Page 1 1 FONKSİYONLAR A ve B boş olmayan iki küme olmak

FONKSİYONLAR
A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A dan B ye bir f
bağıntısı bağıntısı tanımlansın.
Örnek:
f bağıntısı, A’nın her elemanını B’nin yalnız bir elemanına
eşliyor ise f bağıntısına A dan B ye fonksiyon denir ve
 
 
f  ( 2,7), ( 4,3), ( 6,1) bağıntısı fonksiyon mudur?
f : A  B şeklinde gösterilir.
Çözüm:
A kümesine tanım kümesi,
B kümesine de değer kümesi denir.
f bağıntısına göre, A daki her elemanın bir görüntüsü vardır
ve A da tanımsız eleman yoktur. fonksiyondur.
A kümesinin elemanlarının B kümesindeki eşleştiği
elemanlardan oluşan kümeye fonksiyonun görüntü kümesi
denir ve f ( A) ile gösterilir.
Uyarı
Örnek:
dir” denir.
A  2,4,6 ve B  1,3,7,9 olmak üzere f : A  B için
f : A  B fonksiyon ve ( x, y )  f ise f : x  y veya
f ( x )  y şeklinde gösterilir ve “ x in f altındaki görüntüsü y
A kümesindeki her
elemanın B kümesinde
yalnız bir tane görüntüsü
vardır. f bağıntısı
fonksiyondur.
Örnek:
 
 
f  ( 2,7), ( 4,3) bağıntısı fonksiyon mudur?
A  2,4,6,8 ve B  3,7,9,11 olmak üzere f : A  B için
Tanım kümesi
kümesi B  1,2,3,4,5 tir.


Çözüm:
A  a, b, c , d ve değer
f bağıntısına göre 6  A ve 8  A olmasına rağmen f ( 6)
ve f ( 8) tanımlı değildir. Hem f ( 6)  B hem de f ( 8)  B
olduğundan f fonksiyon değildir.
Görüntü kümesi f ( A )  2,3,4 tür.
f ( A )  B dir.
Örnek:
 
 
f  ( 2,7), ( 4,7), ( 6,7) bağıntısı fonksiyon mudur?
A  2,4,6 ve B  3,7,9,11 olmak üzere f : A  B için
Örnek:
 


f  (1, a), ( 2, b), ( 3, b), ( 4, d) bağıntısı A dan B ye ise f nin
A  1, 2, 3, 4 ve B  a, b, c , d için
Çözüm:
fonksiyon olup olmadığını belirtiniz.
f bağıntısına göre A nın her elemanının bir tek görüntüsü var
ve A da tanımsız eleman yoktur. Buna göre f fonksiyondur.
Çözüm:
A kümesinin her elemanı f bağıntısına göre yalnız bir
görüntüsü vardır. A kümesinin bir elemanı B de birden fazla
elemanla eşelenmemiştir. f fonksiyondur.
Örnek:
Not:
mudur?
A kümesindeki elemanları kişiler B kümesindeki elemanları
evler olarak düşünelim. Bağıntının fonksiyon olması için her
kişi bir eve gidecek ve bir kimse iki eve gitmeyecek ayrıca
evsiz kimse kalmayacak.
Çözüm:


f  ( x, y ) : y  3 x  5, x  R, y  R bağıntısı fonksiyon
Her x  R için y  3x  5  R olduğundan f bağıntısı bir
fonksiyondur.
1
Örnek:
Örnek:
 


f  ( 2,3), ( 4,7), ( 6,9) ise f ( 2), f ( 4),

A  2, 4, 6 ve B  3, 7, 9, 11 olmak üzere f : A  B için



A   2,1,0,1 , B  1,2,3,4,5 kümeleri veriliyor. A dan B
f ( 6) nedir?

2

ye f fonksiyonu f  ( x, y ) y  x  1 biçiminde
tanımlansın. Bu fonksiyonu inceleyelim.
Çözüm:
Çözüm:
f bağıntısındaki
2
f ( x )  x  1 ise,
( 2, 3) sıralı ikilisi f ( 2)  3,
( 4, 7) sıralı ikilisi f ( 4)  7,
2
x  2 için f ( 2)  ( 2)  1  5 tir.
( 6, 9) sıralı ikilisi ise f ( 6)  9 anlamında olduğundan
2
x  1 için f ( 1)  ( 1)  1  2 dir.
f ( 2)  3, f ( 4)  7 ve f ( 6)  9 bulunur.
2
x  0 için f ( 0)  0  1  1 dir.
Örnek:
2
x  1 için f (1)  1  1  2 dir.
 


f  ( 2,1), ( 3,1), ( 4,6) olduğuna göre f ( 2)  f ( 3)  f ( 4)
A  2,3,4 , B  1,4,5,6,8 , f : A  B ve
Bu fonksiyonun liste yöntemiyle gösterimi
kaçtır?


f  ( 2,5), ( 1,2), ( 0,1), (1,2) dir.
Çözüm:
Bu fonksiyonun şema ile
gösterimi yanda
verilmiştir.
( 2,1)  f olduğundan f ( 2)  1 dir.
( 3,1)  f olduğundan f ( 3)  1 dir.
( 4,6)  f olduğundan f ( 4)  6 dır.
Buna göre, f (2)  f (3)  f ( 4)  1  1  6  8 dir.
Değer kümesi B  1,2,3,4,5 dir.
Görüntü kümesi f ( A )  1,2,5 tir.
Örnek:

f fonksiyonunun tanım
kümesi A   2,1,0,1
dir.

 
A   1,0,1 , B  0,1 , f : A  B , f ( x )  x
2
olduğuna
Sonuç
göre, f ( 0)  f (1) in değerini bulunuz.
Çözüm:
A kümesinden B kümesine tanımlanan f bağıntısının
fonksiyon olabilmesi için,
2
x  0 için f ( 0)  0  0 dır.

Tanım kümesinde ( A da ) görüntüsü olmayan (açıkta)
eleman kalmamalı. Fakat değer kümesinde ( B de )
açıkta ( eşlenmeyen) eleman kalabilir.

Tanım kümesindeki ( A daki ) her elemanın birden fazla
görüntüsü olmamalıdır.
2
x  1 için f (1)  1  1 dir.
Buna göre, f (0)  f (1)  0  1  1 dir.
2
Örnek:
Örnek:


  
f  ( 2, a), ( 2, b), ( 3, c ), ( 4, d bağıntısını inceleyelim.
A  2,3,4 , B  a, b, c , d , f : A  B ,

f  N  N olmak üzere f  ( x, y ) x ,y  N ve y  x  5
bağıntısını inceleyelim.
y  x  5 bağıntısında tanım kümesindeki 0,1,2,3,4
elemanlarının görüntüsü yoktur. Örneğin x  1 için
y  1  5  4  N dir. Bu durumda f bağıntısı fonksiyon
değildir.
Bu bağıntı fonksiyon değildir. Çünkü f ( 2)  a ve f ( 2)  b
olmak üzere f ( 2) iki ayrı değer almıştır.
Örnek:
Örnek:

  
f  ( 2, c ), ( 3, a), ( 4, d) bağıntısını inceleyelim.
A  2,3,4 , B  a, b, c , d , f : A  B ,
f  Z  Z olmak üzere


f  ( x, y ) x ,y  Z ve y 
Bu bağıntı fonksiyondur. Yukarıdaki sonuçta verilen her iki
koşulu da sağlamaktadır.
2x  1
3
 bağıntısını

inceleyelim.
Örnek:
y

  
f  ( 2, c ), ( 3, c ), ( 4, c ) bağıntısını inceleyelim.
2x  1
3
bağıntısında tanım kümesindeki bazı
elemanların görüntüsü yoktur. Örneğin x  2 için
A  2,3,4 , B  a, b, c , d , f : A  B ,
y
2.2  1
3

5
3
 Z dir. Bu durumda f bağıntısı fonksiyon
değildir.
Bu bağıntı fonksiyondur. Yukarıdaki sonuçta verilen her iki
koşulu da sağlamaktadır.
Örnek:
Örnek:


f  R  R olmak üzere f  ( x, y ) x ,y  R ve y 
A  a, b, c , d, f  A  A
olmak üzere f bağıntısının
grafiği yanda verilmiştir. Bu
bağıntının fonksiyon olup
olmadığını inceleyelim.
Bu f bağıntısını liste
yöntemiyle gösterelim.
2x  1 

x2  4 
bağıntısını inceleyelim.
y
2x  1
bağıntısında x  2 ve x  2 için payda
2
x 4
tanımsız olur. Yani tanım kümesindeki -2 ve 2 elemanları
değer kümesindeki bir eleman ile eşlenmediği için (tanım
kümesinde açıkta eleman kaldığı için) f bağıntısı fonksiyon
değildir.

Örnek:


f  ( a, b), (b, b), (b, c ), ( c , c ), ( d, c )
olur, f bağıntısında tanım kümesindeki b elemanının b ve c
gibi farklı iki görüntüsü vardır. Bu durumda, f bağıntısı
fonksiyon değildir.
Örnek:

f  R  R olmak üzere f  ( x, y ) x ,y  R ve y  x2  3
f : A  B f ( x)  3 x  2 fonksiyonunun görüntü kümesi
bağıntısını inceleyelim.
 
