( )x ( ) 2.4

MATEMATĐK’ĐM
YILLAR
ÖSS-YGS
2002
-
Taban Aritmetiği
2003
1
2004
1
2005
-
2006
-
Genel olarak 10’luk sayı sistemini kullanırız
fakat başka sayı sistemlerine de ihtiyaç duyarız.
Örneğin bilgisayarın temeli 2’lik sayı sistemine
dayanır. Değişik sayı sistemleriyle de her işlem
yapılabilir.
sayısı x’lik sayı sistemine
yazılmıştır. Burada;
2008
-
2009
-
2010
-
2011
-
(10231) 4 =1.40+3.41+2.42+0.43+1.44
= 1+12+32+0+256
= 301
TABAN ARĐTMETĐĞĐ
(a, b, c, d ) x
2007
-
Örnek( 1 ) (102 )a = 4.a + 2 ise a=?
ÇÖZÜM:
göre
(102)a = 4.a + 2
2
1.a + 0 + 2 = 4a + 2
a2 =4a
a=4 veya a=0 bulunur. a=0 olamayacağından
a=4 tür.
1) x > 1 olmak zorundadır.
2) a,b,c,d sayıları da x”ten küçük olmalı
gibi
sayılar
10’luk
sistemdeki
sayısını inceleyelim
Örnek( 2 ) (266) 7 sayısı 10 tabanında kaçtır?
2916
2916
   -→ Birler basamağı 100.6 = 6
  ----→ Onlar basamağı 101.1 = 10
 -------→ Yüzler basamağı 102.9 = 900
----------→ Binler basamağı 103.2 = 2000
+_______
2916
MATEMATĐK’ĐM
örneğin (234)1 veya (546) 3
yazılamaz
(ÖSS88)
ÇÖZÜM:
(266) 7 =2.7 2+6.7+6
= 2.49+42+6
=146
Örnek( 3 ) 10 ve m sayı tabanını göstermek
(C: 6)
üzere (97)10 = (241) m ise m=?
(ÖSS-97)
abc sayısının çözümlenmiş şekli;
abc = 102.a + 101.b + c
= 100a + 10 b + c
ÇÖZÜM:
524,628= 5.102 + 2.101 + 4.100 + 6.10-1
+ 2.10-2+8.10-3
(97)10 = (241) m
97 = 2.m2+4m+1
2.m2+4m-96=0
m2+2m-48=0 (bu aşamadan sonra
ya çarpanlara ayırma yolu ile m bulunur, yada
değer vererek bulunur. Tercih size kalmış
biz çarpanlara ayırmadan yapalım
(345,27) 8 =3.82 + 4.81 + 5.80 + 2.8-1 + 7.8-2
Herhangi Bir Tabandaki Bir Sayının 10
Tabanında Yazılması:
(1011011) 2 =1.20+1.21+0.22 1.23+1.24+0.25
+1.26
=1+2+8+16+64
=91
m2+2m-48=(m-6)(m+8)=0
buradan
m-6=0 m=6
m+8 = 0 m=-8
taban negatif olamayacağından cevap 6 dır.
.
www.globalders.com
1
MATEMATĐK’ĐM
Taban Aritmetiği
Burada farklı bir durumla karşı karşıyayız. Zira
10 iki rakamdan oluşuyor. Olduğu gibi
yazarsak iki basamak görevi görür. Buna şöyle
bir çözüm bulacağız. 9’dan sonraki iki
basamaklı her rakam için bir harf atayacağız.
(10=A , 11=B, 12=C…gibi)
o halde cevabımız (2 A3)11 olur.
Tek ve Çift Sayılar:
(abcd ) x için
→ x tek iken; a+b+c+d toplamı tek ise tek, çift
ise sayı da çifttir.
→ x çift iken; d tek ise sayı tek, d çift ise sayı
da çifttir.
