denklem çözme - Google Groups

DENKLEM ÇÖZME
A. Eşitliğin Özellikleri
Çünkü, 3x  5  17 denkleminde bilinmeyen x ve x in üssü
1 olduğu için, birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemdir.
1.
a  b ise a  c  b  c dir.
2.
a  b ise a  c  b  c dir.
3.
a  b ise a  c  b  c dir.
4.
a  b ise
5.
a  b ve b  c ise a  c dir.
6.
n
n
a  b ise a  b dir.
7.
a  b ise n a  n b dir.
Örnek:
2x  3y  22 , birinci dereceden iki bilkinmeyenli
denklemdir.
Çünkü, 2x  3y  22 denkleminde bilinmeyen x ve y dir.
x ve y nin üssü 1 olduğu için, birinci dereceden iki
bilinmeyenli denklemdir.
a b
 , ( c  0 ) dir.
c c
Örnek:
4
x  6  10 , dördüncü dereceden bir bilinmeyenli
denklemdir.
4
Çünkü, x  6  10 denkleminde bilinmeyen x ve x in üssü
4 olduğu için, dördüncü dereceden bir bilinmeyenli
denklemdir.
Örnek:

3  3 ise 3  2  3  2  5  5 tir.

3  3 ise 3  2  3  2  1  1 dir.

3  3 ise 3.2  3.2  6  6 dır.

3  3 ise 3 : 2  3 : 2 
C. Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler
a ve b birer reel sayı ve a  0 olmak üzere, a.x  b  0
biçimindeki eşitliklere birinci dereceden bir bilinmeyenli
denklem denir.
3 3
 dir.
2 2
Denklemi sağlayan x reel sayısına denklemin kökü,
denklemin köklerinden oluşan kümeye de denklemin çözüm
kümesi denir.
Örnek:

2
2
8  8 ise 8  8  64  64 tür.

8  8 ise 3 8  3 8  2  2 dir.
Örnek:
2
( a  3) x  (b  2) x  3  0
B. Denklem
denklemi birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem ise a ve
b nin durumunu araştıralım.
İçinde bilinmeyen bulunan ve bilinmeyenin bazı değerleri
için doğruluğu sağlanabilen eşitliklere denklem denir.
Çözüm:
Denklemler, içinde bulunan bilinmeyenin sayısına ve
bilinmeyenin üssüne ( kuvvetine ) göre adlandırılır.
2
( a  3) x  (b  2) x  3  0
denklemi birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem
2
olduğuna göre, x li terim olmamalı ve x in katsayısı
sıfırdan farklı olmalıdır.
Örnek:
3x  5  17 , birinci derecen bir bilinmeyenli denklemdir.
1
Öyleyse,
Örnek:
a  3  0  a  3 ve b  2  0  b  2 olmalıdır.
3.( x  1)  4  20  4 x denkleminin çözüm kümesini
bulalım.
1.
a.x  b  0 Denkleminin Çözüm Kümesini Bulma
Çözüm:
Eşitliğin özellikleri kullanılarak denklemin çözüm kümesi
bulunur.
3.( x  1)  4  20  4 x ise, 3x  3  4  20  4x
 3x  1  20  4 x
a.x  b  0 denkleminin çözümünde 3 durum vardır.
 3x  1  4x  20  4 x  4x
1.Durum
 7x  1  20
a.x  b  0 denkleminde a  0 ise, x  
b
dır.
a
 7x  1  1  20  1
 7x  21
b
Ç  {  } olup, çözüm kümesi bir elemanlıdır.
a

2.Durum
7 x 21

7
7
x3
a.x  b  0 denkleminde a  0 ve b  0 ise, Ç  R dir.
Buna göre, denklemin kökü 3,
Çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.
Denklemin çözüm kümesi Ç  { 3} tür.
3.Durum
Örnek:
a.x  b  0 denkleminde a  0 ve b  0 ise, Ç   dir.
6x  2  2.( x  3)  4.( x  1) denkleminin çözüm
kümesini bulalım.
Çözüm kümesinin hiçbir elemanı yoktur.
Çözüm:
Örnek:
6x  2  2.( x  3)  4.( x  1)
2.x  7  15 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
6x  2  2x  6  4 x  4
Çözüm:
6x  2  6x  2
2.x  7  15 ise 2.x  7  7  15  7
00
 2.x  8

Bu eşitlik 0.x  0  0 biçiminde düşünülebilir.
2.x 8

2
2
Öyleyse, a  0 ve b  0 dır. (2.Durum)
Buna göre, Ç  R dir.
 x  4 tür.
Buna göre, denklemin çözüm kümesi, Ç  { 4} tür.
2
Örnek:
Çözüm:
3.( x  2)  5  x  2.( x  5) denkleminin çözüm kümesini
bulalım.
mx
x 1
m
1
1
3
2 x3  x 2
2
3
2
3
3
Çözüm:

3.( x  2)  5  x  2.( x  5)
m
1
5
x x  3
2
3
3
 m  1 .x   4

3
 2 3
3.x  6  5  x  2x  10

3.x  1  3x  10
 m  1 .x  4  0

 2 3 3

1  10
11  0
Bu denklemin çözüm kümesinin boş küme olması için,
Bu eşitlik 0.x  11  0 biçiminde düşünülebilir.
m
2
Öyleyse, a  0 ve b  0 dır. (3.Durum)
Buna göre, Ç   dir.

