ÝNTEGRAL Belirli Ýntegral Konu Özeti y = f(x) eğrisinin alt kısmında oluşan n tane dikdörtge- Alt Toplam, Üst Toplam ve Riemann Toplamý nin alanları toplamına alt toplam denir ve AT ile gösterilir. n N+ ve a = x0 < x1 < x2 ... < xn–1 < xn = b olmak üzere, P = {x0, x1, x2, ..., xn–1, xn} sonlu kümesine [a, b] kapalı aralığının bir bölüntüsü denir. k {1, 2, ..., n} ol- AT (x1 x0).f(x0) (x2 x1).f(x1) ... (xn xn–1).f(xn–1) AT mak üzere, [xk–1 , xk ] kapalı aralıklarına da P bölüntüsü- ba n ne ait alt kapalı aralıklar denir. xk = xk – xk–1 değerine bu aralıkların uzunluğu de- n 1 f(xk ) dir. k 0 Üst Toplam nir. Her bir kapalı aralığın uzunluğu birbirine eşit ise P bö- y lüntüsüne düzgün bölüntü denir. Bu durumda her bir alt y = f(x) aralığın uzunluğu, ba olur. xk x1 x0 x2 x1 ... xn xn–1 n f: [a, b] R, sürekli bir fonksiyon olsun. P düzgün bölüntüsüne ait [xk–1 , xk ] alt aralığını alalım. Bu aralıkta fonksiyonun en küçük değeri mk ve en büyük değeri MK olsun. 0 a=x0 x1 x2 x3 ... xk1 xk y y = f(x) Mk f(rk) mk xn1 xn=b x y = f(x) eğrisinin üst kısmına taşan n tane dikdörtge- a xk1 rk xk b Bireysel Yetenek 0 ... x nin alanları toplamına üst toplam denir ve ÜT ile gösterilir. ÜT (x1 x0).f(x1) (x2 x1).f(x2) ... (xn xn–1).f(xn) ÜT ba n n f(xk ) dir. k 1 Riemann Toplamý rk [xk – 1 , xk] için, mk f(rk) Mk olacak biçimde y f(rk) değeri vardır. xk = xk – xk – 1 aralık uzunluğu yukarı- y = f(x) daki eşitsizlikle çarpılırsa, mk.xk f(rk).xk Mk.xk olur. Bu çarpımlar geometrik olarak düşünüldüğünde, taban uzunluğu xk ve sırasıyla yükseklikleri mk, f(rk) ve Mk olan dikdörtgenlerin alanları biçiminde yorumlanabilir. Alt Toplam 0 a=x0 r1 x1 r2 x2 ... xk1 rk xk ... xn1 rn xn=b y x y = f(x) y = f(x) eğrisini kesen n tane dikdörtgenin alanları toplamına Riemann Toplamı denir ve RT ile gösterilir. RT (x1 x0).f(r1) (x2 x1).f(r2) ... (xn xn–1).f(rn) ÜT 0 a=x0 x1 x2 x3 ... xk1 xk ... xn1 xn=b x ba n n f(rk ) dir. k 1 Buna göre, n N+ için, AT RT ÜT dir. 3 Belirli Ýntegral Konu Özeti Eğer bölüntü sayısı, yani n değeri giderek arttırılırsa b alt ve üst toplamların eğri altındaki alana yaklaştığı görü- 6. a lür. Riemann toplamı da alt ve üst toplamlar arasında kalarak eğri altındaki alana eşit olur. Yani n için, 7. lim A T lim R T lim Ü T dir. n n b f(x)dx f(x) dx a f(x) fonksiyonu sürekli ve tek fonksiyon ise, a n f(x)dx 0 Tanım: f, [a, b] kapalı aralığında tanımlı olmak üzere, b n a k=1 dır. a 8. If(x)dx lim f (rk).xk n f(x) fonksiyonu sürekli ve çift fonksiyon ise, a a f(x)dx 2. f(x)dx tir. a limitine f nin a dan b ye belirli integrali denir. Eğer bu 0 limit varsa, f fonksiyonu [a, b] kapalı aralığında integrallenebilir denir. Ýntegral Hesabýnýn Temel Teoremleri 1. Teorem: f : [a, b] R fonksiyonu, [a, b] aralığında Özetle Reimann toplamına belirli integral diyebiliriz. x sürekli ve F: [a, b] R fonksiyonu, F(x) Teorem: f, [a, b] kapalı aralığında integrallenebilir ise, b n a k=1 a b–a b–a If(x)dx nlim .f a k. dir. n ‰ n lim n 1 n n 1 f n f(x)dx k k 1 elde edilir. 