Universitelerarasi Secme Sinavi

1.
Bir havuzu bir musluk 6 saatte, başka bir musluk
8 saatte dolduruyor. Bu iki musluk kapalı iken,
havuzun altında bulunan üçüncü bir musluk,
dolu havuzu 12 saatte boşaltabiliyor. Üç musluk
birden açılırsa,boş havuz kaç saatte dolar?
A) 2
B)
2
3
C) 4
4
5
D)
26
3
E) 3
Çözüm:
Problem verilerinden faydalanarak oluşturulan
şekil aşağıdadır;
1
3
Çözüm:
 1 1  1  1
24
4
st → t = 4 st
 +  -  = → t =
5
5
 6 8  12  t
Yanıt:C
2.
A(-2,4) noktasından geçen ve 2x+4y-5=0 doğrusuna paralel olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
AHB dik üçgeninde;
70 0 + 90 0 + y = 180 0 → y = 20 0
[ AN] doğrusu açıortay olduğundan;
20 0 + x = z.......1
AHC dik üçgeninde;
x + z = 60 0 .......2
1 ve 2 eşitliklerinden x = 20 0
Yanıt:B
A) 2y+4x-3=0
D) y +
B) 2y+x+9=0
C) y =
1
x+6
2
1
x - 3 = 0 E ) 2y-x+7=0
2
m(BAC) = 450
Çözüm:
Aranan doğru 2x+4y-5=0 doğrusuna paralel olduğuna göre eğimleri birbirine eşittir.
1
5
1
2x + 4y - 5 = 0 → y = - x + → m = 2
4
2
Eğimi ve bir noktası belli olan doğru denklemini
veren bağıntıdan faydalanarak;
1
y - y A = m ( x - x A ) → y - 4 = - [ x -(-2)]
2
1
y+ x-3 = 0
2
Yanıt:D
3.
Bir ABC üçgeninde B$ = 70 0 ,C = 30 0 olduğuna
göre, A açısının iç açıortayı ile A köşesinden
geçen yükseklik arasındaki açı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 150
B) 20 0
C) 350
D) 40 0
4.
E ) 50 0
m(DAC) = 450
$ = 70 0
m(BEC)
Şekildeki m(ADC)
açısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 70 0
B) 90 0
C) 100 0
D) 110 0
E ) 1150
Çözüm:
I. ABCD dörtgeni
kirişler dörtgeni olduğundan karşılıklı
açılar toplamı 180 0
dir.
II. Aynı yayı gören
çevre açılar birbirine
eşittir.
I ve II şıkları birlikte
değerlendirildiğinde
m(ADC) = 110 0 olarak bulunur.
Yanıt:D
1968 ÜSS MATEMATĐK SORU VE ÇÖZÜMLERĐ
5.
7.
m(BAC) = 90
$ C = 350 olduğuna göre,
Bir üçgende A = 450 , BB$ açısının değeri aşağıdakilerden hangisidir?
0
∆
olan ABC üçgeninde yüksekliğin hipotenüsten ayırdığı parçalar
BH = p ve
A) 450
D) b = a.q
D) 850
E ) 720 30'
A = 450 olduğuna göre B$ + C = 1350 tir.
$ C = 350 
B0
$
 B = 85
B$ + C = 1350 
gösterilirse,bu üçgen için aşağıdaki yazılı formüllerden hangisi doğru olur?
2
C) 67 0 30'
Çözüm:
CH = q ile
A) h2 = a.p
B) 50 0
Yanıt:D
B) h2 = b.c C) c2 = p.q
E ) A(ABC)=a.h
8.
(a-b)3 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Çözüm:
b2 = a.q eşitliği öklid bağıntısını ifade etmekte-
A) a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
C) a3 -b3
dir.
Yanıt:D
(
E ) (a+ b) a2 -ab + b2
6.
Bir ikizkenar yamukta, kenarların orta noktalarını köşe kabul eden yeni dörtgen aşağıdakilerden hangisidir?
B) a3 - 2a2b + 2ab2 -b3
D) a3 - 3a2b + 3ab2 -b3
)
Çözüm:
( a-b )
3
= a3 - 3a2 b + 3ab2 -b3
Yanıt:D
A) Dikdörtgendir B) Eşkenar dörtgendir
C) Karedir
D) Yamuktur
E ) Herhangi bir dörtgendir
9.
a c
= olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi
b d
doğrudur?
Çözüm:
Problem verilerine uygun şekil yandadır.
