YARDIM,H.,AYIK,H., Değişmeli Yarıgrupların Sıfır Bölen Grafiği

Ç.Ü. Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2016 Cilt:34-2
DEĞİŞMELİ YARIGRUPLARIN SIFIR BÖLEN GRAFİĞİ *
The Zero-Divisor Graph of a Commutative Semigroup*
Hatice YARDIM
Matematik Anabilim Dalı
Hayrullah AYIK
Matematik Anabilim Dalı
ÖZET
S değişmeli ve sıfır bölenli bir yarıgrup olsun. S yarıgrubunun sıfır
bölenlerinin grafiği Г(S) ile gösterilir. Grafiğin köşeleri S yarıgrubunun sıfırdan farklı
sıfır bölenleridir. x ve y birbirinden farklı iki köşe olmak üzere x.y 0 ise x y ye bir
kenar ile bağlıdır. Bu makalede Г(S) grafiğinin genel yapısı ve özellikleri
incelenmiştir. Ayrıca yakın zamanda değişmeli sıfır bölenli yarıgrupların grafiğini
inceleyen bazı çalışmalar derlenmiş ve elde edilen sonuçlar sunulmuştur.
Anahtar Kelimeler: Değişmeli sıfır bölenli yarıgruplar, sıfır bölen grafiği , diameter,
nilpotent yarıgruplar, izomorfizma.
ABSTRACT
An undirected graph Г(S) is associated to each commutative multiplicative
semigroup S with 0. The vercites of the graph are labeled by the nonzero zerodivisor of S , and two vercites x , y are connected by an edge in case x.y 0 in S. In
this thesis, the properties and possible structures of the graph Г(S) are studied. In
addition, the studies which study the zero-divisor graph of a commutative
semigroups were compiled, and some results about the graph of
these
semigroups were informed.
Key Words: The zero-divisor commutative semigroups, the zero-divisor graph,
diameter, nilpotent semigroups, isomorphism.
Giriş
1950 li yılların sonunda cebirin başlı başına bir alt dalı haline gelen
yarıgrup günümüzde de popüler bir çalışma alanıdır. İlk kez Euler ‘in çalışmalarıyla
ortaya atılan grafik teorisi yarıgruplarda önemli bir yere sahiptir. Sıfır bölen grafiği
Beck I.’ in değişmeli halkalar üzerinde yaptığı çalışmayla başlamıştır. Daha sonra
yarıgrupların grafiği incelenmeye başlandı ve konuyla ilgili önemli sayıda makale
yayınlandı. Son yıllarda F.R. DeMeyer, L. DeMeyer, T. McKenzie ve K. Schneider
tarafından yayınlanan makalelerde değişmeli sıfır bölenli yarıgrupların grafiği
incelenmiştir.
𝑆 değişmeli ve sıfır bölenli bir yarıgrup olsun. 𝑆 yarıgrubunun sıfır
bölenlerinin grafiği Г(𝑆) ile gösterilir. Grafiğin köşeleri 𝑆 yarıgrubunun sıfırdan farklı
sıfır bölenleridir. 𝑥 ve 𝑦 birbirinden farklı iki köşe olmak üzere 𝑥. 𝑦 = 0 ise 𝑥 𝑦 ye
bir kenar ile bağlıdır.
*
Aynı başlıklı Yüksek Lisans tezinden üretilmiştir.
- 142 -
Ç.Ü. Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2016 Cilt:34-2
Bu çalışmada Г(𝑆) grafiğinin genel yapısı ve özellikleri incelenmiştir. Г(𝑆)
nin genel özellikleri incelenmiştir. Değişmeli sıfır bölenli 𝑆 yarıgrubu için eğer 𝑆 nin
sıfırdan farklı sıfır böleni yoksa Г(𝑆) boştur. Bu kısımda sıfırdan farklı sıfır böleni
olan yarıgruplarla ilgilenildi. Г(𝑆) nin bağlantılı bir grafik olduğu ve 𝑑𝑖𝑎𝑚(Г(𝑆)) ≤
3 olduğu gösterildi. Γ(𝑆) devir içeriyor ise Γ(𝑆) nin çekirdeği olan 𝐾 nın üçgenlerin
ve karelerin bireşimi olduğu gösterildi. Ayrıca Γ(𝑆) deki her köşenin ya çekirdekte
ya da grafiğin son noktasında olduğu ispat edildi. Eğer Γ(𝑆) bir devir içermiyor ise
Γ(𝑆), merkezleri bir kenar ile bağlı olan iki yıldız grafiğin alt grafiği olduğu ve ∀ 𝑥 ≠
0 için |Г(𝑆)| ≥ 3 ve {0, 𝑥} 𝑆 nin bir ideali değilse Γ(𝑆) deki her kenar, uzunluğu ≤
4 olan bir devir tarafından içerildiği gösterildi. Bunun bir sonucu olarak Γ(𝑆)
üçgenlerin ve karelerin birleşimidir. 𝑥 ∈ 𝑆, 𝑥 ≠ 0 olmak üzere {0, 𝑥} bir ideal değil
ve |𝑍(𝑆)| ≥ 3 ise Γ(𝑆) deki her köşe çifti uzunluğu ≤ 6 olan bir devir ile bağlı
olduğu ispatlanmıştır.
