9 MATEMATİK KONU ANLATIM KİTABI 2.KİTAP_Decrypted

¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
m
ı
t
a
l
n
A
u
n
o
K Kitabı
ISBN 978-605-5631-97-0
w
.
w
w
r
a
k
te
e
y
z
c
n.
o
tr
.
m
Sertifika No 19785
Ú¡¤ö¡ğ Remzi ahin AKSANKUR
¡Ŋ¨¯ Önder DORUK
£Ú¡
CEREN MATBAACILIK
İSTANBUL
1110117
®
Bu kitabn tüm basm ve yayn haklar kartezyen egitim yaynlar na ait olup, tüm
haklar sakldr. Ksmen de olsa alnt yaplamaz. Metin ve sorular, kitab yaynlayan
irketin önceden izni olmakszn elektronik, mekanik, fotokopi, tarama ya da herhangi bir
kayt sistemiyle çoaltlamaz, yaynlanamaz.
Oruçreis Mah. Giyimkent Sitesi 8. Sokak A1 Blok B-95 No:64 - 65 ESENLER - STANBUL
Tel: (0212) 438 60 44 - Fax: (0212) 438 60 45
Copyright © kartezyen egitim yaynlar
®
ဣ¤¤¡¡À£¡ဤ£¯¡À¤¤ဖ
ÀÚÍÚ¡£ö¯Ğ¡နÍ¡¡ÚÚ¡¡ÀÚ¤£¡
¤¤£ÚÍ¡န¡¤¤¤Íö
¨¡¦¡Ú¡Ć¯Ć¡ö£¡¡ÚĆ¡Ú¡န¤ဖ
¤¤ÚÚ¯Ú¡Ú¡ĆÚÚ¯ÀÚ¤ÚÍÚ¤¤¦Í¢Ćဖ
£¯£ÚÚĆ¤¡¡ÚĆÀÚ¡ÚÚ¯Ú¯Ć¤¡¡န
¡¥¯Í¤Ú¡Ú¡¤¤ÍöÍ¢¡£¨¡ထöÍဖ
¡¡¡ÚÚ¤À¡ÚÚ¯Ú¡နÍ¤¡¦¡¦Í§¨
öŴÍ¡Ú¨¡¤¤Í£¨¡Ğ¯ÍÚÚ¯öဖ
¡ö¡¨ÍÚÚÚ¯န\¯¤¤¤Ğ¯£ဖ
¡öÍ¢¡À¯Ú¡ÚÍÚÚ¯Ć£¡ထ¡¥£¨öÍ¢¡öĞ
¨ £¡ ¤¡ÚÚ¯¨ ¦ ¤ÚÚ £Ğ¡¯ ¤§¡§¦ £¡ ¤ဖ
¤ÍĞ£ĞĆöÍ¢¡¯¤¡¡¯¨Ğ£¤£¨¡ÀÚ¡Ú
ÀÚန Ú¡ÚÚ¯Ú ¯Ú¡ öÍ¢¤¡¯ Ú¡Ú ¨¡Í ¤¡ğ
öÍ¢¡Ć¡¯¡Ú¡ÚÚ¤£¤¡¦ö¡ÍĆဖ
¤Ú¤¡¦¡ÚöÍ¢¡¡¡¤Ú¡¦Ć¯Úö¤ğ¡န
öÚÚÍÚÚ¯¦¤ÚÚ¤§¡§¦£¡£Ğ¡¯ÚÍÚÚ¯
¦¦Ć¤¡¡¯ö£¤¡န
¯¦¦ႁနÚÚ¤¤¦¤Ú¤ÚÚ¯¤£¨
¦¨¡£¡¯ှĆ£¡ဿĞ£¯Ú¡ÚĆ¦¤¤¡
¦¡§¦¦ÚÚÍÚĞŠ¤Ú£¤Ú¡နÚÚ¯Ú¡¡öÍ¢ဖ
¡¦¡ÚÍĞĆĞ¡¦£Ú¡¡Ú¯Ú¡
ÍĆ¡ÚÚĆ¤¤££¤¯Ú¡ÚÀ¡
ö¯¡ÚĆ¤¡န¤ÚÚ¯Ú¤ğÍ¡öÍ¢¤¨öÍ¢¡¯¡¡Ú
¡£ÚÚğ¡¤¡¯န
¡¥¯Í¤Ú¡Ú
2. Kitap
ၾနöĞဓ ¡¡¡¨
Ć¤£¯§¡Ú
Oran ve Orant ....................................................................................................................224 - 233
Doru Orant ......................................................................................................................234 - 239
Ters Orant ..........................................................................................................................240 - 245
Bileik Orant ......................................................................................................................246 - 249
Aritmetik Ortalama .............................................................................................................250 - 255
Say ve Kesir Problemleri ...................................................................................................256 - 273
Yüzde ve Karm Problemleri ............................................................................................274 - 285
Faiz Problemleri .................................................................................................................286 - 289
Hareket - Hz Problemleri ...................................................................................................290 - 295
çi ve Havuz Problemleri...................................................................................................296 - 303
ၿနöĞဓ£¡
Fonksiyon ...........................................................................................................................304 - 307
Tanm, Deer ve Görüntü Kümesi......................................................................................308 - 315
Fonksiyon Makineleri .........................................................................................................316 - 329
Fonksiyon Çeitleri.............................................................................................................330 - 337
Parçal Fonksiyon ...............................................................................................................338 - 339
Mutlak Deer Fonksiyonu ..................................................................................................340 - 341
Fonksiyon Grafikleri ...........................................................................................................342 - 353
Fonksiyon Türleri................................................................................................................354 - 361
ႀနöĞဓ
¤¢
Temel Kavramlar.................................................................................................................362 - 371
Doruda Açlar ...................................................................................................................372 - 381
Üçgende Açlar...................................................................................................................382 - 395
Aç - Kenar Bantlar .........................................................................................................396 - 417
Üçgende Elik ve Benzerlik ...............................................................................................418 - 447
¡¥¯Í¤Ú¡Ú
1. Kitap
ၹနöĞဓĞ¡
Kümelerde Temel Kavramlar ....................................................................................................8 - 15
Alt Küme Kavram...................................................................................................................16 - 25
Kümelerde lemler ................................................................................................................26 - 45
Sral kili, Kartezyen Çarpm ..................................................................................................46 - 51
Küme Problemleri ..................................................................................................................52 - 57
ၺနöĞဓ
¡ÀÚ¡
Doal Saylar ve Sayma Saylar ............................................................................................58 - 59
Tam Saylar Kümesi................................................................................................................60 - 61
Rasyonel Saylar ....................................................................................................................62 - 63
Gerçek Saylar ........................................................................................................................64 - 69
ၻနöĞဓ¡¡¨Ć¤£¯¡
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler .....................................................................70 - 85
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Eitsizlikler....................................................................86 - 119
Mutlak Deer ......................................................................................................................120 - 127
Mutlak Deerli Denklemler.................................................................................................128 - 133
Mutlak Deerli Eitsizlikler .................................................................................................134 - 139
Birinci Dereceden ki Bilinmeyenli Denklemler ..................................................................140 - 145
Birinci Dereceden ki Bilinmeyenli Denklem Sistemleri .....................................................146 - 147
Birinci Dereceden ki Bilinmeyenli Eitsizlikler ..................................................................148 - 151
ၼနöĞဓv£ĞÚ¡
Üslü Saylar ........................................................................................................................152 - 171
Üslü Denklemler .................................................................................................................172 - 177
Üslü Saylarda Sralama .....................................................................................................178 - 179
ၽနöĞဓöĞÚ¡
Köklü Saylar ......................................................................................................................180 - 209
Köklü Denklemler ...............................................................................................................210 - 215
¡¥¯Í¤Ú¡Ú
3. Kitap
ႀနöĞဓ
¤¢
Pisagor Bants ................................................................................................................456 - 467
Öklit Bantlar ...................................................................................................................468 - 475
Açlarna Göre Özel Dik Üçgenler ......................................................................................476 - 485
Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ..................................................................................486 - 509
kizkenar Üçgen .................................................................................................................510 - 521
Ekenar Üçgen ..................................................................................................................522 - 531
Açortay ..............................................................................................................................532 - 549
Kenarortay ..........................................................................................................................550 - 565
Üçgende Alan ....................................................................................................................566 - 601
Sinüs Teoremi ....................................................................................................................602 - 611
Vektörler .............................................................................................................................612 - 631
ႁနöĞဓ¡ထ¨£ÚÚ
Veri Analizi ve statistik .......................................................................................................632 - 637
Aritmetik Ortalam ...............................................................................................................638 - 639
En Büyük Deer, En Küçük Deer Veri Açkl .................................................................640 - 641
Medyan ..............................................................................................................................642 - 643
Kutu Grafii ........................................................................................................................644 - 645
Serpilme Grafii .................................................................................................................646 - 647
Standart Sapma .................................................................................................................648 - 649
Olaslk ................................................................................................................................650 - 653
Olaslk Fonksiyonu ............................................................................................................654 - 657
E Olumlu Örneklem Uzay ve Olaslk Hesab...................................................................658 - 667
¡¥¯Í¤Ú¡Ú
BRNC DERECEDEN BR BLNMEYENL DENKLEM VE ETSZLK
UYGULAMALARI
Oran ve Orantı
Oran:
Ölçülebilen ayn cinsten iki büyüklüün birbirine bölümüne oran denir.
a
ye a nn b ye oran denir ve a:b biçiminde de gösterilir. Karlatrlan büyüklüklerin birimlerinin ayn olmas gerekir.
b
ki farkl büyüklüün bölümü oran olmaz. Oran en sade ekilde yazlr.
b0 olmak üzere,
çözüm
kavrama sorusu
Aadaki bölümlerin hangileri orandr, bulunuz.
I)
25 kg
37 kg
II)
10q C
45 m
III)
I)
20 km
100 kg
30 kiilik bir snfta 14 kz, 16 erkek örenci vardr.
Kz örencilerin, erkek örencilere orann
b)
Kz örencilerin tüm snfa orann bulunuz.
II)
10q C
birimleri farkl olduundan oran deildir.
45 m
III)
20 km
100 kg birimleri farkl olduundan oran deildir.
çözüm
kavrama sorusu
a)
25 kg
birimleri ayn olduundan orandr.
37 kg
Snf= 30
Kz=14
a)
Kz
Erkek
14
16
7
8
b)
Kz
Snf
14
30
7
15
Erkek=16
çözüm
kavrama sorusu
50 ml kolonyann içerisinde 45 ml alkol bulunmaktadr.
Kolonyann Tümü=50 ml
Kolonyadaki alkol orann bulunuz.
Alkol=45 ml
Alkol
Kolanyann Tümü
45 ml
50 ml
9
10
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
2 lt su ile 1 lt yourt kartrlarak ayran yaplyor.
Su=2 lt
Ayrandaki yourt orann bulunuz.
Yourt=1 lt
Ayran=2+1=3 lt
Yourt
Ayran
1
3
Cevap:
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
9
10
224
¤¤¦¤Ú¤Ú
1
3
Test / 1
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
Aadakilerden hangisi bir orandr?
1 kg
A)
3 km
Önder’in dolabnda 5 pantolon, 12 gömlek vardr.
2g
3 cm
D)
Dolaptaki gömlek oran kaçtr?
24qC
C)
30qC
4m
B)
12 g
E)
A)
3 lt
4m
12
17
B)
D)
soru 2
5
17
12
5
C)
E)
5
12
17
5
soru 6
Aadakilerden hangisi bir oran deildir?
40 lt lik bir boya karmnn 27 lt si boya geri kalan sudur.
Karmdaki boya oran kaçtr?
A)
3m
4 TL
B)
D)
8 cm
9 cm
C)
6m
7m
E)
7 kg
3 kg
13 lt
17 lt
A)
40
13
B)
www.kartezyen.com.tr
D)
soru 3
27
13
13
40
C)
27
40
E)
soru 7
10 tane hayvann bulunduu bir kümeste 7 tavuk, 3 horoz vardr.
18 lt lik bir tuzlu su karmnn 7 lt si tuz geri kalan sudur.
Horozlarn, tavuklara oran kaçtr?
Karmdaki su oran kaçtr?
A)
3
10
B)
D)
3
7
C)
7
3
E)
7
10
A)
11
7
10
3
B)
D)
soru 4
13
27
7
11
11
18
C)
E)
7
18
18
11
soru 8
11 kiilik bir futbol takmnda 5 yabanc, 6 yerli oyuncu vardr.
Yabanc oyuncularn yerli oyunculara oran kaçtr?
5 lt su, 2 lt limon suyu, 3 lt eker bir kaba doldurularak limonata
yaplyor.
Limonatadaki eker oran kaçtr?
A)
6
11
B)
D)
5
11
C)
6
5
E)
5
6
11
6
A)
3
10
B)
D)
3
5
1
5
C)
E)
1
2
2
5
225
1–C
2–A
3–B
4–C
5–A
6–E
7–D
8–A
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
a ve b ayn birimden iki büyüklük olsunlar,
a=1
ve
b=2
ise
a
b
1
2
a=2
ve
b=4
ise
a
b
2
4
1
2
a=3
ve
b=6
ise
a
b
3
6
1
2
b=80
ise
a
b
40
80
a=40
ve
a
b
2
4
1
2
3
6
..........
40
80
1
2
.........
Yukardaki örnekte görebileceimiz gibi, bize bir oran verildiinde oranladmz büyüklükler bu orandaki saylara eit olmayabilir.
a
b
1
2
ise
kR olmak üzere, a=1k ve b=2k dr. (k0)
x
y
3
4
ise
kR olmak üzere, x=3k ve y=4k dr. (k0)
çözüm
kavrama sorusu
Saylarmz a ve b olsunlar,
3
olduuna göre, bu saylarn hangi
5
saylar olabileceini aratrnz.
ki saynn birbirine oran
a 3
b 5
k=1
k=5
ise
a=3k
ve
b=5k dr.
için
a=3.1=3
ve
b=5.1=5 olabilir.
için
a=3.5=15
ve
b=5.5=25 olabilir.
ve
b
1
2
için
a
k=ñ3
için
a=3.ñ3=3ñ3 ve
k
1
3.
2
3
2
5.
1
2
5
olabilir.
2
b=5.ñ3=5ñ3 olabilir.
çözüm
kavrama sorusu
Saylarmz a ve b olsunlar,
4
olan iki saynn toplam 27 olduuna göre, bu
5
saylardan büyük olan kaçtr, bulunuz.
Birbirine oran
a 4
ise
a=4k
b 5
a+b=4k+5k=9k=27

ve
b=5k dr.
k=3 bulunur.
a=4k olduundan a=4.3=12
b=5k olduundan b=5.3=15
Büyük say 15 dir.
Cevap: 15
çözüm
kavrama sorusu
Yiit 1
ise
Yiit=1k,
Ezgi 2
Ezgi – Yiit=2k – 1k=k=5
1
dir. kisinin yalar fark 5
2
olduuna göre, Yiit kaç yandadr, bulunuz.
Yiit’in yann, Ezgi’nin yana oran
Ezgi=2k
Yiit=1k olduundan Yiit=5 yanda
Cevap: 5
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
226
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 2
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
1
olduuna göre, (x, y) ikilisi aa3
dakilerden hangisi olabilir?
x saysnn y saysna oran
A) (2, 3)
B) (2, 8)
Pazardan alnan 1 kg domates ve 1 kg patates için toplam 15 TL
ödeme yaplmtr. Domatesin fiyatnn, patatesin fiyatna oran
2
olduuna göre, patates kaç TL tutmutur?
3
C) (3, 5)
D) (3, 6)
A) 6
E) (5, 15)
soru 2
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
soru 6
3
olduuna göre, (x, y) ikilisi aa4
dakilerden hangisi olabilir?
olduuna göre, snfta kaç erkek örenci vardr?
A) (2, 6)
A) 15
x saysnn y saysna oran
B) (4, 12)
C) (6, 8)
B) 17
C) 18
D) 19
1
7
E) 21
E) (18, 20)
www.kartezyen.com.tr
D) (9, 16)
24 kiilik bir snfta kz örencilerin, erkek örencilere oran
soru 3
soru 7
1
olan iki saynn toplam 9 olduuna göre, bu
2
saylardan büyük olan kaçtr?
40 aracn bulunduu bir otoparkta sadece otomobil ve otobüsler
A) 3
parktaki otobüs says kaçtr?
Birbirine oran
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
vardr. Otobüslerin otomobillere oran
A) 15
soru 4
C) 17
D) 18
E) 19
soru 8
1
olan iki saynn toplam 30 olduuna göre, bu
5
saylardan küçük olan kaçtr?
Birbirine oran
A) 5
B) 16
2
olduuna göre, oto3
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
5
dir.
7
Tarlalardan çkan ürünlerin fark 12 ton olduuna göre, iki tarladan toplam kaç ton buday çkmtr?
ki farkl tarladan elde edilen budaylarn birbirine oran
A) 72
B) 75
C) 80
D) 84
E) 90
227
1–E
2–C
3–D
4–A
5–D
6–E
7–B
8–A
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
Orantı
ki veya daha fazla orann eitliine orant denir.
a
b
k
a
b
c
d
c
d
ve
k
olsun
kR
k eitliine orant denir. “k” orant sabitidir.
Orantnn özellikleri;
a
b
c
d
orants a:b=c:d biçiminde de gösterilir.
a
b
c
d
orantsnda a ve d ye dlar, b ve c ye içler denir.
a
b
c
d
orantsnda içler çarpm dlar çarpmna eittir.
a
b
c
d
ise
a.d=b.c dir.
çözüm
kavrama sorusu
x 1
4 2
orantsnda x kaçtr, bulunuz.
x
4
1
2
ise
2.x=1.4
x=2
Cevap: 2
çözüm
kavrama sorusu
3
5
x 1 7
orantsnda x kaçtr, bulunuz.
3
5
x 1 7

5.(x+1)=3.7

5x+5=21

5x=16
x
16
5
Cevap:
16
5
çözüm
kavrama sorusu
2
3
x x 1
orantsnda x kaçtr, bulunuz.
2
x

3
x 1
2.(x+1)=3.x
2x+2=3x
x=2
Cevap: 2
çözüm
kavrama sorusu
dlar
x:2=4:5
orantsnda x kaçtr, bulunuz.
x:2=4:5
içler
5.x=2.4
x
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
228
8
5
Cevap:
¤¤¦¤Ú¤Ú
8
5
Test / 3
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
x
6
1
3
x
3
orantsnda x kaçtr?
orantsnda x kaçtr?
B) 2
A) 1
x 1
4
C) 3
D) 4
A) 1
E) 5
soru 2
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
C) 7
D) 8
E) 9
soru 6
5
a
x2
5
2
4
orantsnda x kaçtr?
orantsnda a kaçtr?
B) 12
C) 13
D) 14
A) 5
E) 15
www.kartezyen.com.tr
A) 10
soru 3
1
3
x
7
x 1
15
B) 6
soru 7
x : 3=4 : 2
orantsnda x kaçtr?
orantsnda x kaçtr?
A) 6
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
E) 6
soru 4
soru 8
4
5
8
x2
1 : (x – 1)=2 : 7
orantsnda x kaçtr?
orantsnda x kaçtr?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
A) 2
B)
D)
7
2
5
2
C) 3
E)
9
2
229
1–B
2–A
3–E
4–D
5–C
6–C
7–A
8–E
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çözüm
kavrama sorusu
a
b
2
3
a
b
olduuna göre,
ab
orann bulunuz.
ba
2k 3k
3k 2k
b=3k (kR)
ve
5k
k
5 dir.
Cevap: 5
2a b
orann bulunuz.
ba
a
2
b
5
a
2
k
ise
a=2k
b
5
k
ise
b=5k
k olsun. (kR)
2a b
ba
2.2k 5k
5k 2k
9k
3k
9
3
3 dir.
Cevap: 3
çözüm
kavrama sorusu
3.a=5.b
olduuna göre,
a=2k
çözüm
b
5
olduuna göre,
ise
ab
ba
kavrama sorusu
a
2
2
3
3a
ab
orann bulunuz.
ab
a
5

5b
b
tür.
3
a b
5 3
a=5k
k diyelim (kR)
ab
a b
5k 3k
5k 3k
ve
b=3k
8k
2k
8
2
4
Cevap: 4
Uyarı
m.x=n.y biçimindeki bir orantda, kR olmak üzere m . x = n . y
y
3
z
5
olduuna göre,
x y
2 3
x=2k,
yz
orann bulunuz.
x
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
x=n.k
ve
y=m.k diyebiliriz.
çözüm
kavrama sorusu
x
2

yz
x
230
z
k olsun. (kR)
5
y=3k
ve
z=5k olur.
3k 5k
2k
8k
2k
4
Cevap: 4
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 4
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
a
b
1
2
2a=b
olduuna göre,
ab
olduuna göre,
oran kaçtr?
a
A) 1
B) 2
A) 5
C) 3
D) 4
C) 7
D) 8
E) 9
soru 6
x
y
2
3
3a=7b
olduuna göre,
x 2y
olduuna göre,
oran kaçtr?
x+y
B)
8
5
C)
7
5
D)
6
5
E) 1
A)
www.kartezyen.com.tr
9
5
soru 3
2
5
ab
oran kaçtr?
ab
B)
1
5
C) 1
D) 5
E) 7
soru 7
a
4
b
3
olduuna göre,
A) 3
x
2
ab
oran kaçtr?
ab
B) 4
y
3
olduuna göre,
C) 5
D) 6
E) 7
soru 4
A) 1
z
4
xz
oran kaçtr?
y
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
D) 4
E) 5
soru 8
x
5
y
4
olduuna göre,
A) 10
B) 6
E) 5
soru 2
A)
a 3b
oran kaçtr?
a
x
2x y
oran kaçtr?
xy
B) 12
C) 13
y
3
olduuna göre,
D) 14
E) 15
A) 1
z
5
2x y
oran kaçtr?
z
B) 2
C) 3
231
1–C
2–B
3–E
4–D
5–C
6–A
7–B
8–A
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çözüm
kavrama sorusu
a
2
b
3
c
oran verilmitir.
5
a
2
a+b+c=50
b
3
c
5
a=2k,
olduuna göre, a, b ve c kaçtr, bulunuz.
olsun,
k
b=3k
ve
c=5k olur.
a+b+c=50 olduundan,
2k+3k+5k=50
10k=50
k=5
a=2.5=10
b=3.5=15
c=5.5=25
çözüm
kavrama sorusu
2a=3b=5c oran verilmitir.
2a=3b=5c=k olsun.
k
2a=k
ise
a
2
a+b+c=62
olduuna göre, a, b ve c kaçtr, bulunuz.
3b=k
ise
k
3
b
k
5
a+b+c=62 olduundan,
5c=k
ise
c
k
k
k
2
3
5
15 10 31 k
30
62
6

62
k
60
a
k
2
olduundan
a
60
2
30
b
k
3
olduundan
b
60
3
20
c
k
5
olduundan
c
60
5
12
çözüm
kavrama sorusu
ax=by=cz=7 oran veriliyor.
ax=by=cz=7 olduundan,
a+b+c=21
a
2 2 2
toplamn, bulunuz.
olduuna göre, x y z
7
, b
x
7
y
ve
c
7
dir.
z
a+b+c=21
7 7 7
21
x y z
1 1 1¬
7  21
x y z ®
1 1 1
3
x y z
2 2 2
6
x y z
Cevap: 6
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
232
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 5
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
a
2
b
4
soru 5
c
oran verilmitir.
5
3a=4b=5c oran verilmitir.
a+b+c=94
a+b+c=44
olduuna göre, c kaçtr?
olduuna göre, a kaçtr?
A) 15
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
soru 2
b
3
a
B) 18
b
2
2a
a+b+c=40
C) 20
D) 25
E) 30
c
oran verilmitir.
7
C) 21
D) 28
E) 35
soru 4
C) 4
D) 6
E) 8
D) 10
E) 12
D) 12
E) 15
soru 7
A) 3
B) 4
C) 6
soru 8
a=2b=3c oran verilmitir.
ax=by=cz=5 oran verilmitir.
a+b+c=55
a+b+c=15
3 3 3
kaçtr?
olduuna göre, x y z
olduuna göre, a kaçtr?
A) 10
B) 3
a+b+c=12
1 1 1
olduuna göre, kaçtr?
x y z
olduuna göre, c kaçtr?
B) 14
A) 2
ax=by=cz=3 oran verilmitir.
a+b+c=42
A) 7
www.kartezyen.com.tr
B) 15
c
oran verilmitir.
3
olduuna göre, a kaçtr?
soru 3
b
5
E) 30
a+b+c=66
olduuna göre, b kaçtr?
a
2
D) 24
soru 6
c
oran verilmitir.
4
A) 10
C) 20
E) 9
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
A) 3
B) 6
C) 9
233
1–D
2–B
3–C
4–E
5–D
6–D
7–B
8–C
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
Doğru Orantı:
Ölçülebilir birbirine bal iki çokluktan biri artarken dieride ayn oranda artyorsa veya biri azalrken dieride ayn oranda azalyorsa bu
iki çokluk doru orantldr.
x ile y doru orantl ise aralarnda
y
x
k
ise
y
x
k (k ! 0) bants vardr.
y=k.x (Orjinden geçen doru denklemidir)
ki çokluktan biri artarken dierininde artyor veya biri azalyorken dierininde azalyor olmas doru orantl olduklar anlamna gelmez.
Deiimin miktarnn sabit olmas gerekir.
çözüm
kavrama sorusu
Aadaki eitliklerin hangilerinde x ile y doru orantdr, bulunuz.
I)
II)
y=2x
x
y
3
III)
y=x – 1
IV)
y=x3
I)
II)
III)
IV)
y
2 olduundan, (oranlar sabit say oldux
undan) doru orantldrlar.

y=2x
x
1
2
3
y=2x
2
4
6

y
x
y
x
3
1
olduundan doru orantldrlar.
3
y
1
y
oran sabit olma1 (Sabit deil)
x
x
x
dndan doru orantl deildir.
y=x – 1

y
y
oran sabit olmadnx 2 (sabit deil)
x
x
dan doru orantl deildir.
y=x3

Cevap: I ve II
çözüm
kavrama sorusu
y
1. yöntem: Grafik orijinden geçen doru denklemi olduu için x ile
y doru orantldr. Denklemimiz y=kx biçimindedir.
y=kx
x=1
2
için
y=2 olduundan,

2=k.1
k=2
y=2x elde edilir.
1
x
x=3
için y=2.3=6 dr.
2. yöntem: Grafikten x ile y nin doru orantl olduu bilindiinden,
Yukarda y=kx denkleminin grafii verilmitir.
x=1
iken
y=2
Buna göre, x=3 deeri için y kaçtr, bulunuz.
x=3
iken
y=?
3.2=y.1
ise
y=6 bulunur.
Cevap: 6
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
234
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 6
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 4
y
y=kx
Aadaki eitliklerin hangisinde x ile y doru orantl verilmitir?
A) y=x2
B) y=1 – x
6
E) y=x – x2
D) y=x+7
x
2
C) y=5x
Yukarda y=kx denkleminin grafii verilmitir.
Buna göre, k kaçtr?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
soru 2
Aadaki ifadelerden hangisi yanltr?
y
soru 5
A) y=3x ise y ile x doru orantldr.
y=kx
2
B) Yol=Hz x Zaman ise yol ile zaman doru orantldr.
x
ise y ile x doru orantldr.
2
D) y.x=4 ise y ile x doru orantldr.
Yukarda y=kx denkleminin grafii verilmitir.
soru 3
Aada grafii verilen bantlarn hangisinde x ile y doru
orantldr?
y
www.kartezyen.com.tr
E) y – x=0 ise y ile x doru orantldr.
A)
x
4
C) y
Buna göre, x=10 için y kaçtr?
A) 5
B) 10
soru 6
D) 20
E) 25
D) 10
E) 12
y
k
y
B)
C) 15
4
x
12
Yukarda verilen grafie göre, k kaçtr?
x
x
A) 4
C)
D)
y
C) 8
y
soru 7
x
x
E)
B) 6
y
6
y
k
4
x
8
Yukarda verilen grafie göre, k kaçtr?
x
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
235
1–C
2–D
3–E
4–B
5–A
6–C
7–B
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çözüm
kavrama sorusu
x ile y doru orantldr.
x ile y doru orantl olduundan aralarndaki bant
x=8 için y=12 olduuna göre x=18
y=kx biçimindedir. (k orant sabitidir)
için y kaçtr, bulunuz.
x=8 için y=12 ise,

12=k.8
k
12
8
Bant, y
3
x dir.
2
x=18 için
y
3
.18
2

k
3
2
27 dir.
Cevap: 27
çözüm
kavrama sorusu
x+1 ile y – 1 doru orantldr.
y – 1=k.(x+1) (doru orantllar)
x=4 için y=3 olduuna göre x=14
x=4 ve y=3 için,
için y kaçtr, bulunuz.
3 – 1=k.(4+1)
2

k.5
k
2
5
2
x 1
5
y 1
x=14 için
2
14 1
5
2
y 1
.15
5
y 7 dir.
y 1
Cevap: 7
çözüm
kavrama sorusu
Grafikten x ile y nin doru orantl olduu anlalmaktadr.
y
k+6
k+2
3
k+2
4
k+6
4.(k+2)=3.(k+6)
3 4
x
4k+8=3k+18
k=10
Yukarda verilen grafie göre, k kaçtr, bulunuz.
Cevap: 10
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
236
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 7
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
x ile y doru orantldr.
x=3
için
x – 2 ile y+3 doru orantldr.
y=12
x=7
olduuna göre, x=4 için y kaçtr?
A) 10
B) 12
için
y=2
olduuna göre, x=8 için y kaçtr?
C) 14
D) 16
E) 18
A) 1
soru 2
B) 2
C) 3
soru 6
y=4
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
D) 7
E) 8
D) 4
E) 5
x
Yukarda verilen grafie göre, k kaçtr?
www.kartezyen.com.tr
A) 1
soru 3
x ile y doru orantldr.
için
B) 2
C) 3
soru 7
y
k+1
k 1
y=3
olduuna göre, y=5 için x kaçtr?
x
3 5
A) 15
E) 5
k
1 3
x=18
D) 4
k+4
için
olduuna göre, x=15 için y kaçtr?
A) 2
E) 5
y
x ile y doru orantldr.
x=20
D) 4
B) 18
C) 21
D) 24
E) 30
Yukarda verilen grafie göre, k kaçtr?
A) 4
soru 4
B) 5
C) 6
soru 8
y
a+1 ile b+2 doru orantldr.
a=5
için
b=1
2k+1
k
olduuna göre, a=3 için b kaçtr?
A) – 1
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
x
6
2
Yukarda verilen grafie göre, k kaçtr?
A) 1
B) 2
C) 3
237
1–D
2–B
3–E
4–B
5–C
6–B
7–A
8–A
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
Problemlerin çözümünde oran ve orant oldukça sk bavurduumuz bir konudur. Sorularda çokluklar arasnda doru veya daha sonra
göreceimiz ters orant olup, olmadn iyi tespit etmemiz gerekir. Doru orant kullandmz baz soru tipleri aadaki kavrama sorularnda verilmitir.
çözüm
kavrama sorusu
Okan 3 odal bir evi 12 günde boyadna göre, 5 odal bir evi
kaç günde boyar, bulunuz.
Oda says arttkça, iin bitme süreside artacandan iki çokluk
arasnda doru orant vardr.
3 oda
12 günde
5 oda
x günde
3.x=5.12
x=20 gün
Cevap: 20
çözüm
kavrama sorusu
Bir çemeden x dakikada 10 lt, x+5 dakikada 12 Lt su aktna
göre, x kaçtr, bulunuz.
Süre arttnda, akan su miktarda artaca için doru orantldr.
x
10 Lt
x+5
12 Lt
12x=10.(x+5)
12x=10x+50
2x=50
x=25
Cevap: 25
çözüm
kavrama sorusu
300 TL miktarndaki para 8, 10 ve 12 yalarndaki üç kardee
yalar ile orantl olarak paylatrlyor.
Orantl denmesi doru orantl anlamndadr.
Kardeler, Küçük
A
En büyük karde kaç TL almtr, bulunuz.
A
8
B
10
A=8k
C
12
Ortanca
B
Büyük
C
k
B=10k
C=12k
8k+10k+12k=300
30k=300

k=10
En büyük karde C=12.10=120 TL almtr.
Cevap: 120
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
238
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 8
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
Cemre 5 günde 200 sayfa kitap okuduuna göre, 8 günde kaç
sayfa kitap okur?
Emre a – 3 saatte 5 km, a+3 saatte 8 km koabildiine göre,
A) 280
A) 13
B) 300
C) 320
D) 340
a kaçtr?
E) 360
soru 2
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
soru 6
Ahmet 2 km lik yolu 15 dakikada yürüdüüne göre, 10 km lik
yolu kaç dakikada yürür?
56 tane bilye Sinan ve Serkan a srasyla 3 ve 4 ile orantl olarak
paylatrlmtr.
Sinan kaç bilye almtr?
A) 60
B) 65
C) 70
D) 75
E) 80
www.kartezyen.com.tr
A) 18
soru 3
50 cm uzunluundaki bir aaç fidan 2 ylda 30 cm uzamtr.
10 yl sonunda fidann boyu kaç cm olur?
B) 24
C) 28
D) 32
E) 36
soru 7
540TL miktarndaki para 7, 8 ve 12 yalarndaki üç kardee yalar ile doru orantl olarak paylatrlyor.
En küçük karde kaç TL almtr?
A) 150
B) 160
C) 170
D) 180
E) 200
A) 100
soru 4
C) 140
D) 160
E) 180
soru 8
Yasemin x saatte 40 soru, x+2 saatte 60 soru çözdüüne göre,
x kaçtr?
A) 3
B) 120
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
1000 m3 bir havuza üç ayr musluktan srasyla 2, 3 ve 5 ile orantl
olarak su akmaktadr.
Havuz dolduunda en fazla su aktan musluk kaç m3 su aktmtr?
A) 200
B) 300
C) 400
D) 500
E) 600
239
1–C
2–D
3–E
4–B
5–A
6–B
7–C
8–D
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
Ters Orantı:
Aralarnda x.y=k , (kR) eklinde bir bant bulunan x ve y deikenlerine ters orantldr denir. x artarken y azalr, x azalrken y artar.
Ancak x artarken y nin azald veya x azalrken y nin artt her bantdaki deikenler ters orantl deildir. x. y çarpmnn sonucu k gibi
sabit bir sayya eit olduunda ters orant vardr.
Ters orantnn grafii,
x.y=k , (kR)
y

y
k
x
hiperbol parçasý
için
2k
k
k/2
k
y= x
1/2 1
2
x
çözüm
kavrama sorusu
Aadaki eitliklerin hangisinde x ile y ters orantldr, bulunuz.
2
2
III) y
I) y.x=3
II) y
x
x 1
I)
y.x=3 bantsnda x ile y nin çarpm bir sabit say olduundan x ile y ters orantldr.
II)
y
2
x
III)
y
2
x 1

y.x
olduundan x ile y ters orantldr.
2

y. x 1

y.x
2

y.x y
2
2y
x ile y nin çarpm sabit say olmadndan ters orantl deillerdir.
Cevap: I ve II
çözüm
kavrama sorusu
1. yöntem: Grafik hiperbol parças olduu için x ile y ters orantldr.
y
Denklemimiz y.x=k biçimindedir.
x=2
1
için

1.2=k
2
x
y=1 olduundan,
k=2
y.x=2 elde edilir.
x=6
için y.6=2
Yukarda y.x=k denkleminin grafii verilmitir.
y
Buna göre, x=6 için y kaçtr, bulunuz.
2
6
1
3
2. yöntem: Grafikten x ile y nin ters orantl olduu bilindiinden,
x=2 için
y=1 ise
x=6
için
y=?
2.1=6.y
2 1
bulunur.
y
6 3
Cevap:
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
240
¤¤¦¤Ú¤Ú
1
3
Test / 9
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 4
y
Aadaki eitliklerin hangisinde x ile y ters orantl verilmitir?
1 x
A) y
B) y
D) y
x 1
x
2
C) y
E) y
3
x 1
2
y.x=k
5
x
x
4
Yukarda y.x=k denkleminin grafii verilmitir.
Buna göre, k kaçtr?
A) 1
soru 2
D) 6
E) 8
y
4
ise y ile x ters orantldr.
x
y
1
ise y ile x ters orantldr.
3x
C) y=2x ise y ile x ters orantldr.
B)
C) 4
soru 5
Aadaki ifadelerden hangisi yanltr?
A)
B) 2
y
1
y.x=k
x
2
E)
y.x
5
1
ise y ile x ters orantldr.
2
soru 3
Aada grafii verilen bantlarn hangisinde x ile y ters
www.kartezyen.com.tr
D) y.x=6 ise y ile x ters orantldr.
Yukarda y.x=k denkleminin grafii verilmitir.
1
için y kaçtr?
Buna göre, x
3
A) 6
B) 3
C) 1
soru 6
D)
1
3
E)
1
6
y
orantldr?
A)
y
k
2
y
B)
2
x
Yukarda verilen grafie göre, k kaçtr?
x
A) 2
C)
D)
y
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
y
soru 7
x
x
E)
x
5
y
4
k
y
6
x
8
Yukarda verilen grafie göre, k kaçtr?
x
A)
1
4
B)
1
2
C) 1
D) 2
E) 3
241
1–E
2–C
3–B
4–E
5–A
6–D
7–E
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çözüm
kavrama sorusu
x ile y ters orantldr.
x ile y ters orantl olduundan aralarndaki bant,
x=4 için y=1 ise x=2
y.x=k biçimindedir. (k orant sabitidir)
için y kaçtr, bulunuz.
x=4 için y=1 ise,

1.4=k
k=4
Bant, y.x=4 tür.

