Document

ŞANS DEĞİŞKENİ
BÖLÜM 5
ŞANS DEĞİŞKENLERİ
Şans Değişkeni, belirli bir tanım aralığında
hangi değeri alacağı önceden bilinmeyen ve bu
değeri belli olasılıklarla alabilen değişken olarak
tanımlanır.
Olasılık dağılışı, bir şans değişkenin
popülasyondaki bir değeri alma olasılığının
matematiksel (ya da grafiksel) bir modelidir.
Olasılık Dağılışları
• Aşağıdaki tabloda tabaka kalınlığı ölçüleri, bir
gofret üretim sürecinden elde edilen örnek
verileridir.
• Bu çalışmada popülasyon, üretim sürecindeki
tüm tabaka kalınlıklarıdır.
438
413
444
468
445
472
474
454
455
449
450
450
450
459
466
470
457
441
450
445
487
430
446
450
456
433
455
459
423
455
451
437
444
453
434
454
448
435
432
441
Tabaka Kalınlıkları
452
441
465
444
466
458
473
454
471
437
464
443
478
465
446
435
459
444
464
457
444
471
471
458
459
449
462
460
445
437
461
453
452
438
445
435
454
428
454
438
432
431
455
447
454
435
425
449
449
425
471
458
445
463
423
451
440
442
441
439
1
• İstatistiksel yöntemler kullanılarak, örnek
tabaka kalınlıklarını analiz edebilir ve gofret
üretim süreci hakkında yorum yapabiliriz.
• Tabaka kalınlığını rassal bir değişkenle ifade
etmek istersek, bu değer bazı rassal etkilerle
popülasyonda farklı değerler alabilir. Böylece
tabaka kalınlığının olasılık dağılışı, bu kalınlığın
popülasyondaki (alabileceği tüm mümkün
değerler içindeki) herhangi bir değeri alma
olasılığını gösterir.
Olasılık Dağılışlarını Tipleri
Olasılık dağılışları şans değişkeninin
özellikleri dikkate alınarak sınıflandırılır.
İki tip olasılık /şans değişkeni dağılışı vardır:
•Kesikli Şans Değişkeni Dağılışları
•Sürekli Şans Değişkeni Dağılışları
Sürekli Şans Değişkenleri
Kesikli Şans Değişkenleri
Sayılabilir sayı değerleri ile ifade edilen şans
değişkenleridir. Tanımlı oldukları aralıkta sadece tamsayı
değerleri alabilirler.
Örnek:
Örneğin, bir üretim sürecindeki hataların sayısının dağılışı
kesiklidir.
Bir satış elemanının bir haftada yaptığı otomobil satış
miktarı (Poisson)
Bir kutu ampuldeki defolu ampul sayısı (Binom)
Bir sekreterin bir sayfa yazıda yaptığı hata sayısı (Poisson)
Bir ailenin doğan 5. çocuğunun 3. kız çocuğu olması
( Negatif Binom)
Tanımlı olduğu aralıktaki tüm değerleri alabilen şans
değişkenidir.
Örnek:
•Televizyon tüpünün ömrü ( Üstel )
• Elektrik ampüllerinin bozulmaya kadar geçen ki hayat
süresi ( Üstel )
•Ring hattında yolcunun durağa gelinen andan itibaren
otobüsü bekleme süresi. ( Üniform )
•Tabaka kalınlığının olasılık dağılışı süreklidir.(Normal)
2
Şans Değişkenlerinin Tanımlanması
Olasılık dağılışlarının Grafiksel Gösterimleri
• Şans değişkenlerini tanımlamak için kullanılan
iki temel araç:
• Olasılık fonksiyonları
– P(x) olasılık fonksiyonu (kesikli şans değişkeni)
– f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu (sürekli şans
değişkeni)
• Birikimli Dağılım Fonksiyonları
– F(x)
Kesikli Şans Değişkeninde Olasılık
X, tesadüfi değişken ve x1,x2,..,xn bu tesadüfi değişkenin
alabileceği değerler olsun X tesadüfi değişkeninin herhangi
bir x değerini alma olasılığı
Pr{X=x}
şeklinde gösterilir. Kesikli X değişkeninin hangi değerleri
hangi olasılıklarla alacağını gösteren fonksiyona olasılık
fonksiyonu denir. Bir fonksiyonun kesikli olasılık fonksiyonu
olabilmesi için
1. P(x)  0 , tüm x değerleri için
 P( x)  1
2. Tümx
Koşullarını (aksiyomlarını) sağlaması gerekir
Kesikli olasılık dağılışları
Sürekli olasılık dağılışları
Örnek: Hilesiz bir zarın atıldığında x şans değişkeni üst yüze gelen
sayıyı ifade etmek üzere bu x şans değişkeninin olasılık
fonksiyonunu elde ediniz.
S = { x / 1,2,3,4,5,6 }
P ( X = xi ) = 1 / 6
X
1
2
3
4
5
6
P ( X = xi )
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1 6
1 6