DK = KC
a+ b c- d
a-b c + d
B)
=
=
b
d
c
c
a+ 4c b + d
na+ mb nc + md
C)
D)
=
=
a- 4c 2b-d
a
d
5a+ 3b 5c + 3d
E)
=
5a- 3b 5c- 3d
A)
AN = NB
DL = LA
CM = MB
[KN] ⊥ [LM]
LP = PM
Çözüm:
a c
= → ad = bc
b d
E seçeneğinde;
5a+ 3b 5c + 3d
=
5a- 3b 5c- 3d
25ac -15ad+ 15bc- 9bd
= 25ac + 15ad-15bc- 9bd
ad = cb
PK = PN
Bu bilgiler ışığında LN = LK = KM = MN olduğu
anlaşılır. O halde KLNM dörtgeni eşkenar dörtgendir.
Yanıt:B
Yanıt:E
2
1968 ÜSS MATEMATĐK SORU VE ÇÖZÜMLERĐ
10.
b2 + c2
a2
b 2 + c2
1
=
→ 2 2 =
2 2
2
pq
bc
b
c
pq a
14x-3y=39
6x+17y=35
denklem sisteminin çözümü aşağıdakilerden
hangi değer takımını kök olarak kabul eder?
b 2 + c2
1
1
1
1
= 2 → 2+ 2 = 2
b 2 c2
ha
b c
ha
Yanıt:D
A) x=2 ; y=3
D) x=3 ; y=1
B) x=-2 ; y=-3
E ) x=-2 ; y=-1
C) x=3 ; y=-2
13.
( m-1) x 2 -mx + m = 0 denkleminde kökler çar-
Çözüm:
14x - 3y = 39 
x = 3 ; y =1
6x + 17y = 35 
pımının -2 olması için m aşağıdaki sayılardan
hangisine eşit olmalıdır?
Yanıt:D
A) -2
11.
A(0;0) ve B(1;2) noktalarından geçen doğrunun
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x+2y=0 B) y-2x=0
D) y+2x =0 E ) x+y=3
B) -1
C) 0
D)
1
3
E) 3
Çözüm:
(m-1)x 2 -mx + m = 0
c
m+ 1
m+ 1
1
x 1x 2 = → x 1x 2 =
→ -2 =
→m=
a
m-1
m-1
3
Yanıt:D
C) x-2y=0
Çözüm:
y - yA
x - xA
y-0 x-0
=
→
=
→ y - 2x = 0
y A - yB x A - x B
0- 2 0 -1
14.
ax 2 + bx + c üçterimlisinin, x ne olursa olsun,
negatif olması için aşağıdaki ifadelerden hangisi mevcut olmalıdır?
Yanıt:B
12.
Bir dik üçgende dik kenarların terslerinin kareleri toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) ∆ < 0,a > 0
D) ∆ < 0,a < 0
B) ∆ > 0,a < 0
E ) ∆ = 0,a < 0
C) ∆ < 0,a = 0
A) Hipotenüsün karesine,
B) Hipotenüsün tersinin karesine,
C) Hipotenüse ait yükseklik karesine
D) Hipotenüse ait yüksekliğin tersinin karesine
E ) Hipotenüsle yükseklik çarpımının karesine
Çözüm:
x ne olursa olsun ax 2 + bx + c ifadesinin daima
negatif olması için, ∆ < 0,a < 0 olmalıdır.
Yanıt:D
Çözüm:
15.
Đlk terimi 4,ortak farkı 5 ve son terimi 64 olan bir
aritmetik dizinin terim sayısı aşağıdakilerden
hangisidir?
ABC dik üçgeninde
Öklid bağıntılarına göre
aşağıdaki eşitlikler yazılabilir;
c2 = pa....1
b2 = qa....2
ha2 = pq....3
1 ve 2 nolu eşitlikler taraf tarafa çarpılırsa;
b2 c2 = pqa2
1
1 b 2 + c2
+
= 2 2 eşitliği yazılabilir;
b 2 c2
bc
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E ) 15
Çözüm:
d=Ortak fark, a1 = Đlk terim,an = Son terim olmak
üzere bir aritmetik dizinin ortak farkını veren
bağıntıdan faydalanarak;
a -a
64- 4
d= n 1 →5=
→ n = 13
n-1
n-1
Yanıt:D
3
1968 ÜSS MATEMATĐK SORU VE ÇÖZÜMLERĐ
19.
Çapı d olan kürenin hacmi çap cinsinden yazılırsa, aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
16.