x=2 için y.2=4
y=2
Cevap: 2
çözüm
kavrama sorusu
x ile y+1 ters orantldr.
(y+1).x=k (Ters orantllar)
x=2 için y=5 ise x=3
x=2 için y=5 ise,
için y kaçtr, bulunuz.
(5+1).2=k

k=12
(y+1).x=12
x=3 için,
(y+1).3=12
y+1=4
y=3
Cevap: 3
çözüm
kavrama sorusu
Grafikten x ile y nin ters orantl olduu anlalmaktadr.
y
4m
1
2
için
4m
1
için
m+1
1
.4 m
2
m1 2 m
1 m
1. m 1
m+1
1/2
1
x
Yukarda verilen grafie göre, m kaçtr, bulunuz.
Cevap: 1
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
242
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 10
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
x ile y ters orantldr.
x=3
için
x+3 ile y+1 ters orantldr.
y=5
x=1
olduuna göre, x=1 için y kaçtr?
A) 1
B) 5
için
y=5
olduuna göre, x=5 için y kaçtr?
C) 10
D) 12
E) 15
A) 6
soru 2
B) 5
C) 4
soru 6
D) 3
E) 2
y
x ile y ters orantldr.
x=4
için
y=9
k
olduuna göre, x=12 için y kaçtr?
k 6
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
1
E) 5
x
3
Yukarda verilen grafie göre, k kaçtr?
www.kartezyen.com.tr
A) 6
soru 3
a ile b ters orantldr.
a=4
için
b=6
olduuna göre, a=8 için b kaçtr?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
B) 7
C) 8
soru 7
D) 9
E) 10
y
5k
k 6
2
E) 6
1
10
x
2
Yukarda verilen grafie göre, k kaçtr?
A) 11
soru 4
B) 12
soru 8
C) 13
D) 14
E) 15
y
x – 1 ile y ters orantldr.
x=7
için
y=3
10
olduuna göre, x=10 için y kaçtr?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
k+1
k
E) 9
1
8
x
1
Yukarda verilen grafie göre, k kaçtr?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
243
1–E
2–C
3–B
4–A
5–E
6–D
7–B
8–C
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
Ters orant kullandmz baz problem tipleri aadaki kavrama sorularnda verilmitir.
çözüm
kavrama sorusu
4 içinin 10 günde yapt bir ii 5 içinin kaç günde yapabileceini bulunuz.
çi says arttkça iin bitme süresi ksalacandan aralarnda
ters orant vardr.
4 içi
10 günde
5 içi
x
5.x=4.10
x=8 gün
Cevap: 8
çözüm
kavrama sorusu
Bir araba V km/sa hzla 4 saatte ald bir yolu, (V+60) km/sa
hzla 2 saatte aldna göre, V kaçtr, bulunuz.
Hz arttnda var süresi azaldndan hz ile zaman arasnda
ters orant vardr.
V km/sa
4 saat
(V+60) km/sa
2 saat
4.V=2.(V+60)
4V=2V+120
2V=120
V=60 km/sa
Cevap: 60
çözüm
kavrama sorusu
390 TL miktarndaki para üç kiiye 2, 3 ve 4 ile ters orantl olarak
paylatrlyor.
Kiiler, a, b ve c olsun.
2.a=3b=4c=k, (kR)
En fazla para alan kaç ¨ almtr, bulunuz.
2a=k

a
k
2
3b=k

b
k
3
4c=k

c
k
4
abc
k
k
k
2
3
4
6
6k 4k 3k
12
13k
12
k
4
390
3
390
390
360
En çok para alan a
360
2
180 ¨ almtr.
Cevap: 180
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
244
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 11
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
6 içinin 8 günde yapt bir ii, 4 içi kaç günde yapar?
A) 8
B) 10
C) 12
D) 14
Bir araba (V – 20) km/sa hzla 10 saatte ald yolu, (V+10) km/sa
hzla 5 saatte aldna göre, V kaç km/sa dr?
E) 16
A) 50
soru 2
B) 60
C) 70
D) 80
E) 90
soru 6
5 traktörün 18 günde sürdüü bir tarlay 30 traktör kaç günde
sürer?
25 oyuncak 2 ve 3 yalarndaki iki kardee, yalar ile ters orantl
olacak ekilde paylatrlmtr.
Küçük kardee kaç oyuncak verilmitir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
www.kartezyen.com.tr
A) 5
soru 3
12 tavua 6 gün yeten bir çuval yem, 18 tavua kaç gün yeter?
B) 10
C) 12
D) 15
E) 18
soru 7
Senem ile Fatma 640 ¨ paray srasyla 3 ve 5 ile ters orantl
olarak paylamlardr.
Fatma kaç ¨ almtr?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
A) 540
soru 4
B) 480
C) 450
D) 400
E) 240
soru 8
x içi ile 120 günde biten bir inaat, x+20 içi ile 40 günde bitti-
420 bilye Mete,Mahmut ve Erhan’a srasyla 3, 5 ve 6 ile ters
ine göre, x kaçtr?
orantl olarak paylatrlmtr.
Mahmut kaç bilye almtr?
A) 5
B) 10
C) 15
D) 20
E) 30
A) 100
B) 120
C) 150
D) 180
E) 200
245
1–C
2–C
3–B
4–B
5–A
6–D
7–E
8–B
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
Bileşik Orantı:
çinde birden fazla oran bulunan orantlara bileik orant denir.
çözüm
kavrama sorusu
a says b ile doru, c ile ters orantldr.
a says b ile doru, c ile ters orantl olduundan,
a=6 için b=3 ve c=2
a.c
b
olduuna göre, a=1 ve c=8 için b kaçtr, bulunuz.
k dr.
a=6 ,
a.c
b
b=3 ve c=2
6.2
3
4
k
a=1 , c=8 için
a.c
b
4b
1.8
4
b
8
b
2
Cevap: 2
çözüm
kavrama sorusu
x says (y+1) ile ters, z – 1 ile doru orantldr.
x. y 1
z 1
x=6 için y=1 ve z=2
x=6 ,
olduuna göre, x=3 ve y=11 için z kaçtr, bulunuz.
k dr.
y=1 ve z=2 için,
6. 1 1
2 1
6.2
1
12
k
x=3 , y=11 için
3 . 11 1
12
z 1
z 1 3

z
12 . z 1
4
Cevap: 4
çözüm
kavrama sorusu
x ve y saylar 2 ve 3 ile ters orantl, z ise 4 ile doru orantldr.
3.y
z
4
2x
k

x
3y
k

y
z
4
k

z
2.x
x+y+z=58
olduuna göre, x kaçtr, bulunuz.
xyz
x
k
2
k
3
4k
k
k 4k
2
3
1
3
k
k
2
6
3k 2k 24k
6
29k
58
6
12
k

x
2
58
12
2
6
Cevap: 6
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
246
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 12
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
x says y ile doru, z ile ters orantldr.
(x+2) says (y+1) ile doru, z ile ters orantldr.
x=4 ve y=3 için z=3
x=1 ve z=1 için y=3
olduuna göre, x=8, y=12 için z kaçtr?
A) 2
B) 4
C) 6
olduuna göre, x=3 ve z=3 için y kaçtr?
D) 8
E) 10
A) 19
soru 2
E) 23
x+y+z=63
olduuna göre, x=4, y=3 için z kaçtr?
C) 10
olduuna göre, x kaçtr?
D) 11
E) 12
A) 18
www.kartezyen.com.tr
B) 9
soru 3
a says b ile doru, c ile ters orantldr.
C) 24
D) 28
E) 30
soru 7
a=1 ve b=2 için c=6
B) 2
B) 20
a says 3 ile doru, b ve c saylar 2 ve 5 ile ters orantldr.
a+b+c=37
olduuna göre, a=3 ve b=6 için c kaçtr?
C) 4
olduuna göre, c kaçtr?
D) 6
E) 8
soru 4
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
soru 8
(a – 1) says b ile ters, c ile doru orantldr.
a ve c saylar 4 ve 5 ile ters, b says 2 ile doru orantldr.
a=6 ve b=4 için c=10
a+b+c=147
olduuna göre, a=5 ve b=7 için c kaçtr?
A) 12
D) 22
x ve y saylar 2 ve 3 ile doru, z says 4 ile ters orantldr.
x=5 ve y=2 için z=10
A) 1
C) 21
soru 6
x says z ile doru, y ile ters orantldr.
A) 8
B) 20
B) 14
C) 15
olduuna göre, a+b – c ifadesinin deeri kaçtr?
D) 16
E) 18
A) 123
B) 132
C) 135
D) 137
E) 140
247
1–C
2–E
3–D
4–B
5–A
6–C
7–B
8–A
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çözüm
kavrama sorusu
205 ¨ üç kardee srasyla 2 ve 3 ile ters 6 ile doru orantl olara
paylatrlyor.
Kardeler a, b ve c olsun.
2.a
En çok paray alan karde kaç ¨ almtr, bulunuz.
3.b
c
6
k
k
k
,
b
2
3
k
k 6k
2
3
1
a
abc
3
k
c
6k
6
2
41 k
6
30
ve
205
En çok paray alan karde,
c=6k

c=6.30=180 ¨ almtr.
Cevap: 180
çözüm
kavrama sorusu
3 içi 12 günde 36 çift ayakkab üretebildiine göre, 4 içi 10
günde kaç çift ayakkab üretebilir, bulunuz.
çi says ile iin bitme süresi ters orantl iin bitme süresi ile
yaplan i doru orantldr.
3 içi
4 içi
12 gün
36 çift
10 gün
x
3.12.x=4.10.36
x=40 çift ayakkab
Cevap: 40
Uyarı
Bileik orant kullanlan problemlerde aadaki formülü kullanabiliriz.
1. yaplan i
Dierlerinin çarpm
=
2. yaplan i
Dierlerinin çarpm
çözüm
kavrama sorusu
4 musluk 5 günde 600 m3 lük bir havuzu doldurduuna göre,
3 musluk 4 günde kaç m3 lük havuzu doldurabilir, bulunuz.
1. yaplan i
Dierleri çarpm
600 m3
4 musluk. 5 gün
=
=
2. yaplan i
Dierleri çarpm
x
3 musluk. 4 gün
4.5.x=600.3.4
x=360 m3
Cevap: 360
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
248
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 13
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
1000 m3 lük havuzu 5 musluk 10 günde doldurabildiine göre,
1600 m3 lük havuzu 8 musluk kaç günde doldurur?
27 oyuncak üç kardee srasyla 1 ve 2 ile ters, 3 ile doru orantl
olarak paylatrlyor.
En az oyuncak olan karde kaç oyuncak almtr?
A) 8
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
E) 7
soru 2
soru 6
206 misket üç kiiye srasyla 4 ile doru, 6 ve 8 ile ters orantl
12 içi 200 dönümlük bir tarlay 8 günde ekebildiine göre, 300
olarak paylatrlyor.
dönümlük bir tarlay 6 günde kaç içi eker?
En çok misketi alan kii kaç misket almtr?
A) 192
B) 194
C) 196
D) 198
E) 200
soru 3
B) 16
C) 18
D) 20
E) 24
www.kartezyen.com.tr
A) 12
soru 7
5 boyac 10 günde 10 ev boyayabildiine göre, 4 boyac 5 günde kaç ev boyayabilir?
x içi 2 günde 40 m2 lik bir duvar örebildiine göre, 5x içi 4
günde kaç m2 lik duvar örer?
A) 1
A) 100
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
soru 4
B) 200
C) 300
D) 400
E) 500
soru 8
Bir fabrikada 6 makine 4 günde 16 ton kuma üretebildiine
göre, 3 makine 6 günde kaç ton kuma üretir?
Bir havuzu V hzndaki 4 musluk 6 günde doldurabildiine göre,
ayn havuzu 2V hzndaki 3 musluk kaç günde doldurur?
A) 10
A) 2
B) 11
C) 12
D) 14
E) 15
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
249
1–A
2–A
3–D
4–C
5–B
6–E
7–D
8–C
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
Aritmetik Ortalama:
Verilerin toplamnn veri saysna bölümüne o veri grubunun aritmetik ortalamas denir.
a1, a2, a3,........an reel saylar olsun.
Aritmetik Ortalama=
a1 a 2 ...... an
n
ab
2
a ile b nin aritmetik ortalamas
a, b ve c nin aritmetik ortalamas
abc
dir.
2
çözüm
kavrama sorusu
Berkay 16, Aysun 30 yandadr.
Aritmetik Ortalamas=
Berkayn Ya+Aysunun Ya
Berkay ile Aysunun ya ortalamas kaçtr, bulunuz.
2
16 30
2
46
2
23
Cevap: 23
çözüm
kavrama sorusu
Serap, matematik yazllarndan 65, 72 ve 82 almtr.
Matematik not ortalamas
Serap’n matematik dersi ortalamasn bulunuz.
65 72 82
3
219
73
3
Cevap: 73
çözüm
kavrama sorusu
Çanakkale’de Temmuz ay içerisinde 10 gün boyunca yaplan
scaklk ölçümleri aadaki tablodadr.
Gün
Scaklk
°C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Scaklk ortalamas
28 28 32 30 32 30 29 30 31 30
10
300
10
30 qC
10
28 28 32 30 32 30 29 30 31 30
Bu 10 gün boyunca ortalama scaklk kaç °C dir, bulunuz.
Cevap: 30
çözüm
kavrama sorusu
Bir kümesteki 20 tavuun arlk ortalamas 6 kg olduuna göre,
bu tavuklarn toplam arln bulunuz.
Aritmetik Ortalamas=
Verilerin toplam
ise
Veri Says
Verilerin Toplam=Aritmetik Ort x Veri Saysdr.
A.O
x1 x 2 ..... x 20
20

x1 x 2 ...... x 20
20.(A.0)
20.6
120 kg
Cevap: 120
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
250
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 14
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
Fizik yazlsnda Ali 64, Mehmet ise 74 almtr.
Bir basket takmnn ilk beinin yalar aada verilmitir.
kisinin yazl ortalamas kaçtr?
A) 66
B) 67
C) 68
D) 69
Oyuncu
Ya
1
18
2
21
3
26
4
15
5
15
E) 70
Bu takmn ya ortalamas kaçtr?
soru 2
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
Boylar 156 cm, 160 cm ve 161 cm olan üç örencinin boy
ortalamas kaç cm dir?
A) 157
B) 158
C) 159
D) 160
E) 161
soru 3
Bir ailede çalan dört kiinin aylk kazançlar 800 ¨, 1100 ¨, 1800
¨ ve 2300 ¨ dir. Bu ailenin aylk ortalama kazanc kaç ¨ dir?
www.kartezyen.com.tr
soru 6
ki arkadan arlklarnn ortalamas 43 kg olduuna göre, bu
iki arkadan arlklar toplam kaç kg dr?
A) 86
B) 88
C) 90
D) 92
E) 96
Bu ailenin aylk ortalama kazanc kaç ¨ dir?
A) 1100
B) 1200
C) 1300
D) 1400
E) 1500
soru 7
Bir bankadaki 6 hesapta bulunan parann ortalamas 235 ¨ olduuna göre, bu 6 hesapta toplam kaç ¨ vardr?
A) 1350
B) 1370
C) 1400
D) 1410
E) 1510
soru 4
Süper ligde top oynayan bir futbolcunun yllara göre, gol saylar
tabloda verilmitir.
Yllar
Gol Says
9
00
(Sezon)
8-2
0
20
12
0
1
01
01
9-2
0
20
0-2
1
20
20
24
2
26
3
01
01
1-2
1
20
2-2
1
20
soru 8
18
Bir snftaki 15 kz örencinin ya ortalamas 14 olduuna göre,
kz örencilerin yalar toplam kaçtr?
Bu futbolcunun gol ortalamas kaçtr?
A) 19
B) 20
C) 21
D) 22
E) 23
A) 190
B) 200
C) 210
D) 220
E) 230
251
1–D
2–C
3–E
4–B
5–E
6–A
7–D
8–C
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çözüm
kavrama sorusu
10 kiilik bir grubun yalarnn tablosu aada verilmitir.
Kii Says
Ya
Yalar toplam
Kii Says
Ya
3
8
3.8=24
3
8
4
9
4.9=36
4
9
3
10
3.10=30
3
10
+
Toplam 10 kii
Buna göre, bu 10 kiilik grubun ya ortalamasn bulunuz.
24 36 30
10
Ya ortalamas=
90
10
9
Cevap: 9
çözüm
kavrama sorusu
Bir örencinin ders saatleri ve bu derslerden aldklar notlar aada verilmitir.
Ders
Ders Saati Ders Notu
Matematik
6
65
Fizik
3
60
Kimya
2
70
Arlkl not ortalamas hesaplanrken ders saati ile ders notlar
çarplp toplamlar, ders saati toplamna bölünür.
Ders
Ders Saati Ders Notu
Matematik
6
65
6.65=390
Fizik
3
60
3.60=180
Kimya
2
70
2.70=140
+
Toplam: 710
+
Toplam: 11 saat
Buna göre, örencinin, arlkl not ortalamasn bulunuz.
Arlk Ortalama=
710
11
64,54
Cevap: 64,54
çözüm
kavrama sorusu
0,5.84=42 ¨
Akll sayaç kullanan bir elektrik abonesinin faturas aadaki
gibidir.
08:00 - 16:00 16:00 - 24:00 24:00 - 08:00
Fiyatlandrma
1kw - 0,5 ¨ 1kw - 0,4 ¨ 1kw - 0,2 ¨
Tüketim Saati
84 saat
125 saat
0,4.125=50 ¨
+
0,2.150=30 ¨
Toplam=122 ¨
150 saat
Kullanm toplam saati= 84+125+150=359
Elektrik faturasnn arlkl ortalamasn bulunuz.
Arlkl Ortalama=
122
359
0,34 ¨
Cevap: 0,34
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
252
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 15
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 4
6 kiilik bir örenci grubunun yalarnn tablosu aada verilmitir.
Kii Says
Ya
1
10
2
13
3
14
6 kiilik bir örenci grubunun corafya dersi notlar aadaki
tabloda verilmitir.
Corafya
Örenci Says ders notlar
Buna göre, bu alt kiilik örenci grubunun ya ortalamas
kaçtr?
B) 11
C) 12
D) 13
48
2
60
2
x
Örencilerin not ortalamas 60 olduuna göre, x kaçtr?
A) 72
A) 10
2
B) 68
C) 65
D) 64
E) 62
E) 14
soru 5
Bir örencinin ders saatleri ve bu derslerden ald notlar aada verilmitir.
Ders
8 kiilik bir hasta grubunun arlklarnn tablosu aada verilmitir.
Hasta Says Arlk (kg)
3
68
2
72
1
74
2
80
Buna göre, hastalarn arlk ortalamas kaç kg dr?
A) 70,5
B) 71
C) 72
D) 72,5
E) 72,75
www.kartezyen.com.tr
soru 2
6
72
Dil ve Anlatm
4
80
Tarih
2
85
Resim
2
92
Buna göre, örencinin arlkl not ortalamas kaçtr?
A) 78
B) 79
Futbolcu Says Yalar
1
19
1
22
3
24
2
25
2
28
B) 22
C) 23
E) 82
5,00
AA
4,50
BA
4,00
BB
3,00
CB
2,00
CC
1,5
DC
1,00
DD
0,00
F
Selimin notlar aadaki tablodadr.
Ders Saati Ders Notu
Ders
D) 24
Matematik
6
4
Fizik
3
1
Kimya
2
3
Biyoloji
2
3
Selimin, bu dersler üzerinden karne arlkl not ortalamas
aadakilerden hangisidir?
Buna göre, futbol takmnn ya ortalamas kaçtr?
A) 21
D) 81
Bir okulda örencilerin arlkl not ortalamalarnn harf karl
aadaki tablodadr.
Arlkl not ortalamas Harfle ifadesi
11 kiilik bir futbol takmnn yalar aada verilmitir.
17
C) 80
soru 6
soru 3
2
Ders Saati Ders Notu
Matematik
E) 25
A) BB
B) CB
C) CC
D) DC
E) DD
253
1–D
2–E
3–C
4–A
5–B
6–B
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
Matematik dersi olsun dier dersler olsun karmza çeitli formüller çkar. Bu formüllerde verilen deerleri dikkate alp, verilmeyeni yani
sorulan deikeni bulmamz gerekir. Kimi zamanda bir deikeni dierleri cinsinden yazmamz gerekebilir.
çözüm
kavrama sorusu
x+y=10 olduuna göre, y nin x cinsinden deerini bulunuz.
x+y=10 ifadesinde y deikenini yalnz brakrz.

x+y=10
y=10 – x dir.
Cevap: 10 – x
çözüm
kavrama sorusu
x=v.t olduuna göre, t nin x ve v cinsinden deerini bulunuz.
x=v.t
ise
t
x
dir.
v
Cevap:
çözüm
kavrama sorusu
ABC bir üçgen olmak üzere,
1
.b.c.sin D
2

1
.b.c.sin D
2
2.A ABC b.c.sin D
olduuna göre, sinD nin eitini bulunuz.

sin D
A ABC A ABC 2.A ABC b.c
Cevap:
2.A ABC b .c
çözüm
kavrama sorusu
a=b.c+d
a=b.c+d
a – d=b.c
olduuna göre, b nin eitini bulunuz.

ad
c
b
Cevap:
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
x
v
254
a d
c
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 16
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
a – b=7 olduuna göre, a nn b cinsinden deeri aadakilerden hangisidir?
7b
A) a
b7
B) a
D) a
7
b
C) a
E) a
x.y – z=k olduuna göre, x in eiti aadakilerden hangisidir?
A)
b7
kz
y
B)
b
7
D)
soru 2
kz
y
yz
k
C)
E)
ky
z
yz
k
soru 6
i+j=4 olduuna göre, j nin i cinsinden deeri aadakilerden
(a – b).c=d olduuna göre, a nn eiti aadakilerden hangi-
hangisidir?
sidir?
A)
i
4
C) i 4
B) 4i
E) 4 i
soru 3
Yol=Hz x Zaman olduuna göre, Hz aadakilerden hangisine eittir?
Yol
A)
B)
Zaman
D) Yol+zaman
d
b
c
d
c
C)
E)
d
b
c
c
b
d
soru 7
xy
k olduuna göre, y nin eiti aadakilerden hangiz
sidir?
A) z. k x E) Yol – zaman
B) z.k x
k
D) x
z
soru 4
x
y
B)
C) Yol x zaman
Yol
Zaman
d
c
b
D) b www.kartezyen.com.tr
D) i 4
A)
C) z.k x
k
E) x
z
soru 8
z olduuna göre, y nin eiti aadakilerden hangisidir?
A) x.z
B)
z
x
C)
D) x z
x
z
E) x z
1 1
x y
1
olduuna göre, y nin eiti aadakilerden hangiz
sidir?
A)
x.z
xz
B)
D)
xz
x.z
xz
z
C)
E)
xz
x
x.z
xz
255
1–C
2–E
3–A
4–C
5–A
6–B
7–C
8–A
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
Sayı ve Kesir Problemleri
Denklemler günlük hayat problemlerinde skça kullandmz matematiksel ifadelerdir. Bu problem tiplerinin bazlarn srasyla inceleyeceiz. Problem sorularn çözerken mümkün olduunca az deiken kullanmak ilemlerde hata yapma ansmz azaltr. Bu yüzden
deiken saysn mümkün olduunca az tutmaya çalacaz.
çözüm
kavrama sorusu
30 kiilik bir snfta, kzlarn says erkeklerin saysndan 6 fazladr.
Erkekler
Kzlar
x
x+6
Snftaki erkek örencilerin saysn bulunuz.
x+(x+6)=30
2x+6=30
2x=24
x=12
Snfta 12 erkek örenci vardr.
Cevap: 12
çözüm
kavrama sorusu
Toplam 40 olan iki saynn fark 16 olduuna göre, bu saylardan büyük olann bulunuz.
Saylarmz A ve B olsunlar,
A+B=40 olduundan,
B=40 – A diyebiliriz.
Yani saylarmz A ve 40 – A oldu.
A – (40 – A)=16
A – 40+A=16
2A=56
A=28
A=28 için
B=40 – A

B=40 – 28
=12
Büyük say 28 dir.
Cevap: 28
çözüm
kavrama sorusu
Toplam 57 olan iki saydan büyüünün küçüüne bölümünden elde edilen bölüm 3 kalan 9 ise bu saylar bulunuz.
Saylarmz: x ve y olsunlar,
x+y=57 ise
y=57 – x diyebiliriz.
x
57 – x
3

9
x=3.(57 – x)+9
x=171 – 3x+9
4x=180
x=45
x=45
için
Saylarmz x=45
45+y=57
ve

y=12
y=12
Cevap: 45 ve 12
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
256
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 17
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
20 kiilik bir grupta, erkeklerin says kzlarn saysndan 2 eksiktir.
Toplamlar 60 olan iki saynn fark 4 tür.
Bu saylardan büyük olan kaçtr?
Snftaki kz örenci sys kaçtr?
A) 28
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
B) 30
C) 32
D) 34
E) 36
D) 15
E) 16
E) 11
soru 2
soru 6
Kadrosunda 24 futbolcu bulunduran bir futbol takmndaki yerli
Toplamlar 26 olan iki saynn fark 2 dir.
oyuncular, yabanc oyunculardan 12 fazladr.
Bu saylardan küçük olan kaçtr?
Bu takmdaki yerli oyuncularn says kaçtr?
A) 12
B) 10
C) 12
D) 16
B) 13
C) 14
E) 18
www.kartezyen.com.tr
A) 8
soru 3
soru 7
160 koltuklu bir sinemaya gelen müterilerden bayanlarn says
erkeklerin saysnn 2 katndan 10 fazladr.
Toplamlar 51 olan iki saydan büyüünün küçüüne bölümünden elde edilen bölüm ve kalan 3 tür.
Sinemadaki bayan says kaçtr?
Bu saylardan büyük olan kaçtr?
A) 90
B) 100
C) 110
D) 120
E) 130
soru 4
A) 36
B) 37
C) 38
D) 39
E) 40
soru 8
45 kiilik bir otobüsteki çocuklarn says büyüklerin saysnn
yarsdr.
Otobüsteki çocuklarn says kaçtr?
çinde toplam 45 yumurta bulunan bir sepetteki yumurtalarn bir
ksm krlmtr. Salam yumurtalarn says krk yumurtalarn saysnn 3 katndan 5 fazladr.
Sepette kaç krk yumurta vardr?
A) 10
B) 15
C) 18
D) 20
E) 22
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
E) 14
257
1–E
2–E
3–C
4–B
5–C
6–A
7–D
8–C
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çözüm
kavrama sorusu
Bir otelde 2 kiilik ve 3 kiilik toplam 40 oda vardr. Otelin müteri
kapasitesi toplam 90 kii olduuna göre, 2 kiilik oda saysn
bulunuz.
2 kiilik oda says=x
3 kiilik oda says=y

x+y=40
y=40 – x
2 kiilik oda says x
3 kiilik oda says 40 – x
2.x+3.(40 – x)=90
2x+120 – 3x=90
120 – x=90
x=30 (2 kiilik oda says)
Cevap: 30
çözüm
kavrama sorusu
Toplam 165 ¨ nin bulunduu bir kumbarada sadece 5 ¨ ve 10 ¨
lik paralar vardr. Kumbarada toplam 20 adet banknot olduuna
Toplam 20 adet para olduuna göre,
x adet 5 ¨ varsa,
göre, kaç adet 10 ¨ vardr, bulunuz.
20 – x adet 10 ¨ vardr.
5.x+10(20 – x)=165
5x+200 – 10x=165
35=5x
x=7 (5 ¨ lik banknot says)
20 – x

20 – 7=13 tane 10 ¨ lik banknot vardr.
Cevap: 13
çözüm
kavrama sorusu
Bir çiftlikteki tavuklarn says ile koyunlarn saysnn toplam 16
dr. Tavuk ve koyunlarn ayaklarnn says toplam 44 olduuna
göre, çiftlikteki koyun saysn bulunuz.
x tane tavuk varsa,
16 – x tane koyun vardr.
Tavuklar 2 ayakl, koyunlar 4 ayakl olduundan,
2.x+4(16 – x)=44
2x+64 – 4x=44
20=2x
x=10 (Tavuk says)
Koyun says 16 – x

16 – 10=6 tane
Cevap: 6
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
258
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 18
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
Bir otelde 3 kiilik ve 4 kiilik toplam 18 oda vardr. Otelin müteri
kapasitesi toplam 60 kii olduuna göre, oteldeki 3 kiilik oda
3 puanlk ve 4 puanlk sorularn bulunduu bir snavda, Ümit 40
soruyu doru cevaplayp 132 puan aldna göre, 3 puanlk kaç
says kaçtr?
soruyu yapmtr?
A) 8
B) 9
C) 10
D) 11
E) 12
A) 26
soru 2
B) 28
C) 30
D) 32
E) 34
soru 6
Bir kafede 2 kiilik ve 6 kiilik toplam 10 masa vardr. Kafenin
Emniyet kemeri takmamann ceza puan 7 puan, krmz kta
müteri kapasitesi toplam 32 kii olduuna göre, kafedeki 6 kiilik masa says kaçtr?
geçmenin ceza puan 10 puandr.
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
www.kartezyen.com.tr
A) 1
Bir sene boyunca toplam 7 kez ceza yiyip, 58 ceza puan alan
brahim kaç kez krmz kta geçmitir?
soru 3
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
soru 7
Toplam 93 ¨ nin bulunduu bir kumbarada sadece 1 ¨ ve 5 ¨
lik paralar vardr. Kumbarada toplam 25 adet para bulunduuna
göre, kaç adet 1 ¨ vardr?
Bir çiftlikteki tavuk ve eeklerin toplam says 30 dur. Hayvanlarn
ayaklarnn says toplam 68 olduuna göre, çiftlikte kaç tavuk
vardr?
A) 3
A) 21
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
soru 4
B) 22
C) 23
D) 24
E) 26
soru 8
Toplam 11 ¨ nin bulunduu bir kumbarada sadece 25 kr ve 50 kr
Bir maazada 2 tekerlekli ve 3 tekerlekli toplam 20 bisiklet vardr.
luk paralar vardr. Kumbarada toplam 30 tane para olduuna göre,
25 kr luk paralardan kaç tane vardr?
Bisikletlerdeki tekerlek says 54 olduuna göre, 3 tekerlekli bisiklet says kaçtr?
A) 13
A) 10
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
259
1–E
2–C
3–E
4–D
5–B
6–C
7–E
8–D
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çözüm
kavrama sorusu
72 saysnn
1
sini bulunuz.
2
1
1
sini bulmak için 72 ile
çarplr.
2
2
72 saysnn
72.
1
2
72
2
36
Cevap: 36
çözüm
kavrama sorusu
44 saysnn
3
sini bulunuz.
4
44.
3
4
44.3
4
132
4
33
Cevap: 33
çözüm
kavrama sorusu
1. yöntem: Saymz x olsun,
2
ü 10 olan sayy bulunuz.
3
2
10
3
2x
10