1 6

P ( X  x)  1 6
1 6

1 6
0

x 1
x2
x3
x4
x5
x6
d .d
İki farklı şekilde ifade edilen x şans
değişkeninin dağılımına bakıldığında
P(Xi) ≥ 0 ve tüm x değerleri için
∑P(X=x)= 1 şartları sağlandığı
görülmekte ve
P(X=x) ‘in bir olasılık fonksiyonu
olduğu sonucu ortaya çıkmaktadır.
12
3
Sürekli Şans Değişkenlerinin Olasılık
Yoğunluk Fonksiyonu
Sürekli bir değişkenin tanım aralığında sonsuz sayıda
değer vardır.
Değişkenin bunlar içinden belirli bir değeri alma olasılığı
Sürekli değişkenlerdeki olasılık fonksiyonuna sürekli
olasılık fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonu, veya
sadece yoğunluk fonksiyonu denir.
Bir Sürekli değişkenin nokta olasılığı hesaplanabilir
mi?
Yanıt: HAYIR
Sonuç olarak bir şans değişkeninin a ve b gibi iki sabit sayı
arasında kalan aralıkta bir değer alma olasılığı, değişkenin
olasılık yoğunluk fonksiyonun bu aralıktaki integralinin
alınmasıyla oluşur.
Pra  x  b  
1
0

olur.
Bu yüzden, sürekli değişkenlere ait olasılık fonksiyonları,
kesikli değişkenlerin aksine bu değişkenin belirli bir değeri
alma olasılıklarının hesaplanmasına imkan vermez. Bu
fonksiyonlarda değişkenin belirli bir değer yerine belirli bir
aralıkta değer alma olasılığının hesaplanması yoluna
gidilir.
Sürekli Şans Değişkenleri için Olasılık Yoğunluk
Fonksiyonu Olma Şartları
1- Her
x değeri için f(x)

2-


f ( x)dx  1

0
olmalıdır
b

a
f ( x ) dx
f(x) bu şartları (aksiyomları) sağlar ise bir olasılık
yoğunluk fonksiyonudur.
4
ÖRNEK: f(x) fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanıyor
olsun
b) Pr{1.2<x<1.6} olasılığını hesaplayınız.
3 2

 x ,1  x  2

f ( x)   7


0 , diger x' ler icin 

1.6
3 2
x3
f
(
x
)
dx

x
dx


7
7 1.2
1.2
1.2
a)f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu mudur?
 f x dx 1
ise f(x) olasılık yoğunluk
tüm x
fonksiyonudur.
2
3
7x
1
2
dx 
x3
7

2

1
1.6
1.6
1.63  1.23  0.34
7
8 1
 1
7 7
olduğundan f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonudur.
Şans Değişkenlerinin Dağılım
Fonksiyonları
Dağılım fonksiyonu F(x) ve olasılık fonksiyonu P(x)/f(x) biri
diğerinden elde edilebilir.
Dağılım Fonksiyonu
Tanım aralığı reel sayılar ekseni, değişim aralığı [0,1] olan ve
F ( xi )  P( X  xi )
X kesikli şans değişkeninin tanımlı olduğu değerler;
   xi  
x  x  x   olsun:
1
eşitliğini sağlayan fonksiyona olasılık dağılım fonksiyonu denir.
2
3
P x   F  x 
1
Kesikli şans değişkenleri için;
F ( x)  P( X  x) 
 f (x )
i
i
f x  
x
F ( x)  P( X  x) 

i
i 1
 i>1 için.
X sürekli şans değişkenin ise:

Sürekli şans değişkenleri için;
1
P x   F  x   F  x
x
f ( s)ds
dF  x 
.
dx

Dağılım fonksiyonu artan(azalmayan) bir fonksiyondur.
b
Not: Sürekli şans değişkenleri için;
P(a  X  b)  F (b)  F (a)   f ( x)dx
a
5
Kesikli Şans Değişkeni Birikimli Dağılım
Fonksiyonu
Sürekli Şans Değişkeni Birikimli Dağılım
Fonksiyonu
F(x)
F(x)
x1
x2
x
x1
x2
x
F(x)
36 /36
34 /36
Örnek: Çift zar atılışında üst yüzler arasındaki mutlak fark x değişkeni
olsun.
x
f(x)
F(x)
0
6/36
6/36
1
10/36
16/36
2
8/36
24/36
3
6/36
30/36
4
4/36
34/36
30 /36
Dağılım Fonksiyonu
24 /36
5
2/36
36/36
16 /36
p ( X  2)  f ( X  2)  8 36 yada
 F ( X  2)  F ( X  1)
 24 36  16 36
 8 36
p (2  X  4)  f ( X  2)  f ( X  3)  f ( X  4)
 8 36  6 36  4 36
 18 36
yada
 F ( X  4)  F ( X  1)
 34 36  16 36
 18 36
f(x)
6/3 6
10/36
1
2
3
4
5
x
8/36
6/36
P( X  4)  f (4)  4 / 36
P( X  4)  F (4)  34 / 36
Olasılık fonksiyonu
4/36
2/36
0
1
2
3
4
5
x
6
Beklenen Değer
Kesikli Şans Değişkeninin Beklenen Değeri
Bir şans değişkeninin herhangi bir olasılık fonksiyonunda
almış olduğu tüm değerlerin ortalaması o şans
değişkeninin beklenen değeridir.
X şans değişkeninin beklenen değeri;
E (x)
•
değeri
o
şans

xi P( xi )  µ
Tümx
Buradaki gösterim toplama işleminin x in alabileceği bütün
değerleri kapsadığı anlamına gelir. Bir şans değişkeninin
beklenen değeri aynı zamanda ortalamasıdır.Ayrıca,
.
ile gösterilir.
• Bir şans değişkenin beklenen
değişkeninin ortalamasına eşittir.
E ( x) 
E( x 2 ) 
 x P( x )
2
i
i
Tümx
olup. Genel olarak;
E( x n ) 
E (x) = µ
 x P( x )
n
i
i
Tümx
25
Bir madeni para iki kez havaya atılmasıyla gözlenen tura sayısı kesikli
değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi gösterilebilir
0.25

P( x)  0.50
0.25

x  0

x 1
x  2
Beklenen değer ;
Bir zarın bir kez atılmasında gözlenen değer kesikli şans
değişkeninin olasılık fonksiyonu
E(X)=(1/4)*0 +(2/4)*1+(1/4)2=1 olur.
X= 1
P(X) = 1/6
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
C2
0.5
0.25
0
1
2
Bu fonksiyonun beklenen değeri 3.5 tir. Beklenen değer
ortalama anlamına gelir ve merkezi eğilimin bir ölçüsüdür bu
nedenle x şans değişkeninin olası değerlerine eşit olmak
zorunda değildir( yani tamsayı olmak zorunda değildir).
Beklenen değer matematiksel bir terimdir ve verilerin ağırlık
merkezini ifade eder.
C1
7
Beklenen Değer Kullanarak
Varyansın Elde Edilmesi
Kesikli Şans Değişkeninin Varyansı
Populasyon varyansı; x şans değişkeninin populasyon
ortalaması μ ‘den ortalama karesel uzaklığı olarak
ifade edilir. X bir şans değişkeni olduğundan karesel
uzaklık da x  μ  bir şans değişkenidir. X şans
değişkeninin ortalamasında kullanılan mantıktan yola
çıkarak x  μ  ifadesinin beklenen değerini; x  μ 
Var ( x)  E ( x 2 )  [ E ( x)]2
2
Var ( x)   x 2 P( x) 
2
2



2
Bu ifade ortalamadan karesel uzaklığın beklenen değeri
olarak adlandırılır.
Bir otomobil bayii gelecek ay satacağı araba sayılarının olasılıklarının
aşağıdaki gibi olacağına inanmaktadır.
0
1
2
3
4
5
0.15
0.19
0.24
0.17
6
7
a) 5 ten fazla araba satması olasılığını bulunuz
b) Satışların beklenen değerini bulunuz
c) Satışların varyansını bulunuz
a) P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=0.15
b) E(X)=
 xP(x)
= (0.02)(0)+(0.08)(1)+(0.15)(2)........=3.72
c)Var(X)=E(X2)-[E(X)]2=2.84
8
0.10 0.04 0.01
Bu dağılışa göre bayinin;
2
X şans değişkeninin standart sapması varyansının
karekökü olarak ifade edilir.
Tüm x
P(x) 0.02 0.08
2
Tüm x
E  x       x    p ( x)
X
2
 2  E  x       x    p ( x)
ile her bir x değerine karşı gelen olasılığın P(x) çarpımı
ile bulabiliriz.
2

 xP( x)
Sürekli Şans Değişkenleri İçin Beklenen Değer ve
Varyans
E ( x) 
x
f ( x)dx  µ
tüm x
 
E x 2   x 2 f x dx


Var ( x)   x f ( x)dx    x f ( x)dx 
 tüm x

tüm x


2
2
32
8