Isı˙Iletim Problemi ve Fourier Analizi

Isı İletim Problemi ve
Fourier Analizi
Isı, yerçekimi gibi, evrenin her maddesine nüfuz eder,
onun ışınları uzayın her kısmını işgal eder. Amacım bu
öğelerin uyduğu matematiksel kanunları ortaya
çıkarmaktır. Isının teorisi bundan sonra genel fiziğin en
önemli branşlarından biri olacaktır.
The Analytical Theory of Heat, 1878
J. B. J OSEPH F OURIER
Fourier’in çalışması günümüz bakış açısıyla, yaklaşık
olarak iki yüzyıl sonra bile, on dokuzuncu yüzyılda
matematiksel fizik alanında yapılan en iddialı, orijinal,
tam ve etkileyici çalışmalardan biri olarak durmaktadır.
Fourier Analysis and Boundary Value Problems, 1996
E NRIQUE A. G ONZALEZ -V ELASCO
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
Amasya Üniversitesi, Matematik Bölümü
[email protected]
Önsöz
Bu notlar Amasya Üniversitesi matematik bölümünde Fourier Analizi, Sınır Değer
Problemleri, Uygulamalı Matematikte Seçme Konular gibi bazı lisans ve lisansüstü
derslerde kaynak olarak kullandığım
[1] E. A. Gonzalez-Velasco, Fourier Analysis and Boundary Value Problems, Elseiver Science & Technology Books, Massachusetts, 1996.
eserinin 1-4 ve 6. bölümlerinden derlenmiştir. Notların içeriği genel olarak ısı denklemi olarak bilinen kısmi türevli diferensiyel denklemi içeren bazı sınır değer problemleri ile Fourier serileri üzerinedir ve bir ders döneminde tamamlanması planlanmıştır. Adı geçen eserde, bu notlarda yer verilmeyen bazı kısımların yanısıra
yeterli sayıda ve çeşitlilikte araştırma problemleri ile detaylı tarihsel materyal bulunmaktadır. Ayrıca bu notlardaki çok sayıda muhtemel yazım hatasından dolayı
adı geçen eserin derslerde bulundurulması faydalı olacaktır. Bu ders notları ile beraber, adı geçen eser ile benzer içerikli olan
[2] R. Haberman, Applied Partial Differential Equations, 5th Ed., Pearson Education, New Jersey, 2013.
[3] G. B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications, Brooks/Coole Publishing
Company, California, 1992.
[4] G. B. Tolstov, Fourier Series, Dover Publications, New Jersey, 1962.
gibi eserler de kullanılarak içerik zenginleştirilebilir.
Süleyman ÖĞREKÇİ,
Amasya, 2016.
iii
İçindekiler
Önsöz
1
2
3
4
Isı İletim Problemi Üzerine
1.1 Tarihsel Bir Önsöz . . . . . . . . .
1.2 Isı İletim Denklemi . . . . . . . .
1.3 Sınır Değer Problemleri . . . . . .
1.4 Değişkenlere Ayırma Yöntemi . .
1.5 Lineerlik ve Süperpozisyon İlkesi
iii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Fourier Serileri
2.1 Giriş . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Fourier Serileri . . . . . . . . . . . . .
2.3 Riemann-Lebesgue Teoremi . . . . .
2.4 Fourier Serilerinin Yakınsaklığı . . .
2.5 Herhangi Bir Aralıkta Fourier Serileri
2.6 Gibbs Olgusu . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Fejer Serileri . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Fourier Serilerinin İntegrali . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1
1
2
5
7
9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
13
13
13
18
21
25
28
32
37
Isı İletim Problemine Dönüş
3.1 Çözümün Varlığı . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Çözümün Tekliği ve Kararlılığı . . . . . .
3.3 Uç Noktalarda Farklı sıcaklıklar . . . . .
3.4 Uç Noktaları Yalıtımlı Çubuk . . . . . . .
3.5 Farklı Uç Nokta Koşulları . . . . . . . . .
3.6 Bir Uç Noktada Isı Konveksiyonu . . . .
3.7 Zamandan Bağımsız Genel Problemler .
3.8 Denge Durumu Çözümü . . . . . . . . .
3.9 Geçici Çözüm . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Tam Çözüm . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Zamana Bağımlı Problemler . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
41
41
47
49
51
53
55
57
59
63
66
68
.
.
.
.
.
.
.
.
Genelleştirilmiş Fourier Serileri
69
4.1 Sturm-Liouville Problemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.2 Özdeğerler ve Özfonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3 Özdeğerlerin Varlığı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
v
vi
İçindekiler
4.4
5
Genelleştirilmiş Fourier Serileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Ortogonal Sistemler
5.1 Fourier Serileri ve Parseval Özdeşliği . .
5.2 Bir Yaklaşım Problemi . . . . . . . . . . .
5.3 Fourier Serilerinin Düzgün Yakınsaklığı
5.4 Ortalamada Yakınsaklık . . . . . . . . . .
5.5 Riesz-Fischer Teoremi . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
91
91
97
98
100
102
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
Bölüm
1
Isı İletim Problemi Üzerine
1.1 Tarihsel Bir Önsöz
Paris yakınlarında bulunan ve henüz yeni kurulmuş olan Ecole Polytechnique enstitüsünde genç bir akademisyen olan Jean Joseph Fourier (1768-1830), 1798 yılının 27 Martında Fıransız iç işleri bakanlığına çağrılır. Kendsinden başka bir kamu
hizmetinde faydanalınacağı ve verilecek olan ilk emirde yeni görevine başlamak
üzere hazırlıklı olması gerektiği bildirilmiştir. Bu görev kapsamında aynı yılın 19
Mayısında bilim ve sanat komisyonu üyesi olarak Napoleon Bonaparte’ın Mısır seferi heyetine katılarak Mısır’a hareket eder. Askeri kuvvetlerin Mısır’a ulaşmasının
ikinci gününde, 2 Temmuz 1798’de, İskenderiye alınır ve Fourier bir süre İskenderiye yakınlarında bir kent olan Reşit (Rosetta) şehrinde bazı idari görevler yürütür.
24 Temmuzda sonunda Fransızlar savaşı kazanır ve Kahire şehri alınır. 20 Ağustosta Napoleon Bonaparte Kahire’de, daha sonra Institut de France’a model olacak
olan Institut d’Egypt’in kurulmasını kararlaştırır ve 25 Ağustosta kurumun kalıcı
sekreteri olarak Fourier’i atar. Bu tarihten, Mısırdan ayrılacağı 1801 yılına kadar
Fourier idari görevlerinin dışında zamanının önemli bir kısmını bilimsel araştırmalara ayırmıştır. 1799 sonbaharında Mısırdaki anıt ve yazıtları araştıran bilimsel
komisyonun iki liderinden biri olarak Fourier atanmış ve bu eserlerin kataloglanmasına öncülük yapmıştır. Bir çok deneme sonucunda 30 Ağustos 1801’de Fransızlar İngiliz askeri kuvvetlerine yenilerek teslim olmuş ve Mısır’ı terketmeye zorlanmıştır. Fransızların, Rosetta kayası adı verilen yazıt hariç tüm bilimsel belgeleri ve tarihi eselerini Fransaya götürmesine izin verilmiştir, bu yazıt halen British
Museum’da bulunmaktadır. Fourier 1801 Kasımında Ecole Polytechnique’deki görevine döner fakat çok kısa bir süre sonra, 1802 Şubatında Fransız Alplerinde bulunan Isere eyaletine vali olarak atanır.
1798-1802 yılları arasındaki bu seyahatleri Fourier’in sağlığı üzerinde kalıcı izler bırakmıştır, Mısır’dan Alplere uzanan bu yolculukta maruz kaldığı ani ve keskin iklim değişikliği nedeniyle ömrünün geri kalanında bazı kronik rahatsızlıklarla
mücadele etmiştir. Bu rahatsızlıklar nedeniyle Furier’in çok sıcak mekanlarda ika1
2
Bölüm 1. Isı İletim Problemi Üzerine
met ettiği ve sıcak yaz aylarında bile çok kalın giyindiği bilinir. İronik biçimde Fourier’in matematik camiasında tanınması ısı yayılımı üzerine yaptığı çalışmalar
sayesinde gerçekleşmiştir. Fourier bu çalışmalarını ilk olarak 21 Aralık 1807 tarihinde Institut de France’da sunduğu Memoire sur la propagation de la chaleur adlı
çalışmasında açıklamştır. Fourier’in bu çalışmasında kullandığı yöntemler çığır
açıcı niteliktedir. O dönemde tanınmış tüm matematikçiler sürekli fonksiyonlarla
çalışırken Fourier bu çalışmasında süreksiz fonksiyonlarla uğraşmıştır. Herkes integral kavramını sadece bir antitürev olarak ele alırken Fourier bu çalışmasında
integralleri birer alan olarak kullanmıştır. O dönemde daha bir serinin yakınsaklığı kavramı tanımlanmamışken Fourier bu kavramı kullanmıştır. Fourier’in bu çalışmasından sonra fonksiyon, integral, yakınsaklık gibi kavramların tanımlanması
veya yeniden ele alınması ihtiyacı açığa çıkmıştır. Elbette 1807 yılında Fourier’in
bu çalışması iyi anlaşılamamış ve yoğun bir biçimde eleştirilmiştir. Lacroix, Laplace, Lagrange ve Monge’den oluşan bir komite Fourier’in bu çalışmasını inceleyip bir rapor sunmak üzere toplanmış fakat bunu yapmamıştır. Eleştiriler genellikle Laplace ve Lagrange’dan gelmiştir ve temelde iki konu üzerindedir. Bunlar
Fourier’in ısı iletim denklemini elde ederken uyguladığı bazı yöntemler ve daha
sonra kullandığı tirgonometrik fonkiyon serileridir, bu seriler günümüzde Fourier
serileri olarak bilinir. Fourier bu eleştirilerin hepsine cevap vermiştir fakat diğer
yandan Jean-Baptiste Biot, Mercure de France gazetesinde bu konuda yayınladığı
eleştiri mektuplarının birinde soru işaretlerinin giderilmesi için ısı iletimi konusunda en iyi çalışmanın enstitü tarafından seçilip ödüllendirilmesi için herkese
açık bir yarışma başlatılmasını önermiştir. Yarışmaya katılan iki çalışmadan ödülü
1812 yılında Fourier’in biraz daha geliştirerek sunduğu çalışması kazanmıştır fakat
enstitü yine ikna olmamış ve 1807’de olduğu gibi bu çalışmayı yine yayınlamamıştır. Fakat bu vesileyle Fourier artık tanınmış bir matematikçi olmuştur.
Şimdi Fourier’in bu çalışmalarında ele aldığı, ısıtılmış ince bir çubuktakı ısı
yayılımı problemini inceleyelim.
1.2 Isı İletim Denklemi
İletken bir materyalden yapılmış ince bir çubuğun x ekseni boyunca yerleşmiş olduğunu düşünün. Problem, herhangi bir t zamanında çubuğun herhangi bir x konumundaki sıcaklığı veren bir u(x, t ) fonksiyonu bulmaktır. Aşağıdaki koşullar altında çalışacağız:
1. Çubuğun dış yüzeyi ortamdan izole haldedir, yani çubuk ile dış ortam arasında çubuğun dış yüzeyi boyunca ısı iletimi mümkün değildir,
2. Çubuk, A alanlı ve sabit ρ yoğunluklu düzgün bir kesite sahiptir,
3. Herhangi bir t zamanında verilen bir x apsisli her noktada çubuğun sıcaklığı
aynıdır,
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
3
1.2. Isı İletim Denklemi
4. Sıcaklık öyle düzgün yayılmaktadır ki u fonksiyonu her iki değişkenine göre
de sürekli ikinci mertebe kısmi türevlere sahiptir.
Hedefimiz olan u(x, t ) fonksiyonunu elde etmek amacıyla çubuğun x ile x + h
apsisleri arasındaki küçük bir diliminde enerjinin korunumu yasasını uygulayacağız (Bkz: Şekil 1.2).
Şekil 1.1: Problemde sözü edilen çubuk
Eğer materyalin öz ısı katsayısı c ise (maddenin birim kütlesinin sıcaklığını bir
derece yükseltmek için gereken ısı miktarına o maddenin öz ısı katsayısı denir) ve
herhangi bir t zamanında çubuğun x apsisi boyunca her noktasında sıcaklığı u(t )
ise bu durumda ρ yoğunluklu ve Ah hacimli dilimdeki toplam ısı
Q(t ) = (öz ısı katsayısı) × (kütle) × (sıcaklık değişimi) = cm∆T = cρ Ahu(t )
eşitliği ile verilir, burada mutlak sıfır decede ısı olmadığını kabul ettik.
Şimdi bir P := {x 0 , x 1 , . . . , x n } parçalanmasıyla bu dilimi n tane alt dilime bölelim. Bu durumda her dilimin kütlesi m n := ρ A(x n+1 − x n ) olur. Her x sayısı için
x apsisli noktalardaki toplam ısı u(x, t ) olduğundan P parçalanmasının normu sınırsızca küçülürse limit durumunda çubuğun toplam ısısı
X
Q(t ) = cρ Au(x, t )(x n+1 − x n )
olur. Bu da cρ Au(x, t ) fonksiyonunun bir Riemann toplamı olup u fonksiyonu sürekli dolayısıyla integrallenebilir olduğundan, çubuğun toplam ısısı
x+h
Z
Q(t ) =
cρ Au(s, t )d s
x
olur. Ayrıca u t ile u fonksiyonunun zaman değişkenine göre türevini gösterecek
olursak, toplam ısının zamanla değişim hızı da
0
Q (t ) =
olarak elde edilir.
x+h
Z
x
cρ Au t (s, t )d s
4
Bölüm 1. Isı İletim Problemi Üzerine
Şimdi bu dilime enerjinin korunumu yasasını uygulayacağız. Çubuk ortamdan
izole olduğundan bu dilime ısı ya x ile x + h apsisli kenarlardan girer, ya da içinde
üretilir (örneğin çubuktan geçen elektrik akımına direnç sebebiyle). Eğer çubuk
içinde birim hacimde sabit bir q hızıyla ısı üretiliyorsa dilimin tamamında üretim
hızı q Ah olur. Fourier kendi çalışmasında yan kenarlardan gelen ısıyı ele alırken
her dik kesitten birim alanda geçen ısının değişim hızının, sıcaklık gradiyenti ile
(yani sıcaklığın x değişkenine göre türevi ile) orantılı olduğunu kabul etmiştir. Bu
durumda kenarlardan akan ısı oranı
−κAu x (x, t ) ve
− κAu x (x + h, t )
olur. Buradaki κ sabitine termal iletkenlik katsayısı denir ve pozitif kabul edilir,
dolayısıyla negatif işaret sıcaklığa göre ters yönde ısı akımını gösterir (sıcaktan
soğuğa), buna bugün Fourier yasası diyoruz. Şimdi enerjinin korunumu yasasına
göre bu dilimin toplam ısısı ile içinde ürettiği ve kenarlardan kazandığını (veya
kaybettiği) ısının toplamı eşit olmalıdır, dolayısıyla türevler de eşit olacağından
Z x+h
cρ Au t (s, t )d s = q Ah − κAu x (x, t ) + κAu x (x + h, t )
x
eşitliği sağlanır, burada dilimin sağ kenardan ısı kazandığı ve sol kenardan da ısı
kaybettiğini varsaydık. Bu eşitliği Ah ile bölüp h → 0 için limit alınırsa
Z
1 x+h
u x (x + h, t ) − u x (x, t )
lim
cρu t (s, t )d s = q + κ lim
= q + κu xx (x, t )
h→0 h x
h→0
h
eşitliği elde edilir. Diğer yandan türevin tanımı ve kalkülüsün temel teoremi kullanılırsa
R x+h
R x+h
Rx
cρu t (s, t )d s
cρu t (s, t )d s − 0 cρu t (s, t )d s
x
0
lim
= lim
h→0
h→0
h
h
¶
µZ x
d
cρu t (s, t )d s
=
dx 0
= cρu t (x, t )
olduğu görülür. Böylece
cρu t (x, t ) = q + κu xx (x, t )
eşitliğine varılır. Eğer üretilen bir iç ısı yoksa ve
k :=
κ
cρ
sabitini tanımlarsak
u t (x, t ) = ku xx (x, t )
denklemi elde edilir, bu denkleme literatürde ısı denklemi veya difüzyon denklemi
denir.
Bu denklemin bir çözümünü bulmak için Fourier’in kullandığı yöntemi incelemeden önce bu tip denklemler için bazı genel bilgiler verelim.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
5
1.3. Sınır Değer Problemleri
1.3 Sınır Değer Problemleri
Bir önceki bölümün sonunda elde ettiğimiz iki denklem örneğinde olduğu gibi,
çok değişkenli bir fonksiyon ve onun bazı kısmi türevlerini içeren bir eşitliğe bir
kısmi diferensiyel denklem denir. Böye bir denklemi sağlayan fonksiyonlara da bu
denklemin birer çözümü denir. Isı denklemini ele alacak olursak, u ≡ 0 aşikar çözümü dışında
u 1 (x, t ) =
x,
u 2 (x, t ) =
x 3 + 6kxt ,
u 3 (x, t ) = e −kt cos x,
2
1
u 4 (x, t ) = p e −x /4kt
t
fonksiyonlarının da birer çözüm olduğunu görmek kolaydır. Ayrıca bunların (aslında herhangi bazı çözümlerin) lineer kombinasyonlarının da bir çözüm olduğu
kolaylıkla gösterilebilir. O zaman bu sonsuz sayıdaki çözümlerden hangisi çubuktaki ısı dağılımını göstermektedir? Bu soruya cevap verebilmek için problemi daha
iyi tanımlamamız gerekir. Herhangi bir zamanda çubuğun herhangi bir noktasındaki sıcaklığı bir çok koşuldan etkilenir. Örneğin başlangıçta (t = 0’da) çubuğun sıcaklığı, herhangi bir zamandaki sıcaklığı etkileyecektir. Ek olarak, çubuğun dış yüzeyinden ısı akışı olmasa da kenarlarından (uç noktalarından) ısı girişi veya çıkışı
olabilir. Kısacası çubuktaki ısı dağılımı hem başlangıç hem de sınır koşullarından
etkilenir. Bu ek koşullar çeşitli biçimlerde belirtilebilir, örneğin t = 0 zamanındaki
başlangıç sıcaklığı
u(x, 0) = f (x)
şeklinde x’in bir fonksiyonu olarak belirtilebilir. Benzer şekilde sınır koşulları da
u(0, t ) ve u(a, t ) biçiminde belirtilebilir. Bir kısmi diferensiyel denklemin belirli
başlangıç ve sınır koşullarını sağlayan bir çözümünü bulma problemine bir sınır
değer problemi denir.
Sırada vereceğimiz tanımları ileride sıklıkla kullanacağız. Çubuk x = 0 ve x = a
noktaları arasında yerleşmiş olsun ve R2 Öklid uzayında
D := {(x, t ) ∈ R2 : 0 < x < a, t > 0}
ve
D := {(x, t ) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ a, t ≥ 0}
kümelerini tanımlayalım. D kümesinde tanımlı olan ve bu kümede sürekli ikinci
mertebeden kısmi türevleri var olan bir f fonksiyonuna D kümesinde C 2 sınıfındandır denir ve bu durum f ∈ C 2 (D) ile gösterilir.
Örnek 1.3.1 Mesela
u t (x, t ) = ku xx (x, t ),
u(0, t ) = 0
t ≥0
u(a, t ) = 0
t ≥0
(x, t ) ∈ D
6
Bölüm 1. Isı İletim Problemi Üzerine
eşitliklerini sağlayan ve D kümesinde C 2 sınıfından bir u : D → R fonksiyonu bulma
problemi bir sınır değer problemidir ve
u(x, t ) = e −π
2
kt /a 2
sin
π
x
a
fonksiyonunun bu problemin bir çözümü olduğu kolayca gösterilebilir.
Örnek 1.3.2 Bazen başlangıç veya sınır koşulları limit formunda verilebilir, örneğin
u t (x, t )
=
ku xx (x, t ),
(x, t ) ∈ D
u(0, t ) → 0
x → 0 ve t > 0 için
u(x, t ) → 0
t → 0 ve 0 < x < a için
eşitliklerini sağlayan C 2 sınıfından bir u : D → R fonksiyonu bulma problemi bir
sınır değer problemidir ve
2
x
u(x, t ) = p e −x /4kt
t t
fonksiyonunun bu problemin bir çözümüdür. Dikkat edilirse u fonksiyonu t = 0
için tanımlı değildir fakat gerekli limit değerine sahiptir.
Örnek 1.3.3 Çubuğun uzunluğu belirsiz de olabilir, örneğin
u t (x, t ) = ku xx (x, t ),
x
u(x, 1) = c sin p
c k
−∞ < x < ∞, t > 0
−∞ < x < ∞
bir sınır değer problemidir ve bir çözümü
2
x
u(x, t ) = ce (1−t )/c sin p
c k
biçimindedir.
Verdiğimiz örnekler dikkatlice incelenirse bir problemin başlangıç ve sınır koşullarının kritik öneme sahip olduğu anlaşılır. Örneğin daha sonra göreceğiz ki,
n ∈ N olmak üzere
2 2
2
nπ
u(x, t ) = e −n π kt /a sin
x
a
fonksiyonları da Örnek 1.3.1 ile verilen sınır değer probleminin birer çözümüdür.
Yani verilen başlangıç ve sınır koşulları çözümü tek türlü belirlemek için yeterli
olmayabilir. Söz konusu örnekte herhangi bir başlangıç koşulu belirtilmemiştir,
eğer t = 0’daki sıcaklık
π
u(x, 0) = sin x
a
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
7
1.4. Değişkenlere Ayırma Yöntemi
başlangıç koşulu ile belirtilseydi örnekte belirtilen fonksiyonun bu problemin tek
çözümü olduğu gösterilebilirdi. Diğer yandan Örnek 1.3.2 ile verilen probleme bakacak olursak x = a için yani sağ sınır nokta için bir sınır koşulu belirtilmemiştir.
Eğer
x → a için u(x, t ) → 0
koşulu verilseydi örnekte verilen fonksiyon bu koşulu sağlamaz dolayısıyla bir çözüm olmazdı.
İyi tanımlanmış bir problemden çözümün varlığı ve tekliği dışında bir beklentimiz daha var; kararlılık. Bir problemin başlangıç ve sınır değerlerini fiziksel
ölçüm ve gözlemlerle belirlediğimiz için her zaman küçük bir hata payı ile çalışırız. Dolayısıyla elde ettiğimiz çözüm de bir hata payı ile hesaplanmış olacaktır.
Şu halde bir problemin çözümünün başlangıç ve sınır değerlerindeki küçük değişikliklerden küçük oranlarda etkilenmesini isteriz, bu özelliğe sahip çözümlere
kararlı çözüm denir. Örneğin Örnek 1.3.3 ile verdiğimiz problemin çözümü kararlı değildir, çünkü sınır değer koşulundaki c sayısındaki küçük bir değişiklik bu
koşulda çok küçük bir değişime sebep olmasına rağmen çözümde çok büyük bir
değişime sebep olur (0 < t < 1 için).
Sonuç olarak bir sınır değer problemini çözmek için aşağıdakilerin sağlandığını görmemiz gerekir
1. Bir çözüm vardır,
2. Çözüm tektir,
3. Çözüm kararlıdır.
Bu koşulları sağlayan bir probleme Hadamard anlamında iyi tanımlanmış (well
posed) bir problem denir. Kararlılık özelliğinin önemini vurgulayan ilk kişi Ecole
Polytechnique’den Jacques Hadamard (1865-1963) dır.
1.4 Değişkenlere Ayırma Yöntemi
Şimdi ısı denklemini içeren bir sınır değer problemi için bir çözüm arayacağız. f
fonksiyonu sürekli olmak üzere
u t = ku xx
u(0, t ) = 0
u(a, t ) = 0
u(x, 0) = f (x)
(x, t ) ∈ D
t ≥0
t ≥0
0≤x ≤a
eşitliklerini sağlayan ve D kümesinde C 2 sınıfından olan bir u : D → R fonksiyonu
bulacağız.
Bu fonksiyonu
u(x, t ) = X (x)T (t )
8
Bölüm 1. Isı İletim Problemi Üzerine
biçiminde arayacağız, burada X ve T fonksiyonları sırasıyla x ve t değişkenlerinin
bilinmeyen fonksiyonlarıdır. Yöntemin ismi bu varsayımdan gelmektedir, aslında
çözümün bu yapıya sahip olmasını varsaymak için hiçbir sebep yoktur, Fourier
böyle bir çözüm ararken d’Alembert’in başka bir problemde kullandığı bir yöntemden ilham almıştır.
Böyle bir çözüm mevcutsa her (x, t ) ∈ D için
X T 0 = u t = ku xx = k X 00 T
eşitlikleri sağlanır. İlaveten 0 < x < a için X (x) 6= 0 ve t > 0 için T (t ) 6= 0 varsayarsak
T 0 k X 00
=
T
X
eşitliğinin sağlandığını görürüz. Bu son eşitliğin sol tarafı sadece t değişkenine
bağlı, sağ tarafı da sadece x değişkenine bağlıdır. x’in bir fonksiyonunun t ’nin bir
fonksiyonuna eşit olabilmesinin tek yolu bunların sabit olmasıdır. Bu sabiti −λ ile
gösterelim, böylece
T 0 + λT = 0
k X 00 + λX = 0
ve
eşitlikleri elde edilir. Sonuç olarak iki değişkenli bir kısmi diferensiyel denklemi iki
tane adi diferensiyel denkleme indirgemiş olduk.
İlk denklemin genel çözümü
T (t ) = C e −λt
şeklindedir, burada C keyfi bir sabittir. T fonksiyonu başta varsaydığımız gibi hiç
sıfır olmaz.
İkinci denklemin çözümü λ sayısının işaretine göre değişir, şimdi bu durumları ayrı ayrı inceleyelim.
1. λ < 0 durumu: Bu durumda denklemi k ile bölüp µ := λ/k tanımını yaparsak denklemin genel çözümü, A ve B keyfi sabitler olmak üzere
X (x) = Ae
p
−µx
p
−µx
+ B e−
biçiminde olur. Bu çözümde sınır koşulları olan u(0, t ) = 0 ve u(a, t ) = 0 eşitliklerini göz önünde bulundurursak
A + B = 0 ve
Ae
p
−µa
p
−µa
+ Ae −
=0
eşitlikleri elde edilir ki bunların sağlanmasının tek yolu
A=B =0
olmasıdır. Bu ise X (x) = 0 ve dolayısıyla
u(x, t ) = X (x)T (t ) = 0
olmasını gerektirir, yani bu durumda çözüm olarak aşikar çözüme ulaşmış
oluruz.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
9
1.5. Lineerlik ve Süperpozisyon İlkesi
2. λ = 0 durumu: Bu durumda denklem X 00 = 0 halini alır ve genel çözümü, A
ve B keyfi sabitler olmak üzere X (x) = A + B x biçimindedir. Sınır koşulları
değerlendirilirse yine A = B = 0 olduğu görülür, yani bu durumda da aşikar
çözüme ulaşılır.
3. λ > 0 durumu: Bu durumda genel çözüm
p
p
X (x) = A sin µx + B cos µx
biçimindedir. İlk sınır koşulu olan u(0, t ) = 0 eşitliğinin kullanırsak B = 0 olduğunu görürüz. Diğer sınır koşulu olan u(a, t ) = 0 eşitliğini de göz önünde
bulundurursak
p
A sin µa = 0
p
eşitliğine varılır, bunun da sağlanması için, n ∈ N keyfi olmak üzere µ a =
nπ biçiminde olması gerekir. Böylece n ∈ N ve A n sayıları keyfi sabitler olmak üzere
nπ
X (x) = A n sin
x
a
biçiminde sonsuz sayıda çözümün varlığı elde edilir.
Bu üç durumda dikkat edilirse sadece λ > 0 için aşikar çözüm dışında çözüm
bulabildik, ayrıca bu çözümlerin de λ’nın sadece
λ = µk =
n 2 π2
k
a2
biçimindeki değerleri için var olduğunu gördük. Sonuç olarak bu yöntemle ısı denkleminin aşikar olmayan
u n (x, t ) = c n e −n
π kt /a 2
2 2
sin
nπ
x
a
biçiminde keyfi çoklukta çözümünü bulmuş olduk, burada c n := C A n sayıları keyfi
sabitlerdir. Başta farzettiğimizin aksine bu çözümün sıfırları mevcuttur ama bu bizim için bir sorun teşkil etmez, çünkü sonuçta verilen ısı denklemini ve sınır koşullarını sağlayan ve D kümesinde C 2 sınıfından bir fonksiyon bulabildik. İlaveten
verilen başlangıç koşulunu sağlayan bir fonksiyonu bulmak bizi Fourier serisi kavramına götürecek temel problemdir, bunu inceleyebilmek için sıradaki bölümde
vereceğimiz temel bilgilere ihtiyacımız var.
1.5 Lineerlik ve Süperpozisyon İlkesi
Isı denkleminin bir önceki bölümde elde ettiğimiz çözümünde t = 0 yazarsak
u n (x, t ) = c n sin
nπ
x
a
10
Bölüm 1. Isı İletim Problemi Üzerine
olduğunu görürüz. Bu durumda görünüşe göre bulduğumuz fonksiyon, başlangıç
koşulundaki f fonksiyonu keyfi bir A sabiti için
f (x) = A sin
nπ
x
a
biçiminde değilse ele aldığımız sınır değer probleminin bir çözümü olamaz. O
halde kullandığımız değişkenlere ayırma metodunun bu problemde başarısız mı
olmuştur? Bunu söyleyemeyiz, çünkü ısı denklemi lineer bir denklemdir ve lineer
denklemlerin çözümlerinin lineer kombinasyonları da bir çözümdür. Şimdi bu
kavramları açıklayalım.
Bir kısmi diferensiyel denklem için
1. eğer u ve v fonksiyonları birer çözüm ise, u + v fonksiyonu da bir çözümdür,
2. eğer u fonksiyonu bir çözüm ve r ∈ R keyfi bir sabit ise r u fonksiyonu da bir
çözümdür
koşulları sağlanıyorsa bu denkleme bir lineer denklem denir. Ayrıca benzer şekilde
bir sınır koşulunu sağlayan çözümlerin toplamları veya çarpımları da bu koşulu
sağlıyorsa söz konusu koşula da lineer bir sınır koşulu denir.
Örnek 1.5.1 Ele aldığımız ısı denkleminin ve ilgili sınır koşullarının lineer olduğu
açıktır. Gerçekten
(u + v)t = u t + v t = ku xx + kv xx = k(u + v)xx
ve keyfi bir r ∈ R için
(r u)t = r u t = r ku xx = kr u xx = k(r u)x x
eşitlikler sağlanır. Ayrıca
(u + v)(0, t ) = u(0, t ) + v(0, t ) = 0 + 0 = 0 ve (r u)(0, t ) = r [u(0, t )] = r 0 = 0
eşitlikleri de ilk sınır koşulunun lineerliğini gösterir, diğer sınır koşulunun da lineerliği aynı şekilde görülür. Sınırlardaki değerlerin en az biri sıfırdan farklı verilseydi
bu koşulların lineer olmayacağını gösterebilirsiniz.
Örnek 1.5.2 u t +u.u x = u xx denklemi lineer değildir. Gerçekten sabit olmayan bir
u çözümü ve r 6∈ {0, 1} sabiti için
(r u)t + (r u)(r u)x = r.u t + r 2 .u.u x 6= r.u t + r.u.u x + r.u xx = (r u)xx
olduğu açıktır.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
11
1.5. Lineerlik ve Süperpozisyon İlkesi
Lineer denklemlerin aşağıdaki özelliği sağladığı açıktır.
Süperpozisyon İlkesi: Eğer u 1 , u 2 , . . . , u N fonksiyonları lineer bir kısmi diferensiyel denklemin çözümleri ise ve c 1 , c 2 , . . . , c N keyfi sabitler ise bu durumda
c1 u1 + c2 u2 + · · · + c N u N
fonksiyonu da aynı denklemin bir çözümüdür.
Şimdi ele aldığımız probleme dönersek, başlangıç koşulunu sağlayan bir çözümün
N
X
nπ
c n sin
f (x) =
x
a
n=1
eşitliğinin sağlanması gerekir. Acaba herhangi bir f fonksiyonu için bu eşitlik sağlanacak şekilde bir N ∈ N ve c 1 , c 2 , . . . , c n sayıları bulunabilir mi? Genelde hayır,
sadece çok özel seçilen fonksiyonlar için bu eşitlik sağlatılabilir.