𝑆 yarıgrubunun sıfır bölenleri 𝑆 nin bir idealidir. Ancak 𝑆 nin bir ideali sıfırbölen yarıgrup olmayabilir. Yani 𝑆 yarıgurubundaki bir ideal sıfır bölen olmayabilir.
Bununla ilgili bir örnek verilmiştir. Aksi söylenmedikçe 𝑆 yi sıfır yarıgrup olarak
kabul edeceğiz.
Son kısımda grafiğin yarıgrup grafiği ise sağladığı dört koşul verilmiştir.
Köşe sayısı < 6 olan bir grafikte bu koşullar sağlanıyor ise grafik yarıgrup
grafiğidir. Gerekli koşulları sağlayan ancak yarıgrup grafiği olmayan altı köşeli bir
grafik örneği verilmiştir.
𝑆 değişmeli bir yarıgrup 𝑍(𝑆) de 𝑆 nin sıfır bölenlerinin (0 dâhil) kümesi
olsun. O zaman 𝑍(𝑆) 𝑆 nin bir ideali ve Г(𝑍(𝑆)) = Г(𝑆) olur. Eğer 𝑆 tamamen sıfır
bölenlerden meydana geliyorsa (0 dâhil) S yarıgrubu sıfır-bölen değişmeli yarıgrup
olarak adlandırılır.
Şimdi birbirine izomorf olmayan ancak grafikleri izomorf olan iki tane sıfırbölen yarıgruba örnek verelim. 𝑆 = {0, 𝑥, 𝑥 2 , 𝑥 3 } bağıntısı 𝑥 4 = 0 olan yarıgrup ve
𝑇 = {0, 𝑎, 𝑦, 𝑏} bağıntısı 𝑎𝑦 = 𝑏𝑦 = 𝑎2 = 𝑏 2 = 𝑦 2 = 0 ve 𝑎𝑏 = 𝑦 olan yarıgrup
olsun. 𝑆 nin grafiği 𝑥 − 𝑥 3 − 𝑥 2 ve 𝑇 nin grafiği de 𝑎 − 𝑦 − 𝑏 dir. 𝑆 nin grafiği 𝑇 nin
grafiğine izomorftur ancak 𝑆 ve 𝑇 izomorf değildir. Çünkü 𝑇 nin tüm elemanlarının
karesi 0 iken 𝑆 deki 𝑥 elemanının karesi sıfırdan farklıdır.
Önerme 1. Eğer 𝑎 − 𝑥 − 𝑏, Γ(𝑆) grafiğinde bir patika ise ya {0, 𝑥} 𝑆 nin bir
idealidir ya da grafikte 𝑎 − 𝑥 − 𝑏 patikasını içeren uzunluğu ≤ 4 olan bir devir
vardır.
İspat: 𝑎𝑛𝑛(𝑎) = {𝑦 ∈ 𝑆| 𝑦𝑎 = 0 } kümesini tanımlayalım. 𝑎𝑛𝑛(𝑎) ∩
𝑎𝑛𝑛(𝑏) = {0, 𝑥} yada 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐 = 0 olacak şekilde 𝑐 ≠ 0, 𝑥 vardır. 𝑎𝑥 = 0,
𝑏𝑥 = 0 olduğunu biliyoruz. İlk durumda ∀ s ∈ S için 𝑎𝑥𝑠 = 0 ve 𝑏𝑥𝑠 = 0
olduğundan 𝑥𝑠 ∈ 𝑎𝑛𝑛(𝑎) ∩ 𝑎𝑛𝑛(𝑏) olup 𝑥𝑠 = 𝑥 ya da 𝑥𝑠 = 0 olur. O halde
{0, 𝑥} 𝑆 nin bir idealidir. İkinci durumda 𝑎𝑐 = 𝑏𝑐 = 0 olacak şekilde c ≠ 0, 𝑥 olup
- 143 -
Ç.Ü. Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2016 Cilt:34-2
𝑎 − 𝑥 − 𝑏 − 𝑐 − 𝑎 uzunluğu 4 olan bir devirdir. Böylece 𝑎 − 𝑥 − 𝑏 patikasını
içeren uzunluğu ≤ 4 olan bir devir vardır. ∎
Tanım:𝐺 basit bir grafik olsun. 𝑢 ve 𝑣 de grafikte iki köşe olsun.
