GENELLEŞTİRİLMİŞ PASCAL MATRİSLERİ Nilay ABAY

GENELLEŞTİRİLMİŞ PASCAL MATRİSLERİ
Nilay ABAY ÇAMDELEN
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
HAZİRAN 2010
ANKARA
Nilay ABAY ÇAMDELEN tarafından hazırlanan GENELLEŞTİRİLMİŞ PASCAL
MATRİSLERİ adlı bu tezin Yüksek Lisans tezi olarak uygun olduğunu onaylarım.
Doç. Dr. Naim TUĞLU
………………………….
Tez Danışmanı, Matematik Anabilim Dalı
Bu çalışma, jürimiz tarafından oy birliği ile Matematik Anabilim Dalında Yüksek
Lisans tezi olarak kabul edilmiştir.
Prof. Dr. Sait HALICIOĞLU
....……………………….
Matematik Anabilim Dalı, Ankara Üniversitesi
Doç. Dr. Naim TUĞLU
.….……………….….….
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Prof. Dr. Dursun TAŞCI
………………………….
Matematik Anabilim Dalı, Gazi Üniversitesi
Tarih:
......../….…/……
Bu tez ile G.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü Yönetim Kurulu Yüksek Lisans derecesini
onamıştır.
Prof. Dr. Bilal TOKLU
Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürü
……………………………….
TEZ BİLDİRİMİ
Tez içindeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edilerek sunulduğunu, ayrıca tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu
çalışmada bana ait olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf
yapıldığını bildiririm.
Nilay ABAY ÇAMDELEN
iv
GENELLEŞTİRİLMİŞ PASCAL MATRİSLERİ
(Yüksek Lisans Tezi)
Nilay ABAY ÇAMDELEN
GAZİ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
Haziran 2010
ÖZET
Bu çalışmada Fibonomiyel katsayılar kullanılarak tanımlanan birinci, ikinci
çeşit, genelleştirilmiş ve genişletilmiş genelleştirilmiş Fibonomiyel katsayılı
Pascal matrisleri tanımlandı. Fibonomiyel katsayılı Pascal matrislerinin
genelleştirilmiş Fibonacci ve Pell matrisleri ile çarpanlamaları elde edildi.
Pascal matrislerine benzer şekilde, Fibonomiyel katsayılar yardımıyla tanımlı
Vandermonde matrisi ile Fibonomiyel Pascal matrisi arasındaki ilişki elde
edildi.
Bilim Kodu
: 204.1.025
Anahtar Kelimeler : Pascal matrisi, Çarpanlama, Fibonacci, Fibonomiyel
katsayıları
Sayfa Adedi
: 35
Tez Yöneticisi
: Doç. Dr. Naim TUĞLU
v
GENERALIZED PASCAL MATRICES
(M.Sc. Thesis)
Nilay ABAY ÇAMDELEN
GAZI UNIVERSITY
INSTITUTE OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
June 2010
ABSTRACT
In this study, we define first, second, generalized and extended generalized types
of Pascal matrices involving Fibonomial coefficients. We obtain the
factorizations of these matrices by using generalized Fibonacci and Pell
matrices. Finally, we obtain the relations between the Fibonomial Pascal
matrices and the Vandermonde matrices involving Fibonomial coefficients.
Science Code : 204.1.025
Key Words : Pascal matrices, Factorizations, Fibonacci sequence, Fibonomial
Coefficients
Page Number : 35
Advisor
: Assoc. Prof. Dr. Naim TUĞLU
vi
TEŞEKKÜR
Bu çalışmanın hazırlanması aşamasında düşünce ve önerileriyle katkıda bulunan
ayrıca kıymetli tecrübelerinden faydalandığım hocam Prof. Dr. Dursun TAŞCI’ya
teşekkürü bir borç bilirim. Yine çalışmalarım boyunca değerli katkılarıyla beni
yönlendiren ve her safhasında bilgisine başvurduğum Doç. Dr. Naim TUĞLU
hocama, manevi destekleriyle beni hiçbir zaman yalnız bırakmayan aileme ve değerli
eşim Oktay ÇAMDELEN’e teşekkür ederim.
vii
İÇİNDEKİLER
Sayfa
ÖZET .......................................................................................................................... iv
ABSTRACT................................................................................................................. v
TEŞEKKÜR................................................................................................................ vi
İÇİNDEKİLER .......................................................................................................... vii
SİMGELER VE KISALTMALAR........................................................................... viii
1. GİRİŞ ....................................................................................................................... 1
2.TANIM VE ÖN BİLGİLER ..................................................................................... 3
3. PASCAL MATRİSLERİ ........................................................................................ 7
4. FİBONOMİYEL KATSAYILI PASCAL MATRİSLERİ..................................... 16
