DERS 6 Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar

DERS 6
Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar - I
Önceki dersin sonunda belirttiğimiz üzere, bu dersimizde türev hesabını kolaylaştıracak kural
ve yöntemler göreceğiz. Türevin uygulaması olarak, hız kavramını, yaklaşık değer hesabını
ve özel olarak, ekonomide marjinal analizi ele alacağız.
Her hangi bir f fonksiyonunun x teki türevinin
f ' ( x) = lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
h
olduğunu anımsayalım. y = f (x) denklemi ile tanımlanmış bir f fonksiyonu için f ' ( x)
yerine aşağıdaki gösterimler de kullanılır:
y' ,
dy
dx
,
df ( x)
,
dx
d
( f ( x ) ) , Dx ( f ( x ) ) .
dx
6.1. Sabit Fonksiyonun Türevi. Önceki dersin sonunda bir örnekte görmüş olduğumuz gibi,
herhangi bir c reel sayısı için f(x) = c denklemi ile tanımlanan sabit fonksiyonun türevi
f ' ( x) = lim
h→0
f ( x + h) − f ( x )
c−c
= lim
=0
h →0
h
h
olarak elde edilir. Çünkü, f ( x + h) = f ( x) = c olup x deki değişim y = f (x) de herhangi
bir değişime neden olmamaktadır. Bulunan ifade diğer gösterimle yazılırsa şu formül elde
edilir:
d
(c) = 0.
dx
Türev Hesabı ve L’Hospital Kuralı
…..……………………………………………..
96
Örnek 1. f(x) = 5 denklemi ile tanımlanan sabit fonksiyonun türevi f´(x) = 0 denklemi
ile verilir. Diğer gösterimle,
d
(5) = 0 .
dx
6.2. Kuvvet Fonksiyonunun Türevi. n sıfırdan farklı bir reel sayı olmak üzere f(x) = xn
denklemi ile tanımlanan fonksiyona kuvvet fonksiyonu denir. Türev tanımından, kuvvet
fonksiyonunun türevi f´(x) = nxn-1 olarak elde edilir. n doğal sayı olunca bu formülü
kanıtlamak çok kolaydır:
lim
h →0
f ( x + h) − f ( x )
( x + h) n − x n h[( x + h) n −1 + ( x + h) n − 2 ) x + ( x + h) n − 3 x 2 + L + x n −1 ]
= lim
=
h→0
h
h
h
n −1
n−2
n −3 2
= lim ( x + h) + ( x + h) ) x + ( x + h) x + L + x n −1 = nx n −1
h→0
Kuvvet fonksiyonunun türevi ile ilgili formül diğer gösterimle yazılırsa şu biçimi alır:
d n
( x ) = nx n −1.
dx
Örnek 1. f(x) = x5
⇒ f´(x) = 5 x4
;
d −2
( x ) = −2 x − 2−1 = −2 x −3 .
dx
Örnek 2. Karekök fonksiyonunun türevini önceki derste tanım kullanarak hesaplamıştık.
Şimdi kuvvet fonksiyonu olarak
d
dx
Örnek 3.
f ( x) =
( x ) = dxd ⎛⎜⎜ x
⎝
1
2
⎞ 1 −1
⎟= x 2 = 1 = 1 .
1
⎟ 2
2 x
⎠
2x 2
1
denklemi de bir kuvvet fonksiyonu tanımlar:
x
yısıyla
( )
d ⎛ 1 ⎞ d −1
1
x = −1x − 2 = − x − 2 = − 2 .
⎜ ⎟=
dx ⎝ x ⎠ dx
x
Örnek 4.
d −3
(
x ) = −3x − 3−1 = −5 x − 4
dx
,
d 3
(
x ) = 5 x 3−1 = 5 x 2 .
dx
f ( x) =
1
= x −1 . Dolax
Ders 6 ……………………………………………………………………………………..
97
6.3. Bir Sabit ile bir Fonksiyonun Çarpımının Türevi. k bir sabit ve u bir fonksiyon
olsun. Eğer u ' ( x) tanımlı ise, y = k ⋅ u (x) çarpımı olarak tanımlanan fonksiyonun türevi
y ' = k ⋅ u ' ( x)
ile verilir. Diğer gösterimle yazılırsa şu formül elde edilir:
d
(k ⋅ u ( x)) = k ⋅ u ' ( x)
dx
Örnek 1. f(x) = 3x5 ⇒ f´(x) = 3.5 x4 = 15 x4 , f(x) = 3x-2 ⇒ f´(x) = 3.(-2 )x-3 = -6x-3.
Örnek 2.
d
d
1
3
(3 x ) = 3 ( x ) = 3
=
.
dx
dx
2 x 2 x
6.4. Toplam ve Farkın Türevi.
u ve v fonksiyonlarının türevleri mevcut ise,
y = u ( x) + v( x) ve y = u ( x) − v( x) denklemleri ile tanımlanan fonksiyonların da türevleri
mevcuttur ve
d
d
(u ( x) ) + d (v( x) )
(u ( x) + v( x)) =
dx
dx
dx
,
d
d
(u ( x) ) − d (v( x))
(u ( x) − v( x)) =
dx
dx
dx
dir. Sözel olarak ifade edilirse, iki fonksiyonun toplamının türevi türevlerinin toplamına,
farkının türevi de türevlerinin farkına eşittir.