Fourier bu durumda sonsuz serileri kullandı ve herhangi bir fonksiyon için
f (x) =
∞
X
n=1
c n sin
nπ
x
a
eşitliği sağlanacak şekilde c n sayılarının bulunabileceğini iddia etti. Benzer bir iddia daha önce Daniel Bernoulli tarafından da dile getirilmişti, fakat Bernoulli bunu
temellendirecek yeterli açıklama yapmamış ve dönemin bilim otoriteleri tarafından ciddi eleştirilere maruz kalmıştır, sonuç olarak çalışması yayınlanmamıştır.
Gerçekten, mesela f (x) := e x gibi bir fonksiyonu nasıl olur da sinüs fonksiyonlarının bir toplamıne eşit olabilirdi? Sinüslerin toplamı periyodikken ve tek fonksiyon
iken, f fonksiyonu böyle değildir. Fakat Fourier bu iddiayı tüm reel eksende değil sınırlı bir aralık üzerinde dile getirmişti. Farklı özelliklerdeki iki fonksiyon tüm
reel eksende çok farklı olsa da çakıştıkları sınırlı bir aralık var olabilir. Fourier bu
iddiasını çok sayıda örnekle pekiştirmiştir.
Örnek 1.5.3 Aşağıdaki grafiklerde de görüldüğü üzere
∞ (−1)n+1
X
2
sin nx
n
n=1
toplamı her toplamda x ∈ [0, π) aralığında f (x) := x fonksiyonunda biraz daha yaklaşır. Toplam tek fonksiyon olduğundan aynı durum (−π, 0] aralığında da geçerlidir. Ayrıca bu toplam tüm R için 2π−periyodiktir ve k ∈ Z olmak üzere π + 2kπ
noktalarında süreksizdir.
12
Bölüm 1. Isı İletim Problemi Üzerine
Şekil 1.2: Yukarıdaki örnekte bahsedilen serinin ilk dört terim için grafikleri
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
Bölüm
2
Fourier Serileri
2.1 Giriş
Fourier çalışmasında verdiği örneklerle komiteyi ikna edip ödülü kazansa da iddialarının hiç birinin kanıtını vermemiştir. Ömrü boyunca da keyfi bir fonksiyonun
trigonometrik fonksiyonların sonsuz bir toplamı olarak gösterilebileceğini kanıtlayamamıştır. Aslında o dönemde seriler için çalışılabilir bir yakınsaklık tanımı da
yoktu, yakınsaklık tamamen sezgisel olarak kullanılıyordu. Fourier çalışmasında
yakınsaklık kavramını "serinin toplamının limit değeri ile farkı, verilecek her büyüklükten daha küçük kalmalıdır" biçiminde tarif etmiştir. Bu tarif, günümüzde
kullandığımız ve 1821 yılında Augustin Louis Cauchy tarafından verilen modern
yakınsaklık kavramına en yakın tariftir. Cauchy’nin katkısı bu tanımı vermesinden
çok, ilgili kitabında tanımdan hemen sonraki sayfadan itibaren verdiği yakınsaklık kriterlerine dayanır, bunlar bugünkü isimleriyle Cauchy yakınsaklık kriteri ile
oran ve kök testleridir. Cauchy bu teoremlerle kendisinden sonra bu konuda yayınlar yapacak olan Raabe, Abel, Weierstrass ve Dirichlet gibi matenatikçilere yol
açıp yakınsak seriler teorisinin kurulmasını sağlamıştır.
Trigonometrik serilerin yakınsaklığının ispatı için ilk girişimler Fourier’in dışında Poisson ve Cauchy tarafından yapılmış fakat bir sonuç alınamamıştır. Ama
Fourier’in önerdiği bir yöntem başka bir genç araştırmacı olan Gustav Lejeneue
Dirichlet tarafından geliştirilmiş ve 1829 yılında kanıt elde edilebilmiştir. Bu bölümde trigonometrik serilerin yakınsaklığı için gerekli koşulları elde edip bazı sonuçlar elde edeceğiz.
2.2 Fourier Serileri
Temel sorumuz, a > 0 olmak üzere keyfi bir (α − a, α + a) aralığında verilen bir
f fonksiyonunun trigonometrik fonksiyonların yakınsak bir serisi olarak yazılıp
yazılamayacağıdır. Bundan daha basit olan şu soruyu düşünelim; bir f : (−π, π) →
13
14
Bölüm 2. Fourier Serileri
R fonksiyonu verildiğinde her x ∈ (−π, π) için
∞
X
1
f (x) = a 0 +
(a n cos nx + b n sin nx)
2
n=1
(2.2.1)
eşitliği sağlanacak şekilde a n ve b n katsayıları bulunabilir mi? (Burada a 0 ’ın katsayısının neden 1/2 olması gerektiğini az sonra göreceğiz.) Çalıştığımız aralığın bu
şekilde kısıtlanması çok önemli değil, daha sonra göreceğiz ki bir değişken değişimi ile (−π, π) aralığında elde edilen sonuçları kolaycak keyfi bir aralığa taşıyabiliriz.
Bazı varsayımlar altında bu katsayıların belirlenmesi kolay bir probleme dönüştürülebilir. Farzedelim ki (2.2.1) denklemindeki seri yakınsak olsun ve eşitlik
sağlansın. Ayrıca bu seri (−π, π) aralığında terim terim integrallenebilsin, bu işlem
m ∈ {0, 1, 2, . . .} olmak üzere (2.2.1) eşitliğinin sin mx veya cos mx ile çarpılmış hali
için de yapılabilabilsin. Bu varsayımlar altında (2.2.1) eşitliğini cos mx ile çarpıp
integre edersek
Z π
Z π
1
f (x) cos mx d x =
a0
cos mx d x
2
−π
π
Z π
∞ ·
X
+
an
cos nx cos mx d x
n=1
−π
Z
+b n
π
¸
sin nx cos mx d x
(2.2.2)
−π
eşitliğini elde ederiz. Diğer yandan
½
Z π
2π, m = 0 ise
,
cos mx d x =
0,
m=
6 0 ise
−π
½
Z π
π, m = n ise
cos nx cos mx d x =
0, m 6= n ise
−π
Z π
sin nx cos m d x = 0
−π
eşitlikleri göz önüne alınırsa (2.2.2) eşitliğinde m = 0 yazarsak ikinci terim olan
toplam tamamen sıfır olur, m 6= 0 yazarsak ise ilk terimdeki integral ve ikinci terim
olan toplamdaki m−inci terim haricindeki integraller sıfır olur. Böylece
Z
1 π
am =
f (x) cos mx d x,
m = 0, 1, 2, . . .
π −π
eşitliği elde edilir. Benzer şekilde (2.2.1) eşitliğini sin mx ile çarpıp integre ederek
de
Z
1 π
bm =
f (x) sin mx d x
m = 1, 2, 3, . . .
π −π
eşitliği elde edilebilir.
Hatırlamak gerekir ki bu eşitlikler varsayımlarımız doğru ise geçerlidir, fakat şu
anda bu varsayımların sağlandığını gösteren hiç bir sebep yok. Bunların gerçekten
sağlandığını daha sonra ayrıca göstereceğiz.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
15
2.2. Fourier Serileri
Tanım 2.2.1 (Fourier Serisi) Eğer ilgili integraller mevcut ise
Z
1 π
an =
f (x) cos nx d x,
n = 0, 1, 2, . . .
π −π
ve
bn =
1
π
Z
(2.2.3)
π
f (x) sin nx d x,
−π
n = 1, 2, 3, . . .
(2.2.4)
sayılarına f fonksiyonunun (−π, π) aralığındaki Fourier katsayıları denir. Ayrıca
bu katsayılar için
∞
X
1
a0 +
(a n cos nx + b n sin nx)
2
n=1
serisine de f fonksiyonunun (−π, π) aralığındaki Fourier serisi denir.
Şimdilik yakınsaklığı göstermediğimiz için = sembolu yerine ∼ sembolünü kullanacağız, yani bu durumu
∞
X
1
f (x) ∼ a 0 +
(a n cos nx + b n sin nx)
2
n=1
olarak ifade edeceğiz.
Örnek 2.2.1 (−π, π) aralığında
½
f (x) :=
0,
1,
−π < x < − π2 ise
− π2 < x < π ise
olarak tanımlanan f fonksiyonunu ele alalım.
Şekil 2.1: Yukarıdaki örnekte bahsedilen fonksiyonun grafiği
(2.2.3) ve (2.2.4) eşitliklerini kullanarak Fourier katsayılarını aşağıdaki gibi elde
ederiz. Öncelikle (2.2.3) denkleminde n = 0 yazarsak
Z
1 π
3
a0 =
dx =
π −π/2
2
16
Bölüm 2. Fourier Serileri
elde ederiz. Diğer a n katsayıları da n > 0 için
Z
1 π
1
nx ¯¯π
an =
cos nx d x =
sin
¯
π −π/2
nπ
2 −π/2
(
n−1
1
2 ,
nπ (−1)
=
0,
n tek ise
n çift ise
olarak bulunur. Benzer şekilde b n katsayıları da
Z
1 π
cos nx ¯¯π
bn =
sin nx d x = −
¯
π −π/2
πn −π/2
nπ ´
1 ³
− cos nx + cos
=
nπ
2
½ 1
,
n tek ise
nπ £
¤
=
1
− nπ
1 − (−1)n/2 ,
n çift ise
olarak bulunur. Böylece f fonksiyonunun (−π, π) aralığında Fourier serisi
µ
3 1
1
1
f (x) ∼
cos x + sin x − sin 2x − cos 3x + sin 3x
+
4 π
3
3
¶
1
1
1
+ cos 5x + sin 5x − sin 6x − · · ·
5
5
3
∞
¤
3 1 X
1 £
=
+
(−1)n−1 cos(2n − 1)x + sin(2n − 1)x − sin(4n − 2)x
4 π n=1 2n − 1
olarak bulunur.
Şekil 2.2: Yukarıdaki örnekte bahsedilen fonksiyon ve onun Fourier serisi
Verilen f fonksiyonunun (−π, π) aralığında tek veya çift bir fonksiyon olması
onun Fourier serisinin hesaplanmasını çok daha kolay bir hale getirir. Sinüs tek,
kosinüs ise çift fonksiyon olduğundan aşağıdaki önermenin ispatı açıktır.
Sonuç 2.2.1 f : (−π, π) → R fonksiyonu için Fourier katsayıları tanımlı olsun, bu
durumda
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
17
2.2. Fourier Serileri
(i) Eğer f fonksiyonu tek ise Fourier serisi
f (x) ∼
∞
X
b n sin nx
n=1
biçimindedir ve buradaki Fourier katsayıları
Z
2 π
b n :=
f (x) sin nx d x,
π 0
n = 1, 2, 3, . . .
biçimindedir.
(i) Eğer f fonksiyonu çift ise Fourier serisi
∞
X
1
a n cos nx
f (x) ∼ a 0 +
2
n=1
biçimindedir ve buradaki Fourier katsayıları
Z
2 π
a n :=
f (x) cos nx d x,
π 0
n = 0, 1, 2, . . .
biçimindedir.
Örnek 2.2.2 f : (−π, π) → R fonksiyonu f (x) := x olarak tanımlansın. Bu fonksiyon tek olduğundan yukarıdaki sonuca göre Fourier serisinde sadece sinüs terimleri bulunur, yani a n katsayıları sıfırdır. Böylece
bn
=
=
=
=
Z
2 π
x sin x d x
π 0
¸
·
Z
2
cos nx ¯¯π 1 π
cos nx d x
−x
¯ +
π
n
n 0
0
cos nπ
−2
n
(−1)n+1
2
n
olduğundan hareketle Örnek 1.5.3 ile gördüğümüz gibi
f (x) ∼
∞ (−1)n+1
X
2
sin nx
n
n=1
elde edilir.
Örnek 2.2.3 f (x) := e |x| olarak tanımlan f : (−π, π) → R fonksiyonu çift olduğundan Fourier serisinde b n katsayıları sıfır olacaktır. a n katsayılarını da
2
a0 =
π
π
Z
0
ex d x =
2 π
(e − 1)
π
18
Bölüm 2. Fourier Serileri
ve
an
=
=
=
Z
2 π x
e cos nx d x
π 0
¯π
2 ex
¯
(n
sin
nx
+
cos
nx)
¯
π 1 + n2
0
2 e π cos nπ − 1
π
1 + n2
olarak hesaplarız. Böylece (−π, π) aralığında
f (x) ∼
∞ (−1)n e π − 1
X
1 π
cos nx
(e − 1) +
π
1 + n2
n=1
olarak elde ederiz.
Şekil 2.3: Yukarıdaki örnekte bahsedilen fonksiyon ve onun Fourier serisi
2.3 Riemann-Lebesgue Teoremi
Bir fonksiyonun Fourier katsayıları belirli integrallerle belirlendiğine göre integral kavramının iyi anlaşılması gerekir. Daha önce bahsettiğimiz gibi Fourier kendi
çalışmasında integralleri birer alan olarak kullanmıştır. Günümüzde kullandığımız modern integral tanımına en yakın tanım ilk olarak 1823 yılında Cauchy tarafından verilmiştir. f fonksiyonu [a, b] aralığında tanımlı ve sürekli olsun, ayrıca
P := {a = x 0 , x 1 , x 2 , . . . , x n = b} de bu aralığın herhangi bi parçalanması olsun. Bu
durumda f fonksiyonunun bu aralıktaki belirli integralini Cauchy
Z
b
f := lim
a
n→∞
n
X
f (x i −1 )(x i − x i −1 )
i =1
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
19
2.3. Riemann-Lebesgue Teoremi
olarak tanımlamıştır. Cauchy sadece sürekli fonksiyonlar için bu limitin varlığını
ve parçalanmadan bağımsızlığını kanıtlayabilmiştir. Bu tanımda f sürekli kabul
edilse de sonlu sayıda sıçramalı süreksizlik noktasına sahip süreksiz fonksiyonlar da kapsanmıştır, çünkü bu süreksizlik noktaları parçalanmanın noktaları olarak seçilirse her alt aralıkta fonksiyon sürekli olur. Sonsuz sayıda süreksizlik noktaları bulunan fonksiyonların Fourier katsayısını hesaplamak için böyle fonksiyonlar için buna benzer bir limitin varlığı gösterilmeliydi, Dirichlet çok uğraşsa
da bunu başaramadı. Fakat 1847-1849 yılları arasında Dirichelt’in bir öğrencisi
olan ve bu konuda araştırmaya yönlendirdiği çok yetenekli bir genç bu problemin
çözümünde çok önemli bir rol oynayacaktır: Georg Friedrich Bernhard Riemann
(1826-1866). Doktorasını 1851 yılında tamamlayan Riemann 1853 yılındaki bir çalışmasında sürekli olmak zorunda olmayan bir f fonksiyonunun [a, b] aralığındaki
belirli integralini, t i ∈ (x i −1 , x i ) keyfi seçilmek ve n → ∞ için kP k := max{|x i −x i −1 | :
i = 0, 1, . . . , n} → 0 olmak üzere
Z b
n
X
f := lim
f (t i )(x i − x i −1 )
a
n→∞
i =1
olarak tanımlamıştır. Daha sonra 1875 yılında Jean Gaston Darboux (1842-1917),
bir f fonksiyonunun bir (a, b) aralığında Riemann anlamında integrallanabilmesi
için gerek ve yeter koşulun
n
X
i =1
m i (x i − x i −1 ) −
n
X
M i (x i − x i −1 )
i =1
farkının verileceh her sayıdan küçük bırakılacak şekilde bir parçalanmanın var
olması olduğunu kanıtladı, buradaki m i ve M i sayıları f fonksiyonunun ilgili alt
aralıktaki sırasıyla infimum ve supremum değerleridir. Bu toplamlara günümüzde
f fonksiyonunun P parçalanması üzerinden alt ve üst toplamları diyoruz, integral değerinin de bu toplamlar arasında olduğunu biliyoruz. Bu tanımlar ve kriterler kullanılarak sınırlı olan sürekli, monoton veya parçalı sürekli fonksiyonların Riemann anlamında integrallenebilir olduğu kolaylıkla kanıtlanmıştır. Sonsuz
sayıda süreksizlik noktası olan fonksiyonların integrallenebilirliği konusunda ise
son noktayı Lebesgue koymuştur: bir f fonksiyonunun bir aralıkta Riemann anlamında integrallenebilir olması için gerek ve yeter koşul onun bu aralıktaki süreksizlik noktalarının kümesinin ölçüsü sıfır olmasıdır. Burada, bir reel sayı kümesinin ölçüsünün sıfır olması demek onun, uzunlukları toplamı keyfi küçüklükte olan
açık aralıkların birleşimi tarafından kapsanması demektir.
Örnek 2.3.1 f (x) := sin(1/x) olarak tanımlanan f : (0, 1) → R fonksiyonu bu aralıkta sürekli olduğundan integrallenebilirdir, ama f (0+) limiti var olmadığından
parçalı sürekli değildir. Diğer yandan

 0, 0 < x ≤ 1/4 ise
1
, 1/4 < x ≤ 1/2 ise
g (x) :=
 2
1, 1/2 < x < 1 ise
20
Bölüm 2. Fourier Serileri
fonksiyonu aynı aralıkta sürekli değildir fakat parçalı süreklidir. Aynı aralıkta tanımlanmış olan
½ 1
1
< x ≤ 21n ise
n ∈ N için 2n+1
n,
h(x) := 2
1,
1/2 < x < 1 ise
olarak tanımlanan fonksiyon (0, 1) aralığında parçalı sürekli değildir, çünkü sonsuz
sayıda süreksizlik noktası vardır. Fakat bu fonksiyon (0, 1) aralığında integrallenebilirdir. Gerçekten, 1/2 sayısından küçük keyfi bir ² > 0 sayısı verildiğinde her n ∈ N
için 1/2n merkezli ve ²/2n uzunluklu I n açık aralıklarını oluşturursak bu aralıkların
toplam uzunluğu
∞ µ 1 ¶n
∞ ²
X
X
=²
=²
n
n=1 2
n=1 2
sayısını geçmez, dolayısıyla bu fonksiyonun süreksizlik noktalarının kümesinin ölçüsü sıfırdır.
Riemann’ın çalışmasında integralin tanımı dışında önemli bir uygulaması daha
vardı, bu sonuç bize Fourier katsayılarının n → ∞ için sıfıra yaklaştığını söyler.
Aynı sonucu 1903 yılında Lebesgue kendi tanımladığı integral kavramı için de kanıtlamış ve böylece bu teorem Riemann-Lebesgue teoremi adını almıştır.
Teorem 2.3.1 (Riemann-Lebesgue Teoremi) Eğer f fonksiyonu (a, b) aralığında
integrallenebilir ise bu durumda
Z b
Z b
f (x) cos r x d x = 0
f (x) sin r x d x = lim
lim
r →∞ a
r →∞ a
olur.
İspat
f fonksiyonunun (x i −1 , x i ) aralığındaki infimumu m i olmak üzere
½
f (x), i = 1, 2, . . . , n için x = x i ise
g (x) :=
mi ,
i = 1, 2, . . . , n için x ∈ (x i −1 , x i ) ise
olarak tanımlanan g : (a, b) → R fonksiyonunu ele alalım. Bu aralıkta g ≤ f olduğu
açıktır, ayrıca
¯
¯Z b
Z b
Z b
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ f (x) sin r x − g (x) sin r x ¯ d x
f (x) sin r x d x −
g (x) sin r x d x ¯ ≤
¯
a
a
Z
≤
Z
=
a
b£
a
b
a
¤
f (x) − g (x) d x
f (x) d x −
n
X
m i (x i − x i −1 )
i =1
eşitsizliği sağlanır. Darboux’un teoremine göre bir ² > 0 sayısı verildiğinde
Z b
n
X
²
f (x) d x −
m i (x i − x i −1 ) <
2
a
i =1
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
21
2.4. Fourier Serilerinin Yakınsaklığı
olacak şekilde bir parçalanma bulunabilir. Bu durumda, her A, B ∈ R için geçerli
olan |A| ≤ |B | + |A − B | eşitsizliğini kullanırsak
¯Z
¯
¯
¯
b
a
¯ ¯Z
¯ ¯
f (x) sin r x d x ¯¯ < ¯¯
b
a
¯
¯ ²
g (x) sin r x d x ¯¯ +
2
olduğunu görürüz. Diğer yandan r > 0 için
¯ Z
¯
¯Z b
¯
¯X
¯
n
xi
¯
¯
¯
¯
¯
¯ = ¯
g
(x)
sin
r
x
d
x
m
sin
r
x
d
x
¯
¯
¯
¯i =1 xi −1 i
¯
a
¯
¯
¯
¯X
n m
¯
¯
i
= ¯
(cos r x i −1 − cos r x i )¯
¯
¯i =1 r
≤
n
2X
|m i |
r i =1
olur ve yeterince büyük r sayıları için bu son değer ²/2 sayısından küçük kalır.
Sonuç olarak
¯
¯Z b
¯ ² ²
¯
¯
f (x) sin r x d x ¯¯ < + = ²
¯
2 2
a
eşitsizliğinin sağlandığı görülür ve böylece teoremin ifadesindeki ilk limit kanıtlanmış olur. Diğer limit de benzer şekilde kanıtlanır.
■
2.4 Fourier Serilerinin Yakınsaklığı
1829 yılında Dirichlet sonlu sayıda sıçramalı süreksizlik noktasına sahip sınırlı fonksiyonların Fourier serilerinin yakınsak olduğunu kanıtladı. 1854 yılında ise Riemann
bu yakınsaklığın lokal bir koşula bağlı olduğunu gösterdi. Biz şimdi bu iki sonucu
birlikte kullanarak oldukça basit bir kanıt vereceğiz.
Hem Fourier kendi orjinal çalışmasında hem de daha sonra Dirichlet ilk adım
olarak serinin kısmi toplamlar dizisi olan, N ≥ 1 olmak üzere,
N
X
1
s N (x) = a 0 +
(a n cos nx + b n sin nx)
2
n=1
(2.4.1)
ifadesini daha kullanışlı bir biçimde yeniden yazmaya çalıştılar. Fourier katsayıları
bu denklemde yerine yazılırsa
s N (x) =
=
=
N
X
1
a0 +
(a n cos nx + b n sin nx)
2
n=1
¸
Z
Z π
Z π
N ·
1 π
1 X
f (t ) d t +
cos nx
f (t ) cos nt d t + sin nx
f (t ) sin nt d t
2π −π
π n=1
−π
−π
"
#
Z π
N
X
1
f (t ) 1 + 2
cos n(t − x) d t
2π −π
n=1
22
Bölüm 2. Fourier Serileri
eşitliği elde edilir. Hem Fourier hem de Dirichlet bunu elde etmişti. Buradaki köşeli
parantez içindeki ifadeyi düzenlemek için Fourier ile Dirichlet farklı trigonometrik özdeşlikler kullandılar, elbette başarıya ulaşan Dirichlet’in yöntemiyle devam
edeceğiz. Şu özdeşliği kullanacağız:
¶
µ
¶
µ
1
1
1
2 cos nt sin t = sin n + t − sin n − t .
2
2
2
Şimdi bu özdeşlikte n = 1, 2, . . . , N yazıp bunları taraf tarafa toplarsak
µ
¶ N
µ
¶
1 X
1
1
2 sin t
cos nt = − sin t + sin N + t
2 n=1
2
2
eşitliğine varılır. Böylece −π ≤ t ≤ π ve t 6= 0 için
1+2
N
X
cos nt =
n=1
¡
¢
si n N + 21 t
(2.4.2)
sin 12 t
eşitliği elde edilmiş olur. Ayrıca lim cos t = 1 olduğundan yukarıdaki ifadenin t → 0
t →0
için limiti 2N + 1 olur, dolayısıyla eşitliğin sağ tarafındaki ifade parçalı sürekli olup
integrallenebilirdir. Böylece
1
s N (x) =
2π
Z
π
f (t )
−π
¡
¢
si n N + 12 (t − x)
sin 12 (t − x)
dt
(2.4.3)
eştliği elde edilmiş olur. Buradaki
D N (t ) :=
¡
¢
si n N + 12 t
sin 12 t
ifadesine Dirichlet çekirdeği denir. (0, π) aralığında cos nt fonksiyonunun integrali
sıfır olduğundan (2.4.2) eşitliği kullanılırsa bu aralıkta Dirichlet çekirdeğinin integralinin π değeri olduğu görülür, böylece aşağıdaki sonuç ile buraya kadar elde
ettiklerimizi özetleyebiliriz.
Lemma 2.4.1 f fonksiyonu (−π, π) aralığında integrallenebilir bir fonksiyon ve N ≥
1 ise
Z
π
0
D N (t ) d t = π
ve
1
s N (x) =
2π
Z
(2.4.4)
π
−π
f (t )D N (t − x) d t
(2.4.5)
eşitlikleri sağlanır.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
23
2.4. Fourier Serilerinin Yakınsaklığı
Eğer f fonksiyonu (−π, π) aralığında 2π−periyodik olarak genişletilmiş olsaydı
işlemler basitleşebilirdi. Eğer f böyle genişletilmiş ise bu durumda (2.4.4) eşitliğinde u := x − t değişken değişimi yapılırsa, D N çift bir fonksiyon olduğu da göz
önünde bulundurulursa
1
s N (x) = −
2π
Z
x−π
x+π
1
f (x − u)D N (−u) d u =
2π
Z
x+π
x−π
f (x − u)D N (u) d u
eşitliği elde edilir. Şimdi integrand tamamen 2π−periyodik olduğundan bu integralin değeri 2π uzunluklu her aralıkta aynıdır, yani
1
s N (x) =
2π
Z
π
−π
f (x − u)D N (u) d u
olur. Benzer şekilde u := t − x değişken değişimi ile
1
s N (x) =
2π
Z
π
−π
f (x + u)D N (u) d u
£
¤
eşitliği elde edilir. Bu son iki eşitliği taraf tarafa toplarsak, integrand olan f (x − u) + f (x + u) D N (u)
fonksiyonunun u değişkenine göre çift olduğunu göz önünde bulundurarak,
1
s N (x) =
2π
π£
Z
0
¤
f (x + t ) + f (x − t ) D N (t ) d t
(2.4.6)
eşitliği elde edilir.
Şimdi artık Fourier serisinin yakınsaklığı ile ilgili kanıtı verebiliriz.
Teorem 2.4.1 f : R → R fonksiyonu (−π, π) aralığında integrallenebilir ve 2π−periyotlu
olsun. Bu durumda f ’nin (−π, π) aralığındaki Fourier serisi aşağıdaki koşulları
sağlayan her x ∈ R noktasında
¤
1£
f (x+) + f (x−)
2
değerine yakınsar:
(i) x noktasında f fonksiyonunun sağ ve sol türevleri mevcuttur,
(ii) x merkezli keyfi küçüklükte bir aralıkta f fonksiyonu paçalı süreklidir.
24
Bölüm 2. Fourier Serileri
İspat f fonksiyonu (x − δ, x + δ) aralığında parçalı sürekli olacak şekilde bir δ < π
pozitif sayısı seçelim. Bu durumda (2.4.4) ve (2.4.6) eşitliklerini kullanarak
Z
¤
1 π£
s N (x) =
f (x + t ) + f (x − t ) D N (t ) d t
2π 0
Z
¤
1 π£
=
f (x + t ) + f (x − t ) − f (x+) − f (x−) D N (t ) d t
2π 0
Z
¤
1 π£
+
f (x+) + f (x−) D N (t ) d t
2π 0
Z
¤
¤
1 π£
1£
=
f (x + t ) + f (x − t ) − f (x+) − f (x−) D N (t ) d t +
f (x+) + f (x−)
2π 0
2
¤
1£
=
f (x+) + f (x−)
2
¸ 1
µ
¶
Z ·
1
1 δ f (x + t ) − f (x+) f (x − t ) − f (x−)
2t
+
sin
N
+
t dt
+
π 0
t
t
2
sin 12 t
µ
¶
Z
1 π f (x + t ) + f (x − t ) − f (x+) − f (x−)
1
+
sin
N
+
t dt
2π δ
2
sin 12 t
eşitliği elde edilir. Eşitliğin sağ tarfındaki ilk integrali inceleyelim. f fonksiyonunun (x − δ, x + δ) aralığında sağ ve sol türevleri var olduğundan köşeli parantez
içindeki iki ifadenin de t → 0 için limitleri mevcuttur, dolayısıyla bu ifadeler (0, δ)
aralığında parçalı süreklidir. Ayrıca
1
2t
t →0 sin 1 t
2
lim
=1
olduğundan bu çarpan da aynı aralıkta parçalı süreklidir (bu iki çarpan t 6= 0 için
zaten süreklidir). Dolayısıyla bu iki terimin çarpımı (0, δ) aralığında integrallenebilirdir. Böylece Riemann-Lebesgue teoremi gereği N → ∞ için ilk integralin limiti sıfır olur. İkinci integralde hiç bir singülerlik olmadığından ilk terim parçalı
sürekli dolayısıyla integrallenebilirdir. Böylece bu integralin de N → ∞ için limiti
sıfır olur. Böylece ispat tamamlanmış oldu.
■
Bu kanıtladığımız dışında günümüzde Fourier serilerinin yakınsaklığı için bir
çok kritere sahibiz, bunlara değinmeyeceğiz.
Bu kanıtladığımız teoremde Fourier serisinin sadece bir noktada yakınsak olması için koşullar verdik, yani noktasal bir kriter elde ettik. Bir zamanlar bir fonksiyonun Fourier serisinin −π, π aralığının tamamında yakınsak olması için o fonksiyonun sürekli olmasının yeterli olacağı sanılıyordu fakat 1873 yılında Paul Du Bois
Reymond bunun aksine bir örnek vererek bu sanının yanlış olduğunu gösterdi.
Bu problem ancak 1966 yılında Lennart Carleson tarafından çözülebildi. Carleson
kanıtladı ki bir fonksiyonun karesi (−π, π) aralığında Lebesgue anlamında integrallenebilirse o fonksiyonun Fourier serisi bu aralıkta en fazla ölçüsü sıfır olan bir
kümede ıraksak olabilir. Karesi integrallenemeyen bir fonksiyonlar için ise durum
pek iç açıcı değildir, 1926 yılında Andrei Kolmogorov integrallenebilen fakat Fourier serisi hiçbir noktada yakınsak olmayan bir fonksiyon örneği vermişti.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
25
2.5. Herhangi Bir Aralıkta Fourier Serileri
2.5 Herhangi Bir Aralıkta Fourier Serileri
Bu ana kadar sadece (−π, π) aralığında tanımlı olan 2π−periyotlu fonksiyonların ve bunların periyodik genişlemelerinin Fourier serilerini inceledik. Aslında genel durumda a > 0 olmak üzere f : (α − a, α + a) → R biçiminde tanımlanmış
2a−periyodik fonksiyonlar için de elde ettiğimz sonuçlar geçerlidir. Bunu görmek
için yeni bir
π
y := (x − α)
a
değişkenini ve yeni bir
h(y) := f (x)
fonksiyonunu tanımlayalım. Bu durumda eğer f fonksiyonu 2a−periyodik ise h
fonksiyonu 2π− periyodik olacaktır, ayrıca f ’nin x noktasında sağ ve sol türevleri
var ise h’ın da y noktasında sağ ve sol türevleri mevcut olacaktır. f fonksiyonu x
noktasını içeren bir aralıkta parçalı sürekli ise h’ın da y’yi içeren bir aralıkta parçalı
sürekli olacağı da açıktır. Bu durumda Teorem 2.4.1 gereği
π
1
π
Z
a n :=
1
π
Z
b n :=
ve
h(y) cos n y d y,
n = 0, 1, 2, . . .
h(y) sin n y d y,
n = 1, 2, 3, . . .
−π
π
−π
olmak üzere
∞ ¡
X
¤ 1
¢
1£
h(y+) + h(y−) = a 0 +
a n cos n y + b n sin n y
2
2
n=1
eşitliği geçerli olur. Bunlarda değişken değişiminin tersini uygularsak
i
∞ h
X
¤ 1
1£
nπ
nπ
a n cos
(x − α) + b n sin
(x − α) ,
f (x+) + f (x−) = a 0 +
2
2
a
a
n=1
α+a
1
a
Z
a n :=
1
a
Z
b n :=
α−a
ve
f (x) cos
nπ
(x − α) d x,
a
n = 0, 1, 2, . . .
(2.5.2)
f (x) sin
nπ
(x − α) d x,
a
n = 1, 2, 3, . . .
(2.5.3)
α+a
α−a
(2.5.1)
eşitlikleri elde edilir. Bu eşitliklerle tanımlı seriye f fonksiyonunun (α − a, α + a)
aralığındaki Fourier serisi denir.
