B - Selçuk Üniversitesi

T.C.
SELÇUK ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
İKİ BOYUTLU ÖRGÜDE
FERROMANYETİZMANIN İNCELENMESİ
Elmas AKSOY
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Fizik Anabilim Dalı
Haziran-2011
KONYA
Her Hakkı Saklıdır
TEZ BİLDİRİMİ
Bu tezdeki bütün bilgilerin etik davranış ve akademik kurallar çerçevesinde elde
edildiğini ve tez yazım kurallarına uygun olarak hazırlanan bu çalışmada bana ait
olmayan her türlü ifade ve bilginin kaynağına eksiksiz atıf yapıldığını bildiririm.
DECLARATION PAGE
I hereby declare that all information in this document has been obtained and
presented in accordance with academic rules and ethical conduct. I also declare that, as
required by these rules and conduct, I have fully cited and referenced all materials and
results that are not original to this work.
İmza
Elmas AKSOY
Tarih: 29.06.2011
iii
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
İKİ BOYUTLU ÖRGÜDE
FERROMANYETİZMANIN İNCELENMESİ
Elmas Aksoy
Selçuk Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dalı
Danışman:Prof. Dr. H.Şevki MERT
2011,42.sayfa
Jüri: Prof.Dr. H. Şevki MERT
Prof. Dr. Haluk ŞAFAK
Yrd. Doç. Dr. İmran ORAL
Bir kristalde manyetik iyonlar, birbirlerini birkaç atomik mesafeye kadar yaklaştıkları zaman
basit dipolar etkileşimlere nazaran çok kuvvetli olarak etkileşmeye başlarlar. Bu etkileşmeler, Weiss
modelinin temelini oluşturur ve aynı zamanda Pauli prensibine uygunluk sağlar. Katıhal fiziğinde hala
zor problemlerden bir tanesi değişim alanlarının nicel hesaplanmasıdır. Bu zorluğu yenmek için bu
çalışmada kullanacağımız Heisenberg modeli yaklaşımı getirilmiştir. Bu model ile bir çok başarı
sağlanmıştır.
İki boyutlu manyetik sistemler, manyetik özellikleri nedeniyle oldukça ilgi çekmektedirler. Bir
çok teoride çalışmalar bunların kritik sıcaklarının bulunması üzerinde
yoğunlaşmıştır. İzotropik
sistemler için taban durum gayet kolaylıkla bulunmaktadır. Bu çalışmamızda iki boyutlu bir sistemin
manyetizasyonu düşük sıcaklık bölgesinde indirgenmiş sıcaklığa bağlı olarak incelenmiştir.
Anahtar kelimeler: Ferromanyetizma, Green fonksiyonu, İki boyutlu örgü,
iv
ABSTRACT
M. Sc.Thesis
STUDY OF FERROMANYETIZM IN TWO
DIMENSIONAL LATTICE
Elmas Aksoy
Selcuk University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Physics
Supervisor: Prof. Dr. H.Şevki MERT
2011,….pages
Jury: : Prof.Dr. H. Şevki MERT
Prof. Dr. Haluk ŞAFAK
Yrd. Doç. Dr. İmran ORAL
In a crystal, when magnetic ions approach to each other till few atomic distances they begin to
interact very strongly with respect to simple dipolar interactions. These interactions make the ground of
Weiss model and at the same time this is conformation of Pauli’s principle. In solid state physics, one
of the most difficult problem is quantitative calculation of exchange fields. In order to overcome this
difficulty one uses Heisenberg model as we do in this thesis. This model explained very successful
many phenomena.
Because of their magnetic properties two dimensional magnetic systems are very attractive.
Studies are on the calculations of critical temperature of these. For the isotropic systems ground state
can be calculated very easily. In these thesis magnetizations of the two dimensional system will be
studied at low temperature region as a function of reduced temperature.
Key words: Ferromagnetism, Green Function, Two Dimensional System
v
ÖNSÖZ
Selçuk Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsüne Yüksek Lisans tezi olarak
sunulan bu çalışmada, iki boyutlu örgüde Ferromanyetizma incelenmiştir.
Çalışma süresince bilgi ve tecrübeleri, bilimsel rehberliği ile manevi olarak
desteğini esirgemeden her zaman yanımda olan saygıdeğer hocam Prof. Dr.H Şevki
MERT’e en içten teşekkürlerimi sunarım.
Tüm çalışmam boyunca beni her zaman maddi ve manevi olarak destekleyen
annem, babam ve eşime çok teşekkür ederim.
Elmas Aksoy
vi
KISALTMALAR
H
H
g
N
V
E
F(r)
Ga
Gr
Z
...
k
T
Ω
θ (t )
: Hamiltonien operatörü.
: Manyetik alan.
: Landé faktörü.
: Parçacık sayısı.
: Potansiyel.
: Enerji.
: Kuvvet.
: İlerlemiş Green fonksiyonu.
: Gerilemiş Green fonksiyonu.
: Bölüşüm fonksiyonu.
: Ortalama.
: Boltzmann sabiti.
: Mutlak sıcaklık.
: Termodinamik potansiyel.
: Basamak fonksiyonu.
J (ω )
K
J (0 )
n
Sz
: Spektral temsil.
: Dalga vektörü.
: Değişim etkileşim sabitlerinin toplamı.
: Birim hacimdeki elektron sayısı.
: Manyetizasyon.
υ
φ (S )
F
τ
μB
TC
: Parçacık başına düşen alan.
: Ara fonksiyon.
: Ara fonksiyon.
: İndirgenmiş sıcaklık.
: Bohr manyetonu.
: Curie sıcaklığı.
vii
İÇİNDEKİLER
TEZ BİLDİRİMİ ……………………………………………………………………. iii
ÖZET...............................................................................................................................iv
ABSTRACT.....................................................................................................................v
ÖNSÖZ............................................................................................................................vi
KISALTMALAR...........................................................................................................vii
İÇİNDEKİLER............................................................................................................viii
1. GİRİŞ............................................................................................................................1
2. GREEN FONKSIYON FORMALİZMİ…………………………………………...2
3. KARE ÖRGÜDE MANYETİZASYONUN İNCELENMESİ...............................20
3.1 Dış Manyetik Alan Yokluğunda Manyetik Alanın İncelenmesi...................21
3.2 Dış Manyetik Alan Varlığındada Manyetik Alanın İncelenmesi..................30
4. SONUÇLAR ve ÖNERİLER...................................................................................40
5. KAYNAKLAR...........................................................................................................41
ÖZGEÇMİŞ...................................................................................................................42
viii
1 1. GİRİŞ
Kuantum alan teorisi metodunda tek parçacık Green fonksiyonu bir sistemin
mikroskobik özelliklerini karakterize eden en önemli niceliklerden biridir. Katıların
manyetik özellikleri için kullanılan çift zamanlı, sıcaklığa bağlı Green fonksiyonunu
göz önünde bulundurmadan önce Green fonksiyonlarını genel özelikleriyle belirtmek
gerekir.
İki boyutlu sonsuz yapıların manyetik özelliklerinin incelenmesi son zamanlarda
oldukça önem kazanmıştır. Bu sistemleri anlamak için muhtelif teorik çalışmalar
yapılmıştır. Yüksek Sıcaklık Açılımı (Binder ve ark., 1974), Monte Carlo Simülasyon
Yöntemleri (Binder ve ark., 1984), Renormalizasyon Grup Çalışmaları (Mariz, 1987),
Green Fonksiyonu Çalışmaları (Zubarev, 1960), deneysel olarak da iki boyutlu yapıları
ve yüzeylerin manyetik özelliklerini anlamak için çalışmalar yapılmıştır. (Rau ve ark.,
1980) (Weller., 1985) (Dürr., 1989) (Cellotta., 1986) (Rau and Robert., 1987)
Bu çalışmada model olarak Ising modelinden daha gerçekçi olan Heisenberg
modeli kullanılmıştır. Anizotropik terimler göz önüne alınmamıştır. Spinler arasındaki
etkileşim ferromanyetik değişim etkileşimi olarak alınmış ve sadece en yakın komşu
atomlar arası etkileşimin varolduğu kabul edilmiştir. Bu sebepten dolayı ikinci, üçüncü,
komşuluktaki atomlar arasındaki etkileşimler ihmal edilmiştir. Bu varsayım atomlar
arasındaki değişim etkileşiminin aradaki uzaklık fonksiyonu ile hızla azalan bir
fonksiyonu olduğu düşünülürse gayet yerindedir. Dış manyetik alan z yönünde
doğrultusunda kabul edilmiştir.
Tez dört bölümden oluşmuştur: İkinci bölümde Green fonksiyonu hakkında bilgi
verilmiştir. Üçüncü bölümde manyetizasyon dış manyetik alan varken ve dış manyetik
alan yok iken incelenmiş ve manyetizasyon ifadeleri indirgenmiş sıcaklığın fonksiyonu
olarak bulunmuştur. Dördüncü bölümde sonuçlar tartışılmıştır.
2 2. GREEN FONKSİYONU FORMALİZMİ
Kuantum alan teorisiyle istatistiksel mekaniğe dayalı teoriler arasında benzerlik
olduğunu savunan görüşler mevcuttur. Buradaki problem bir sistemin parçacıkları
birbiriyle etkileştiği zaman başlar. Parçacıkların tek başına serbest hareket etmedikleri
artık biliniyor. Bu durumda her parçacığın diğer parçacıklar üzerinde oldukça karmaşık
bir etkisi olduğu söylenebilir. Gazlar hariç bütün fizik sistemleri için bu durum
geçerlidir. Örneğin sıvı molekülleri, katı maddelerin elektronları, çekirdekteki proton ve
nötronlar vs… için bu durumu gözlemleyebiliriz.
Çok cisim probleminde ana kavram parçacıklar arasındaki etkileşimlerin
parçacıklar üzerindeki etkisidir. Örneğin etkileşimlerin taban durum ve uyarılmış durum
enerjileri üzerine, termodinamik özellikler üzerine elektriksel ve manyetik özellikler
üzerine etkileriyle ilgilenilir.
Çok cisim probleminin çözümüne oldukça yaklaşan, günümüzde de kullanılan
başarılı metotlardan biri kanonik dönüşüm tekniğidir. Bu tekniği kısaca anlatalım.
Bu teknik etkileşimin çok küçük olduğu yeni koordinat sistemlerine Shrödinger
denklemini dönüştürmeyi içerir. Bu yaklaşımdaki ana zorluk tekniğin sistematik
olmadığı için uygulamasının zor oluşudur. 1950’lere kadar bir sistematik metodun
eksikliği yüzünden çok cisim teorisi çok az ilerledi. Daha sonraları çok iyi ilerlemeler
kaydedildi. Kuantum alan teorisini geliştiren önemli makaleler yayımlandı. Bu
makaleler hazırlandıktan sonra temel parçacık fiziğine uygulandı.
Hem kuantum alan teorisinde hem de istatistiksel mekanikte kuantum
mekaniksel operatörlerin ortalamaları ile ilgilenilir fakat kuantum alan teorisi sistemin
taban durumu üzerindeki ortalamalarla ilgilenirken (T = 0), istatistiksel mekanik küme
ortalamaları ile ilgilenir. (T ≠ 0)
İstatiksel mekanik, enerji seviyeleri çok yoğun olan sistemler ile ilgilenir. Öyle
ki bu enerji seviyeleri arasındaki uzaklık hacim sonsuza giderken sıfıra gider. Bu
durumdan dolayı spekturum süreklidir ve pertürbasyon enerjisi her zaman enerji
aralıklarından büyük olur. Bu yüzden pertürbasyon teorisi sürekli spekturumlarda
kullanılmalıdır. Bağlı diyagramların, diyagram tekniğine dahil edilmesi sonucunda
pertürbasyon teorisinde büyük ilerlemeler kaydedildi.
Son yıllarda Green fonksiyonlarda bir düzenleme yapılarak kuantum alan
teorisinde istatistiksel problemlere uygulandı. Pertürbasyon teori diyagramlarında
sınırlandırılmış sınıflar üzerinden toplama yaparken Green fonksiyonlarını kullanmak
3 çok kullanışlı bir hale geldi ve spektral terimlerle kombine edildiği zaman çok güçlü bir
hal aldı.
