Slayt 1

19.12.2012
Kesikli Şans Değişkenlerinin Olasılık Fonksiyonları
X, şans değişkeni ve x1,x2,..,xn bu tesadüfi değişkenin
alabileceği değerler olsun X tesadüfi değişkeninin herhangi
bir x değerini alma olasılığı
Pr{X=x}
şeklinde gösterilir. Bu olasılık X in dağılım ya da olasılık
kanunu diye adlandırılır. Kesikli X değişkeninin hangi
değerleri hangi olasılıklarla alacağını gösteren fonksiyona
olasılık fonksiyonu denir. Bir dağılımın kesikli olasılık
fonksiyonu olabilmesi için
1. P(x)  0 , tüm x değerleri için
Kesikli ve Sürekli Şans Değişkenleri İçin;
Olasılık Dağılımları
Dağılım Fonksiyonları
Beklenen Değer ve Varyans
Olasılık Hesaplamaları
2.  P( x)  1
Tümx
1
Örnek: Hilesiz bir zarın atıldığında x şans değişkeni üst yüze gelen
sayıyı ifade etmek üzere bu x şans değişkeninin olasılık
fonksiyonunu elde ediniz.
S = { x / 1,2,3,4,5,6 }
P ( X = xi ) = 1 / 6
X
1
2
3
4
5
6
P ( X = xi )
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1 6
1 6

1 6

P ( X  x)  1 6
1 6

1 6
0

x3
x4
x5
x6
d .d
2
Şans Değişkenlerinin Dağılım
Fonksiyonları
Dağılım Fonksiyonu
Tanım aralığı reel sayılar ekseni, değişim aralığı [0,1] olan ve
F ( xi )  P( X  xi )
   xi  
eşitliğini sağlayan fonksiyona olasılık dağılım fonksiyonu denir.
x 1
x2
şartlarını sağlaması gerekir.
İki farklı şekilde ifade edilen x şans
değişkeninin dağılımına bakıldığında
P(Xi) ≥ 0 ve tüm x değerleri için
∑P(X=x)= 1 şartları sağlandığı
görülmekte ve
P(X=x) ‘in bir olasılık fonksiyonu
olduğu sonucu ortaya çıkmaktadır.
Kesikli şans değişkenleri için;
x
F ( x)  P( X  x) 
 f (x )
i

Sürekli şans değişkenleri için;
x
F ( x)  P( X  x) 

f ( s)ds

Dağılım fonksiyonu artan(azalmayan) bir fonksiyondur.
b
3
Not: Sürekli şans değişkenleri için;
P(a  X  b)  F (b)  F (a)   f ( x)dx
a
1
19.12.2012
F(x)
F(x)
Dağılım fonksiyonu F(x) ve yoğunluk fonksiyonu f(x) biri
diğerinden elde edilebilir.
f(x) biliniyorsa,
F ( x)  P( X  x1)  P( X  x2 )  .......... .........  P( X  xk ) 
 f (x )
i
F(x) biliniyorsa,
f ( x)  F ( xi )  lim F ( xi  h)
h0
x1
x2
x
x1
x2
x
F(x)
36 /36
34 /36
Örnek: çift zar atılışında üst yüzler arasındaki mutlak fark x değişkeni
olsun.
x
f(x)
F(x)
0
6/36
6/36
1
10/36
16/36
2
8/36
24/36
3
6/36
30/36
4
4/36
34/36
5
2/36
36/36
30 /36
24 /36
16 /36
Olasılık Dağılım Fonksiyonu
6/3 6
p ( X  2)  f ( X  2)  8 36
yada
 F ( X  2)  F ( X  1)
1
 24 36  16 36
 8 36
 18 36
yada
 F ( X  4)  F ( X  1)
 34 36  16 36
 18 36
3
4
5
x
10/36
p (2  X  4)  f ( X  2)  f ( X  3)  f ( X  4)
 8 36  6 36  4 36
2
f(x)
8/36
P( X  4)  f (4)  4 / 36
P( X  4)  F (4)  34 / 36
6/36
Olasılık yoğunluk fonksiyonu
4/36
2/36
0
1
2
3
4
5
x
2
19.12.2012
Beklenen Değer
Beklenen Değer Kullanarak
Varyansın Elde Edilmesi
Bir şans değişkeninin herhangi bir olasılık fonksiyonunda
almış olduğu tüm değerlerin ortalaması o şans
değişkeninin beklenen değeridir.
E(x2) : x şans değişkeninin karesinin beklenen değeri
X şans değişkeninin beklenen değeri;
E (x)
Var ( x)  E ( x 2 )  [ E ( x)]2
ile gösterilir.
• Bir şans değişkenin beklenen
değişkeninin ortalamasına eşittir.
değeri
o
şans
 2  E ( x 2 )  [ E ( x)]2
Var ( x)  E ( x   ) 2
• E (x) = µ
10
9
Örnek: Bir otomobil bayisinin günlük araba satışlarının dağılımının
aşağıdaki gibi olduğunu ifade etmektedir.
Kesikli Şans Değişkenleri İçin
Beklenen Değer ve Varyans
X
E ( x)   xi P( xi )
4
0,24
5
6
7
0,17 0,10 0,04
8
0,01
b) Satışların beklenen değerini hesaplayıp yorumlayınız.
i
E(X) =
Var ( x)  E ( x 2 )  [ E ( x)]2