4.1 Fibonomiyel Katsayılı Pascal Matrislerinin Özellikleri................................... 19
4.2 Fibonomiyel Katsayılı Pascal Matrislerinin Çarpanlaması.............................. 26
KAYNAKLAR .......................................................................................................... 33
ÖZGEÇMİŞ ............................................................................................................... 35
viii
SİMGELER VE KISALTMALAR
Bu çalışmada kullanılmış bazı simgeler, açıklamaları ile birlikte aşağıda sunulmuştur.
Simgeler
Açıklama
J8
8. Fibonacci sayısı
Y8
8 ‚ 8 Fibonacci matrisi
Y8 ÒBÓ
8 ‚ 8 Genelleştirilmiş Fibonacci matrisi
Y8 ÒBß CÓ
8 ‚ 8 Genişletilmiş genelleştirilmiş Fibonacci matrisi
Y8w [Bß C]
8 ‚ 8 Genişletilmiş genelleştirilmiş Fibonacci matrisinin tersi
W8
8 ‚ 8 Pell matrisi
T8
8 ‚ 8 Pascal matrisi
U8
8 ‚ 8 Pascal matrisinin tersi
T8 ÒBÓ
8 ‚ 8 Birinci çeşit genelleştirilmiş Pascal matrisi
K8 [B]
8 ‚ 8 İkinci çeşit genelleştirilmiş Pascal matrisi
F8 [Bß C]
8 ‚ 8 Genişletilmiş genelleştirilmiş Pascal matrisi
Y8
8 ‚ 8 Fibonomiyel Pascal matrisi
Z8
8 ‚ 8 Fibonomiyel Pascal matrisinin tersi
Y8 ÒBÓ
8 ‚ 8 Birinci çeşit genelleştirilmiş Fibonomiyel Pascal matrisi
Z8 ÒBÓ
8 ‚ 8 Genelleştirilmiş Fibonomiyel Pascal matrisinin tersi
Q8 ÒBÓ
8 ‚ 8 İkinci çeşit genelleştirilmiş Fibonomiyel Pascal matrisi
Q8 ÒBß CÓY
8 ‚ 8 Genişletilmiş genelleştirilmiş Fibonomiyel Pascal matrisi
1
1. GİRİŞ
Call ve Vellaman, Pascal matrisini ve Pascal matrisinin tersini tanımlamış, ayrıca
Pascal matrislerinin genelleştirilebileceğini göstermişlerdir. Pascal matrisinin
tamsayı kuvvetiyle ilgili özellikler verilmiş olup, Pascal matrisinin kuvvetinin reel
sayı olması durumunu incelemişlerdir [1].
Lee ve Cho, Pascal matrisinin, Fibonacci matrisinin ve Pell matrisinin
genelleştirmelerinden bahsetmişlerdir. Birinci ve ikinci çeşit genelleştirilmiş Pascal
matrisi ile genişletilmiş genelleştirilmiş Pascal matrisini tanımlamışlar ve bu
matrisler arasındaki ilişkiyi incelemişlerdir. Pascal matrislerinin, Fibonacci ve Pell
matrisleri yardımıyla çarpanlara ayrılabileceğini göstermişlerdir. Üreteç fonksiyonu
ve Riordan methodundan bahsetmiş olup bunların çarpanlarını bulmuşlardır.
Kombinatöryel özdeşlikleri göz önüne almışlardır [2].
Tuğlu ve Koçer, Fibonomiyel katsayısını ve Fibonomiyel katsayılar yardımıyla da
Pascal matrisini
özellikler
tanımlamışlardır. Fibonomiyel katsayılı Pascal matrisi ile ilgili
verilmiştir.
Binom
açılımını
Fibonomiyel
katsayılar
yardımıyla
tanımlamıştır. Fibonomiyel Pascal matrisinin, Fibonacci matrisi yardımıyla
çarpanlara ayrılabileceğini göstermişlerdir [3].
Zhizheng, Pascal matrisini genelleştirmişlerdir. Bu matrisleri birinci ve ikinci çeşit
genelleştirilmiş Pascal Matrisi olarak tanımlamış ve faktörize etmişlerdir.
Genelleştirilmiş Pascal matrisini, eklemeli matrisler yardımıyla çarpanlara
ayırmışlardır. Simetrik genelleştirilmiş Pascal matrisinden bahsetmişler ve Cholesky
çarpanlamasını vermişlerdir. Birinci ve ikinci çeşit genelleştirilmiş Pascal
matrislerinin tersini ve determinantlarını vermişlerdir [4].
Zhizheng ve Maixue, genişletilmiş genelleştirilmiş Pascal matrisini iki farklı yolla
elde etmişlerdir. Birincisi alt üçgensel matris F8 [Bß C], diğeride simetrik matris
R8 ÒBß CÓ'dir. F8 [Bß C] genişletilmiş genelleştirilmiş Pascal matrisinin, özel eklemeli
2
matrisler yardımıyla çarpanlarına ayrılabileceğini ve R8 ÒBß CÓ simetrik genişletilmiş
genelleştirilmiş Pascal matrisinin ise K8 [BC]FX8 [Cß B" ] veya F8 [Bß C]T8X Ò BC Ó 'e eşit
olduğunu göstermişlerdir. R8 ÒBß CÓ matrisinin tersini, F8 [Bß C], F"
8 [Bß C ]ß R8 ÒBß CÓ
ve R8" ÒB,CÓ matrislerinin determinantlarını vermişlerdir [5].
Krot, Fibonomiyel katsayıların tanımını ve özelliklerini vermişlerdir [6].
Cheon ve Kim, sırasıyla Stirling sayılarının birinci çeşidi =Ð8ß 5Ñ ve ikinci çeşidi
WÐ8ß 5Ñ dan Pascal tipli matrisleri elde etmişlerdir. Bu matrisleri, Pascal matrisleri ile
çarpanlarına
ayırmışlardır.
Vandermonde
matrisinin,
LDU-çarpanlarını
elde
etmişlerdir. Bundan başka bazı iyi bilinen kombinatörel özdeşliklerin, Stirling
sayılarının matris gösteriminden elde edileceğini belirtmişlerdir. Bu matrislerin bir
veya iki değişkenle genelleştirilebileceğinden bahsetmişlerdir [7].
Biz bu makalenin ilk bölümünde; Pascal matrisinin tanımını verdik ve Pascal