1
3
0
m 1
2
  m  olmalıdır.
2 3
3
Örnek:
x x 1 1

 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
3
4
2
Örnek:
(a  1).x  b  3  0
Çözüm:
denklemi bütün reel sayılar için sağlandığına göre, a  b
değerini bulalım.
x
x 1
1
4 x  3.( x  1) 6




3
4
2
12
12
( 6)
( 4 ) ( 3)
Çözüm:
(a  1).x  b  3  0 denkleminin çözüm kümesi reel
sayılar kümesi olduğuna göre,
 4 x  3.( x  1)  6
 4 x  3x  3  6
a  1  0 ve b  3  0 olmalıdır.
 x  63  9
a  1  0  a  1 dir.
Buna göre, denklemin kökü 9,
b  3  0  b  3 tür.
Denklemin çözüm kümesi Ç  { 9} dur.
Buna göre, a  b  1  3  2 dir.
Örnek:
Örnek:
mx
x 1
3
 2 denkleminin çözüm kümesi boş küme
2
3
olduğuna göre, m değerini bulalım.
2
3
5
4
1
a 1
 3 denkleminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
2
Örnek:
5
4
1
a 1
3
5
4
1
a 1


4
a 1
4
a 1
 1  1
4
a 1
5
x
0, 2  x
0, 3

1
olduğuna göre, x i bulalım.
9
Çözüm:
 4  a  1  1
x
 4  a  1  1
0, 2  x
0, 3
 a  2 olur.
2
x
1
1
  x 9

9
3
9
9
x
Örnek:
1 1 1
  olduğuna göre, x in eşitini bulalım.
m x n

3x  2  9x 1

3
9

 6x  2 1

3
9
Çözüm:
1 1 1
1
1
1
1 nm
   

 
m x n
x m
n
x
m.n
(n) (m)
x

m.n
olur.
nm
2  9x 1

3
9

 6x  2 1

3
9
( 3)
 18x  6 1

9
9
 18x  6  1
Örnek:
x
xm
olduğuna göre, x in eşitini bulalım.
xm 
n
D. Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklemler
Çözüm:
xm 
5
18
xm
 n.( x  m)  x  m
n
a , b ve c birer reel sayı ve a  0 , b  0 olmak üzere,
a.x  by  c  0 biçimindeki eşitliklere birinci dereceden iki
bilinmeyenli denklem denir.
 nx  nm  x  m
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem analitik düzlemde
bir doğru belirtir.
 nx  x  nm  m
 x.( n  1)  m.( n  1)
x
Örnek:
m.( n  1)
 m olur.
n 1
3 x  2y  5  0
denklemi birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemdir.
4
Örnek:
Örnek:
m  7n  9
(a  2) x  (b  3)y  0 denklemi her ( x, y ) reel sayı
ikilileri için sağlanıyorsa, a  b toplamını bulalım.
denklemi birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemdir.
Çözüm:
Bu denklem m ve n değişkenlerine bağlıdır.
(a  2) x  (b  3)y  0 denklemi her ( x, y ) reel sayı
ikilileri için sağlanıyorsa,
Örnek:
a  2  0 ve b  3  0 eşitlikleri vardır.
a3 b

2
5
Buna göre,
denklemi birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemdir.
a  2  0  a  2 dir.
Bu denklem a ve b değişkenlerine bağlıdır.
b  3  0  b  3 tür.
Bu durumda,
Örnek:
a  b  2  3  1 olur.
y  2x  4
denklemi birinci dereceden iki bilinmeyenli denklemdir.
E.
Bu denklem x ve y değişkenlerine bağlıdır.
Bu denklemde;
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem
Sistemleri
a.x  by  c  0
x  0 için y  2.0  4  4
d.x  e.y  f  0
x  2 için y  2.2  4  8
biçiminde, birden fazla iki bilinmeyenli denklemden oluşan
sisteme, iki bilinmeyenli denklem sistemi denir.
x  5 için y  2.5  4  14 değerlerini alır.
Bu iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözümünde, birinci
dereceden bir bilinmeyenli denklem çözümünde olduğu gibi
3 durum vardır.
Görüldüğü gibi, y  2x  4 denklemini sağlayan ( x, y )
ikililerinden bazıları; ( 0,4) , ( 2,8) , ( 5,14) tür.
a.x  by  c  0
y  2x  4 denklemini sağlayan ikililerin sayısı
sayılamayacak kadar çoktur.
d.x  e.y  f  0
Bu denklemin çözüm kümesi;
sisteminin çözümündeki 3 durumu inceleyelim.
Ç  {(x,y) I y  2x  4 ; x, y  R} dir
1.Durum
Diğer bir ifade ile Ç  {(x,2x  4) I x  R} dir.
a b
 ise çözüm kümesi bir tek ikiliden oluşur.
d e
Uyarı
( Yani, doğrular bir tek noktada kesişir. )
a.x  by  c  0 denklemi bütün ( x, y ) reel sayı ikilileri
için sağlanıyorsa a  b  c  0 dır.
5
Örnek:
a 2
4
olur.
 
b a a2
(m  1).x  n.y  2  0
Buna göre,
2.x  3.y  4  0
2
4
ise 2.( a  2)  4a  2a  4  4a

a a2
denklem sisteminin çözüm kümesi bir tek ikiliden oluştuğuna
göre, m ile n arasındaki bağıntıyı bulalım.
Çözüm:
 2a  4
(m  1).x  n.y  2  0
 a  2 dir.
a 2
2
2
2
 ise

   1  b  2 dir.
b a
b
2
b
2.x  3.y  4  0
denklem sisteminin çözüm kümesi bir tek ikiliden oluşuyorsa
O halde (a, b)  ( 2,2) dir.
m1 n
 tür. Buna göre,
2
3
3.Durum
m1 n
  3.( m  1)  2.n  3m  3  2n dir.
2
3
a b c
  ise çözüm kümesi boş kümedir.
d e f
2.Durum
( Yani, doğrular paraleldir. )
a b c
  ise çözüm kümesi sonsuz ikiliden oluşur.
d e f
Örnek:
(5c  1).x  3.y  4  0
( Yani, doğrular çakışıktır. )
(c  1).x  y  7  0
Örnek:
denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre,
c değerini bulalım.
a.x  2.y  4  0
Çözüm:
b.x  a.y  a  2  0
(5c  1).x  3.y  4  0
denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz ikiliden
oluştuğuna göre, ( a, b) ikilisini bulalım.
(c  1).x  y  7  0
Çözüm:
denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre,
a.x  2.y  4  0
5c  1 3  4
dir.
 