Öncelikle bir parçacık Green fonksiyonlarını düşünelim. Etkileşen bir sistemde
bir parçacık bir yerden başka bir yere devamlı hareket halindedir. Bu parçacığın
davranışlarını detaylı olarak incelemek tabiki çok zor olacaktır. Yine de harekete
olasılık kazandırarak hareketi ortalama bir şekilde tanımlayabiliriz. Böylece tek
parçacık Green fonksiyonu G(r2,t 2;r1,t1), bir parçacığın t1 anında r1 noktasından
başlayarak t 2 anında r2 noktasına varma olasılığı olarak tanımlanır.
İki parçacık Green fonksiyonu da benzer şekilde tanımlanır. Bu Green
fonksiyonları, önemli sistemlerin fiziksel özelliklerinin elde edilmesini sağlar.
Kütleleri m1,m2 ... m N olan N tane parçacık, V (r) potansiyeli ile ilişkilendirilerek
harici bir F (r) kuvvet alanında, dönüşüm formülleri kullanılarak zamandan bağımsız
bir şekilde problemin çözümünde kullanılırsa bu parçacıkların hareketlerini
belirleyebiliriz. N parçıcık sistemi için Shrödinger denklemi tek parçacık Shrödinger
denklemine şu şekilde ayrışır;
HiφKi (ri )= EKi φKi (ri )
i = 1,...,N
(2.1)
Pi 2
Hi =
+ V (ri )
2m
(2.2)
Toplam enerji tek parçacık için verilen enerjilerin toplamları ile bulunabilir
⎛
⎞
⎜⎝ E = ∑ EKi ⎟⎠ . Parçacıklar birbirleriyle etkileşmeye başladıkları zaman N tane
i
çiftlenimli denklemi çözmek zorunda kalırız.
N
( )
F (ri ) + ∑ F ri , rj = mi
j =1
d 2 ri
dt 2
i = 1,...,N
(2.3)
ur
r
denklem sistemini çözmek zorundayız. Burada F ri , rj , konumları r i ve rj olan
( )
iki parçacık arasındaki etkileşimi gösterir. Ayrılamayan Shrödinger denklemi ise;
4 ⎡ N ⎧ Pi 2
⎤
⎫ 1 N
+
V
r
V ri , rj ⎥ Ψ (r1 ,....., rN ) = EΨ (r1 ,....., rN )
(
)
⎨
⎢∑
∑
i ⎬+
⎭ 2 i, j =1
⎣ j =1 ⎩ 2m
⎦
( )
(2.4)
r
ur
Burada V ri , rj , r i ve rj konumlarında bulunan iki parçacık arasındaki
( )
etkileşim potansiyelidir. Şimdi de güçlü ve zayıf etkileşimleri ayıralım. Eğer
etkileşimlerimiz zayıf ise etkileşmeyen durum çözümlerine çok küçük bir pertürbasyon
katkısı olacaktır. Çözümü etkileşmeyen parçacıkların çözümünde olduğu gibi
yapabiliriz. Bu durum bizim sıradan sonlu pertürbasyon teorisiyle çözümü elde
edebileceğimizi gösterir. Çözümü sıradan sonlu pertürbasyon teorisiyle elde edemezsek
güçlü etkileşim formüllerine başvurmalıyız. Bir çok katıda olduğu gibi etkileşimler
genellikle güçlüdür. Örneğin metaller içindeki iki elektron arasındaki Coulomb
etkileşmesi şu formdadır :
e2
ri − rj
( ) (
V ri , rj =
(2.5)
)
Taban durum enerjisi bu formül kullanılarak hesaplanırsa;
E 0 = E 0(0) + E 0(1) + sonsuz
(2.6)
elde edilir.
Birinci terimden sonraki pertürbasyon teorisinin bütün terimleri sonsuzdur.
Buradaki çıkmazdan, koordinat dönüşümü yaparak kurtulabiliriz. Öyle ki yeni
koordinatları kullanırsak (2.3) denklemi yaklaşık olarak çiftlenimsiz olur. Bu
dönüşümün detaylarına girmeyeceğiz. Bu dönüşümler bir sistem için kullanılırsa
etkileşen parçacıklar yaklaşık olarak etkileşmeyen parçacıklar gibi düşünülebilir.
Şimdi
çoğunlukla
incelenen,
katılardaki
temel
uyarılmayı
gözönünde
bulunduralım. Temel uyarılmanın ne olduğunu ve hayali parçacıklar ile nasıl bağlı
olduğunu anlamaya çalışalım. Katılardaki titreşim kuantumlarına yani fononlara
bakalım. Harmonik osilatörün kuantumlaştırılmasıyla
denklemdeki gibi olur.
kuantumlu enerji aşağıdaki
5 1⎞
⎛
Eq′ = hω q ⎜ nq + ⎟
⎝
2⎠
Harmonik osilatör, taban durum enerjisi
(2.7)
1
hω olan ve her biri hω enerjisine
2
sahip olan n q tane kuantumlardan meydana gelen bir küme olarak düşünülebilir. Ses
dalgalarının bu kuantumları fononlar olarak adlandırılır. Fononlar parçacıklar gibi
hareket ederler. Gerçek birer parçacık olmayan bu fononlar kuantum mekaniksel alanda
birer parçacıktır.
Verilen bir n q için dalga sayısı q olan kuantumlanmış tek ses dalgası vardır
fakat dalga sayısı q olan çok sayıda fonon vardır ( n q kadar). Bu yüzden fononu bir
kuantum olarak ya da bir ses parçacığı olarak isimlendirmek daha uygundur.
⎛1
⎞
hω enerjisi, sıfır nokta enerjisi ⎜ hω ⎟ üzerindeki uyarılma enerjisinin
⎝2
⎠
minimum birimidir. Fonon bu minimum birimi taşıdığından dolayı temel uyarılma
olarak kabul edilir.
Birleşik uyarılmalar iki katagoriye ayrılır: “toplu uyarılmalar” ve “sanki
parçacıklar.” Toplu uyarılmalar sistemdeki parçacıkların makroskobik gruplarının toplu
hareketleriyle ilişkilendirilmiş kuantumlardır. Toplu uyarılmalar gerçek parçacıklarla
benzerlik göstermezler oysaki sanki parçacıklar gerçek parçacıklarla oldukça benzerdir.
Bir parçacık bir sistem içerisinde hareket ettiği müddetçe yakın parçacıkları iter
ya da çeker. Böylece uyarılmış parçacıklarla çevrilmiş bir bulut oluşturur. Gerçek
parçacık ve bulutu sanki parçacık oluşturur. Parçacık bulutu gerçek parçacığı
ekranladığından, büyük ölçekte kuvvet alanını azalttığından, sanki parçacık diğer
parçacıklarla sadece zayıf bir şekilde etkileşir ve böylece onlardan bağımsız gibi kabul
görür.
Taban durum enerjisi, temel uyarılma enerjileri ve temel uyarılmaların yaşam
süreleri için bir sistematik metod elde etmek gerekir. Parçacık fiziğiyle sınırlandırılmış
kuantum alan teorisi tam aradığımız metodu verir. Kuantum alan teorisi bu konuda bize
bütünleştirilmiş bir yol sunar.
Çok cisim problemimizde, alan teorisi incelemesinde Green fonksiyonları en
önemli rolü oynar. Green fonksiyonlarının farklı çeşitleri vardır. Tek parçacık, iki
parçacık, ....,n parçacık, ilerlemiş, gerilemiş, nedensel, sıfır sıcaklık, sonlu sıcaklık,
gerçek zaman, sonlu zaman, kompleks zaman Green fonksiyonları v.b...
6 Örneğin tek parçacık Green fonksiyonu
G (r2 ,t 2 ; r1 ,t1 ) ’i ele alalım. Green
fonksiyonu olasılık genliğini verir. Yani biz bir parçacığı etkileşen bir sistem içerisine,
r1 konumuna, t1 zamanında koyarsak ve diğer parçacıklarla çarpışmasına izin verirsek
t 2 zamanında r2 konumunda bulunma olasılığını bulabiliriz.
Green fonksiyonu G , sanki parçacıkların direkt enerjilerini ve yaşam sürelerini
verir. Ayrıca momentum dağılımları spin ve parçacık yoğunlukları taban durum
enerjileri gibi bilgilere de Green fonksiyonu kullanılarak ulaşılabilir. G fonksinunun
sonlu sıcaklık versiyonunu kullanılırsak bu özelliklerin tamamı sonlu sıcaklıkta elde
edilebiliriz.
İki parçacık Green fonksiyonu G2 , bir parçacık r1 konumunda t1 zamanında
başka bir parçacık r2 konumunda t 2 zamanında sistem içerisine konulursa; birinci
parçacığın r3 konumunda t 3 zamanında, ikinci parçacığın r4 konumunda t 4 zamanında
bulunma olsılık genliğini verir. Ayrıca G2 fonksiyonu, toplu uyarılmaların enerjilerini,
yaşam sürelerini, magnetik duyarlılıklarını, elektiriksel iletkenliklerini ve diğer dengede
olmayan özelliklerin hepsini de bütün sıcaklıklar için doğrudan verir.
Çok cisim problemimizde daha az rol oynamasına rağmen bir hayli önemli olan
boşluk genliği ismindeki fiziksel büyüklük üzerinde duralım. Sıfır sıcaklık boşluk
genliği taban durum enerjisinin hesaplanmasında kullanılabilir. Bu genliğin sonlu
sıcaklık versiyonu ise büyük bölüşüm fonksiyonunu verir. Buradan da sistemin
dengedeki bütün özellikleri belirlenebilir.
Green fonksiyonları başlıca iki yoldan hesaplanır. Birinci yol; Green
fonksiyonunu, sonsuz pertürbasyon serisine açarak seriyi yaklaşık olarak hesaplamaktır.
Genellikle yapıldığı gibi bütün terimleri ikinci ve üçüncü mertebeye kadar toplamak
Green fonksiyonu için yeterli olmaz. Çünkü seri çok yavaş yakınsar. Bazı durumlarda
serideki bütün terimler ıraksayabilir. Bu durumda bazı terimler üzerinden toplam almak
gerekir. Bu işleme seçici toplam adı verilir. Elbette sonsuz mertebede Pertürbasyon
teorisinde bu seçici toplamı yapmak için yeni bir yöntem gerekir. Bu yöntem Feynman
diyagramları yöntemi olarak bilinir.
Diğer bir metotta yani analitik metotta Green fonksiyonlarını sağlayan
çiftlenimli diferansiyel denklemler çözülür. Bunun anlamı tek parçacık Green
fonksiyonu G , bilinmeyen iki parçacık Green fonksiyonu G2 ’ yi dahil eden diferansiyel
denklemi sağlar. Aynı şekilde tek parçacık Green fonksiyonu G3 ’ ü dahil eden
diferansiyel denklemi de sağlar. Bu şekilde devam eder gider. Sonuç olarak sonsuz
7 hiyerarşik çiftlenimli nonlineer diferansiyel denklemlerle ilgilenilmesi gerekir. Gerçekte
çiftlenimli denklemler, uygun aşamalarda uygun bir kesme kullanılarak çiftlenimsiz
hale getirilebilir ve sonra da elde edilen çiftlenimsiz denklemler çözülebilir.
Çift zamanlı sıcaklığa bağlı gecikmiş ve ilerlemiş Green fonksiyonu aşağıdaki
şekilde tanımlanır.
Gr (t , t ′ ) ≡
A (t ); B (t ′ )
r
= −iθ (t − t ′ ) ⎡⎣ A (t ), B (t ′ )⎤⎦
(2.8)
ve,
Ga (t , t ′ ) ≡
A (t ); B (t ′ )
a
= iθ (t ′ − t ) ⎡⎣ A (t ), B (t ′ )⎤⎦
şeklindedir. Burada
...
r,a
(2.9)
her bir Green fonksiyonuna karşılık gelen kısaltılmış
gösterimlerdir. ... Büyük kanonik küme üzerine ortalamayı gösterir. Parçacık sayısı
sabit olmadığından bu istatistik uygundur. ... aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır.