Örnek 2.5.1
½
f (x) :=
1, 4 < x ≤ 5 ise
2, 5 < x < 6 ise
26
Bölüm 2. Fourier Serileri
olarak tanımlanan fonksiyonun (4, 6) aralığında Fourier serisini bulalım. Burada
α = 5 ve a = 1 olup Fourier katsayıları
6
Z
a0 =
f (x) d x =
5
Z
an =
4
4
5
Z
Z
cos nπ(x − 5) d x +
4
6
Z
dx +
5
2 d x = 3,
6
5
2 cos nπ(x − 5) d x = 0,
n>0
ve
5
Z
bn
=
4
5
Z
sin nπ(x − 5) d x +
5
2 sin nπ(x − 5) d x
cos nπ(x − 5) ¯¯5 2 cos nπ(x − 5) ¯¯6
= −
¯ −
¯
nπ
nπ
4
5
½
0,
n çift ise
=
2
nπ , n tek ise
olarak bulunur. Böylece x ∈ (4, 6)\{5} için
f (x) =
∞
1
3 2 X
+
sin(2n − 1)π(x − 5)
2 π n=1 2n − 1
olarak bulunur, x = 5 için serinin toplamı 1.5 olur.
Şekil 2.4: Yukarıdaki örnekte bahsedilen fonksiyon ve onun Fourier serisi
(−a, 0) aralığında tanımlı bir fonksiyonun (−a, a) aralığında Fourier serisini
bulmak için önce fonksiyonu bu aralığa genişletmemiz gerekir. Bu genişletme farklı
şekillerde yapılabilir, örneğin f fonksiyonu (−a, a) aralığında çift (veya tek) bir
fonksiyon olacak şekilde genişletilebilir. Bunlardan hiç biri sağlanmayacak şekilde
de genişletme yapılabilir fakat eğer bu şekilde genişletme yapılırsa buna ayrı bir
isim veririz.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
27
2.5. Herhangi Bir Aralıkta Fourier Serileri
Tanım 2.5.1 a > 0 olmak üzere f : (0, a) → R integrallenebilir bir fonksiyon olsun.
(i) f fonksiyonunun (−a, a) aralığında tek genişletmesinin Fourier serisine f
fonksiyonunun (0, a) aralığında Fourier sinüs serisi denir, bu seri
b n :=
olmak üzere
2
a
a
Z
f (x) sin
0
∞
X
b n sin
n=1
nπ
x dx
a
nπ
x
a
şeklindedir.
(ii) f fonksiyonunun (−a, a) aralığında çift genişletmesinin Fourier serisine f
fonksiyonunun (0, a) aralığında Fourier kosinüs serisi denir, bu seri
a n :=
olmak üzere
2
a
a
Z
f (x) cos
0
∞
X
a n cos
n=1
nπ
x dx
a
nπ
x
a
şeklindedir.
Örnek 2.5.2 f (x) := sin x fonksiyonunun (0, π) aralığında Fourier kosinüs serisini
hesaplayalım. Öncelikle
2
a0 =
π
π
Z
0
4
sin x d x =
π
2
ve a 1 =
π
π
Z
0
sin x cos x d x = 0
olur (neden a 1 ’i ayrıca hesapladığımızı aşağıda göreceğiz). n > 1 için de
an
Z
2 π
sin x cos nx d x
π 0
Z π
1
=
[sin(1 + n)x + sin(1 − n)x] d x
π 0
·
¸
1 cos(1 + n)x cos(1 − n)x ¯¯π
= −
+
¯
π
1+n
1−n
0
½
4
,
n
çift
ise
π(1−n 2 )
=
0,
n tek ise
=
olarak bulunur. Böylece (0, π) aralığında
sin(x) =
∞
2 4 X
1
+
cos 2nx
π π n=1 1 − 4n 2
elde edilmiş olur. Aslında bu seri tüm reel eksende |si nx| fonksiyonuna yakınsar.
28
Bölüm 2. Fourier Serileri
Şekil 2.5: Yukarıdaki örnekte bahsedilen fonksiyon ve onun Fourier serisi
2.6 Gibbs Olgusu
Uygulamada bir fonksiyona onun Fourier serisi yardımıyla yaklaşımda bulunurken onun sadece sonlu sayıda terimini hesaplarız ve ne kadar fazla terimi hesaba
katarsak o kadar iyi bir yaklaşımda bulunmayı umarız. Ne yazık ki Fourier serilerinde durum böyle değil, bu seriler genel durumda düzgün yakınsak değildir.
Ayrıca bu seriler için daha da ilginç bir durum söz konusu, şimdi bu durumu inceleyeceğiz.
1898 yılında Chicago Üniversitesinden Albert A. Michelson ve S. W. Stratton
isimli araştırmacılar Nature dergisine gönderdikleri bir çalışmalarında, (−π, π) aralığında f (x) := x fonksiyonunun Fourier serisi üzerine harmonic analyser isimli
makineleriyle yaptıkları ölçümler sonucunda 160 terim bile hesaplasalar kısmi toplamlar dizisinin toplamının sıçrama noktalarına yakın noktalarda gerçek değere
yeterince yakın olmadıklarını bildirdiler. Bir yıl sonra Yale Üniversitesinden Josiah
Willard Gibbs aynı dergiye bu konuda bir açıklama gönderdi. Gibbs bu açıklamasında aynı fonksiyonu ele aldı ve süreksizlik noktaları olan x 0 = (2k + 1)π (k ∈ Z)
noktalarının bir komşuluğunda yeterince büyük bir N sayısı için
s N (x 1 ) ≈ 1.18π = f (x+) + 0.18π ve s N (x 2 ) ≈ −1.18π = f (x−) − 0.18π
olacak şekilde x 1 < x 0 ve x 2 > x 0 sayıları mevcut olduğunu gösterdi. Yani x 1 ve x 2
noktalarında serinin toplamı x 0 noktasında fonksiyonun gerçek değerinden 0.18π
kadar farklıdır, yani x 0 noktasındaki sıçrama boyunun %9’u kadar. İşin ilginç kısmı
ise Gibbs bu %9 oranının her Fourier serisinde her süreksizlik noktasında aynı sabit oran olduğunu, ayrıca N sayısını ne kadar büyük seçersek seçelim bu oranın
yine sabit kaldığını gösterdi. Sonradan Gibbs’in gösterdiği bu gerçeğin daha önce
1848 yılında Henry Wilbraham tarafından yayınlandığı anlaşıldı fakat Gibbs’in açıklamasına kadar bu çalışma hiç farkedilmemişti, bundan dolayı günümüzde bu
gerçeğe Gibbs olgusu diyoruz.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
29
2.6. Gibbs Olgusu
Şekil 2.6: f (x) := x fonksiyonu üzerinde Gibbs olgusu
Şimdi üzerinde Gibbs olgusunu gözlemlemek üzere
½
0,
−π < x < 0 ise
f (x) :=
2π,
0 ≤ x < π ise
fonksiyonunu ele alalım. Teorem 2.4.1 gereği bu fonksiyonun Fourier serisi
½
f (x), x ∈ (−π, π)\{0} ise
f (x) :=
π,
x = 0 ise
fonksiyonuna yakınsar. Şimdi Lemma 2.4.1 ile verilen eşitlikleri kullanarak
Z
1 π
s N (x) =
f (t )D N (t − x) d t
2π
Z π −π
=
D N (t − x) d t
0
Z π−x
=
D N (u) d u
−x
Z 0
Z π
Z π−x
=
D N (u) d u +
D N (u) d u +
D N (u) d u
−x
0
π
Z x
Z π−x
=
D N (u) d u + π +
D N (u) d u
0
π
olduğunu gözlemleyelim. Yukarıdaki eşitlikteki son integrale dikkat edersek, integrasyon aralığında D N (u) fonksiyonu integrallenebilir olduğundan RiemannLebesgue teoremi gereği N → ∞ için bu integral sıfıra yakınsar. S N (x) toplamının
30
Bölüm 2. Fourier Serileri
süreksizlik noktası olan sıfır noktası yakınlarındaki davranışı ile ilgilendiğimizden
yeterince küçük x ve yeterince büyük N sayıları için
x
Z
s N (x) ≈
0
D N (t ) d t + π
yazabiliriz.
Şekil 2.7: Yukarıda tanımladığımız f fonksiyonu için Dirichlet çekirdeği ve onun
integrali
Şekil 2.6 ile verilen grafiklere dikkat edersek pozitif yarı düzlemde D N (t ) eğrisinin altında kalan alanın x = 2N2π+1 noktasına kadar arttığını ve bu noktadan sonra
bir noktaya kadar azalıp tekrar artmaya başladığı ve bu şekilde salındığı anlaşılır.
Dirichlet çekirdeği çift bir fonksiyon olduğundan negatif yarı eksendeki davranışı
Rx
da buradan kestirilebilir. Bundan dolayı 0 D N fonksiyonunun ilk maksimum değerini kestirmeliyiz, çünkü bu maksimum değeri en büyük olanıdır.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
31
2.6. Gibbs Olgusu
Şimdi önce
x
Z
0
¡
¢
sin N + 21 t
sin 12 t
x
Z
dt = 2
¡
¢
sin N + 12 t
t
0
x
Z
dt +
0
t − 2 sin 12 t
t sin 12 t
µ
¶
1
sin N + t d t
2
eşitliğini gözlemleyelim. Buradaki
t − 2 sin 12 t
t sin 12 t
terimi yeterince küçük x sayıları için (0, x) aralığında süreklidir ve t → 0 olduğu
açıktır, dolayısıyla Riemann-Lebesgue teoremi gereği N → ∞ için yukarıdaki son
integral sıfıra yakınsar. Böylece yeterince küçük x ve yeterince büyük N sayıları
için
¡
¢
Z x
Z ¡N + 1 ¢x
sin N + 12 t
2
sin u
s N (x) ≈ 2
dt +π = 2
du
t
u
0
0
olduğu elde edilir.
Eğer
φ(x) := 2
olarak tanımlarsak
(
φ0 (x) =
¡
Z
¢
N + 12 x
0
sin u
du + π
u
¡
¢
sin N + 21 x
2
,
x
2N + 1,
x 6= 0 ise
x = 0 ise
olduğu gösterilebilir. Ayrıca bu fonksiyon birinci türevinin sıfır olduğu
x=
kπ
N + 1/2
noktalarında yerel extremum değerlere sahiptir, ikinci türev testi kullanılarak k =
. . . , −6, −4, −2, 1, 3, 5, . . . noktalarında yerel maksimum ve k = . . . , −5, −3, −1, 2, 4, 6, . . .
noktalarında yerel minimum değerlerine sahip olduğu gösterilebilir. k = 1 için
x = π/(N + 1/2) noktasındaki yerel maksimum değeri
φ
³
π ´
=2
N + 1/2
π
Z
0
sin u
d u + π ≈ 1.18π + π = 1.09(2π)
u
olarak hesaplanır, integral değeri yaklaşık değerdir, bir integral tablosu veya bir
sayısal yöntem kullanılabilir.
Dikkat edilirse yukarıdaki değer N sayısından bağımsızdır, N → ∞ için de yaklaşık olarak 2.18π değeri elde edilir.
Elbette bir kaç fonksiyonun Fourier derisinde Gibbs olgusunun görülmesi bu
olgunun her fonksiyonda karşımıza çıkacağı anlamına gelmez. Fakat 1906 yılında
Harvard Üniversitesinden Maxime Bocher (1867-1918) bu olgunun her fonksiyonda
oluştuğunu kanıtladı.
32
Bölüm 2. Fourier Serileri
Şekil 2.8: Yukarıda tanımladığımız φ fonksiyonu
2.7 Fejer Serileri
Bir fonksiyonun Fourier serisinin yakınsaklığı konusunda önemli iki mesele var,
birincisi fonksiyon sürekli olsa bile Fourier serisi sonsuz noktada ıraksak olabilir, ikincisi de Gibbs olgusu. Her iki sorun da 1904 yılında Lipot Fejer (1880-1959)
tarafından geliştirilen bir yöntemle giderilmiştir, Bu bölümde Fejer’in yöntemini
inceleyeceğiz.
Şimdi s 0 := a 0 /2 olarak tanımlayalım ve (2.4.1) ile tanımlanan s n (x) dizisi için
f fonksiyonunun Fejer toplamını
σN (x) :=
N
1 X
s n (x)
N + 1 n=0
olarak tanımlansın. Bu durumda verilen bir fonksiyona yaklaşmak için (s n (x)) dizisi yerine (σn (x)) dizisini kullanacağız.
Öncelikle D 0 := 1 olarak tanımlarsak Lemma 2.4.1 ile verilen (2.4.5) eşitliğinin
n = 0 için de geçerli olduğunu gözlemlersek ve
F N (t ) :=
N
1 X
D n (t )
N + 1 n=0
(2.7.1)
Fejer çekirdeğini tanımlarsak
Z
N 1 Z π
1 X
1 π
σN (x) =
f (t )D N (t − x) d t =
f (t )F N (t − x) d t
N + 1 n=0 2π −π
2π −π
eşitliğinin sağlandığını görürüz. Sıradaki lemma ile Fejer çekirdeğinin bazı özelliklerini elde edeceğiz.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
33
2.7. Fejer Serileri
Lemma 2.7.1 F N (t ) Fejer çekirdeği için aşağıdakiler sağlanır.
(i) Eğer t 6= 0 ise
F N (t ) =
21
1 sin 2 (N + 1)t
N +1
sin2 21 t
(2.7.2)
eşitliği sağlanır.
(ii)
π
Z
0
F N (t ) d t = π.
(iii) 0 < δ < π koşulunu sağlayan her δ sayısı için
Z π
lim
F N (t ) d t = 0
N →∞ δ
(2.7.3)
(2.7.4)
eşitliği sağlanır.
İspat Dirichlet çekirdeğinin tanımı gereği
N
X
¶
µ
1
sin n + t
F N (t ) =
2
(N + 1) sin 21 t n=0
1
yazılabilir. Sağ taraftaki toplamı düzenlemek için
1
1
1
1
2 sin nt sin t = cos (n − 1)t − cos (n + 1)t
2
2
2
2
özdeşliğinde n = 1, 3, . . . , 2N + 1 yazarak elde edilen eşitlikleri taraf tarafa toplarsak
¶·
µ
¶ ¸
µ
1
3
1
1
1
2 sin t sin t + sin t + · · · + sin N + t = 1 − cos(N + 1)t = 2 sin2 (N + 1)t
2
2
2
2
2
eşitliği elde edilir. Böylece t 6= 0 için
µ
¶
N
X
sin2 21 (N + 1)t
1
sin n + t =
2
sin 21 t
n=0
elde edilir ve (2.7.2) eşitliği kanıtlanmış olur. Eğer Lemma 2.4.1 ile verilen ve D 0
için de geçerli olan (2.4.4) eşitliğini kullanırsak
Z
N 1 Z π
N 1
1 π
1 X
1 X
1
F N (t ) d t =
D N (t ) d t =
=
2π 0
N + 1 n=0 2π 0
N + 1 n=0 2 2
olduğunu görürüz ve böylece (2.7.3) eşitliği da kanıtlanmış olur. Son olarak, 0 <
δ < π için sin2 12 t fonksiyonunun [δ, π] aralığındaki minimum değeri sin2 21 δ olur
ve (2.7.2) eşitliği kullanılarak
¯Z π
¯ Z π
¯
¯
1
π−δ
¯
F N (t ) d t ¯¯ <
dt =
¯
21
(N + 1) sin2 12 δ
δ
δ (N + 1) sin 2 δ
olduğu görülür ve böylece (2.7.4) eşitliğinin sağlandığı görülmüş olur.
■
Şimdi artık sürekli bir fonksiyonun Fejer toplamının o fonksiyona yakınsak olduğunu kanıtlayabiliriz.
34
Bölüm 2. Fourier Serileri
Teorem 2.7.1 f : R → R fonksiyonu 2π−periyodik ve (−π, π) aralığında integrallenebilir olsun. Bu durumda f (x−) ve f (x+) limitlerinin mevcut olduğu her x ∈ R
noktasında (σn (x)) Fejer toplamları dizisi
¤
1£
f (x+) + f (x−)
2
değerine yakınsar. Özel olarak eğer f fonksiyonu x noktasında yakınsak ise σn (x) →
f (x) olur, ayrıca f fonksiyonu [−π, π] aralığında sürekli ise bu aralıkta σn (x) â
f (x) olur.
İspat
f (x+) ve f (x−) limitleri mevcut olsun. (2.4.6) eşitliği gereği
N 1 Z π£
¤
1 X
σN (x) =
f (x + t ) + f (x − t ) D N (t − x) d t
N + 1 n=0 2π 0
Z
¤
1 π£
f (x + t ) + f (x − t ) F N (t − x) d t
=
2π 0
yazılabilir. Buradan da (2.7.3) eşitliğini kullanarak
Z
¤
¤
1£
1 π£
σN (x)− f (x+) + f (x−) =
f (x + t ) + f (x − t ) − f (x+) − f (x−) F N (t −x) d t
2
2π 0
elde edilir. Şimdi
g x (t ) := f (x + t ) + f (x − t ) − f (x+) − f (x−)
olarak tanımlayalım. f (x+) ve f (x−) limitleri mevcut olduğundan, keyfi bir ² > 0
sayısı verildiğinde 0 < t < δx koşulunu sağlayan her t sayısı için
¯
¯
¯
¯
¯ f (x + t ) − f (x+)¯ < ²
¯ f (x − t ) − f (x−)¯ < ²
ve
2
2
eşitsizlikleri
¯
¯ sağlanacak şekilde bir 0 < δx < π sayısı bulunabilir. Yani 0 < t < δx
için ¯g x (t )¯ < ² olur. f fonksiyonu
¯
¯ sınırlı olduğundan g x fonksiyonu da öyle olur,
buradan da δx < t < π için ¯g x (t )¯ < M olacak şekilde bir M sabitinin var olduğu
elde edilir. Böylece bunları ve (2.7.3) ile (2.7.3) eşitliklerini kullanarak yeterince
büyük N sayıları için
¯
¯
¯
¯
Z π
¯
¯
¯
£
¤¯
¯σN (x) − 1 f (x+) + f (x−) ¯ = ¯ 1
¯
g
F
x N¯
¯
¯
¯
2
2π 0
Z
1 π
≤
|g x |F N
2π 0
Z δx
Z
²
M π
<
FN +
FN
2π 0
2π δx
Z π
Z π
²
M
<
FN +
FN
2π 0
2π δx
< ²
olduğu sonucunu elde ederiz ki istenendir.
■
Fejer’in bu teoreminin çok sayıda önemli sonuçları vardır, aşağıda bunlardan
bazılarını vereceğiz.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
35
2.7. Fejer Serileri
Sonuç 2.7.1 f : (−π, π) → R integrallenebilir bir fonksiyon olsun. Eğer f ’nin (−π, π)
aralığındaki Fourier serisi f ’nin sürekli olduğu bir x noktasında bir sayıya yankınsıyor ise bu sayı f (x) sayısıdır.
İspat s N ve σN ile f fonksiyonunun sırasıyla Fourier ve Fejer serilerinin kısmi
toplamlar dizilerinin N −inci terimlerini gösterelim. f fonksiyonu x noktasında
sürekli olsun ve s N (x) → s olsun, bu durumda σn (x) → s olduğunu göstereceğiz.
s N (x) → s olduğundan, keyfi bir ² > 0 verildiğinde n ≥ K (²) için |s n (x)−s| < ² olacak
şekilde bir K (²) ∈ N vardır. Bundan dolayı eğer N ≥ K (²) ise
|σN (x) − s| =
=
≤
<
¯
¯
¯ s 0 (x) + s 1 (x) + · · · + s N (x) ¯
¯
¯
¯
¯
N +1
¯
¯
¯ [s 0 (x) − s] + [s 1 (x) − s] + · · · + [s N (x) − s] ¯
¯
¯
¯
¯
N +1
|s 0 (x) − s| + · · · + |s N (x) − s|
N +1
²
elde edilir ki böylece ispat tamamlanır.
■
Sonuç 2.7.2 f , g : (−π, π) → R integrallenebilir ve sürekli iki fonksiyonun (−π, π)
aralığındaki Fourier serileri aynı ise bu durumda f ≡ g olur.
İspat Teorem 2.7.1 ve Sonuç 2.7.1 gereği eğer σN (x) → f ve σN (x) → g ise f ≡ g
olacağı açıktır.
■
Şimdi de Fejer serilerinde Gibbs olgusunun neden oluşmadığını açıklayalım.
Öncelikle D N Dirichlet çekirdeğinin tanımı ve (2.7.2) eşitliğinin doğrudan bir sonucu olan
(2N + 1)F 2N = D 2N
eşitliğini gözlemleyelim. Bu eşitlikten de anlaşılacağı gibi F 2N fonksiyonunun yaprakları D N fonksiyonundakinin aksine pozitiftir ve x−ekseninin üzerindedir, dolayısıyla altında kalan alan monoton artarak yakınsar. Halbuki Dirichlet çekirdeği
negatif ve pozitif değerler arasında salındığı için yakınsamada monotonluk yoktu
ve Gibbs olgusunun temel nedeni buydu.
Gerçekten bir önceki bölümdeki düşünüşle
σN (x) =
x
Z
0
FN + π +
Z
π
π−x
FN
eşitliği elde edilebilir. Sıfıra yakın x değerleri için yukarıdaki son integralin integrasyon aralığı orijini içermediğinden δ := π − x tanımı yapılırsa Lemma 2.7.1 ile
verilen (2.7.4) eşitliği gereği
σN (x) ≈
x
Z
0
FN + π
36
Bölüm 2. Fourier Serileri
Şekil 2.9: Dirichlet ve Fejer çekirdekleri
sonucuna varılır. Yıkarıdaki ifadenin sağ tarafını ψ olarak tanımlarsak şunları söyleyebiliriz. Fejer çekirdeği (2.7.2) eşitliği (veya doğrudan (2N +1)F 2N = D 2N eşitliği)
gereği negatif olmadığından ψ(x) fonksiyonu artandır. Ayrıca N sayısı büyüdükçe
ψ(x) değerleri x < 0 için sıfıra, x > 0 için de 2π sayısına yaklaşır.
Şekil 2.10: Yukarıda tanımladığımız ψ fonksiyonu
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
37
2.8. Fourier Serilerinin İntegrali
Ayrıca dikkat edilirse ψ fonksiyonunun orijindeki eğimi
ψ0 (0) = F N (0) = N + 1
olur, oysa Fourier toplamı için s N ≈ φ fonksiyonunun orijindeki eğimi 2N + 1 olarak hesaplanmıştı. Yani Fejer serilerinde Gibbs olgusu oluşmaz fakat bu seriler de
süreksizlik noktalarında yakınsama iki kat daha yavaştır. Süreksizlik noktalarında
Fourier serisi ile N tane terimle elde edilen yaklaşık değere Fejer serisinde 2N tane
terimle ulaşılabilir.
2.8 Fourier Serilerinin İntegrali
Daha önce Fourier katsayılarını elde ederken (2.2.1) eşitliğinin terim terim integrallenebilir olduğunu varsaymıştık. Fakat daha sonra gördük ki bir fonksiyonun
Fourier serisinin kendisine yakınsak olabilmesi için buna gerek yok, yakınsaklık
için başka koşular gerekli. Bildiğimiz gibi bir seri düzgün yakınsak ise terim terim
integrallenebilir, aşağıdaki sonuçla Fourier serilerin integrallenebilmesi için düzgün yakınsaklığın gerekli olmadığını göstereceğiz.
Teorem 2.8.1 f : (−π, π) → R parçalı sürekli fonksiyonunun(−π, π) aralığındaki
Fourier serisi (2.2.1) eşitliğinin sağ tarafındaki ifade olsun. Bu durumda eğer a, x ∈
[−π, π] ise f ’nin Fourier serisi yakınsak da olsa ıraksak da olsa
Z x
∞ Z x
X
1
f (t ) d t = a 0 (x − a) +
(a n cos nt + b n sin nt ) d t
2
a
n=1 a
eşitliği sağlanır.
İspat Sadece a = 0 için kanıtlamak yeterlidir, çünkü yakınsak serilerin terim terim toplanabilmesi ve
Z
Z
Z
x
a
x
f =
0
a
f−
0
eşitliği gereği bu durumdan genel durum elde edilebilir.
İddia edilen eşitliği elde etmek için
Z x
1
F (x) :=
f (t ) d t − a 0 x
2
0
olarak tanımlanan F : [−π, π] → R fonksiyonunun (−π, π) aralığındaki yakınsak Fourier serisinin
∞ Z x
X
(a n cos nt + b n sin nt ) d t
n=1 0
olduğunu göstereceğiz. Öncelikle F fonksiyonu [−π, π] aralığında sürekli olduğundan ve
Z 0
Z −π
Z π
1
1
1
F (π) =
f (t ) d t − a 0 π =
f (t ) d t + a 0 π = F (−π)
f (t ) d t − a 0 π = a 0 π−
2
2
2
0
−π
0
38
Bölüm 2. Fourier Serileri
olduğundan F fonksiyonunun R kümesine 2π−periyodik genişlemesi sürekli bir
fonksiyon olur. Ayrıca f ’nin sürekli olduğu her x noktasında
1
F 0 (x) = f (x) − a 0
2
olur, yani F 0 fonksiyonu (−π, π) aralığında parçalı sürekli olur. Böylece F fonksiyonu Teorem 2.4.1 ile verilen tüm koşulları saağlar ve (−π, π) aralığındaki Fourier
serisi kendisine eşittir, yani her x ∈ R için
F (x) =
∞
X
1
(A n cos nx + B n sin nx)
A0 +
2
n=1
eşitliği geçerlidir.
Buradaki Fourier katsayıları kısmi integrasyonla n > 0 için
An
=
=
=
=
=
Z
1 π
F (x) cos nx d x
π −π
¸
·
Z
1 π 0
1 F (x) sin nx ¯¯π
F (x) sin nx d x
¯ −
π
n
n −π
−π
¸
Z π·
1
1
−
f (x) − a 0 sin nx d x
nπ −π
2
Z π
1
f (x) sin nx d x
−
nπ −π
bn
−
n
ve benzer şekilde
1
Bn =
π
Z
π
−π
F (x) sin nx d x =
an
n
olarak hesaplanır ve
F (x) =
∞ 1
X
1
A0 +
(a n sin nx − b n cos nx)
2
n=1 n
(2.8.1)
eşitliğine varılır. Diğer yandan F fonksiyonunun tanımı gereği F (0) = 0 olduğundan yukarıdaki eşitlikte x = 0 yazarsak
0 = F (0) =
∞ b
X
1
n
A0 −
2
n
n=1
(2.8.2)
elde edilir. Bunu da yerine yazarsak
∞ 1
∞ Z x
X
X
F (x) =
(a n cos nt + b n sin nt ) d t
[a n sin nx + b n (1 − cos nx)] =
n=1 n
n=1 0
elde edilir ki istenendir.
■
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
39
2.8. Fourier Serilerinin İntegrali
Yukarıda (2.8.2) ile verilen eşitlik bize
∞ b
X
n
n
n=1
serisinin yakınsak olduğunu gösterir. Bunun yardımıyla bazı trigonometrik serilerin herhangi bir aralıkta bir fonksiyonun Fourier serisi olamayacağı tespit edilebilir. Örneğin
∞
X
1
n=2 n ln n
serisi ıraksak olduğundan
∞
X
1
sin nx
n=2 ln n
serisi hiçbir fonksiyonun Fourier serisi olamaz.
Ayrıca yukarıdaki ispatta (2.8.1) eşitliğinde A 0 teriminin Tanım 2.2.1 ile verilen tanımını kullanırsak hesaplamalar için daha pratik olan aşağıdaki sonucu elde
ederiz.
Sonuç 2.8.1 f fonksiyonu Teorem 2.8.1 ile verilen koşulları sağlasın. Bu durumda
her x ∈ [−π, π] için
¶
µZ x
Z x
Z
∞ 1
X
1
1 π
f (t ) d t − a 0 x =
f (t ) d t d x +
(a n sin nx − b n cos nx)
2
2π −P i 0
0
n=1 n
eşitliği sağlanır. Eşitliğin sağ tarafındaki toplam, sağ taraftki fonksiyonun (−π, π)
aralığındaki Fourier serisidir.
Örnek 2.8.1 Örnek 2.2.2 gereği her x ∈ (−π, π) için
x=
∞ (−1)n+1
X
2
sin nx
n
n=1
eşitliği sağlanır, yani bu durumda n ≥ 0 için a n = 0 ve n ≥ 1 için b n = 2(−1)n+1 /n
biçimindedir. Ayrıca
¶
Z µZ x
1 π
π2
t dt dx =
2π −π 0
6
olduğundan Sonuç 2.8.1 gereği
∞ (−1)n
x 2 π2 X
=
+
2
cos nx
2
6 n=1 n 2
eşitliği sağlanır. Bu son eşitlik de bize x 2 /2 fonksiyonunun (−π, π) aralığında Fourier sersini verir ve Sonuç 2.8.1 gereği aynı işlemi tekrarlayarak
∞ (−1)n
x 3 π2 x X
−
=
2 3 sin nx
6
6
n
n=1
eşitliği elde edilir. Bu işlem istenildiği kadar tekrarlanarak f fonksiyonlarının antitürevlerinin aynı aralıktaki Fourier serileri elde edilebilir.
Bölüm
3
Isı İletim Problemine Dönüş
3.1 Çözümün Varlığı
Birinci bölümde x−ekseni boyunca x = 0 ile x = a noktaları arasında yerleşmiş
ısıtılımış bir çubuğu ele almıştık.
D := {(x, t ) ∈ R2 : 0 < x < a, t > 0}
ve
D := {(x, t ) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ a, t ≥ 0}
kümelerini tanımlayıp D kümesinde ısı iletim denklemini sağlayan, her t ≥ 0 için
x = 0 ve x = a noktalarında sıfır değerini alan ve f verilen sürekli bir fonksiyon
olmak üzere 0 ≤ x ≤ a için u(x, 0) = f (x) eşitliğini sağlayan C 2 sınıfından sürekli
bir u : D → R fonksiyonunun varlığı sorusunu düşünmüştük.
Fakat fiziksel problemlerde süreklilik ağır bir şarttır ve bazı durumlarda f fonksiyonunun parçalı sürekli kabul edilmesi gerekir, bunun için ele aldığımız problemi biraz değiştireceğiz. Yeni
u : D → R fonksiyonu D kümen durumda aradığımız
o
sinde C 2 sınıfından, D 0 := (x, t ) :∈ D : t > 0 kümesinde sürekli ve verilen parçalı
sürekli bir f fonksiyonu için
u t = ku xx ,
(x, t ) ∈ D için
(3.1.1)
u(0, t ) = 0,
t > 0 için
(3.1.2)
u(a, t ) = 0,
t > 0 için
(3.1.3)
0 ≤ x ≤ a için
(3.1.4)
t → 0 ve 0 ≤ x ≤ a için
(3.1.5)
u(x, 0) = f (x),
u(x, t ) → 0,
eşitliklerini sağlayan bir fonksiyondur. Yukarıdaki (3.1.4) ve (3.1.5) koşulları f ’nin
sürekli olduğu x noktalarında aranmaktadır. Dikkat edilirse f fonksiyonu [0, a]
aralığında sürekli olmayabileceğinden u fonksiyonunun D kümesinde sürekli olması gerekmez, bunun yerine D 0 kümesinde sürekli olmasını istiyoruz. Ayrıca (3.1.5)
41
42
Bölüm 3. Isı İletim Problemine Dönüş
gereği sabitlenmiş x ∈ (0, a) noktası f ’nin bir süreklilik noktası olmak üzere u fonksiyonunun t = 0 noktasında t değişkenine göre sürekli olması gerekmektedir.
Bu bölümde önce bu yeni sınır değer problemini, daha sonra da orijinal problemimizi çözeceğiz. Daha önce ilk bölümde c n keyfi sabitleri için
∞
X
c n e −n
π kt /a 2
2 2
sin
n=1
nπ
x
a
(3.1.6)
serisinin her teriminin ısı denklemini ve uç nokta koşullarını sağladığını göstermiştik. Bu seriyi yakınsak ve toplamını da u(x, t ) kabul edersek başlangıç koşulu
∞
X
c n sin
n=1
nπ
x = f (x)
a
(3.1.7)
halini alır. Bir önceki bölümde eğer c n ’ler f fonksiyonunun (0, a) aralığındaki Fourier sinüs serisi katsayıları ise, yani
cn =
2
a
a
Z
f (x) sin
0
nπ
x dx
a
(3.1.8)
şeklinde ise ve her x ∈ (0, a) noktasında f fonksiyonunun sağ ve sol türevleri mevcutsa (3.1.7) eşitliğinin f ’nin sürekli olduğu her x ∈ (0, a) noktasında sağlandığını
gördük. Bunlar bize (3.1.8) katsayılarıyla birlikte (3.1.6) serisinin sınır değer problemimizin çözümü olduğunu düşündürebilir fakat (3.1.6) serisi hakkında bildiklerimiz sadece her teriminin D kümesinde sürekli ve D kümesinde C 2 sınıfından
olduğu, D kümesinde (x, 0) biçimindeki her noktada yakınsak ve f fonksiyonunun
sürekli olduğu her x noktasında toplamının (3.1.7) eşitliğini sağladığıdır. Henüz
şunları bilmiyoruz:
1. her (x, t ) ∈ D için seri yakınsak mı?