c 1
1
7
b.x  a.y  a  2  0
Buna göre,
denklem sisteminin çözüm kümesi sonsuz ikiliden
oluştuğuna göre,
5c  1
 3 ise 5c  1  3c  3  2c  4  c  2 dir.
c 1
6
F.
Birinci Dereceden İki Bilinmeyenli Denklem
Sistemlerinin Çözüm Kümesini Bulma
Çözüm:
Birinci satırda verilen denklem 4 ile genişletilir, sonra taraf
tarafa toplanır.
Birinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözüm
kümesinin bulunmasına dair pek çok yöntem vardır. Biz
burada, sırasıyla en çok kullanılan üçü üzerinde duracağız.
1.
Yok Etme Metodu
7x  14  35
Verilen denklemlerin kat sayıları; değişkenlerden birinin yok
edilmesini netice verecek biçimde düzenlendikten sonra
taraf tarafa toplama ya da çıkarma yapılarak sonuca gidilir.
x  2 dir.
x  2 değeri 1. denklemde yerine yazılarak y değeri
bulunur.
Örnek:
x  y  3 ise 2  y  3  y  1 dir.
2x  y  4
Buna göre, sistemin çözüm kümesi, Ç  {(2,1)} dir.
3x  y  11
denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
2.
Yerine Yazma Metodu
Çözüm:
Verilen denklemlerin birinden, değişkenlerden biri çekilip
diğer denklemde yerine yazılarak sonuca gidilir.
Verilen denklemler taraf tarafa toplanırsa,
Örnek:
4 x  3y  17
3x  y  3
5x  15
x  3 olur.
denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
Çözüm:
Bu değer, verilen denklemlerden en sade olanında yazılırsa
y değeri bulunur. Bu durumda,
2.x  y  4 ise 2.3  y  4  y  6  4  2 dir.
2. denklemden y çekilip 1. denklemde yazılarak sonuca
gidilir. Buna göre 2. denklemden,
Buna göre, sistemin çözüm kümesi, Ç  {(3,2)} dir.
3x  y  3 ise 3x  3  y  y  3x  3 olur.
Ayrıca ( 3,2 ) ikilisinin verilen her iki denklemi de sağladığını
görünüz.
Bu değer 1. denklemde y yerine yazılırsa,
4 x  3y  17 ise 4 x  3.( 3x  3)  17
4 x  9x  9  17
Örnek:
xy 3
13x  26
x  2 dir.
3x  4y  23
Bu değer y  3x  3 denkleminde yazılırsa,
denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
7
y  3x  3 ise y  3.2  3  6  3  3 olur.
Çözüm:
Buna göre, sistemin çözüm kümesi, Ç  {(2,3)} tür.
a  2b  3  0  a  2b  3
a  3b  7  0  a  3b  7
Örnek:
Denklemlerin sol tarafları eşit olduğu için sağ tarafları da eşit
olmalıdır.
x  4y  7
Buna göre,
5x  2y  31
 2b  3  3b  7 ise 7  3  3b  2b
denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
5b  10
Çözüm:
b  2 dir.
1. denklemden x çekilip 2. denklemde yazılarak sonuca
gidilir. Buna göre 1. denklemden,
Bu değer denklemlerin herhangi birinde yazılırsa,
x  4y  7 ise x  4y  7 olur.
a  3b  7 ise a  3.2  7  6  7  1 olur.
Bu durumda,
Buna göre, sistemin çözüm kümesi, Ç  {(1,2)} dir.
5x  2y  31 ise 5.( 4y  7)  2y  31
Örnek:
 20y  35  2y  31
x2
y 5
3
 22y  66
y  3 tür.
3x  y  2
Bu değer x  4y  7 denkleminde yerine yazılırsa,
denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
x  4y  7 ise x  4.( 3)  7  12  7  5 olur.
Çözüm:
x2
x2
y  5 y  5
3
3
Buna göre, sistemin çözüm kümesi, Ç  {(5,3)} tür.
3.
3x  y  2  y  3x  2
Karşılaştırma Metodu
Verilen denklemlerin her ikisinden de aynı değişkenler
çekilir. Denklemlerin diğer tarafları eşitlenerek sonuca gidilir.
Denklemlerin sol tarafları eşit olduğu için sağ tarafları da eşit
olmalıdır.
Buna göre,
Örnek:
a  2b  3  0
5
x2
x2
 3x  2  5  2  3x 
3
3
a  3b  7  0
7
denklem sisteminin çözüm kümesini bulalım.
8
10x  2
3
 21  10x  2
Örnek:
 19  10x
7x  y  5z  43
x
3x  3y  z  19
19
olur.
10
olduğuna göre x  y  z toplamının değerini bulalım.
Bu değer denklemlerin herhangi birinde yazılırsa,
y  3x  2 ise y  3.
Çözüm:
19
57
37
olur.
2 
2 
10
10
10
Buna göre, sistemin çözüm kümesi, Ç  {(
Denklemler taraf tarafa çıkarılarak sonuca gidilir.
19 37
, )} dur.
10 10
G. Özel Denklemler
4 x  4y  4z  24
Bu kısımda, daha önce ele aldığımız denklem tiplerinin
dışında kalan bazı denklem tiplerini ele alacağız.
4.( x  y  z)  24
x  y  z  6 olur.
Örnek:
Örnek:
ab  5
a  2b  12
bc 7
b  2c  10
ac 8
cd8
olduğuna göre a  b  c toplamının değerini bulalım.
Çözüm:
olduğuna göre a  3b  3c  d değerini bulalım.
Verilen denklemleri taraf tarafa toplarsak,
Çözüm:
İkinci denklem – 1 ile çarpıldıktan sonra her üç denklem
taraf tarafa toplanarak sonuca gidilir.
abbcac  578
2a  2b  2c  20
a  3b  3c  d  10 olur.
2.( a  b  c )  20
a  b  c  10
Örnek:
x , y , z doğal sayılar olmak üzere,
9
Birinci satırda verilen denklem ile üçüncü satırda verilen
denklemi taraf tarafa çarpalım.
x  2y  z  36
x  y  2z  28
a.b b.c
2

