1. Bölüm - Google Groups
advertisement
1. Bölüm GEOMETRİYE GİRİŞ 1.1 1.2 1.3 1.4 – – – – Geometri Sistemleri Terim; Tanımsız Terim Aksiyom ve Geometri Sistemi Teorem ve İspat Muharrem Şahin 1. BÖLÜM 1.1 GEOMETRİYE GİRİŞ Günümüzde, geometri sistemleri şekillerin biçimleri ve ölçüleri arasındaki bağlantıları incelermiş gibi gözükürken; aslında evreni, evrenin güzelliklerini daha derinden kavramamıza olanak verecek düşünme ortamları oluşturmaktadırlar. Bu düşünme ortamlarında daha ilk adımlarınızda şekillerle yaratılan güzellikler sizi sarar. Bir yandan şekillerin, sizin yöneteceğiniz danslarını izlerken bir yandan da akıl yürütmenin zevkini yaşarsınız. GEOMETRİ SİSTEMLERİ Geometri cisimlerin biçimleri, ölçüleri, ve biçimleriyle ölçüleri arasındaki bağlantıları bulma çabalarından doğmuş bir bilim dalıdır. Cisimlerin biçimleri ve biçimsel ölçüleriyle ilgili özellikleri onların madde dolgularından bağımsızdır. Örneğin; küp biçimindeki bir cismin biçimsel ölçülerini alırken küpün demirden mi, ağaçtan mı yoksa camdan mı yapıldığı bizi hiç ilgilendirmez. Öyleyse; cisimlerin bu tür özelliklerini incelerken madde dolgularını aradan çıkarmak yerinde olur. Böylece, geriye şekil dediğimiz soyut varlıklar kalır. Geometri biliminde şekillerin biçimleri, ölçüleri ve biçimleriyle ölçüleri arasındaki bağlantılar incelenir. Bugüne değin geometri ile ilginiz, “ölçülerinden bazıları verilen şekillerin bilinmeyen ölçülerini bulma” düzeyinde kalmış olabilir. Bu yüzden, geometri zevki ile ilgili son sözlerimizi abartılı bulabilirsiniz. Ancak; geometrinin tadı önemli ölçüde ispatlarında saklıdır. İspatlama yöntemlerini de bu dersinizde öğreneceksiniz. Yanına bir de şekillerin dönüşümünü koyduğumuzda düşünce ufkunuzun nasıl genişlediğini sevinçle göreceğinize ve sözünü ettiğimiz geometri zevkini fazlasıyla yaşayacağınıza inanıyoruz. Doğadan doğrudan doğruya soyutladığımız şekilllerin geometrisi Öklid Geometrisi olarak bilinir. Öklid Milattan Önce 200 yıllarında yaşamış Yunan matematikçisidir. Zamanına kadar bilinen geometri bilgilerini düzenlemiş; doğru olduğu düşünülen her önermenin ispat edilemeyeceğini, bazılarının ispatsız doğru sayılması gerektiğini ortaya koyarak aksiyomatik sistemlerin temelini atmıştır. İlköğretim yıllarınızda işte bu geometriyi öğrendiniz. Lisede de yine aynı geometriyi geliştireceksiniz. 1.2 TERİM; TANIMSIZ TERİM Bir bilim dalında kavramlar terim dediğimiz sözcüklerle – veya sözlerle – adlandırılırlar. Buna göre; bir terimin anlamı, o terimin karşılık getirildiği kavramın neliğidir. Bir kavramın ne olduğunun açıklanmasına, o kavramın adı olan terimin tanımlanması denir. Terimlerin tanımları, anlamları bilinen başka terimler kullanılarak yapılır. Örneğin; çember terimi, düzlemde verilen bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesi olarak tanımlanır. Bu tanım yapılırken düzlem, nokta, eşit, uzaklık, küme terimlerinin anlamlarının biliniyor olması gerekir. Burada, her terimi tanımlanmış terimlerle tanımlayabilmenin olanaksızlığı ortaya çıkar. Bu, ya sınırsız sayıda tanımlanmış terim gerektirecek ya da A’nın tanımında B’yi; B’nin tanımında A’yı kullanmak gibi kısır döngülere götürecektir. Bu durumda bazı terimleri tanımsız olarak almak bir