B  3,5,7 olduğuna göre tanım kümesini bulunuz.
2
y  x  3 bağıntısında tanım kümesindeki her elemanın
iki görüntüsü vardır. x  1 için y  4 ve y  4 gibi. Bu
durumda f bağıntısı fonksiyon değildir.
3
Çözüm:
Çözüm:
f : A  B fonksiyonun da, tanım kümesinin elemanlarına
karşılık gelecek görüntüleri verildiğinden, f ( x)  3x  2
fonksiyonu görüntü kümesinin elemanlarıyla tek tek
eşitleyerek tanım kümesi elde edilecektir.
Fonksiyon A  B ye tanımlanacak ise s( A )  4 ve
Görüntü kümesinin elemanları 3, 5, 7 ye eşitleme yapılırsa:
s(B)  5 için fonksiyon sayısı 4
3x  2  3  3x  1  x 
s(B)  5 için fonksiyon sayısı 5
11. Bire Bir ( 1 – 1 ) Fonksiyon
5
f : A  B bir fonksiyon olsun. A nın her elemanının
görüntüsü farklı ise f bire bir (1-1) fonksiyondur. Yani Her
x1 , x 2  A için x1  x 2 iken f ( x1 )  f ( x 2 ) veya
3
1 5
 , 1,  olacaktır.
3 3 
f ( x1 )  f ( x 2 ) iken x1  x 2 oluyorsa f fonksiyonuna bire
bir (1-1) fonksiyon denir.
A ve B kümeleri verildiğinde, s( A )  m ve s(B)  n ise A
Örnek:
dan B ye tanımlanabilecek fonksiyon sayısı n
m
dir..
Yanda şema ile
gösterilmiş olan f
fonksiyonunda, A nın
her elemanının
görüntüsü farklıdır. Bu
durumda f fonksiyonu
bire birdir.
Örnek:
 
A  a, b, c ve B  1,2 kümeleri üzerinden
tanımlanabilecek fonksiyon olmayan bağıntı sayısını
bulunuz.
Örnek:
Çözüm:
A dan B ye tanımlanabilecek bağıntı sayısı
2
s( AB)
2
3.2
Yanda şema ile
gösterilmiş olan f
fonksiyonunda, A nın her
elemanının görüntüsü
farklıdır. Bu durumda f
fonksiyonu bire birdir.
 64 tür.
A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon sayısı
s ( B)
s( A )
 1024 olacaktır.
Fonksiyon Çeşitleri
Fonksiyon Sayısı

5
1
3
olduğundan tanım kümesi A 

 625 olacaktır.
Fonksiyon B  A ye tanımlanacak ise s( A )  4 ve
3x  2  5  3x  3  x  1
3x  2  7  3x  5  x 
4
2
3
 8 dir.
Örnek:
Buna göre A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan
bağıntı sayısı, 64 – 8 = 56 dır.
Yanda şema ile
gösterilmiş olan f
fonksiyonunda, A nın her
elemanının görüntüsü
farklı olmadığından f
fonksiyonu bire bir
değildir.
Örnek:
A  1, 2, 3, 4 ve B  10, 11, 12, 13, 14 kümeleri
üzerinden tanımlanabilecek fonksiyon sayısını bulunuz.
4
Örnek:
x  1  f ( 1)  2  ( 1)  1  2  1  3
2
f  R  R olmak üzere f ( x )  x  1 fonksiyonunu
x  0  f ( 0)  2  ( 0)  1  0  1  1
inceleyelim.
x  1  f (1)  2  (1)  1  2  1  1
2
f (1)  1  1  1  1  2
f ( A )   3,1,1 dir. f ( A )  B
olduğundan f fonksiyonu örten
fonksiyondur.
2
f ( 1)  ( 1)  1  1  1  2 dir.
f (1)  f ( 1) olduğundan f fonksiyonu bire bir değildir.
Örnek:
 

Örnek:

A  1,3,5 ve B   4,0,4,8 kümeleri için f : A  B,
f ( x)  2x  6 fonksiyonu bire bir
(1-1) fonksiyon mudur?
Yandaki şekilde verilmiş
olan f fonksiyonu
örtendir. Çünkü değer
kümesinde (B de)
eşlenmemiş (açıkta
kalmış) eleman yoktur.
Diğer bir ifade ile değer
kümesi görüntü kümesine eşit olduğu için f fonksiyonu
örtendir.
Çözüm:
Tanım kümesi A  1,3,5 için değerleri bulunursa
x  1  f (1)  2  1  6  2  6  4
x  3  f ( 3)  2  3  6  6  6  0
x  5  f ( 5)  2  5  6  10  6  4
Örnek:
Farklı elemanların görüntüleri de farklı olduğundan
 x, y  A için x  y  f ( x)  f ( y)  f fonksiyonu bire bir
(1-1) fonksiyondur.
f : N  N , f ( x)  2x  3 olmak üzere, f fonksiyonu örten
değildir.
Çünkü değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
Örneğin, x yerine hangi doğal sayı yazılırsa yazılsın sonuç
sıfır olamaz. Bu durumda değer kümesinde bulunan 0 sayısı
eşlenmemiştir.
Bu fonksiyon bire birdir.
Örten Fonksiyon
f : A  B fonksiyonu için f ( A )  B ise f fonksiyonuna
örten fonksiyon denir.
Örnek:
Başka bir deyişle B değer kümesinde boşta eleman
kalmıyorsa f örten fonksiyondur.
f : Z  Z , f ( x )  x  3 olmak üzere, f fonksiyonu örtendir.
Çünkü açıkta eleman yoktur. Bu fonksiyon bire birdir.
Örnek:



İçine Fonksiyon

A   1,0,1 ve B   3,1,1 kümeleri için f : A  B
f : A  B fonksiyonu için f ( A )  B ise f fonksiyonuna içine
fonksiyon denir.
f ( x)  2x  1 fonksiyonu örten fonksiyon mudur?
Çözüm:
Başka bir deyişle, değer kümesinde eşlenmeyen en az bir
eleman kalırsa f fonksiyonuna içine fonksiyon denir.
Tanım kümesi A   1,0,1 için değerleri bulunursa
5
Örnek:

Örnek:

A   1,0,1,2
ve B   2,1,0,1,2,3 kümeleri için
f  Z  Z olmak üzere f ( x )  2 x fonksiyonu içinedir.
Çünkü değer kümesi olan tam sayılar kümesindeki tek
sayılar eşlenmemiştir. Örneğin f ( x )  3 olacak şekilde x
tamsayısı yoktur.
2
f : A  B f ( x )  x  1 fonksiyonu içine fonksiyon
mudur?
Çözüm:

Sabit Fonksiyon

2
f ( x )  x  1 fonksiyonun tanım kümesi A   1,0,1,2 için
f : A  B için A kümesinin bütün elemanları B kümesinin
değerleri bulunursa
   
x  1  f  1   1

2
yalnız bir elemanı ile eşleniyorsa f fonksiyonuna sabit
fonksiyon denir.
1  11  0
f : A  B ve b  B olmak üzere x  A için f ( x )  b ise
f fonksiyonuna sabit fonksiyon denir.
2
x  0  f 0  0  1  0  1  1

2
x  1  f 1  1 1  11  0
Örnek:





A   1,0,1,2,3 ve B   2,0,2,3,5 kümeleri için
2
x  2  f 2  2 1  4 1  3
f : A  B f ( x )  4 fonksiyonu sabit fonksiyon mudur?

Grafiğini çiziniz.

f ( A )   1,0,3 dür.
Çözüm:
f ( A )  B olduğundan f
Tanım kümesi A   1,0,1,2,3 için değerleri hesaplanırsa
bunların 4 olduğu görülecektir. Bu da fonksiyonun sabit
fonksiyon olduğunu gösterir.
fonksiyonu içine
fonksiyondur.
Örnek:
Yanda şema ile
gösterilmiş olan f
fonksiyonu içinedir.
Çünkü değer kümesi B
de 6 elemanı
eşlenmemiştir.
x  1  f ( 1)  4
x  0  f ( 0)  4
x  2  f ( 2)  4
x  3  f ( 3)  4
Örnek:
olduğundan f fonksiyonu sabit fonksiyondur.
Yanda şema ile
gösterilmiş olan f
fonksiyonu içinedir.
Çünkü değer kümesi B
de 7 elemanı
eşlenmemiştir.
Bu fonksiyon bire birdir.
Örnek:
2
fonksiyonunun
sabit fonksiyon olabilmesi için m ve k ne olmalıdır?
f : R  R , f ( x )  5  ( m  7) x  ( k  3) x
6
Çözüm:
Örnek:
Sabit fonksiyon f ( x )  c , ( c  R) olduğundan sabit
fonksiyon şu şekilde ifade edilebilir:
fonksiyonunun
birim fonksiyon olabilmesi için d, m, n, k, r ne olmalıdır?
f : R  R, f ( x )  d  (m  n) x  (k  r ) x
2
0
1
2
n
f ( x )  5 x  0 x  0 x      0 x .
Çözüm:
Fonksiyonların eşitliğinden
Birim fonksiyon f ( x )  x olduğundan birim fonksiyon şu
şekilde de ifade edilebilir:
5  ( m  7) x  ( k  3) x
2
0
1
2
 5 x  0x  0x yazılabilir.
0
2
2
n
f ( x )  0 x  1x  0 x      0 x . Fonksiyonların
Bu durumda
eşitliğinden
m  7  0 ve k  3  0 olacaktır. Buradan m  7 ve
k  3 olduğu takdirde verilen f ( x ) fonksiyonu sabit
d  (m  n) x  (k  r ) x
fonksiyon olacaktır.
Bu durumda
2
0
1
2
 0 x  1x  0x yazılabilir.
d  0, m  n  0 ve k  r  0 olacaktır.
Birim (Özdeşlik) Fonksiyonu
Buradan d  0, m  n ve k  r olduğu takdirde verilen
f ( x ) fonksiyonu birim fonksiyon olacaktır.
f : A  A ve x  A için f ( x )  x fonksiyonuna A nın
birim (özdeşlik) fonksiyon denir. Birim (özdeşlik) fonksiyon I
ile gösterilir. I( x )  x dir.
Örnek:
Birim fonksiyonda A nın her elemanının görüntüsü yine
kendisidir.


