2006 ÖSS Mat-1 Soru ve Çözümleri

Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 18 Haziran 2006
Matematik I Soruları ve Çözümleri
1. a ve b sıfırdan farklı gerçel sayılar olmak üzere, a.b =
a
= a – b olduğunu göre,
b
a + b toplamı kaçtır ?
A)
−3
2
−3
4
B)
C) 0
D)
1
2
E)
2
3
Çözüm 1
a.b =
a
b
⇒ b=
b = 1 için
a
=a–1
1
b = – 1 için
a+b=
1
b
⇒
⇒
b² = 1
⇒
b= 1
⇒ b=±1
a = a – 1 çözümü yoktur.
a
= a – (– 1)
−1
⇒ a=–a–1
⇒
2a = – 1
⇒ a=
−1
olur.
2
−1
−3
+ (– 1) =
bulunur.
2
2
2.
1 4
+ + 4 = 0 olduğuna göre, a kaçtır ?
a² a
A)
1
2
B) 1
C) -2
D) –1
E)
−1
2
Çözüm 2
x=
1
olsun.
a
1
1
( )² + 4.( ) + 4 = 0
a
a
x=
1
=–2
a
⇒ a=
⇒
−1
2
x² + 4x + 4 = 0
⇒ (x + 2)² = 0
⇒ x+2=0 ⇒ x=–2
3. a pozitif bir gerçel sayı ve a 4 − 2a ² = 8 olduğuna göre, a kaçtır ?
A)
1
8
B)
1
4
C)
1
2
D) 1
E) 2
Çözüm 3
a² = t olsun.
a 4 − 2a ² = 8
⇒ t² – 2t – 8 = 0
t+2=0
⇒ t=–2
t–4=0
⇒ t=4
⇒ (t – 4).(t + 2) = 0
⇒ a² = – 2 olamaz.
⇒
a² = 4
⇒
a= 2
⇒ a=±2
a pozitif bir gerçel sayı olduğuna göre, a = 2 bulunur.
4.
3 20 − 310
işleminin sonucu kaçtır ?
(35 + 1).(35 − 1)
A) 1
B) 9
C) 35
D) 310
E) 315
Çözüm 4
3 20 − 310
310 (310 − 1)
310 (310 − 1)
=
=
= 310
5
5
5 2
2
10
(3 + 1).(3 − 1)
(3 ) − 1
3 −1
5. 5 – (– 2 + 3) işleminin sonucu kaçtır ?
A) – 1
B) 0
C) 4
D) 6
E) 10
Çözüm 5
5 – (–2 + 3) = 5 – (1) = 5 – 1 = 4
1 1
+
2
3 işleminin sonucu kaçtır?
6.
1 1 1
− +
2 3 4
1−
A) 2
B) 1
C) 0
D) – 1
E) – 2
Çözüm 6
1 1
6−3+ 2
5
+
5 12
2 3 =
6
= 6 = .
=2
6−4+3
5
1 1 1
6 5
− +
2 3 4
12
12
1−
1
0,2
+
0,1 0,02
7.
işleminin sonucu kaçtır?
0,3
3
A) 0,2
B) 0,3
C) 20
D) 30
E) 200
Çözüm 7
1
0,2
10 20
+
+
0,1 0,02
1
2 = 20 = 200
=
0,3
3
1
3
30
10
8. a, b ve c tamsayıları için a > b > c > 0 ve c = a − b dir.
a ve b nin en büyük ortak böleni 4 olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle
çift sayıdır?
A)
a+b
4
B)
b+c
4
C)
a
+c
4
D)
a−c
4
E)
a+b+c
4
Çözüm 8
a ve b nin en büyük ortak böleni 4 olduğuna göre, a = 4x , b = 4y olsun.
c = a – b = 4x – 4y olur. Buna göre,
A)
a+b
4
⇒
4 x + 4 y 4( x + y )
=
= x+ y
4
4
B)
b+c
4
⇒
4 y + 4x − 4 y 4x
=
=x
4
4
C)
a
+c
4
⇒
4x
+ 4x − 4 y = 5x − 4 y
4
D)
a−c
4
E)
a+b+c
⇒
4
⇒
4 x − (4 x − 4 y ) 4 y
=
=y
4
4
4 x + 4 y + 4 x − 4 y 8x
=
= 2 x sonucu kesinlikle çift sayıdır.
