4.12 – Oran ve Orantı ( )

Oran ve Orantı
Muharrem Şahin
4.12 – Oran ve Orantı
ad  b c 
4.12.1 – Oran ve Orantının Tanımı
 a,b  
zılabilir.
- Aynı türden iki çokluktan birinin diğerine bölümünü gösteren kesre oran denildiğini;
-
-
a
c
 k ve
 k k  R  olmak
b
d
eşitliğine orantı denildiğini
üzere,
a c

b d
Tanım – 4.75
a
biçiminde
 a, b  oranı  a,b  ,  a : b  veya
b
gösterilir; a oran b veya a’nın b’ye oranı diye
okunur.
2 2 0 6 0
,
,
, , ,... birer orandır.
3 7
3 0 0
a
oranına, a’nın b’ye bölümü de deb
a
a
nilebilir. Bu durumda
 k  R sayısına
oranıb
b
2
0
nın değeri denir. Ancak;
ve
gibi oranlar bir
0
0
bölüm olarak düşünülemez. Böyle oranların değerleri ya tanımsız ya da belirsizdir.
b  0 iken
  a, b  ,  c, d   a  d  b  c
orantı denir.
b  d  0 olmak üzere;
eşitliğini –küçük bir pürüz
dir.
a.
3, 6    4, 8
3  8  6  4 
b.
0 0

5 2
0  2  5  0 
c.
2
 
3, 6  6,3 2
 2
3 3

0
0

3 3 2 
3 0  03
6 6


e.
 a,b  ka,kb 
 a  kb  b  ka
f.
a 0

b 0
 a  0  b  0
  a,b   ka,kb  orantısına
göre; her  a,b  oranı
her kR sayısı ile genişletildiğinde,  a,b  oranına
eşit olan oranlar elde edilir.
Örnek – 4.181
2
oranını 2, 0, 3 sayıları ile genişletelim:
3
2
2 2

;
3
6
 2
2 0
 ;
3
0
 0
2 3 2

elde edilir.
3
9
3
a
0
oranını
a eşit saymamız, eşitliğin
b
0
geçişme özeliği ile çelişir.
Tanım – 4.76
nın elemanı olan her
ise  a,b    c, d ya-
Örnek – 4.180

RxR’de,  
 a,b   c, d
düşünülürse,
a c



 a  d  b  c
 veya
b d


d.
RxR’nin her  a, b  ikilisine bir oran denir.
a,b  , c, d  
 a, b    c, d  a  d  b  c
öğrenmiştiniz.
Bu bölümde, bu tanımları modern matematik
kavramları ile vereceğiz.
olduğu
dışında– b  d  0 olduğu durumlar için de yazabiliriz: a, b, c, d R olmak üzere;
a
oranında a’nın b’ye bölünmesi ile elde edilen
b
a
gerçek sayıya
oranının değeri denildiğini;
b
Örneğin;
a
c
ve  c, d 
b
d
b  d  0 için
İlköğretim yıllarınızda;
a d b c
a c

 
dir.
bd bd
b d
a, b  , c, d 
bağıntısı-
ikilisine bir
Her
Örneğin;
2 0
0 3
2 3

ve

iken,

tir.
3 0
0 5
3 5
Yukarıda sözü geçen pürüz budur. Bu pürüzü
0
0
“
oranı belirsizdir.” diyerek gidereceğiz.
ora0
0
nını bir geçişme elemanı olarak kullanmayacağız.
1
Oran ve Orantı
Muharrem Şahin
Orantının özeliklerini ortaya koyduğumuzda, nea 0
den bazı sorunları göze alarak

dediğimizi
b 0
daha iyi anlayacaksınız. Böyle yapmakla, orantı
kavramı ile ilgili olarak ortaya çıkabilecek daha
önemli sorunları nasıl önlemiş; nasıl daha işlevsel
bir orantı kavramı elde etmiş olduğumuzu göreceksiniz.
Tanım – 4.78
a b

orantısında b’ye
b c
a ile c sayılarının orta orantılısı veya a ile c’nin
geometrik ortası denir.
a, b, c  R olmak üzere,
Örnek – 4.183
Etkinlik – 4.275
Aşağıdaki eşitliklerin birer orantı olmasını sağlayan x değerlerinin kümelerini bulunuz.
x 0
a.

2 0
d.
0 5
b.

0 x
5 5

0
x
e.
2
3

x
3
0 x
c.

8 3
f.
62 3
x

 x2  6  2 3 6  2 3
x
62 3

a c

orantısında a, b, c, d sayılarına sırasıyb d
la; orantının I. terimi, II. terimi, III. terimi,
IV. terimi denir.
(Yanlar)
Dışlar
x2 6
içler (ortalar)
adı verilir.

olur.

a
a
a a1

ve 1  2
b b1
b1 b2
ise
a
a a2
0
a

orantısını gerektirir. 1 
iken
b b2
b1 0
b
oranı
orantıları, ancak
a1 0

b1 0
a2
oranına eşit olmayabilir. Bu durumu,
b2
daha önce de
dışlar (yanlar);
II. ve III. Terimlere

 x2  36  12
3 1

5
x

I. ve IV. terimlere
6  2 3 ve 6  2 3 sayıları arasında orta orantılı sayıyı bulalım:
0
ın belirsizliği ile açıklamıştık.
0
a:b  c : d
İçler
(Ortalar)
Tanım gereği, dışların çarpımı içlerin çarpımına
eşittir.
Tanım – 4.79
a : a1 : a2 : ...  b : b1 : b2 : ... eşitliği
a a1 a2


 ... anlamına gelir.
b b1 b2
a c

 ad  bc
b d
Örnek – 4.184
Tanım – 4.77
a c

orantısında d’ye a, b, c sayılarının dörb d
düncü orantılısı denir.
Örnek – 4.182
2, 3 2,
lalım:
2
3 2

