kesikli şans değişkenlerinin olasılık dağılımları

BÖLÜM 6
KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENİ
DAĞILIMLARI
KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN
OLASILIK DAĞILIMLARI
1. Kesikli Üniform Dağılımı
2. Bernoulli Dağılımı
3. Binom Dağılımı
4. Negatif Binom Dağılımı
5. Geometrik Dağılım
6. Hipergeometrik Dağılım
7. Poisson Dağılımı
2
Kesikli Üniform Dağılımı
• Kesikli bir şans değişkeni tanımlı olduğu tüm noktalarda eşit
olasılık değerine sahip ise bir başka ifadeyle tanımlı olduğu
değerlerin hepsinde olasılık fonksiyonun aldığı değer sabit ise bu
kesikli şans değişkeni üniform dağılımına uygundur.
• Üniform dağılımı gösteren bir şans değişkeni k farklı noktada
tanımlı ise olasılık dağılımı;
1

P( X  x)   k

0
x  1,2,3...., k
d .d
şeklinde ifade edilir.
3
Kesikli Üniform Dağılımının
Beklenen Değer ve Varyansı
1
1 k (k  1) k  1
E ( x)   x P( x )   x 

k
k
2
2
k
x 1
k
i
i
x 1
i
(k  1)(k  1)
Var ( x) 
12
4
Örnek: Hilesiz bir zar atıldığında x şans değişkeni ortaya
çıkabilecek farklı durum sayısını ifade ettiğine göre x’in olasılık
dağılımı oluşturarak beklenen değerini ve varyansını bulunuz.
S = { x / 1,2,3,4,5,6 }
Ortaya çıkan olaylar eşit olasılıklı olaylar x şans değişkeninin
dağılımı k = 6 olan kesikli üniform dağılımına uygundur.
1

P( X  x)   6

0
6 1
E ( x) 
 3,5
2
x  1,2,3,4,5,6
d .d
(6  1)(6  1) 35
Var ( x) 

12
12
5
Bernoulli Dağılımı
• Bir şans değişkeninin bernoulli dağılımı göstermesi için
ilgilenilen süreçte
sağlanması gereklidir.
bernoulli
deneyinin
varsayımlarının
Bernoulli Deneyinin Varsayımları:
1. Deneyler aynı koşullarda tekrarlanabilirlik özelliğine sahip
olmalıdır.
2. Deneylerin yalnız iki mümkün sonucu olması gereklidir.
3. Başarı olasılığı (p), deneyden deneye değişmemelidir.
(Başarısızlık olasılığı q = 1-p ile gösterilir)
4. Denemeler birbirinden bağımsız olmalıdır.
6
Örnekler:
Bir fabrikada üretilen bir ürünün hatalı veya sağlam
olması,
Bir madeni para atıldığında üst yüze yazı veya tura
gelmesi,
Hilesiz bir zar atıldığında zarın tek veya çift gelmesi,
Bernoulli deneyinde ortaya çıkan sonuçlardan biri
tanesi başarı durumu diğeri ise başarısızlık olarak ifade
edilir.
Bernoulli şans değişkeninin dağılımı ifade edilirken
deneyin sadece 1 kez tekrarlanması gereklidir.
7
Bernoulli dağılışında x şans değişkeni başarı durumu için 1,
başarısızlık durumu için ise 0 değerini alır.
S = { x / 0,1 }
Bernoulli Dağılımının Olasılık Fonksiyonu;
 p x (1  p)1 x
P( X  x)  
0

m=E(x)=p
x  0,1
d .d
s2= Var ( x ) = p (1-p) = pq
8
Örnek: Bir deste iskambilden çekilen bir kağıdın as olup
olmaması ile ilgileniyor. As gelmesi başarı olarak ifade
edildiği durum için olasılık fonksiyonunu oluşturunuz.
x = 0 (as gelmemesi)
S = { x / 0,1 }
P( X = 0 ) = 48 / 52
x = 1 ( as gelmesi)
P( X = 1 ) = 4 / 52
 4  x  48 1 x
   