0 şeklinde tanımlanmış olsun. Bu durumda, F(x) fonksiyonu (a, b) aralığında türevlenebilir ve x0 (a, b) Bireysel Yetenek Bu teoremde a = 0 ve b = 1 alınırsa, If(t)dt için, F '(x0) f(x0) dır. Leibniz Kuralý f(x), [a, b] aralığında sürekli, g(x) ve h(x) bu aralıkta türevlenebilen iki fonksiyon olsun. h(x) Belirli Ýntegralin Özellikleri F(x) f: [a, b] R , g: [a, b] R fonksiyonları [a, b] aralı- f(t)dt olmak üzere, g(x) ğında integrallenebilen iki fonksiyon olmak üzere, F '(x) = f • h(x)œ . h'(x) – f • g(x)œ . g'(x) tir. a 1. f(x)dx 0 2. Teorem: f: [a, b] R , sürekli bir fonksiyon olsun. a b 2. b a a b b 3. b a b 5. a If(x)dx F(x)/ F(b) – F(a) dır. a a b k.f(x)dx k. f(x)dx , k R a 4. F '(x) = f(x) olmak üzere, f(x)dx f(x)dx b Diferansiyel Kavramý a c b Tanım: y = f(x) fonksiyonu, x noktasında türevli bir f(x)dx f(x)dx f(x)dx , a < c < b a dy fonksiyon olmak üzere, f '(x) eşitliğinden elde dx c b b edilen dy = f '(x).dx ifadesine f(x) in diferansiyeli denir. a dy = d •f(x)œ = f '(x).dx tir. f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx a 4 Belirsiz Ýntegral Konu Özeti Belirsiz Ýntegral 4. e dx e 5. a dx 6. sin xdx cos x c 7. cos xdx sin x c 8. sin2 x (1 cot 9. cos2 x (1 tan 10. 1 x2 11. Tanım: Türevi f(x) veya diferansiyeli f(x) dx olan F(x) fonksiyonuna, f(x) in belirsiz integrali denir ve If(x)dx = F(x) + c , c R biçiminde gösterilir. If(x) dx = F(x) + c eşitliğinde; I işaretine, integral işareti, f (x) e integrand (integral altındaki fonksiyon), F(x) fonksiyonuna f (x) in ilkel fonksiyonu ve c ye integral sabiti denir. F(x) + c yi bulma işlemine, belirsiz integral alma işlemi (integrasyon) denir. F(x) in x e göre türevi f(x) olmak üzere, d F(x) c F '(x) f(x) tir. dx f(x) in integralini bulmak, türevi f(x) e eşit olan fonksiyonu bulmaktır. x x eşittir. 2. ' d f(x)dx f(x)dx f(x) dx Belirsiz integralin diferansiyeli, integral işaretinin al- Bireysel Yetenek Belirsiz integralin türevi, integrali alınan fonksiyona tındaki ifadeye eşittir. c ax c , a > 0 , a 1 ln a dx dx 2 x) dx cot x c 2 x) dx tan x c arctan x c1 arc cot x c 2 dx 1 x2 arcsin x c 1 arc cos x c 2 Ýntegral Alma Yöntemleri A. Deðiþken Deðiþtirme Yöntemi f(x) ve g(x) tanımlı olduğu aralıkta türevlenebilen iki fonksiyon olsun. d f(x)dx f(x)dx 3. x dx Belirsiz Ýntegralin Özellikleri 1. dx ln x c x 3. 1. Bir fonksiyonun diferansiyelinin belirsiz integrali, bu f(x).f '(x)dx integralinde, f(x) = u dönüşümü yapılır. f '(x)dx = du olur. Bu durumda, fonksiyon ile bir c sabitinin toplamına eşittir. d f(x) f '(x)dx f(x) c 4. İntegral içindeki sabit çarpan, integral dışına alınabilir. k R olmak üzere, 5. 