A   1,0,1 olmak üzere f : A  A, f ( x )  x
3
fonksiyonunu inceleyelim.
Örnek:
Çözüm:
 
A  0,1, 2 kümesi için f : A  A , f ( x )  x birim
f ( x)  x
fonksiyon olduğunu gösteriniz ve grafiğini çiziniz.
3
olduğu için,
Çözüm:
x  1  f ( 1)  ( 1)
Tanım kümesi A  0,1,2 için değerler bulunursa birim
fonksiyon olduğu görülecektir.
x  0  f ( 0)  0
3
3
 1
0
3
x  1  f (1)  1  1
x  0  f ( 0)  0
A nın her elemanının görüntüsü yine kendisi olduğu için f,
birim fonksiyondur.
x  1  f (1)  1
x  2  f ( 2)  2
Örnek:
Böylece f fonksiyonunun bire bir ve örten fonksiyon olduğu
da görülecektir.
f : R  R, f ( x )  c  bx  ax
ise,
a  0, b  1, c  0 dır.
7
2
fonksiyonu birim fonksiyon
Eşit Fonksiyonlar
x 1
f : A  B ve g : A  B iki fonksiyon olmak üzere x  A
için f ( x)  g( x) oluyorsa, f ile g ye eşit fonksiyonlar denir ve
f  g biçiminde gösterilir.

f (1)  13  1
g(1)  1
 ise f(1)


 g(1
olduğundan f  g dir.
Örnek:
 
Tek ve Çift Fonksiyon
 
A  0,2 , B  5,9 olmak üzere f : A  B,
f : A  B, fonksiyonunda x  A için
f (  x)  f ( x) ise f fonksiyonuna tek fonksiyon denir.
f (  x)  f ( x ) ise f fonksiyonuna çift fonksiyon
2
f ( x )  x  5 ve g : A  B, g( x)  2x  5 ile
tanımlanan f ve g eşit fonksiyonlar mıdır?
denir.
Çözüm:
 
A  0,2 tanım kümesi için
x0
Örnek:


 ise f(0)  g(0)
g( 0)  2.0  5  5

2
f ( x )  2 x fonksiyonunun tek veya çift fonksiyon olduğunu
f ( 0)  02  5  5


x  2 
 ise f(-2)
g( 2)  2.( 2)  5  9

f ( 2)  ( 2)2  5  9
bulunuz.
Çözüm:
 g(-2)
2
2
2
f (  x )  2  (  x )  2 x olduğundan f ( x )  2 x çift
fonksiyondur.
olduğundan f  g dir.
Örnek:
Örnek:
5
3
f ( x )  x  x fonksiyonunun tek veya çift fonksiyon



olduklarını bulunuz.

A   1,0,1 , B   2,1,0,1,2 olmak üzere f : A  B,
3
Çözüm:
ve g : A  B, g( x )  x ile tanımlanan f ve g eşit
fonksiyonlar mıdır?
f ( x)  x
5
3
5
3
f (  x)  (  x)  (  x)   x  x
Çözüm:
5
3
 ( x  x )   f ( x )
Tanım kümesi A   1,0,1 nın elemanları için f ve g
fonksiyonlarının değerleri hesaplanırsa:
x  1 

f ( 1)  ( 1)3  1
 ise f(-1)


g( 1)  1
x0
5
 g(-1)
Örnek:
3
f : R  R, f ( x )  2 x  5 x fonksiyonunun tek veya çift

f ( 0)  03  0
g( 0)  0
3
olduğundan f ( x )  x  x fonksiyonu çift fonksiyondur.
fonksiyon olup olmadığını araştıralım.
 ise f(0)  g(0)


Çözüm:
3
3
f (  x)  2  (  x )  5.(  x)  2 x  5x
8
Örnek:
3
 ( 2 x  5 x )   f ( x )
f : R  R, f ( x)  x  1 ve g : R  R, g( x)  3x  5 ise
( f  g)( x ) nedir?
Buna göre f (  x)  f ( x) olduğundan f fonksiyonu tek
fonksiyondur.
Çözüm:
Örnek:
R  R  R olup, f  g : R  R
2
f : R  R, f ( x )  x  x fonksiyonunun tek veya çift
( f  g)( x)  f ( x)  g( x) olduğundan
fonksiyon olup olmadığını araştıralım.
( f  g)( x)  ( x  1)  ( 3x  5)  4 x  4 bulunur.
Çözüm:
2
2
f (  x)  (  x)   x  x  x  f ( x)
Örnek:
Buna göre f (  x)  f ( x) olduğundan f fonksiyonu çift
fonksiyondur.
2
f : R  R, f ( x )  x  3 x ve g : R  R, g( x)  x  3 ise
( f  g)( x ) nedir?
Çözüm:
Örnek:
R  R  R olup, f  g : R  R
2
f : R  R, f ( x )  2 x  3 x fonksiyonunun tek veya çift
fonksiyon olup olmadığını araştıralım.
( f  g)( x)  f ( x)  g( x) olduğundan
Çözüm:
2
2
( f  g)( x )  ( x  3 x )  ( x  3)  x  2 x  3 bulunur.
2
2
f (  x )  2.(  x )  3.(  x)  2 x  3x
Örnek:
Buna göre f (  x)  f ( x) veya f (  x)  f ( x) olmadığından f
fonksiyonu ne çift ne de tek fonksiyondur.




f  (1,3), ( 2,4), ( 3,7) ve g  (1,5), ( 2,8), ( 5,14) ise f  g
nedir?
Fonksiyonlarda Dört İşlem
Çözüm:
A  B   olmak üzere,
f : A  R ve g : B  R fonksiyonları tanımlansın.
1.
f  g : A  B  R , ( f  g)( x)  f ( x)  g( x) dir.
2.
f  g : A  B  R , ( f  g)( x)  f ( x)  g( x) dir.
3.
f .g : A  B  R , ( f .g)( x)  f ( x). g( x) tir.
4.
x  A  B için g( x )  0 olmak üzere,
f fonksiyonu için tanım kümesi A  1,2,3 ve görüntü
kümesi D  3,4,7, g fonksiyonu için tanım kümesi
 


B  1,2,5 ve görüntü kümesi E  5,8,14 dir.
 
f  g : A  B  C biçiminde olacağından A  B  1,2
olur. Bu durumda
( f  g)(1)  f (1)  g(1)  3  5  8  (1,8)  f  g
f
f ( x)
: A  B  R , ( )( x ) 
tir.
g
g( x )
g
f
5.
( f  g)( 2)  f ( 2)  g( 2)  4  8  12  ( 2,12)  f  g
Bu durumda f  g  (1,8), ( 2,12) dir.
c  R olmak üzere, c.f : A  R , (c.f )( x )  c.f ( x )
tir.
9
Örnek:
Bu durumda,
2
f : R  R, f ( x)  2x  1 ve g : R  R, g( x )  x  3 x  2
ise f  g nedir?
( f  g)(1)  f (1)  g(1)  3  5  2  (1,2)  f  g
Çözüm:
( f  g)( 2)  f ( 2)  g( 2)  4  8  4  (2,4)  f  g
olup bu durumda f  g  (1,2), ( 2,4) dir.
f ve g fonksiyonlarının tanım kümeleri R, değer
kümeleri R dir. f  g : R  R  R biçiminde olacağından
R  R  R olur.
Örnek
2
f : R  R, f ( x )  x  3 x  1 ve g : R  R,
2
g( x )  3 x  3 x  5 ise ( f  g)( x ) nedir?
Bu durumda
2
( f  g)( x )  f ( x )  g( x )  ( 2 x  1)  ( x  3x  2)
Çözüm:
2
 x  x 1
f ve g fonksiyonlarının tanım kümeleri R, görüntü kümeleri R
dir. f  g : R  R  R biçiminde olacağından
2
olduğundan ( f  g)( x )  x  x  1 dir.
R  R  R olur.
Bu durumda,
Örnek:
( f  g)( x)  f ( x)  g( x)
f : R  R, f ( x)  x  1 ve g : R  R, g( x)  3x  5 ise
( f  g)( x ) nedir?
2
2
 ( x  3 x  1)  ( 3 x  3 x  5)
Çözüm:
2
2
2
 x  3x  1  3x  3x  5  4 x  6
( f  g)( x)  f ( x)  g( x) olduğundan
( f  g)( x)  ( x  1)  (3x  5)  x  1  3x  5  2x  6
Örnek:


f  (1,3), ( 2,4), ( 3,7) ise 2  f nedir?
bulunur.
Çözüm:
Örnek:





f  (1,3), ( 2,4), ( 3,7) fonksiyonu için

f  (1,3), ( 2,4), ( 3,7) ve g  (1,5), ( 2,8), ( 5,14) ise f  g
nedir?
x  1  ( 2  f )(1)  2f (1)  2  3  6
Çözüm:
x  2  ( 2  f )( 2)  2f ( 2)  2  4  8
f fonksiyonu için tanım kümesi A  1,2,3 ve görüntü
x  3  ( 2  f )( 3)  2f ( 3)  2  7  14
kümesi D  3,4,7, g fonksiyonu için tanım kümesi
 

olduğundan 2  f  (1,6), ( 2,8), ( 3,14)

B  1,2,5 ve görüntü kümesi E  5,8,14 dir.
 
f  g : A  B  C biçiminde olacağından A  B  1,2
Örnek:
olur.
2
f : R  R, f ( x)  3 x  5 ve g : R  R, g( x )  x  5 x  8
ise ( 2f  3g)( x) nedir?
10
Çözüm:
2
( f  g)( x )  f ( x )  g( x)  ( x  1)( x  1)
f ve g fonksiyonlarının skaler ile çarpımları bulunacaktır.
3
2
 x  x  x 1
( 2f  3g)( x)  2f ( x)  3g( x)
3
 2( 3 x  5)  3( x  5 x  8)
Örnek:
2
 6 x  10  3 x  15 x  24

 3 x  9 x  34


f
g
nedir?
2
olduğundan ( 2f  3g)( x)  3x  9x  34 dir.
Çözüm:
f fonksiyonu için tanım kümesi A  1,2,3 ve görüntü
Örnek:



f  (1,3), ( 2,4), ( 3,7) ve g  (1,5), ( 2,8), ( 5,14) ise f  g
nedir?
kümesi D  3,4,7, g fonksiyonu için tanım kümesi
f
f fonksiyonu için tanım kümesi A  1,2,3 ve görüntü
g
kümesi D  3,4,7, g fonksiyonu için tanım kümesi


