Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında

Gelecek için hazırlanan vatan evlâtlarına, hiçbir güçlük karşısında yılmayarak tam bir sabır ve metanetle
çalışmalarını ve öğrenim gören çocuklarımızın ana ve babalarına da yavrularının öğreniminin tamamlanması
için hiçbir fedakârlıktan çekinmemelerini tavsiye ederim.
Bu kitabın her hakkı Çap Yayınları’na aittir. 5846 ve 2936 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri
Yasası’na göre Çap Yayınları’nın yazılı izni olmaksızın, kitabın tamamı veya bir
kısmı herhangi bir yöntemle basılamaz, yayınlanamaz, bilgisayarda depolanamaz,
çoğaltılamaz ve dağıtım yapılamaz.
BU KİTAP, MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI TALİM VE TERBİYE KURULU BAŞKANLIĞI’NIN
24.08.2011 TARİH VE 121 SAYILI KARARI İLE BELİRLENEN ORTAÖĞRETİM MATEMATİK
DERSİ PROGRAMINA GÖRE HAZIRLANMIŞTIR.
Dizgi – Kapak Tasarım
Emine İNCE
Baskı Tarihi
Ağustos 2013
Teşekkür
Tevfik GÖRGÜN’e katkılarından dolayı teşekkür ederiz.
ISBN
978 – 605 – 5140 – 13 – 7
İLETİŞİM
ÇAP YAYINLARI
Akpınar Mahallesi 840. Cadde 857. Sokak 2 / 19 Çankaya / Ankara
Tel: 312 - 476 30 93
www.capyayinlari.com.tr
ii
ÖN SÖZ
Sevgili Öğrenciler,
Matematikteki birçok tanımı ve kuralı yeniden keşfetmiyoruz, sadece öğrenme aşamasında ilk kez biz bu yolları, kuralları buluyormuşuz gibi hareket edip öğrenmenin kalıcı olmasını sağlamaya çalışıyoruz.
Bu kaynağı sizlere sunmamızdaki asıl hedefimiz, en çok zorlandığınız veya başarmakta problem yaşadığınız
kendi kendinize öğrenme becerisini geliştirmektir.
Matematikte bir problemi kısa zamanda ve doğru olarak çözmek, ilgili konuların kavranmasına bağlıdır. Bir
konuyu iyice öğrendikten sonra ardından gelen konuya geçmek sizin için daha kolay olacağı gibi çalışmanızı da
daha verimli kılacaktır. Bilgilerinizin kalıcı olması için çok tekrar yapmalı, bilgileri kullanabilmek için de çok soru çözmelisiniz. Matematikteki birçok kuralın günlük hayatta kullanımı yoktur ancak bu kuralları öğrenirken ve uygularken
gösterdiğiniz çaba, yaşamınızda çeşitli problemlere farklı açılardan bakabilme becerisini kazandıracaktır.
Sevgili Öğrenciler,
Tekrara dayalı ve planlı bir çalışmanın, ezber yerine konunun özünü kavramanın ve bu yolla kazanılan özgüvenin sizleri başarıya ulaştıracağına inanıyor ve sizlere başarılar diliyoruz.
Toplam 1022 Soru
YAZARLAR
iii
İÇİNDEKİLER
1. Bir Bağımsız Değişkenin Verilen Bir Sayıya Yaklaşması .......................................................................................
5
2. Fonksiyonun Bir Noktadaki Limiti (Sağdan - Soldan Limit) ....................................................................................
7
9
Kapalı Aralıkta Limit ...........................................................................................................................................
Test - 1 Fonksiyonun Bir Noktadaki Limiti ...................................................................................................
10
3. Limit İle İlgili Özellikler ............................................................................................................................................
11
Test - 2 Limit İle İlgili Özellikler ...................................................................................................................
15
4. Parçalı Fonksiyonların Limiti ...................................................................................................................................
16
5. Mutlak Değer fonksiyonunun Limiti .........................................................................................................................
18
Test - 3 Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti ............................................................................
20
6. Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesinde Limit ...........................................................................................................
21
Test - 4 Genişletilmiş reel Sayılar Kümesinde Limit ....................................................................................
25
7. Trigonometrik Fonksiyonların Limiti ........................................................................................................................
26
Test - 5 Trigonometrik Fonksiyonların Limiti ...............................................................................................
28
8. Belirsizlikler ............................................................................................................................................................
29
0
Belirsizliği ...................................................................................................................................................
0
0
Belirsizliği ..................................................................................................................................
Test - 6
0
3
Belirsizliği ..................................................................................................................................................
b)
3
3
Belirsizliği ..................................................................................................................................
Test - 7
3
a)
c) ∞ – ∞ Belirsizliği ..............................................................................................................................................
30
38
39
45
46
Test - 8 ∞ – ∞ Belirsizliği .............................................................................................................................
48
d) 0 . ∞ Belirsizliği ..............................................................................................................................................
49
Test - 9 0 . ∞ Belirsizliği ..............................................................................................................................
51
9. Dizilerin Limiti .........................................................................................................................................................
52
Test - 10 Dizilerin Limiti ...............................................................................................................................
55
10. Sonsuz Geometrik Dizi Toplamı ...........................................................................................................................
56
Test - 11 Sonsuz Geometrik Dizi Toplamı ...................................................................................................
63
11. Süreklilik ................................................................................................................................................................
64
Test - 12 Süreklilik.........................................................................................................................................
69
Karma Testler (1 - 13) ...................................................................................................................................
70
iv
1. BİR BAĞIMSIZ DEĞİŞKENİN VERİLEN BİR SAYIYA YAKLAŞMASI
BİLGİ
Yandaki tablo incelendiğinde; 1. sütun
2. sütun
x
x
4,5
5,5
i)
1. sütunda x değerlerinin artan değerler alarak 5 sayısına
yaklaştığı söylenebilir.
4,9
5,1
Bu durum, "x in 5 e soldan yaklaşması" olarak ifade edilir
4,99
5,01
ve "x→ 5– " ile gösterilir.
4,999
5,001
4,9999
••
•
x 5–
5,0001
••
•
+
x 5
5 e soldan
yaklaşma
4,7
4,8
5
4,9
ii)
2. sütunda x değerlerinin azalan değerler alarak 5 sayısına yaklaştığı söylenebilir.
Bu durum "x in 5 e sağdan yaklaşması" olarak ifade edilir ve "x → 5+" ile gösterilir.
5
5 e sağdan
yaklaşma
5,1
5,2
5,3
Yukarıda anlatılan durumları genelleyecek olursak;
a’ya soldan a’ya sağdan
yaklaşma
yaklaşma
x
(x < a)
a
x
(x > a)
Æ
x değişkeni a ya, a dan küçük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya soldan yaklaşma denir ve x → a– şeklinde gösterilir.
Æ
x değişkeni a ya, a dan büyük değerlerle yaklaşıyorsa, bu tür yaklaşmaya sağdan yaklaşma denir ve x → a+ şeklinde gösterilir.
5
6.
YAKLAŞIM
x → 1– olduğuna göre, x in alabileceği değerlerdin biri aşağıdakilerden hangisi olabilir?
x → 2+ ifadesi x in 2 ye sağdan yaklaştığını, yani 2 den
A) 1,00001
büyük ve 2 ye çok yakın değerler (2, 001; 2,00001 vb.)
D) 1
aldığını gösterir.
x → 2– ifadesi de x in 2 ye soldan yaklaştığını, yani 2
7.
den küçük ve 2 ye çok yakın değerler (1,999; 1,9999
gibi) aldığını gösterir.
C) 1,111
E) 0,99
2 x " d n ifadesine göre, x aşağıdakilerden han5
gisi olabilir?
A) 0,399
SIRA SİZDE
1.
B) 1,001
B) 0,4001
D) 0,41
x in sıfıra soldan yaklaşması aşağıdakilerden
C) 0,401
E) 0,4
hangisi ile gösterilir?
A) x → 0+
B) x → 0–
D) x → 1+
2.
C) x → 0
8.
E) x → –1–
3 x " d – n ifadesine göre, x aşağıdakilerden
5
hangisi olabilir?
A) –0,5
x in –2 ye soldan yaklaşması hangisi ile ifade
D) –0,6
edilir?
A) x → –2+
B) x → –2–
D) x →
3.
2+
E) x →
9.
4.
B) x → 3+
−2
3
C) x → (–3)+
B) x >
D) x <
E) x → (–4)–
x → (–4)– gösterimi için aşağıdakilerden hangisi
–2
3
–2
3
C) x ≤
–2
3
E) x → 0–
10. x → 5– ise x sayısı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) x < –4
B) x > –4
D) x ≥ –4
C) x ≤ –4
E) x < –3
x → 5+ olduğuna göre, x in aldığı değerlerden biri
A) 5,0001
B) 5
D) 4,99
C) 4,999
2) B 3) C B) 4,9
C) 2 6 D) 5 –
1
10 5
E) 5
olabilir?
A) –1,001
E) 4,009
1) B A) 4,5
11. x → (–1)+ ise x sayısı aşağıdakilerden hangisi
aşağıdakilerden hangisi olabilir?
6
2 +
x " d – n gösterimi için aşağıdakilerden hangi3
A) x ≥
söylenebilir?
5.
E) –0,601
si doğrudur?
hangisidir?
D) x → 3–
C) –0,599
C) x → –2
2–
"x giderken –3 e sağdan" ifadesinin gösterimi
A) x → (–3)–
B) –0,59
D) −
4) A 5) A
6) E
7) A 8) E 2
5
9) B B) –1
E) − 3
10) E 11) D
4
3
C) −
5
4
2. FONKSİYONUN BİR NOKTADAKİ LİMİTİ
(Sağdan-Soldan Limit)
BİRLİKTE ÇÖZELİM
YAKLAŞIM
a) Soldan Limit
L1
y
grafiği
y=f(x)
f(x)
Aşağıdaki soruları
verilen y = f(x) için çöze-
4
3
lim.
2
a)
b) lim +f (x)
c)
yaklaşırken f(x) değerleri de sabit bir L1 gerçek sayısına yaklaşmaktadır.
d)
e)
Burada L1 sayısına f fonksiyonunun x = a noktasında-
f)
g)
O
x
a
x
Grafikte görüldüğü üzere x değerleri a sayısına soldan
ki soldan limiti denir ve
lim –f (x) = L 1 şeklinde yazılır.
y
–3
lim −f (x) x"2
O
2 4
x
y=f(x)
x"2
lim f (x) x"2
lim f (x)
x " 0+
lim f (x) x " 0−
lim f (x)
x"0
lim f (x) x "−3
x"a
a)
y=f(x)
f(x)
L2
O
a
x
−
şıyor.)
b) Sağdan Limit
y
lim f (x) = 4 (x, 2 ye soldan yaklaşırken y değerleri 4 e yakla-
x"2
x
x değerleri a sayısına sağdan yaklaşırken f(x) değerleri de sabit bir L2 gerçek sayısına yaklaşmaktadır.
Burada L2 sayısına, f fonksiyonunun x = a noktasında-
ki sağdan limiti denir ve
lim + f (x) = L 2 şeklinde gösterilir.
b)
lim f (x) = 2 (x, 2 ye sağdan yaklaşırken y değerleri 2 ye yak-
x"2
+
laşıyor.)
c)
x"2
d)
lim f (x) = Yoktur. a lim f (x) ≠ lim f (x) k
x"2
−
x"2
+
4 ≠ 2
lim f (x) = 3 (x, 0 a sağdan yaklaşırken y değerleri 3 e yakla-
x"0
+
şıyor.)
e)
lim f (x) = 3 (x, 0 a soldan yaklaşırken y değerleri 3 e yaklaşı-
x"0
−
yor.)
f)
x"0
g)
x "−3
lim f (x) = 3 (sağdan ve soldan limitler eşit ve 3)
lim f (x) = 0 (sağdan ve soldan limitler eşit ve 0)
x"a
c) Yukarıda anlatılan her iki durumda elde edilen L1 ve
L2 sayıları aynı ise (L1 = L2) bu sayıya f fonksiyonunun
x = a noktasındaki limiti denir ve
lim f (x) = L 1 = L 2 yazılır.
x"a
Eğer L1 ≠ L2 ise "f fonksiyonunun x = a noktasında limi-
Not:Fonksiyonun x = a da tanımlı olmasının ya da olmamasının bu
noktadaki limite hiç bir etkisi yoktur. Tanımlı olmadığı bir noktada da limiti olabilir.
ti yoktur." denir.
7
SIRA SİZDE
1.
2.
y
4
3
2
–2 O 1
–1
y=f(x)
2
4
O
1
–5 –4 –3 –2 –1
y=f(x)
1
–4
y
x
x
2 3 4 5
–2
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun [–5, 5] aralığında kaç noktada limiti yoktur?
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonuna göre, aşağı-
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
daki ifadelerin eşitini bulunuz.
a)
b)
c)
d)
y
3.
lim f (x)
x " − 2+
lim f (x)
x " − 2−
f
f(x) = 2 fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
2
lim f (x)
x "−2
e)
lim f (x) + lim + f (x) kaçtır?
x " − 3−
A) –4
C) 2
D) 4
E) Bulunamaz
lim + f (x)
x"2
y
4.
f)
g) lim f (x)
y=f(x)
3
2
lim f (x)
x " 2−
x"5
B) 0
Buna göre
x
O
–5
lim f (x)
x"2
1
–4
O
x
1
Grafiği verilen f(x) fonksiyonunun [–6, 3) aralığında apsisi tam sayı olan kaç noktada limiti var-
x"4
dır?
h) lim f (x)
i)
5.
x"0
j)
k)
lim f (x)
x " − 4−
B) 7
C) 6
y
lim f (x)
x " − 4+
a
lim f (x)
x "−4
1. a) 2 b) 2 c) 2 d) 2 h) 1 i) 0 j) 0
k) 0
e) –1
f) Yok
O
lim f (x) = 2 ve
A) –4
B) –2
E) 4
fiği verilmiştir.
x
3
x " 3+
D) 5
y = f(x) fonksiyonunun gra-
y=f(x)
b
8
A) 8
lim f (x) = 0 ise a + b kaçtır?
x " − 2−
C) 0
D) 2
E) 4
g) 4
2) B 3) D 4) B 5) C
SIRA SİZDE
KAPALI ARALIKTA LİMİT
1
y
(a, b] gibi sınırlı bir ara-
O
–2
nun uç noktalardaki limitleri bulunurken sadece
x
b
tanımlı olduğu tarafın
L1
y=f(x)
–3 –1
y=g(x)
O
x
3
–2
limitine bakılır.
lim f (x)
6.
lim f (x)
7.
lim g (x)
8.
lim g (x)
9.
x"3
lim (fog) (x)
x " 0–
lim f (x) = lim f (x) = L 1
x " a+
x"a
Fonksiyon b noktasının sağında tanımlı olmadığı
için, x = b deki soldan limiti, fonksiyonun bu noktadaki limitidir.
2.
x "−3
lim (f (x) + g (x))
x"3
lim f (x) = lim f (x) = L 2
x " b−
x"b
BİRLİKTE ÇÖZELİM
y
f
O
x"3
lim (f − g) (x)
x "−3
y = f(x) fonksiyonunun
3
–2
3.
[–2, 4] aralığında tanımlı
bu aralıktaki tam sayılar
1
4
x
için limitini inceleyelim.
–2
x
Grafiği verilen y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonlarına
Fonksiyon a noktasının solunda tanımlı olmadığı
ii)
ii)
3
için, x = a daki sağdan limit, fonksiyonun bu noktadaki limitidir.
3
2
2
1
göre, aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1.
i)
3/2
–1 O
–3
lıkta tanımlı bir fonksiyo-
y=f(x)
L2
i)
4
3
3
YAKLAŞIM
a
y
y
4.
x "−3
lim (f 2 − 2g) (x)
x"0
x = –2 nin solunda tanımlı değildir.
lim f (x) = 3 olduğu için fonksiyonun x = –2 deki limiti 3 tür.
x "−2
+
x = 4 ün sağında tanımlı değildir.
5.
10.
lim g (x)
x "−1
g
1
lim c log 9 f − c m m(x)
2
x "−3
lim f (x) = − 2 olduğundan fonksiyonun x = 4 teki limitinin değe-
x"4
–
ri de –2 dir.
iii)
Fonksiyonun [–2, 4] aralığındaki –1, 0, 1, 2, 3 tam sayıları için
limiti vardır ancak grafikte belirtilmediği için limit değerleri bulu-
1) –2 2) 3 3) 4 4) –2
namaz. Ancak (–2, 3] aralığında olduğu söylenebilir.
6) –2
8) 5 9) –5 10)
7) 2
5) Yoktur
−7
2
9
TEST – 1 FONKSİYONUN BİR NOKTADAKİ LİMİTİ
1.
3 −
x " c − m ise x sayısı aşağıdakilerden hangisi
5
5.
olamaz?
A) −
1
13
4
B) − 20
5
C) –0,601 D) −
14
25
–3
E) –0,61
y
y
2
1
y=f(x)
x
O
y=g(x)
–1 O
–1
–2
–3
x
1
Grafiği verilen f(x) ve g(x) fonksiyonları için aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
2.
x " ^ 2 h ise x sayısı aşağıdakilerden hangisi
+
olabilir?
A) 1,4
B) 1,404 C) 1,45
D) 1,401 E) 1,35
y
3.
A)
B)
C)
D)
E)
6.
Aşağıda grafikleri verilen fonksiyonlardan kaç
lim (f (x) + g (x)) = 0
x"0
lim (f (x) ·g (x)) = 0
x " − 3+
lim (f − g) (x) = 3
x " 1−
lim (f 2 − 3g) (x) = − 3
x " − 3−
lim (fog) (x) = 1
x " 1+
2
–2
1
O 1
–1
–2
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonuna göre, aşağı-
daki ifadelerden kaç tanesi doğrudur?
i)
lim f (x) = 1 ii)
x "−2
iii) lim − f (x) = 2 v) lim +f (x) = − 1 A) 2
x"1
tanesinin x = 1 noktasında limiti bir gerçek sayı-
lim f (x) = − 2
x " − 2+
dır?
iv) lim f (x) = 3
x"1
y
x"3
vi) lim −f (x) = − 3
B) 3
C) 4
4.
x"3
D) 5
O
E) 6
–1
3
2
1
1
–1
–2
3 4
x
10
B) 2
C) 3
x
2
1
O 1
D) 4
1) D
x
E) 6
2) C
3) C
4) B
A) 1
x
y
x
B) 3
5) A
1
O
y
2
1
O 1
–1
x
y
–2
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun (–4, 5] araA) 1
1
O1
lığında kaç noktada limiti yoktur?
y
y
y
–2
x
2 3
C) 4
6) B
1
O 1
D) 5
x
E) 6
3. LİMİT İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
BİLGİ
f(x) = an · xn + an–1 · xn–1 + … + a1 · x + a0 polinomu için lim f (x) = f (a) dır.
x"a
Yani, polinom fonksiyonların herhangi bir noktadaki limitini hesaplamak için bu değer fonksiyonda x yerine yazılır.
Sağdan – soldan limite bakmaya gerek yoktur.
BİRLİKTE ÇÖZELİM
lim (x 4 − 3x 3 − 5x 2 + 4x − 2)
x"2
limitinin değeri kaçtır?
lim (x − 3x − 5x + 4x − 2) = 24 – 3 · 23 – 5 · 22 + 4 · 2 – 2
4
3
2
x"2
= 16 – 24 – 20 + 8 – 2
= –22 dir.
SIRA SİZDE
1.
2.
3.
lim (3x 2 − 5x + 4) limitinin değeri kaçtır?
6.
x"1
lim 9x 2 limitinin değeri kaçtır?
x "−
7.
2
3
lim (5x 7 − 8x 3 + 9x 2 − 6x + 5) limitinin değeri kaçtır?
x"0
8.
lim (3 − 2x) 2 · (5x + 4) 3 limitinin değeri kaçtır?
x "−1
lim 6(3x − 4) 2 − x + 3@ limitinin değeri kaçtır?
x"2
f(x) = x2 – 2x + 3 ise lim f (x) kaçtır?
x"4
4.
5.
lim
x"
3
2
1
limitinin değeri kaçtır?
3
9.
lim (3x − 2) 5 · (5x + 4) 2 limitinin değeri kaçtır?
10.
x"1
1) 2 2) 4 3) 5 4)
1
3
5) 81
6) –25
lim (2x − 3) = 5 ise a kaçtır?
x"a
lim (− x 2 − 3x + k − 4) = 7 ise k kaçtır?
x "−2
7) 5 8) 11 9) 4 10) 9
11
SIRA SİZDE
BİLGİ
1.
2.
3.
4.
f ve g, x = a noktasında limitleri olan iki fonksiyon
1.
f(x) = 2x + 3 ve g(x) = x2 – 1
olsun.
fonksiyonları için aşağıdaki limit değerlerini
a) lim (2f (x) + 3g (x)) c) lim c
∀ x ∈ R için lim c = c (c ∈ R)
x"a
lim [f (x) " g (x)] = lim f (x) " lim g (x)
x"a
x"a
x"a
lim [f (x) ·g (x)] = lim f (x) · lim g (x)
x"a
x"a
x"a
lim f (x)
f (x)
E= x"a
lim g (x)
g (x)
x"a
2.
BİRLİKTE ÇÖZELİM
f(x) = x2 – 3x + 1 ve g(x) = 5 – 2x
fonksiyonları için
lim
x"2
x"1
a) 3f – 4g + h
c)
3f + 4
2g − h
b) f · g – 2 · g + 3 · h
d)
h 2 − g ·h
4f − 3g
2
lim f (x) = lim (x − 3x + 1)
x"2
x"2
= 22 – 3 · 2 + 1
= –1
lim g (x) = lim (5 − 2x)
x"2
x"2
12
=1
lim
3.
x"2
=5–2·2
3 f ( x) − 2 g ( x )
f (x) ·g (x)
=
=
lim (f (x) + 2x − 3) = 10 ise
x"1
lim (5f (x) − x 2 + 4x − 1) limitinin değeri kaçtır?
x"1
3·limf (x) − 2·limg (x)
x"2
x"2
limf (x) · limg (x)
x"2
x"1
olduğuna göre, aşağıdaki fonksiyonların x = 1
limitini bulalım.
lim f (x) = 3, lim g (x) = − 4 ve lim h (x) = 5
x"1
noktasındaki limitlerini (varsa) bulunuz.
3f (x) − 2g (x)
f (x) ·g (x)
x "−1
3f + g
m(x)
f − 2g
x"a
d) lim c
x"a
lim ;
x"2
lim [c·f (x)] = c· lim f (x)
x"a
x"0
f (x)
m g (x)
b) lim (f (x) ·g (x))
6c ! R için
g(x) ≠ 0 ve lim g (x) ≠ 0 için
x"1
x"a
5.
bulunuz.
x"2
3· (–1) − 2·1
− 1·1
= 5 bulunur.
1) a) 10 b) 21 c) –3 d) 3
2) a) 30 b) 11 c) –1 d) 15/8
3) 57
BİLGİ
1.
2.
3.
lim f (x) = lim f (x) (f fonksiyonunun x = a da limiti varsa)
x"a
lim
f (x) = n
lim f (x) (x → a için f(x) ≥ 0 ise)
x"a
lim (fog) (x) = f 9 lim g (x)C (f polinom fonksiyon ise)
x"a
x"a
lim f (x )
x "b
5.
x"a
n
x"a
4.
6.
x"a
lim a f (x ) = a x " b
(a d R + ve a ≠ 1 ise)
lim log b (f (x)) = log b 9 lim f (x)C
x"a
(f (x) > 0 ise)
lim f (x) = lim g (x) = L ve x in a sayısına yakın tüm değerleri için
x"a
x"a
f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) ise lim h (x) = L dir. (L ∈ R)
x"a
BİRLİKTE ÇÖZELİM
1.
2.
3.
lim x 2 + 4x − 5
x "−2
limitinin değerini bulalım.
2
2
lim x + 4x − 5 = lim (x + 4x − 5)
x "−2
x "−2
= |4 – 8 – 5| = |–9| = 9 dur.
lim
x"1
x 2 + 2x + 3
lim
2
=
x + 2x + 3 =
1+2+3 =
6 dır.
2
lim (x + 2x + 3)
x"1
limitinin değerini bulalım.
lim (lnx + 4) = lim lnx + lim4
x"e
x"e
= ln
= lne + 4
= 1 + 4 = 5 tir.
x"e
x +4
a xlim
k
"e
4.
limitinin değerini bulalım.
x"1
lim (lnx + 4)
x"e
lim (2 x
2
− 2x + 3)
x"0
limitinin değerini bulalım.
lim (2
x"0
lim (x 2 − 2x + 3)
x 2 − 2x + 3
x"0
)=2
= 20–0 + 3 = 23 = 8 dir.