( ...)
... = Z −1Tr e
−Hθ
(2.10)
burada
( )= e
Z = Tr e
−Hθ
θ=
−Ω
θ
(2.11)
1
dir. k Boltzmann sabitidir. T mutlak sıcaklığı gösterir. Z bölüşüm
kT
fonksiyonudur.
Ω
termodinamik potansiyeldir.
H
operatörü genelleştirilmiş
Hamiltoniyendir. Aşağıdaki şekilde verilir.
H = Η − μN
(2.12)
8 Burada Η zamandan bağımsız Hamiltoniyendir. N toplam parçacık sayısı
operatörüdür.
μ kimyasal potansiyeldir. A (t ), B (t ′ ) Heisenberg gösterimindeki
operatörlerdir; ki bunlar kuantumlanmış operatörlerin çarpımları olarak ifade edilebilir.
A (t ) = eiHt A (0 )e−iHt ;
h=1
(2.13)
Denk. (2.8) ve denk. (2.9)’daki θ (t ), basamak fonksiyonu olarak adlandırılır.
Aşağıdaki gibi tanımlanmıştır.
⎧0,
⎩1,
θ (t ) = ⎨
t<0
(2.14)
t>0
[A, B ] komütatör veya anti komütatördür. Yani,
[A, B ] = AB − η BA
η = ±1
(2.15)
η , A ve B Bose operatörü ise pozitif ve her ikisi de Fermi operatörü ise
negatiftir. η değeri için problem durumuna göre (−1) ya da (+1) seçilir. Denklem
(2.15)’i kullanarak, (2.8) ve (2.9)’u aşağıdaki gibi yazarız.
Gr (t, t ′ ) = −iθ (t − t ′ )⎡⎣ A (t )B (t ′ ) − η B (t ′ )A (t ) ⎤⎦
(2.16)
Ga (t, t ′ ) = iθ (t − t ′ )⎡⎣ A (t )B (t ′ ) − η B (t ′ )A (t ) ⎤⎦
(2.17)
(2.14) ve (2.16) dan görürüz ki; Gr (t, t ′ ) , t ' < t olduğu zaman Gr (t, t ′ ) = 0 olur. t ′ > t
olduğu zaman ve t ′ = t olduğu zaman Gr (t, t ′ ) , tanımlı değildir. θ (t ) nin t = 0 da
süreksizliğinden dolayı Gr (t, t ′ ) , t ′ = t de tanımlı değildir. Benzer düşünceler Ga (t, t ′ )
ye de uygulanabilir. (2.16), (2.10), (2.13) ve (2.8) kullanılarak aşağıdaki denklemleri
elde edebiliriz.
Ga (t, t ′ ) = −iθ (t − t ′ ) A (t )B (t ′ ) − iηθ (t − t ′ ) B (t ′ )A (t )
(2.18)
9 A (t )B (t ′ ) = eiHt A (0 )e−iHt eiHt ′ B (0 )e−iHt ′
(2.19)
denklemimizi eiHt ′ ve e−iHt ′ ile çarpalım
A (t )B (t ′ ) = eiHt e−iHt ′ A (0 )e−iHt eiHt ′ B (0 )e−iHt ′ eiHt ′
= eiH (t − t ′ )A (0 )e−iH (t − t ′ )B (0 )
(2.20)
bulunur. Benzer olarak,
B (t ′ )A (t ) = eiH (t ′ − t )B (0 )e−iH (t ′ −t )A (0 )
(2.21)
olur. Böylece (2.20) ve (2.21)’ü (2.18) içerisine yazarsak (2.22) elde edilir.
H i t −t ′ −β
Ga (t, t ′ ) = −iθ (t − t ′ )Z −1Tr ⎡⎣ e ⎡⎣ ( ) ⎤⎦ A (0 )e−iH (t − t ′)B (0 )⎤⎦
H i t ′ −t − β
−iθ (t − t ′ )Z −1Tr ⎡⎣ e ⎡⎣ ( ) ⎤⎦ B (0 )e−iH (t − t ′)A (0 )⎤⎦
(2.22)
burada
β=
1
1
=
kT θ
(2.23)
şeklindedir. Denklem (2.22) aşağıdaki denklemi gösterir.
Ga (t, t ′ ) = Ga (t − t ′ )
(2.24)
benzer olarak,
(2.25)
şeklinde gösterilir.
10 FBA (t, t ′ ) = B (t ′ )A (t )
FAB (t, t ′ ) = A (t )B (t ′ )
Yukarıdaki gibi Heisenberg
(2.26)
temsilindeki operatörlerin çarpımının, istatistik
küme üzerine ortalamaları, istatistik fizikte önemlidir. Bunlar zaman korelasyon
fonksiyonu olarak adlandırılır. Zamanlar farklı olduğunda
(t ≠ t )
'
bu ortalamalar
korelasyon fonksiyonunu verir; ki bunlar iletim olayı için vazgeçilmezdir. İstatiksel
(
)
dengedeki Green fonksiyonları gibi bu zaman korelasyon fonksiyonları da t − t ' ’ ne
bağlıdır.
FBA (t, t ′ ) = FBA (t − t ′ )
FAB (t, t ′ ) = FAB (t − t ′ )
(2.27)
Bu gerçek yukarıdaki denklemlerin spektral temsillerini bulmamıza yardım eder.
Aynı zamanda onları Green fonksiyonuna bağlar.
Şimdi spektral temsilleri türetelim. Belirtildiği gibi Green fonksiyonları ve
zaman korelasyon fonksiyonları sadece (t − t ′ ) ’ye bağlıdır. Bu her bir fonksiyon için
Fourier integralini bulmada kullanılır. Bu integraller spektral temsil olarak adlandırılır.
Öncelikle zaman korelasyon fonksiyonu için bir temsil elde edelim. Daha sonra
da Green fonksiyonları için bir temsil elde edelim. Böylece ikisi arasında bir bağıntı
bulabiliz.
Matris elemanları için H nin köşegen olduğu bir temsil kullanırsak, o zaman;
φ μ H φν = δ μν Eν
(2.28)
Bu denklem aşağıdaki ifadeyi gerektirir.
H φν = Eν φν
(2.29)
Denklem (2.27) ile verilen zaman korelasyon fonksiyonlarının tanımında
istatistiksel ortalama işlemini açıkça kullanırsak, aşağıdaki ifadeyi buluruz.
11 FBA (t, t ′ ) = B (t ′ )A (t )
= Z −1 ∑ φν B (t ′ )A (t ) φν e− Eν
θ
ν
= Z −1 ∑ ∑ φν B (t ′ ) φ μ φ μ A (t ) φν e− Eν
μ
θ
(2.30)
ν
Burada φν ’ nin komple baz özelliği kullanıldı. (17.48) ve (17.60) kullanılarak
aşağıdaki bağıntıyı elde ederiz.
B (t ′ )A (t ) = Z −1 ∑ φν eiHt ′ B (0 )e−iHt ′ φμ φ μ eiHt A (0 )e−iHt φν e− Eν
θ
μ ,ν
= Z −1 ∑ φν eiEν t ′ B (0 )e
μ ,ν
−iEμ t ′
φμ φμ e
iEμ t
A (0 )e−iEν t φν e− Eν
−i E − E (t − t ′ )
= Z −1 ∑ φν B (0 ) φ μ φ μ A (0 ) φν e ( ν μ ) e− Eν
θ
θ
(2.31)
μ ,ν
benzer olarak,
−i E − E (t − t ′ )
A (t )B (t ′ ) = Z −1 ∑ φν A (0 ) φμ φ μ B (0 ) φν e− Eν θ e ( ν μ )
(2.32)
μ ,ν
olur. (2.32)’ deki toplama indisleri μ ve ν yer değiştirerek (2.33) denklemini elde
edebiliriz.
A (t )B (t ′ ) = Z −1 ∑ φ μ A (0 ) φν φν B (0 ) φμ e
e (
)
− Eμ θ −i Eμ − Eν (t ′ −t )
μ ,ν
= Z −1 ∑ φν A (0 ) φ μ φ μ B (0 ) φν e
e (
)
− Eμ θ −i Eν − Eμ (t − t ′ )
(2.33)
μ ,ν
Denklemi e− Eν θ ile ve eEν
θ
ile çarpalım.
− i E − E (t − t ′ )
A (t ) B (t ′ ) = Z −1 ∑ φν A (0 ) φ μ φ μ B (0 ) φν e − Eν θ eω θ e ( ν μ )
μ ,ν
∞
=
∫ J (ω )e
−∞
ω θ −iω (t − t ′ )
e
dω
(2.34)
12 elde edilir. Burada
ω − Eν + Eμ = 0
(2.35)
olduğu için Eν − Eμ yerine ω yazılmıştır.
(
J (ω ) = Z −1 ∑ φν B (0 ) φ μ φ μ A (0 ) φν e− Eν θδ ω − Eν + Eμ
μ ,ν
)
(2.36)
olarak kullanılmıştır. Benzer olarak,
FBA (t − t ′ ) = B (t ′ )A (t )
∞
=
∫ J (ω )e
−iω (t − t ′ )
dω
(2.37)
−∞
olur. Burada J (ω ) , (2.36)’ daki ile aynıdır. (2.34) ve (2.37) zaman korelasyonu
fonksiyonları için aranan spektral fonksiyonların (2.34) ve (2.37)’ deki gibi olduğuna
dikkat ediniz. Burada J (ω ) , FBA (t ) fonksiyonunun spektral temsilleridir.
Şimdi
Gr (t − t ′ )
ve
Ga (t − t ′ )nün
spektral
temsillerini
göz
önünde
bulunduralım. Bunlar (2.34) ve (2.37) sayesinde elde edilir.
Gr (E ) , Gr (t − t ′ ) nin Fourier dönüşümü olsun.
Gr (t − t ′ ) =
∞
∫ dEG (E )e
−iE (t − t ′ )
(2.38)
r
−∞
veya
1
Gr (E ) =
2π
∞
∫ G (t − t ′ )e
r
−iE (t − t ′ )
dt
−∞
dir. (2.39) içine (2.16)’yı yerleştirirsek aşağıdaki denklemi elde ederiz.
(2.39)
13 ∞
1
Gr (E ) =
dt ⎡⎣ eiE (t − t ′ )θ (t − t ′ ). A (t )B (t ′ ) − η B (t ′ )A (t ) ⎤⎦
∫
2π i −∞
{
}
(2.40)
(2.34) ve (2.37 ) denklemlerini (2.39) içerisine yazarsak;
Gr (E ) =
∞
1
dt ⎡⎣ eiE (t − t ′ )θ (t − t ′ )
∫
2π i −∞
∞
⎧∞
⎫⎤
ω θ −iω (t − t ′ )
. ⎨ ∫ J (ω )e e
dω − η ∫ J (ω )e−iω (t − t ′ ) dω ⎬ ⎥
−∞
⎩⎪ −∞
⎭⎪ ⎥⎦
∞
(
ωθ
∫ dω J (ω ) e − η
=
∞
1
dteiE (t − t ′ )e−iω (t − t ′ )θ (t − t ′ )
∫
2π i −∞
)
−∞
(2.41)
olur.
Şimdi (t − t ′ ) = t (zaman farkı) kullanarak, (2.42) denklemini elde edebiliriz.
Gr (E ) =
∞
(
ωθ
∫ dω J (ω ) e − η
−∞
∞
1
dtei (E −ω )tθ (t )
∫
2π i −∞
)
Süreksiz fonksiyon θ (t ) aşağıdaki biçimde yazılabilir.
t
θ (t ) =
ε
∫ e δ (t )dt ,
t
−∞
Burada
∞
1
δ (t ) =
2π
∫e
−ixt
dx
−∞
Bu yüzden
1
θ (t ) =
2π
t
∫e
−∞
εt
∞
dt ∫ e−ixt dx
−∞
ε → 0 (ε > 0 )
(2.42)
14 1
=
2π
∞ t
(ε −ix )t
∫ ∫e
dtdx
−∞ −∞
∞
1
1 (ε −ix )t
=
lim ∫
e
dx
2π ε → 0 −∞ ε − ix
∞
i
e−ixt
=
lim ∫
dx
2π ε → 0 −∞ x + iε
(2.43)
(2.43)’te tanımlanan fonksiyonun süreksiz θ fonksiyonunun özelliklerine sahip
olduğu kolaylıkla görülebilir. Şimdi x ’i kompleks değişken olarak ele alacağız ve
(2.43) integrali şekil 2.1’de gösterilen kontur üzerinden alacağız.