6 sayılarının dördüncü orantılısını bu6
 2x  3 2  6  x  3 3 tür.
x
2 : x : 0 : y  4 : 5 : z : 6 olduğuna göre x, y ve z
sayılarını bulalım:
Verilen orantı
2 x 0 y
  
dır.
4 5 z 6
2 x
5
  2 5  4  x  x  ;
4 5
2
2 0
  2  z  4  0  z  0 olur.
4 z
0 y
2 y

orantısından değil,

oran0 6
4 6
tısından bulunmalıdır. (Neden?)
y değeri
2 y
  y  3 bulunur.
4 6
2
Oran ve Orantı
Muharrem Şahin
Orantının Özelikleri
Teorem – 4.124
Bir orantıda içler kendi aralarında, dışlar kendi
aralarında yer değiştirebilir.
1
 R olduğundan Ç   dir.
0
b.
x
2

 x  2  x  1  2  x  1
x  1 2x  2
 2x  x  1  2  x  1  0
 2  x  1  x  1  0
a c
a b d c b d


   

dir.
b d
c d b a a c
 x 1
bulunur.
x  1 değeri için eşitlik bir orantıdır.
1 2
x  1   
0 0
Etkinlik – 4.276
Oranlar kümesinin gerçek sayılar kümesini
kapsadığını söyleyebilir miyiz?
Teorem-4.124’ü ispatlayınız.
Örnek – 4.187
Örnek – 4.185
a.
3
6

orantısına dayanarak
5 10
10 6 3
5
5 10
 ,

,

yazılır.
5
3 6 10 3
6
b.
0 0

orantısına dayanarak
3 4
4 0 3 4 3 0
 ,
 ,

yazılır.
3 0 0 0 4 0
0
oranından söz etmeseydik. Bu örnekteki du0
rumları açıklayamayacaktık.)
(
2 5

ve x  y  63 ise x ve y sayılarını bulux y
nuz.
Çözüm
2 5
x y
    k olsun.
x y
2 5
x  2k ve y  5k olur.
x  y  63  2k  5k  63
 k  9 bulunur.
x  2  9  18 ve y  5  9  45 tir.
Teorem – 4.125
Örnek – 4.186
a. R’de
b.
x
2

denklemini çözünüz.
x  1 2x  2
x
2

bir orantı olduğuna göre, x’in
x  1 2x  2
alabileceği değerlerin kümesini yazınız.
Çözüm
a c

bir orantı olmak üzere,
b d
a c
ac
ac
 

dir.
b d bd bd
Etkinlik – 4.277
Teorem-4.125’i ispatlayınız.
a. Eşitliğin iki yanını 2  x  1 ile çarpalım:  x  1
x
2

x  1 2  x  1
 2x  2  x  1 bulunur.
x  1 değeri kesrin paydasını sıfır yapar.
Örnek – 4.188
3
15

denklemini çözünüz.
1x 3x
3
Oran ve Orantı
Muharrem Şahin
Çözüm
Çözüm
Her kesir bir oran olduğuna göre, R’deki denklemlerin çözümünde orantının özeliklerinden yararlanılır.
I. yol
3   15
12
3
15



 3
1  x 3  x 1  x   3  x 
4
x  2k, y  3k, z  4k olur.
3

 3  3  3x  3  x  2 bulunur.
1x
Teorem-4.125, Teorem-4.124’ün genelleştirilmiş biçimidir.
x y z
 
 k olsun.
2 3 4
x  2y  z  2k  2  3k  4k  x  2y  z  0
nur.
bulu-
II. yol
x
y
z
x  2y  z
x  2y  z




olur.
2
3
4 12  2 3 14
0
1
 2
1
Bu orantı ancak x  2y  z  0 iken gerçekleşir.
x y z 0

dır.
   
2 3 4 0

Teorem – 4.126
a a1 a2


ve k, k 1 , k 2  R olmak üzere;
b b1 b2
Teorem – 4.127
ka  k 1a1  k 2a2
a a1 a2



dir.
b b1 b2 kb  k 1 b1  k 2 b2
Etkinlik – 4.278
Teorem-4.126’yı ispatlayınız.
Örnek – 4.189
2a  b  c a  2b  c a  b  2c


3
8
9
re, a : b : c oranını yazınız.
a c

ise
b d
1.
a
c

dir.
ab cd
2.
a
c

dir.
ab cd
3.
ab cd

dir.
ab cd
4.
xa  y  b xc  yd

dir.
za  tb
zc  td
olduğuna gö-
Etkinlik – 4.279
Teorem-4.127’yi ispatlayınız.
Çözüm




4 a  b  c
2a  b  c a  2b  c a  b  2c



3
8
9
20

  
abc
a
b
c




bulunur.
5
2
3
1
a : b : c  2 : 3 : 1 dir.
Örnek – 4.191
2a  b
xy
a

olduğuna göre,
oranını x ve y
ab
2x  y
b
türünden bulunuz.
Çözüm
I. yol

Örnek – 4.190
x y z
 
ise x  2y  z kaçtır?
2 3 4

2a  b
xy

ab
2x  y


4
Oran ve Orantı
Muharrem Şahin



2a  b    a  b 
 2a  b   2  a  b 

b.
 x  y   2x  y 
  x  y   2 2x  y 
 2  
1x
c.
x2  3x  4
 2  
3a
3x
a
x


 
olur.
3b 3x  3y
b xy
2
x2  3x  4
d.


5
1  6x  2x2
x3
12  3x  x2
2x
x2  x  2

x  1 x2  x  4
II. yol
2a  b
xy

ab
2x  y
Etkinlik – 4.281
 a  4x  2y   b 2x  y   a  x  y   b  x  y 
a 4 b 1 c  4 1



olduğuna göre,
b 2 c 1 a7 4
 a  4x  2y  x  y   b  x  y  2x  y 

a
3x
a
x

 
b 3x  3y
b xy
a  b  c toplamını bulunuz.
olur.
Etkinlik – 4.282
Aşağıda verilen orantılardan, istenilen oranları
bulunuz.
Örnek – 4.192
x  2 x2  2x  5
R’de

denklemini, orantının
2x
x2  4x  9
özeliklerinden yararlanarak çözünüz.
a.
ab 3

ise a : b  ?
ab 2
b.
a 3
b 3

ve

ise a : b : c  ?
b 4
c 5
Çözüm
c.
ab
ac
bc


b  2c a  2b 2a  c
d.
2a  b  c a  2b a  c


7
1
5
e.
a  2b
3a  b

2a  b 2a  2b
ise a : b  ?
f.
2a  3b a  5b

a  2b
4b
ise a : b  ?
x  2 x2  2x  5

2x
x2  4x  9

x  2  2x 
2x


x2  2x  5  x2  4x  9


x2  4x  9
2  
2x
2x  4
0



2
2
2x
x  4x  9 x  9



ise a : b : c  ?
olur.
2  
2x
0

orantısı, 2  x  0 veya
2
2x
x 9
x2  9  0 eşitliklerini gerektirir.
Buna göre; x  2 veya x  3 olmalıdır. Bu x
değerleri, verilen denklemdeki kesirleri gerçek
sayı yaptığından Ç  3,2,3 olur.
Etkinlik – 4.280
Aşağıdaki denklemleri, orantının özeliklerinden
yararlanarak, R’de çözünüz.
x 1 x 1
a.