2. eğer yakınsaksa toplamı D 0 kümesinde sürekli ve D kümesinde C 2 sınıfından mı?
3. eğer yakınsaksa toplamı (3.1.1)-(3.1.3) ve (3.1.5) koşullarını sağlıyor mu?
Daha çok işimiz varmış gibi görünse de aslında öyle değil, problemin önemli ve
zahmetli kısmını, yani (3.1.7) eşitliğini önceki bölümde kanıtladık. Yukarıda sıraladığımız diğer sorunların çözümü nispeten basit olacak, bunları çözmek için
sıklıkla düzgün yakınsaklık kavramını kullanacağız. Çözümü aşağıda vereceğimiz
sonuçlarla parça parça elde edeceğiz.
Lemma 3.1.1 (3.1.6) ile verilen seri D 0 kümesinde sürekli olan ve (3.1.2)-(3.1.4) koşullarını sağlayan bir fonksiyona yakınsar.
İspat Teorem 2.4.1 gereği t = 0 için (3.1.6) serisinin yakınsak olduğunu ve toplamının (3.1.4) eşitliğini sağladığını biliyoruz. Ayrıca Riemann-Lebesgue teoremi
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
43
3.1. Çözümün Varlığı
gereği n → ∞ için c n → 0 olduğundan her n ∈ N için |c n | < M olacak şekilde bir M
sabiti vardır. Şimdi D t0 := {(x, t ) ∈ D 0 : t ≥ t 0 } kümesinde
¯
2 2
2
2 2
2
nπ ¯¯
¯
x ¯ < Me −n π kt0 /a
¯c n e −n π kt /a sin
a
eşitsizliği sağlanır. Cauchy kök testi gereği
∞
X
Me −n
π kt 0 /a 2
2 2
n=1
serisi yakınsak olduğundan Weierstrass-M testi gereği (3.1.6) serisi D t0 kümesinde
düzgün yakınsak olur. Burada t 0 keyfi olduğundan seri D 0 kümesinde deyakınsak olur, ayrıca t = 0 için yakınsaklık bilindiğinden (3.1.6) serisinin D kümesinde
yakınsaklığı elde edilmiş olur. Diğer yandan seri D t0 kümesinde düzgün yakınsak
olduğundan toplamı bu kümede sürekli olur, t 0 keyfi olduğu için D 0 kümesinde
de sürekli olacaktır. Ayrıca (3.1.6) serisinin (3.1.2) ve (3.1.3) eşitliklerini sağladığı
açıktır, çünkü x = 0 ve x = a için toplamı sıfır olur.
■
Lemma 3.1.2 (3.1.6) serisinin toplamı D kümesinde C 2 sınıfındandır ve (3.1.1) eşitliğini sağlar.
İspat (3.1.6) serisinin terim terim t değişkenine göre türevlenmesiyle elde edilen
∞ µ n 2 π2 ¶
X
2 2
2
nπ
− 2 k c n e −n π kt /a sin
x
a
a
n=1
serisinin keyfi bir t 0 > 0 sayısı için D t0 kümesinde düzgün yakınsak olduğu Lemma
3.1.1’deki gibi Weierstrass-M testi kullanılarak gösterilebilir, ayrıca özel olarak verilen bir x ∈ (0, a) sayısı için [t 0 , ∞) aralığında düzgün yakınsaktır. Böylece eğer
serinin toplamı u(x, t ) ise yukarıdaki serinin toplamı t ≥ t 0 için u t (x, t ) olur, t 0 ve
x sayıları keyfi olduğundan yukarıdaki serinin toplamı D kümesinde u t (x, t ) olur.
Benzer şekilde (3.1.6) serisinin iki defa x değişkenine göre terim terim türevlenmesiyle elde edilen
∞ µ n 2 π2 ¶
X
2 2
2
nπ
− 2 c n e −n π kt /a sin
x
a
a
n=1
serisinin de D kümesinde toplamının u xx (x, t ) olduğu gösterilebilir. Yukarıdaki iki
seri karşılaştırılırsa D kümesinde
u t = ku xx
eşitliğinin sağlandığı görülür.
Diğer yandan yukarıdaki seriler D t0 kümesinde düzgün yakınsak olduklarından bu kümede toplamları süreklidir, aynı sebeple u t x ve u t t fonksiyonları da bu
kümede sürekli olacaktır. t 0 keyfi olduğundan bu fonksiyonlar D kümesinde de
sürekli olurlar yani u fonksiyonu D kümesinde C 2 sınıfından olur.
■
Şimdi ele aldığımız problemin tam çözümünün varlığını verebiliriz.
44
Bölüm 3. Isı İletim Problemine Dönüş
Teorem 3.1.1 f : (0, a) → R fonksiyonu (0, a) kümesinde parçalı sürekli olsun, ayrıca bu aralıkta sağ ve sol türevleri mevcut olsun. c n sayıları da f fonksiyonunun
(0, a) aralığındaki Fourier sinüs serisi katsayıları olsun. Bu durumda (3.1.6) serisi
D kümesinde C 2 sınıfından olan, D 0 kümesinde sürekli olan ve (3.1.1)-(3.1.5) sınır
değer problemini sağlayan bir u : D → R fonksiyonuna yakınsar.
İspat Diğer kısımları yukarıdak verdiğimiz lemmalarla kanıtladığımız için sadece
(3.1.5) eşitliğini kanıtlamalıyız. Bunun için
a n := c n sin
nπ
x
a
ve g n (t ) := e −n
π kt /a 2
2 2
P
olarak tanımlarsak a n yakınsak bir Fourier serisi, her n ∈ N ve her t ∈ [0, ∞)
için g n+1 (t ) ≤ g n (t ), ve her t ∈ [0, ∞) için |g n (t )| ≤ 1 olur. Böylece Abel düzgün
yakınsaklık testi gereği (3.1.6) serisi [0, ∞) aralığında düzgün yakınsaktır ve toplamı süreklidir. Dolayısıyla t → 0 için u(x, t ) → u(x, 0) olur, (3.1.4) eşitliği gereği de
u(x, t ) → f (x) elde edilmiş olur.
■
Örnek 3.1.1 Başlangıç sıcaklığı f (x) := x ile verilen 10 cm uzunluğunda bir çelik çubuğu ele alalım. Her t > 0 için çubuğun uçlarındaki sıcaklık 0◦C sabit tutulmaktadır. Bu durumda a = 10 ve çelik için k = 0.00128 cm 2 /sn olup c n katsayıları
(3.1.8) formülünden
cn =
2
10
10
Z
x sin
0
nπ
20
x dx =
(−1)n+1
10
nπ
olur ve sınır değer probleminin çözümü
u(x, t ) =
∞ (−1)n+1
2 2
20 X
nπ
e −0.128n π t /100 sin
x
π n=1
n
10
olarak elde edilir. Üstel ifadelerden dolayı yeterince büyük t değerleri için bu top2
lamdaki birçok terim ihmal edilebilir. Bundan dolayı eğer α := e −0.00128π ≈ 0.987
olarak tanımlarsak yeterince büyük t sayıları için
u(x, t ) ≈
µ
¶
π
1
π
1
3π
20 t
α sin x − α4t sin x + α9t sin
x
π
10
2
5
3
10
yazabiliriz. Bu çözümün belirttiği yüzey ve bazı t değerleri için grafiği aşağıda verilmiştir.
Şimdi ele aldığımız orijinal probleme dönelim, yani başlangıç sıcaklığı fonksiyonunun sürekli olduğu durumua. Bu durumda (3.1.6) serisinin toplamının D
kümesinde sürekli olmasını ve başlangıç ile sınır koşullarını sağlamasını istiyoruz.
Önceki araştırmalarımıza dayanarak sadece serinin toplamının D kümesinde sürekli olduğunu göstermemiz gerektiğini söyleyebiliriz, bunun için de (3.1.6) serisinin D kümesinde düzgün yakınsak olduğunu göstermek yeterlidir. Bu durumda
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
3.1. Çözümün Varlığı
45
Şekil 3.1: Yukarıdaki örnekte (Örnek 3.1.1) bahsedilen sınır değer probleminin çözümü olan u fonksiyonu.
t = 0 için de düzgün yakınsaklı gereklidir. O halde soru şudur: sürekli ve tek taraflı türevlere sahip olan bir fonksiyonun Fourier serisi düzgün yakınsak mıdır?
Bu soru ilk kez Halle Üniversitesinden Heinrich Eduard Heine (1821-1881) tarafından sorulmuş ve ilk cevap da yine kendisi tarafından 1870 yılındaki bir makalesinde verilmiştir. Elbette o yıllarda literatürde düzgün yakınsaklık kavramı tanımlı
değildi, Heine bu makalesinde bu kavramı ilk defa kullanmıştır, daha sonra 1872
yılındaki bir makalesinde bu kavramı daha detaylı olarak tanımlamış ve incelemiştir. Heinenin 1870 yılındaki çalışmasındaki diğer bir yenilik ise bir açık aralıklar
dizisi tarafından kapsanan kapalı ve sınırlı bir aralığın, bu açık aralıkların sonlu tanesi tarafından kapsandığını gözlemlemesidir. Bu gözlem 1895 yılında Emile Borel
(1871-1938) tarafından kanıtlanmıştır ve günümüzde Heine-Borel teoremi olarak
bilinir.
Teorem 3.1.2 a, α ∈ R ve a > 0 olsun. Ayrıca f : [α − a, α + a] → R sürekli fonksiyonunun türevi parçalı sürekli olsun ve f (α − a) = f (α + a) eşitliği sağlansın. Bu
durumda f fonksiyonunun (α − a, α + a) aralığındaki Fourier serisi [α − a, α + a]
aralığında f fonksiyonuna düzgün yakınsaktır.
Şimdilik elimizdeki bilgiler yetersiz olduğundan bu teoremin kanıtını daha sonra
vereceğiz ama bu teoremi kullanarak aşağıdaki sonucu elde edebiliriz.
46
Bölüm 3. Isı İletim Problemine Dönüş
Şekil 3.2: Yukarıdaki örnekte (Örnek 3.1.1) bahsedilen sınır değer probleminin çözümü olan u fonksiyonunun sırasıyla t = 10, 60, 120 ve 180 için grafikleri
Teorem 3.1.3 f : [0, a] → R fonksiyonu sürekli olsun, türevi parçalı sürekli olsun
ve f (0) = f (a) = 0 eşitliğini sağlasın. Ayrıca c n sayıları da f ’nin (0, a) aralığında
Fourier sinüs serisinin katsayıları olsunlar. Bu durumda (3.1.6) serisi
u t = ku xx ,
(x, t ) ∈ D için
u(0, t ) = 0,
t ≥ 0 için
u(a, t ) = 0,
t ≥ için
u(x, 0) = f (x),
0 ≤ x ≤ a için
eşitliklerini sağlayan bir u : D → R fonskiyonuna yakınsar.
İspat Teorem 3.1.1 gereği sadece u fonksiyonunun D kümesinde sürekli olduğunu göstermeliyiz. f (0) = f (a) = 0 olduğundan f fonksiyonunun [−a, a] aralığında tek olarak genişletilmesiyle elde edilen fonksiyon sürekli olur ve f (−a) =
f (a) eşitliğini sağlar. Dolayısıyla Teorem 3.1.2 gereği Fourier serisi olan
∞
X
n=1
c n sin
nπ
x
a
serisi [0, a] aralığında düzgün yakınsaktır. Bu durumda da
2 2
2
nπ
f n (x, t ) := c n sin
x ve g n (x, t ) := e −n π kt /a
a
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
47
3.2. Çözümün Tekliği ve Kararlılığı
olarak tanımlanırsa Abel düzgün yakınsaklık teoremi gereği bu seri D kümesinde
düzgün yakınsak olur ve toplamı süreklidir.
■
3.2 Çözümün Tekliği ve Kararlılığı
Buraya kadar ele aldığımız sınır değer probleminin çözümüne ulaştık, şimdi ise bu
çözümün Hadamard anlamında kararlılığını araştıracağız. Yani bu çözümün tek
olduğunu ve başlangıç koşullarına sürekli olarak bağımlı olduğunu göstereceğiz.
Bunları göstermek için maksimum prensibi adı verilen bir sonucu kullanacağız,
bu sonuç aslında ısının sıcak ortamdan soğuk ortama doğru yayıldığının matematiksel bir ifadesinden başka birşey değildir.
Teorem 3.2.1 (Isı Denklemi İçin Maksimum Prensibi) Keyfi bir T pozitif sayısı için
D T := {(x, t ) ∈ D : t ≥ T }, D T := {(x, t ) ∈ D : t ≥ T } ve ΓT := D\D t
kümelerini tanımlayalım. Bu durumda eğer u : D T → R sürekli fonksiyonu D T kümesinde ısı denklemini sağlıyorsa maksimum ve minimum değerlerini ΓT kümesinde alır.
Şekil 3.3: Teoremde tanımlanan ΓT kümesi.
İspat Kabul edelim ki u : D T → R sürekli fonksiyonu D T kümesinde ısı denklemini sağlasın, bir (x 0 , t 0 ) ∈ D T noktasında m minimum değerini alsın, ve iddiamızın aksine ΓT üzerindeki minimum değeri M > m olsun. Şimdi yeni bir v : D → R
fonksiyonunu
M −m
v(x, t ) := u(x, t ) +
(t − t 0 )
2T
olarak tanımlayalım. Bu durumda t − t 0 ≥ T0 olduğu açıktır ve eğer (x, t ) ∈ ΓT ise
u(x, t ) ≥ M olacağından
u(x, t ) ≥ M −
M −m M +m
=
>m
2
2
48
Bölüm 3. Isı İletim Problemine Dönüş
eşitsizliği sağlanır. Ayrıca
v(x 0 , t 0 ) = u(x 0 , t 0 ) = m
olduğundan v fonksiyonu da bir (x 1 , t 1 ) ∈ D T noktasında minimum değere sahip
olur. Fakat bu durumda t 1 < T için v t (x 1 , t 1 ) = 0 (t = T için negatif olabilir) ve
v xx (x 1 , t 1 ) ≥ 0 olacağından
0 ≥ v t − ku xx = u t − ku xx +
M −m M −m
=
>0
2T
2T
çelişkisi elde edilir. Dolayısıyle u fonksiyonu ΓT kümesinde minimum değerini almalıdır. Aynı düşünüşle −u fonksiyonunun da ΓT kümesinde minimum değeri alması gerektiğini, yani u fonksiyonun bu kümede maksimum değerini de alması
gerektiğini gösterebiliriz.
■
Teorem 3.2.2 Teorem 3.1.3 ile verilen sınır değer probleminin çözümü olan u fonksiyonu Hadamard anlamında kararlıdır. Ayrıca f ≥ 0 için u ≥ 0’dır.
İspat Çözümün varlığını daha önce gösterdik. Şimdi u 1 ve u 2 ile sırasıyla başlangıç sıcaklıkları [0, a] aralığında sürekli olan f ve g fonksiyonları ile verilen problemlerin çözümlerini gösterelim. Bu durumda u 1 − u 2 fonksiyonu da başlangıç sıcaklığı f −g ile verilen problemin çözümü olur ve D T kümesinde süreklidir. Bu durumda eğer | f − g | fonksiyonunun [0, a] aralığındaki maksimum değerini M f −g ile
gösterirsek, u 1 − u 2 fonksiyonu x = 0 ve x = a için sıfır olduğundan, her (x, t ) ∈ D T
için
|u 1 (x, t ) − u 2 (x, t )| ≤ M f −g
eşitsizliği sağlanır. T sayısı keyfi olduğundan bu eşitsizlikten başlangıç fonksiyonundaki küçük değişikliklerin çözümü büyük oranda değiştiremeyeceği görülür.
Ayrıca eğer f ≡ g ise her (x, t ) ∈ D T için u 1 ≡ u 2 olacağından T keyfi olduğundan çözümün tekliği de elde edilmiş olur. Son olarak eğer f ≥ 0 ise maksimum
prensibinden ve x = 0 ile x = a noktalarında u fonksiyonunun sıfır olduğundan u
fonksiyonunun minimum değerinin sıfır olduğu açıktır.
■
Yukarıdaki sonuçla sadece kararlılık değil çözümün negatif olmadığı da kanıtlanmıştır. Burada problemimizde sıcaklığı mutlak sıfırdan ölçtük, eğer başka bir
ölçek kullanılırsa buradaki negatif olmama durumu değişir, bu durumda çözümün minimum değeri sıfır yerine bu ölçeğe bağlı başka bir sabit olacaktır. Örneğin
Celcius derece cinsinden ölçüm yapılırsa bu sabit negatif olan −273.15 sayısı olur.
Şimdi son olarak çözümün asimptotik davranışına değineceğiz. Fiziksel olarak, çubuktan ısının uç noktalardan ortama geçtiği ve bu uç noktlarda sıcaklığın
sıfır olarak sabit tutulduğu düşünülürse çubuğun her yerinde sıcaklığın zamanla
sıfıra yaklaşması beklenir. Bunu matematiksel olarak şöyle gözlemleyebiliriz. Her
n ∈ N için |c n | < M olacak şekilde bir M sayısı seçilirse, α := π2 k/a 2 ve r := e −at
olarak tanımlanırsa
¯
2
2
nπ ¯¯
¯
x ¯ < Me −n αt ≤ Me −nαt = M r n
¯c n e −n αt sin
a
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
49
3.3. Uç Noktalarda Farklı sıcaklıklar
olduğu görülür. Böylece 0 < r < 1 olduğundan
u(x, t ) ≤ M
∞
X
rn =
n=1
r
e −αt
=M
1−r
1 − e −αt
elde edilir. Buradan da t → ∞ için u(x, t ) → 0 olduğu açıkça görülüyor.
Buraya kadar çözdüğümüz problem sınır koşulları değişik olan buna benzer
başka problemlerin çözümü için bize temel olabilir. Sıradaki bölümlerde bunlara
bazı örnekler vereceğiz. Fakat göreceğiz ki bazı durumlarda bu temel yeterli değildir.
3.3 Uç Noktalarda Farklı sıcaklıklar
T1 ve T2 negatif olmayan sabitler olsun. Ayrıca f fonksiyonu da f (0) = T1 ve f (a) =
T2 eşitliklerini sağlayan, sürekli, negatif olmayan, ve türevi parçalı sürekli olan bir
fonksiyon olsun. Bu bölümde
u t = ku xx ,
(x, t ) ∈ D için
(3.3.1)
u(0, t ) = T1 ,
t ≥ 0 için
(3.3.2)
u(a, t ) = T2 ,
t ≥ için
(3.3.3)
0 ≤ x ≤ a için
(3.3.4)
u(x, 0) = f (x),
sınır değer problemini ele alacağız. (3.3.2) ve (3.3.3) eşitlikleri sağlayan fonksiyonların toplamları bu koşulları sağlamayacağından bu durumda sınır koşullarımız
lineer değildir, dolayısıyla süperpozisyon ilkesini kullanarak bir çözüm elde edemeyiz.
Fakat biraz fiziksel gözlem işimizi kolaylaştırabilir. Yeterince uzun zaman sonra
başlangıç sıcaklığı dağılımının çubuğun genel sıcaklık dağılımına etkisinin kaybolduğunu ve çubuğun genel sıcaklık dağılımının zamandan bağımsız olduğunu bekleyebiliriz. eğer yeterince büyük t sayıları için bu sıcaklık dağılımı U fonksiyonu
ile gösterilirse, bu fonksiyona denge durumu sıcaklığı fonksiyonu denir, U fonksiyonu sadece x değişkenine bağlıdır ve (3.3.4) koşulunu sağlaması gerekmez. Yani
problemimiz
0 = kU 00
U (0) = T1
U (a) = T2
halini alır ve buradan denge durumu çözümünün
U (x) =
olduğu kolayca gösterilebilir.
T2 − T1
x + T1
a
50
Bölüm 3. Isı İletim Problemine Dönüş
Şimdi, eğer u fonksiyonu (3.3.1)-(3.3.4) probleminin bir çözümü ise bu durumda v := u −U fonksiyonu da
v t = kv xx ,
v(0, t ) = 0,
v(a, t ) = 0,
v(x, 0) = f (x) −U (x),
(x, t ) ∈ D için
t ≥ 0 için
t ≥ 0 için
0 ≤ x ≤ a için
probleminin bir çözümü olur. U fonksiyonu sürekli türevlere sahip olduğundan
bu problemin bir çözümü Teorem 3.1.3 ile verilmiştir. Böylece ele aldığımız (3.3.1)(3.3.4) sınır değer probleminin bir çözümü olan u = U + v kolaylıkla elde edilmiş
olur.
Şimdi u 1 ve u 2 ile (3.3.1)-(3.3.4) probleminin sırasıyla başlangıç sıcaklık dağılımları f ve g , ve uç nokta sıcaklıkları T1, f , T2, f ile T1,g , T1,g olan çözümleri olsunlar. Eğer | f − g | fonksiyonunun [0, a] aralığındaki maksümum değerini M f −g ile
gösterirsek, maksimum prensibi gereği
©
ª
|u 1 (x, t ) − u 2 (x, t )| ≤ max M f −g , |T1, f − T1,g |, |T2, f − T2−g |
olduğu görülür. Yukarıdaki eşitsizlik de bize (3.3.1)-(3.3.4) probleminin bulduğumuz çözümünün Hadamard anlamında kararlı olduğunu ve Teorem 3.2.2 ile verildiği gibi f ≥ 0 ise u ≥ 0 olduğunu gösterir.
Elde ettiğimiz bu çözümün v parçasının t → ∞ için v(x, t ) → 0 özelliğinde olduğu bir önceki bölümün sonunda gösterilmişti. Bundan dolayı çözümün bu parçasına geçici çözüm denir. Sonuç olarak ele aldığımız (3.3.1)-(3.3.4) probleminin
tam çözümü, denge durumu çözümü ile geçici çözümün toplamından oluşmaktadır.
Örnek 3.3.1 20 cm uzunluğunda sabit 400◦ K başlangıç sıcaklıklı bir çubuğu ele
alalım. Çubuğun uç noktalarında sıcaklığı sırasıyla 300◦ K ve 500◦ K ’de sabit tutulmaktadır. Bu durumda a = 20, T1 = 300, T2 = 500 ve denge durumu çözümü
U (x) =
500 − 300
x + 300 = 10x + 300
20
olur. Geçici çözümün sağlaması gereken başlangıç sıcaklığı da
v(x, 0) = f (x) −U (x) = 400 − 10x − 300 = 100 − 10x
olur. Ayrıca
cn =
2
20
20
Z
0
(100 − 10x) sin
nπ
x dx =
20
½
0,
400
nπ ,
n tek ise
n çift ise
olduğu kolaylıkla gösterilebilir. Böylece tam çözüm
u(x, t ) = U (x) + v(x, t ) = 10x + 300 +
∞ 1
2 2
200 X
nπ
e −n π kt /100 sin
x
π n=1 n
10
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
51
3.4. Uç Noktaları Yalıtımlı Çubuk
olarak elde edilmiş olur. Eğer çubuk örneğin aluminyum ise bu durumda k = 0.84 cm 2 /sn
2
olur, ayrıca e −π k/100 ≈ 0.92 olup yeterince büyük t sayıları için
u(x, t ) ≈ 10x + 300 +
200
π
0.92t sin x
π
10
yazabiliriz.
Şekil 3.4: Yukarıdaki örnekte (Örnek 3.3.1) verilen sınır değer probleminin çözümü
ve t = 5 için grafiği.
3.4 Uç Noktaları Yalıtımlı Çubuk
Şimdi çubuğun uç noktaları da dahil tamamen ortamdan izole olduğunu düşünelim. Fourier yasasına göre ısı x noktasındaki kesitten −κAu x (x, t ) oranıyla geçti-
52
Bölüm 3. Isı İletim Problemine Dönüş
ğinden ve uç noktalarda yüzey boyunca bir ısı akımı olmadığından
u t = ku xx ,
u x (0, t ) = 0,
u x (a, t ) = 0,
u(x, 0) = f (x),
(x, t ) ∈ D için
t ≥ 0 için
t ≥ 0 için
0 ≤ x ≤ a için
sınır değer problemiyle karşılaşırız, burada f fonskiyonu süreklidir, türevi parçalı
süreklidir ve f 0 (0) = f 0 (a) = 0 koşulunu sağlar.
Herhangi bir sabit fonksiyon ısı denklemini ve buradaki uç nokta koşullarını
sağlar. Diğer çözümler ise değişkenlere ayırma yöntemiyle elde edilebilir. Eğer u(x, t ) =
X (x)T (t ) biçiminde bir çözümün var olduğunu kabul edersek, daha önce yaptığımız gibi bu X ve T fonksiyonlarının
k X 00 + λX = 0 ve T 0 + λT = 0
denklemlerini sağlaması gerektiğini görürüz, burada λ bir sabittir ve ilk denklem
X 0 (0) = X 0 (a) = 0
sınır koşullarına tabidir. Kolayca görülebilir ki sabit olmayan bir çözüm sadece λ >
0 durumunda mümkündür ve bu durumda genel çözüm
p
p
X (x) = A sin λ/k x + B cos λ/k x
biçimindedir. yukarıdaki sınır koşulları uygulanırsa n bir tamsayı olmak üzere
A = 0 ve λ =
n 2 π2
k
a2
olduğu görülür. T 0 + λT = 0 denkleminin de çözümü elde edilirse ısı denkleminin
çözümünün, c n keyfi bir sabit olmak üzere
c n e −n
π kt /a 2
2 2
cos
nπ
x
a
biçimine sahip olduğu sonucuna varılır. Daha önce yaptığımız tüm işlemlere benzer şekilde
Z
2 a
nπ
cn =
f (x) cos
x dx
a 0
a
olmak üzere bu sınır değer probleminin bir çözümünün
∞
X
2 2
2
1
nπ
c0 +
c n e −n π kt /a cos
x
2
a
n=1
olduğu ve bu çözümün D kümesinde sürekli olduğu gösterilebilir. Fakat bu çözümün Hadamard anlamında kararlı olduğunu daha önce kanıtladığımız maksimum prensibini kullanarak göstermeyiz, çünkü bu durumda u fonksiyonunun
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
53
3.5. Farklı Uç Nokta Koşulları
x = 0 ve x = a için değerleri verilmiyor. Daha sonra kanıtlayacağımız başka bir çeşit maksimum prensibini kullanarak bu çözümün kararlı olduğunu ve f ≥ 0 için
negatif olmadığını gösterebileceğiz.
Son olarak bu izole çubuğun toplam sıcaklığının sabit olduğunu gözlemlersek,
yeterince zaman geçtikten sonra çubuktaki sıcaklığın her yerde başlangıç sıcaklık
dağılımının ortalamasına eşit olacağını bekleriz. Bunu matematiksel olarak da görebiliriz, daha önce asimptotik davranışı incelerken yaptığımız gibi benzer işlemlerle [0, a] aralığında t → ∞ için
Z
c0 1 a
u(x, t ) →
=
f (x) d x
2
a 0
olduğu görülür.
3.5 Farklı Uç Nokta Koşulları
Şimdi çubuğun x = 0 uç noktası sabit olarak sıfır sıcaklıkta tutulsun fakat x = a
noktasındaki diğer ucu ortamdan izole edilmiş olsun ve bu uç nokta ile ortam arasında ısı yayılımı olmasın. Bu durumda elimizdeki sınır değer problemi
u t = ku xx ,
u(0, t ) = 0,
u x (a, t ) = 0,
u(x, 0) = f (x),
(x, t ) ∈ D için
t ≥ 0 için
t ≥ 0 için
0 ≤ x ≤ a için
biçimindedir. Buradaki f fonksiyonu negatif olmayan, sürekli, türevi de parçalı sürekli ve f (0) = f 0 (a) = 0 koşulunu sağlayan bir fonksiyondur.
Değişkenlere ayırma yöntemiyle yine
p
p
X (x) = A sin λ/k x + B cos λ/k x
olduğu görülebilir, burada sınır koşulları olan
X (0) = X 0 (a) = 0
eşitlikleri kullanılırsa
(2n − 1)2 π2
k
4a 2
olduğu sonucu elde edilir. Böylece c n keyfi sabitler olmak üzere
B = 0 ve λ =
c n e −(2n−1)
π kt /4a 2
2 2
sin
(2n − 1)π
x
2a
fonksiyonları ısı iletim denklemini ve yukarıda verdiğimiz uç nokta koşullarını sağlar.
Başlangıç koşulunun sağlanması için ise
f (x) =
∞
X
n=1
c n sin
(2n − 1)π
x
2a
54
Bölüm 3. Isı İletim Problemine Dönüş
eşitliği sağlanacak şekilde c n katsayılarının bulunabileceğini göstermemiz gerekir.
Buradaki zorluk şudur: dikkat edilirse (2n − 1)/2 sayısı bir tamsayı olmadığından
bu seri (0, a) aralığında bir Fourier sinüs serisi olamaz. Bundan dolayı daha önceki
bölümlerde geliştirdiğimiz teori bu probleme uygulanamaz. Elbette bu problemi
başlangıç noktası kabul edip yeni bir çeşit trigonometrik seri için benzer bir teori
geliştirebiliriz, ama buna gerek yok, daha basit bir seçeneğimiz var.
Yukarıdaki seri (0, a) aralığında bir Fourier serisi değil, ama (0, 2a) aralığında
elbette bir Fourier sinüs sersidir, çünkü 2n − 1 bir tamsayıdır. O halde yapmamız
gereken şey problemimizi fiziksel dinamikleri değişmeyecek şekilde (0, 2a) aralığına genişletmektir. Bunu şöyle yapacağız,
1. f fonksiyonunu, x = a doğrusuna göre simetrik olacak şekilde [0, 2a] aralığına genişleteceğiz, yani başlangıç sıcaklık dağılımı için
f˜(x) :=
½
f (x),
f (2a − x),
0 ≤ x ≤ a ise
a < x ≤ 2a ise
fonksiyonunu tanımlayacağız.
2. x = 2a uç noktasında sıcaklığın sabit olarak sıfırda tutulmasını varsayacağız.
Dikkat edilirse tanımından dolayı f˜ fonksiyonu süreklidir, ayrıca f 0 parçalı sürekli olduğundan f˜0 fonskiyonu da öyledir. f fonksiyonunda bu yaptığımız genişleme ele aldığımız problemi x = a dikey eksenine göre simetrik bir probleme dönüştürür ve x = a noktasında dik kesit boyunca bir ısı iletimi yoktur. Bundan dolayı
eğer u fonksiyonu
u t = ku xx ,
u(0, t ) = 0,
u(2a, t ) = 0,
u(x, 0) = f˜(x),
0 < x < 2a ve t > 0 için
t ≥ 0 için
t ≥ 0 için
0 ≤ x ≤ 2a için
sınır değer probleminin bir çözümü ise aynı zamanda t ≥ 0 için u x (a, t ) = 0 koşulunu da sağlar ve az önce ele aldığımız orijinal problemimizin de 0 ≤ x ≤ a için bir
çözümüdür.
Teorem 3.1.3 gereği bu problemin tek çözümü
∞
X
n=1
c n e −n
π kt /4a 2
2 2
sin
nπ
x
2a
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
55
3.6. Bir Uç Noktada Isı Konveksiyonu
biçimindedir ve buradaki c n sayıları
cn
=
=
=
=
=
Z
2 2a ˜
nπ
f (x) sin
x dx
2a 0
2a
Z
Z
nπ
nπ
1 2a
1 a
f (x) sin
x dx +
f (2a − x) sin
x dx
a 0
2a
a a
2a
Z a
Z 0
1
nπ
1
nπ
f (x) sin
x dx −
f (s) sin
(2a − s) d s
a 0
2a
a a
2a
Z a
Z a
nπ
1
nπ
1
f (x) sin
x dx +
(−1)n+1 f (s) sin
s ds
a 0
2a
a 0
2a
½
0,
n çift ise
R
2 a
nπ
n tek ise
a 0 f (x) sin 2a x,
biçimindedir. Böylece
2
c 2n−1 :=
a
olmak üzere
∞
X
a
Z
f (x) sin
0
c 2n−1 e −(2n−1)
(2n − 1)π
x dx
2a
π kt /4a 2
2 2
n=1
sin
(2n − 1)π
x
2a
serisinin toplamu olan u(x, t ) fonksiyonu bu bölümde ele aldığımız orijinal sınır
değer probleminin bir çözümüdür. Çözümün D kümesinde sürekli olduğu daha
önce yaptığımız gibi kolayca görülebilir ve böylece çözüm Hadamard anlamında
kararlıdır, ayrıca f ≥ 0 ise u ≥ 0 olur. ayrıca u fonksiyonu önceki bölümlerde incelediğimiz yapıda olduğundan t → ∞ için u(t , x) → 0 olduğu da kolayca gösterilebilir.