4
4
9. 0 < x < 1 olmak üzere,
a = x , b = x² , c =
A) a < b < c
1
x
olduğuna göre, aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
B) b < a < c
C) b < c < a
D) c < a < b
Çözüm 9
x=
1
olsun. (0 < x < 1)
4
a=
1
4
b=(
c=
1
1
)² =
4
16
1
1
4
=
1
=2
1
2
O zaman, b < a < c olur.
E) c < b < a
1
10. 4 2 m −1 > ( ) m+ 7 eşitsizliğini sağlayan en küçük m tamsayısı kaçtır?
16
A) – 4
B) – 3
C) – 2
D) 1
E) 2
Çözüm 10
1
4 2 m −1 > ( ) m+ 7
16
⇒
4 2 m −1 > (
⇒
2m – 1 > –2m – 14
1 m +7
)
42
4m > – 13
4 2 m −1 > (4 −2 ) m +7
⇒
⇒ m>
⇒
4 2 m−1 > (4) −2 m −14
− 13
= – 3,25
4
en küçük m tamsayısı = –3 olur.
11. x =  5 – 3 , y = x – 5 , z = y – 2 olduğuna göre, z kaçtır?
A)
5
B) 2 +
5
C) 4 +
5
D) 10 –
5
E) 5 –
5
Çözüm 11
x =  5 – 3 ⇒ ( 5 – 3 negatif olduğu için mutlak değer dışına çıkarken işaret değiştirir.)
x=3–
5
⇒
y = 3 –
12. Hangi sayının 3 eksiğinin
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
5 – 5= 2 +
5
⇒
2
ü aynı sayının 5 eksiğine eşittir?
3
E) 12
Çözüm 12
Sayı x olsun.
(x – 3).
2
=x–5
3
z = 2 +
⇒ 2x – 6 = 3x – 15
⇒ x=9
5 – 2=
5
13. Üç basamaklı 82A sayısının 9 ile bölümünden elde edilen kalan 7 ve
üç basamaklı 3AB sayısının 9 ile bölümünden elde edilen kalan 2 dir.
Buna göre, üç basamaklı BAA sayısının 9 ile bölümünden elde edilen kalan kaçtır?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
Çözüm 13
82A
⇒ 8 + 2 + A = 10 + A = 9k + 7
3AB = 36B
⇒ k = 1 için A = 6
⇒ 3 + 6 + B = 9 + B = 9k + 2
BAA = 266 ⇒ 2 + 6 + 6 = 14
⇒ k = 1 için B = 2
⇒ 9k + x = 14
⇒ k = 1 için x = 5 bulunur.
14. 5 e tam olarak bölünemeyen pozitif tamsayılar küçükten büyüğe doğru sıralanıyor.
Bu sıralamadaki 100. sayı aşağıdakilerden hangisidir ?
A) 120
B) 124
C) 130
D) 134
E) 140
Çözüm 14
I. Yol
1,2,3,4,5
6 , 7 , 8 , 9 , 10
11 , 12 , 13 , 14 , 15
..........
..........
116 , 117 , 118 , 119 , 120
121 , 122 , 123 , 124 ,
5 e tam olarak bölünemeyenler,
4 erli grup,
100
= 25 tane
4
5 e de bölünebilen sayılar,
5.24 = 120
ve geriye kalan 4 erli grubun son elemanları 4 tane
olduğuna göre,
⇒
100. sayı = 24.5 + 4 = 124
II. Yol
Đlk 100 sayı içinde bulunan 5 in katları =
100
= 20 tane
5
100 – 20 = 80 tane sayı 5 e tam bölünemez.
100 – 80 = 20 tane daha 5 e tam bölünemeyen sayı olmalıdır.
20 sayı içinde bulunan 5 in katları =
20
=4
5
20 – 4 = 16 sayı 5 e tam bölünmez.
100 + 20 = 120 sayı içerisinde , 80 + 16 = 96 tane sayı 5 e tam bölünmez.
4 erli gruplar halinde olduğundan, 96 + 4 = 100 üncü sayı = 100 + 20 + 4 = 124
100. sayı = 100 + 20 + 4 = 124 elde edilir.
15. A = {1 , 2 , 3 , 4} kümesinin elemanlarıyla, en az iki basamağındaki rakamı aynı olan
üç basamaklı kaç sayı yazılabilir ?
A) 52
B) 40
C) 38
D) 30
E) 24
Çözüm 15
A = {1 , 2 , 3 , 4} kümesinin elemanlarıyla, üç basamaklı 4.4.4 = 64 tane sayı yazılabilir.
Tüm basamakları farklı olan üç basamaklı 4.3.2 = 24 tane sayı yazılabilir.