𝑑G (𝑢, 𝑣) = 𝑚𝑖𝑛{𝑢 𝑖𝑙𝑒 𝑣 𝑎𝑟𝑎𝑠𝚤𝑛𝑑𝑎𝑘𝑖 𝑝𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎 𝑢𝑧𝑢𝑛𝑙𝑢𝑘𝑙𝑎𝑟𝚤} 𝑒𝑐𝑐(𝑣) =
max{𝑑G (𝑢, 𝑣): 𝑢 ∈ 𝑉(G) } olmak üzere
𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐺) = max{𝑒𝑐𝑐(𝑣): 𝑣 ∈ 𝑉(G)} değerine diameter denir.
Önerme 2. Г(𝑆) bağlantılı bir grafiktir ve 𝑑𝑖𝑎𝑚(Г(𝑆)) ≤ 3 dır.
İspat: 𝑥, 𝑦 Г(𝑆) nin köşeleri olsun. 𝑥𝑤 = 𝑦𝑧 = 0 olacak şekilde 𝑧 ≠ 0 ve
𝑤 ≠ 0 vardır.
Eğer 𝑥𝑦 = 0 ise 𝑥 ve 𝑦 uzunluğu 1 olan 𝑥 − 𝑦 patikası ile bağlıdır.
Eğer 𝑥𝑦 ≠ 0 ve 𝑤𝑧 = 0 ise 𝑥 ve 𝑦 uzunluğu ≤ 3 olan 𝑥 − 𝑧 − 𝑤 − 𝑦 patikası ile
bağlıdır.
Eğer 𝑥𝑦 ≠ 0 ve 𝑤𝑧 ≠ 0 ise o zaman 𝑥 ve 𝑦 uzunluğu 2 olan 𝑥 − 𝑤𝑧 − 𝑦 patikası
ile bağlıdır.
𝑥 𝛤(𝑆) nin bir köşesi olmak üzere, 𝑥 𝛤(𝑆) nin en fazla bir köşesi ile bağlı
ise 𝑥 e son nokta denir. Son noktanın derecesi 1 dir.
- 144 -
Ç.Ü. Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2016 Cilt:34-2
Önerme 3. 𝑆 değişmeli sıfır bölenli yarıgrup olsun.
Eğer Γ(𝑆) bir devir içermiyor ise Γ(𝑆), merkezleri bir kenar ile bağlı
olan iki yıldız grafiğin alt grafiğidir.
ii.
i de verilen her grafik türüne karşılık değişmeli bir yarıgrup vardır.
İspat: i. Г(𝑆) nin maksimum patika uzunluğu ≤ 2 ise durum açıktır. Γ(𝑆)
bir yıldız grafiktir (grafiğin bir köşe dışındaki tüm köşeleri son nokta olmakla
beraber bu bir tek köşe tüm sonlarla bağlantılıdır.) ve bu bahsedilen türden
grafiklerin alt grafiğidir.
Varsayalım ki 𝑎 – 𝑥 – 𝑦 – 𝑏 Γ(S) de bir patika olsun ve Γ(𝑆) devir
içermesin. 𝑐 ≠ 𝑎, 𝑥, 𝑦, 𝑏 olmak üzere 𝑐 ∈ 𝛤(𝑆) alalım. Γ(𝑆) de 𝑎 – 𝑐 ya da 𝑐 – 𝑏
kenarı varsa ( 𝑎 – 𝑐 ⊂ 𝛤(𝑆) olsun) 𝑑𝑖𝑎𝑚(𝛤(𝑆)) ≤ 3 olduğundan 𝑤 ≠ 𝑥, 𝑦, 𝑏,
𝑧 ≠ 𝑥, 𝑦, 𝑏 olmak üzere 𝑐 – 𝑤 – 𝑧 – 𝑏 ⊂ 𝛤(𝑆) patikası ile 𝑤, 𝑧 ∈ 𝛤(𝑆) vardır ki
Γ(S) 𝑎 – 𝑐 – 𝑤 – 𝑧 – 𝑏 – 𝑦 – 𝑥 – 𝑎 devrini içerir. Bu ise çelişkidir.
i.