matrisinin tersini tanımladık. Pascal matrisini, birinci ve ikinci çeşit olarak
genelleştirdik. Genelleştirilmiş Pascal matrislerini B ve C değişkenlerine bağlı olarak
genişlettik. Bu matrisler arasındaki ilişkiyi verdik. Fibonacci sayıları yardımıyla
Fibonacci matrisini, Pell sayıları yardımı ile de Pell matrisini tanımladık. Fibonacci
ve Pell matrislerini, B ve C değişkenlerine bağlı olarak genelleştirdik. Pascal
matrislerinin, Fibonacci ve Pell matrisleri yardımıyla çarpanlara ayrılabileceğini
gösterdik.
İkinci bölümde Fibonomiyel kaysayılarını ve Fibonomiyel katsayılar yardımıyla
Pascal matrisini tanımladık. Fibonomiyel Pascal matrisini B ve C değişkenlerine
bağlı olarak genelleştirdik. Fibonomiyel katsayıları kullanarak, Binom açılımını
tanımladık. Genişletilmiş genelleştirilmiş Fibonomiyel Pascal matrisleri, birinci ve
ikinci çeşit genelleştirilmiş Fibonomiyel Pascal matrisleri ile Fibonomiyel Pascal
matrisleri arasındaki ilişkiyi verdik. Fibonomiyel Pascal matrisinin, Fibonacci
matrisi yardımıyla çarpanlarına ayrılabileceğini gösterdik.
3
2. TANIM VE ÖN BİLGİLER
2.1. Tanım
J" œ ", J# œ " olmak üzere 8  # için
J8 œ J8"  J8#
indirgeme bağıntısı yardımıyla tanımlı sayılara Fibonacci sayıları denir. Buna göre
ilk onbeş Fibonacci sayıları aşağıda verilmiştir.
"ß "ß #ß $ß 5ß )ß "$ß #"ß $%ß &&ß )*ß "%%ß #$$ß $((ß '"!Þ
2.2. Tanım
8Þ Fibonacci sayısı J8 ve
ÚJ
034 œ Û
Ü
34"ß
34" !
(2.1)
!ß
diğer durumlarda
olmak üzere 8 ‚ 8 tipindeki Y8 œ Ð034 Ñ matrisine Fibonacci matrisi denir. 8 œ & ve
8 œ 1! için Fibonacci matrisleri
Ô J"
Ö J#
Ö
Y5 œ Ö J$
Ö
J%
Õ J&
!
J"
J#
J$
J%
!
!
J"
J#
J$
!
!
!
J"
J#
! ×
Ô"
Ö"
! Ù
Ù
Ö
! Ù
œ Ö#
Ù
Ö
!
$
Ø
Õ
J" &‚&
&
!
"
"
#
$
!
!
"
"
#
!
!
!
"
"
!×
!Ù
Ù
!Ù
Ù
!
" Ø&‚&
4
Y"!
œ
œ
Ô
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
J"
J#
J$
J%
J&
J'
J(
J)
J*
Õ J"!
Ô "
Ö "
Ö
Ö #
Ö
Ö $
Ö
Ö &
Ö
Ö )
Ö
Ö "$
Ö
Ö #"
Ö $%
Õ &&
!
J"
J#
J$
J%
J&
J'
J(
J)
J*
!
"
"
#
$
&
)
"$
#"
$%
!
!
J"
J#
J$
J%
J&
J'
J(
J)
!
!
"
"
#
$
&
)
"$
#"
!
!
!
J"
J#
J$
J%
J&
J'
J(
!
!
!
"
"
#
$
&
)
"$
!
!
!
!
J"
J#
J$
J%
J&
J'
!
!
!
!
"
"
#
$
&
)
!
!
!
!
!
"
"
#
$
&
!
!
!
!
!
J"
J#
J$
J%
J&
!
!
!
!
!
!
"
"
#
$
!
!
!
!
!
!
J"
J#
J$
J%
!
!
!
!
!
!
!
"
"
#
!
!
!
!
!
!
!
J"
J#
J$
!
!
!
!
!
!
!
!
"
"
!
!
!
!
!
!
!
!
J"
J#
! ×
! Ù
Ù
! Ù
Ù
! Ù
Ù
! Ù
Ù
! Ù
Ù
! Ù
Ù
! Ù
! Ù
J" Ø"!‚"!
!×
!Ù
Ù
!Ù
Ù
!Ù
Ù
!Ù
Ù
!Ù
Ù
!Ù
Ù
!Ù
!Ù
"Ø
"!‚"!
biçimindedir.
Fibonacci matrisleri aşağıdaki gibi B ve C değişkenlerine bağlı olarak genelleştirmek
mümkündür.
ÚJ
0 ÐBà 3ß 4Ñ œ Û
Ü
34
ß
34" B
34" !
(2.2)
diğer durumlarda
!ß
olmak üzere 8 ‚ 8 tipindeki Y8 ÒBÓ œ Š0 ÐBà 3ß 4Ñ‹ matrisine genelleştirilmiş
Fibonacci matrisi denir.
ÚJ
0 ÐBß Cà 3ß 4Ñ œ Û
Ü
34 34
C ß
34" B
!ß
34" !
(2.3)
diğer durumlarda
5
olmak üzere 8 ‚ 8 tipindeki Y8 ÒBß CÓ œ Š0 ÐBß Cà 3ß 4Ñ‹ matrisine genişletilmiş
genelleştirilmiş Fibonacci matrisi denir.
8 œ & için genişletilmiş genelleştirilmiş Fibonacci matrisi
Ô "
Ö BC
Ö # #
Ö #B C
Ö $ $
$B C
Õ &B% C%
!
"
BC
#B# C#
$B$ C$
!
!
"
BC
#B# C#
!
!
!
"
BC
!×
!Ù
Ù
!Ù
Ù
!
" Ø&‚&
olup, Eş. 2.$ de C œ " seçilirseß
Ô "
Ö B
Ö #
Ö #B
Ö $
$B
Õ &B%
!
"
B
#B#
$B$
!
!
"
B
#B#
!
!
!
"
B
!×
!Ù
Ù
!Ù
Ù
!
" Ø&‚&
genelleştirilmiş Fibonacci matrisi ve Eş. 2.3 de B œ C œ " seçilirse Eş. 2.1 deki
Fibonacci matrisi elde edilir.
2.1. Teorem
Y8 ÒBß CÓ, Eş. 2.3 deki genişletilmiş genelleştirilmiş Fibonacci matrisi olmak üzere,
Ú
"ß
Ý
Ý
Ý
Ý
0 w (Bß Cß 3ß 4) œ Û  "ß
Ý
Ý
Ý
Ý
Ü !ß
3œ4
"Ÿ34Ÿ#
diğer durumlarda
şeklinde tanımlanan Y8w [Bß C ] œ Š0 w (Bß Cß 3ß 4)‹ matrisi, genişletilmiş genelleştirilmiş
Fibonacci matrisi Y8 [Bß C] 'nin tersidir [3].
6
2.3. Tanım
+" œ ", +# œ # olmak üzere 8  # için
+8 œ #+8"  +8#
indirgeme bağıntısı yardımıyla tanımlı sayılara Pell sayıları denir. Buna göre ilk
onbeş Pell sayıları aşağıda verilmiştir.
"ß #ß &ß "#ß #*ß (!ß "'*ß %!)ß *)&ß #$()ß &(%"ß "(##$ß %!")(ß *(&*(ß #$&$)"Þ
2.4. Tanım
8Þ Pell sayısı +8 ve
Ú+
=34 œ Û
Ü
34" ß
!ß
34" !
diğer durumlarda
ile tanımlı 8 ‚ 8 tipindeki W8 œ Ð=34 Ñ matrisine Pell matrisi denir. 8 œ "! için Pell
matrisi
W"!
œ
Ô
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
Ö
"
#
&
"#
#*
(!
"'*
%!)
*)&
Õ #$()
biçimindedir.
!
"
#
&
"#
#*
(!
"'*
%!)
*)&
!
!
"
#
&
"#
#*
(!
"'*
%!)
!
!
!
"
#
&
"#
#*
(!
"'*
!
!
!
!
"
2
&
"#
29
70
!
!
!
!
0
1
2
&
"#
#*
!
!
!
!
0
0
1
2
&
"#
!
!
!
!
0
0
0
1
2
&
!
!
!
!
0
0
0
0
1
2
!×
!Ù
Ù
!Ù
Ù
!Ù
