Kesikli Üniform Dağılımı

KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN
OLASILIK DAĞILIMLARI
• Kesikli Üniform Dağılımı
• Bernoulli Dağılımı
• Binom Dağılımı
• Negatif Binom Dağılımı
• Geometrik Dağılım
• Hipergeometrik Dağılım
• Poisson Dağılımı
1
Kesikli Üniform Dağılımı
• Kesikli bir şans değişkeni tanımlı olduğu tüm noktalarda
eşit olasılık değerine sahip ise bir başka ifadeyle tanımlı
olduğu değerlerin hepsinde olasılık fonksiyonun aldığı
değer sabit ise bu kesikli şans değişkeni üniform dağılımına
uygundur.
• Üniform dağılımı gösteren bir şans değişkeni k farklı
noktada tanımlı ise olasılık dağılımı;
⎧1
⎪
P( X = x) = ⎨ k
⎪⎩0
x = 1,2,3...., k
d .d
şeklinde ifade edilir.
2
1
Kesikli Üniform Dağılımının
Beklenen Değer ve Varyansı
1
1 k (k + 1) k + 1
E ( x) = ∑ x P( x ) = ∑ x =
=
k
k
2
2
k
k
i
x =1
Var ( x) =
i
x =1
i
(k + 1)(k − 1)
12
3
Örnek: Hilesiz bir zar atıldığında x şans değişkeni ortaya
çıkabilecek farklı durum sayısını ifade ettiğine göre x’in
olasılık dağılımı oluşturarak beklenen değerini ve varyansını
bulunuz.
S = { x / 1,2,3,4,5,6 }
Ortaya çıkan olaylar eşit olasılıklı olaylar x şans değişkeninin
dağılımı k = 6 olan kesikli üniform dağılımına uygundur.
⎧1
⎪
P( X = x) = ⎨ 6
⎪⎩0
E ( x) =
6 +1
= 3,5
2
x = 1,2,3,4,5,6
d .d
Var ( x) =
(6 + 1)(6 − 1) 35
=
12
12
4
2
Bernoulli Dağılımı
• Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için
ilgilenilen süreçte bernoulli deneyinin varsayımlarının
sağlanması gereklidir.
Bernoulli Deneyinin Varsayımları:
1. Deneyler aynı koşullarda tekrarlanabilirlik özelliğine
sahip olmalıdır.
2. Deneylerin yalnız iki mümkün sonucu olması gereklidir.
3. Başarı olasılığı ( p ), deneyden deneye değişmemelidir.
(Başarısızlık olasılığı q = 1-p ile gösterilir)
4. Denemeler birbirinden bağımsız olmalıdır.
5
Örnekler:
• Bir fabrikada üretilen bir ürünün hatalı veya
sağlam olması,
• Bir madeni para atıldığında üst yüze yazı veya
tura gelmesi,
• Hilesiz bir zar atıldığında zarın tek veya çift
gelmesi,
• Bernoulli deneyinde ortaya çıkan sonuçlardan biri
tanesi başarı durumu diğeri ise başarısızlık olarak
ifade edilir. Bernoulli şans değişkeninin dağılımı
ifade edilirken deneyin sadece 1 kez tekrarlanması
gereklidir.
6
3
Bernoulli dağılışında x şans değişkeni başarı
durumu için 1, başarısızlık durumu için ise 0 değerini
alır.
• S = { x / 0,1 }
Bernoulli Dağılımının Olasılık Fonksiyonu;
⎧ p x (1 − p )1− x
P( X = x) = ⎨
0
⎩
μ=E(x)=p
x = 0,1
d .d
σ2= Var ( x ) = p (1-p) = pq
7
Örnek: Bir deste iskambilden çekilen bir kağıdın as
olup olmaması ile ilgileniyor. As gelmesi başarı
olarak ifade edildiği durum için olasılık fonksiyonunu
oluşturunuz.
x = 0 (as gelmemesi)
S = { x / 0,1 }
P( X = 0 ) = 48 / 52
x = 1 ( as gelmesi)
⎧⎛ 4 ⎞ x ⎛ 48 ⎞1− x
⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟
P( X = x) = ⎨⎝ 52 ⎠ ⎝ 52 ⎠
⎪
0
⎩
P( X = 1 ) = 4 / 52
x = 0,1
d .d
8
4
Binom Dağılımı
• Birbirinden bağımsız n adet bernoulli deneyinin
bir araya gelmesi sonucunda binom deneyi
gerçekleşir.
• Binom deneyinin gerçekleşmesi için bernoulli
deneyinin
bütün
varsayımlarının
sağlanması
gereklidir.
• Binom şans değişkeni x, n adet denemedeki
başarı sayısını ifade etmektedir.
• n denemede en az 0, en fazla n adet başarı
gözlenebileceğinden
S = { x / 0,1,2,……,n }
olur.
9
Binom Olasılık Fonksiyonunun
Elde Edilmesi
Gerçekleştirilen her bir Bernoulli deneyi birbirinden
bağımsızdır ve olasılık fonksiyonu
P(x) = p x . q 1− x
x = 0,1
olarak ifde edilmiş idi. Bernoulli deneyi n defa
tekrarlandığı durumda toplam x adet başarı
olmasının olasılığı, x adet başarı olasılığı (p) ile
n - x adet başarısızlık olasılığının (q=1-p) çarpımını
10
içermelidir.
5
Başarı ve başarısızlıkların oluşum sırası yani
sıralama önemsiz ise ⎛⎜⎜ n ⎞⎟⎟ = n C x
faklı şekilde ortaya
x
⎝ ⎠
çıktığı için ;
⎧⎛ n ⎞ x
n− x
⎪⎜⎜ ⎟⎟.p .(1 − p)
P( X = x) = ⎨⎝ x ⎠
⎪
0
⎩
x = 0,1,2,...., n
d .d
olarak elde edilir.
11
Örnekler:
• Bir fabrikanın deposundan seçilen 10 üründen
2’sinin hatalı olması ,
• Bir madeni para 5 kez atıldığında hiç tura a
gelmemesi üst yüze yazı veya tura gelmesi,
• Hilesiz bir zar 4 kez atıldığında zarın en çok 1
kez çift gelmesi,
12
6
Binom Dağılımının
Karakteristikleri
Aritmetik Ortalama
μ = E ( X ) = np
.6
.4
.2
.0
P(X)
X
0
Varyans
σ2 = np(1 − p) = npq
.6
.4
.2
.0
n = 5 p = 0.1
P(X)
1
2
3
4
5
n = 5 p = 0.5
X
0
1
2
3
4
5
13
Örnek: Bir işletmede üretilen ürünlerin % 6 ‘sının hatalı
olduğu bilinmektedir. Rasgele ve iadeli olarak seçilen 5
üründen,
a)1 tanesinin hatalı olmasının olasılığını,
b) En az 4 tanesinin hatalı olmasının olasılığını
hesaplayınız.
p = 0,06 1- p = 0,94 n = 5
a)P ( X = 1 ) = ?
⎛ 5⎞
P ( X = 1) = ⎜⎜ ⎟⎟.(0,06)1 .(0,94) 4 ≈ 0,23
⎝1 ⎠
b)P ( X ≥ 4 ) = ?
P ( X ≥ 4 ) = P ( X = 4) + P ( X = 5 )
⎛5 ⎞
⎛ 5⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟.(0,06) 4 .(0,94)1 + ⎜⎜ ⎟⎟.(0,06) 5 .(0,94) 0
⎝ 4⎠
⎝ 5⎠
14
7