Aşağıdaki tablonun değişmeli bir yarıgrubun çarpım tablosu olduğu
Light’s Associativity Test ile görülür. Böylece sonuç açıktır.
ii.
.
0
a
y
ai
x
zm
zn
aj
0
0
0
0
0
0
0
0
0
b
0
0
0
0
b
b
b
0
y
0
0
y
y
0
0
0
y
ai
0
0
y
y
b
b
b
y
Yukarıdaki yarıgrubun grafiği
İspat tamamlanır. ∎
- 145 -
x
0
b
0
b
x
x
x
b
zm
0
b
0
b
x
zm
x
b
zn
0
b
0
b
x
x
zn
b
aj
0
0
y
y
b
b
b
y
Ç.Ü. Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2016 Cilt:34-2
Şimdi grafikleri devir içeren yarıgrupları düşünelim.
Önerme 4. ∀𝑥 ≠ 0 için |𝑍(𝑆)| ≥ 3 ve {0, 𝑥} 𝑆 nin bir ideali değilse Γ(𝑆)
deki her kenar, uzunluğu ≤ 4 olan bir devir tarafından içerilir. Bunun bir sonucu
olarak Γ(𝑆) üçgenlerin ve karelerin birleşimidir.
İspat: 𝑎 – 𝑥, 𝛤(𝑆) de bir kenar olsun. Γ(𝑆) bağlantılı ve |Γ(𝑆)| ≥ 3
olduğundan Γ(𝑆) de bir 𝑏 köşesi vardır öyle ki Γ(𝑆) de 𝑎 – 𝑥 – 𝑏 ya da 𝑥 – 𝑎 – 𝑏
patikası vardır. Her iki durumda da önerme 1 den dolayı 𝑥 uzunluğu ≤ 4 olan devir
tarafından içerilir. Bu yüzden 𝑎 – 𝑥 ya bir üçgenin ya da bir karenin kenarıdır. ∎
Önerme
5.
𝑎– 𝑏– 𝑐– 𝑑– 𝑒– 𝑎
𝑎 – 𝑏 – 𝑐 – 𝑑 – 𝑒 – 𝑓 – 𝑎 altıgeni Γ(𝑆) olamaz.
beşgeni
ya
da
İspat: Varsayalım ki Γ(𝑆) bir beşgen olsun. Önerme 1. den köşelerden biri
için (𝑎 diyelim) {0, 𝑎} 𝑆 de idealdir. Beşgende 𝑎𝑏 = 𝑎𝑒 = 0 ve 𝑎𝑐 = 𝑎𝑑 = 𝑎
dır. Ancak 0 = 𝑎(𝑐𝑑) = (𝑎𝑐)𝑑 = 𝑎𝑑 = 𝑎 olur ki bu mümkün değildir. O halde
varsayım hatalıdır.
Şimdi Γ(𝑆) altıgen olsun. Varsayalım ki 𝑎 – 𝑏 – 𝑐 – 𝑑 – 𝑒 – 𝑓 – 𝑎 altıgeni Γ(𝑆)
olsun. {0, 𝑎} 𝑆 de ideal olduğundan 𝑎𝑐 = 𝑎𝑑 = 𝑎𝑒 = 𝑎 ve altıgende 𝑎𝑏 =
𝑎𝑓 = 0 dir. Ancak 0 = 𝑎(𝑑𝑒) = (𝑎𝑑)𝑒 = 𝑎𝑒 = 𝑎 olur ki varsayım
hatalıdır. ∎
Tanım: 𝑆 değişmeli yarıgrubu için Γ(𝑆) nin çekirdeği 𝐾 ile gösterilir ve 𝐾 ,
Γ(𝑆) deki devirlerin birleşimidir.
Önerme 6. Eğer Γ(𝑆) devir içeriyor ise Γ(𝑆) nin 𝐾 çekirdeği üçgenlerin ve
karelerin bireşimidir. Ayrıca Γ(𝑆) deki her köşe ya çekirdektedir ya da grafiğin son
noktasıdır.