Ù
0Ù
Ù
0Ù
Ù
0Ù
Ù
0Ù
0Ù
1Ø
7
3. PASCAL MATRİSLERİ
3.1. Tanım
" Ÿ 3ß 4 Ÿ 8 için,
Ú
Ý Š 3" ‹ß
4"
:34 œ Û
Ý
Ü !ß
3 4
43
olmak üzere 8 ‚ 8 tipinden T8 œ Ð:34 Ñ matrisine Pascal matrisi denir.
Örnek
8 œ & ve 8 œ "! için Pascal matrisi
T&
œ
!
!
!
!
Ô ˆ!‰
Ö
Ö
Ö ˆ"‰ ˆ"‰
!
!
Ö !
"
Ö
Ö
Ö ˆ#‰ ˆ#‰ ˆ#‰
!
Ö !
"
#
Ö
Ö
Ö $
Ö ˆ ‰ ˆ$‰ ˆ$‰ ˆ$‰
"
#
$
Ö !
Ö
! ×
Ù
Ù
! Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
! Ù
Ù
Ù
Ù
! Ù
Ù
Ù
Õ ˆ%‰ ˆ%‰ ˆ%‰ ˆ%‰ ˆ%‰ Ø
!
"
#
$
%
œ
Ô" ! ! ! !×
Ö" " ! ! !Ù
Ö
Ù
Ö" # " ! !Ù
Ö
Ù
" $ $ " !
Õ" % ' % "Ø
&‚&
biçimindedir.
8
T10
œ
œ
!
Ô ˆ!‰
Ö ˆ"‰
Ö !
Ö ˆ#‰
Ö !
Ö $
Öˆ ‰
Ö !
Ö ˆ%‰
Ö !
Ö &
Ö ˆ!‰
Ö
Ö ˆ'‰
Ö !
Ö ˆ(‰
Ö !
Ö )
Öˆ ‰
!
Õ ˆ*‰
!
Ô"
Ö"
Ö
Ö"
Ö
Ö"
Ö
Ö"
Ö
Ö"
Ö
Ö"
Ö
Ö"
Ö
"
Õ"
!
"
#
$
%
&
'
(
)
*
!
ˆ "" ‰
ˆ #" ‰
ˆ $" ‰
ˆ %" ‰
ˆ &" ‰
ˆ '" ‰
ˆ (" ‰
ˆ )" ‰
ˆ *" ‰
!
!
ˆ ## ‰
ˆ $# ‰
ˆ %# ‰
ˆ &# ‰
ˆ '# ‰
ˆ (# ‰
ˆ )# ‰
ˆ *# ‰
!
!
"
$
'
"!
"&
#"
#)
$'
!
!
!
"
%
"!
#!
$&
&'
)%
!
!
!
ˆ $$ ‰
ˆ %$ ‰
ˆ &$ ‰
ˆ '$ ‰
ˆ ($ ‰
ˆ )$ ‰
ˆ *$ ‰
!
!
!
!
"
&
"&
$&
(!
"#'
!
!
!
!
ˆ %% ‰
ˆ &% ‰
ˆ '% ‰
ˆ (% ‰
ˆ )% ‰
ˆ *% ‰
!
!
!
!
!
"
'
#"
&'
"#'
!
!
!
!
!
ˆ && ‰
ˆ '& ‰
ˆ (& ‰
ˆ )& ‰
ˆ *& ‰
!
!
!
!
!
!
"
(
#)
)%
!
!
!
!
!
!
!
"
)
$'
!
!
!
!
!
!
ˆ '' ‰
ˆ (' ‰
ˆ )' ‰
ˆ *' ‰
!
!
!
!
!
!
!
!
"
*
!
!
!
!
!
!
!
ˆ (( ‰
ˆ )( ‰
ˆ *( ‰
!
!
!
!
!
!
!
!
ˆ )) ‰
ˆ *) ‰
! ×
! Ù
Ù
Ù
! Ù
Ù
! Ù
Ù
! Ù
Ù
Ù
! Ù
Ù
! Ù
Ù
Ù
! Ù
Ù
! Ù
ˆ ** ‰ Ø
!×
!Ù
Ù
!Ù
Ù
!Ù
Ù
!Ù
Ù
!Ù
Ù
!Ù
Ù
!Ù
Ù
!
" Ø10‚10
biçimindedir.
3.1. Teorem
" Ÿ 3ß 4 Ÿ 8 için,
Ú
Ý Ð  "Ñ34 Š 3" ‹ß
4"
;34 œ Û
Ý
Ü
!ß
3 4
43
şeklinde tanımlanan U8 œ Ð;34 Ñ8‚8 matrisi Pascal matrisinin tersidir, yani
U8 œ T8" dir.
9
İspat
ÐT8 U8 Ñ34 œ ":35 ;54 œ $34
8
5œ"
olduğunu göstermeliyiz.
3 œ 4 ise
ÐT8 U8 Ñ33 œ ":35 ;53 œ :33 ;33 œ "
8
5œ"
3  4 ise
ÐT8 U8 Ñ34 œ ":35 ;54 œ ":35 ;54  " :35 ;54 œ !
8
3
8
5œ"
5œ"
5œ3"
4  3 ise
3 œ 4  6 olsun.
œ
" :46ß45 ;45ß4
5œ!
œ
6
46"
45"
5
" Œ
Œ
Ð  "Ñ
45"
4"
5œ!
œ
Ð4  6  "Ñx 6
6x
"
Ð  "Ñ5
Ð4  "Ñx6x 5œ! Ð6  5Ñx5x
œ
Œ
œ
!
6
ÐT8 U8 Ñ34
46" 6
6
5
"Œ Ð  "Ñ
4"
5
5œ!
10
" Ÿ 3ß 4 Ÿ 8 için, 8 ‚ 8 tipinde P8 ve Q8 matrisleri
3"
3#
3$
634 œ Š 4"
‹  Š 4"
‹  Š 4"
‹
P8 œ Ð634 Ñ,
3"
3#
3$
Q8 œ Ð734 Ñ, 734 œ Š 4"
‹  #Š 4"
‹  Š 4"
‹
(3Þ1)
(3Þ2)
şeklinde tanımlansın [2].
3.2. Teorem
8 ‚ 8 tipinden T8 , Y8 ve P8 matrisleri sırasıyla Pascal matrisi, Fibonacci matrisi ve
Eş. 3.1 ile tanımlı matrisler olmak üzere,
T8 œ Y8 P8
dır [2].
3.3. Teorem
8 ‚ 8 tipinden T8 , W8 ve Q8 matrisleri sırasıyla Pascal matrisi, Pell matrisi ve Eş.
3.2 ile tanımlı matrisler olmak üzere,
T8 œ W8 Q8
dır [2].
Örnek
Ô"
Ö"
Y4 P4 =Ö
#
Õ$
!
"
"
#
!
!
"
"
! ×Ô
! ÙÖ
ÙÖ
!
" ØÕ
"
! ! !× Ô" ! ! !×
!
" ! !Ù Ö" " ! !Ù
ÙœÖ
Ù œ T%
" " " !
" # " !
 " ! # "Ø Õ" $ $ "Ø
11
Ô "
Ö #
W% Q% œ Ö
&
Õ "#
!
"
#
&
!
!
"
#
! ×Ô
! ÙÖ
ÙÖ
!
" ØÕ
!
! !× Ô" ! ! !×
"
! !Ù Ö" " ! !Ù
ÙœÖ
Ù œ T%
!
" !
" # " !
 # " "Ø Õ" $ $ "Ø
"
"
#
#
Teorem 3.2, Teorem 3.3 ve Örnek 3.2, bize Pascal matrislerinin Fibonacci, Pell
matrisleri yardımıyla çarpanlara ayrılabileceğini göstermektedir.
3.2. Tanım
" Ÿ 3ß 4 Ÿ 8 için,
Ú
Ý B34 Š 3" ‹ß
4"
T8 ÐBà 3ß 4Ñ œ Û
Ý
Ü
!ß
olmak
üzere
3 4
(3.3)
43
8 ‚ 8 tipinden
T8 ÒBÓ œ ŠT8 ÐBà 3ß 4Ñ‹ matrisine
birinci
çeşit
genelleştirilmiş Pascal matrisi denir [4].
Ú
Ý B34 Š 3" ‹ß
4"
K8 ÐBà 3ß 4Ñ œ Û
Ý
Ü
!ß
olmak
üzere
3 4
(3.4)
43
8 ‚ 8 tipinden
K8 [B] œ ŠK8 ÐBà 3ß 4Ñ‹
matrisine
ikinci
çeşit
genelleştirilmiş Pascal matrisi denir [4].
Ú
Ý B34 C34# Š 3" ‹ß
4"
F8 ÐBß Cà 3ß 4Ñ œ Û
Ý
Ü
!ß
3 4
(3.5)
43
olmak üzere 8 ‚ 8 tipinden F8 [Bß C] œ ŠF8 ÐBß Cà 3ß 4Ñ‹ matrisine genişletilmiş
genelleştirilmiş Pascal matrisi denir [5].
12
Örnek
8 œ & için birinci çeşit genelleştirilmiş Pascal matrisi, ikinci çeşit genelleştirilmiş
Pascal matrisi ve genişletilmiş genelleştirilmiş Pascal matrisi sırasıyla,
Ô"
ÖB
Ö
T& ÒBÓ œ Ö B#
Ö $
B
Õ B%
ÔB
Ö B$
Ö
%
K& [B] œ Ö
ÖB
Ö B&
#
Õ B'
!
"
#B
$B#
%B$
!
!
"
$B
'B#
!
!
!
"
%B
!
B%
#B&
$B'
%B(
!
!
B'
$B(
'B)
!
!
!
B)
%B*
Ô "
Ö BC
Ö
F& [Bß C] œ Ö B# C#
Ö $ $
BC
Õ B% C%
!
C#
#BC$
$B# C%
%B$ C&
!×
!Ù
Ù
!Ù
Ù
!
" Ø&‚&
! ×
! Ù
Ù
! Ù
Ù
! Ù
B"! Ø&‚&
!
!
C%
$BC&
'B# C'
!
!
!
C'
%BC(
dir.
Bu matrisler arasındaki ilişki,
F8 [Bß "] œ T8 ÒBÓ
F8 ["ß "] œ T8 Ò"Ó œ T8 œ K8 ["] œ K8
F8 [  "ß "] œ T8" œ U8 œ K8 [  "]
biçimindedir.
! ×
! Ù
Ù
! Ù
Ù
!
C) Ø&‚&
13
3.4. Teorem
Her Bß C − ‘ için,
T8 ÒBÓT8 ÒCÓ œ T8 ÒB  CÓ
dır [1].
İspat
Bß C − ‘ için T8 ÒBÓT8 ÒCÓ œ ŠG8 ÐBß Cà 3ß 4Ñ‹ olsunÞ Matris çarpımından
G8 ÐBß Cà 3ß 4Ñ œ "B35 Œ
8
5œ"
3  " 54 5  "
C Œ