O halde, en az iki basamağındaki rakamı aynı olan üç basamaklı 64 – 24 = 40 tane sayı
yazılabilir.
16. Aynı evde oturan bir grup arkadaş ev kirasını eşit olarak paylaşıyor.
Eve yeni bir arkadaş gelince kira için kişi başına düşen para % 20 azaldığına göre,
yeni arkadaşın gelmesiyle evde oturan kişi sayısı kaç olmuştur ?
A) 3
B) 5
C) 6
D) 8
E) 9
Çözüm 16
Ev kirası = k olsun.
Evde oturan sayısı = x olsun.
⇒ Kişi başına düşen kira =
k
olur.
x
Evde oturan sayısı = x + 1 olduğunda,
Kişi başına düşen kira =
k = (x + 1).
80 k
.
100 x
k
k
k
– %20. = %80.
x
x
x
⇒ 100.x = 80.(x + 1) ⇒ 5x = 4x + 4
⇒ x=4
yeni arkadaşın gelmesiyle evde oturan kişi sayısı = x + 1 = 4 + 1 = 5
17. Ahmet parasının
2
ü ile 3 gömlek ve 2 kravat, kalan parasıyla da 1 gömlek ve 3 kravat
3
alabiliyor.
Buna göre, bir gömleğin fiyatı bir kravatın fiyatının kaç katıdır ?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Çözüm 17
Ahmet’in, 3x parası olsun.
3x.
2
= 2x = 3g + 2k
3
x = 1g + 3k iki denklem arasındaki çözümden
(ikinci denklemi 2 ile çarpıp birinci denklemden çıkardığımız zaman)
2x – 2x = 3g + 2k – (2g + 6k) ⇒
g – 4k = 0
⇒
g = 4k
18. Bir araç, iki kent arasındaki yolu saatte ortalama 60 km hızla gidip, hiç mola vermeden
saatte ortalama 80 km hızla dönerek yolculuğu 7 saatte tamamlıyor.
Bu iki kent arasındaki uzaklık kaç km dir?
A) 240
B) 280
C) 300
D) 320
E) 360
Çözüm 18
Yol = x olsun ve t1 + t2 = 7
⇒
⇒
⇒ t2 = 7 – t1
x = 60.t1
60.t1 = 80.t2
x = 80.t2 = 80.(7 – t1)
60.t1 = 80.(7 – t1) ⇒ 3t1 = 4(7 – t1) ⇒ 7t1 = 28
⇒ t1 = 4 ve t2 = 7 – 4 = 3 bulunur.
iki kent arasındaki uzaklık, x = 60.4 = 240 olur.
19. Bir mağazada pantolon p, kazak k, tişört t YTL den satılmaktadır. Aşağıdaki tabloda
Defne, Engin ve Mutlu’nun bu mağazadan aldıkları pantolon, kazak, tişört sayıları
gösterilmiştir.
Aldığı Giysi Sayısı
Pantolon
Kazak
Tişört
Defne
2
1
1
Engin
1
1
2
Mutlu
1
2
1
Aldıkları giysiler için en az parayı Engin, en çok parayı Mutlu ödediğine göre, aşağıdaki
sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) p < t < k
B) k < t < p
C) k < p < t
D) t < p < k
Çözüm 19
en az parayı Engin = 1.p + 1.k + 2.t = 1.p + 1.k + 1.t + 1.t
Defne = 2.p + 1.k + 1.t = 1.p + 1.k + 1.t + 1.p
en çok parayı Mutlu = 1.p + 2.k + 1.t = 1.p + 1.k + 1.t + 1.k
en az parayı Engin verdiğine göre tişört en ucuzudur.
en fazla parayı Mutlu verdiğine göre kazak en pahalı olandır.
O halde, tişört < pantolon < kazak
⇒
t<p<k
E) t < k < p
20. Aşağıdaki şekil, eş tuğlaların yatay ve dikey döşenmesiyle oluşturulan bahçe duvarının bir
bölümünü göstermektedir.
Tuğlaların ayrıtlarının uzunlukları cm cinsinden birer tamsayı olduğuna göre, duvarın h ile
gösterilen yüksekliği kaç cm olabilir ?
A) 90
B) 100
C) 120
D) 140
E) 150
Çözüm 20
Küçük dikdörtgenlerden birinin enine a, boyuna ise b dersek, şekilde de görüleceği üzere;
4b = 3a + 2b ⇒ 3a = 2b ⇒
Bu durumda;
a 2
= eşitliği ortaya çıkar.
b 3
a 2
⇒ a = 2k ve b = 3k ,k∈Z +
=
b 3
h = 4b = 4.3k = 12k olur, yani 12 nin katı bir tamsayıdır. (12.10 = 120)
21.