Örnek 1. f(x) = x5 + x-2 ⇒ f´(x) = 5 x4 + (-2 )x-3 . Diğer gösterimle,
(
)
( )
( )
d −2
d 5
d 5
x = 5 x 4 + (−2) x − 3 = 5 x 4 − 2 x − 3 .
x +
x + x−2 =
dx
dx
dx
Örnek 2. f(x) = x5 - x-2 ⇒ f´(x) = 5 x4 - (-2 )x-3 = 5 x4 +2x-3 . Diğer gösterimle,
(
)
( )
( )
d 5
d 5
d −2
x − x−2 =
x −
x = 5 x 4 − (−2) x − 3 = 5 x 4 + 2 x − 3 .
dx
dx
dx
Türev Hesabı ve L’Hospital Kuralı
…..……………………………………………..
98
Toplam ve farkın türevi ile ilgili kuralların ikiden çok fonksiyonun toplam ve farkı için de
geçerli olduğunu görmek kolaydır.
Örnek 3. f ( x) = x3 − 6 x 2 + 9 ⇒ f ' ( x) = 3 x 2 − 6 ⋅ 2 x + 0 = 3 x 2 + 12 x. Diğer gösterimle,
(
)
( )
( )
( )
d 2
d
d
d 3
d 3
6 x 2 + (9 ) = 3 x 2 − 6
x + 0 = 3x 2 − 12 x.
x −
x − 6x2 + 9 =
dx
dx
dx
dx
dx
Buraya kadar elde edilen sonuçlardan f ( x) = an x n + L + a2 x 2 + a1 x + a0
fonksiyonunun türevi için aşağıdaki formülü elede ederiz:
(
polinom
)
d
an x n + L + a1 x + a0 = nan x n −1 + L + 2a2 x + a1 .
dx
6.5. Türev ve Hız. Günlük yaşamda türev ile açıklanabilecek en önemli kavramlaradan biri
hız kavramıdır. Bir koordinat ekseni üzerinde hareket eden bir nesnenin x anındaki yeri
y = f(x) denklemi ile verilmişse, bu nesnenin x = a anından x = a +h anına kadar
ortalama hızı
alılına yol f (a + h) − f (a)
=
zaman
h
ve x = a anındaki anlık hızı
f ' (a) = lim
h→0
f ( a + h) − f ( a )
h
dır.
Örnek 1. y - ekseni üzerinde hareket eden bir nesnenin
olarak veriliyor. Aşağıdakileri bulunuz
a)
b)
c)
ç)
x anındaki yeri y = x3 - 6x2 + 9
x = 2 den x = 5 e kadar ortalama hız,
Anlık hız fonksiyonu,
x = 2 ve x = 5 te (anlık) hız,
Hızın sıfır olduğu zamanlar.
Çözüm. a)
f (5) − f (2) − 16 − (−7)
=
= −3
5−2
3
b) f ' ( x) = 3 x 2 − 12 x
c) f ' (2) = −12 ,
f ' (5) = 15.
ç) f ' ( x) = 0 ⇒ 3x 2 − 12 x = 0 ⇒ x = 0 veya x = 4 . Hız, x = 0 ve x = 4 anında sıfır
olur.
Ders 6 ……………………………………………………………………………………..
99
6.6. Çarpımın Türevi. u ve v fonksiyonlarının türevleri mevcut ise, y = f(x) = u(x) · v(x)
denklemi ile tanımlanan fonksiyonun türevi
f ' ( x) = u ' ( x) ⋅ v( x) + u ( x) ⋅ v' ( x
formülü ile bulunur.
Sözel ifade ile, iki fonksiyonun çarpımının türevi, birinci çarpanın türevi ile ikinci çarpanın
çarpımının ikinci çarpanın türevi ile birinci çarpanın çarpımına toplanması ile elde edilir.
Çarpımın türevi ile ilgili formülün diğer gösterimlerle yazılışları şöyledir:
y ' = u '⋅v + u ⋅ v'
Örnek 1.
(
f ( x) = (2 x − 9) ⋅ x 2 + 6 x − 5
Örnek 3.
(
)
(
⇒
⇒
(
)
)
(
)
⎛d 2
⎞
⎛d
⎞
f ' ( x) = ⎜ (2 x − 9)⎟ ⋅ x 2 + 6 x − 5 + (2 x − 9) ⋅ ⎜
x + 6x − 5 ⎟
⎝ dx
⎠
⎝ dx
⎠
2
f ' ( x) = 2 ⋅ x + 6 x − 5 + (2 x − 9) ⋅ (2 x + 6)
f ' ( x) = 6 x 2 + 6 x − 64 .
⇒
Örnek 2.
d
(u ( x) ⋅ v( x) ) = ⎛⎜ d u ( x) ⎞⎟ ⋅ v( x) + u ( x) ⋅ ⎛⎜ d v( x) ⎞⎟ .
dx
⎝ dx
⎠
⎝ dx
⎠
,
(
))
(
)
(
)
d
(x − 1) ⋅ 3x 4 − 5 = ⎛⎜ d (x − 1)⎞⎟ ⋅ 3x 4 − 5 + (x − 1) ⋅ ⎛⎜ d 3x 4 − 5 ⎞⎟.
dx
⎝ dx
⎠
⎝ dx
⎠
4
3
= 15 x + 12 x − 5 .