3
2x 30
x 15

x.
2. yöntem: Paydaya bakarak saynn tamamna 3a diyelim.
2
3
6a
3
2a
a
3a.
10
10
10
5
Say 3a olduundan, 3.5=15 dir.
Cevap: 15
çözüm
kavrama sorusu
Parann tamamna 5x diyelim.
4
i 20000 ¨ olduuna göre, Özle5
min bankadaki parasnn tamamn bulunuz.
Özlemin bankadaki parasnn
4
5
20x
5
x
5x.
20000
20000 4x
20000
5000
Parann tamam 5x olduundan, 5.5000=25000 ¨
Cevap: 25000
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
260
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 19
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
24 saysnn
1
ü kaçtr?
3
A) 6
B) 7
3
i 12 olan say kaçtr?
8
C) 8
D) 9
E) 10
A) 32
soru 2
C) 34
D) 35
E) 36
C) 230
D) 240
E) 250
soru 6
2
i kaçtr?
5
A) 12
B) 16
5
s 100 olan say kaçtr?
12
C) 18
D) 20
E) 22
A) 210
www.kartezyen.com.tr
40 saysnn
soru 3
96 saysnn
5
s kaçtr?
6
A) 72
B) 76
B) 220
soru 7
Ezgi nin kalemlerinin
C) 78
D) 80
E) 84
soru 4
A) 14
2
si 6 tanedir. Ezgi nin kaç kalemi vardr?
7
B) 18
C) 21
D) 24
E) 27
soru 8
1
i 14 olan say kaçtr?
5
A) 65
B) 33
B) 70
5
n doru cevaplamtr. Mert in do6
ru cevap says 25 tane olduuna göre, snavdaki toplam soru
says kaçtr?
Mert snavdaki sorularn
C) 75
D) 80
E) 85
A) 28
B) 30
C) 35
D) 40
E) 42
261
1–C
2–B
3–D
4–B
5–A
6–D
7–C
8–B
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çözüm
kavrama sorusu
Hangi saynn
1
1
si ile
nün toplam 10 dur, bulunuz.
2
3
1
1
ve
te paydalar 2 ve 3 olduundan, sayya 2 ve 3 ün ortak
2
3
bir kat olan 6x diyelim.
6x.
1
2
3x
ve
3x 2x
5x
x
6x.
1
3
2x
10
10
2
Saymz 6x olduundan, 6.2=12 dir.
Cevap: 12
çözüm
kavrama sorusu
1
60 tane elmann
ü çürüyor. Geriye salam kaç elma kalr,
3
bulunuz.
I. yöntem:
60.
1
3
20 tane çürük elma
60 – 20=40 tane salam elma kalr.
II. yöntem: Bir saynn
1
eksiini bulmak,
3
1
1
3
2
nü bulmak ile ayndr.
3
60.
2
3
40 tane salam elma kalr.
Cevap: 40
çözüm
kavrama sorusu
1
i kadar daha yourt ilave edilince top5
lamda kaç kg yourt olur, bulunuz.
25 kg lk yourda
I. yöntem:
25.
1
5
5 kg yourt ilave edilecek
25+5=30 kg yourt olur.
II. yöntem: Bir saynn
1
fazlasn bulmak
5
1
1
5
6
ni bulmaktr.
5
25.
6
5
30 kg yourt olur.
Cevap: 30
çözüm
kavrama sorusu
x saysnn
1
x. 3
x
3
x
1
2
ü, y saysnn
ine eit olduuna göre,
kaçtr,
y
3
5
bulunuz.
x
3
2y
5
ve
2 2y
y. 5
5
º
5x 6 y
m
6k
m
5k
x 6k
6
y 5k
5
Cevap:
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
262
¤¤¦¤Ú¤Ú
6
5
Test / 20
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
Hangi saynn
A) 20
1
1
ü ile
nin toplam 16 dr?
3
5
B) 24
C) 28
D) 30
54 kiilik bir gruba, grubun
grup kaç kii olur?
E) 32
A) 56
soru 2
B) 58
C) 60
D) 64
E) 68
soru 6
Hangi saynn
A) 30
1
u kadar daha insan katlnca
9
3
2
ü ile
ün toplam 51 dir?
4
3
B) 36
C) 42
D) 48
2
ü kadar fazla hamur elde edilmektedir. 6
3
kg lik undan kaç kg hamur elde edilir?
1 kg lik un dan
E) 52
B) 8
C) 9
D) 10
E) 12
www.kartezyen.com.tr
A) 7
soru 3
soru 7
120 kg elmann
A) 50
1
ü satldnda geriye kaç kg elma kalr?
4
B) 60
C) 70
D) 80
E) 90
soru 4
A)
2
3
x
1
1
si, y saysnn
ne eit olduuna göre,
kaçtr?
y
2
3
B)
3
2
C)
2
5
D)
3
5
E)
5
2
soru 8
320 lt meyve suyunun
suyu kalr?
A) 40
x saysnn
7
i tüketildiinde geriye kaç lt meyve
8
x saysnn
kaçtr?
B) 60
C) 80
D) 100
E) 120
A) 7
x+y
4
2
i , y saysnn
ne eit olduuna göre,
yx
5
3
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
263
1–D
2–B
3–E
4–A
5–C
6–D
7–A
8–E
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çözüm
kavrama sorusu
1
1
ni sonra
nü satyor.
2
3
Geriye elinde 25 kitap kaldna göre, kitapçnn en bata elinde kaç kitap vardr, bulunuz.
1
Kitaplarn tamamna 6x diyelim
si satlnca,
2
1
6x
3x satld.
2
Bir kitapç kitaplarnn önce
1
1
ü satlnca, 6x
3
3
2x satld.
Toplam satlan kitap=3x+2x=5x
Kalan kitap=6x – 5x=x tane
x=25 kitap
Satlmadan önceki kitap says 6x olduundan 6.25=150 kitap
Cevap: 150
çözüm
kavrama sorusu
1
1
Bir boyac boya yapaca duvarn önce
nü sonra kalann
4
5
ni boyuyor.
Duvarn tamamna 20x diyelim,
20x
Geriye boyanacak 24 m2 lik alan kaldna göre, duvarn tamam
kaç m2 dir, bulunuz.
1
4
Kalann
1
ü boyandnda,
4
5x boyand, 20x – 5x=15x kald.
1
i boyandnda,
5
1
3x boyand, 15x – 3x=12x kald.
5
12x=24 x=2 m2 dir.
15x
Duvarn tamam 20x=20.2=40 m2 dir.
Cevap: 40 m2
çözüm
kavrama sorusu
2
ne domates ekmitir. Eer 100 m2 daha
3
5
n domates ekmi olacakt.
domates ekseydi tarlann
6
Tarlann tamam 6x olsun,
Tarlann tamam kaç m2 dir, bulunuz.
5x – 4x=100 m2
Bir çiftçi bahçesinin
6x
2
3
4x ve 6x
5
6
5x dir.
x=100 m2
Tarlann tamam 6x olduundan 6.100=600 m2 dir.
Cevap: 600
çözüm
kavrama sorusu
1
Metal bir çubuun
ü kesildiinde, çubuun orta noktas
4
cm kayyor.
Çubuun tamamna 8x diyelim
10
8x
4x (Orta noktasý)
Çubuun kesilmeden önceki boyu kaç cm dir, bulunuz.
Çubuun
1
ü kesildiinde
4
8x
3x
4x
Yeni orta nokta
2x kesildi
6x kalan
4x – 3x=10 cm
x=10 cm
Çubuun tamam 8x olduundan 8.10=80 cm
Cevap: 80 cm
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
264
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 21
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
1
1
ü sonra
s çürüyor.
4
6
Manavn elinde 14 kg ürün kaldna göre, balangçta kaç kg
ürünü vardr?
Bir manavn elindeki ürünlerin önce
A) 22
B) 24
C) 28
D) 30
1
ni, yapmtr. Bar eer 10 soru daha çözmü
2
2
ni yapm olacakt.
olsayd ödevinin
3
Bar ödevinin
Barn ödevi kaç sorudur?
E) 32
A) 40
soru 2
B) 50
C) 60
D) 70
E) 80
soru 6
1
1
i, sonra
s kullanldnda geriye de8
6
poda 136 Lt su kalyor.
Bir depo suyun önce
Ferhat bisikletle gitmesi gereken yolun
daha gitseydi yolun
Depoda balangçta kaç Lt su vardr?
1
ni, gitmitir. 200 m
7
1
ni tamamlam olacakt.
2
B) 182
C) 185
D) 192
E) 196
soru 3
1
2
ini sonra kalann
ni ödüyor.
8
5
Geriye 420 ¨ borcu kaldna göre, Zehra’nn toplam borcu kaç
¨ dir?
B) 720
C) 750
D) 780
E) 800
soru 4
B) 600
C) 680
D) 700
E) 720
Demir çubuun bir ucundan
3
i, kesilince çubuun orta noktas
5
6 cm kayyor.
Demir çubuk kesilmeden önce kaç cm dir?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24
soru 8
1
3
ni, sonra kalann
ni
2
7
sattnda elinde 400 m kuma kaldna göre, balangçta elinBir tüccar elindeki kumalarn önce
B) 1100
Düz bir kalasn bir ucundan
1
s, kesilince kalasn orta noktas
7
5 cm kayyor.
Kalas kesilmeden önce kaç cm dir?
de kaç m kuma vardr?
A) 1000
A) 560
soru 7
Zehra borcunun önce
A) 700
www.kartezyen.com.tr
Farhatn gitmesi gereken yol kaç m dir?
A) 180
C) 1200
D) 1300
E) 1400
A) 58
B) 63
C) 65
D) 70
E) 74
265
1–B
2–D
3–E
4–E
5–C
6–A
7–C
8–D
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çözüm
kavrama sorusu
Bir lokantada müteriler masalara 3 erli oturduklarnda 9 kii
ayakta kalyor, 5 erli oturduklarnda 1 masa bo kalyor.
Lokantadaki masa saysna x diyelim, her masaya 3 kii oturup 9
kii ayakta kaldna göre, 3.x+9 kii var.
Lokantada kaç müteri vardr, bulunuz.
5 erli oturduklarnda 1 masa bo kaldna göre, 5.(x–1) kii var.
3x+9=5.(x – 1)
3x+9=5x – 5
2x=14
x=7 masa vardr.
Lokantadaki insan says 3x+9 veya 5.(x – 1) den
3.7+9=30 kiidir.
Cevap: 30
çözüm
kavrama sorusu
Bir merdivenin basamaklarn ikier ikier çkp, üçer üçer inen
bir kiinin, çkarken att adm says inerken att adm saysndan 10 fazladr.
Merdivenin kaç basamakl olduunu, bulunuz.
Çkarken att
adm says
nirken att
adm says
x+10
x
Merdivendeki basamak says 2.(x+10) veya 3x dir.
2.(x+10)=3x
2x+20=3x
x=20
Basamak says 3.x olduundan 3.20=60 basamakldr.
Cevap: 60
çözüm
kavrama sorusu
Boylar eit farkl maddelerden yaplm iki mumdan birincisi 4
saatte, ikincisi 6 saatte yanyor.
Mumlarn boylarna 24x diyelim. 1. mum 4 saatte yandna göre
1 saatte 6x lik ksm yanyor.
Mumlar yakldktan kaç saat sonra birinin boyu dierinin yars kadar olur, bulunuz.
2. mum 6 saatte yandna göre 1 saatte 4x lik ksm yanyor.
k saat sonra kalan ksmlar
1
(24x – k.6x)= (24x – k.4x)
2
24x – 6kx=12x – 2kx
24x – 12x=4kx
12 x
4k x
k=3 saat sonra olur.
Cevap: 3
çözüm
kavrama sorusu
4 yanln 1 doruyu götürdüü, 50 soruluk bir snavda 40
soruyu cevaplayp 20 net çkaran bir örenci kaç soruyu
doru cevaplamtr bulunuz.
Doru says
Yanl says
x
(40 – x)
(40 x)
x
4
4x 40 x
4
20
20
5x=120
x=24 soruyu doru cevaplamtr.
Cevap: 24
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
266
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 22
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
Bir snfta örenciler sralara 2 erli oturduklarnda 7 örenci
ayakta kalyor, 3 erli oturduklarnda 1 sra bo kalyor.
Boylar eit farkl maddelerden yaplm iki mumdan birincisi 2
saatte, ikincisi 3 saatte yanp bitiyor.
Snfta kaç örenci vardr?
Mumlar yakldktan kaç saat sonra, birinin boyu dierinin boyunun yars olur?
A) 23
B) 25
C) 27
D) 30
E) 33
A)
soru 2
1
2
B) 1
C)
3
2
D) 2
E)
5
2
soru 6
Bir aaçtaki dallara kular 4 erli tünediklerinde 2 ku açkta kalyor, 6 arl tünediklerinde ise 3 dal bo kalyor.
Boylar eit farkl maddelerden yaplm iki mumdan birincisi 5
saatte, ikincisi 6 saatte yanp bitiyor.
Aaçta kaç dal vardr?
Mumlar yakldktan kaç saat sonra, birinin boyu dierinin bo1
ü kadar olur?
yunun
3
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
www.kartezyen.com.tr
A) 8
soru 3
A)
60
13
B)
60
23
C)
56
17
D)
53
21
E)
51
19
soru 7
Bir merdivenin basamaklarn ikier ikier çkp, dörder dörder
inen bir kiinin, çkarken att adm says inerken att adm
5 yanln 1 doruyu götürdüü, 40 soruluk bir snavda 30
soruyu cevaplayp 18 net çkaran bir örenci kaç soruyu
saysndan 15 fazladr.
doru cevaplamtr?
Merdiven kaç basamakldr?
A) 15
A) 44
B) 48
C) 52
D) 54
B) 20
C) 21
D) 24
E) 26
E) 60
soru 4
soru 8
Bir derenin ortasna talar konularak geçi salanmtr. Derenin
dier tarafna üçer ta atlayarak geçen bir kii dörder ta atlaya-
4 yanln 1 doruyu götürdüü ve her net için 3 puan verildii bir snavda 52 soruyu cevaplayp 126 puan alan bir
rak dönmütür.
örenci kaç soruyu doru cevaplamtr?
Gidite att adm says, dönüte att adm saysndan 6 fazla
olduuna göre, dereye kaç ta döenmitir?
A) 40
A) 72
B) 74
C) 76
D) 80
B) 42
C) 44
D) 46
E) 48
E) 82
267
1–C
2–B
3–E
4–A
5–C
6–A
7–B
8–C
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çözüm
kavrama sorusu
3
dir.
2
Selim ile Mehmet’in yalar toplam 30 olduuna göre, Mehmet’in yan, bulunuz.
Selim’in yann, Mehmet’in yana oran
Selim
Mehmet
3
olduundan,
2
Selim=3k,
Mehmet=2k
3k+2k=30
5k=30
k=6
Mehmet=2k olduundan, 2.6=12 yandadr.
Cevap: 12
çözüm
kavrama sorusu
Yasemin, Ceren’den 6 ya büyüktür.
Yasemin ile Ceren’in yalar toplam 24 olduuna göre, Yasemin
kaç yandadr, bulunuz.
Yasemin
Ceren
x+6
x
(x+6)+x=24
2x+6=24
x=9
Yasemin x+6 yanda olduundan, 9+6=15 yandadr.
Cevap: 15
çözüm
kavrama sorusu
Yaar doduunda Murat 5 yandayd.
Yaar doduunda Murat 5 yanda olduuna göre, aralarndaki
ya fark 5 tir.
Yaar ile Murat’n imdiki yalar toplam, yalar farknn 7 kat
olduuna göre, Murat’n imdiki yan, bulunuz.
Uyarı
Murat
Yaar
x+5
x
(x+5)+x=7.5 (ya fark)
2x+5=35
Aradan süre geçsede ya fark deimez.
x=15
Murat x+5 yanda olduundan, 15+5=20 yandadr.
Cevap: 20
çözüm
kavrama sorusu
Bulut’un ya, Rüzgar’n yann 4 katdr.
10 yl sonra yalar fark 6 olduuna göre, Rüzgar’n kaç yanda olduunu, bulunuz.
Bulut
Rüzgar
4x
x
10 yl sonraki ya fark ile imdiki ya fark ayndr.
Bulut’un ya – Rüzgar’n ya=6
4x – x=6
3x=6
x=2
Rüzgar 2 yandadr.
Cevap: 2
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
268
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 23
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
Sevgi’nin ya Aye’nin yann 2 katdr.
Can doduunda Altu 24 yandayd.
Sevgi ile Aye’nin yalar toplam 45 olduuna göre, Sevgi kaç
yandadr?
Can ile Altu’un imdiki yalar toplam, yalar farknn iki kat
olduuna göre, Altu’un imdiki ya kaçtr?
A) 15
A) 28
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
soru 2
C) 32
D) 34
E) 36
soru 6
3
tr.
4
Kerim ile Hasan’n yalar toplam 56 olduuna göre, Hasan kaç
yandadr?
Kerim’in yann Hasan’n yana oran
B) 30
C) 32
D) 36
Seçil doduunda Eray 16 yandayd.
Seçil ile Eray’n imdiki yalar toplam, yalar farknn 3 kat olduuna göre, Seçil’in imdiki ya kaçtr?
A) 15
E) 40
B) 16
C) 17
D) 18
E) 20
www.kartezyen.com.tr
A) 24
B) 30
soru 3
soru 7
Özlem, Mehmet’ten 4 ya büyüktür.
Nilüfer’in ya Süreyya’nn yann 3 katdr.
Özlem ile Mehmet’in yalar toplam 42 olduuna göre, Mehmet
kaç yandadr?
4 yl sonra yalar fark 8 olacana göre, Nilüfer kaç yandadr?
A) 19
A) 12
B) 20
C) 21
D) 22
E) 23
soru 4
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
soru 8
Emine, Esra’dan 10 ya büyüktür.
Dila’nn ya Büra’nn yann 5 katdr.
Emine ile Esra’nn yalar toplam 70 olduuna göre, Emine kaç
yandadr?
3 yl önce yalar fark 12 olduuna göre, imdiki yalar toplam kaçtr?
A) 30
A) 16
B) 35
C) 40
D) 45
E) 50
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
269
1–D
2–C
3–A
4–C
5–E
6–B
7–A
8–C
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çözüm
kavrama sorusu
ki kardein yalar toplam 42 dir.
5 yl sonrasnda her bir karde 5 yl yalanaca için yalar toplam 5+5=10 yl artar.
5 yl sonra bu iki kardein yalar toplam kaç olur, bulunuz.
ki kardein 5 yl sonraki yalar toplam,
42+10=52 dir.
Cevap: 52
Uyarı
Yalar toplam x olan n kiinin, y yl sonra yalar toplam x+n.y olur.
çözüm
kavrama sorusu
Sevim ve Çala’nn bugünkü yalar toplam 53 tür.
67 – 53=14 yl yalar toplamna eklendiine göre her biri,
14
7 yl yalanmtr.
2
7 yl sonra yalar toplam 67 olur.
Kaç yl sonra yalar toplam 67 olur, bulunuz.
Cevap: 7
çözüm
kavrama sorusu
4 örencinin 3 yl önceki yalar toplam 60 olduuna göre, imdiki yalar toplamn, bulunuz.
Her bir örenci 3 ya yalandna göre toplamda 4.3=12 yl
60+12=72 imdiki yalar toplamdr.
Cevap: 72
çözüm
kavrama sorusu
Oulcan ile Uurcan’n imdiki yalar toplam 34 tür.
5 yl sonra Oulcan’n ya Uurcan’n yann 3 kat olacana
göre, Uurcan imdi kaç yandadr, bulunuz.
Oðulcan
Uðurcan
34 x
x
+5
+5
39x
x+5
39 – x=3.(x+5)
39 – x=3x+15
24=4x
x=6
Uurcan 6 yandadr.
Cevap: 6
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
270
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 24
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
ki arkadan imdiki yalar toplam 34 tür.
3 kardein 2 yl önceki yalar toplam 27 olduuna göre, imdiki
yalar toplam kaçtr?
4 yl sonra bu iki arkadan yalar toplam kaç olur?
A) 40
B) 42
C) 44
D) 46
A) 33
E) 48
soru 2
B) 34
C) 35
D) 36
E) 37
soru 6
Be örencinin imdiki yalar toplam 78 dir.
10 kiilik bir grubun 5 yl önceki yalar toplam 112 olduuna
6 yl sonra bu be örencinin yalar toplam kaç olur?
göre, imdiki yalar toplam kaçtr?
A) 98
A) 117
C) 106
D) 108
E) 110
www.kartezyen.com.tr
B) 102
soru 3
B) 112
C) 132
D) 142
E) 162
soru 7
Bir baba ile kznn bügünkü yalar toplam 42 dir.
Zeynep ile Zehra’nn imdiki yalar toplam 40 tr.
Kaç yl sonra yalar toplam 54 olur?
7 yl sonra Zehra’nn ya Zeynep’in yann 2 kat olacana
göre, Zehra’nn imdiki ya kaçtr?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
A) 27
soru 4
B) 28
C) 29
D) 30
E) 31
soru 8
Bir anne ile olunun bugünkü yalar toplam 35 tir.
Bir anne ile çocuunun imdiki yalar toplam 42 dir.
Kaç yl sonra yalar toplam 63 olur?
9 yl sonra Annenin ya çocuunun yann 3 kat olacana
göre, çocuun imdiki ya kaçtr?
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
271
1–B
2–D
3–B
4–E
5–A
6–E
7–C
8–B
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çözüm
kavrama sorusu
Zeki’nin Ya=Z, Ahmet’in Ya=A olsun.
3
ü kadardr.
4
Zeki Ahmet’in yana geldiinde yalar toplam 72 olduuna
göre, Zeki’nin imdiki yan, bulunuz.
Zeki’nin ya, Ahmet’in yann
3
A 4Z
4
Z
Z=3k
ve
3A ise
A=4k dr.
Zeki
Ahmet
3k
4k
Þimdi
+k
+k
Sonra
4k
+
5k
=72
9k=72
k=8
Zeki’nin imdiki ya 3k olduundan, 3.8=24 yandadr.
Cevap: 24
çözüm
kavrama sorusu
Servet’in Ya=X, Sabri’nin Ya=Y olsun.
5
ü kadardr.
4
Servet, Sabri’nin yandayken yalar toplam 49 olduuna göre,
Servet’in ya, Sabri’nin yann
X
5
Y 4X
4
5Y ise
Sabri’nin imdiki yan bulunuz.
X=5k
ve
Y=4k dr.
Servet
Sabri
5k
4k
Þimdi
k
k
Önce
4k
+
3k
=49
7k=49
k=7
Sabri’nin imdiki ya 4k olduundan, 4.7=28 yandadr.
Cevap: 28
çözüm
kavrama sorusu
Yaz 35 yandadr. Yaz, Kaan’n yandayken Kaan imdiki
1
ü yandayd.
yann
4
Kaan’n imdiki yan, bulunuz.
Þimdi
Yiðit
Kaan
35
4x
3x
3x
4x
x
35 – 3x=4x
7x=35
x=5
Kaan imdi 4x yanda olduundan, 4.5=20 yandadr.
Cevap: 20
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
272
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 25
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
1
ü kadardr.
3
Kübra, Gamze’nin yana geldiinde yalar toplam 64 olduuna göre, Kübra’nn imdiki ya kaçtr?
5
u kadardr.
9
Anne, çocuunun yandayken yalar toplam 36 olduuna
göre, anne ile çocuunun imdiki yalar toplam kaçtr?
A) 6
A) 78
Kübra’nn ya, Gamze’nin yann
B) 7
C) 8
D) 9
Bir çocuun ya, annesinin yann
E) 10
soru 2
1
ü kadardr.
4
Çocuk, babasnn yana geldiinde yalar toplam 110 olduuna göre, babann imdiki ya kaçtr?
D) 84
E) 88
B) 40
C) 50
D) 60
Pelin 12 yandadr. Pelin, Özcan’n yandayken Özcan imdiki
1
ü yanda olduuna göre, Özcan imdi kaç yanyann
3
dadr?
E) 70
www.kartezyen.com.tr
A) 9
soru 3
6
i kadardr.
5
Meral, Serkan’n yana geldiinde yalar toplam 65 olduuna
göre, Meral’in imdiki ya kaçtr?
Serkan’n ya, Meral’in yann
A) 20
C) 82
soru 6
Bir çocuun ya, babasnn yann
A) 30
B) 80
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
soru 4
B) 10
C) 12
D) 13
E) 15
soru 7
Hikmet 55 yandadr. Hikmet, Fatma’nn yandayken Fatma
3
imdiki yann
ü yanda olduuna göre, Fatma’nn imdiki
4
ya kaçtr?
A) 33
B) 36
C) 40
D) 42
E) 44
soru 8
4
si kadardr.
7
Bilgehan, Neslihan’n yandayken yalar toplam 45 olduuna
Neslihan’n ya, Bilgehan’n yann
Mustafa 36 yandadr. Mustafa, Volkan’n yana geldiinde,
göre, Neslihan’n imdiki ya kaçtr?
5
ü kadar olacaktr.
4
Buna göre, Volkan’n imdiki ya kaçtr?
A) 32
B) 36
C) 38
D) 40
Volkan’n ya imdiki yann
E) 42
A) 48
B) 50
C) 52
D) 54
E) 56
273
1–C
2–B
3–B
4–B
5–D
6–C
7–E
8–A
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
Yüzde Problemleri
Bir çokluun belirli bir yüzdesini bulmak, tamamn 100 parça kabul edip belirli bir ksmn almak demektir. Yani aslnda bir orandr.
1
ü kaç kalem yapar?” sorusunda 36 kalemin tamamn 4 parça kabul edip 1 parçaya ne kadar kalem dütüünü
Örnein: “36 kalemin
4
buluruz.
36 kalem
9
9
9
36
1
4
9
9
1
ü
4
“36 kalemin %25 i kaç kalemdir?” sorusunda da benzer biçimde 36 kalemin tamamn 100 parçaya datp, 25 parçaya kaç kalem dütüünü buluruz.
36
25
100
9
25 parçalýk bölüme
9 kalem düþüyor.
Bir a saysnn %k s a
k
dür. (“%” yüzde iaretidir.)
100
çözüm
kavrama sorusu
75 saysnn %20 sini, bulunuz.
75
75 20
100
20
100
15
Cevap: 15
çözüm
kavrama sorusu
1200 saysnn %5 ini, bulunuz.
1200
5
100
1200 5
100
60
Cevap: 60
çözüm
kavrama sorusu
%10 u 15 olan sayy bulunuz.
Saymz x olsun.
x
10
100
15 x
15
100
10
150
Cevap: 150
çözüm
kavrama sorusu
%40 30 olan sayy bulunuz.
Saymz x olsun.
x
x
40
100
30
30
100
40
75
Cevap: 75
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
274
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 26
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
24 saysnn %50 si kaçtr?
A) 10
B) 12
%5 i 16 olan say kaçtr?
C) 14
D) 16
E) 18
A) 300
soru 2
C) 320
D) 330
E) 340
C) 480
D) 520
E) 540
soru 6
30 saysnn %20 si kaçtr?
%15 i 60 olan say kaçtr?
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
A) 400
B) 440
www.kartezyen.com.tr
A) 3
B) 310
soru 3
soru 7
144 saysnn %25 i kaçtr?
A) 36
B) 40
%1 i 14 olan say kaçtr?
C) 42
D) 44
E) 48
soru 4
B) 140
C) 280
D) 1400
E) 2800
soru 8
3000 saysnn %18 i kaçtr?
A) 440
A) 28
B) 480
%70 i 700 olan say kaçtr?
C) 500
D) 520
E) 540
A) 1000
B) 1400
C) 2100
D) 2800
E) 3500
275
1–B
2–D
3 –A
4–E
5–C
6–A
7–D
8–A
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çözüm
kavrama sorusu
30 kiilik bir snfn %60 kz örencilerden olumaktadr.
30
Snftaki kz örenci saysn, bulunuz.
30 60
100
60
100
18 kz örenci
Cevap: 18
çözüm
kavrama sorusu
120 Lt sütü olan bir sütcü elindeki sütlerin %80 nini satmtr.
120
Sütcü kaç Lt süt satmtr, bulunuz.
120 80
100
80
100
96 Lt
Cevap: 96
çözüm
kavrama sorusu
18 koyun ve 32 keçinin bulunduu bir çiftlikte koyunlarn
yüzde orann, bulunuz.
18 koyun+32 keçi=50 hayvan (tümü).
I. yöntem:
18
36
Koyunlarýn sayýsý
=
=
Tüm hayvanlarýn sayýsý 50 100
(2)
%36 s koyunlardan olumaktadr.
II. yöntem: Orant kurarak hayvanlarn yüzdesini bulabiliriz.
50 (Tüm hayvanlar)
18
100 parça
x parça
50.x=100.18
x=36
%36 elde edilir.
Cevap: %36
çözüm
kavrama sorusu
180 gr un, 140 gr eker ve 80 gr ya kullanarak yaplan bir
helvadaki, eker yüzdesini bulunuz.
180+140+80=400 gr (Tümü)
400 gr
100 parça
140 gr
x parça
400.x=100.140
x=35
Helvadaki eker yüzdesi %35 tir.
Cevap: %35
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
276
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 27
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
300 m2 lik bir bahçenin %30 una patates ekilmitir.
15 kz, 45 erkek örencinin bulunduu bir snfta kzlar snfn
yüzde kaçdr?
Patates ekili alan kaç m2 dir?
A) 60
B) 80
C) 90
D) 110
A) 10
E) 120
soru 2
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
soru 6
45 katl bir binann %40 tamamlanmtr.
200 gr yourt, 300 gr su kullanlarak yaplan bir ayrandaki
Tamamlanan ksm kaç katldr?
yourt yüzdesi kaçtr?
B) 15
C) 16
D) 17
soru 3
1800 m lik bir yolda asfaltlama çalmas yaplmaktadr.
Yolun %12 si asfaltlandna göre, asfaltlanan yol kaç m dir?
A) 216
B) 220
C) 224
D) 230
A) 35
E) 18
E) 240
www.kartezyen.com.tr
A) 14
B) 40
C) 45
D) 50
E) 55
soru 7
Aada bir elektrik faturasnn dökümü verilmitir.
Tüketim tutarý
Sabit ücretler
24 TL
16 TL
Vergi ve fonlar
Toplam
10 TL
50 TL
Faturada sabit ücret tutarnn pay % kaçtr?
A) 32
soru 4
C) 40
D) 42
E) 48
soru 8
5500 soruluk bir soru bankasndaki sorularn %8 ini çözen
bir örenci kaç soru çözmütür?
A) 420
B) 36
B) 440
C) 450
D) 460
Bir sitedeki dairelerin dalm aadaki tabloda verilmitir.
Daire tipi
3+1 model
2+1 model
1+1 model
Stüdyo
E) 480
Daire sayýsý
36
28
16
10
(3+1) model daireler sitenin % kaçdr?
A) 30
B) 35
C) 40
D) 45
E) 48
277
1–C
2–E
3–A
4–B
5–D
6–B
7–A
8–C
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
Yüzde hesaplamalarnda belirli bir yüzde ekleme yapldnda veya eksiltme yapldnda, ilk verilen sayy 100x kabul edip ona göre ilem
yapmak ilem kolayl salayabilir.
Örnein:
Ýlk fiyat Yapýlan zam
yüzdesi
100x
% 20
100x
% 18
100x
% 40
100x
%5
Zamlý fiyat
Yapýlan zam
100x.
20
=20x
100
18
=18x
100x.
100
40
=40x
100x.
100
5
=5x
100x.
100
100x+20x=120x
100x+18x=118x
100x+40x=140x
100x+5x=105x
Ýlk fiyat Yapýlan indirim Yapýlan indirim
yüzdesi
10
100x
% 10
100x.
=10x
100
7
100x
%7
=7x
100x.
100
35
100x
% 35
=35x
100x.
100
42
100x
% 42
=42x
100x.
100
Ýndirimli fiyat
100x10x=90x
100x7x=93x
100x35x=65x
100x42x=58x
çözüm
kavrama sorusu
250 ¨ den satlan bir frna %20 zam yaplyor.
I. yöntem: 250
Frnn yeni sat fiyatn bulunuz.
20
100
50 ¨ (Zam yaplmtr.)
250+50=300 ¨ yeni sat fiyatdr.
II. yöntem: 100x ilk fiyat ise %20 zaml sat fiyat 120x olur.
100 x
250 ¨
120 x
y=?
100 x y
120 x 250
y=300 ¨ yeni sat fiyatdr.
Cevap: 300
çözüm
kavrama sorusu
300 ¨ den satlan bir tost makinesine %10 indirim yaplyor.
I. yöntem: 300
Tost makinesinin yeni sat fiyatn bulunuz.
10
100
30 ¨ (ndirim yaplmtr.)
300 – 30=270 ¨ yeni sat fiyatdr.
II. yöntem: 100x ilk fiyat ise %10 indirimli sat fiyat 90x olur.
100 x
300 ¨
90 x
y=?
100 x y
90 x 300
y=270 ¨
Cevap: 270
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
278
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 28
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
80 ¨ den satlan bir cekete %5 zam yaplyor.
50 ¨ ye satlan bir tiörte %8 indirim yaplyor.
Ceketin yeni sat fiyat kaç ¨ dir?
Tiörtün indirimli fiyat kaç ¨ dir?
A) 82
B) 83
C) 84
D) 86
E) 88
A) 40
soru 2
B) 42
C) 45
D) 46
soru 6
120 ¨ den satlan bir sandalyeye %30 zam yaplyor.
240 ¨ ye satlan bir masaya %5 indirim yaplyor.
Sandalyenin yeni sat fiyat kaç ¨ dir?
Masann indirimli fiyat kaç ¨ dir?
B) 156
C) 160
D) 164
E) 172
A) 220
B) 224
C) 228
D) 230
E) 232
www.kartezyen.com.tr
A) 150
E) 48
soru 3
soru 7
200 ¨ lik spor salonu aylk ücretine %15 zam gelmitir.
360 günde bitmesi planlanan bir bina, ek içiler gelince planlanan zamann %20 si kadar daha ksa sürede bitmitir.
Aylk ücretin zaml fiyat kaç ¨ dir?
Buna göre kaç günde bitmitir?
A) 215
B) 220
C) 225
D) 230
E) 240
A) 270
soru 4
B) 274
C) 275
D) 280
E) 288
soru 8
1400 ¨ lik bir cep telefonuna %3 zam yaplyor.
450 kg soan olan bir manavn soanlarnn %40 çürüyor.
Cep telefonunun yeni sat fiyat kaç ¨ dir?
Manavn elinde kalan salam soanlar kaç kg dr?
A) 1442
B) 1444
C) 1450
D) 1456
E) 1460
A) 260
B) 270
C) 280
D) 290
E) 300
279
1 –C
2–B
3–D
4–A
5–D
6–C
7–E
8–B
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çözüm
kavrama sorusu
Benzinde litre fiyatna yaplan %2 indirimle 10 kuruluk bir indirim olduuna göre, benzinin indirim yaplmadan önceki litre
fiyatn, bulunuz.
Benzin indirimsiz fiyat 100x olsun.
ndirim oran %2 olduundan 2x lik bir indirim vardr.
2x
10 kuruþ
100x
y=?
2x.y=100x.10
y=500 kuru=5 ¨
Cevap: 5 ¨
çözüm
kavrama sorusu
Kitabn %12 KDV eklenmemi fiyat 100x olsun.
BÝLÝM KÝTAPÇI
%12 KDV eklenmi fiyat 112x olur.
V.N.: xxxx
1 KÝTAP : X X X X
%12 KDV :
XXX
112x
44,8 ¨
100x
y=?
112x.y=100x.44,8
Toplam Fiyat: 44,8 ¨
y=40 ¨
Cevap: 40 ¨
%12 KDV eklenmi fiyat 44,8 ¨ olan bir kitabn KDV eklenmemi hali kaç ¨ dir, bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
Bir takm elbiseye %20 zam yapldktan sonra, zaml fiyat üzerinden %10 zam daha yaplyor.
Takm elbisenin ilk fiyat 100x olsun.
Ýlk fiyat % 20 zamlý fiyat
Takm elbiseye balangç fiyatna göre, yüzde kaç zam yaplmtr, bulunuz.
100x
120x
% 10 zam
120x.
110
=132x
100
Takm elbise balangçta 100x ¨ iken, zamlar sonucu 132x lira
olmutur.
Toplamda %32 zam yaplmtr.
Cevap: %32
çözüm
kavrama sorusu
Bir kitaba %30 indirim yapldktan sonra, indirimli fiyat üzerinden
%20 indirim daha yaplyor.
Ýlk fiyat % 30 indirimli fiyat % 20 indirimli fiyat
100x
Kitaba balangç fiyatna göre, yüzde kaç indirim yaplmtr,
bulunuz.
70x
70x.
80
=56x
100
Kitabn balangç fiyat 100x ¨ iken indirimler sonucu 56x ¨ olmutur.
100x – 56x=44x olduundan toplamda %44 indirim yaplmtr.
Cevap: %44
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
280
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 29
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
Bir çantada yaplan %20 indirimle çantann fiyatnda 8 ¨ lik bir
düü olmutur.
Bir pantalona %10 zam yapldktan sonra, zaml fiyat üzerinden
%10 zam daha yaplyor.
Çantann ilk fiyat kaç ¨ dir?
Pantolana yaplan toplam zam % kaçtr?
A) 40
B) 42
C) 45
D) 48
E) 50
A) 20
soru 2
B) 21
C) 22
D) 23
E) 24
soru 6
Bir evin fiyatnda yaplan %5 indirimle evin fiyatnda 10.000 ¨ lik
Belediye suyun litre fiyatna önce %30 zam yapyor daha sonra
indirim olmutur.
zaml fiyat üzerinden %20 indirim yaplyor.
Evin ilk fiyat kaç ¨ dir?
Suyun litre fiyatndaki deiim aadakilerden hangisidir?
B) 180000
C) 200000
D) 240000
E) 280000
A) %3 indirim
www.kartezyen.com.tr
A) 150000
soru 3
Bir arabann %10 zaml fiyat 33000 ¨ olduuna göre, arabann
zamsz fiyat kaç ¨ dir?
B) %4 indirim
D) %3 zam
C) %2 zam
E) %4 zam
soru 7
Bir televizyona %20 indirim yapldktan sonra, indirimli fiyat üzerinden %20 indirim daha yaplyor.
Televizyondaki toplam indirim yüzdesi kaçtr?
A) 25000
B) 30000
C) 30500
D) 31000
E) 32000
A) 30
soru 4
B) 32
C) 36
D) 38
E) 40
soru 8
Bir bilgisayarn %15 KDV eklenmi fiyat 3450 ¨ olduuna göre,
KDV siz fiyat kaç ¨ dir?
Köprü geçi ücretlerinde önce %50 indirim yaplp daha sonra
indirimli fiyatlara %50 zam yaplyor.
Geçi ücretindeki deiim aadakilerden hangisidir?
A) 2500
B) 2700
C) 2800
D) 3000
E) 3200
A) Deiim yoktur
B) %25 indirim
C) %50 indirim
D) %75 indirim
E) %10 zam
281
1–A
2–C
3–B
4–D
5–B
6–E
7–C
8–B
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çözüm
kavrama sorusu
24 gr kahve, 56 gr süt kullanlarak yaplan sütlü kahvedeki
kahve oran % kaçtr, bulunuz.
Toplam karm=24+56=80 gr
24
80
I. yöntem: Kahve oran=
3
10
(10)
30
100
Kahve oran %30 dur.
II. yöntem:
80 gr
100
24 gr
x
80.x=24.100
x=30
Kahve oran %30 dur.
Cevap: %30
çözüm
kavrama sorusu
40 gr yourt, 120 gr su kullanlarak yaplan ayrandaki su oran % kaçtr, bulunuz.
Toplam karm=40+120=160 gr
160 gr
100
120 gr
x
160.x=120.100
x=75
Su oran %75 dir.
Cevap: %75
çözüm
kavrama sorusu
Bir kaptaki 150 lt ekerli suyun arlkça %20 si eker olduuna
göre, karmdaki eker miktarn bulunuz.
150
20
100
30 lt eker vardr.
Cevap: 30 lt
çözüm
kavrama sorusu
Bir kaptaki 80 lt tuzlu suyun %15 i tuz olduuna göre, karmdaki su miktarn bulunuz.
%15 i tuz olduuna göre, %85 i sudur.
85
80
68 lt su
100
Cevap: 68 lt
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
282
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 30
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
17 gr un, 33 gr ekerle yaplan bir helvadaki un yüzdesi kaçtr?
Bir kaptaki 240 lt ekerli suyun arlkça %15 i eker olduuna
göre, karmdaki eker miktar kaç lt dir?
A) 34
A) 34
B) 38
C) 42
D) 51
E) 66
soru 2
B) 35
C) 36
D) 37
E) 38
soru 6
60 lt boya, 15 lt su ile hazrlanan bir boya karmndaki boya
Bir kaptaki 72 lt kolonyann arlkça %25 i alkol olduuna göre,
yüzdesi kaçtr?
karmdaki alkol miktar kaç lt dir?
B) 60
C) 70
D) 80
E) 85
A) 18
B) 20
C) 22
D) 24
E) 28
www.kartezyen.com.tr
A) 55
soru 3
soru 7
36 lt meyve özü, 54 lt su kullanlarak hazrlanan bir meyve
suyu karmndaki meyve yüzdesi kaçtr?
Bir kaptaki 30 lt boyal su karmnn arlkça %30 u boya olduuna göre, karmdaki su miktar kaç lt dir?
A) 20
A) 15
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
soru 4
B) 16
C) 18
D) 21
E) 24
soru 8
49 lt un, 21 lt su kullanlarak hazrlanan bir hamurdaki su
yüzdesi kaçtr?
Bir kaptaki 20 lt tuzlu su karmn arlkça %10 u tuz olduuna
göre, karmdaki su miktar kaç lt dir?
A) 20
A) 2
B) 25
C) 30
D) 36
E) 38
B) 8
C) 10
D) 12
E) 18
283
1 –A
2–D
3–E
4–C
5–C
6–A
7–D
8–E
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çlerinde karmlar bulunan kaplarn birletirildii veya karmlara madde eklenip çkarld durumlarda aadaki formulü kullanabiliriz.
1. kapta A litre karmda %k orannda x maddesi,
2. kapta B litre karmda %t orannda x maddesi olsun.
1. kaptaki karmla, 2. kaptaki karm birletirildiinde yeni oluan karmdaki birletirildiinde, x maddesi yüzdesi,
A
k
t
B
100
100
(A B)
m
100
dr.
çözüm
kavrama sorusu
%25 eker içeren 20 litre ekerli su ile %10 eker içeren 40 litre
ekerli su bir kapta birletiriliyor.
1. Karm: 20 lt ve %25 i eker
2. Karm: 40 lt ve %10 u eker
Yeni karmdaki eker yüzdesini bulunuz.
20
25
10
40
100
100
54
9
x
100
(20 40)
60 x
100
60 x
100
x=15
eker yüzdesi %15 dir.
Cevap: %15
çözüm
kavrama sorusu
%4 tuz içeren 15 litre tuzlu su ile %10 tuz içeren 30 litre tuzlu su
bir kapta birletiriliyor.
1. Karm: 15 lt ve %4 u tuz
2. Karm: 30 lt ve %10 u tuz
Yeni karmdaki su yüzdesini bulunuz.
15
4
10
30
100
100
60 300
100
(15 30)
45
x
100
x
100
x=8
Karmdaki tuz oran %8 dir.
Karmdaki su oran ise, %100 – %8=%92 dir.
Cevap: %92
çözüm
kavrama sorusu
%40 eker içeren 50 litre ekerli su karmna 25 lt eker
katldnda yeni karmn eker yüzdesini bulunuz.
1. Karm: 50 lt ve %40 eker
2. Karm: 25 lt ve %100 ü eker
50
40
100
25
100
100
20 25
x
100
75 x
100
75
x=60
Karmdaki eker oran %60 olmutur.
çözüm
kavrama sorusu
%30 tuz içeren 80 litre tuzlu su karmndan kaç lt su buharlatrlrsa karmn tuz oran %40 olur.
1. Karm: 80 lt ve %30 u tuz
2. Karm: k lt ve %0 tuz
80
30
0
k
100
100
24
40
100
40
(80 k)
100
(80 k)
k=20
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
Cevap: %60
284
Cevap: 20 lt
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 31
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
%40 eker içeren 60 litre ekerli su ile %20 eker içeren 40 litre
ekerli su bir kapta birletiriliyor.
%30 eker içeren 40 lt ekerli su karmna 10 lt eker katldnda oluan eker karmn eker oran yüzde kaçtr?
Yeni karmn eker oran yüzde kaçtr?
A) 44
A) 30
B) 32
C) 36
D) 38
B) 46
C) 48
D) 50
E) 52
E) 40
soru 2
soru 6
%25 tuz içeren 20 litre tuzlu su ile %15 tuz içeren 20 litre tuzlu su
%50 tuz içeren 120 lt tuzlu su karmna 30 lt tuz katldnda
bir kapta birletiriliyor.
oluan yeni karmn tuz oran yüzde kaçtr?
Yeni karmn tuz oran yüzde kaçtr?
A) 45
B) 18
C) 20
D) 22
C) 55
D) 60
E) 65
E) 25
www.kartezyen.com.tr
A) 16
B) 50
soru 3
soru 7
%30 tuz içeren 50 litre tuzlu su ile %20 tuz içeren 75 litre tuzlu su
bir kapta birletiriliyor.
%40 tuz içeren 60 lt tuz karmndan kaç litre su buharlatrlrsa karmdaki tuz oran %50 olur?
Yeni karmn su oran yüzde kaçtr?
A) 10
A) 60
B) 64
C) 72
D) 76
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
E) 80
soru 4
soru 8
%60 eker içeren 15 litre ekerli su ile %30 eker içeren 30 litre
%20 eker içeren 100 lt ekerli su karmndan kaç litre su
ekerli su bir kapta birletiriliyor.
buharlatrlrsa karmdaki eker oran %40 olur?
Yeni karmn su oran yüzde kaçtr?
A) 40
A) 40
B) 50
C) 60
D) 70
B) 45
C) 50
D) 55
E) 60
E) 80
285
1–B
2–C
3–D
4–C
5–A
6–D
7–C
8–C
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
Faiz Problemleri
Yllk faiz oran verildiinde basit faiz hesaplamalarnda kullanlan formül,
F=Faiz, A=Anapara, n=Faiz oran, t=Zaman olmak üzere,
Yllk faiz için, F
A n t
100
Aylk faiz için, F
A n t
1200
Günlük faiz için, F
A n t
dir.
36000
çözüm
kavrama sorusu
Yllk %20 faiz oranyla 2 yllna bankaya yatlrlan 20.000 ¨
nin 2 yl sonunda getirdii faizi bulunuz.
A=20.000, n=%20, t=2 yl
F
A n t
100
20.000 20 2
100
8000 ¨
Cevap: 8000 ¨
çözüm
kavrama sorusu
Yllk %24 faiz oranyla 5 aylna bankaya yatrlan 50.000 ¨
nin 5 ay sonunda getirdii faizi bulunuz.
A=50.000, n=%24, t=5 ay
F
A n t
1200
50.000 24 5
1200
5000 ¨
Cevap: 5000 ¨
çözüm
kavrama sorusu
Yllk %30 faiz oranyla 45 günlüüne bankaya yatlrlan
120.000 ¨ nin 45 gün sonunda getirdii faizi bulunuz.
A=120.000, n=%30, t=45 gün
F
A n t
36000
120.000 30 45
36000
4500 ¨
Cevap: 4500 ¨
çözüm
kavrama sorusu
Yllk %18 faiz oranyla 3 yllna bankaya 45.000 ¨ yatrlyor.
A=45.000, n=%18, t=3 yl
3 yl sonunda hesapta kaç ¨ vardr, bulunuz.
F
A n t
100
45.000 18 3
100
24300 ¨
Hesapta biriken para=Anapara+Faiz
=45000+24300
=69300
Cevap: 69300 ¨
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
286
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 32
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
Yllk %12 faiz oranyla bankaya yatrlan 30.000 ¨ nin yl sonunda getirdii faiz kaç ¨ dir?
Yllk %16 faiz oranyla bankaya yatrlan 18.000 ¨ nin 40 gün
sonunda getirdii faiz kaç ¨ dir?
A) 2800
A) 320
B) 3000
C) 3200
D) 3400
E) 3600
soru 2
B) 330
C) 340
D) 350
E) 360
soru 6
Yllk %10 faiz oranyla bankaya yatrlan 60.000 ¨ nin 3 yl
Yllk %15 faiz oranyla bankaya yatrlan 72.000 ¨ nin 100
sonunda getirdii faiz kaç ¨ dir?
gün sonunda getirdii faiz kaç ¨ dir?
B) 20000
C) 21000
D) 24000
E) 27000
A) 1800
B) 2000
C) 2400
D) 3000
E) 3600
www.kartezyen.com.tr
A) 18000
soru 3
soru 7
Yllk %15 faiz oranyla bankaya yatrlan 12.000 ¨ nin 4 ay
sonunda getirdii faiz kaç ¨ dir?
Yllk %20 faiz oranyla bankaya 30.000 ¨ yatrlyor.
A) 450
A) 45000
B) 500
C) 600
D) 700
E) 750
soru 4
5 yln sonunda hesapta kaç ¨ vardr?
B) 50000
C) 55000
D) 60000
E) 65000
soru 8
Yllk %8 faiz oranyla bankaya yatrlan 3.000 ¨ nin 8 ay sonunda getirdii faiz kaç ¨ dir?
Yllk %12 faiz oranyla bankaya 48.000 ¨ yatrlyor.
A) 150
A) 47720
B) 160
C) 170
D) 180
E) 200
4 ayn sonunda hesapta kaç ¨ vardr?
B) 48600
C) 49920
D) 50000
E) 50200
287
1–E
2–A
3–C
4–B
5–A
6–D
7–D
8–C
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
Faiz problemlerinin denklemini kendimiz oluturarak ta çözebiliriz.
çözüm
kavrama sorusu
Yllk %30 faiz oranyla 9 aylna bankaya yatlrlan 6000 ¨
nin 9 ay sonunda getirdii faizi bulunuz.
6000
1800
12
30
100
1800 ¨ (Bir ylda getirdii faiz)
150 ¨ (Bir ayda getirdii faiz)
150.9=1350 ¨ (9 ayda getirdii faiz)
Cevap: 1350 ¨
çözüm
kavrama sorusu
Yllk %10 faiz oranyla bankaya yatrlan bir miktar para, 8 ay
sonunda toplam 9600 ¨ oluyor.
Yatrlan para x olsun.
xN
Bankaya yatrlan paray bulunuz.
Anapara
10 1
x

