RASSAL SAYI ve RASSAL DEĞİŞKEN ÜRETİMİ 1. RASSAL SAYI

advertisement
RASSAL SAYI ve RASSAL DEĞİŞ
KEN ÜRETİ
DEĞİŞKEN
RETİMİ
Benzetimde rassallı
rassallık varsa, bir veya birden fazla
dağı
dağıllımdan rassal değ
değişken üretimi yapı
yapılacaktı
lacaktır. Bu
dağı
dağıllımlar, gö
gözlemden elde edilen veriye giydirilmiş
giydirilmiş
dağı
dağıllımlardı
mlardır. Yani veriye uygun dağı
dağıllımlardı
mlardır. Bu bu
dağı
nasıl üretilir? Örneğ
rneğin;
dağıllımlardan rassal değ
değişken nası
kuyruk modeli benzetiminde
¾
¾
varış
lar arası
varışlar
arası zaman aralı
aralıkları
klarının
servis sü
sürelerinin üretilmesi gerekmektedir.
Herhangi bir dağı
dağıllımdan rassal değ
değişken üretmek veya
bir rassal sü
süreç
reç için U(0,1) rassal değ
değişkenleri
gereklidir.
Rassal sayı
msıız ve gö
sayılar, birbirinden bağı
bağıms
görülme
olası
ların oluş
oluşturduğ
turduğu dizilerdir. Bu
olasılıkları
kları eşit olan sayı
sayıları
sayı
sayı dizileri eş
eşit olası
olasılık gereğ
gereği, tek biç
biçimli (uniform) bir
olası
olasılık dağı
dağıllımı gösterir.
1. RASSAL SAYI ÜRETİ
RETİMİ
1) Şans oyunları
oyunlarında olduğ
olduğu gibi zar atmak, kart çekmek, rulet
çevirme vb. el iş
işlemleriyle rassal sayı
sayı üretmek. Gerç
Gerçek anlamda
rassal sayı
sayı üretir ancak yavaş
yavaşlığı nedeniyle benzetim modellerinde
kullanı
kullanımı pratik değ
değildir.
2) Çeşitli yö
yöntemlerle önceden hazı
hazırlanmış
rlanmış olan rassal sayı
sayı
tabloları
amaçla hazı
hazırlanmış
rlanmış tablolar literatü
literatürde
tablolarını kullanmak. Bu amaç
vardı
vardır.
3) Kendi kendini yineleyen bir eş
eşitlikten, aritmetik iş
işlemlerle rassal
sayı
sayı dizileri üretmek. Bu iş
işlemler, bilgisayar aracı
aracılığı ile
yapı
yapılabileceğ
labileceğinden son derece hı
hızlı
zlı ve verimlidir. Bu yö
yöntemle belirli
bir sayı
langıç değ
değeri (seed) olarak verilir ve
sayı, aritmetik iş
işleme baş
başlangı
buna bağ
bağlı olarak bir sayı
sayı hesaplanı
hesaplanır. Hesaplanan sayı
sayı bu kez
baş
başlangı
langıç değ
değeri olarak alı
alınıp yeni bir sayı
sayı üretilir. Bö
Böylece, her
üretilen bir sayı
sayıdan yeni bir sayı
sayı üretilerek bir sayı
sayı dizisi elde edilir.
RASSAL SAYILARIN ÖZELLİ
ZELLİKLERİ
KLERİ
U1, U2, …. rassal sayı
sayılar dizisi; dü
düzgü
zgün dağ
dağlımdan gelme ve
bağı
msıızlı
bağıms
zlık olmak üzere iki istatistiksel özelliğ
zelliğe sahip olmalı
olmalıdır.