2. k.f(x)dx k. f(x)dx f(x).f '(x)dx u.du n f(x) .f '(x)dx u2 f 2(x) c c dir. 2 2 integralinde, f(x) = u dönüşümü ya- pılır. f '(x) dx = du olur. Bu durumda, İki fonksiyonun toplamının veya farkının integrali n n f(x) .f '(x)dx u .du f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx n 1 f(x) un 1 c n 1 n 1 c bulunur. Ýntegral Alma Kurallarý 3. 1. adx a dx ax c 2. xndx , a, c R f '(x) dx integralinde, f(x) = u dönüşümü yapılır. f(x) f '(x)dx = du olur. Bu durumda, xn 1 c , n R – {–1} n 1 5 f '(x) dx f(x) du ln u c ln f(x) c bulunur. u Belirsiz Ýntegral 4. a f(x) Konu Özeti .f '(x)dx a R+ – {1} integralinde, f(x) = u döˆ nüşümü yapılır. f '(x)dx = du olur. Bu durumda, a 5. f(x) .f '(x)dx a udu au a f(x) c c dir. ln a ln a a, b R – {0} olmak üzere, f g(x).g '(x)dx integralinde, g(x) = u dönüşümü yapılır. g'(x)dx = du olur. Bu durumda, f g(x).g '(x)dx f(u)du gibi basit fonksiyon in- 6. İntegrandında sadece 2 a x 2 a x 2 , 2 x a 2 veya a x 2 dx 2 2 2 a b x 1 bx arcsin c b a m, n R , m 0 , a R+ – {1} olmak üzere, e mx n dx 1 mx n c e m a mx n dx 1 a mx n c m.ln a tegrali elde edilir. 2 x arcsin c a dx 2 köklü ifadelerinden birini bulunduran in- tegraller, trigonometrik dönüşümler yardımıyla hesaplanabilir. İntegralde a2 x 2 varsa (a > 0), x = asint dönü- m, n R , m 0 olmak üzere, 1 sin(mx n)dx m cos(mx n) c cos(mx n)dx a2 x 2 a 2 a 2 sin 2 t a | cos t | olur. İntegralde 2 x a 2 varsa x = asect dönüşümü ya- pılır. Bu durumda, dx = asect.tantdt ve Bireysel Yetenek şümü yapılır. Bu durumda, dx = acostdt ve x 2 a 2 a 2 sec 2 t a 2 a | tan t | olur. İntegralde a2 x 2 1 sin(mx n) c m B. Kýsmi (Parçalý) Ýntegrasyon Yöntemi Çarpım şeklinde olup, değişken değiştirme yöntemi uygulanamayan fonksiyonların integralinde kullanılır. u ve v türevlenebilen iki fonksiyon olmak üzere, çarpım fonksiyonunun diferansiyeli, d(u.v) = du.v + dv.u dur. Buradan, u.dv = d(u.v) – du.v yazılarak her iki tarafın integrali alınırsa varsa (a > 0), x = atant dönü- u.dv d(u.v) v.du u.dv u.v v.du şümü yapılır. Bu durumda, dx = asec2t.dt ve elde edilir. a2 x 2 a 2 a 2 tan 2 t a | sec t | olur. Genel olarak logaritmik, ters trigonometrik, polinom, trigonometrik ve üstel fonksiyonlardan herhangi ikisinin çar7. m ax b ve n ax b köklü ifadelerini bulunduran pımını bulunduran integrallerde bu sıraya göre, (LAPTÜ) önce gelen u diğeri dv olarak seçilir. integral hesabında; ekok(m, n) = k olmak üzere, ax + b = uk dönüşümü yapılır. Böylece fonksiyon Sonuç: f(x) polinom fonksiyon olmak üzere, kökten kurtarılır ve integral işlemine devam edilir. f(x).e dx f(x) f '(x) f ''(x) L.e x x c dir. Sonuçlar a, b R – {0} olmak üzere, dx a2 x 2 dx C. Basit Kesirlere Ayýrma Yöntemi 1 x arctan c a a a 2 b 2x 2 P(x) ve Q(x) ortak çarpanı olmayan iki polinom olmak üzere, 1 bx arctan c ab a P(x) Q(x) integrali payın ve paydanın derece- lerine göre farklı iki yöntemle sonuçlandırılır. 6