3.6 Bir Uç Noktada Isı Konveksiyonu
Şimdi çubuğun x = 0 noktasındaki ucunda sıcaklığın T1 ≥ 0 olarak sabit tutulduğunu, x = a noktasındaki diğer ucunda ise ortam ile ısı iletimi gerçekleştiğini düşünelim. Newton’un soğuma yasasına göre bu uçtaki ısı değişim oranı, ortam ile
çubuğun sıcaklıkları farkıyla orantılıdır. Yani h materyale bağlı olan bir sabit ve
ortam sıcaklığı T2 ≥ 0 olmak üzere
u x (a, t ) = −h[u(a, t ) − T2 ]
eşitliği sağlanır. Böyle bir ısı alışverişine konveksiyon denir, bu konveksiyon durumundaki sınır değer problemimiz
u t = ku xx ,
u(0, t ) = T1 ,
u x (a, t ) = h[T2 − u(a, t )],
u(x, 0) = f (x),
(x, t ) ∈ D için
t ≥ 0 için
t ≥ 0 için
0 ≤ x ≤ a için
56
Bölüm 3. Isı İletim Problemine Dönüş
biçimindedir. Buradaki f fonksiyonu negatif olmayan, sürekli, türevi parçalı sürekli ve f (0) = T1 ile f 0 (a) = h[T2 − f (a)] eşitliklerini sağlayan bir fonksiyondur.
Uç nokta koşulları lineer olmadığından daha önce yaptığımız gibi önce denge
durumu çözümünü, daha sonra da geçici çözümü araştıracağız. Denge durumu
çözümü olan U fonksiyonu
0 = kU 00
U (0) = T1
U 0 (a) = h[T2 −U (a)]
eşitliklerini sağlar. Buradan
U (x) =
h(T2 − T1 )
x + T1
1 + ha
olduğunu kolayca görebiliriz.
Geçici çözüm için de v := u −U tanımını yaparsak x = a uç noktasındaki koşul
v x (a, t ) = u x (a, t )−U 0 (a) = h[T2 −u(a, t )]−h[T2 −U (a)] = −h[u(a, t )−U (a)] = −hv(a, t )
olacağından v geçici çözümünün
v t = kv xx ,
v(0, t ) = 0,
v x (a, t ) = −hv(a, t ),
v(x, 0) = f (x) −U (x),
(x, t ) ∈ D için
t ≥ 0 için
t ≥ 0 için
0 ≤ x ≤ a için
sınır değer problemini sağladığını görürüz. Bu problemi çözmek için değişkenlere
ayırma yöntemini kullanırsak
k X 00 + λX = 0 ve T 0 + λT = 0
denklemleri ile
X (0) = 0 ve X 0 (a) = −hX (a)
koşullarını elde ederiz. Sabit olmayan çözümlerin sadece λ > 0 için mümkün olduğu açıktır, bu durumda µ := λ/k olarak tanımlarsak çözüm
p
p
X (x) = A sin µ x + B cos µ x
olarak bulunur. X (0) = 0 ve X 0 (a) = −hX (a) koşulları kullanılırsa
B = 0 ve
p
p
p
A µ cos µ a = −h sin µ a
p
eşitliklerine varılır. h > 0 olduğundan bu eşitlik bize cos µ a 6= 0 olduğunu gösterir, böylece de
p
µ
p
tan µ a = −
h
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
3.7. Zamandan Bağımsız Genel Problemler
57
Şekil 3.5: tan ax + x/h fonksiyonunun a = 0.5 ve h = 1 için grafiği
eşitliğine varırız. Aşağıdaki şekilde de görüldüğü gibi bu denklemin sonsuz sayıda
çözümü vardır, her n ∈ N için
nπ
(2n − 1)π p
< µn <
2a
a
eşitsizliğini sağlayan tek bir µn sayısı vardır.
Sonuç olarak T 0 + λT = 0 denkleminin çözümünü ve λn = µn k olduğunu hesaba katarsak c n sayıları keyfi olmak üzere
p
c n e −µn kt sin µn x
biçimindeki terimler ve bunların toplamları ele aldığımız sınır değer problemini
ve v fonksiyonu için verdiğimiz uç nokta koşullarını sağlar.
Burada bir sorunumuz var, µn sayılarını nümerik yöntemlerle yaklaşık olarak
p
hesaplayabiliriz ama bunun bize faydası olmaz. Çünkü µn değerlerinin n doğal
sayısının rasyonel katı olmadığı açıktır. Dolayısıyla geçici çözümün başlangıç koşulundan elde edilecek olan sonsuz seri bir Fourier serisi olamaz. Bu yeni çeşit
serinin f −U fonksiyonuna düzgün yakınsadığını varsayarak için gerekli c n katsayılarını bulabiliriz fakat bu düzgün yakınsama kanıtlanmadığı sürece bulduğumuz
sayıları sağlamasını yaparak kullanmalıyız. Bu yeni probleme daha sonra tekrar
değinip çözümünü elde edeceğiz, şimdiye kadar elde ettiğimiz bilgilerle geçici çözümün varlığına ulaşamıyoruz.
3.7 Zamandan Bağımsız Genel Problemler
Önceki bölümlerde ısı denklemine ilişkin birkaç sınır değer problemini inceledik.
Benzer şekilde gerek ısı yayılım denklemini genelleştirerek gerekse sınır koşullarını genelleştirerek çeşitli sınır değer problemleri elde edilebilir. Örneğin ısı iletim
denklemindeki öz ısı katsayısı c, yoğunluk ρ veya iletkenlik katsayısı κ gibi parametreler sabit yerine x’e göre değişken olabilir, ayrıca çubuk içinde yine x’e bağlı
58
Bölüm 3. Isı İletim Problemine Dönüş
bir q fonksiyonu ile ısı üretiliyor olabilir. Böyle bir durumda, sadelik açısından cρ
yerine c yazarsak, D kümesindeki ısı yayılımı
cu t = (κu x )x + q
(3.7.1)
denklemi ile verilir. Burada c, κ ve q fonksiyonlarının [0, a] aralığında sürekli, c ve
κ’nın pozitif ayrıca κ’nın türevinin sürekli olduğunu varsayıyoruz.
Yine sıcaklığın mutlak sıfırdan itibaren ölçüldüğünü varsayacağız. Ele alacağımız problem (3.7.1) denkleminin
a 1 u(0, t ) − b 1 u x (0, t ) = c 1 ,
t ≥ 0 için
(3.7.2)
a 2 u(a, t ) + b 2 u x (a, t ) = c 2 ,
t ≥ 0 için
(3.7.3)
0 ≤ x ≤ a için
(3.7.4)
u(x, 0) = f (x),
koşullarını sağlayan, sürekli, negatif olmayan ve sınırlı bir çözümünün bulunması
problemidir. Bu problemi araştırıken aşağıdaki koşullar altında çalışacağız:
1. a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c 1 ve c 2 negatif olmayan sabitlerdir,
2. a 1 + b 1 > 0 ve a 2 + b 2 > 0’dır,
3. eğer a 1 = a 2 = 0 ise bu durumda c 1 = c 2 = 0 ve q ≡ 0’dır,
4. f fonksiyonu negatif olmayan, sürekli, türevi parçalı sürekli ve a 1 f (0)−b 1 f 0 (0) =
c 1 ile a 2 f (a) + b 2 f 0 (a) = c 2 eşitliklerini sağlar.
Bu koşullar ilk bakışta fazla kısıtlayıcı veya anlamsız görünse de problemin doğasına aykırı olan bazı olasılıkların oluşmasını engellemek için gereklidir, bunları
kısaca açıklayalım.
İlk koşula bakacak olursak, a 1 ≥ 0 olabildiğini, veya diğer durumda (3.7.2) uç
nokta koşulunu −1 ile çarparak bu hale getirebileceğimizi görürüz. Fakat mesela
ilk hipoteze aykırı bir şekilde a 1 > 0, b 1 = 0 ve c 1 < 0 ise u(0, t ) < 0 olurdu, bu ise
mutlak sıfırdan ölçülen sıcaklığın negatif olamayacağı gerçeğiyle çelişir. Benzer şekilde eğer a 1 > 0, b 1 < 0, c 1 > 0 ve u(0, t ) > c 1 /a 1 ise bu durumda da u x (0, t ) < 0 olur
ki bu da sıcaklığı u(0, t ) olan, yani ortam sıcaklığı olan c 1 /a 1 ’dan daha sıcak olan
sol uç noktadan çubuğa ısı geçişinin olduğu anlamına gelir ki bu mümkün değildir. Malesef ilk koşul bazı olası durumları da engeller, örneğin eğer a 1 = 0, b 1 < 0 ve
c 1 > 0 ise ısı çubuğu x = 0 noktasında sabit bir oranla terk ediyor demektir. Bu durum fiziksel olarak olanaklıdır fakat dikkatli incelenmelidir, örneğin bu durumda
ek olarak a 2 = c 2 = 0 ise çubuğun x = a uç noktası ortamdan izole demektir ve bu
durumda sol uçtan ortama ısı akması için çubuğun içinde yeterli miktarda ısı üretimi mevcut olmalıdır. İkinci hipoteze bakacak olursak, bu hipotez bize uç nokta
koşullarının eksik verilmemesini garanti eder. Örneğin eğer a 1 ≥ 0 ve b 1 ≥ 0 ise
a 1 + b 1 > 0 koşulu bu iki sabitin aynı anda sıfır olamayacağını belirtir. Eğer bunlardan ikisi de sıfır olsaydı c 1 = 0 olurdu ve x = 0 noktasında bir koşul verilmemiş
olurdu. Üçüncü koşula bakalım, a 1 = a 2 = 0 durumu özel bir durumdur, çubuğun
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
3.8. Denge Durumu Çözümü
59
her iki uç noktasının da ortamdan izole olduğu duruma karşılık gelir. Böyle bir durumda eğer q ≡ 0 değilse çubuk sınırsızca ısınır. Ayrıca bu durumda q ≡ 0 olsa bile
eğer c 1 > 0 veya c 2 > 0 ise, ikici koşula göre b 1 > 0 ve b 2 > 0 olduğundan uç noktalardan çubuğa sabit hızda ısı girer ve çubuk yine sınırsızca ısınır. Gerçekten bu
durumda
Z a
Z a
d
a Au(s, t ) d s = A
cu t (s, t ) d s
(3.7.5)
dt 0
Z0 a
£
¤
= A
(κu x )x (s, t ) + q(s) d s
·0
¸
Z a
= A (κu x )(a, t ) − (κu x (0, t )) +
q(s) d s
0
¸
·
Z a
c1
c2
q(s) d s
= A κ(a) + κ(0) +
b2
b1
0
olduğundan, ve A, κ, b 1 , b 2 pozitif olduğundan q ≡ 0 ve c 1 = c 2 = 0 olmadıkça bu
türev pozitiftir ve dolayısıyla ısı sürekli artar.
Dikkat edilirse ele aldığımız bu problemin daha önce çalıştığımız tüm sınır değer problemlerini kapsayan oldukça genel bir problem olduğunu görürüz. Daha
önce çalıştığımız bu özel durumlarda izlediğimiz adımları bu problem için de izleyeceğiz, yani bu denklem için aşağıdakileri uygulayacağız.
1. Denge durumu çözümünün tespiti: Bu U çözümü zamandan bağımsızdır, (3.7.1)
ve (3.7.3) koşullarını sağlar, (3.7.4) koşulunu sağlamak zorunda değildir. Tam
çözümün t → ∞ için U denge durumu çözümüne yakınsaması beklenir.
2. Geçici çözümün tespiti: Bu v çözümü q ≡ 0, c 1 = c 2 = 0 ve v(x, 0) = f (x) −U (x)
başlangıç koşuluna karşılık gelen çözümdür. Bu koşullarda ısı denklemi ve
uç nokta koşulları lineerdir, değişkenlere ayırma yöntemi ve süperpozisyon
ilkesi ile v çözümü elde edilebilir.
3. Tam çözümün elde edimesi: Hem denge durumu çözümü U hem de geçici çözüm v bulunmuşsa u := U +v fonksiyonunun orijinal problemin bir çözümü
olduğu açıktır, fakat bu fonksiyonun negatif olmadığı gösterilmelidir.
4. Çözümün tekliğinin ve kararlılığının tespiti: Bir çözüm bulunduktan sonra onun
tek çözüm olduğu ve başlangıç ile sınır verilerine sürekli bağımlı olduğu gösterilmelidir.
Yukarıdaki dört adım önümüzdeki bölümlerde sırasıyla ele alınacaktır.
3.8 Denge Durumu Çözümü
Uygulamalarda geçici çözümün kısa bir süre sonra ihmal edilebilir olması beklenir, dolayısıyla birçok durumda çözümün önemli kısmı denge durumu çözümüdür ve bu çözüm aşağıda gösterilecek olduğu gibi kolaylıkla bulunur.
60
Bölüm 3. Isı İletim Problemine Dönüş
Aradığımız fonksiyon (3.7.1)-(3.7.4) probleminin zamandan bağımsız bir çözümüdür, yani
0 = (κU 0 )0 + q
(3.8.1)
0
(3.8.2)
0
(3.8.3)
a 1U (0) − b 1U (0) = c 1
a 2U (a) − b 2U (a) = c 2
probleminin bir çözümü olan U fonksiyonunu arıyoruz.
Eğer a 1 + a 2 > 0 ise genellikle (3.8.1) eşitliği iki defa integrallenerek ve diğer koşullar uygulanarak çözüm kolayca elde edilir. Fakat a 1 = a 2 = 0 özel durumuna ayrıca değinmemiz gerekiyor, bu durumda önceki bölümde belirttiğimiz üçüncü hipotez gereği c 1 = c 2 = 0 ve q ≡ 0 olmalıdır. Buradan da (3.8.1) eşitliği gereği κU 0 ifadesinin sabit olduğu elde edilir ve (3.8.2) veya (3.8.3) eşitliği kullanılırsa bu sabitin
de sıfır olduğu görülür. Diğer yandan κ > 0 olduğundan U 0 ifadesi sabit olamlıdır,
fakat bu sabit değeri (3.8.2) ve (3.8.3) eşitliklerini kullanarak tespit edemeyiz. Yine
de bu sabiti şöyle bulabiliriz, eğer denge durumu sıcaklığı t → ∞ için ısıyı gösteren
u(x, t ) fonksiyonuna yakınsayacaksa ve (3.7.5) eşitliğine göre (bu durumda eşitliğin sağ tarafı sıfır olur) çubuktaki toplam ısı sabit kalacaksa bu sabit başlangıçtaki
orijinal değeri olmalıdır. Yani
a
Z
0
a
Z
cU =
cf
0
olmalıdır, U sabit olduğundan
Ra
cf
U ≡ R0 a
0 c
olarak bulunur. Dikkat edilirse eğer c de sabit ise
U≡
1
a
a
Z
f
0
olur, yani başlangıç sıcaklığının ortalama değeri.
Örnek 3.8.1 Aşağıdaki problemin denge durumu çözümünü bulalım.
u t = u xx + sin x,
u(0, t ) = 1,
u x (π, t ) = 2,
u(x, 0) = 1 + sin 2x,
0 < x < π ve t > 0 için
t ≥ 0 için
t ≥ 0 için
0 ≤ x ≤ π için
Bu durumda (3.8.1)-(3.8.3) eşitlikleri
0 = U 00 + sin x
U (0) = 1
U 0 (π) = 2
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
61
3.8. Denge Durumu Çözümü
halini alır ve buradaki ilk eşitlikten iki defa integrasyonla, A, B keyfi sabitler olmak
üzere
U 0 (x) = cos x + A ve U (x) = sin x + Ax + B
elde edilir. Sınır koşulları kullanılırsa A = 3 ve B = 1 olduğu görülür ve böylece
denge durumu çözümü
U (x) = sin x + 3x + 1
olarak elde edilmiş olur.
Bu bölümde incelediğimiz türden bir sınır değer probleminin genel durumunu
veren bir formül geliştirilebilir ve böyle formüller çözümlerin kararlılığını gösterirken kullanışlı olabilir. Aşağıda böyle bir formülü vereceğiz, ispatını yapmayacağız.
Eğer
Z x
Z a
1
Q(x) :=
q,
K (x) :=
,
∆ := [a 1 κ(0)K (a) + b 1 ] a 2 κ(a) + a 1 b 2 κ(0),
κ
0
0
·
Z a ¸
1
Q
B :=
b 1 c 2 κ(a) + b 2 c 1 κ(0) + b 1 b 2Q(a) + a 2 c 1 κ(0)κ(a)K (a) + a 2 b 1 κ(a)
∆
0 κ
ve
·
µ
¸
Z a ¶
Q
κ(0)
κ(a) a 1 c 2 − a 2 c 1 + a 1 a 2
+ a 1 b 2Q(a)
A :=
∆
0 κ
olarak tanımlanırsa (3.7.1)-(3.7.4) sınır değer probleminin denge durumu çözümü
Z x
Q
+ AK (x) + B ≥ 0
U (x) = −
0 κ
ile verilir.
Örnek 3.8.2 x = 0 ve x = 9 noktaları arasına yerleştirilmiş ince bir çubuğun iletkenliği κ(x) := 1 + x ve iç ısı üretim oranı da q(x) := 2(1 + x) olarak veriliyor. Çubuğun sol uç noktası ortamdan izole edilmiş ve sağ uç noktası 300◦ K sabit sıcaklıktadır. Denge durumda çubuktaki ısı dağılımını bulalım. Bu durumda elimizdeki
sınır değer problemi
cu t = [(1 + x)u x ]x + 2(1 + x),
u x (0, t ) = 0,
u(9, t ) = 300,
u(x, 0) = f (x),
0 < x < 9 ve t > 0 için
t ≥ 0 için
t ≥ 0 için
0 ≤ x ≤ 9 için
biçimindedir, denge durumu çözümü için c ve f fonksiyonlarını bilmeye ihtiyacımız olmadığını hatırlayın. Bu durumda a = 9, a 1 = c 1 = b 2 = 0, b 1 = a 2 = 1 ve
c 2 = 300’dür. Ayrıca
Z
x
Q(x) = 2
Z
K (x) =
0
x
0
(1 + s)d s = 2x + x 2 ,
1
d s = ln(1 + x)
1+s
62
Bölüm 3. Isı İletim Problemine Dönüş
ve
x
Z
0
Q
=
κ
x
Z
0
2s + s 2
x2
ds =
+ x − ln(1 + x)
1+s
2
olur. Bu durumda A = 0 ve
B=
b 1 c 2 κ(9) + a 2 b 1 κ(9)
R9Q
0 κ
b 1 a 2 κ(9)
=
c2 + a2
R9Q
0 κ
a2
=
699
− ln 10
2
olarak bulunur. Böylece denge durumu çözümü
U (x) = ln
1 + x 699 − x 2
+
−x
10
2
olarak elde edilmiş olur.
Örnek 3.8.3 x = 0 ve x = 10 noktaları arasına yerleştirilmiş ince bir çubuğun iletkenliği κ(x) := e −x ile verilsin ve cubukta ısı üretimi olmasın. Ayrıca uç noktalarında ortam sıcaklığı olan 320◦ K ile çubuğun sıcaklığını farkıyla eşit hızda konveksiyon olsun. Bu durumda çubuğun denge durumundaki sıcaklık dağılımını bulalım. Elimizdeki sınır değer problemi
cu t = (e −x u x )x ,
u(0, t ) − u x (0, t ) = 320,
u(10, t ) + u x (10, t ) = 320,
u(x, 0) = f (x),
0 < x < 10 ve t > 0 için
t ≥ 0 için
t ≥ 0 için
0 ≤ x ≤ 10 için
biçimindedir. Dikkat edilirse a 1 c 2 = a 2 c 1 olduğundan Q ≡ 0, dolayısıyla A = 0
ve U ≡ B olduğu görülür. Denge durumu çözümünün sabit olduğunu gördükten
sonra bu sabiti formül kullanmadan sınır koşulları yardımıyla da belirleyebiliriz.
Eğer U sabit ise U 0 = 0 olmalıdır, bunu sol uç noktasındaki sınır koşulunda kullanırsak U (x) = U (0) = 320 olduğunu görürüz.
Dikkat ediniz, eğer uç noktalardaki konnveksiyon orantı sabitleri 1 yerine b 1
ve b 2 sabitleri olsaydı da aynı sabit U (x) çözümü elde edilirdi. Denge durumu çözümünün sabit olmaması için ya çubuk içinde ısı üretimi olması gerekir, yada uç
nokta sıcaklıklarının farklı olması gerekir.
Örnek 3.8.4 Bir önceki örnekte verilen çubuğun sağ uç noktasındaki sıcaklığın
300◦ K olarak değiştirildiğini düşünelim. Bu durumda Q ≡ 0 olduğundan U (x) =
AK (x) + B biçimindedir. Ayrıca ilgili formüller kullanılarak K (x) = e x − 1 ve ∆ = 2
olduğu, bunlardan da A = −10e −10 ve B = 320 − 10e −10 elde edilebilir. Böylece bulunanlar yerine yazılırsa denge durumu çözümü
U (x) = 320 − 10e x−10
olarak bulunmuş olur.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
63
3.9. Geçici Çözüm
Bu bölümdeki araştırmalarımzda κ fonksiyonunu sürekli türevlere sahip kabul
ettik, fakat bazı fiziksel uygulamalarda bu koşul sağlanmayabilir. Örneğin uç uca
eklenmiş farklı materyallerden oluşan bir çubukta bu fonksiyon parçalı sürekli olacaktır. Modelimizde parçalı sürekli bir iletkenlik fonksiyonu bulunuyorsa bunun
yerine sürekli bir yaklaşımını alabiliriz, bu ikisi sadece süreksizlik noktasının keyfi
küçüklükte bir komşuluğu hariç birbirine çok benzerdir ve denge durumu çözümüne iyi bir yaklaşım sunabilir.
3.9 Geçici Çözüm
Eğer u fonksiyonu (3.7.1)-(3.7.4) probleminin bir çözümü ve U fonksiyonu (3.8.1)(3.8.3) probleminin bir çözümü ise bu durumda v := u −U fonksiyonu da
cv t = (κv x )x ,
0 < x < a ve t > 0 için
(3.9.1)
a 1 v(0, t ) − b 1 v x (0, t ) = 0,
t ≥ 0 için
(3.9.2)
a 2 v(a, t ) + b 2 v x (10, t ) = 0,
t ≥ 0 için
(3.9.3)
0 ≤ x ≤ a için
(3.9.4)
v(x, 0) = f (x) −U (x),
sınır değer probleminin bir çözümü olacaktır, yani (3.7.1)-(3.7.4) orijinal problemimizin çözümü u = U + v olacaktır.
Bu problemde denklem ve sınır koşulları lineer olduğundan değişkenlere ayırma
yöntemi ve süperpozisyon ilkesi kullanılabilir. Eğer v(x, t ) = X (x)T (t ) biçiminde
bit çözüm varsa bunu (3.9.1) eşitliğinde kullanarak
c X T 0 = κX 00 T + κ0 X 0 T
denklemine varılır. Bu eşitliği c X T ile bölersek
T 0 κX 00 + κ0 X 0
=
T
cX
eşitliği elde edilir, dikkat edilirse bu eşitliğin sağlanması için her iki tarafın da aynı
sabite eşit olması gerekir çünkü bir taraf t değişkeninin diğer taraf is x değişkenini
fonksiyonudur. Bu sabiti −λ ile gösterirsek
T 0 + λT = 0
ve
κX 00 + κ0 X 0 + λc X = 0
(3.9.5)
diferensiyel denklemlerine varırız. İlk denklemin çözümü iyi bilinse de birkaç özel
durum dışında (katsayıların sabit olması gibi) (3.9.5) denkleminin genel çözümü
bilinmiyor. Ayrıca bu genel çözüm bilinse bile
a 1 X (0) − a 2 X 0 (0) = 0 ve a 2 X (a) + b 2 X 0 (a) = 0
64
Bölüm 3. Isı İletim Problemine Dönüş
koşullarını sağlayacak bir çözüm üretecek şekilde bir λ sayısının varlığı açık değildir.
Fakat şimdi özel olarak verilen κ ve c fonksiyonları için bir λ1 , λ2 , . . . , λn , . . . dizisi bulabildiğimizi ve her λ = λn sayısına karşılık bir (3.9.5) diferensiyel denkleminin çözümü olan ve ilgili sınır koşullarını sağlayan bir X n 6≡ 0 fonksiyonu bulabildiğimizi varsayalım. Bu durumda her n ∈ N için, c n ’ler keyfi sabitler olmak üzere
v n (x, t ) = c n e −λn t X n (x)
fonksiyonları (3.9.1)-(3.9.3) probleminin bir çözümü olur, lineerlik gereği bu fonksiyonların herhangi sonlu toplamları da bir çözüm olacaktır. Fakat (3.9.4) başlangıç koşulunun sağlanması için
∞
X
c n e −λn t X n (x)
(3.9.6)
n=1
sonsuz serisini ele almalıyız. Eğer bu seri sürekli bir v : D → R fonksiyonuna yakınsak ise t = 0 yazarak ve (3.9.4) eşitliğini kullanarak
∞
X
c n X n (x) = f (x) −U (x)
(3.9.7)
n=1
eşitliğini elde ederiz. Daha önce Fourier serileri için yaptığımız gibi bu serinin yakınsak olduğunu, terim terim integrallenebildiğini, (3.9.7) eşitliğinin sağlandığını
ve m 6= n için
Z
a
0
r Xm Xn = 0
olacak şekilde integrallenebilir bir r 6≡ 0 fonksiyonunun varlığını varsayabilir ve bu
koşullar altında (3.9.7) eşitliğinin her iki tarafını r X m ile çarpıp terim terim integralleyerek buradan c n katsayılarını
Ra
r ( f −U )X n
cn = 0 R a
2
0 r Xn
olarak hesaplayabiliriz. Dikkat edilirse Fourier serilerini araştırırken r ≡ 1 almıştık
ama genel durumda iki fonksiyonun çarpımının integrali sıfır olmazken onların
bir r fonksiyonu ile çarpımının integrali sıfır olabilir.
Bu yüzden geçici çözümü elde etmek için λn sayılarını ve bunlara karşılık gelen
X n fonksiyonlarını belirlemek durumundayız, bu bazı özel durumlarda yapılabilse
de her zaman olanaklı değildir.
O zaman genel durumda geçici çözümün varlığını gösterebilir miyiz? Bunu yapabilmek için, yukarıda gördüğümüz gibi, öncelikle bazı sorulara olumlu cevaplar
verebilmeliyiz.
(i) (3.9.5) denkleminin a 1 X (0) − b 1 X 0 (0) = 0 ve a 2 X (a) + b 2 X 0 (a) = 0 koşullarını
sağlayan bir X 6≡ 0 çözümü var olacak şekilde λ sayıları var mıdır?
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
65
3.9. Geçici Çözüm
(ii) Varsa bu sayılar reel sayı mıdır?
(iii) Bu λ sayıları bir dizi oluşturur mu?
(iv) Her λn sayısına karşılık tek bir X n (sabitle çarpım hariç) çözümü var mı?
Ra
(v) m 6= n ise 0 r X m X n = 0 olacak şekilde bir r fonksiyonu var mı?
(vi) Yukarıda verilen c n katsayılarıyla beraber (3.9.6) serisi f (x) −U (x) fonksiyonuna [0, a] aralığında düzgün yakınsar mı?
Bu soruların hepsinin cevabının olumlu olduğunu varsaysak bile hala (3.9.6)
serisinin D kümesinde sürekli olan ve (3.9.1)-(3.9.4) eşitliklerini sağlayan bir fonksiyona yakınsadığını göstermemiz gerekir. Bunu, daha önce verdiğimiz Lemma
3.1.1, Lemma 3.1.2 ve Teorem 3.1.1 kanıtlarını baz alarak yapabiliriz. Eğer
X n (x) := sin
nπ
x
a
ve g n (t ) := e −n
π kt /a 2
2 2
notasyonunu kullanırsak Lemma 3.1.1 ve Lemma 3.1.2 kanıtlarının
A. bir M > 0 sayısı ve her n ∈ N için |c n X n | < M ,
B. t 0 > 0 keyfi olmak üzere her t ≥ t 0 ve her n ∈ N için g n (t ) ≤ g n (t 0 ),
£
¤1
C . lim g n (t 0 ) n < 1
n→∞
koşullarına dayandığını hatırlayalım. Ayrıca Teorem 3.1.1 ve Teorem 3.1.2 kanıtları
D. her n ∈ N ve her t ∈ [0, ∞) için g n (t ) ≤ 1 ve g n+1 (t ) ≤ g n (t )
eşitsizliklerine de dayanıyordu.
Genel durumda ise, yani X n fonksiyonları (3.9.5) denkleminin çözümleri ve
g n (t ) := e −λn t iken, yukarıda (vi) sorusunun cevabını olumlu kabul ettiğimiz için
düzgün yakınsaklık gereği A eşitsizliği sağlanır. (Bunu görmek için Cauchy düzgün
yakınsaklık kriteri kullanılabilir.) Ayrıca g n için verdiğimiz diğer dört eşitsizlik de
ancak aşağıdaki soruların cevapları olumlu ise sağlanır.
(vii) Her n ∈ N için 0 ≤ λn < λn+1 eşitsizliği sağlanır mı?
λn
n→∞ n
(viii) lim
> 0 eşitsizliği sağlanır mı?
Bunların da cevaplarını olumlu kabul edelim, bu durumda (3.9.6) serisi sürekli
bir v : D → R fonksiyonuna yakınsayacaktır. Bu v fonksiyonunun geçici çözüm
olabilmesi için artık sadece t → ∞ için v(x, t ) → 0 olduğunu göstermeliyiz. Eğer
λ1 > 0 ise bu durumda (vii) gereği her n ∈ N için λn /n > 0 olacak ve dolayısıyla
(viii) gereği her n ∈ N için λn /n ≥ α olacak şekilde bir α > 0 sayısı bulunabilecektir.
Böylece
|v(x, t )| ≤
¯ X
∞ ¯
∞
∞ ¡
X
X
¢n
¯
¯
Me −λn t ≤ M
e −αt =
¯c n e −λn t X n (x)¯ ≤
n=1
n=1
n=1
e −αt
1 − e −αt
66
Bölüm 3. Isı İletim Problemine Dönüş
eşitsizliği sağlanacağından t → ∞ için v(x, t ) → 0 olduğu görülmüş olur. Diğer
yandan eğer λ1 = 0 ise λn ≥ nα eşitsizliği bu defa n ≥ 2 için sağlanacağından benzer düşünüşle t → ∞ için v(x, t ) − c 1 X 1 (x) → 0 olacağı açıktır. Dolayısıyla λ1 = 0
durumunda c 1 = 0 oluyorsa bu v fonksiyonu yine geçici çözüm olur. O halde şu
sorunun da cevabının olumlu olması gerekmektedir
(ix) λ1 = 0 ise c 1 = 0 oluyor mu?
Sonuç olarak bu dokuz soruyu olumlu olarak cevaplamak şartıyla geçici çözümün varlığına ulaşmış oluruz. Bu soruların detaylı araştırmasını daha sonra yapacağız.
3.10 Tam Çözüm
Hem U denge durumu çözümünü hem de v geçici çözümünü bulduğumuza göre
artık tam çözümün kararlılığını araştırabiliriz. Daha önceden u := U + v fonksiyonunun (3.7.1)-(3.7.4) problemini sağladığını biliyoruz. Şimdi bu çözümün negatif
olmadığını ve başlangıç ile sınır koşullarına sürekli bağımlı olduğunu göstermeliyiz.
Daha önce ele aldığımız sınır değer problemlerinde kararlılığı maksimum prensibini kullanarak kanıtlamıştık fakat çubuk içinde ısı üretimi olduğu zaman maksimum prensibi sağlanmak zorunda değildir. Bunun yerine aşağıda vereceğimiz iki
sonucu kullanacağız.