 1.3  b  3 tür.
c
a
olduğuna göre, x in en büyük değerini bulalım.
Çözüm:
2
2
Buna göre, a  b  2  3  5 olur.
x in en büyük değerini alabilmesi için, y ve z her iki eşitliği
de sağlayacak şekilde en küçük değerlerini almalıdır. Bunun
için y ile z arasında bir bağıntı bulmalıyız. İki denklemi taraf
tarafa çıkaralım. Buna göre,
y  z  8 olur.
y ve z doğal sayı olduğu için, x en büyük değerini
aldığında y ve z en küçük değerlerini alırlar.
Buna göre y  z  8 eşitliğinde z  0 alınırsa y  8
bulunur. Denklemlerden herhangi birinde bu değerler yerine
yazılırsa, x in en büyük değeri bulunur.
Bu durumda, x in alabileceği en büyük değer,
x  2y  z  36 ise x  2.8  0  36  x  20 olur.
Örnek:
a.b
1
c
a.c
2
b
b.c
3
a
2
2
olduğuna göre a  b nin sonucunu bulalım.
Örnek:
x
1
 12
y
y
1
4
x
olduğuna göre
x
nin değerini bulalım.
y
Çözüm:
Eşitlik özelliklerinden yararlanılarak çözüme gidilir.
x
xy  1
1
 12 
 12  xy  1  12y
y
y
y
xy  1
1
4
 4  xy  1  4 x
x
x
Sol taraflar eşit olduğundan sağ taraflar da eşit olmalıdır.
xy  1  12y ve xy  1  4 x ise,
12y  4 x 
x 12

 3 bulunur.
y
4
Örnek:
a , b , c birer reel sayıdır. Aşağıdaki tablolarda toplama
ve çarpma işlemleri verilmiştir.
Çözüm:
Birinci satırda verilen denklem ile ikinci satırda verilen
denklemi taraf tarafa çarpalım.
a.b b.c
2

 1.2  a  2 dir.
c b
Buna göre, c yi bulalım.
10
Çözüm:
Çözüm:
Tablolarda verilenlere göre,
xy
xy
24


xy
xy
5
(x  y) (x  y)
a  b  7 , a.c  17 , b.c  11 dir.
a.c  17 ve b.c  11 eşitliklerini taraf tarafa toplayalım.
a.c  b.c  17  11  (a  b).c  28  7.c  28

x 2  2 xy  y 2 x 2  2 xy  y 2 24


5
x2  y2
x2  y2
 c  4 olur.

Örnek:
x
2 20

y
3
9

sıralamasında birbirini izleyen sayılar arasındaki farklar
eşittir.
x 2  2 xy  y 2  x 2  2 xy  y 2
x2  y2
4 xy
20
 x.y 
Buna göre x  y toplamının sonucunu bulalım.
24
5
24.20
 6.4  24 bulunur.
5.4
x ve y birer reel sayıdır.
2 20

y
3
9
sıralamasında birbirini izleyen sayılar arasındaki farklar eşit
olduğuna göre,
x
24
5
Örnek:
Çözüm:
x


2
2
(2x  y  125)  ( x  3y  375)  0
olduğuna göre,
2 20

y
3
9
x
nin eşitini bulalım.
y
Çözüm:
2
20 2
20
olur.
x
 y
3
9 3
9
2
20
2
20
26
dur.
xy


yxxy 
3
9
3
9
9
( 3)
a ve b birer reel sayı olmak üzere,
2
2
a  0 ve b  0 olduğu için,
2
2
a  b  0 ise a  0 ve b  0 dır.
Buna göre,
Örnek:
2
2
(2x  y  125)  ( x  3y  375)  0 ise,
2
2
x  y  20
2x  y  125  0 ve x  3y  375  0 dır.
xy
xy

xy
xy

24
5
olduğuna göre, x.y çarpımının sonucunu bulalım.
2x  y  125  0  2x  y  125 tir.
x  3y  375  0  x  3y  375 tir.
11
Bu iki denklem birlikte düşünüldüğünde; birinci denklem – 3
ile çarpılıp ikinci denklem ile taraf tarafa toplanırsa,
Çözüm:
x  y  5z  72 olduğuna göre,
x  y  7z  x  y  5z  2z  2z  72 olur.
 5 x  6y  0
5 x  6y
x 6
 bulunur.
y 5
Buna göre, x  y  7z nin alabileceği en küçük değer z nin
en küçük seçilmesine bağlıdır.
z  1 seçilirse, x  y  7z nin alabileceği en küçük değer,
x  y  7z  2z  72  2.1  72  74 tür.
Örnek:
Örnek:
2a  3b  9
0,0a  0, b 
7
18
a  2c  0
b  c  12
olduğuna göre, iki basamaklı ab sayısını bulalım.
olduğuna göre, a, b ve c sayılarını sıralayalım.
Çözüm:
a
b
7
7
ise


0,0a  0, b 
90
9
18
18
(10)
Çözüm:
2a  3b  9 … ( 1 )
a  2c  0 … ( 2 )

a  10b
7

90
18
 a  10b  35 olur.
ba iki basamaklı sayısının çözümlenmiş hali olan 10  a
sayısı 35 e eşit olduğuna göre b  3 ve a  5 tir.
b  c  12 … ( 3 )
a  2c  0 ise a  2c olur. … ( 4 )
Bu değeri 2a  3b  9 denkleminde yerine yazarsak,
2a  3b  9  2.( 2c )  3b  9
Buna göre, ab iki basamaklı sayısı 53 tür.
Örnek:
 4c  3b  9 olur. … ( 5 )
( 3 ) numaralı denklemi 3 ile genişletip ( 5 ) numaralı
denklem ile taraf tarafa toplarsak,
x , y ve z birer pozitif tam sayı olmak üzere,
x  y  5z  72
olduğuna göre, x  y  7z nin alabileceği en küçük değeri
bulalım.
 c  45  c  45 olur.
Bu değer ( 4 ) denklemde yerine yazılırsa,
a  2c  2.( 45)  90 dır.
12
c  45 değeri ( 3 ) numaralı denklemde yerine yazılırsa,
b  c  12  b  45  12  b  57 dir.
Örnek:
3
x2
3
x 1
 252
a  90 , b  57 ve c  45 olduğuna göre,
olduğuna göre, x kaçtır?
c  b  a dır.
Çözüm:
3
Örnek:
x2
3
x 1
2 x
1 x
 252  3 .3  3 .3  252
1
1
1
2m  1
(1  ).(1  ).(1  ) 
2
2
4
2m
1
x
 3 .( 9  )  252
3
olduğuna göre, m yi bulalım.
x 28
3 .
 252
3
Çözüm:
x
x
 3  9.3  3  27
1
1
1
2m  1
(1  ).(1  ).(1  ) 
2
2
4
2m
1 3 5 2m  1
1.3.5
2m  1
 .