5"
4"
olur. Her 3ß 4ß 5 pozitif tamsayıları için
3
5
3
34
Œ Œ  œ Œ Œ

5
4
4
54
eşitliği gözönüne alınarak,
G8 ÐBß Cà 3ß 4Ñ
œ
3  " 8 35 54 3  4
Œ
" B C Œ

4  " 5œ"
54
œ
3"
3  4 34> >
C
Œ
" Œ
B
4  " >œ"4
>
œ
Œ
œ
T8 (B  C;3ß 4)
84
bulunur. Böylece
3"
34
ÐB  CÑ
4"
14
T8 ÒBÓT8 ÒCÓ œ T8 ÒB  CÓ
elde edilir.
3.5. Teorem
T8 ÒBÓ, 8 ‚ 8 tipinde birinci çeşit genelleştirilmiş Pascal matrisi ve T8 , Pascal matrisi
olmak üzere her 4ß 5 − ™ ve 5 Á ! için
a) T84 œ T8 Ò4Ó
b) T84 œ ŠT8  54 ‘‹
5
dir [1].
Örnek
% ‚ % tipinden T% Pascal matrisinin &Þ kuvvetini hesaplayalım.
T%&
œ
ÎÔ"
Ð Ö"
Ð Ö
"
ÏÕ"
!
"
#
$
!
!
"
$
!×Ñ
Ô "
! Ù ÓÖ &
= Ö
ÙÓ
!
#&
Ø
Õ
Ò
"
"#&
&
!
"
"!
(&
!
!
"
"&
!×
!Ù
Ù
!
"Ø
dir. Oysa birinci çeşit genelleştirilmiş Pascal matrisinde B œ & alınırsa
Ô "
Ö &
T% Ò&Ó œ Ö
#&
Õ "#&
!
"
"!
(&
!
!
"
"&
!×
!Ù
Ù
!
"Ø
olup, T% Ò&Ó œ T%& olduğu görülür.
15
Örnek
T% Ò %& Ó matrisinin &Þ kuvvetini bulalım.
%
ŒT%  & ‘
&
Ô "
Ö
Ö %
Ö &
Ö
υ
Ö "'
Ö
Ö #&
Ö
!
!
"
!
)
&
"
%)
#&
"#
&
!
"
)
%)
!
!
"
"#
'%
Õ "#&
Ô "
Ö %
υ
"'
Õ '%
!×
Ù
Ù
!Ù
Ù
Ù
Ù
!Ù
Ù
Ù
&
"Ø
!×
!Ù
Ù
!
"Ø
şeklindedir.
Örnek
%
T' Ò "!
Ó matrisinin "!Þ kuvvetini bulalım.
%
ŒT& Ò "! Ó 
"!
Ô "
Ö
Ö %
Ö "!
Ö
Ö
Ö "'
υ
Ö "!!
Ö
Ö
Ö '%
Ö "!!!
Ö
!
!
!
"
!
!
)
"!
"
!
%)
"!!
"#
"!
"
#&'
"!!!
#&'
"!!!
*'
"!!
"'
"!
Ô "
Ö %
Ö
œ Ö "'
Ö
'%
Õ #&'
!
"
)
%)
#&'
Õ
!
!
"
"#
*'
!×
Ù
Ù
!Ù
Ù
Ù
Ù
!Ù
Ù
Ù
Ù
!Ù
Ù
Ù
"!
"Ø
! !×
! !Ù
Ù
! !Ù
Ù
" !
"' " Ø
16
4. FİBONOMİYEL KATSAYILI PASCAL MATRİSLERİ
Bu bölümde, Fibonomiyel katsayıları kullanılarak tanımlanan ve Pascal matrislerinin
bir genelleştirilmesi olan matrislerin yapısı incelenecektir.
4.1. Tanım
8 5 doğal sayıları için J8 ß 8Þ Fibonacci sayısını göstermek üzere
5
8
J8 J8" á J"
J83"
œ$
Š ‹ œ
5 Y
ÐJ85 J85" á J" ÑÐJ5 J5" á J" Ñ
J3
3œ"
ve
8
8
8
Š ‹ œ Š ‹ œ " , 8  5 için Š ‹ œ !
! Y
8 Y
5 Y
biçiminde tanımlı sayılara Fibonomiyel katsayılar denir [3].
Ò8ÓY x œ J8 J8" á J" ve Ò!ÓY x œ "
olmak üzere Eş. 4.1
8
Ò8ÓY x
Š ‹ œ
5 Y
Ò8  5ÓY x Ò5ÓY x
biçiminde de ifade edilebilir.
Özellik
Fibonomiyel katsayıların indirgeme bağıntısı
(4.1)
17
8
8"
8"
Š ‹ œ J5" Œ
  J85" Œ

5 Y
5
5" Y
Y
şeklindedir Ò3Ó.
Özellik
Her 3ß 4ß 5 doğal sayıları için
3
5
3
34
Œ  Œ  œŒ  Œ

5 Y 4 Y
4 Y 54 Y
dir.
Özellik
8
8
a) Š ‹ œ Š
‹ (Simetri Özelliği)
5 Y
85 Y
8
8"
b) J85 Š ‹ œ J8 Œ

5 Y
5
Y
dir [6].
Eş. 4.1 deki Fibonomiyel katsayıların tanımını, polinomlar için de genelleştirmek
mümkündür.
4.2. Tanım
5
8
J8 ÐBÑJ8" ÐBÑá J" ÐBÑ
J83" ÐBÑ
$
œ
œ
Š ‹
5 Y ÐBÑ
J85 ÐBÑJ85" ÐBÑá J" ÐBÑJ5 ÐBÑJ5" ÐBÑá J" ÐBÑ
J3 ÐBÑ
3œ"
Ò8ÓY ÐBÑ x
8
œ
Š ‹
5 Y ÐBÑ
Ò8  5ÓY ÐBÑ x Ò5ÓY ÐBÑ x
18
biçiminde de tanımlanır ["#].
Özellik
8
8"
8"
Š ‹ œ J5" ÐBÑŒ
  J85" ÐBÑŒ

5 Y ÐBÑ
5
5  " Y ÐBÑ
Y ÐBÑ
şeklindedir Ò12Ó.
Şimdi, Fibonomiyel katsayılar yardımıyla Pascal matrisini tanımlayalım.
4.3. Tanım
" Ÿ 3ß 4 Ÿ 8 ve Š 43 ‹ Fibonomiyel katsayısını göstermek üzere
Y
Ú
Ý Š 3" ‹ , 3 4
4"
Y
?34 œ Û
Ý
Ü !ß
43
olmak üzere 8 ‚ 8 Y8 œ Ð?34 Ñ matrisine Fibonomiyel Pascal matrisi denir [3].
Örnek
8 œ & için Fibonomiyel Pascal matrisi
!
Ô ˆ ! ‰Y
Ö ˆ"‰
Ö ! Y
Ö #
ˆ ‰
Y& œ Ö
Ö ! Y
Ö ˆ$‰
Ö !
Õ ˆ %! ‰
Y
Y
biçimindedir.
!
ˆ "" ‰
!
!
ˆ #" ‰
!
ˆ ## ‰
!
ˆ %" ‰
ˆ %# ‰
Y
ˆ $" ‰
Y
Y
Y
ˆ $# ‰
Y
Y
Y
!
ˆ $$ ‰
ˆ %$ ‰
Y
Y
! ×
! Ù
Ù
Ù
! Ù
Ù
Ù
! Ù
ˆ %% ‰ Ø
Y
&‚&
Ô" ! ! ! !×
Ö" " ! ! !Ù
Ö
Ù
œ Ö" " " ! !Ù
Ö
Ù
" # # " !
Õ" $ ' $ "Ø
&‚&
19
4.1 Fibonomiyel katsayılı Pascal matrislerinin özellikleri
4.1. Teorem
," œ " ve 8 # için
,8 œ  ",3 Œ
8"
3œ"
8"

3" Y
olmak üzere,
Ú
Ý ,34" Š 3" ‹ ß
4"
Y
@34 =Û
Ý
Ü
!ß
3 4
43
şeklinde tanımlanan Z8 œ Ð@34 Ñ8‚8 matrisi, Y8 œ Ð?34 Ñ8‚8 Fibonomiyel Pascal
matrisinin tersidir, yani Z8 œ Y8" dir [3].
İspat
ÐY8 Z8 Ñ34 œ "?3= @=4 olsun.
8
=œ"
3 œ 4 ise
ÐY8 Z8 Ñ33 œ "?3= @=3 œ ?33 @33 œ "
8
=œ"
3  4 ise
ÐY8 Z8 Ñ34 œ "?3= @=4 œ "?3= @=4  " ?3= @=4 œ !
8
3
8
=œ"
=œ"
=œ3"
20
4  3 ise, ozaman
"?3= @=4
8
ÐY8 Z8 Ñ34
œ
=œ"
œ
Œ
3"
4"
3"
4
 ," Œ
 Œ
 ,# Œ
 á
4" Y
4" Y
4
4" Y
Y
Œ
3"
3"
 ,34" Œ

3" Y
4" Y
œ
,34"
Ò3  "ÓY x
,"
,#

á 
Œ

Ò4  "ÓY x Ò3  4ÓY x
Ò3  4  "ÓY xÒ"ÓY x
Ò3  4ÓY x
œ
,34" Ò3  4ÓY x
Ò3  "ÓY x
," Ò3  4ÓY x
á 
Œ

Ò4  "ÓY xÒ3  4ÓY x
Ò3  4ÓY x
Ò3  4ÓY x
œ
Ò3  "ÓY x
Ò4  "ÓY xÒ3  4ÓY x
Œ," Œ
34
34
  á  ,34" Œ
 