4x 8x
ise a : b : c  ?
4.12.2 – Orantılı Çokluklar
Doğru Orantılı Çokluklar
Etkinlik – 4.283
Ekmek sayıları ile
Ekmek
sayısı
bunların tutarları
1  x1 
30  y1 
tabloda verilmiştir.
2  x2 
60  y2 
x ekmek sayısı,
3  x3 
90  y3 
y ekmeklerin tutarı,
4  x4 
120  y4 
5  x5 
150  y5 
6  x6 
180  y6 
xi ve yi birbirlerine
karşılık gelen ekmek
sayısı ve tutarı olsun.
Tutarı(kr)
5
Oran ve Orantı
a.
x2 y2 x3 y3 x4 y4

;

;

orantılarının varx3 y3 x5 y5
x6 y6
c. Hızı değişmeyen bir hareketlinin aldığı yol ile
bu yolu alma süresi doğru orantılıdır.
lığını gösteriniz.
d. Denk işçilerin sayısı ile eşit sürede ürettikleri
iş miktarı doğru orantılıdır.
y1 y2
y
y
y
y

 3  4  5  6 olduğunu göstex1 x2 x3 x4 x5 x6
b.
Muharrem Şahin
riniz.
c. y ile x arasındaki bağıntıyı bulunuz.
Örnek – 4.194
Bir işçi 4 saatte 14 m2 duvarı boyarsa, 10 saatte kaç m2 duvarı boyar?
Tanım – 4.80
Değişen iki çokluktan birinin herhangi iki
değerinin oranı, diğerinin bunlara karşılık gelen
değerlerinin oranına eşit ise; bu çokluklara
doğru orantılı (ya da orantılı) çokluklar denir.
Etkinlik-4.283’teki ekmeklerin sayısı ile ekmeklerin tutarı doğru orantılıdır.
x ile y doğru orantılı çokluklar olsun.
x  x1 iken y  y1 ve x  x2 iken y  y2 ise,
x1
y
y
y
 1  1  2 olur.
x2 y2
x1 x2
Karşılıklı tüm x ve y değerleri için
y1
y
y
 2  3  ...  k bulunur.
x1
x2
x3
Demek ki; doğru orantılı iki çokluğun birbirleriy
ne karşılık gelen değerleri x ve y ise
 k dır.
x
Çözüm
İşçinin çalıştığı sürelerin oranı, bu sürelerde
boyanan duvarların alanlarının oranına eşittir.
4 saat
14 m2

 x  35 m2 bulunur.
10 saat
x
Bu tür problemlerde işlemleri uzatmamak için,
yukarıdaki orantı problemin ifadesi içinde oluşturulur.
Şöyle ki;
İşçi 4 saatte 14 m2 boyarsa
10 saatte x m2 boyar.
Doğru Orantı
(D.O.)
4  x  10  14
 x  35 bulunur.
(Okların işaret ettiği çoklukların çarpımları eşitlenir.)
Bir y çokluğunun bir x çokluğu ile doğru orantılı
olduğu “ yx ” ile gösterilir ve “y orantılı x” diye
okunur.
y
k
x
 y  kx olur.
yx 
Örnek – 4.195
x  0 iken kR’dir.
4800 lirayı, 18 ve 30 yaşlarındaki iki kardeş
yaşları ile orantılı olarak paylaşırsa; her birinin
payı kaç lira olur?
y
oranının değerinin y  0 iken belirsiz, y  0
0
iken tanımsız olduğunu hatırlayınız.)
(
Örnek – 4.193
a. Bir işçinin çalışma süresi ile bu süreye karşılık
alacağı ücret doğru orantılıdır.
b. Satın aldığınız kalemlerin sayısı ile buna ödenecek para doğru orantılıdır.
Çözüm
Küçük kardeş x lira, büyük kardeş y lira alsın.
x 18
x
y



k
y 30
18 30
 x  18k ve y  30k olur.
x  y  4800  18k  30k  4800
 k  100
 x  1800 ve y  3000 bulunur.
6
Oran ve Orantı
Muharrem Şahin
Örnek – 4.196
Etkinlik – 4.284
2x  3 ve y  5 çoklukları doğru orantılıdır.
a. x  2 iken y  1 ise, x  4 iken y kaçtır?
b. x  3 iken y  4 ise
y  5 iken x kaçtır?
c. x  6 iken y  5 ise
x  10 iken y kaçtır?
Çözüm
Aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
a. Bir araç 8 litre benzinle 100 km yol alırsa, 14
litre benzinle kaç km yol alır?
b. 9 işçinin 15 m2 duvarı ördüğü sürede, 20 m2
duvarı kaç işçi örer?
c. 48 kalem 7 ve 9 yaşlarındaki iki kardeş arasında, yaşlarıyla orantılı olarak paylaştırılıyor. Her
birine kaç kalem düşer?
d. Üç kişi 60000 lirayı 2, 3, 5 sayıları ile orantılı
olarak paylaşıyor. Her birinin payı kaç lira olur?
a. I. yol
Doğru orantılı iki çokluğun oranı sabittir.
e. x ile y doğru orantılı çokluklardır.
I.
2x  3
 k dır.
y5
x  2 ve y  1 için
22 3
1
k k 
olur.
15
6
2x  3 1