2.1 Kompleks düzlemde integralin izlediği yol
İntegrale alınacak fonksiyon aşağı yarı düzlemde x = −iε kutbuna sahiptir.
x = x1 + ix2 yazılarak aşağıdaki denklem yazılır.
e− ixt = e− i (x1 + ix2 )t = e− ix1t e x2 t
Şimdi t > 0 ise integralin sıfır olması için, x2 negatif olmalıdır. Kutup aşağı
yarı düzlemde olduğundan integralin değeri 1’dir. t < 0 olduğu zaman x2 pozitif
olmalıdır. Bundan dolayı kontur yukarıdaki yarı düzlemde olmalıdır; fakat kutup yukarı
yarı düzlemde olmadığından integral sıfır olur. (2.43)’ü kullanarak (2.42) denklemini
hesaplamaya çalışalım.
15 1
2π
∞
∫ dte
θ (t )
−i (E − ω )t
−∞
1
=
2π
i
=
2π
=
=
i
2π
∞
−∞
i
2π
∞
∞
∫ dte
i (E − ω )t
dx 1
∫−∞ x + iε 2π
∞
e−ixt
∫ x + iε dx
−∞
∫e
−i (x − E + ω )t
dt
−∞
∞
dx
∫−∞ x + iεδ (x − E + ω )
⎡
1
⎢Q δ (x ) =
2π
⎣
∞
∫e
−∞
−ixt
⎤
dt ⎥
⎦
i
1
2π E − ω + iε
(2.42) denklemi şu hale gelir.
1
Gr (E ) =
2π
∞
∫ (e
ωθ
)
dω
E − ω + iε
(2.44)
)
dω
E − ω − iε
(2.45)
− η J (ω )
−∞
Benzer olarak;
Ga (E ) =
1
2π
∞
∫ (e
ωθ
− η J (ω )
−∞
olur. (2.44) ve (2.45)’i birleştirerek aşağıdaki denklemi elde edebiliriz.
∞
1
dω
Gr , a (E ) =
eω θ − η J (ω )
∫
2π −∞
E − ω ± iε
(
)
(2.46)
Burada “+” işareti “r “ indisine, “ − ” işareti “ a ” indisine karşılık gelir. Eğer
“E” kompleks kabul edilirse, (2.46) kompleks “E ” düzleminde analitiksel olarak devam
edebilir. Böylece;
1
2π
∞
∫ (e
−∞
ωθ
)
− η J (ω )
⎧⎪Gr (E ),
dω
=⎨
E − ω ⎩⎪Ga (E ),
Im E > 0
Im E < 0
(2.47)
16 olur. (2.47)’nin sol tarafı Cauchy integralidir. Gr (E ) ve Ga (E ) , G (E ) ’nin iki kolu
olarak düşünülebilir. G (E ) , bütün düzlemlerde süreklidir. Reel x ekseni hariç.
⎧⎪Gr (E ),
G (E ) = ⎨
⎪⎩Ga (E ),
Im E > 0
(2.48)
Im E < 0
Şimdi (2.48)’in ispatını verelim. G (E ) , Bogolyubov ve Parasyuk dispersiyon
bağıntıları teorisinde ispatladıkları bir teoremin sonucudur.
1
Gr (E ) =
2π
∞
∫ G (t )e
r
iEt
(2.49)
dt
−∞
Daha önceden gördüğümüz gibi burada Gr (t ) = 0 dır. ( t < 0 olduğu zaman)
Şimdi de , Gr (E ) nin kompleks E bölgesinde sürekli, analitiksel olabileceğini
gösterelim. Kabul edelim ki E , sıfır olmayan kompleks kısma sahip olsun.
E = Re E + i Im E = α + iγ
γ >0
(2.50)
O zaman aşağıdaki bağıntıyı elde ederiz.
∞
1
Gr (α + iγ ) =
Gr (t )eiα t e− γ t dt,
2π ∫0
γ >0
(2.51)
Bu denklemde e−γ t , Gr (E ) nin integralinin ve E ’ye göre türevlerinin yakınsak
olmasını sağlayan bir kesme faktörü rolünü oynar. Böylece Gr (E ) fonksiyonu yukarı
yarı düzlemde analitik olabilir. Ga (E ) ’nin de aşağı yarı düzlemde analitik olduğu
gösterilebilir. Şayet reel eksende bir kesme yapılırsa
G (E ) ’nin iki branşı olduğu düşünülebilir.
⎪⎧Gr (E ),
G (E ) = ⎨
⎩⎪Ga (E ),
Im E > 0
Im E < 0
17 (2.36)’daki J (ω ) ve (2.48)’deki G (E ) arasında bir bağıntı bulalım. (2.46)’dan
G (E ) =
1
2π
∞
∫ (e
ωθ
)
− η J (ω )
−∞
dω
E −ω
(2.52)
dir. “E” ve “ ω ” yı yer değiştirelim.
1
G (ω ) =
2π
∞
∫ (e
Eθ
)
dE
ω−E
− η J (E )
−∞
(2.53)
Buradan (2.54) elde edilir.
G (ω + iε ) =
1
2π
∞
∫ (e
)
dE
ω + iε − E
(2.54)
)
dE
ω − iε − E
(2.55)
Eθ
− η J (E )
Eθ
− η J (E )
−∞
Benzer olarak;
1
G (ω − iε ) =
2π
∞
∫ (e
−∞
Her ikisini birleştirerek aşağıdaki bağıntıyı bulabiliriz.
G (ω + iε ) + G (ω − iε )
1
=
2π
∞
∫ (e
−∞
Eθ
1
1
⎛
⎞
− η J (E )⎜
−
dE
⎝ ω − E + iε ω − E − iε ⎟⎠
)
(2.56)
Aşağıdaki δ fonksiyonunu kullanarak (2.58)’i elde ederiz.
δ (x ) =
1 ⎛ 1
1 ⎞
−
⎜⎝
⎟
2π i x − iε x + iε ⎠
G (ω + iε ) + G (ω − iε )
(2.57)
18 ∞
2π i
=−
eE θ − η J (E )δ (ω − E )dE
∫
2π −∞
(
)
(
)
= −i eω θ − η J (ω )
(2.58)
Böylece G (E ) ’nin bilinmesi halinde J (ω ) ’yı bilebiliriz. (2.37)’den (2.59) elde
edilebilir.
B (t ′ )A (t ) =
∞
∫
J (ω )e
( )dω
−iω t −t '
(2.59)
−∞
(2.58)’den de J (ω ) aşağıdaki gibi elde edilebilir.
J (ω ) = −
1 G (ω + iε ) − G (ω − iε )
i
eω θ − η
Bunu (2.59)’da yerine yazarsak sonuçta (2.60) bulunur.
G (ω + iε ) − G (ω − iε ) −iω (t − t ′ )
e
dω
ε →0
eω θ − η
(2.60)
1
miπδ (E − ω )
E −ω
(2.61)
B (t ′ )A (t ) = i lim
1
E − ω ± iε
=P
Yukarıdaki bağıntıyı (2.44) ve (2.45)’te kullanalım. Burada ε → 0 , ε > 0 ve P ,
integralin temel değerini göstermek üzere aşağıdaki sonuç elde edilir.
(2.62)
∞
1
dω
i
Ga (E ) =
P ∫ eω θ − η J (ω )
+ eE θ − η J (E )
2π −∞
E −ω 2
(
)
(
)
(2.63)
19 Burada (E − ω ) bir reel büyüklük olarak göz önüne alınır. (2.62) ve (2.63)’ten
Green fonksiyonlarının reel ve sanal kısımları arasında (2.64) ve (2.65) bağıntıları
bulunur.
(2.64)
(2.65)
(2.64) ve (2.65) denklemleri dispersiyon bağıntılarını içerir. (2.62) ve (2.63)’teki
J (E ) ’nin göze çarpan özelliklerine bakalım. İlk olarak J (E ) gerçek eksen üzerinde
kutuplara sahip olabilir. Şayet böyle kutuplar Ei , noktalarında mevcut iseler FBA ,
Ei frekansıyla salınım yapar. T = 0 ’ da
Ei
frekansları sistemin tam enerji
özdeğerleridir ve sistemin kararlı durumlarını verir. T ≠ 0 için şayet bütün Ei ’ler
mevcut ise bunlar sıcaklığa ve kimyasal potansiyele bağlıdır ve yorumları tam değildir.
Bununla beraber sönümsüz hareketi karakterize ederler. Sıcaklığa bağımlı enerji
düzeylerini verirler. En genel halde J (E ) karışık cinsten tekillere sahip olabilir. Bu
yüzden kutuplara indirgenemezler. Bunun sonucunda FBA , zamanın bir sönümlü
fonksiyonu olur. Sonuçta T = 0 için, kararlı durumları olmaz ve T ≠ 0 için, taban
durum ortalaması oluşmaz.
20 3. KARE ÖRGÜDE MANYETİZASYONUN İNCELENMESİ
Tezde şekil 3.1 de görülen iki boyutlu kare örgüde manyetizasyonu
inceliyeceğiz. Kare örgüdeki spinlerin aşağıdaki şekilde etkileştiklerini varsayacagız.
H = −gμ BΗ ∑ Sgz −
g
1
∑ J (g − f )Sg S f
2 g, f
(3.1)
Burada J (g − f ) , g ve f örgü noktalarındaki iki spin arasındaki değişim
etkileşimini göstermektedir. Toplam, örgüdeki toplam örgü noktaları üzerinedir. Ancak
hemen belirtelim ki; bazı yazarlar
1
katsayısı yerine 2 katsayısını almaktadırlar.
2
J (g − f ) Ferromanyetik maddeler için pozitif, antiferromanyetik maddeler için
negatiftir.
Şekil-3.1 İki boyutlu kare örgü
21 3.1 Dış Manyetik Alan Yokluğunda Manyetizasyonun İncelenmesi
İki boyutlu örgüde H=0 durumunda φ (S ) fonksiyonu denklem (3.2)’deki gibi
verilir. Bir kristaldeki herhangi bir atomun kristaldeki diğer bütün atomlarla olan
değişim etkileşim sabitlerinin toplamı J (0 ) ile gösterilir. K dalga vektörüdür. Birim
hücrenin alanı υ , ise parçacık başına düşen alandır.
(υ = A N ).
Bu tezde elde
edeceğimiz manyetizasyon ifadesi S z ’dir.
∞
⎡ 2rη (K ) S z ⎤
υ
2
φ (S ) =
d K ∑ exp ⎢ −
⎥
hτ
(2π )2 ∫
r =1
⎢⎣
⎥⎦
η (K ) = 1 −
J (K )
J (0 )
(3.2)
(3.3)
olarak verilmiştir. İki boyutlu kare örgü için en yakın komşuluk düşünülerek aşağıdaki
yaklaşım kullanılabilir.
J (K ) =
( )
1
J (0 )⎡⎣ cos (K x a )+ cos K y a ⎤⎦
2
(3.4)
J (K ) 1
= ⎡ cos (K x a )+ cos K y a ⎤⎦
J (0 ) 2 ⎣
( )
(3.5)
Bu ifadeyi (3.3) denkleminde yerine yazalım.
1 )J (0 )⎡ cos (K a )+ cos (K a )⎤
(
⎣
⎦
η (K ) = 1 − 2
x
J (0 )
y
(3.6)
( )
bulunur. Cos (K x a ) ve cos K y a ifadelerini seri açtıktan sonra taraf tarafa toplayalım.
x2 x4 x6
cos(x ) = 1−
+
−
+ ...
2! 4! 6!
(3.7)
22 yaklaşımını kullanarak;
cos (K x a )
2
4
6
8
10
K x a ) (K x a ) (K x a ) (K x a ) (K x a )
(
= 1−
+
−
+
−
+ ...
2!
4!