!
34 Y
Y
œ
34
Ò3  "ÓY x
34
34
Œ",5 Œ
  ,34" Œ
 
Ò4  "ÓY xÒ3  4ÓY x 5œ"
5" Y
34 Y
œ
!
buluruz. Böylece teorem ispatlanmış olur.
Örnek
8 œ % için Y% Fibonomiyel Pascal matrisinin tersi
Z%
œ
Ô ," ˆ !! ‰Y
Ö
Ö ,# ˆ "! ‰
Y
Ö
Ö , ˆ#‰
Ö $ ! Y
$
Õ ,% ˆ ! ‰
Y
şeklindedir.
!
," ˆ "" ‰Y
,# ˆ #" ‰
,$ ˆ $" ‰Y
Y
!
×
Ù Ô "
! Ù Ö "
Ù=Ö
!
! Ù
Ù
Õ
"
," ˆ $$ ‰Y Ø
!
!
," ˆ ## ‰Y
,# ˆ $# ‰
Y
!
"
"
!
! !×
! !Ù
Ù
" !
 # " Ø%‚%
21
4.4. Tanım
" Ÿ 3ß 4 Ÿ 8 için,
Ú
3"
Ý B34 Š 4"
‹ ß
Y
Y8 ÐBà 3ß 4Ñ œ Û
Ý
Ü
!ß
olmak
3 4
43
Y8 ÒBÓ œ ŠY8 ÐBà 3ß 4Ñ‹
üzere 8 ‚ 8 tipinden
matrisine
birinci
genelleştirilmiş Fibonomiyel Pascal matrisi denir.
Örnek
8 œ ' için birinci çeşit genelleştirilmiş Fibonomiyel Pascal matrisi
Y' ÒBÓ
œ
!
Ô B! ˆ ! ‰Y
Ö "ˆ " ‰
ÖB ! Y
Ö
Ö B# ˆ # ‰
Ö
!
Ö $ $ Y
Ö B ˆ!‰
Y
Ö
Ö %ˆ % ‰
ÖB !
Õ B& ˆ &! ‰Y
Y
œ
Ô"
ÖB
Ö #
ÖB
Ö $
ÖB
Ö %
B
Õ B&
biçimindedir.
4.5. Tanım
" Ÿ 3ß 4 Ÿ 8 için,
!
"
B
#B#
$B$
&B%
!
B! ˆ "" ‰
B" ˆ #" ‰Y
B# ˆ $" ‰
Y
B$ ˆ %" ‰Y
B% ˆ &" ‰Y
Y
!
!
"
#B
'B#
"&B$
!
!
!
!
!
B! ˆ ## ‰
!
!
!
!
B0 ˆ 33 ‰
!
!
0
0
B" ˆ 3# ‰Y
B# ˆ #4 ‰Y
B$ ˆ 5# ‰Y
Y
!
!
!
"
$B
"&B#
!
!
!
!
"
&B
B1 ˆ 43 ‰Y
B2 ˆ 53 ‰Y
Y
!×
!Ù
Ù
!Ù
Ù
!Ù
Ù
!
" Ø'‚'
B0 ˆ 44 ‰Y
B1 ˆ 54 ‰Y
0
B0 ˆ 55 ‰Y
×
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ø
çeşit
22
Ú
Ý ,34" Š 3" ‹ B34 ß
4"
Y
Z8 ÐBà 3ß 4Ñ=Û
Ý
Ü
!ß
3 4
43
olmak üzere 8 ‚ 8 tipinden Z8 ÒBÓ œ ŠZ8 ÐBà 3ß 4Ñ‹ matrisine genelleştirilmiş
Fibonomiyel Pascal matrisinin tersi denir.
Örnek
8 œ % için genelleştirilmiş Fibonomiyel Pascal matrisi'nin tersi
Z% ÒBÓ
œ
Ô ," ˆ !! ‰Y B!
Ö
Ö ,# ˆ "! ‰ B"
Y
Ö
Ö , ˆ # ‰ B#
Ö $ ! Y
$
Õ ,% ˆ ! ‰ B$
Y
œ
Ô "
Ö B
Ö
!
Õ B$
!
"
B
!
!
," ˆ "" ‰Y B!
,# ˆ #" ‰ B"
,$ ˆ $" ‰Y B#
Y
!
!
"
 #B
!
!
!
," ˆ ## ‰Y B!
,# ˆ $# ‰ B"
!
Y
!
," ˆ $$ ‰Y B!
!×
!Ù
Ù
!
" Ø%‚%
şeklindedir.
Fibonomiyel katsayılar kullanarak, Binom açılımının benzeri
8
8
ÐB  Y CÑ 8 œ "Š ‹ B85 C5
5 Y
5œ!
şeklinde tanımlanmıştır [6]. Buna göre
ÐB  Y CÑ œ ˆ "! ‰Y B  ˆ "" ‰Y C œ B  C
ÐB  Y CÑ # œ ˆ #! ‰Y B#  ˆ #" ‰Y BC  ˆ ## ‰Y C# œ B#  BC  C#
×
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ø
23
ÐB  Y CÑ $ œ ˆ $! ‰Y B$  ˆ $" ‰Y B# C  ˆ $# ‰Y BC#  ˆ $$ ‰Y C$ œ B$  #B# C  #BC#  C$
biçimindedir.
4.2. Teorem
Her Bß C − ‘ için
Y8 ÒBÓY8 ÒCÓ œ Y8 ÒB  Y CÓ
eşitliği geçerlidir.
İspat
Y8 ÒBÓY8 ÒCÓ œ ŠG8 ÐBß Cà 3ß 4Ñ‹ olsun.
"Œ
5œ"
3"
35 5  "
54
 B Œ
 C
5" Y
4" Y
"Œ
3"
34
35 54
 Œ
 B C
4" Y 54 Y
8
G8 ÐBß Cà 3ß 4Ñ
œ
8
œ
5œ"
œ
3"
34
34> >
C
Œ
 "Œ
 B
4  " Y >œ"4
>
Y
œ
Œ
œ
ŠY8 ÒB  Y CÓ ‹
84
bulunur. Böylece
3"
34
 ÐB  Y CÑ
4" Y
34
24
Y8 ÒBÓY8 ÒCÓ œ Y8 ÒB  Y CÓ
elde edilir.
Örnek
8 œ % için,
Y% ÒBÓY% ÒCÓ
œ
œ
Ô"
ÖB
Ö #
B
Õ B$
!
"
B
#B#
!
!
"
#B
! ×Ô "
! ÙÖ C
ÙÖ #
!
C
ØÕ
"
C$
Ô
Ö
Ö
"
BC
#
B  BC  C#
$
Õ B  #B# C  #BC#  C$
œ
"
Ô
Ö ÐB  Y CÑ
Ö
ÐB  Y CÑ#
Õ ÐB  CÑ$
Y
œ
Y% ÒB  Y CÓ
!
"
ÐB  Y CÑ
#ÐB  Y CÑ#
!
"
C
#C#
!
!
"
#C
!×
!Ù
Ù
!
"Ø
!
!
"
!
BC
"
#
#
#ÐB  BC  C Ñ #ÐB  CÑ
!
!
"
#ÐB  Y CÑ
!×
!Ù
Ù
!
" Ø%‚%
!×
!Ù
Ù
!
" Ø%‚%
şeklindedir.
4.6. Tanım
" Ÿ 3ß 4 Ÿ 8 için,
Ú
Ý B34# Š 3" ‹ ß
4"
Y
Q8 ÐBà 3ß 4Ñ œ Û
Ý
Ü
!ß
3 4
43
olmak üzere 8 ‚ 8 tipinden Q8 ÒBÓ œ ŠQ8 ÐBà 3ß 4Ñ‹ matrisine ikinci çeşit
genelleştirilmiş Fibonomiyel Pascal matrisi denir.
25
Örnek
8 œ % için ikinci çeşit genelleştirilmiş Fibonomiyel Pascal matrisi
Q8 ÒBÓ
œ
!
Ô ˆ ! ‰Y B!
Ö "
Ö ˆ ! ‰ B"
Y
Ö
Ö ˆ # ‰ B#
Ö !
$
Õ ˆ ! ‰Y B$
Y
œ
Ô"
ÖB
Ö #
B
Õ B$
!
B#
B$
#B%
!
ˆ "" ‰ B#
Y
ˆ #" ‰ B$
Y
ˆ $" ‰ B%
Y
!
!
B%
#B&
!
!
!
!
ˆ ## ‰ B%
Y
ˆ $# ‰ B&
Y
!
ˆ $$ ‰ B'
Y
×
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ø
%‚%
! ×
! Ù
Ù
!
B' Ø%‚%
şeklindedir.
4.7. Tanım
" Ÿ 3ß 4 Ÿ 8 için,
Ú
Ý Š 3" ‹ B34 C34# ß
4"
Y
Q8 ÐBß Cà 3ß 4ÑY œ Û
Ý
Ü
!ß
3 4
(4.2)
43
olmak üzere 8 ‚ 8 tipinden Q8 ÒBß CÓY œ ŠQ8 ÐBß Cà 3ß 4ÑY ‹ matrisine genişletilmiş
genelleştirilmiş Fibonomiyel Pascal matrisi denir.
Bu matrisler arasındaki ilişki
Q8 ÒBß "ÓY œ Y8 ÒBÓ
Q8 Ò"ß CÓY œ Q8 ÒCÓ
26
Q8 Ò"ß "ÓY œ Y8 œ Y8 Ò"Ó œ Q8 Ò"Ó œ Q8
Q8 ÒBß  "ÓY œ Y8 Ò  BÓ
biçimindedir.
4.2 Fibonomiyel Katsayılı Pascal Matrislerinin Çarpanlaması
Şimdi Fibonomiyel katsayılar yardımıyla Eş. 2.1 deki P8 matrisine benzer şekilde
P8 ÒY Ó matrisini
ŠP8 ÒY Ó‹ œ Œ
34
3"
3#
3$
 Œ
 Œ