Bir dik üçgenin kenarlarının uzunluğu üç ardışık
tam sayıdır. Üçgenin kenar uzunlukları aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1;2;3
E ) 5;6;7
B) 2;3;4
C) 3;4;5
4 3
πd
3
1
D) v = πd3
3
A) v =
D) 4;5;6
Çözüm:
“Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, diğer iki
kenarın kareleri toplamına eşittir” hükmünden
hareketle;
a 2 = b 2 + c2 → 5 2 = 4 2 + 3 2
Yanıt:C
B) 1
C)
1
2
D) sin2 A E )
4 3
πr tür.
3
3
d = 2r → r =
d
4 d
1
→ v = π   → v = πd3
2
3 2
6
Yanıt:C
20.
“Aynı düzleme dik olan iki doğru …….” cümlesinin doğru olarak tamamlanabilmesi için aşağıdakilerden hangisi,noktaların yerine yazılmalıdır?
1
sin2 A
A) Çakışık olur
D) Paralel olur
B) Aykırı olur C) Kesişir
E ) Dik durumda olur
Çözüm:
Cümlenin tamamlanmış hali;
“Aynı düzleme dik olan iki doğru paralel olur”
şeklinde olmalıdır.
Yanıt:D
18.
Yukarıda grafiği
çizilmiş olan fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
21.
Kökleri x 1 = 3 - 2 2 ve x 2 = 3 + 2 2 olan ikinci
derece denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
(
)
C) x + ( 6- 4 2 ) x - 5 = 0
E ) x -6x + (17-12 2 ) = 0
A) x 2 - 6- 4 2 x + 1= 0
C) y=tgx
1 3
πd
6
Kürenin hacmi yarıçap cinsinden v =
Çözüm:
1
1
1
1
1- cos2 A sin2 A
=
=
=
=1
sin2 A tg2 A sin2 A sin2 A
sin2 A
sin2 A
cos2 A
Yanıt:B
A) y=cosx B) y=sinx
E ) y=cotgx
C) v =
Çözüm:
17.
1
1
- 2 ifadesi aşağıdakilerden hangi ifa2
sin A tg A
deye özdeştir?
A) 2
2 3
πd
3
1
E ) v = πd3
2
B) v =
D) y=secx
B) x 2 + 6x + 1= 0
D) x 2 - 6x + 1= 0
2
2
Çözüm:
Grafiğin sınırları -1 ≤ y ≤ 1 aralığında olduğundan grafiğe ait fonksiyonunda y=sinx yada
y=cosx olması gerekmektedir.
Grafiğe göre;
x 1 = 0 için y1 = 0 , x 2 = π için y 2 = 0 ,
x 3 = 2 π için y 3 = 0
Çözüm:
x - 3 - 2 2  x - 3 + 2 2 



(
)
(
)
2
= x - 3x - 2x 2 - 3x + 2x 2 + 1
= x 2 - 6x + 1
Yanıt:D
dir. Bu koşulu sadece y=sinx fonksiyonu sağlar.
Yanıt:B
4
1968 ÜSS MATEMATĐK SORU VE ÇÖZÜMLERĐ
22.
24.
y = x 2 - 2x fonksiyonunun x=1 için sıfıra eşit olan
ilkelinde c integral sabiti aşağıdakilerden hangisidir?
Aşağıdaki ifadelerden
hangisi ABC üçgeninde sinüs teoremini ifade eder?
A) -
3
2
B) 0
C)
1
2
D)
2
3
E)
5
3
Çözüm:
(
0=
1 2
x - 3x + 4 eğrisinin hangi noktasındaki te2
1
ğetinin eğimi m = - olur?
3
y=
Yanıt:E
23.
2
4x - 6x + 2
fonksiyonunun türevi aşağıdaki6x 2 -9x + 5
lerden hangisidir?
y=
C) y' =
E ) y' =
( 6x
2
-9x + 5
)
B) y' =
2
72x 2 + 16x -18
( 6x
2
-9x + 5
)
D) y' =
2
16x -12
( 6x
2
-9x + 5
)
2
-9x + 5
)
Çözüm:
4x 2 -6x + 2
y= 2
6x -9x + 5
(8x - 6) 6x 2 -9x + 5 - (12x -9) 4x 2 -6x + 2
y' =
2
6x 2 -9x + 5
)
(
y' =
2
-16x -12
( 6x
(
2
)
2
-9x + 5
)
 1 55 
B)  ; 
 3 18 
8 4
D)  ;- 
3 9
 2 56 
E ) - ; 
 3 9 
4 8
C)  ; 
3 9
26.