Her rassal sayı
ndaki sü
sayı Ui, 0 ve 1 aralığı
aralığındaki
sürekli dü
düzgü
zgün dağı
dağıllımdan
msıız örnektir.
alı
bağıms
alınan bir bağı
Düzgü
zgün dağı
dağıllımın OYF;
0≤ x≤1
⎧1
f(x)= ⎨
dd
⎩0
Her Ui’
Ui’nin beklenen değ
değeri;
E(U)=
1
∫ xdx =
0
x2
2
1
=
0
1
2
Varyansı
Varyansı;1
2
3 1
V(U)= ∫ x 2 dx − [E( R )]2 = x3 − ⎛⎜ 21 ⎞⎟ = 31 − 41 = 121
0
0
⎝ ⎠
Düzgü
msıızlı
zgünlü
nlük ve bağı
bağıms
zlık özelliğ
zelliğinin iki sonucu;
1) (0,1) aralığı
aralığı,, eş
eşit uzunlukta n sı
sınıfa bö
bölünürse; N; gö
gözlemlerin
toplam sayı
sayısı olmak üzere, her aralı
aralıktaki
gözlemlerin beklenen değ
değeri=
N
n
2) Bir aralı
aralıkta bir değ
değerin gö
gözlemlenme olası
olasılığı,
ığı, elde edilen bir
önceki değ
ğ
erden
bağı
ğıms
msı
ı
zdı
ı
r.
de
ba
zd
RASSAL SAYI ÜRETEÇ
RETEÇLERİ
LERİNDEN İSTENİ
STENİLEN
ÖZELLİ
ZELLİKLER
1.Rassall
1.Rassallıık: Üretilen pseudopseudo-random (sahte rassal) sayı
sayılar, gerç
gerçek
sayı
malııdır. Rassal tavı
sayılar ile aynı
aynı özellikleri taşı
taşımal
tavır, çeşitli istatistiksel
testler ile belirlenir.
2.B
pseudo-random sayı
sayı üreteç
reteçleri, deterministik
2.Büyük Periyod: Tüm pseudoformulasyonları
ndan dolayı
formulasyonların kullanı
kullanıldığı
ldığından
dolayı, her rassal sayı
sayı dizisi, kendi
kendini tekrar etmeye baş
başlayacaktı
layacaktır. Bir dizinin uzunluğ
uzunluğu (kendi
kendini tekrarlamayan) periyod olarak adlandı
adlandırılır. Bu periyodun
mümkü
mkün olduğ
olduğu kadar uzun olması
olması istenir. Pratikte, bir simü
simülasyon
çalış
masıında rassal sayı
alışmas
sayıları
ların kendini tekrar etmeyecek kadar
periyod uzunluğ
uzunluğuna sahip olması
olması istenir.
3.Yeniden
3.Yeniden Üretilebilirlik(Reproducibility):
retilebilirlik(Reproducibility): Bir simü
simülasyon programı
programının
adı
adım adı
adım çalış
alışttırılması
lmasında (debugging) ya da bir parametrik
çalış
mayıı (girdi verilerini değ
alışmay
değiştirmek) gerç
gerçekleş
ekleştirmek iç
için, her
simü
masıında rassal sayı
ların aynı
aynı sırası
rasının üretilmesi
simülasyon çalış
alışmas
sayıları
istenebilir. Diğ
Diğer durumlarda, rassal sayı
sayıları
ların farklı
farklı dizilerinin
üretilmesi istenir. Bu nedenle bir rassal sayı
sayı üreteci, analizcinin
isteğ
isteğine bağ
bağlı olarak tekrarlayan ve farklı
farklı rassal sayı
sayı dizilerini elde
etme özelliğ
zelliğine sahip olmalı
olmalıdır.