İspat: 𝑎 ∈ 𝐾 alalım. Varsayalım ki 𝑎 grafikdeki herhangi bir üçgen ya da
dörtgende olmasın. 𝑎 , 𝑎 – 𝑏 – 𝑐 – 𝑑 – . . . – 𝑎 devrinin bir parçasıdır ve önerme 1
den {0, 𝑎} 𝑆 nin idealidir. O halde 𝑑𝑎 = 𝑐𝑎 = 𝑎 ve 0 = (𝑑𝑐)𝑎 = 𝑐𝑎 ≠ 0 dır.
Bu çelişki birinci durumu ispatlar. İkinci durum için |𝛤(𝑆)| ≥ 3 varsayılabilir. Γ(𝑆)
nin diameter ≤ 3 olduğundan grafikteki 𝑎 köşesi ya grafiğin son noktası ya da 𝑏 ∈
𝐾 ve 𝑥, 𝑦 ∉ 𝐾olacak şekilde 𝑎 – 𝑥 – 𝑏 ya da 𝑎 – 𝑥 – 𝑦 – 𝑏 grafikte bir patikadır.
Son durumda 𝑏 bir karenin ya da üçgenin bir köşesi olacağından ve
𝑑𝑖𝑎𝑚(𝛤(𝑆) ) ≤ 3 olduğundan 𝑎 – 𝑥 – 𝑦 – 𝑏 patikası olmaz. Şimdi 𝑎 – 𝑥 – 𝑏
patikasını inceleyelim. 𝐾 nin köşesi olmayan bir 𝑥 köşesi seçelim. Önerme 1. den
{0, 𝑥} 𝑆 de idealidir ve 𝑥 – 𝑏 – 𝑐 – 𝑑 – 𝑏 ya da 𝑥 – 𝑏 – 𝑐 – 𝑑 – 𝑒 – 𝑏 Γ(𝑆) de
patikadır. x ∉ 𝐾 olduğundan 𝑐𝑥 ≠ 0 olur. Bu yüzden 𝑐𝑥 = 𝑥 dir. Eğer 𝑐𝑥 = 𝑥 ise
- 146 -
Ç.Ü. Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2016 Cilt:34-2
𝑏 – 𝑐 – 𝑑 patikası 𝐾 da uzunluğu ≤ 4 olan devrinin parçasıdır ve 𝑑𝑥 = 𝑑𝑐𝑥 = 0
olur ki 𝑥 , 𝑥 – 𝑏 – 𝑐 – 𝑑 – 𝑥 devrinin bir köşesi olur. 𝑥, 𝐾 da seçilmediğinden bu
imkansızdır.
Önerme 7. 𝑆 nin 𝑎𝑛 = 0 ve 𝑎𝑘 ≠ 0, 0 < 𝑘 < 𝑛 (𝑛 ≥ 5) olacak şekilde 𝑎
elemanı varsa Γ(𝑆) bir devir içerir. Ayrıca 𝑆 =< 𝑎|𝑎𝑛 = 0 > ise Γ(𝑆) nin
çekirdeği olan 𝐾 üçgenlerin birleşimidir ve 𝑎 noktası grafiğin tek son noktası olup
𝐴𝑢𝑡(𝑆) trivial otomorfizmdir.
İspat: Grafikte daima 𝑎2 – 𝑎𝑛−1 – 𝑎𝑛−2 – 𝑎2 devri vardır. Eğer 𝑆
yarıgrubu 𝑎 ile doğuruluyor ise grafiğin 𝐾 çekirdeğinin üçgenlerin birleşiminden
oluştuğunu ve 𝑎 nın tek son nokta olduğunu kolayca görürüz. Γ(𝑆) nın son noktası
grafiğin her otomorfizmi için yine son noktaya gitmeli. Bu yüzden 𝑆 nin her
otomorfizminde 𝑎 elemanı 𝑎 ya gitmeli. Böylece otomorfizm birim dönüşüm olur.
Önerme 9. 𝑥 ∈ 𝑆, 𝑥 ≠ 0 olmak üzere {0, 𝑥} bir ideal değil ve |𝑍(𝑆)| ≥ 3
ise Γ(𝑆) deki her köşe çifti uzunluğu ≤ 6 olan bir devir ile bağlıdır.