13
SIRA SİZDE
1.
2.
3.
4.
10. f(x) = 3x – 5 ve g(x) = x2 – 2x + 2 ise
Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
2x 2 + 7
lim
x "−1
lim 2 2x
2
a)
b) lim (gof) (x)
lim (fog) (x) x"0
x"1
− 30
x"4
lim (log 3 x 2)
11)
x"9
lim x 2 − 2x + 3
x"5
lim f (x) = − 1 ve lim g (x) = 4 ise
x"3
x"3
a) lim 6f (x) + g (x)@
b) lim 6f (x) − g (x)@
c) lim (3f + 2g) (x) d) lim (f·g) (x)
x"3
x"3
5.
6.
7.
8.
9.
lim x −| x − 5 |
x"3
lim
x "−2
lim
x "−3
3
x3 + 7
x"3
x"3
x 2 + 3x − 4
4f
m(x) 3g
e) lim c
g) lim ^ g − 2· 3 f h(x) x"3
f) lim (f 2 − g 3) (x)
x"3
lim 9log 2 (x + 3) − 5 x + 4C
x "−2
lim 6| x + 4 | · x + 6 − 3 x + 6@
x"3
x "−5
14
1) 3
2) 4 3) 4 4) 18 5) 1
−1
10) a) 1 b) 10 11) a) 3 b) –5 c) 5 d) –4 e)
f) –63 g) 4 h) 3/2
3
6) –1
7) Yoktur
8) –25 9) –2
h) lim a log 2 g (x) − 2 f (x) k
x"3
TEST – 2 LİMİT İLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
1.
2.
3.
4.
lim 5x limitinin değeri kaçtır?
9.
x"3
A) 15
B) 5
3
lim
x "−4
C) 3
D) –3
E) –15
B) − 3 3 C) 0
D)
3
3
E) 4
B) –6
C) 0
D) 4
E) 12
C) 0
D)
lim c
x"5
1
3
B) –1
C) 0
D) 1
A)
C) 0
lim f (x) = − 1 ve
x"4
x"3
7
lim g (x) = 3 ise
B) –39
C) –1
B)
16
7
C)
20
7
lim
B) 3
C)
5
D)
2
lim (gof) (x)
x " 99
A) –4
x−4
limitinin değeri kaçtır?
|x − 4 |
D) 2
E) –3
− lim (fog) (x) kaçtır?
B) –3
x "−1
C) –2
B) 1
8.
3) D
4) E
D) –1
5) A
6) B
E) 0
lim (2f (x ) + g (x )) = − 2 ise
x "3
lim (f (x) ·g (x)) değeri kaçtır?
2x − 3x + 1
limitinin değeri kaçtır?
lim
5x − 1
x"0
1
−2
A) –10 B) − C)
D) –5
E) –2
5
5
2) D
C) 0
D) –1
x"3
A) 2
1) A
E) 39
E) 2
D) 33
x+1
ve g (x) = − 3 ise
2
x "3
x"3
E) 2
x"4
1 4 . lim (f (x ) − 2g (x )) = 5 ve
7.
D) 1
2f − g
m(x) kaçtır?
f+g
A) 3
13. f (x) =
E) 3
x 2 − x + 7 limitinin değeri kaçtır?
lim
B) –1
x+4
m limitinin değeri kaçtır?
2−x
A) –3
x"2
r
2
lim c
E) 2
6.
lim (sinx − cos2x) limitinin değeri kaçtır?
x"
A) –51
5.
E) –1
12. f(x) = x2 ve g(x) = 1–x ise
x"a
1
B) − 3
D) 0
x"4
lim (5 − 6x) = − 7 ise a kaçtır?
A) –2
C) 1
lim (3f (x) − 4g 2 (x)) kaçtır?
x "−1
B) 2
A) –2
11.
lim (3x 2 − 5x − 4) limitinin değeri kaçtır?
A) –12
A) 3
10.
3 limitinin değeri kaçtır?
A) –4
lim log 3 (x 2 + 2) limitinin değeri kaçtır?
x"5
E) –2
7) D
A)
15.
− 12
−9
B)
5
10
C)
−5
12
D)
lim (5f (x) − x 2 + 4x) = 15 ise
8) A
9) A
A) 15
10) E
11) B
B) 9
12) C
C) 8
13) C
E)
− 12
25
lim (f 2 (x) − 3 + 4x)
x "−1
x "−1
kaçtır?
−4
9
D) 7
14) E
15) B
E) 6
15
4. PARÇALI FONKSİYONLARIN LİMİTİ
BİLGİ
f (x) = '
g (x), x ≥ a
h (x), x < a
parçalı fonksiyonunda x = a ya f(x) in "kritik nok-
SIRA SİZDE
1.
tası" denir.
Æ
f(x) in x = a da limiti bulunurken sağdan ve soldan
limitleri incelenir. x → a+ ve x → a– limitleri eşit ise
f(x) in x = a da limiti vardır. Aksi halde limit yoktur.
Æ
f(x) in x = a dışında kritik olmayan herhangi bir
noktada limitini bulmak için ilgili fonksiyonda (g(x)
ya da h(x)) limitine bakılır.
3.
4.
BİRLİKTE ÇÖZELİM
3x + 1 , x < 2
f (x) = * 1 − 4x 2 , 2 ≤ x < 4
1 − x3 , x ≥ 4
fonksiyonunun x = 2, x = 3, x = 4 ve x = 5 nokta-
5.
larındaki limitlerini araştıralım.
i)
2.
6.
2
Aşağıdaki soruları
3x − 4
, x ≥1
f (x) = * x 2 − x − 1 , − 1 ≤ x < 1
5−x
, x<−1
fonksiyonuna göre cevaplayınız.
lim f (x)
x " − 1−
lim f (x)
x " − 1+
lim f (x)
x "−1
lim f (x)
x " 1+
lim f (x)
x " 1−
lim f (x)
x"1
2
x = 2 kritik nokta olduğundan lim (1 − 4x ) = 1 − 4·2 = − 15 ve
x"2
+
lim (3x + 1) = 3·2 + 1 = 7 bulunur.
x"2
−
Soldan ve sağdan limit değerleri farklı olduğu için f(x) in x = 2 de
7.
limiti yoktur.
ii)
lim f (x)
x"0
x = 3 kritik nokta olmadığı için fonksiyonun ikinci parçasında x
yerine yazılır.
2
lim (1 − 4x ) = 1 − 4·9 = − 35 olur.
8.
lim f (x)
x"5
x"3
iii)
x = 4 kritik noktadır.
2
2
lim (1 − 4x ) = 1 − 4·4 = − 63
x"4
3
9.
−
lim f (x)
x "−3
3
lim (1 − x ) = 1 − 4 = − 63 tür.
x"4
+
Soldan ve sağdan limitleri eşit olduğu için
lim f (x) = –63 olur.
iv)
10.
lim f (x) − lim f (x)
x "−2
x"3
x"4
x = 5 kritik nokta olmadığı için fonksiyonun üçüncü parçasında
x yerine yazılır.
3
3
lim (1 − x ) = 1 − 5 = − 124 olur.
x"5
16
1) 6 2) 1 3) Yoktur 4) –1 6) –1
7) –1
8) 11 9) 8 5) –1
10) 2
YAKLAŞIM
"Bir fonksiyonun x = a noktasındaki soldan ve sağdan limit değerleri eşit ise fonksiyonun bu noktada limiti vardır."
önermesinin karşıtı da doğrudur. Yani, "Fonksiyonun x = a da limiti varsa, bu noktadaki soldan ve sağdan limitleri eşittir."
BİRLİKTE ÇÖZELİM
3−x
,
x≥5
f (x) = * x − 2x + a , − 2 ≤ x < 5
5x − b
, x<−2
2
f(x), tüm reel sayılarda limitli ise kritik noktalarda da
(x = 5 ve x = –2) limitlidir.
lim (3 − x) =
x"5
fonksiyonu tüm reel sayılarda limitli ise a + b
kaçtır?
+
2
lim (x − 2x + a) & 3 − 5 = 25 − 10 + a
x"5
−
a = –17 dir.
2
lim (x − 2x + a) =
x "−2
+
lim (5x − b) & 4 + 4 + a = − 10 − b
x "−2
−
8 – 17 = –10 – b
b = –1 dir.
a + b = –17 – 1 = –18 olur.
SIRA SİZDE
1.
f (x) = '
fonksiyonunun x = 1 de limiti varsa k kaçtır?
2x + 4, x ≥ 1
3x + k, x < 1
4.
2.
f (x) = '
fonksiyonunun x = a da limitinin olması için a
3 − 5x, x ≥ a
2x + 7, x < a
3.
fonksiyonu için lim f (x) = 7 ise m · n kaçtır?
5.
x2 + k , x ≥ 1
f (x) = * x − k , − 1 ≤ x < 1
m − 2x , x < − 1
fonksiyonunun x = 1 ve x = –1 noktalarında limiti aynı ise m kaçtır?
6.
x "−2
2x − k , x ≥ 3
− 2x + k , x < 3
fonksiyonunun x = 3 te limitinin olması için k kaç
olmalıdır?
kaç olmalıdır?
3x + m, x ≥ − 2
f (x) = '
nx + 5, x < − 2
f (x) = '
x2 − 2 , x ≥ 2
f (x) = * mx + n , 0 ≤ x < 2
x3 − 1 , x < 0
fonksiyonu bütün reel sayılarda limitli olduğuna
göre, m + n kaçtır?
1) 3 4
2) − 3) –13 7
4) 6 5) –3
6)
1
2
17
5. MUTLAK DEĞER FONKSİYONUNUN
LİMİTİ
SIRA SİZDE
1.
Aşağıdaki limitlerin değerini (varsa) hesaplayı-
a) lim
YAKLAŞIM
Mutlak değerli fonksiyonların kritik noktası, mutlak
değerin içindeki ifadeyi 0 yapan sayıdır.
i)
Kritik noktalarda limit araştırılırken sağdan ve soldan limit değerlerine bakılır.
ii)
nız.
x"3
|x + 2 |
x−1
b) lim
x2 − 5
|x − 3 |
d) lim
|x − 2 |+ 3
4 −| x + 1 |
x"2
c)
x "−1
| x2 + x − 4 |
x+3
2.
a) lim +
|x − 3 |
x+4
c)
lim
|x + 1 |
x+1
d) lim −
e) lim −
x"3
| x2 − 9 |
x−3
f) lim +
3.
a) lim
|x |
x
b) lim
c) lim
| x2 − 9 |
x−3
d)
e)
lim
x"0
Kritik olmayan bir noktadaki limit için de nokta
fonksiyonda yerine yazılır.
x"3
b)
lim
x2 − 4
x " (− 2) − | x + 2 |
BİRLİKTE ÇÖZELİM
1.
| x2 − 4 |
limitinin değerini bulalım.
x−2
lim
x"2
i)
x
–2
x 2 –4
+
–
2
lim
x"2
|x − 4 |
x−2
+
+
lim
x"2
(x − 2) (x + 2)
ii)
x → 2– için x2 – 4 > 0 dır.
x−2
+
lim
x"2
x−2
−
lim (x + 2) = 4 olur.
=
2
|x − 4 |
x"2
+
2
=
lim
x"2
− (x − 4)
−
− (x − 2 ) ( x + 2 )
=
Soldan ve sağdan limitler eşit olmadığı için limit yoktur.
−
x−2
=
−
x = 2 sayısı |x + 3| ün kritik noktası olmadığı için doğrudan yerine yazılabilir.
lim
x"2
|x + 3 |
x−4
=
|2 + 3 |
2−4
=
x"3
−5
olur.
2
lim
x "−1
x3 + x2
|x + 1 |
lim
x "−2
f) lim
x"2
x3 − 8
| x2 − 4 |
| x2 − x − 2 |
x−2
1) a) 5/2 b) –1 c) 2 d) 5/3 2) a) 0 b) 4 c) 1 d) 1 e) –6 f) 7/10
3) a) Yok b) Yok c) Yok d) Yok e) Yok f) Yok
18
x−1
|x − 1 |
x"1
lim (− x − 2) = –4 tür.
x"2
|x + 3 |
lim
limitini bulunuz.
x"2 x−4
2.
lim
x"0
x−2
x"2
x"5
x 2 − 3x − 10
| x 2 − 25 |
x −4
x−2
+
=
lim
|x |
x2 − x
2
=
x"2
x"0
2
x → 2+ için x2 – 4 > 0 dır.
x " (− 1) +
YAKLAŞIM
SIRA SİZDE
Bazen lim f (x) limiti olmadığı halde lim |f (x )| limiti
x"a
BİRLİKTE ÇÖZELİM
f (x) = '
−3 , x ≥1
3 , x <1
1.
f (x) = '
a) lim f (x) b) lim | f (x) |
2.
f (x) = *
a) lim f (x) b) lim | f (x) |
3.
3−x , x > 0
f (x) = * 0
, x=0
x−3 , x < 0
a) lim f (x) b) lim | f (x) |
nen limit değerlerini (varsa) bulunuz.
5 , x≥0
−5 , x < 0
x"0
x"0
fonksiyonu için lim f (x) ve lim | f (x) | değerlerix"1
ni (varsa) bulalım.
i)
Aşağıdaki parçalı tanımlı fonksiyonlar için iste-
x "a
olabilir.
x"1
lim f (x) ifadesinde x = 1 kritik nokta olduğu için sağdan ve sol-
x"1
dan limite bakmak gerekir.
lim f (x) =
x"1
lim (− 3) = − 3 ve
+
x"1
lim f (x) =
x"1
+
lim 3 = 3 tür.
−
x"1
−
Yani, lim f (x) ≠ lim f (x) olduğundan
f(x) in x = 1 de limiti yoktur.
ii)
iii)
x"1
+
x"1
−
x"0
lim | f (x) | için
x"1
lim | − 3 | =
x"1
lim | 3 | =
x"1
lim 3 = 3 ve
+
x"1
+
x"0
lim 3 = 3 olur.
−
x"1
−
Sağdan ve soldan limitler eşit olduğundan
lim | f (x) | = 3 tür.
x"1
İki durum arasındaki farkı daha iyi anlamak için f(x) ve |f(x)| grafiklerini inceleyiniz.
y
3
O 1
–3
x2 − 4 , x ≥ 0
x2 + 4 , x < 0
y=f(x)
y
x
3
O
1
y=|f(x)|
x"0
x
x"0
1) a) Yok
b) 5
2) a) Yok b) 4 3) a) Yok b) 3
19
TEST – 3 PARÇALI VE MUTLAK DEĞER FONKSİYONLARININ LİMİTLERİ
Z 2
] x − 2x + a , x > 1
]
f (x) = [
−4
, x=1
]
] 3x + b − 1 , x < 1
\
fonksiyonu tüm reel sayılarda limitli olduğuna
5x − 2, x ≥ 3
1.
f (x) = *
fonksiyonu için lim −f (x) değeri kaçtır?
A) 13
3 − 4x, x < 3
5.
x"3
B) 9
C) –9
D) –13
E) Yoktur.
göre, a – b kaçtır?
2.
Z4+x
]
]] 2
f (x) = [ − 7
]6−x
]]
2
\
fonksiyonu
, x>1
6.
, x=1
B) –6
x"1
5
2
B)
3
2
C)
x "−2
B) 2
D) –2
7
2
7.
E) Limit yoktur.
lim
x " 5−
A)
3.
8.
tır?
E) 6
C) 0
E) Limit yoktur.
|5 − x |
limitinin değeri kaçtır?
x 2 − 25
−1
10
1
B) − 8
D)
Z log x , x > 2
2
]
]
f (x) = [ x − 2 , x = 2
]
] 22 − x , x < 2
\
fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlış-
D) 3
| x2 − 4 |
limitinin değeri kaçtır?
x+3
lim
için lim f (x) değeri kaçtır?
D)
C) –3
A) 4
, x<1
A) –7
A) –9
1
8
C) 0
E) Limit yoktur.
| x2 − 9 |
limitinin değeri kaçtır?
x " − 3 x2 + x − 6
6
1
2
−6
A) B) C) 0
D) − E)
5
5
5
5
lim
−
A) lim f (x) = 3 B) lim +f (x) = 1
x"2
x"8
9.
C) lim −f (x) = 1 D) lim f (x) = 0
x"2
x"2
E)
A) 6
lim f (x) = 8
5x − k + 3, x ≥ k
10. f (x) = *
fonksiyonu x = k de limitli ise k kaçtır?
A)
20
B)
−1
4
1) C
x <k
C)
−3
5
2) B
B) 0
D) –4
f (x) = *
7
6
x"4
| x 2 − 2x − 8 |
limitinin değeri kaçtır?
x−4
x "−1
4.
4 − 2x,
lim
D)
−7
6
3) D
E) Limit yoktur.
x 2 − 2x − 3 , x ≥ 1
7 − 3x
C) –6
, x<1
ise
lim | f (x) | limitinin
x"1
değeri kaçtır?
E)
A) Limit yoktur.
1
6
4) E
5) D
6) C
B) 4
D) –1
7) A
C) 0
E) –4
8) A
9) E
10) B
6. GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİNDE LİMİT
BİLGİ
y
Tanım: –∞ ile +∞ kavramlarının reel(gerçek) sayılar kümesine eklenmesiyle genişletilmiş reel sayılar kümesi elde edilir. R ile gösterilir.
x
O
R = R∪{–∞, +∞}
f(x) =
1
fonksiyonunun grafiği üzerinde x → +∞, x → –∞, x → 0+ ve x → 0– durumlax
rını inceleyelim. a.
x → 0+ ve x → 0– durumları:
i)
x değişkenine, sıfıra yaklaşan negatif değerler verildiğinde fonksiyonun aldığı değerlerin sınırsız olarak küçüldüğü
görülmektedir.
ii)
lim
x " − 0, 1
1
1
1
1
1
1
=
= − 10; lim
=
= − 100; lim
=
= − 1000; …
−
−
x − 0, 1
x
0
,
01
x
0
,
001
x " − 0, 01
x " − 0, 001
x değişkenine, sıfıra yaklaşan pozitif değerler verildiğinde fonksiyonun aldığı değerlerin sınırsız olarak büyüdüğü
görülmektedir.
1
1
1
1
1
1
=
= 10; lim
=
= 100; lim
=
= 1000; …
x 0, 1
0, 01
0, 001
x " 0, 01 x
x " 0, 001 x
lim
x " 0, 1
1
1
=
= − 3 ve
x 0−
1
1
=
= + 3 şeklinde ifade edebiliriz.
x 0+
Bu iki durumu lim −
Bir genelleme yapacak olursak;
a ∈ R+ olmak üzere;
b.
x → +∞ ve x → –∞ durumları:
i)
x değişkenine, istenildiği kadar büyük pozitif değerler verildiğinde, fonksiyonun aldığı değerlerin sıfıra yaklaştığı
görülmektedir.
ii)
x"0
lim
x " 10
lim
x " 0+
a
a
= + 3 ve − = − 3 olduğu söylenebilir.
0+
0
1
1
1
1
1
1
=
= 0, 1; lim
=
= 0, 01; lim
=
= 0, 001; …
x 10
100
1000
x " 100 x
x " 1000 x
x değişkenine, istenildiği kadar küçük negatif değerler verildiğinde, fonksiyonun aldığı değerlerin sıfıra yaklaştığı
görülmektedir.
lim
x " − 10
1
1
1
1
1
1
=
= − 0, 1; lim
=
= − 0, 01; lim
=
= − 0, 001; …
x − 10
− 100
− 1000
x " − 100 x
x " − 1000 x
1
= 0 ve
x
Bu iki duruma lim
Bir genelleme yapacak olursak;
a ∈ R+ olmak üzere;
x"3
lim
x "−3
1
= 0 olarak ifade edebiliriz.
x
a
a
= 0 ve
= 0 eşitliklerini söyleyebiliriz.
+3
−3
21
YAKLAŞIM
SIRA SİZDE
Genişletilmiş reel sayılar kümesinde R∪(–∞, +∞) limit
işlemleri yapılırken
Aşağıda verilen limitlerin değerini bulunuz.
1.
a) lim +
7
x
b) lim +
−9
x
c) lim +
12
x
d) lim −
− 15
x
2.
a) lim +
3
x−1
b) lim −
7
x−1
c) lim +
−2
2−x
d) lim −
3
2−x
3.
a) lim
10
x
b) lim
−6
x−2
c) lim
−4
5−x
d) lim
7
x−7
4.
a) lim +
x−2
x2 − 9
b) lim −
3−x
(x − 4) 2
c) lim +
2x + 1
(x − 5) 2
d) lim −
3−x
(x − 7) 2
e) lim
x+2
x2 − 1
f) lim
g) lim +
x+1
1 − ex
h) lim −
sayı
sıfır
ifadesinde paydaki "sayı"nın işareti ile paydadaki
x"0
x"0
x"0
x"0
"sonsuz"un işaretine dikkat edilmelidir.
+
+
−
−
=+;
=−;
=−;
= +k
+
−
+
−
a
x"1
x"1
BİRLİKTE ÇÖZELİM
Aşağıdaki limitlerin değerini bulalım.
1.
lim
3
=
x " 0+ x
5
lim
x " 0− x
2.
3.
lim
x " 0+
4.
5.
=
−4
x
lim
5
x−3
x " 3+
6.
3
=+3
+
lim
x " 0−
=
5
lim
x " 3− x − 3
−2
=−3
+
0
8.
=
=
lim
1
x2 − 4
lim
x+3
(x − 2) 2
x " 2−
9.
x"2
5
+
3 −3
5
−
3 −3
=
=
5
0
+
5
0
−
=+3
1
1
=
=
=+3
+
4, … − 4
0
=
1
1
=
=−3
−
3, 99… − 4
0
x+3
2+3
5
lim
=
=
=+3
+ 2
+
x " 2 + (x − 2 )
(0 )
0
ii)
x+3
2+3
5
lim
=
=
=+3
− 2
+
x " 2 − (x − 2 ) 2
(0 )
0
O halde,
22
x"5
x"2
x"7
x"3
x"4
=−3
i)
x"0
−4
− =+3
0
1
lim
x " 2+ x 2 − 4
7.
x"2
0
5
=
=−3
−
0
−2
x
x"2
x+3
lim
= + 3 olur.
2
x " 2 (x − 2)
x"5
x"1
x"0
x"7
x"6
x"0
3−x
x 2 − 36
x−1
1 − ex
1) a) ∞ b) –∞ c) ∞ d) ∞
2) a) ∞ b) –∞ c) ∞ d) ∞ 4) a) ∞ b) –∞ c) ∞ d) –∞
3) a) Yok b) Yok c) Yok d) Yok e) Yok f) Yok g) –∞ h) –∞
YAKLAŞIM
SIRA SİZDE
1. a ∈ R için
i)
a + (+∞) = +∞
b) a + (–∞) = –∞
ii)
a > 0 ise a·(+∞) = +∞, a(–∞) = –∞
a < 0 ise a·(+∞) = –∞, a·(–∞) = +∞
iii)
a
a
= 0,
=0
+3
−3
Aşağıdaki limitlerin değerini hesaplayınız.
1.
a) lim (4 − x) c)
2.
a) lim 7x b) lim (3 − 6x)
c)
d)
3.
a) lim 7x 2 b) lim 8x 3
c)
lim 6x 4 d)
e)
lim − 2x 5 f)
4.
a) lim (x 2 − 2x − 1000) b)
c)
b)
lim (x − 3) d)
x"3
x "−3
lim (x + 4)
x "−3
lim (2 − x)
x "−3
2. (+∞) + (+∞) = +∞; (–∞) + (–∞) = –∞
(+∞) · (+∞) = +∞; (–∞) · (–∞) = +∞
(+∞) · (–∞) = –∞ dur.
x"3
x"3
3.
lim (a n ·x n + a n − 1 ·x n − 1 + ... + a 1 x + a 0) = lim (a n ·x n)
x ""3
x ""3
lim (5x + 4) x "−3
lim (3 − 4x)
x "−3
(x → " ∞ için polinom fonksiyonlarda limit hesabı
yapılırken sadece en yüksek dereceli terime bakılır.)
BİRLİKTE ÇÖZELİM
x"3
Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
1.
lim (3 + x) = 3 + 3 = 3
x "+3
2.
x"3
x "−3
lim 10x 3
x "−3
lim (5 + x) = 5 − 3 = − 3
x "−3
3.
lim 3x = 3· (3) = 3
x "+3
4.
x "−3
lim (5 − x 5)
x "−3
lim 5x = 5· (− 3) = − 3
x "−3
5.
lim 5x 2 = 5· (3) 2 = 5.3 = 3
x"3
6.
lim 3x 2 = 3· (− 3) 2 = 3· (3) = 3
x "−3
7.
lim − 2x 2 = − 2· (3) 2 = − 2· (3) = − 3
x"3
x"3
8.
lim (x 5 − 5x 3 + 8x + 7)
x "−3
lim 4x 3 = 4· (− 3) 3 = 4· (− 3) = − 3
x "−3
9.
lim (2x 3 1−454
x42 2
+ 44x 4−443) =
x"3
ihmal edilebilir
10.