6!
8!
10!
(K a ) + (K a ) − (K a ) + (K a ) − (K a )
cos (K a )= 1 −
2!
4!
6!
8!
10!
2
4
y
6
y
8
y
10
y
+ ...
y
y
( )
cos (K x a ) + cos K y a = 2 − a
+ a8
(K
(K
2
)+ a (K
+ K y2
2
x
4
2!
+K
8
x
8
y
8!
+ K y4
4!
K + K 10
y
)− a (
10
4
x
10
x
)− a (K
6
6
x
)
+ K y6
)
6!
(3.8)
10!
ifadesini bulabiliriz. η (K ) denkleminde bulunan sonucu yerine yazalım.
(3.9)
Elde edilir. φ (S ) dekleminin üstel kısmını yukarıda bulunan ifadeler yardımıyla
hesaplarsak;
2
⎛ r Sz ⎞ ⎡ 2
⎡ −2r S z
⎤
a4
a6
2 a
η (K )⎥ = exp ⎜ −
− K x4 + K y4
+ K x6 + K y6
exp ⎢
⎟ ⎢ Kx + Ky
2!
4!
6!
⎢⎣ hτ
⎥⎦
⎝ hτ ⎠ ⎣
(
(
+ K x8 + K y8
)
(
)
(
)
10
a8
10 a ⎤
− K 10
+
K
x
y
8!
10! ⎥⎦
)
(
⎡ r Sz
= exp ⎢ −
⎢⎣ hτ
)
2
⎧⎪ ⎡ r S z
⎤⎛ 2
2 a ⎞
exp ⎨ ⎢ −
⎥⎜ Kx + Ky
2! ⎟⎠
hτ
⎥⎦ ⎝
⎩⎪ ⎢⎣
(
)
⎡ r Sz
− ⎢−
⎢⎣ hτ
2
⎤⎛ 6
⎡ r Sz
6 a ⎞
+ ⎢−
⎥ ⎜ Kx + Ky
6! ⎟⎠ ⎢⎣ hτ
⎥⎦ ⎝
⎡ r Sz
− ⎢−
⎢⎣ hτ
10 ⎫
⎤ ⎛ 10
10 a ⎞ ⎪
⎥⎜ Kx + Ky
⎬
10!⎟⎠ ⎪
⎥⎦ ⎝
⎭
(
(
)
)
⎤⎛ 4
a2 ⎞
⎥ ⎜ K x + K y4
4! ⎟⎠
⎥⎦ ⎝
(
)
⎤⎛ 8
a8 ⎞
⎥ ⎜ K x + K y8
8! ⎟⎠
⎥⎦ ⎝
(
)
(3.10)
23 Oluşturduğumuz ikinci üstel fonksiyonu seri açarsak,
e− x = 1 + x +
e
⎡ −2r S z
⎤
⎢
η (K )⎥
⎢ hτ
⎥
⎣
⎦
x2 x3
+ + ...
2! 3!
(3.11)
⎡ r Sz
= exp ⎢ −
⎢⎣ hτ
−
+
r Sz
(K
hτ
2
r2 Sz
h2τ 2
6
x
(K
+K
6
y
2
x
+K
2
y
z
a2 ⎤ ⎡ r S
⎥ ⎢1 +
2! ⎥⎦ ⎢⎣
hτ
)
z
a2 r S
+
6!
hτ
)
(K
8
x
+K
(K
4
x
+K
4
y
z
a8 r S
−
8!
hτ
)
8
y
a2
4!
)
(K
10
x
+ K y10
⎤
a8
8
8
4
4
K x + K y + 2K x K y ⎥
4!4!2
⎥
⎦
(
)
10
a
)10!
(3.12)
elde ederiz. φ (S ) denkleminde yerine yazalım.
r S
υ ⎡ 2 ∞ − hτ (K
⎢
φ (S ) =
d K∑e
(2π )2 ⎢ ∫
r =1
z
2
x
+ K y2
2
)a2 !
⎣
∞
+∫ d K∑e
2
−
r Sz
hτ
(K
2
x
+ K y2
r =1
∞
−∫ d K∑e
2
−
r Sz
hτ
(K
2
x
+ K y2
(K
2
x
+ K y2
r =1
∞
+∫ d K∑e
2
−
r Sz
hτ
r =1
∞
−∫ d K∑e
2
−
r Sz
hτ
∞
+∫ d K∑e
r =1
−
r Sz
hτ
2
(
K x4 + K y4
a4 ⎞
⎟
4! ⎠
)
z
6⎞
)a2! ⎛ r S
6
6 a
K
+
K
( x y )6! ⎟
⎜
⎝ hτ
⎠
2
z
)a2! ⎛ r S
a8 ⎞
K x8 + K y8 ) ⎟
(
⎜
8! ⎠
⎝ hτ
(K
2
x
+ K y2
(K
2
x
+ K y2
r =1
2
z
)a2! ⎛ r S
⎜
⎝ hτ
2
z
10 ⎞
)a2! ⎛ r S
10
10 a
(K x + K y )10!⎟
⎜
⎝ hτ
⎠
2
2
z
⎞
)a2! ⎛ r S
a8
8
8
2 2
⎜ 2 2
(K x + K y + 2K x K y )⎟⎟
⎜⎝ h τ 4!4!2!
⎠
2
2
(3.13)
Bulunur. Bu integralleri çözebilmek için aşağıdaki formülleri ve çıkarımları
kullanacağız.
24 Γ (k )
,
pα k
∞
I n = ∫ e−α x x dx =
p
n
0
∞
I 0 = ∫ e−α x dx =
2
0
π
2
α
k=
n +1
,
p
p > 0,
n > −1
− 12
(3.14)
(3.15)
denklemimiz simetrik olduğundan;
∞
I0 =
∫e
−α x2
dx = 2
−∞
π
2
α
− 12
= πα
− 12
(3.16)
olarak kullanılır. Tezdeki integrallerin hesabında aşağıdaki Gama değerleri
kullanılmıştır.
Γ (2 ) = 1! = 1
(3.17)
⎛ 1⎞
Γ⎜ ⎟ = π
⎝ 2⎠
(3.18)
Γ (n + 1) = nΓ (n )
(3.19)
⎛ 3⎞ 1
Γ⎜ ⎟ =
π
⎝ 2⎠ 2
(3.20)
⎛ 5⎞ 3
π
Γ⎜ ⎟ =
⎝ 2⎠ 4
(3.21)
⎛ 7 ⎞ 15
π
Γ⎜ ⎟ =
⎝ 2⎠ 8
(3.22)
⎛ 9 ⎞ 105
π
Γ⎜ ⎟ =
⎝ 2 ⎠ 16
(3.23)
⎛ 11 ⎞ 9 105
π
Γ⎜ ⎟ = .
⎝ 2 ⎠ 2 16
(3.24)
böylece I n değerleri hesaplanabilir.
25 ∞
I0 =
∫e
−
r Sz
a 2 K x2
2hτ
π
dK x =
⎛ r S z a2 ⎞
⎜
⎟
⎝ 2hτ ⎠
−∞
∞
I2 =
∞
∫ ∑e
−
r Sz
2 hτ
a 2 K x2
−∞ r =1
∞
I4 =
∞
∫ ∑e
−
r Sz
2hτ
a 2 K x2
−∞ r =1
∞
I6 =
∞
∫ ∑e
−
r Sz
2hτ
a 2 K x2
−∞ r =1
∞
I8 =
∞
∫ ∑e
−
r Sz
2hτ
−∞ r =1
∞
I10 =
∞
∫ ∑e
−
r Sz
2hτ
a 2 K x2
1
2
⎛ 2hτ ⎞
= π⎜
z
2⎟
⎝r S a ⎠
1
2
(3.25)
1
π
π ⎛ 2hτ ⎞
K x2 dK x =
=
⎜
⎟
2 ⎛ r S z a 2 ⎞ (3 2 )
2 ⎝ r S z a2 ⎠
⎜
⎟
⎝ 2hτ ⎠
3
π
3
3 π ⎛ 2hτ ⎞
K dK x =
=
⎜
⎟
4 ⎛ r S z a2 ⎞ 5 2
4 ⎝ r S z a2 ⎠
⎜
⎟
⎝ 2hτ ⎠
2
(3.26)
5
2
4
x
π
15
15 π ⎛ 2hτ ⎞
K x6 dK x =
⎜
⎟
7 =
8 ⎛ r S z a2 ⎞ 2
8 ⎝ r S z a2 ⎠
⎜
⎟
⎝ 2hτ ⎠
π
105
105 π
K x8 dK x =
9 =
16 ⎛ r S z a 2 ⎞ 2
16
⎜
⎟
⎝ 2hτ ⎠
a 2 K x2
K x10 dK x =
−∞ r =1
π
9.105
32 ⎛ r S z a 2 ⎞ 11 2
⎜
⎟
⎝ 2hτ ⎠
(3.27)
7
2
⎛ 2hτ ⎞
⎜
z
2⎟
⎝r S a ⎠
(3.28)
9
2
9.105 π ⎛ 2hτ ⎞
=
⎜
⎟
32 ⎝ r S z a 2 ⎠
(3.29)
11
2
Bulduğumuz I n değerlerini yukardaki (3.13) nolu denklemde yerine yazarsak;
⎡
υ ⎢ ∞ −
φ (S ) =
∑e
(2π )2 ⎢ ∫ r =1
r Sz
2
hτ
a2 2
Kx
2!
+
+
hτ 4!
r S z a4
hτ 4!
∞
∫ ∑e
dK x ∫ ∑ e
−
r Sz
2
hτ
a2 2
Kx
2!
r =1
∞
∫ ∑e
r =1
−
r S z a2
K y2
hτ 2!
dK y
r =1
⎣
r S z a4
∞
∞
K x4 dK x ∫ ∑ e
−
r S z a2
K y2
hτ 2!
dK y
r =1
−
r Sz
hτ
2
a2 2
Kx
2!
∞
dK x ∫ ∑ e
r =1
−
r Sz
hτ
2
a2 2
Ky
2!
K y4 dK y
(3.30)
26 −
−
r S z a6
∞
∫ ∑e
hτ 6!
+
+
+
∫ ∑e
hτ
−
∞
∫ ∑e
hτ 10!
hτ
∞
dK x ∫ ∑ e
−
2
r Sz
hτ
a2 2
Kx
2!
hτ 10!
2
−
2
r Sz
hτ
∫ ∑e
∞
∫ ∑e
−
r Sz
a2 2
Kx
2!
2
hτ
∞
dK x ∫ ∑ e
a2 2
Kx
2!
−
−
r S z a2
K y2
hτ 2!
r S z a2
K y2
hτ 2!
−
r Sz
∞
∑e
∞
∞
∞
K dK x ∫ ∑ e
10
x
2
hτ
a2 2
Kx
2!
dK y
K y8 dK y
−
r S z a2
K y2
hτ 2!
dK y
−
r S z a2
K y2
hτ 2!
K 10
y dK y
r =1
−
r Sz
2
hτ
a2 2
Kx
2!
∞
K dK x ∫ ∑ e
8
x
−
r S z a2
K y2
hτ 2!
dK y
r =1
−
∑e
h2τ 2 4!4!2! ∫ r =1
∞
dK x ∫ ∑ e
r Sz
hτ
2
a2 2
Kx
2!
r =1
a8
K y6 dK y
r =1
∑e
4!4!2! ∫
2
r S z a2
K y2
hτ 2!
K x8 dK x ∫ ∑ e
r =1
a8
dK y
r =1
h2τ 2 4!4!2! ∫ r =1
2
r S z a2
K y2
hτ 2!
r =1
∞
a8
−
∞
r =1
r S z a10
2r 2 S z
a2 2
Kx
2!
r =1
r S z a10
hτ
2
r Sz
r =1
hτ 8!
2 2
K x6 dK x ∫ ∑ e
−
r =1
∫ ∑e
r S z a8
r2 Sz
∞
r =1
∞
hτ 8!
r2 Sz
a2 2
Kx
2!
r =1
r S z a8
−
+
∞
hτ 6!
−
2
r Sz
r =1
r S z a6
+
−
∞
dK x ∫ ∑ e
−
r S z a2
K y2
hτ 2!