(
)
f ( x) = (5 x + 4) ⋅ 2 x 2 + 4 x + 7
⎛d
⎞
⎛d
⎞
⇒ f ' ( x) = ⎜ (5 x + 4)⎟ ⋅ 2 x 2 + 4 x + 7 + (5 x + 4) ⋅ ⎜
2x2 + 4x + 7 ⎟
⎝ dx
⎠
⎝ dx
⎠
2
⇒ 5 ⋅ (2 x + 4 x + 7) + (5 x + 4) ⋅ (4 x + 4)
⇒
f ' ( x) = 30 x 2 + 56 x + 51
(
(
)
(
)
)
Örnek 4. f ( x) = (5 x + 4) ⋅ x 21 + 4 x 3 + 7 x
⎛d
⎞
⎛d
⎞
⇒ f ' ( x) = ⎜ (5 x + 4)⎟ ⋅ ( x 21 + 4 x 3 + 7 x) + (5 x + 4) ⋅ ⎜ ( x 21 + 4 x 3 + 7 x) ⎟
⎝ dx
⎠
⎝ dx
⎠
21
20
3
2
⇒ f ' ( x) = 110 x + 84 x + 80 x + 48 x + 70 x + 28.
Örnek 5.
((
)(
))
(
) (
)(
)
d
x 2 − 1 ⋅ 4 x 5 − 2 = 2 x ⋅ 4 x 5 − 2 + x 2 − 1 ⋅ 20 x 4 = 28 x 6 − 20 x 4 − 4 x.
dx
Türev Hesabı ve L’Hospital Kuralı
…..……………………………………………..
100
u ( x)
denklemi
v( x)
6.7. Bölümün Türevi. u ve v fonksiyonlarının türevleri mevcut ise, f ( x) =
ile tanımlanan fonksiyonun türevi
f ' ( x) =
u ' ( x) ⋅ v( x) − u ( x) ⋅ v' ( x)
(v( x) )2
formülü ile bulunur.
Sözel olarak ifade edersek, bir kesirin türevi, o kesirin payının türevi ile paydasının
çarpımından paydasının türevi ile payının çarpımı çıkarılınca elde edilen farkın pay; kesrin
paydasının karesinin de payda olarak yazıldığı kesirdir.
İki fonksiyonun belirlediği bölümün ya da kesirin türevi ile ilgili
gösterimlerde yazılışları şöyledir:
y' =
u '⋅v − u ⋅ v'
v2
x −x
Örnek 1. f ( x) = 3
x +1
2
du
dv
−u
dx
dx .
2
v
d ⎛ u ( x) ⎞
⎜
⎟=
dx ⎜⎝ v( x) ⎟⎠
v
(
) (
,
) (
formülün değişik
)
(
)
⇒
⎛d
⎞
⎛d 2
⎞
x − x ⎟ ⋅ x3 + 1 − x 2 − x ⋅ ⎜ ( x3 + 1 ) ⎟
⎜
dx
⎝ dx
⎠
⎠
f ' ( x) = ⎝
2
3
x +1
⇒
f ' ( x) =
(
⇒ =
)
(2 x − 1)( x 3 + 1) − ( x 2 − x)(3x 2 )
( x 3 + 1) 2
− x 4 + 2 x3 + 2 x − 1
(x
(
3
)
+1
)(
2
.
) (
( )
)
Örnek 2.
d ⎛ x3 + x 2 − x ⎞ 3x 2 + 2 x − 1 ⋅ x 2 + 1 − x3 + x 2 − x ⋅ 2 x x 4 + 4 x 2 + 2 x − 1
⎟=
⎜
=
.
2
2
dx ⎜⎝ x 2 + 1 ⎟⎠
x2 + 1
x2 + 1
Örnek 3.
d ⎛ x + 1 ⎞ 1 ⋅ x 5 − x 2 + 3 − ( x + 1) ⋅ (5 x 4 − 2 x)
⎟=
⎜
2
dx ⎝ x 5 − x 2 + 3 ⎠
x5 − x 2 + 3
(
(
=
)
)
− 4 x − 5x + x + 2 x + 3
.
( x 5 − x 2 + 3) 2
5
4
2
Örnek 4. Parçalı tanımlanmış bir fonksiyonun türevine bir örnek verelim.
, x >1
⎧2 x
⎪ 2
f ( x) = ⎨ x + 1 , − 1 ≤ x ≤ 1 ⇒
⎪2 x − 2 , x < −1
⎩
⎧2 , x > 1
⎪
f ' ( x ) = ⎨2 x , − 1 < x > 1 .
⎪2 , x < −1
⎩
(
)
Ders 6 …………………………………………………………………………………….. 101
Bu fonksiyon için f ' (−1)
Örneğin,
ve
f ' (1) türevleri hesaplanmak istenirse, tanım kullanılır.
2(1 + h) − 2
f (1 + h) − f (1)
= lim
=2
h
→
0
h
h
f ' (1) = lim
h →0
dir. Benzer şekilde tanım kullanılarak f ' (−1) hesaplanmağa çalışılırsa, f ' (−1) in mevcut
olmadığı görülür.