P( X  x)   52   52 

0

x  0,1
d .d
9
Binom Dağılımı
• Birbirinden bağımsız n adet bernoulli deneyinin bir
araya gelmesi sonucunda binom dağılımı ortaya çıkar.
• Binom deneyinin gerçekleşmesi için bernoulli deneyinin
bütün varsayımlarının sağlanması gereklidir.
• n denemede en az 0, en fazla n adet başarı
gözlenebileceğinden
S = { x / 0,1,2,……,n }
olur.
10
Binom Modelinin Özellikleri
•Deneylerin aynı koşullarda tekrarlanabilirlik özelliği
vardır.
• Deneylerin yalnız iki mümkün sonucu vardır.
• Başarı olasılığı p, deneyden deneye değişmez.
Başarısızlığın olasılığı q=1-p olarak gösterilir
•Denemeler birbirinden bağımsızdır
•Binom Şans Değişkeni x, n denemede gözlenen başarı
sayısıdır.
•Parametreleri n ve p ’dir.
Binom Olasılık Fonksiyonunun Elde
Edilmesi
Gerçekleştirilen her bir Bernoulli deneyi birbirinden
bağımsızdır. Bernoulli deneyi n defa tekrarlanır ise
bu durumda toplam x adet başarı olmasının olasılığı
x adet başarı olasılığı(p) ile n-x adet başarısızlık
olasılığının (q) çarpımıdır.
P(x)  p .q
x
n x
x  0,1,...,n
Başarı ve başarısızlıkların oluşum sırası yani sıralama
n
önemsiz ise
farklı şekilde ortaya çıktığı
   n C x
 x
için ;
 n  x
n x
 .p .(1  p)
P( X  x)   x 

0

x  0,1,2,...., n
d .d
olarak elde edilir.
13
Örnekler:
Bir fabrikanın deposundan seçilen 10 üründen 2’sinin
hatalı olması ,
Bir madeni para 5 kez atıldığında üst yüze hiç tura
gelmemesi
Hilesiz bir zar 4 kez atıldığında zarın en çok 1 kez çift
gelmesi,
14
Binom Dağılımının
Karakteristikleri
Aritmetik Ortalama
m  E ( X )  np
.6
.4
.2
.0
s2
 np(1  p)  npq
X
0
Varyans
.6
.4
.2
.0
n = 5 p = 0.1
P(X)
1
2
3
4
5
n = 5 p = 0.5
P(X)
X
0
1
2
3
4
5
15
Örnek: Bir işletmede üretilen ürünlerin % 6 ‘sının hatalı olduğu
bilinmektedir. Rasgele ve iadeli olarak seçilen 5 üründen,
a)1 tanesinin hatalı olmasının olasılığını,
b) En az 4 tanesinin hatalı olmasının olasılığını hesaplayınız.
p = 0,06 1- p = 0,94 n = 5
a)P ( X = 1 ) = ?
b)P ( X ≥ 4 ) = ?
 5
P( X  1)   .(0,06)1 .(0,94) 4  0,23
1 
P ( X ≥ 4 ) = P ( X = 4) + P ( X = 5 )
5
 5
4
1
  .(0,06) .(0,94)   .(0,06)5 .(0,94) 0
 4
 5
16
Örnek
• Bir alıcı partiler halinde batarya almaktadır. Bir parti
500 bataryadan oluşmaktadır ve her bir partiden
10’ar batarya rastgele alınarak test edilmektedir. Eğer
test edilen bataryalardan en fazla 3’ü bozuk çıkarsa
parti iade edilmektedir. a) Partideki bataryaların
%5’inin bozuk olması durumunda partinin kabul
edilmesi olasılığı nedir? b) Partideki bataryaların
%25’inin bozuk olması durumunda partinin kabul
edilmesi olasılığı nedir?
• Cevap: a) P(kabul) = 0,9885’tir. b) P(kabul) =
0,5256’dır.
Negatif Binom Dağılımı
• Bernoulli deneyinin tüm varsayımları negatif binom dağılımı
içinde geçerlidir.
• Binom dağılımında n denemede x adet başarı olasılığı ile
ilgilenilirken, negatif binom dağılımında ise şans değişkeni ( x
) k ncı başarıyı elde edinceye kadar yapılan deney sayısına
karşılık gelir.
• Örnekler:
Bir parayı 5 kez tura gelinceye kadar attığımızda 5 nci turayı
elde ettiğimiz deneme sayısı,
Bir basketbolcunun 3 sayılık atışlarda 10 ncu
sağlaması için gerekli olan atış sayısı.
isabeti
18
• x : deney sayısı
• p : başarı olasılığı
1 2 3 ………………. x-1
1 2 3 ...……………. k-1
k : başarı sayısı
S = { x / k, k+1, k+2, k+3… }
x
k
Binom dağılımını kullanarak x-1 denemede k-1 adet başarı olasılığını
hesaplanır ve x nci denemedeki k ncı başarıyı elde etme olasılığı p ile
bağımsız olaylar olduğundan çarpılarak aşağıdaki olasılık fonksiyonu
elde edilir.
 x  1 k
xk
 p 1  p 