B  1,2,5 ve görüntü kümesi E  5,8,14 dir.
 
f  g : A  B  C biçiminde olacağından A  B  1,2
olur.
Bu durumda

 

B  1,2,5 ve görüntü kümesi E  5,8,14 dir.
Çözüm:
 

f  (1,3), ( 2,4), ( 3,7) ve g  (1,5), ( 2,8), ( 5,14) ise
2

2
olduğundan ( f  g)( x)  x  x  x  1 dir.
2
 
: A  B  R biçiminde olacağından A  B  1,2 olur.
Bu durumda
f
 (1) 
g
f
 ( 2) 
g
f (1)
g(1)
f ( 2)
g( 2)


3
5
4
8


  1,

1
2
3
f

5 g


  2,
1
f

2 g
( f  g)(1)  f (1)  g(1)  3  5  15  (1,15)  f .g
( f  g)( 2)  f ( 2)  g( 2)  4  8  32  (2,32)  f .g
Bu durumda
f
g

 3   1 
 1, ,  2,  dir.
 5   2 
Bu durumda f  g  (1,15), ( 2,32) dir.
Örnek:
Örnek:

2
f : R  R, f ( x )  x  1 ve g : R  R, g( x)  x  1
2
f : R  R, f ( x)  x  1 ve g : R  R, g( x )  x  1 ise
( f  g)( x ) nedir?
ise
Çözüm:
Çözüm:
f ve g fonksiyonlarının tanım kümeleri R, görüntü kümeleri
ise R dir. f  g nin tanım kümesi R  R  R olacaktır.
f fonksiyonunun tanım kümesi R olmasına rağmen g
f
g
nedir?
fonksiyonunun tanım kümesi R
Bu durumda
11

dir. Görüntü kümeleri ise
R dir.
f
g
fonksiyonunun tanım kümesi ise R  R

R

dir.
Çözüm:
Bu durumda
f
 ( x ) 
 g
f
 ( x ) fonksiyonunu bulalım.
g
f ( x)
g( x )
2

x 1
x 1

( x  1)( x  1)
x 1
 x 1
f
olduğundan  ( x )  x  1 dir.
 g
f
 ( x ) 
 g
f ( x)

g( x )
olduğundan
2
x  3x
x3

x.( x  3)
x  31
x
f
 ( x )  x dir.
g
Örnek:
Örnek:
2
R den R ye tanımlı f ( x )  x  3 x ve g( x)  x  3
fonksiyonları veriliyor. ( 2f  g)( 3) ün değerini bulalım.

 

2
f : 1,2,3  R , f ( x )  x  x ve g :  1,1,2  R ,
g( x)  2x  3 fonksiyonları veriliyor. Buna göre f  3g
fonksiyonunun görüntü kümesini bulalım.
Çözüm:
Çözüm:
( 2f  g)( x)  ( 2f )( x)  g( x)  2.f ( x)  g( x)
f  3g fonksiyonu {1,2,3}  { 1,1,2}  {1,2} kümesinden R
2
2
 2.(x - 3x ) - (x - 3)  2 x  6x  x  3
ye tanımlıdır.
Buna göre,
2
 2x  7x  3
2
( f  3g)( x )  f ( x )  3.g( x )  x  x  3.( 2 x  3)
Buna göre,
2
2
 x  x  6 x  9  x  7 x  9 olup,
2
( 2f  g)( 3)  2.3  7.3  3  2.9  21  3  0 bulunur.
2
( f  3g)(1)  1  7.1  9  1  7  9  17 dir.
Örnek:
2
R den R ye tanımlı f ( x )  x  3 x ve g( x)  x  3
fonksiyonları veriliyor. ( f .g)( x ) fonksiyonunu bulalım.
2
( f  3g)( 2)  2  7.2  9  4  14  9  27 dir.
O halde, f  3g fonksiyonunun, tanım kümesi {1,2} ve
görüntü kümesi {17,27} dir.
Çözüm:
2
( f  g)( x )  f ( x )  g( x )  ( x  3 x )( x  3)
3
2
2
3
2
 x  3x  3x  9x  x  6x  9x
Örnek:
2
f : R  R, f ( x )  x  3 x , g : R  { 3}  R, g( x)  x  3
olduğuna göre
Bir Fonksiyonun Tersi


f : A  B , f  ( x, y ) x  A ve y  B bire bir ve örten bir
fonksiyon olmak üzere,
f
1
:B A, f
1


 ( y , x ) y  B ve x  A
fonksiyonuna f fonksiyonunun tersi denir. f fonksiyonunun
tersi f
12
1
ile gösterilir.
( x, y )  f  ( y , x )  f
1
dir.
( x, y )  f ise
( y, x)  f
1
olacağından
y  f ( x ) ise x  f
1
1


( y ) dir.
 ( 4, a), ( 4, c ), ( 5, b) dir. f
1
bağıntısında tanım
kümesi olan B de 4 elemanı iki eleman ile eşleştiğinden ve 6
f
elemanı açıkta kaldığından f
Örnek:
1
bağıntısı fonksiyon değildir.
Sonuç


f : A  B bire bir ve örten bir fonksiyon değilse,
1
f : B  A bir fonksiyon olmayıp bir bağıntıdır.
f  (1,2), ( 3,4), ( 5,6), ( 7,8), ( 9,10) fonksiyonunun ters
fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
f : A  B olduğundan f
1
Ters Fonksiyonun Bulunması
: B  A olacaktır.
Aynı zamanda, şu biçimde de ifade edilebilir
( x, y )  f  ( y , x )  f
Bu durumda f
1
y  f ( x ) ise x  f
1
( y ) olduğundan f

Örnek:

f : R  R, f ( x ) 
3x  2
Örnek:


fonksiyonuna ait tanım ve görüntü kümelerini bulunuz
f ( x) 
Çözüm:

4

 ( 2,1), ( 4,3), ( 6,5), ( 8,7), (10,9)
y
3x  2
4
3x  2
4
( x ) i bulalım.
 3x  2  4y  3x  4y  2
x

B  1,3,5,7,9 dur.
Örnek:
 
 
f  ( a,4), (b,5), ( c ,4) fonksiyonunu inceleyelim.
1
ise
Tanım kümesi A  2,4,6,8,10 ve görüntü kümesi

olduğuna göre, f
Çözüm:
f  (1,2), ( 3,4), ( 5,6), ( 7,8), ( 9,10) fonksiyonunun ters
1
( x ) i bulmak için x,
y türünden bulunur ve x ile y nin yerleri değiştirilir.
1
 ( 2,1), ( 4,3), ( 6,5), ( 8,7), (10,9) olur.
f nin ters fonksiyonu f
olacaktır.
1
A  a, b, c kümesinden B  4,5,6 kümesine tanımlı
f
1
(y) 
4y  2
3
f
1
( x) 
4y  2
3
4x  2
3
olur.
bulunur.
Örnek:
f : R  R, f ( x)  2 x  3 olduğuna göre, f
13
1
( 1) i bulalım.
Çözüm:
3k  2
f (k ) 
2k  4
f ( x)  2 x  3 ise
y  2x  3  2x  y  3  x 
f
1
(y) 
y3
2
f
1
( x) 
y3
x3
2
2
Buna göre f
1
( 1) 
1 3
2

4
2
 2 olur.
f
1
2x  4
2.
d
a
f : R  {  }  R  { }, olmak üzere
c
c
cx  d
ise f
1
a
( x) 
dır.
 dx  b
dır.
cx  a
Örnek:
f ( x) 
3x  2
2x  4
3x  2
y
2x  4
f ( x) 
 3 x  2  2 x y  4 y  3 x  2 x y  4 y  2
Buna göre, f
1
( x) 
 4x  2
(1) 
3  2x
 4y  2
3  2y
f ( x) 
dir.
3  2.1
olduğuna göre, f
1
( x ) i bulalım.

6
1
2.Yol
(1)  k olsun.
ax  b
cx  d
3x  2
2x  4
iken f
ise f
1
1
( x) 
( x) 
 dx  b
cx  a
dır.
 ( 4) x  2
2 x  ( 3)

4x  2
2x  3
tür.
Örnek:
f ( x) 
 4.1  2
2x  4
bulunur.
O halde,
1
3x  2
Çözüm:
ise
 x.( 3  2y )  4 y  2  x 
1
ax  b
( x) 
(1) i bulalım.
f ( x) 
f
xb
f ( x)  ax  b ise f
olduğuna göre,
Çözüm:
f
1
1.
f ( x) 
3x  2
(1)  6 dır.
Sonuç
bulunur.
Örnek:
f : R  { 2}  R, f ( x ) 
1
olur.
Buna göre
f
 1  3k  2  2k  4  k  6 bulunur.
 6 olur.
3x  2
f ( x) 
4
3x  2
4
olduğuna göre, f
f
1
( x) 
1
( x ) i bulalım
 ( 4) x  2
 ( 3)

 4x  2
3
Örnek:
f ( x) 
Buna göre f (k )  1 olur.
14
x3
2x
olduğuna göre, f
1
( x ) i bulalım.
tür.
Çözüm:
f ( x) 
x3
f
2x
1
( x) 
 0.x  3
2 x  (1)