2 24
2.2.2.2
2m
2m

x
x
3
 3  27  3  3
 x  3 tür.
Örnek:
15 2 m  1
m
m

 16.2  16  15.2
16
m
2
2
m
 16  m  4 olur.
a 1
 4 olduğuna göre, a yı bulalım.
6a  3a 1
Çözüm:
6 a  x ise 3 a  x 2 ve
Örnek:
3
a  x tür.
Buna göre,
3
2
x  3x  3x  65
a 1
x3  1
 4 ise
4
6a  3a 1
x  x2  1
olduğuna göre, x değerini bulalım.
Çözüm:
Özdeşliklerden yararlanılarak sonuca gidilir.

3
2
3
2
x  3x  3x  65  x  3x  3x  65
( x  1).( x 2  x  1)
x2  x  1
4
 x  1  4  x  5 tir.
3
2
 x  3x  3x  1  65  1
6 a  x ise 6 a  5  a  5 6 bulunur.
3
3
 ( x  1)  4  x  5 tir.
13
Örnek:
Çözümlü Sorular
a  2 olmak üzere,
3
2a  b
3
1.
ab2
3
a2
 81  0
ifadesi birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem
olduğuna göre, x kaçtır?
olduğuna göre, a ile b arasındaki bağıntıyı bulalım.
Çözüm:
Çözüm:
3
2a  b
2
3
(a  2) x  x  (b  3) x  a  b
3
ab2
3
3
3
2a  b
aab
a2
3
3
Denklem birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem
olduğuna göre,
 81  0
ab2
ab2
3
3
a2
a2
a  2  0 ve b  3  0 dır.
 81
3
4
a ab
ab 2
a 2
2 2
3 .3
3
.3  3 .3  3 .3
3
ab a
2
2 a
2
.( 3  3 )  3 .( 3  3 ) …(I)
3
ab
a
2 a
.( 3  9)  3 .( 3  9)
Buna göre,
a  2  0 ise a  2 dir.
b  3  0 ise b  3 tür.
Bu değerler denklemde yerine yazılırsa;
2
3
( 2  2) x  x  (3  3) x  ( 2)  3
2
3
0.x  x  0.x  1
a
a
2
3  9  0 ise 3  3  a  2 dir.
0  x  0 1
a  2 olarak verildiği için ( I ) eşitliğinin her iki tarafında
a
bulunan 3  9 çarpanları sadeleştirilebilir. Bu durumda,
3
ab
a
2 a
.( 3  9)  3 .( 3  9)
3
ab
x  1 bulunur.
2.
2ax  3  4.( x  2)  5b
denkleminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna
göre, a  b kaçtır?
2
 3  a  b  2 dir.
Çözüm:
2ax  3  4.( x  2)  5b
2ax  3  4 x  8  5b
2ax  4x  3  8  5b  0
(2a  4).x  5.(1  b)  0 …( I )
( I ) denkleminin çözüm kümesi sonsuz elemanlı olduğuna
göre,
2a  4  0 ve 5.(1  b)  0 dır. Buna göre,
14
2a  4  0  a  2 dir.
5.
5.(1  b)  0  b  1 dir.
x  3 2x  1 3

 4
x
3
x
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Buna göre, a  b  2  1  3 tür.
Çözüm:
3.
2ax  3x  5  2bx  9x  2
x  3 2x  1 3
x 3 2x  1 3

  4 ise  
 4
x
3
x
x x
3
x
denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre,
a  b kaçtır?
 1
Çözüm:
2ax  3x  5  2bx  9x  2

2ax  3x  2bx  9x  5  2  0
2x  1
4
3
2x  1
3
3
 2x  1  9
(2a  2b  12).x  5  0 …( I )
 2x  8
denkleminin çözüm kümesinin boş küme olduğuna göre,
x4
2a  2b  12  0 olmalıdır.
2a  2b  12  0  2.( a  b)  12
6.
 a  b  6 dır.
2( x  1)  3( x  1)  4( x  2)
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
Çözüm:
4.
x  1 2x  1 x

 1
3
2
6
Parantezler açılıp eşitlik özellikleri kullanılarak sonuca gidilir.
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
2( x  1)  3( x  1)  4( x  2)
2x  2  3x  3  4 x  8
Çözüm:
2x  3x  4 x  8  2  3
2x  2 6x  3 x
x  1 2x  1 x

 1

  1 ise
3
2
6
6
6
6
( 3)
( 2)

 5x  3
2x  2  6x  3  x
1
6
x
 7x  1  6
 7x  7
7.
3
olur.
5
3
2
1


1
5  x x  3a 5  x
denkleminin köklerinden biri x  1 olduğuna göre a
kaçtır?
 x  1 olur.
15
Çözüm:
9.
mx  ny  5  0
Verilen denklemin kökü x  1 olduğuna göre, denklemde
x yerine – 1 yazıldığında eşitlik doğru olacaktır.
nx  my  10  0
Buna göre verilen eşitlikte x yerine – 1 yazılırsa,
denklem sistemi verilmiştir. Bu denklem sisteminin
çözüm kümesi:
3
2
1


1
5  x x  3a 5  x
Ç  {(x,y) : x  2 ve y  1} olduğuna göre, m  n
kaçtır?
3
2
1


1
5  ( 1)  1  3a 5  ( 1)
3
2
1
2
1 3

  1
 1 
6 3a  1 4
3a  1
4 6
Çözüm:
Denklem sistemini sağlayan değerler x  2 ve y  1
olduğuna göre, bu değerler denklem sisteminde uerine
yazıldığında eşitlik doğru olacaktır. Buna göre,
2m  n  5  0 ise 2m  n  5 … ( I )
2
1
1

 1 
3a  1
4
2
( 2)