Birim karelere bölünmüş bir kâğıt üzerinde A , B , C , D , E , K , L noktaları şekildeki gibi
işaretlenmiştir. Bu kareli kâğıda A , B , C , D , E noktalarından biri orijin olacak biçimde bir
dik koordinat sistemi yerleştiriliyor.
K ve L noktalarının orijine uzaklıkları eşit olduğuna göre, orijin aşağıdakilerden hangisidir?
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
Çözüm 21
KP= 4 br , PC= 3 br ve pisagordan
CK= 5 br olur.
Ayrıca CL= 5 br dir.
Bu durumda orijin C noktasıdır.
22. A (− 3 , 4) noktasının y = − x doğrusuna göre simetriği B ve B nin Ox eksenine göre
simetriği C ise BC uzunluğu kaç birimdir ?
A)
9
2
B)
7
2
C) 8
D) 6
E) 5
Çözüm 22
A (− 3 , 4) noktasının y = − x doğrusuna göre simetriği B (− 4 , 3) olur.
B (− 4 , 3) noktasının Ox eksenine göre simetriği C (− 4 , − 3) olur.
BC= 3 + 3 = 6
Veya
B (− 4 , 3) ve C (− 4 , − 3)
(iki nokta arasındaki uzaklıktan)
BC=
(−4 − (−4))² + (3 − (−3))²
BC= 6
Not : Đki nokta arasındaki uzaklık
A( x1 , y1 ) ve B( x2 , y 2 ) ⇒
AB =
( x 2 − x1 )² + ( y 2 − y1 )²
Not : Ox eksenine ve y = − x doğrusuna göre simetri
A(x , y) noktasının x eksenine göre simetriği B(x , − y)
A(x , y) noktasının y = − x doğrusuna göre simetriği C(− y , − x)
23.
⇒
⇒
Bir kenar uzunluğu 16 cm olan kare şeklindeki kartonun köşelerinden bir kenar uzunluğu 3
cm olan birer kare kesilerek çıkartılıyor ve kalan karton parçası kıvrılarak şekildeki gibi üstü
açık bir kutu yapılıyor.
Bu kutunun hacmi kaç cm³ tür?
A) 200
B) 240
C) 250
D) 300
E) 360
Çözüm 23
Katlama sonucu
tabanı kenar uzunluğu 10 cm olan bir kare,
yüksekliği ise 3 cm
olan üstü açık bir kutu elde edilir.
Bu kutunun hacmi; v = taban alanı * yükseklik
v = 10.10 * 3 = 300 cm³ olur.
24.
AB // DC
DE // CF
m(BAE) 110
m(AED) 30
m(DCF) x
Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir?
A) 40
B) 50
C) 60
D) 70
E) 80
Çözüm 24
[DE sol tarafa doğru uzatalım.
[AB] yi K noktasında kessin.
Bu durumda;
s(K) = 180 − (110 + 30) = 40 derece olur.
K açısı ile C açısı yöndeş olduğundan,
x = 40 bulunur.
25.
ABC bir üçgen
BC ⊥ AD
BE = EF = FD
CD= x
Şekildeki taralı bölgelerin alanları toplamı 12 cm² ve BC= 8 cm olduğuna göre,
x kaç cm dir?
A)
2
B)
3
C) 2
D) 3
E) 4
Çözüm 25
Şekilde [EK] uzunluğu çizilirse;
(BEK) ≅ (FEK) ≅ (FDC) eşlikleri oluşur.
(FEK) ≅ (FDC)
⇒
FK = FC
BEF ikizkenar üçgen ve ikizkenar üçgende
yükseklik aynı zamanda kenarortay olduğuna göre,
BK = KF
BC = BK + KF + FC = 8
⇒
BK = KF = FC =
Taralı alan 12 olduğuna göre, her bir üçgenin alanı
8
8. x
Bu durumda, alan (DCF) = 3 =
=4
2
6
12
= 4 olur.
3
x.
⇒ x = 3 olur.
8
3
26.
Şekildeki ABCD karesinin [AB] kenarı 3 eş parçaya, [CD] kenarı da 6 eş parçaya
bölünmüştür.
[GE] ve [HF] doğru parçaları yardımıyla oluşturulan KEF üçgeninin alanı 4 cm² olduğuna
göre, AB uzunluğu kaç cm dir?
A) 12
B) 9
C) 8
D) 6
E) 3
Çözüm 26
ABCD karesinin bir kenarı = 6a olsun.