3
2x  1
bulunur.
Buna göre,
Örnek:
x 1
f ( x)  2
olduğuna göre, f
1
( g  f )(1)  g( f (1))  g( 2)  3 tür.
(16) yı bulalım.
Çözüm:
f
1
f ve g fonksiyonları birlikte A nın elemanlarını C nin
elemanlarına eşler. A nın elemanlarını C nin elemanlarına
eşleyen fonksiyona f ve g fonksiyonlarının bileşke
fonksiyonu denir. Bu fonksiyon g  f biçiminde yazılır ve “g
bileşke f ” diye okunur.
( g  f )( 2)  g( f ( 2))  g( 4)  5 tir.
( g  f )( 3)  g( f ( 3))  g( 6)  7 dir.
(16)  k olsun.
Örnek:
Buna göre f (k)  16 olur.
f (k )  2
k 1
 16  2
k 1
2
4
 k 1 4  k  3
bulunur.
Buna göre f
1
f ve g fonksiyonları aşağıdaki şemada verilmiştir. ( g  f )(1) ,
( g  f )( 2) , ( g  f )( 3) değerlerini hesaplayarak g  f
fonksiyonunu şema ile gösterelim.
(16)  3 tür.
Fonksiyonların Bileşkesi
f : A  B ve g : B  C fonksiyonları aşağıdaki şemalarla
verilsin.
( g  f )(1)  g( f (1))  g( 2)  4 tür.
( g  f )( 2)  g( f ( 2))  g( 3)  6 dır.
( g  f )( 3)  g( f ( 3))  g( 4)  8 dir.
Örnek:
 
 


A  1,2,3 , B  1,4,9 , A  2,8,18
2
Görüldüğü gibi; f fonksiyonu A nın elemanlarını B nin
elemanlarına, g fonksiyonu da B nin elemanlarını C nin
elemanları ile eşleşmiştir.
kümeleri ile f : A  B , f ( x )  x ve g : B  C ,
g( x )  2 x fonksiyonları veriliyor.
( g  f )(1) , ( g  f )( 2) , ( g  f )( 3) değerlerini hesaplayarak
g  f fonksiyonunu şema ile gösterelim.
Çözüm:
2
( g  f )(1)  g( f (1))  g(1 )  g(1)  2.1  2 dir.
2
( g  f )( 2)  g( f ( 2))  g( 2 )  g( 4)  2.4  8 dir.
15
Çözüm:
2
( g  f )( 3)  g( f ( 3))  g( 3 )  g( 9)  2.9  18 dir.
2  2)  2.( x 2  2)  1
( f  g)( x )  f ( g( x ))  f ( x
g( x )
2
 2x  3
2
( f  g)( x )  2 x  3 tür.
2
( g  f )( x )  g( f ( x ))  g( 2
x  1)  ( 2 x  1)  2
f ( x)
Uyarı
2
2
 4x  4x  1  2  4x  4x  3
( f  g)( x ) bulunurken ( f  g)( x)  f ( g( x)) olduğundan f ( x )
fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine g( x ) fonksiyonu
2
( g  f )( x )  4 x  4 x  3 tür.
koyularak hesaplanır.
( g  f )( x ) bulunurken ( g  f )( x)  g( f ( x)) olduğundan g( x )
fonksiyonundaki her x değişkeninin yerine f ( x ) fonksiyonu
koyularak hesaplanır.
Örnek:
2
2
f : R  R, f ( x )  2 x  x  1 ve g : R  R, g( x )  x  2
fonksiyonları için ( f  g)( x) ve ( g  f )( x) fonksiyonlarını
bulunuz.
Örnek:
f : R  R, f ( x)  2 x  1 ve g : R  R, g( x )  x  2
fonksiyonları için ( f  g)( x) ve ( g  f )( x) fonksiyonlarını
bulunuz.
Çözüm:
2  2)
( f  g)( x )  f ( g( x ))  f ( x
g( x )
Çözüm:
2
2
2
 2.( x  2)  ( x  2)  1
( f  g)( x )  f ( g( x ))  f ( x
 2)  2.( x  2)  1
g( x )
4
2
2
 2.( x  4 x  4)  x  2  1
 2x  4  1  2x  3
4
2
2
 2x  8x  8  x  1
( f  g)( x)  2x  3 tür.
4
2
 2x  7x  7
( g  f )( x )  g( f ( x ))  g( 2
x  1)  ( 2 x  1)  2  2 x  1
f ( x)
( g  f )( x)  2x  1 dir.
4
2
( f  g)( x )  2 x  7 x  7 dir.
2  x  1)
( g  f )( x )  g( f ( x ))  g( 2 x

f ( x)
Örnek:
2
2
 ( 2 x  x  1)  2
2
f : R  R, f ( x)  2x  1 ve g : R  R, g( x )  x  2
fonksiyonları için ( f  g)( x) ve ( g  f )( x) fonksiyonlarını
4
2
3
2
 4 x  x  1  4 x  4 x  2x
bulunuz.
16
4
3
2
 4 x  4 x  3x  2x  1
4
3
Fonksiyonlarda Bileşke İşleminin Özellikleri
1.
Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özelliği
vardır. Yani f  ( g  h)  ( f  g)  h  f  g  h tır.
2.
I birim fonksiyon olmak üzere f  I  I  f  f tir.
3.
I birim fonksiyon olmak üzere f  f
4.
f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten fonksiyonlar
olmak üzere
2
( g  f )( x )  4 x  4 x  5 x  2 x  1 dir.
Örnek:
f : R  R, f ( x)  2x  1 ve g : R  R, g( x )  x  2
fonksiyonları için ( f  g)( 0) ve ( g  f )( 0) değerlerini bulunuz.
1
f
1
 f  I tir.
Çözüm:
( f  g)
2  2)  f ( 2)  2.2  1  3 tür.
( f  g)( 0)  f ( g( 0))  f ( 0
g( 0)
1
( f  g  h)
2
( g  f )( 0)  g( f ( 0))  g( 2
.0  1)  g( 1)  ( 1)  2  1
f ( 0)
g
1
1
h
f
1
1
g
ve
1
f
1
dir.
Örnek:
f ( x)  3 x  2 ve ( f  g)( x)  6x  11 olduğuna göre g( x ) i
bulalım.
Örnek:
f : R  R, f ( x)  2 x  3 ve g : R  R, g( x)  5x  4
fonksiyonları için ( f  g)( 3) ve ( g  f )( 2) değerlerini bulalım.
Çözüm:
f ( x)  3 x  2 ise f
1
x2
( x) 
3
Çözüm:
( f  g)( 3)  f ( g(3))  f ( 5.3  4)  f (19)  2.19  3  41
tür.
( f  g)( x)  6x  11 ise,
1
( g  f )( 2)  g( f ( 2))  g( 2.2  3)  g(7)  5.7  4  39
 [f
Uyarı
 [I  ( g)( x )]  ( f
Fonksiyonlarda bileşke işleminin değişme özelliği yoktur.
Yani f ve g iki fonksiyon olmak üzere f  g  g  f dir.
 g( x ) 
 ( f  g)( x )]  ( f
1
 ( 6 x  11))
( 6 x  11))
6 x  11  2
3
1

6x  9
3
 2 x  3 tür.
2.Yol
Örnek:
2
R den R ye tanımlı f ( x )  x  1 , g( x )  3x , h( x)  x  3
olduğuna göre (f  g  h )(2) nin değeri kaçtır?
Çözüm:
f ( x)  3 x  2 olmak üzere ( f  g)( x)  6x  11 ise,
 f ( g( x))  6x  11  3.g( x)  2  6x  11
 3.g( x )  6 x  9  g( x ) 
( f  g  h)( 2)  f [ g(h( 2))]  f [ g( 2  3)]  f [ g( 5)]
2
 f ( 3.5)  f (15)  15  1  226
6x  9
3
 2 x  3 tür.
Örnek:
f ( x )  x  2 ve ( g  f )( x)  2x  11 olduğuna göre g( 3) ü
bulalım.
17
Çözüm:
Örnek:
( g  f )( x)  2x  11  g( f ( x))  2x  11
f : R  R, f ( x)   x  3 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
 g( x  2)  2x  11
Çözüm:
Bu son eşitlikte x yerine 1 yazılırsa,
x  1 için f ( 1)  ( 1)  3  4 tür.
g(1  2)  2.1  11  g( 3)  2  11  13 bulunur.
x  0 için f ( 0)  0  3  3 tür.
x  1 için f (1)  1  3  2 dir.
Bir Fonksiyonun Grafiği
Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık
gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.

Buna göre f  {..., ( 1,4), (0,3), (1,2),...} dir. A aşağıdaki
tabloda x in bazı değerlerine karşın f ( x ) in aldığı değerler
verilmiştir.

f : A  B , f  ( x, y ) x  A, y  B ve y  f(x )
( a, b)  f olduğundan f ( a)  b
dir.
Ayrıca f
1
( b)  a dır.
Örnek:


A   1,0,1,2 , f : A  R , f ( x )  x
2
Bir önceki örnekte
fonksiyonun tanım kümesi 4
elemanlı olduğu için, f in
grafiği 4 tane noktadan
oluştu. Bu örnekte ise;
tanım kümesi tüm reel
sayılar olduğu için, f in
grafiği sonsuz tane noktadan oluşmaktadır. Fonksiyonun
tanımından dolayı, bu noktalar bir doğru belirtmektedir.
fonksiyonunun
grafiğini çiziniz.
Örnek:
Çözüm:
2
x  1 için f ( 1)  ( 1)  1 dir.
2
x  0 için f ( 0)  0  0 dır.
2
x  1 için f (1)  1  1 dir.
x  2 için f ( 2)  2
2
Yukarıdaki şekilde y  f ( x ) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
 4 tür.
Buna göre
f  {( 1,1), ( 0,0), (1,1), ( 2,4)}
olur. y  f ( x ) fonksiyonunun
grafiği yandaki dört noktadır.
Buna göre
f ( 2)  f ( 1)
f ( 3)  f ( 5)
değerini bulunuz.
Çözüm:
Grafikten f ( 2)  1 , f ( 1)  2 , f ( 3)  2 ve f ( 5)  0 olduğu
görülmektedir.
18
Buna göre,
f ( 2)  f ( 1)
f ( 3)  f ( 5)
O halde,
1 2