3
lim (2x )
lim (5x − 4 + 7x 2)
x "−3
=2·∞=∞
ihmal edilebilir
d)
x"3
lim (− 2x 3 1+444
x42 2
− 24x 4+413) =
x "−3
lim (3 − 3x − x 2) x "−3
3
lim (− 2x )
x "−3
e)
lim (x 3 − 5x 2 − 7x 5) f)
x "−3
lim (1 − x − x 2 + x 7)
x "−3
= –2(–∞)3
= –2(–∞)
1) a) –∞ b) –∞ c) –∞ d) ∞
= +∞
3) a) ∞ b) ∞ c) ∞ d) –∞ e) ∞ f) ∞ 4) a) ∞ b) –∞ c) –∞ d) ∞ e) ∞ f) –∞
2) a) ∞ b) –∞ c) –∞ d) ∞ 23
YAKLAŞIM
SIRA SİZDE
a ∈ R – {0} olmak üzere
1.
a > 1 ise i) lim a x = a 3 = 3
x"3
ii) lim log a x = 3 iii) lim a x = a − 3 =
iv) lim +log a x = − 3 dur.
2.
x "−3
1
1
=
=0
a3 3
lim a x = 0
iii) lim log a x = − 3
iv) lim +log a x = 3 dur.
5.
6.
7.
8.
3 x
c) lim c m x"3 5
d)
3 x
lim c m
x "−3 5
r x
e) lim a k x"3 e
f)
5 −x
lim c m
x "−3 4
2.
a) lim log 2 (x + 3) b) lim log 1/2 (x + 5)
c)
lim 7 x
x "−3
lim a x = 3 x"3
x"3
x"0
Aşağıdaki örnek çözümlerini inceleyelim.
4.
b)
x"3
x "−3
BİRLİKTE ÇÖZELİM
3.
a) lim 7 x x"3
ii)
2.
1.
x"0
1.
Aşağıda verilen limitlerin değerini hesaplayınız.
x"3
0 < a < 1 ise i)
lim log 3 (x + 7) x " − 7+
e) lim ln (x + 3) 3.
a) lim + 3 x − 2 2 x−1
c) lim + c m x"1 5
7 x−5
e) lim + c m x"5 3
g) lim + 2 x − 3 3 x−2
i) lim + c m x"2 5
x"3
x"3
d)
lim log 2 (x + 3)
x " − 3+
f) lim + ln (4x − 5)
x"
5
4
lim 3 x = 3 3 = 3
x"3
lim 3 x = 3 − 3 =
x "−3
1
3
3
1 x 1 3
lim c m = a k =
3
x"3 3
x
1
lim c m
x "−3 3
=a
=
1
3
3
1
=0
3
=0
1
x"2
x"2
1
1 −3
3 3
k = a k = 33 = 3
3
1
lim log 3 x = 3
1
b) lim − 3 x − 2
1
2 x−1
d) lim − c m
x"1 5
1
1
7 x−5
f) lim − c m
x"5 3
x"3
lim + log 3 x = − 3
x"0
lim log 1/3 x = − 3
x"3
lim log 1/3 x = 3
x " 0+
x+1
x"3
x−1
x+1
h) lim − 2 x − 3
x"3
x−1
3 x−2
j) lim − c m
x"2 5
1) a) ∞ b) 0 c) 0 d) ∞ e) ∞ f) ∞ 2) a) ∞ b) –∞ c) –∞ d) ∞ e) ∞ f) –∞ 3) a) ∞ b) 0 c) 0 d) ∞ e) ∞ f) 0 g) ∞ h) 0 i) 0 j) ∞
24
5
TEST – 4 GENİŞLETİLMİŞ REEL SAYILAR KÜMESİNDE LİMİT
1.
lim
x " 0+
9.
−7
limitinin değeri kaçtır?
x
A) –∞
B) –7
C) 0
D) 7
E) ∞
lim log 5 (x + 4) limitinin değeri kaçtır?
x"3
A) ∞
B) 1
C) 0
D) –1
E) –∞
10.
2.
lim −
x"5
16
limitinin değeri kaçtır?
5−x
A) ∞
B) 5
C) 0
D) –5
E) –∞
lim
x " − 4−
5−x
limitinin değeri kaçtır?
16 − x 2
A) ∞
B) 9
C) 0
D) 1
B)
1
2
C) 0
D) –1
E) –∞
1
lim + 5 x − 2 limitinin değeri kaçtır?
x"2
1
5
E) –∞
2 3−x
lim −c m limitinin değeri kaçtır?
x"3 3
3
2
A) ∞
B) C) 0
D) 2
3
E) –∞
A) ∞
B) 5
C) 0
D)
4
x+4
lim
x " − 5 + (x + 5) 2
A) ∞
12.
limitinin değeri kaçtır?
B) 1
C) 0
D) –1
E) –∞
5.
A) ∞
E) –∞
4.
2
11.
3.
lim log 1 (3 − x) limitinin değeri kaçtır?
x "−3
13.
lim (3 − 2x − x ) limitinin değeri kaçtır?
2
B) 3
C) 0
D) –1
sinx
limitinin değeri kaçtır?
x+4
A) ∞
x"3
A) ∞
lim
x"3
E) –∞
D) –∞
B) 1
C) 0
E) Limit Yoktur.
6.
14.
lim (x 5 − x 3 − 2x 7) limitinin değeri kaçtır?
x "−3
A) ∞
B) 1
C) 0
D) –2
E) –∞
15.
lim 5 − x limitinin değeri kaçtır?
x"3
A) ∞
B) 5
C) 0
D) –5
E) –∞
8.
A) ∞
5x − 4
m limitinin değeri kaçtır?
1 − logx
B) 1
C) 0
D) –1
E) –∞
7.
lim c
x " 10 +
lim c 2 x − 2 x m limitinin değeri kaçtır?
1
x "−3
A) 4
B) 2
C) 1
D) 0
E) –1
3 x
lim c m limitinin değeri kaçtır?
x "−3 2
3
2
A) ∞
B) C) 0
D) − 2
3
1) A
2) A
3) E
4) E
5) E
6) A
16.
E) –∞
7) C
8) C
9) A
10) E
lim
x "−3
A) ∞
11) A
cos3x
limitinin değeri kaçtır?
x+3
B) 1
12) C
13) C
C) 0
14) E
D) –1
15) E
16) C
E) –∞
25
7. TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ
BİLGİ
a ∈ R için lim sinx = sina; lim cosx = cosa ; lim tanx = tana ve lim cotx = cota dır. (a ≠ 0)
x"a
x"a
x"a
x"a
Not: Trigonometrik fonksiyonlarla ilgili limit hesaplamalarında x in ölçüsü hep radyan olarak düşünülür.
BİRLİKTE ÇÖZELİM
lim
r
x"
3
cosx − 1
sinx − 3
limitinin değeri kaçtır?
SIRA SİZDE
1.
2.
lim
x"0
lim
x"r
sinx − 3
cosx + 4
6.
tanx − 1
2cos2x + 3
7.
8.
3.
lim
r
x"
4
3tanx − 1
2 − cotx
9.
4.
5.
lim
3r
x"
2
lim
r
x"
6
3cosx − cotx
2sinx − cosx
26
r
4
sinx + cosx
r−x
lim +
r
x"
4
lim
r
x"
6
lim
tanx + 1
cos2x
sinx − 3
cosx + 1
3r
x"
2
cos2x − cotx
sinx − 3
r
k− 1
2
10. lim
x " 5r cos a 2x + r k + 1
3
sin a x +
2sinx − 3
r
−x
2
3
1) − 5
lim
x"
1
2) − 3) 2 5
4) 0 5)
−6
r
6)
4 2
7) –∞ 3r
8) 8 − 5
3 9)
1
−4
10)
4
3
YAKLAŞIM
SIRA SİZDE
Trigonometrik fonksiyonların grafiklerini bilmek, ilgili
soruların çözümünde büyük kolaylık sağlar.
y
Aşağıdaki limitlerin değerini hesaplayınız.
1.
y
x
O π/2
–
–1
f(x)=sinx
x
π O π
2
2
–1
2.
O
x
π
2
–π –π/2 O π/2
π
f(x)=cotx
5.
BİRLİKTE ÇÖZELİM
2.
3.
4.
5.
cosx
lim
x " 0+ x
lim
x"
r−
2
lim
x " 0+
lim
r+
x"
2
=
cos0
0
cos2x
1 − sinx
x+3
tanx
=
+
0
x " 0+
lim
1 + cosx
1 − cosx
lim +
sinx + 1
cosx
r
x"
2
lim − tanx
x"
r
2
1 − sin
0+3
+
sin
=
0
+
+
r
2
3 tanx 3 tan
lim − c m
=a k
5
r
5
x"
=
r−
2 =
3 cotx 3 cotr
lim − c m
=a k
2
x"r 2
−1
1−1
−
=
−1
0
+
=−3
=+3
r
+3
2
cot
=
−
r
2
3
=
lim + tanx
x"
r
2
=+3
+
cosr
=
tan0
sinx + 3
cotx
=
1
2
6.
x+r
sinx + 1
Aşağıdaki soruların çözümlerini inceleyelim.
6.
1.
r+
x "−
2
x
4.
f(x)=tanx
lim
y
3.
π
2
cosx + 3
sinx
f(x)=cosx
y
–
lim
x " 0−
1
1
–π/2
8.
1+3
0
−
+3
=a
r+
2
sinx + cosx
tanx
lim
cos5x + 3
tanx
lim
sinx − cosx
tanx + cotx
lim −
cos2x − sinx
cotx − tanx
x " 0−
x " 0+
=0
10.
−
lim
x "−
=−3
9.
a k
3
5
7.
3 −3
2 3
k =a k =0
2
3
r
x"
2
1) –∞ 2) ∞ 3) ∞ 4) –∞ 5) ∞ 6) –∞ 7) 0 8) –∞ 9) 0 10) 0
27
TEST – 5 TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN LİMİTİ
1.
2.
3.
lim (sin2x + cos3x) limitinin değeri kaçtır?
9.
x"0
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
lim (cos2x − 3sinx) limitinin değeri kaçtır?
x"
A)
r
6
−1
− 3
B)
2
2
lim c
r
x"
4
3
A)
2
C) –1
D)
1
2
E)
3
2
1
B) 2
−1
D)
2
C) 1
5.
6.
7.
8.
r
x"
3
lim
3r
x"
2
r
x"
4
A)
lim
A) ∞
r+
2
A) ∞
28
cos2x
limitinin değeri kaçtır?
cotx
lim
x"
C) 0
B) 1
−r+
2
C) 0
D) –1
E) –∞
2 tanx
limitinin değeri kaçtır?
c m
3
B)
D) –∞
13.
E) –∞
−2
3
C) 0
E) Limit yoktur.
5 sinx
limitinin değeri kaçtır?
lim + c m
4
r
x"
2
−2
B)
r
7r
2
lim
lim
x " r−
− 3
E)
2
2
D) r
C) 0
E) p
2r − x
limitinin değeri kaçtır?
cosx
x " 0−
x"
−1
D)
2
sinx
limitinin değeri kaçtır?
r−x
A) –p
lim
1
B) 2
E) –∞
lim
A) ∞
3
A)
2
D)
x " 0−
A) ∞
lim (tanx − sinx) limitinin değeri kaçtır?
C) 0
−r
2
cosx
limitinin değeri kaçtır?
cotx
A) ∞
B) 1
C) 0
D) –1
B)
r
2
10.
12.
4.
limitinin değeri kaçtır?
A) ∞
11.
− 3
E)
2
r − tanx
x"
2
cosx·sinx
m limitinin değeri kaçtır?
tanx
x−r
lim
B)
r
2
C)
5r
2
D)
6r
2
14.
E)
7r
2 2
cosx
limitinin değeri kaçtır?
x
B) 1
C) 0
D) –1
E) –∞
1) D
2) C
C) 0
3) B
D) –1
4) A
5) D
E) –∞
6) E
7) E
8) A
lim
x"
r+
2
C) 0
D)
4
5
E) –∞
B) –p
C) 0
D) p
E) 1
sinx + cosx
limitinin değeri kaçtır?
cotx − tanx
B) 1
C) 0
D) –1
E) –∞
lim tanx·cotx limitinin değeri kaçtır?
x " 0−
A) ∞
9) C
5
4
r
2
A) ∞
16.
B)
lim − ^e − tanx − rcotx h limitinin değeri kaçtır?
x"
A) –1
15.
cos4x
limitinin değeri kaçtır?
1 − sinx
B) 1
A) ∞
10) C
B) 1
11) C
C) 0
12) A
13) B
D) –1
14) A
15) C
E) –∞
16) B
8. BELİRSİZLİKLER
YAKLAŞIM
Tanımı olmayan, işlemi yapılamayan ifadelere "tanımsız" ifadeler denir.
3 7
Örneğin (–5)!, c m!, , gibi işlemler tanımlı değildir.
2 0
(Yani, x ≠ 1 olduğundan y =
x 2 − 1 (x − 1) (x + 1)
=
= x+1
x−1
x−1
işlemini yapabiliyoruz.)
f (x) =
Sonucu belli olmayan ifadelere "belirsiz" ifadeler denir.
1
fonksiyonunun grafiğine tekrar dönelim.
x
y
0 3
Örneğin, , , 3 − 3, 0·3, 0 0, 3 0, 0 3 gibi ifadeler belir0 3
sizdir.
x
O
Ancak limit yardımıyla böyle ifadeler için bazı sonuçlar
hesaplayabiliriz. Limit işlemleri sonucunda elde edeceğimiz ∞, 0 ya da 1 gibi ifadeler, bu tür belirsizliklerin eşiti
ya da sonucu değil limitleridir. Fonksiyonun davranışı ile
ilgili yorum yapmamızı sağlar.
Her türden belirsizliği limit işlemleriyle ortadan kaldırma0
nın değişik yöntemleri vardır. Örneğin belirsizliğini yok
0
etmek için özdeşlikler ve çarpanlara ayırma yöntemleri
kullanılır. Ancak daha sonra Türev konusunda öğreneceğimiz L'HOSPİTAL yöntemi de devreye girecektir.
x2 − 1
fonksiyonunu ele alalım. x = 1
x−1
değeri paydayı sıfır yaptığı için f(1) değeri hesaplanaÖrneğin, f (x) =
maz. Yani, f(1) tanımsızdır.
f (x) =
y
y=x+1
1
–1
O 1
= − 3 olduğunu daha önce söylemiştik. (–∞) bir
reel sayı olmadığı için bu ifadenin anlamı "limit vardır ve
1
–∞ sayısına eşittir." demek değildir. " f (x) = fonksiyonu
x
x sayıları sıfıra soldan yaklaştıkça çok çok küçük negatif değerler aldığı için limiti yoktur." anlamına gelir.
1
1
= + 3 eşitliğinin anlamı da " f (x) =
x
x
fonksiyonu x sayıları sıfıra sağdan yaklaştıkça çok çok
Aynı şekilde lim +
x"0
büyük pozitif değerler aldığından limiti yoktur." anlamın1
dadır. Yani, x sayıları sıfıra çok çok yaklaştıkça, f (x) =
x
değerleri de sınırsız bir şekilde arttığının ya da azaldığı-
Bir başka duruma daha bakacak olursak;
x2 − 1
grafiklerini karşılaştıralım.
x−1
2
1
nın sembolik bir gösteriminden ibarettir.
2
x − 1 (x − 1) (x + 1)
=
= x+1
x−1
x−1
y = x + 1 ve y =
lim
x " 0− x
y=
2
i) lim (x 2 + x) = lim x 2 + lim x = 3 + 3
x2–1
x–1
1
x
–1
O 1
x
x"3
x"3
x"3
= ∞ dur.
ii) lim (x 2 − x) = lim x 2 − lim x = 3 − 3
x"3
x"3
x"3
= Belirsizdir.
Ancak,
lim (x 2 − x) = lim x· (x − 1) = lim x· lim (x − 1)
lim (x + 1) = 1 + 1 = 2
x"1
ve
2
x −1 0
lim
=
0
x"1 x−1
eşitliklerindeki "x → 1" in anlamı x = 1 değildir. "x sayısı
1 e yaklaşırken" demektir.
x"3
x"3
x"3
x"3
= ∞·∞
= ∞ dur.
Özet olarak şunu söyleyebiliriz: belirsizlik giderilebilir
ancak tanımsızlık giderilemez.
29
a) 0 Belirsizliği
0
YAKLAŞIM
a ∈ R olmak üzere, lim
x"a
f (x)
0
ifadesinde f(x) ve g(x) fonksiyonlarında x = a değeri yerine yazılır. Sonuç oluyorsa, f(x)
g (x)
0
ve g(x) çarpanlarına ayrılarak gerekli sadeleştirmeler yapılır ve belirsizlik durumu ortadan kaldırılır. Pay ve paydası polinom olan bu tarz fonksiyonlarda sadeleşen çarpan her zaman (x – a) dır.
BİRLİKTE ÇÖZELİM
lim
x "−3
x2 + x − 6
x + 8x + 15
2
limitinin değeri kaçtır?
SIRA SİZDE
1.
2.
3.
4.
Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
lim
x +x−2
x 2 + 2x − 3
lim
x2 + x − 6
x2 − 4
x"1
x"2
6.
2
7.
8.
x 3 − 4x
lim 3
x"2 x −8
lim
a "−2
9.
2
a + 3a + 2
a2 + a − 2
lim
m (2m − 7) − 4
m (3m − 14) + 8
lim
− 2x 2 − 7x + 4
8 − 10x − 3x 2
m"4
x "−4
lim
1 − u4
1 − u3
lim
y3 − 8
y 4 − 16
u"1
y"2
10. lim
5.
lim
m "−3
1)
30
k"0
m (m − 1) − 12
m (m − 2) − 15
3
4
2)
5
4
3)
2
3
4)
1
3
5)
7
8
6)
9
10
7)
5k 3 + 8k 2
3k 4 − 24k 2
9
14
8)
4
3
7)
3
8
8) −
1
3
YAKLAŞIM
x → 3 ifadesi "x değişkeni 3 sayısına yaklaşırken" şeklinde anlaşıldığına göre, x → y ifadesi "x değişkeni y sayısına
yaklaşırken", m → n ifadesi "m değişkeni n sayısına yaklaşırken" şeklinde anlaşılmalıdır.
BİRLİKTE ÇÖZELİM
lim
y"x
y2 − x2
y3 − x3
limitinin değeri kaçtır?
SIRA SİZDE
1.
Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
lim
x"y
x 2 − xy
x2 − y2
7.
2.
x2 − a2
lim 3
3
x"a x −a
3.
x−m
lim 3
3
x"m x −m
4.
5.
lim
a"b
lim
6.
8.
a 2 − ab
ab − b 2
a "−b
9.
a2 − b2
a3 + b3
1)
2x 2 − kx − k 2
x 2 + kx − 2k 2
lim
x"k
lim
m3 − n3
m4 − n4
lim
2x 2 − xy − 3y 2
3x 2 + xy − 2y 2
m"n
x "−y
lim c lim
x"2 y"x
10. lim f lim
a"3
1
2
2)
2
3a
3)
1
3m
2
4) 1 5)
−2
3b
6) 1
7)
y−x
m
x2 − y2
b"a
3
4n
b2 − a2
p
2b − ab − a 2
8) 1
2
9) –
1
4
10)
2
3
31
YAKLAŞIM
Üslü ifade içeren
kullanılabilir.
0
belirsizliklerinde ifadeleri daha kolay çarpanlarına ayırabilmek için "değişken değiştirme yöntemi"
0
BİRLİKTE ÇÖZELİM
lim
x"2
4 x − 16
4 − 2 x − 12
x
limitinin değeri kaçtır?
SIRA SİZDE
Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
1.
4x − 4
lim x
x"1 2 −2
2.
3.
4.
5.
7.
lim
9x − 9
3 − 3x
lim
2x − 2
8x − 8
lim
16 − 4 x
x
− 4 + 9·2 x − 20
x"1
x"1
x"2
6.
8.
9.
32
1) 4 4 − x − 16
4 − 2− x
lim
5x − 5
125 x − 125
lim
25 x − 5 x + 1 + 4
25 x + 2·5 x − 3
lim
16 x − 16
8 − 8x
x "−2
x"1
x"0
x"1
10. lim
2− a − 2
lim − a
− 2− a − 2
a "−1 4
lim
x"0
2) –6 3)
1
12
4) –8 5)
1
3
6) –8
7)
27 x − 1
81 x − 1
1
75
8) –
3
4
9)
−8
3
10)
3
4
YAKLAŞIM
0
belirsizliklerinde, pay ve paydayı köklü ifadenin eşleniği ile çarparak belirsizlik durumu giderilir.
0
2
2
^ f + g h ifadesinin eşleniği ^ f − g h ve ^ f + g h^ f − g h = ^ f h − ^ g h = ^f − g h dir.
Köklü ifade içeren
BİRLİKTE ÇÖZELİM
lim
x"3
x+1 −2
x2 − 9
limitinin değeri kaçtır?
SIRA SİZDE
1.
2.
Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
lim
x"2
6.
x+2 −2
x 2 + 3x − 10
7.
2x 2 + x − 3
lim
x+8 −3
x"1
8.
3.
4.
5.
lim
x"0
lim
x "−3
lim
x"4
2 − x2 − 5
x+3
4x − x 2
2− x
lim
x"1
3
x −1
x−1
x+4 −2
x 3 + x 2 − 6x
9.
x 2 − 81
lim
x"9 x −3
x"4
lim
10.
x−4
5 − x2 + 9
1)
1
2) 30 28
3)
−1
24
4) 108 5)
−5
4
6)
3
2
lim
x3 + 8
x + 12 − 4
lim
x2 + 7 − 4
x 3 + 27
x "−2
x "−3
7) 16 2
8)
1
3
9) –24 1
10) −
36
33
YAKLAŞIM
Bir reel sayıya eşit olduğu bilinen limit içindeki rasyonel ifadenin x in yaklaştığı değer için paydası 0 oluyorsa payınında 0 olması; payı 0 ise paydasında 0 olması gerekir.
BİRLİKTE ÇÖZELİM
lim
x"2
x 2 − 5x + k + 2
=m
x−2
olduğuna göre, k + m kaçtır? (k, m ∈ R)
SIRA SİZDE
1.
(a − 2) x + 4
limitinin değeri bir gerçek sayı
x−2
lim
x"2
6.
ise a kaçtır?
2.
3.
4.
lim
x"3
lim
x 2 − kx + 6
= m ! R olduğuna göre, m kaçtır?
x−3
x "−2
x 2 − 4x + m + 1
=n
x+2
lim
x− x+k
limitinin değeri bir reel sayı ise k
x2 − 4
kaçtır?
8.
−x − x + m
ifadesi hangi reel sayıya eşit
x2 − 4
olabilir?
9.
x+a −3
= b ise a · b kaçtır?
x−2
x "−3
x2 − 9
= 2 ise m kaçtır?
x + 3x + m + 1
2
7.
ise m – n kaçtır?
x"2
lim
lim
x"2
lim
x "−2
lim
3
x"2
bilir?
10. lim
5.
lim
x"2
34
x"1
x2 − 4
= − 4 ise a kaçtır?
x 2 − 5x + a
1) 0 2) 1 3) –5 x −3 a
ifadesi hangi reel sayıya eşit olax−2
4)
7
6
5) 6
6) –1
7) 2 x+k −2 1
= ise k kaçtır?
2
x −1
8)
5
16
9)
1
3
3
4
10) 3
BİLGİ
lim
x"0
sinax
ax
sinax a
= lim
= lim
= dir. bx
b
x " 0 sinbx
x " 0 sinbx
lim
x"0
tanax
ax
tanax
tanax a
= lim
= lim
= lim
= dir.
bx
b
x " 0 tanbx
x " 0 tanbx
x " 0 sinbx
Not: x → 0 iken x ≅ sinx ≅ tanx olur.
BİRLİKTE ÇÖZELİM
lim
x"0
tan3x
sin4x
limitinin değeri kaçtır?
SIRA SİZDE
1.
Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
lim
x"0
6.
sin5x
4x
7.
2.
− 14x
lim
sin
7x
x"0
3.
3x
2
lim
x " 0 tan c 5x m
2
8.
9.