6.8. Yaklaşık Değerler. x = a için türeve sahip bir f fonksiyonunun (a , f (a)) noktasındaki teğetinin eğiminin f ' (a) ve o noktadaki teğetin denkleminin de
y = f ' (a)( x − a) + f (a)
olduğunu biliyoruz.
a ya yakın bir a+h değeri için f (a+h) değerini düşünelim(Şekilden izleyiniz). a, a+h ye,
y
(a+h, f ´(a) h + f(a))
f(a+h)
f(a)
(a+h , f(a+h))
(a , f(a))
a
a+h
x
yani h sıfıra yaklaştıkça f nin grafiği üzerindeki (a+h , f (a+h)) noktası teğet üzerindeki
(a+h , f’ (a)h)+f(a)) noktasına yaklaşacaktır. Bu nedenle, h nin sıfıra yakın değerleri için
teğet üzerinde apsisi a+h olan noktanın ordinatı olan f´(a) h + f(a) değeri f(a+h) için
yaklaşık değer olarak alınabilir. İki değerin birbirine yaklaşık değerler olduğunu göstermek
için ≈ işaretini kullanacağız. Böylece,
f ( a + h) ≈ f ' ( a ) h + f ( a ) .
Türev Hesabı ve L’Hospital Kuralı
…..……………………………………………..
102
Geometrik olarak gözlemlediğimiz bu husus, cebirsel olarak şöyle görülebilir. Yaklaşık
oldukları kabul edilen iki değer arasındaki farkı
⎛ f ( a + h) − f ( a )
⎞
f (a + h) − f ' (a )h − f (a = h⎜
− f ' (a) ⎟
h
⎝
⎠
f ( a + h) − f ( a )
olduğunu anımsayalım. h nin sıfıra
h
f ( a + h) − f ( a )
yakın değerleri için
oranı f ' (a) ya yakın olacağından bu tür h değerleri
h
⎛ f ( a + h) − f ( a )
⎞
f (a + h) − f ' (a )h − f (a = h⎜
− f ' (a) ⎟
değerleri de sıfıra yakın
için
h
⎝
⎠
olacaktır. Dolayısıyla,
biçiminde ifade edip
f ' (a) = lim
h →0
f ( a + h) ≈ f ' ( a ) h + f ( a ) .
Örnek 1. Yukarıdaki fikri kullanarak
f ( x) = x
101 için bir yaklaşık değer bulalım. Bunun için
, a = 100 , h = 1
alınırsa,
f (a + h) = f (101) = 101 , f (a) = f (100) = 10 ,
f ' ( x) =
1
2 x
,
f ' (100) =
1
1
=
2 100 20
olur ve formülden
101 ≈
1
+ 10 = 10.05
20
elde edilir.
Örnek 2. (1.98) sayısına bir yaklaşık değer bulalım. Bunun için
3
f ( x) = x 3 , a = 2 , h = −0.02
alınırsa,
f ( a + h ) = f (1 .98 ) = (1 .98 ) , f ( a ) = 2 3 = 8 , f ' ( x ) = 3 x 2 , f ' ( 2 ) = 3 ⋅ 2 2 = 12
3
olur ve formülden
(1.98)3 ≈ 12.(−0.02) + 8 = 7.76
elde edilir.
Ders 6 …………………………………………………………………………………….. 103
6.9. Marjinal Değerler. Ekonomide ortaya çıkan fonksiyonlar için yaklaşık değer ve türev
kavramlarının ayrı bir önemi vardır. Gider fonksiyonu Gi yi ele alalım. x ürün için toplam
giderin Gi(x) ile gösterildiğini anımsarsak, x ürünü ürettikten sonra bir sonrakini, yani
x+1 inci ürünü üretmek için yapılan giderin
Gi(x+1) – Gi(x)
olduğunu görürüz.
Diğer yandan, yukarıdaki yaklaşık değer formülünü gider fonksiyonu Gi için yazalım:
Gi ( a + h) ≈ Gi ' ( a ) h + Gi ( a ) .
Bu formülde a = x , h = 1 alınırsa,
Gi ( x + 1) ≈ Gi ' ( x ) + Gi ( x ) ya da Gi ( x + 1) − Gi ( x ) ≈ Gi ' ( x )
elde edilir. Buradan görüyoruz ki, x tane üründen sonra x+1 inci ürünü üretmek için
yapılan gider yaklaşık olarak Gi´(x) tir. Bu nedenle, gider fonksiyonunun türevi olan Gi'
fonksiyonuna marjinal gider fonksiyonu denir.
Gi ' ( x) , x adet ürün üretmek için marjinal giderdir ve bu değer, x ürün üretildikten sonra
bir sonraki yani, x+1 inci ürünü üretmek için yapılan giderin yaklaşık değerini verir.
Örnek 1. Çelik kapı üreten bir firmanın aylık toplam gideri x kapı için
Gi( x) = 25000 + 500x − 0.5 x 2
YTL olarak veriliyor.
a) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz.
b) Ayda 30 kapı üretilirse toplam gider ne olur?
c) 31 inci kapının üretilmesi için yapılması gereken gideri yaklaşık olarak belirleyiniz
ve gerçek değeri ile karşılaştırınız.