20

3
2
(f  g
bulunur.
Örnek:
1
 f )( 4)  f ( g
1
( f ( 4)))  f ( g
1
( 3))  f ( 0)  1 olur.
Çözümlü Sorular
Yandaki şekilde y  f ( x )
fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
Buna göre f ( 1)  f
değerini bulunuz.
1


f  ( 2,4), ( 1,3), ( 0,2), (1,4), ( 3,1) olduğuna göre
1.
A   2,1,0,1,3 , f : A  R,
( 2 )  f ( 2)
f ( 2)  f ( 0)  f ( 3) toplamı kaçtır?
Çözüm:
( 2,4)  f olduğundan f ( 2)  4 tür.
Çözüm:
( 0,2)  f olduğundan f ( 0)  2 dir.
Grafikten f ( 1)  0 dir.
f ( 0)  2  f
1
( 3,1)  f olduğundan f ( 3)  1 dir.
( 2)  0 dır.
Bu durumda,
f ( 2)  5 tir.
f ( 2)  f ( 0)  f ( 3)  4  2  1  7 olur.
Buna göre, f ( 1)  f
1
( 2)  f ( 2)  0  0  5  5 bulunur.
2
f ( x )  x  2 x  1 olduğuna göre f ( 3  1) kaçtır?
2.
Örnek:
Çözüm:
2
2
f ( x )  x  2 x  1  f ( x )  ( x  1) dir.
Yandaki şekilde f ve g
fonksiyonlarının grafikleri
verilmiştir.
Buna göre ( f  g
1
 f )( 4) değerini bulunuz.
1
3.
2
 ( 3)
2
 3 bulunur.
f ( 2x  3)  3x  2 olduğuna göre f ( 0) kaçtır?
Çözüm:
Çözüm:
(f  g
f ( 3  1)  ( 3  1  1)
 f )( 4)  f ( g
1
( f ( 4))) olup
y  f ( x ) in grafiğinde x = 4 için y = 4 olduğundan f ( 4)  3
tür.
y  f ( x ) in grafiğinde x = 0 için y = 1 olduğundan f ( 0)  1
2 x  3  0  2 x  3  x  
3
2
dir.
Buna göre f (2x  3)  3x  2 fonksiyonunda x görülen yere

3
2
yazılırsa f ( 0) bulunur.
dir.
y  g( x ) in grafiğinde x = 0 için y = 3 olduğundan g( 0)  3
olup g
1
3
3
9
5
f ( 2.(  )  3)  3.(  )  2    2   olur.
2
2
2
2
( 3)  0 dır.
19
4.
3x  1
f(
2x  1
)  2 x  3 olduğuna göre f ( 2) kaçtır?
Çözüm:
f ( 2)
Çözüm:
3x  1
f (1)
 2  4 x  2  3 x  1  x  3 tür.
2x  1
8.
Buna göre verilen fonksiyonda x görülen yere  3 yazılırsa
f ( 2) bulunur.
f(
5.
3.( 3)  1
2.( 3)  1
( a  b).( a  b)
ab
Çözüm:
f ( 3)  5  3a  b  5 tir.
fonksiyonunu bulunuz.
Bu iki eşitlik birlikte çözülürse,
5a  b  3 
2
2
Bu ifade de x görülen yere x  2 yazılırsa,
2
2
f ( x  2)  ( x  2  2)  1  x  1 bulunur.
 a  1 ve b  8 bulunur.
3a  b  5 
O halde f ( x)   x  8 dir.
Buna göre f (1)  1  8  7 bulunur.
9.
x2
f(
x 1
)
x 1
x2
x 1
Çözüm:
3x  2  8  3x  6  x  2 dir.
)
x 1
x2

1
x2
olur.
Buna göre verilen fonksiyonda x yerine 2 yazılarak f ( 8) in
değeri hesaplanabilir.
x 1
Bu ifadede
f ( x) 
1
x
x2
x 1
gördüğümüz her yere x yazalım.
1
2
Çözüm:
dir.
x
a  b olmak üzere f ( x )  a  b olduğuna göre
f (1)
2
10. f ( x )  x  3 x  3 x  1 olduğuna göre f ( x  1)
fonksiyonunu bulunuz.
x
kaçtır?
x  2 için f ( 3.2  2)  5.2  4  f ( 8)  6 dır.
3
olur.
Buna göre f ( 2) 
f ( 2)
f ( 3x  2)  5x  4 olduğuna göre f ( 8) in değeri
kaçtır?
olduğuna göre f ( 2) kaçtır?
Çözüm:
x2
 a  b olur.
f ( x ) doğrusal bir fonksiyon olmak üzere f ( 5)  3 ve
f ( 3)  5 olduğuna göre f (1) in değeri kaçtır?
2
f ( x )  x  4 x  5 olduğuna göre f ( x  2)
f ( x )  x  4 x  5  x  2.2.x  4  1  ( x  2)  1 dir.
7.
ab

f ( 5)  3  5a  b  3 tür.
2
f(
a2  b2
f ( x ) doğrusal bir fonksiyonu f ( x)  ax  b olsun.
)  2.( 3)  3  f ( 2)  9 olur.
Çözüm:
6.

3
2
3
f ( x )  x  3 x  3 x  1  ( x  1) dür.
3
3
f ( x )  ( x  1  1)  x bulunur.
20
2
2
11. f ( x  x )  2 x  2 x  2 olduğuna göre f ( x )
fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
x  1 için,
Çözüm:
f (1  2)  f (1  1)  3.1  1  f ( 3)  f ( 0)  4 tür.
2
2
f ( x  x )  2 x  2 x  2 olduğuna göre
x  2 için,
2
2
2
f ( x  x )  2.( x  x )  2 olup bu ifadede x  x yerine x
f ( 2  2)  f ( 2  1)  3.( 2)  1  f ( 0)  f ( 3)  5 tir
yazılırsa,
f ( x)  2.x  2 bulunur.
12. f : R  R, f (m.n)  f (m).f (n) olduğuna göre f (1) in
değeri kaçtır?
Bu eşitlikler taraf tarafa çıkarılırsa,
f ( 3)  f ( 0)  f ( 0)  f ( 3)  4  ( 5)  f ( 3)  f ( 3)  9 olur.
x
2
2
x
2
16. f ( )  x.f ( )  x  1 olduğuna göre f ( 2) nin değeri
Çözüm:
kaçtır?
f (m.n)  f (m). f (n) ifadesinde n = 1 alınırsa,
Çözüm:
f (m.1)  f (m).f (1)  f (m)  f (m).f (1)  f (1)  1 bulunur.
Verilen eşitlikte x yerine önce 4, sonra da 1 yazalım.
13. f : R  R, f ( x  1)  f ( x)  x ve f (1)  1 olduğuna
göre, f ( 3) kaçtır?
4
2
1
2
x  4 için, f ( )  4.f ( )  4  1  f ( 2)  4.f ( )  17
2
4
2
Çözüm:
1
2
1
2
x  1 için, f ( )  1.f ( )  1  1  f ( )  f ( 2)  2 dir.
2
1
2
f ( x  1)  f ( x)  x olmak üzere,
Bu son eşitlik ilk eşitlikte yerine yazılırsa,
x  1 için f (1  1)  f (1)  1  f ( 2)  1  1  0 dır.
x  2 için f ( 2  1)  f ( 2)  2  f ( 3)  0  2  2 dir.
14. f ( x  y )  f ( x).f ( y ) ve f ( 2)  5 olduğuna göre f ( 6) nın
değeri kaçtır?
Çözüm:
f ( x  y )  f ( x). f ( y ) ve f ( 2)  5 olmak üzere,
f ( 2  2)  f ( 2).f ( 2)  f ( 4)  5.5  25 tir.
f ( 2  4)  f ( 2).f ( 4)  f ( 6)  5.25  125 dir.
f ( 2)  4.[ f ( 2)  2]  17  f ( 2)  4.f ( 2)  25 olup buradan,
3f ( 2)  25  f ( 2)  
25
3
bulunur.
17. f : R  R, f ( x  1)  x.f ( x) ve f ( 2)  5 olduğuna göre
f ( 4) kaçtır?
Çözüm:
f ( x  1)  x.f ( x) ve f ( 2)  5 olduğuna göre,
x  2 için, f ( 3)  2.f ( 2)  2.5  10 dur.
x  3 için, f ( 4)  3.f ( 3)  3.10  30 olur.
15. f ( x  2)  f ( x  1)  3x  1 olduğuna f ( 3)  f ( 3)
kaçtır?
18. A  [ 2,3) , f : A  B, f ( x)  2x  3 fonksiyonu bire bir
ve örtendir. Buna göre B kümesini bulunuz.
21
Çözüm:
Burada, x yerine
y  f ( x)  2x  3 ve A  [ 2,3) ise
f ( x)
1  f ( x)
yazılırsa,
f ( x)
A  { x : x  R, 2  x  3} olduğu için,
1  f ( x)
f ( x  1) 

x2
f ( x)
2  x  3  4  2x  6  7  2x  3  9
1  f ( x)
f ( x )  1  f () x
1
x 1
1  f ( x)
f ( x )  2  2.f ( x )

2
1  f ( x)
 7  f ( x)  9 olur.
f ( x  1) 
Buna göre
1
1  f ( x)
1
bulunur.
.