8
100
12 9600
faiz
x
80x
1200
9600
x=9000 ¨
Cevap: 9000 ¨
çözüm
kavrama sorusu
1800 – 1200=600 ¨ kalan borç
Bir banka kredi kart borcunu zamannda ödemeyenler için %2,5
aylk faiz uygulamaktadr.
600
1800 ¨ borucunun, 1200 ¨ sini ödeyebilen Serkan’n bir dahaki aya ödeyecei faiz miktarn bulunuz.
2,5
100
15 ¨ gecikme faizi
Cevap: 15 ¨
çözüm
kavrama sorusu
Su idaresi ödenmeyen faturalarda her gün için %0,1 faiz uygulamaktadr.
48
48 ¨ lik fatura ödemesini 10 gün geciktiren birisi kaç ¨ gecik-
48 kuru gecikme faizi vardr.
me faizi öder, bulunuz.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
0,1
10
100
0,48 ¨
Cevap: 48 kuru
288
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 33
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
Yllk %6 faiz oranyla bankaya yatrlan 450 ¨ nin 4 ay sonunda getirdii faiz kaç ¨ dir?
Ödenmeyen borç için aylk %1,5 faiz uygulayan bir bankaya
olan 4000 ¨ borcunun 3200 ¨ sini ödeyen bir kii 1 ay sonra
kaç ¨ gecikme faizi öder?
A) 9
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
A) 9
soru 2
B) 10
C) 12
D) 15
E) 18
soru 6
Yllk %16 faiz oranyla bankaya yatrlan 1800 ¨ nin 75 gün-
Ödenmeyen borç için aylk %3 faiz uygulayan bir kuruma 450
sonunda getirdii faiz kaç ¨ dir?
¨ borcunu ödeyemeyen bir kii, 1 ay sonra kaç ¨ gecikme
faizi öder?
A) 45
B) 60
C) 65
D) 70
E) 75
www.kartezyen.com.tr
A) 13,5
soru 3
Yllk %8 faiz oranyla 3 yllna bankaya yatrlan bir miktar para,
3 yl sonunda 930 ¨ olduuna göre, bankaya yatrlan para kaç
¨ dir?
A) 650
B) 700
C) 720
D) 750
C) 14,5
D) 15
E) 15,5
soru 7
Elektrik idaresi ödenmeyen faturalarda her gün için %0,15 günlük faiz uygulamaktadr.
120 ¨ lik borcunu 15 gün geciktiren bir kii kaç ¨ gecikme
faizi öder?
E) 800
A) 2,3
soru 4
B) 2,4
C) 2,5
D) 2,6
E) 2,7
soru 8
Yllk %20 faiz oranyla 6 aylna bankaya yatrlan bir miktar
para, 6 ay sonunda 3300 ¨ olduuna göre, bankaya yatrlan
para kaç ¨ dir?
A) 2400
B) 14
B) 2500
C) 2700
D) 2800
Bir site yönetimi ödenmeyen aidatlarda her gün için %0,4 günlük
faiz uygulamaktadr.
500 ¨ lik aidatn 10 gün geciktiren bir kii kaç ¨ gecikme
faizi öder?
E) 3000
A) 18
B) 20
C) 22
D) 24
E) 25
289
1–A
2–B
3–D
4–E
5–C
6–A
7–E
8–B
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
Hareket - Hız Problemleri
x=Yol, v=Hz ve t=Zaman olmak üzere,
x=v.t
dir.
Hz problemlerini Yol=Hz x Zaman formülü ile çözmeye çalacaz.
çözüm
kavrama sorusu
Saatte 80 km hzla giden bir araba 3 saatte kaç km yol gider,
bulunuz.
Yol=Hz x Zaman
x=v.t
x=80.3
x=240 km yol gider.
Cevap: 240 km
çözüm
kavrama sorusu
Saatte 60 km hzla giden bir araç 300 km lik yolu kaç saatte
gider, bulunuz.
x=v.t
300=60.t
300
60
t
t=5 saat
Cevap: 5 saat
çözüm
kavrama sorusu
1200 km lik bir yolu 4 saatte giden bir aracn hznn kaç
km/sa olduunu bulunuz.
x=v.t
1200=v.4
v
1200
4
v=300 km/sa
Cevap: 300 km/sa
çözüm
kavrama sorusu
Dakikada 20 m yol yürüyebilen Cemre 40 dakikada kaç metre yol yürür, bulunuz.
x=v.t
x=20.40
x=800 metre
Cevap: 800 m
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
290
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 34
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
Saatte 50 km hzla giden bir araba 4 saatte kaç km yol gider?
A) 100
B) 150
C) 180
D) 200
300 km lik bir yolu 5 saatte giden bir aracn hz kaç km/sa
dr?
E) 220
A) 45
soru 2
B) 50
C) 55
D) 60
E) 70
soru 6
Saatte 75 km hzla giden bir araba 5 saatte kaç km yol gider?
150 km lik bir yolu 6 saatte giden bir aracn hz kaç km/sa
dr?
A) 360
B) 375
C) 400
D) 415
E) 425
B) 25
C) 30
D) 35
E) 40
www.kartezyen.com.tr
A) 20
soru 3
soru 7
Saatte 80 km hzla giden bir araç 320 km lik yolu kaç saatte
gider?
Dakikada 15 m yol yüreyebilen Sezgin 12 dakikada kaç metre yol yürür?
A) 2
A) 50
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
soru 4
B) 150
C) 160
D) 175
E) 180
soru 8
Saatte 90 km hzla giden bir araç 270 km lik yolu kaç saatte
gider?
500 m lik yolu 20 dakikada yürüyebilen Emre’nin hz kaç m/
dk dr?
A) 1
A) 25
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
B) 28
C) 30
D) 32
E) 35
291
1–D
2–B
3–C
4–C
5–D
6–B
7–E
8–A
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
Birbirine doru hareket eden araçlarda veya ayn yöne doru hareket eden araçlarda yine x=v.t formülü yardmyla denklem kurarak
sonuca ularz.
x
x
A
v1
xy
C
y
y
A
B
v2
B
v1
C
v2
A ve B den birbirine doru harekete geçen iki araç C noktasnda karlasn.
A ve B den ayn yöne doru harekete balayan araçlar (v1>v2)
C noktasnda karlasnlar.
v1 hzndaki araç x–y yolunu t saatte alsn.
v1 hzndaki araç x+y yolunu t saatte alsn.
x – y=v1 . t (I)
x+y=v1 . t (I)
v2 hzndaki araç y yolunu t saatte alsn.
v2 hzndaki araç y yolunu t saatte alsn.
y=v2.t (II)
y=v2.t (II)
(I) ve (II) den,
(I) ve (II) den,
x – y=v1 . t
p
x – v2.t=v1 . t
x+y=v1 . t
p
x+v2.t=v1 . t
t
x= v1 . t+v2 . t
x= v1 . t – v2 . t
x=t.(v1+v2)
x=t.(v1 – v2)
x
v1 v 2
t
x
v1 v 2
çözüm
kavrama sorusu
a) Birbirlerine doru hareket eden araçlarda karlama süresi
x
t
olduundan,
v1 v 2
270 km
A
B
v2=50 km/sa
v1=40 km/sa
t
A ve B kentlerinden birbirlerine doru ayn anda harekete geçen
iki araç;
270
40 50
270
90
3 saat
b) A dan hareket eden araç 3 saat sonra,
a) Kaç saat sonra karlarlar?
x=40.3=120 km yol alacandan karlama noktas A dan
120 km uzaktadr.
b) Karlatklar nokta A dan kaç km uzaklktadr?
çözüm
kavrama sorusu
300 km
300 km
A
v1=120 km/sa
B
y
A
B
C
v2=70 km/sa
v1=120 km/sa
v2=70 km/sa
A ve B kentlerinden ayn yöne doru ayn anda harekete geçen
ki araç C noktasnda karlam olsunlar.
iki araç;
a) Ayn yönde hareket eden araçlardan karlama süresi,
x
olduundan,
t
v1 v 2
a) Kaç saat sonra karlarlar?
b) Karlatklar nokta B den kaç km uzaklktadr?
t
300
120 70
300
50
6 saat
b) B den hareket eden araç 6 saat sonra,
y=70.6=420 km yol alacandan karlama noktas B den
420 km uzaktadr.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
292
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 35
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
180 km
A
B
80 km
v2=20 km/sa
v1=40 km/sa
A
B
v2=5 km/sa
v1=15 km/sa
A ve B kentlerinden birbirlerine doru harekete geçen iki
araç kaç saat sonra karlarlar?
A ve B kentlerinden ayn yöne doru harekete geçen iki araç
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
kaç saat sonra karlarlar?
E) 5
A) 4
soru 2
B
A
soru 3
D) 7
E) 8
240 km
A
B
A ve B kentlerinden birbirlerine doru harekete geçen iki
araç A dan kaç km uzakta karlarlar?
B) 90
A) 5
B) 6
C) 120
D) 150
E) 180
500 km
B
v1=120 km/sa
v2=70 km/sa
A ve B kentlerinden ayn yöne doru harekete geçen iki araç
B kentinden kaç km uzakta karlarlar?
B) 500
C) 600
B
B) 90
C) 100
D) 700
E) 800
150 km
v2=20 km/sa
A ve B kentlerinden birbirlerine doru harekete geçen iki
araç B den kaç km uzakta karlarlar?
A) 80
E) 9
soru 8
200 km
A
v1=30 km/sa
D) 8
A
A) 400
soru 4
C) 7
soru 7
v2=30 km/sa
v1=90 km/sa
B
A ve B kentlerinden ayn yöne doru harekete geçen iki araç
kaç saat sonra karlarlar?
www.kartezyen.com.tr
C) 6
E) 8
v2=40 km/sa
v1=80 km/sa
A ve B kentlerinden birbirlerine doru harekete geçen iki
araç kaç saat sonra karlarlar?
B) 5
D) 7
280 km
v2=30 km/sa
v1=50 km/sa
A) 60
C) 6
soru 6
400 km
A
A) 4
B) 5
D) 110
E) 120
A
B
v1=50 km/sa
v2=20 km/sa
A ve B kentlerinden ayn yöne doru harekete geçen iki araç
A kentinden kaç km uzakta karlarlar?
A) 100
B) 150
C) 200
D) 250
E) 300
293
1–C
2–B
3–E
4–A
5–E
6–C
7–D
8–D
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çözüm
kavrama sorusu
A
v1=40 km/sa
Araçlar birbirine doru hareket ettiinden soruyu düz bir yolda
birbirine doru hareket eden iki araç gibi düünebiliriz.

x ¬

t v1 v 2 ®

v2=30 km/sa
a)
t
140
40 30
140
70
2 saat
b) Yine ayn yolda birbirine doru hareket edeceklerinden
tekrar 2 saat sonra karlarlar. Balangçtan itibaren ise,
2+2=4 saat sonra ikinci kez karlarlar.
140 km uzunluundaki yuvarlak bir pistte A noktasndan farkl
yönlere doru harekete geçen iki araç;
a) Kaç saat sonra ilk kez karlarlar?
b) kinci kez kaç saat sonra karlarlar?
çözüm
kavrama sorusu
A
Pist 4 x 30=120 km dir.
v1=80 km/sa
v2=60 km/sa
v1=80 km/sa
v2=60 km/sa
A
B (Karþýlaþtýklarý
nokta olsun.)
30 km
v1 arac hzl olduundan önden gidip bir tam tur yaptktan sonra
v2 ye yetiecektir.
Bir kenar 30 km olan kare eklindeki bir pistte A noktasndan ayn yöne doru harekete balayan iki araç ilk kez kaç
v2 aracnn ald yol x km ise
saat sonra karlarlar?
v1 aracnn ald yol x+120 km
x
x=60.t ise t
60
Uyarı
x+120=80.t ise t
Kapal bir eri biçimindeki pistte ayn yöne doru hareket
x
saat sonra karlareden v1 ve v2 hareketlileri t
v1 v 2
lar.
x
60
x 120
80
x 120
80
x=360 km sonra karlarlar.
x=60.t denkleminden 360=60.t t=6 saat sonra karlarlar.
çözüm
kavrama sorusu
A
A ve B ehirleri arasndaki uzaklk x olsun.
B
Gidi 30 km/sa hzla t1 saatte, x=30.t1 t1
A ile B ehirleri arasndaki yolu 30 km/sa hzla gidip, 60 km/
sa hzla geri dönen aracn ortalama hz kaç km/sa dr?
Dönü 50 km/sa hzla t2 saatte, x=60.t2 t 2
Toplam Yol
Ortalama Hýz=
Toplam Zaman
Ortalama Hýz=
xx
x
x
30 60
Uyarı
Ortalama hz v ort
Toplam Yol
Toplam Zaman
2x
3x
60
120x
3x
x
30
x
60
40 km / sa
2 v1 v 2
formülüyle bulunabilir.
v1 v 2
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
294
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 36
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
A
v1=30 km/sa
soru 5
v2=20 km/sa
160 km uzunluundaki kare
pistte ayn yöne doru harekete balayan iki araç ilk kez
A
v1=90 km/sa
v2=50 km/sa
kaç saat sonra karlarlar?
100 km uzunluundaki yuvarlak pistte birbirine doru harekete geçen iki araç ilk kez kaç saat sonra karlarlar?
A) 1
B) 2
C) 3
soru 2
D) 4
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
E) 5
v1=30 km/sa
A
v2=10 km/sa
soru 6
v1=100 km/sa
v2=50 km/sa
A
200 km uzunluundaki kare pistte birbirine doru harekete
geçen iki araç ilk kez kaç saat sonra karlarlar?
A) 2
B) 3
soru 3
C) 4
D) 5
v2=70 km/sa
E) 6
A
v1=80 km/sa
450 km uzunluundaki dikdörtgen pistte birbirine doru harekete geçen iki araç ikinci kez kaç saat sonra karlarlar?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 8
www.kartezyen.com.tr
250
km
uzunluundaki
yu- varlak pistte ayn yöne
doru harekete balayan iki
araç ilk kez kaç saat sonra
karlarlar?
A) 1
v2=35 km/sa
A
C) 3
D) 4
E) 5
soru 7
A ile B ehirleri arasn 20 km/sa hzla gidip, 30 km/sa hzla
dönen bir aracn ortalama hz kaç km/sa dr?
E) 10
A) 24
soru 4
B) 2
B) 25
C) 26
D) 27
E) 28
v1=25 km/sa
soru 8
180 km uzunluundaki yuvarlak pistte birbirine doru harekete geçen iki araç ilk kez karlatklarnda v1 hareketlisi
kaç km yol alm olur?
A ile B ehirleri arasn 60 km/sa hzla gidip, 40 km/sa hzla
dönen bir aracn ortalama hz kaç km/sa dr?
A) 25
A) 36
B) 40
C) 50
D) 75
E) 100
B) 38
C) 42
D) 48
E) 50
295
1–B
2–D
3–C
4–D
5–C
6–E
7–A
8–D
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
İşçi ve Havuz Problemleri
çi ve havuz problemlerinin çözümünde ayn matematiksel mantk vardr. çileri ve havuzu dolduran çemeleri ii yapan öeler olarak
düüneceiz. Hem içi hemde havuz problemlerinde özellikle birim zamanda yaplan i çok önemlidir. Birim zamanda yaplan ii bulmak
için orant kullanabiliriz.
çözüm
kavrama sorusu
Bir içi bir ii 8 günde yapabildiine göre, bu içi 1 günde iin
ne kadarn yapabilir, bulunuz.
8 günde yapldna göre birim zamanmz “gün” dür.
in tamamn 8 parça kabul edelim.
1 gün 1 gün 1 gün 1 gün 1 gün 1 gün 1 gün 1 gün
Bir günde
1
i yaplr.
8
Cevap:
1
8
çözüm
kavrama sorusu
Bir çeme bo havuzu 6 saatte doldurabildiine göre, 1 saatte
ne kadarn doldurur, bulunuz.
1 saat
1 saat
1 saat
1 saat
1 saat
1 saat
Havuz 6 saatte dolduuna göre, birim zamanmz “saat” tir.
Havuzun tamamn 6 parça kabül edelim.
Bir saatte havuzun
1
s dolar.
6
1
Cevap:
6
çözüm
kavrama sorusu
Bir musluk bo havuzu 15 saatte doldurduuna göre, 3 saatte
havuzun ne kadarn doldurur, bulunuz.
Havuzun tamam 15 saatte dolduuna göre, 1 saatte
1
3
1
15 15 5
Havuzun bete biri dolar.
1
i dolar.
15
3 saatte, 3
Cevap:
1
5
çözüm
kavrama sorusu
in tamam 12 günde bittiine göre,
1
si biter.
1 günde
12
1
Bir içi bir ii 12 günde yaptna göre, bu içi iin
ünü kaç
4
günde yapar, bulunuz.
x
1
12
1
4
x=3 günde biter.
Cevap: 3
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
296
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 37
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
Kemal bir ii 9 günde yaptna göre, 1 günde iin ne kadarn
yapabilir?
A)
1
9
B)
1
8
C)
1
7
D)
1
6
E)
Bir musluk bo havuzu 6 saatte doldurduuna göre, 2 saatte
havuzun ne kadarn doldurabilir?
1
3
1
2
A)
soru 2
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
5
E)
1
6
soru 6
Serre bir ii 6 günde yaptna göre, 1 günde iin ne kadarn
Sezen bir ii 24 günde yapabildiine göre, 8 günde iin ne ka-
yapabilir?
darn yapabilir?
1
4
B)
1
5
C)
1
6
D)
1
7
E)
1
8
1
3
A)
B)
1
4
C)
1
5
D)
1
6
E)
1
8
www.kartezyen.com.tr
A)
soru 3
soru 7
Bir musluk bo havuzu 10 saatte doldurduuna göre, 1 saatte
havuzun ne kadarn doldurabilir?
A)
1
15
B)
1
10
C)
1
8
D)
1
6
E)
1
5
soru 4
1
sn kaç günErsin bir ii 30 günde yapabildiine göre, iin
6
de yapabilir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
soru 8
Bir musluk bo havuzu 4 saatte doldurduuna göre, 1 saatte
Bir musluk bo havuzu 8 saatte doldurabildiine göre, 2 saatte
havuzun ne kadarn doldurabilir?
ne kadarn doldurabilir?
A)
1
2
B)
1
3
C)
1
4
D)
1
5
E)
1
8
A)
1
10
B)
1
8
C)
1
6
D)
1
5
E)
1
4
297
1–A
2–C
3–B
4–C
5–B
6–A
7–D
8–E
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çözüm
kavrama sorusu
I. yöntem: Havuzun tamamn 5 parça olarak düünürsek 4 saatte 2 parças doluyor.
2
ini 4 saatte doldurabiliyorsa, tamam5
n kaç saatte doldurabilir, bulunuz.
Bir musluk havuzun
4 saat
2 saat 2 saat
Parçalardan her biri 2 saatte doluyor. Toplam 5 parça 5 x 2=10 saatte dolar.
II. yöntem: Orant kurarak soruyu çözebiliriz.
2
5
4 saat
5
(Ýþin tamamý) =1
5
x
2x
5
1 4
x=10 saat
Cevap: 10 saat
çözüm
kavrama sorusu
Bir içi bir ii 12 günde bitirebildiine göre, ayn güçteki 2
içi bu ii kaç günde bitirebilir, bulunuz.
Soruyu orant kurarak çözebiliriz.
çi says arttkça iin bitme süresi azalacandan aralarnda ters
orant vardr.
1 iþçi
12 günde
2 iþçi
x
2.x=1.12
x=6 gün
Cevap: 6 gün
çözüm
kavrama sorusu
Bir musluk bo havuzu 20 saatte doldurabildiine göre, ayn
kapasitedeki 5 musluk bo havuzu kaç saatte doldurabilir,
1 musluk
20 saatte
bulunuz
5 musluk
x
5.x=1.20
x=4 saatte
Cevap: 4 saat
çözüm
kavrama sorusu
Ayn kapasitedeki 6 içi bir ii 4 günde yapabildiine göre, 2
içi ayn ii kaç günde yapabilir, bulunuz.
6 iþçi
4 günde
2 iþçi
x
2.x=6.4
x=12 gün
Cevap: 12 gün
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
298
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 38
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
2
ni 6 günde yapabildiine göre, tamamn kaç
3
günde yapabilir?
Bir musluk bo havuzu 15 saatte doldurabildiine göre, ayn
kapasitedeki 3 musluk bo havuzu kaç saatte doldurabilir?
Bir içi iin
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
A) 3
E) 9
soru 2
C) 5
D) 6
E) 9
soru 6
3
nü 9 saatte doldurabildiine göre,
4
tamamn kaç saatte doldurabilir?
Bir musluk bo havuzu 16 saatte doldurabildiine göre, ayn
Bir musluk bo havuzun
B) 12
C) 14
D) 15
kapasitedeki 8 musluk bo havuzu kaç saatte doldurabilir?
A) 1
E) 16
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
www.kartezyen.com.tr
A) 10
B) 4
soru 3
soru 7
Bir içi bir ii 6 günde yapabildiine göre, ayn güçteki 3 içi bu
ii kaç günde bitirebilir?
Ayn kapasitedeki 5 içi bir ii 15 günde yapabildiine göre, 3
içi ayn ii kaç günde yapabilir?
A) 1
A) 5
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
soru 4
B) 10
C) 15
D) 20
E) 25
soru 8
Bir içi bir ii 24 günde yapabildiine göre, ayn güçteki 4 içi
bu ii kaç günde bitirebilir?
Ayn kapasitedeki 8 musluk bo havuzu 5 saatte doldurabildiine göre, 2 musluk bo havuzu kaç saatte doldurabilir?
A) 3
A) 10
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
B) 20
C) 30
D) 40
E) 42
299
1–E
2–B
3–B
4–D
5–C
6–B
7–E
8–B
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
Birden fazla farkl kapasitedeki içinin veya musluun i yapt durumlarda her bir içi veya musluk için birim zamanda yaptklar i
hesaplanarak toplanr. Böylece beraberce birim zamanda yaptklar i bulunur. Hem içi sorularnda hem havuz sorularnda iin tamam
1 alnr.
A içisi bir ii x günde, B içisi ayn ii y günde yapsn. A içisi 1 günde
1
1 1
1
ni, B içisi 1 günde
ni yapar. kisi birlikte 1 günde iin y
x y
x
kadarn yapar. k iin bitme süresi olsun.
1
k ¸ x
1 1
x y
1¬
1
y ®
1
k
dr.
çözüm
kavrama sorusu
Ahmet bir ii 3 günde, Mehmet ayn ii 6 günde yapabilmektedir.
1
ni yapar.
3
1
sn yapar.
Mehmet ii 6 günde yapabildiine göre, 1 günde
6
1 1¬
kisi birlikte 1 günde iin  ni yaparlar.
3 6 ®
Ahmet ii 3 günde yapabildiine göre, 1 günde
kisi birlikte bu ii kaç günde yapabilir, bulunuz.
1 1¬
k ¸  1
3 6 ®
(2)
k¸
3
1
6
k=2 günde
Cevap: 2
çözüm
kavrama sorusu
A
B
A musluu 1 saatte havuzun
1
ni doldurur.
12
1
nü, B musluu 1 saatte havuzun
4
1
1¬
k ¸  1
4 12 ®
( 3)
k¸
A musluu bo havuzu 4 saatte, B musluu bo havuzu 12 saatte doldurabildiine göre, iki musluk bo havuzu kaç saatte
doldurabilir, bulunuz.
4
1
12
k=3 saat
Cevap: 3
çözüm
kavrama sorusu
A
Havuzu boaltan C musluu yaplan ii eksilttiinden dierlerinin
toplamndan çkartlr.
B
1 1 1¬
k ¸  1
2 6 3 ®
( 3)
3 1 2 ¬
k ¸
 1

