aAA r r = a a a A A A A + + = ),,(z

Elektromanyetik Teori Bahar 2006-2007 Dönemi
VEKTÖR VE SKALER KAVRAMI
Mühendislik, fizik ve geometri uygulamalarında iki türlü büyüklük kullanılır: skaler
ve vektör. Skaler, sadece büyüklüğü olan niceliklerdir. Belli bir ölçeği vardır. Örnek
olarak uzunluk, zaman, kütle, elektriksel potansiyel ve sıcaklık verilebilir. Vektör ise
skalerden farklıdır. Vektörlerin hem yönü hem de büyüklüğü vardır. Vektörlere örnek
olarak hız, kuvvet, yer değiştirme, elektrik ve manyetik alanlar verilebilir. Vektörleri
r r
bu derste A veya a kalın harflerle göstereceğiz. Genel olarak vektörler A, a, A , a
şeklinde gösterilir. Gösterimlerden dolayı şaşırmayınız, sadece bilmeniz gereken
vektörle ya da skalerle işlem yaptığınızın farkında olmanızdır. Biz bu derste
vektörleri aşağıdaki biçimde göstereceğiz.
r r
A = Aa A
A = Ax a x + Ay a y + Az a z
( Ax , Ay , Az ) vektör bileşenleri
Bir vektörün boyu “norm” olarak adlandırılır (Euclidian normu) ve a veya A
şeklinde gösterilir. Eğer bir vektörün boyu bir ise bu vektör birim vektör olarak
isimlendirilir.
Herhangi bir vektör birim vektör cinsinden yazılabilir.
z
Q
y
P
x
Şekil 1. Sağ el koordinat sistemi.
KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit
1
Elektromanyetik Teori Bahar 2006-2007 Dönemi
VEKTÖRLER
Uzayda P ve Q noktaları düşünelim. Bu noktaların koordinatları P ( x1 , y1 , z1 ) ve
Q ( x 2 , y 2 , z 2 ) olsun. P vektörün başlangıç noktası ve Q vektörün bitiş noktası olmak
Ax = x2 − x1 , Ay = y 2 − y1 ve Az = z 2 − z1 şeklinde tanımlanırsa,
A = Ax a x + Ay a y + Az a z şeklinde gösterilir.
üzere
Bir vektörün boyunu bulmak için aşağıdaki bağıntı kullanılır.
A = Ax2 + Ay2 + Az2
(1)
Bağıntıya dikkat edilirse, uzayda iki nokta arasındaki uzaklığı vermektedir. Aynı
zamanda bu bağıntı şu şekilde yorumlanabilir. Verilen iki nokta arasındaki en kısa
uzaklıktır.
Birim vektör boyu bir olan vektöre denir. Herhangi bir vektör birim vektör şeklinde
şu şekilde yazılabilir.
a br =
A
A
Vektörlerle İşlemler
A ve B iki vektör olmak üzere
A = Ax a x + Ay a y + Az a z
B = Bx a x + By a y + Bz a z
vektörlerde toplama ve çıkarma işlemleri
A ± B = (Ax ± Bx , Ay ± B y , Az ± Bz )
şeklindedir.
Vektörlerin Özellikleri
A, B ve C vektör; m ve n skaler olmak üzere vektörlerin aşağıdaki özellikleri vardır.
1. A+B=B+A
2. A+(B+C)=(A+B)+C
3. mA=Am
KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit
2
Elektromanyetik Teori Bahar 2006-2007 Dönemi
4.
5.
6.
7.
m(nA)=(mn)A
(m+n)A=mA+nA
m(A+B)=mA+mB
A+(-A)=0, A+0=0+A=A, 1A=A, 0A=0, (-1)A=-A
Örnekler:
Q( x, y, z ) = 2 (skaler, sabit)
Q( x, y, z ) = x 3 y − z 2 (skaler fonksiyon)
V( x, y, z ) = 2a x − 5a y + 7a z (sabit vektörel alan)
V( x, y, z ) = xy 2 a x − z 2 y 3 a y + 3 xyza z (vektörel alan)
Problem 1:
Eğer A = 10a x − 4a y + 6a z ve B = 2a x + a y ise
(a) A vektörünün y bileşeni gösteriniz,
(b) 3A-B nin boyunu bulunuz,
(c) A+2B işlemi sonucunda bulduğunuz vektörün birim vektörünü bulunuz.
Çözüm:
(a) Ay =-4
(
)(
(b) 3A-B= 3 10a x − 4a y + 6a z - 2a x + a y
)
=3(10,-4,6)-(2,1,0)
=(30,-12,18)-(2,1,0)
=(28,-13,18)
3A − B = 28 2 + (−13) 2 + (18) 2 = 1277 = 35.74
(c) C=A+2B=(10,-4,6)+(4,2,0)=(14,-2,6)
a br =
(14,−2,6)
C
= 0.9113a x − 0.1302a y + 0.3906a z
=
C
14 2 + (−2) 2 + 6 2
Ödev:
Verilen A = a x + 3a z ve B = 5a x + 2a y − 6a z vektörleri için
(a) A + B
KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit
3
Elektromanyetik Teori Bahar 2006-2007 Dönemi
(b) 5A-B
(c) A vektörünün a y bileşeni
(d) 3A+B vektörüne paralel olan birim vektörü bulunuz ( Birim vektörü bulunuz).