4.Hesaplama
masıında, bü
4.Hesaplama Etkinliğ
Etkinliği: Bir simü
simülasyon çalış
alışmas
büyük sayı
sayılarda
rassal sayı
ndan dolayı
sayının üretilmesine ihtiyaç
ihtiyaç olacağı
olacağından
dolayı, üreteç
reteç bu
sayı
sayıları
ları mümkü
mkün olduğ
olduğu kadar kı
kısa zamanda üretmeli ve bilgisayar
hafı
zasında çok yer kaplamamalı
kaplamamalıdır.
hafızası
RASSAL SAYI ÜRETİ
RETİM TEKNİ
TEKNİKLERİ
KLERİ
1) ORTA KARE YÖ
YÖNTEMİ
NTEMİ
Bilgisayarda aritmetik iş
işlemlerle rassal sayı
sayı üretiminde kullanı
kullanılan ilk
yöntem 1946’
1946’da Von Neumann ve Metropolis tarafı
tarafından önerilen
“ORTA KARE”
KARE” yöntemidir. Bu yö
yöntemde, (m) basamaklı
basamaklı ve genellikle
tek olan bir sayı
sayı baş
başlangı
langıç değ
değeri olarak alı
alınır. İkinci aş
aşamada, bu
sayı
sayının ortası
ortasındaki m kadar
sayının karesi alı
alınarak bulunan sayı
basamaklı
basamaklı sayı
sayı alı
alınır. Bu bir rassal sayı
sayı olarak kaydedilir. Tekrar bu
rassal sayı
sayının karesi alı
alınır ve yine ortadaki m basamaklı
basamaklı sayı
sayı bir
rassal sayı
sayı olarak kaydedilir. Bu iş
işlem, istenilen sayı
sayıda rassal sayı
sayı
elde edilinceye kadar devam eder.
dezavantajları
dezavantajları;
1) İlk sayı
sayı ve dizinin tekrar uzunluğ
uzunluğu arası
arasındaki iliş
ilişkiyi (periyod)
önceden bilmek mü
mümkü
mkün değ
değildir. Çoğu kez tekrar uzunluğ
uzunluğu kı
kısadı
sadır.
2) Elde edilen sayı
sayılar rassal olmayabilir. Yani; dizide dejenerasyon
söz konusu olabilir.
Bu metodun dezavantajları
dezavantajlarını ortadan kaldı
kaldırmak iç
için çeşitli metotlar
geliş
geliştirilmiş
tirilmiştir. Bunlar;
- Orta çarpı
arpım (midproduct) metodu,
- Sabit çarpı
arpım (constant multiplier) metodu,
- Doğ
Doğrusal eş
eşlik (congruential) metodu
2) DOĞ
DOĞRUSAL EŞ
EŞLİK YÖ
YÖNTEMİ
NTEMİ
Bu metot, 1951 yı
yılında Lehmer tarafı
tarafından önerilmiş
nerilmiştir. Doğ
Doğrusal
eşlik metodu, 0 ve mm-1 arası
arasında X1, X2, ….. tamsayı
tamsayıları
larının bir
dizisini üretir. Bu diziyi üretirken aş
aşağıdaki
ğıdaki yineleyen iliş
ilişkiyi kullanı
kullanır.
X i +1 = (aX i + c) mod(m)
(1)
X : Baş
Başlangı
langıç değ
değeri (initial seed)
a : Sabit çarpan
c : artış
artış
m : modulus
a, c, m ve Xa’
Xa’nın seç
seçimi, istatistiksel özelliklerde ve çevrim
uzunluğ
uzunluğunda (periyod) bü
büyük etkiye sahiptir. (1) eş
eşitliğ
itliğin çeşitli
varyasyonları
için en
varyasyonları, bilgisayar ortamı
ortamında rassal sayı
sayıları
ların üretimi iç
çok kullanı
kullanılan metotlardı
metotlardır.