K y8 dK y
r =1
−
r Sz
hτ
2
a2 2
Kx
2!
∞
K dK x ∫ ∑ e
2
x
−
r S z a2
K y2
hτ 2!
r =1
⎤
K dK y ⎥
⎥
⎦
2
y
(3.31)
elde ederiz. Gerekli hesaplamalar yapıldığında (3.31) denklemimiz aşağıdaki gibi olur.
r S a 3 π ⎛ 2hτ ⎞
υ ⎡
2hτ
+
φ (S ) =
π
⎢
⎜
⎟
(2π )2 ⎢⎣ r S z a 2 hτ 4! 2 ⎝ r S z a 2 ⎠
4
z
r S z a 6 15 π ⎛ 2hτ ⎞
−
⎜
⎟
hτ 6!
4 ⎝ r S z a2 ⎠
7
r S z a 8 105 π ⎛ 2hτ ⎞
+
⎜
⎟
hτ 8!
8 ⎝ r S z a2 ⎠
⎛ 2hτ ⎞
π⎜
z
2⎟
⎝r S a ⎠
2
9
2
1
⎛ 2hτ ⎞
π⎜
z
2⎟
⎝r S a ⎠
5
2
1
2
2
⎛ 2hτ ⎞
π⎜
z
2⎟
⎝r S a ⎠
1
2
27 r S z a10 9.105 ⎛ 2hτ ⎞
−
⎜
⎟
hτ 10! 16 ⎝ r S z a 2 ⎠
11
2
2
a 8 105 π ⎛ 2hτ ⎞
+ 2 2
⎜
⎟
h τ 4!4!2! 8 ⎝ r S z a 2 ⎠
r2 Sz
⎛ 2hτ ⎞
π⎜
z
2⎟
⎝r S a ⎠
9
2
1
2
⎛ 2hτ ⎞
π⎜
z
2⎟
⎝r S a ⎠
1
2
3
a 8 π ⎛ 2hτ ⎞ ⎤
+ 2 2
⎜
⎟ ⎥
h τ 4!4! 4 ⎝ r S z a 2 ⎠ ⎥
⎦
r2 Sz
2
(3.32)
2
3
υ ⎡ 2hτ 1 1 3π ⎛ 2hτ ⎞ 1 1 15π ⎛ 2hτ ⎞ 1 1
φ (S ) =
+
−
⎢π
⎜
⎟
⎜
⎟
(2π )2 ⎢⎣ S z a 2 r 4! ⎝ S z ⎠ a 2 r 2 2.6! ⎝ S z ⎠ a 2 r 3
4
5
105π ⎛ 2hτ ⎞ 1 1 9.105π ⎛ 2hτ ⎞ 1 1
−
+ ...
+
⎜
⎟
⎜
⎟
4.8! ⎝ S z ⎠ a 2 r 4
8.10! ⎝ S z ⎠ a 2 r 5
3
105π ⎛ 2hτ ⎞ 1 1
π ⎛ 2hτ ⎞ 1
+
⎜ z ⎟ 2 3 +
⎜
⎟
2.4!4!2! ⎝ S ⎠ a r
4!4! ⎝ S z ⎠ a 2
1⎤
⎥
r⎥
⎦
(3.33)
İki boyutlu örgü için υ = a 2 alınırsa;
2
3
a 2 ⎡ 2hτ 1 1 577 π ⎛ 2hτ ⎞ 1 1
9π ⎛ 2hτ ⎞ 1 1
φ (S ) =
π
+
+
⎢
⎜
⎟
⎜
⎟
(2π )2 ⎢⎣ S z a 2 r 576 8 ⎝ S z ⎠ a 2 r 2 256 ⎝ S z ⎠ a 2 r 3
4
π ⎛ 2hτ ⎞ 1 1
5
⎛ 2hτ ⎞ 1 1
⎤
+
−
⎜ z ⎟ 2 4
⎜ z ⎟ 2 5 + ...⎥
1536 ⎝ S ⎠ a r
30720 ⎝ S ⎠ a r
⎦
π
(3.34)
olur.
∞
1
∑r
r =1
p
= ζ (p)
şeklindeki bağıntıyı (3.34) denkleminde yerine yazalım.
(3.35)
28 2
⎛ 2hτ ⎞ 577
π ⎛ 2hτ ⎞
9π 2 ⎛ 2hτ ⎞
φ (S ) = ζ (1)⎜
+
ζ
2
−
ζ
3
(
)
(
)
⎜
⎟
⎜
⎟
z ⎟
8 ⎝ 4π S z ⎠
16 ⎝ 4π S z ⎠
⎝ 4π S ⎠ 576
4
3
5
π 3 ⎛ 2hτ ⎞
π 4 ⎛ 2hτ ⎞
−
ζ
5
+ζ (4 ) ⎜
(
)
⎟
⎜
⎟ + ....
6 ⎝ 4π S z ⎠
30 ⎝ 4π S z ⎠
(3.36)
ζ (i ) ve katsayıları çarpımının ai terimleri şeklinde kısaltılması denk. (3.37)’de
görörülmektedir.
2
⎛ 2hτ ⎞
⎛ 2hτ ⎞
⎛ 2hτ ⎞
+
a
φ (S ) = a1 .⎜
.
−
a
.
⎟
⎜
⎟
2
3 ⎜
z
z
z ⎟
⎝ 4π S ⎠
⎝ 4π S ⎠
⎝ 4π S ⎠
4
3
5
⎛ 2hτ ⎞
⎛ 2hτ ⎞
+a4 .⎜
−
a
.
+ ....
5 ⎜
z ⎟
z ⎟
⎝ 4π S ⎠
⎝ 4π S ⎠
(3.37)
(3.36) denklemini (3.38) denklemi içerisine yazalım.
1
= 1 + φ (S )
Sz
(3.38)
Yukardaki denklemin çıkarımı denklem (3.55)’de ifade edilmiştir. Denk. (3.55)’te
φ (S ) yerine F kullanılmıştır.
Sz =
1
(3.39)
1 + φ (S )
olur.
1
= 1 − φ (S ) + ⎡⎣φ (S )⎤⎦ − ⎡⎣φ (S )⎤⎦ + ...
1 + φ (S )
2
3
(3.40)
Şeklinde seri açılım yapılırsa ve φ (S ) ’lerin denk. (3.37)’deki değerleri
kullanılırsa , manyetizasyon ifadesi aşağıdaki şekli alır.
29 S z = 1 − ∑ A jτ j
(3.41)
j ≥1
⎛ 1 ⎞ 577
A1 = ⎜ ⎟
ζ (1),
⎝ 2π ⎠ 576
(3.42)
2
π⎛ 1 ⎞
A2 = ⎜ ⎟ ζ (2 ),
8 ⎝ 2π ⎠
(3.43)
3
9π 2 ⎛ 1 ⎞
A3 =
⎜ ⎟ ζ (3),
16 ⎝ 2π ⎠
(3.44)
4
π3 ⎛ 1 ⎞
A4 =
⎜ ⎟ ζ (4 ) ,
6 ⎝ 2π ⎠
(3.45)
5
A5 =
π4 ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ ζ (5 ),
30 ⎝ 2π ⎠
(3.46)
Sonuç olarak, düşük sıcaklık bölgelerinde manyetik alansız bir ortamda
aşağıdaki manyetizasyon ifadesi türetilmiştir.
S
z
Sz
S=
S=
1
2
1
2
2
3
⎡1
⎡ ⎛ 1⎞ ⎤
⎡ ⎛ 1⎞ ⎤ ⎤
⎛ 1⎞
= ⎢ − φ ⎜ ⎟ + 2 ⎢φ ⎜ ⎟ ⎥ + 0 ⎢φ ⎜ ⎟ ⎥ ⎥
⎝ 2⎠
⎣ ⎝ 2⎠ ⎦
⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎥⎦
⎢⎣ 2
(3.47)
2
3
⎡1
hτ 577
π ⎛ hτ ⎞
9π 2 ⎛ hτ ⎞
= ⎢ − ζ (1)
− ζ (2 ) ⎜ ⎟ + ζ (3)
⎜ ⎟
π 576
8⎝ π ⎠
16 ⎝ π ⎠
⎢⎣ 2
4
5
π 3 ⎛ hτ ⎞
π 4 ⎛ hτ ⎞
−ζ (4 ) ⎜ ⎟ + ζ (5 ) ⎜ ⎟ + ...
6 ⎝ π ⎠
30 ⎝ π ⎠
2
4
2
577π ⎛ hτ ⎞
2 π ⎛ hτ ⎞
⎛ hτ ⎞ 332929
+ ⎡⎣ζ (2 )⎤⎦
+ ζ (1)ζ (2 )
+ ⎡⎣ζ (1)⎦⎤ ⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎝ π ⎠ 165858
64 ⎝ π ⎠
1152 ⎝ π ⎠
2
4
5
⎤
577π 2 ⎛ hτ ⎞
577π 3 ⎛ hτ ⎞
−ζ (1)ζ (3)
⎜⎝ ⎟⎠ + ζ (1)ζ (4 )
⎜⎝ ⎟⎠ − ...⎥
256
864
π
π
⎥⎦
3
(3.48)
30 3.2 Dış Manyetik Alan Varlığında Manyetizasyonun İncelenmesi
H≠0 durumundu enerji ifadesi aşağıdaki gibi verilir.
EK = 2gμ B H + 2 ⎡⎣ J (0 ) − J (K )⎤⎦
Burada β ;
(3.49)
1
dir. H dış manyetik alandır. g , elektron için Landé faktörüdür. μ B ,
kT
Bohr manyetonudur. n , birim hacimdeki elektron sayısıdır. S z
ise birim hacimdeki
manyetizasyondur.
1
Yukardaki E K ifadesinin her iki tarafını β ile çarpalım ve yeni ifadeyi
2
aşağıdaki büyüklükler cinsinden elde edelim.
τ=
1
,
βJ (0)
η (K ) = 1 −
J (K )
,
J (0 )
L=
gμ BΗ
J (0 )
⎡ J (K )⎤
1
β EK = gμ BΗ + (1 − 2n )β J (0 )⎢1 −
⎥
2
J (0 ) ⎦
⎣
(3.50)
Sz
1
L
β EK = +
⎡η (K )⎤⎦
2
τ
τ ⎣
(3.51)
1
υ
⎛1
⎞
=
β EK ⎟ d 2 K
2 ∫ coth ⎜
z
⎝2
⎠
S
(2π )
Şeklinde verilen manyetizasyon ifadesinde yukardaki
(3.52)
1
βE değerini yerine
2 K
yazarsak,
L + S z η (K ) 2
1
υ
=
coth
d K
hτ
Sz
(2π )2 ∫
(3.53)
31 ifadesini elde ederiz.
T << TC ,
τ →0,
L + S z η (K ) >> τ
durumu için, aşağıdaki açılımı
kullanırız. Burada TC , Curie sıcaklığıdır, yani manyetizasyonun sıfır değerini aldığı
sıcaklıktır. Yukardaki integralde, coth x ’in yerine aşağıdaki açılımını alalım.
(
)(
coth x = 1 + e−2 x 1 − e−2 x
)
−1
∞
= 1 + 2∑ e−2 rx
(3.54)
r =1
⎛ τ L⎞
1
=
1
+
F
⎜ z , ⎟
Sz
⎝ S τ⎠
(3.55)
Burada F aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır.
⎡
⎛ L + S z η (K )⎞ ⎤
⎢
F=∑
⎟⎥
2 ∫ d K exp −2r ⎜
h
τ
⎢⎣
r =1 (2π )
⎝
⎠ ⎥⎦
∞
2υ
2
(3.56)
∞
⎡
⎛ L + S z η (K )⎞ ⎤ 2
1
υ
=
1 + 2∑ exp ⎢ −2r ⎜
⎟ ⎥d K
hτ
Sz
(2π )2 ∫
⎢⎣
r =1
⎝
⎠ ⎥⎦
(3.57)
∞
⎡
⎛ L + S z η (K )⎞ ⎤ 2
1
υ
υ
2
=
d K+
2∑ exp ⎢ −2r ⎜
⎟ ⎥d K
hτ
Sz
(2π )2 ∫
(2π )2 r =1 ⎢⎣ ⎝
⎠ ⎥⎦
(3.58)
Ters örgü üzerinden;
∫d
2
2
2π )
(
K=
υ
dir.