İspat: 𝑎 ve 𝑏 grafiğin iki köşesi olsun. 𝑎 – 𝑏 grafikte bir kenar ise önerme
4. den 𝑎 – 𝑏 kenarı bir üçgenin ya da dörtgenin kenarıdır. {0, 𝑥} 𝑆 nin bir ideali
olmadığından eğer 𝑎 – 𝑥 – 𝑏 grafikte patika ise önerme 1. den 𝑎 – 𝑥 – 𝑏 patikası
uzunluğu ≤ 4 olan devir tarafından içerilir. Eğer 𝑎 – 𝑥 – 𝑦 – 𝑏 grafikte bir patika
ise önerme 1. den c ≠ 𝑥 ve d ≠ 𝑦 olmak üzere 𝑎 – 𝑥 – 𝑦 – 𝑐 – 𝑎 ve
𝑏– 𝑦– 𝑥– 𝑑– 𝑏
devirleri
vardır.
Bu
ise
uzunluğu
6
olan
𝑎 – 𝑥 – 𝑑 – 𝑏 – 𝑦 – 𝑐 – 𝑎 devrini verir.
- 147 -
Ç.Ü. Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2016 Cilt:34-2
∎
Örnek: Şimdiye kadar ifade edilen koşulları sağlayan her grafiğe karşılık
bir yarıgrup yoktur.
grafiği bir yarıgrup grafiği değildir. Çünkü (𝑏𝑑)𝑎 = 0 olduğundan 𝑏𝑑 ∈ {𝑏, 𝑥, 𝑎}
ve (𝑏𝑑)𝑐 = 0 olduğundan 𝑏𝑑 ∈ {𝑦, 𝑐, 𝑑} olur ki bu imkânsızdır.
Tanım: 𝑥 , Γ(𝑆) grafiğinde bir köşe olmak üzere 𝑥 ’e bir kenar ile bağlı olan
tüm köşelerin kümesine 𝑁(𝑥) diyelim ve ̅̅̅̅̅̅̅
𝑁(𝑥) = 𝑁(𝑥) ∪ {𝑥} olsun.
Önerme 10. Eğer Γ(𝑆) bir yarıgrup grafiği ise aşağıdaki koşulları sağlar.
(1)
Γ(𝑆) bağlantılıdır.
(2)
Grafiğin herhangi iki köşesi uzunluğu ≤ 3olan bir patika ile bağlıdır.
(3)
Γ(𝑆) grafiği bir devir içeriyor ise Γ(𝑆) nin çekirdeği üçgenlerin ve
dörtgenlerin bileşkesidir ve çekirdek dışındaki tüm noktalar son noktadır.
(4)
𝑥 , Γ(𝑆) grafiğinin bir köşesi olsun. Grafikte bitişik olmayan 𝑥, 𝑦 köşeleri için
𝑁(𝑥) ∪ 𝑁(𝑦) ⊂ ̅̅̅̅̅̅
𝑁(𝑧) olacak şekilde bir 𝑧 köşesi vardır.
İspat: (1) , (2) ve (3) koşulları daha önce ispatlandı. Şimdi (4) koşuluna
bakalım. 𝑆 yarıgrubunun grafiği Γ(𝑆) olmak üzere 𝑥 ve 𝑦 Γ(𝑆) grafiğinde bitişik
olmayan iki köşe olsun. O halde 𝑥𝑦 = 𝑧 ≠ 0 vardır. Eğer 𝑎 ∈ 𝑁(𝑥) ∪ 𝑁(𝑦) ise
𝑎𝑥 = 0 ya da 𝑎𝑦 = 0 olur. Her iki durumda 𝑎𝑧 = 𝑎(𝑥𝑦) = 0 olacağından 𝑎 ∈
̅̅̅̅̅̅̅ ∎
̅̅̅̅̅̅
𝑁(𝑧). Buradan 𝑁(𝑥) ∪ 𝑁(𝑦) ⊂ 𝑁(𝑧).
Önerme 11. Γ(𝑆), önerme 10. nun tüm koşullarını sağlıyor ve köşe sayısı
≤ 5 ise Γ(𝑆) bir yarıgrup grafiğidir.
- 148 -
Ç.Ü. Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2016 Cilt:34-2
İspat: Bu koşulları sağlayan köşe sayısı 6 dan küçük tüm grafikler çizilmiş
ve bunlara karşılık gelen yarıgruplar bulunmuştur.( Frank DeMeyer , Lisa DeMeyer
(2005) Theorem 2 ye bakınız.) ∎
Önerme 12. Aşağıda 6 köşeli 𝐺 grafiği önerme 10. nun tüm koşullarını
sağlar. Ancak bir 𝐺 yarıgrubuna ait sıfır bölen grafiği değildir.
İspat:
Varsayalım ki 𝐺 grafiği bir 𝑆 yarıgrubunun sıfır bölen grafiği olsun.
1.Adım.