1  f ( x)  f ( x)  2 2  f ( x)
B  { x : x  R, 7  x  9}  B  [ 7,9) olur.
1
2x  1
19. f ( x )  3
olduğuna göre f ( 3 x ) in f ( x ) türünden
eşitini bulunuz.
21. f ( x)  mx  n , f ( 4)  5 , f
göre m.n çarpımı kaçtır?
f
f ( x)  3
2x  1
f (3x)  3
f (3x) 

2.3 x  1
27.f 3 ( x )
3
20. f ( x ) 
3

3
2x
( 32 x )3
3
 3.f ( x ) tir.

f
1
1
( 4)  5  f ( 5)  4  5m  n  4
( 3)  6  f ( 6)  3  6m  n  3 olur.
Bu iki denklem birlikte çözülürse,
( 3.f ( x )) 3
3
5m  n  4 

6m  n  3 
3
 9.f ( x ) tir.
x
x 1
olduğuna göre f ( x  1) in f ( x ) türünden
m.n  ( 1). 9  9 bulunur.
2
22. f ( x  1)  x  3 x  a ve f
a nın değeri kaçtır?
Çözüm:
f ( x) 
x
x 1
x
x 1
ifadesinde x in f ( x ) türünden eşitini bulalım.
x
x 1
1
( 2)  3 olduğuna göre,
Çözüm:
f
1
( 2)  3  f ( 3)  2 dir.
 x  x.f ( x )  f ( x )  x  x.f ( x )  f ( x )
2
f ( x  1)  x  3 x  a fonksiyonunda x  4 yazılırsa,
 x.[1  f ( x )]  f ( x )  x 
f ( x) 
m  -1 , n  9 bulunur.
Buna göre,
eşitini bulunuz.
f ( x) 
( 3)  6 olduğuna
Çözüm:
Çözüm:
32 x
1
ise f ( x  1) 
x 1
x 11

f ( x)
1  f ( x)
x 1
x2
tir.
2
f ( 4  1)  4  3.4  a  f ( 3)  16  12  a
 2  16  12  a  a  26 olur.
dir.
22
23. f : R  R, f ( x )  3 x  2  1 olduğuna göre f
eşitini bulunuz.
1
( x ) in
x2  2 x  1
3
4
 f ( x  1  1) 
5
Çözüm:
y  f ( x) 
3
x  2 1 y 1 
3
 f ( x) 
x2
O halde,
1
x 1
x2  1
)  x  1 olduğuna göre f
1
f
x
1
( y ) olduğu için
)  x  1 ise f
1
( x  1) 
1
x 1 1
( x  1  1) 
( x  1)2  1

olduğuna göre
f ( x)  2
3  f ( x)

1
x
( y ) olduğu için,
y2
3y
f
1
( x) 
x2
3x
tir.

A  1,2,3,4,5 , f : A  A,
x 1
x2  1
olur.
27. f  (1,2), ( 2,3), ( 3,5), ( 4,3), ( 5,1) olduğuna göre
Burada x yerine x – 1 yazılırsa,
f
3  f ( x)
( x ) in eşitini bulunuz.
f ( x)  y  x  f
f ( x )  y ise x  f
x2  1
1
f ( x)  2
Çözüm:
Çözüm:
x 1
20
( x ) in eşitini
bulunuz.
f(
20
x2  2 x  13
26. f : R  { 1}  R  {3}, ve x 
3
1
3
( y )  ( y  1)  2  f ( x )  ( x  1)  2 dir.
24. f (

bulunur.
3
3
 x  2  ( y  1)  x  ( y  1)  2 dir.
f
x2  2 x  1  12
( f  f  f )( 3) kaçtır?
x
x2  2 x  2
olur.
Çözüm:
( 3,5)  f olduğundan f ( 3)  5 tir.
25. f ( 2 x  1) 
x2  3
5
( 5,1)  f olduğundan f ( 5)  1 dir.
olduğuna göre f ( x ) in eşitini
(1,2)  f olduğundan f (1)  2 dir.
bulunuz.
Bu durumda,
Çözüm:
2 x  1 in tersi
x 1
2
olduğu için f ( 2x  1) de x yerine
yazılırsa f ( x ) bulunur.
f ( 2 x  1) 
x2  3
5
ise,
x 1 2
) 3
x 1
f ( 2.
 1)  2
2
5
x 1
( f  f  f )( 3)  f ( f ( f ( 3)))  f ( f ( 5))  f (1)  2 olur.
2
28. f ( x  2)  5x  3 ve g( x  3)  3x  1 olduğuna göre,
( g  f )( 3) ün değeri kaçtır?
Çözüm:
f ( x  2)  5x  3 ise f (1  2)  5.1  3  f ( 3)  8 dir.
(
g( x  3)  3x  1 ise g(11  3)  3.11  1  g( 8)  34 tür.
23
Buna göre,
Çözüm:
( g  f )( 3)  g( f ( 3))  g( 8)  34 olur.
2007
x  1 için f ( x ) 
2008
2
3x
dir.
2
29. f ( x )  x
x
 5 ve g( x )  x  2 x  9
olduğuna göre, ( f  g)( 4) ün değeri kaçtır?
5  1 olduğu için f ( 5) 
Çözüm:
x  1 için f ( x )  3 x tir.
35

2
2
2
 1 dir.
 1  1 olduğu için f ( 1)  3.( 1)  3 tür.
2
x  4 için g( 4)  4  2.4  9  1 dir.
Buna göre,
x  1 için f ( 1)  ( 1)
2007
 ( 1)
2008
 5  5 tir.
( f  f )( 5)  f ( f ( 5))  f ( 1)  3 bulunur.
Buna göre,
( f  g)( 4)  f ( g( 4))  f ( 1)  5 olur.
30. f ( x )  5
(f
1
x2
32. f ( x ) 
22
x  2 için f ( 1)  5
2
 1  2 olduğu için g( 1)  ( 1)  2  3 tür.
 1 dir.
Buna göre,
1 2
( g  f )( 2)  g( f ( 2))  g( 1)  3 tür.
5f
1
( 5)  1 dir.
Buna göre,
1
( g( f ( 2)))  f
f
3 x,

31. f ( x )   3 - x
 2 ,
x 3
2  3 olduğu için f ( 2)  5  3.2  1 dir.
2
x  1 için g(1)  1  4  5 tir.
 g  f )( 2)  f
ve g( x )  
Çözüm:
 g  f )( 2) nin değeri kaçtır?
x  4 için f ( 2)  5
1

x2  2, x  2
x  1, x  -2

x 3
olduğuna göre, ( g  f )( 2) nin değeri kaçtır?
2
ve g( x )  x  4 olduğuna göre,
Çözüm:
(f
2 x  1,

5  3 x,
1
1
( g(1))
Çözüm:
( 5)  1
( f  g)  g
1
 f  (g  g
g( x )  2 x  3  g
x 1
x 1
33. ( f  g)( x )4 x  1 ve g( x)  2x  3 olduğuna göre f ( x )
fonksiyonunu bulunuz.
olduğuna göre ( f  f )( 5) in değeri
f ( x )  [( f  g)  g
1
1
1
( x) 
)  f  I  f dir.
x3
2
]( x )  [ f  g]( g
dir.
1
( x ))
kaçtır?
f ( x )  [ f  g](
x3
2
)  4.
x3
2
Buna göre, f ( x)  2x  7 dir.
24
 1  2 x  6  1  2 x  7 dir.
34. f
1
( 3)  0 , g
göre, ( g  f  h)
1
1
( 2)  3 ve h
1
( 0)  1 olduğuna
f ( x) 
( g  f  h)
1
1
h
1
( 2)  [ h
f
1
9
dir.
2
( 2) nin değeri kaçtır?
Çözüm:
( g  f  h)
x  0 için f ( f ( 0)) 
1
f
g
1
1
g
olduğu için,
1
]( 2)
2x  u
x 1
ise x  0 için f ( 0) 
x  u için f (u) 
2.u  u
u1

3u
2.0  u
0 1
 u dur.
dir.
u1
Buna göre,
h
1 1 1
[ f ( g ( 2))]
f ( f ( 0)) 
h
1 1
1
[ f ( 3)]  h ( 0)  1 bulunur.
Bu eşitlikten,
9
2
 f (u) 
9
2

3u
u1
9

2
dir.
9u  9  6u  3u  9  u  3 tür.
35. g( x)  3x  1 , f ( x ) 
2x  1
ve ( g
x5
1
 f )( a)  2
2
olduğuna göre, a kaçtır?
Çözüm:
olduğuna göre,
g( x)  3x  1 ise g( 2)  3.2  1  5 tir.
f ( x) 
2x  1
x5
ise f ( a) 
2a  1
a5
3
37. f ( x)  x  3 , g( x )  x  1 ve h( x )  x  2
( f .g  h)( 1)
( f  g  h)(1)
kaçtır?
Çözüm:
tir.
2
3
f ( x )  x  3 , g( x )  x  1 ve h( x )  x  2
olduğu için,
1
1
 1 2a  1
( g  f )( a)  2  g ( f ( a))  2  g (
)2
a5
 g( 2) 
2a  1
a5

2a  1
a5
5
 5a  25  2a  1  3a  24
 a  8 bulunur.
36. f ( x ) 
2x  u
x 1
ve ( f  f )( x ) 
2
f ( 1)  1  3  2 , g( 1)  ( 1)  1  0 ,
3
3
h( 1)  ( 1)  2  1 , h(1)  1  2  3 ,
2
g( 3)  3  1  8 , f ( 8)  8  3  11 dir.
Buna göre,
x9
3x  2
( f .g  h)( 1)
olduğuna göre u
( f  g  h)(1)

kaçtır?