2
3 2
 
3a  1 4 4

2
1
  3a  1  8
3a  1 4
 3a  9  a  3 olur.
3
8.
1
m  n  15 olur.
10. (3x  2y  11)m  (2x  y  16)n  0
Çözüm:
(3x  2y  11)m  (2x  y  16)n  0
eşitliği her m, n için doğru ise,
Çözüm:
1
( I ) ve ( II ) numaralı denklemler taraf tarafa toplanırsa,
eşitliği her m, n için doğru ise, y kaçtır?
x 1
4 3
2
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
3
2n  m  10  0 ise 2n  m  10 … ( II )
x 1
x 1
3
4  3 ise
4  2 dir.
2
2
 3

x 1
x 1
4
4
3x  2y  11  0 ve 2x  y  16  0 olur.
Buna göre,
3x  2y  11  0 ise 3x  2y  11 …( I )
 4 tür.
 1 dir.
2x  y  16  0 ise 2x  y  16 …( II )
( I numaralı 2 ile, ( II ) numaralı denklem – 3 ile genişletilip;
elde edilen denklemler taraf tarafa toplanırsa,
 x  1  4  x  5 tir.
16
13. a ile b birer doğal sayı olmak üzere,
2
2
a  b  43 olduğuna göre, a.b çarpımı kaçtır?
7y  70  y  10 olur.
11. x, y , z birbirinden farklı pozitif tam sayıdır.
4 x  2y  z  75
olduğuna göre, x in en büyük değeri kaçtır?
Çözüm:
2
2
a  b  43 ise (a  b).(a  b)  43 olur.
43 asal sayı olduğundan doğal sayı bölenleri 1 ile 43 tür. a
ile b birer doğal sayı olduğu için a  b sayısı a  b den
daha büyüktür. Buna göre,
Çözüm:
a  b  43 … ( I )
x, y , z sıfırdan büyük birer tam sayı olmak üzere,
a  b  1 … ( II )
4 x  2y  z  75 toplamında, x in en büyük değerini
alabilmesi için, y ile z nin en küçük değerini alması gerekir.
eşitlikleri yazılır. İki denklem taraf tarafa toplanırsa,
y  1 ve z  5 alınırsa, x in en büyük değeri,
2a  44  a  22 dir.
4 x  2y  z  75
a  22 değeri ( I ) denkleminde yazılırsa,
4 x  2  5  75
a  b  43 ise 22  b  43  b  21 olur.
4 x  68  x  17 olur.
12. 4 3a  12  2a  3b  7  0
olduğuna göre, b kaçtır?
Buna göre,
a.b  21.22  462 bulunur.
14. 3.2
Çözüm:
2x  1
4
x 1
2
2x  1
 46
olduğuna göre, x kaçtır?
4 3a  12  0 ve 2a  3b  7  0 olduğuna göre,
Çözüm:
4 3a  12  2a  3b  7  0 ise,
3.2
4 3a  12  0 ve 2a  3b  7  0 dır.
3.2
Buna göre,
2
4 3a  12  0 ise 3a  12  0  a  4 tür.
2
2x  1
2x  1
2
17
2
2x
.( 3.2  2
2x
.( 6 
2x

2a  3b  7  0 ise 2a  3b  7  0
 2.( 4)  3b  7  0  b  5 tir.
4
x 1
2
2x  2
2
2
2x  1
2
1
 46
2x  1
 46
)  46
1 1
2 x 23
 )  46  2 .
 46
4 2
4
46.4
3
2x
3
 8  2  2  x  dir.
23
2
15. a , b ve c birer reel sayıdır
ab 
3
5
9
, ac 
, bc 
17
19
23
olduğuna göre, a , b , c sayılarını sıralayınız.
Çözüm:
İki denklem taraf tarafa toplanarak sonuca gidilir.
Buna göre,
a.b  21 ve a.c  15 ise a.b  a.c  21  15
Çözüm:
 a.( b  c )  36 olur.
3
5
ise a  b  a  c  b  c olur.

17 19
a  3 olmak üzere, b  c nin en çok olması için a en
küçük seçilmelidir.
5
9
ise a  c  b  c  a  b olur.

19 23
Bu durumda,
a  4 ise 4.( b  c )  36  b  c  9 olur.
Bu durumda, a  b  c olur.
18. a  3b  1
16. a 
3
3
c
bc  3
2
2
2
olduğuna göre, a  c  10b kaçtır?
3
b 1
a
Çözüm:
olduğuna göre, a.b.c çarpımı kaçtır?
Çözüm:
a
a  3b  1 …( I )
b  c  3 … ( II )
3
 3 ise a.c  3  3.c olur. … ( I )
c
2
2
2
2
2
2
2
a  c  10b  a  c  b  9b
2
2
2
2
 (a  9b )  ( c  b )
3
 b  1 ise 3  a.b  a olur. … ( II )
a
( I ) denkleminde a yerine 3  a.b yazılırsa,
2
2
 (a  3b).(a  3b)  (c  b )
a.c  3  3.c
 1.( a  3b)  (c  b).(c  b)
(3  a.b).c  3  3.c  3c  a.b.c  3  3c
 a  3b  (c  b).( 3)
 a  3b  3c  3b
 a.b.c  3 olur.
17. a  3 olmak üzere a bir tam sayıdır.
 a  3c … ( III )
( II ) denklemi 3 ile genişletilip ( I ) denklemi ile toplanırsa,
a.b  21 ve a.c  15
olduğuna göre, b  c en çok kaçtır?
a  3c  10 olur.
18
2
2
2
Buna göre, a  c  10b  a  3c  10 bulunur.
21. p , pozitif bir tam sayıdır.
m  np  42
19. x  xy  8
n  mp  22
y  xy  4
olduğuna göre,
mnp 1
olduğuna göre, p kaçtır?
x  y işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
Çözüm:
m  np  42 …( I )
x  xy  8 …( I )
n  mp  22 … ( II )
y  xy  4 … ( II )
( I ) ve ( II ) denklemleri taraf tarafa toplanırsa,
m  n  p  1 ise m  n  p  1 olur. … ( III )
( I ) ve ( II ) denklemleri taraf tarafa toplanırsa,
x  xy  y  xy  8  4
m  np  n  mp  42  22
x  2 xy  y  12