{𝑥2 , 𝑥3 , 𝑦2 , 𝑦3 } ⊂ 𝑎𝑛𝑛(𝑥1 𝑦1 )
ve
{𝑥2 , 𝑥3 , 𝑦2 , 𝑦3 } ⊂ 𝑎𝑛𝑛((𝑥1 )2 )
2
olduğundan 𝑥1 𝑦1 , ( 𝑥1 ) ∈ {0, 𝑥1 }. Simetriden dolayı 𝑖 = 1,2,3 için {0, 𝑥𝑖 } idealdir.
Her 𝑖 için 𝑥𝑖 2 = 𝑥𝑖 ya da 𝑥𝑖 2 = 0 dır. {0, 𝑥𝑖 } bir ideal olduğundan ve 𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ile
bitişik olmadığından 𝑥𝑖 𝑦𝑖 ≠ 0. O halde 𝑥𝑖 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 olur. 𝑖 ≠ 𝑗olmak üzere 𝑥𝑘 𝑦𝑖 𝑦𝑗
çarpımı düşünelim. Birleşme özelliğinden dolayı 𝑥𝑘 (𝑦𝑖 𝑦𝑗 ) = (𝑥𝑘 𝑦𝑖 )𝑦𝑗 = 𝑦𝑖 (𝑥𝑘 𝑦𝑗 )
dır. 𝑖 ≠ 𝑗 olduğundan ya 𝑥𝑘 𝑦𝑗 = 0a da 𝑥𝑘 𝑦𝑖 = 0. Bunun bir sonucu olarak 𝑘 =
1,2,3 için 𝑥𝑘 (𝑦𝑖 𝑦𝑗 ) = 0 olur ki buradan 𝑦𝑖 𝑦𝑗 ∈ { 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 } çıkar.
2.Adım. 𝑥𝑖 𝑦𝑖 2 çarpımını düşünelim. 𝑥𝑖 𝑦𝑖 2 = (𝑥𝑖 𝑦𝑖 )𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 ≠ 0. O halde
∀ 𝑖 ∈ {1,2,3} için 𝑦𝑖 2 ∈ {𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 } dir.
Durum 1. Herhangi 𝛼 sabit indeksi için varsayalım ki 𝑦𝛼 2 = 𝑦𝛼 olsun. 𝑗, 𝛼
indeksine eşit olmayan bir indeks olsun. 𝑦𝛼 𝑦𝛼 𝑦𝑗 üçlü çarpımını düşünelim.
1.adımdan 𝑦𝛼 2 𝑦𝑗 ∈ {𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 } olur. Ayrıca 𝛽 ∈ {𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 } için 𝑦𝛼 2 𝑦𝑗 =
𝑦𝛼 (𝑦𝛼 𝑦𝑗 ) = 𝑦𝛼 𝛽 dır. Eğer 𝑗, 𝑘 ≠ 𝛼 için 𝑦𝛼 𝑦𝑗 = 𝑥𝑗 ya da 𝑦𝛼 𝑦𝑗 = 𝑥𝑘 ise
𝑦𝛼 𝑦𝛼 𝑦𝑗 = 0 olur ki bu da 𝑦𝛼 2 𝑦𝑗 ∈ {𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 } ile çelişir. Bu durumda 𝑦𝛼 𝑦𝑗 = 𝑥𝛼
olur. 𝑗 ≠ 𝛼 olduğundan 𝑦𝛼 𝑦𝑗 2 = (𝑦𝛼 𝑦𝑗 )𝑦𝑗 = 𝑥𝛼 𝑦𝑗 = 0 olup farklı 𝑗, 𝑖, 𝛼 indisleri için
- 149 -
Ç.Ü. Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2016 Cilt:34-2
𝑦𝑗 2 ∈ {0, 𝑥𝑗 , 𝑥𝑘 } olur. 2.adımda 𝑦𝑗 2 ∈{𝑥𝑗 ,𝑦𝑗 } olduğunu bulmuştuk. O halde 𝑦𝑗 2 = 𝑥𝑗
çıkar. Benzer şekilde 𝑦𝑘 2 = 𝑥𝑘 . Bunun bir sonucu olarak 0 = 𝑥𝑗 𝑦𝑘 = (𝑦𝑗 𝑦𝑗 )𝑦𝑘 =
𝑦𝑗 (𝑦𝑗 𝑦𝑘 ) ve benzer şekilde 0 = 𝑦𝑗 𝑥𝑘 = 𝑦𝑗 (𝑦𝑘 𝑦𝑘 ) = (𝑦𝑗 𝑦𝑘 )𝑦𝑘 ve 𝑦𝑗 𝑦𝑘 ≠ 0
olduğundan 𝑦𝑗 𝑦𝑘 hem 𝑦𝑗 ye hem de 𝑦𝑘 ya bitişik olan bir köşe olarak temsil edilir.
