ u = β + x
dx 2 ⎝ L ⎠
u ( 0) = 0
u ( L) = 0
problemini ele alalım.
u = sin
πx
L
homojen problemin bir çözümüdür. Eğer eşitliğin sağ tarafı sin
πx
ortogonal yani
L
0 = ∫ ( β + x ) sin
0
πx
L
dx
ise homojen olmayan problem bir çözüme sahiptir. Bu bir çözümün varlığı için
sadece β nın değerini bulmada kullanılır.
L
ile
71
L
β=
− ∫ x sin
0
L
∫ sin
0
πx
L
πx
L
dx
dx
=
L
2
dır.
Ancak, u ( x ) çözümünü elde etmek için Fredholm alternatifi kullanılmaz.
4.5. Değiştirilmiş Green Fonksiyonları
Bu kısımda, λ = 0 bir özdeğer olduğunda homojen sınır koşulları ile verilen
L (u ) = f ( x )
(4.33)
problemini ele alalım. Eğer bu problemin bir çözümü varsa değiştirilmiş bir Green
fonksiyonu inşa ederek problemin bir özel çözümü bulunur.
Eğer λ = 0 bir özdeğer değil ise homojen sınır koşulları ile verilen Eş. 4.33 homojen
olmayan sınır değer probleminin bir tek çözümü vardır. Bir önceki kısımda aynı
homojen sınır koşullarına sahip
L ⎡⎣G ( x, x0 ) ⎤⎦ = δ ( x − x0 )
(4.34)
ı sağlayan bir G ( x, x0 ) Green fonksiyonu kullanılarak çözüm gösterilir.
Şimdi, λ = 0 bir özdeğer olduğu durumu inceleyelim; Eş. 4.33 probleminin aşikar
olmayan çözümleri φh ( x ) olmak üzere L (φh ) = 0 dır. Eş. 4.33 probleminin
çözümlerinin var olduğunu yani,
72
b
∫ f ( x ) φ ( x ) dx = 0
(4.35)
n
a
sağladığı varsayılsın.
Ancak, Eş. 4.34 da tanımlanan Green Fonksiyonu bütün x0 değerleri için mevcut
değildir. Çünkü δ ( x − x0 ) , bütün x0 değerleri için homojen problemin çözümleri ile
ortogonal değildir.
b
∫ δ ( x − x ) φ ( x ) dx =φ ( x ) ≡/ 0
0
h
h
0
a
dır. Bu durumda, bir çözüme sahip olan basit bir karşılaştırma problemini
tanımlamaya ihtiyaç vardır. Ancak, bu fonksiyon ile φh ( x ) ortogonal alacak şekilde
c seçilir ise Forcing Fonksiyon
δ ( x − x0 ) + cφh ( x )
için bir çözüm vardır. Yani;
b
0 = ∫ φh ( x ) ⎡⎣δ ( x − x0 ) + cφh ( x ) ⎤⎦ dx
a
b
= φh ( x0 ) + c ∫ φh 2 ( x )dx
a
dır.
Böylece; aynı homojen sınır koşulları ile verilen ve
73
L ⎡⎣Gm ( x, x0 ) ⎤⎦ = δ ( x − x0 ) −
φh ( x ) φh ( x0 )
b
∫ φ ( x ) dx
(4.36)
2
h
a
ı sağlayan değiştirilmiş Gm ( x, x0 ) Green Fonksiyonu tanımlanır. Eş. 4.36
denkleminin sağ tarafı φh ( x ) ile ortogonal olduğu için, sonsuz sayıda çözüm vardır.
Değiştirilmiş Green Fonksiyonu simetrik
Gm ( x, x0 ) = Gm ( x0 , x )
(4.37)
seçilir.
Eğer g m ( x, x0 ) simetrik bir değiştirilmiş Green Fonksiyonu ise,
Gm ( x, x0 ) = g m ( x, x0 ) + βφh ( x0 ) φh ( x )
fonksiyonu da simetrik değiştirilmiş bir Green Fonksiyonudur. Burada β , x ve x0
dan bağımsız keyfi bir sabittir. Böylece sonsuz sayıda simetrik değiştirilmiş Green
fonksiyonu vardır. Bunlardan herhangi birini kullanabiliriz.
Green formülü, değiştirilmiş Green Fonksiyonunu kullanarak u ( x ) için bir formül
oluşturmak için kullanılır. u = u ( x ) ve v = Gm ( x, x0 ) olsun.
b
∫ {u ( x ) L ⎡⎣G ( x, x )⎤⎦ − G ( x, x ) L ⎡⎣u ( x )⎤⎦}dx = 0
m
0
m
0
a
dır. Çünkü u ( x ) ve Gm ( x, x0 ) aynı sınır koşullarını sağladığı için Eş. 4.33 ve Eş.
4.36 tanımlanan diferensiyel denklemlerden
74
⎧
⎫
⎡
⎤
⎪
⎪
⎢
⎥
b
φh ( x ) φh ( x0 ) ⎥
⎪
⎪
⎢
− Gm ( x, x0 ) f ( x ) ⎬dx = 0
∫a ⎨u ( x ) ⎢δ ( x − x0 ) − b 2
⎥
⎪
⎪
φ
x
d
x
⎢
⎥
h
∫
⎪
⎪
a
⎣
⎦
⎩
⎭
()
dır.