orantısında x  4 iken,
y5
6
243 1
  y  25 bulunur.
y5
6
x  12 iken y  9 ise,
x  8 iken y kaçtır?
II.
x  5 iken y  0 ise,
x  9 iken y kaçtır?
III.
x  2 iken y  6 ise,
x  0 iken y kaçtır?
f. 2y  1 ile x2  3 doğru orantılı çokluklardır.
x  4 iken y  29 ise,
x  6 iken y kaçtır?
II. yol
2x  3 ’ün alacağı değerlerin oranı, y  5 ’in
bunlara karşılık gelen değerlerinin oranına eşit
olacaktır.
Etkinlik – 4.285
2x1  3 y1  5

tir.
2x2  3 y2  5
Bir balıkçı elinde kalan 6 kg balığı Ali ve Veli’ye,
paraları ile doğru orantılı olarak paylaştıracaktır.
x1  2, x2  4 ve y1  1 değerleri yerlerine ko-
a. Ali’nin 4 lirası, Veli’nin 8 lirası varsa;
nulursa
22 3
15

 y2  25 bulunur.
2  4  3 y2  5
b. x1  3, y1  4, y2  5 ve
2x1  3 y1  5

2x2  3 y2  5

23 3
45
3
9



2x2  3 5  5
2x2  3 0
3
 x2 
bulunur.
2
b. Ali’nin 5 lirası varsa, Veli’nin parası yoksa;
c. Ali’nin de Veli’nin de parası yoksa,
balıkçı paylaştırmayı nasıl yapar?
 Doğru orantılı x ve y çoklukları arasında
y  kx bağıntısı olduğundan, y’nin x’e göre değişiminin grafiği orijinden geçen bir doğrudur.
y
y
k>0
2k
1
k
k
c. x1  6, x2  10, y1  5 ve
1
2x1  3 y1  5

2x2  3 y2  5

k>0
y kx
2
x
2
x
2k
y kx
26 3
5  5
9
0



2  10  3 y2  5
17 y2  5
 y2  5 bulunur.
x çokluğu hep sıfır olarak kalıyorsa, grafik x  0
doğrusu;
y çokluğu hep sıfır olarak kalıyorsa, grafik y  0
doğrusu olur.
7
Oran ve Orantı
Muharrem Şahin
Ters Orantılı Çokluklar
Etkinlik – 4.286
değişik sayıdaki
Kişi
sayısı
1  x1 
Kişi başına
elma sayısı
60  y1 
kişiler arasında
2  x2 
30  y2 
paylaşılmasında,
3  x3 
20  y3 
kişi başına düşen
4  x4 
15  y4 
5  x5 
12  y5 
6  x6 
10  y6 
60 tane elmanın
elma sayıları tabloda
gösterilmiştir.
x kişi sayısı, y kişi
başına düşen elma sayısı; xi ve yi birbirlerine
karşılık gelen kişi sayısı ve kişi başına düşen elma sayısı olsun.
1
y 
y 
x
x
a. 2   2  , 3   3 
x3  y3 
x5  y5 
olduğunu gösteriniz.
1
y 
x
, 4   4 
x6  y6 
y
k
1
  y k
olduğundan y, x ile ters oran1
x
x
1
tılı ise;
ile doğru orantılıdır.
x
Örnek – 4.197
a. Belli bir işin bitirilmesi süresi, denk işçilerin
sayısı ile ters orantılıdır.
b. Belli bir yolu alma süresi,y hareketlinin hızı ile
ters orantılıdır.
Örnek – 4.198
9 işçi belli bir işi 10 günde yaparsa, 6 işçi aynı
işi kaç günde yapar?
1
b. x1  y1  x2  y2  x3  y3  x4  y4  ... olduğunu
gösteriniz.
c. x ile y arasındaki bağıntıyı bulunuz.
Çözüm
I. yol
İşçi sayısı, çalışılan gün sayısı ile ters orantılıdır.
6 işçi işi x günde yapsın.
9  10 


6  x 
1

9
x

 x  15 bulunur.
6 10
II. yol
Tanım – 4.81
Değişen iki çokluktan birinin herhangi iki
değerinin oranı, diğerinin bunlara karşılık gelen
değerlerinin oranının tersine eşit ise; bu çokluklara ters orantılı çokluklar denir.
Etkinlik-4.286’daki kişi sayısı ile kişi başına
düşen elma sayısı ters orantılıdır.
İşçi sayısı, çalışılan gün sayısı ile ters orantılı
olduğundan, bunların çarpımı sabittir.
9 işçi  10 günde yaparsa,
6 işçi  x günde yapar.
Ters orantı
6  x  9  10
(T.O.)
 x  15 bulunur.
x ile y ters orantılı çokluklar olsun.
x  x1 iken y  y1 ve x  x2 iken y  y2 ise,
x1  y1 


x2  y2 
1

x1 y2

 x1  y1  x2  y2 olur.
x2
y1
Karşılıklı tüm x ve y değerleri için,
x1  y1  x2  y2  x3  x3  ...  k bulunur.
Demek ki; ters orantılı iki çokluğun birbirlerine
karşılık gelen değerleri x ve y ise, x  y  k dır.
k  R için, x  y  k 
y
k

yazılabilir.
1
x
Örnek – 4.199
80000 liralık ödül, bir takımın iki kalecisine yedikleri gollerin sayısı ile ters orantılı olarak paylaştırılacaktır. Kalecilerden biri 7 gol, diğeri 9 gol
yediğine göre; her birinin payı kaç lira olur?
Çözüm
I. yol
Kalecilerden 7 gol yiyeni x lira, 9 gol yiyeni y lira
alsın.
8
Oran ve Orantı
x 7
 
y 9
1

x 9

y 7
x y
 k
9 7
 x  9k ve y  7k olur.