Örnek( 5 ) 3.4 2 + 2.4 + 3 = (......)4
(10010) 2 , (1324) 6 ... çift
(101202) 3 →1+1+2+2=6→çift
(102112) 3) →1+2+1+1+2=7 → tek
ÇÖZÜM:
Bu tür sorularda en büyük taban kuvvetini baz
alarak bir şablon hazırlayıp yanlardaki değerleri
altlara yazacağız
10 Tabanındaki Bir Sayının Herhangi Bir
tabanda Yazılması:
Çevrilecek sayı sürekli tabana bölünür.
2
1
0
2
1
0
(− − −) 4 (3 2 3) 4
54= (2000 )3
o halde sonuç (323) 4 olur.
3
- 3
18
3
24
- 24
0
- 18
6
- 6
0
3
2
MATEMATĐK’ĐM
54
0
Örnek( 6 ) 5.33 + 7.32 + 15 = (.....)3
ÇÖZÜM:
Bu soruda tabanın yanındaki değerler tabandan
büyük. O yüzden önce ifadeyi düzenlemeliyiz
en sağdan başlamak kaydıyla değerler
yazılır. Sonuç : 54= (2000 )3
Sizde aşağıda değerleri verilmiş çevrimleri
yaparak sonuçlarla karşılaştırınız.
5.33 + 7.3 2 + 15
= (3 + 2)33 + (2.3 + 1)32 + (32 + 2.3)
= 3 4 + 2 .3 3 + 2 .3 3 + 3 2 + 3 2 + 2 .3
= 3 4 + 4 .3 3 + 2 .3 2 + 2 .3
bir düzenleme daha gerekli
= 3 4 + (3 + 1).33 + 2.3 2 + 2.3
125= (1000 )5
48= (300 )4
Örnek( 4 ) 355 sayısını 11 tabanında yazınız.
= 3 4 + 3 4 + 3 3 + 2 .3 2 + 2 .3
= 2 .3 4 + 3 3 + 2 .3 2 + 2 .3
şimdi en büyük taban kuvveti 4 olduğundan;
ÇÖZÜM:
355
11
4
- 33
25
- 22
3
32
- 22
10
3
2
1
0
4
3
2
1
0
( − − − − − ) 3 ( 2 1 2 2 0) 3
11
2
Örnek( 7 ) 4 tabanında yazılabilecek rakamları
farklı en büyük sayı, en küçük sayıdan kaç
fazladır?
.
www.globalders.com
2
MATEMATĐK’ĐM
Taban Aritmetiği
ÇÖZÜM:
Herhangi Bir Tabana Göre Đşlemler:
4 tabanında kullanılabilecek rakamlar {01,2,3}
tür.
10 sayı sisteminde işlemler nasıl yapılıyorsa
2,3,5..sayı sistemlerinde de aynı mantık
kullanılır. Örneğin 10’luk sistemde toplam
yapılırken 14 elde edildiyse, 14 sayısı 10’a
bölünür kalan 4 yazılıp, bölümden elde edilen 1
sonraki basmağa aktarılır. 14’ü 4 tabanında
elde ettiysek 14’ün 4’e bölümünden kalan 2
yazılır, bölüm 3 ise sonraki basamağa aktarılır.
En büyük sayı : (321) 4 =3.4²+2.4+1=57
En küçük sayı : (102) 4 =1.4²+0+2=18
57-18=39 olur.
Toplama: (234)5
+ (44)5
-----------(333)5
Herhangi Bir Tabandaki Bir Sayının Başka
Bir tabanda Yazılışı:
Sayı önce 10’luk sisteme sonrada istenen
tabana çevrilir.
ÇÖZÜM:
(314)5 = 3.5²+1.5+4 = 84
84
7
-7
12
14 - 7
5
-14
0
MATEMATĐK’ĐM
Örnek( 8 ) (314)5 = (.....)7
Çıkarma: (305)6
_ (123)6
----------(142)6
Çarpma: (23)4
x (12)4
--------(112)
+(23)
--------(1002)4
Bölme: (en iyisi 10’luğa çevirip bölmektir)
7
1
cevap: (314)5 = (150)7
Örnek( 10 ) (325)6 sayısının 5 fazlası aynı
tabanda kaçtı?