4.
lim
x"0
lim c
x"0
lim
sin 2 2x
3x 2
lim
sin3x·cot5x
2x·cot4x
lim
cotx
cot2x
x"0
x"0
r
x"
2
tan6x
sin3x
10. lim
x"0
5.
lim
x"0
sin5x
4x
−
m
3x
tan2x
1)
5
4
2) –2 3)
3
5
lim bx·cotax kaçtır?
sin6x
3
= ise a kaçtır?
tan (a + 1) x 5
4) 2 5) 9
6)
sinax 3
= ise
tanbx 5
x"0
−1
3
7)
4
3
8)
6
5
9) 2
10)
5
3
35
YAKLAŞIM
Değişken değiştirme yöntemi kullanılarak x → a ifadesi x – a = h ve x = h + a elde edilir. Böylece x → a ifadesi de h → 0 ifadesine dönüştürülerek bir önceki yaklaşımda anlatılan özellikler kullanılır.
Not: lim
x"a
sin (x − a)
tan (x − a)
= lim
= 1 dir.
x−a
x−a
x"a
BİRLİKTE ÇÖZELİM
lim
x"1
sinrx
x−1
limitinin değeri kaçtır?
SIRA SİZDE
1.
2.
Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
lim
x"3
lim
x"2
sin (3x − 9)
5x − 15
sin (rx)
x−2
6.
3
sin c m
x
lim
5
x"3
x
a ipucu: h =
7.
8.
3.
4.
5.
lim
x−3
sinrx
lim
sinrx
x2 − 1
x"3
x"1
9.
r
2
lim
r cotx
x−
x"
10.
1
lim x·sin c m
x
x"3
5
lim 3x·sin c m
x
x"3
lim
x"3
2x
3
cot c m
x
2
lim 3x·tan c m
x
x"3
2
1)
36
1
olsun. k
x
3
5
2) p 3)
−1
r
4)
−r
2
5) –1
6)
3
5
7) 1 8) 15
9) 6 10) 6
YAKLAŞIM
Trigonometrik özdeşlikler yardımıyla
tanx =
1
1
; cotx =
;
cotx
tanx
0
belirsizliği ortadan kaldırılabilir.
0
sin 2 x + cos 2 x = 1; sin2x = 2sinx cosx; cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2 x – 1 = 1 – 2sin2x
BİRLİKTE ÇÖZELİM
lim
x"
r
2
1 − sinx
cos 2 x
limitinin değeri kaçtır?
SIRA SİZDE
1.
2.
3.
4.
Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
lim
x "−
r
2
lim
x " 2r
1 + sinx
cos 2 x
5.
sin 2 x
1 − cosx
6.
lim
1 + cosx
sin 2 x
lim
1 − cosx
x·sinx
x"r
x"0
7.
8.
1)
1
2
2) 2 3)
1
2
4)
1
2
5) ∞
lim
sinx
1 − cosx
lim
1 − cosx
sinx
x " 0+
x " 0+
lim
x " r/4
lim
x"0
6) 0
cosx − sinx
cos2x
1 − cos2x
tan 2 2x
7)
2
2
8)
1
2
37
0
BELİRSİZLİĞİ
0
TEST – 6
1.
2.
x "−3
9
A) 2
3
B) 2
C) 0
−3
D)
2
−9
E)
2
2x 2 − xh − h 2
limitinin değeri kaçtır?
x 2 − 4xh + 3h 2
lim
x"h
−3
2
B)
−1
2
C) 0
D)
1
2
A)
3.
4 x − 16
limitinin değeri kaçtır?
x
x " 2 8 − 64
−1
1
1
A) 0
B)
C) D) 6
4
6
7.
x 3 + 27
limitinin değeri kaçtır?
x2 − 9
lim
E)
3
2
1
E)
3
sin2x
2x
−
m limitinin değeri kaçtır?
3x
cos5x
2
3
8.
A)
lim
x"0
A)
B)
1
4
C)
1
3
D)
−2
5
3x
lim 2 limitinin değeri kaçtır?
x " 0 sin6x
1
2
C)
4
15
A)
B)
2
5
9.
lim
lim c
x"0
D)
E) 0
9
2
E) 4
tan 2 3x
limitinin değeri kaçtır?
5x 2
9
25
B)
3
5
C)
3
25
D)
9
5
E) 0
4.
5.
5 − x 2 + 16
limitinin değeri kaçtır?
x−3
lim
x"3
−3
B)
5
A) –∞
lim
x"5
C) 0
3
D) 5
10.
E) ∞
A) 12
11.
sinrx
limitinin değeri kaçtır?
3−x
r
r
A) p
B) C) 0
D) − 2
2
A) 32
lim
B) 14
C) 0
D) –14
E) –32
x "−4
A) 0
38
3
2
lim
x"3
2x + x + a
limitinin değeri bir reel sayı ise
x+4
a kaçtır?
E)
x2 − x + a + 3
= b ise a + b kaçtır?
x−5
6.
2
limitinin değeri kaçtır?
x
2
B) 6
C) 3
D) 3
lim 3x·sin
x"3
12.
B) 12
1) E
2) A
C) 20
3) D
D) 62
4) B
E) 68
5) D
6) E
lim
x " 0−
cos2x − 3
limitinin değeri kaçtır?
sinx
A) ∞
7) A
E) –p
B) 2
8) B
9) D
C) 0
10) B
D) –2
11) A
E) –∞
12) A
b) 3
3 Belirsizliği
BİLGİ
Z0
, n<m
]
] an
a n ·x n + … + a 1 x + a 0
, n=m
n, m ∈ N olmak üzere, lim
=]
m
[ bm
x " 3 b m ·x + … + b 1 x + b 0
]
]" 3 , n > m
]
\
Not:
lim (a n ·x n + … + a 1 x + a 0) = lim a n ·x n dir.
x ""3
x ""3
BİRLİKTE ÇÖZELİM
lim
x"3
5x 3 − 4x 2 + x − 1
2x 3 + 5x 2 − 9
limitinin değeri kaçtır?
SIRA SİZDE
1.
2.
3.
4.
5.
Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
lim
x"3
6.
3x 3 − 8
3
2x + x 2 + x + 1
lim
3x 2 − 7x + 19
8x − 4
8.
lim
x 3 − 5x + 4
4x + 8x 3 + 7x − 5
9.
x"3
x"3
lim
x "−3
4
3 − 5x
4x + 6
1)
2)
−1
3
3) ∞ 4) 0 5)
−5
4
lim
15x 5 + x 4 + 45
x6
x "−3
lim a log 2 16x 2 − 4x − log 2 4x 2 − 3 k
x"3
lim ^ln ex + 5 − ln x − 4 h
x"3
10.
3
2
3x 2 − 2x − 4
3 − 4x + 5x 2
x "−3
7.
3 − 5x + x 2
lim
2
x " − 3 4x − 3x + 12
lim
6)
lim a log x 2 − 5x + 4 − log 3x − 5x k
x "−3
3
5
7) 0 8) 1
9)
1
2
10) ∞
39
YAKLAŞIM
Pay ve paydada çarpanlara ayrılmış şekilde bulunan ifadelerdeki her çarpanın en yüksek dereceli terimi dışındaki terimler yok sayılarak gerekli işlemler yapılır.
BİRLİKTE ÇÖZELİM
lim
x"3
(2x − 1) 3 · (4x − 2 − 3x 2) 2
(5x 3 − 8x 2 + 1) 2 · (12x + 9)
limitinin değeri kaçtır?
SIRA SİZDE
1.
2.
3.
4.
Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
(5x − 1) 2 · (2x + 1) 3
(x 2 − 3x − 5) 2
lim
x"3
lim
5.
x "−3
6.
(2 − x) 3 · (5x 2 + 4) 2
(2x + 1) · (− x 3 + 3x + 4) 2
(4x − 3) 2 · (3x + 4) 4
lim
3
2
2
x " 3 (2x − 5x + 4x − 7)
lim
x"3
(4 − 3x) 3 · (x + 1)
(3x − 2) 2 · (1 − 5x) 2
8.
1) ∞ 40
7.
2)
− 25
3) 324
2
4)
−3
25
5) 0 lim
(2x − 3) 4 · (5 − x) 3
(x 2 − 3) 2 · (x 4 − x + 3)
lim
(15x 2 − 4x ) 3 (6 − x )
(x 3 − x 2 + 1) 2
lim
(1 − 4x + 4x 2) (x 2 − 25)
(2x − 1) 2 (9 − x 2)
x"3
x "−3
x "−3
^(x + 1) 2 − 3h (x + 4)
(5 − (3 − x) 4) 2
x"3
3
lim
6) ∞
7) –1 8) 0
SIRA SİZDE
YAKLAŞIM
3
belirsizliklerinde de en yüksek
3
dereceli terim dışında kalanlar yok sayılabilir.
Köklü ifade içeren
x → ∞ ve x → –∞ ifadelerine dikkat edilmelidir.
x2 = | x | ;
3
Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
1.
lim
9x 2 − 5x + 4
4x − 7
lim
3 − 5x
8 − 12x + 25x 2
x"3
x3 = x
x → ∞ için |x| = x ve
x → –∞ için |x| = –x tir.
2.
3.
x"3
3
lim
x"3
8x 3 − 5x 2 + 4x − 7 + 2x − 3
16x 2 − 25x + 19
BİRLİKTE ÇÖZELİM
1.
lim
x"3
3x + 5 + 4x 2 − 8x + 15
9x 2 + 18x + 1 + x 2 − 2x − 7
4.
6.
16x 2 − x + 45
3 − 2x
lim
9x + 100000
36x 2 − 40x + 18
x "−3
limitinin değeri kaçtır.
5.
2.
lim
lim
x "−3
5x + 3 − 4x 2 − 8x + 15
25x 2 − 16x + 4 − 7x + 16
7.
x "−3
4x + 5 − 16x 2 − 7x − 45
125x 3 − 1923x + 1453
lim
x "−3 3
3
lim
x "−3
64x 3 − 8x 2 + 9x − 5 + 12x − 5
x 2 − 6x + 9 − 15x + 15
limitinin değeri kaçtır?
8.
9.
10.
1)
lim
7x − 15
x 25x 2 − x + 3
lim
x 4x 2 − 5x + 3
8x + 9
lim
x4 + x3 + x2 + x + 1
5x + 7 + x x 2 − x − 3
x "−3
x"3
x"3
3
4
2) –1 3) 1
4) 2 5)
−3
2
6)
8
5
7) –1
8) 0 9) ∞ 10) 1
41
YAKLAŞIM
Sonucunun 0 dan farklı bir reel sayı olduğu verilen
olması gerekir.
3
belirsizliklerinde pay ve paydadaki ifadelerin derecelerinin eşit
3
BİRLİKTE ÇÖZELİM
(m + 2) x 3 + 5x 2 − 8x + 4
=−2
nx 2 − 3x − 1
lim
x"3
olduğuna göre, m · n kaçtır?
SIRA SİZDE
1.
2.
3.
lim
x "−3
lim
x"3
(m − 1) x + 3
= − 2 ise m kaçtır?
4 − 5x
6.
7.
4x 2 − 3x + 2 − ax 2 1
= ise a kaçtır?
2
(2x − 3) 2
(a − 4) x 3 − 6x 2 + 2x − 1
= − 1 ise a + b kaçtır?
lim
bx 2 − x + 16
x"3
8.
lim
x"3
lim
x "−3
(a + 3) x 3 − 5x 2 + 7
= 0 ise a kaçtır?
(4 − a) x 3 + 7x − 8
x3
= − 1 ise a kaçtır?
(1 − x) (2 − x) (3 + ax)
3 − x 3a − 5
12 − a
x"3 5+x
limitinin değeri bir reel sayı ise a nın alabileceği
lim
kaç farklı doğal sayı vardır?
4.
lim
x"3
5x k − 4
=0
3x 3 − 5x + 4
ise k'nin alabileceği kaç farklı doğal sayı değeri
9.
vardır?
5.
lim
x"3
(m − 2) x 2 − 5x + 3
= 3 ise m kaçtır?
( 5 − m) x 2 + 6 x − 7
1) 11 42
2) 2 3) 10
4) 3
10.
5) 5 6) –3
lim
x "3
lim
x"3
7) –1 3x + 4 (kx ) 4 + 3
–4x + 3 (mx ) 3 + 2
= 1 ise m – k kaçtır?
a
ax 2 − 2x + 1 + 2x
= 2 ise
kaçtır?
b
bx 2 + 3 + x
8) 5
9) 7 10) 4
YAKLAŞIM
Üslü ifade içeren
3
belirsizliklerinde
3
i)
x → +∞ ise pay ve paydadaki tabanı en büyük terimler alınır.
ii)
x → –∞ ise pay ve paydadaki tabanı en küçük terimler alınır.
Not: x in negatif değerleri için 3x < 2x; pozitif değerleri için 3x > 2x tir.
BİRLİKTE ÇÖZELİM
lim
x"3
rx + 2e x − 3·5 x
2rx − 3e x + 5 x + 1
limitinin değeri kaçtır?
SIRA SİZDE
1.
2.
Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
lim
x"3
lim
x"3
6.
2x − 5x
2x + 5x
7.
3x − 1 − 2x + 1
3x + 1 + 2x − 1
8.
3.
4.
5.
lim
x"3
2·7 x + 5·3 x
4·rx + 2 3x
lim
3 2x − 1 − 7 x + 7
2 3x + 1 + 5 x
lim
3x + 2x + 2
2 x + 1 + 5·3 x
x"3
x "−3
1) –1 2)
9.
lim
rx + 1 − e x + 2
2rx + 3e x
lim
2 3x + 1 − 3 2x − 1
5x − 1 + 4x + 1
lim
3a
ax + bx
= 1 ve a < b ise
kaçtır?
x
5c
c
x "−3
x "−3
x "−3
lim
x"3
e − x − 3r− x + 6
2
2 x
c m + rx+1 + 3
3
10. f(x) = 5·3x+1 ise
1
9
3) 0
4) ∞
5) 2 6)
2
−e
3
7) 0 8)
3
5
lim
x "−3
9)
3
2
f (x + 2)
kaçtır?
f (1 − x)
10) 0
43
SIRA SİZDE
YAKLAŞIM
lim ^n ax + b − n cx + d h limitini hesaplarken kök
Aşağıdaki limitleri hesaplayınız.
x"3
içindeki b ve d sayılarını atalabiliriz. (ihmal edilebilir.)
i)
a = c ise limit değeri 0 dır.
ii)
a < c ise limit değeri –∞ olur.
iii) a > c ise limit değeri ∞ olur.
BİRLİKTE ÇÖZELİM
1.
2.
3.
lim ^ x − x + 1 h
x"3
lim ^ 3x + 4 − x − 3 h
x"3
lim ^ 2x + 4 − 3x − 5 h
x"3
Aşağıdaki örnekleri inceleyelim.
1. lim ^ 5x − 2 − 3x + 1 h = lim ^ 5x − 3x h = 3
x"3
4.
x"3
lim ^ 5x − 5x + 1 h
x"3
2. lim ^ 2x + 8 − 5x − 1 h = lim ^ 2x − 5x h = − 3
x"3
x"3
olur.
5.
3. lim ^ 3x + 4 − 3x − 5 h = lim ^ 3x − 3x h = 0
x"3
lim ^ 5x − 4x h
x"3
x"3
Aslında bu tür problemleri çözerken ifadenin eşleniği ile çarpıp bölmemiz gerekir.
6.
7.
8.
9.
10.
lim ^ x − 2x + 1 h
x"3
lim ^3 x − 3 x − 1 h
x"3
lim ^3 x + 2 − 3 x + 1 h
x"3
lim ^ ax + 3 − 5x − 4 h = 0 ise a kaçtır?
+" 3
lim ^ 2x − 1 − mx + 4 h = − 3 ise m'nin alabilece-
x"3
ği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
1) 0 2) ∞ 3) –∞ 4) 0
44
5) ∞
6) –∞ 7) 0 8) 0
9) 5
10) 3
3
TEST – 7 3 BELİRSİZLİĞİ
1.
lim
x"3
5x + 4
limitinin değeri kaçtır?
7x − 8
1
A) − 2
5
B) 7
C) 0
1
D) 2
7.
−5
E)
7
2.
3 − 5x + 4x 2
limitinin değeri kaçtır?
lim
8x − 15
x"3
A) ∞
3.
lim
x"3
B)
1
2
C)
−5
8
D) 0
4x 2 − 8x + 19
limitinin değeri kaçtır?
− 2x 3 + 5x − 10
8
B) − 5
A) ∞
C) 0
D) –2
limitinin değeri kaçtır?
A) –1
lim
x"3
5.
lim
x"3
limitinin değeri kaçtır?
A)
3
4
lim
x "−3
A) ∞
lim
x"3
B) 0
C) –∞
D) –2
x "−3
A) 2
1) B
3
2
C) –1
E) 1
D) –2
E) −
1
6
2x − 1 − 3x + 1
3x + 2 − 2x + 1
limitinin değeri kaçtır?
A) –1
10.
E) 2
4x 2 − 3x + 3 8x 3 + 1
limitinin değeri kaç25x 2 − 16x + 4
4
B) 5
A) 1
lim
B)
2
B) − 3
1
C) − 4
3
C) 5
2
D) 3
D)
−3
2
E) 0
A)
2
16x + 10x − 15
limitinin değeri kaçtır?
8x 3 − 16x + 1
3
B) 1
2) A
C) 0
3) C
D) –1
4) E
5) B
E) –2
6) E
7) A
x"3
D)
−r
3
E)
rx + 1 − e x − 2
2·rx − 3·e x
limitinin değeri kaçtır?
11.
1
E)
2
lim
12.
6.
D) 3
(− 2x + 3) 3 · (x 2 + 1) 3
limitinin değeri kaçtır?
(5 − x 2) 4 · (3 − 4x)
tır?
C) 0
3·2 x − 4·5 x
4·3 x + 2·5 x
4.
B) –3
9.
E) –∞
x "−3
3x + 2 − 9x 2 − 2x + 4
4x 2 − 2x − 3 − 4x − 5
8.
E) –∞
lim
1
2
lim
x"3
A) 7
lim
x "−3
B)
r
2
C)
1
3
3x 2 − 5x + 4 − 3
=
ise a kaçtır?
5
(a − 2) x 2 − 1
B) 5
C) 3
D) –3
E) –5
D) –4
E) –8
(a + 1) x 2 − 5x + 4 1
=
(b − 2) x − 1
2
olduğuna göre, a·b kaçtır?
A) 8
8) D
−r
2
B) 4
9) C
1
C) − 2
10) B
11) D
12) A
45
c) ∞ – ∞ Belirsizliği
YAKLAŞIM
İki rasyonel ifadenin farkı şeklinde verilen (∞ – ∞) belirsizliklerinde payda eşitleyip gerekli sadeleştirme işlemleri yapılarak belirsizlik ortadan kaldırılır.
BİRLİKTE ÇÖZELİM
lim c
x"3
6
1
−
m
x2 − 9 x − 3
limitinin değeri kaçtır?
SIRA SİZDE
Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
1.
1
4
lim c
− 2
m
x"2 x−2 x −4
2.
3.
4.
5.
6.
2
1
+
m
x2 − 1 x + 1
7.
1
2a
lim c
− 2
2m
x"a x−a x −a
8.
lim c
x "−1
lim c
x "−3
9.
−3
1
−
m
x 2 + 3x x + 3
10.
x2
2x − 1
m
lim c
−
x
2
+3
x"3
1)
46
1
4
2)
−1
2
3)
1
2a
4)
1
3
5)
−5
2
6) –2
lim c x −
x"3
x 2 + 5x − 4
m
x+3
lim
2
cx + 3 − x − 1 m
x−1
lim
2
c 2x + 2x − 3 − 2x + 1 m
x+2
x "−3
x "−3
lim c ax + 3 −
x"3
lim c
x"3
7) 2 2x 2 − bx + 1
m = − 3 ise b kaçtır?
x+2
3x 2 − 2x + 1
− ax + b m = − 12 ise a·b kaçtır?
x+3
8) –1
9) –10
10) –3
YAKLAŞIM
İkinci dereceden polinom içeren köklü ifadelerde (∞ – ∞) belirsizliğini gidermek için eşlenikle çarpıp bölme işlemi yapıb
lır. Ya da lim
kuralı kullanılır. Ayrıca aşağıdaki özellikte kullanışlıdır.
ax 2 + bx + c = lim
a·x+
2a
x ""3
x ""3
Z
, a>d
]3
]b−e
lim ^ ax 2 + bx + c − dx 2 + ex + f h = [
, a=d
x"3
]2 a
]− 3 , a < d
\
BİRLİKTE ÇÖZELİM
lim ^ 9x 2 − 3x + 1 − 3x h
x"3
limitinin değeri kaçtır?
SIRA SİZDE
1.
Aşağıdaki limitlerin değerini hesaplayınız.
6.
lim ^ 4x 2 − 3x + 1 − 2x h
4.
5.
lim ^x + k − x 2 + 4x h = 4 ise k kaçtır?
x"3
lim ^x − x 2 − 2x + 3 h
x"3
8.
3.
^2x + 3 + 4x 2 + 5 h
x"3
7.
2.
lim
x "−3
lim ^x + 2 − x 2 + 4x − 6 h
lim
x "−3
^ x 2 − 4x + 5 + x + m h = − 3 ise m kaçtır?
x"3
9.
lim ^ 4x 2 − 5 − 2x + 1 h
lim ^ 9x 2 − 3x + 1 − 16x 2 − 8x + 5 h
x"3
x"3
lim
x "−3
^ x 2 + 5x − 4 + xh
1) –3/4 2) 1
10.
3) 0
4) 1
5)
−5
2
6) 3
lim
x "−3
7) 6 ^ 9x 2 + 2x + 3 − 9x 2 − 5x + 7 h
8) –5 9) –∞ 10)
−7
6
47
TEST – 8
1.
1
6
lim c
− 2
m limitinin değeri kaçtır?
x
3
−
x
−9
x"3
A)
2.
x 2 − 2x + 1
lim c
− x + 4 m limitinin değeri kaçtır?
x+1
x"3
A) –1
3.
1
6
B)
2
3
B) –3
C)
1
2
D)
C) 0
−2
3
D) 3
E)
∞ – ∞ BELİRSİZLİĞİ
−1
6
C) 0
D) 1
limitinin değeri kaçtır?
A) –9
C) –7
D) –6
E) 8
lim ^ 4x 2 + 8x − 1 − 4x 2 − 18x + 3 h
limitinin değeri kaçtır?
13
A)
B) 1
C) –1
2
D) –3
E)
− 13
2
lim ^3 − 2x − 4x 2 − 16x + 5 h
9.
E) –∞
B) –8
x"3
E) 1
lim ^ x + 5 − x − 4 h limitinin değeri kaçtır?
B) 9
x"3
8.
x"3
A) ∞
lim ^ 4x 2 − 32x + 25 − 2x + 1 h
7.
x "−3
limitinin değeri kaçtır?
A) –1
B) –7
C) –4
D) 4
E) 7
4.
5.
6.
lim
x "−3
A) ∞
^ 5 − 2x − 1 − 2x h limitinin değeri kaçtır?
B) 4
C) 0
D) –6
10.
E) –∞
lim ^3 x + 1 − 3 x − 5 h limitinin değeri kaçtır?
A) ∞
B) 6
C) 0
D) –4
E) –∞
lim ^2x + 3 − x 2 − 6x + 10 h limitinin değeri kaçtır?
48
B) 1
1) A
C) 0
2) E
D) 2
3) C
5) C
A) 7
6) A
B) 1
C) 2
D) –1
E) –7
lim (cotx − cosecx) limitinin değeri kaçtır?
x"0
A) ∞
12.
E) –1
4) C
olduğuna göre, a kaçtır?
x"3
A) ∞
11.
x"3
lim ^ x 2 − 6x + 3 + x + a h = − 4
x "−3
B) 2
C) 0
D) –1
E) –∞
lim (tanx − secx) limitinin değeri kaçtır?
x"
r
2
A) ∞
7) C
B) 1
8) A
C) 0
9) A
D) –1
10) E
11) C
E) –∞
12) C
SIRA SİZDE
d) 0 · ∞ Belirsizliği
YAKLAŞIM
Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
1.
lim f (x) ·g (x) = 0·3 ise
lim
1
(3x + 5)
7x
lim
1
(4x − 7)
2x + 1
lim
1
(3x 2 − 5x + 4)
x 2 − 3x + 1
lim
1
· (x 2 − 25)
3 − 2x
x"3
x"3
i) f (x) ·g (x) =
f (x)
g (x)
0
3
ya da
yapılarak ya da
1/g (x)
1/f (x)
0
3
elde edilir.
2.
x"3
0
0
3
3
ii) 0·3 =
=
ve 0·3 =
= dır.