zorunluluktur. Matematikçiler doğadan soyutladıkları ilk şekilleri zihinlerinde evirip çevirerek, eğip bükerek, esnetip büzerek yeni şekillere dönüştürdüler. Şekilleri dönüştürmede uyguladıkları kurallara, oluşan şekillerin özelliklerine dayanarak adlandırdıkları, değişik doğruların geçerli olduğu değişik geometri sistemleri ortaya koydular. Afin Geometri, Projektif Geometri, Topoloji bu türden geometrilerdir. Bunlar temelde Öklid Geometrisinin türevleridir. Bu sistemlerin nasıl kurulduklarının ipuçlarını dönüşümler konusunda elde edeceksiniz. Bir de Öklid Geometrisinin Paralel Aksiyomu üzerindeki tartışmalardan doğan geometriler vardır: Lobachevsky Geometrisi, Riemann Geometrisi gibi... 6 1. Bölüm Geometri ye Giriş Geometride nokta, doğru, düzlem,... gibi temel kavramlara karşılık getirilen terimlerle; bu kavramlar arasında bağlantılar kurulmasını sağlayan üzerinde olma, eş olma,... gibi terimler tanımsız olarak alınırlar. lerin öyle rastgele seçilemeyecekleri açıktır. Aksiyom diyebileceğimiz önermeler; ■ Basit ve kolay anlaşılır olmalıdır. ■ Birbirlerinden bağımsız olmalıdır. Herhangi biri diğerlerinden elde edilememelidir. ■ Birbirleriyle çelişen sonuçlar doğurmamalıdırlar. Birbirlerini tamamlayıcı olmalıdırlar. Bir terimin tanımsız olması demek, anlamının belirsiz olması – karşılık getirildiği kavramın ne olduğunun tam olarak bilinememesi – demek değildir. Böyle terimlerin anlamları başka terimler türünden bir önerme ile değilse de örneklemelerle, benzetmelerle, soyutlamalarla,... açıklanır. Tanımlı olsun tanımsız olsun; bir terim öğrenildiğinde o terime karşılık gelen kavram zihinde tam olarak tasarlanabilir. ■ Sistemi tam olarak belirlemeye yetecek sayıda olmalıdırlar. Her aksiyomatik sistemde aksiyomların bu özellikleri sağlayıp sağlamadıkları sorgulanmalıdır. Birbirlerinden bağımsız ve birbirleriyle bağdaşabilir oldukları ispatlanmalıdır. 1.3 AKSİYOM VE GEOMETRİ SİSTEMİ Matematikte kavramlar arasındaki bağlantılar aksiyom ve teorem dediğimiz önermelerle ifade edilirler. Doğru olduğu savlanan böyle önermelerin doğruluğunun kanıtlanması beklenir. Bir önermenin doğruluğunu kanıtlamada doğru olduğu bilinen başka önermeler kullanılır. Tanımlı terimlerin sayısının sınırlı olduğu gibi, doğruluğu kanıtlanmış önermelerin sayısı da sınırlıdır. Kanıtlama süreci gelir; “Bu böyledir.” diyen bir p önermesinde tıkanır kalır. “Neden böyledir?” diyecek olursunuz; “Böyledir de onun için.” yanıtını alırsınız. Burada p önermesi ya apaçık doğrudur ya da doğru olduğu varsayılmıştır. Böyle kanıtlayamadığımız p önermelerine aksiyom; kanıtlayabildiğimiz önermelere de teorem diyoruz. Aksiyom terimi başlangıçta doğru olduğu apaçık olan önerme anlamında kullanılmıştır. Doğru olduğu varsayılan önerme anlamında postulât terimi kullanılırdı. Günümüzde aksiyom terimi postulât anlamı da katılarak kullanılır. Buna göre; aksiyomlar, doğru olduğu apaçık olan ya da doğru sayılan, dolayısıyla başka önermelere dayanılarak kanıtlanması hem olanaksız hem de gereksiz olan önermelerdir. Aksiyomlar bir yanıyla doğru sayılan önermeler olduklarından, değişik temel doğruların geçerli olduğu değişik geometri sistemlerinin kurulmasına olanak verirler. Bir düşünme ortamının doğrularını oluşturacak önerme7