®
6
C
k¸
A musluu bo havuzu 2 saatte, B musluu 6 saatte doldurabilmekte, havuzun dibindeki C musluu ise havuzu 3 saatte boaltabilmektedir.
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
2
1
6
k=3 saat
Cevap: 3 saat
Musluklarn üçüde açldnda havuz kaç saatte dolar, bulunuz.
¦¨¡¡£
(2 )
300
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 39
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
soru 5
Gökhan bir ii 2 günde, Tuna ayn ii 6 günde yapabilmektedir.
Zehra bir ii 3 günde, Zeynep 4 günde, Zerrin 6 günde bitirebilmektedir.
kisi birlikte bu ii kaç günde yapabilir?
Üçü birlikte bu ii kaç günde yapabilir?
A) 2
B)
3
2
C) 1
D)
1
2
1
3
E)
A)
soru 2
B)
12
5
C)
7
12
D)
5
12
A
www.kartezyen.com.tr
soru 3
B
A musluu bo havuzu 5 saatte, B musluu bo havuzu 20 saatte doldurabilmektedir.
B) 2
3
4
D) 4
A
C)
5
9
B)
2
3
C)
1
2
C
D) 1
E) 2
A
A musluu bo havuzu 5 saatte doldurabilmekte, havuzun dibindeki B musluu ise havuzu 6 saatte boaltabilmekB
B) 24
C) 20
soru 8
B
D) 18
A
E) 15
B
A musluu bo havuzu 3 saatte, B musluu 4 saatte doldurabilmekte, havuzun
dibindeki C musluu ise havuzu 8 saatte boaltabilmektedir.
ki musluk ayn anda açldnda havuz kaç saatte dolar?
4
9
B
4
5
E) 5
A musluu bo havuzu 3 saatte, B musluu bo havuzu 9 saatte doldurabilmektedir.
B)
E)
Musluklarn ikiside ayn anda açldnda havuz kaç saatte dolar?
C) 3
soru 4
3
4
A
soru 7
A) 30
1
3
D)
tedir.
ki musluk ayn anda açldnda havuz kaç saatte dolar?
A)
1
2
C)
Musluklarn üçüde açldnda havuz
kaç saatte dolar?
E) 7
A)
A) 1
3
2
A musluu bo havuzu 2 saatte, B musluu 3 saatte, C musluu 6 saatte doldurmaktadr.
kisi birlikte bu ii kaç günde yapabilir?
12
7
B)
soru 6
Taner bir ii 3 günde, Berkant ayn ii 4 günde yapabilmektedir.
A)
4
3
C
Musluklarn üçüde açldnda havuz kaç saatte dolar?
D) 3
E)
9
4
A)
15
8
B)
18
11
C)
18
13
D)
24
7
E)
24
11
301
1–B
2–A
3–D
4–E
5–A
6–D
7–A
8–E
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
çözüm
kavrama sorusu
A
B
B musluu havuzu x saatte doldursun.
A musluu bo havuzu 4 saatte doldurabilmektedir.
20 1 1¬
¸  1
9 4 x ®
1 1
9
4 x 20
1
9
1
x 20 4
20
A ve B musluu bo havuzu
sa9
atte doldurabildiine göre, B musluunun havuzu tek bana kaç
saatte doldurabileceini bulunuz.
(5)
1
4
x 20
x=5 saat
Cevap: 5
çözüm
kavrama sorusu
Ali bir ii 6 günde, enol ayn ii 8 günde yapabilmektedir.
Ali 1 günde iin
Ali ie balayp 2 gün çaltktan sonra kalan ii enol ile
beraber kaç günde bitirebilir, bulunuz.
2¸
1
1
n, enol 1 günde iin
ni yapabilir.
6
8
1 1¬
1
k ¸  1
6 8 ®
6
Ali’nin kisinin yapt
tek bana
i
yapt i
7
24
7
k
24
k
1
2
3
16
gün
7
k
Cevap:
16
7
çözüm
kavrama sorusu
2
1
nu 12 günde, Serkan ayn iin
nü 6 günde
3
4
yapabildiine göre, ikisi birlikte ii kaç günde yapabilir, bu-
Meral bir iin
lunuz.
2
3
12 günde
1
4
6 günde
1
x günde
1
y günde
2
1
x 12 x 18 günde
y 1 6 y 24 günde
3
4
Meral iin tamamn yapar.
Serkan iin tamamn yapar.
1
1¬
72
kisi birlikte, k ¸  1 k günde yaparlar.
18 24 ®
7
72
(3)
(4)
Cevap:
7
çözüm
kavrama sorusu
A
2
6
B
A musluu bo havuzu x saatte, B
x
musluu bo havuzu
saatte dol5
durabilmektedir.
A musluu 1 saatte havuzun
5
ni doldurur.
x
1 5¬
3 ¸  1
x x ®
kisi ayn anda açldnda havuz
3 saatte dolduuna göre, x kaçtr,
bulunuz.
6
1
x
18
1
x
3¸
x=18 saat
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
1
ni, B musluu 1 saatte havuzun
x
302
Cevap: 18
¤¤¦¤Ú¤Ú
Test / 40
1. Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem ve Eşitsizlik Uygulamaları
soru 1
A
soru 5
B
2
2
ni 4 günde, Ahmet ayn iin
nu 2 günde
5
3
yapabilmektedir.
A musluu bo havuzu 3 saatte doldurabilmektedir.
Müge bir iin
A ve B musluu birlikte bo havuzu
kisi birlikte bu ii kaç günde bitirebilir?
12
saatte
doldurabildiine göre, B
7
musluu havuzu tek bana kaç saatte doldurur?
A)
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
B)
26
15
C)
29
15
soru 6
24
günde
7
yapabildiine göre, Mehmet bu ii tek bana kaç günde yasmet bir ii tek bana 6 günde, Mehmet’le beraber
D) 7
E)
30
17
Can bir ii 10 günde, Erdem ayn ii 12 günde yapabilmektedir.
Can ise balayp 4 gün çaltktan sonra kalan ii Erdem’le
beraber kaç günde bitirebilir?
B
1
nü 4 saatte doldurabilmektedir.
3
ki musluk ayn anda açldnda bo havuz kaç saatte dolar?
E) 8
soru 3
A
1
ni
2
12 saatte, B musluu bo havuzun
www.kartezyen.com.tr
C) 6
30
13
A musluu bo havuzun
pabilir?
B) 5
D)
E) 6
soru 2
A) 4
23
11
A) 4
B) 5
C) 6
soru 7
D) 7
A
E) 8
B
x
saatte,
2
x
saatte
B musluu bo havuzu
3
A musluu bo havuzu
doldurabilmektedir.
36
A)
11
32
B)
11
30
C)
13
28
D)
13
25
E)
11
kisi birlikte bo havuzu 3 saatte doldura bildiine göre, B musluu bo havuzu tek bana kaç saatte doldurabilir?
A) 3
soru 4
A
B
Havuz toplam kaç saatte dolar?
A) 12
C) 4
D) 6
E) 7
x
x
günde, Aysun ayn ii
günde yapabilmektedir.
4
2
kisi birlikte ayn ii 12 günde yapabildiine göre, Ümit ii tek
bana kaç günde yapabilir?
Ümit bir ii
B) 3
C) 5
soru 8
A musluu bo havuzu 8 saatte, B musluu 4 saatte doldurabilmektedir. A musluu açldktan 2 saat sonra B musluuda açlyor.
A) 2
B) 4
D) 5
B) 15
C) 16
D) 18
E) 20
E) 6
303
1–C
2–E
3–A
4–C
5–D
6–E
7–C
8–D
FONKSYONLAR
Fonksiyon
A ve B bo olmayan iki küme olsun. A x B kartezyen çarpmnn alt kümelerine bant denir. Bu bantlardan aadaki artlar salayanlara A kümesinden B kümesine tanmlanm fonksiyon denir. Fonksiyonlar genelde f, g, h gibi küçük harflerle isimlendirilir.
Fonksiyon Olma Şartları
9 A kümesinin her eleman B kümesindeki bir elemanla elenmeli, A kümesinde bota eleman kalmamaldr.
9 A kümesindeki her bir eleman B kümesinde yalnzca bir elemana elenmelidir.
çözüm
kavrama sorusu
A kümesi isim, B kümesi ya kümesi olmak üzere
A
f
A
B
Kaan
Merve
Esra
Yaðýz
10
12
13
14
16
Kaan
Merve
Esra
Yaðýz
f
B
Yandaki emaya göre
10
12
13
14
16
Kaan 12 yanda
Merve 10 yanda
Esra 12 yanda
Yaz 13 yanda
A kümesindeki her elemann B de karl olduu için f fonksiyondur. A kümesindeki Kaan ile Merve’nin ayn elemanla elemesi, B kümesinde bota eleman kalmas fonksiyon olmaya
Yukardaki emada verilen f bantsnn fonksiyon olup olmadn aratrnz.
engel deildir.
Cevap: f fonksiyon
çözüm
kavrama sorusu
A
f
1
2
3
4
B
A
5
10
15
20
1
2
3
4
f
B
5
10
15
20
Yandaki emaya göre
1 eleman 10 ile elemi (1, 10)
2 eleman 10 ile elemi (2, 10)
3 eleman 15 ile elemi (3, 15)
Yukardaki emada verilen f bantsnn fonksiyon olup olmadn aratrnz.
Fakat A kümesindeki 4 eleman B kümesinde hiçbir eleman ile
elenmediinden f bants fonksiyon deildir.
Cevap: f fonksiyon deil
çözüm
kavrama sorusu
A
a
b
c
f
B
A
1
2
3
a
b
c
f
B
1
2
3
Yandaki emaya göre
a eleman 1 ile elemi (a, 1)
b eleman hem 1 hem
de 2 ile elemi
(b,
1), (b, 2)
c eleman 3 ile elemi (c, 3)
A kümesindeki b eleman hem 1 hem de 2 ile elendiinden f
bants fonksiyon delidir. A kümesindeki her eleman B kümesindeki yalnzca bir eleman ile elemelidir.
Yukardaki emada verilen f bantsnn fonksiyon olup olmadn aratrnz.
Cevap: f fonksiyon deil
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
304
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 1
soru 1
soru 4
Aada verilen bantlardan hangisi fonksiyondur?
A)
A
f
B
1
3
A
1
A
D)
a
3
A
E)
d
I.
B
A
B)
f
B
1
a
2
b
c
2
b
c
f
3
B
A
D)
f
B
1
a
1
a
2
b
c
2
b
c
3
A
E)
B
f
1
a
2
b
c
3
III.
A
f
3
4
1
2
3
4
B
II.
A
B
f
a
1
a
1
b
2
b
2
c
3
c
3
A
f
IV.
B
A
B
f
a
1
a
1
b
2
b
2
c
3
c
3
Yukarda verilen bantlardan hangileri A dan B ye bir fonksiyondur?
A) I ve II
B) I, II ve III
C) I, II ve IV
D) Yalnz I
soru 3
E) I, II, III ve IV
soru 6
Aada verilen bantlardan hangisi fonksiyon deildir?
f
B
A
B)
f
a
1
a
2
b
c
2
b
c
3
f
3
B
A
D)
f
B
1
a
1
a
2
b
c
2
b
c
3
E)
3
A
f
a
2
b
c
3
A
f
B
a
III.
A
f
II.
A
1
a
2
b
B
IV.
A
f
B
1
f
B
1
a
a
2
b
2
3
c
Yukarda A dan B ye verilen bantlardan hangisi veya hangileri fonksiyondur?
B
1
I.
B
1
A
www.kartezyen.com.tr
f
3
C)
2
B
f
c
a
A
1
soru 5
3
A)
A
b
1
A
B
f
c
a
Aada verilen bantlardan hangisi fonksiyondur?
C)
4
b
4
d
3
a
3
E)
soru 2
A
2
b
c
3
A
1
a
2
D)
B
c
2
c
4
b
1
b
3
f
B
f
a
2
B
f
1
A)
A
A
B)
1
a
b
c
3
d
C)
a
2
B
c
B
1
b
c
2
f
b
d
f
A
a
b
c
3
B
A)
a
2
d
f
B
f
1
b
c
2
C)
A
B)
a
Aada verilen bantlardan hangisi fonksiyon deildir?
A) I, II ve III
B) I ve II
D) Yalnz II
C) II ve III
E) III ve IV
305
1–E
2–D
3–C
4 –B
5–A
6–C
Fonksiyonlar
çözüm
kavrama sorusu
A
f
5
10
15
20
B
emaya göre
1
2
3
4
5 eleman 1 ile elemi (5, 1)
10 eleman 4 ile elemi (10, 4)
15 eleman 2 ile elemi (15, 2)
20 eleman 3 ile elemi (20, 3)
O halde f fonksiyonu
Cevap: f = {(5,1), (10, 4), (15, 2), (20, 3)}
Yukarda emada verilen f fonksiyonunu liste biçiminde yaznz.
çözüm
kavrama sorusu
A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c, d} olmak üzere, A dan B ye tanmlanm f = {(1, a), (2, a), (3, b) bantsnn fonksiyon olup
olmadn aratrnz.
f = {(1, a), (2, a), (3, b) bantsn ema ile gösterelim.
A
f
B
a
b
c
d
1
2
3
A kümesindeki her bir eleman B kümesindeki yalnzca bir elemanla elediinden f fonksiyondur.
Cevap: f fonksiyon
çözüm
kavrama sorusu
A = {4, 6, 8, 10} ve B = {a, b, c, d} olmak üzere, B den A ya
tanmlanm f = {(a, 4), (b, 4), (c, 4), (d, 4) bantsnn fonk-
f = {(a, 4), (b, 4), (c, 4), (d, 4) bantsn ema ile gösterelim.
B
siyon olup olmadn aratrnz.
f
a
b
c
d
A
4
6
8
10
B kümesindeki her bir eleman A kümesindeki yalnzca bir elemanla elediinden f fonksiyondur.
Cevap: f fonksiyon
çözüm
kavrama sorusu
A = {a, b, c} ve B = {1, 2, 3} olmak üzere, A dan B ye tanmlanm f = {(a, 2), (c, 3) bantsnn fonksiyon olup olmadn
aratrnz.
f = {(a, 2), (c, 3) bantsn ema ile gösterelim.
A
a
b
c
f
B
1
2
3
A kümesindeki b eleman bota kaldndan f fonksiyon delidir.
Cevap: f fonksiyon deil
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
306
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 2
soru 1
A
a
Yandaki emada
verilen A dan B ye
tanml f fonksiyonu
aadakilerden
soru 4
B
f
d
e
f
b
c
A = {1, 2, 3} ve B = {2, 3, 4} olmak üzere A dan B ye tanmlanan f bantlarndan hangisi fonksiyondur?
A) f = {(1, 2), (1, 3), (2, 4), (3, 3}
hangisidir?
B) f = {(1, 2), (2, 3)}
C) f = {(1, 2), (2, 2), (3, 4)}
A) f = {(a, d), (b, f), (c, e)}
D) f = {(1, 2), (1, 3), (3, 4)}
B) f = {(a, d), (b, d), (c, e)}
E) f = {(1, 2)}
C) f = {(a, d), (b, f), (c, f)}
D) f = {(a, d), (b, e), (c, f)}
E) f = {(a, d), (b, d), (c, f)}
soru 5
A = {a, b, c} ve B = {1, 2, 3} olmak üzere B den A ya tanm-
soru 2
B
A
f
4
5
6
7
1
2
3
Yandaki emada
verilen B den A ya
A) f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}
B) f = {(1, a), (2, a), (3, a)}
C) f = {(1, a), (2, b), (3, c), (3, b)}
www.kartezyen.com.tr
tanml f fonksiyonu
aadakilerden
hangisidir?
lanm f bantlarndan hangisi fonksiyondur?
A) f = {(1, 4), (2, 4), (3, 5)}
B) f = {(1, 4), (2, 4), (3, 7)}
C) f = {(1, 4), (2, 4), (3, 4)}
D) f = {(1, 4), (2, 4), (3, 6)}
E) f = {(1, 4), (2, 4), (3, 6), (3, 7)}
D) f = {(a, 1), (a, 2), (b, 3)}
E) f = {(1, a), (2, b)}
soru 6
A = {m, n, p} ve B = {d, e, f} olmak üzere A dan B ye tanmlanm f bantlarndan hangisi fonksiyon deildir?
A) f = {(m, d), (n, e), (p, f)}
soru 3
B) f = {(m, d), (n, d), (p, d)}
C) f = {(m, d), (n, d), (p, e)}
A = {a, b, c} ve B = {1, 2, 3, 4} olmak üzere A dan B ye tanmlanm f = {(a, 2), (b, 3), (c, 2)} fonksiyonu aadakilerden
hangisidir?
A)
A
f
B
a
A
f
D)
B
1
a
f
a
b
c
f
lanan f bantlarndan hangisi fonksiyon deildir?
2
3
c
A
A = {1, 2, 3} ve B = {2, 3, 4, 5} olmak üzere A dan B ye tanm-
B
1
b
4
E)
4
a
3
c
soru 7
3
A
2
b
B
2
c
4
E) f = {(m, d), (n, e), (p, e)}
1
b
3
c
f
a
2
b
C)
A
B)
1
D) f = {(m, d), (n, f)}
A) f = {(1, 2), (2, 5), (4, 3)}
4
B
B) f = {(1, 3), (2, 3), (3, 5)}
1
C) f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4)}
2
D) f = {(1, 4), (2, 3), (3, 3)}
3
4
E) f = {(1, 3), (2, 5), (3, 4)}
307
1–A
2–D
3–E
4–C
5–B
6–D
7–A
Fonksiyonlar
Tanım, Değer ve Görüntü Kümesi
A x B kartezyen çarpmnn alt kümelerinden f bants olma artlarn salam olsun. A kümesinden B kümesine tanml f fonksiyonunda:
A
A tanm kümesi, B deer kümesi ve B kümesi içinde eleen elemanlarn oluturduu kümeye görüntü kümesi denir. f fonksiyonu f: A o B biçiminde gösterilir.
B
f
Görüntü kümesi f(A) ile gösterilir.
Taným
kümesi
Deðer
kümesi
çözüm
kavrama sorusu
A
f
1
2
3
4
B
f, A dan B ye tanml olduu için
a
b
c
d
Tanm kümesi: A = {1, 2, 3, 4}
Deer kümesi: B = {a, b, c, d}
B de eleen elemanlar a, b, c ve d olduu için
Görüntü kümesi: f(A) = {a, b, c, d}’dir.
A dan B ye tanml f fonksiyonunda tanm, deer ve görüntü
kümelerini bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
A
f
1
2
3
B
f, A dan B ye tanml olduu için
4
5
6
7
Tanm kümesi: A = {1, 2, 3}
Deer kümesi: B = {4, 5, 6, 7}
B de eleen elemanlar 5 ve 6 olduu için
Görüntü kümesi: f(A) = {5, 6}
A dan B ye tanml f fonksiyonunda tanm, deer ve görüntü
kümelerini bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
B
2
4
6
8
f
A
f, B den A ya tanm olduu için
1
3
5
7
Tanm kümesi: B = {2, 4, 6, 8}
Deer kümesi: B = {1, 3, 5, 7}
B de eleen eleman 3 olduu için
Görüntü kümesi: f(B) = {3}
B den A ya tanml f fonksiyonunda tanm, deer ve görüntü
kümelerini bulunuz.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
308
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 3
soru 1
A
f
1
Yandaki ema ile
gösterilen f fonksiyonu için aadakilerden
hangileri
soru 4
B
m
n
p
2
3
Tanm kümesi: A = {1, 2, 3}
II.
Deer kümesi: B = {m, n, p}
III.
Görüntü kümesi: f(A) = {m, n, p}
B) I ve III
D) II ve III
I.
Tanm kümesi: B = {1, 2, 3}
II.
Deer kümesi: A = {b}
III.
Görüntü kümesi: f(B) = {a, b, c}
C) I, II ve III
B) Yalnz I
D) I ve III
C) I ve II
E) II ve III
E) Yalnz I
soru 5
A
f
a
b
c
d
Yanda ema ile gösterilen f bants
için aadakilerden
hangisi yanltr?
nunun deer kümesindeki elemanlarn
toplam kaçtr?
B
1
2
3
A) f, A dan B ye bir fonksiyondur.
B) Tanm kümesi: A = {a, b, c, d}
C) Deer kümesi: B = {1, 2, 3}
www.kartezyen.com.tr
A
D) Görüntü kümesi f(A) = {1, 2, 3}
E) Deer kümesi ile görüntü kümesi farkldr.
A) 7
B) 10
C) 19
soru 6
1
2
4
6
9
D) 21
A
E) 22
B
f
1
2
6
8
10
3
4
5
6
Yanda ema ile gösterilen f fonksiyonunun görüntü kümesindeki elemanlarn
toplam kaçtr?
A) 11
B
f
1
3
5
7
Yanda ema ile gösterilen f fonksiyo-
soru 2
a
b
c
2
3
A) I, II ve III
A) I ve II
A
f
1
Yanda ema ile gösterilen f fonksiyonu
için aadakilerden
hangileri dorudur?
dorudur?
I.
B
B) 13
C) 14
D) 15
E) 27
soru 7
Aada ema ile gösterilen fonksiyonlardan hangisinde deer kümesi ile görüntü kümesi ayndr?
soru 3
A
Yanda ema ile gösterilen f bants
için aadakilerden
hangisi yanltr?
f
A)
B
1
2
3
4
5
a
b
c
A
B
f
B) Tanm kümesi: A = {a, b, c}
B
1
a
2
b
c
2
b
c
A
3
B
f
A
D)
f
B
1
a
1
a
2
b
c
2
b
c
3
A) f, A dan B ye bir fonksiyondur.
f
1
3
C)
A
B)
a
E)
C) Deer kümesi B = {1, 2, 3, 4, 5}
D) Deer kümesi ile görüntü kümesi ayndr.
3
A
f
B
1
a
2
b
c
3
E) Görüntü kümesi f(A) = {1, 2, 4}
309
1–C
2–E
3–D
4–B
5–E
6–A
7–D
Fonksiyonlar
çözüm
kavrama sorusu
A dan B ye tanmlanm
f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 2) fonksiyonunu ema ile gösterelim.
A
f fonksiyonu
f
1
2
3
4
f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 2)}
olduuna göre, f fonksiyonunun tanm kümesini bulunuz.
B
2
3
4
Tanm kümesi: A = {1, 2, 3, 4}
çözüm
kavrama sorusu
A dan B ye tanml ve deer kümesi ile görüntü kümesi eit
olan f = {(1, 3), (2, 3), (3, 5), (4,6)} fonksiyonunun tanm ve
deer kümelerini bulunuz.
f = {(1, 3), (2, 3), (3, 5), (4,6)} fonksiyonunu ema ile gösterelim.
A
f
1
2
3
4
B
3
5
6
Tanm kümesi: A = {1, 2, 3, 4}
Deer kümesi: B = f(A) ={3, 5, 6}
çözüm
kavrama sorusu
f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 4)} fonksiyonunun görüntü kümesini bulunuz.
f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 4)} fonksiyonunu ema ile gösterelim.
A
f
B
2
3
4
f
B
1
2
3
4
Görüntü kümesi: {2, 3, 4}
çözüm
kavrama sorusu
f = {(2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 4)} fonksiyonunun deer kümesi
A
en az kaç elemanldr, bulunuz.
2
3
4
5
3
4
5
Fonksiyon olma kuralna göre deer kümesinde bota eleman
kalmas fonksiyon olmasna engel deildir. O halde
Deer kümesi = {3, 4, 5, .........}
görüntü
kümesi
eklindedir. Deer kümesinin eleman says en az 3 dür.
Cevap: 3
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
310
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 4
soru 1
soru 5
A dan B ye tanmlanm f fonksiyonu,
f = {(0, 2), (1, 3), (2, –1), (4, 0)}
f = {(–2, 3), (–1, 4), (1, 2), (4, –1)}
fonksiyonunun görüntü kümesi aadakilerden hangisidir?
olduuna göre, f fonksiyonunun tanm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) f(A) = {–1, 0, 2, 3}
B) f(A) = {0, 1, 2, 4}
C) f(A) = {–1, 0, 1, 2, 3}
D) f(A) = {–1, 0, 2}
A) A = {–2, –1, 1, 3, 4}
B) A = {–2, –1, 2, 4}
C) A = {–2, –1, 1, 4}
D) A = {–1, 2, 3, 4}
E) f(A) = {–1, 0, 2, 3, 4}
E) A = {–2, –1, 4}
soru 2
soru 6
A dan B ye tanmlanm f fonksiyonu,
f = {(1, 2), (2, 4) (3, 6), (4, 2), (5, 6)}
f = {(–3, 1), (–1, 1), (0, 4), (2, –3), (3, 0)}
fonksiyonunun görüntü kümesindeki elemanlar toplam kaçtr?
olduuna göre, f fonksiyonunun tanm kümesi aadakilerden hangisidir?
A) {–3, –1, 0, 2}
B) {–3, –1, 0, 1, 2, 3}
C) {–3, –1, 0, 1, 2, 3, 4}
D) {–3, –1, 0, 2, 3}
www.kartezyen.com.tr
A) 12
E) {–3, 0, 1, 4}
soru 3
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
soru 7
A dan B ye tanml ve deer kümesi ile görüntü kümesi eit olan
f = {(–2, 0), (–1, 1), (0, 2), (1, 1), (2, 3), (3, –2)}
f = {(0, 2), (1, 3), (3, 0), (4, –1)}
fonksiyonunun deer kümesi en az kaç elemanldr?
fonksiyonunun deer kümesi aadakilerden hangisidir?
A) 4
A) B = {0, 1, 3, 4}
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
B) B = {–1, 0, 2}
C) B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4}
D) B = {–1, 0, 2, 3, 4}
E) B = {–1, 0, 2, 3}
soru 4
soru 8
A dan B ye tanml ve deer kümesi ile görüntü kümesi eit olan
A dan B ye tanmlanm f fonksiyonunun görüntü kümesi
f = {(0, –2), (1, 0), (2, 3), (3, 4)}
fonksiyonunun deer kümesi aadakilerden hangisidir?
f(A) = {3, 4, 5} olduuna göre, deer kümesi aadakilerden
hangisi olamaz?
A) B = {–2, 0, 1, 3, 4}
B) B = {–2, 0, 3, 4}
A) {3, 4, 5}
B) {0, 1, 2, 3, 4, 5}
D) B = {–2, 0, 4}
C) {–1, 3, 4, 6}
D) {0, 3, 4, 5, 7}
C) B = {–2, 0, 3}
E) {3, 4, 5, 8, 9}
E) B = {0, 1, 2, 3}
311
1–C
2–D
3–E
4–B
5–A
6–A
7–B
8–C
Fonksiyonlar
Fonksiyon Sayısı
s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye tanml fonksiyon says: [s(B)]s(A) = nm dir.
çözüm
kavrama sorusu
A = {1, 2, 3} ve B = {a, b, c, d} olduuna göre, A dan B ye
tanml fonksiyon saysn bulunuz.
A = {1, 2, 3} için s(A) = 3,
B = {a, b, c, d} için s(B) = 4 tür.
A dan B ye tanml fonksiyon says [s(B)]s(A) = 43 = 64 tür.
Cevap: 64
çözüm
kavrama sorusu
s(A) = 6 ve s(B) = 2 olduuna göre, B den A ya tanml fonksiyon saysn bulunuz.
s(A) = 6 ve s(B) = 2 için
B den A ya tanml fonksiyon says: [s(A)]s(B) = 62 = 36 dr.
Cevap: 36
çözüm
kavrama sorusu
s(A) = 2 ve A dan B ye tanml fonksiyon says 64 olduuna göre,
s(B) kaçtr, bulunuz.
s(A) = 2 ve s(B) = m için
A dan B ye tanml fonksiyon says: [s(B)]s(A) = m2 = 64
m=8
s(B) = 8 dir.
Cevap: 8
çözüm
kavrama sorusu
A
a
b
c
f
B
s(A) = 3 ve s(B) = 4 tür.
1
2
3
4
A dan B ye tanmlanabilecek tüm fonksiyonlar
[s(B)]s(A) = 43 = 64 tür. Ancak,
A kümesindeki a eleman 1 ile eletiinden geriye 3 – 1 = 2
eleman kalr. O halde
A dan B ye tanml fonksiyon says: 43 – 1 = 42 = 16 dr.
A dan B ye tanml f fonksiyonunda f(a) = 1 olduuna göre, A
dan B ye kaç farkl f fonksiyonu tanmlanabilir, bulunuz.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
Cevap: 16
312
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 5
soru 1
soru 5
A = {a, b, c, d, e} ve B = {1, 2} olduuna göre, A dan B ye
tanml fonksiyon says kaçtr?
s(A) = 2 ve A dan B ye tanml fonksiyon says 256 olduuna
göre, s(B) kaçtr?
A) 10
A) 16
B) 16
C) 25
D) 32
E) 64
soru 2
B) 12
C) 10
D) 8
E) 7
soru 6
A = {1, 2, a, b} ve B = {a, b, c} olduuna göre, B den A ya
s(A) = 9 ve B den A ya tanml fonksiyon says 81 olduuna göre,
tanml fonksiyon says kaçtr?
s(B) kaçtr?
B) 64
C) 32
D) 27
E) 12
soru 3
s(A) = 8 ve s(B) = 2 olduuna göre, A dan B ye tanml fonksiyon says kaçtr?
A) 16
B) 32
C) 64
D) 128
A) 9
www.kartezyen.com.tr
A) 81
B) 6
C) 4
A
soru 7
D) 3
E) 2
B
f
a
b
c
d
1
2
3
4
E) 256
A dan B ye tanml f fonksiyonunda f(b) = 2 olduuna göre, A
dan B ye kaç farkl f fonksiyonu tanmlanabilir?
A) 16
soru 4
B) 27
A
soru 8
B) 25
C) 125
D) 225
D) 81
E) 256
B
f
1
0
1
2
s(A) = 3 ve s(B) = 5 olduuna göre, B den A ya tanml fonksiyon says kaçtr?
A) 15
C) 64
3
4
5
6
E) 243
A dan B ye tanml f fonksiyonunda f(–1) = 4 ve f(0) = 3 olduuna
göre, A dan B ye kaç farkl f fonksiyonu tanmlanabilir?
A) 4
B) 9
C) 16
D) 81
E) 256
313
1–D
2–B
3–E
4–E
5–A
6–E
7–C
8–C
Fonksiyonlar
Düşey Doğru Testi
Grafii verilen bir bantnn fonksiyon olup olmadn anlamak için bantnn tanm kümesindeki her eleman için düey dorular çizilir.
Bu dorularn her biri bantnn grafiini tek bir noktada kesiyor ise grafik fonksiyon grafiidir.
Her dorunun grafii kesmesi tanm kümesinde bota eleman kalmadn, bu dorularn grafii tek bir noktada kesmesi ise her elemann
sadece bir elemanla elendiini gösterir.
Konu Kavrama Çalışması
Aada grafii verilen R o R ye tanmlanm bantlarn hangilerinin fonksiyon olduunu bulalm.
I)
II)
III)
y
y
y
f
f
x
O
x
O
x
O
f
Her düey doru, grafii yalnz bir
noktada kestii için grafik fonksiyon
Her düey doru, grafii yalnz bir
noktada kestii için grafik fonksiyon
Her düey doru grafii yalnz bir
noktada kesmiyor. Bu dorular grafi-
grafiidir.
grafiidir.
i birden fazla noktada kesiyor. Grafik fonksiyon grafii deildir.
çözüm
kavrama sorusu
I)
II)
y
I)
y
g
f
x
O
III)
IV)
y
y
g
x
O
k
x
x
O
g bants fonksiyon
deil. Dorular birden
fazla noktada grafii
f bants fonksiyon.
Dorular grafii bir
noktada kesiyor.
kesiyor.
h
O
y
f
x
O
II)
y
O
x
III)
IV)
y
y
k
h
O
x
O
x
Grafii verilen bantlardan hangileri R den R ye bir fonksiyon
deildir, bulunuz.
h bants fonksiyon. Dorular grafii
bir noktada kesiyor.
k bants fonksiyon
deil. Doru sonsuz
noktada grafii kesiyor.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
314
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 6
soru 1
soru 3
Aadaki grafii verilen R o R ye tanmlanm bantlardan
hangisi fonksiyondur?
A)
B)
y
C)
x
O
D)
y
I)
y
x
O
Aadaki grafii verilen R o R ye tanmlanm bantlardan
hangisi veya hangileri fonksiyondur?
x
O
x
x
B) I ve III
Aadaki grafii verilen R o R ye tanmlanm bantlardan
hangisi fonksiyon deildir?
B)
D)
y
Aadaki grafii verilen R o R ye tanmlanm bantlardan
hangisi veya hangileri fonksiyondur?
x
O
E) I, II ve IV
soru 4
I)
y
x
www.kartezyen.com.tr
soru 2
y
C) II ve III
D) I, II ve III
x
O
II)
y
x
O
y
x
O
y
III)
x
O
x
O
y
A) I ve II
C)
y
x
O
E)
O
x
O
IV)
y
O
A)
y
y
III)
O
II)
y
O
IV)
y
y
x
x
O
x
O
y
E)
A) I ve II
O
B) I ve IV
D) III ve IV
x
C) II ve III
E) II, III ve IV
315
1–D
2–D
3–A
4–E
Fonksiyonlar
Fonksiyonlar birer makineye benzetebiliriz. Tanm kümesindeki elemanlar fonksiyon makinesine atlacak hammaddeleri, deer kümesi
fonksiyon makinesinin üretebilecei ürünler, görüntü kümesi ise makineye atlan tanm kümesindeki elemanlarn makineden çkm deerleridir.
Örnein: A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 6, 7} olmak üzere, f: A o B tanmlanm f fonksiyonu f(x) = x+2 olsun.
A = {1, 2, 3} tanm kümesi
1
f
2
f
x
3
f
f
A = {1, 2, 3} tanm kümesi
(f makinesi içine
atlan sayya 2 eklenmektedir.
1+2
2+2
3+2
B = {3, 4, 5, 6, 7} deer kümesi
{3, 4, 5} görüntü kümesi
x+2
3
4
5
Makineden çkan ürünler (Görüntü kümesi f(A))
çözüm
kavrama sorusu
Fonksiyon makinesi içerisine atlan eleman 2 ile çarpp sonuca
3 eklenmektedir. Bu makinenin kuraln bulunuz.
x deikenimiz olsun.
x
f
2.x
2x+3
f(x) = 2x+3
Cevap: f(x) = 2x+3
çözüm
kavrama sorusu
1
2
f
f Makinesine Atlan Say
3
f
f
Çkan Say
1
3
2
4
3
5
Giren say ile çkan saylar arasndaki fark 2 olduundan
f(x) = x+2
3
4
Cevap: x+2
5
Yukardaki f fonksiyon makinesinin kuraln bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
x
f fonksiyonunun kural f(x) = 3x + 1
f(3) = 3 . 3 + 1 = 10
f
Cevap: 10
3x+1
Yukarda verilen f fonksiyon makinesine göre, f(3) kaçtr, bulunuz.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
316
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 7
soru 1
soru 5
f fonksiyon makinesi, içerisine atlan eleman 3 ile çarpp çkan
sonuçtan 1 eksiltmektedir. Buna göre, f fonksiyonunun kural
aadakilerden hangisidir?
A) f(x) = 3x
B) f(x) = 3x – 1
C) f(x) = 3x + 1
D) f(x) = 3 . (x – 1)
x
f
Yanda verilen f fonksiyon
makinesine göre, f(1) kaçtr?
5x–1
A) 1
E) f(x) = 3 . (x + 1)
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
soru 2
soru 6
f fonksiyon makinesi, içerisine atlan elemana 2 ekleyip, çkan
sonuçu 3 ile çarpmaktadr. Buna göre, f fonksiyonunun kural
aadakilerden hangisidir?
A) f(x) = 3x + 2
x
Yanda verilen g fonksiyon makinesine göre, g(2) kaçtr?
g
B) f(x) = x +2
C) f(x) = 3x
D) f(x) = 3 . (x + 2)
E) f(x) = 3 . (x – 2)
2x+7
A) 7
2
3
g
–3
g
g
5
6
0
Yukarda verilen g makinesinin kural aadakilerden hangisidir?
A) g(x) = 3x
B) g(x) = x + 3
D) g(x) = x
C) g(x) = 3x – 3
B) 8
C) 9
D) 10
soru 7
E) 11
x
Yanda f fonksiyon makinesinin
kural verilmitir.
f
A={1, 2, 3} olduuna göre,
f(A) görüntü kümesi aadakilerden hangisidir?
3x+2
A) {1, 3, 5}
3
E) g(x) = 3x + 3
www.kartezyen.com.tr
soru 3
B) {3, 5, 7}
C) {5, 7, 9}
D) {5, 8, 11}
E) {9, 11, 13}
soru 4
3
4
h
5
h
h
soru 8
x
Yanda h fonksiyon makinesinin
h
kural verilmitir.
7
9
11
Yukarda verilen h makinesinin kural aadakilerden hangisidir?
A = {–1, 0, 1} olduuna göre,
f(A) görüntü kümesi aadakilerden hangisidir?
4x+2
A) h(x) = 2x + 1
B) h(x) = 2x
A) {–2, 2, 6}
B) {–4, 0, 2}
C) h(x) = 2x + 2
D) h(x) = x + 4
C) {0, 2, 4}
D) {2, 4, 6}
E) h(x) = 3x – 2
E) {4, 6, 8}
317
1–B
2–D
3–B
4–A
5–D
6–E
7–D
8–A
Fonksiyonlar
çözüm
kavrama sorusu
f : R o R,
f(x) = 3x + 1
x = 2 için f(2) = 3 . 2 + 1 = 7 dir.
f(x) = 3x + 1 olduuna göre, f(2) kaçtr, bulunuz.
Cevap: 7
çözüm
kavrama sorusu
f : R o R, f(x)=
2x 1
5
f(x) =
2x 1
5
x = 3 için f( 3) =
olduuna göre, f(–3) kaçtr, bulunuz.
=
2 . ( 3) 1
5
7
dir.
5
7
5
çözüm
kavrama sorusu
f : R – {2} o R – {3}, f(x)=
Cevap: 3x 1
x2
olduuna göre, f(3) + f(1) toplam kaçtr, bulunuz.
x = 3 için f(3) =
3.3 1
=8
32
x = 1içini f(1) =
3 .1 1
= 2 dir.
1 2
O halder f(3) + f(1) = 8 + ( 2) = 6 dir .
Cevap: 6
çözüm
kavrama sorusu
f : R o R,
f(x) = |x – 2| + |x – 3|
f(x) = |x – 2| + |x – 3| olduuna göre, f(0) + f(4) toplam kaçtr,
bulunuz.
x =0 için f(0) = |0 – 2|+|0 – 3|
f(0) = | – 2|+| – 3|
f(0) = 2 + 3
f(0) = 5
x =4 için f(4) = |4 – 2|+|4 – 3|
f(4) = | 2|+| 1|
f(4) = 2 + 1
f(4) = 3 dür.
O halde f(0) + f(4) = 5 + 3 = 8 dir.
Cevap: 8
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
318
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 8
soru 1
soru 5
f : R o R, f(x) = 2x – 5 olduuna göre, f(7) kaçtr?
A) 5
B) 7
C) 9
f : R – {3} o R – {2}, f(x)=
D) 11
olduuna göre, f(4) – f(2) ileminin sonucu kaçtr?
E) 13
A) 10
soru 2
B) 9
C) 8
D) 7
E) 4
soru 6
f : R o R, f(x) = –3x –15 olduuna göre, f(–5) kaçtr?
A) –30
2x 1
x3
B) –15
C) 0
D) 15
f : R – {– 2} o R – {2}, f(x)=
2x +3
x +2
olduuna göre, f(–3) + f(–1) ileminin sonucu kaçtr?
E) 30
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
www.kartezyen.com.tr
A) 1
soru 3
soru 7
f : R o R, f(x)=
x +1
3
f : R o R, f(x) = |x –3| + |x + 1| olduuna göre,
f(–5) + f(4) toplam kaçtr?
olduuna göre, f(5) kaçtr?
A) –2
B) 4
3
D) C) –1
1
3
E) 2
soru 4
B) 10
C) 13
D) 17
E) 18
soru 8
f : R o R, f(x)=
5x 3
2
f : R o R, f(x) = 32x + 1 olduuna göre,
olduuna göre, f(–3) kaçtr?
A) –5
A) 9
B) –6
A) 330
C) –7
D) –8
B) 328
C) 327
f(8)
oran kaçtr?
f( 7)
D) 324
E) 315
E) –9
319
1–C
2–C
3–B
4–E
5–A
6–D
7–E
8–A
Fonksiyonlar
çözüm
kavrama sorusu
f(x) = 3x + m ve f(–1) = 5 olduuna göre, m kaçtr, bulunuz.
f(x) = 3x + m
x = –1 için f(–1) = 3 . (–1)+ m = 5
–3 + m = 5
m = 8 dir.
Cevap: 8
çözüm
kavrama sorusu
f(x) = mx + m – 2 ve f(3) = –6 olduuna göre, m kaçtr, bulunuz.
f(x) = mx + m – 2
x = 3 için f(3) = 3m + m – 2 = –6
4m – 2 = –6
4m = –4
m = –1 dir.
Cevap: –1
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=
x +3
1
ve f(0)=
x +m
4
f(x)=
olduuna göre, m kaçtr, bulunuz.
x
0 için f(0)
x +3
x +m
03 1
0m 4
3 1
m 4
m 12 dir.
Cevap: 12
çözüm
kavrama sorusu
f(x) = 22x – 4 ve f(m) = 64 olduuna göre, m kaçtr, bulunuz.
f(x) = 22x – 4
x =m için f(m) = 22m – 4 = 64
22m – 4 = 26
2m – 4 = 6
2m = 10
m=5
Cevap: 5
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
320
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 9
soru 1
soru 5
f(x)=
f(x) = x + m ve f(–3) = 6 olduuna göre, m kaçtr?
A) 3
B) 14
C) 6
D) 8
x +5
1
ve f(1)=
x +m
2
olduuna göre, m kaçtr?
E) 9
A) 14
soru 2
f(x)=
B) 15
C) 14
D) 13
www.kartezyen.com.tr
soru 3
1
2
D) 1
E) 10
mx + 3
ve f(2)=1
2x m
1
5
B)
1
3
C)
E)
3
2
soru 7
f(x) = 35x – 2 ve f(m) = 81 olduuna göre, m kaçtr?
f(x) = mx + 4m – 2 ve f(–3) = 12 olduuna göre, m kaçtr?
B) 12
C) 14
D) 16
E) 18
soru 4
A)
5
6
B) 1
C)
6
5
D) 2
E) 3
soru 8
f(x) = mx2 + x – 2 ve f(3) = 19 olduuna göre, m kaçtr?
A) 1
D) 11
olduuna göre, m kaçtr?
E) 10
A)
A) 2
C) 12
soru 6
f(x) = 2x – m + 3 ve f(5) = –3 olduuna göre, m kaçtr?
A) 16
B) 13
B) 2
C) 3
D) 4
f(x) = 42x + 3 ve f(m) = 32 olduuna göre, m kaçtr?
E) 5
A) –4
C) B) –1
3
4
D) 1
4
E) 1
2
321
1–E
2–A
3–C
4–B
5–D
6–B
7–C
8–D
Fonksiyonlar
çözüm
kavrama sorusu
f : A o B, f(x) = x – 3 ve A = {–2, –1, 0, 1} olduuna göre, f(A) görüntü kümesini bulunuz.
Görüntü kümesini bulabilmek için tanm kümesindeki elemanlar
fonksiyonda x yerine yazalm.
f(x) = x – 3
x = –2 için f(–2) = –2 – 3 = –5
x = –1 için f(–1) = –1 – 3 = –4
x = 0 için f(0) = 0 – 3 = –3
x = 1 için f(1) = 1 – 3 = –2
O halde görüntü kümesi f(A) = {–5, –4, –3 –2} dir.
Cevap: {–5, –4, –3, –2}
çözüm
kavrama sorusu
f : A o B, f(x) = 3x + 1 ve A = {0, 1, 2} olduuna göre, f(A) görüntü kümesini bulunuz.
Görüntü kümesini bulabilmek için tanm kümesindeki elemanlar
fonksiyonda x yerine yazalm.
f(x) = 3x + 1
x = 0 için f(0) = 3 . 0 + 1 = 1
x = 1 için f(1) = 3 . 1 + 1 = 4
x = 2 için f(2) = 3 . 2 + 1 = 7
O halde görüntü kümesi f(A) = {1, 4, 7} dir.
Cevap: {1, 4, 7}
çözüm
kavrama sorusu
f : A o B, f(x) = x + 2 ve f(A) = {1, 2, 3} olduuna göre, A tanm
kümesini bulunuz.
Tanm kümesini bulabilmek için görüntü kümesindeki elemanlar
f(x) = x + 2 eitleyerek x deerlerini bulmalyz.
x + 2 = 1 için x = –1
x + 2 = 2 için x = 0
x + 2 = 3 için x = 1
O halde tanm kümesi A = {–1, 0, 1} dir.
Cevap: {–1, 0, 1}
çözüm
kavrama sorusu
f : A o B, f(x) = 2x – 3 ve f(A) = {–1, 1, 3} olduuna göre, A tanm
kümesini bulunuz.
Tanm kümesini bulabilmek için görüntü kümesindeki elemanlar
f(x) = 2x – 3 eitleyerek x deerlerini bulmalyz.
2x – 3 = –1 için x = 1
2x – 3 = 1 için x = 2
2x – 3 = 3 için x = 3
O halde tanm kümesi A = {1, 2, 3} dür.
Cevap: {1, 2, 3}
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
322
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 10
soru 1
soru 5
f : A o B, f(x) = x + 1 ve A = {3, 4, 5} olduuna göre, f(A) görüntü
kümesi aadakilerden hangisidir?
f : A o B, f(x) = x – 2 ve f(A) = {0, 1, 3} olduuna göre, A kümesi
aadakilerden hangisidir?
A) {2, 3, 4}
A) {2, 3, 4}
B) {4, 5, 6}
C) {3, 4, 5}
D) {4, 5, 7}
E) {4, 5}
B) {–2, –1, 1}
D) {2, 3, 5}
soru 2
C) {2, 3, 6}
E) {–2, 2, 3}
soru 6
f : A o B, f(x) = x – 3 ve A = {–1, 0, 1, 2} olduuna göre, f(A) görüntü kümesi aadakilerden hangisidir?
f : A o B, f(x) = x + 4 ve f(A) = {–2, 0, 3} olduuna göre, A kümesi
aadakilerden hangisidir?
A) {2, 3, 4, 5}
A) {2, 4, 7}
B) {–4, –3,–2}
E) {–4, –2, –1, 0}
soru 3
B) {–6, –5, –4}
D) {–6, –4, 0}
www.kartezyen.com.tr
D) {–5, –4, –3, –2}
C) {–4, –3, –2, –1}
C) {–6, –4, –3}
E) {–6, –4, –1}
soru 7
f : A o B, f(x) = 2x + 1 ve A = {1, 3, 5} olduuna göre, f(A) görüntü kümesi aadakilerden hangisidir?
f : A o B, f(x) = 3x – 2 ve f(A) = {1, 4, 10} olduuna göre, A kümesi aadakilerden hangisidir?
A) {0, 1, 2}
A) {1, 2, 4}
B) {3, 7, 9}
D) {3, 7, 13}
C) {3, 7, 11}
E) {3, 7}
B) {1, 10, 28}
D) {1, 2, 3, 4}
soru 4
C) {1, 2, 3}
E) {1, 2, 4, 10}
soru 8
x
ve A = {2, 6, 10} olduuna göre, f(A) görüntü
2
kümesi aadakilerden hangisidir?
f : A o B, f(x) =
f : A o B, f(x) = x2 ve f(A) = {0, 1, 4} olduuna göre, A kümesi
aadakilerden hangisi olamaz?
A) {0, 1, 2}
A) {1, 2, 3}
B) {2, 3}
D) {1, 3, 5}
C) {1, 5}
B) {–3, –2, –1, 0}
D) {–2, –1, 0, 1}
C) {–2, –1, 0, 1, 2 }
E) {–1, 0, 1, 2}
E) {3, 5, 7}
323
1–B
2–C
3–C
4–D
5–D
6–E
7–A
8–B
Fonksiyonlar
çözüm
kavrama sorusu
f(x + 2) = 4x – 3 olduuna göre, f(5) kaçtr, bulunuz.
5
f(x + 2) = f(5) için x + 2 = 5, x = 3
f(x + 2) = 4x – 3 fonksiyonunda x yerine 3 yazarsak
f(3 + 2) = 4 . 3 – 3
f(5) = 9 bulunur.
Cevap: 9
çözüm
kavrama sorusu
f(2x + 3) = x2 + x – 2 olduuna göre, f(–1) kaçtr, bulunuz.
f(2x + 3) = f(–1) için 2x + 3 = –1
x = –2 dir.
2
f(2x + 3) = x + x – 2 fonksiyonunda x yerine –2 yazarsak.
f(2 . (–2) + 3) = (–2)2 + (–2) – 2
f(–1) = 4 – 2 – 2
f(–1) = 0 bulunur.
Cevap: 0
çözüm
kavrama sorusu
§ x 2·
x2
f¨
=2
¸ = f(2) için
x +1
© x +1 ¹
x 2=2x+2
4 = x dir.
§ x 2·
f¨
¸ = 3 x +1 olduuna göre, f(2) kaçtr, bulunuz.
© x +1 ¹
§ x 2·
f¨
¸ = 3 x +1fonksiyonunda x yerine 4 yazarsak
© x +1 ¹
§ 4 2 ·
f¨
¸ = 3( 4) +1
© 4 +1 ¹
f(2)= 11bulunur.
Cevap: –11
çözüm
kavrama sorusu
f(3x + m) = 2x + 5 ve f(3) = 1 olduuna göre, m kaçtr, bulunuz.
f(3x + m) = 2x + 5
ise 3x + m = 3 ve 2x + 5 = 1 dir.
f(3) = 1
2x + 5 = 1 ise x = –2 dir.
x = –2 ve 3x + m = 3 için
3(–2) + m = 3
–6 + m = 3
m = 9 dur.
Cevap: 9
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
324
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 11
soru 1
soru 5
§ 3 x 1·
f¨
¸ = x + 2 olduuna göre, f(4) kaçtr?
© x +1 ¹
f(x + 3) = 3x + 1 olduuna göre, f(7) kaçtr?
A) 8
B) 10
C) 13
D) 16
E) 22
A) –7
soru 2
C) –5
D) –3
E) 6
soru 6
§ 2 x 1· x + 3
1
f¨
olduuna göre, f §¨ ·¸ kaçtr?
¸=
© x+3 ¹ 2x 1
©7¹
f(x – 4) = –2x + 1 olduuna göre, f(–2) kaçtr?
A) –5
B) –6
B) –3
C) –1
D) 1
E) 3
B)
13
10
C)
10
13
D)
1
6
E)
1
7
www.kartezyen.com.tr
A) 7
soru 3
f(3 x 2)=
A) 7
soru 7
2 x +1
olduuna göre, f(10) kaçtr?
x3
B)
11
2
C)
13
3
D)
15
4
f(2x + m) = x – 4 ve f(–1) = 3 olduuna göre, m kaçtr?
A) –15
soru 4
C) –13
D) –12
E) –11
soru 8
f(2x – 1) = x2 + x + 3 olduuna göre, f(3) kaçtr?
A) 1
B) –14
E) 9
B) 3
C) 5
D) 9
f(3x – m) = 2x + 1 ve f(0) = 7 olduuna göre, m kaçtr?
E) 15
A) 11
B) 10
C) 9
D) 8
E) 7
325
1–C
2–B
3–E
4–D
5–D
6–A
7–A
8–C
Fonksiyonlar
çözüm
kavrama sorusu
f(x 2+ x) = 4x2 + 4x + 13 olduuna göre, f(5) kaçtr,bulunuz.
f(x 2+ x) = f(5) için x2 + x = 5 dir.
f(x 2+ x) = 4x2 + 4x + 13
f(x 2+ x) = 4(x2 + x) + 13
5
5
f(5) = 4 . 5 + 13
f(5) = 33
Cevap: 33
çözüm
kavrama sorusu
2f(x) + f(–x) = x2 + x + 2 olduuna göre, f(2) kaçtr, bulunuz.
2f(x) + f(–x) = x2 + x + 2
x = 2 için
2f(2) + f(–2) = 4 + 2 + 2 = 8
x = –2 için
2f(–2) + f(2) = 4 – 2 + 2 = 4
–2 / 2f(2) + f(–2) = 8
–4f(2) – 2f(–2) = –16
2f(–2) + f(2) = 4
+
2f(–2) + f(2) = 4
–3f(2) = –12
f(2) = 4
Cevap: 4
çözüm
kavrama sorusu
f(1) = 4 ve f(x + 1) = 2 . f(x) olduuna göre, f(3) kaçtr, bulunuz.
x = 1 için
f(1 + 1) = 2 . f(1) f(2) = 2f(1) = 2 . 4 = 8
x = 2 için
f(2 + 1) = 2 . f(2) f(3) = 2 f(2) = 2 . 8 = 16
Cevap: 16
çözüm
kavrama sorusu
f(1) = 4 ve f(x + 1) = f(x) + 2 olduuna göre, f(15) kaçtr, bulunuz.
Bir önceki kavrama sorusundaki gibi tek tek deerleri yazmak
yerine belirli sadeletirmeler yaparak çözüme ulamak gerekir.
x = 1 için
f(2) = f(1) + 2

f(2) – f(1) = 2
x = 2 için
f(3) = f(2) + 2

f(3) – f(2) = 2
x = 3 için
f(4) = f(3) + 2
f(2) – f(–3) = 2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x