Çözüm. a) Gi' ( x) = 500 − x
b) Gi(30) = 25 000 +500 . 30 -0.5 . 302 = 39 550 YTL.
c) Gi' (30) = 500 – .30 =470 bin YTL. Gi(31) = 25 000–300 . 31–0.5 . 312 =40 019.50
YTL. Gerçek gider, Gi(31) – Gi(30) = 40 019.50 – 39 550 =469.50 YTL. Gerçek gider olan
469.50 YTL yerine yaklaşık olarak 470 YTL alınmakla 0.50 YTL hata yapılmıştır.
Türev Hesabı ve L’Hospital Kuralı
…..……………………………………………..
104
Örnek 2. Bir firma küçük çiftçiler için çapa makinesi üretiyor. x adet makine üretmek için
toplam gider
Gi( x) = 30 000 + 800 x − 0.25 x 2
YTL olarak veriliyor.
a) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz.
b) Gi' (50) değerini bulunuz ve yorumlayınız.
c) 51 inci makinenin üretilebilmesi için yapılacak gerçek gideri bulunuz ve marjinal
gider ile karşılaştırınız.
Çözüm. a) Gi' ( x) = 800 − 0.5 x.
b) Gi ' (50) = 800 − (0.5)50 = 775. Bu değer, 51 inci makinenin üretilebilmesi için
yapılacak yaklaşık giderin 775 YTL olduğunu gösterir.
c) 51 inci depo için yapılacak gerçek gider
Gi(51) − Gi(50) = 30 000 + 800 ⋅ 51 − (0.25) ⋅ 512
(
− 30 000 + 800 ⋅ 50 − (0.25) ⋅ 502
)
= 70 695.96 − 69 900 = 795.96
YTL olur. 50 ürün için marjinal gider olan 775 YTL ile 51 inci ürün için gerçek gider olan
795.96 YTL arasında 20.96 YTL fark vardır.
Marjinal gelir fonksiyonu ve marjinal kâr fonksiyonu yukarıdakine benzer biçimde
tanımlanır. x ürün üretilince toplam gelir Ge(x) ve toplam kâr K(x) ile gösterilmek üzere,
marjinal gelir Ge´(x) ve marjinal kâr K´(x) olur.
x + 1 inci ürünü üretince, sadece x + 1 inci üründen elde edilen gelir
Ge(x+1) - Ge(x)
olup bunun yaklaşık değeri
Ge´(x) ≈ Ge(x+1) – Ge(x)
formülü ile verilir. Benzer biçimde, x + 1 inci üründen sağlanan kâr
K(x+1) – K(x)
dir ve bunun yaklaşık değeri
formülü ile verilir.
K´(x) ≈ K(x+1) - K(x)
Ders 6 …………………………………………………………………………………….. 105
Örnek 3. Özel olarak tasarlanmış bir MP-3 çalar p YTL den satılması durumunda ayda x
adet talep görüyor ve x ile p arasında aşağıdaki bağıntı tespit ediliyor:
x = 12 5 00 − 60 p .
a) Fiyatı gösteren p yi talep, yani x in fonksiyonu olarak ifade ediniz ve bu
fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz.
b) Gelir fonksiyonunu ifade ediniz ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz.
c) 100 cihaz satıması durumunda marjinal geliri belirleyiniz ve bu değeri
yorumlayınız.
ç) 250 cihaz satılması durumunda marjinal geliri belirleyiniz ve bu değeri
yorumlayınız.
Çözüm.
a)
x = 12 5000 − 60 p ⇒ 60 p = 12 500 − x ⇒
p=
12 500 − x
Dolayısıyla,
60
fiyat fonksiyonu ve onun tanım kümesi şöyledir:
p ( x) =
12 500 − x
60
, 0 < x < 12 500.
b) Toplam gelir, satılan ürün sayısı ile satış fiyatının çarpımıdır. Dolayısıyla, gelir
fonksiyonu
12 500 x − x 2
Ge( x) = xp( x) =
, 0 < x < 5 000
60
biçiminde elde edilir.
12 500 − 2 x
olur. Dolayısıyla, 100 cihaz
60
12 500 − 200
satılması durumunda marjinal gelir Ge' (100) =
= 205 YTL olur. O halde, 101
60
inci saattan sağlanacak gelir yaklaşık olarak 205 YTL dir.
c) Marjinal gelir fonksiyonu
Ge' ( x) =
ç) Daha önce elde edilen ifadeden, 250 saat satılması durumunda marjinal gelir
Ge' (2 50) =
12 500 − 500
= 200
60
YTL olur. O halde, 251 inci saattan sağlanacak gelir yaklaşık olarak 200 YTL dir.
Örnek 4. x adet radyolu alarm saatının satışından elde edilen kâr
K ( x) = −2 500 + 80 x − (0.02) x 2
, 0 < x < 5 000
olarak veriliyor.
a) 1 501 inci saatın satışından elde edilecek gerçek kârı bulunuz.
Türev Hesabı ve L’Hospital Kuralı
…..……………………………………………..
106
b) Marjinal kârı kullanarak 1 501 inci saatın satışından sağlanacak kârı yaklaşık
olarak belirleyiniz.
c) 2 001 inci saatın satışından elde edilecek gerçek kârı bulunuz.