(3.59)
32 ⎛ τ L⎞
1
=
1
+
F
⎜ z , ⎟
Sz
⎝ S τ⎠
⎡
L + S z η (K )⎤
F=∑
⎥
2 ∫ d K exp ⎢ −2r
hτ
l =1 (2π )
⎢⎣
⎥⎦
2υ
∞
2
idi.
η (K ) = 1 −
J (K )
J (0 )
Olarak tanımlanmıştı. Η ≠ 0 durumu için aşağıdaki denklemleri yeniden hesaplayalım.
J (K ) 1
= ⎡ cos (K x a )+ cos K y a ⎤⎦
J (0 ) 2 ⎣
( )
(3.60)
1 )J (0 )⎡ cos (K a )+ cos (K a )⎤
(
⎣
⎦
η (K ) = 1 − 2
x
y
(3.61)
J (0 )
( )
cos (K x a ) ve cos K y a ifadelerini seri açtıktan sonra taraf tarafa toplayalım.
cos(x ) = 1 −
cos (K x a )
x2 x4 x6
+
−
+ ...
2! 4! 6!
(3.62)
2
4
6
8
10
K x a ) (K x a ) (K x a ) (K x a ) (K x a )
(
= 1−
+
−
+
−
+ ...
2!
4!
6!
8!
10!
(K a ) + (K a ) − (K a ) + (K a ) − (K a )
cos (K a )= 1 −
2
y
4
6
8
y
y
y
y
2!
4!
6!
8!
+ K y2
)+ a (K
( )
cos (K x a ) + cos K y a = 2 − a
+a
8
2
(K
(K
2
x
2!
8
x
+ K y8
8!
4
)− a (K
10
10
+ ...
y
10!
4
x
+ K y4
4!
10
x
+ K 10
y
10!
)− a (K
6
)
6
x
+ K y6
)
6!
(3.63)
33 2
4
6
1⎡
2
2 a
4
4 a
6
6 a
η (K ) = 1 − ⎢ 2 − K x + K y
+ Kx + Ky
− Kx + Ky
2⎣
2!
4!
6!
(
(
+ K +K
8
x
8
y
)
(
)
(
)
10
a8
10
10 a ⎤
− Kx + Ky
8!
10! ⎥⎦
)
(
)
(3.64)
Olur. Üstel ifadede, bulunan değerleri yerine koyarsak;
⎡
⎛ L + S z η (K )⎞ ⎤
exp ⎢ −2r ⎜
⎟⎥
hτ
⎢⎣
⎝
⎠ ⎥⎦
2
4
⎛ r Sz ⎞ ⎡ 2
⎛ −2rL ⎞
2 a
4
4 a
= exp ⎜
exp
−
.
K
+
K
−
K
+
K
⎜
⎟
x
y
x
y
⎝ hτ ⎟⎠
hτ ⎠ ⎢⎣
2!
4!
⎝
(
(
+ K x6 + K y6
(
)
(3.65)
10
a6
a8
10 a ⎤
− K x8 + K y8
+ K 10
+
K
x
y
6!
8!
10! ⎥⎦
)
(
)
⎡ r Sz
⎡ −2rL ⎤
= exp ⎢
exp
⎢−
⎣ hτ ⎥⎦
⎢⎣ hτ
⎧⎪ ⎡ r S z
exp ⎨ ⎢ −
hτ
⎩⎪ ⎢⎣
⎡ r Sz
+ ⎢−
⎢⎣ hτ
)
(
)
2
⎤⎛ 2
2 a ⎞
+
K
.
K
⎥⎜ x
y
2! ⎟⎠
⎥⎦ ⎝
(
)
4
⎤⎛ 4
⎡ r Sz
4 a ⎞
− ⎢−
⎥⎜ Kx + Ky
4! ⎟⎠ ⎢⎣ hτ
⎥⎦ ⎝
(
)
(
)
⎤ ⎛ 10
a10 ⎞ ⎫⎪
⎥ ⎜ K x + K y10
⎬
10!⎟⎠ ⎪
⎥⎦ ⎝
⎭
z
⎤⎛ 8
a8 ⎞ ⎡ r S
−
−
⎥ ⎜ K x + K y8
⎢
8! ⎟⎠ ⎢⎣ hτ
⎥⎦ ⎝
(
⎤⎛ 6
a6 ⎞
⎥ ⎜ K x + K y6
6! ⎟⎠
⎥⎦ ⎝
)
(
)
(3.66)
elde edilir. Üçüncü üstel fonksiyonu seri açalım.
e
e
−x
x2 x3
= 1 + x + + + ...
2! 3!
⎡
L + S z η (K )⎤
⎢ −2 r
⎥
⎢
⎥
hτ
⎣
⎦
−
r Sz
hτ
(K
6
x
(3.67)
⎡ r Sz
⎡ −2rL ⎤
exp ⎢ −
= exp ⎢
⎣ hτ ⎥⎦
⎢⎣ hτ
+K
6
y
z
a2 r S
+
6!
hτ
)
(K
8
x
+K
8
y
(K
2
x
+K
2
y
z
a8 r S
−
8!
hτ
)
z
a2 ⎤ ⎡ r S
⎥ ⎢1 +
2! ⎥⎦ ⎢⎣
hτ
)
(K
10
x
+K
10
y
(K
a10
10!
)
4
x
+K
4
y
a2
4!
)
34 +
2
r2 Sz
h2τ 2
⎤
a8
K x8 + K y8 + 2K x4 K y4 ⎥
4!4!2
⎥
⎦
(
)
(3.68)
elde ederiz. F denkleminde yerine yazalım.
F=
2υ
(2π )2 ∫
d K∑e
2
z
⎛ −2 rL ⎞ r S
⎜⎝
⎟⎠ −
hτ
hτ
+∫ d K∑e
z
⎛ −2 rL ⎞ r S
⎜⎝
⎟⎠ −
hτ
hτ
(K
2
x
+ K y2
r =1
∞
−∫ d K∑e
2
z
⎛ −2rL ⎞ r S
⎜⎝
⎟⎠ −
hτ
hτ
(K
2
x
+ K y2
z
⎛ −2rL ⎞ r S
⎜⎝
⎟⎠ −
hτ
hτ
(K
2
x
+ K y2
z
⎛ −2rL ⎞ r S
⎜⎝
⎟⎠ −
hτ
hτ
(K
2
x
+ K y2
z
⎛ −2rL ⎞ r S
⎜⎝
⎟⎠ −
hτ
hτ
(K
2
x
+ K y2
r =1
∞
+∫ d K∑e
2
r =1
∞
−∫ d K∑e
2
r =1
∞
+∫ d K∑e
2
(K
2
x
+ K y2
2
)a2!
r =1
∞
2
∞
r =1
)a2! ⎛ r S z
⎜
⎝ hτ
2
(
K x4 + K y4
a4 ⎞
⎟
4! ⎠
)
6⎞
)a2! ⎛ r S z
6
6 a
K
+
K
( x y )6! ⎟
⎜
⎝ hτ
⎠
2
8⎞
)a2! ⎛ r S z
8
8 a
K
+
K
( x y )8! ⎟
⎜
⎝ hτ
⎠
2
10 ⎞
)a2! ⎛ r S z
10
10 a
K
+
K
( x y )10!⎟
⎜
⎝ hτ
⎠
2
⎞
)a2! ⎛ r 2 S z
a8
8
8
2 2
K
+
K
+
2K
K
⎜ 2 2
( x y x y )⎟⎟
⎜⎝ h τ 4!4!2!
⎠
2
2
F denklemini daha açık bir şekilde yazalım;
r S
⎛ −2rL ⎞
2υ ⎡ ∞ ⎜⎝ hτ ⎟⎠ − hτ
⎢
F=
∑e ∫ e
(2π )2 ⎢⎣ r =1
z
+
+
−
r S z a4
hτ 4!
r S z a4
hτ 4!
r S z a6
hτ 6!
∞
∑e
⎛ −2rL ⎞
⎝⎜ hτ ⎠⎟
r =1
∞
∑e
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
r =1
∞
∑e
r =1
⎛ −2rL ⎞
⎝⎜ hτ ⎠⎟
∫e
−
∞
dK x ∑ e
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
r =1
r S z a2
K x2
hτ 2!
∞
K x4 dK x ∑ e
∫e
−
⎛ −2rL ⎞
⎝⎜ hτ ⎠⎟
r =1
∫e
∫e
a2 2
Kx
2!
−
−
r Sz
hτ
2
a2 2
Kx
2!
∞
dK x ∑ e
⎛ −2rL ⎞
⎝⎜ hτ ⎠⎟
r =1
r S z a2
K x2
hτ 2!
∞
K dK x ∑ e
6
x
r =1
r S z a2
K y2
hτ 2!
∫e
∫e
⎛ −2rL ⎞
⎝⎜ hτ ⎠⎟
−
−
r S z a2
K y2
hτ 2!
r Sz
∫e
hτ
−
dK y
2
a2 2
Ky
2!
dK y
K y4 dK y
r S z a2
K y2
hτ 2!
dK y
(3.69)
35 −
+
+
−
−
+
+
+
r S z a6
∞
∑e
hτ 6!
r =1
r S z a8
∞
∑e
hτ 8!
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
r =1
r S z a8
∞
∑e
hτ 8!
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
r =1
r S z a10
hτ 10!
hτ 10!
2
∞
∑e
2
∞
∫e
−
∑e
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
r =1
a8
∞
∑e
a8
∞
∑e
h2τ 2 4!4!2! r =1
2r 2 S z
∫e
−
⎛ −2rL ⎞
⎝⎜ hτ ⎠⎟
h2τ 2 4!4!2! r =1
r2 Sz
∫e
−
r =1
r S z a10
r2 Sz
⎛ −2rL ⎞
⎝⎜ hτ ⎠⎟
2
a8
h2τ 2 4!4!2!
∞
r =1
r S z a2
K x2
hτ 2!
dK x ∑ e
⎛ −2rL ⎞
⎝⎜ hτ ⎠⎟
∞
K dK x ∑ e
8
x
∫e
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
r =1
r S z a2
K x2
hτ 2!
∞
dK x ∑ e
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
r =1
∫e
∫e
−
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
∞
r =1
−
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
∑e
r S z a2
K x2
hτ 2!
r S z a2
K x2
hτ 2!
K x10 dK x ∑ e
r S z a2
K y2
hτ 2!
∫e
−
r S z a2
K x2
hτ 2!
∞
⎛ −2rL ⎞
⎝⎜ hτ ⎠⎟
dK x ∑ e
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
r =1
∫e
∫e
−
r S z a2
K x2
hτ 2!
∞
K dK x ∑ e
8
x
∫e
−
−
∫e
∫e
∞
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
dK x ∑ e
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
r =1
−
r S z a2
K x2
hτ 2!
∞
K x2 dK x ∑ e
r =1
−
r S z a2
K y2
hτ 2!
∫e
∫e
−
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
dK y
K y8 dK y
r S z a2
K y2
hτ 2!
r =1
r S z a2
K x2
hτ 2!
K y6 dK y
r S z a2
K y2
hτ 2!
r S z a2
K y2
hτ 2!
r =1
−
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
∞
∫e
−
−
K 10
y dK y
r S z a2
K y2
hτ 2!
r S z a2
K y2
hτ 2!
∫e
dK y
−
dK y
K y8 dK y
r S z a2
K y2
hτ 2!
⎤
K y2 dK y ⎥
⎥
⎦
φ (S ) denklemi için hesapladığımız I n değerlerini burada da kullanırsak,
⎛ −2rL ⎞
2υ ⎡ ∞ ⎝⎜ hτ ⎠⎟
2hτ
F=
π
2 ⎢∑ e
r S z a2
(2π ) ⎢⎣ r =1
∞
+∑ e
r S z a 4 3 π ⎛ 2hτ ⎞
⎜
⎟
hτ 4!