1/0 3
1/3 0
BİRLİKTE ÇÖZELİM
1. lim
x"3
1
(5x + 4) limitinin değeri kaçtır?
3x
3.
4.
5.
2. lim + 7x·cotx limitinin değeri kaçtır?
x"0
6.
7.
8.
3. lim
x"3
1
· (3x 2 − 2x + 1) limitinin değeri kaçtır?
5x + 4
9.
10.
1)
x"3
x"3
lim
x "−3
−2
· (x 2 − 4x + 7)
x 3 − 5x + 1
lim 2x·cotx
x " 0+
lim sin 3x ·cosec 5x
x "0
lim sin5x·cot7x
x"0
lim
1
·tanx
x
lim
1
·tan (3x − 12)
2x − 8
x"0
x"4
3
7
6) 2
2) 2 7)
3
5
3) 3
8)
5
7
4) –∞
5) 0
9) 1
10)
3
2
49
YAKLAŞIM
0 · ∞ belirsizliğindeki fonksiyonlardan biri polinom, diğeri de trigonometrik fonksiyon ise değişken değiştirme yöntemi
kullanılır.
b
Ya da kısaca, lim (ax) ·sin c m = a·b veya lim
x
x"3
x"3
a
sin a k
x = a dir.
b
b
x
BİRLİKTE ÇÖZELİM
lim 5x·sin
x"3
3
x
limitinin değeri kaçtır?
SIRA SİZDE
1.
2.
3.
4.
5.
Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
lim 2x·sin
x"3
6.
3
x
7.
2
lim 7x·sin c m
x
x"3
lim ^2x + 3h·sin
5
x
8.
lim (5x − 4) ·sin
2
x
9.
x"3
x"3
lim 3x·tan
x"3
1) 6 50
10.
4
x
2) 14
3) 10
4) 10
5) 12 6) 60
lim 6x·tan
x"3
lim
x"3
lim
x"3
lim
x"3
lim
x"3
10
x
12x
4
cosec c m
x
5x
3
cot c m
x
6x
cosec c
2x
m
3
3x − 2
4x
cosec
3
7) 48 8) 15
9) 4 10) 4
TEST – 9
1.
lim
x"3
A)
0 · ∞ BELİRSİZLİĞİ
3
· (2x + 4) limitinin değeri kaçtır?
5x
3
5
B)
6
5
C)
2
5
D)
4
5
7.
E)
1
5
8.
2.
3.
4.
lim
x "−3
A) 8
−2
· (5 − 4x 2) limitinin değeri kaçtır?
x2 − 2
B) 5
C) –4
D) –2
E) –8
C) 5
C) 3
D)
5
3
E)
3
5
A) 28
B) 7
C) 4
D)
4
7
E)
7
4
5.
6.
lim 3x·sin
x"3
A) 12
4
limitinin değeri kaçtır?
x
B) 4
lim 5xsin a
x "−3
A) 5p
1) B
B)
C) 3
3
D) 4
11.
4
E)
3
12.
−r
k limitinin değeri kaçtır?
x
5
r
2) A
C)
3) D
r
5
D) –5p
4) E
5) A
E)
−r
5
6) D
7) B
lim (x − 2) ·tan c
x"2
C) –3
−2
r
B)
lim a x −
r
x"
3
E)
1
3
−4
3r
C)
−r
2
D)
− 3r
4
E)
3r
2
r
3x
k ·tan c m limitinin değeri kaçtır?
3
2
−2
3
D)
−3
2
E)
−4
3
limitinin değeri kaçtır?
−5
−4
−3
A)
B)
C)
r
r
r
D)
−2
r
E)
−1
r
A)
2
3
D) 3
3rx
m
4
A)
10.
x"0
B) –12
lim −7x·cosec4x limitinin değeri kaçtır?
1
A) − 3
limitinin değeri kaçtır?
x"0
A) 15
− 2x
limitinin değeri kaçtır?
6
x
cot
9.
lim +5x·cot3x limitinin değeri kaçtır?
lim
x"3
B)
1
3
lim (x + 1) ·tan
x "−1
C)
rx
2
lim cot3x·tan2x limitinin değeri kaçtır?
x"0
A)
2
3
lim a
r
x"
2
A) –1
8) B
B) 3
C) 2
D) 6
E)
3
2
r
− x k tanx limitinin değeri kaçtır?
2
1
B) − 2
9) C
C) 0
10) D
D)
11) A
1
2
12) E
E) 1
51
SIRA SİZDE
9. DİZİLERİN LİMİTİ
BİLGİ
(an) bir dizi olmak üzere, n → ∞ için an bir a sayısına
yaklaşıyorsa "(an) dizisinin limiti a dır." denir ve
lim a n = a ile gösterilir.
Aşağıda genel terimi verilen dizilerin limitlerini
bulunuz.
a) (a n) = c
5n + 8
m
7n − 4
b) (b n) = c
c) (a n) = f
n2 − 4
p
n −n+5
d) (b n) = c 5 −
2.
3 n
a) (a n) = c 2 + c m m
5
b) (b n) = f
c) (a n) = (− 5 − n) d) (b n) = (2·3 − 2n + 3)
3.
a) (a n) = c
3
c) (a n) = c 2n·sin m
n
4.
a) (a n) = ^ n + 2 − n − 1 h
n"3
Dizinin genel terimi olan (an) aynı zamanda bir fonksiyon olduğu için fonksiyonların (x → ∞ için) limit özellik-
n 2 − 3n + 5
m
4n − 1
1.
3
3
m
n
2n + 3n + 1
p
2 n − 1 + 5·3 n
lerinden yararlanılır.
Bir dizinin limiti n → ∞ için hesaplanır.
BİRLİKTE ÇÖZELİM
Aşağıda genel terimi verilen dizilerin limitlerini bulalım.
1.
(a n) = c
3n − 4
m
5n + 2
2. (b n) = c
n2 + 2
m
5n − 7
n
3.
(c n) = c
3 − 8n
m
n 2 + 2n + 5
3
4. (d n) = c m
7
5.
(k n) = c
sin2n
m
3n 2
6. (l n) = ^ n − n − 1 h
sin3n
m
5n
b) (b n) = c
cos2n
m
n2
2
d) (b n) = c (3n − 5) tan m
n
b) (b n) = ^ n + 3 − n + 5 h
c) (a n) = ^ 4n 2 + 8n − 2n h
d) (b n) = ^2n + 1 − 4n 2 − 4 h
5.
a) (an) = (2n)
b) (b n) = c 3 n + 1 m
e n
c) (a n) = ca k m
r
d) (b n) = ^^− 1 hnh
e) (an) = (–2)
f) (b n) = f
6.
(a n) = c
a) (an + bn) dizisinin limiti kaçtır?
b) (6an – 2bn) dizisinin limiti kaçtır?
c) (an · bn) dizisinin limiti kaçtır?
d) f
n−1
1
n
3
+ 7·5 p
n
5
3n − 5
4n + 5
m ve (b n) = c log 2 c
mm ise
n+7
2n + 4
2a n
p dizisinin limiti kaçtır?
3b n
1) a) 5/7 b) ∞ c) 0 d) 5 2) a) 2 b) 3/5 c) 0 d) 0
3) a) 0 b) 0 c) 6 d) 6 4) a) 0 b) 0 c) 2 d) 1
5) a) ∞ b) 3 c) 0 d) Yok e) –2 f) 7 6) a) 7/2 b) 5 c) 3 d) 1/2
52
YAKLAŞIM
SIRA SİZDE
Dizilerde öğrendiğimiz formülleri hatırlayalım.
n (n + 1)
2
n (n + 1) (2n + 1)
2
2
2
2
1 +2 +3 +…+n =
6
1+2+3+…+n=
n (n + 1) 2
m
2
1
1
1
1
n
+
+
+…+
=
1·2 2·3 3·4
n (n + 1) n + 1
13 + 23 + 33 + … +n3 = c
1 + r + r 2 + r 3 + …r n − 1 =
1 − rn
(r ≠ 1)
1−r
Aşağıda verilen limitlerin değerini bulunuz.
1.
2.
3.
lim
1+2+3+…+n
3 − 5n 2
lim
1 + 3 + 5 + … + (2n − 1)
2 + 4 + 6 + … + (2n)
lim c
1
1
1
1
+
+
+…+
m
2·3 3·4 4·5
n ( n + 1)
n"3
n"3
n"3
BİRLİKTE ÇÖZELİM
1.
lim
n"3
12 + 22 + 32 + … + n2
13 + 23 + 33 + … + n3
4.
limitinin değerini bulalım.
2.
1 + 3 + 5 + … + (2n − 1)
lim
5n 2 − 4
n"3
limitinin değerini bulalım.
lim
n"3
5.
2 4 8
2 n
lim c + +
+ … +c m m
3
9
27
3
n"3
6.
J n
N
K
(k + 2) O
O
lim K
O
n"3 Kk=1
K
O
2
L n +3 P
7.
8.
/
/
/
lim
2 2 + 4 2 + 6 2 + … + (2n) 2
5n 3 + 4n 2 − 8
lim
1 + 3 + 32 + … + 3n − 1
1 + 5 + 52 + … + 5n − 1
n"3
n"3
x
3
2.
lim
n"3
1 1
1
1
+
+
+…+ n
2 22 23
2
3n + 1
1+
(5n − 1)
limitinin eşitini bulalım.
k=1
n
9.
lim
x"3
(4n + 3)
/
/
(2k − 3)
k=1
x
(3k + 1)
k=1
k=1
n
10.
lim
n"3
/
/
(k 2 + 1)
k=1
n
(2k 2 − 1)
k=1
1)
−1
2) 1
10
3)
1
2
4) 0 5) 2 6)
1
2
7)
4
2
8) 0 9)
15
3
10)
1
2
53
SIRA SİZDE
BİLGİ
Aşağıdaki limitlerin değerini bulunuz.
1.
a) lim
3n
n3
b) lim
n!
nn
c) lim
n5
7n
d) lim
(n!) n
nn
2.
a) lim (2 n − n!) b) lim (7 n − n 7)
c) lim ^n! − n nh
d) lim (10 n − n n)
lim (n! − 5 n) = 3 dur. (n! > 5 n)
3.
a) lim f
3n + n3
p
n! + 2 n
lim (n 7 − 3 n) = − 3 dur. (n 7 < 3 n)
b) lim f
n n + n 2n
p
3·n 2 + (2n) 3n
c) lim
(n!) n
(n) n!
d) lim
5·n! + 2 n
(5n) ! + 5 n
n → ∞ ve a > 1 ise nn > n! > an > na dır. (n ∈ N+)
Bu eşitsizlikteki büyüklük-küçüklük durumuna göre n → ∞ için limit hesabı yapılır.
n"3
n"3
n"3
n"3
BİRLİKTE ÇÖZELİM
Aşağıdaki işlemleri inceleyelim.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
lim
x"3
lim
n"3
lim
n"3
nn
n!
n3
3n
2n
nn
= 3 dur. (n > n!) n
= 0 dır. (n3 < 3n)
n"3
n"3
n"3
n3 + 5n
p=
n! + 7 n
5
lim
n"3
n
c
n
3
5
n
n! c 1 +
+ 1m
n
7
n!
n"3
n"3
n"3
n"3
m
n
=
5
= 0 dır. (n! > 5n)
n " 3 n!
lim
n"3
1) a) ∞
54
n"3
= 0 dır. (2n < nn)
n"3
lim f
n"3
b) 0 c) 0 d) ∞
3) a) 0 b) 0
c) 0
d) 0
2) a) –∞ b) ∞
c) –∞ d) –∞
TEST – 10 DİZİLERİN LİMİTİ
2n 2 − 3n + 5
p dizisinin limiti kaçtır?
5n 2 + n + 4
1.
(a n) = f
A)
2.
7 − 9n 2
m dizisinin limiti kaçtır?
(a n) = c
8n + 16
A)
2
5
−9
8
B) –3
B)
7
8
C)
C)
5
4
D) ∞
7
16
7.
8.
E) –∞
9.
3.
(2n − 3) 2 (5n)
(a n) = f 5
p dizisinin limiti kaçtır?
n + 3n + 1
A) 20
B) 10
C) 0
D) ∞
10.
n"3
5
m limitinin değeri kaçtır?
n
A) 3
B) 0
lim c 3 −
C) –2
sin2n cosn
−
m limitinin değeri kaçtır?
5n
4n
3
20
lim f
n"3
A) –4
lim c
x"3
−1
D)
4
B)
2
5
C) 0
E) Limit Yoktur.
3·2 3n − 2·5 n
p limitinin değeri kaçtır?
2 2n + 1 + 2 3n − 1
B) –6
C) 6
D) 8
E) 16
3n 2 − 5n + 4
m limitinin değeri kaçtır?
1+2+3+…+n
A) 3
B)
3
2
C) 6
D)
1
3
E)
1
6
E) –∞
4.
x"3
A)
E) –∞
D) ∞
lim c
D) –3
J 3 − 4n 2 N
O limitinin değeri kaçtır?
lim K n
O
n"3K
(3k + 1) O
K
Kk = 2
O
L
P
/
A)
−8
3
B)
−4
3
C)
−1
3
D) 0
E)
4
3
E) –5
11.
5.
lim ^ 5n + 9 − 3n + 5 h limitinin değeri kaçtır?
n"3
A) ∞
B) 2
C) 0
D) –2
lim c
n"3
A) ∞
5 n − n!
m limitinin değeri kaçtır?
n4 + nn
B) 5
C) 0
D) –1
E) –∞
E) –∞
12. (a n) = ^ 4n 2 + 3n − 5 − 2n h ve
6.
lim ^ 9n 2 + 36n − 1 − 3n + 4 h
n"3
limitinin değeri kaçtır?
A) –10
1) A
B) –6
2) E
C) 6
3) C
D) 10
4) A
5) A
E) ∞
6) D
7) C
(b n) = c log 9 c
6n + 2
mm ise
2n − 1
lim (2a n − 3b n) limitinin değeri kaçtır?
n"3
A) –9
8) C
B)
9) C
− 15
C) 0
2
10) A
D)
11) C
3
5
12) C
E)
7
9
55
10. SONSUZ GEOMETRİK DİZİ TOPLAMI
YAKLAŞIM
BİRLİKTE ÇÖZELİM
(an) = (a1 · rn–1) geometrik dizisinde a1 birinci terim ve
r ortak çarpandır.
1.
1
n−1
/ c 35 m
k+1
sonsuz toplamını bulalım.
k=1
3
/ a ·r
3
ifadesine sonsuz geometrik dizinin topla-
k=1
mı denir.
a)
|r| > 1 ise bu toplam sonsuza yaklaşacağı için
hesaplanamaz.
b)
|r| < 1 ise toplamın değeri bir reel sayıya yaklaşır
ve bulunabilir.
3
/ a ·r
1
k−1
= a 1 ·r 0 + a 1 ·r 1 + a 1 ·r 2 + …
k=1
= a1 + a1 · r + …
=
a1
dir.
1−r
2)
3
/ 4·c 56 m
k−1
sonsuz toplamını bulalım.
k=2
Toplam sembolü ile verilen bir sonsuz geometrik dizi
toplamının bulunabilmesi için sadece baştan ilk iki terimini açmak yeterlidir. İlk elde edilen sayı a1 ve ikinci
sayının birinci sayıya oranı r dir.
a1
ilk terim
=
1 − r 1 − (ortak çarpan)
3)
3
%3
k=1
56
4 k
5
c m
sonsuz çarpımını bulalım.
SIRA SİZDE
Aşağıda verilen toplamların değerini bulunuz.
1.
/ c 25 m
3
/
3k + 1
4k
/
2k − 1
3k + 1
/
3
5a + 1
/
1
2 2k
3
11.
k
k=1
k=1
3
2.
3
12.
/ c 23 m
k+1
k=1
k =−2
3
3.
3
/
13.
4 k−1
c m
5
k=3
a=2
3
4.
14.
k+1
/
3
−3
f p
5
k=2
k=1
/f
3
/
3
5.
k =−1
/
3
6.
k=0
/
15.
k+1
6
(− 1) k · f p
7
n=1
0
−k
16.
5
f p
3
8.
17.
3− k
9.
18.
/
3 k+1
5· c m
5
19.
k=1
/
3
10.
n=2
1)
ek
2
3
k
f p
2
k=1
%
3
2
f kp
3 5
k=1
%
3
(− 2) n
3n
20.
8 (5
− k)
k=2
2
9
2) 3
2
11) 9 12)
%
3
k+1
2
3· f p
7
3
/
k =−3
/
k=2
3− n
2
k=2
3
/
n =−3
3
7.
− 2n
3
p
2
1
3
3)
16
5
13)
3
100
4)
− 27
200
14)
1
3
5)
−7
13
15)
4
5
5
2
7)
16) ∞
17)
6)
1
6
8)
3
e
e−1
24
245
18) 4
9)
9
2
19)
3 10)
4
15
20) 23/20
57
YAKLAŞIM
/
SIRA SİZDE
sembolünün içinde toplam ya da fark durumun-
da terimler bulunduğunda, bunları ayırarak ayrı ayrı
Aşağıdaki sonsuz toplamları hesaplayınız.
1.
/
3 + 2k
5k
/
2k − 3k
4k
/
3·2 k − 2·3 k + 1
5k − 1
3
k=1
sonsuz toplamlar bulunur.
3
BİRLİKTE ÇÖZELİM
2.
k=2
3
/
3
1.
k =−1
3.
3 + 2k − 1
5k + 1
k=3
toplamını bulalım.
/f
3
4.
k=1
/
3n − 5
4n + 1
/
2 3k + 3 2k
6 2k
3
5.
n=1
3
6.
2 k − 2 3·2 k
+ k p
3k + 1
4
k=1
J
N
K 1 k+1
O 15
1−k
ise x kaçtır? (x > 1)
+x
Kf − p
O=
3
K
O 4
k=0L
P
7.
/
8.
/f
3
/
3
2.
1 < x < 3 ise k=1
1 + xk
3k
3
n=1
2 + an
p = 2 ise a kaçtır? (a < 5)
5n
sonsuz toplamını x türünden bulalım.
9.
1 < a < b olmak üzere
/d
3
n=1
n
a
2a + b
oranı kaçtır?
n = 2 ise
b
a − 3b
10. 1 < a < b olmak üzere,
/
3
k=2
58
f
k−1
3a
p
4b
1)
17
12
2)
6)
13
21
7) 2
toplamını a ve b cinsinden bulunuz.
−7
4
3)
− 73
5
8) 3
4)
19
6
9) –1
5)
1
3
10)
3a
4b − 3a
YAKLAŞIM
SIRA SİZDE
Sonsuz geometrik dizinin açık halinin verildiği durumlarda ilk iki terime bakarak a1 ve r belirlenir. f r =
BİRLİKTE ÇÖZELİM
3 9
27
+
+
+…
5 25 125
1.
1+
sonsuz toplamının değeri kaçtır?
a2
dir. p
a1
Aşağıdaki sonsuz toplamları bulunuz.
1.
1+
2.
1 + 5–1 + 5–2 + 5–3 +…
3.
1−
4.
− 2 4 8 16
+ −
+
−…
3 9 27 81
3 9 27
+
+
+…
4 16 64
1 1 1
+ − + …
2 4 8
2.
2
2
2
+
+
+…
32 33 34
sonsuz toplamının değeri kaçtır?
3.
1 1 1 1 1 1
− + − + −
+…
2 3 4 9 8 27
sonsuz toplamının değeri kaçtır?
5.
16 + 4 + 1 + …
6.
2 2 2 4 2 6
c m + c m + c m + …
3
3
3
7.
c
8.
5
2 2 2 5 2 8
+c m +c m +c m + …
2
5
5
5
9.
|m| < 1 ise m–2 + m–1 + 1 + m + m2 +…
−1 3 −1 6 −1 9
m +c
m +c
m +…
2
2
2
10. |k| < 1 ise k2 – k3 + k4 – k5 +…
1) 4
2)
5
4
3)
2
3
4)
4
5
7)
−1
9
8)
625
234
9)
6)
−2
5
5) 8
1
2
m −m
3
10)
2
k
1+k
59
YAKLAŞIM
SIRA SİZDE
Çeşitli geometrik şekiller kullanılarak yapılan ek çizimlerle sonsuz geometrik diziler oluşturulabilir.
Genelde alanlar toplamı ya da çevreleri toplamı sorulan bu tür problemlerde ilk iki şekil kullanılarak yapılan
a1
hesaplamayla a1 ve r elde edilir ve
bağıntısı ile
1−r
sonsuz toplam bulunur.
1.
Bir kenarı 10 cm olan karenin kenarlarının orta noktaları birleştirilerek yeni bir kare elde ediliyor.
Bu işlem sonsuza kadar devam ettirildiğinde elde
edilen karelerin
a) Alanları toplamı kaç cm2 dir?
b) Çevreleri toplam kaç cm dir?
2.
BİRLİKTE ÇÖZELİM
16
O1
O2
12
O3
9
…
Bir kenarı 4 cm olan eşkenar üçgenin kenarlarının
orta noktaları birleştirilerek yeni bir eşkenar üçgen
elde ediliyor. Bu işlem sonsuza kadar devam etti-
Şekildeki gibi yarıçapları sırayla 16 cm, 12 cm, 9 cm,
… olan daireler çiziliyor. Bu çizim sonsuza kadar
devam ettirildiğinde elde edilen
rildiğinde elde edilen eşkenar üçgenlerin
a)
Alanları toplamı kaç cm2 olur?
b) Çevreleri toplamı kaç cm olur?
a) Dairelerin alanları toplamı kaç cm2 dir?
b) Dairelerin çevreleri toplamı kaç cm dir?
3.
D
L
F
C
Bir kenarı 40 cm olan
ABCD karesinin iki kenarının orta noktaları alınarak
M
E
DEKF karesi elde ediliyor
K
ve aynı işlem bu kareye de
uygulanıyor.
A
40
B
Bu işlem sonsuza kadar devam ettirildiğinde
elde edilen karelerin çevreleri toplamı kaç cm
olur?
4.
m (W
A) = 60°
A
60°
ABC dik üçgeninde
E
|AB| = 12 cm dir.
F
12
Buna göre,
|BE| + |DF|+… yükB
1) a) 200
60
olan
D
b) 40 ^2 +
K
2 h 2) a)
C
sekliklerinin toplamı kaç cm olur?
3
16 r
b) 128p 3) 320 4) 24
7
3
SIRA SİZDE
BİRLİKTE ÇÖZELİM
1.
30 cm yükseklikten bırakılan bir top yere değdik-
ten sonra dikey olarak her defasında düştüğü
3
yüksekliğin i kadar yükseliyor.
5
Buna göre, topun duruncaya kadar aldığı top-
1.
150 m yükseklikten bırakılan bir top yere değdikten
sonra dikey olarak her seferinde düştüğü yüksekliğin
4
i kadar yükseliyor.
5
Buna göre, topun duruncaya kadar aldığı toplam
yol kaç m dir?
lam yol kaç metredir?
2.
Dikildiğinde boyu 12 m olan bir bitki ilk yıl dikildiğin3
deki boyunun
ü kadar uzuyor. Sonraki her yıl bir
4
3
önceki yılda uzadığı miktarın
ü kadar uzamaya
4
devam ediyor.
Bu bitkinin boyu en çok kaç m olur?
3.
Bir sporcu ilk gün 20 km yol koşuyor. Bu sporcu her
3
gün bir önceki koştuğu yolun i kadar tekrar koşu5
yor.
Bu sporcunun koşusunu sonsuza kadar sürdürdüğünü varsayarsak en fazla kaç km yol kateder?
2.
Dikildiğinde boyu 14 m olan bir bitki ilk yıl 2 m
uzuyor. Bu bitki her yıl, bir önceki yılda uzadığı
2
miktarın ü kadar uzuyor.
3
Bu bitkinin boyu en fazla kaç m olur?
4.
Yatayla 30°lik bir eğim açısıyla hareket eden bir
oyuncağın her 10 metrede bir öncekinin %50 si
kadar daha fazla eğimle hareket edecek şekilde
tasarlanması isteniyor.
Buna göre, bu oyuncak yatayla en çok kaç dere-
5.
Bir fare 10 m uzaklıkta bulunan peynire ulaşmak isti-
Bir saatte peynirle arasındaki mesafenin yarısını
celik açıyla hareket edebilir?
yor.
katedan fare kaç saat sonra peynire ulaşır?
1) 1350
2) 48 3) 50 4) 60° 5) Ulaşamaz.
61
YAKLAŞIM
SIRA SİZDE
Geometrik biçimde artmayan sonsuz terimli diziler için
/ %
ve
konularında öğrendiğimiz özellikler kullanı-
lır.
Aşağıdaki sonsuz toplamları hesaplayınız.
1.