ç) Marjinal kârı kullanarak 2 001 inci saatın satışından sağlanacak kârı yaklaşık
olarak belirleyiniz
Çözüm. a) 1 501 inci saatın satışından elde edilecek gerçek kâr
K (1501) − K (1500) = −2 500 + 80 ⋅ 1501 − (0.02)(1501) 2
− (2 500 + 80 ⋅ 1500 − (0.02)(1500) 2 )
= 80 − (0.02(15012 − 15002 ) = 80 − (0.02)(2 501)
= 80 − 50.02 = 29.98
YTL olur.
b) Marjinal kâr fonksiyonu
K ' ( x) = 80 − (0.04) x
ve 1 501 inci saatın satışından sağlanacak kârın yaklaşık değeri
K ' (1500) = 80 − (0.04) ⋅ 1500 = 20
YTL olur.
c) 2 001 inci saatın satışından elde edilecek gerçek kâr
K (2 001) − K (2 000) = −2 500 + 80 ⋅ 2 001 − (0.02)(2 001) 2
− (2 500 + 80 ⋅ 2 000 − (0.02)(2 000) 2 )
= 80 − (0.02(2 0012 − 2 0002 ) = 80 − (0.02)(4 001)
= 80 − 80.02 = −0.02
YTL olur. 2 001 inci saatın satışından zarar ediliyor, ancak bu zarar çok küçüktür.
ç) 2 001 inci saatın satışından sağlanacak kârın yaklaşık değeri
K ' (2 000) = 80 − (0.04) ⋅ 2 000 = 0
YTL olur.
Gider, gelir ve kâr fonksiyonlarının tümünü içeren örnekler verelim.
Ders 6 …………………………………………………………………………………….. 107
Örnek 5. Bilgisayar masası üreten bir firmanın bir ayda tanesi p YTL den x tane masa
satılabileceğini varsayarak üretim yapması durumunda fiyat talep fonksiyonu x = 750 − 0.5 p
bağıntısı ile ve x tane masanın üretimi için toplam gider Gi( x) = 12 500 + 400 x YTL
olarak veriliyor.
a) Fiyatı gösteren p yi x in fonksiyonu olarak ifade ediniz ve bu fonksiyonun
tanım kümesini belirleyiniz.
b) x tane masa satılması durumunda elde edilecek gelir Ge( x) i hesaplayınız.
Gelir fonksiyonu Ge nin tanım kümesi nedir?
c) x tane masa satılması durumunda elde edilecek kâr K ( x) i hesaplayınız. Kâr
fonksiyonu K nın tanım kümesi nedir?
ç) Marjinal gider, marjinal gelir ve marjinal kâr fonksiyonlarını bulunuz.
d) Gi' (200), Ge' (200), K ' (200) değerlerini bulunuz ve yorumlayınız.
Çözüm. a) x = 750 − 0.5 p ⇒ 0.5 p = 750 − x ⇒ p = 1500 − 2 x . Dolayısıyla, fiyat fonksiyonu ve onun tanım kümesi şöyledir:
p( x) = 1500 − 2 x , 0 < x < 750 .
p nin tanım kümesi (0,750) aralığıdır. Burada problemin doğası gereği x ve
tamsayı değerler alabilir.
p ancak
b) x tane masa satılması durumunda elde edilecek gelir (YTL olarak)
Ge( x) = x(1500 − 2 x) = 1500 x − 2 x 2
dir ve Ge nin tanım kümesi de (0,750) aralığıdır.
c) x tane masa satılması durumunda elde edilecek kâr
K ( x) = Ge( x) − Gi( x) = −12 500 + 1100 x − 2 x 2
dir. K nin de tanım kümesi (0,750) aralığıdır.
ç) Marjinal gider, marjinal gelir ve marjinal kâr fonksiyonları
Gi' ( x) = 400 ,
Ge' ( x) = 1500 − 4 x,
K ' ( x) = 1100 − 4 x
denklemleri ile verilir.
d) Gi' (200) = 400 , 201 inci masa için yapılacak yaklaşık gideri gösterir. Burada,
gider fonksiyonunun ifadesinden, her bir masa için sabit gider dışında 400 YTL gider olduğu
görülmektedir. Dolayısıyla, 200 masa üretildikten sonra, 201 inci masa için yapılacak gerçek
gider, 400 YTL dir ve bu, ilk cümlede ifade edilen yaklaşık değer ile çakışmaktadır.
Ge' (200) = 1500 − 800 = 700 , 201 inci masadan elde edilen yaklaşık geliri gösterir.
K ' (2 00) = 1100 − 800 = 300 , 201 inci masadan elde edilen yaklaşık kârı verir.
Türev Hesabı ve L’Hospital Kuralı
…..……………………………………………..
108
Örnek 6. Fiyat - Talep Denklemi x =800 – 100p ile, gider fonksiyonu Gi(x) = 500 +2x
ile ve para birimi birim para(bp) olarak verildiğine göre
a) Fiyat p yi talep x in fonksiyonu olarak ifade ediniz ve p nin tanım kümesini
belirleyiniz.
b) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz.
c) Gelir ve marjinal gelir fonksiyonlarını bulunuz, gelir fonksiyonunun grafiğini
çiziniz.
ç) Kâr ve marjinal kâr fonksiyonlarını belirleyiniz, kâr fonksiyonunun grafiğini
çiziniz.
d) Maksimum gelir, maksimum kâr hangi üretim seviyelerinde ortaya çıkar?
e) 401 inci üründen sağlanacak kârın yaklaşık değerini bulunuz .