KHG üçgeninin yüksekliği = h1 ve
KFE üçgeninin yüksekliği = h2 olsun.
h1 + h2 = 6a
KHG ≈ KFE (açı-açı benzerlik özelliğinden)
KH
KF
h1 + h2 = 6a
⇒ h1 + 2h1 = 6a
KEF üçgeninin alanı =
1
.2a.h2 = 4
2
⇒
=
KG
KE
HG
EF
⇒
h
a
= 1
2a h2
⇒
h1 1
=
h2 2
h1 = 2a ve h2 = 4a
⇒ a.4a = 4
ABCD karesinin bir kenarı = AB= 6a
=
⇒ a=1
⇒ 6.1 = 6
Not : Benzer iki üçgende, karşılıklı yüksekliklerin uzunlukları oranı benzerlik oranına eşittir.
27.
m(BDC) = 30
m(ABD) = 45
m(DEC) = x
Yukarıdaki verilere göre, x kaç derecedir?
A) 95
B) 100
C) 105
D) 110
E) 115
Çözüm 27
m(ABD) = 45
⇒ AD yayı = 90
AD yayı = 90
⇒ m(DCA) = 45
DEC üçgeninde,
30 + 45 + x = 180
⇒
Not : Çevre açı (Çember açı)
Köşesi çember üzerinde olan açıya çevre açı denir.
Çevre açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
x = m(ACB) =
m( AB)
2
Not : Aynı yayı gören çevre açılar birbirine eşittir.
x = 105
28.
Dikey kesiti çember biçiminde olan bir iş makinesi lastiği; derinliği 40 cm, boyu 120 cm,
dikey kesiti dikdörtgen biçiminde olacak şekilde oyulmuş bir altlığa şekildeki gibi tam
oturtularak sergilenmektedir.
Buna göre, lastiğin dikey kesitinin yarıçapı kaç cm dir?
A) 75
B) 72,5
C) 70
D) 67,5
E) 65
Çözüm 28
A daire kesitinin merkezi olduğu için,
AB=AC
⇒ ABC üçgeni, ikizkenar bir üçgendir.
AB=AC=AD= r
⇒ ED = 40
⇒
AE= r – 40
Đkizkenar üçgende yükseklik aynı zamanda kenarortay olduğuna göre, BE=EC= 60
ABE üçgeninde pisagor uygulanırsa, ⇒
r2 = (r – 40)2 + 602
⇒ r = 65
29.
BC ⊥ OC
AO ⊥ OC
m(AOB) = x
Şekildeki O 1 merkezli yarım çember, O merkezli çeyrek çembere A noktasında,
[BC] doğru parçasına da T noktasında teğettir.
Buna göre, x kaç derecedir?
A) 15
B) 20
C) 30
D) 45
E) 60
Çözüm 29
O merkezli çeyrek çemberin yarıçapı = 2a olsun.
O 1 merkezli yarım çemberin yarıçapı = a olur.
OA=OB= 2a
[BC] doğru parçası da T noktasında teğet olduğundan,
O1T ⊥ BC ⇒
O1T = OC= a =BH
OHB üçgeninde BH, OB ‘nin yarısı olduğuna göre , x = 30° bulunur.
Not : Dik üçgen özellikleri
Bir dar açının ölçüsü 30° olan dik üçgende,
30° karşısındaki kenarın uzunluğu hipotenüsün yarısına ,
60° karşısındaki kenar uzunluğu hipotenüsün
3
katına eşittir.
2
30.
Şekilde verilen 8 cm uzunluğundaki DE ipi, gergin durumda
tutularak, çevre uzunluğu 8 cm olan ABCD karesi biçimindeki
çerçevenin etrafına saat yönünde döndürülerek sarılıyor.
Đpin E ucu karenin D köşesine geldiğinde ipin taradığı alan kaç
cm² olur?
A) 20π
B) 22π
C) 24π
D) 28π
E) 30π
Çözüm 30
Đpin kare etrafında çevrilmesi sonucunda
ABCD karesinin çevresi = 8 cm ise
AB=BC=CD=DA= 2 olur.
şekildeki yarıçapları 8 , 6 , 4 ve 2 cm olan
sırasıyla D , C , B ve A merkezli çeyrek
çemberler oluşur.
Bu çeyrek çemberlerin alanları toplamı ipin
taradığı alan olacaktır.
Bu durumda;
π .8 2
4
+
π .6 2
4
= 30π
Adnan ÇAPRAZ
[email protected]
AMASYA
+
π .4 2
4
+
π .2 2
4