Lemma 3.10.1 T keyfi bir pozitif sayı olmak üzere D, D, D T , D T ve ΓT kümeleri
önceden tanımladığımız gibi olsun. Bu durumda eğer u : D T → R fonksiyonu D T
kümesinde (3.7.1) eşitliğini sağlıyorsa minimum değerini ΓT kümesinde alır.
İspat Teorem 3.2.1 kanıtında yapılan işlemleri bire bir tekrarlayarak v fonksiyonunun (x 1 , t 1 ) ∈ D T noktasında minimum değerini aldığını görebiliriz. Fakat
bu durumda v t (x 1 , t 1 ) ≤ 0, v x (x a , t 1 ) = 0 ve v xx (x 1 , t 1 ) ≥ 0 olur ki buradan c v t −
(κv x )x = cv t − κ0 v − κVxx ≤ 0 eşitsizliği elde edilir. Bu ise
cv t − (κv x )x = cu t − (κu x )x + c
M −m
>0
2T
olmasıyla çelişir. O halde u fonksiyonu minimum değerini ΓT kümesinde almalıdır.
■
Sıradaki Lemmayı ispatsız olarak veriyoruz.
Lemma 3.10.2 T keyfi bir pozitif sayı olmak üzere D, D, D T , D T ve ΓT kümeleri
önceden tanımladığımız gibi olsun, ayrıca
Γ0 := {(x, t ) ∈ D : x = 0, t > 0}
ve
Γa := {(x, t ) ∈ D : x = a, t > 0}
kümelerini tanımlayalım. u fonksiyonunun D kümesinde negatif bir minimum değeri olsun, bu durumda
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
3.10. Tam Çözüm
67
(i) eğer u fonksiyonu (3.7.2) eşitliğini sağlıyorsa minimum değerini ΓT − Γ0 kümesinde alır,
(ii) eğer u fonksiyonu (3.7.3) eşitliğini sağlıyorsa minimum değerini ΓT − Γa kümesinde alır.
Bu lemmalar geçici çözümü belirleyen (3.9.1)-(3.9.3) sınır değer problemine
uygulanabilir, şimdi bunları kısaca ele alalım.
Sonuç 3.10.1 D T kümesinde (3.9.1) eşitliğini sağlayan sürekli bir u : D T → R fonksiyonu maksimum değerini ΓT kümesinde alır. Bu maksimum değeri pozitif olsun,
bu durumda
(i) eğer u fonksiyonu (3.9.2) eşitliğini sağlıyorsa maksimum değerini ΓT −Γ0 kümesinde alır,
(ii) eğer u fonksiyonu (3.9.3) eşitliğini sağlıyorsa maksimum değerini ΓT −Γa kümesinde alır.
İspat u fonksiyonu (3.9.1)-(3.9.3) eşitliklerini sağlıyorsa −u fonksiyonu da sağlar, dolayısıyla −u fonksiyonu, q ≡ 0 ve c 1 = c 2 = 0 olarak, Lemma 3.10.1 ve Lemma
3.10.2’ün koşullarını sağlar. Dolayısıyla bu sonuçlardaki minimum ifadesi −u fonskiyonu için maksimum halini alır.
■
Sonuç 3.10.2 u : D → R fonksiyonu (3.9.1)-(3.9.3) eşitliklerini sağlasın. u(x, 0) fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini sırasıyla M 0 ve m 0 ile gösterirsek,
her (x, t ) ∈ D için
min {0, m 0 } ≤ u(x, t ) ≤ max{0, M 0 }
eşitsizliği sağlanır.
İspat T > 0 keyfi bir sayı olsun. Sonuç 3.10.1 gereği u fonksiyonunun D T kümesine kısıtlanmışı M maksimum değerini ΓT kümesinde alır. M ≤ 0 (bu durumda
u(x, t ) ≤ 0 olur), veya M ≥ 0 olabilir. İkinci durumu ele alırsak, yine Sonuç 3.10.1
gereği u fonksiyonunun D T kümesine kısıtlanmışı t = 0 için maksimum değerini
alır ve böylece t ≤ T için u(x, t ) ≤ M = M 0 eşitsizliği sağlanır. Burada T sayısı keyfi
olduğundan ikinci eşitsizlik kanıtlanmış olur. Birinci eşitsizlik ise aynı düşünüşle,
fakat Sonuç 3.10.1 yerine yukarıda verdiğimiz teoremleri kullanarak elde edilir. ■
Şimdi artık tam çözümün kararlılığını elde edebiliriz.
Teorem 3.10.1 Eğer (3.7.1)-(3.7.4) probleminin sürekli bir u : D → R çözümü varsa,
bu çözüm Hadamard anlamında kararlıdır. Ayrıca f ≥ 0 ise u ≥ 0 olur.
İspat u 1 ve u 2 fonksiyonları sırasıyla başlangıç ısı dağılımları f ve g ile verilen
(3.7.1)-(3.7.4) probleminin çözümleri olsunlar. Bu durumda u 1 −u 2 fonksiyonu da
(u 1 − u 2 )(x, 0) = f − g başlangıç koşullu (3.9.1)-(3.9.3) probleminin çözümü olur.
68
Bölüm 3. Isı İletim Problemine Dönüş
f − g fonksiyonunun maksimum ve minimum değerlerini sırasıyla M 0 ve m 0 ile
gösterirsek, Sonuç 3.10.2 gereği her (x, t ) ∈ D için
min {0, m 0 } ≤ (u 1 − u 2 )(x, t ) ≤ max{0, M 0 }
eşitsizliği sağlanır. Bu da çözümün başlangıç koşuluna sürekli bağımlılığını gösterir. Ayrıca bu eşitsizlikle f ≡ g alırsak çözümün tekliği de elde edilmiş olur.
Bir u çözümünün uç nokta koşullarına sürekli bağımlılığını gösterelim. U denge
durumu çözümünü veren formülü hatırlarsak, U çözümünün c 1 , c 2 ve f ’ye sürekli
bağımlı olduğu bu formüllerden açıktır. Bu durumda eğer v := u − U fonksiyonunu tanımlarsak bu fonksiyon v(x, 0) = f (x) − U (x) başlangıç koşuluyla (3.9.1)(3.9.3) probleminin bir çözümü olur. Yukarıda u 1 − u 2 fonksiyonu için yaptığımız
gibi v fonksiyonun da f − U başlangıç koşuluna sürekli bağımlılığı gösterilebilir.
Böylece, U ’dan dolayı v fonksiyonu c 1 , c 2 ve f ’ye sürekli bağımlı olur, dolayısıyla
u = U + v’de bu özelliktedir.
Son olarak f ≥ 0 ise u ≥ 0 olduğunu gösterelim. Eğer u fonksiyonu negatif değerler alsaydı bir T sayısı için D T kümesinde negatif bir minimumu olurdu. Buradan da Teorem 3.10.1 gereği bu minimumu t = 0 için alacağı sonucunu elde ederiz,
bu da f ≥ 0 olmasıyla çelişir.
■
3.11 Zamana Bağımlı Problemler
Bu tip problemler iç üretimi ve sınır koşulları zaman değişkenine bağlı olan
cu t = (κu x )x + q(x, t ),
a 1 u(0, t ) − b 1 u x (0, t ) = g (t ),
a 2 u(a, t ) + b 2 u x (a, t ) = h(t ),
u(x, 0) = f (x),
(x, t ) ∈ D için
t ≥ 0 için
t ≥ 0 için
0 ≤ x ≤ a için
biçimindeki problemlerdir. Çok genel olan bu problem için de a 1 , b 1 , a 2 ve b 2 sayıları üzerinde önceki bölümlerde gördüklerimize benzer varsayımlar vardır. Önceki
bölümlerde yaptığımız gibi çözmeye çalışırsak hemen denge durmu çözümünün
zamana bağlı olduğunu, dolayısıyla kısmi bir diferensiyel denklem olduğunu farkederiz, yine de bunun çözümü kolayca elde edilebilir. Geçici çözümü ele aldığımızda ise değişkenlere ayırma yönteminin kullanılamadığı bir probleme ulaşırız.
Fakat önceki bölümlerde kullandığımız yöntemler üzerinde küçük değişiklikler yaparak geçici çözümü araştırabiliriz ve bu durumda yine Bölüm 3.9’da ortaya koyduğumuz dokuz sorunun olumlu olarak cevaplanabilmesi koşulu altında geçici
çözümün var olacağı sonucuna varırız. Bu işlemlerin detayına girmiyoruz, ilgili
okur inceleyebilir.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
Bölüm
4
Genelleştirilmiş Fourier Serileri
Daha önce ilk kez Bölüm 3.6’da değişkenlere ayırma yöntemiyle elde edilen çözümleri sin r x ve cos r x olan, fakat buradaki r sayısının tamsayı olmadığı bir sınır değer problemiyle karşılaşmıştık. Bu durumda da Bölüm 2’de geliştirdiğimiz
Fourier serileri teorisini kullanamamıştık. Böyle bir problemle Fourier de karşılaşmış, ele aldığı ısı yayılımı problemi için trigonometrik fonksiyonların yeterli olamayacağını görmüş ve başka tür fonksiyonlar kullanmıştır, bu fonksiyonlara günümüzde Bessel fonksiyonları diyoruz. Benzer bir sorunla Ecole Polytecnique’den
Simeon Deniz Poisson (1781-1840) da karşılaşmış ve Fourier’in kullandığı Bessel
fonksiyonlarını da içeren daha genel bir fonksiyon türü kullanmıştır.
1820’li yıllarda Fourier’in etrafında bulunmuş olan, Dirichlet ve Liouville’nin
de içindiğe bulunduğu bir grup genç matematikçiden biri olan Jacques Charles
François Sturm (1803-1855) Fourier’in ısı iletimi konusundaki çalışmalarından etkilenmiş ve bu alanda çalışmaya başlamıştır. Sturm’un başlattığı ve Liouville’nin
de katkıda bulunduğu bu çalışmaların sonuçlarına bugün Sturm-Liouville teorisi
diyoruz. Bu teori yukarıdaki paragrafta bahsedilen sorunu çözen, aynı zamanda
hem Fourier’in hem de Poisson’un çözümlerini kapsayan genel bir teoridir. Biz bu
bölümde bu teoriyi kullanarak, daha önceki bölümlerde karşılaştığımız ve Fourier
serilerinin yetersiz kaldığı ısı iletim problemlerinin çözümlerini elde edeceğiz. Bu
çözümler, terimleri özel durumlarda trigonometrik fonksiyonlar olan ama genelde
öyle olması gerekmeyen sonsuz seriler olacaklar, bunlara genelleştirilmiş Fourier
serileri diyoruz.
4.1 Sturm-Liouville Problemleri
Şimdi P , Q ve R sürekli, R sıfır olmayan fonksiyonlar olmak üzere
u t = Pu xx Ru x +Qu
denklemini ele alalım, dikkat edilirse bu denklem Bölüm 3’te ele aldığımız tüm
denklemleri içerir. Eğer bu denklemin u(x, t ) = X (x)T (t ) biçiminde bir çözümü69
70
Bölüm 4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
nün var olduğunu varsayarsak
X T 0 = P X 00 T + R X 0 T +Q X T
denklemine, buradan da λ bir sabit olmak üzere
T 0 P X 00 + R X 0
=
+Q = −λ
T
X
eşitliğine varırız. Bundan elde edilecek iki denklemden biri olan
P X 00 + R X 0 + (λ +Q)X = 0
denklemi üzerinde yoğunlaşacağız. Bu denklemde P > 0 kabul edeceğiz, aksi durumda denklemi −1 ile çarparak P > 0 olmasını sağlayabiliriz. Bu denklemi daha
kolay araştırmak için önce denklemi P ile bölüp
p := e
R
R/P
fonksiyonuyla çarparsak
p X 00 + p
R 0 p
X + (λ +Q)X = 0
P
P
denklemini elde ederiz. Diğer yandan p 0 = p(R/P ) olduğunu gözlemlersek ve
q := −
pQ
P
ve r :=
p
P
olarak tanımlarsak, p > 0 ve r > 0 olmak üzere
(p X 0 )0 + (λr − q)X = 0
(4.1.1)
denklemine varmış oluruz. Bu bölümde aşağıdaki problemi araştıracağız.
[a, b] aralığında p ve r fonksiyonları sürekli olsun. Ayrıca (a, b) aralığında p
fonksiyonu sürekli türevlenebilir ve p ile r fonksiyonları pozitif değerli olsun. λ bir
sabit olmak üzere (4.1.1) denkleminin aşağıdaki iki koşulu sağlayan X : [a, b] → R
çözümlerinin bulunması problemine Sturm-Liouville problemi denir:
1. Eğer p(a) > 0 ise,
a 1 X (a) − b 1 X 0 (a) = 0
(4.1.2)
eşitliği sağlanacak şekilde, ikisi birden sıfır olmayan a 1 ve b 1 sabitleri vardır.
2. Eğer p(b) > 0 ise,
a 2 X (b) + b 2 X 0 (b) = 0
(4.1.3)
eşitliği sağlanacak şekilde, ikisi birden sıfır olmayan a 2 ve b 2 sabitleri vardır.
Bu şartlarla birlikte problem oldukça genel bir hal alır, tek uç noktada sınır
koşullarına sahip problemler dahi içerilmektedir ve sabitler üzerinde çok az varsayım vardır. İleride vereceğimiz teoremlerde gerekli ilave koşulları kullanacağız.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
71
4.1. Sturm-Liouville Problemleri
Tanım 4.1.1 İlgili Sturm-Liouville probleminin [a, b] aralığında X 6≡ 0 çözümünü
üreten her λ değerine problemin bir özdeğeri denir. İlgili X çözümüne de bir özfonksiyon denir.
Örnek 4.1.1
x 2 X 00 + x X 0 + λX = 0
denklemi ile
X 0 (1) = 0 ve X (b) = 0, b > 1
uç nokta koşullarını ele alalım. Bu durumda P = x 2 , R = x ve Q ≡ 0 olduğundan
p =e
R
dx
x
= x,
1
x
r=
ve q ≡ 0
olup problem (4.1.1) biçiminde
(x X 0 )0 + λx X = 0
X 0 (1) = 0
X (b) = 0
olarak yazılabilir. Bu denklem bir Euler diferensiyel denklemi olduğundan çözümünü elde etmek için x := e s dönüşümü yapmalıyız. Y (s) := X (e s ) olarak tanımlarsak
Y 0 (s) = X 0 (e s )e s ve Y 00 (s) = X 00 (e s )(e s )2 + X 0 (e s )e s
olacağından elimizdeki problem (yukarıdaki ikinci eşitliğin sağ tarafı x 2 X 00 + x X 0
ifadesidir)
Y 00 + λY = 0
Y 0 (0) = 0
Y (ln b) = 0
haline gelir.
λ < 0 ise genel çözüm, A ve B keyfi sabitler olmak üzere
Y (s) = Ae
p
−λ s
p
−λ s
+ B e−
biçimindedir. Sınır koşulları uygulanırsa
A −pB = 0
Ae
−λ ln b
p
−λ ln b
+ B e−
=0
denklem sistemi elde edilir ki bu sistemin A ve B için reel çözümü olmadığı açıktır. λ = 0 durumunda ise sadece Y ≡ 0 çözümü vardır ve bu da bir özfonksiyon
değildir.
Eğer λ > 0 ise genel çözüm
p
p
Y (s) = A sin λ s + B cos λ s
72
Bölüm 4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
biçimindedir.
İlk sınır koşulu uygulanırsa A = 0 olduğu görülür dolayısıyla Y (s) =
p
B cos λ s olur. Şimdi de bunda ikinci sınır koşulu uygulanırsa, özfonksiyon elde
edebilmek için B 6= 0 olması gerektiğinden
p
cos( λ ln b) = 0
eşitliğine varılır. Buradan aradığımız λ değerleri bulunur ve sonuç olarak n ∈ N
için problemin özdeğerleri
(2n − 1)2 π2
λn =
4 ln2 b
olarak, ve bunlara karşılık gelen özfonksiyonlar da
µ
¶
2n − 1
X n (x) = Yn (ln x) = cos
π ln x
2 ln b
olarak bulunmuş olur.
Örnek 4.1.2 a, h > 0 olmak üzere (0, a) aralığında
X 00 + λX = 0
hX (0) − X 0 (0) = 0
X 0 (a) = 0
Sturm-Liouville problemini ele alalım. Bir önceki örnekte olduğu gibi aşikar olmayan çözümlerin sadece λ > 0 durumunda, A ve B keyfi sabitler olmak üzere
p
p
X (x) = A sin λ x + B cos λ x
biçiminde olduğu kolaylıkla görülür. Bu durumda sınır koşulları gereği
p
hB − A λ = 0
p
p
A cos λ a − B sin λ a = 0
olur. Bu ilk eşitlikten hem A’nın hem de B ’nin sıfır olamayacağı anlaşılır, çünkü
biri sıfır olursa diğeri p
de sıfır olacak ve aşikar çözüme ulaşılacaktır. Bundan ve
ikinci eşitlikten de cos λ a 6= 0 olduğu anlaşılır (çünkü sinüs ve kosinüsün ortak
sıfırları yoktur). Böylece özdeğerler
p
h
tan λ a = p
λ
denkleminin çözümü
polan λ sayılarıdır. Her bir λn özdeğerine karşılık gelen özfonksiyon da, B = A( λn /h) olduğunu kullanarak
p
p
p
p
λn
cos λn (a − x)
X n (x) = sin λn x +
cos λn x =
p
h
sin λn a
olarak elde edilir.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
73
4.2. Özdeğerler ve Özfonksiyonlar
4.2 Özdeğerler ve Özfonksiyonlar
Şimdi daha önce Bölüm 3.9’da ortaya koyduğumuz dokuz sorudan birkaçına cevap arayacağız. Bu araştırmada aşağıdaki Lemma sıklıkla bize kolaylık sağlayacak.
Lemma 4.2.1 X 1 ve X 2 fonksiyonları bir Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonları olsunlar. Bu durumda
(i) eğer p(a) > 0 ise
X 2 (a) = C X 1 (a) ve
X 20 (a) = C X 10 (a)
olacak şekilde bir C sabiti vardır,
(ii) eğer p(b) > 0 ise
X 2 (b) = C X 1 (b) ve
X 20 (b) = C X 10 (b)
olacak şekilde bir C sabiti vardır.
İspat Eğer p(a) > 0 ise (4.1.2) eşitliği gereği
a 1 X 1 (a) − b 1 X 10 (a) = 0
a 1 X 2 (a) − b 1 X 20 (a) = 0
denklem sistemi elde edilir. Bu durumda
a 1 X 1 (a) = b 1 X 10 (a)
a 1 X 2 (a) = b 1 X 20 (a)
olduğundan bu sistemin a 1 ve b 1 için çözümünün olması için ikinci satırın birincinin sabit katı olması gerekir. Bu da (i) şıkkını kanıtlar, diğer şık da aynı şekilde
kanıtlanır.
■
Aşağıdaki teorem 1823 yılında Poisson tarafından keşfedilmiştir ve Bölüm 3.9’da
verdiğimiz (v) sorusuna cevap verir.
Teorem 4.2.1 X 1 ve X 2 fonksiyonları (4.1.1) Sturm-Liouville probleminin farklı λ1
ve λ2 özdeğerlerine karşılık gelen özfonksiyonları iseler
Z
b
a
r X1 X2 = 0
olur.
İspat
(p X 10 )0 + (λ1 r − q)X 1 = 0
(p X 20 )0 + (λ2 r − q)X 2 = 0
74
Bölüm 4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
eşitlikleri sırasıyla X 2 ve X 1 ile çarpılıp taraf tarafa çıkartılırsa
£
¤0
(λ1 − λ2)r X 1 X 2 = X 1 (p X 20 )0 − X 2 (p X 10 )0 = p(X 1 X 20 − X 1 X 20 )
eşitliğine varılır (son eşitlik kolaylıkla doğrulanailir). Buradaki tüm fonksiyonlar
integrallenebilir olduğundan
Z b
£
¤
£
¤
(λ1 −λ2 )
r X 1 X 2 = p(b) X 1 (b)X 20 (b) − X 2 (b)X 10 (b) −p(a) X 1 (a)X 20 (a) − X 2 (a)X 10 (a)
a
eşitliği sağlanır. Lemma 4.2.1 gereği bu eşitliğin sağ tarafı sıfır olacaktır, böylece
λ1 6= λ2 olduğundan istenen elde edilmiş olur.
■
Tanım 4.2.1 İntegrallenebilir herhangi iki X 1 ve X 2 fonksiyonu için eğer
Z b
r X1 X2 = 0
a
oluyorsa bu iki fonksiyona (a, b) aralığında r ağırlık fonksiyonuna göre ortogonaldir denir.
Yani yukarıda Teorem 4.2.1 ile Sturm-Liouville probleminin farklı özdeğerlerine karşılık gelen özfonksiyonların r ağırlık fonksiyonuna göre (a, b) aralığında
ortogonal olduğu kanıtlandı. Sıradaki teorem ile de en az bir sınır koşulu verilmişse her özdeğere karşılık tek bir özfonksiyonun karşılık geldiğini (sabitle çarpım
hariç) kanıtlayacağız.
Ama buna geçmeden önce not etmemiz gereken önemli bir nokta var. SturmLioville teroeminin λ ve bunun eşleniği olan λ özdeğerlerini ele alırsak, ki bunlara
karşılık gelen özfonksiyonların X ve X olacağı Sturm-Liouville denklemi ve kompleks sayıların eşlenik özellikleri kullanılarak kolayca gösterilebilir, yukarıdaki ispatta olduğu gibi
Z b
Z b
(λ − λ)
r X X = (λ − λ)
r |X |2 = 0
a
a
eşitliğine ulaşırız. Yani bunun sonucu olarak Sturm-Liouville probleminin bir özfonksiyonu varsa buna karşılık gelen özdeğer bir reel sayı olmalıdır, bu da daha
önce ortaya koyduğumuz sorulardan birine cevap verir (soru ii).
Teorem 4.2.2 p(a) + p(b) > 0 olsun. Eğer X 1 ve X 2 fonksiyonları Sturm-Liouville
probleminin bir λ özdeğerine karşılık gelen özfonksiyonlar ise, X 2 = C X 1 olacak
şekilde bir C sabiti vardır.
İspat p(a) > 0 ve C sabiti Lemma 4.2.1-(i) ile verilen sabit olsun, bu durumda
φ := X 2 −C X 1
fonksiyonu da, çözümlerin bir lineer kombinasyonu olduğundan, bir çözümdür.
Ayrıca bu çözüm (4.1.2) gereği
φ(a) = φ0 (a) = 0
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
75
4.2. Özdeğerler ve Özfonksiyonlar
başlangıç koşullarını sağlar. Fakat diferensiyel denklemler teorisinden biliyoruz ki
bu (4.1.1) denkleminin x = a noktasında hem kendisi hem de türevi sıfır olan tek
çözümü φ ≡ 0 fonksiyonudur (çözümün tekliği gereği). Eğer p(b) > 0 ise de kanıt
benzerdir.
■
Yukarıdaki teorem p(a) = p(b) = 0 ise yani her iki sınır koşulu da verilmemişse
geçerli değildir. Ayrıca q üzerinde bazı ek koşullarla özdeğerlerin pozitif olduklarını kanıtlayabiliriz.
Teorem 4.2.3 [a, b] aralığında q fonksiyonu sürekli ve negatif olmayan bir fonksiyon olsun. İlaveten
(i) p(a) > 0 ise a 1 , b 1 ≥ 0 olsun,
(ii) p(b) > 0 ise a 2 , b 2 ≥ 0 olsun.
Bu durumda Sturm-Liouville probleminin her özdeğeri için λ ≥ 0 olur. Ayrıca λ = 0
sayısının bir özdeğer olması için gerek ve yeter koşul q ≡ 0 ve p(a)a 1 = p(b)a 2 = 0
olmasıdır, bu durumda da karşılık gelen özfonksiyon sabittir.
İspat λ özdeğerine karşılık gelen özfonksiyon X olsun. (4.1.1) denklemini X ile
çarpıp düzenlersek
λr X 2 = q X 2 − (p X 0 )0 X
elde edilir ve integrasyonla
λ
Z
b
a
2
rX =
Z
b
a
2
qX −
b
Z
a
0 0
Z
(p X ) X =
b
a
¯b Z
¯
qX −pX X ¯ +
2
0
a
b
p(X 0 )2
(4.2.1)
a
eşitliğine varılır. Şimdi
¯b
¯
−p X 0 X ¯ = p(a)X 0 (a)X (a) − p(b)X 0 (b)X (b)
a
teriminin negatif olmayacağını gösterelim. (4.1.2) gereği b 1 > 0 ise
X 0 (a) =
a1
X (a)
b1
olur. Eğer p(a) = 0 ise b 1 = 0 olsa bile p(a)X 0 (a)X (a) = 0 olduğu da açıktır. Sonuç olarak (i) hipotezi gereği her durumda p(a)X 0 (a)X (a) ≥ 0 eşitsizliği sağlanır.
Benzer şekilde p(b)X 0 (b)X (b) ≤ 0 olduğu da gözterilebilir. Böylece (a, b) aralığında
p, r > 0 ve q ≥ 0 olduğundan (4.2.1) gereği λ ≥ 0 olduğu sonucuna varılır.
Eğer λ = 0 bir özdeğer ise (4.1.2) eşitliğinden q ≡ X 0 ≡ 0 olup X fonksiyonunun sabit olduğu görülür. X 6≡ 0 olduğundan (4.1.2) gereği a 1 = 0 olmalıdır yani
p(a)a 1 = 0. Ayrıca p(a) = 0 ise p(a)a 1 = 0 olacağı açıktır. p(a) > 0 ise de benzer
şekilde p(b)a 2 = 0 olduğu da görülür. Tersine, eğer q ≡ 0 ve p(a)a 1 = p(b)a 2 = 0
ise, (4.1.1)-(4.1.3) sınır değer probleminin (p X 0 )0 + λr X = 0 denklemi ve X 0 (a) = 0
ve X 0 (b) = 0 sınır koşullarından meydana gelmesi mümkündür. Bu problemin ise
76
Bölüm 4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
λ = 0 için özdeş olarak sıfır olmayan sabit bir çözümü vardır, yani λ = 0 bir özdeğerdir.
■
Bir Sturm-Liouville problemi, q negatif bir fonksiyon ise veya a 1 b 1 ≤ 0 ise elbette negatif özdeğerlere sahip olabilir.
Örnek 4.2.1 aşağıdaki Sturm-Liouville probleminin λ = −1 için sıfırdan farklı sabit bir çözümünün olduğu açıktır, yani λ = −1 sayısı bir özdeğerdir.
X 00 + (λ + 1)X = 0
X 0 (a) = 0
X 0 (b) = 0
Böylece Bölüm 3.9’da oartaya koyduğumuz sorulardan (ii), (iv), (v) ve (vii)’nin
ilk eşitsizliği olumlu olarak cevaplanmış oldu.
4.3 Özdeğerlerin Varlığı
Öncelikle değişkenlere ayırma yönteminin tamamen uygulanabilir olduğu SturmLiouville problemlerini diğerlerinden ayırmak için bir gruplama yapacağız.
Tanım 4.3.1 Eğer p(a) > 0, p(b) > 0 ise, q fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ise ve
a 1 , a 2 , b 1 , b 2 sayıları negatif değil ise bu durumda ilgili Sturm-Liouville problemine
düzgün bir Sturm-Liouville problemi denir, düzgün olmayan problemlere de tekil
(singüler) problemler denir.
Yukarıdaki tanıma göre (4.1.2) ve (4.1.3) koşulları sağlanırsa problem düzgündür.
Örnek 4.3.1 [−1, 1] aralığında hiçbir sınır koşulu verilmemiş olan
[(1 − x 2 )X 0 ]0 + λX = 0
Sturm-Liouville problemi singüler bir problemdir, çünkü p(x) = 1 − x 2 fonksiyonu
x = ±1 noktalarında sıfır olur.
Örnek 4.3.2 (a, b) aralığında tanımlanan
³
´
2
(x X 0 )0 + λx − nx X = 0
X (a) = 0
X (b) = 0
Sturm-Liouville problemi a > 0 için düzgündür. Fakat a = 0 ise x = a noktasında
hem p fonksiyonu sıfır olacağından, hem de q fonksiyonu süreksiz olacağından
problem singülerdir.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
77
4.3. Özdeğerlerin Varlığı
Uygulamalarda aşağıda tanımlayacağımız tipten problemlerle çok sık karşılaşılır.
Tanım 4.3.2 Eğer p(a) > 0 ise (4.1.1) denkleminin
X (a) = X (b) ve
X 0 (a) = X 0 (b)
koşullarını sağlayan bir X : [a, b] → R çözümünün bulunması problemine bir periyodik Sturm-Liouville problemi denir.
Örnek 4.3.3 George William Hill (1838-1914) tarafından ayın hareketleri incelenirken kullanılan ve Hill denklemi olarak adlandırılan
X 00 + (λ − q)X = 0
denklemi
X (0) = X (π) ve
X 0 (0) = X 0 (π)
sınır koşullarıyla verilirse (0, π) aralığında periyodik bir Sturm-Liouville problemi
olur.
Uygulamaların önemli bir kısmında düzgün Sturm-Liouville problemleri karşımıza çıkar ve bu tip problemleri çalışmak singüler olanlara göre daha kolaydır,
bu bölümün geri kalan kısmında sadece düzgün problemlerle ilgileneceğiz. Singüler problemler için literatürde Claude Hugo Hermann Weyl (1885-1955) tarafından
ayrıca bir teori geliştirilmiştir.
İkinci mertebeden diferensiyel denklemleri çalışırken denklemi birinci mertebeden bir sisteme çevirmek genellikle kolaylık sağlar. (4.1.1) denkleminde Y :=
p X 0 tanımını yaparsak birinci mertebeden
1
Y
p
X0
=
Y0
= (q − λr )X
(4.3.1)
(4.3.2)
diferensiyel denklem sistemine ulaşırız.
Bu denklem sistemindeki araştırmamıza şu soruyla başlayacağız: Acaba özfonksiyonların sıfırları var mı? Bu soru oldukça anlamlı bir sorudur, çünkü bir çok
uygulamada sınır koşulları sıfır noktasında verilir, yani özfonksiyonun sıfırı bulunuyorsa problemin çözümü var olabilir.
Bazı durumlarda problemi kutupsal koordinatlara taşımak işleri kolaylaştırabilir. 1926 yılında Heinz Prüfer (1896-1934) alışılmışın dışında olan X = R sin θ ve
Y = R cos θ eşitliklerini sağlayan R ve θ koordinatlarını seçmiştir. Bu yüzden
X = R sin θ ve p X 0 = R cos θ
78
Bölüm 4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
dönüşümlerine günümüzde Prüfer dönüşümleri diyoruz. Bu dönüşümleri (4.3.1)
ve (4.3.2) eşitliklerine uygularsak
R 0 sin θ + Rθ 0 cos θ
=
1
R cos θ
p
(4.3.3)
R 0 cos θ − Rθ 0 sin θ
= (q − λr )R sin θ
(4.3.4)
eşitliklerini elde ederiz. (4.3.3) eşitliğini sin θ ile (4.3.4) eşitliğini de cos θ ile çarpıp
bu eşitlikleri taraf tarafa toplarsak
µ
¶
R 1
0
R =
+ q − λr sin 2θ
(4.3.5)
2 p
eşitliğine varırız. Benzer şekilde (4.3.3) eşitliğini cos θ ile (4.3.4) eşitliğini de sin θ
ile çarpıp taraf tarafa çıkarırsak
θ0 =
1
cos2 θ + (λr − q) sin2 θ
p
(4.3.6)
eşitliğine varırız. Dikkat edilirse (4.3.6) eşitliği R’den bağımsızdır, dolayısıyla her
λ sayısı ve herhangi bir α ∈ R sayısı için bu denklemin θλ (a) = α koşulunu sağlayan tek bir θλ çözümü vardır. Şimdi bu çözümü (4.3.5) eşitliğinde yerine yazarsak,
F λ := 21 (1/p + q − λr ) olarak tanımlayarak, sabit bir λ için R λ çözümünün
R λ (x) = R λ (a)e
Rx
a
F λ (s) sin 2θλ (s)d s
biçiminde olduğunu görürüz. Burada dikkat edelim, eğer λ özdeğerine karşılık gelen özfonksiyon X λ ise, R(a) 6= 0 olacaktır, çünkü aksi durumda
0 = R λ2 (a) = X λ2 (a) = Yλ2 (a) = X λ2 (a) + p 2 (a)[X λ0 (a)]2
olurdu ve bu da X λ (a) = X λ0 (a) = 0 olmasını gerektirir ki bu durumda da X λ ≡ 0
olurdu. Sonuç olarak her x için R λ > 0 olacaktır ve X λ = R λ sin θλ çömünün sıfırlarının olması için gerek ve yeter koşul bazı k tamsayıları için θλ = kπ olmasıdır.