Çözüm.
a)
p = 8 − (0.01)x
,
0 ≤ x ≤ 800
b) Gi' ( x) = 2
Gelir fonksiyonu Ge( x) = 8 x − (0.01)x 2 denklemi ile, marjinal gelir fonksiyonu Ge' ( x) = 8 − (0.02 )x denklemi ile verilir.
Ge( x) = 8 x − (0.01)x 2
ifadesinden
gelir fonksiyonunun karesel fonksiyon olduğunu görüyoruz. Gelir fonksiyonunun grafiği için
c)
8
b
h=−
=−
= 400,
2a
− 0.02
y
1600
64
b2
k =c−
= 0−
= 1600
4a
− 0.04
y = Ge(x)
den köşe noktası (400,1 600) olarak elde
edilir; x -kesişimleri
Ge( x) = 0 ⇒ 8 x − (0.01) x 2 = 0
⇒ x = 0 , x = 800
den (0,0) ve (800,0) olarak elde edilir.
Böylece gelir fonksiyonunun grafiği
yanda gösterildiği gibidir.
(0,0)
400
800
x
Ders 6 …………………………………………………………………………………….. 109
ç) Kâr fonksiyonu
(
)
K(x) = Ge( x) − Gi( x) = 8 x − (0.01)x 2 − (500 + 2 x )
= −500 + 6 x − (0.01) x 2 = −(0.01)( x − 300) + 400
2
ifadesi ile tanımlanmaktadır.
Marjinal kâr fonksiyonu
K '(x) = 6 − 0.02 x
denklemi ile verilir. Kâr fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.
y
(300,400)
(0,0)
100
500
300
x
(0,-500)
(800,-2900)
Kâr ve zarar edilen üretim seviyelerini bu grafikten görebiliyor musunuz?
d) Yukarıdaki iki grafikten kolayca görülebileceği üzere, maksimum gelir, 400 ürün
üretilince, 1600 birim para olarak gerçekleşir. Maksimum kâr, 300 ürün üretilince, 400
birim para olarak gerçekleşir.
e) 401 inci üründen sağlanacak kâr, yaklaşık olarak
K ' (400) = −(0.02 ) ⋅ 400 + 6 = −2.
YTL olacaktır. Demek ki, 401 inci üründen zarar ediliyor, ancak bu üretim seviyesinde
toplamda henüz zarara geçilmemiş olduğuna dikkât ediniz. Maksimum kâr gerçekleştikten
sonra üretilen her ürün toplam kârda düşüşe neden olmakta, bu nedenle marjinal kâr negatif
olmaktadır.
Türev Hesabı ve L’Hospital Kuralı
…..……………………………………………..
110
Yaklaşık değer ve marjinal değer uygulamasına bir örnek daha veriyoruz.
Örnek 7. Yeni basılan bir kitap
t ayda
S (t ) =
500 t
t + 30
bin adet satıyor.
a) S ' (t ) yi bulunuz.
b) S (10) ve S ' (10) değerlerini bulunuz ve yorumlayınız.
c) S ' (10) u kullanarak 11 inci ayın sonunda yapılacak satışı tahmin ediniz.
Çözüm. a) S ' (t ) =
b) S (10) =
S' (10) =
500t (t + 30) − 500t
1500
=
2
(t + 30)
(t + 30)2
5000
= 125 . Bu değer, 10 ayda 125 000 adet kitap satıldığını gösterir.
40
15 000
= 9.375 değeri de 11 inci ay boyunca yaklaşık 9 375 kitap satıldığını
1600
gösterir.
c) 10 ayda satılan kitap sayısı 125 000 adet ve 11 inci ay boyunca satılan oyun
sayısı yaklaşık 9 375 adet olduğundan, 11 inci ayın sonunda, yaklaşık
S (10) + S ' (10) ≈ 125 + 9.375 = 134.375
bin, yani 134 375 adet kitap satılır. Gerçek değer S(11) = 136.585 bin dir.
Ders 6 …………………………………………………………………………………….. 111
Problemler 6
1. Aşağıdaki türevleri hesaplayınız.
b) y = π için y´
a) f(x) = 12 için f´(x)
c) y = x5 için
dy
dx
ç)
d
(5 x 6 )
dx
d)
d
1
(2 x3 + 7 )
dx
x
e)
d ⎛⎜ 10
dx ⎜⎝ 3 x 2
⎞
⎟
⎟
⎠
f)
1 ⎞
d ⎛ 23
⎜ 3x − 5 x 3 ⎟
dx ⎝
⎠
g)
d ⎛⎜ x5 ⎞⎟
dx ⎜⎝ 15 ⎟⎠
h)
⎞
d ⎛⎜ −3
6
+ 7⎟
2x −
⎟
3 2
dx ⎜⎝
x
⎠
2. Aşağıdaki türevleri hesaplayınız.
d ⎛⎜ x5 − 4 x3 + 2 x ⎞⎟
⎟
dx ⎜⎝
x2
⎠
a) f(x) = (x2 – 3x + 4 x )(x-2) için f´(x)
b)
c) f(x) = 2x3(x2 –2) için f´(x)
ç) f ( x) =
3. f ( x) = x 3 + 2 x − 3
denklemini yazınız.
olduğuna göre
f
x2 + 2
için f´(x)
x−3
nin grafiğine (1,0) noktasında teğet olan doğrunun
4. f ( x) = ( x 3 + 3 x − 3)( x 2 + x + 1) olduğuna göre
doğrunun denklemini yazınız.