Sonuç olarak 𝑦𝑗 𝑦𝑘 = 𝑥𝛼 çıkar. 𝑦𝛼 𝑦𝑗 𝑦𝑘 = 𝑦𝛼 (𝑦𝑗 𝑦𝑘 ) = 𝑦𝛼 𝑥𝛼 = 𝑥𝛼 ve 𝑦𝛼 𝑦𝑗 𝑦𝑘 =
(𝑦𝛼 𝑦𝑗 )𝑦𝑘 = 𝑥𝛼 𝑦𝑘 = 0 olur ki bu da 𝑥𝛼 ≠ 0 olması ile çelişir.
Durum 2. ∀𝑖 için 𝑦𝑖 2 = 𝑥𝑖 olduğunu varsayalım. O zaman farklı 𝑖, 𝑗 indeksleri için
𝛽 ∈ {𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 } olmak üzere 0 = 𝑥𝑖 𝑦𝑗 = (𝑦𝑖 𝑦𝑖 ) 𝑦𝑗 = 𝑦𝑖 (𝑦𝑖 𝑦𝑗 ) = 𝑦𝑖 𝛽 olur. Bunun
sonucu olarak 𝛽 ≠ 𝑥𝑖 olduğundan 𝑦𝑖 𝑦𝑗 ∈ {𝑥𝑖 , 𝑥𝑘 } çıkar. Benzer şekilde 0 =
𝑦𝑖 𝑥𝑗 = 𝑦𝑖 (𝑦𝑗 𝑦𝑗 ) = (𝑦𝑖 𝑦𝑗 )𝑦𝑗 olduğundan 𝑦𝑖 𝑦𝑗 ∈ {𝑥𝑗 , 𝑥𝑘 } O halde farklı 𝑖 , 𝑗 , 𝑘
indeksleri için 𝑦𝑖 𝑦𝑗 = 𝑥𝑘 çıkar. Buradan da 𝑥1 = 𝑦1 𝑥1 = 𝑦1 (𝑦2 𝑦3 ) = (𝑦1 𝑦2 )𝑦3 =
𝑥3 𝑦3 = 𝑥3 çıkar ki bu bir çelişkidir.
O halde yukarıdaki grafik bir yarıgrup grafiği olmaz. ∎
Kaynaklar
ANDERSON, D. D., NASEER M., Beck’s Coloring of a Commutative Ring, J.
Algebra159 (1993), 500-514.
ANDERSON D. F., FRAZIER A., LAUVE A., and LIVINGSTON P., The Zero-divisor
Graph of a Commutative Ring II, Lecture Notes in Pure and Appl.
Math.,Marcel Dekker, New York, 220 (2001), 61-72.
ANDERSON D.F., LIVINGSTON P.S, The Zero-divisor Graph of a Commutative
Ring, J. Algebra 217 (1999) 434-447.
BECK I., Coloring of a Commutative Ring, J. Algebra 116 (1988) 208-226.
CLIFFORD A., PRESTON G., The AlgebraicTtheory of Semigroups, vols. I, II,
Math. Surveys, vol. 7, Amer. Math. Soc.,Providence, 1961, 1967.
D’SA M., DEMEYER L., EPSTEIN I., GEISER A., SMİTH K., On Graphs
Associated With a Zero-divisor Semigroup, Preprint, 2004.
DEMEYER F., SCHNEIDER K., Automorphisms and Zero-divisor Graphs of
Commutative Rings, International J. of Comm. Rings (to appear)
DEMEYER F., MCKENZIE T., SCHNEIDER K., The zero-divisor Graph of a
Commutative Semigroup, Semigroup Forum 65 (2002) 206-214.
DEMEYER F., DEMEYER L., Zero-divisor Graphs of Semigroups, Journal of
Algebra 283 (2005) 190-198
GROSS J. L., YELLEN J., Handbook of Graph Theory, CRC Press, 2004.
HOWİE J. M., Fundamentals of Semigroup Theory, ClarendonPress, 1995.
MULAY S.B., Cycles and Symmetries of Zero-divisors, Comm. Algebra 30 (2002)
3533-3558
- 150 -