/
16
4k 2 − 1
/c
5
5
−
m
k+3 k+4
3
k=1
Not:
1 + 2r +
3r2
+
4r3
+… =
1
(1 − r)
2
dir.
BİRLİKTE ÇÖZELİM
/
3
1.
k=4
5
sonsuz toplamını bulalım.
k 2 + 5k + 6
3
2.
k=1
/c
3
3.
1
−
k+4
k=5
/
3
3k − 1
+ k+1 p
f 2
k +k 4
/
1
16n 2 + 8n − 3
3
/
3
2.
k=1
2 k−1
sonsuz toplamını bulalım.
k· c m
5
4.
k=1
3
5.
n=1
4
2 2
2 3
+ 3· c m + 4 c m + …
3
3
3
6.
1+
7.
/
3
k=1
1) 8 2)
62
1
m
k+3
3 k−1
k· c m
4
5
4
3)
2
−
4
4)
13
4
5)
1
12
6) 9 7) 16
TEST – 11 SONSUZ DİZİLERİN TOPLAMI
1.
1+
2 4 8
+ +
+ … sonsuz toplamı kaçtır?
3 9 27
3
B) 2
2
C) 3
1
E)
3
A) 3
2.
2 2
2
2
+
+
+
+ … sonsuz toplamı kaçtır?
5 52 53 54
2
A) 3
3.
1
B) 4
D) 1
1
C) 5
2
D) 5
k=1
A)
10.
/
k=2
0,01 + 0,001 + 0,0001+… sonsuz toplamı kaçtır?
1
1
1
1
1
A) B) C)
D)
E)
3
9
90
99
900
0,2 + 0,3 + 0,03 + 0,003 +…
sonsuz toplamı kaçtır?
3
3
8
A) B) C)
7
5
15
D)
16
31
E)
A)
11.
/
3
24
25
A)
12.
/
3
A)
3
3 −1
D)
6.
B)
6
3 −1
9
3 −1
E)
C)
A)
13.
%
3
3 +1
E)
−5
16
toplamı kaçtır?
8
25
C)
16
125
D)
32
625
E)
64
125
B)
9
9
C)
125
250
D)
81
125
E)
243
625
D)
1
2
E)
3
5
2 − 3k + 1
toplamı kaçtır?
4k
64 (3
−k
)
çarpımı kaçtır?
k=2
1 1
−
+ … sonsuz toplamı kaçtır?
4 16
4
5
16
9
A) B) C)
D) 4
E)
5
4
5
4
A) 1
14.
/
B) 2
C) 4
D) 8
E) 16
4−1+
3
k=1
3
8.
|a| < 1 olmak üzere, 1 – a + a2 – a3 + a4 – …
sonsuz toplamı hangisine eşittir?
A)
1) A
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 0
15. Bir kenarının uzunluğu 16 cm olan karenin ağırlık
merkezinden karenin ardışık iki kenarına dikler çizilerek yeni bir kare elde ediliyor ve aynı işlem yeni
kare içinde tekrarlanıyor.
3
1
1
2
2
B)
C)
D)
E)
a+5
1−a
1+a
a−5
5−a
2) E
ak − 4
= 3 ise a kaçtır? (1 < a < 5)
5k
5
3
3
3
c m + c m + c m + … sonsuz toplamı kaçtır?
5
5
5
3
25
15
15
25
A)
B)
C)
D)
E)
16
4
4
16
16
7.
3
D) − 8
3k − 1
toplamı kaçtır?
5k + 1
3
9
3 +1
B)
1
C) − 4
− 25
− 16
−7
B)
C)
3
5
2
27 + 9 + 3 + … sonsuz toplamı kaçtır?
3
8
k+1
2
3· f p
5
3
25
k=1
5.
B)
4
5
k=3
4.
k
3
(− 1) k f p toplamı kaçtır?
5
5
16
3
1
E)
2
/
3
9.
3) C
4) C
5) B
6) C
7) D
8) C
9) D
Bu işlem sonsuza kadar devam ettirilirse elde
edilen karelerin çevreleri toplamı kaç cm olur?
A) 64
10) B
11) C
B) 98
12) A
C) 128
13) B
14) D
D) 256
15) C
E) 512
63
11. SÜREKLİLİK
BİLGİ
Bir fonksiyonun x = a noktasında sürekli olması
için
i)
f nin x = a da tanımlı olması gerekir. (f(a) değeri bulunmalıdır.)
ii)
f nin x = a da limiti olmalıdır.
f (x) = lim −f (x) k
a xlim
" a+
x"a
y
b
y
Eğer bu koşullardan herhangi biri sağlanmazsa f
fonksiyonu x = a noktasında "süreksizdir" denir.
A 1 R, a d A olmak üzere
f: A → R
lim f (x) = f (a) ise ''f fonksiyonu x = a noktasında
x"a
Yani, x = a da limitsiz
olduğundan süreksizdir.
b
x
a
y=f(x)
x = a da limitsiz olduğundan süreksizdir.
c
a
O
f(a) değeri bir reel sayı olmalıdır.
malar yoksa) fonksiyon süreklidir.
lim f (x) ≠ lim − f (x) dir.
x " a+
c
b
süreklidir.'' şeklinde de ifade edebiliriz. Buradaki
çizebiliyorsak (yani grafikte atlamalar ya da kop-
y=f(x)
y
x"a
Not:Fonksiyonun grafiğini kalemimizi hiç kaldırmadan
x
a
y
O
x = a da tanımlı ve limitli olduğu halde limiti ile
görüntüsü farklı olduğu
için süreksizdir.
c
Not: Yukarıdaki koşulları
y=f(x)
b
iii) f nin x = a daki değeri ile bu noktadaki limiti eşit
olmalıdır.
f (x) = lim −f (x) = f (a) k
a xlim
" a+
x"a
(x = a da limiti vardır.)
x
a
O
O
x = a da tanımlı olmadığından süreksizdir.
y=f(x)
x
d
y=f(x)
y
Aşağıdaki grafiklerde verilen fonksiyonların x = a
x = a da limitsiz olduğundan süreksizdir.
O
da sürekli olup olmadıkları ve nedenleri yanların-
x
a
da belirtilmiştir. İnceleyiniz.
y
x = a daki görüntüsü ile
limiti aynı olduğundan
süreklidir.
y=f(x)
b
O
a
x
y
b
O
64
x = a da limitsiz olduğundan süreksizdir.
y=f(x)
a
x
SIRA SİZDE
BİRLİKTE ÇÖZELİM
y
3
2
–6
–3 –1 O
y
1.
y=f(x)
1
2 3
5
–2 –1
x
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun
1.
–3, –1, 3 ve 5 noktalarındaki sürekliliğini incele-
2.
(–6, 7) aralığında kaç tam sayı değeri için sürekli
3.
y = f(x) in sürekli olduğu en geniş aralığı bulalım.
1
x
3
–1
Grafiği verilen f(x) fonksiyonu
–3
2
1
x = –3, x = –2, x = 0, x = 1, x = 3 ve x = 5 noktala-
rından kaç tanesinde süreklidir?
y
2.
–2
olduğunu bulalım.
y=f(x)
2
1
yim.
–1 O 1 2
–1
x
3
Grafiği verilen f(x) fonksiyonu (–10, 10) aralığında kaç tam sayı değeri için süreksizdir?
3.
Grafiği verilen f(x)
y
fonksiyonu (–5, 5)
y=f(x)
2
1
aralığında
x tam sayı değeri
3
için süreklidir?
y
4.
y=f(x)
e
Grafiği verilen
f(x) fonksiyonu-
b
d
f
O c
nun limiti oldu-
k
l
x ğu halde sürek-
a
siz olduğu kaç
g
5.
kaç
nokta vardır?
y
y=f(x)
–3
O 1
x
5
f(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor.
3x + 5
olduğuna göre, g(x) in süreksiz
f (x)
olduğu x değerleri toplamı kaçtır?
g (x) =
1) 2
2) 3 3) 8
4) 2
5) 3
65
YAKLAŞIM
SIRA SİZDE
Parçalı tanımlı fonksiyonlarda süreklilik incelenirken
kritik noktalara ve varsa fonksiyonun tanımsız olduğu
1.
noktalara bakılır.
Z
x≥5
] 2x − 10 ,
] x 2 − 25 , 3 ≤ x < 5
f (x) = [
] 3 − 5x , − 1 < x < 3
] x2 + 7 , x < − 1
\
fonksiyonu kaç noktada süreksizdir?
BİRLİKTE ÇÖZELİM
Z 35
]
]
] 3x + 5
]
f=[ 2
] x −5
]
] 2 − 5x
] x 2 − 16
\
1.
,
10 < x
, 5 ≤ x < 10
, –2 ≤ x < 5
,
2.
x 2 − 2x + 3 , x ≥ 1
, 0 ≤ x <1
f (x) = * 5x − 3
, x<0
7 − 5x
fonksiyonu hangi noktalarda süreksizdir?
3.
bx + 5 , x > 2
f (x) = * a + 1 , x = 2
3x − 4 , x < 2
x<−2
fonksiyonun hangi nokta(lar) da süreksiz olduğunu bulalım.
2.
f (x) = '
fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli ise k
fonksiyonunun x = 2 de sürekli olması için a + b
kaç olmalıdır?
2x + m , x < 3
5
, x=3
x+n , x > 3
4.
f (x) = *
fonksiyonu ∀ x ∈ R için sürekli ise m · n kaçtır?
5.
2cosx + k , x ≥ r
f (x) = * 1 − 2sin x , x < r
2
fonksiyonu x = p de sürekli ise k kaçtır?
6.
Z 3x + 1
, x ≥1
] 2
]x −4
]
f (x) = [ 1 − 2x , − 1 ≤ x < 1
]
] − 24x , x < − 1
] 2
\x −9
fonksiyonunun
5x − k , x ≥ 1
k − 3x , x < 1
kaçtır?
süreksiz
olduğu
noktaların
apsisleri toplamı kaçtır?
1) 2
66
2) x = 0 3)
−1
2
4) –2
5) 1
6) –1
Süreklilik İle İlgili Özellikler
BİRLİKTE ÇÖZELİM
BİLGİ
I)
f ve g fonksiyonları x = a noktasında sürekli ise
1.
f + g ve f – g fonksiyonları da x = a da süreklidir.
2.
k ∈ R olmak üzere, k · f fonksiyonu x = a da süreklidir.
3.
f · g fonksiyonu x = a da süreklidir.
4.
n ∈ N+ olmak üzere fn fonksiyonu x = a da sürek-
Aşağıdaki fonksiyonların sürekli oldukları aralıkları bulalım.
1.
f(x) = x3 – 5x2 + 4
3.
f (x) = 3
5.
f (x) = 5 − x x+5
x−1
2. f (x) =
3x − 5
x2 − 9
4. f(x) = log2(x – 4)
lidir.
5.
g(a) ≠ 0 olmak üzere
lidir.
f
fonksiyonu x = a da sürekg
6.
|f| fonksiyonu x = a da süreklidir.
7.
a) n tek ise
b) n çift ve f ≥ 0 ise n f fonksiyonu x = a da sürek-
n
6. f(x) = tanx
f fonksiyonu,
lidir.
8.
f fonksiyonu x = a da sürekli ve g fonksiyonu da
f(a) noktasında sürekli ise gof bileşke fonksiyonu
x = a da süreklidir.
II)
f: A → R fonksiyonu A kümesinin her noktasında
sürekli ise f fonksiyonu "A kümesinde süreklidir"
denir.
Not:
1.
Polinom fonksiyonlar tüm reel sayılarda süreklidir.
2.
Rasyonel fonsiyonlar, trigonometrik fonksiyonlar,
logaritmik ve üslü fonksiyonlar tanımlı oldukları
aralıklarda süreklidir.
67
SIRA SİZDE
I)
Aşağıdaki fonksiyonların sürekli olduğu kümeyi
bulunuz.
2. f (x) =
x+5
x2 − 1
4x − 8
x2 + 4
4. f (x) =
x2 − 1
x − 5x + 6
1. f(x) = 3 – 5x
3. f (x) =
II)
1.
2
6. f (x) = 3
25 − x 2
x−4
9. f (x) =
11. f (x) = 4 −| x | 13. f(x) = cosx
15. f(x) = log2x
17. f(x) = log(x–3)(16 – x)
19. f(x) =
1) R
2x+5
12
fonksiyonu tüm reel sayılar için
x 2 + 5x + k
nedir?
(İpucu: paydanın sıfır olmaması gerekir. D = b2 – 4ac yi düşününüz.)
x 2 − 3x − 4
10. f (x) = | x | − 5
3.
f (x) =
x−3
fonksiyonu yalnız bir noktada
x 2 − 2x + a − 3
süreksiz olduğuna göre, a kaçtır?
(İpucu: Paydanın tek kökü olmalı)
4.
f (x) =
12. f(x) = sinx
16. f(x) = ln(x + 3)
18. f (x) = log 2 c
4) R– {3,2} 5) R
8) R – (–1, 4) 9) [–5, 5] – {4}
x+5
m
4−x
1
x
4 − x2
fonksiyonu iki noktada
(a − 3) x 2 − 2x + 3
süreksiz olduğuna göre, a kaç olabilir?
14. f(x) = cotx
20. f (x) = e
2) R – {–1,1} 3) R
7) [6, ∞)
8. f (x) =
f (x) =
sürekli olduğuna göre, k'nin bulunduğu aralık
−5
x − 16
2
7. f (x) = x − 6 −4
fonksiyonu x = –1 noktax 2 + (2k + 3) x − 4
sında süreksiz ise k kaçtır?
2.
5. f (x) = 3 5 − x f (x) =
5.
f (x) =
x 2 − mx + 4 fonksiyonu tüm reel sayılarda
sürekli ise m'nin aralığı nedir?
1
(m + 2) x 2 − 4x + m − 1
6.
f (x) =
fonksiyonu ∀ x ∈ R için sürekli ise m'nin aralığı
nedir?
6) R– {–4, 4}
10) (–∞, –5] ∪ [5, ∞)
2) a
25 ,
3 k 3) 4
4
11) [–4, 4] 12) R 13) R 14) R– {kp, k∈Z} 15) (0, ∞) 16) (–3, ∞)
1) –3
17) (3, 16) – {4}
5) R–(–4, 4) 6) (–∞, –3) ∪ (2, ∞)
68
18) (–5, 4) 19) R
20) R – {0}
4) a − 3 ,
10
k
3
TEST – 12 SÜREKLİLİK
1.
y
3
2
1
–6
–2
O
–1
–2
1
3
4
x
f (x) =
fonksiyonu bir noktada süreksiz ise a kaçtır?
A)
6.
Aşağıdaki fonksiyonlardan kaç tanesi tüm reel
−7
4
B)
− 13
C) 0 4
D)
7
4
E)
13
4
Grafiği verilen f(x) fonksiyonu [–6, 10] aralığında
kaç noktada süreksizdir?
3x + 2
x 2 − 5x − a + 3
5.
A) 6
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
2.
Z 4
, x≥2
]] 2
f (x) = [ x − 16
] −2
,x < 2
\ x+4
fonksiyonu kaç noktada sürekli değildir?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
sayılarda süreklidir?
I. f (x) = 3 2 − x II. f (x) = x + 3
III. f(x) = log2x2
IV. f (x) =
V. f(x) = |x – 3|
VI. f(x) = 2sinx + 3
A) 6
7.
f (x) = e x fonksiyonunun süreksiz olduğu nokta-
B) 5
C) 4
x+3
x2 + 1
D) 3
E) 2
E) 1
2
nın apsisi kaçtır?
3.
Z ax − 3
, x >− 1
]
]
f (x) = [ − 10
, x =−1
]
2
]x − x + b , x < − 1
\
fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli ise a – b
kaçtır?
A) –12
B) –5
C) 7
D) 12
B) 1
C) 0
D) –1
E)
−1
2
A) 2
8.
f (x) = | x − 2 | − 3 fonksiyonunun süreksiz olduğu aralıklardan biri hangisidir?
E) 19
A) (–1, 5)
B) [–1, 5]
D) (–∞, –1]
C) [5, ∞]
E) R
16 − x 2
x + 4x − 5
4.
f (x) =
fonksiyonunun sürekli olduğu aralık hangisidir?
2
A) [–4, 4]
B) (–4, 4)
D) [–4, 4] – {1}
1) C
2) D
4) D
f (x) =
cos2x − 1
fonksiyonunun süreksiz olduğu
2sinx + 1
noktalardan biri hangisidir?
C) [–4, 4) – {1}
E) (–4, 4) – {1)
3) E
9.
5) B
A)
6) C
2r
3
B)
7r
6
7) C
C) p
8) A
D)
r
3
9) B
E)
r
6
69
KARMA TEST – 1
1.
1 −
x " c − m gösterimi için aşağıdakilerden hangisi
2
söylenebilir?
1
1
1
A) x > – B) x < − C) x ≤ −
2
2
2
1
D) x ≥ − E) x < 0
2
y
2.
A) 5
x
1
nun [–10, 5] aralığında kaç noktada limiti
C) 3
D) 2
y
lim c
k"3
A)
1
1
− m limitinin değeri kaçtır?
k 1+k k
−1
2
B) –2
C) 0
D) 1
E) ∞
E) 1
y
2
1
–1
7.
yoktur?
B) 4
3.
y = f(x) fonksiyonu-
y=f(x)
–3
2
3
1 + 3x
limitinin değeri kaçtır?
2
4m
x " 1 1 + 4x + 3x
1
1
1
1
1
A) B) C) D) E)
2
4
6
8
16
lim c
Grafiği verilen
2
1
–2 –1 O
6.
y=f(x)
x
O 1
–1
–1
2
1
8.
y=g(x)
x
O 1
–1
lim
x"0
A)
(3 + x) − 1 − 3 − 1
limitinin değeri kaçtır?
x
1
9
B)
1
3
C) 0
D)
−1
−1
E)
3
9
Grafiği verilen y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonları için
4.
5.
lim (2f − 3g 3) (x) limitinin değeri kaçtır?
x " 1+
A) –7
lim
x"3
A) ∞
B) –5
C) –1
D) 1
2x + 3x − 5
limitinin değeri kaçtır?
3x + 1
B)
2
3
C)
2
3
D) 1
x"3
olduğuna göre,
lim
x"3
A)
70
3
4
9.
2
lim f (x) = − 3, lim g (x) = 0 ve
x"3
E) 7
E) 0
C)
−8
3
x"0
(1 + x) 4 − 1
limitinin değeri kaçtır?
x
A) 8
B) 4
C) 2
D) 1
E) –1
lim h (x) = 8
x"3
2f (x)
değeri kaçtır?
h (x) − g (x)
B) 11
lim
D) –11
10.
E)
−3
4
lim
x " − 4−
A) 1
|x + 4 |
limitinin değeri kaçtır?
x+4
B)
1
2
C) 0
D)
−1
2
E) –1
11.
lim
x "− 2
A)
+
2
3
limitinin değeri kaçtır?
5
B)
3
5
C)
9
25
D)
−3
5
E) − 2
lim f (1 − x) limitinin değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
fonksiyonun süreksiz olduğu kaç nokta vardır?
A) 4
x "−2
17.
12. f(x) = 3x – 5 ise
x2 − x
, x ≠1
16. f (x) = * x 2 − 1
1
, x =1
C) 4
D) –2
C) 2
D) 1
E) Yoktur.
lim ^ x 2 + 1 − x h limitinin değeri kaçtır?
x"3
A) ∞
B) 1
C) 0
D) –1
E) –∞
E) –8
18.
13.
B) 3
1
lim − e x limitinin değeri kaçtır?
x"0
A) ∞
B) e
C) 0
D) –e
E) –∞
lim (3 − 5f (x) − 2x) = 10 ise
x "−1
lim (2xf (x) − x 2 + 4) limitinin değeri kaçtır?
x "−1
A) 10
B) 5
C) 0
D) –5
E) –10
19.
lim sinx limitinin değeri kaçtır?
x"3
A)
14.
lim a log 9 (1 − x) − 3 x + 3 k limitinin değeri kaçtır?
x "−2
−3
A)
2
15.
lim c
x "−3
A) –4
1) B
2) D
−1
B)
2
C) 0
1
D) 2
3
E)
2
|x − 2 | 4
− x + 4 m limitinin değeri kaçtır?
x+4
B) –3
3) B
4) C
C) 3
5) E
6) D
D) 4
7) C
8) E
E) 5
3
2
20. (a n) = c
3
7
B)
D) 0
1
2
C) 1
E) Limit yoktur.
3 − 5n
m dizisi için liman değeri kaçtır?
10n + 7
21.
2 4 8 16
− +
−
+…
3 9 27 81
sonsuz toplamının eşiti kaçtır?
A)
B)
2
5
C)
−1
2
A)
2
3
B)
1
2
C)
3
5
D)
D)
3
10
E)
−5
7
2
7
E)
3
4
9) B 10) E 11) B 12) C 13) B 14) B 15) D 16) C 17) C 18) C 19) E 20) C 21) B
71
KARMA TEST – 2
1.
y
y=f(x)
2
–2
–1
y
1
–1
2
O1 2
y=g(x)
1
x
–1
5.
O1 2
Grafikleri verilen y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonları için
a) lim (f (x) + g (x)) = 2 b) lim (f + g) (x) = 2
c) lim ^f (x) ·g (x) h = 0 f (x)
yoktur
d) lim
x " 1 g (x)
e)
f)
eşitliklerinden kaç tanesi doğrudur?
A) 5
2.
x"2
x"0
lim x 3 ·f (x) = − 1 x "−1
lim c
x " 0+
B) 4
x"1
C) 3
lim
3
x "−1
2 − g (x) = 3 2
D) 2
E) 1
A) 2,6
x
5+
ise x sayısı aşağıdakilerden hangisi ola2
maz?
x"
D) 3 −
6.
7.
lim
3
x"4
A)
3
lim
x"0
2
3
10
B) 2,5001
E)
C) 2,499
63
25
x 3 − 16
limitinin değeri kaçtır?
x+2
B) 1
C) 2
D) 4
E) 64
1− x+1
limitinin değeri kaçtır?
x
1
2
B) 1
C) 0
D) –1
E)
−1
2
A)
8.
f (x) = *
fonksiyonunun tüm reel sayılarda sürekli olması
1
1
−
m limitinin değeri kaçtır?
x |x |
A) ∞
B) –∞
D) 2
C) 0
E) Limit yoktur.
x+2 , x≠0
a 2
, x=0
için a kaç olmalıdır?
B)
1
2
C) 0
D)
−1
2
E) –1
4 − x2 , x ≤ 2
x−1 , x > 2
3.
f (x) = *
fonksiyonu için lim f (x) değeri kaçtır?
x"2
A) 1
B) 0
D) –2
4.
A) 1
lim
x "−3
E) Limit yoktur.
9.
lim
x"0
sin (sinx)
limitinin değeri kaçtır?
x
A) –∞
B) –1
C) 0
D) 1
E) ∞
(x − 2) 4 (x + 1) 3 (1 − x) 5
limitinin değeri kaçtır?
A) ∞
72
C) –1
B) 16
C) 0
10.
D) –16
E) –∞
lim ^x x 2 + 1 − x 2h limitinin değeri kaçtır?
x"3
A)
−1
B) –1
2
C) 0
D) 1
E)
1
2
x 2 − x − 12
, x ≠ –3
11. f (x) = * x + 3
a+4
, x =−3
16.
fonksiyonu x = –3 noktasında sürekli ise a kaç-
x (x + 1) − 6
limitinin değeri kaçtır?
x (3x − 2) − 8
−1
1
3
A) –1
B)
C) D) 1
E)
2
2
2
lim
x"2
tır?
A) –11
B) –7
C) –4
D) 0
E) 7
y
12.
17.
1
O
–1
1
x
2
lim
x"3
(2x − 1) 2 · (3 − x) 3
(5 − x) 3 · (4x 2 − 8x + 1)
limitinin değeri kaçtır?
A) 1
B)
3
10
C) 0
D)
−3
10
E) –1
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için
a) lim f (x) = − 1 b)
c) lim +f (x) = − 3 d) lim −f (x) = 3
e) lim +f (x) + lim −f (x) = 0
ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?
A) 5
x"3
x"2
x"0
lim f (x) = 1
x "−3
x"0
x"2
B) 4
C) 3
18.
D) 2
E) 1
lim ^ x + 3 − x − 2 h
x"3
limitinin değeri kaçtır?
A) ∞
B) 5
C) 0
D) 1
E) –∞
13. Aşağıdaki eşitliklerden hangisi yanlıştır?
1
A) lim +3 x − 5 = 3 B)
5 −x
C) lim c m = 0 x"3 3
D)
x"5
E) lim
x"1
2
lim 7 x = 1
x "−3
r x
lim a k = 3
e
x "−3
19.
x x x x =1
14.
lim
x "−3
A)
15.