Herhangi bir Xi değ
değeri iç
için rassal
sayı
sayı
X
Ui = i
m
RASSAL DEĞİŞ
KEN ÜRETİ
DEĞİŞKEN
RETİMİ
¾
¾
¾
Gerç
Gerçek sistemlerin tamamı
tamamının stokastik davranışı
davranışı her zaman dü
düzgü
zgün
(uniform) dağı
dağıllımla aç
açıklanamaz. Bir sistem iç
içinde uniform
dağı
dağıllımdan daha çok diğ
diğer teorik (ü
(üstel, normal, gamma v.b.)
dağı
laşı
şılmaktad
lmaktadıır. Bir aktiviteye (ö
(örneğ
rneğin; M/M/1
dağıllımlarla karşı
karşıla
kuyruk sisteminde varış
lar arası
varışlar
arası zaman aralığı
aralığı ve servis zamanı
zamanı gibi)
uygun teorik dağı
dağıllım bulunamı
bulunamıyorsa, ampirik dağı
dağıllım kullanı
kullanılabilir.
Sistemin stokastik özelliğ
zelliğinden dolayı
dolayı uniform dağı
dağıllımdan (0,1
aralığı
nda) elde edilen rassal sayı
aralığında)
sayıları
ların teorik veya ampirik
dağı
dağıllımlara dö
dönüştürülmesi gerekir. Bunun iç
için, bir DÖ
DÖNÜŞÜM
yöntemi kullanı
geçilir.
kullanılarak istenilen dağı
dağıllıma geç
DÖNÜŞÜM, istatistiki anlamda herhangi bir olası
olasılık dağı
dağıllımından
örnek almak demektir. Bunun iç
için olası
olasılık dağı
dağıllımın parametrelerinin
bilinmesi veya verilmesi gerekir.
1. TERS DÖ
DÖNÜŞÜM (Inverse Transformation)
YÖNTEMİ
NTEMİ
¾
Bir f(x) OYF verilsin.
Amaç
Amaç; f(x) den bir rassal değ
değişken üretmek.
x
F( x ) =
∫ f ( x )dx
−∞
0 ≤ F( x ) ≤ 1
F¯¹(u)=x ifadesi; verilen u değ
değerine karşı
karşıllık gelen x değ
değerinin
belirlenmesine yardı
yardımcı
mcı olur.
0<F(x)<1 ‘dir ve F(x) artan fonksiyondur.
ALGORİ
ALGORİTMA
1. U ~U(0,1)
2. X= F¯
F¯¹(U)
3. RETURN
KESİ
KESİKLİ
KLİ DAĞ
DAĞILIM
Ters dö
dönüşüm yö
yöntemi, kesikli rassal değ
değişken üretiminde aş
aşağıdaki
ğıdaki
şekilde kullanı
kullanılır.
X1<X2<X3 …. olduğ
olduğunu varsayalı
varsayalım.
F(x)=P(x ≤ X)=
∑ p( x
xi ≤ X
U ~U(0,1) üretilir.
i
)
ALGORİ
ALGORİTMA:
1. U ~U(0,1) üret
k −1
k
i =1
i =1
2. X I : ∑ p( xi ) < u ≤ ∑ p( xi )
U ~U(0,1) üretilir. Hangi aralığ
a dü
aralığa
düştüğü aranı
aranır. Bu iş
işlem program
yazı
yazımında arama (search) iş
işlemi gerektirir. Pahalı
Pahalı bir yö
yöntem
olabilir. N çıktı
ktı olduğ
olduğunu varsayalı
varsayalım.
P=0
DO 1 I=1,N
P=P+P(I)
IF(U.LE.P) GO TO 2
1 CONTINUE
2 X=X(I)
0
⎧
⎪
P
x1 )
(
⎪
⎪ P( x1 ) + P( x 2 )
⎪
3
F( x ) = ⎨
P( xi )
∑
⎪
⎪ i =1
M
⎪
⎪⎩
1
„
x < X1
X1 ≤ x < X2
X2 ≤ x < X3
X3 ≤ x < X4
x > X5
ÖRNEK: Talep miktarı
miktarını gösteren rassal değ
değişken X, kesikli ve
1
P(X=1)= 61 , P(X=2)= 61 , P(X=3)= 3
ve P(X=4)= 3
olası
olasılık
değ
değerlerini alı
alıyor. Dağı
Dağıllım fonksiyonu grafiğ
grafiğini çizerek, X r.d.