x  y  80000  9k  7k  80000
 k  5000
 x  45000 TL
y  35000 TL bulunur.
7 gol yiyen kaleci 45000 TL, diğeri 35000 TL alacaktır.
II. yol
7 gol yiyen kaleci x lira, diğeri 80000  x lira alsın. Bir kalecinin yediği gollerin sayısı alacağı
para ile ters orantılı olduğundan, bunların çarpımı
sabittir.
7  x  9   80000  x 
Muharrem Şahin
d. 2x  1 ve 3y  4 ters orantılı çokluklardır.
x  4 iken y  2 olduğuna göre x  2 iken y
kaçtır?
Etkinlik – 4.288
Miray, Senay ve Giray’ın programlarında 8 farklı
ders bulunmakta ve karnelerindeki notlar 4 ve
5’lerden oluşmaktadır.
Karnelerdeki
4’lerin
sayısı
notların dağılımı
5’lerin
Toplam
sayısı
tabloda
Miray
1
7
39
verilmiştir.
Senay
1
7
39
Babaları toplam
Giray
4
4
36
4104 liralık ödülü,
a. 4’lerin sayısı ile ters orantılı olarak paylaştırırsa;
 x  45000 TL bulunur.
b. 5’lerin sayısı ile doğru orantılı olarak paylaştırırsa;
Örnek – 4.200
c. not toplamları ile doğru orantılı olarak paylaştırırsa
x, y, z çoklukları sırasıyla 2, 3, 4 sayıları ile ters
orantılıdır.
x, y, z’nin orantılı olduğu en küçük sayma sayılarını bulunuz.
her birine kaç lira düşer?
Etkinlik – 4.289
soruları yandaki
Çözüm
tabloya göre
1 1 1
2, 3, 4 ile ters orantılı olan sayılar
, ,
ile
2 3 4
doğru orantılıdır.
yanıtlayınız.
x:y:z 
1 1 1
: :
olur.
2 3 4
Oranlar 12 ile genişletilirse;
4’lerin
sayısı
Etkinlik-4.287 deki
5’lerin
Toplam
sayısı
Miray
0
8
40
Senay
4
4
36
Giray
8
0
32
 Ters orantılı x ve y çoklukları arasında
x  y  k bağıntısı bulunduğundan, y’nin x’e göre
değişiminin grafiği aşağıdakiler gibidir.
x : y : z  6 : 4 : 3 bulunur.
Etkinlik – 4.287
y
k
k>0
Aşağıdaki problemleri çözünüz.
a. 6 kişi bir miktar peyniri paylaşacaktır. Paylaşıma 3 kişi daha katılsaydı, kişi başına düşen
peynir miktarı 1 kg azalacaktı.
Paylaşılacak peynir kaç kg dır?
b. 63000 TL, 32 ve 40 yaşlarındaki iki kardeş arasında yaşları ile ters orantılı olarak paylaştırılırsa, küçük kardeşin payı kaç TL olur?
c. 138 elma 1, 3, 5 sayıları ile ters orantılı olarak
üçe bölünürse, her grupta kaçar elma bulunur?
y
k/2
k/3
3 2 1
k
1 2
k/3
k/2
k
3 x
k<0
k/2
k/3
1 2
3
x
k/3
k/2
k
9
Oran ve Orantı
Muharrem Şahin
k  0 için grafik, x  0 ve y  0 doğrularının
oluşturduğu şekildir.
Bileşik Orantı
5
“
5
“
“
“
1
“
“
6  10  8
günde
5
6
“
“
6  10  8
 16 günde
56
bitirir.
II. yol
Teorem – 4.128
Problemi iki aşamada çözelim:
Bir z çokluğu x ve y çoklukları ile ayrı ayrı doğru
orantılı ise, x  y çokluğu ile de doğru orantılıdır.
6 işçi;
günde 8 saat çalışarak  10 günde bitirirse
günde 6 saat çalışarak  x günde bitirir.
İspat
T.O.
6  x  8  10
zx  y  z  k  x  y dir.
x
z  k  x  y eşitliğinde x sabit tutulursa,
z  k
 x  y  z  k1y
40
gün olur.
3
Günde 6 saat çalışarak;
k1
40
günde bitirirse
3
5 işçi  y günde bitirir.
 z y ;
6 işçi 
y sabit tutulursa,
z  k
 y  x  z  k 2x
T.O.
k2
5y  6
 zx olur.
 y  16 gün bulunur.
Teorem-4.127’den şu sonuçlar çıkarılır:
1. U, x, y, z, t birer değişken ve k sabit olmak
üzere,
xymzn
Uk
ise U değişkeni x, ym ve zn ile
t
ayrı ayrı doğru orantılı; t ile ters orantılıdır.
2. Bir z çokluğu x ve y ile doğru, t ile ters orantılı
olsun.
x  x1 iken y  y1, t  t1, z  z1 ve
x  x2 iken y  y2 , t  t2 , z  z2 ise
z1
x y t
 1  1  2 dir.
z2 x2 y2 t1
Örnek – 4.201
6 işçinin günde 8 saat çalışarak 10 günde bitirebilecekleri işi, 5 işçi günde 6 saat çalışarak kaç
günde bitirir?
40
3
III. yol
Bileşik orantıdaki değişen çoklukların her biri
bilinmeyen çoklukla karşılaştırılır. Bunların doğru
orantılı mı, ters orantılı mı oldukları belirlenir.
6 işçi  günde 8 saat çal.  10 günde bitirirse
5 işçi  günde 6 saat çal.  x günde bitirir.
T.O.
(Gün sayısı ile)
T.O.
(Gün sayısı ile)
İşçi sayısının aynı kaldığı düşünülürse; günlük
çalışma süresi ile gün sayısı ters orantılıdır. Buna
göre, 6 ile x ve 8 ile 10 çarpılacaktır. Bu, orantıda
oklarla gösterilmiştir.
Günlük çalışma süresinin aynı kaldığı düşünülürse; işçi sayısı ile gün sayısı (ya da toplam çalışma
süresi) ters orantılıdır. Buna göre, 5 ile 6  x ve 6
ile 8  10 çarpılıp eşitlenecektir. Bu da orantıda
oklarla gösterilmiştir.
Açıklamalarımızı işleme dökersek,
Çözüm
I. yol (Bire indirgeme yöntemi)
5  6  x  6  8  10  x  16 bulunur.
6 işçi günde 8 saat çalışarak 10 günde bitirirse
IV. yol
1
“
“
8
“
“
6  10 günde
1
“
“
1
“
“
6  10  8 günde
III. yolda yaptığımız açıoklamaları daha özlü
biçimde yapabiliriz:
Çalışılan gün sayısı, işçi sayısı ve günlük çalışma
süresi ile ters orantılıdır.
10
Oran ve Orantı
Muharrem Şahin
Çalışılan gün sayısı g, işçi sayısı i, günlük çalışma süresi s ile gösterilirse;
birim zamanda ürettiği parçalardan 2’si bozuk
çıkan 5 işçi 510 sağlam parçayı 6 günde ürettiğine göre;
g1 i2 s2
 