x y
(m  n)  (m  n).p  64
2  12
(m  n).(p  1)  64 olur. …(IV)
x  y  12  2 3 olur.
(m  n).(p  1)  64
20. n bir doğal sayı olmak üzere,
x  22
y  22
( III ) numaralı denklemde ( m + n ) nin eşitini ( IV )
denkleminde yerine yazarsak,
(p  1).(p  1)  64
n1
2
2
(p  1)  8
n 1
p  1  8 veya p  1  8 dir.
olduğuna göre, y nin x türünden değerini bulunuz.
p  7 veya p  9 dur.
Çözüm:
x  22
n1
x2
ise x  2  2 .2  2 
olur.
2
n
n
n 1
n
denkleminde yerine
2 in bu değeri y  2  2
yazılırsa,
y  22
n 1
 2
Ancak p , pozitif bir tam sayı olduğundan p  9 olamaz,
Buna göre, p  7 dir.
2
2
2
22. x  2xz  2z  6z  y  9  0
2n
x  2 10  x
olur.
 2

2
4
4
3
3
3
olduğuna göre, x  y  z işleminin sonucu
kaçtır?
19
Çözüm:
5a  3  3a  9 ise 8a  12  a 
2
2
x  2xz  2z  6z  9
O halde a nın alabileceği değerler çarpımı,
2
2
2
 x  2xz  z  z  6z  9
( 3).
2
2
 ( x  z)  ( z  3) … ( I )
( I ) de verilen ifadenin eşitini verilen denklemde yerine
yazalım.
2
2
2
x  2xz  2z  6z  9  y  0
2
2
( x  z)  ( z  3)  y  0 … ( II )
Kareleri toplamı 0 olan üslü ifadelerde her taban 0 a eşittir.
Bu durumda,
3
9
  olur.
2
2
24. 0,2  a 
2
2
2
x  2xz  2z  6z  y  9  0
2
Çözüm:
1
2
1
10 5
ise
a   a 
 tür.
3
10
3
6
3
0,2  a 
Buna göre,
0, 2  a 
x  z  0 ise x  z  ( 3)  3 tür.
25. 1 
2
1
3
olduğuna göre, 0, 2  a kaçtır?
z  3  0 ise z  3 tür.
y
12 3
 dir.
8
2
 0 ise y  0 dır.
Buna göre,
2
2 5 10
olur.
a   
9
9 3 27
x
3
2x  1
1
a
denkleminin kökü 1 olduğuna göre, x kaçtır?
3
3
3
3
3
3
x  y  z  3  0  ( 3)  27  27  0 dır.
Çözüm:
x  1 denklemin kökü olduğuna göre, denklemi sağlar.
23. (5a  3)
4
 (3a  9)
4
olduğuna göre, a nın alabileceği değerler çarpımı
kaçtır?
Buna göre,
1
Çözüm:
(5a  3)
4
x
1
 3 ise 1 
3
2x  1
2.1  1
1
1
a
a
 1
4
 (3a  9) olduğuna göre,
5a  3  3a  9 veya 5a  3  3a  9 dur.

Buna göre,
20
1
1
a
1
1
5a  3  3a  9 ise 2a  6  a  3 tür.
1
1
a
2
3
 1

1
a
1
a

 1
1
2
1  10x  17

2  10x
20
1 1

2 2
20  200x  34  170x
30x  54  x  
 a  2 olur.
26.
x
x2
x 1
1
3
3
2
olduğuna göre, x kaçtır?
28.
Çözüm:
x 2 x 1
x2
x 1

 3  1
1
 3 ise
3
2
3
2
( 3)
( 2)
9
olur.
5
2x  1
3x  1
 0,1
 0,2
1
5
2


0,4
0,2
2
olduğuna göre, x kaçtır?
Çözüm:
2x  1
3x  1
 0,1
 0,2
1
5
2


0,4
0,2
2
2x  4  3x  3
 4
6
x7
 4
6
3 x  1  0,4 2 x  1  0,5 1


0,8
1
2
 x  7  24
30x  14 2 x  0,5
1


8
1
2
( 8)
( 4)
 x  17  x  17 olur.
27.
54
30
0,1  x
0,3
1
0,2  x
2
30x  14  16x  4 4

8
8
olduğuna göre, x kaçtır?
14x  18 4

8
8
Çözüm:
1
3
x
0,1  x
0,3
10
10
1
1
ise
2
2
0,2  x
2
x
10
1  10x
3
1
2  10x
20
14x  8  4
14x  22  x 
29.
1  10x
3

1
2  10x 20
22 11
olur.

14 7
1
2
3


1
3x  1 2x  a x  3
denklemini sağlayan x değeri 1 olduğuna göre, a
kaçtır?
21
Çözüm:
31.
x  1 denklemin kökü olduğuna göre denklemi sağlar.
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
1
2
3


1
3x  1 2x  a x  3
Çözüm:
x 1 x 1 x 1 1



2
3
6
4
( 6)
( 4)
( 2) ( 3)
1
2
3
1
2
3


1 
 1
3.1  1 2.1  a 1  3
4 2a 4


x 1 x 1 x 1 1



2
3
6
4
2
2
2
2

1
 1
4 2a
2a
4
6x  6  4 x  4 2x  2  3

12
12
2
2
2
6 3
 1 
 
2a
4
2a 4 2
 6  3a  4  3a  2  a 
2
30. 3 
1
4
x 1

2
tür.
3
7
3
2x  10  2x  5
10  5 olur.
Bu eşitlik doğru olmadığına göre, verilen denklemin çözüm
kümesi  dir.
32. a  b ve a  b  0,2 olmak üzere,
2
2
a xb b xa
olduğuna göre, x kaçtır?
denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
2
3
1
4
x 1
7
 
3
2
1
7
 3
3
4
x 1
2

1
 1
x 1
2
2
2
2
a x  b  b x  a ise a x  b x  a  b
2
2
 x.( a  b )  a  b
2

3
4
x 1
4
Çözüm:
 x.( a  b).(a  b)  a  b
 x.( a  b)  1
3
x

4
x 1
2
x
 x 1  2
 x  3 tür.
1
1

a  b 0,2
1
10

2
2
10
 x  5 olur.
22
33.
x 2 x 3
  
3 x 2 x
35. x 
olduğuna göre, x
2
y7
3
2
2x  y  10
kaçtır?
denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
2 3
x
x
x 2 x 3

   ise  
x x
2
3
3 x 2 x
( 3) ( 2 )
Çözüm:
x
y7
3
 2 ise x  2 
y7
3
tür. … ( I )

5 3x  2x

x
6
( I ) denkleminde x in eşiti, 2x  y  10 denkleminde
yazılırsa,

5 x

x 6
2.( 2 
x
2
y7
3
)  y  10  4 
 30 olur.