16x 2 + 36y 2 = 625 elipsinin parametresi aşağıdakilerden hangisidir?
)
16x -12
( 6x
 2 20 
A)  ; 
3 9 
Çözüm:
Değme noktası A(x;y) olsun.
“Bir fonksiyonun, üzerindeki bir noktaya göre türevi,o noktadan geçen teğetinin eğimine eşittir”
hükmünden hareketle;

1
y = x 2 - 3x + 4 → y' = x - 3 → y' = m
2

 8 4
1
8
x-3 =- → x =
 A  ;- 
3
3
3 9

2

1 8 
4
8
y =   -3 + 4 → y =
23
9
3

Yanıt:D
-72x 2 + 8x -12
6x 2 -9x + 5
(
13
12
2
- 2. + c → c =
3
2
3
25.
Çözüm:
Sinüs teoremi;
a
b
c
=
=
= 2R şeklindedir.
sinA sinB sinC
-72x 2 + 16x -12
x3
x2
- 2. + c
3
2
Yanıt:D
D) a2 = b 2 + c2 - 2bc 1- sin2 A
a
b
c
E)
=
=
= 2R
sinA sinB sinC
A) y' =
)
f'(x) = x 2 - 2x dx → f(x) =
1
A) A(ABC) = bcsinA
2
B) sin2 A = 1- cos 2 A
C) h=bsinC+csinB
2
A)
Yanıt:B
5
50
18
B)
50
9
C)
25
9
D)
25
18
E)
9
50
1968 ÜSS MATEMATĐK SORU VE ÇÖZÜMLERĐ
3
3
x →m=
4
4
x 2 -ax - 5
x 2 -14x + 7a+ 5
y=
→ y' =
x -7
x 2 -14x + 49
y' = m olduğundan;
Çözüm:
Elipste parametre;
2b2
KK' = LL' = 2p =
a
y=
x2 y2
+
=1
a2 b 2
16x 2 + 36y 2 = 625
x2
y2
+
=1
625 625
16
36
25
25
a=
,b =
4
6
2b2
2p =
a
3 x 2 -14x + 7a+ 5
3 (-1) -14(-1) + 7a+ 5
=
→ =
2
2
4
x -14x + 49
4
(-1) -14(-1) + 49
a=4
Yanıt:D
2
28.
25x 2 -9y 2 = 225 hiperbolünün iki asimptotu ile
herhangi bir teğetinin meydana getirdiği üçgenin alanı aşağıdakilerden hangisidir?
2
 25 
2. 
50
6 
2p = 
→ 2p =
25
9
4
A) 225 birimkare
C) 7,5 birimkare
E ) 9 birimkare
Yanıt:B
B) 25 birimkare
D) 15 birimkare
Çözüm:
27.
x 2 -ax - 5
fonksiyonunun gösterdiği eğrinin
x -7
3
apsisi x=-1 olan noktasındaki teğetinin y = x
4
doğrusuna paralel olması için a nın alacağı
değer,aşağıdaki sayılardan hangisidir?
y=
A) -
68
7
B) -4
C) 3
D) 4
E)
68
7
Çözüm:
x 2 -ax - 5
eğx -7
risinin x=-1 noktasındaki türevi, teğetin o noktadaki
eğimini verir. Te3
ğet y = x doğ4
rusuna paralel olduğuna göre eğimleri birbirine eşittir. Doğrunun
eğimi;
y=
A(AOB) = ab = 3.5 → A(AOB)
d teğetinin asimptotları
kestiği noktalar A ve B
olsun.
“Bir hiperbolde iki asimptot ile herhangi bir
teğetinin meydana getirdiği üçgen alanı sabit
ve ab ye eşittir” hükmünden hareketle;
25x 2 -9y 2 = 225
x2 y2
x 2 y2
= 1→ 2 - 2 = 1
9 25
a b
a2 = 9 → a = ±3
b2 = 25 → b = ±5
= 15 birimkare
Yanıt:D
29.
Kenarları birbirine paralel olan iki üçgen arasında aşağıdaki ifadelerden hangisi mevcuttur?
A) Üçgenler birbirinin bir eksene göre simetriğidir.
B) Üçgenler birbirinin bir noktaya göre simetriğidir.
C) Üçgenler birbirine eşittir.
D) Üçgenler birbirine benzerdir.
E ) Üçgenlerin alanları birbirine eşittir.
6
1968 ÜSS MATEMATĐK SORU VE ÇÖZÜMLERĐ
Çözüm:
Kenarları
birbirine
paralel üçgenler ABC
ve MKL üçgenleri olsun.