1
2
lim
r−
x"
2
A) ∞
1) B
2) C
lim (x 2 − 2x − 3) = − 4 ise a kaçtır?
x"a
A) 2
B) 1
C) 0
D) –1
E) –2 1 − x − x2
limitinin değeri kaçtır?
2x 2 − 7
B)
1
7
C) 0
1
D) − 7
E)
−1
2
sinx − 3
limitinin değeri kaçtır?
cotx
B) 2
3) E
4) E
C) 0
5) C
6) C
D) –2
7) E
8) A
20.
E) –∞
lim
x "−5
a−2
3
= ise a kaçtır?
2a + 4 5
A) –15
B) –18
C) –20
D) –22
9) D 10) E 11) A 12) C 13) D 14) E 15) A 16) C 17) A 18) C 19) B 20) D
E) –25
73
KARMA TEST – 3
Z x−1
]
]
f (x) = [ x 2 + 1
]
] 8−x
\
fonksiyonuna
i) lim + f (x) = 1 ii) lim f (x) = − 1
iii) lim f (x) = 2 iv) lim − f (x) = 6
v) lim + f (x) = 6 vi) lim f (x) = 5
ifadelerinden kaç tanesi doğrudur?
A) 6
2.
3x 2 + ax + a + 3
=bdR
x2 + x − 2
x "−2
ise b kaçtır?
A) 1
1.
,
x<0
6.
, 0<x≤2
,
x>2
x"0
x"2
5.
B) 1
x"3
C) 4
D) 3
7.
E) 2
C) 0
D) –1
E)
−1
2
x3 + 1
limitinin değeri kaçtır?
9x 6 − x
1
−1
B) 0
C) D)
E) –3
3
3
lim
x "−3
A) ∞
lim
B)
3
2
C) 15
D)
−3
2
E) –1
8.
lim
x"3
A)
x2 − 9
limitinin değeri kaçtır?
27 − x 3
−2
9
B)
−9
2
C) 0
D)
2
9
E)
9
2
lim (1 − 2x − 3x 3) limitinin değeri kaçtır?
x "−3
A) ∞
B) –4
C) 0
D) 2
E) –∞
2 x−5
lim − c m limitinin değeri kaçtır?
x"5 3
2
4
A) ∞
B) C) 0
D) − 3
9
lim
r
x"
6
A)
x "−3
| x2 − 9 |
limitinin değeri kaçtır?
| x2 + x − 6 |
−5
6
B)
6
D) 5
−6
5
C) 0
E) Limit yoktur.
E) –∞
sinx − cos2x
limitinin değeri kaçtır?
tanx + cot2x
3
3
B)
D)
74
lim
A)
x−2
1
2
x"2
x"1
B) 5
6−x −2
limitinin değeri kaçtır?
1− 3−x
x"0
9.
4.
A)
göre,
3.
lim
x"2
3 +1
3
3
2
C) 0
E)
3 −1
3
10.
lim
x"0
arctan1
limitinin değeri kaçtır?
x
A) ∞
B) 1
D) –1
C) Limit yoktur.
E) –∞
11.
lim
1
x2
−
x x − 1 limitinin değeri kaçtır?
1
2x −
x
1
B) 1
C) D) 0
E) –1
2
3x +
x"3
A) ∞
x−1
x 2 + 5x + 4 + k
fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli ise k'nin
16. f (x) =
alabileceği en küçük tam sayı değeri kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
y
12.
3
2
1
–5
–2 –1 O
–1
x
2 3
17.
lim +e tanx limitinin değeri kaçtır?
r
2
x"
A) ∞
18.
/
B) 1
C) 0
D) –1
E) –∞
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu [–6, 6] aralığında kaç noktada sürekli değildir?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
3
k=0
13.
lim − c 3 x − 5 + x 3 m limitinin değeri kaçtır?
1
x
x"0
A)
− 14
B) –2
3
C) 1
D)
14
5
1
3
B)
3
5
C)
9
25
D)
25
12
E)
36
25
E) 8
19.
14. f(x) = 2x – 5 ise
lim (fofof) (x) limitinin değeri kaçtır?
A)
3 − 2k
limitinin değeri kaçtır?
5k
lim
x " 0+
A) 3
3x
limitinin değeri kaçtır?
1 − cosx
B) 2
C) 1
D)
2
E) 3 2
x"2
A) –1
B) –7
C) –11
D) –15
E) –19
15. f (x) = 2 − 3 3x + 4 ise
20.
lim f − 1 (x) limitinin değeri kaçtır?
x"3
A)
1) C
−3
5
2) E
B)
3) A
−5
3
4) A
C) –1
5) C
6) E
D)
7) D
3
5
8) A
E)
9)D
5
3
lim
x"3
4x 2 − 2x + 1 + 3 8x 3 + 5x − 1
4
16x 4 + 5 32x 5 − 8x 2 + 5
limitinin değeri kaçtır?
A) ∞
B) 2
C) 1
D)
1
2
10) C 11) B 12) C 13) C 14) E 15) B 16) C 17) C 18) D 19) E 20) C
E)
1
4
75
KARMA TEST – 4
2 − x 2 , x rasyonel sayl ise
5.
1.
f (x) = *
fonksiyonuna göre, lim f (x) değeri kaçtır?
0
, x irrasyonel sayl ise
x"0
A) Limit yoktur.
B) 0
D) –2
limitinin değeri kaçtır?
A)
a·b
2
B)
a−b
a
C) 2
2
D)
b
2
E)
b−a
2
C) 1
E) 2
6.
2.
1 − cos2x
limitinin değeri kaçtır?
lim
x2
x"0
A) 2
B) 1
lim ^ x 2 + ax − x 2 + bx h
x"3
C) 0
D) –1
lim −
x"0
A)
| 5x | − 4x 2
limitinin değeri kaçtır?
3x 3 −| − 2x |
5
2
B)
9
5
C)
1
2
D)
−1
2
E)
−5
2
E) –2
n
y
3.
y=f(x)
–1
y
y=g(x)
1
x
O 2
7.
2
O
lim
n"3
/ (3k − 1)
k=1
n
/ (4 + 2k)
k=1
x
1 2
limitinin değeri kaçtır?
A)
3
2
B)
2
3
C) 0
D) –∞
E) ∞
Grafiği verilen f ve g fonksiyonlarına göre
i) lim + (f + g) (x) = 3 ii) lim (f·g) (x) = 2
f
1
iii) lim + c m(x) = 2
x"0 g
iv) lim − ^ f − g 3h(x) = 3
v) lim (fog) (x) = 1 vi) lim (gof) (x) = 2
eşitliklerinden kaç tanesi doğrudur?
A) 5
4.
x"2
x"1
B) 4
lim arcsin c
x"1
A)
76
r
2
B)
x"0
x"2
x"0
C) 3
D) 2
C)
r
3
D)
1
2
5 x − log 2 x
limitinin değeri kaçtır?
lim + c m
x"0 3
5
3
A) ∞
B) C) 0
D) E) –∞
3
5
E) 1
1− x
m limitinin değeri kaçtır?
1−x
r
4
8.
E)
r
6
9.
x2
limitinin değeri kaçtır?
x"0
1 − cosx
−1
1
A) –1
B)
C) 0
D) E) 1
2
2
lim −
10. f(x) = ln(x4 – 1) fonksiyonunun sürekli olduğu en
geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
A) [–1, 1]
B) (–1, 1)
D) R– (–1, 1)
11.
12.
C) R–[1, 1]
E) R–{–1, 1}
x 5 − 32
limitinin değeri kaçtır?
3
x"2 x −8
5
20
16
A) 4
B) C)
D)
3
3
3
lim
lim f (x) = − 1 ve
x"2
E)
4
3
x 10 − 1
9
8
7
x"5 x +x +x +…+x+1
limitinin değeri kaçtır?
A) 5
16.
17.
lim
B) 4
C) 3
D) 1
E) ∞
lim 9log 2 64n 2 − 8 − log 2 16n 2 + n + 1 C
n"3
limitinin değeri kaçtır?
A)
1
2
B) 1
C) 2
D) 4
E) 8
lim g (x) = 3 ise
x"2
lim (2f (x) − 3g (x) − 2x + 3) limitinin değeri kaçtır?
x"2
A) 7
B) 2
C) 0
D) –15
E) –12
18.
13.
lim c 2x − 3 +
x " 0−
A) –4
a−1
limitinin değeri kaçtır?
a + 3 − 3a + 1
lim
a " 1+
A) ∞
B)
lim
x "−3
B) –3
C) 2
D) –1
A) ∞
15.
1 22 32
n2
+ 3 + 3 +…+ 3p
3
n
n
n
n"3 n
limitinin değeri kaçtır?
A)
1) E
B) 1
C) 0
D) –1
2) A
3) B
1
3
4) E
C) 1
5) B
6) E
7) A
8) A
1
5 − 2x
−1
3
E) –∞
fonksiyonunun x = 0– noktasındaki
limiti kaçtır?
A) 1
B)
3
2
C)
3
5
D)
−3
2
E) 0
E) –∞
20.
D) 2
3
lim f
B)
D)
E) 0
x 2 − 2x + 5
limitinin değeri kaçtır?
3 3
x +2
1
2
C) 0
| sinx |
m limitinin değeri kaçtır?
sinx
19. f (x) =
14.
1
3
E)
3
5
lim
i"1
A)
sinri
limitinin değeri kaçtır?
1 − i2
r
2
B)
r
4
C) p
D)
2r
3
9) C 10) C 11) C 12) E 13) A 14) D 15) B 16) B 17) B 18) E 19) C 20) A
E)
3r
2
77
KARMA TEST – 5
1.
lim ^ 3x 2 + 8x + 6 − 3x 2 + 3x + 1 h
limitinin değeri kaçtır?
A)
3
6
2.
lim
x"5
B)
3
3
C)
3
2
D)
2 3
5 3
E)
3
6
sin (x − 5)
limitinin değeri kaçtır?
25 − x 2
−1
10
B)
−1
5
A)
3.
2x
limitinin değeri kaçtır?
lim
x
x"1 −1
A) ∞
C) 0
D)
1
5
B) –∞
D) 0
− 2x 2 − 7ax + 4a 2
2
2
x " a 8a − 10ax − 3x
limitinin değeri kaçtır?
A) 5a
7.
∀ n ∈ N+ ve (an) bir dizidir.
liman = –2 ise
lim(an+3 – 2a3n+1) limitinin değeri kaçtır?
A) 4
8.
Z (a − 1) x + 2 , x > 2
]
]
f (x) = [
−3
, x=2
]
] 2x + 3
, x<2
\
fonksiyonun x = 2 noktasında limiti varsa a kaç-
6.
x"3
E)
1
10
C) 2
E) Limit yoktur.
lim
B)
5
a
B) 3
C)
a
5
C) 2
D) 1
D) –2
E) –1
E) –4
tır?
4.
C) 0
D)
3
2
E)
7
2
9.
34 − x − 2x + 2
= − 4 olduğuna göre, k kaçtır?
5− x + kx
x"3
1
A) 8
B) 4
C) 2
D) 1
E)
2
| x − 2 | −| 6 − 3x |
limitinin değeri kaçtır?
| 4x − 8 |
−1
1
A) –2
B) –1
C)
D) 0
E)
2
2
B)
−7
2
A)
lim
x " 2+
5.
−3
2
lim
x " 0−
2sinx + 3cosx
cotx
limitinin değeri kaçtır?
A) –∞
78
B) –3
C) 0
10.
D) 3
E) ∞
lim
lim
x "−3
A) –∞
|x |− 3
limitinin değeri kaçtır?
x 2 −| x − 3 |
B) –3
C) 0
D) 3
E) ∞
11.
lim
x "−3
16. f (x) = sin ^e
x 9x 2 − 8x + 7
5x − 4 − x 4x 2 + 1
limitinin değeri kaçtır?
−3
A)
7
−3
B)
2
C) 0
A)
3
4
B)
4
3
C)
2
3
fonksiyonunun sürekli olduğu
en geniş aralık aşağıdakilerden hangisidir?
3
D) 7
E) ∞
n
12. f p ifadesi n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt r
kümelerinin sayısını göstermektedir.
n n
c m· c m
1 3
lim
limitinin değeri kaçtır?
n
n"3 n
c m· c
m
2 n−2
x−1h
D)
3
2
A) R
B) R+
C) (1, ∞) D) [1, ∞) E) R – {1}
2 x
−5
17. f (x) = c m olduğuna göre, lim f (x) + lim
3
x"3
x " − 3 f (x)
toplamı kaçtır?
A) ∞
E) 1
18.
B) 5
C) 0
D) –5
E) –∞
3
limitinin değeri kaçtır?
x
5
3
B) 3
C) D) 3
5
E) 15
3
limitinin değeri kaçtır?
x
5
3
B) 3
C) D) 3
5
E) 15
lim 5x·sin
x"0
A) 0
|x − 2 |
, x≠2
13. f (x) = * x − 2
, x=2
5
fonksiyonu için
19.
lim +f (x) − lim −f (x) kaçtır?
x"2
A) –2
x"2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
lim 5x·tan
x"3
A) 5
20.
A)
3
4
B)
3
5
C)
1
2
D)
2
3
y=f(x)
x 20 − 1
14. lim 15
limitinin değeri kaçtır?
x"1 x −1
y
1
E)
4
3
–3
x
O
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
15.
3
%^
k =−2
A) 264
1) E
2) A
2h
2
− k+3
B)
C) lim +f (x) = 1 D) lim f − 1 (x) = 0
x"3
sonsuz çarpımının değeri kaçtır?
B) 232
3) E
A) lim f (x) = 3 4) C
C) 216
5) C
6) D
D) 24
7) C
8) E
E) 2
x"0
lim f (x) = − 3
x "−3
x"1
E) lim f (x + 3) = 1
x"0
9) C 10) C 11) B 12) C 13) E 14) E 15) B 16) D 17) C 18) A 19) E 20) E
79
KARMA TEST – 6
1.
Z
2
] 1+x , x≤0
]
f (x) = [ 2 − x , 0 < x ≤ 2
]
] (x − 2) 2 , x > 2
\
6.
6·9 x − 3 x − 1
limitinin değeri kaçtır?
2·9 x + 7·3 x − 4
lim
3x "
A)
1
2
1
2
1
3
B)
C)
2.
A) 0
B) 1
1
lim c −
x"0 x
C) 2
D) 3
E) 4
B) –∞
D) 1
–4
E)
3
5
–2
O1
2
3 4
x
C) 0
E) Limit yoktur.
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonunun limitinin
olduğu ancak sürekli olmadığı noktaların apsis-
lim
x " − 3−
−1
6
leri toplamı kaçtır?
x+3
limitinin değeri kaçtır?
| 9 − x2 |
B)
−1
3
C)
−1
2
A)
4.
25 − x − 5
x"0
x
limitinin değeri kaçtır?
A)
D)
1
3
E)
1
6
lim +
1
10
B)
1
5
A) –4
8.
f(x) = –3x3 – 5x2 + 4x – 7 ise
C) –1
D)
−1
5
E)
−1
10
9.
A) ∞
–3
–1
O
3
6
lim
B) 1
3r
3
y=f(x)
y = f(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor.
x−4
olduğuna göre, g(x) in süreksiz
(x − 5) f (x)
olduğu noktaların apsisleri toplamı kaçtır?
g(x)=
A) 10
80
B) 9
C) 7
D) 5
E) 3
10.
lim
x "−3
A) 2
D) 2
E) 4
C) 0
D) –1
E) –∞
rx
k
3 limitinin değeri kaçtır?
sin (rx)
B)
D)
C) 0
1 − 2cos a
x"1
A)
x
B) –2
f (1 − x)
limitinin değeri kaçtır?
f ( 2 + x)
lim
x"3
y
5.
5
3
y
7.
1
− 1 m limitinin değeri kaçtır?
x2
A) ∞
3.
D)
fonksiyonunun süreksiz olduğu kaç farklı nokta
vardır?
5
9
3
3
− 3
3
C)
E)
− 3r
3
− 3
3r
12x 3 − 5x + 2
limitinin değeri kaçtır?
1 + 4x 2 + 3x 3
B) 1
C) 0
D) –1
E) –2
11. 2a – 3b = 6 ve
(a − 2b) x − 5x + 3 − 1
=
3
3x 2 − 4
x"3
olduğuna göre, b kaçtır?
A) –15
16.
2
lim
B) –8
C) –1
D) 8
2·5 x − 5 − x
limitinin değeri kaçtır?
5 x + 3·5 − x
lim
x"3
−1
3
B) –2
C) 0
D)
1
3
A)
E) 2
17.
4·3 x − 3 –x
limitinin değeri kaçtır?
x
−x
x " − 3 3 + 2·3
−1
−1
A) 4
B) 2
C)
D)
E) –2
3
2
E) 15
12. a ∈ N+ olmak üzere,
2x 5a − 1 + x + 3
4a + 7
−5
x " 3 3x
limitinin değeri bir reel sayı ise a'nın alabileceği
lim
değerler toplamı kaçtır?
A) 45
B) 36
C) 28
D) 21
lim
E) 15
18. f(x) doğrusal fonksiyon olmak üzere,
13. f(x) = 3 – 2x – x2 ise
lim
h"0
f (h + 3) − f (3)
h
limitinin değeri kaçtır?
A) 8
14.
/
A) 1
3
k=1
B) 6
C) 4
D) –4
f(1) = –2 ve f –1(2) ise
f (x + 2)
lim
f
x"3
−1
A) –4
(1 − x)
B)
limitinin değeri kaçtır?
−1
2
C)
−4
5
D)
4
5
E) 4
E) –8
3 − x k + 1 − 15
=
ise x kaçtır?
4
5k
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
19.
lim
x"5
x x −5 5
limitinin değeri kaçtır?
x− 5
A) –15
B) –5
C) 3
D) 5
E) 15
Zx + 2 , x < 0
]
]
15. f (x) = [ e x , 0 ≤ x ≤ 1
]
]2 − x , x > 1
\
fonksiyonunun sürekli olduğu en geniş aralık
hangisidir?
20.
A) R
B) {0, 1}
D) R – {0, 1}
1) B
2) E
3) A
4) E
5) A
C) [0, 1]
E) R – [0, 1]
6) C
7) D
8) D
lim a x x x − x k limitinin değeri kaçtır?
x"3
A) ∞
B) –∞
D) 1
C) 0
E) Limit yoktur.
9) D 10) A 11) D 12) B 13) E 14) C 15) D 16) E 17) D 18) A 19) E 20) A
81
KARMA TEST – 7
5.
lim f (x) = 0; lim f (x) = − 3
1.
x ""3
x"0
lim f (x) = 3;
x " 3−
çarptıktan sonra 16 m yükseklik kazanıyor.
lim f (x) = − 3
x " 3+
si olabilir?
x−2
x (x − 3)
C) f (x) =
x−2
x−3
2.
lim
x " 16
E) f (x) =
2−x
3−x
6.
16 − x
limitinin değeri kaçtır?
4− x
A) 0
B) 2
yol kaç metredir?
(2 − x)
x 2 (x − 3)
x−2
D) f (x) =
3−x
B) f (x) =
C) 4
D) 8
3.
2·3 x − 3·2 x − 1
lim x + 2
limitinin değeri kaçtır?
− 5·3 x − 1
x"3 2
A)
B)
−3
8
−2
5
D)
1
2
lim
x"0
B) 140
C) 160
D) 180
E) 200
arcsinx
limitinin değeri kaçtır?
x
A) –∞
B) –1
C) 0
D) 1
E) ∞
E)
lim
x"5
A)
|5 − x |
limitinin değeri kaçtır?
x − 3x − 10
2
1
7
B)
D)
9
10
−1
2
1
2
C) Limit yoktur.
−1
7
E)
y
4.
4
–5 –4
C)
A) 100
E) 16
7.
−6
5
Dikey olarak yere çarptıktan sonra aynı oranda
yükselen topun duruncaya kadar aldığı toplam
ve f(2) = 0 koşullarını sağlayan fonksiyon hangiA) f (x) =
20 m yükseklikten düşey olarak bırakılan bir top yere
8.
3
2
1
–3
–2 –1 O 1
3
x
(a − 3) x + 4 ,
x ≥1
f (x) = * 5x − a + 3 , − 1 ≤ x < 1
bx 2 + 2x − 1 , x < − 1
fonksiyonu tüm reel sayılarda limitli ise a · b kaçtır?
− 35
−7
B)
4
2
D)
7
2
E)
35
4
A)
9.
Aşağıdaki limitlerin hangisinin sonucu bir ger-
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu için aşağıdaki-
C)
5
2
lerden hangisi yanlıştır?
A) (–∞, 3] – {–5, –3, –1} için tanımlıdır.
B) x = 3 noktasında süreklidir.
çek sayıdır?
C) (–∞, 0) aralığında 3 noktada süreksizdir.
A) lim lnx B)
D) x = –5 noktasında tanımlı olsaydı bu noktada
sürekli olurdu.
E) [0, 3] aralığında bir noktada süreksizdir.
82
x"3
C)
lim
x "−3
lim 5 x
x "−3
5 − x D) lim
x"2
E) lim −tanx
x"
r
2
|x − 2 |
x+5
10.
lim
x "−2
A)
15. Aşağıda verilen fonksiyonlardan hangilerinin
x2 − x − 6
limitinin değeri kaçtır?
x2 + x − 2
−5
3
B)
−3
5
C) –1
D)
3
5
E)
5
3
x = 2'de limiti yoktur?
y
I)
O
11.
lim (secx − tanx) limitinin değeri kaçtır?
x
2
O
y
III)
y
II)
x
2
y
IV)
x"0
A) –1
B) 0
C) 1
D)
1
2
E)
3
2
O
x
2
A) I, III
O
B) II, III, IV
D) III, IV
x
2
C) Yalnız III
E) I, II, III, IV
lim ^ 2x − x + 1 h
12.
x"3
limitinin değeri kaçtır?
A) ∞
B) 2
C) 0
D)
1
2
E) –∞
13. an: {n| n ≥ 2 ve n ∈ N} → R
n n
n
n
^a nh = ^ 5 − 2·3 + 7·2 h
dizisinin limiti kaçtır?
A) 5
B) 4
D) 0
y
16.
C) 3
2
E) Limit yoktur.
–2
1
O
x
2
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonuna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
14. f(x) = x4 – 5x2 + 8x – 1 olmak üzere,
A) lim f (x) = 1 B)
f (x) − f (1)
lim
limitinin değeri kaçtır?
x−1
x"1
A) 0
1) B
2) D
B) 1
3) A
C) 2
4) D
5) D
D) 3
6) D
x"3
C) lim +f (x) = 3 D)
x"2
E) 4
7) C
8) A
9) B
10) E
11) C
12) A
E)
13) A
lim f (x) = 1
x "−3
lim f (x) = 3
x " − 2−
lim f (x) = 3
x " − 2+
14) C
15) C
16) C
83
KARMA TEST – 8
1.
lim
x"0
cos2x − sinx
tan3x + 2x − 1
6.
limitinin değeri kaçtır?
A) –2
2.
B) –1
C) 0
D) 1
7.
limitinin değeri kaçtır?
A) –3
C) 0
D)
3
2
5−x , x > 2
f (x) = * − 4 , x = 2
x−5 , x < 2
ise lim f (x) kaçtır?
B) 3
D) –3
B)
3
/k
A)
2
1
5
1
10
C) 0
D)
−1
5
E)
−1
10
3
sonsuz toplamının değeri kaçtır?
+ 9k + 20
B)
1
4
C)
1
3
D)
1
2
E)
3
2
3
lim (2x + 3) ·sin c m
x
x"3
limitinin değeri kaçtır?
A) 9
B) 6
C) 3
D) 2
E) 0
D) –3
E) –6
C) 0
E) Limit yoktur.
9.
lim
x"3
lnx
limitinin değeri kaçtır?
log 2 x
A) loge2
B) log2
D) ln10
E) loge
5·2 x + 1 − 4·3 x − 2
x+1
− 7·2 x − 1
x "−3 3
limitinin değeri kaçtır?
A)
5.
1
5
x"2
A) 4
4.
2
E) 3
8.
3.
A)
x2 − 4
limitinin değeri kaçtır?
4x + 5x − 6
k=2
x "−3
−3
2
x"2
E) 2
lim ^x + x 2 − 3x h
B)
lim
84
C)
−5
7
−x
9 − −x − 3
limitinin değeri kaçtır?
A) 6
B) 3
Z
] 2sinx + a ,
]]
10. f (x) = [
,
−4
]
]] b − 3cosx ,
\
−r
fonksiyonu x =
2
tır?