Çözüm:
( f  f )( x )  f ( f ( x )) 
x9
3x  2
ise
38. f ( x ) 
kaçtır?
25
f ( 1). g( 1)  h( 1)
f ( g(h(1)))
1
f ( 8)

f  1( x)  2
3
1
11

2.0  1
f ( g( 3))
bulunur.
olduğuna göre, ( f  f )( 2) nin değeri
Çözüm:
f
1
f ( 0)  2 ise f
 f  I olduğundan,
f ( x) 
f  1( x)  2
3
f ( f ( x )) 
3
g( 3)  2.3  2  4 tür.
f ( 3)  g( 3)  4  f

x2
3
 ( f  f )( x ) 
x2
3
olur.
22
3
1
( 4)  3 tür.
Buna göre,
( g  f  1)( 2)
Bu son eşitlikte x yerine 2 yazılırsa,
( f  f )( 2) 
( 2)  0 dır.
g( 0)  2.0  2  2 dir.
eşitliğinde x yerine f ( x ) yazılırsa,
f  1( f ( x ))  2
1
( f  1  g)( 3)
 0 bulunur.

g( f  1( 2))
f  1( g( 3))

g( 0)
f  1( 4)

2
3
bulunur.
41.
1
Yandaki şekilde y  f ( x )
fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
39. f ( 2 x  1)  g( 3 x  4) olduğuna göre ( f  g)( 5) in
değeri kaçtır?
Çözüm:
f ( a  4)  0 olduğuna
f ( a)  b ise f
1
göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
( b)  a dır.
Çözüm:
Buna göre,
f
1
( 2 x  1)  g( 3 x  4)  f ( g( 3 x  4))  2 x  1 dir.
y  f ( x ) fonksiyonunun grafiği (2,0) , (1,0) , ve ( 3,0)
noktalarından geçtiği için,
( f  g)( 3x  4)  2x  1 ifadesinde x yerine 3 yazılırsa,
f ( 2)  0 , f (1)  0 ve f ( 3)  0 dır.
( f  g)( 3.3  4)  2.3  1  ( f  g)( 5)  7 bulunur.
f ( a  4)  0 olduğuna göre,
a  4  2 , a  4  1 veya a  4  3 tür.
40.
a  4  2  a  6 dır.
Yandaki şekilde y  f ( x )
eğrisinin grafiği Ox eksenini -3
te, Oy eksenini 2 de
kesmektedir. g( x)  2x  2
fonksiyonunun grafiğinin f ( x )
eğrisine teğet olduğu noktanın
apsisi 3 tür.
Buna göre
a  4  1  a  3 tür.
a  4  3  a  1 dir.
Buna göre a nın alabileceği değerlerin toplamı,
( 6)  ( 3)  ( 1)  10 dur.
( g  f  1 )( 2)
( f  1  g)( 3)
kaçtır?
44. f : R

 R, f ( x ) 
göre f ( 2) kaçtır?
Çözüm:
Verilenlere göre,
26
f ( x  1)
x
ve f ( 4)  12 olduğuna
Çözüm:
46. f : R  R, f ( x  2)  f ( x)  x ve f ( 2)  1 olduğuna
göre, f (102) değeri kaçtır?
x  3 için f ( 3) 
x  2 için f ( 2) 
f ( 4)
3
f ( 3)
2


12
 4 tür.
3
4
2
 2 dir.
f ( x  2)  f ( x)  x ise f ( x  2)  f ( x)  x tir.
Bu eşitlikte x yerine sırasıyla 2,4,…,98,100 yazacağız.
42. f ( x)  f ( x  1)  2x  3 olduğuna göre f ( 2)  f ( 0)
kaçtır?
Çözüm:
x  1 için f (1)  f ( 2)  5 tir.
x  0 için f ( 0)  f (1)  3 tür.
f (1)  f ( 2)  f (0)  f (1)  5  3  f ( 2)  f (0)  2 olur.
ax  b
bx  a
Sonra da bulduğumuz değerleri taraf tarafa toplayacağız.
x  2 için,
f ( 4)  f ( 2)  2
x  4 için,
f ( 6)  f ( 4)  4
x  6 için,
f ( 8)  f ( 6)  6
. . .
Birinci ifadeden ikinci ifade çıkartılırsa,
43. a  b olmak üzere f (
Çözüm:
x  98 için,
f (100)  f ( 98)  98
x  100 için, f (102)  f (100)  100
+__________________
2
)  x  x  1 olduğuna
göre f ( 1)  f (1) toplamı kaçtır?
f (102)  f ( 2)  2  4  6  ..  98  100
Çözüm:
f(
ax  b
bx  a
f (102)  1  50.51
2
)  x  x  1 ifadesinde x yerine önce 1, sonra -1
f (102  2550  1  2551 bulunur.
yazılırsa,
f(
f(
ab
ba
2
)  1  1  1  f ( 1)  3 tür.
ab
ba
47. f : R  R,
2
)  ( 1)  1  1  f (1)  1 dir.
Buna göre, f ( 1)  f (1)  3  1  4 olur.
45. f (a.b)  f (a)  f (b) ve f ( 2)  7 olduğuna göre f (16)
değerini bulunuz.
x  1,

f ( 2 x  1)  
3  x,

x
x
1
2
1
2
göre f ( 1)  f ( 0) toplamı kaçtır?
Çözüm:
1 
1
2
olduğu için, f ( 2x  1)  3  x tir.
Çözüm:
f ( 2.( 1)  1)  3  ( 1)
f ( a.b)  f ( a)  f (b) olduğu için,
f ( 1)  4
f (16)  f ( 2.2.2.2)  f ( 2)  f ( 2)  f ( 2)  f ( 2)  28 olur.
27
olduğuna

1
2

1
2
olduğu için, f ( 2x  1)  x  1 tir.
1
1
f ( 2.(  )  1)    1)
2
2
f ( 0)  
f ( 1)  f ( 0)  4 
3
2

5
2
3
2
2
1
f (  ) değerini bulunuz.
4
Çözüm:
1
2
2
2
x  x    4 x  4 x  1  0  ( 2 x  1)  0
4
dir.
bulunur.
 2x  1  x 
2
2
48. f ( 2 x  1)  4 x  3 olduğuna göre, f ( x ) fonksiyonunu
bulunuz.
Çözüm:
2 x  1 in bileşke işlemine göre tersi
2
50. f : R  R, f ( x  x )  x  x  3 olduğuna göre
x 1
2
1
2
2
Bu değeri f ( x  x )  x  x  3 fonksiyonunda yazarsak,
1 2 1
1 2 1
1 1
1 1
f (( )  )  ( )   3  f (  )    3
2
2
2
2
4 2
4 2
1
15
 f ( ) 
olur.
4
4
olduğu için bu
2
değer f ( 2 x  1)  4 x  3 fonksiyonunda x yerine yazılırsa
f ( x ) bulunur.
f ( 2.
x 1
2
 1)  4.(
51. f (
x 1 2
) 3
2
x2  1
x
1
1
2
)x 
 x  olduğuna göre f ( x )
2
x
x
fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm:
f ( x  1  1)  4.
x2  2 x  1
4
3
x2
2x  3
2
2
f ( x )  x  2 x  1  3  x  2 x  2 bulunur.
f(
49. f (
x2  1
x
1
1
2
)x 
 x  olduğuna göre, f ( x )
x
x2
Çözüm:
x2  1
x
)
x
2x  3
x 1
f ( x ) bulunur.
fonksiyonunu bulunuz.
f(
x2
ün bileşke işlemine göre tersi
1
1
2
)x 
 x  ise,
2
x
x
1 2
1
2
f ( x  )  ( x  )  2  ( x  )  f ( x)  x  x  2
x
x
x
3x  2
2
3x  2
2x  1
fonksiyonunda x yerine
dir.
3x  2
2x  1
yazılırsa
3x  2
3x  2
f ( 2x  1
)  2x  1  f ( x) 
olur.
3x  2
3x  2
5x  1
2.
3
1
2x  1
2x  1
52. f ( x ) doğrusal fonksiyonu için f
f
1
1
28
1
( 5)  4 ve
( 7)  3 olduğuna göre, f (9) kaçtır?
Çözüm:
f
1
( 5)  4  f ( 4)  5 tir.
f
1
3x  1
( 7)  3  f ( 3)  7 dir.
2x  1
f ( x ) doğrusal fonksiyon olduğundan f ( x)  ax  b dir
x  4 için f ( 4)  4a  b  4a  b  5 tir.
f(
ifadesinin bileşke işlemine göre tersi
3x  1
)  x  4 fonksiyonunda x yerine
2x  1
f ( x ) bulunur.
 x 1
2x  3
 x 1
2x  3
tür.
yazılırsa
x  3 için f ( 3)  3a  b  3a  b  7 dir.
3.
Bu iki eşitlik taraf tarafa çıkarılırsa,
f(
2.
4a  b  3b  b  5  7  a  2 bulunur.
 x 1
2x  3
 x 1
2x  3
1
)
1
 x 1
2x  3
 4  f ( x) 
7 x  13
2x  3
bulunur.
4a  b  5  4.( 2)  b  5  b  5  8  13 bulunur.
Buna göre, f ( x)  ax  b  2x  13 tür.
 x  1,
x2
  x  3,
x2
55. f ( x )  
Bu durumda,
olduğuna göre f
1
( 5)
değeri kaçtır?
f ( 9)  2.9  13  18  13  5 bulunur.
Çözüm:
x  2 için f ( x)   x  3 olduğundan,
2
53. f : (2,)  ( 1,) ve f ( x )  x  4 x  3 olduğuna
göre f
1
2  2 olup, f ( 2)  2  3  5 tir.
( x ) fonksiyonunu bulunuz.
f ( 2)  5  f
Çözüm:
f : ( 2,)  ( 1,) ise, x  2, y  -1 dir.
56. f ( x )  2
2
2
y  f ( x )  x  4 x  3  y  1  ( x  2)
y  1  x  2 tir.

y 1  x 2  x 
f
1
( x) 
54. f
1
x2
x
x
f( )  2 2
2
3x  1
2x  1
x
olduğuna göre f ( ) nin f ( x ) türünden
2
2
x
x f ( x)
 2 .4  f ( x )  2 
tür.
4
x
 2.
olduğuna göre f ( x ) fonksiyonunu
f ( x)
bulunuz.
x
f( ) 
2
Çözüm:
f
1
( x  4) 
3x  1
2x  1
1
 4.2 2  4.2 2
.x
1
x 2
 4.( 2 )  4. 2x
x  1  2 dir.
( x  4) 
x2
Çözüm:
y  1  2 bulunur.
O halde,
( 5)  2 bulunur.
eşitini bulunuz.
f ( x)  2
x  2 olduğundan,
1
 f(
3x  1
2x  1
)  x  4 tür.
f ( x ) olur.
KONU BİTMİŞTİR…
29
4

f ( x)
30