x = 14 için
f(15) = f(14) + 2
x
x
x
x
x
+
f(15) – f(14) = 2
f(15) – f(1) = 14 . 2
f(15) – 4 = 28
f(15) = 32
Cevap: 32
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
326
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 12
soru 1
soru 5
f(x2 – x) = 5x2 – 5x + 6 olduuna göre, f(4) kaçtr?
A) 16
B) 21
C) 26
D) 31
f(x + 1) = f(x) + x ve f(1) = 2 olduuna göre f(4) kaçtr?
A) 17
E) 36
soru 2
C) 8
D) 5
E) 3
soru 6
f(x2 – x – 2) = 6x2 – 6x – 12 olduuna göre, f(6) kaçtr?
B) 36
C) 39
D) 45
f(1) = 3 ve f(x + 1) = 3f(x) olduuna göre f(3) kaçtr?
E) 51
A) 6
B) 9
C) 18
D) 27
E) 81
www.kartezyen.com.tr
A) 27
B) 12
soru 3
soru 7
f(x) + 2f(–x) = x2 + x + 3 olduuna göre, f(1) kaçtr?
A)
1
3
B) 1
C)
5
3
D) 2
f(1) = 2 ve f(x + 1) = f(x) + 3 olduuna göre f(10) kaçtr?
E)
7
3
soru 4
B) 38
C) 35
D) 32
E) 29
soru 8
f(x) + 3 f(–x) = 4x2 – 2x olduuna göre, f(2) kaçtr?
A) 6
A) 41
B) 8
C) 10
D) 12
f(1) = 3 ve f(x + 1) = f(x) – 2 olduuna göre f(12) kaçtr?
E) 16
A) – 17
B) – 18
C) – 19
D) – 20
E) –21
327
1–C
2–B
3–A
4–A
5–C
6–D
7–E
8–C
Fonksiyonlar
çözüm
kavrama sorusu
f(x) = x + 3 olduuna göre, f(x – 2) fonksiyonunu bulunuz.
f(x) fonksiyonunda x yerine x – 2 yazlr.
f(x – 2 = (x – 2) + 3
f(x – 2) = x + 1 dir.
Cevap: x + 1
çözüm
kavrama sorusu
f(x + 3) = x – 1 olduuna göre, f(x) fonksiyonunu bulunuz.
f(x + 3) fonksiyonu aracl ile f(x) i bulmak için x + 3 ifadesinde
x yerine x – 3 yazmamz gerekir.
f(x + 3) = x – 1
p p
x–3
x–3
f(x – 3 + 3) = x – 3 – 1
f(x) = x – 4
Cevap: x – 4
çözüm
kavrama sorusu
f(x) = x – 4 olduuna göre, f(x + 5) fonksiyonun f(x) türünden
eitini bulunuz.
f(x) = x – 4 ise f(x + 5) = x + 5 – 4
f(x + 5) = x + 1 dir.
Her iki ifadede ortak olan x deikenini kullanarak f(x + 5) i f(x)
türünden yazabiliriz.
f(x) = x – 4 ise x = f(x ) + 4 tür.
f(x + 5) = x + 1
= f(x) + 4 + 1
= f(x) + 5
Cevap: f(x) + 5
çözüm
kavrama sorusu
f(x) = 2x – 3 olduuna göre, f(3x + 1) fonksiyonunun f(x) türün-
f(x) = 2x – 3 ise f(3x +1) = 2(3x + 1) – 3
den eitini bulunuz.
f(3x +1) = 6x – 1 dir.
Her iki ifadede ortak olan x deikeninin kullanarak f(3x +1) i f(x)
türünden yazabiliriz.
f(x)= 2 x 3 ise f(x)+ 3 = 2 x
f(x)+ 3
= x dir.
2
f(3 x +1)= 6 x 1
§ f(x)+ 3 ·
= 6¨
¸ 1
© 2 ¹
= 3 f(x)+ 9 1
= 3 f(x)+ 8
Cevap: 3f(x) + 8
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
328
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 13
soru 1
soru 5
f( x) = x – 1 olduuna göre, f(x + 2) fonksiyonu aadakilerden
hangisidir?
f( x) = x + 3 olduuna göre, f(x – 2) fonksiyonunun f(x) türünden eiti aadakilerden hangisidir?
A) x
A) f(x) – 2
B) x + 1
C) x + 2
D) x + 3
B) f(x) – 1
C) f(x)
D) f(x) + 1
E) x + 4
soru 2
E) f(x) + 2
soru 6
f( x) = 2x + 1 olduuna göre, f(x – 1) fonksiyonu aadakiler-
f( x) = x – 7 olduuna göre, f(x + 5) fonksiyonunun f(x) türün-
den hangisidir?
den eiti aadakilerden hangisidir?
A) 2x – 4
B) 2x – 3
C) 2x – 2
E) 2x
B) f(x) – 6
C) f(x) + 5
D) f(x) + 6
www.kartezyen.com.tr
D) 2x – 1
A) f(x) – 7
soru 3
E) f(x) + 7
soru 7
f(x + 1) = x – 1 olduuna göre, f(x) fonksiyonu aadakilerden
hangisidir?
f( x) = –x + 1 olduuna göre, f(2x) fonksiyonunun f(x) türünden
eiti aadakilerden hangisidir?
A) x – 3
A) 2f(x) – 2
B) x – 2
D) x + 1
C) x – 1
E) x + 2
B) 2f(x) – 1
C) 2f(x) – 3
D) 2f(x) – 4
soru 4
E) 2f(x) – 5
soru 8
f(x – 2) = x + 2 olduuna göre, f(x) fonksiyonu aadakilerden
hangisidir?
f(x)=
2x 1
olduuna göre, f(4x) fonksiyonunun f(x) türün5
den eiti aadakilerden hangisidir?
A) x + 4
B) x + 3
C) x + 1
D) x – 1
A)
E) x – 2
6 20 f(x)
5
B)
D)
4 20 f(x)
5
3 20 f(x)
10
C)
E)
20 f(x) 3
5
3 20 f(x)
5
329
1–B
2–D
3–B
4–A
5–A
6–C
7–B
8–C
Fonksiyonlar
Birim Fonksiyon: f : A o B, f(x) = x kural ile verilen f fonksiyona birim fonksiyon denir. O halde, birim fonksiyon her eleman kendisi ile
eleyen fonksiyondur.
Birim fonksiyon içine atlan deikene hiç bir ilem uygulamadan aynen dar çkaran bir fonksiyon makinesi
olarak da düünülebilir.
x
f
f(x) = x birim fonksiyonun grafiini çizelim.
x
x
f(x) = x
1
f(1) = 1
0
f(0) = 0
1
y
1
f(1) = 1
1
1
x
1
çözüm
kavrama sorusu
f(x) birim fonksiyon olduuna göre, aadaki fonksiyonlarn
eitlerini bulunuz.
Birim fonksiyon her eleman kendisi ile eleyen fonksiyondur. O
halde,
A) f(5)
A) f(5) = 5
B) f(–7)
B) f(–7) = –7
1
1
C) f §¨ ·¸ =
©4¹ 4
D) f(a + 3) = a + 3
1
C) f §¨ ·¸
©4¹
D) f(a + 3)
E) f(2x + 5) = 2x + 5
E) f(2x + 5)
çözüm
kavrama sorusu
f(x) birim fonksiyon ve
f(a + 5) kaçtr, bulunuz.
f(3a – 2) = a + 4
olduuna
göre,
Birim fonksiyon her eleman kendisi ile eleyen fonksiyondur. O
halde,
f(3a – 2) = 3a – 2 dir.
f(3a – 2) = a + 4 = 3a – 2
6 = 2a
3 = a dr.
f(a + 5) = f(3 + 5) = f(8) = 8
Cevap: 8
çözüm
kavrama sorusu
f(x) = (a – 2)x2 + (b – 3) x + c + 4 birim fonksiyon olduuna göre,
a + b + c toplam kaçtr, bulunuz.
f(x) birim fonksiyon olduuna göre f(x) = x olmaldr.
f(x) = (a – 2)x2 + (b – 3)x + c + 4 = x için
a – 2 = 0,
b – 3 = 1,
c+4=0
a=2
b=4
c = –4
a + b + c = 2 + 4 + (–4) = 2
dür.
Cevap: 2
çözüm
kavrama sorusu
f(x) birim fonksiyon ve f(3x + 2) = (2a – 5)x + b – 4 olduuna göre,
a . b çarpm kaçtr, bulunuz.
f(x) birim fonksiyon olduuna göre f(3x + 2) = 3x + 2 olmaldr.
(2a – 5)x + b – 4 = 3x + 2 için.
2a – 5 = 3,
2a = 8
a=4
a . b = 4 . 6 = 24
b–4=2
b = 6 dr.
Cevap: 24
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
330
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 14
soru 1
soru 5
f( x) birim fonksiyon olduuna göre, f(7) + f(3) – f(2) ileminin
sonucu kaçtr?
f( x) = (a – 7)x + b + 1 birim fonksiyon olduuna göre, a + b kaçtr?
A) 8
A) 9
B) 10
C) 12
D) 13
E) 14
soru 2
C) 7
D) 6
E) 5
soru 6
f( x) = (a + 2)x2 +( b – 3)x – c + 5 birim fonksiyon olduuna göre,
a + b – c ileminin sonucu kaçtr?
f( x) birim fonksiyon olduuna göre, f(1) – f(5) – f(4) ileminin sonucu kaçtr?
B) –9
C) –8
D) –7
E) –6
A) 7
B) 8
C) 9
D) –1
E) –3
www.kartezyen.com.tr
A) –10
B) 8
soru 3
soru 7
f( x) birim fonksiyon ve f(4a – 1) = 3a + 7 olduuna göre, f(a – 3)
kaçtr?
f( x) birim fonksiyon ve f(2x + 3) = (a – 5)x + b – 4 olduuna göre,
a – b fark kaçtr?
A) 11
A) 3
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
soru 4
B) 2
C) 1
D) 0
E) –1
soru 8
f( x) birim fonksiyon ve f(a + 1) + f(2a – 2) = f(–10) olduuna göre,
a kaçtr?
f( x) birim fonksiyon ve f(5x – 2) = (a + 1)x + b + 4 olduuna göre,
a + b toplam kaçtr?
A) –1
A) –1
B) –2
C) –3
D) –4
E) –5
B) –2
C) –3
D) –4
E) –5
331
1–A
2–C
3–E
4–C
5–C
6–E
7–D
8–B
Fonksiyonlar
Sabit Fonksiyon: f : A o B, c R, f(x) = c fonksiyonuna sabit fonksiyon denir. Bu sabit say 0 ise bu fonksiyona sfr fonksiyonu denir.
O halde sabit fonksiyon tanm kümesindeki tüm elemanlar ayn sayya tayan fonksiyondur. Sabit fonksiyon içine atlan x deikeni ne
olursa olsun hep ayn sayy üreten bir fonksiyon makinesi olarak düünülebilir. Örnein, f(x) = 6 ise
2
2
3
5
f(2) = 6
f(x) = c sabit fonksiyonunun grafii
c > 0 ise
f( 2 ) = 6
5
f(3) = 6
y
c
c < 0 ise
x
x
c
çözüm
kavrama sorusu
Aadaki fonksiyonlarn sabit fonksiyon olup olmadn
belirleyiniz.
Sabit fonksiyon tanm kümesindeki tüm elemanlar ayn sayya
tayan fonksiyondur. O halde
a) f(x) = 3 sabit fonksiyon
b) f(x) = –2 sabit fonksiyon
a) f(x) = 3
b) f(x) = –2
c) f(x) = x + 4
f(1) = 1 + 4 = 5
f(0) = 0 + 4 = 4
Tanm kümesindeki tüm elemanlar ayn sayya tamad için
sabit fonksiyon deildir.
c) f(x) = x + 4
d) f : R – {2} o R, f(x)=
y
3x 6
2x 4
d) f(x)=
3 x 6 3(x 2) 3
=
=
sabit fonksiyondur.
2 x 4 2(x 2) 2
çözüm
kavrama sorusu
1
f(x) = 5 olduuna göre, f(–3) + f(2) – f §¨ ·¸ kaçtr, bulunuz.
©7¹
1
f(x)= 5 sabit fonksiyon olduundan f(–3) = f(2) = f §¨ ·¸ = 5 dir.
©7¹
1
O halde f(–3) + f(2) – f §¨ ·¸ = 5 + 5 – 5 = 5 dir.
©7¹
Cevap: 5
Sabit fonksiyon içinde x e bal deiken olamaz. O halde f(x) = ax2 + bx + c sabit fonksiyon ise a = 0 ve b = 0 olmaldr.
çözüm
kavrama sorusu
f(x) = (m – 3)x2 + (n + 2)x + m . n sabit fonksiyon olduuna göre,
f(3) kaçtr, bulunuz.
f(x)=
Sabit fonksiyon içinde x e bal deiken olamaz. O halde
m – 3 = 0 ve
n+2=0
m=3
n = –2 dir.
f(x) = m . n = +3 . (–2)= –6 için f(3) = –6 dr.
Cevap: –6
ax + b
2 x + 6 2(x + 3) 2
a b
=
= sabit fonksiyondur.
sabit fonksiyon ise = = f(x) dir. Örnein f(x)=
cx + d
3 x + 9 3(x + 3) 3
c d
çözüm
kavrama sorusu
f(x)=
3x 5
sabit fonksiyon olduuna göre, m kaçtr, bulunuz.
2x +m
f(x) =
a b
ax b
sabit fonksiyon ise = olmaldr. O halde
c d
cx + d
3
5
için 3m = –10
=
2
m
10
m=
dir.
3
Cevap:
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
332
10
3
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 15
soru 1
soru 5
Aadaki fonksiyonlardan kaçtanesi sabit fonksiyondur?
I.
f(x)=–2
II.
f(x) = 7
IV.
1
5
f(x) = x – 3
V.
f(x) = ñ2
III.
VI.
f( x) = (m + 3)x + 2m + 1 sabit fonksiyon olduuna göre, m + f(m)
toplam kaçtr?
A) –8
B) –7
C) –6
D) –5
E) –3
f(x)=
f : R –{3} o R, f(x)=
A) 6
B) 5
3x 9
x3
C) 4
D) 3
E) 2
soru 6
f( x) = (a + 2)x2 +( b – 4)x + a – b sabit fonksiyon olduuna göre,
f(a + b) kaçtr?
f(x) = 10 olduuna göre, f(7) + f(5 ) + f(3) toplam kaçtr?
A) 10
B) 15
C) 20
D) 30
E) 45
B) –7
C) –6
D) 2
E) 6
www.kartezyen.com.tr
A) –8
soru 2
soru 7
f(x)=
soru 3
f(x) = –6 olduuna göre, f(5) . f(–3 ) – f(4) ileminin sonucu kaçtr?
A) –42
B) –30
C) 30
D) 36
A) –7
B)
20
3
C)
3
20
D)
3
20
E)
20
3
E) 42
soru 8
soru 4
f sabit fonksiyon ve f(5)+3f(7)=–12 olduuna göre, f(–3) kaçtr?
A) –12
5x +m
sabit fonksiyon olduuna göre, m kaçtr?
3x 4
B) –6
C) –4
D) –3
E) –2
f(x)=
6x +m
sabit fonksiyon olduuna göre, m kaçtr?
3 x m + 2
A) –4
B) –2
C) 2
D) 4
E) 6
333
1–B
2–D
3–E
4–D
5–A
6–C
7–B
8–D
Fonksiyonlar
Doğrusal Fonksiyon: a, b R olmak üzere f(x) = ax + b biçimindeki fonksiyonlara dorusal (lineer) fonksiyon denir. Bu fonksiyonlarn
grafiklerinin doru biçiminde olmas bu ekilde isimlendirilmesine neden olur.
çözüm
kavrama sorusu
Aadaki fonksiyonlarn dorusal fonksiyon olup olmadn belirleyiniz.
f(x) = ax + b biçimindeki fonksiyonlar dorusal fonksiyon denir.
O halde
a) f(x) = 3x – 2
a) f(x) = 3x – 2
dorusal fonksiyondur.
b) g(x) = x + 4
b) g(x) = x + 4
dorusal fonksiyondur.
2
2
a) h(x) = x + x – 2
a) h(x) = x + x – 2
dorusal fonksiyon deildir. Dorusal fonksiyonlarda x2 li terim yoktur.
çözüm
kavrama sorusu
h : R o R, h(x) = 2x + 5 olduuna göre, h(–3) + h(5) toplamnn
sonucu kaçtr, bulunuz.
h(x) = 2x + 5
x = –3 için
h(–3) = 2 . (–3) + 5 = –1
x = 5 için
h(5) = 2 . 5 + 5 = 15
h(–3) + h(5) = –1 + 15 = 14
Cevap: 14
çözüm
kavrama sorusu
g : R o R, g(x) = 4x + m ve g(–2) = 3 olduuna göre, m kaçtr,
bulunuz.
g(x) = 4x + m
x = –2 için
g(–2) = 4 . (–2) + m = 3
–8 + m = 3
m = 11
Cevap: 11
çözüm
kavrama sorusu
f : R o R, f(x) = –2x + 5 ve f(1) + f(m + 2) = f(2m) olduuna göre,
f(x) = –2x + 5
m kaçtr, bulunuz.
x = 1 için f(1) = –2 . 1+ 5 = 3
x = m + 2 için f(m + 2) = –2(m + 2) + 5 = –2m + 1
x = 2m için f(2m) = –2 . 2m + 5 = –4m + 5
f(1) + f(m + 2) = f(2m)
3 + (–2m + 1) = –4m + 5
4 – 5 = –4m + 2m
–1 = –2m
1
=m
2
Cevap:
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
334
¤¤¦¤Ú¤Ú
1
2
Fonksiyonlar
Test / 16
soru 1
soru 5
g : R o R, g(x) = 5x – m + 3 ve g(3) = 2 olduuna göre m kaçtr?
Aadaki fonksiyonlardan hangisi dorusal fonksiyon deildir?
A) f(x) = 5x + 3
C) f(x)= B) f(x) = 2x – 1
D) f(x)=x2+3x – 1
A)16
4x 7
2
f(x) = 5x + 1
f(x) = x – 3
III.
f(x)= A) –13
x+4
2
3 x +1
3
f(x) = x2 + x – 2
f(x) =
f(x) = x3 – x
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
B) –17
C) –18
D) –19
E) –20
www.kartezyen.com.tr
I.
II.
A) 6
E) 20
h : R o R, h(x) = 8x – m ve h(–2) = 4 olduuna göre m kaçtr?
dur?
VI.
D) 19
soru 6
Aadaki fonksiyonlardan kaç tanesi dorusal fonksiyon-
V.
C) 18
E) f(x) = –x
soru 2
IV.
B) 17
soru 7
f : R o R, f(x) = x + 5 ve f(4) + f(m + 3) = f(3m) olduuna göre, m
kaçtr?
soru 3
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
g : R o R, g(x) = 4x –3 olduuna göre, g(3) – g(–3) fark kaçtr?
A) –10
B) –6
C) 10
D) 20
E) 24
soru 4
soru 8
h : R o R ve h(x) =
kaçtr?
A) –1
x +1
5
B) –2
olduuna göre, h(3) + h(9) toplam
C) –3
D) –4
E) –5
f : R o R, f(x) = 2x – 1 ve f(3) + f(m – 3) = f(2m – 1) olduuna göre,
m kaçtr?
A) 2
B)
3
2
C) 1
D)
1
2
E)
1
3
335
1–D
2–C
3–E
4–B
5–A
6–E
7–C
8–D
Fonksiyonlar
çözüm
kavrama sorusu
f : R o R, f dorusal fonksiyon f(3) = 5 ve f(–1) = –3 olduuna göre, f(5) kaçtr, bulunuz.
f(x) dorusal fonksiyon olduu göre,
f(x) = ax + b dir.
f(3) = 3a + b = 5
f(–1) = –a + b = –3
3a + b = 5
– –a + b = –3
4a = 8
a = 2 ve b = –1 dir.
f(x) = 2x – 1 ve
f(5) = 2 . 5 – 1 = 9
Cevap: 9
Doğrusal fonksiyon grafiği
Dorusal fonksiyonlarn grafiini çizerken fonksiyon üzerindeki herhangi iki noktann koordinatlarn bulmak yeterlidir.
çözüm
kavrama sorusu
f(x) = 2x – 6 fonksiyonunun grafiini çiziniz.
x deikenine herhangi iki deer vererek fonksiyon grafii üzerindeki iki noktann koordinatlarn bulalm.
f(x) = 2x – 6
x = 0 için f(0) = 2 . 0 – 6 = –6, (0, –6)
x = 1 için f(1) = 2 . 1 – 6 = –4, (1, –4)
y
1
4
6
x
çözüm
kavrama sorusu
Grafik üzerindeki (–2, 5) için f(–2) = 5
y
5
f
ve (1, 2) için f(1) = 2 dir.
2
2
1
f(x) dorusal fonksiyon olduuna göre
f(x) = ax + b dir.
f(–2) = –2a + b = 5
f(1) = a + b = 2
x
–2a + b = 5
Yandaki ekilde f(x) dorusal fonksiyonunun grafii verilmitir.
f(3) kaçtr, bulunuz.
–
a+b=2
–3a = 3
a = –1 ve b = 3 dür.
f(x) = –x + 3 ve
f(3) = –3 + 3 = 0
Cevap: 0
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
336
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 17
soru 1
soru 4
f : R o R, f dorusal fonksiyon f(1) = 3 ve f(3) = 9 olduuna göre
f(–1) kaçtr?
f(x) = 2x – 2 fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisidir?
A) 0
A)
B) –3
C) –6
D) –9
E) –12
B)
y
y
2
1
2
y
C)
soru 2
x
f(3) kaçtr?
y
E)
B) 1
C) 0
D) –1
x
1
1
2
f : R o R, f dorusal fonksiyon f(2) = 3 ve f(–1) = 6 olduuna göre
A) 2
y
D)
1
x
2
E) –2
www.kartezyen.com.tr
2
soru 3
x
2
soru 5
y
f(x)
5
x
5
f(x) = x – 4 fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisidir?
A)
B)
y
y
Yukardaki ekillere f(x) fonsiyonu aadakilerden hangisidir?
4
4
4
x
2
A) x – 5
y
C)
C) –x – 5
soru 6
y
D)
B) –x + 5
D) x + 5
y
E)
x
1
5
f
6
4
x
x
4
4
1
4
x
3
2
y
E)
Yukarda f(x) dorusal fonksiyonunun grafii verilmitir. f(10)
kaçtr?
x
2
4
A)11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 15
337
1–B
2–A
3–C
4–C
5–D
6–C
Fonksiyonlar
Parçalı Fonksiyon: Tanm kümesindeki alt aralklarnda farkl kurallarla tanmlanm fonksiyonlara parçal fonksiyon denir. Parçal fonksiyonlar içine atlan maddeleri türüne göre ayrtrarak farkl ilemlere tabi tutan bir makine olarak da düünebiliriz.
Örnein,
f(x) =
x + 2, x ³ 2
x
fonksiyonu
2x, x < 2
x³2
x<2
x+2
2x
eklindeki bir fonksiyon makinesi olarak düünebiliriz. Makineye atlan x t 2 artn salayan saylar için x + 2 ilemi, x < 2 artn salayan
saylar için 2x ilemi yaplacaktr. x = 2 noktas f(x) parçal fonksiyonunun kritik noktas olarak adlandrlr.
çözüm
kavrama sorusu
4 x 2,
f(x)= ®
¯ x +1,
x t1 için f(x) = 4x – 2 olduuna göre
x t1
x <1
f(3) = 4 . 3 – 2 = 10
x = 1 için f(x) = 4x – 2 olduuna göre
olduuna göre, f(3)+f(1)+f(–2) toplam kaçtr, bulunuz.
f(1) = 4 . 1 – 2 = 2
x <1 için f(x) = x + 1 olduuna göre
f(–2) = –2 + 1 = –1 dir.
O halde f(3) + f(1) + f(–2) = 10 + 2 – 1 = 11 dir.
Cevap: 11
çözüm
kavrama sorusu
 x + 3,
°
f(x) = ®1,
°2 x 1,
¯
xt2
2 d x < 2
x < –2 için
f(x) = 2x – 1 olduuna göre
x<2
–2 d x < 2 için f(x) = 1 olduuna göre
f(–3) = 2 . (–3) – 1 = –7
f(1) = 1
olduuna göre, f(–3)+f(1)+f(–2) + f(2) toplam kaçtr, bulunuz.
f(–2) = 1
x t2 için
f(x) = x + 3 olduuna göre
f(2) = 2 + 3 = 5 dir.
O halde f(–3) + f(1) + f(–2) + f(2) = –7 + 1 + 1 + 5 = 0 dr.
Cevap: 0
çözüm
kavrama sorusu
 x 1,
f(x)= ®
¯x 1
x çift ise
x çift ise
f(x) = x + 1 olduuna göre
f(4) = 4 + 1 = 5
x tek ise
x tek ise
olduuna göre, f(4)+f(9) toplam kaçtr, bulunuz.
f(x) = x – 1 olduuna göre
f(9) = 9 – 1 = 8 dir.
O halde f(4) + f(9) = 5 + 8 = 13 dür.
Cevap: 13
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
338
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 18
soru 1
soru 5
3 x 1,
f(x)= ®
¯2 x + 2,
x2 ,
°
f(x) = ® x 1,
° x,
¯
xt3
x<3
olduuna göre, f(5) kaçtr?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 16
olduuna göre, f(3) + f(–5) – f(–3) – f(–4) ileminin sonucu kaçtr?
E) 18
A) 12
soru 2
B) 11
C) 10
D) 9
E) 8
D) 7
E) 6
soru 6
4 x 3,
f(x)= ®
¯3 x 1,
x t 2
x<2
 x 1,
f(x)= ®
¯2 x 1
B) –10
C) –9
D) –8
E) –7
soru 3
2 x 1,
f(x)= ®
¯5 x 1,
x çift ise
x tek ise
olduuna göre, f(–2) + f(5) toplam kaçtr?
www.kartezyen.com.tr
olduuna göre, f(–2) kaçtr?
A) –11
xt0
3 d x 0
x<3
A) 10
B) 9
C) 8
soru 7
xt0
x<0
x
° ,
f(x) = ® 2
°¯ x 1
olduuna göre, f(3) + f(–1) kaçtr?
x asal deil ise
x asal ise
olduuna göre, f(10) – f(5) + f(2) ileminin sonucu kaçtr?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 12
E) 13
A) –1
soru 4
B) 0
C) 1
D) 2
E) 3
D) 22
E) 38
soru 8
3 x 1,
°
f(x) = ®5,
° x 4,
¯
x !1
x 1
x <1
3x 1,
f(2 x 1)= ®
¯ x 2,
xt3
x3
f(3) + f(9) toplam kaçtr?
olduuna göre, f(–1) + f(2) – f(1) ileminin sonucu kaçtr?
A) 18
A) 15
B) 12
C) 6
D) 5
B) 20
C) 21
E) 3
339
1–C
2–A
3–E
4–D
5–A
6–C
7–D
8–B
Fonksiyonlar
Mutlak Değer Fonksiyonu
Mutlak deer fonksiyonu
 f(x),
| f(x)|= ®
¯ f(x),
f(x) t 0
eklinde tanmlanr.
f(x) 0
Mutlak deerin içindeki ifadeyi sfr yapan deer kritik noktadr. Kritik nokta yardmyla mutlak deer fonksiyonunun parçal fonksiyon
eklinde yazabiliriz.
çözüm
kavrama sorusu
f(x) = |x – 7| olduuna göre, f(–1) + f(7) + f(9) toplam kaçtr,
bulunuz.
f(x) = |x – 7|
f(–1) = |–1 – 7| = |–8| = 8
f(7) = |7 – 7|= |0| = 0
f(9) = |9 – 7| = |2| = 2
f(–1) + f(7) + f(9) = 8 + 0 + 2 = 10
Cevap: 10
çözüm
kavrama sorusu
f(x) = |x – 2| fonksiyonunun parçal fonksiyon olarak yaznz.
Kritik nokta x – 2 = 0, x = 2 dir.
x t 2 için
x – 2 t 0 olduuna göre
f(x) = |x – 2| = x – 2 dir.
x < 2 için
x – 2 < 0 olduuna göre
f(x) = |x – 2| = –x + 2 dir.
 x 2,
O halde f(x)= ®
¯ x 2,
xt2
dir.
x2
çözüm
kavrama sorusu
f(x) = |–x – 3| fonksiyonunun parçal fonksiyon olarak yaznz.
Kritik nokta –x – 3 = 0, x = –3 dür.
x t –3 için
–x – 3 d 0 olduuna göre
f(x) = |–x – 3| = x + 3 dür.
x < –3 için
–x – 3 > 0 olduuna göre
f(x) = |–x – 3| = –x – 3 dür.
 x 3,
O halde f(x)= ®
¯ x 3,
çözüm
kavrama sorusu
f(x) = |x– 1| + x fonksiyonunu parçal fonksiyon olarak yaznz.
Kritik nokta x – 1 = 0, x = 1 dir.
x
1
x1
|x 1|
f(x) = |x1|+x
1,
f(x)= ®
¯2x 1,
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
xt3
tür.
x3
340