olur.
g2 i1 s1
birim zamanda ürettiği parçalardan 3’ü bozuk
çıkan 10 işçi 640 sağlam parçayı kaç günde
üretir?
g1 i2 s2
10 5 6
 

 
g2 i1 s1
x
6 8
f. 8 ton demirden, çapı 3 cm olan 1500 m uzunluğunda demir çubuk üretilirse; 6 ton demirden
çapı 5 cm olan kaç m uzunluğunda demir çubuk
üretilir?
 x  16 bulunur.
Biz, bu tür problemlerde IV. yolu öneriyoruz.
V. yol
! Üretilen iş miktarı, (y)
6 işçi günde 8 saat çalışarak 10 günde
6  8  10  480 saatlik iş yapar.
5 işçi bir günde 5  6  30 saatlik iş yapacağına
göre, 480 saatlik işi 480 : 30  16 günde bitirir.
Etkinlik – 4.290
2
3
x, y, z, t, u çoklukları arasında x  y  z  t  u
bağıntısı bulunduğuna göre, aşağıdakilerden hangileri doğrudur?
a. x ile t doğru orantılıdır.
-
İşçi sayısı ile; (n)
-
Bir işçinin birim zamanda yaptığı iş miktarı ile;
(p)
-
Günlük çalışma süresi ile; (r)
-
Çalışılan gün sayısı ile (t)
doğru orantılıdır.
Buna göre;
Her biri birim zamanda p1 birim iş yapan n1 işçi
günde r1 saat çalışarak y1 birim işi t1 günde;
b. x ile y ters orantılıdır.
her biri birim zamanda p2 birim iş yapan n2
c. z ile t ters orantılıdır.
işçi günde r2 saat çalışarak y2 birim işi t2 günde
d. t ile u3 ters orantılıdır.
Etkinlik – 4.291
Aşağıdaki problemleri, Örnek-4.201’de belirtilen
yollarla çözünüz.
a. 3 işçi 4 dönüm tarlayı 10 saatte çapalarsa, 5
işçi 6 dönüm tarlayı kaç saatte çapalar?
b. 8’er tonluk 6 kamyonun 12 seferde taşıdığı kömürü, 9’ar tonluk 4 kamyon kaç seferde taşır?
c. Her biri birim zamanda 3 birim iş üreten 10 işçi
günde 8 saat çalışarak 120 birim işi 9 günde
üretirse; her biri birim zamanda 5 birim iş
üreten 9 işçi günde 6 saat çalışarak 180 birim
işi kaç günde üretir?
d. 6 işçi her biri 50 cm2 olan parkelerle 8 saatte
120 m2 tabanı döşerse; 4 işçi her biri 60 cm2
olan parkelerle 5 saatte kaç m2 tabanı döşer?
(Farklı parkelerin döşenme süreleri eşittir.)
e. Her işçi birim zamanda eşit sayıda parça üretmektedir.
Birim zamanda ürettiği parçalardan biri bozuk
çıkan 6 işçi 540 sağlam parçayı 5 günde;
yaparsa,
y1 n1 p1 r1 t1


 
olur.
y2 n2 p2 r2 t2
Bu sonuç;
I. iş miktarı

I. işle ilgili değişkenlerin çarpımı
II. iş miktarı II. İşle ilgili değişkenlerin çarpımı
biçiminde sağlıksız bir genellemeye yol açabilir.
Bu genelleme ile problem çözmeye alışan bir öğrenci kolayca yanıltılabilir. Doğru olanı, her değişkenin iş miktarı ile doğru orantılı mı, ters orantılı mı olduğunu ayrı ayrı belirlemektir.
Örnek – 4.202
8 işçi her biri 2 birim zamanda yapılan 600 parça işi 12 saatte yaparsa;
6 işçi her biri 3 birim zamanda yapılan 500 parça işi kaç saatte yapar?
Çözüm
Yapılan parça sayısı, işçi sayısı ve çalışma süresi
ile doğru orantılı; bir parçanın üretilme süresi ile
ters orantılıdır.
11
Oran ve Orantı
Muharrem Şahin
Buna göre;
600 8  2 
  
500 6  3 
1

12
x
Etkinlik – 4.293
600 8 3 12
  
500 6 2 x
 x  20 saat bulunur.
Aşağıdaki problemleri çözünüz.

Örnek – 4.203
2y  1 çokluğu, x  2 ve 3p  2 ile doğru; 2t  3
ile ters orantılıdır.
x  7, p  1 ve t  3 iken y  3 ise;
x  1, p  11 ve t  2 iken y kaçtır?
b. Bir terzi 2 ceket diktiği sürede 5 pantolon dikebilmektedir.
Çözüm
I. yol
12 terzi 420 pantolonu 6 günde dikerse;
 x  2  3p  2
2y  1  k 
2t  3
yazılır.
x  7, p  1, t  3, y  3 iken;
23 1  k 
7  2   3  1  2 
23 3
 k  1 olur.
x  1, p  11 ve t  2 iken;
2y  1  1 
1  2  3  11  2
22  3
 y  8 bulunur.
II. yol
2y1  1 x1  2 3p1  2 2t2  3



2y2  1 x2  2 3p2  2 2t1  3

a. x tane makine günde y saat çalışarak z parça
1
işi 18 günde yapmaktadır. Makina sayısı
ü
3
1
kadar artırılır, günlük çalışma süresi
ü kadar
4
5
azaltılır ve iş miktarı
katına çıkarılırsa iş kaç
3
günde biter?
2  3  1 7  2 3 1  2 2  2  3



