mza: 1104024182006.1 GEOMETR K TOPOLOJ ARASINAV CEVAP

13.04.2015
No:
Ad-Soyad:
Soru
Puanlama
mza:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Toplam
25
25
25
25
25
25
100
Alnan Puan
1104024182006.1 GEOMETRK TOPOLOJ ARASINAV CEVAP ANAHTARI
(.Ö.)
90
Not: Süre
1.
V
Dakika. stedi§iniz
bir vektör uzay olmak üzere
a, b ∈ R, f ∈ Ak (V )
4
soruyu cevaplaynz.
ve
g ∈ A` (V )
için
af ∧ bg = (a.b)f ∧ g
oldu§unu gösteriniz.
Cevap :
1
A(af ⊗ bg)
k!`!
1 X
(sgnσ)af (vσ(1) , ..., vσ(k) )bg(vσ(k+1) , ..., vσ(k+`) )
=
k!`!
af ∧ bg =
σ∈Sk+l
=
1 X
(a.b)(sgnσ)f (vσ(1) , ..., vσ(k) )g(vσ(k+1) , ..., vσ(k+`) )
k!`!
σ∈Sk+l
=
(a.b) X
(sgnσ)f (vσ(1) , ..., vσ(k) )g(vσ(k+1) , ..., vσ(k+`) )
k!`!
σ∈Sk+l
= (a.b)
1
A(f ⊗ g)
k!`!
= (a.b)f ∧ g.
2.
ω = (x + z)dx + (y − z)dy
durumda
ω(X)
ve
dω
1-form ve
∂
∂
∂
X = x ∂x
+ z ∂y
+ y ∂z
R3
de bir vektör alan olsun. Bu
y hesaplaynz.
Cevap :
∂
∂
∂
+z
+y )
∂x
∂y
∂z
∂
∂
∂
+ (y − z)dy(x
+z
+y )
∂x
∂y
∂z
ω(X) = (x + z)dx(x
= x(x + z) + z(y − z)
elde edilir.
ω = P dx + Q dy + R dz 1-formu
için
dω = (Qx − Py )dx ∧ dy + (Rx − Pz )dx ∧ dz + (Ry − Qz )dy ∧ dz.
P = x + z, Q = y − z
R=0
ve
alnrsa
dω = −dx ∧ dz + dy ∧ dz
elde edilir.
3.
M = {(x, y, z) ∈ R3 : xy + yz + xz = 3}
Cevap :
f (x, y, z) = xy + yz + xz
kümesinin düzgün manifold oldu§unu gösteriniz.
ile tanml
f : R3 → R
dönü³ümünü dü³ünelim.
3
ün
f
dönü³ümü için regüler de§er oldu§unu göstermemiz gerekiyor.
f
dönü³ümünün Jakobien matrisi
[y + z x + z y + x]
³eklindedir. Bu matrisin ranknn
1
den küçük olmas için
y+z =x+z =y+x=0
olmas gerekir ki bu durum ancak
x=y=z=0
durumunda
gerçeklenir.
f (0, 0, 0) = 0
4.
oldu§undan
f : M → N
ve
Böylece
3
bir
tek
(0, 0, 0)
regüler de§erdir ve
g : N → K
noktas
f −1 (3) = M
∀p ∈ M
için
f∗,p : Tp (M ) → Tf (p) (N )
ve
∀s ∈ N
dönü³ümünün
kritik
noktasdr.
düzgün manifolddur.
immersion (batrma) dönü³ümleri olsun. Bu durumda
bile³kesinin de immersion oldu§unu gösteriniz.
Cevap : Hipotezden,
f
için
g∗,s : Ts (N ) → Tg(s) (K)
g◦f
dönü³ümlerinin injektif oldu§unu biliyoruz.
(g ◦ f )∗,p = d(g ◦ f )p = dgf (x) ◦ dfx = g∗,f (p) ◦ f∗,p
oldu§undan
g∗,f (p) ◦ f∗,p : Tp (M ) → Tg(p) (K)
g◦f
dönü³ümü de injektif dönü³ümlerin bile³kesi oldu§undan injektiftir. O halde
dönü³ümü
immersion dönü³ümdür.
−
5.
∼, S
üzerinde bir denklik ba§nts olsun.
p ∈ S
f ([p]) = f (p)
için
³eklinde tanmlanan
−
f : S/ ∼−→ Y
dönü³ümünün sürekli olmas için gerek ve yeter ³art
f : S −→ Y
dönü³ümünün
sürekli olmasdr. spatlaynz.
Cevap :
(⇐) f
(⇒) f
sürekli olsun.
sürekli olsun.
V ⊂Y
f =f ◦π
ve
açk olsun.
π
bölüm dönü³ümü oldu§undan
6.
b−1 a−1 c−1 c−1 ba
ile
f
−1
f
f −1 (V ), S
f −1 (V ) = π −1 ◦ f
π
ile
(V )
−1
sürekli oldu§undan
süreklidir.
de açktr.
(V ) = π −1 (f
açktr. O halde
x−1 x−1 y −1 y −1 z −1 z −1
f
−1
f
(V ))
süreklidir.
ayn yüzeyin cebirsel gösterimidir. Gösteriniz. Bu
yüzeyin Euler karakteristi§ini hesaplaynz.
Cevap :
b−1 a−1 c−1 c−1 ba ∼silindir b−1 c−1 a−1 c−1 ba
∼mobius b−1 c−1 c−1 aba ∼mobius b−1 c−1 c−1 aab−1
∼cember b−1 b−1 c−1 c−1 aa ≈ 3RP 2
elde edilir.
x−1 x−1 y −1 y −1 z −1 z −1 ≈ 3RP 2
n∈N
oldu§undan bu iki cebirsel ifade ayn yüzeyi temsil etmektedir.
olmak üzere
χ(nRP 2 ) = 2 − n
formülünden yüzeyin Euler karakteristi§i
χ(3RP 2 ) = −1.
Ba³arlar Dilerim.
Prof. Dr. smet KARACA