D)
10
3
C) 0
C) log2e
lim
− 20
−4
B)
7
27
lim
x " 0−
E)
8
63
A) –6
B) –4
r
2
−r
x=
2
−r
x<
2
x >−
noktasında sürekli ise a + b kaç-
C) –2
D) 0
E) 2
11. Bir f fonksiyonu için
15.
i)
ii)
iii)
koşulları sağlandığına göre, f(x) in grafiği hangi-
lim f (x) = 2
x"3
lim f (x) = − 2
lim
x"6
x 2 − 5x − 6
limitinin değeri kaçtır?
sin (x − 6)
A) –7
B) –6
C) –5
D) 6
E) 7
x "−3
lim f (x) = 0
x"0
si olabilir?
y
A)
16.
y
B)
2
lim
x"0
sinx
limitinin değeri kaçtır?
arctanx
A) ∞
x
O
–2
O
B) –∞
D) 1
x
2
C) 0
E) Limit yoktur.
–2
y
C)
y
D)
2
17.
2
x
O
O
–2
x
–2
1
–2
3
x"1
6
limitinin değeri kaçtır?
A) 2
14.
A)
−1
2
B) –1
C) 0
1
2
D) 1
E)
lim
x"3
D) –1
E) –∞
D) 1
E) 0
1
2
E) 0
x − x+ x
x − x− x
limitinin değeri kaçtır?
A) ∞
B) 1
C) 0
B) 1
C) 0
D) –1
E) –2
x −x
limitinin değeri kaçtır?
1−x
1
−1
A) 1
B) C) 0
D)
E) –1
2
2
lim
19.
lim
x"0
2x + 3sinx
x·cosx
limitinin değeri kaçtır?
A) 5
B) 4
C) 3
x"1
lim
x " 10
A)
1) B
limitinin değeri kaçtır?
x− x
x −3 x
13.
18.
x
O
lim
x"0
1 − x2 3 3
− x p
x2
y
E)
12.
lim − f x·
5
2
2) D
20.
x−5 − 5
limitinin değeri kaçtır?
x − 10
B)
3) B
5
5
4) A
C)
5) A
5
10
D)
2
5
E)
6) C
7) D
8) B
9) E
2
10
lim
x"0
x·cosx
2x + 3sinx
limitinin değeri kaçtır?
A) 5
B)
1
5
C)
1
3
D)
10) A 11) C 12) B 13) B 14) C 15) E 16) D 17) B 18) D 19) A 20) B
85
KARMA TEST – 9
1.
2.
lim
x"0
3
6.
x
limitinin değeri kaçtır?
x
1
A) − 3
B) –1
lim c x·sin
x"0
A) ∞
C) 0
D) 1
E)
B) 1
C) 0
D) –1
limitinin değeri kaçtır?
A)
7.
Z 2x + 6
, x ≥1
] 2
]x −9
]
f (x) = [ 2x − 3 , 0 < x < 1
]
] x
] x2 − 1 , x < 0
\
2
2
B) 1
A) 6
lim
x "−2
B) 5
C) 4
3 2x − 1 − 5·2 3x + 1
x+3
− 9x + 1
x " 3 7·5
limitinin değeri kaçtır?
A)
D) 2
E) –2
D)
− 2
E) –1
2
fonksiyonu kaç noktada süreksizdir?
A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
lim
−1
27
B)
−1
9
C) –1
D) –9
E) –81
8.
lim
x"3
cosx
limitinin değeri kaçtır?
4
x
A) ∞
5.
O
r
O
r
O
r
O
r
B) –∞
D) 1
9.
lim
x "−3
C) 0
E) Limit yoktur.
sinx
limitinin değeri kaçtır?
3
x
A) ∞
C) 0
E) –∞
4.
r
4
1
m limitinin değeri kaçtır?
x2
x+ x+a
4 − x2
limitinin değeri bir reel sayı ise a kaçtır?
3.
1
3
lim (cosec2x − cot2x)
x"
B) –∞
D) 1
Yarıçapları eş olan çemberlerin içine kare, düzgün
C) 0
E) Limit yoktur.
beşgen, düzgün altıgen, düzgün sekizgen çiziliyor.
Bu işleme n kenarlı bir düzgün çokgen çizilene
kadar devam edildiğinde
lim 6Çevre (n − gen)@
n"3
10.
D)
86
nr2
B)
/ 4n
n=3
limitinin değeri ne olur?
A) 2pr
3
pr2
C) nr
E) ∞
2
1
− 8n + 3
sonsuz toplamının değeri kaçtır?
A)
−1
10
B)
−6
35
C)
1
15
D)
1
6
E)
4
15
11.
y
y
y=g(x)
2
2
x
–2 O 1
–2
15.
y=f(x)
lim (cosecx − cotx) limitinin değeri kaçtır?
x"0
A) ∞
B) –∞
D) 2
x
O 1 2
C) 0
E) Limit yoktur.
Grafiği verilen fonksiyonlara göre aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) lim
x"3
g (x)
= 0
f (x)
B) lim + (f (x) − g (x)) = 3
x"1
C) lim − ^f + g h(x) = 3 D)
x"1
E) lim +
x"0
lim
x " − 2+
f (x)
=−3
g (x) − 2
16.
g (x) + 5
=3
f (x)
lim 3 log (sinx) limitinin değeri kaçtır?
x " 0+
A) ∞
B) –∞
D) 3
C) 0
E) Limit yoktur.
12. Aşağıdaki ifadelerin hangisinde x → 0– için limit
–∞ olur?
A)
sinx
x
B)
D)
cosx
tanx
1
x
tanx
C) 2 x
E)
3
|x |
17. f (x) = *
13. Aşağıdaki eşitliklerden hangisi yanlıştır?
A) lim
x"3
x 2 + 5x + 4 =
|x + k | , x <− 2
fonksiyonunun x = –2'de limiti olduğuna göre,
k'nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?
lim (x 2 + 5x + 4)
x"3
B) lim log 2 (3x + 4) = log 2 a lim (3x + 4) k
x"3
2x + 5 , x ≥ –2
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
18.
a x
a k =0
x "−3 5
olduğuna göre, a'nın alabileceği en küçük tam
x"3
C) lim (5x − 4) = a lim (5x − 4) k2
x "−1
x "−1
2
D) lim sinx·cosx = lim sinx· lim cosx
x"0
x"0
x"0
x
x
=
E) lim 2
lim (x 2 − 1)
x"1 x −1
x"1
14.
lim
x + sinx
limitinin değeri kaçtır?
x + cosx
A) ∞
B) –∞
x"3
D) 0
1) C
2) C
3) A
sayı değeri kaçtır?
C) 1
E) Limit yoktur.
4) A
5) A
6) B
7) D
8) C
lim
9) C
10) D
A) 7
11) D
12) D
B) 6
13) E
14) C
C) 5
15) C
16) C
D) 4
17) D
E) 3
18) B
87
KARMA TEST – 10
−x − x + a
=bdR
x2 − 1
x "−1
ise b kaçtır?
A)
1.
2.
lim
−3
4
lim
x "−3
B)
−3
2
C) –1
D)
3
2
E)
6.
1
lim c x 2 ·cos m
x
x"0
limitinin değeri kaçtır?
A) ∞
3
4
B) 1
D) –1
limitinin değeri kaçtır?
A)
−3
5
B)
5
−3
C)
3e 3
5e 3
D)
− 3e 3
5e 3
E)
5
3
7.
lim
x"3
x3
limitinin değeri kaçtır?
(1, 01) x
A) ∞
B)
100
D)
101
lim (secx − tanx)
x"
r
2
limitinin değeri kaçtır?
A) –1
E) Limit yoktur.
2·rx + 1 − 3·e x − 2
5·e x + 1 − 4·rx − 1
3.
C) 0
−1
B)
2
1
D) 2
C) 0
8.
^a n h = c
A)
3
2
101
100
C) 0
E) Limit yoktur.
3n
m dizisinin limiti kaçtır?
n·2 + 3 n − 1
n
B)
1
3
C) 3
D)
1
2
E) 2
E) 1
4.
3 −| x − 2 |
x2 − 4
fonksiyonunun sürekli olduğu aralık hangisidir?
f (x) =
A) (–1, 5)
B) [–1, 5]
D) R – {–2, 2}
C) R – [–1, 5]
9.
1 1
lim c − 2 m
x x
x " 0+
limitinin değeri kaçtır?
A) ∞
B) 1
C) 0
D) –1
E) –∞
E) [–1, 5] – {2}
10. x değerleri sınırsız azaldığında aşağıdakilerden
5.
lim 7
hangisi sınırsız artar?
ln (− cosx + 1)
x " 0−
limitinin değeri kaçtır?
A) ∞
88
B) 7
C) 0
D)
1
7
A) e–x
E) –∞
B) 3x
D) sinx
C)
E) lnx
1
x
11.
Grafiği
y
verilen
y = f(x) fonksiyonu için aşağıda-
1
–1
–1
x
O 1
kilerden hangisi
4
= 3 B) lim +f (x) = 3
1 − f (x)
x"1
C) lim
−4
= − 3 D) lim f (x) = − 1
1 − f (x)
x"0
x "−3
x"3
16.
E) lim −(x + 2) ·f (x) = − 3
x"1
x 2 − 3x − 4
x2 − 4
fonksiyonunun süreksiz
A) 9
B) 6
C) 4
B) 1
C)
1
3
D) –1
E) –∞
D) 3
E) 2
lim ^ 9x 2 + 1 − ax + 2 h = b
x"3
ise a + b kaçtır? (a, b ∈ R)
A) 6
olduğu
B) 5
C) 4
sürekli ise aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
noktaların
apsisleri toplamı kaçtır?
A) ∞
17. f: A → R, A ⊂ R fonksiyonu x = 5 noktasında
12. f (x) =
n"3
limitinin değeri kaçtır?
yanlıştır?
lim
A)
15. lim 9log 3 (n + 2) − log 3 9n 2 + 2 C
A) lim f (x) = f (5) B) lim +f (x) vardır.
x"5
x"5
D) 3
C) lim −f (x) vardır.
E) 2
D) f(5) tanımlıdır.
x"5
7
olmak üzere
2
rx + 3 − 3e 2x + k x + 1
lim x + 1
− 2k x + 1 + 3r2x
x"3 e
E) lim +f (x) ≠ lim −f (x) tir.
x"5
x"5
13. k >
limitinin değeri kaçtır?
A)
14.
3
r
B)
r
3
C)
18.
2
r
3
D)
−1
2
lim f (x) = a ve f (x) tek fonksiyon ise
x"2
E)
−3
e
lim f (x)
x "−2
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 2a
1) E
2) C
B) a
3) C
4) E
C) 0
5) C
D) –a
6) C
7) C
E) –2a
8) C
9) E
19.
lim
x"0
sin 4 4x
limitinin değeri kaçtır?
2x 4
A) 256
lim
x"3
B) 128
C) 64
D) 32
E) 16
100
limitinin değeri kaçtır?
5x − cosx 2
A) ∞
B) –∞
D) 20
C) 0
E) Limit yoktur.
10) A 11) C 12) C 13) D 14) D 15) D 16) B 17) E 18) B 19) C
89
KARMA TEST – 11
1.
f(x) = log(3–x)(x2 – 25) fonksiyonunun sürekli olduğu küme hangisidir?
A) (–∞, –5)
B) (–∞, 3)
D) R – (–5, 5)
C) (5, ∞)
y
2
y=f(x)
1
O
x
1 2
lim
x"3
xx
limitinin değeri kaçtır?
x!
A) ∞
B) 1
6.
^a n h = c
C)
1
2
D) 2
E) 0
E) (–5, 5)
y
2.
5.
O
tır?
y=g(x)
A) 0
x
1
sinn + cosn
m dizisi için liman değeri kaçn
B) 1
C) 2
D) ∞
E) Limit yoktur.
y
2
y=h(x)
1
O
x
1
Grafiği verilen y = f(x), y = g(x) ve y = h(x) fonksiyonlarına göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) lim + (f·h) (x) = 1 B) lim − (f + g) (x) = 3
h (x)
= 0
C) lim −
x " 1 g (x)
D) lim (f − h) (x) = 0
x"1
7.
lim
x"0
x·sin
1
x
3 + sin 3
1
x
limitinin değeri kaçtır?
A) –∞
x"1
D) ∞
lim
x"3
A) ∞
E) Limit yoktur.
x"1
x"1
y
5
2
C) 0
D)
7
3
f
g
5x 3 − x 2 + 10
limitinin değeri kaçtır?
2x 4 + x + 3
B)
C) 0
E) lim (2g − 3h) (x) yoktur.
8.
3.
B) –1
–3 –1
O
x
E) –1
Grafiği verilen y = f(x) ve y = g(x) fonksiyonları
için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
4.
3x 4 + 100x 3 + 40
lim
8x 4 + 1
x "−3
limitinin değeri kaçtır?
A) ∞
90
B) 0
C) 3
A)
C)
D)
100
8
E)
3
8
lim
x "−3
lim
f (x)
= 3
g (x)
B)
g (x)
D) lim − (f (x) + g (x)) = 0
x " − 1 + f (x)
= − 3
lim
x "−3
x"0
g (x)
=3
E) lim −
x " − 1 f (x)
f (x)
=1
g (x)
9.
14.
x −1
x2 − 1
lim
x"1 3
limitinin değeri kaçtır?
A) ∞
10.
B)
3
2
C)
3
4
D)
2
3
E) 0
sin9x
sin x
lim
x " 0+
limitinin değeri kaçtır?
A) 9
B) 3
D)
y
11.
1
3
E)
1
9
grafiği verilmiştir.
lim −
x"0
A)
2
–1 O
x
2
12.
lim
x "−3
B)
B)
lim c
x "−3
3
4
C)
3
8
D)
3
16
E)
3
32
3x 2
3x 2
m
−
x−1 x+1
limitinin değeri kaçtır?
A) –6
2
3
C)
−4
3
D)
−2
3
E)
B) –3
C) 0
D) 3
E) 6
fonksiyonu R de sürekli ise k'nin alabileceği
limitinin değeri kaçtır?
A)
− 7
C) 0
4
D)
7
4
E)
A)
8
3
B)
4
3
C) 4
D)
3
4
E)
3
8
−1
3
17. Genel terimi
Z an − 2
]
, n / 0 (mod2)
] 5n − 1
an = [
] (a + 4) n − 1 , n / 1 (mod2)
] 3n + 4
\
olan (an) dizisinin limiti varsa a kaçtır?
4x 2 − 1 + 9x 4 − 5x + 3
5 − 4x
B)
3
2
değerler çarpımı kaçtır?
−1
4
A)
f (x − 1) − f 2 (x)
limitinin değeri kaçtır?
(fof) (x)
4
3
Z 3kx + 4 , x > k
]
]
16. f (x) = [ 8k
, x=k
]
] 3x 2 + m , x < k
\
–2
limitinin değeri kaçtır?
y = f(x) fonksiyonunun
3
–3
15.
C) 1
lim ^4x + 16x 2 − 3x h
x "−3
1
4
A) –10
B) –5
C) 0
D) 5
E) 10
13. 0,1 + 0,02 + 0,002 + 0,0002 +…
sonsuz toplamı kaçtır?
A)
1) A
1
45
2) E
B)
3) C
1
9
4) E
C)
18.
10
99
5) A
D)
6) A
11
90
7) C
E)
8) D
11
99
9) C
10) B
11) C
lim
x"0
sin3x − sin2x
limitinin değeri kaçtır?
tan2x + tan5x
A) –1
12) D
B)
13) D
3
5
C)
14) C
15) E
3
2
16) B
D)
2
5
17) A
E)
18) E
1
7
91
KARMA TEST – 12
1.
lim f
x"3
2x 7 + 3 x
p limitinin değeri kaçtır?
x2 + 4x
A) ∞
B)
D)
3
4
1
2
C) 0
Grafiği verilen
sin 3 x
·sin (x + 5)H
x2
x"0
limitinin değeri kaçtır?
lim >
A) ∞
B) –∞
D) 1
y
7.
2
yonu için aşa-
x ğıdakilerden
O
C) 0
E) Limit yoktur.
y = f(x) fonksi-
y=f(x)
–1
E) Limit yoktur.
y
2.
6.
y=f(x)
hangisi doğru-
x
–1 O
dur?
A) lim f (x) = 3 B)
x"3
C)
lim f (x) = 0 D)
x "−1
nin değeri kaçtır?
lim f (x) = − 3
x "−3
lim f (x) = − 3
x " − 1+
A) 2
B) 1
C) 0
lim 6f (x + 3) − 2@ limiti-
x"3
D) –1
E) –2
E) lim f (x) = 0
x"0
8.
3.
2x 2 − 3x + 1
m
lim c 2x − 3 −
x+4
x"3
limitinin değeri kaçtır?
A) ∞
4.
Grafiği verilen y = f(x) için
B) 12
C) 8
D) 4
E) 0
lim ^x + a − x 2 + 6x − 5 h = 7
ise a kaçtır?
A) 10
B) 7
C) 4
D) 3
E) 0
lim f (x) = n ise
x " 1−
lim f (x 2) ·f (x 3 − x + 1)
x " 1−
limitinin değeri kaçtır?
A) m·n
B) m2
C) n2
D) –m·n
(x + 1) 5 + (x + 2) 5 + … + (x + 5) 5
x5 + 5
x"3
limitinin değeri kaçtır?
A) 6
9.
x"3
lim f (x) = m ve
x " 1+
E) –n2
lim
B) 5
C) 4
D) 0
E) ∞
10. an: N+ → R pozitif terimli bir dizi ve liman ∈ R dir.
5.
lim f (x) = 5 ve f (x) çift fonksiyon ise
(a3n+1)2 – 5(a2n) – 6 = 0
lim f (x) değeri kaçtır?
ise liman değeri kaçtır?
A) –1
x " 3−
x "−3
A) 10
92
B) 5
C) 0
D) –5
E) –10
B) 1
C) 2
D) 5
E) 6
11. f (x) = *
ax 2 + 5 , x < − 2
x+8
, x >− 2
fonksiyonu için
A) 6
12.
lim
x"1
A)
15.
lim f (x) = k ! R ise a kaçtır?
1
4
C)
D) 0
E)
1
2
C) 0
D)
x+1 −2
limitinin değeri kaçtır?
x2 − 9
1
36
B)
1
24
C)
1
16
D)
1
12
E)
1
8
−1
2
x −1
limitinin değeri kaçtır?
1−3 x
B)
A)
x "−2
B) 5
3
2
lim
x"3
16. Aşağıdaki eşitliklerden hangisi yanlıştır?
−1
2
E)
−3
2
A) lim −e x − 2 = lim +e x − 2
x"2
B)
x"2
x
2
3 x
lim c m = lim c m
3
x "−2
x"2 2
C) lim + x − 5 = lim − x − 5
x"5
x"5
D) lim + x − 3 = lim − 3 − x
x"3
13. f (x) =
x"3
E) lim +log 2 x = lim log 1/2 x
x 2 − (a − 1) x + 4
x"0
x"3
fonksiyonu tüm reel sayılarda sürekli ise a'nın
alabileceği değerler kümesi hangisidir?
A) [–3, 5]
B) (–3, 5)
D) (–3, 5]
C) [–3, 5)
E) R
17.
14.
D
C
[–3,
y
3]
aralığında
tanımlı y = f(x) grafi-
Bir kenarı 16 cm olan
ği veriliyor.
ABCD karesinin içine
3
bir kenarı |AB| nin
ü
4
kadar olan yeni bir
–3
x
3
kare çiziliyor ve bu işleme
sonsuza
dek
devam ediliyor.
A
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) x = –3'te sağdan limiti yoktur.
B
B) x = 3'te soldan limiti yoktur.
En dıştakinden itibaren şekilde görüldüğü gibi iki
karenin arasında kalan bölgeler taranıyor.
C) [–3, 3] aralığında her noktada limiti vardır.
Taralı kısımların çevreleri toplamı kaç cm olur?
D) x = –3'te limiti yoktur.
A) 204
E) x = 3'te limiti yoktur.
1) C
2) D
B) 1024 C) 512
3) C
4) A
5) B
D) 256
6) C
7) C
E) 128
8) A
9) B
10) E
11) C
12) E
13) A
14) D
15) B
16) C
17) C
93
KARMA TEST – 13
1.
Z 2
x ≤1
]x + 3 ,
]
f (x) = [ x + 4 , 1 < x < 2
]
] x3 − 2 , x > 2
\
fonksiyonunun x = –3, x = 1, x = 2 x =
3
ve x = 3
2
noktalarının kaç tanesinde limiti vardır?
A) 1
2.
x 5 − 2x − 1
3
x " − 1 x − 2x − 1
limitinin değeri kaçtır?
B) 2
C) 3
D) 4
6.
Z1
]
, n = 2k
]n
an = [
] n , n = 2k − 1, k d N
] 2n + 1
\
dizisinin limiti kaçtır?
A) ∞
E) 5
A) 3
B) 2
E) Limit yoktur.
C) 1
D) 0
E) –1
7.
lim
x"8
A)
3
3
x −2
limitinin değeri kaçtır?
x + 19 − 3
2
3
B)
1
4
C)
3
4
D)
4
5
E)
9
4
E)
−4
r
1
lim ^ 4x 2 + ax − 1 − 4x 2 + bx + 3 h = ise
2
b – a kaçtır?
A) 2
C) 0
x"3
4.
2
2
lim
3.
1
D) 2
B)
lim f
n"3
B) 1
C) 0
D) –1
E) –2
8.
2n + n5
p
n! + n 2
limitinin değeri kaçtır?
A) ∞
B) 0
5.
x → 0 için
C) 1
D) 2
x 2 + 4 ≤ f (x) ≤
olduğu biliniyor.
Buna göre lim f (x) değeri kaçtır?
1
E)
2
9.
B) 2
D) 0
94
x"1
A)
1−x
limitinin değeri kaçtır?
rx
cot a k
2
r
2
B)
2
r
C)
−2
r
D)
−r
2
x 2 − 3x + 4
lim f (x) = f (k), kdR ise f(x) aşağıdakilerden han-
x"k
gisi olamaz?
x"0
A) 4
lim
C) 1
E) Limit yoktur.
A) 2x+3
B) cos(x – p)
D)
|x − a |
x−a
C)
3
E) log3(x2 + 5)
x−1
13 + 23 + 33 + … + n3
2
n " 3 (2 + 4 + 6 + … + 2n)
limitinin değeri kaçtır?
A)
10.
11.
15.
lim
1
16
lim
x"4
A)
B)
1
2
C) ∞
D) 0
E)
1
8
x −2
limitinin değeri kaçtır?
3 − x2 − 7
−3
16
B)
−2
3
C)
−3
7
D)
−2
5
E)
lim
x"2
ifadesi bir reel sayıya eşit ise b kaçtır?
A) 12
16.
−4
7
x 3 + ax 2 + 2x + b − 1
(x − 2) 2
S1
B) 3
C) 0
A
D)
−7
2
E) –12
Bir kenarı 4 cm olan
B
ABCDEF
altıgeninin
kenar orta noktaları
F
C
birleştirilerek yeni bir
altıgen elde ediliyor.
12. f (x) =
x 2 − 2x + 3
fonksiyonu tüm reel sayılarda
x 2 − kx + 5
A) –3
B) –2
C) 3
D) 4
D
S3
Aynı işlem sonsuza kadar devam ettirildiğinde
nin alanları toplamı kaç cm2 olur?
E) 5
E
şekilde görülen S1, S2, S3, … üçgensel bölgeleri-
sürekli ise k'nin alabileceği en büyük tam sayı
değeri kaçtır?
S2
A) 6 3 B)
5 3
C) 5 3 2
D) 3 3 E) 4 3
lim 9log 3 (9x 2 + 4) + log 1/3 (3x 2 − 5)C
13.
x"3
limitinin değeri kaçtır?
A) ∞
B) 3
C) 1
D)
1
2
E)
17. f(x) ile g(x), x = m noktasında limitli olan iki fonk-
1
3
siyondur. f tek, g çift fonksiyon olduğuna göre,
aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) lim 6− f (x)@ = lim f (x)
x"m
x "−m
B) lim g (x) = lim g (x)
x"m
14. f (x) =
C) lim f (x) = lim f (− x)
5x + 1
fonksiyonu R – {–2, 3} kümex − bx + c + 1
x"m
2
D)
sinde sürekli olduğuna göre, b + c kaçtır?
A) –7
1) D
2) A
B) –6
3) E
C) –5
4) B
5) B
D) 6
6) C
8) B
x "−m
lim g (− x) = lim g (x)
x "−m
x"m
E) lim (f (x) − g (x)) = 0
E) 7
7) E
x "−m
x"m
9) D
10) A
11) A
12) D
13) C
14) B
15) B
16) E
17) E
95
96