üretimini sağ
sağlayan algoritmayı
algoritmayı düzenleyiniz.
1
⎧ 0
⎪1 / 6
⎪⎪
F ( x ) = ⎨3 / 6
⎪5 / 6
⎪
⎩⎪ 1
ALGORİ
ALGORİTMA:
1. U ~U(0,1) üret
1
6
2. if
0 <U ≤
if
1
3
<U ≤
6
6
if
3
5
<U ≤
x=3
6
6
5
<U ≤1 x = 4
6
if
3. RETURN
x=1
x=2
x<1
1≤ x < 2
2≤x<3
3≤ x<4
x≥4
2. REDDETME ( AcceptanceAcceptance-Rejection) YÖ
YÖNTEMİ
NTEMİ
Reddetme yö
yöntemi, olası
olasılık fonksiyonu f(x) sü
sürekli ve sı
sınırlı
rlı olan
herhangi bir dağı
dağıllımdan rassal değ
değişken üretmek iç
için kullanı
kullanılan
genel bir metotdur.
Sürekli bir X rassal değ
değişkeni iç
için;
0 ≤ f(x) ≤ fmax
a ≤x ≤ b
Reddetme yö
yöntemi direkt yö
yöntemler baş
başarı
arısız veya etkin
olmadığı
nda kullanı
olmadığında
kullanılır.
Bu yö
yöntemde öncelikle bir t fonksiyonunun tanı
tanımlanması
mlanması gereklidir.
t fonksiyonu;
t(x) ≥ f(x) ∃xi
şartı
artını sağ
sağlamalı
lamalıdır.
c=
∞
∞
−∞
−∞
∫ t( x )dx ≥ ∫ f ( x )dx = 1
t(x) fonksiyonu bir olası
ü c>1
olasılık yoğ
yoğunluk fonksiyonu değ
değildir. Çünk
Çünkü
Ancak r(x) fonksiyonu;
r( x ) =
t( x )
c
bir olası
ü;
olasılık yoğ
yoğunluk fonksiyonudur. Çünk
Çünkü
∞
r( x ) =
∫ t( x )dx
−∞
c
∞
=
1
1
t( x )dx = c = 1
c −∫∞
c
R(x) olası
olasılık yoğ
yoğunluk fonksiyonundan y rassal değ
değişkeni aş
aşağıdaki
ğıdaki
algoritma ile üretilebilir.
ALGORİ
ALGORİTMA:
r(x) yoğ
yoğunluk fonksiyonundan Y rassal değ
değişkeni üret. U1
~U(0,1); Y=X
1)
2) U2 ~U(0,1) üret (Y’
msıız)
(Y’den bağı
bağıms
3) U2
≤
f(Y)/t(Y) ise, X=Y ve RETURN
GO TO 1 (yeniden dene)
≤
Algoritma 1 ve 3 arası
f(Y)/t(Y) şartı
arasında dö
dönerek uygulanı
uygulanır. U2
artı
sağ
nda X iç
sağlandığı
landığında
için Y değ
değeri rassal değ
değişken olarak kabul edilir.
ÖRNEK:
ÖRNEK 2:
Beta(4,3) dağı
dağıllımından rassal değ
değişken üreten algoritmayı
algoritmayı Reddetme
yöntemine gö
göre dü
düzenleyiniz.
ALGORİ
ALGORİTMA:
1) U1 ~U(0,1) üret. Y=X=U1
2) U2 ~U(0,1) üret.
3) U2
≤ 60Y 3 ( 1 − Y ) 2 / 2.0736
Değ
Değilse GO TO 1.
ise X=Y RETURN
Aşağıdaki
ğıdaki U1 ve U2 değ
değerleri iç
için algoritmayı
algoritmayı kullanı
kullanırsak;
Download