P( X  x)   k  1
0

x  k , k  1, k  2,.....
d .d
19
Negatif Binom Dağılımının
Beklenen Değer ve Varyansı
k (1  p)
Var ( x) 
p2
k
E ( x)  m 
p
30
Yandaki
histogram
p = 0,5 ve k = 8
parametreli
negatif
binom dağılım gösteren
bir
populasyondan
alınmış 100 hacimlik bir
örnek
için
oluşturulmuştur.
20
10
0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
22,0
24,0
20
x
Örnek: Bir kişinin hilesiz bir zarı 10 kez atması sonucunda, 10 ncu
atışında 5 nci kez 6 gelmesi olasılığını hesaplayınız.
p = 1 / 6 1- p = 5 / 6 x = 10 k = 5
10  1 1 5 5 5
P ( X  10; k  5)  
.( ) .( )
6
 5 1  6
 9  55
  . 10 .
 4 6
Zarın kaçıncı kez atılması sonucu 5 nci kez 6 gelmesini beklersiniz?
k
5
E ( x)  
 30
p 16
21
Geometrik Dağılım
• Bernoulli deneyinin tüm varsayımları geometrik dağılım
içinde geçerlidir.
• Negatif Binom dağılımının özel bir durumudur.
• k = 1 olduğunda negatif binom dağılımı geometrik dağılımı
olarak ifade edilir.
• Geometrik dağılım gösteren şans değişkeni X, ilk başarıyı
elde edinceye kadar yapılan deney sayısını ifade eder.
Örnekler:
• Bir parayı tura gelinceye kadar attığımızda tura gelmesi için
yapılan atış sayısı,
• Bir işletmenin deposundan ilk hatalı ürünü bulana kadar
alınan örnek sayısı.
22
• x: deney sayısı
p: başarı olasılığı
• S = { x / 1, 2, 3, 4….. }
Negatif Binom dağılımında k = 1 alındığında;
 x  1 k
xk


p
1

p



P ( X  x)   k  1
0

x  k , k  1, k  2,.....
d .d
 x  1 1
x 1
 p 1  p 
P( X  x)  
1  1 
 p 1  p x 1
P( X  x)  
0
x  1,2,3,.....
d .d
23
Geometrik Dağılımının
Beklenen Değer ve Varyansı
1 p
Var ( x)  2
p
1
E ( x)  m 
p
200
Yandaki histogram
p = 0,5 parametreli
geometrik dağılım gösteren
populasyondan alınmış 250
hacimlik bir örnek için
oluşturulmuştur.
100
0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
12.0
x
24
Örnek: Bir avcı hedefe isabet sağlayana kadar ateş etmektedir.
Avcının hedefi vurma olasılığı 0,75 olduğuna göre avcının
hedefi ilk kez 8 nci kez atış yaptığında isabet ettirmesinin
olasılığını hesaplayınız.
x = 8 P ( X = 8) = ?
0,751  0,75 x 1
P( X  x)  
0

x  1,2,3....
d .d
P( X  8)  0,751  0,7581 0,750,257
ÖDEV: Avcının hedefi ilk kez vurma olasılığı 0,05’den az olması
için hedefe en az kaç kez ateş etmelidir?
25
Hipergeometrik Dağılım
Varsayımları,
n deneme benzer koşullarda tekrarlanabilir.
Her denemenin 2 mümkün sonucu vardır.
Sonlu populasyondan iadesiz örnekleme yapılır.
Örnekleme iadesiz olduğundan başarı olasılığı
( p ) deneyden deneye değişir.
26
Hipergeometrik Dağılımın
Olasılık Fonksiyonu
n
N
B
x
: örnek hacmi
: anakütle eleman sayısı
: populasyondaki başarı sayısı
: örnekteki başarı sayısı
S = { x / 0,1, 2, 3, …..,n }
 B   N  B 

   
  x   n  x 
P( X  x)  
N
 

n 



0
x  0,1,2,3......, n
d .d
27
Hipergeometrik Dağılımın Karakteristikleri
E ( x)  n p
p = B/N için
 N n
Var ( x)  np(1  p)