Özfonksiyonların sıfırlarını çalışmaya devam etmek için önce özdeğerlerin ve
özfonksiyonların varlığını kanıtlamamız gerekir. Bunun için Sturm’un mukayese
teoreminin bir versiyonu olan aşağıda vereceğimiz sonuç oldukça önemlidir.
Lemma 4.3.1 [a, b] aralığında p, q, r fonksiyonları sürekli, p fonksiyonu pozitif
değerli ve sürekli türevlenebilir olsun. Ayrıca θλ1 ve θλ2 ile (4.3.6) denkleminin sırasıyla λ = λ1 ve λ = λ2 değerlerine karşılık gelen çözümleri olsunlar. Bu durumda
eğer λ1 < λ2 ve θλ1 (a) ≤ θλ2 ise (a, b] aralığında θλ1 < θλ2 eşitsizliği sağlanır.
İspat Öncelikle sadelik açısından
ω := θλ2 − θλ1
µ
¶
1 sin2 θλ2 − sin2 θλ1
f := λ1 r − q −
p
θλ2 − θλ1
g
:= (λ2 − λ1 )r sin2 θλ1
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
79
4.3. Özdeğerlerin Varlığı
tanımlarını yapalım. (4.3.6) denklemini kullanarak
ω0
1
(cos2 θλ2 − cos2 θλ1 ) + (λ2 r − q) sin2 θλ2 − (λ1 r − q) sin2 θλ1
p
1
=
(− sin2 θλ2 + sin2 θλ1 ) + (λ2 r − q) sin2 θλ2 − (λ1 r − q) sin2 θλ1
p
µ
¶
1
= λ1 r − q −
(sin2 θλ2 − sin2 θλ1 ) + (λ2 − λ1 )r sin2 θλ2
p
= f ω+g
=
eşitliğini elde ederiz. Diğer yandan ortalama değer teoremi gereği
sin2 θλ2 − sin2 θλ1 = (sin 2θ)(θλ2 − θλ1 )
eşitliği sağlanacak şekilde bir θ ∈ (θλ1 , θλ2 ) sayısı vardır. Bundan dolayı herhangi
bir x ∈ [a, b] için θλ2 − θλ1 = 0 olsa bile bu noktada f fonksiyonunun limiti vardır.
Yani sonuç olarak f fonksiyonu [a, b] aralığında ya süreklidir, ya da sürekli olarak
genişletilebilir. Böylece ω0 = f ω + g lineer denklemi çözülürse her x ≥ a için
ω(x) = e
Rx
a
f
x
·Z
a
g (s)e −
Rs
a
f
d s + ω(a)
¸
çözümü elde edilir. Şimdi, g ’nin tanımı gereği g 6≡ 0 olmalıdır, çünkü aksi durumda
bazı k tamsayıları için θλ2 = kπ olur ki bu da (4.3.6) denklemi ile çelişir. Böylece
[a, x] alt aralığında g > 0 olur. Bundan ve ω(a) ≥ 0 olmasından dolayı, yukarıdaki
son eşitlikten ω(x) > 0 olur, x keyfi olduğundan [a, b] aralığında ω > 0 elde edilir ki
istenendir.
■
Aşağıdaki sonuçla şimdi özdeğerlerin ve özfonksiyonlarının varlığını kanıtlayacağız. Sturm’un yöntemi yerine Prüfer’in metodunu kullanacağız.
Teorem 4.3.1 Düzgün bir Sturm-Liouville probleminin sonsuz sayıda özdeğeri vardır. Ayrıca
(i) bu özdeğerler λ1 < λ2 < · · · < λn < · · · biçiminde artan bir dizi oluşturur,
(ii) λn özdeğerine karşılık gelen X n özfonksiyonunun (a, b) aralığında tam olarak (n − 1) tane sıfırı vardır ve bunlar basit sıfırlardır.
İspat İspatı özet olarak vereceğiz, bazı teknik detayları okuyucuya bırakacağız.
Eğer θλ fonksiyonu (4.3.6) denkleminin bir çözümü ise bu durumda λ sayısı (4.1.1)(4.1.3) Sturm-Liouville probleminin bir özdeğeri ve X λ = R λ sin θλ fonksiyonu da
buna karşılık gelen özfonksiyon olur. Eğer X λ fonksiyonu (4.1.2) ve (4.1.3) koşullarını sağlıyorsa
·
¸
b1
cos θλ (a)
0 = a 1 X λ (a) − b 1 X λ0 (a) = R λ (a) a 1 sin θλ (a) −
p(a)
80
Bölüm 4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
ve
0 = a 2 X λ (b) − b 2 X λ0 (b) = R λ (b)
·
b2
a 2 sin θλ (b) −
cos θλ (a)
p(b)
¸
eşitlikleri geçerlidir. Bundan dolayı x = a noktasındaki koşulun sağlanması için
(4.3.6) denkleminin θλ çözümü; a 1 = 0 ise α = π/2 ve a 1 6= 0 ise
0≤α<
π
2
ve
tan α =
b1
≥0
a 1 p(a)
olmak üzere θλ (a) = α eşitliğini sağlamalıdır (bunu dğrulayın). Benzer şekilde diğer sınır koşulunun sağlanması için bu çözümü; a 2 = 0 ise β = π/2 ve a 2 6= 0 ise
π
< β ≤ π ve
2
tan β = −
b2
≤0
a 1 p(b)
olamak üzere θλ (b) = β + (n − 1)π eşitliğini sağlamalıdır, n bir doğal sayıdır (bunu
doğrulayın).
Adi diferensiyel denklemler teorisinden θλ (b)’nin λ’ya göre sürekli olduğunu
ve Lemma 4.3.1 gereği bu fonksiyonun λ’ya göre kesin artan olduğunu biliyoruz.
Bu durumda eğer θλ (b) < π/2 olacak şekilde bir λ varsa ve λ → ∞ için θλ (b) → ∞
ise bu durumda her n ∈ N için
θλn (b) = β + (n − 1)π
ve λn < λn+1 olur, böylece (i) kanıtlanır. (Yukarıdaki iddialar doğrudur, kanıtlayın.)
Şimdi diğer önermeyi kanıtlayalım. Bir X n = R λn sin λn özfonksiyonunun bir
(a, b) aralığında bir sıfırının olması için gerek yeter koşul θλn = kπ olacak şekilde
bir k tamsayısının var olmasıydı, bu durumda da (4.3.6) eşitliği gereği bu aralıkta
θλ0 (x) > 0 olacağından θλn fonksiyonu (a, b) aralığındaki her değeri sadece bir kez
n
alır (monotonluk gereği). Diğer yandan, 0 < β ≤ π olduğundan
(n − 1)π < θλn (b) = β + (n − 1)π ≤ nπ
ve 0 ≤ θλn (a) ≤ π/2 olduğundan θλn fonksiyonu (a, b) aralığında k = 1, 2, . . . , n − 1
olmak üzere kπ değerlerini sadece birer kez alır, yani n − 1 tane sıfır vardır. Ayrıca
eğer θλn (x) = kπ ise
p(x)X n0 (x) = Yn (x) = R λn (x) cos θλn (x) 6= 0
olduğundan bu sıfırlar basittir.
■
Elbette bir özfonksiyon x = a ve x = b noktalarında ilave sıfırlara sahip olabilir.
Örnek 4.3.4 Eğer a > 0 ise daha önce Bölüm 1.4’te
X 00 + λX = 0
X (0) = 0, X (a) = 0
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
81
4.3. Özdeğerlerin Varlığı
Sturm-Liouville probleminin özdeğerlerinin ve bunlara karşılık gelen özfonksiyonlarının
n 2 π2
nπ
λn =
, X n (x) = sin
x
a2
a
olduğunu göstermiştik. Görüldüğü gibi n ≥ 2 ise özfonksiyonun (0, a) aralığında
k = 1, 2, . . . , n − 1 olmak üzere x k := ka/n noktalarındadır. Ayrıca x = 0 ve x = a
noktalarında da sıfır vardır.
Örnek 4.3.5 Eğer a > 0 ise daha önce Bölüm 3.4’ten
X 00 + λX = 0
X 0 (0) = 0, X 0 (a) = 0
probleminin özdeğerlerinin
λ1 = 0 ve λn =
(n − 1)2 π2
, n>1
a2
ve karşılık gelen özfonksiyonlarının
X 1 ≡ 1 ve X n (x) = cos
(n − 1)π
x
a
olduğunu biliyoruz. Çözümün sıfırları
x k :=
(2k − 1)a
,
2(n − 1)
k = 1, 2, . . . , n − 1
noktalarındadır, ayrıca uç noktalarda ilave sıfırlar yoktur.
Örnek 4.3.6 Pozitif a ve h sabitleri için [0, a] aralığında
X 00 + λX = 0
hX (0) − X 0 (0) = 0
X 0 (a) = 0
Sturm-Liouville problemini ele alalım. Örnek 4.1.2’den λ = λn özdeğerlerinin
p
h
tan λ a = p
λ
denkleminin kökleri olduğunu ve karşılık gelen özfonksiyonların da
p
cos λn (a − x)
X n (x) =
p
sin λn a
olduğunu biliyoruz. Aşağıdaki şekilden de anlaşılacağı gibi özdeğerler pozitif artan
bir dizi oluşturur. Bu durumda n−inci özdeğer için
(n − 1)π p
(2n − 1)π
< λn <
a
2a
82
Bölüm 4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
Şekil 4.1: Sırasıyla Örnek 4.3.4 ve Örnek 4.3.5’de verilen özfonksiyonlarının n = 10
ve a = 5 için grafiği
eşitsizliği geçerlidir.
X 1 özfonksiyonunun (0, a) aralığında hiç sıfırı yoktur, gerçekten 0 < x < a ve
p
0 < λ1 < π/2a eşitsizliklerinden
0<
p
π
λ1 (a − x) <
2
eşitsizliği elde edilebilir.
p
Fakat n > 1 için (0, a) aralığında, λn (a − x) ifadesini π/2’nin tek tamsayı katı
yapan
(2k − 1)π
x k := a − p
, k = 1, 2, . . . , n − 1
2 λn
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
83
4.3. Özdeğerlerin Varlığı
Şekil 4.2: Yukarıdaki örnekte verilen özdeğerleri gösterir, a = 3 ve h = 5 alınmıştır.
noktalarında X n özfonksiyonunun sıfırları vardır. Diğer yandan, x k ifadesi k’ya
göre azalandır, x 1/2 = a ve
p
2a λn + π
için x k = 0
k=
2π
p
şeklindedir yukarıda verdiğimiz λn ’nın aralığını belirten eşitsizlik göz önüne
alındığında bu k değerinin n−1/2 ile n arasında olduğu anlaşılır. Dolayısıyla yukarıda verdiğimiz x k sayılarını (0, a) aralığında bırakan k sayıları sadece k = 1, 2, . . . , n−
1 sayılarıdır, yani X n özfonksiyonunun (0, a) aralığında tam olarak n − 1 tane sıfırı
vardır.
Sıradaki vereceğimiz teorem Liouville tarafından kanıtlanmıştır ve bize özdeğerlerin dağılımı hakkında bilgi verir. Ayrıca daha önce ortaya koyduğumuz dokuz
sorudan birine cevap verir.
Teorem 4.3.2 (4.1.1)-(4.1.3) ile verilen düzgün Sturm-Liouville probleminin özdeğerler dizisi {λn } olsun, bu durumda
n → ∞ için
λn
→∞
n
olur.
İspat Teorem 4.3.1 ile, yeterince büyün n > 1 sayıları için θλn fonksiyonunun kesin artan olduğunu ve (a, b) aralığında θλn (x k ) = kπ olacak şekilde tam olarak n −1
tane x 1 < x 2 < · · · < x n−1 noktalarının var olduğunu kanıtladık.
Şimdi h ile θλn fonksiyonunun tersini gösterirsek, π ≤ θ ≤ (n − 1)π için geçerli
olan θ = θλn (h(θ)) eşitliğinin türevini alırsak 1 = θλ0 (h(θ)) h 0 (θ) eşitliğini elde eden
riz. Buradan da
Z (n−1)π
Z (n−1)π
1
0
b − a > x n−1 − x 1 = h [(n − 1)π] − h(π) =
dθ
h (θ) d θ =
0
θ
(h(θ))
π
π
λ
n
84
Bölüm 4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
eşitsizliğinin sağlandığı görülür. Eğer p m , q m ve r M ile [a, b] aralığında sırasıyla p
ve q fonksiyonlarının minimum değerleri ile r fonksiyonunun maksimum değerini gösterelim, θλn (h(θ)) = θ olduğunu hatırlayıp (4.3.6) eşitliğini kullanırsak
θλ0 n (h(θ)) ≤
1
cos2 θ + (λn r M − q m ) sin2 θ
pm
eşitsizliğini gözlemleriz. Bu eşitliğin sol tarafı π−periyodik olduğundan son iki eşitsizlikten
Z π
1
dθ
b − a > (n − 2)
1
2
2
0 p cos θ + (λn r M − q m ) sin θ
m
sonucuna varılır. Bir integral tablosu kullanarak
Z π
1
0
s 2 cos2 θ + t 2 sin2 θ
dθ =
π
st
olduğunu görürüz, yani
p
π(n − 2) p m
=p
b−a > q
1
λn r M − q m
p m (λn r M − q m )
π(n − 2)
eşitsizliğine varırız. Buradan da yeterince büyük λn sayıları için
λn >
q n ³ π ´2 p m
+
(n − 2)2
rM
b − a rM
olduğu sonucuna varırız ki bu durumda n → ∞ için λn /n → ∞ olduğu açıktır.
■
Örnek 4.3.7 Daha önce ele aldığımız 4.3.4-4.3.6 örneklerindeki özdeğerlerin
λn ≥
π2 (n − 1)2
a2
eşitsizliğini sağladıkları açıktır, yani n → ∞ için λn /n → ∞ olduğu açıktır.
Şimdiye kadar yaptığımız araştırmalarda, Bölüm 3.9’da ortaya koyduğumuz
soruların (vi) ve (ix) hariç hepsini olumlu olarak cevapladık. Sıradaki bölümde bu
kalan soruları da cevaplayacağız.
4.4 Genelleştirilmiş Fourier Serileri
Sturm-Liouville problemi üzerine buraya kadar elde ettiğimiz sonuçlara dayanarak Liouville, keyfi bir f : [a, b] → R fonksiyonunu düzgün bir Sturm-Liouville probleminin X n özfonksiyonlarının serisi olarak yazma problemini ele aldı. Yani problem
∞
X
f =
cn X n
n=1
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
85
4.4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
eşitliği sağlanacak şekilde c n sabitlerinin bulunması problemidir. Daha önce Fourier katsayılarını belirlerken yaptığımız gibi yukarıdaki eşitliğin geçerli olduğunu
ve serinin hem kendisinin hem de r X m ile çarpılmış halinin terim terim integrallenebilidğini varsayarsak
Z
b
a
∞
X
r f Xm =
n=1
b
Z
cn
a
r Xn Xm
eşitliğini elde edebiliriz. Teorem 4.2.1 gereği buradan da
Rb
r f Xn
c n = aR b
2
a Xn
olduğu sonucuna varırız.
Tanım 4.4.1 f : [a, b] → R integrallenebilir bir fonksiyon ve X n de (4.1.1)-(4.1.3)
düzgün Sturm-Liouville probleminin n−inci özfonksiyonu olsun. Bu durumda yukarıdaki eşitlikle tanımlanan c n sabitlerine f fonksiyonunun X n ’e göre Fourier katP
sayıları denir, ∞
n=1 c n X n serisine de f fonksiyonunun X n ’e göre Fourier serisi denir.
Yukarıda tanımlanan katsayı ve seriye literatürde Genelleştirilmiş Fourier katsayıları ve serileri de denilmektedir.
f fonksiyonunun genelleştirilmiş Fourier katsayılarının X n özfonksiyonuna bağlı
olduğu unutulmamalıdır. Fakat dikkat edilirse C n sabitleri keyfi olmak üzere X n
özfonksiyonları yerine C n X n yazılırsa ilgili Fourier katsayıları değişse de Fourier
serisi değişmeyecektir. Bu nedenle aşağıda açıklayacağımız normalleştirme işlemi
çok kullanışlıdır.
c n katsayısının tanımında paydada bulunan ifadenin kare kökünü kX n kr ile
(r = 1 ise kısaca kX k ile) gösteririz. Bu durumda
Yn :=
Xn
kX n kr
olarak tanımlanan fonksiyonlara normalleştirilmiş özfonksiyonlar denir, bu fonksiyonlar için kYn kr = 1 olacağından ilgili Fourier katsayıları
Z
cn =
b
a
r f Yn
biçiminde olur.
Yukarıda tanımlanan genelleştirilmiş Fourier serisinin ilgili fonksiyona yakınsak olduğunun eksik bir ispatını Liouville vermişti, iki kez türevlenebilen ve ilgili sınır koşullarını sağlayan fonksiyonlar için yakınsaklığın doğru ve eksiksiz bir
ispatını 1898 yılında Vladimir Andreevich Steklov (1864-1926) vermiştir. Bundan
bağımsız olarak ve tamamen farklı bir yöntemle, bazı kısıtlamalar altında yakınsaklığı 1904 yılında Davit Hilbert (1862-1942) de kanıtlamıştır, fakat bundan bir
86
Bölüm 4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
yıl sonra Hilbert’in bir öğrencisi olan Erhardt Schimdt (1876-1959) bu kısıtlamaların gereksiz olduğunu göstermiştir. Bu kısıtlamalar kaldırılarak, parçalı sürekli
bir fonksiyonun genelleştirilmiş Fourier serisinin yakınsaklığı ilk kez tam ve doğru
olarak 1904 yılunda Julius Carl Chr. Adolph Kneser (1862-1930) tarafından verilmiştir. Bu sonucu Heine’nin düzgün yakınsaklık sonucu ile birleştirerek aşağıda
ispatsız olarak veriyoruz.
Teorem 4.4.1 f ve f 0 fonksiyonları [a, b] aralığında parçalı sürekli olsunlar. Bu
durumda f fonksiyonunun (4.1.1)-(4.1.3) düzgün Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonlarına göre Fourier serisi her x ∈ (a, b) için
¤
1£
f (x+) + f (x−)
2
değerine yakınsar. Ayrıca ek olarak f fonksiyonu sürekli ve
a 1 f (a) − b 1 f 0 (a) = 0
a 2 f (b) + b 2 f 0 (b) = 0
sınır koşullarını sağlarsa, bu durumda seri [a, b] aralığında f fonksiyonuna mutlak ve düzgün olarak yakınsar.
Örnek 4.4.1 K bir sabit olmak üzere f (x) := K x fonksiyonunun Örnek 4.3.6 ile
verilen
X 00 + λX = 0
hX (0) − X 0 (0) = 0
X 0 (a) = 0
Sturm-Liouville
pprobleminin
p özfonksiyonlarına göre Fourier serisini bulalım. Özdeğerlerin tan λn a = h/ λn eşitliğini sağladığını ve özfonksiyonların da
p
cos λn (a − x)
X n (x) =
p
sin λn a
biçiminde olduğunu göstermiştik. Bu durumda f fonksiyonunun X n özfonksiyonlarına göre Fourier katsayıları
Ra
K x X n (x) d x
c n = 0R a 2
0 X n (x) d x
ile bulunur. Doğrudan hesaplamalarla
Z a
Z a
p
1
x cos λn (x − a) d x
x X n (x) d x =
p
0
sin λn a 0
"
#
p
p
Z a
x sin λn (a − x) ¯¯a
sin λn (a − x)
1
=
dx
¯ −
p
p
p
0
0
sin λn a
λn
λn
p
cos λn (a − x) ¯¯a
1
=
¯
p
λn
0
sin λn a
p
1 − cos λn a
=
p
λn sin λn a
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
87
4.4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
ve
a
Z
0
X n2 (x) d x
=
=
=
=
sin2
1
p
a
Z
λn a
0
cos2
p
λn (a − x) d x
p
λn (a − x)
dx
2
2
sin
λn a 0
"
#
p
sin 2 λn (a − x) ¯¯a
1
a+
¯
p
p
0
2 sin2 λn a
2 λn
p
p
2a λn + sin 2 λn a
p
p
4 λn sin2 λn a
1
p
Z
a
1 + cos 2
elde edilir. Böylece
cn =
p
p
λn a(1 − cos λn a)
p
p
2aλn + λn sin 2 λn a
4K sin
olup
p
p
1 − cos λn a
cos λn (a − x)
f (x) ∼ 4k
p
p
n=1 2aλn + λn sin 2 λn a
∞
X
sonucuna varılır.
Teorem 4.4.1 ile, Bölüm 3.7’de ele aldığımız genel bir sınır değer problemi için
Bölüm 3.9’da ortaya koyduğumuz dokuz sorudan (vi) sorusunu olumlu olarak cevaplamış olduk. Son olarak, eğer λ1 = 0 ise Teorem 4.2.3 gereği a 1 = a 2 = 0 ve X 1
özfonksiyonu sabit olur. Fakat bu durumda, r ≡ c olmak üzere
Ra
¶
µZ a
Z a
c( f −U )X 1
X1
cU
c
f
−
=
c1 = 0 R a
2
kX 1 k2c 0
0
0 c X1
olur ve bu da, a 1 = a 2 = 0 olduğu zaman denge durumu çözümünün inşa edilmesindeki koşullar gereği, sıfıra eşittir. Böylece (ix) sorusu da olumlu olarak cevaplanmış oldu, dolayısıyla aşağıdaki teorem elde edildi.
Teorem 4.4.2 D kümesi; c, κ, q, f fonksiyonları ve a, a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 sabitleri
Bölüm 3.7 ile tanımlandığı gibi olsun. Bu durumda
cu t = (κu x )x + q
(x, t ) ∈ D için
a 1 u(0, t ) − b 1 u x (0, t ) = c 1 ,
t ≥ 0 için
a 2 u(a, t ) + b 2 u x (a, t ) = c 2 ,
t ≥ 0 için
u(x, 0) = f (x),
0 ≤ x ≤ a için
sınır değer problemi Hadamard anlamında iyi tanımlıdır. Ayrıca eğer U fonksiyonu
bu problemin denge durumu çözümüyse; λn ile X n
(κX 0 )0 + λc X = 0
a 1 X (0) − b 1 X 0 (0) = 0
a 2 X (a) + b 2 X 0 (a) = 0
88
Bölüm 4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
düzgün Sturm-Liouville probleminin özdeğerleri ve karşılık gelen özfonksiyonlarıysa; ve c n de f −U fonksiyonunun X n ’e göre n−inci Fourier katsayısıysa, bu durumda
∞
X
c n e −λn t X n (x)
n=1
serisi t → ∞ için v(x, t ) → 0 ve u = U + v koşullarını sağlayan bir v : D → R fonksiyonuna yakınsar (buradaki u fonksiyonu yukarıdaki sınır değer probleminin çözümüdür).
Bu bölümde düzgün Sturm-Liouville problemleri için özdeğerlerin ve özfonksiyonların varlığını kanıtladık. Fakat bu özdeğer ve özfonksiyonların nasıl hesaplanacağı da ayrı bir problemdir, çünkü (4.1.1) diferensiyel denklemini çok özel durumlar haricinde (Euler tipi bir denklem olması veya sabit katsayılı olması gibi)
çözemiyoruz. Yine de özdeğerlerin yaklaşık olarak belirlenmesi için bazı yöntemler mevcut, bunlardan bir tanesini ispatsız olarak vererek bu bölümü kapatıyoruz.
Teorem 4.4.3 D f ile kendisi sürekli ve ikinci mertebeden türevi parçalı sürekli olan,
ayrıca a 1 f (a) − b 1 f 0 (a) = 0 ile a 2 f (b) + b 2 f 0 (b) = 0 eşitliklerini sağlayan tüm f
fonksiyonlarının kümesini gösterelim. Bu durumda (4.1.1)-(4.1.3) düzgün SturmLiouville probleminin ilk özdeğeri olan λ1 sayısı
Rb
[q f − (p f 0 )0 ] f
R( f ) := a
k f k2r
ile tanımlanan R( f ) ifadesinin D f kümesi üzerindeki minimum değeridir, ve bu
minimum değer f = X 1 ’de oluşur.
Örnek 4.4.2 Teorem 4.4.3 sonucunu kullanmak için R( f ) ifadesinin minimumunun hesaplanması gerekir, bunun için matematikte bazı yöntemler mevcuttur fakat bunlar konumuzun dışındadır. Şimdi biz sadece verilen koşulları sağlayan bir
f fonksiyonu için R( f ) ifadesini hesaplayacağız, elde edeceğimiz değer λ1 için bir
üst sınır olacaktır. Ayrıca, ilgili minimum değer f = X 1 için oluşacağından ve Teorem 4.3.1 gereği (a, b) aralığında X 1 özfonksiyonunun hiç sıfırı olmadığından, gerekli minimum değerine yaklaşık bir değer elde etmek için bu aralıkta sıfırı olmayan bir f fonksiyonu seçmek mantıklı görünüyor.
Şimdi
X 00 + λX = 0
X (0) = 0
X (10) = 0
probleminin ilk özdeğerinin λ = π2 /100 olduğunu biliyoruz. Bunu yukarıdaki teoremle doğrulamak için f (x) := x(10 − x) seçelim, bu fonksiyon ilgili sınır koşullarını sağlar ve (0, 10) aralığında sıfırı yoktur. Bu durumda
R 10
R 10
− 0 f 00 f
(20x − 2x 2 )d x
R( f ) = R 10
= R010
= 0.1
2
2 2
0 f
0 (10x − x ) d x
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
4.4. Genelleştirilmiş Fourier Serileri
elde edilir, bu da π2 /100 değerine oldukça yakın bir değerdir.
89
Bölüm
5
Ortogonal Sistemler
Bu bölümde Fourier serilerini trigonometrik fonksiyonlardan ve Sturm-Liouville
probleminin özfonksiyonlarından daha genel olan fonksiyon sınıfları için tanımlayacağız.
5.1 Fourier Serileri ve Parseval Özdeşliği
Genelleştirilmiş Fourier serileri David Hilbert (1862-1943) tarafından 1904 ve 1906
yılları arasında bazı çok önemli çalışmalarda kullanıldı. Fakat Hilbert çalışmalarında Sturm-Liouville problemlerinin özfonksiyonlarını kullanmayarak Fourier serilerini bir adım daha genelleştirdi. Bir önceki bölümden hatırlayacak olursak Fourier katsayılarının hesaplanmasında ihtiyacımız olan kritik özellik ortogonallikti,
yani
Z b
r Xm Xn = 0
m 6= için
a
olmasıydı. Hilbert, özfonksiyon olup olmadıklarına bakmaksızın bu özelliği sağlayan fonksiyonların bir kümesini ele aldı.
Böyle bir kümeyi düzgün bir şekilde tanımlamak için aşağıdaki gösterimleri
sıklıkla kullanacağız. Eğer f ve g fonksiyonları (a, b) aralığında integrallenebilir
ise ve r de bu aralıkta sürekli ve pozitif olarak verilmiş bir fonksiyon ise f ile g
fonksiyonlarının iç çarpımı
Z b
⟨ f , g ⟩ :=
rfg
a
olarak, f fonksiyonunun normu da
k f k :=
q
⟨f , f ⟩
olarak tanımlanır. Bu tanımlar tamamen r fonksiyonu bağlıdır ve bu fonksiyona
ağırlık fonksiyonu denir. f , g , h integrallenebilir fonksiyonlar ve c bir sabit olmak
üzere aşağıdaki birkaç temel özellik kolaylıkla kanıtlanabilir
91
92
Bölüm 5. Ortogonal Sistemler
1. ⟨ f , g ⟩ = ⟨g , f ⟩,
2. ⟨ f + g , h⟩ = ⟨ f , h⟩ + ⟨g , h⟩,
3. ⟨c f , g ⟩ = c⟨ f , g ⟩.
© ª
Tanım 5.1.1 (a, b) aralığında integrallenebilir fonksiyonların bir ϕn dizisi
(i) m 6= n için ⟨ϕm , ϕn ⟩ = 0,
(ii) her n ∈ N için kϕn k > 0
koşullarını sağlıyorsa buna (a, b) aralığında bir ortogonal sistem denir. Ayrıca ek
olarak her n ∈ N için kϕn k = 1 oluyorsa bu sistem ortonormaldir denir.
Bir önceki bölümde bir Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonlarının ortogonal bir sistem oluşturduğunu gördük. Sırada vereceğimiz örnekler herhangi bir
Sturm-Liouville probleminden elde edilmemiştir.
Örnek 5.1.1 Her n doğal sayısı için
ϕn (x) := cos(n arccos x)
olarak tanımlanan fonksiyonlar
1
r (x) := p
1 − x2
ağırlık fonksiyonuna göre (−1, 1) aralığında bir ortogonal sistemdir. Gerçekten x =
cos t dönüşümü yapılırsa
Z 1
Z π
1
1
ϕm (x)ϕn (x) d x =
cos mt cos nt d t
p
p
2
2
−1 1 − x
0
Z π 1 − cos t
cos mt cos nt d t
=
0
olduğu görülür ki m 6= n için bu integral sıfıra eşittir. Burada eşitliğin solundaki
integralden görüleceği gibi integrand x = ±1 için tanımsızdır dolayısıyla integral
genelleştirilmiş bir integraldir, genelleştirilmiş integralin limit tanımını kullanarak
okuyucu bu eşitliği doğrulamalıdır. Bu ortogonal fonksiyonların her n doğal sayısı
için birer polinom belirttiği gösterilebilir ve bu polinomlara Chebyshev polinomları denir, çünkü bu polinomlar ilk kez Pafnuti L’vovich Chebyshev (1821-1894)
tarafından tanıtılmıştır.
Örnek 5.1.2 ϕ0 : [0, 1) → R fonksiyonu ϕ0 ≡ 0 olarak tanımlansın. Ayrıca 2k biçimine sahip herhangi bir m doğal sayısı ve her n = 1, 2, . . . , m için ϕmn : [0, 1) → R
fonksiyonları

n −1
2n − 1


1,
≤x<
ise


m
2m
2n − 1
n
ϕmn (x) :=
−1,
≤x<
ise


2m
m


0,
diğer durumlarda
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
5.1. Fourier Serileri ve Parseval Özdeşliği
93
olarak tanımlansın. Bu fonksiyonların r ≡ 1 ağırlık fonksiyonuna göre ortogonal
bir sistem oluştururdukları kolayca gösterilebilir. 1910 yılında Albert Haar (18851933) tarafından tanıtılan bu fonksiyonlara Haar fonksiyonları diyoruz.
Şekil 5.1: Örnek 5.1.1’de tanıtılan Haar fonksiyonlarının bazı örnekleri.
Örnek 5.1.3 Her ortogonal sistem her ϕn yerine kϕn k−1 ϕn yazılarak normalleştirilebilir, yani ortonormal bir sisteme dönüştürülebilir. Örnek 5.1.1 ile verilen Chebyshev polinomları için
Z 1
Z π
1
2
kϕ0 k =
dx =
dt = π
p
−1 1 − x 2
0
ve n > 1 için
Z 1
Z π
cos2 (n arccos x)
π
kϕn k2 =
dx =
cos2 nt d t =
p
2
0
−1
1 − x2
94
Bölüm 5. Ortogonal Sistemler
olduğundan
r
r
r
r
1
2
2
2
ϕ0 ,
ϕ1 ,
ϕ2 , . . . ,
ϕn , . . .
π
π
π
π
fonksiyonları ortonormal bir sistem belirtir. Haar fonksiyonları için de kϕ0 k = 1 ve
Z 1
1
2
kϕmn k =
ϕ2mn =
m
0
olduğu gösterilebilir, bu durumda
p
ϕ0 , ϕ11 , . . . , mϕmn , . . .
fonksiyonları ortonormal bir sistem oluşturur.
Bu bölümde tanımladığımız ortogonal sistem kavramının ve bu bölümün devamında elde edeceğimiz teorisinin çok kullanışlı iki genelleştirilmesi vardır. Bunlardan birincisi kavramı (a, b) aralığı yerine sonsuz da olabilen aralıklara taşımaktır, bu durumda karşılaşılan genelleştirilmiş integraller dikkatlice incelenmeli ve
normun varlığı garanti altına alınmalıdır. Diğer genelleştirme ise fonksiyonları kompleks değerli kabul etmektir, bu durumda iç çarpım tanımındaki f g çarpımı f g ile
değişir ve iç çarpımın yukarıda sıralanan özelliklerden ilki ⟨ f , g ⟩ = ⟨g , f ⟩ biçimini
alır.