Var ( x)   x P( xi )    xi P( xi ) 
tüm x
 tüm x

3
0,19
P(X = 6) + P ( X = 7 ) + P ( X = 8 ) = 0,15
2
i
2
a) 5 ten fazla araba satması olasılığını bulunuz
E ( x )   x P( x )
Tümx
1
Bu dağılışa göre bayinin;
Tümx
2
0
P(X) 0,02 0,08 0,15
=3,72
)
 xP( x= (0)(0,02)+(1)(0,08)+(2)(0,15)+….+(8)(0,01)
i
Bayinin 100 günde 372 araba satışı yapması beklenir.
c) Satışların varyansını bulunuz.
2
2
i
E(X2) =
11
 x P( x=(0)2)(0,02)+(12)(0,08)+… ….+ (82)(0,01) = 16,68
2
i
Var(X)= E(X2) - [E(X)] 2 = 16,68 - (3,72)2 = 2,84
12
3
19.12.2012
Sürekli Şans Değişkenleri İçin Olasılık
Sürekli Şans Değişkenlerinin
Olasılık Fonksiyonları
Sürekli bir değişkenin tanımlı olduğu aralıkta sonsuz sayıda değer
vardır.
Sürekli değişkenlerdeki olasılık fonksiyonuna sürekli
olasılık fonksiyonu, olasılık yoğunluk fonksiyonu, veya
sadece yoğunluk fonksiyonu denir.
Değişkenin bunlar içinden belirli bir değeri alma olasılığı
1   0 olur.
Bu sebepten dolayı, sürekli değişkenlere ait olasılık fonksiyonları,
kesikli değişkenlerin aksine bu değişkenin belirli bir değeri alma
olasılıklarının hesaplanmasına imkan vermez.
Sürekli bir şans değişkenin olasılık yoğunluk fonksiyonu
f(x) ile gösterilir. Herhangi bir fonksiyonun olasılık
yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için;
Bu fonksiyonlarda değişkenin belirli bir değer yerine belirli bir
aralıkta değer alma olasılığının hesaplanması yoluna gidilir. Sürekli
bir x şans değişkenin a ile b arasında olma olasılığı;
1) X’in tanım aralığı için f(xi) ≥ 0 ,
2) 
f  x  dx  1
b
şartlarını sağlaması gereklidir.
P(a  x  b)   f ( x)dx
tüm x
şeklinde hesaplanır.
a
13
Örnek: f(x) fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanıyor olsun
Sürekli Şans Değişkenleri İçin Beklenen Değer ve
Varyans
3 2

1 x  2 
 x ,
f ( x)   7


0 , diger x' ler icin 

E ( x)   x f ( x)dx
a) f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonu mudur?
 f x dx 1
tüm x
ise f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonudur.
tüm x
2
3 2
x3
1 7 x dx  7
2

14
 
E x 2   x 2 f x dx
8 1
 1
7 7
olduğundan f(x) olasılık1 yoğunluk fonksiyonudur.


Var ( x)   x f ( x)dx    x f ( x)dx 


tüm x
 tüm x

2
2
b) P ( 1,5 < x < 1,8 ) = ?
1, 8
P(1,5  x  1,8)  
1, 5
3
3
x
x dx 
7
7
1, 8

2
1, 5
1,8 1,5

 0,04
7
7
15
16
4