2y2  1 1  2 3  11  2 2  3  3
15 terzi 280 ceketi kaç günde diker?
c. 3 ceket için gereken kumaş ile 5 pantolon
dikilebilmektedir.
72 m kumaşla 60 pantolon dikilirse, 90 m kumaşla kaç ceket dikilir.
d. A tipi muslukların birim zamanda akıttıkları suyun, B tipi muslukların birim zamanda akıttık2
ları suya oranı
tür.
3
C tipi kovaların hacimlerinin D tipi kovaların
3
hacimlerine oranı
tir.
5
A tipi 5 musluktan 6 saatte C tipi 1200 kova
doldurulursa; B tipi 8 musluktan 10 saatte D
tipi kaç kova doldurulur?
 y2  8 bulunur.
Etkinlik – 4.294
Etkinlik – 4.292
Aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
a. y çokluğu, x ile doğru ve t ile ters orantılıdır.
x  6 ve t  3 iken y  8 ise,
y  12 ve x  15 iken t kaçtır?
b. y2 çokluğu x ve t3 ile doğru orantılıdır.
x  1 ve t  3 iken y  9 ise,
x  3 ve t  9 iken y kaçtır?
Aşağıdaki problemleri çözünüz.
a. Bir grup işçinin günde 8 saat çalışarak belli bir
5
sürede yapabileceği işi bu işçilerin
sı günde 6
6
saat çalışarak 6 gün daha uzun sürede bitirmiştir.
İş kaç günde bitirilmiştir?
b. 4 çırak ile 2 usta 24 parça işi 18 günde, 7 çırak
ile 3 usta 32 parça işi 15 günde bitirmiştir.
1 çırak ile 1 usta 16 parça işi kaç günde bitirir?
12
Oran ve Orantı
Muharrem Şahin
Alıştırmalar ve Problemler – 4.13
1.
Aşağıdaki eşitliklerin birer orantı olmalarını
sağlayan x değerlerinin kümelerini bulunuz.
a.
c.
e.
2.
x
2 2
3,6

0
15
5

3
x
b.
2
a b c
2a  b  c
 
ise
?
2 3 5
3a  2b  c
f.
a 5
b 4

ve

ise a : b : c  ?
b 6
c 5
g.
ab ab ab c


ise a : b : c  ?
2
3
6
h.
a  b  c 2b  c a  c


ise a : b : c  ?
11
8
9
x
17
d.
0 0

x 0
i.
a  2b 3a  c 2b  3c


ise a : b : c  ?
c
b
a
0 x2

0 x2
f.
3 x

x x
j.
a
b
c


ise a : b : c  ?
b c a c ab
1,8

Aşağıdaki orantılarda bilinmeyen terimleri
bulunuz.
a.
e.
6.
3 : x  6 :3
b. 2 :  3 : 6  3 : x : y
Aşağıda verilen orantılarda a : b : c oranlarını, mutlak değerleri en küçük olan tam
sayılarla ifade ediniz.
a. 2a : 3b : c  1 : 2 : 3
b. a : 2b : 4c  3 : 4 : 5
c. 2 3 : 0 :  2  : 12  x : y : z : 2 3
c. a : b : c 
d. x : 2 : y : 8  6 : 4 : 8 : z
1 3 5
: :
2 4 6
d. 3a : 4b : 6c  
3.
Aşağıdaki
bulunuz.
a.
2;
3
2;
sayıların
4
dördüncü
orantılılarını
b. 1,3; 1,6; 1, 9
2
7.
c. 1  2; 1  3; 1  6
d.
4.
5.
9  6 2; 3 6;
64 2
Aşağıdaki sayıların orta orantılılarını bulunuz.
a. 3; 6
b.
c.
d. 50; 72
3; 2 3
20  8 6;
8.
45  18 6
Aşağıda verilen orantılardan, istenilen oranları bulunuz.
a.
ab 4

ise a : b  ?
ab 1
b.
2a  3b 1

ise  a  2b  : 3a  4b   ?
3a  5b 4
c.
2a  b 2a  3b

ise a : b  ?
a
b
d.
ab b a

ise a : b  ?
a
b
3 2
: :1
4 3
a b c
ab bc cd
 
ve


 64 olduğub c d
b
c
d
a
na göre
oranını bulunuz.
d
Aşağıda verilen orantılardan x : y : z oranlarını bulunuz.
a.
xy yz xz


3
1
10
b.
xy yz xz


3
6
4
9.
a b 2a  3b
 
 3 ise a  b  c kaçtır?
b c 2b  15
10.
4a  b  6
2
b

ise
kaçtır?
6a  2c  9 3
c
11.
a c
2a  c a  b a  c

ve


7
b d
2b  d
b
bd
c
göre
oranı kaçtır?
d
olduğuna
13
Oran ve Orantı
Muharrem Şahin
a.
1 1 1
1
12. 2x  3y  4z ve   
ise
x y z 12
3x  y  2z kaçtır?
b.
c.
13. ax  by  cz  18 ve x  y  z  6 olduğuna
göre,
abc
oranı kaçtır?
ab  bc  ac
xy xz yz
1 1 1 1
14.


ve
  
2
6
3
x y z 12
göre; x, y, z değerlerini bulunuz.
d.
e.
f.
16.
a.
x y z


ve y  z  40
3 4 6
x2  1
2
x x2

2x2  5
2x2  2x
x  2 x2  2x  5

x2
2x  4
x2  2x  3
2
x 9
x x 2
x2  6


x2
5
x2  4x  4
x2  2x  12
x ile y doğru orantılı çokluklardır.
x  12 iken y  9 ise, x  8 iken y kaçtır?
y z

ve 2x  y  z  12
2 3
b.
x ile y ters orantılı çokluklardır.
x  9 iken y  8 ise, x  6 iken y kaçtır?
x  2 y 1 z  3


ve x  y  z  10
3
4
5
c.
x  2 ile 2y  5 doğru orantılı çokluklardır.
I.
a5 b 2 c 1


ve b  c  a
olduğuna
3
4
5
göre, a’nın alabileceği gerçek sayı değerlerinin kümesini bulunuz.
17. Aşağıda verilen orantılardan yararlanarak
II.
d.
2a  b
x  2y
a.

3a  2b 2x  y
x  4 iken y  12 ise
x  2 iken y kaçtır?
a
b
oranlarını bulunuz.
x  3 iken y  11 ise
x  5 iken y kaçtır?
III.
b.
7x
x2  1
20. Aşağıdaki soruları yanıtlayınız.
x
y
z
c.


ve 2x  y  80
2 4 5
d.