Biz şimdi Fourier serilerini genel ortogonal sistemler üzerine genelleştirmek
için reel değerli fonksiyonları ele alacağız.
Tanım 5.1.2 Eğer (a, b) aralığında f integrallenebilir bir fonksiyon ve {ϕn } bu aralıkta bir ortogonal sistem ise bu durumda
c n :=
1
⟨ f , ϕn ⟩
kϕn k2
sabitlerine f fonksiyonunun {ϕn } ortogonal sistemine göre Fourier katsayıları denir,
∞
X
c n ϕn
n=1
serisine de onun {ϕn } ortogonal sistemine göre Fourier serisi denir.
Örnek 5.1.4 n bir tamsayı olmak üzere {e i nx } sistemi r ≡ 1 ağırlık fonksiyonuna
göre (−π, π) aralığında ortogonaldir, ayrıca
Z π
e i nx e −i nx d x = 2π
−π
p
olduğundan dizideki her fonksiyonun normu 2π olur. Bu durumda f fonksiyonu
(a, b) aralığında reel veya kompleks değerli bir fonksiyon ise bu sisteme göre Fourier katsayıları
Z
π
cn =
f (x)e i nx d x
−π
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
5.1. Fourier Serileri ve Parseval Özdeşliği
95
biçiminde ve Fourier serisi
∞
X
c n e i nx
−∞
biçimindedir. Bu seriye f fonksiyonunun (−π, π) aralığında kompleks Fourier serisi
denir. Eğer f reel bir fonksiyon ise her n sayısı için c −n = c n olduğuna dikkat edin.
Buradan itibaren sadece reel değerli fonksiyonları ele alacağız. Temel sorumuz bir fonksiyonun Fourier serisinin kendisine yakınsak olup olmadığı sorusudur, yani
∞
X
f (x) =
c n ϕn
(5.1.1)
n=1
eşitliğinin sağlanıp sağlanmadığı sorusudur. İlk akla gelen nokta, Fourier’in de
1809 yılında dikkat çektiği gibi, {ϕn } ortogonal sisteminde bu eşitliği sağlatmaya
yetecek kadar fonksiyonun bulunamayabileceği durumudur. Örneğin
{sin x, sin 2x, . . . , sin nx, . . .}
sistemi (−π, π) aralığında ortogonaldır fakat (5.1.1) eşitliği f ≡ 1 için sağlanmaz,
çünkü bu durumda tüm Fourier katsayıları sıfır olur. Bu durumu daha yakından
görmek için şöyle bir örnek de verebiliriz. c 1 , c 2 ve c 3 ile bir p ∈ R3 noktasının koordinatlarını gösterelim. ϕ1 = (1, 0, 0), ϕ2 = (0, 1, 0) ve ϕ3 = (0, 0, 1) ortogonal vektörleri için p = (c 1 , c 2 , c 3 ) noktası
3
X
c n ϕn
n=1
biçiminde gösterilir. Fakat keyfi bir p noktası {ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 }’ten daha küçük olan bir
sistemde bu şekilde ifade edilemez, örneğin p = (0, 0, 1) noktası {ϕ1 , ϕ2 } ortogonal
sisteminde ifade edilemez. Bu örneklere benzer şekilde integrallenebilir fonksiyonlarla çalışırken {ϕn } ortogonal sistemini korrdinat sistemimiz gibi düşünebiliriz. Bu durumda Fourier katsayıları da koordinatlarımız olacaktır. Bu durumda
da {ϕn } yeteri kadar geniş bir ortogonal sistem değilse keyfi bir f fonksiyonu için
(5.1.1) eşitliği sağlanamayabilir. Gerçekten, pozitif normlu bir f fonksiyonu her
bir ϕn ile ortogonal oluyorsa onun tüm Fourier katsayıları sıfır olacağından (5.1.1)
eşitliği sağlanmaz. Bu durumda aşağıdaki tanımı yapmak anlamlıdır.
Tanım 5.1.3 Bir ortogonal sistem başka bir ortogonal sistemin bir öz alt kümesi
değise, yani her n sayısı için ⟨ f , ϕn ⟩ = 0 olması k f k = 0 olmasını gerektiriyorsa, bu
sisteme bir tam ortogonal sistem denir.
Yukarıdaki açıklamalardan genel durumda Fourier serilerinin yakınsaklığı için
ortogonal sistemin tam olmasının gerekliliği anlaşılıyor. Peki verilen bir ortogonal sistemin tam olup olmadığı nasıl anlaşılır? Bu konuda Tanım 5.1.3 fazla ipucu
96
Bölüm 5. Ortogonal Sistemler
vermez, bu soruyu cevaplamak için önce yine R2 Öklid uzayında gözlem yapalım.
Eğer p ∈ R3 noktasının orijine uzaklığını kpk ile gösterirsek Pisagor teoremi gereği
kpk2 =
3
X
kc n ϕn k2 =
3
X
c n2 kϕn k2
n=1
n=1
eşitliği sağlanır. Bu özdeşiliğin her p ∈ R3 için {ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 } sisteminden daha küçük
bir ortogonal sistemde sağlanmayacağı açıktır. Tersine, her p ∈ R3 için bu eşitlik
sağlandığından {ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 } sisteminin tam olduğu açıktır. Ayrıca bir p noktası her
ϕn vektörüne ortogonal ise bu durumda c n = p ·ϕn = 0 olacağından Pisagor teoreminden kpk = 0 olduğu görülür.
Şimdi bir f fonksiyonunun sıfır fonksiyonuna olan uzaklığını fonksiyonun normu
ile, yani
q
rf2
kf k =
ölçtüğümüzü varsayalım, bu durumda Pisagor teoreminden
∞
X
k f k2 =
c n2 kϕn k2
(5.1.2)
n=1
eşitliği elde edilir. Bu eşitliği ilk defa 1799 yılında kuvvet serileri için Marc Antoine Parseval-Deschenes (1755-1836) ifade etmiştir, günümüzde bu eşitliğe Parseval özdeşliği diyoruz. Az önce yaptığımız gözlemlerin sonucu olarak bir ortogonal sistemin tam olması için gerek ve yeter koşulun o sistemde Parseval özdeşliğinin sağlanması olduğunu düşünebiliriz, bu doğrudur. Bunun yeterlilik kısmını kolayca ispatlayabiliriz, gereklilik kısmını ispatlamak için biraz daha araştırma yapmaya ihtiyacımız var.
Teorem 5.1.1 Eğer (a, b) aralığında integrallenebilir olan her f fonksiyonu için
{ϕn } sistemine göre (5.1.2) ile verilen Parseval özdeşiliği sağlanıyorsa bu durumda
{ϕn } sistemi tamdır.
İspat Eğer {ϕn } sistemi tam değilse pozitif normlu ve her bir ϕn fonksiyonuna
ortogonal olan bir f fonksiyonu vardır. Fakat bu durumda her n için f fonksiyonunun Fourier katsayıları sıfır olacağından
0 < k f k2 =
∞
X
c n2 kϕn k = 0
n=1
çelişkisi elde edilir.
■
Bu sonuç doğrultusunda şu soruyu sorabiliriz: bir ortogonal sistem verlidiğinde, her integrallenebilir f fonksiyonu için Parseval özdeşliğinin sağlanıp sağlanmadığını nasıl söyleyebiliriz? Fakat bu durumda daha önce sorduğumuz sorudan hareket edip kolay olmayan başka bir soruya atlamış oluruz. 1883 yılında Jorgen Pedersen Gram (1850-1916) bir yaklaşım problemi üzerinde çalışırken Fourier
serileri hakkında beklenmedik bir şey keşfetti, ne yapmamız gerektiği hakkında
bize bir ipucu verecek olan bu keşife sıradaki bölümde değineceğiz.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
97
5.2. Bir Yaklaşım Problemi
5.2 Bir Yaklaşım Problemi
Verilen bir {ϕn } ortogonal sistemi ve bir N doğal sayısı için Gram şu problemi
ele aldı: ilk N tane ortogonal fonksiyonu kullanarak verilen integrallenebilir bir
f fonksiyonuna
N
X
k n ϕn
n=1
lineer kombinasyonuyla en iyi yaklaşımı sağlayan k n katsayıları nelerdir? (Aslında
Gram bu çalışmasında ortogonal değil lineer bağımsız bir sistem ele almıştı ve
bu lineer bağımsız sistemi ortogonal bir sisteme çevirmek için bir method bulmuştu, bu method daha sonra 1907 yılında Schmidt tarafından da keşfedildi.) Burada Gram bu problemi ele alırken yaklaşımdaki hatayı
°2
°
N
X
°
°
E N := ° f −
k n ϕn °
n=1
olarak tanımlamıştı, yani aradığı k n katsayıları bu E N ifadesini minimize edecek
sayılardı. Sıradaki teoremle Gram’ın elde ettiği sonucu veriyoruz.
Teorem 5.2.1 (Gram, 1883) f fonksiyonu (a, b) aralığında integrallenebilir olsun,
ayrıca {ϕn } de bu aralıkta ortogonal bir sistem olsun. Bu durumda verilen bir N
doğal sayısı için yukarıda tanımlanan E N ifadesinin minimum değeri
k f k2 −
N
X
c n2 kϕn k2
(5.2.1)
n=1
olur. Ayrıca bu minimum değere her n için k n = c n olduğunda, yani her bir k n katsayısı f fonksiyonunun (a, b) aralığında {ϕn } ortogonal sistemine göre Fourier katsayısına eşit olduğunda ulaşılır.
İspat Sabit k n sayıları için σN :=
olduğunu kullanarak
PN
n=1 k n ϕn
tanımlayalım, m 6= n için ⟨ f , ϕn ⟩ = 0
E N = k f − σN k = ⟨ f − σN , f − σN ⟩
= ⟨ f , f ⟩ − ⟨σN , f ⟩ − ⟨ f , σN ⟩ + ⟨σN , σN ⟩
= k f k2 − 2⟨ f , σN ⟩ + ⟨σN , σN ⟩
N
N
X
X
= k f k2 − 2
k n ⟨ f , ϕn ⟩ +
k n2 ⟨ϕn , ϕn ⟩
n=1
n=1
olduğu görülür. Tanım 5.1.2 gereği ⟨ f , ϕn ⟩ = c n kϕn k2 olduğundan bu eşitliğin sağ
tarafı
k f k2 +
N £
N £
N
X
X
¤
¤2 X
k n2 kϕn k2 − 2k n c n kϕn k2 = k f k2 +
k n kϕn k − c n kϕn k −
c n2 kϕn k2
n=1
n=1
n=1
98
Bölüm 5. Ortogonal Sistemler
halini alır. Bu son ifadenin minimum değerini k n = c n için alacağı açıktır, bu değer
de (5.2.1) ile verildiği gibidir.
■
Bu sonuç bize integrallenebilir bir fonksiyona yaklaşmanın en iyi yolununun
onun Fourier serisini kullanmak olduğunu söyler ki bu da oldukça ilginç ve beklenmedik bir sonuçtur.
Bu teoremin sonucu olarak artık integrallenebilir keyfi bir fonksiyona N −inci
Fourier kısmi toplamı olan s N ile yaklaşırken oluşan hata payının N → ∞ için sıfır
olmasını umabiliriz. Gerçekten Teorem 5.2.1 gereği
k f − s N k2 = k f k2 −
N
X
c n2 kϕn k2
n=1
olduğunu gördük, eşitliğin sağ tarafının N → ∞ iken sıfır olması için gerek ve yeter
koşulun Parseval özdeşliğinin sağlanması olduğu açıkça görünüyor.
Sonuç 5.2.1 f fonksiyonu (a, b) aralığında integrallenebilir, {ϕn } bu aralıkta ortogonal bir sistem ve s N de f fonksiyonunun {ϕn } sistemine göre N −inci Fourier serisi
kısmi toplamı olsun. Bu durumda N → ∞ iken k f − s N k → 0 olması için gerek ve
yeter koşul f için Parseval özdeşliğinin sağlanmasıdır.
Bu sonuç Parseval özdeşliğinin önemini açık bir şekilde gösteriyor. Buraya kadar gördüğümüz gibi bu özdeşlik hem ortogonal sistemlerin tamlığı hem de Fourier serilerinin yakınsaklığı konularında kilit öneme sahip. Bunun dışında bizim
değinmeyeceğimiz, Fourier serilerinin terim terim integrallenmesi, bazı değişik
serilerin toplamlarının hesaplanması gibi, başka problemlerin de çözümünde Parseval özdeşliğinden faydalanılır.
Daha sonra Parseval özdeşliğine döneceğiz, şimdi daha basit bir sonuç elde
edelim. Her N doğal sayısı için (5.2.1) ile verilen ifade negatif olmadığından E N ’in
minimum değeri de negatif olamaz. Ayrıca burada N keyfi olduğundan aşağıdaki
sonuç elde edilmiş olur. Bu sonuç ilk defa 1828 yılında Friedrich Wilhelm Bessel
(1784-1846) tarafından trigonometrik ortogonal sistem için kanıtlanmıştır. Bessel
eşitsizliği denilen bu sonuç Parseval özdeşliğinin kolay olan kısmıdır, bir sonraki
bölümde bu sonucu kullanarak Bölüm 3’te bıraktığımız bir eksikliği gidereceğiz.
Sonuç 5.2.2 (Bessel Eşitsizliği) f fonksiyonu (a, b) aralığında integrallenebilir ve
{ϕn } de bu aralıkta ortogonal bir sistem ise bu durumda
∞
X
c n2 kϕn k2 ≤ k f k2
(5.2.2)
n=1
eşitsizliği sağlanır.
5.3 Fourier Serilerinin Düzgün Yakınsaklığı
Çalıştığımız probleme bu bölümde kısa bir ara verip Fourier serilerinin düzgün yakınsaklığını (Teorem 3.1.2) kanıtlayacağız. Uygun bir değişken dönüşümü ile genel
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
99
5.3. Fourier Serilerinin Düzgün Yakınsaklığı
duruma geçilebileceğinden bir f : (−π, π) → R fonksiyonu için kanıt yeterli olacaktır. Bu durumda
1
, cos x, sin x, . . . , cos nx, sin nx, . . .
(5.3.1)
2
ortogonal sisteminde çalışacağız.
Teorem 5.3.1 (Heine, 1870) Kendisi sürekli ve türevi parçalı sürekli olan bir f :
[−π, π] → R fonksiyonu f (−π) = f (π) eşitliğini sağlasın. Bu durumda f fonksiyonunun (−π, π) aralığında (5.3.1) ortogonal sistemine göre Fourier serisi kendisine
düzgün yakınsaktır.
İspat Eğer her bir n ≥ 1 için |a n sin nx + b n cos nx| ≤ M n ve
şekilde M n sayıları bulabilirsek, Weierstrass-M testi gereği
P∞
n=1 M n
< ∞ olacak
∞
X
1
a0 +
(a n cos nx + b n sin nx)
2
n=1
serisinin düzgün yakınsaklığını elde etmiş oluruz.
Şimdi, keyfi r ve s reel sayıları için 0 ≤ (r − s)2 = r 2 − 2r s + s 2 olduğundan hareketle
2r s ≤ r 2 + s 2
(5.3.2)
ve buradan da
(r + s)2 = r 2 + 2r s + s 2 ≤ 2(r 2 + s 2 )
eşitsizliklerini gözlemleyelim. Bu son eşitsizlik gereği
(a n cos nx + b n sin nx)2 ≤ 2(a n2 cos2 nx + b n2 sin2 nx) ≤ 2(a n2 + b n2 )
olduğu görülür. Ayrıca bu son eşitsizlik ve (5.3.2) eşitsizliği gereği n ≥ 1 için
q
q
2
1
|a n cos nx + b n sin nx| ≤ 2(a n2 + b n2 ) <
n 2 (a n2 + b n2 ) ≤ 2 + n 2 (a n2 + b n2 )
n
n
eşitsizliği elde edilir. M n sayılarını yukarıdaki eşitsizliğin sağ tarafındaki ifade olaP
rak tanımlayalım, n12 serisi yakınsak olduğundan
∞
X
n 2 (a n2 + b n2 )
n=1
serisinin yakınsak olduğunu göstermek yeterlidir.
Şimdi, n ≥ 1 için f 0 fonksiyonunun (−π, π) aralığında Fourier katsayıları nb n
ve −na n olur, gerçekten kısmi integrasyonla
·
¸
Z
Z π
¯π
1 π 0
1
¯
f (x) cos nx d x =
f (x) cos nx ¯ +
n f (x) sin nx d x
π −π
π
−π
−π
·
¸
Z π
1
=
f (π) cos nπ − f (−π) cos(−nπ) +
n f (x) sin nx d x
π
−π
Z
n π
=
f (x) sin nx d x
π −π
= nb n
100
Bölüm 5. Ortogonal Sistemler
ve benzer şekilde
Z
1 π 0
f (x) sin nx d x = −na n
π −π
olduğu görülür. Bu durumda, (5.3.2) trigonometrik ortogonal sisteminin normu
p
π olduğundan, f 0 fonksiyonu için Bessel eşitsizliği kullanılırsa
Z
∞
X
1 π 02
2 2
2
n (a n + b n ) ≤
(f )
π −π
n=1
elde edilir ki bu da eşitliğin solundaki serinin yakınsak olduğunu gösterir.
■
5.4 Ortalamada Yakınsaklık
Gram’ın elde ettiği sonuç sonrasında 1907 yılında Ernst Fischer (1875-1959) yeni
bir çeşit yakınsaklık kavramı tanımladı.
Tanım 5.4.1 (a, b) aralığında integrallenebilir f fonksiyonlarının { f n } dizisi için
n → ∞ iken k f − f n k → 0 oluyorsa bu dizi n → ∞ iken f fonksiyonuna ortalamada
yakınsaktır denir, bu durum
l.i.m. f n = f
olarak gösterilir.
Bu tanımda l.i.m. ifadesi "limit in the means" ifadesinin kısaltılmışıdır. Bu tanım ışığında Gram’ın sonuçlarından olan Sonuç 5.2.1 aşağıdaki şekilde yeniden
ifade edilebilir.
Teorem 5.4.1 f fonksiyonu (a, b) aralığında integrallenebilir ve {ϕn } de bu aralıkta ortogonal bir sistem olsun. Bu durumda f fonksiyonunun bu ortogonal sisteme göre Fourier serisinin kendisine ortalamada yakınsak olması için gerek ve yeter koşul f fonksiyonu için Parseval özdeşliğinin sağlanmasıdır.
Artık çok önemli olan Parseval özdeşliğinin kanıtı meselesine geçebiliriz. Bunun özel bir durum olan trigonometrik ortogonal sistem için kanıtı birbirinden
bağımsız olarak 1893 yılında Charles Jean de la Vallee Poussin (1866-1962), 1896
yılında Aleksandr Mikhailovich Liapunov (1857-1918) ve 1903 yılında Adolf Hurwitz (1859-1919) tarafından verilmiştir.
Biz şimdi kanıtı daha genel olarak
(p X 0 )0 + (λr − q)X = 0
a 1 X (a) − b 1 X 0 (a) = 0
a 2 X (b) + b 2 X 0 (b) = 0
düzgün Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonları tarafından oluşturulan ortogonal sistemde vereceğiz. Bu kanıtı detaya girmeden verip teknik detayları okuyucuya bırakacağız, ayrıca Sturm-Liouville problemleriyle bağlantılı olmayan keyfi
ortogonal sistemler için kanıt bir sonraki bölümde Riesz-Fischer teoreminin kanıtıyla verilmiş olacak.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
101
5.4. Ortalamada Yakınsaklık
Teorem 5.4.2 f : [a, b] → R integrallenebilir bir fonksiyon ve {X n } de [a, b] aralığında düzgün bir Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonlarının dizisi olsun. Bu
durumda
∞
X
c n2 kX n k2
k f k2 =
n=1
Parseval özdeşliği sağlanır ve f fonksiyonunun {X n } sistemine göre Fourier serisi f
fonksiyonuna ortalamada yakınsar.
İspat Aşağıdakilerin sağlandığını varsayalım:
1. f fonksiyonuna yeterince küçük η > 0 için [a, a + η) ∪ (b − η, b] aralığında
özdeş olarak sıfır olan parçalı sürekli bir g fonksiyonu ile istenilen yakınlıkta
yaklaşılabilsin.
2. Köşeleri yuvarlayarak, g fonksiyonuna C 1 sınıfından olan ve h(a) = h(b) =
h 0 (a) = h 0 (b) = 0 koşulunu sağlayan bir h fonksiyonuna istenilen yakınlıkta
yaklaşılabilsin.
3. Yeterince büyük N sayısı için, h fonksiyonuna f ’in {X n }’e göre N −inci Fourier kısmi toplamı ile istenilen yakınlıkta düzgün olarak yaklaşılabilsin.
4. N → ∞ iken k f − h N k → 0 olsun.
PN
Bu kabuller sonucunda, h N terimi n=1
k n X n biçimine sahip olduğuna dikkat
ederek, f ’in {X n }’e göre N −inci Fourier kısmi toplamını s N ile gösterirsek Teorem
5.4.1 gereği
0 ≤ k f − s N k2 ≤ k f − h N k2
olduğu görülür. Böylece l.i.m.s N = f elde edilir ve f fonksiyonu {X n }’e göre Parseval özdeşliğini sağlar. Bu durumda kanıtı tamamlamak için yukarıdaki dört varsayımın sağlandığı gösterilmelidir, bunlar okuyucuya bırakılmıştır.
■
Bu sonucu Teorem 4.4.1 ile karşılaştırısak şunu farkederiz: integrallenebilir bir
fonksiyonun Fourier serisi için ortalamada yakınsaklık her zaman sağlanır, fakat
noktasal yakınsaklık için bazı ek koşullar gereklidir.
Aşağıdaki sonuç ile Teorem 5.4.2’in trigonometrik ortogonal sistem için ifadesini veriyoruz, kanıtı da Teorem 5.4.2’in detaylı kanıtından kolaylıkla görülebilir.
Teorem 5.4.3 f : (−π, π) → R integrallenebilir fonksiyonunun bu aralıktaki Fourier serisi
∞
X
1
a0 +
(a n cos nx + b n cos nx)
2
n=1
olsun. Bu durumda
1
π
Z
π
∞
X
1
(a n2 + b n2 )
f 2 = a 02 +
2
−π
n=1
Parseval özdeşliği sağlanır, (5.3.1) ortogonal sistemi tamdır, ve yukarıdaki Fourier
serisi f fonksiyonuna ortalamada yakınsaktır.
102
Bölüm 5. Ortogonal Sistemler
Elbette verilen ortogonal sistem bir Sturm-Liouville probleminden elde edilmemişse yukarıdaki ispatlar geçerli değildir, bu durumda verilen sistemin özelliklerine göre farklı ispat yöntemleri geliştiririlebilir. Örneğin Haar fonksiyonlarının
oluşturduğu ortogonal sistem için aşağıdaki sonuç kanıtlanabilir.
Teorem 5.4.4 Eğer f fonksiyonu [0, 1) aralığında integrallenebilir ise, bu durumda
Haar ortogonal sistemine göre f fonksiyonu için Parseval özdeşliği sağlanır.
5.5 Riesz-Fischer Teoremi
Daha önce Teorem 5.4.2 ile integrallenebilir bir fonksiyonun Fourier serisinin yakınsaklığını düzgün bir Sturm-Liouville probleminin özfonksiyonlarına göre kanıtlamıştık. Bu bölümde bu yakınsaklığı keyfi bir {ϕn } ortogonal sistemine göre
kanıtlayacağız.
Bir fonksiyonun bir ortogonal sisteme göre Fourier serisinin yakınsak olabilmesi için en azından bu sistemde yeteri kadar fonksiyon bulunması, yani sistemin
tam olması gerekiyordu. Fakat doğal olarak akla gelen diğer bir soru da, integrallenebilir fonksiyonlar uzayının bu yakınsama için yeterince geniş olup olmadığıdır, yani keyfi verilen c n sayılarını Fourier serisi katsayıları olarak kabul eden integrallenebilir bir fonksiyon her zaman var mıdır? Bu soruyu ilk soran ve çözen
Frigyes Riesz (1880-1956) oldu. Riezs gösterdi ki Riemann anlamında integrallenebilen fonksiyonların uzayı bu anlamda yeterli değil, fakat [a, b] aralığında Lebesgue anlamında karesi integrallenebilir fonksiyonların uzayı yeterlidir. Bu uzayı
L 2 (a, b) ile gösteririz, fonksiyonunun karesinin integrallenebilmesi normunun tanımlı olması için gereklidir ve kendisinin integrallenebilmesi yetmez. Gerçekten
p
f (x) = 1/ x fonksiyonu (0, 1) aralığında Lebesgue anlamında integrallenebilirdir
fakat karesi öyle değildir, genel durumdu Lebesgue anlamında integrallenebilen
fonksiyonların çarpımının da integrallenebilmesi gerekmez.
Bu sonucun kanıtı önce 1907 yılında ölçü teorisi argümanlarıyla Riesz tarafından verildi, bundan bir kaç ay sonra Fischer ise L 2 uzayının tam olduğunu kanıtladı. Bu durumda Riesz’in teoremi Fischerin teoreminin bir sonucu oluyordu,
bundan dolayı bu sonuç Riesz-Fischer teoremi olarak bilinir. Biz burada sadece bu
teoremin nasıl Fischer’in teoreminin bir sonucu olduğunu göstereceğiz, okuyucunun L 2 (a, b) uzayının yarımetrik yapısını bildiğini varsayıyoruz.
Teorem 5.5.1 (Riesz-Fischer Teoremi) {ϕn } sistemi L 2 (a, b) uzayında ortogonal olP
2
2
sun, ayrıca {c n } dizisi de ∞
n=1 c n kϕn k serisi yakınsak olacak şekilde olsun. Bu durumda L 2 (a, b) uzayında Fourier katsayıları c n sayıları olan bir f fonksiyonu vardır
ve
∞
X
k f k2 =
c n2 kϕn k2
n=1
Parseval özdeşliği sağlanır. Ayrıca eğer {ϕn } tam ise L 2 (a, b) uzayında böyle tek bir
f fonksiyonu vardır.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
103
5.5. Riesz-Fischer Teoremi
İspat Şimdi
N
X
s N :=
c n ϕn
n=1
olarak tanımlayalım, bu durumda c n = ⟨ f , ϕn ⟩ olmak üzere N → ∞ için ks N − f k =
∞ olacak şekilde L 2 (a, b) uzayında bir f fonksiyonunun var olduğunu göstermek
yeterlidir. Eğer m > n keyfi doğal sayılar ise
ks m − s n k2 =
m
X
m
X
k=n+1 r =n+1
c k ⟨ϕm , ϕn ⟩ =
m
X
|c k |2
k=n+1
olduğu görülür, Bessel eşitsizliği gereği bu ifadenin sağ tarafı yeterince büyük m ve
n sayıları için keyfi bir ² > 0 sayısından küçük kalır. Bu da {s n } dizisinin bir Cauchy
dizisi olduğu anlamına gelir, dolayısıyla L 2 (a, b) uzayının tamlığı gereği N → ∞
için ks N − f k = ∞ olacak şekilde L 2 (a, b) uzayında bir f fonksiyonu vardır. Şimdi
c n = ⟨ f , ϕn ⟩ olduğunu gösterelim. N > n için ⟨s N , ϕn ⟩ = c n olduğundan hareketle,
Cauchy-Schwarz eşitsizliğini kullanırsak
¯
¯ ¯
¯ ¯
¯
¯c N − ⟨ f , ϕn ⟩¯ = ¯⟨s N , ϕn ⟩ − ⟨ f , ϕn ⟩¯ = ¯⟨s N − f , ϕn ⟩¯ ≤ ks n − f k
olduğu görülür, N → ∞ iken ks N − f k = 0 olduğundan istenen elde edilmiş olur. ■
Yukarıda tanımladığımız norm kavramını bir nevi fonksiyonların sıfıra olan
uzaklıkları gibi yorumladık. 1906 yılında Maurice Frechet (1878-1973) tarafından
genel bir uzaklık kavramı tanımladı ve Frechet bu şekilde uzaklık fonksiyonu tanımlanabilen uzayları metrik uzaylar olarak adlandırdı. Bu tanıma göre L 2 uzayı
bir metrik uzay oluyordu, o zamanlarda gündemde olan diğer bir metrik uzay ise
P∞ 2
n=0 k n < ∞ olan {k n } dizilerinin uzayı olan `2 uzayı idi. Bu metrik uzayı 1908
yılında Schmidt tanıtmıştır fakat bu uzay üzerinde ilk çalışmalar Hilbert’e aittir.
Hem Schmidt hem de Frechet L 2 ve `2 uaylarının geometrik olarak birbiriyle uyumlu
olduğunu farkettiler ve bu durum Riesz-Ficher teoreminin kanıtıyla açıklığa kavuştu. Gerçekten bir tam ortogonal sistem verildiğinde L 2 uzayındaki her f fonksiyonu ile {c n kϕn k} dizisi eşlenirse, Riesz-Fischer teoremine gereği L 2 ve `2 uzayları
arasında bire bir bir eşleme yapılmış olur.
Riesz 1913 yılında kendi yayımladığı kitabnda L 2 ve `2 uzaylarını Hilbert uzayları olarak adlandırmıştı. Bu uzaylar, daha sonra 1920’li yıllarda John von Neumann
(1903-1957) tarafından tanımlanıp aksiyomatik olarak teorisi geliştirilecek ve Hilbert uzayı olarak adlandırılacak olan daha geniş bir sonsuz boyutlu uzay kavramının özel birer örnekleri olacaklardır. Fakat teorinin sonu burada gelmemiştir, daha
sonra Riesz p > 1 olmak üzere L p uzayı kavramını tanımlayarak önemli bir genişletme yapmıştır. Bu konudaki en etkileyici çalışmalar Stefan Banach (1892-1945)
tarafından yapılmıştır ve bunların bazıları kendisinin 1932 yılında yayınladığı bir
kitapta verilmiştir.
Riesz, Frechet, Schmidt, Hilbert ve Banach’ın bu çalışmaları Lebesgue integrasyonunun önemini açık bir şekilde göstermiştir. İlk örneği Riesz-Fischer teoremiyle açığa çıkan metrik uzaylar arasındaki bağlantıların araştırılması o yıllarda
104
Bölüm 5. Ortogonal Sistemler
yeni bir matematik branşının doğmasına sebep olmuştur. Bu branşı, ilk kez Paul
P. Levy (1886-1971) tarafından adlandırıldığı şekliyle, fonksiyonel analiz olarak adlandırıyoruz.
Yrd. Doç. Dr. Süleyman ÖĞREKÇİ
Dizin
öz ısı katsayısı, 3
özdeğer, 71
özfonksiyon, 71
ısı denklemi, 4
ısı konveksiyonu, 55
ağırlık fonksiyonu, 74
Bessel eşitsizliği, 98
Chebyshev polinomları, 92
düzgün yakınsaklık, 98
Değişkenlere Ayırma Yöntemi, 7
denge durumu çözümü, 49
difüzyon denklemi, 4
Dirichlet çekirdeği, 22
enerjinin korunumu yasası, 3
Fejer çekirdeği, 32
Fejer Serisi, 32
Fejer toplamı, 32
fonksiyonel analiz, 104
Fourier, 1
Fourier katsayıları, 15
Fourier kosinüs serisi, 27
Fourier serisi, 15
Fourier sinüs serisi, 27
Fourier yasası, 4
Hilbert uzayı, 103
Hill denklemi, 77
iç çarpım, 91
kısmi diferensiyel denklem, 5
kalkülüsün temel teoremi, 4
kararlı çözüm, 7
kompleks Fourier serisi, 95
lineer denklem, 10
maksimum prensibi, 47
metrik uzay, 103
norm, 91
normalleştirilmiş özfonksiyonlar, 85
normalleştirme, 85
ortalamada yakınsaklık, 100
ortogonal fonksiyon, 74
ortogonal sistem, 92
ortonormal sistem, 92
parçalanma, 3
parçalanma normu, 3
Parseval özdeşliği, 96
Prüfer dönüşümü, 78
Riemann toplamı, 3
Riemann-Lebesgue Teoremi, 20
Riesz-Fischer teoremi, 102
geçici çözüm, 50
Genelleştirilmiş Fourier katsayıları, 85
Genelleştirilmiş Fourier serisi, 85
Gibbs olgusu, 28
Süperpozisyon İlkesi, 11
sınır değer problemi, 5
Sturm mukayese teoremi, 78
Sturm-Liouville problemi, 70
Haar fonksiyonları, 93
Hadamard anlamında iyi tanımlı, 7
tam ortogonal sistem, 95
termal iletkenlik katsayısı, 4
105