2 ⎝ r S z a2 ⎠
⎛ −2rL ⎞
⎝⎜ hτ ⎠⎟
r S z a 6 15 π
hτ 6!
4
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
r S z a 8 105 π ⎛ 2hτ ⎞
⎜
⎟
hτ 8!
8 ⎝ r S z a2 ⎠
r =1
∞
−∑ e
r =1
∞
+∑ e
r =1
5
⎛ −2rL ⎞
⎟
⎜⎝
hτ ⎠
⎛ 2hτ ⎞
⎜
z
2⎟
⎝r S a ⎠
⎛ 2hτ ⎞
π⎜
z
2⎟
⎝r S a ⎠
2
7
⎛ 2hτ ⎞
π⎜
z
2⎟
⎝r S a ⎠
2
9
1
2
2
1
2
1
⎛ 2hτ ⎞ 2 ⎤
⎥
π⎜
z
2⎟
r
S
a
⎝
⎠ ⎥⎥
⎦
(3.70)
36 ∞
−∑ e
r S z a10 9.105 ⎛ 2hτ ⎞
⎜
⎟
hτ 10! 16 ⎝ r S z a 2 ⎠
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
a 8 105 π ⎛ 2hτ ⎞
⎜
⎟
h2τ 2 4!4!2! 8 ⎝ r S z a 2 ⎠
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
r2 Sz
r =1
∞
+∑ e
11
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
r =1
∞
+∑ e
r =1
r2 Sz
⎛ 2hτ ⎞
π⎜
z
2⎟
⎝r S a ⎠
2
2
9
2
1
2
⎛ 2hτ ⎞
π⎜
z
2⎟
⎝r S a ⎠
1
2
3
a 8 π ⎛ 2hτ ⎞ ⎤
⎜
⎟ ⎥
h2τ 2 4!4! 4 ⎝ r S z a 2 ⎠ ⎥
⎦
2
(3.71)
elde ederiz. Gerekli hesaplamaları yaparsak;
2
⎛ −2rL ⎞
⎛ −2rL ⎞
2υ ⎡ ∞ ⎝⎜ hτ ⎠⎟ 2π hτ 1 1 ∞ ⎝⎜ hτ ⎠⎟ 3π ⎛ 2hτ ⎞ 1 1
F=
+ ∑e
⎢∑ e
⎜
⎟
4! ⎝ S z ⎠ a 2 r 2
S z a 2 r r =1
(2π )2 ⎢⎣ r =1
∞
−∑ e
⎛ −2rL ⎞
⎝⎜ hτ ⎠⎟
r =1
∞
+∑ e
+∑ e
4
5
⎛ −2rL ⎞
⎝⎜ hτ ⎠⎟
⎛ −2rL ⎞
∞
⎛ 2hτ ⎞ 1 1
105π ⎛ 2hτ ⎞ 1 1
⎝⎜ hτ ⎠⎟ 9.105π
+ ...
⎜ z ⎟ 2 4 − ∑e
⎜
⎟
4.8! ⎝ S ⎠ a r
8.10! ⎝ S z ⎠ a 2 r 5
r =1
⎛ −2rL ⎞
⎝⎜ hτ ⎠⎟
⎛ −2rL ⎞
105π ⎛ 2hτ ⎞ 1 1 ∞ ⎝⎜ hτ ⎠⎟ π ⎛ 2hτ ⎞ 1
+∑ e
⎜
⎟
⎜
⎟
2.4!4!2! ⎝ S z ⎠ a 2 r 3 r =1
4!4! ⎝ S z ⎠ a 2
r =1
∞
3
15π ⎛ 2hτ ⎞ 1 1
⎜
⎟
2.6! ⎝ S z ⎠ a 2 r 3
r =1
3
1⎤
⎥
r⎥
⎦
(3.72)
2
⎛ −2rL ⎞
⎛ −2rL ⎞
2a 2 ⎡ ∞ ⎜⎝ hτ ⎟⎠ 2π hτ 1 1 577 ∞ ⎜⎝ hτ ⎟⎠ π ⎛ 2hτ ⎞ 1 1
F=
e
+
e
⎢∑
⎜
⎟
∑
8 ⎝ S z ⎠ a2 r 2
S z a 2 r 576 r =1
(2π )2 ⎢⎣ r =1
∞
+∑ e
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
r =1
∞
+∑ e
r =1
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
3
9π ⎛ 2hτ ⎞ 1 1
⎜
⎟
256 ⎝ S z ⎠ a 2 r 3
4
π ⎛ 2hτ ⎞ 1 1
∞
− ∑e
⎜
⎟
1536 ⎝ S z ⎠ a 2 r 4 r =1
olarak buluruz. Yukardaki denklemde
⎛ −2rL ⎞
⎜⎝
⎟
hτ ⎠
5
⎛ 2hτ ⎞ 1 1
⎤
⎜ z ⎟ 2 5 + ...⎥
30720 ⎝ S ⎠ a r
⎦
π
(3.73)
37 ⎛ 2L ⎞
⎜⎝
⎟=x
hτ ⎠
(3.74)
kısaltması yapılarak;
∞
Z p (x ) = ∑ r − p e− rx
(3.75)
l =1
fonksiyonu kullanılarak; (3.73) ifadesi,
2
⎛ hτ ⎞ 577
π ⎛ hτ ⎞
9π 2 ⎛ hτ ⎞
F = Z1 (x )⎜
+ Z 2 (x ) ⎜
⎟ −Z 3 (x )
⎜
⎟
z ⎟
4 ⎝ 2π S z ⎠
8 ⎝ 2π S z ⎠
⎝ 2π S ⎠ 288
π3 ⎛
4
3
5
hτ ⎞
π 4 ⎛ hτ ⎞
+Z 4 (x ) ⎜
⎟ − Z 5 (x ) ⎜
⎟ + ....
3 ⎝ 2π S z ⎠
15 ⎝ 2π S z ⎠
(3.76)
⎛ L⎞
olarak bulunur. Z i (x )’ler ve katsayıları ai ⎜ ⎟ fonksiyonları olarak kabul edilirse
⎝τ⎠
denk. (3.76) aşağıdaki gibi yazılır.
4
5
⎛ L⎞ ⎛ τ ⎞
⎛ L⎞ ⎛ τ ⎞
+a4 ⎜ ⎟ ⎜ z ⎟ − a5 ⎜ ⎟ ⎜ z ⎟ ...
⎝τ ⎠⎝ S ⎠
⎝τ ⎠⎝ S ⎠
1
= 1+ F
Sz
idi. Buradan
(3.77)
38 Sz =
1
1+ F
(3.78)
olur.
1
= 1 − F + F 2 − F 3 + ...
1+ F
(3.79)
Şeklinde seri açılım yapılırsa, F nin denk. (3.76)’daki değerleri (3.79)’da yerine
yazılırsa, manyetizasyon ifadesi aşağıdaki şekli alır.
S z = 1 − ∑ A jτ j
(3.80)
⎛ 1 ⎞ 577
A1 = ⎜ ⎟
Z
⎝ 2π ⎠ 288 1
(3.81)
j ≥1
2
π⎛ 1 ⎞
A2 = ⎜ ⎟ Z 2 ,
4 ⎝ 2π ⎠
(3.82)
3
9π 2 ⎛ 1 ⎞
A3 =
⎜ ⎟ Z3 ,
8 ⎝ 2π ⎠
(3.83)
4
π3 ⎛ 1 ⎞
A4 =
⎜ ⎟ Z4 ,
3 ⎝ 2π ⎠
(3.84)
5
A5 =
π4 ⎛ 1 ⎞
⎜ ⎟ Z5 ,
15 ⎝ 2π ⎠
(3.85)
Şeklinde katsayılar elde edilir.
Sonuç olarak düşük sıcaklık bölgelerinde manyetik alanlı bir ortamda aşağıdaki
manyetizasyon ifadesi türetilmiştir.
Sz
S=
1
2
2
3
⎡1
⎡ ⎛ 1⎞ ⎤
⎡ ⎛ 1⎞ ⎤ ⎤
⎛ 1⎞
= ⎢ − φ ⎜ ⎟ + 2 ⎢φ ⎜ ⎟ ⎥ + 0 ⎢φ ⎜ ⎟ ⎥ ⎥
⎝ 2⎠
⎣ ⎝ 2⎠ ⎦
⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦ ⎥⎦
⎢⎣ 2
39 S
z
S=
1
2
2
3
⎡1
hτ 577
π ⎛ hτ ⎞
9π 2 ⎛ hτ ⎞
= ⎢ − Z1 (x )
− Z 2 (x ) ⎜ ⎟ + Z 3 (x )
⎜ ⎟
π 288
4⎝ π ⎠
8 ⎝ π ⎠
⎢⎣ 2
−Z 4 (x )
4
5
π 3 ⎛ hτ ⎞
π 4 ⎛ hτ ⎞
+
Z
x
⎜ ⎟
⎜ ⎟ + ...
5( )
3⎝ π ⎠
15 ⎝ π ⎠
2
4
π 2 ⎛ hτ ⎞
2
2
⎛ hτ ⎞ 332929
+⎜ ⎟
⎡⎣ Z1 (x )⎤⎦ +
⎡⎣ Z 2 (x )⎤⎦
⎜
⎟
⎝ π ⎠ 41472
8 ⎝ π ⎠
3
4
577π ⎛ hτ ⎞
577π 2 ⎛ hτ ⎞
Z
x
Z
x
−
+
(
)
(
)
⎜ ⎟ 1
⎜ ⎟ Z1 (x )Z 3 (x )
2
576 ⎝ π ⎠
128 ⎝ π ⎠
5
⎤
577π 3 ⎛ hτ ⎞
Z
x
Z
x
−
...
+
(
)
(
)
⎥
⎜ ⎟ 1
4
432 ⎝ π ⎠
⎥⎦
(3.86)
40 4. SONUÇLAR ve ÖNERİLER
Bu tezde iki boyutlu bir kare örgüde Heisenberg etkileşimi yapan spin
sisteminde Green fonksiyonları kullanılarak manyetizasyon ifadesi indirgenmiş
sıcaklığın kuvvet serisi fonksiyonları olarak düşük sıcaklık bölgesinde türetildi.
Bu türetme önce dış manyetik alansız bir ortamda sonra da dış manyetik alanlı
ortamda incelenmiştir. Her iki durumda da manyetizasyon ifadesi sıcaklığın serisi
olarak elde edilmiştir.
Mutlak sıfır sıcaklığında manyetizasyon ifadesinden doyum değeri olan
1 2 değerinin elde edildiği görülmüştür.
Bu çalışmada iki boyutlu kare örgüde manyetizasyonun bir kritik sıcaklığa sahip
olduğunu ve manyetizasyonun artan sıcaklıkla düzgün bir şekilde azaldığını gördük.
41 5. KAYNAKLAR
Binder, K. ve ark., 1974 P.C. Hohenberg, Phys. Rev. B, 9- 2194
Binder, K. ve D.P., 1984 Landau Phsy. Rev. Lett. 52 -318
Cellotta, R.J.,1986 Science 234-249
Dürr, W., 1989, Phys. Rev. Lett 62-206
Mariz, A. ve ark., 1987, Europhsy. Lett, 3-27
Rau, C. ve ark., 1980, in Nuclear Methods in Materials Research, edited by Bethe, K.
(Vieweg, Braunschweig), 354
Rau, C. and Robert, M., 1987 Phys.Rev.Lett.58,2714
Weller, D., 1985 Phys. Rev. Lett. 14-1555
Zubarev, D., 1960 Sov. Phsy. Doklady, 3-320
42
ÖZGEÇMİŞ
KİŞİSEL BİLGİLER
Adı Soyadı
Uyruğu
Doğum Yeri ve Tarihi
Telefon
:
:
:
:
Elmas Aksoy
T.C
26.06.1984
0(332) 3515755
EĞİTİM
Derece
Lise
:
Üniversite
:
Yüksek Lisans :
Adı, İlçe, İl
Açık Öğretim Lisesi, Karatay, Konya
Selçuk Üniversitesi, Selçuklu, Konya
Selçuk Üniversitesi, Selçuklu, Konya
Bitirme Yılı
2002
2007
2011