4" Y
4" Y
4" Y
şeklinde tanımlayalım. P8 ÒY Ó matrisinin tanımından
ŠP8 ÒY Ó‹
""
œ "ß ŠP8 ÒY Ó‹
#"
œ !ß ŠP8 ÒY Ó‹
4 # için
ŠP8 ÒY Ó‹ œ ! ,
"4
4 $ için
ŠP8 ÒY Ó‹ œ !,
#4
3 $ için
ŠP8 ÒY Ó‹ œ  " veŠP8 ÒY Ó‹ œ !
3"
3#
##
œ "ß
27
dir. P8 ÒY Ó matrisini aşağıdaki şekilde genelleştirebiliriz.
3"
3#
3$
ŠP8 ÒY à BÓ‹ œ ŒŠ 4"
‹  Š 4"
‹  Š 4"
‹ B34
34
Y
Y
Y
3"
3#
3$
ŠP8 ÒY à Bß CÓ‹ œ ŒŠ 4"
‹  Š 4"
‹  Š 4"
‹ B34 C34#
34
Y
Y
Y
4.3. Teorem
Bß C − ‘  Ö!× için
Q8 ÒBß CÓY œ Y8 ÒBß CÓ P8 ÒY à Bß CÓ
dır.
İspat
Y8 ÒBß CÓ matrisinin tersi Y8" ÒBß CÓ dir.
Y8" ÒBß CÓ Q8 ÒBß CÓY œ P8 ÒY à Bß CÓ olduğunu gösterelim.
4 2 için
ŠY8" ÒBß CÓ‹ œ !
"4
ŠY8" ÒBß CÓ‹ ŠQ8 ÒBß CÓ Y ‹
""
""
œ"
ve
ŠP8 ÒY à Bß CÓ‹
œ " œ "ŠY8" ÒBß CÓ‹ ŠQ8 ÒBß CÓ Y ‹ ß
8
""
5œ"
"5
5"
28
4 2 için
ŠQ8 ÒBß CÓY ‹ =!
"4
ŠY8" ÒBß CÓ‹ =0
"4
olup,
"ŠY8" ÒBß CÓ‹ ŠQ8 ÒBß CÓ ‹
Y
8
"5
5œ"
54
œ ! œ ŠP8 ÒY à Bß CÓ‹
"4
ß
4 $ için
ŠY8" ÒBß CÓ‹ œ !, ŠY8" ÒBß CÓ‹
#4
#"
œ  ", ŠY8" ÒBß CÓ‹
olup,
"ŠY8" ÒBß CÓ‹ ŠQ8 ÒBß CÓ ‹
Y
5"
œ ! œ ŠP8 ÒY à Bß CÓ‹
5"
œ ŠP8 ÒY à Bß CÓ‹
8
5œ"
#5
3 œ $ß %ß ÞÞÞß 8 için
"ŠY8" ÒBß CÓ‹ ŠQ8 ÒBß CÓ ‹
Y
8
5œ"
35
3"
i 3 ve 4 2 için
"ŠY8" ÒBß CÓ‹ ŠQ8 ÒBß CÓ ‹
Y
8
5œ"
35
54
œ ŠP8 ÒY à Bß CÓ‹
Böylece
Y8" ÒBß CÓ Q8 ÒBß CÓY œ P8 ÒY à Bß CÓ
elde edilir.
34
#"
##
œ"
29
Örnek
8 œ % için,
Y% ÒBß CÓP% ÒY à Bß CÓ
œ
Ô "
Ö BC
Ö # #
#B C
Õ $B$ C$
œ
Ô "
Ö BC
Ö # #
BC
Õ B$ C$
œ
Q% ÒBß CÓY
şeklindedir.
4.1. Sonuç
B − ‘  Ö!× için
Y8 ÒBÓ œ Y8 ÒBÓP8 ÒY à BÓ
eşitliği geçerlidir.
4.2. Sonuç
Y8 œ Y8 P8 ÒY Ó
eşitliği geçerlidir.
4.4. Teorem
!
"
BC
#B# C#
!
C#
BC$
#B# C%
!
!
"
BC
!
!
C%
#BC&
!× Ô "
!Ù Ö !
ÙÖ
!
 B# C#
" Ø Õ  B$ C$
!×
!Ù
Ù
!
C' Ø%‚%
!
C#
!
!
!
!
C%
BC&
!×
!Ù
Ù
!
C' Ø
30
3"
3"
<34 œ Š 4"
‹  Š 3"
4 ‹  Š 4" ‹
Y
Y
Y
olmak üzere 8 ‚ 8 tipinde matris V8 ÒY Ó œ Ð<34 Ñ olsun. Bu durumda
Y 8 œ V 8 Ò Y Ó Y8
dir.
İspat
Y8 Y8" œ V8 ÒY Ó olduğunu gösterirsek ispat tamamlanmış olur. 3 " için
"
"Y35 J5"
œ
ˆ 3"
‰
ˆ 3"
‰
ˆ 3"
‰
! Y ‚"
" Y ‚ Ð  "Ñ 
# Y ‚ Ð  "Ñ
œ
"  J3"  J3" J3#
œ
V8 ÒY à 3ß "Ó
8
5œ"
3 " ve 4 # için
"
"Y35 J54
8
œ
3"
3"
Š 4"
‹ ‚ "  Š 3"
4 ‹ ‚ Ð  "Ñ  Š 4" ‹ ‚ Ð  "Ñ
Y
5œ"
œ
3"
3"
Š 4"
‹  Š 3"
4 ‹  Š 4" ‹
Y
œ
Y
Y
Y
Y
V8 ÒY à 3ß 4Ó
Böylece istenilen gösterilmiş olur.
Örnek
V 4 Ò Y Ó Y4
œ
Ô "
Ö !
Ö
"
Õ $
!
! ! ×Ô " ! ! ! × Ô " ! ! ! ×
"
! ! ÙÖ " " ! ! Ù Ö " " ! ! Ù
ÙÖ
ÙœÖ
Ù œ Y%
!
" !
# " " !
" " " !
 " " " ØÕ $ # " " Ø Õ " # # " Ø
31
şeklindedir.
4.5. Teorem
Ô "
Ö B
Ö
Z8 ÐY ß BÑ œ Ö B#
Ö
ã
Õ B8"
"
ÐB  Y "Ñ
ÐB  Y "Ñ#
ã
ÐB  Y "Ñ8"
á
á
á
á
"
×
ÐB  Y 8  "Ñ Ù
Ù
ÐB  Y 8  "Ñ# Ù
Ù
ã
ÐB  Y 8  "Ñ8" Ø8‚8
şeklinde tanımlı matris bir 8 ‚ 8 tipinde Vandermonde matrisi olmak üzere
Y8 Z8 ÐY ß BÑ œ Z8 ŠY ß ÐB  Y ")‹
dir.
İspat
Z8 ÐY ß BÑ matrisinin tanımından ŠZ8 ÐY ß BÑ‹ œ ŠB  Y Ð4  "Ñ‹
34
ŠY8 . Z8 ÐY ß BÑ‹
"Œ
5œ"
5"
3"
 ŠB  Y Ð4  "Ñ‹
5" Y
"Œ
5
3"
 ŠB  Y Ð4  "Ñ‹
5
Y
3
34
œ
3"
œ
5œ!
œ
ŠZ8 aY ß ÐB  Y ")b‹
bulunur. Böylece
Y8 . Z8 ÐY ß BÑ œ Z8 ŠY ß ÐB  Y ")‹
elde edilir.
34
3"
olup,
32
Örnek
8 œ % olarak alırsak, o zaman
Y4 Z4 ÐY ß BÑ
œ
œ
œ
elde ederiz.
Ô"
Ö"
Ö
"
Õ"
!
"
"
#
!
!
"
#
"
Ô
Ö ÐB  Y "Ñ
Ö
Ö ÐB  Y "Ñ#
Õ ÐB  Y "Ñ$Y
! ×Ô "
! ÙÖ B
ÙÖ #
!
B
" ØÕ B$
"
BY"
ÐB  Y "Ñ#
ÐB  Y "Ñ$
"
ÐB  Y #Ñ
ÐB  Y #Ñ#
ÐB  Y #Ñ$
Z% ŠY ß ÐB  Y ")‹
"
BY#
ÐB  Y #Ñ#
ÐB  Y #Ñ$
"
ÐB  Y $Ñ
ÐB  Y $Ñ#
ÐB  Y $Ñ$
"
×
BY$ Ù
Ù
ÐB  Y $Ñ#
ÐB  Y $Ñ$ Ø
"
×
ÐB  Y %Ñ Ù
Ù
ÐB  Y %Ñ# Ù
ÐB  Y %Ñ$ Ø
%‚%
33
KAYNAKLAR
". Call G. S., Vellaman, D.J., "Pascal's Matrices", The American Mathematical
Monthly, 100: 372-376 (1993).
#. Lee, G-Y., Cho, S-H., "The Generalized Pascal Matrix via The Generalized
Fibonacci Matrix and The Generalized Pell Matrix", Journal of the Korean
Mathematical Society, 45(2): 479-491 (2008).
$. Tuglu, N., Koçer, EÞ G., "The Pascal Matrix Associated with Fontené-Ward
Generalized Binomial Coefficients", Utilitas Mathematica, 45(2): 479-491
(2008).
%. Zhizheng, Z., "The Linear Algebra of The Generalized Pascal Matrix", Linear
Algebra and its Applications, 250: 51-60 (1997).