 N 1 
60
Yandaki histogram
N = 10000 ve
B = 2000 parametreli
hipergeometrik dağılım
gösteren populasyondan
alınmış 250 hacimlik
bir örnek için
oluşturulmuştur.
50
40
30
20
10
0
35.0 37.5 40.0 42.5 45.0 47.5 50.0 52.5 55.0 57.5 60.0 62.5 65.0 67.5
X
28
Örnek: Yeni açılan bir bankanın ilk 100 müşterisi içinde 60
tanesi mevduat hesabına sahiptir. İadesiz olarak rasgele
seçilen 8 müşteriden 5 tanesinin mevduat hesabına sahip
olmasının olasılığı nedir?
N= 100 B = 60 n = 8 x = 5
  60  100  60 

   
 x   8 x 


P( X  x)  
100 



 8 


0

 60   40 
   
5  3 

P( X  5) 
100 


 8 
x  0,1,2,3......,8
d .d
ÖDEV: En çok 1 kişinin
mevduat hesabına sahip
olmasının
olasılığını
hesaplayınız.
29
Örnek
• Bir firma 10’luk partiler halinde elektrik
motorları satın almaktadır. Firma bu ürünlerin
giriş kalite kontrolu aşamasında 4 tanesini
rastgele seçmekte ve fonksiyonellik testine
tabi tutmaktadır. Eğer bu motorlardan 3 tanesi
bozuk ise, alınan örnek içerisinde 2 tanesinin
bozuk çıkması olasılığı nedir?
( )(
)
( )
3
2
P ( X) 
10 - 3
4-2
10
4

0.30
Poisson Dağılımı
Kesikli Şans değişkenlerinin olasılık dağılımlarından en
önemlilerinden biri Poisson Dağılımıdır.
Günlük hayatta ve uygulamada çok sayıda kullanım alanı
bulunmaktadır.
Ünlü Fransız
bulunmuştur.
matematikçisi
Poisson
tarafından
Belirli bir alan içerisinde rasgele dağılan veya zaman
içerisinde rasgele gözlenen olayların olasılıklarının
hesaplanabilmesi için çok kullanışlı bir modeldir.
32
Poisson Sürecinin Varsayımları
1. Belirlenen periyotta
sayısı sabittir.
meydana gelen ortalama olay
2. Herhangi bir zaman diliminde bir olayın meydana
gelmesi bir önceki zaman diliminde meydana gelen
olay sayısından bağımsızdır.(periyotların kesişimi
olmadığı varsayımı ile)
3. Mümkün olabilecek en küçük zaman aralığında en
fazla bir olay gerçekleşebilir.
4. Ortaya çıkan olay sayısı ile periyodun uzunluğu doğru
orantılıdır.
33
Örnekler
• Bir şehirde bir aylık süre içerisinde meydana gelen
hırsızlık olayların sayısı,
• Bir telefon santraline 1 dk. içerisinde gelen telefon
çağrılarının sayısı,
• Bir kitap içindeki baskı hatalarının sayısı,
• İstanbul’da 100 m2’ye düşen kişi sayısı,
• Ege Bölgesinde 3 aylık sürede 4,0 şiddetinden büyük
olarak gerçekleşen deprem sayısı.
34
Poisson Dağılımının Olasılık Fonksiyonu
l
x
: belirlenen periyotta ortaya çıkan olay sayısı
: ortaya çıkma olasılığı araştırılan olay sayısı
S = { x / 0,1, 2, 3, ….., }
 e l l x

P( X  x)   x!
 0

x  0,1,2,...
diger durumlarda
35
Poisson Dağılımının
Beklenen Değer ve Varyansı
Beklenen Değer
E (x)  m  l
Varyans
Var (x)  l
Beklenen değeri ve varyansı birbirine eşit olan tek dağılıştır.
36
l  
n = 1000
400
Frekans
300
200
100
0
0
1
2
l  
3
x
4
5
6
n= 1000
140
120
Frekans
100
80
60
40
20
0
3
6
9
12
15
18
21
x
37
Örnek: Bir mağazaya Cumartesi günleri 5 dakikada ortalama olarak 4
müşteri gelmektedir. Bir Cumartesi günü bu mağazaya,
a) 5 dakika içinde 1 müşteri gelmesi olasılığını,
b)Yarım saate 2’den fazla müşteri gelmesi olasılığını,
4 1
a) l  4 P ( x = 1 ) = ?
e 4
P( X  1) 
 4e 4
1!
b) 5 dk’da 4 müşteri gelirse, 30 dk’da 24 müşteri gelir.
l  24 P ( x > 2 ) = ?
P( x > 2 ) = 1 – [P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)]
 e 24 240 e 24 241 e 24 242 
  1  313e 24
1  


1!
2! 
 0!
ÖDEV: 1 saatte en çok 1 müşteri gelmesinin olasılığını hesaplayınız.
38