Problem 2:
P ve Q noktalarının koordinatları P(0,2,4) ve Q(-3,1,5) olduğuna göre
(a) P yer vektörünü yazınız.
(b) P ve Q noktaları arasındaki vektörü bulunuz.
(c) P ve Q noktaları arasındaki uzaklığı hesaplayınız.
Çözüm:
(a) rP = 0a x + 2a y + 4a z
(b) rPQ = rQ − rP = (−3,1,5) − (0,2,4) = ( −3,−1,1)
rPQ = − 3a x − a y + a z
(c) d = rPQ = − 3a x − a y + a z =
veya
d=
(x
− x P ) + ( y Q − y P ) + (z Q − z P )
2
Q
9 + 1 + 1 = 3.317
2
2
Problem 3:
Başlangıç noktası P(3,1,4) ve bitiş noktası Q(1,-2,4) olan iki noktanın belirttiği
vektörün boyunu hesaplayınız.
Çözüm:
P(3,1,4) ve Q(1,-2,4),
Ax = x2 − x1 = 1 − 3 = −2 ,
Ay = y 2 − y1 = −2 − 1 = −3 ,
Az = z 2 − z1 = 4 − 4 = 0 ,
A = ( Ax , Ay , Az ) = (− 2,−3,0 ) ve buradan vektörün boyu A = Ax2 + Ay2 + Az2
ile
KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit
4
Elektromanyetik Teori Bahar 2006-2007 Dönemi
A = (−2) 2 + (−3) 2 + (0) 2 = 13 şeklinde hesaplanabilir.
Problem 4:
Verilen A = 3a x + 4a y − 2a z
vektörü için birim vektörünü ve birim vektörün
boyunun bir olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
A = 3a x + 4a y − 2a z ,
a br =
A 3a x + 4a y − 2a z
3
4
2
= 2
=
+
−
a
a
az,
x
y
A
29
29
29
3 + 4 2 + (−2) 2
2
a br
2
2
2 ⎞
9 16 4
⎛ 3 ⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎛
+
+
= 1.
= ⎜
⎟ =
⎟ + ⎜−
⎟ +⎜
29 29 29
29 ⎠
⎝ 29 ⎠ ⎝ 29 ⎠ ⎝
VEKTÖRLERDE ÇARPIM İŞLEMLERİ
Verilen iki vektörün çarpımları sonucu skaler veya vektör olması ne tür çarpım
yapıldığına bağlıdır.
1. Skaler çarpım (nokta çarpım) A ⋅ B
2. Vektör çarpım A × B
3. A ⋅ (B × C )
4.
A × (B × C )
Skaler Çarpım (dot product)
A ve B gibi iki vektörün skaler çarpımı
A ⋅ B = A B cosθ AB
KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit
5
Elektromanyetik Teori Bahar 2006-2007 Dönemi
burada θ AB iki vektör arasındaki küçük açıyı göstermektedir. Skaler vektörün geometrik
anlamı A vektörünün B vektörü üzerindeki projeksiyonudur. A ve B vektörleri
A = ( Ax , Ay , Az ) ve B = ( Bx , B y , Bz ) olmak üzere
A ⋅ B = Ax Bx + Ay B y + Az Bz
A ve B vektörlerinin bileşenlerinin çarpımı şeklindedir. Skaler çarpımın sonucu skalerdir.
Skaler çarpımın özellikleri:
A, B ve C vektör olmak üzere
1) A ⋅ B = B ⋅ A ,
2) A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C ,
2
3) A ⋅ A = A = A .
2
Birim vektörlerin özellikleri ise
ax ⋅ ay = ay ⋅ az = az ⋅ ax = 0
ax ⋅ ax = ay ⋅ ay = az ⋅ az =1
Vektör Çarpım (cross product)
A ve B gibi iki vektörün vektörel çarpımı
A × B = A B sin θ AB a n
burada a n birim normal (A ve B vektörlerinin bulunduğu düzleme dik) vektördür.
AxB
B
an
θAB
A
Şekil 2. A ve B vektörlerinin vektör çarpımı. Sonuç vektörü A ve B nin bulunduğu
düzleme diktir. A x B nin yönü sağ el kuralına göre bulunur.
KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit
6
Elektromanyetik Teori Bahar 2006-2007 Dönemi
Vektör çarpımın sonucu vektördür. A = ( Ax , Ay , Az ) ve B = ( Bx , B y , Bz ) olmak
üzere vektör çarpım
ax
ay
A × B = Ax
Bx
Ay
By
az
Az = ( Ay Bz − Az B y )a x + ( Az Bx − Ax Bz )a y + (Ax B y − Ay Bx )a z
Bz
Vektör çarpımın özellikleri
A, B ve C vektör olmak üzere vektör çarpımın özellikleri aşağıdaki şekildedir.