Dirac-Delta Fonksiyonunun temel özelliği ve Gm ( x, x0 ) Fonksiyonunun simetrikliği
kullanılarak gerekli işlemler yapılırsa
φh ( x )
b
u ( x ) = ∫ f ( x0 ) Gm ( x, x0 ) dx0 +
a
b
∫φ ( x) d x
h
b
∫ u ( x ) φ ( x ) dx
0
h
0
0
a
a
elde edilir. Son ifade homojen çözümün bir katıdır. Böylece Eş. 4.33 probleminin
özel bir çözümü;
b
u ( x ) = ∫ f ( x0 ) Gm ( x, x0 ) dx0
(4.38)
a
dır.
Örnek 4.4.
Aşikar olmayan bir çözüme sahip bir problemin en basit örneği
d 2u
= f ( x)
dx 2
(4.51)
du ( 0 )
=0
dx
du ( L )
=0
dx
(4.52)
75
L
dır. Fredholm alternatifine göre, bir çözümün var olması için
∫ f ( x ) dx = 0
0
f ( x ) fonksiyonunun bu tip olduğunu düşünelim ( f ( x ) = x −
olmalıdır.
L
).
2
Değiştirilmiş Green Fonksiyonu Gm ( x, x0 ) öz fonksiyonu bir sabit olduğundan
d 2Gm
= δ ( x − x0 ) + c
dx 2
(4.53)
dGm ( 0 )
=0
dx
dGm ( L )
=0
dx
(4.54)
ı sağlar. Değiştirilmiş Green Fonksiyonunun var olması için, homojen çözümler ile
etki fonksiyonu ortogonal olmalıdır. Yani;
L
∫ ⎡⎣δ ( x − x ) + c ⎤⎦ dx = 0
0
0
veya c = −
1
L
sağlanmalıdır. Eş. 4.48 i çözmek için Dirac-Delta fonksiyonunun özellikleri
kullanılır. x ≠ x0 için
d 2Gm
1
=−
2
dx
L
dır. İntegral sabitleri x = 0 ve x = L deki sınır şartlarını sağlayacak şekilde seçilmek
üzere integral alınırsa
76
⎧ x
x < x0
− ,
dGm ⎪⎪ L
=⎨
dx ⎪ x
− + 1, x > x0
⎪⎩ L
(4.55)
elde edilir.
Gm ( x, x0 )
dG
fonksiyonunun türevi için sıçrama şartı ( m
dx
x0+
= 1 ), Eş. 4.53 integrali ile
x0−
belirlenir ve Eş. 4.55 şartını sağlar.
Gm ( x, x0 ) Fonksiyonunun x = x0 noktasında sürekli olduğunu varsayıp tekrar
integral alınırsa
⎧ 1
⎪⎪−
L
Gm ( x, x0 ) = ⎨
⎪− 1
⎪⎩ L
x2
+ x0 + c ( x0 ), x < x0
2
x2
+ x + c ( x0 ), x > x0
2
elde edilir.
c ( x0 ) , x0 a bağlı keyfi bir ilave sabittir ve homojen çözümün bir sabit ile çarpımına
karşılık gelir. Bu, bütün olası değiştirilmiş Green Fonksiyonlarının bir temsilidir.
Genelde Gm ( x, x0 ) fonksiyonunun simetrik olması istenir. Örneğin,
x < x0 için Gm ( x, x0 ) = Gm ( x0 , x ) , β keyfi bir sabit olmak üzere
−
1 x0 2
1 x2
+ x0 + c ( x ) = −
+ x0 + c ( x0 )
L 2
L 2
77
veya
1 x0 2
c ( x0 ) = −
+β
L 2
yı sağlar. Eş. 4.51 ve Eş. 4.52 in bir çözümü yukarıda verilen Gm ( x, x0 ) a sahip Eş.
4.50 dir [2].
78
KAYNAKLAR
1. Duffy, D. G.,’’Green’s Functions With Applications’’, C.H., USA, 1–3 (2001).
2. Haberman, R.,’’Elemantary Applied Partial Differential Equations With Fourier
Series and Boundary Value Problems.’’, P.H, New Jersey, 277-307 (1987)
3. Bugl, P., ’’Differential Equations Matrices and Models,
Unıversity, 218-416 (1995)
‘’P.H., Hartford
4. Tyn, M., “Partial Differential Equations Of Mathematical Pyhsics’’, A.E, New
York, 43-58 (1973)
5. Naimark, M. A, “Linear Differential Operators’’, F.U, New York 43-58 (1967)
6. Miller, K.S., “Linear Differential Equations in the Real Domain’’, W.W. Norton
and Company, New York, 37-69 (1986)
7. İnce, E.L., “Ordinary Differential Equations’’, D.P. Inc., U.S.A, 47-79 (1983)
8. Bronson, R., “Modern Introductory Differential Equations’’, M.H. Company Inc.,
New York, 39-65 (1963)
9. Bereketoğlu, H., “Diferensiyel Denklemlerde Matematiksel Modeller’’, Yüksek
Lisans, Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstütüsü, Ankara, 37-69 (1983)
10. Porter, D., Stirling D., “Integral Equations A Pratical Treatment,From Spectral
Theory To Applications ’’, Cambridge University Press., 61-65 (1990)
11. Anar İ.E., “Kısmi Diferensiyel Denklemler’’, M.H. Palme yayıncılık, Ankara,
252-256 (2005)
79
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, Adı
: KARAAĞAÇ, Berat
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri
: 14.11.1983
Medeni hali
: Bekar
Malatya
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Mezuniyet tarihi
Yüksek lisans
Gazi Üniversitesi /Matematik Bölümü
2010
Lisans
İnönü Üniversitesi/ Matematik Bölümü
2006
Lise
Orgeneral Eşref Bitlis Süper Lisesi
2001
Yabancı Dil
İngilizce