Örnek( 9 ) (120)6 = (.....)5
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
Eklenen sayı tabandan küçük ise direk, değilse
tabana
çevrilerek
toplama
işlemi
gerçekleştirilir.
Sorumuzda eklenen sayı 5<6 olduğundan direk
ekleriz
(120)6 = 1.6²+2.6+0 = 48
48 5
- 45 9
3 -5
4
5
1
(325) 6
+ (5) 6
cevap : (120)6 = (143)5
(334) 6
.
www.globalders.com
3
MATEMATĐK’ĐM
Taban Aritmetiği
Örnek( 11 )
(243)5 sayısının 12 fazlası aynı
tabanda kaçtır?
Örnek( 14 )
217
25
sayısı 5 tabanına göre
kaçtır?
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
Sayı önce 5 tabanına çevrilir.
12 = (22) 5 dır.
(243)
217
sayısının pay ve paydasını 5 tabanına
25
(1332)5
çevirirse
elde edilir.
(100)5
Konunun başında bir açıklama yapmış ve
demiştik ki : 10’luk sayı sistemindeki mantık
neyse 2,3,..sayı sisteminde de aynıdır. Buradan
hareketle şunu deriz: bu bölüm işlemi 10’luk
sistemde pay’dan iki virgül sola kaydırarak
çözülürse 5 lik sistemde de aynıdır.
O halde cevap (13,32 )5 olur.
5
+ (22) 5
5
Örnek( 12 ) (123)5
tabanda kaçtır?
sayısının 6 katı aynı
ÇÖZÜM:
6 sayısı tabandan büyük olduğundan önce 5
tabanına çeviririz
MATEMATĐK’ĐM
(320)
6 = (11) 5 şimdi çarpma işlemi
gerçekleştirebiliriz.
(123)
5
x (11)
5
(123)
+ (123)
(2,32) =?
5
ÇÖZÜM:
(10’luk sistemde bu sorunun çözüm
mantığını
hatırlayalım.10’luk
sistemde
paydaya devreden kadar 9 yazılırdı…Burada
4 yazdığımıza dikkat edin..Sebebi; 9’un 10’luk
sistemdeki en büyük rakam olmasına karşın
4’ün de 5’lik sistemde en büyük rakam
olmasıdır.)
(2,32) = (232)(40)− (23)
5
5
(1403)
Örnek( 13 )
a+b+c=?
5
Örnek( 15 )
5
5
5
5
(204)5
=
(40)5
(313)5 − (abc )5 = (32)5
2.52 + 0 + 4
4.5 + 0
54
=
20
27
=
10
= 2,7 olur.
=
ise
ÇÖZÜM:
(313)5 − (abc )5 = (32)5
( 313)5 − ( 32 )5 = ( abc )5
(231) = (abc)
a+b+c = 2+3+1=6 bulunur.
5
.
www.globalders.com
4
MATEMATĐK’ĐM
Örnek( 16 )
Taban Aritmetiği
(4,15) =?
ÇÖZÜM:
(2ab3)5 sayısının
6
En büyük değeri (2413) 5
ÇÖZÜM:
En küçük değeri (2013) 5
(4,15) = (415)(55)− (4)
6
6
Fark :
6
6
- (2013) 5
(411)6
=
(55)6
(400)
4.62 + 1.6 + 1
5.6 + 5
151
olur.
=
35
=
Örnek( 17 )
bulunur.
ÇÖZÜM:
6
6
=5.6+3= 33 olur.
(10’luk sistemde devreden 9 ise önceki
basamak 1 arttırılır ve 9 atılır kuralının 6
tabanına uyarlanışı)
Örnek( 18 ) 4.53 + 2.52 + 2
tabanında kaç basamaklıdır?
sayısı
MATEMATĐK’ĐM
ÇÖZÜM:
6
5
Örnek( 20 ) 6
tabanında
yazılabilecek
rakamları farklı üç basamaklı kaç sayı vardır?
(52, 5) =?
(52, 5) =(53)
(2413) 5
Bunu permütasyon konusunu hatırlayarak
çözebiliriz.
Kullanabileceğimiz
rakamlar
0,1,2,3,4,5
olduğundan,
5.5.4 = 100 olur.