nin grafiğine (1,3) noktasında teğet olan
f
5. y=f(x) in grafiğine x = 2 de teğet olan doğrunun denklemini yazınız.
a) f ( x) = (1 + 3 x)(5 − 2 x)
b) f ( x) =
x −8
3x − 4
c) f ( x) =
x2 + 2
x−3
6. Aşağıda verilen fonksiyonların grafikleri üzerindeki hangi noktalarda teğet doğruları yataydır?
a) f ( x ) = ( 2 x − 1)3
b) f ( x ) = ( x + 3)( x 2 − 45)
c) f ( x ) = x 2 (2 x − 15)3
7. Y-ekseni üzerinde hareket eden bir nesnenin x anında (zaman saniye ile ve uzaklık santimetre ile
ölçülsün) bulunduğu noktanın ordinatı f ( x ) = 2 x 4 − 8 x 3 + 7 olarak veriliyor.
a) Anlık hız fonksiyonunu bulunuz.
b) x=2 ve x = 5 anında hızı bulunuz.
c) Hızın sıfır olduğu an(lar)ı bulunuz.
8. f (a + h) ≈ f ' (a )( x − a) + f (a) yaklaşık değer formülünü kullanarak aşağıdakiler için yaklaşık
değerler bulunuz
a)
125
b)
3
730
c) (7.998)
4
3
ç) (17)
1
4
Türev Hesabı ve L’Hospital Kuralı
…..……………………………………………..
112
9. Bir firma otomobiller için otomatik vites kutusu üretmektedir. Ayda x adet vites kutusu
üretildiği takdirde toplam gider Gi(x) = 50 000 + 600x – 0.75 x2 YTL olarak veriliyor. Buna göre
a) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz.
b) Gi´ (200) ü bulunuz ve bulduğunuz sonucu yorumlayınız.
c) 201 inci vites kutusunu üretmek için gerçek gideri hesaplayınız ve bulduğunuz sonucu
bundan önceki şıkta bulduğunuz marjinal gider ile karşılaştırınız.
10. x tane radyo satılırsa elde edilen gelir Ge(x) = 100x – 0.025x2 YTL olarak veriliyor.
a) Marjinal gelir fonksiyonunu bulunuz.
b) Ge' (1600) ve Ge' (2 500) değerlerini bulunuz ve bu değerleri yorumlayınız.
11. x tane fotograf makinesi satılırsa elde edilen kâr K(x) = -800 + 10x – 0.025x2
veriliyor.
a) Marjinal kâr fonksiyonunu bulunuz.
b) K ' (150) ve K ' (2 50) değerlerini bulunuz ve bu değerleri yorumlayınız.
YTL olarak
12. Dizüstü bilgisayar üreten bir firmanın bir ayda tanesi p YTL den x tane bilgisayar
satılabileceğini varsayarak üretim yapması durumunda fiyat talep fonksiyonu x = 300 − 0.2 p
bağıntısı ile ve x tane bilgisayarın üretimi için toplam gider Gi ( x) = 15 000 + 1000 x YTL olarak
veriliyor.
a) Fiyatı gösteren p yi x in fonksiyonu olarak ifade ediniz ve bu fonksiyonun tanım
kümesini belirleyiniz.
b) x tane bilgisayar satılması durumunda elde edilecek gelir Ge(x) i hesaplayınız. Gelir
fonksiyonu Ge nin tanım kümesi nedir?
c) x tane bilgisayar satılması durumunda elde edilecek kâr K (x) i hesaplayınız. Kâr
fonksiyonu K nin tanım kümesi nedir?
ç) Marjinal gider, marjinal gelir ve marjinal kâr fonksiyonlarını bulunuz.
d) Gi ' (50), Ge' (50), K ' (50) değerlerini bulunuz ve yorumlayınız.
13. Bir ürün üzerinde çalışan bir firma, x
varsayarsa fiyat talep fonksiyonunun
adet ürün üretip bu ürünlerin tamamını satacağını
ve gider fonksiyonunun
p = 2000 − 10 x
Gi = 24 000 + 1200 x − 5 x 2 olacağını tespit ediyor.
a) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz.
b) Gelir ve marjinal gelir fonksiyonlarını bulunuz, gelir fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
c) Kâr ve marjinal kâr fonksiyonlarını bulunuz, kâr fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ç) Maksimum gelir, maksimum kâr hangi üretim seviyelerinde ortaya çıkar?
d) 101 inci üründen sağlanacak gelirin ve kârın yaklaşık değerlerini bulunuz .
14. Bir firmanın bir ayda tanesi p YTL den x tane ürün satılabileceğini varsayarak üretim
yapması durumunda fiyat talep fonksiyonu p = 1000 − 5 x , 0 < x < 200 ve x tane ürünün üretimi
için toplam gider Gi( x) = 30 000 + 50 x YTL olarak veriliyor.
a) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz.
b) Gelir ve marjinal gelir fonksiyonlarını bulunuz, gelir fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
c) Kâr ve marjinal kâr fonksiyonlarını bulunuz, kâr fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
ç) Maksimum gelir, maksimum kâr hangi üretim seviyelerinde ortaya çıkar?
d) Gi' (90), Ge' (90), K ' (90) değerlerini bulunuz ve yorumlayınız.