34. 3x  2y  10

2 x  3y  5
2y  14
3
 y  10
12  2y  14  3y
3
y  26
3
 10
 10
 y  26  30
2
2
denklem sistemine göre, x  y kaçtır?
 y  4 olur.
Çözüm:
Verilen denklemleri önce taraf tarafa toplayalım.
Buna göre, y  4 ise,
x  2
5x  5y  15  5.( x  y )  15
 x  y  3 olur.
Şimdi de verieln denklemleri taraf taraf çıkaralım.
y7
3
 2
47
3
 2
 2  ( 1)  3 tür.
3
3
Bu durumda verilen denklem sisteminin çözüm kümesi,
Ç.K.  {(3,4)} tür.
36. (2x  3y  7).a  (3x  y  5).b  0
denklemi her ( a, b) ikilisi için sağlandığına göre, x  y
toplamı kaçtır?
x  y  5 olur.
Çözüm:
Buna göre,
(2x  3y  7).a  (3x  y  5).b  0
2
2
x  y  ( x  y ).( x  y )  3.5  15 bulunur.
denklemi her ( a, b) ikilisi için sağlandığına göre,
23
2x  3y  7  0 ve 3x  y  5  0 olmalıdır.
2x  3y  7  0 ise 2x  3y  7 dir. … ( I )
3x  y  5  0 ise 3x  y  5 tir. … ( II )
( II ) denklemini 3 ile genişletip ( I ) denklemi ile taraf tarafa
toplayalım.
a, b  R olmak üzere,
a
2n
b
2n
 0 ise a  0 ve b  0 olduğundan,
4
2
a  ( 3b  2)  0 ise a  0 ve 3b  2  0 dır.
Buna göre,
a0
11x  22  x  2 dir.
x  2 değerini ( I ) denkleminde yerine yazarsak,
3b  2  0 ise 3b  2  b 
ab  0
2.2  3y  7  3y  3  y  1 dir.
Buna göre,
2
tür.
3
2 2
 bulunur.
3 3
39. 3x  4y  2z  27
x  y  2  1  3 bulunur.
4 x  5y  8z  33
x  3y  4z  18
37. a, b, c birbirinden farklı pozitif tam sayılardır.
olduğuna göre, x  y  z toplamı kaçtır?
3a  2b  c  43
olduğuna göre, b nin en büyük değeri kaçtır?
Çözüm:
3. satırı – 1 ile genişletip her üç denklemi taraf tarafa
toplayalım.
Çözüm:
3a  2b  c  43 toplamında b nin en büyük değerini
alabilmesi için a ve c en küçük seçilmelidir.
a ile c pozitif tam sayı ve a nın katsayısı c nin
katsayısından büyüktür. a, b, c birbirinden farklı olduğu için
a  1 ve c  2 seçilirse,
6x  6y  6z  42
3a  2b  c  43 ise 3.1  2b  2  43  b  19 olur.
6.( x  y  z)  42
x  y  z  7 olur.
4
2
38. a  9b  12b  4
olduğuna göre, a  b toplamı kaçtır?
40. x  y  z  12
Çözüm:
xyz  4
4
2
4
2
a  9b  12b  4 ise a  9b  12b  4  0
olduğuna göre,
4
2
 a  (3b  2)  0 dır.
24
xz
y
kaçtır?
Çözüm:
a , b , c doğal sayı olduklarından a.b.c  60 tır.
Verilen iki denklemi taraf tarafa toplayalım.
a.b  12 ve a.b.c  60  12.c  60  c  5 tir.
b.c  20 ve a.b.c  60  a.20  60  a  3 tür.
2x  2z  16
x  z  8 dir.
Verilen iki denklemi taraf tarafa çıkaralım.
a.c  15 ve a.b.c  60  15.b  60  b  4 tür.
Bu durumda,
A  a.a  3.3  9 dur.
B  b.b  4.4  16 dır.
2y  8
y  4 tür.
Buna göre,
xz
y

8
4
C  c.c  5.5  25 tir.
Böylece A  B  C  9  16  25  50 bulunur.
42. a  0 olmak üzere,
 2 dir.
41. a , b , c birer doğal sayıdır. Aşağıdaki tabloda
çarpma işlemi verilmiştir.
3
3
3
a  6b , b  10c , c  15a
olduğuna göre, a.b.c kaçtır?
Çözüm:
Verilen her üç denklemi taraf tarafa çarparak sonuca
gidelim.
3 3 3
2 2 2
a .b .c  6b.10c.15a  a .b .c  6.10.15
Buna göre, A  B  C kaçtır?
2
 (a.b.c )  2.3.2.5.3.5
Çözüm:
2
2
 ( a.b.c )  ( 2.3.5)
Tabloda verilenlere göre,
a.b  12 , b.c  20 , a.c  15 tir.
Tablodan elde edilen bu üç denklem taraf tarafa çarpılarak
sonuca gidilir.
(a.b)  (b.c )  (a.c )  12.20.15
2
2
 ( a.b.c )  30 olur.
a  0 olduğuna göre b  0 ve c  0 dır.
2
2
Bu durumda, ( a.b.c )  30 ise a.b.c  30 dur.
2 2 2
2 2 2
a .b .c  3.4.4.5.3.5  3 .4 .5
2
2
2
( a.b.c )  (3.4.5)  60 dir.
2
2
KONU BİTMİŞTİR.
( a.b.c )  60 ise a.b.c  60 veya a.b.c  60 tır.
25