Örnek( 21 ) 25147831 sayısı 9 tabanında
yazıldığında birler basamağında hangi sayı
bulunur?
ÇÖZÜM:
5
25147831 sayısını sürekli 9’a bölerek 9
tabanına çevireceğimizi öğrenmiştik. Đlk 9’a
bölümden kalan en son yazıldığı için birler
basamağı olur. Dolayısıyla sayının 9’
bölümünden kalanı bulmak aslında birler
basamağını bulmak demektir.
Kural: bir sayının 9’ bölümünden kalan,
rakamları toplamının 9’a bölümünden kalana
eşittir.
ÇÖZÜM:
Tabana ait en büyük kuvvet 3 olduğundan
3 2 1 0
(4 2 0 2) 5
o halde sayı 4 basamaklıdır.
2+5+1+4+7+8+3+1=31
ve
31’in
9’
bölümünden kalan da 4 olduğundan sayımızın
9 tabanındaki yazılışında birler basamağı 4 tür
deriz.
Örnek( 19 ) (2ab3)5 sayısı rakamları farklı
bir sayı olmak üzere bu sayının alabileceği en
büyük değer ile en küçük değer arasındaki fark
aynı tabanda kaçtır?
Örnek( 22 ) (101111)2
yazılırsa kaça eşit olur?
sayısı 8 tabanında
.
www.globalders.com
5
MATEMATĐK’ĐM
Taban Aritmetiği
ÇÖZÜM:
ÇÖZÜM:
Bu soruların iki yolu vardır
1.yol: sayıyı bildiğimiz yolla 8 tabanına
çevirmek
2.yol: (pratik) sayı sağdan itibaren (8=2³) 3’er
3’er ayırarak her bir ayrımdan elde edilen
çevrim sayısı bir hane yazılır ve işlem
tamamlanır.
(23)a = (32)b
1.2²+0+1
5
(5 7)
iki
tarafını
2
2.a+3 = 3.b+2
3b-2a = 1
burada a ve b nin alabileceği minimum değerler
vardır (temel tabanaritmetiği kuralları) bunları
da dikkate alarak;
b = 5 ve a = 7 alınırsa
3.5 – 2.7 = 1 eşitliğinin sağlandığı
görülür.
O halde cevap a+b= 5+7 = 12 olur.
1.2²+1.2+1
7
Örnek( 25 ) (18) .(27 )
sayısı 3 tabanında
yazıldığında kaç basamaklı bir sayı elde edilir?
(111)
2
her
çözümlersek
( 101111) 2
(101)
ifadesinin
2
3
2
Örnek( 23 ) (452 )8 sayısı
yazıldığında kaça eşit olur?
2
tabanında
ÇÖZÜM:
MATEMATĐK’ĐM
ÇÖZÜM:
Bu sefer işlemi tersten uygularız
(452)
(18)2 .(27 )3 = (2.32 )2 .(33 )3
= 2 2.34.39
= 4.313 sayısı elde edilir.
313 , sondan 13 tane sıfır demektir.
4=(11) 3 olduğundan sayımız
(1100......0)3
8
13 tan e
o halde 15 basamaklı bir sayı elde edilir.
(- - -) 8
(- - -) 8
(- - -) 8
4,5 ve 2 yi 2 tabanına çevirir, üçer hane olarak
yazarız
4 = (100)
2
,
5 = (101)
2
2 = (010)
Örnek( 26 )
a+b=?
(34a )5 + (b34 )5 = (1231)5
ise
2
ÇÖZÜM:
(100101010)
(34a )5 + (b34 )5 = (1231)5
(3.5²+4.5+a)+(b.5²+3.5+4) = (1.5³+2.5²+3.5+1
a+25b+114 = 191
a + 25b = 77
2
buradan a=2 ve b =3 bulunur. a+b = 5 eder.
Örnek( 24 ) (23)a = (32 )b eşitliğini sağlayan
en küçük a+b=?
(C: 12)
.
www.globalders.com
6
MATEMATĐK’ĐM
Örnek( 27 )
a+b=?