x + 1
0
+
0
x1
x+1+x=1 0 x1+x=2x1
x 1
x t1
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 19
soru 1
soru 5
f(x) = |x – 2| olduuna göre, f(3) + f(2) + f(–5) toplam kaçtr?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
f(x) = |–x – 6| fonksiyonunun parçal fonksiyon olarak yazl
aadakilerden hangisidir?
E) 9
 x 6,
A) f(x)= ®
¯ x 6,
 x 6,
¯ x 6,
C) f(x)= ®
x t 6
x 6
 x 6,
B) f(x)= ®
¯ x 6,
 x,
¯ x,
D) f(x)= ®
f(x) = |x – 1| + |x + 3| olduuna göre, f(4) + f(–2) – f(–6) ileminin sonucu kaçtr?
B) 3
C) 4
D) 5
xt6
x6
x t 6
x 6
xt0
x0
 x,
E) f(x)= ®
¯ x,
soru 2
A) 2
xt6
x6
soru 6
f(x) = |–2x + 6| fonksiyonunun parçal fonksiyon olarak yaz-
E) 6
soru 3
f(x) = |x – 4| fonksiyonunun parçal fonksiyon olarak yazl
aadakilerden hangisidir?
 x 4,
A) f(x)= ®
¯ x 4,
xt0
x0
 x 4,
B) f(x)= ®
¯ x 4,
xt4
x4
 x 4,
C) f(x)= ®
¯ x 4,
xt4
x4
 x 4,
D) f(x)= ®
¯ x 4,
xt4
x4
 x 4,
E) f(x)= ®
¯ x 4,
xt4
x4
www.kartezyen.com.tr
l aadakilerden hangisidir?
2x 6,
A) f(x)= ®
¯2x 6,
xt3
x3
2x 6,
B) f(x)= ®
¯2x 6,
xt3
x3
2x 6,
C) f(x)= ®
¯2x 6,
xt3
x3
2x 6,
D) f(x)= ®
¯2x 6,
xt0
x0
2x 6,
E) f(x)= ®
¯2x 6,
xt3
x3
soru 7
f(x) = |x – 2| – x fonksiyonunun parçal fonksiyon olarak yazl aadakilerden hangisidir?
2,
A) f(x)= ®
¯2x,
xt2
x2
2,
B) f(x)= ®
¯2x 2,
xt2
x2
2,
C) f(x)= ®
¯2x 2,
xt2
x2
2x 2,
D) f(x)= ®
¯2,
xt2
x2
2,
E) f(x)= ®
¯2x 2,
xt2
x2
soru 8
soru 4
f(x) = |x| fonksiyonunun parçal fonksiyon olarak yazl aa-
f(x) = |2x – 6| + x fonksiyonunun parçal fonksiyon olarak ya-
dakilerden hangisidir?
zl aadakilerden hangisidir?
 x,
A) f(x)= ®
¯ x,
xt0
x0
 x,
B) f(x)= ®
¯ x,
xt0
x0
3x 6,
A) f(x)= ®
¯3x 6,
x3
3x 6,
B) f(x)= ®
¯ x 6,
x3
 x,
C) f(x)= ®
¯ x,
x t1
x 1
 x,
D) f(x)= ®
¯ x,
x t1
x 1
3x 6,
C) f(x)= ®
¯ x 6,
xt3
x3
 x 6,
D) f(x)= ®
¯3x 6,
xt3
x3
 x,
E) f(x)= ®
¯ x,
xt0
x0
xt3
3x 6,
E) f(x)= ®
¯ x 6,
xt3
xt3
x3
341
1–D
2–C
3–B
4–A
5–C
6–E
7–C
8–E
Fonksiyonlar
Fonksiyon Grafikleri
f : A o B tanmlanm bir fonksiyon olsun. A tanm kümesindeki elemanlara karlk f(x) fonksiyonunun ald deerleri dik koordinat sisteminde (Kartezyen koordinat sistemi) iaretleyerek fonksiyonunun grafiini çizebiliriz. Fonksiyonun grafii fonksiyonun dik koordinat
sistemi üzerindeki görüntüsüdür.
Bu fonksiyonun grafii çizilerken tanm kümesindeki elemanlar fonksiyonda yerine konularak sonuçlar bulunur. Böylece (x, y) ikilileri elde
edilir. Tanm kümesinden kaç tane eleman seçeceimiz fonksiyonun türüne göre deiir. f(x) = ax + b biçimindeki bir fonksiyonun grafiini
çizebilmemiz için en az iki nokta belirlememiz gerekir.
çözüm
kavrama sorusu
f : R o R tanmlanm f(x) = x+ 2 fonksiyonunun grafiini çiziniz.
Tanm kümesinden baz deerler seçip fonksiyonda yerletirelim.
x = –2 için
f(–2) = –2 + 2 = 0
o
(–2, 0)
x = –1 için
f(–1) = –1 + 2 = 1
o
(–1, 1)
x = 0 için
f(0) = 0 + 2 = 2
o
(0, 2)
x = 1 için
f(1) = 1 + 2 = 3
o
(1, 3)
y
f(x)
3
2
1
2
1
x
1
çözüm
kavrama sorusu
f : R o R tanmlanm f(x) = x – 1 fonksiyonunun grafiini çiziniz.
f(x) = x – 1 fonksiyonu dorusal fonksiyon olduundan tanm
kümesinden iki deer seçmemiz yeterlidir. Seçeceimiz bu iki
deer kolaylk olmas açasndan genelde
x = 0 deeri ve y = f(x) = 0 deeridir.
x = 0 için f(0) = 0 – 1 = –1 ilk noktamz (0, –1)
y = f(x) = 0 için 0 = x – 1 x = 1 ikinci noktamz (1, 0)
(0, –1) ve (1, 0) noktalarn dik koordinat sisteminde yerletirelim.
y
1
1
x
ki nokta tespit edildikten sonra bu iki noktadan geçen bir doru
çizilerek f(x) = x – 1 fonksiyonunun grafii çizilmi olur.
y
f(x)=x1
1
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
342
1
x
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 20
soru 1
soru 5
f : R o R olmak üzere,
f(x) = 2x – 1 fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisidir?
Aadaki noktalardan hangisi f(x) = x + 1 fonksiyonunun
grafii üzerindedir?
y
A)
A) (1, 0)
B) (–1, –2)
y
B)
C) (2, 2)
D) (3, 2)
E) (2, 3)
1/2
x
1
soru 2
y
Aadaki noktalardan hangisi f(x) = x – 3 fonksiyonunun grafii üzerindedir?
A) (0, –4)
B) (1, –2)
1
x
y
D)
1/2
x
1
C) (2, 0)
D) (3, –1)
x
1
C)
f : IR o IR olmak üzere,
1/2
1/2
E) (4, 2)
y
E)
soru 3
A) f(x) = 3x – 1
B) f(x) = x + 3
D) f(x) = 2x + 1
C) f(x) = 2x – 1
E) f(x) = x + 1
soru 4
f(x) = x + 3 fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisidir?
y
A)
y
B)
1/2
x
soru 6
f(x) = 3x + 1 fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisidir?
y
A)
y
B)
3
3
3
x
3
C)
www.kartezyen.com.tr
1
(1, 3) ikilisi aada verilen fonksiyonlardan hangisinin grafii üzerindedir?
y
y
D)
3
1
3
1
x
y
E)
3
1
1
x
3
1
x
x
y
D)
1/3
y
E)
1
y
x
3
3
x
1
C)
3
x
1/3
1/3
x
x
343
1–E
2–B
3–D
4–A
5–B
6–D
Fonksiyonlar
Grafii verilen bir fonksiyonunun tanm kümesi x ekseninde, deer kümesi ve görüntü kümesi y eksenindedir.
çözüm
kavrama sorusu
Yandaki ekilde grafii verilen
f(x) fonksiyonunun [–3, 5] tanm aralndaki görüntüsünü bulunuz.
y
4
3
y Deðer kümesi
4
x
5
1
Fonksiyonun [–3, 5] tanm aralndaki görüntüsü,
3
5
1
x Taným kümesi
Yukardaki grafiktende görüldüü gibi görüntü kümesi [–1, 4]
araldr.
Cevap: [–1, 4]
çözüm
kavrama sorusu
Yandaki ekilde grafii verilen f(x) fonksiyonunun tanm
y
2
2
4
2
kümesini bulunuz.
f(x)
Tanm kümesindeki x ekseni
üzerinde iaretlenen bölge-
y
x
dir. O halde tanm kümesi
T = [–2, 4] tür.
f(x)
2
4
x
3
3
Cevap: [–2, 4]
çözüm
kavrama sorusu
Yandaki ekilde verilen f(x)
fonksiyonunun görüntü kü-
y
5
y
5
Görüntü kümesi y ekseni
üzerinde iaretlenen bölge-
mesini bulunuz.
f(x)
dir. O halde görüntü kümesi G = [–2, 5) dir.
f(x)
2
x
3
2
x
3
2
2
Cevap: [–2, 5)
çözüm
kavrama sorusu
Yandaki ekilde verilen f(x)
fonksiyonunun
y
6
y
6
a) tanm kümesini
f(x)
2
4 3
1
3
Görüntü kümesi: G = [–2, 6]
2
x
4 3
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
1
3
x
2
2
¦¨¡¡£
Tanm kümesi: T = (–4, 3]
f(x)
b) görüntü kümesini bulunuz.
344
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 21
soru 1
soru 4
y
y
6
4
Yanda grafii verilen y = f(x)
fonksiyonunun tanm kümesi aadakilerden hangisidir?
f(x)
f(x)
1
3
4
3
x
1
2
A) [–3, 1]
B) (–3, 4)
C) [–3, 4]
D) [1, 4]
E) [1, 4)
Yukarda grafii verilen y = f(x) fonksiyonunun görüntü kümesi aadakilerden hangisidir?
A) [1, 3]
B) [1, 6]
C) [1, 3, 6]
D) [1, 6)
soru 2
x
3
1
Yukarda grafii verilen y = f(x) fonksiyonunun tanm kümesi
aadakilerden hangisidir?
B) [–2, 3)
D) [–2, 3]
www.kartezyen.com.tr
f(x)
2
A) [–1, 2]
E) (1, 6)
soru 5
y
2
x
4
y
f(x)
2
3
6
x
2
Yukarda grafii verilen y = f(x) fonksiyonunun görüntü kümesi aadakilerden hangisidir?
A) (–3, 6]
B) (–2, 2)
C) (–2, 2]
E) (–2, f]
D) [–2, 2]
C) [–2, 3]
E) {–2, –1, 0, 1, 2, 3}
soru 3
soru 6
y
y
2
4
3
f(x)
5
f(x)
1
3
x
x
Yukarda grafii verilen y = f(x) fonksiyonunun tanm kümesi
aadakilerden hangisidir?
A) [–3, 4]
B) [–3, 4)
D) (–3, 4)
C) (–3, 4]
Yukarda grafii verilen y = f(x) fonksiyonunun görüntü kümesi aadakilerden hangisidir?
E) {–2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}
A) R
C) [5, f)
B) (–f, 3)
D) (–f, 3) [5, f)
E) (–f, 3] [5, f)
345
1–C
2–B
3–C
4–E
5–C
6–D
Fonksiyonlar
y
y
y
f(x)
f(x)
f(x)
b
d
x
a
c
(a, b) f için f(a) = b dir.
(c, 0) f için
(0, d) f için
f(c) = 0 dr. f fonksiyonunun grafiinin
x ekseninin kestii noktalarn f(x) = 0
denkleminini gerçek saylardaki çözüm
kümesidir.
f(0) = d dir. f fonksiyonunun y ekseninin
kestii noktann x deeri sfrdr.
çözüm
kavrama sorusu
y
f(x)
x
x
4
Yandaki ekilde grafii verilen f(x) fonksiyonu için
(–3, 4) f için
f(–3) = 4
(4, –2) f için
f(4) = –2 dir.
f(–3) + f(4)
O halde f(–3) + f(4) = 4 + (–2) = 2
toplam kaçtr, bulunuz.
4
3
Cevap: 2
x
2
çözüm
kavrama sorusu
y
f(x)
3
Yandaki ekilde grafii verilen
f(x) fonksiyonu için
(–2, 0) f için
f(–2) = 0
(0, 3) f için
f(0) = 3 dür.
f(–2) + f(0)
O halde f(–2) + f(3) + = 0 + 3 = 3 dür.
toplam kaçtr, bulunuz.
Cevap: 3
x
2
çözüm
kavrama sorusu
5
y
f(x)
3
Yandaki ekilde grafii verilen f(x) fonksiyonu için
(–4, 0) f için
f(–4) = 0
(–2, 1) f için
f(–2) = 1
f(–4) + f(–2) + f(0) + f(2)
(0, 3) f için
f(0) = 3
toplam kaçtr, bulunuz.
(2, 5) f için
f(2) = 5 dir.
1
4
2
2
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
O halde f(–4) + f(–2) + f(0) + f(2) = 0 + 1 +3 +5 = 9
x
Cevap: 9
346
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 22
soru 1
y
soru 4
f(x)
5
y
3
3
1
2
2
x
2 3
3
Yukarda grafii verilen y = f(x) fonksiyonu için
B) 1
C) 3
D) 4
y
E) 9
www.kartezyen.com.tr
3
2
2
x
1
Yukarda grafii verilen y = f(x) fonksiyonu için
f(1) + f(–2) – f(0) ileminin sonucu kaçtr?
A) 0
B) 1
C) 2
soru 3
B) –1
C)
1
3
soru 5
f(x)
5
f(x)
f(0)+ f( 3)
kaçtr?
f(2)
A) –3
soru 2
x
Yukarda grafii verilen y = f(x) fonksiyonunu için
f(–2) – f(2) + f(3) ileminin sonucu kaçtr?
A) –1
1
D) 3
E) 4
1
3
E) 3
y
3
x
3
2
3
f(x)
Yukarda grafii verilen y = f(x) fonksiyonunu için
f(–3) + 2f(0) = m + f(3) olduuna göre m kaçtr?
A) 2
B) 1
C) 0
soru 6
y
D)
D) –1
E) –2
y
5
f(x)
4
3
4
2
2 3
2
f(x)
Yukarda grafii verilen y = f(x) fonksiyonu için
I.
f(–2) = 5
III.
f(3) = 0
V.
f(4) = –2
II.
f(2) = 3
IV.
f(0) = 3
VI.
f(–5) > 0
C) 4
D) 3
B) 5
x
1
f(4)+ f( 1)
kaçtr?
f(5)+ f(0)
Aadakilerden kaç tanesi dorudur?
A) 6
4 5
1
x
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
E) 2
347
1–C
2–E
3–B
4–A
5–D
6–D
Fonksiyonlar
çözüm
kavrama sorusu
y
8
Yandaki ekilde grafii
verilen f(x) fonksiyonu
için
a) (–6, 8) f için
f(–6) = 8
b) (–2, 0) f için
f(–2) = 0
c) (0, –4) f için
f(0) = –4
a) f(–6)
d) (2, –8) f için
f(2) = –8
b) f(–2)
e) x t 2
f(x) = –8 dir.
c) f(0)
O halde f(7) = –8 dir.
d) f(2)
2
6
2
f) x d –6
e) f(7)
x
için
için
f(x) = 8 dir.
O halde f(–100) = 8 dir.
f) f(–100)
deerlerini bulunuz.
4
f(x)
8
çözüm
kavrama sorusu
f(x+2)
7
a) f(x + 2) = f(6) için
Yandaki ekilde grafii verilen f(x+2) fonk-
y
f(6) = f(4 + 2) = 7
siyonu için
b f(x + 2) = f(2) için
a) f(6)
5
c) f(x + 2) = f(–1) için
c) f(–1)
0
4
x
x + 2 = –1, x = –3 dür.
f(–1) = f(–3 + 2) = 0
d) f(–3)
3
x + 2 = 2, x = 0 dr.
f(2) = f(0 + 2) = 5
b f(2)
5
x + 2 = 6, x = 4 tür.
d) f(x + 2) = f(–3) için
deerlerini bulunuz.
x + 2 = –3, x = –5 dir.
f(–3) = f(–5 + 2) = –2
2
çözüm
kavrama sorusu
y
5
(0, 3) f için
Yandaki ekilde grafii verilen f(x) fonksiyonu için
f(x)
3
m–2=0
f(m – 2) = 3 olduuna
göre, m kaçtr, bulunuz.
2
m = 2 dir.
Cevap: 2
x
3
çözüm
kavrama sorusu
Yandaki ekilde grafii verilen f(x) fonksiyonu için
y
5
f(x)
3
1
1
1
f(0) = 3 tür.
f(m – 2) = 3 ve f(0) = 3 için
1
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
3
f(x) fonksiyonunun grafiinin x ekseninin kestii noktalar f(x) = 0
denkleminin çözüm kümesidir. f(x) in grafinini x ekseninin kestii noktalar –5, –1 ve 3 dür. O halde x, – 5, –1 ve 3 deerlerini alr.
f(x) = 0 olduuna göre, x
x in alabilecei deerleri
bulunuz.
Cevap: –5, –1, 3
348
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 23
soru 1
soru 4
y
8
7
y
f(x)
f(x3)
5
3
5
2
x
3
3
1
x
4 5
4
Aadakilerden kaç tanesi dorudur?
I.
f(–3) = 8
IV.
f(4) = 5
Yukarda grafii verilen y = f(x – 3) fonksiyonu için
II.
f(–1) = 5
V.
f(5) = 7
f(0) – f(–5) + f(–3) ileminin sonucu kaçtr?
III.
f(0) = 5
VI.
f(2) = 5
A) 4
A) 6
B) 5
C) 4
soru 2
D) 3
B) 5
C) 6
D) 10
E) 12
E) 2
y
2
www.kartezyen.com.tr
f(x)
2
x
1
2
Yukarda grafii verilen y = f(x) fonksiyonunu için,
f(0)+ f(6)
f( 2)+ f( 1) kaçtr?
A) –4
B) –2
C) –1
D) 2
E) 4
soru 5
y
4
3
x
2
2
f(x)
Yukarda grafii verilen y = f(x) fonksiyonu için
f(m – 4) = –2 olduuna göre m kaçtr?
soru 3
A) 4
y
6
2
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
f(x)
1
x
4
soru 6
y
f(x)
2
2
3
3
1
1
5
x
6
Yukarda grafii verilen y = f(x) fonksiyonu için
Yukarda grafii verilen y = f(x) fonksiyonunu için,
f(4)+ f( 3)+ f(0)
kaçtr?
f( 2) f(10)+ f(1)
A) 6
B)
1
6
C)
f(2m – 1) = 0 olduuna göre m nin alabilecei deerler toplam
kaçtr?
1
12
D) 1
12
E) 1
6
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
349
1–A
2–B
3–B
4–E
5–D
6–C
Fonksiyonlar
Parçalı Fonksiyon Grafiği
Parçal fonksiyon grafiini çizmek için alt fonksiyonlarn grafikleri çizilip daha sonra istenen aralklardaki grafik parçlar birletirilir.
çözüm
kavrama sorusu
 x,
f(x)= ®
¯1,
y
x t1
x 1
y
y=x
fonksiyonun grafiini çiziniz.
f(x)
y=1
1
x
1
1
x
x
1
2. Adým
3. Adým
çözüm
kavrama sorusu
y
xt0
x0
y
y=x+2
y
x
2
f(x)
2
2
fonksiyonun grafiini çiziniz.
x
x
4
y=4
2. Adým
1. Adým
4
3. Adým
çözüm
kavrama sorusu
 x 3,
f(x)= ®
¯ x 2,
1
1
1. Adým
 x 2,
f(x)= ®
¯4,
y
a)
xt0
x0
3
y y=x+3
y
y
f(x)
3
a) fonksiyonunun grafiini çiziniz.
y=x2
b) görüntü kümesini bulunuz.
x
3
2
x
2
x
2
b) Görüntü kümesi grafikte y ekseni üzerindedir.
Görüntü kümesi grafikte y ekseni üzerinde iaretli bölgededir.
y
3
Görüntü kümesine B diyelim.
B = (–f, –2) [3, f) dir.
x
2
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
350
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 24
soru 1
soru 3
 x 4,
f(x) = ®
¯2,
xt2
x2
 x,
f(x)= ®
¯ x 2,
parçal fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisidir?
y
A)
parçal fonksiyonun grafii aadakilerden hangisidir?
y
B)
xt0
x0
y
A)
y
B)
2
2
6
4
x
2
x
x
2
y
C)
x
2
2
y
D)
C)
2
4
4
x
D)
y
x
2
2
2
x
y
E)
y
x
2
www.kartezyen.com.tr
4
x
2
2
soru 2
 x 1,
f(x) = ®
¯2,
xt0
x0
parçal fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisidir?
y
A)
2
1
2
1
x
x
2
x 3
f(x)= ®
¯5,
xt2
x2
Yukarda verilen f(x) fonksiyonunun görüntü kümesi aadakilerden hangisidir?
x
1
A) [–5, 5]
C)
D)
y
y
2
2
1
1
x
B) R
C) [0, 5]
E) [5, f]
D) [–f, 5]
soru 5
x
 x 4,
f(x)= ®
¯ x 1,
y
E)
y
soru 4
y
B)
E)
xt3
x3
Yukarda verilen f(x) fonksiyonunun görüntü kümesi aadakilerden hangisidir?
2
1
x
A) (–f, 2)
B) [–f, 2)
C) [7, f)
E) (–f, 2) [7, f)
D) (–f, 2]
351
1–C
2–D
3–B
4–E
5–E
Fonksiyonlar
Fonksiyonlarn grafiklerini çizmek için çeitli yöntemler vardr. Bunlarn en temeli tanm kümesindeki deerler için fonksiyonun sonuçlarn
bulmaktr. Ancak derecesi yüksek fonksiyonlar için bu yöntemi elde uygulamak zordur. lerki snflarda bu tip fonksiyonlarn grafiklerini
çizme yöntemleri anlatlacaktr.
çözüm
kavrama sorusu
f : R o R olmak üzere,
f(x) = x fonksiyonunun grafiini çiziniz.
x
1
0
1
f(x) = x
1
0
1
y
f(x)=x
1
1
1
x
1
çözüm
kavrama sorusu
f : R o R olmak üzere,
f(x) = x2 fonksiyonunun grafiini çiziniz.
f(x) =
x
2
1
0
1
2
x2
4
1
0
1
4
y
f(x)=x2
4
1
2 1
1 2
x
çözüm
kavrama sorusu
f : R o R olmak üzere,
f(x) = –2x2 fonksiyonunun grafiini çiziniz.
x
2
1
0
1
2
f(x) =2x2
8
2
0
2
8
y
2 1
1 2
x
1
8
f(x)=2x2
çözüm
kavrama sorusu
f : R o R olmak üzere,
x 2 1 0 1 2
3
f(x) = x fonksiyonunun grafiini çiziniz.
8
y
f(x)=x3
f(x) = x3 8 1 0 1 8
2 1
1
2
1
1
x
8
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
352
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 25
soru 1
soru 3
f(x) = 3x2 fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisidir?
f(x) = 2x fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisidir?
A)
B)
y
1
1
1
C)
D)
2
x
1
1
y
1
B)
1
1
1
f(x) = –x3 fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisidir?
1
1
1
1
1
y
D)
2
x
1
2
1
1
x
1
1
x
2
y
C)
y
D)
x
1
1
E)
y
x
2
y
B)
y
1
C)
x
1
soru 4
A)
y
x
www.kartezyen.com.tr
2
f(x) = –x2 fonksiyonunun grafii aadakilerden hangisidir?
y
x
1
y
x
soru 2
1
1
E)
2
1
x
1
2
A)
y
D)
1
3
y
1
x
1
3
x
2
1
y
x
1
C)
2
E)
B)
1
2
1
y
x
y
2
9
1
1
y
A)
1
2
x
1
y
1
1
x
1
1
1
1
x
y
1
1
y
E)
1
x
1
2
1
1
x
2
353
1–C
2–B
3–D
4–A
Fonksiyonlar
Fonksiyon Türleri
1) Birebir Fonksiyon: Bir fonksiyonun tanm kümesindeki her elemann görüntüsü farkl ise fonksiyona birebir (1 – 1) fonksiyon denir.
Konu Kavrama Çalışması
Aada verilen fonksiyonlarn birebir olup olmadn inceleyelim.
I.
A
B
f
II.
a
b
c
d
1
2
3
4
A
1
2
3
4
f
B
B
f
a
b
c
d
e
1
2
3
4
Tanm kümesindeki her elemann görüntüsü farkl olduu için
f birebir fonksiyondur.
III.
A
Tanm kümesindeki her elemann görüntüsü farkl olduu için
f birebir fonksiyondur.
IV.
A
a
b
c
d
B
f
a
b
c
d
1
2
3
4
Tanm kümesindeki 1 ve 2 elemanlar b ile elenmi bu nedenle f birebir fonksiyon deildir.
Tanm kümesindeki her elemann görüntüsü ayn olduundan f birebir fonksiyon deildir.
çözüm
kavrama sorusu
A = {a, b, c), B = {1, 2, 3, 4} ve f : Ao B fonksiyon olduuna
göre, aada verilen fonksiyonlarn birebir olup olmadn
a)
A
B
1
2
3
4
Tanm kümesindeki her elemann görüntüsü farkl oldu-
B
1
2
3
4
Tanm kümesindeki her elemann görüntüsü farkl oldu-
f
B
1
2
3
4
Tanm kümesindeki b ve c elemanlar 2 ile elendiinden f
birebir fonksiyon deildir.
f
B
4
5
6
7
8
f(1) = 4
f(2) = 4
f
a
b
c
aratrnz.
a) f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3)}
u için f birebir fonksiyondur.
b) f = {(a, 2), (b, 3), (c, 4)}
b)
c) f = {(a, 4), (b, 2), (c, 2)}
A
f
a
b
c
c)
A
a
b
c
u için f birebir fonksiyondur.
çözüm
kavrama sorusu
A = {1, 2, 3), B = {4, 5, 6, 7, 8} ve f : Ao B fonksiyon olduuna
göre,
a)
A
1
2
3
a) f(1) + f(2) + f(3) toplamnn en küçük deeri kaçtr, bulunuz.
b) f birebir fonksiyon olduuna göre f(1) + f(2) + f(3) toplamnn en küçük deeri kaçtr, bulunuz.
b)
A
1
2
3
f
B
4
5
6
7
8
+
f(3) = 4
f(1) + f(2) + f(3) = 4 + 4 +4 = 12
en küçük deerdir.
+
f, birebir fonksiyon olduundan
f(1) = 4
f(2) = 5
f(3) = 6
f(1) + f(2) + f(3) = 4 + 5 +6 = 15
en küçük deerdir.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
354
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 26
soru 1
soru 4
A = {2, 4, 6} ve B = {1, 3, 5, 7} ve f : Ao B olduuna göre, aadakilerden hangisi birebir fonksiyon deildir?
A = {1, 2, 3}, B = {4, 5, 6, 7} ve f : Ao B fonksiyon olduuna
göre, aadakilerden hangisi birebir fonksiyondur?
A)
A
f
B
1
A
f
D)
B
4
1
2
E)
f
E) f = {(2, 5), (4, 1), (6, 7)}
5
6
3
A
D) f = {(2, 3), (4, 5), (6, 1)}
B
4
2
7
C) f = {(2, 1), (4, 3), (6, 5)}
7
1
6
3
B) f = {(2, 3), (4, 5), (6, 5)}
6
A
5
A) f = {(2, 3), (4, 5), (6, 7)}
5
3
7
B
4
2
6
3
f
1
5
2
C)
A
B)
4
7
B
f
4
1
5
2
6
3
7
soru 5
A = {2, 3, 4} ve B = {5, 6, 7, 8, 9} ve f : Ao B fonksiyon olduuna
göre, f(2) + f(3) + f(4) toplamnn en küçük deeri kaçtr?
A = {0, 1, 2}, B = {3, 4, 5, 6} ve f : Ao B fonksiyon olduuna
göre, aadakilerden hangisi birebir fonksiyon deildir?
A)
A
f
B
A
f
D)
B
3
0
f
A
0
1
2
f
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
soru 6
4
5
2
A) 15
B
3
1
6
E)
6
0
5
2
5
A
4
1
4
2
6
B
3
1
5
2
f
0
4
1
C)
A
B)
3
0
www.kartezyen.com.tr
soru 2
6
A = {1, 2, 3} ve B = {5, 6, 7, 8, 9} ve f : Ao B birebir fonksiyon
olduuna göre, f(1) + f(2) + f(3) toplamnn en küçük deeri
kaçtr?
B
3
4
5
6
A) 15
B) 16
C) 17
D) 18
E) 19
soru 3
A = {1, 3, 5} ve B = {2, 4, 6} ve f : Ao B olduuna göre, aadakilerden hangisi birebir fonksiyondur?
soru 7
A) f = {(1, 2), (3, 4), (5, 6)}
B) f = {(1, 6), (3, 2), (5, 6)}
A = {3, 4, 5} ve B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} ve f : Ao B birebir fonksiyon
C) f = {(1, 4), (3, 2), (5, 2)}
olduuna göre, f(3) + f(4) + f(5) toplamnn en büyük deeri
kaçtr?
D) f = {(1, 2), (3, 6), (5, 6)}
A)23
E) f = {(1, 4), (3, 4), (5, 4)}
B) 24
C) 25
D) 26
E) 27
355
1–D
2–E
3–A
4–B
5–A
6–D
7–B
Fonksiyonlar
f : A o B olmak üzere, x1 ve x2 A olsun. f(x1) = f(x2) iken x1 = x2 ise f birebir fonksiyondur.
çözüm
kavrama sorusu
f : R o R ve f(x) = 3x + 1 olduuna göre, f(x) fonksiyonunun birebir olup olmadn aratrnz.
f(x1) = f(x2) iken x1= x2 ise f birebir fonksiyondur.
f(x1) = 3x1 + 1 ve f(x2) = 3x2 + 1 için
f(x1) = f(x2)
3x1 + 1 = 3x2 + 1
3x1 = 3x2
x1 =x2 dir.
O halde f(x) = 3x + 1 birebir fonksiyondur.
çözüm
kavrama sorusu
f : R o R ve f(x) = x2 – 3 olduuna göre, f(x) fonksiyonunun birebir olup olmadn aratrnz.
f(x1) = f(x2) iken x1= x2 ise f birebir fonksiyondur.
f(x1) = x12 – 3 ve f(x2) = f(x2) = x22 – 3 için
f(x1) = f(x2)
x12 – 3 = x22 – 3
x12 = x22
x1 =x2
veya
x1 = –x2 dir.
2
O halde f(x) = x – 3 birebir fonksiyon deildir.
Bir fonksiyonun grafiine çizilen yatay dorular grafii yalnz bir noktada kesiyor ise fonksiyon birebirdir.
Konu Kavrama Çalışması
y
I)
II)
f
y
f
x
x
Yatay dorular grafii bir noktada kestiinden f birebir fonksiyondur.
Yatay dorular grafii bir noktada kestiinden f birebir fonksiyondur.
IV)
y
III)
y
f
f
x
x
Yatay dorular grafii birden fazla noktada kestiinden f birebir fonksiyon deildir.
Yatay dorular grafii birden fazla noktada kestiinden f birebir fonksiyon deildir.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
356
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 27
soru 1
soru 4
Aadakilerden hangisi birebir fonksiyon deildir?
Aada grafii verilen fonksiyonlardan hangisi birebirdir?
A) f : R o R,
A)
f(x) = 2x – 5
B) f : R o R,
f(x) = 3x
C) f : R o R,
f(x) = 5 – x
D) f : R o R,
f(x) = x2
E) f : R o R,
f(x) = 5x – 3
B)
y
y
x
C)
x
y
y
D)
x
x
y
E)
soru 2
Aadakilerden hangisi birebir fonksiyon deildir?
A) f : R o R,
f(x) = x3
B) f : R o R,
f(x) = 7 – 4x
C) f : R o R,
f(x) = 2x2 + 5
D) f : R o R,
f(x) = –3x
E) f : R o R,
f(x) = 3x3 – 7
www.kartezyen.com.tr
x
soru 5
Aada grafii verilen fonksiyonlardan hangisi birebir deildir?
A)
B)
y
y
x
C)
x
y
y
D)
soru 3
x
x
Aadakilerden hangisi birebir fonksiyondur?
y
E)
A) f : R o R,
f(x) = x2
B) f : R o R,
f(x) = x2 – 4x
C) f : R o R,
f(x) = x2 + 3
D) f : R o R,
f(x) = 2x2 + 1
E) f : R+ o R,
f(x) = x2– 5
x
357
1–D
2–C
3–E
4–C
5–E
Fonksiyonlar
2) Örten ve İçine Fonksiyon: Bir fonksiyonun deer kümesinde elenmemi (bota) eleman kalmazsa yani deer kümesi ile görüntü
kümesi ayn olursa, bu fonksiyona örten fonksiyon denir.
Bir fonksiyonun deer kümesinde elenmemi (bota) eleman bulunursa yani örten olmazsa bu fonksiyona içine fonksiyon denir.
Konu Kavrama Çalışması
Aada verilen fonksiyonlarn örten olup olmadn inceleyelim.
I.
A
II.
B
f
a
b
c
2
3
A
1
2
3
A
1
a
b
c
B
Deer kümesinde bota eleman kaldndan f içinedir.
IV.
B
f
f
a
b
c
1
Deer kümesinde bota eleman kalmadndan f örtendir.
III.
A
f
1
2
3
4
a
b
2
3
Deer kümesinde bota eleman kaldndan f içinedir.
B
Deer kümesinde bota eleman kalmadndan f örtendir.
çözüm
kavrama sorusu
A
f
1
2
3
B
A) Tanm kümesindeki her elemann görüntüsü farkl olduu için
f birebirdir.
4
5
6
B) Deer kümesinde bota eleman kalmadndan f örtendir.
C) 1 eleman 5 ile elemi o halde f(1) = 5 tir.
D) 2 eleman 4 ile elemi o halde f(2) = 4 tür.
E) f(1) = 5 ve f(3) = 6 için
Aadakilerden hangisi yanltr, bulunuz.
A) f birebirdir.
C) f(1) = 5
B) f örtendir.
f(1) + f(3) = 5 + 6 = 11 dir.
E) f(1) + f(3) = 9
Ohalde f(1) + f(3) = 9 ifadesi yanltr.
D) f(2) = 4
Cevap: E
çözüm
kavrama sorusu
Aadakilerden hangisi birebir ve örtendir, bulunuz.
I.
A
f
B
II.
A
1
a
1
2
b
2
3
c
3
f
B
a
b
I.
Birebir ve örten
II.
Birebir deil, örten
III.
Birebir ve içine
IV.
Birebir deil, içine
Cevap: I
III.
A
1
2
3
f
B
a
b
c
d
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
IV.
A
1
2
3
4
5
f
B
a
b
c
d
e
358
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 28
soru 1
I.
III.
soru 4
A
B
f
A
II.
f
a
1
a
2
b
2
b
3
c
3
c
IV.
B
f
A
f
B
1
a
1
a
2
b
2
b
3
c
3
c
B
f
1
2
3
4
B
1
A
A
5
6
7
8
Yukardaki emaya göre aadakilerden hangisi yanltr?
A) f birebirdir.
B) f örtendir.
D) f(1) + f(4) = 12
C) f(3) = 7
E) f(2) + f(3) = 13
Yukarda ema ile gösterilen fonksiyonlardan hangileri örtendir?
A) Yalnz I
B) Yalnz III
D) I, III ve IV
C) I, II ve III
E) I ve III
soru 2
soru 5
Aada ema ile gösterilen fonksiyonlardan hangisi örtendir?
A
f
B
a
A
f
b
c
D)
A
d
a
e
b
f
c
E)
d
e
c
B
a
B
b
e
c
f
a
d
b
C)
A
B)
A
f
B
d
e
f
g
B
f
a
d
b
e
c
d
f
g
www.kartezyen.com.tr
A)
I.
III.
A
f1
B
A
II.
f2
B
2
1
2
1
4
3
4
3
6
5
6
5
A
f3
B
2
1
4
3
6
5
IV.
A
f4
2
4
6
8
B
1
3
5
Yukarda ema ile gösterilen fonksiyonlar için aadakilerden hangisi yanltr?
A) f1 birebir ve örtendir.
B) f2 birebir ve içinedir.
soru 3
C) f3 birebir ve örtendir.
Aada ema ile gösterilen fonksiyonlardan hangisi içinedir?
A)
A
f
B
1
A
f
D)
A
E)
B
2
4
5
6
7
f
3
4
5
6
1
2
3
4
7
B
1
2
5
6
7
1
3
5
7
f
soru 6
6
7
A
E) f1(2) + f2(4) + f3(6) = 11
B
3
4
5
f
1
2
3
C)
A
B)
D) f4 birebir deil ve örtendir.
A = {–1, 0, 1, 2} ve B = {1, 2, 5} ve ve f(x) = x2 + 1 olduuna
B
göre, aadakilerden hangisi yanltr?
2
4
A) f(–1) = f(1) = 2
6
B) f(0) = 1
D) f(1) + f(2) = 7
C) f birebirdir.
E) f örtendir.
359
1–E
2–B
3–D
4–D
5–B
6–C
Fonksiyonlar
Fonksiyonlarn örten olmas için deer kümesinde elenmemi eleman bulunmamaldr. Kural verilen bir y = f(x) fonksiyonunun örten
olup olmadn anlamak için x yalnz bana braklr. Deer kümesindeki her y için tanm kümesinde eletii x varsa örtendir aksi durumda içinedir.
çözüm
kavrama sorusu
f : R o R ve y = f(x) = 2x – 3 fonksiyonunun örten olup olmadn aratrnz.
y = f(x) = 2x – 3 ifadesinde x i yalnz bana brakalm.
y = 2x – 3
y + 3 = 2x
y +3
=x
2
y R için
y +3
R olduundan x R dir. O halde f örtendir.
2
Cevap: f örten
çözüm
kavrama sorusu
f : Z o Z ve y = f(x) = 3x + 1 fonksiyonunun örten olup olmadn aratrnz.
y = f(x) = 3x + 1 ifadesinde x i yalnz bana brakalm.
y = 3x + 1
y – 1 = 3x
y 1
=x
3
y = 1 için
x=
1 1
=0 Z
3
2 1 1
= Z olduundan deer kümesindeki
3
3
2 eleman bota kaldndan f içinedir.
fakat y = 2 için x =
Cevap: f içine
Bir fonksiyonun grafiine çizilen yatay dorular grafii en az bir noktada kesiyor ise fonksiyon örtendir.
Konu Kavrama Çalışması
f : R o R olduuna göre,
I.
y
II.
f
y
x
x
f
Birebir ve örten fonksiyondur.
III.
Birebir ve örten deil, içine fonksiyondur.
y
IV.
f
y
x
x
Birebir deil ve örten fonksiyondur.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
f
Birebir ve örten fonksiyondur.
360
¤¤¦¤Ú¤Ú
Fonksiyonlar
Test / 29
soru 1
soru 5
I.
Aadakilerden hangisi içinedir?
II.
y
y
f
A) f : Z o Z,
f(x) = x + 2
B) f : N o N,
f(x) = x + 1
C) f : R o R,
f(x) = 4x – 3
D) f : R o R,
f(x) = 5x
E) f : Z o Z,
f(x) = 5 – x
x
x
f
y
III.
y
IV.
f
f
x
x
soru 2
Yukarda grafii verilen f : R o R fonksiyonlarndan hangileri
örtendir?
Aadakilerden hangisi örtendir?
f(x) = 4x – 3
B) f : N o N,
f(x) = x + 4
C) f : R o R,
f(x) = 2x – 7
D) f : R o R,
f(x) = x2
E) f : Z o Z,
f(x) = 3 – 2x
A)I, III ve IV
B) I ve III
D) I ve IV
www.kartezyen.com.tr
A) f : Z o Z,
soru 3
C) II, III ve IV
E) I, II, III ve IV
soru 6
Aada grafii verilen f : R o R fonksiyonlarndan hangisi
birebir örtendir?
Aadakilerden hangisi örtendir?
A) f : Z o Z,
f(x) = 5x + 1
B) f : Z o Z,
f(x) = |x – 3|
C) f : N o N,
f(x) = 2x + 1
f
D) f : R o R,
f(x) = x2 + 1
x
E) f : R o R,
f(x) = 5x – 7
A)
B)
y
f
x
y
C)
y
D)
f
soru 4
y
f
x
x
Aadakilerden hangisi içinedir?
A) f : R o R,
f(x) = x
B) f : R o R,
f(x) = x – 1
C) f : N o N,
f(x) = 2x + 1
D) f : Z o Z,
f(x) = x – 2
E) f : Z o Z,
f(x) = x + 1
E)
y
f
x
361
1–B
2–C
3–E
4–C
5–A
6–D
TEMEL KAVRAMLAR VE DORUDA AÇILAR
Temel Kavramlar
Nokta: Geometrinin tanmsz terimlerindendir. Eni, boyu ve yükseklii yoktur.
A
B
A
Doğru: Herhangi bir kalnl olmayan her iki yöne de sonsuza kadar düz bir ekilde uzatlabilen
d
B
geometrik ekildir. Dorular küçük harflerle ya da üzerinde seçilen farkl iki noktas ile adlandrlr.
Yandaki ekil bir dorudur. “AB dorusu” ya da “d dorusu” eklinde adlandrlr.
Doğru Parçası: Bir dorunun belli bir uzunluktaki bölümüne denir. Yandaki ekilde verilen
doru parças [AB] eklinde gösterilir. [AB] doru parçasnn uzunluu |AB| eklinde gösterilir.
[AB]
A
B
[AB ýþýný
Işın: Bir dorunun bir noktasndan balayp tek bir yöne, sonsuza kadar düz olarak uzatlan
geometrik ekildir. Yandaki ekilde balangç noktas A olan ve B dorultusunda sonsuza kadar
düz olarak uzatlan ekil ndr. A dan B ye doru uzayan n [AB eklinde gösterilir.
Açı: Balangç noktalar ayn olan iki nn birleimi ile oluan geometrik ekildir. Yandaki e-
A
kilde verilen aç AéBC ya da CéBA eklinde gösterilir. [BA ve [BC nlar açnn kenarlar, B açnn
köesidir. AéBC açsnn ölçüsü m(AéBC) eklinde gösterilir.
m(AéBC)
B
C
Açı Ölçü Birimleri
Radyan:
Derece:
Bir çemberin 360 e yay parçasndan birini gören merkez açnn öl-
A
O
1°
B
Herhangi bir çemberde
A
|OA|=|OB|=|Aù B|
çüsüne bir derece denir ve “1°” ile
gösterilir.
O
m(AéOB)=1° dir.
eitliini salayan merkez açnn
ölçüsüne 1 Radyan denir.
1 Radyan
B
m(AéOB)=1 Radyan
Derece
180q
Radyan
S
çözüm
kavrama sorusu
a. 60° lik aç kaç radyandr?
Derece
180q
2S
b. radyanlk aç kaç derecedir?
3
a.
60q
180q
60°,
b.
D
180q
Radyan
S
R
R
S
eitliinden
60S
180q
S
3
S
Radyandr.
3
2S
3 D
S
2.180q
3
120q
2S
Radyan 120q dir.
3
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
362
¤¤¦¤Ú¤Ú
Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar
Test / 1
soru 1
soru 5
Aadaki geometrik ekillerden hangisinin eni, boyu ve
yükseklii yoktur?
45° lik aç kaç radyandr?
A)
A) Doru
B) In
C) Doru parças
D) Düzlem
B)
S
8
C)
S
4
D)
S
3
E)
S
2
E) Nokta
soru 2
soru 6
A
3S
radyanlk aç kaç derecedir?
4
B
Yukarda verilen geometrik ekil aadakilerden hangisinde
doru gösterilmitir?
B) AB
C) [BA
D) [AB
soru 3
Yanda verilen KéLM açsn
oluturan nlar aada-
A) [LK], [LM]
L
M
B) [LK, [LM]
D) [LK, [LM
C) [KL, [ML
D
A) D < T < E
E) 90
4S
5
C) T < D < E
E) E < D < T
soru 8
ölçüsünün doru gösterimi
aadakilerden hangisidir?
F
D) [DéEF]
65q ve T
B) E < T < D
x
B) m(DéEF)
D) 115
olduuna göre, D, E ve T açlarnn doru sralan aadakilerden hangisidir?
Yanda verilen DéEF açsnn
A) |DEF|
2S
,E
3
D) D < E < T
D
E
C) 120
soru 7
E) LK, LM
soru 4
B) 135
E) ]AB[
K
kilerden hangisinde doru
gösterilmitir?
A) 155
www.kartezyen.com.tr
A) [AB]
S
10
C) DEF
3S
, y
4
5S
ve z
3
7S
4
olduuna göre, x, y ve z açlarnn doru sralan aadakilerden hangisidir?
A) z > y > x
B) z > x > y
D) x > y > z
E) DéEF
C) x > z > y
E) y > x > z
363
1–E
2–D
3–D
4–B
5–C
6–B
7–E
8–A
Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar
Açı Türleri
Dar Açý:
Dik Açý:
Geniþ Açý:
a=90°
0°<a<90°
90°<a<180°
a
a
a
Ölçüsü 0° ile 90° arasýnda olan
Ölçüsü 90° olan açýlara dik açý
Ölçüsü 90° ile 180° arasýnda
açýlara dar açý denir.
denir.
olan açýlara geniþ açý denir.
Tam Açý:
Doðru Açý:
a=180°
a=360°
Ölçüsü 180° olan açýlara doðru açý denir.
Ölçüsü 360° olan açýlara tam açý denir.
Komşu Açılar
Köeleri ve birer kenarlar ortak ve iç bölgeleri ayrk olan iki açya “komu aç” denir.
A
AéBD ve DéBE komu açdr.
D
AéBE ve EéBC komu açdr.
DéBE ve EéBC komu açdr.
AéBD ile EéBC komu aç deildir. (Ortak aç kollar yok)
E
AéBE ile DéBC komu aç deildir. (ç bölgeleri çakk)
AéBD ile AéBC komu aç deildir. (ç bölgeleri çakk)
B
C
çözüm
kavrama sorusu
Ölçüleri toplam 150° olan iki komu açdan biri dierinin iki katndan 30° fazladr.
Küçük açya D dersek büyük aç 2D+30° olur.
Buna göre küçük aç kaç derecedir?
D+3D+30°=150°
D+2D+30°=150°
D++30°3D=120° D=40° bulunur.
Cevap: 40
çözüm
kavrama sorusu
Ölçüleri toplam 220° olan iki açnn birbirine oran
Küçük açya D büyük açya Ediyelim.
5
olduuna
6
D
E
göre, küçük aç kaç derecedir?
5
6
ise D=5k ve E=6k dr.
D+E=5k+6k=220° ise
11k=220° k=20° bulunur.
Küçük aç D=5k ise D=5.20°=100° bulunur.
Cevap: 100
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
364
¤¤¦¤Ú¤Ú
Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar
Test / 2
soru 1
soru 5
D:
dik açdr.
E:
doru açdr.
T:
tam açdr.
M:
dar açdr.
O:
geni açdr.
Ölçüleri toplam 82°, ölçüleri fark 2° olan iki açdan büyük
olan kaç derecedir?
A) 44
B) 43
C) 42
D) 41
E) 40
Yukarda verilen aç türlerinin doru sralan aadakilerden hangisidir?
A) D < E < T < M < O
B) E < T < O < D < M
C) M < D < O < E < T
D) M < D < O < T < E
E) M < D < E < O < T
soru 6
Toplamlar 130° olan iki açdan büyük olan küçük açnn üç
katndan 10° fazla olduuna göre, küçük aç kaç derecedir?
soru 2
70° dar açdr.
II.
90° dik açdr.
III.
111° geni açdr.
IV.
S doru açdr.
V.
2S tam açdr.
A) 50
Yukarda verilen bilgilerden kaç tanesi dorudur?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
www.kartezyen.com.tr
I.
B) 45
C) 40
D) 35
E) 30
soru 7
D=2x – 10° ve E=3x+35°
soru 3
A
açlar veriliyor.
D
Yanda verilen ekle göre, aada verilenlerden hangisi ya da
D ve E açlarnn toplam tam aç olduuna göre, D kaç derecedir?
E
hangileri dorudur?
A) 62
I.AéBD ve DéBE komu açlardr.
II.DéBC ve AéBD komu açlardr.
III.AéBE ve DéBC komu açlardr.
A) Yalnz I
B
C) 124
D) 128
E) 130
C
B) Yalnz II
D) II ve III
B) 74
C) I ve II
E) I, II ve III
soru 4
soru 8
Ölçüleri toplam 132° olan iki komu açdan biri dierinden
12° fazla olduuna göre büyük aç kaç derecedir?
3
Ölçüleri toplam 140° olan iki açnn birbirine oran
oldu4
una göre, büyük aç kaç derecedir?
A) 72
A) 80
B) 60
C) 58
D) 54
E) 50
B) 78
C) 72
D) 64
E) 60
365
1–C
2–E
3–C
4–A
5–C
6–E
7–C
8–A
Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar
Bütünler Açılar:
Tümler Açılar:
C
A
D
a+b=90°
b
B
a+b=180°
b
A
a
C
a
O
B
AéOB tam aç (180°), m(AéOC)=E ve m(CéOB)=D olmak üzere, ölçüleri toplam 180° olan iki açya bütünler açlar denir.