1) A × B ≠ B × A
2) A × B = − B × A
3) A × (B × C ) ≠ (A × B) × C
4) A × (B + C ) = A × B + A × C
5) A × A = 0
Bunlara ek olarak birim vektörün özellikleri şu şekildedir.
ax × ay = az
ay × az = ax
az × ax = ay
ax
az
ay
az
ax
ay
Şekil 3. Birim vektörlerin vektör çarpımında sonuç vektörü bulmak için kullanılan
permütasyon kuralı (saat ibresiyle aynı yönlü).
KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit
7
Elektromanyetik Teori Bahar 2006-2007 Dönemi
a y × a x = −a z
a z × a y = −a x
a x × a z = −a y
ax
-az
-ay
az
-ax
ay
Şekil 4. Birim vektörlerin vektör çarpımında sonuç vektörü bulmak için kullanılan
permütasyon kuralı (saat ibresiyle ters yölü).
Bazı Vektör özellikleri
Skaler Üçlü çarpım (scalar triple product)
A ⋅ (B × C ) = B ⋅ (C × A ) = C ⋅ (A × B)
Eğer A = ( Ax , Ay , Az ) , B = ( Bx , B y , Bz ) ve C = (C x , C y , C z ) ise
Ax
A ⋅ (B × C ) = Bx
Cx
Ay
Az
By
Cy
Bz
Cz
Vektör Üçlü çarpım (vektör triple product)
A × (B × C ) = B(A ⋅ C ) − C(A ⋅ B)
ALIŞTIRMALAR
1) Verilen A = 3a x + 4a y + a z ve B = 2a y − 5a z iki vektör arasındaki küçük
açıyı bulunuz.
Çözüm:
KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit
8
Elektromanyetik Teori Bahar 2006-2007 Dönemi
A ⋅ B = A B cosθ AB formülü yardımıyla bu problemi çözebiliriz.
A ⋅ B = (3,4,1) ⋅ (0,2,−5)
=0+8−5=3
A = 32 + 4 2 + 12 = 26
B = 0 2 + 2 2 + (−5) 2 = 29
cosθ AB =
A⋅B
3
=
= 0.1092
AB
(26)(29)
θ AB = cos −1 (0.1092) = 83.73o
Diğer bir yöntemle aynı problem çözülebilir.
A × B = A B sin θ AB
ax
A×B= 3
ay
4
az
1 = (− 20 − 2)a x + (0 + 15)a y + (6 − 0 )a z = (−22,15,6)
0
2
−5
A × B = (−22,15,6) = (−22) 2 + 15 2 + 6 2 = 745
sin θ AB =
A×B
745
=
= 0.994
AB
(26)(29)
θ AB = sin −1 (0.994) = 83.73o
2) Verilen P = 2a x − a z , Q = 2a x − a y + 2a z ve R = 2a x − 3a y + a z üç
vektör için aşağıdaki işlemleri yapınız.
a) (P+Q) x (P-Q)
b) Q.(R x P)
c) P. (Q x R)
KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit
9
Elektromanyetik Teori Bahar 2006-2007 Dönemi
d) sin θ QR
e) P x (Q x R)
Çözüm:
(a) (P + Q ) × (P − Q ) = P × (P − Q) + Q × (P − Q)
= P×P − P×Q + Q×P −Q×Q
= 0 + Q×P + Q×P + 0
= 2Q × P
ax ay az
=2 2
-1
2
2 0 -1
= 2(1 − 0)a x + 2(4 + 2)a y + 2(0 + 2)a z
= 2a x + 12a y + 4a z
ax
ay
az
-3
1
2 0
= (2,−1,2 ) ⋅ (3,4,6 )
= 6 − 4 + 12 = 14
-1
(b) Q ⋅ (R × P ) = ( 2,−1,2) ⋅ 2
veya
2 -1
2
Q ⋅ (R × P ) = 2 - 3
2
0
1 = 6 + 0 − 2 + 12 − 0 − 2 = 14
-1
--
2
2
2
2
2
-1
-3
0
-1
-3
2
1
-1
3
1
+
+
+
Yukarıda 3 x 3 boyutunda bir matrisin determinatı nasıl hesap edileceği
gösterilmiştir.
(c) P ⋅ (Q × R ) = Q.(R × P ) = 14
KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit
10
Elektromanyetik Teori Bahar 2006-2007 Dönemi
P ⋅ (Q × R ) = (2,0,−1) ⋅ (5,2,−4 ) = 10 + 0 + 4 = 14
(d) sin θ QR =
(5,2,−4)
Q×R
45
=
=
= 0.5976
(2,−1,2) (2,−3,1) 3 14
QR
(e) P × (Q × R ) = (2,0,−1) × (5,2,−4 ) = ( 2,3,4)
veya
P × (Q × R ) = Q(P ⋅ R) − R(P ⋅ Q)
= (2,−1,2)(4 + 0 − 1) − (2,−3,1)(4 + 0 − 2)
= (2,3,4)
KAYNAK
Sadiku, M. N. O., 1995, Elements of Electromagnetics, Oxford University
Press, 821 sayfa.
KOÜ, Mühendislik Fakültesi, Jeofizik Mühendisliği Bölümü, İzmit
11