2
lerini bulunuz.
b. x 
5x
x2  1
olduğuna
15. Aşağıda verilenlere göre; x, y ve z’nin değer-
a.
x 3 x 1

x2 x4
5
ise
2
x  3 iken y kaçtır?
x  5 iken y 
x2  9 ile y  z ters orantılı çokluklardır.
I.
x  1 için y  4 ise
x  5 için y kaçtır?
3a  b 2x  3y

2b  a
5x  y
II.
x  3 için y  5 ise
x  4 için y kaçtır?
18. 3x  4y  5z ve
1
2

1
2

1
2

1
18
III.
olduğuna
x
y
z
göre; (x, y, z) üçlülerinin kümesini bulunuz.
x  6 için y  2 ise
y  2 için x kaçtır?
e.
y çokluğu x ve t ile doğru orantılıdır.
x  2 ve t  3 iken y  18 ise
x  1 ve y  15 iken t kaçtır?
19. Aşağıdaki denklemleri, orantının özeliklerinden yararlanarak, R’de çözünüz.
f.
y  2 çokluğu x2  1 ile doğru, 2t  3 ile
ters orantılıdır.
14
Oran ve Orantı
Muharrem Şahin
x  2 ve t  3 iken y  1 ise
t  1 ve y  70 iken x kaçtır?
g.
y çokluğu 2x  1 ve t  2 ile doğru,
z  3 ile ters orantılıdır.
26. Aşağıdaki problemleri çözünüz.
a.
9 tanesi 21 lira olan kalemlerin 12 tanesi kaç lira olur?
b.
4 kişinin 15 günde bitirebileceği yiyeceği, 5 kişi kaç günde bitirir?
c.
6 işçi toplam 6 m2 halıyı 6 günde dokursa, 9 işçi toplam 9 m2 halıyı kaç
günde dokur?
d.
Alanı 300 cm2 olan fayanslarla her biri
12 m2 olan 6 parça yüzey 8 saatte döşenirse; alanı 400 cm2 olan fayanslarla
her biri 18 m2 olan 8 parça yüzey kaç
saatte döşenir? (Farklı fayansların döşenme süreleri eşittir.)
x  t  1 ve z  5 iken y  9 ise,
x  z  0 ve t  2 iken y kaçtır?
h.
p çokluğu x2 ve y  1 ile doğru, z3 ve
t  1 ile ters orantılıdır.
x  y  z  2 ve t  4 iken p  2 ise,
y  4, z  1, t  8 ve p  60 için x kaç-
tır?
p3  z
eşitliğinde k sabittir.
t 2
x, y, p, z, t değişkenlerinin ikişer ikişer ters
orantılı mı, doğru orantılı mı olduklarını belirtiniz.
21. x2y  k 
22. Aşağıdaki sayılarla doğru orantılı olan çok-
27. Aşağıdaki problemleri çözünüz.
a.
9 işçinin yapacağı bir işin bitirilmesi, 3
işçinin gelmemesi yüzünden 4 gün
gecikiyor. Bu işi 8 işçi kaç günde
yapardı?
b.
Bir işi Gevher 9 günde, Tunca 12 günde
yapmaktadır.
luklar, mutlak değeri en küçük hangi tam
sayılarla ters orantılıdır?
a. 2, 3
b. 2, 4, 5
c. 2 , 3, 4
d. 1, 3, 4, 6
Gevher tek başına 3 gün çalışırsa, kalan
işi Tunca kaç günde tamamlar?
c.
23. Aşağıdaki sayılarla ters orantılı olan çokluklar, mutlak değeri en küçük hangi tam
sayılarla doğru orantılıdır?
a. 2, 3, 6
b. 3, 4 , 8
c. 2, 3, 4, 6
d.
2 3 3 4
,
,
,
3
4
5 7
Bir grup işçi 12 dönümlük bahçenin fındığını 8 günde toplarken, bu işçilerin 3
fazlası 18 dönümlük bahçenin fındığını 6
günde toplamıştır.
Bu işçilerden 8’i, 24 dönümlük bahçenin
fındığını kaç günde toplar?
d.
24. Aşağıdaki çoklukları, verilen sayılarla doğru
Bir balıkçı grubu 160 kg balığı paylayacaktır. Gruptaki balıkçı sayısı 2 fazla olsaydı, kişi başına 4 kg daha az balık düşecekti.
Gruptaki balıkçı sayısı 3 eksik olsaydı,
kişi başına kaç kg balık düşerdi?
orantılı parçalara ayırınız.
a. 180 ceviz; 3, 5, 7
b. 460 lira;
1 2 3
,
,
2 3 4
c. 24 kg fındık; 0, 3, 5
28. Aşağıdaki problemleri çözünüz.
a.
Alüminyumun
b.
Bir çırağın 2 birim iş ürettiği sürede, bir
usta 5 birim iş üretmektedir. Hem çırak
25. Aşağıdaki çoklukları, verilen sayılarla ters
orantılı parçalara ayırınız.
a. 6200 lira; 2, 3, 5
b. 50 kg bal; 1,
2 3
,
3 5
5
c. 14 elma; 0, 1,
3
yoğunluğunun demirin
9
yoğunluğuna oranı
dır.
26
1080 kg alüminyum ile kalınlığı 2 mm
olan 200 m2 levha üretilirse, 2340 kg
demir ile kalınlığı 3 mm olan kaç m2
levha üretilir?
15
Oran ve Orantı
Muharrem Şahin
hem usta 2 pantolon diktiği sürede 3
gömlek dikmektedir.
3 usta 8 saatte 20 pantolon dikerse,
8 çırak 12 saatte kaç gömlek diker?
c.
 hızıyla hareket eden bir otomobilin,
frene basıldıktan sonra durana kadar aldığı yolun uzunluğu; 2 ile doğru orantılı, lastiklerle yol arasındaki sürtünme
katsayısı ile ters orantılıdır.
80 km/h hızla giden bir otomobil sürtünme katsayısının k olduğu bir yolda
40 m’de durabiliyorsa;
100 km/h hızla giden bir otomobil sürk
tünme katsayısının
olduğu bir yolda
2
kaç m’de durabilir?
16