ÇÖZÜM:
Taban Aritmetiği
(5b4)6 − (34a )6 = (135)6
ise
Örnek( 30 )
a+b+c+d=?
(5b4)6 − (34a )6 = (135)6
(32,21)5 = (ab, cd )10
ise
ÇÖZÜM:
(5.6²+b.6+4)-(3.6²+4.6+a) = 1.6²+3.6+5
6b-a +52 = 59
6b-a = 7
buradan a=5 ve b=2 bulunur. a+b = 7 olur.
(32,21) 5 =3.5+2+2.5 −1 +1.5 −2
2 1
=17 + +
(payda 100 de
5 25
eşitlenirse
1700 + 40 + 4
=17,44 bulunur.
=
100
buradan 1+7+4+4 = 16 elde edilir.
Örnek( 28 ) (abc )x
ifadesinde a ve c 1
arttırılır ve b 2 azaltılırsa on tabanında sayı 64
artıyor buna göre x=?
ÇÖZÜM:
Örnek( 31 ) (132a )8
sayısı çift, (41b5)9
sayısı ise tek olduğuna göre a+b en çok kaçtır?
a daki 1 artış sayıya +1.x² olarak yansır
b’deki 2 azalış sayıya -2.x olarak yansır
c’deki 1 artış sayıya +1.1 olarak yansır
x²-2x+1=
çözülürse
x²-2x-63=0
64
denklemi
MATEMATĐK’ĐM
a x²’ler basamağı
b x’ler basamağı
c 1’ler basamağıdır.
x²-2x-63=0 (x-9)(x+7)=0 ve buradan
x = 9 ve x = -7 bulunur
taban negatif olamayacağından cevap 9 dur.
Örnek( 29 )
ÇÖZÜM:
(132a )8
sayısı çift ise a çift olmalı a’nın en
büyük değeri 6 dır.
(C: 13)
(41b5)9 sayısı tek ise rakamları toplamı tek
olmalı buradan b en fazla 7 olur.
O halde cevap 6+7 = 13 tür.
Örnek( 32 )
eşittir?
(201)a + 2
sayısı a tabanında kaça
ÇÖZÜM:
(215)a + (1a 2)7 = ?
(201)a + 2 =2.(a+2)²+0+1
= 2(a²+4a+4)+1
= 2a²+8a+9
= (289 )a elde edilir.
ÇÖZÜM:
5<a<7 olacağından a=6 bulunur. buradan
( 215 )6 + (162 )7 = 2.62 + 1.6 + 5 + 1.7 2 + 6.7 + 2
= 176
Örnek (33) 84 doğal sayısı 4 tabanına göre
yazıldığında , kaç basamaklı bir sayı elde
edilir?
(ÖSS-2001)
.
www.globalders.com
7
MATEMATĐK’ĐM
Taban Aritmetiği
ÇÖZÜM:
Önce 84 sayısını 4’ün kuvveti şeklinde ifade
etmeliyiz
84 = ( 23 ) = 212 = ( 22 ) = 46 = (1000000) 4
4
6
buradan sayının 7 basamaklı olduğu görülür.
Örnek (34) (97)10 = (241) m ise m=?
(ÖSS-97)
ÇÖZÜM:
demek olduğundan
2.m² + 4m + 1 = 97
2.m² + 4m +-96 = 0
m² + 2m - 48 = 0
(m-6)(m+8)=0
m-6=0 m=6 ve m+8=0 m=-8
taban negatif olamayacağından cevap 6 dır.
MATEMATĐK’ĐM
( 97 )10 = 97
Örnek (35) (213) 4 .(23) 4 = ?
(ÖSS-96)
ÇÖZÜM:
(213) 4
x (23)
4
(1311)
+(1032)
4
HAZIRLAYAN
ĐBRAHĐM HALĐL BABAOĞLU
4
(12231)
Matematik Öğretmeni
www.globalders.com
4
Örnek (36) (110) 2 − (11) 2 = (......) 2
(ÖSS-93)
ÇÖZÜM:
(110) 2
- (11) 2
(11)
2
.
www.globalders.com
8