&. Zhizheng, Z., Maixue, L., "An Extension of the Generalized Pascal Matrix and it's
Algebraic Properties", Linear Algebra and its Applications, 271: 169-177 (1998).
6. Krot, E., "An Introduction to Finite Fibonomial Calculus", Central European
Journal of Mathematics, 2(5): 754-766 (2004).
7. Cheon, G-S., Kim, J-S., "Stirling Matrix via Pascal Matrix", Linear Algebra and
its Applications, 329: 49-59 (2001).
8. Zhang, Z., Wang, T., "Generalized Pascal Matrix and Recurrence Sequences",
Linear Algebra and its Applications, 283: 289-299 (1998).
9. Bayat, M., Teimoori, H., "The Linear Algebra of the Generalized Pascal
Functional Matrix", Linear Algebra and its Applications, 295: 81-89 (1999).
10. Spivey, MÞ Z., Zimmer, AÞ M., "Symmetric Polynomials, Pascal Matrices and
Stirling Matrices", Linear Algebra and its Applications, 428: 1127-1134 (2008).
11. Edelman, A., Strang, G., "Pascal Matrices", The American Mathematical
Monthly 111: 189-197 (2004).
12. Richardson, T., "The Filbert matrix", The Fibonacci Quarterly, 39(3): 268-275
(2001).
13. Zheng, D-Y., "q-analogue of the Pascal matrix", Ars Combinatoria, 87: 321-336
(2008).
14. Zhang, Z., Wang, X., "A factorization of the symmetric Pascal matrix involving
the Fibonacci matrix", Discrete Applied Mathematics, 155(17): 2371-2376
(2007).
34
15. Yang, S-L., You, H. "On a relationship between Pascal matrix and Vandermonde
matrix", Journal of Mathematical Research and Exposition, 26(1): 3339(2006).
16. Kwasniewski, A. K., "psi-Pascal and q-psi-Pascal matrices an accessible factory
of one source identities and resulting applications", Advanced Studies in
Contemporary Mathematics (Kyungshang), 10(2): 111-120 (2005).
17. Bacher, R., Chapman, R., "Symmetric Pascal matrices modulo p." European
Journal of Combinatoric, 25(4): 459-473 (2004).
18. Edelman, A., Strang, G., "Pascal matrices", The American Mathematical
Monthly, 111(3): 189-197 (2004).
19. Yang, S., "The Jordan factorization of Pascal matrices", Journal of Gansu
University of Technology (Engl. Ed.), 5(1): 90-96 (2001).
20. Cheon, G.-S., "Factorizations of the generalized Pascal matrix", Far East
Journal of Mathematical Sciences, 3(3): 361-369 (2001).
21. Maltais, P., Gulliver, T. A., "Pascal matrices and Stirling numbers", Applied
Mathematics Letters, 11(2): 7-11 (1998).
22. Brawer, R., Pirovino, M., "The linear algebra of the Pascal matrix", Linear
Algebra and its Applications, 174: 13-23 (1992).
23. Cohen, A. M., "The inverse of a Pascal matrix", The Mathematical Gazette,
59(408): 111-112 (1975).
24. Lawden, G. H., "Pascal matrices", The Mathematical Gazette, 56(398): 325-327
(1972).
25. Trojovsky, P. "On some identities for the Fibonomial coefficients via generating
function", Discrete Applied Mathematics, 155(15): 2017-2024 (2007).
26. Seibert, J., Trojovsky, P. "On certain identities for the Fibonomial coefficients",
Tatra Mountains Mathematical Publications, 32: 119-127 (2005).
27. Seibert, J., Trojovsky, P. "On some identities for the Fibonomial coefficients",
Mathematica Slovaca, 55(1): 9-19 (2005).
28. Gould, H. W., "The bracket function and Fontené-Ward generalized binomial
coefficients with application to Fibonomial coefficients", The Fibonacci
Quarterly, 7: 23-40, 55 (1969).
35
ÖZGEÇMİŞ
Kişisel Bilgiler
Soyadı, Adı
: ÇAMDELEN Nilay ABAY
Uyruğu
: T.C.
Doğum tarihi ve yeri
: 26.01.1983 ANKARA
Medeni hali
: Evli
Telefon
: 0 (505) 268 88 05
e-mail
: [email protected].
Eğitim
Derece
Eğitim Birimi
Mezuniyet tarihi
Tezsiz Yüksek Lisans Başkent Üniversitesi
Matematik Öğretmenliği
Lisans
Lise
2005
Gazi Üniversitesi
Matematik Bölümü
2004
Ayrancı Lisesi
2000
İş Deneyimi
Yıl
Yer
Görev
2008-
TEİAŞ Genel Müdürlüğü
Programcı
2006-2008
MSB ANT Başkanlığı
Bilgisayar İşletmeni
2004-2006
Metod Dershanesi
Matematik Öğretmeni
Yabancı Dil
İngilizce(Orta)
Hobiler
Kitap Okumak, Tiyatroya Gitmek, Spor yapmak.