AB// MK ,BC// KL ,AC// ML olduğundan
üçgenler birbirinin benzeridir.
Yanıt:D
Geometrik yere ait denklem bir koniği ifade
etmektedir. Koniklerin genel denklemi;
Ax 2 + Bxy + Cy 2 +Dx +Ey +F = 0
A = 3,B = 0,C = 3,D = -24,E = -4,F = 0
30.
Sabit iki noktaya olan uzaklıklar oranı sabit olan
noktaların geometrik yeri aşağıdakilerden hangisidir.
∆ = B2 - 4AC = 0 2 - 4.3.3 = -36
∆ < 0, A = C,B = 0
olduğundan eşitlik bir çember ifade eder.
[ AB] doğrusunun denklemi;
A) Bu iki noktayı birleştiren doğru parçasının orta dikmesidir.
B) Bu iki noktayı odak kabul eden bir elipstir.
C) Bu iki noktayı odak kabul eden bir hiperboldür
D) Bu iki noktayı çap uçları kabul eden bir çemberdir.
E ) Bu iki nokta arasını verilen sabit oranda bölen noktalar çap uçları olmak üzere çizilen
çemberdir.
y - yA
x - xA
y - 2 x -(-4)
=
→
=
y A - yB x A - x B
2-1
-4- 2
6y + x = 8
3x 2 + 3y 2 - 24x - 4y = 0 çemberi ile 6y + x = 8
doğrusunun kesim noktası bu iki eşitliğin ortak
çözümü olup ortak çözümden;
x 1 = 8, y1 = 0 → Q ( 8; 0 )
Çözüm:
Sabit noktalar A(-4;2),B(2;1),geometrik yeri buKA
lunacak nokta K(x;y) ve
= 2 olsun.
KB
KA = ( x - x A ) + ( y - y A )
2
2
KA =  x - (-4 ) + ( y - 2 )
2
2
x 2 = 0, y 2 =
AP = ( x A - x P ) + ( y A - yP )
2
KB = ( x - x B ) + ( y - yB )
KB = ( x - 2 ) + ( y -1)
2
2
2
BP = ( xB - x P ) + ( yB - yP )
2
KB
KA
KB
2
2 37
AP
= 3 →
=2
BP
BP
37
3
AP
2
2
2
2
2
=2→
2
37
2
2
 4
BP = ( 2- 0 ) +  1-  → BP =
br
3
 3
2
KB = x 2 + y 2 - 4x - 2y + 5
KA
2
2
KA = x 2 + y 2 + 8x - 4y + 20
2
2
2 37
2
2
 4
AP = (-4 - 0 ) +  2-  → AP =
br
3
3


2
2
2
4
 4
→ P  0; 
3
 3
=4
AB = ( x A - x B ) + ( y A - yB )
2
2
2
AB = (-4- 2 ) + ( 2-1) → AB = 37 br
2
x 2 + y 2 + 8x - 4y + 20
=4
x 2 + y 2 - 4x - 2y + 5
2
2
AQ = ( x A - x Q ) + ( y A - y Q )
2
3x 2 + 3y 2 - 24x - 4y = 0
2
2
AQ = (-4- 8 ) + ( 2- 0 ) → AQ = 2 37
2
7
2
2
1968 ÜSS MATEMATĐK SORU VE ÇÖZÜMLERĐ
AQ
=
AB
2 37
37
→
AQ
AB
=2
O halde;
“Sabit iki noktaya olan uzaklıkları oranı sabit olan noktaların geometrik yeri, bu iki nokta arasını verilen sabit oranda bölen noktalar çap uçları olmak üzere çizilen çemberdir”
Yanıt:E
31.
x + 3 - 3x -1
y=
fonksiyonunun x=1 için limiti
x -1
aşağıdakilerden hangisidir?
A) -∞
B) -2
C) -1
D) 0
E) 4
Çözüm:
x + 3 - 3x -1
0
lim
→ belirsizliği vardır.
x →1
0
x -1
L’Hospital (Pay ve paydanın türevi) kuralının
uygulanmasıyla;
1
1
x + 3 - 3x -1
2 x + 3 2 3x -1
lim
= lim
x →1
x →1
1
x -1
2 x -1
3x + 1- 3 x + 3
2 x -1
= lim
.
x →1
1
2 3x + 1 x + 3
(
=
2
(
)(
3.1+ 1- 3 1+ 3
)(
3.1+ 1
1+ 3
)
)
.
2 1-1
=0
1
Yanıt:E
8