AéBC dik aç (90°), m(AéBD)=E ve m(DéBC)=D olmak üzere, ölçüleri toplam 90° olan iki açya tümler açlar denir.
D+E=180° ise D ve E birbirinin bütünleridir.
D+E=90° ise D ve E birbirinin tümleridir.
çözüm
kavrama sorusu
Büyük açya D dersek küçük aç 90° – D olur.
Tümler iki açdan birisinin ölçüsü dierinin 5 kat olduuna göre,
büyük açnn ölçüsü kaç derecedir?
6D=5(90° – D)
6D=5.90° – 5D
6D=450°
6D=75° bulunur.
Cevap: 75
çözüm
kavrama sorusu
Küçük açya D dersek büyük aç 180° – D olur.
Bir açnn ölçüsü bütünlerinin ölçüsünün 6 katndan 40° fazla olduuna göre, küçük aç kaç derecedir?
180° – D=6D+40° eitliinden
7D=140°
7D=20° bulunur.
Cevap: 20
çözüm
kavrama sorusu
Tümlerinin bütünlerine oran
Açnn ölçüsü D olsun.
5
olan aç kaç derecedir?
14
D açsnn tümleri (90° – D) ve bütünleri (180° – D) dr.
90q D
180q D
5
eitliinden
14
14.(90° – D)=5(180° – D)
14.90 – 14D=5.180° – 5D
114.90 – 9D=14.90° – 5.180°
114.90 – 9D=90°.(14 – 10)
114.90 – 9D=90°.4
114.90 – 9D=40° bulunur.
Cevap: 40
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
366
¤¤¦¤Ú¤Ú
Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar
Test / 3
soru 1
soru 5
Aada verilen aç çiftlerinden hangisi tümler aç çifti deildir?
1
Bütünler iki açnn oran
4
derecedir?
A) 20° ve 70°
A) 24
B) 37° ve 53°
D) 63° ve 27°
C) 40° ve 50°
B) 36
olduuna göre, küçük aç kaç
C) 72
D) 96
E) 144
E) 68° ve 23°
soru 2
soru 6
D=27° olduuna göre, D açsnn tümleri kaç derecedir?
Tümleri ile bütünlerinin toplam 210° olan aç kaç derecedir?
A) 63
A) 150
C) 67
D) 73
E) 83
B) 90
C) 60
D) 40
E) 30
www.kartezyen.com.tr
B) 64
soru 3
soru 7
Tümler iki açnn fark 16° olduuna göre, küçük aç kaç derecedir?
Tümleri ile bütünlerinin oran
A) 18
A) 63
B) 53
C) 37
D) 33
B) 24
11
olan aç kaç derecedir?
26
C) 36
D) 124
E) 156
E) 27
soru 4
soru 8
Tümler iki açdan birinin ölçüsü dierinin ölçüsünün 2 katndan 24° fazla olduuna göre, küçük aç kaç derecedir?
1
Ölçüsü bütünleri ile tümlerinin farknn
ü kadar olan aç3
nn tümleri kaç derecedir?
A) 72
A) 50
B) 48
C) 24
D) 22
E) 18
B) 45
C) 35
D) 30
E) 20
367
1–E
2–A
3–C
4–D
5–B
6–E
7–B
8–D
Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar
çözüm
kavrama sorusu
D
D
A
A
a
B
a+30°
B
C
C
Yukardaki ekilde m(AéBC)=110°, m(DéBC)=m(AéBD)+30°
m(AéBD)=D dersek m(DéBC)=D+30° olur.
olduuna göre, m(AéBD) kaç derecedir?
m(AéBC)=m(AéBD)+m(DéBC)
m(AéBC)=D+D+30°=110° ise
2D=80° ve D=m(AéBD)=40° bulunur.
Cevap: 40
çözüm
kavrama sorusu
ekilde O merkezli tüm açlarn toplam 360° dir.
C
m(AéOB)+m(AéOC)+m(CéOB)=360°
m(AéOB)+120°+90°=360°
m(AéOB)=360° – 210°
120°
m(AéOB)=150° bulunur.
O
A
Cevap: 150
B
Yukardaki ekilde [OC] A [OB], m(AéOC)=120°
olduuna göre, m(AéOB) kaç derecedir?
çözüm
kavrama sorusu
D
D
60°
a
O
A
B
A
C
O
5a
B
C
ekilde A, O ve B noktalar dorusaldr.
m(AéOC)=D dersek m(BéOC)=5D olur.
[OD] A [OC], m(BéOC)=5m(AéOC)
m(AéOC)+m(BéOC)=180° olduundan
olduuna göre, m(AéOD) kaç derecedir?
D+5D=180°
D+6D=180° D=30° dir.
m(AéOC)+m(AéOD)=90° olduundan
D+(AéOD)=90°
30°+m(AéOD)=90°
30°+m(AéOD)=60° bulunur.
Cevap: 60
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
368
¤¤¦¤Ú¤Ú
Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar
soru 1
Test / 4
soru 5
A
C
Yandaki ekilde
A
Yandaki ekilde
m(AéOB)=100°
[OA A [OB
m(AéOC)=m(CéOB)+40°
m(AéOC)=m(BéOC)+28°
olduuna göre,
B) 45
C) 40
B
D) 35
m(BéOC) kaç derecedir?
soru 2
B
E) 30
A) 116
B) 118
C) 120
soru 6
A
C
Yandaki ekilde
m(AéOC)=3m(BéOC)
a+40°
a 20°
olduuna göre,
O
B
olduuna göre,
E) 20
C
Yandaki ekilde
a+24°
A, O ve B noktalar
A
dorusaldr.
3a 4°
O
www.kartezyen.com.tr
soru 3
D) 30
A) 66
B) 65
C) 64
soru 7
Yandaki ekilde
O
A
dorusaldr.
C
m(BéOC)=3D – 4°
m(DéOC)=m(AéOD)+36°
olduuna göre, D kaç derecedir?
olduuna göre, m(AéOB) kaç derecedir?
C) 36
soru 4
D) 30
E) 24
A) 18
B) 24
C
Yandaki ekilde
C) 32
D
m(BéOC)=m(AéOC)+36°
[OB] A [OC]
olduuna göre,
m(CéOD)=m(AéOB) +42°
O
E) 62
Yandaki ekilde
[OA] A [OD]
B
derecedir?
A) 27
D) 36
A
[AO] A [OB]
BéOC açsnn tümleri kaç
B
soru 8
A
E) 53
D
A, O ve C noktalar
B
3a 36°
D) 62
[OD] A [OB]
B) 40
O
B
m(AéOC)=D+24°
A) 50
C
m(BéOC)=3D – 36°
D kaç derecedir?
C) 50
2a 12°
a+24°
m(AéOC)=2D – 12°
m(BéOC) kaç derecedir?
B) 80
E) 152
A
m(AéOB)=D+24°
m(CéOB)=D – 20°
D) 121
ekilde
m(AéOC)=D+40°
A) 90
C
olduuna göre,
O
m(CéOB) kaç derecedir?
A) 50
O
O
B
olduuna göre,
C
m(CéOD) kaç derecedir?
B) 36
C) 42
D) 63
E) 73
A) 126
B) 111
C) 106
D) 98
E) 69
369
1–E
2–D
3–B
4–A
5–D
6–C
7–A
8–B
Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar
Açıortay
Bir açy iki eit parçaya bölen na açortay denir.
Yandaki ekilde [OC n AéOB açsn iki eit açya bölmektedir.
A
[OC açortay ise
m(AéOC)=m(CéOB) dir.
C
O
B
çözüm
kavrama sorusu
C
B
L
C
K
a
b
a
O
A
b
B
O
A
Yukardaki ekilde m(AéOB)=120°
[OK ve [OL açortaylarn çizelim.
olduuna göre, AéOC nin açortay ile CéOB nin açortay arasndaki aç kaç derecedir?
[OK açortay ise m(AéOK)=m(KéOC)=D olur.
[OL açortay ise m(CéOL)=m(LéOB)=E olur.
m(AéOB)=2D+2E=120° D+E=60° dir.
[OK ve [OL açortaylar arasndaki aç KéOL dir.
m(KéOL)=D+E=60° bulunur.
Cevap: 60
Ters Açılar:
d1
b
a
Yandaki ekilde kesien d1 ve d2 dorular dört aç meydana getirir. Bu açlardan zt yönlü
açlara “ters açlar” denir. ekilde D lar ve E lar ters açlardr. Ters açlar birbirine eittir.
a
b
d2
Kenarları Birbirine Paralel Açılar
Kenarlar birbirine paralel açlar birbirine eit veya bütünlerdir.
d1
d4
d1
d1
B
d3
d3
a
a
180° a
B
d2
A
d2
A
d3
a
d4
a
d2
A
a
B
d4
d1 // d4 ve d2 // d3 olduðu için
d1 // d4 ve d2 // d3 olduðu için
d1 // d3 ve d2 // d4 olduðu için
ëA ve ëB açýlarý bütünlerdir.
ëA ve ëB açýlarý eþittir.
ëA ve ëB açýlarý eþittir.
m(ëA)+m(ëB)=180° dir.
m(ëA)=m(ëB)=a dýr.
m(ëA)=m(ëB)=a dýr.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
370
¤¤¦¤Ú¤Ú
Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar
soru 1
Test / 5
soru 5
A
C
Yandaki ekilde
A
x+15°
m(AéOB)=150°
m(AéED)=x+15°
olduuna göre,
m(BéEC)=2x – 30°
AéOC ve CéOB nin açortaylar
B) 85
E
2x 30°
olduuna göre,
O
arasndaki aç kaç derecedir?
A) 90
D
AC BD={E}
B
C) 80
D) 75
E
C
E) 60
A) 60
soru 2
B
x kaç derecedir?
B) 45
C) 40
soru 6
C
D
Yandaki ekilde
E) 35
B
O
M
3x 30°
Yandaki ekilde
A, O ve B dorusal
D) 36
[OB // [KL
[OE n AéOC nin
A
[OD n BéOC nin
O
[OA // [KM
B
m(AéOB)=3x – 30°
açortaylar
m(MéKL)=2x+20°
olduuna göre, m(EéOD) kaç derecedir?
olduuna göre,
2x+20°
A
L
K
B) 85
C) 80
D) 75
soru 3
E) 60
E
C
Yandaki ekilde
B
D
[OD n AéOC nin
www.kartezyen.com.tr
m(AéOB) kaç derecedir?
A) 90
A) 150
B) 130
soru 7
Yandaki ekilde
açortaylardr.
m(BéOA)=2D+20°
O
m(AéOB) kaç derecedir?
D kaç derecedir?
C) 120
soru 4
D) 110
E) 90
F
Yandaki ekilde
[OB n AéOC nin
B) 25
C) 28
Yandaki ekilde
D) 30
E) 36
C
F
D
3x+10°
E
m(CéAB)=x+30°
B
L
C
[AB // [DE
A
m(AéOF)=140°
A) 24
K
[AC // [DF
E
açortaylardr.
3a 10°
soru 8
O
[OE n FéOD nin
A
O
m(MéKL)=3D – 10°
olduuna göre,
B) 130
M
2a+20°
olduuna göre,
A) 150
E) 100
[OB // [KM
[OA // [KL
A
D) 110
B
[OE n BéOC nin
m(DéOE)=60°
C) 120
D
x+30°
m(EéDF)=3x+10°
A
m(CéOD)=30°
olduuna göre,
olduuna göre,
m(CéAB) kaç derecedir?
B
m(BéOE) kaç derecedir?
A) 35
A) 85
B) 80
C) 75
D) 60
B) 36
C) 40
D) 45
E) 65
E) 40
371
1–D
2–A
3–C
4–A
5–B
6–C
7–D
8–E
Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar
Paralel İki Doğrunun Bir Kesenle Yaptığı Açılar
d1 // d2 dorular ile d3 dorusunun kesiimi ile yanda da görülebilecei gibi 8 tane
aç olumaktadr. Açlar ekildeki gibi isimlendirelim. Burada oluan açlar aadaki gibi snflandrlr.
d3
a2
a1
b2
b1
a3
d1
a4
b3
d2
b4
Ters Açılar
Yöndeş Açılar
İç Ters Açılar
Zt yönlere bakan açlardr. Zt yönlü açlar birbirine eittir.
Ayn yönlere bakan açlardr. Yönde açlar birbirine eittir.
d1 ve d2 dorular arasnda kalan ve ters
yönlere bakan açlardr. ç ters açlar birbirine eittir.
D1=D3 , D2=D4
D1=E1 , D2=E2
E1=E3 , E2=E4
D3=E3 , D4=E4
D1=E3 , D4=E2
Dış Ters Açılar
Karşı Durumlu Açılar:
d1 ve d2 dorularnn dnda kalan ve ters yönlere bakan açlardr. D ters açlar birbirine eittir.
Yukardaki ekle göre D1 ile E2 ve D4 ile E3 açlar kar durumlu
açlardr. Kar durumlu açlarn toplam 180° dir.
D3=E1 , D2=E4
D1+E2=180° ve D4+E3=180° dir.
Yukarda verilen ve özel olarak isimlendirilen açlarn özelliklerini ezberlemek zorunda deilsiniz. Biraz dikkat ederseniz ekildeki tüm dar
açlarn {D1, D3, E1, E3} birbirine ve tüm geni açlarn {D2, D4, E2, E4} birbirine eit olduunu görebilirsiniz.
Genel olarak iç ters açlar aada gördüünüz gibi dar “z” ya da “
d1
a
” ekillerine benzer ekilde karnza çkacaktr.
b
a
d2
d1
d2
d1
b
a
a
d1 // d2
d1
a
d1
d2
a
d1 // d2
çözüm
kavrama sorusu
A
x+10°
[BA // [CD dir.
B
ekilde oluan ve AéBC ve BéCD açlar iç ters açlar olduu için
(“z” harfinin köeleri) birbirine eittir.
m(AéBC)=m(BéCD)
x+10°=2x – 40°
C
x=50° bulunur.
2x 40°
Cevap: 50
D
Yukardaki ekilde [BA // [CD, m(AéBC)=x+10°, m(BéCD)=2x – 40°
olduuna göre, x kaç derecedir?
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
372
¤¤¦¤Ú¤Ú
Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar
Test / 6
soru 1
a1
d1 // d2 olmak üzere, ekilde
oluan açlar verilmitir.
a2
Buna göre D4 ile d ters
durumlu aç ve E4 ile iç ters
durumlu açlarn toplam
aadakilerden hangisidir?
b1
d1
a3
d1 // d2 // d3 ve d4 // d5
b3
B) 290
soru 6
d3
a2
d3 dorusunun d1 ve d2 ile
oluturduu açlar için aadakilerden hangisi veya
hangileri dorudur?
b1
C) 300
D) 310
d3
E) 340
d2
b3
II. D2 ile E4 iç ters açlardr.
III. D3 ile E4 kar durumlu açlardr.
IV D3 ile E1 iç ters açlardr.
B) Yalnz IV
D) III ve IV
C) I ve II
E) I, II III ve IV
soru 3
E
A
Yandaki ekilde
A
B
F
C
olduuna göre, m(BéCD) kaç derecedir?
A) 26
B) 30
D
olduuna göre,
L
m(AéFE) kaç derecedir?
B) 50
C) 60
D) 90
2x+12°
soru 4
K
C
L
a
A, B, C ve D dorusaldr.
4x 36°
olduuna göre,
A) 48
B) 50
D
B
C) 56
soru 8
D
ekilde
m(BéCD)=2x+12°
m(AéBC) kaç derecedir?
E) 130
E) 40
A
ekilde
m(AéBC)=4x – 36°
50°
D) 36
C
AB // CD
K
C) 32
soru 7
[BA // [CD
m(DéKL)=50°
D
ekilde [BA // [CD, m(AéBC)=36°
E, F, K ve L dorusaldr.
C
B
d1
a3
b4
b2
D4 ile E4 yönde açlardr.
A
D) 58
E) 60
B
2a+10°
Yandaki ekilde
[BA // [CD
KL // MN
m(AéBC)=2D+10°
m(AéBN)=110°
A
m(KéCA)=D kaç derecedir?
B) 80
C) 70
3a 40°
m(BéCD)=3D – 40°
B
M
olduuna göre,
A) 110
N
a
36°
a4
www.kartezyen.com.tr
a1
Yandaki ekilde d1 // d2 dir.
A) 44
L
E) E2+D2
soru 2
A) Yalnz I
d2
K
40°
D+E kaç derecedir?
A) 280
d1
A
olduuna göre,
d2
C) E4+D3
D) E3+D1
b
m(AéKL)=40°
b4
b2
d5
d4
Yandaki ekilde
a4
B) E3+D1
A) E1+D2
I.
soru 5
d3
110°
D) 60
N
olduuna göre,
C
D
m(BéCD) kaç derecedir?
E) 30
A) 90
B) 95
C) 100
D) 105
E) 110
373
1–E
2–E
3–B
4–C
5–A
6–D
7–E
8–E
Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar
çözüm
kavrama sorusu
A
B
m(AéBC) ve m(BéCD) kar durumlu açlar olduu için bütünlerdir.
Yani toplamlar 180° dir.
3a+40°
m(AéBC)+m(BéCD)=180°
3D+40°+D+20°=180°
+D+20°+4D+60°=180°
a+20°
+D+20°++60°4D=120°
C
D
+D+20°++60°4D=30° bulunur.
Cevap: 30
Yukardaki ekilde [BA // [CD, m(AéBC)=3D+40°, m(BéCD)=D+20°
olduuna göre, D kaç derecedir?
çözüm
kavrama sorusu
A
B
A
B
a
a
m(AéBD)=m(CéBE)=D
olsun.
m(AéBC)+m(BéCD)=180°
(kar durumlu açlar)
2D+70°=180°
125°
70°
70°
C
D
C
E
+70°2D=110°
D
E
+70°2D=55° bulunur.
m(AéBD)+m(BéDE)=180° (kar durumlu açlar)
Yukardaki ekilde, [BA // [CE, m(AéBD)=m(CéBD), m(BéCE)=70°
55°+m(BéDE)=180°
olduuna göre, m(BéDE) kaç derecedir?
55°+m(BéDE)=180° – 55°=125° bulunur.
Cevap: 125
çözüm
kavrama sorusu
A
B
A
B
40°
40°
F
C
C
40°
60°
120°
D
F
120°
D
E
E
Yukardaki ekilde, [BA // [CF // [DE, m(AéBC)=40°, m(CéDE)=120°
[BA // [CF ise m(AéBC)=m(BéCF)=40° (iç ters açlar)
olduuna göre, m(BéCD) kaç derecedir?
[CF // [DE ise m(FéCD)+m(CéDE)=180° (kar durumlu açlar)
m(FéCD)+120°=180° ise m(FéCD)=60° bulunur.
m(BéCD)=m(BéCF)+m(FéCD) dir.
m(BéCD)=40°+60°=100° bulunur.
Cevap: 100
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
374
¤¤¦¤Ú¤Ú
Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar
soru 1
Test / 7
A
soru 5
B
Yandaki ekilde
Yandaki ekilde
[BA // [CD
[BA // [EF // [CD
m(AéBC)=m(DéCB)+40°
m(BéEF)=120°
olduuna göre,
m(AéBE)=D+20°
m(BéCD) kaç derecedir?
a
a+20°
120°
E
m(CéBE)=D
C
D
A
B
F
C
D
olduuna göre,
A) 110
B) 100
C) 70
D) 60
m(BéCD) kaç derecedir?
E) 50
A) 100
soru 2
3a 15°
Yandaki ekilde
A
[BA // [CF // [DE
m(DéAB)=3D – 15°
m(AéBC)=110°
A) 44
B) 53
C
C) 60
soru 3
D) 63
E) 70
A
B
120°
Yandaki ekilde
A) 150
B) 140
C) 130
soru 7
D) 120
C
D
m(BéCE) kaç derecedir?
30°
C
124°
olduuna göre,
m(BéCD) kaç derecedir?
C) 60
soru 4
D) 70
E) 80
A
B
A) 86
B) 94
C) 96
soru 8
A
[BA // [CD
a
m(AéBE)=m(EéBC)
E
D) 98
E) 104
B
[BA // [DE
E
D
120°
Yandaki ekilde
Yandaki ekilde
E) 100
B
m(CéDE)=124°
20°
B) 50
E
A
m(AéBC)=30°
olduuna göre,
140°
m(AéBC)=120°
C
m(BéCD)=140°
m(BéCE)=m(EéCD)
olduuna göre,
C
D
B) 60
olduuna göre,
D
m(CéDE) kaç derecedir?
m(BéEC)=D kaç derecedir?
A) 50
D
m(BéCD) kaç derecedir?
[BA // [DE
E
m(AéBC)=120°
A) 40
60°
Yandaki ekilde
[BA // [CD
m(EéCD)=20°
C
F
olduuna göre,
www.kartezyen.com.tr
m(AéBC) kaç derecedir?
B
E) 50
110°
m(CéDE)=60°
a+19°
olduuna göre,
D) 60
B
Yandaki ekilde
[AD // [BC
m(AéBC)=D+19°
C) 70
soru 6
D
A
B) 80
C) 70
D) 80
E) 90
A) 60
B) 70
C) 72
E
D) 80
E) 90
375
1–C
2–D
3–A
4–E
5–B
6–C
7–A
8–D
Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar
çözüm
kavrama sorusu
A
B
A
B
30°
30°
[CF çizelim.
m(AéBC)=m(BéCF)=30° (iç ters açlar)
30°
C
F
[CF // [BA // [DE olacak ekilde
C
70°
[CF // [DE ise
m(FéCD)=m(CéDE)=70° (iç ters açlar)
m(BéCD)=m(BéCF)+m(FéCD)
70°
70°
D
D
E
E
m(BéCD)=30°+70°=100° bulunur.
Cevap: 100
Yukardaki ekilde [BA // [DE, m(AéBC)=30°, m(CéDE)=70°
olduuna göre, m(BéCD) kaç derecedir?
çözüm
kavrama sorusu
A
A
B
[CF // [BA // [DE olacak ekilde
B
120°
[CF çizelim.
120°
[BA // [CF olduu için
60°
F
C
50°
130°
130°
E
D
E
m(AéBC)+m(BéCF)=180° (kar
C durumlu açlar)
120°+m(BéCF)=180°
120°+m(BéCF)=60° bulunur.
D
[CF // [DE paralel olduu için
Yukardaki ekilde, [BA // [DE, m(AéBC)=120°, m(EéDC)=130°
m(FéCD)+m(EéDC)=180° (kar durumlu açlar)
olduuna göre, m(BéCD) kaç derecedir?
m(FéCD)+130°=180° ise m(FéCD)=50° dir.
m(BéCD)=m(FéCD)+m(BéCF)
m(BéCD)=50°+60°=110° dir.
Cevap: 110
çözüm
kavrama sorusu
A
B
A
B
32°
32°
ekilde [CF çizelim.
32°
C
F
[CF // [BA // [DE olacak
C
58°
m(BéCF)=m(AéBC)=32°
(iç ters açlar)
m(FéCD)+m(EéDC)=180°
E
(kar durumlu açlar)
122°
122°
D
E
m(FéCD)+122°=180°
D
+122°m(FéCD)=58°
Yukardaki ekilde, [BA // [DE, m(AéBC)=32°, m(EéDC)=122°
m(BéCD)=m(BéCF)+m(FéCD)
olduuna göre, m(BéCD) kaç derecedir?
m(BéCD)=32°+58°=90° bulunur.
Cevap: 90
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
376
¤¤¦¤Ú¤Ú
Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar
soru 1
Test / 8
A
soru 5
B
36°
Yandaki ekilde
[BA // [DE
Yandaki ekilde
C
[BA // [DE
a
C
m(AéBC)=36°
A
B
[CD] A [DE
m(CéDE)=43°
m(AéBC)=m(DéCB)+30°
43°
olduuna göre,
m(BéCD)=D kaç derecedir?
A) 89
B) 79
olduuna göre,
E
C) 72
soru 2
D
D) 69
E) 66
A
A) 114
B) 120
3a
m(AéBC)=3D
C
a+10°
m(BéCD)=D+10°
2a
m(EéDC)=2D
D
B) 48
C) 36
D) 24
soru 3
E) 18
A
B
Yandaki ekilde
[BA // [DE
D
olduuna göre,
www.kartezyen.com.tr
m(AéBC) kaç derecedir?
A) 54
3a 20°
m(CéDE)=3D – 20°
E
olduuna göre,
A) 110
B) 120
C) 130
soru 7
D) 140
A
E) 150
B
50°
Yandaki ekilde
C
130°
m(AéBC)=50°
olduuna göre,
m(BéCD)=130°
m(CéDE) kaç derecedir?
olduuna göre,
D
A) 124
E
m(AéBC) kaç derecedir?
[BA // [DE
C
m(BéCD)=m(AéBC)+62°
A
2a+10°
m(AéBC)=2D+10°
C
E) 136
B
[BA // [DE
[BC] A [CD]
D) 130
Yandaki ekilde
[BA // [DE
E
C) 124
soru 6
B
Yandaki ekilde
D
m(DéCB) kaç derecedir?
B) 93
C) 62
soru 4
D) 51
A
E
m(CéDE) kaç derecedir?
E) 31
A) 100
B) 105
D
C) 110
soru 8
B
Yandaki ekilde
m(EéDC)=106°
C
E
m(AéBC) kaç derecedir?
A
C
120°
m(CéDA)=m(AéDE)
m(AéBC)=130°
106°
olduuna göre,
E) 124
130°
[BA // [DE
126°
m(BéCD)=126°
D) 120
B
Yandaki ekilde
[BA // [DE
E
m(BéCD)=120°
D
D
olduuna göre,
E
m(BéAD) kaç derecedir?
A) 108
B) 118
C) 124
D) 128
E) 132
A) 65
B) 60
C) 55
D) 50
E) 45
377
1–B
2–A
3–C
4–D
5–B
6–C
7–A
8–C
Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar
u ana kadar bu konu ile ilgili çözdüümüz sorularda aadaki üç temel özellii kullandmz farketmisinizdir.
d1
d1
a
d1
a
b
q
b
d2
a
q
d2
d1 // d2 ise q=a+b
b
d2
d1 // d2 ise a+b+q=360°
d1 // d2 ise a+b=180°
çözüm
kavrama sorusu
A
A
B
C
[CK // [DL // [BA // [EF olacak ekilde [CK ve [DL
B
22°
22°
C
92°
EéDL ve DéEF açlar bütünlerdir.
70°
110°
140°
150°
D
E
çizelim.
K
D
L
30° 150°
E
F
F
m(EéDL)=180° – 150°=30°
ekilde [BA // [EF, m(BéCD)=92°, m(CéDE)=140°, m(DéEF)=150°
m(CéDL)=m(CéDE) – m(EéDL) ise m(CéDL)=140° – 30°=110°
olduuna göre, m(AéBC) kaç derecedir?
KéCD ve CéDL bütünlerdir. m(KéCD)=180° – 110°=70°
m(BéCK)=m(BéCD) – m(KéCD) ise m(BéCK)=92° – 70°=22°
m(AéBC)=m(BéCK)=22° (iç ters açlar)
Cevap: 22
çözüm
kavrama sorusu
A
B
50°
C
D
40°
D
100°
ekilde [CK ve [DL çizelim.
LéDE ve DéEF açlar bütünlerdir.
C
40°
m(LéDE)=180° – m(DéEF)
L
m(LéDE)=180° – 120°=60°
60°
m(CéDL)=m(CéDE) – m(LéDE)
120°
120°
E
50°
50°
K
[CK // [DL // [BA // [EF olacak
A
B
m(CéDL)=100° – 60°=40°
E
F
F
m(KéCD)=m(LéDC)=40° (iç ters açlar)
ekilde [BA // [EF, m(AéBC)=50°, m(CéDE)=100°, m(DéEF)=120°
m(BéCK)=m(AéBC)=50° (iç ters açlar)
olduuna göre, m(BéCD) kaç derecedir?
m(BéCD)=m(KéCD)+m(BéCK)
m(BéCD)=40°+50°=90° bulunur.
Cevap: 90
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
378
¤¤¦¤Ú¤Ú
Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar
soru 1
Test / 9
A
soru 5
B
10°
Yandaki ekilde
[BA // [FK
B
50°
Yandaki ekilde
20°
C
A
m(AéBC)=10°
150°
m(BéCD)=20°
m(DéEF)=150°
m(AéBC)=50°
E
m(FéED)=110°
F
olduuna göre,
150°
m(CéDE)=150°
70°
m(EéFK)=70°
a
C
[BA // [EF
D
110°
olduuna göre,
K
D
F
E
C) 135
D) 140
m(BéCD)=D kaç derecedir?
m(CéDE) kaç derecedir?
A) 120
B) 110
soru 2
C) 120
D) 130
A
soru 6
B
D
m(BéCD) kaç derecedir?
A) 160
B) 150
C) 140
soru 3
D) 130
A
E) 120
K
130°
Yandaki ekilde
L
[KA // [NC
C
130°
120°
m(DéEF)=120°
E
F
olduuna göre,
D
m(CéDE)=130°
140°
m(FéED)=140°
a
[BA // [EF
m(AéBC)=50°
130°
m(CéDE)=130°
A
Yandaki ekilde
C
[BA // [EF
m(AéBC)=120°
B
50°
120°
Yandaki ekilde
E) 150
E) 140
www.kartezyen.com.tr
A) 100
B) 130
E
olduuna göre,
F
m(BéCD)=D kaç derecedir?
A) 90
B) 100
C) 110
soru 7
D) 120
B
E) 130
A
60°
Yandaki ekilde
110°
[BA // [EF
C
[CD] A [ED]
m(AéKL)=130°
M
m(CéNM)=120°
olduuna göre,
a
m(BéCD)=110°
N
C
m(KéLM)+m(LéMN) kaç derecedir?
D
m(AéBC)=60°
120°
E
olduuna göre,
F
m(DéEF)=D kaç derecedir?
A) 240
B) 270
C) 290
D) 300
E) 310
A) 155
soru 4
B
C
[BA // [EF
A
D) 130
B
m(DéEF)=20°
20°
m(BéCD)=D
b
b
F
C) 520
50°
m(AéBC)=D
D) 500
E
m(CéDE)=E
olduuna göre, D+E toplam kaç derecedir?
B) 530
D
m(DéEF)=50°
E
m(CéDE)=E
C
150°
[BA // [EF
m(BéCD)=150°
D
E) 120
a
Yandaki ekilde
a
m(AéBC)=30°
A) 590
C) 140
soru 8
A
30°
Yandaki ekilde
B) 150
F
olduuna göre, D+E toplam kaç derecedir?
E) 490
A) 320
B) 300
C) 280
D) 260
E) 240
379
1–B
2–B
3–C
4–E
5–B
6–D
7–C
8–D
Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar
çözüm
kavrama sorusu
Yandaki ekilde
C
K
[BA // [DE
A
60°
120°
60°
m(AéBC)=120°
A
m(BéCD)=60°
B
[CK // [BA // [DE olacak ekilde [CK
çizelim.
C
KéCB ve AéBC bütünler açlardr.
60°
120°
m(KéCB)=180° – 120°=60°
B
olduuna göre, m(CéDE)
kaç derecedir?
KéCD ve CéDE bütünler açlardr.
m(CéDE)+m(KéCD)=180°
60°
E
D
E
+120°m(CéDE)=60° bulunur.
Cevap: 60
C
N
çözüm
kavrama sorusu
C
M
30°
a
150°
A
m(CéDE)+120°=180°
D
A
B
110°
a
150°
lim.
MéCB ve AéBC açlar bütün-
B
120°
D
MN // [BA // [EF olacak ekilde MN dorusunu çize-
lerdir.
m(MéCB)=180° – 150°=30°
120°
D
130°
130°
E
F
E
ekilde, [BA // [EF, m(AéBC)=150°, m(CéDE)=120°, m(DéEF)=130°
F
m(NéCD)+m(CéDE)+m(DéEF)=360°
olduuna göre, m(BéCD)=D kaç derecedir?
m(NéCD)+120°+130°=360°
+120°+130°m(NéCD)=110° dir.
m(MéCB)+m(BéCD)+m(NéCD)=180°
30°+D+110°=180°
30°++110°m(BéCD)=D=40° bulunur.
Cevap: 40
çözüm
kavrama sorusu
A
K
B
60°
a
N
70°
P
Sa yöne bakan açlarn toplam
sol yöne bakan açlarn toplamna eittir.
B
a
N
P
70°
40°
C
M
K
30°
50°
L
M
60°
Paralel iki doru arasnda zikzak
çizerek elde edilen açlarn ayn
yönlere bakanlarn toplam birbirine eittir.
A
30°
50°
L
Z
40°
D
C
Z
D
Yukardaki ekilde, AB // CD, m(AéKL)=30°, m(KéLM)=50°,
50°+m(MéNP)+40°=30°+60°+70°
m(LéMN)=60°, m(NéPZ)=70°, m(PéZD)=40°
D+90°=160° ise D=70° bulunur.
Cevap: 70
olduuna göre, m(MéNP)=D kaç derecedir?
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
380
¤¤¦¤Ú¤Ú
Temel Kavramlar ve Doğruda Açılar
soru 1
A
Test / 10
soru 5
B
96°
Yandaki ekilde
E
C
Yandaki ekilde
25°
[BA // [DE
[BA // [CD
A
m(BéCD)=25°
m(AéBC)=96°
54°
m(EéCD)=54°
C
olduuna göre,
D
B) 44
D) 40
soru 2
A) 124
E) 36
51°
Yandaki ekilde
E
E
D) 150
A
B
120°
m(AéBC)=120°
F
C
130°
E
m(BéCD)=130°
olduuna göre,
125°
m(FéED)=125°
C
B) 42
C) 40
D) 38
E) 36
soru 3
C
Yandaki ekilde
25°
130°
A
[BA // [DE
B
m(AéBC)=130°
m(EéDC) kaç derecedir?
A) 60
B) 55
D
m(AéBC)=150°
A
120°
B
150°
olduuna göre,
C
m(BéCD) kaç derecedir?
C) 115
D) 120
E) 124
A) 30
soru 4
E
D
Yandaki ekilde
A
[BA // [DE
130°
B
B) 35
C) 40
soru 8
A
D) 45
C
40°
Yandaki ekilde
100°
m(AéBC)=100°
m(CéLB)=m(BéLK)
m(EéDC)=130°
m(LéCD)=40°
L
K
100°
D
140°
m(CéDE)=100°
C
m(BéCD) kaç derecedir?
E) 50
B
[BA // [LK // [EF
olduuna göre,
F
140°
[EF // [BA
olduuna göre,
B) 110
E) 40
Yandaki ekilde
m(FéED)=140°
D
D) 45
E
m(EéDC)=120°
E
C) 50
soru 7
m(BéCD)=25°
m(EéDC) kaç derecedir?
D
olduuna göre,
www.kartezyen.com.tr
m(DéCB) kaç derecedir?
A) 105
E) 154
[BA // [EF
93°
m(EéDC)=93°
C) 144
Yandaki ekilde
D
m(AéBC)=51°
B) 134
soru 6
B
A
A) 46
D
m(AéBC) kaç derecedir?
C) 42
[BA // [DE
61°
olduuna göre,
m(BéCE) kaç derecedir?
A) 53
B
m(CéDE)=61°
E
F
m(DéEF)=140°
olduuna göre, m(AéBL) kaç derecedir?
A) 40
B) 44
C) 48
D) 50
E) 56
A) 150
B) 140
C) 130
D) 120
E) 100
381
1–C
2–B
3–A
4–D
5–C
6–B
7–E
8–C
ÜÇGENDE AÇILAR
ABC bir üçgen olmak üzere,
M
M, A ve C dorusaldr.
A
q
B, C ve L dorusaldr.
y
A, B ve K dorusaldr.
B
x, y ve z üçgenin iç açlar ve D, E ve T üçgenin d açlar olmak üzere,
b
z
x
C
a
Herhangi bir üçgende;
L
K
iç açlar toplam: x+y+z=180°
d açlar toplam: D+E+T=360°
çözüm
kavrama sorusu
Bir üçgenin iç açlar toplam 180° dir.
A
m(BéAC)+m(AéBC)+m(AéCB)=180°
m(BéAC)+m(AéBC)+42°=180°
m(BéAC)+m(AéBC)=180° – 42°
42°
B
m(BéAC)+m(AéBC)=138°
C
Cevap: 138
m(AéCB)=42°, olduuna göre,
m(BéAC)+m(AéBC) toplam kaç derecedir?
çözüm
kavrama sorusu
Bir üçgenin iç açlar toplam 180° dir.
A
m(AéBC)+m(BéAC)+m(BéCA)=180°
°
5
a
2
3D – 10°+2D – 5°+110°=180°
5D+95°=180°
95°+5D=85° ise x=17°
110°
3a10°
B
Cevap: 17
C
m(AéBC)=3D – 10°, m(BéAC)=2D – 5°, m(BéCA)=110°
olduuna göre, D kaç derecedir?
çözüm
kavrama sorusu
Bir üçgenin d açlar toplam 360° dir.
K
120°
A
m(LéBM)+m(KéAL)+m(KéCM)=360°
m(LéBM)+120°+110°=360°
m(LéBM)=360° – 230°
B
110°
C
m(LéBM)=130° bulunur.
Cevap: 130
M
L
m(KéAL)=120°, m(KéLM)=110°
olduuna göre, m(LéBM) kaç derecedir?
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
382
¤¤¦¤Ú¤Ú
Üçgende Açılar
Test / 1
soru 1
A
m(AéBC)=D°
a+15°
soru 5
A
m(AéBC)+m(AéCB)=2.m(BéAC)
m(BéCA)=D+3°
olduuna göre,
m(BéAC)=D+15°
m(BéAC) kaç derecedir?
a
olduuna göre,
m(AéCB) kaç derecedir?
B
A) 63
C) 57
B) 60
a+3°
B
C
D) 54
soru 2
E) 43
A) 66
olduuna göre,
A) 108
66°
m(AéBC) kaç derecedir?
E) 50
B) 50
C) 44
soru 3
D) 40
E) 36
A
D
m(BéAC)=60°
B) 118
C) 124
D) 126
E) 128
C
60°
www.kartezyen.com.tr
B
soru 7
K
A
m(KéCM)=120°
m(AéCB)=40°
m(LéBM)=140°
m(DéEB)=50°
olduuna göre,
50°
olduuna göre,
B
m(BéDE) kaç derecedir?
B) 48
soru 4
40°
m(KéAL) kaç derecedir?
C
E
C) 45
D) 44
E) 36
B
L
A) 130
B) 124
120°
C M
140°
C) 120
D) 110
E) 100
soru 8
A
36°
m(AéBD)=m(CéBD)
N
A
m(KéBN)=120°
D
m(BéAC)=36°
m(KéCA)=80°
m(AéCB)=32+°
olduuna göre,
32°
olduuna göre,
m(BéDC) kaç derecedir?
A) 112
D) 54
Bir ABC üçgeninin en küçük iç açs 52° olduuna göre, en
büyük d açs kaç derecedir?
m(BéAC)= m(AéBC)+14°
A) 50
C) 58
soru 6
A
m(AéCB)=66°
A) 60
B) 60
C
B) 108
B
C
m(NéAC) kaç derecedir?
120°
K
C) 100
D) 96
E) 92
A) 140
B) 136
C) 130
80°
B
C
D) 124
E) 120
383
1–C
2–B
3–A
4–E
5–B
6–E
7–E
8–A
Üçgende Açılar
Bir üçgende iki iç açnn toplam kendilerine komu olmayan bir d açya
eittir. Buna göre, ABC üçgeninde
K
b+q
A
m(AéBC)=E, m(AéCB)=T ve m(BéAC)=D olmak üzere,
a
m(KéCM)=D+E
B
b
a+b
q
C
a+q
m(MéBL)=D+T
M
m(LéAK)=E+T
L
çözüm
kavrama sorusu
Bir d aç kendisine komu olmayan iki iç açnn toplamna eittir.
D
A
m(DéAB)=m(DéCB)+m(AéBC)
m(DéAB)=40°+65°
m(DéAB)=105°
Cevap: 105
65°
40°
B
C
m(DéCB)=40°, m(AéBC)=65°
olduuna göre, m(DéAB) kaç derecedir?
çözüm
kavrama sorusu
A
A
m(BéAD)=D dersek
m(AéDC)=D+40° olur.
a
26°
ADC üçgeninin iç açlar top-
26°
lamn yazalm.
D+40°+44°+26°=180°
140°
44°
K
B
D
C
K
B
a+40°
44°
D
+40°+44°+26°D=70°
C
m(AéCK)=44°, m(CéAD)=26°, m(AéDC)=m(BéAD)+40°
m(AéBK) açs ABC üçgeninin
d açs olduu için,
m(AéBK)=m(AéCK)+m(BéAC) dir.
olduuna göre, m(AéBK) kaç derecedir?
m(AéBK)=44°+70°+26° m(AéBK)=140°
Cevap: 140
çözüm
kavrama sorusu
A
36° E
110°
m(DéAC)+m(AéCB)+m(AéDC)=180°
36° E
110°
K
36°+ m(AéCB)+90°=180°
m(AéCB)=54°
K
D
C
B
AéEB açs, EBC üçgeninin d açsdr.
54°
56°
B
ADC üçgeninin iç açlar toplamndan
A
D
C
[AD] A [BC], m(AéEB)=110°, m(DéAC)=36°
Bir d aç kendisine komu olmayan iki iç açnn toplamna eittir.
olduuna göre, m(EéBC) kaç derecedir?
m(AéEB)=m(EéBC)+m(AéCB)
110°=m(EéBC)+54° ise m(EéBC)=110° – 54°=56° bulunur.
Cevap: 56
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
384
¤¤¦¤Ú¤Ú
Üçgende Açılar
Test / 2
soru 1
soru 5
A
m(BéAC)=42°
m(AéBD)=120°
olduuna göre,
m(KéLD)=78°
m(AéCD) kaç derecedir?
B) 109
C) 107
D
m(AéCD) – m(BéKL) kaç derecedir?
D
C
D) 104
soru 2
m(FéDB)=25°
m(AéED)=m(BéAE)+18°
m(AéCD)=106°
36°
B) 120
C) 106
soru 3
C
D) 100
E) 98
A
A) 76
m(AéCB)=26°
m(FéDC)=24°
m(EéAC) – m(BéAD)=11°
m(DéFA)=111°
34°
26°
A) 3
B) 4
D) 6
120°
E) 7
soru 4
A
106°
B) 74
m(DéBA) kaç derecedir?
A) 124
B) 120
C) 115
E) 68
F
D
C
E) 105
C
D) 99
38°
m(BéAC) kaç derecedir?
A) 78
E) 96
D
olduuna göre,
D) 110
D
A
m(BéCD)=16°
A) 125
C) 110
B
soru 8
m(AéBK)=140°
140°
24°
D
B) 120
m(AéBC)=38°
B
D) 70
E
m(BéAD)=m(DéAC)
K
C) 71
25°
12°
m(AéDC)= m(AéCD)
m(AéDK) kaç derecedir?
C
A
[AC] A [CK]
olduuna göre,
E
olduuna göre,
C
E
C) 5
F
soru 7
m(BéAC)=12°
B
D
m(AéEB) – m(AéDC) kaç derecedir?
E) 9
A
B
m(BéAC) kaç derecedir?
m(AéBC)=34°
olduuna göre,
C
D) 12
olduuna göre,
www.kartezyen.com.tr
E
m(AéBD) kaç derecedir?
A) 124
L
C) 16
m(BéFD)=120°
m(AéCD)=36°
B
B) 18
soru 6
22°
D
78°
B
E) 101
A
m(EéAC)=22°
120°
olduuna göre,
A) 20
olduuna göre,
K
m(BéAC)=66°
67°
B
A) 112
66°
ABC üçgen
42°
m(AéBD)=67°
A
B) 72
16°
B
C) 70
D) 68
C
E) 62
385
1–B
2–E
3–A
4–C
5–D
6–C
7–D
8–B
Üçgende Açılar
İkizkenar Üçgende Açı
Bu bölümde ikizkenar üçgene ait açsal özellikleri inceleyeceiz.
A
ABC ikizkenar üçgeninde
|AB|=|AC| olduundan bu kenarlar gören taban açlar da birbirine eittir.
//
//
b
m(AéBC)=m(AéCB)=D ve tepe noktas m(BéAC)=E dr.
a
a
B
C
çözüm
kavrama sorusu
A
A
30° 40°
40°
//
//
a
40°
40°
D
B
D
C
a
B
C
|AB|=|AC|, m(AéDC)=m(BéAC)=40°
|AB|=|AC| ise m(AéBC)= m(AéCD)=D diyelim.
olduuna göre, m(DéAB) kaç derecedir?
ABC üçgeninde iç açlar toplam 180° dir.
m(AéBC)+m(AéCD)+m(BéAC)=180° ise D+D+40°=180° D=70°
AéBC açs ADB üçgeninde d açdr.
m(AéBC)=m(AéDC)+m(DéAB)
70°=40°+m(DéAB) ise m(DéAB)=30°
Cevap: 30
çözüm
kavrama sorusu
A
A
40°
E
E
F
F
70°
20°
B
C
D
70°
B
20°
C
[DE] A [AB], |AB|=|AC|, m(EéDB)=20°
EBD üçgeninde iç açlar toplamn yazalm.
olduuna göre, m(BéAC) kaç derecedir?
m(EéBD)+m(BéED)+m(EéDB)=180°
D
m(EéBD)+90°+20°=180° ise m(EéBD)=70°
|AB|=|AC| ise m(AéBC)=m(AéCB)=70° dir.
ABC üçgeninde iç açlar toplamn yazalm.
m(BéAC)+m(AéBC)+m(AéCB)=180°
m(BéAC)+70°+70°=180° ise m(BéAC)=40° dir.
Cevap: 40
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
386
¤¤¦¤Ú¤Ú
Üçgende Açılar
Test / 3
soru 1
A
Taban açs 54° olan ikizkenar üçgenin tepe açs kaç derecedir?
|AD|=|AC|
40°
A) 76
m(DéAC)=40°
B) 74
C) 72
D) 68
E) 66
//
|AB|=|BC|
olduuna göre,
B
m(AéBC) kaç derecedir?
A) 32
soru 2
B) 35
|AB|=|AC|
m(AéCB)+m(BéAC)=116°
|BC|=|DC|
//
//
|AB|=|AC|
m(BéAC) kaç derecedir?
olduuna göre,
C
D) 62
E) 74
A
soru 3
//
20°
//
22°
A) 10
B) 12
F
D
m(BéAC) kaç derecedir?
E) 86
A
soru 4
B) 75
10°
B
C
C) 70
D) 65
soru 8
E) 60
A
52°
|AC|=|DC|
|BD|=|AD|
m(DéAC)=52°
olduuna göre,
B
//
m(BéAC)=105°
D
C
m(BéAD) kaç derecedir?
B) 30
/
//
//
//
ABC üçgen
|AD|=|AC|=|BD|
A) 28
A) 80
110°
E
m(DéFC)=110°
D) 96
E) 20
A
olduuna göre, m(DéAC) kaç derecedir?
C) 104
D) 18
soru 7
olduuna göre,
B) 124
C
C) 16
|AD|=|AC|, m(AéBC)=22°, m(BéAD)=20°
A) 130
B
m(FéDC)=10°
C
E) 42
96°
|AB|=|AC|
D
B
m(BéAC) kaç derecedir?
www.kartezyen.com.tr
B
C) 52
D) 40
D
m(AéDC)=96°
B) 32
C) 38
C
A
olduuna göre,
A) 26
D
soru 6
A
//
soru 5
olduuna göre,
B
//
/
D
C
m(AéCB) kaç derecedir?
C) 32
D) 34
E) 56
A) 70
B) 60
C) 40
D) 36
E) 24
387
1–C
2–C
3–D
4–C
5–D
6–B
7–E
8–C
Üçgende Açılar
Baz durumlarda, üçgenin ikizkenar olduu soruda belirtilmez ama soru içerisinde dolayl olarak verilir. Bunu anlayabilmek için öncelikle
ikizkenar üçgenin aada verilen en temel özelliklerinin bilinmesi gerekir.
A
A
b b
a
B
A
A
a a
a a
a
C
H
B
ABC üçgeninde |AB|=|AC|
olsun. Bu durumda tepe noktasýndan tabana inilen dikme
bu üçgenin yüksekliði, açýortayý ve kenar ortayýdýr.
|AH|=ha=Va=nA dýr.
H
C
B
C
N
B
[AN] yukarýdaki þekilde açýortay (nA) ve kenarortaydýr (Va).
Bu durumda ABC ikizkenar
üçgendir.
|AB|=|AC| olur.
[AH] yukarýdaki þekilde yükseklik (ha) ve kenarortaydýr
(Va).
Bu durumda ABC ikizkenar
üçgendir.
|AB|=|AC| olur.
C
D
[AD] yukarýdaki þekilde açýortay (nA) ve yüksekliktir (ha).
Bu durumda ABC ikizkenar
üçgendir.
|AB|=|AC| olur.
çözüm
kavrama sorusu
A
A
[AH] hem yükseklik hem de kenarortay olduu için ABC ikizkenar üçgendir.
Yani |AB|=|AC| dir.
/
/
38°
|AB|=|AC| ise
//
B
H
//
52°
52°
C
B
[AH] A [BC], |BH|=|HC|, m(AéCB)=52°
//
m(AéBC)=m(AéCB)=52° dir.
52°
//
H
C
ABH üçgeninde iç açlar toplamn yazalm.
m(BéAH)+m(AéBC)+m(AéHB)=180°
olduuna göre, m(BéAH) kaç derecedir?
m(BéAH)+52°+90°=180°
+52°+90°m(BéAH)=38° bulunur.
Cevap: 38
çözüm
kavrama sorusu
A
A
40°
40°
//
//
a
|AB|=|AC| ise
m(AéBC)=m(AéCB)=D+E dir.
//
//
D
m(DéBC)=E olsun.
D
a
a
B
C
B
b
Buna göre, m(AéCD)=E olur.
ABC üçgeninde iç açlar toplamn
a
b
yazarsak
C
m(AéBC)+m(AéCB)+m(BéAC)=180°
D+E+D+E+40°=180°
|AB|=|AC|, m(AéBD)=m(DéCB)=D, m(BéAC)=40°
2(D+E)=140°
olduuna göre, m(BéDC) kaç derecedir?
D+E=70°
BDC üçgeninde iç açlar toplamn yazarsak
m(DéBC)+m(BéCD)+m(BéDC)=180°
E+D+m(BéDC)=180°
70°+m(BéDC)=180° ise m(BéDC)=110° bulunur.
Cevap: 110
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
388
¤¤¦¤Ú¤Ú
Üçgende Açılar
Test / 4
soru 1
soru 4
Aada verilen üçgenlerin hangisinde
Aada verilen üçgenlerin hangisinde ya da hangilerinde
|AB|=|AC| dir?
m(AéBC)=m(AéCB)=46°
I
eitlii daima salanr?
A)
B)
A
46°
N
C)
A
46°
C
//
B
H
D)
//
H
III
C
A
B
46°
46°
C
C
B
D
IV
A
B
N
//
B
//
H
A) Yalnz I
C
C
B) Yalnz II
A
B
H
www.kartezyen.com.tr
D) I, II ve III
E)
C
A
H
B
A
A
B
B
II
A
46°
C
A
soru 2
C
C) II ve IV
E) I, II, III ve IV
soru 5
A
|AB|=|BC|
m(BéAD)=m(AéCD)
m(AéBC)=50°
[AH] A [BC]
olduuna göre,
|BH|=|HC|
m(AéDC) kaç derecedir?
50°
D
B
C
m(AéBC)=53°
A) 115
olduuna göre,
53°
m(HéAC) kaç derecedir?
A) 53
B) 43
B
//
C) 37
H
//
D) 130
E) 140
E) 33
soru 6
A
A
|BD|=|AD|
//
|AD|=|DC|
m(AéBD)=m(CéBD)=36°
m(BéAD)=m(AéCB)
D
m(AéDC)=100°
olduuna göre,
C) 50
100°
m(DéAC) kaç derecedir?
B
B) 54
olduuna göre,
//
36°
36°
m(BéCA) kaç derecedir?
A) 60
C) 125
C
D) 35
soru 3
B) 120
C
D) 44
E) 36
D
B
A) 40
B) 36
C) 32
D) 30
C
E) 24
389
1–B
2–C
3–B
4–D
5–A
6–D
Üçgende Açılar
Baz sorularda “Açortay” bilgisi soruyu çözmemize yardmc olur. Bir doru parçasnn ya da nn açortay olduu soruda açk bir ekilde
verilebilecei gibi dolayl bir yoldan da verilebilir. Bununla ilgili aadaki bilgileri ve kavrama sorularn inceleyelim.
A
K
A
I
B
I
C
B
L
C
ABC üçgeninin iç açýortaylarýnýn kesiþim noktasý üçgenin
iç teðet çemberinin merkezidir. [AI], [BI] ve [CI] açýortaydýr.
ABC üçgeninin bir iç açýortayý ile iki dýþ açýortayýnýn kesiþim noktasý üçgenin
dýþ teðet çemberinin merkezidir. [BI] iç açýortay, [AI] ve [CI] dýþ açýortaydýr.
çözüm
kavrama sorusu
A
A
D noktas iç teet çemberinin
merkezi ise [AD] ve [CD] açor-
a a
taydr.
m(BéAD)=m(CéAD)=D ve
D
m(BéCD)=m(AéCD)=E olsun.
D
50°
b
b
50°
B
C
B
C
ABC üçgeninde iç açlar toplamn yazarsak
m(BéAC)+m(AéCB)+m(AéBC)=180°
ABC üçgen, D noktas ABC üçgeninin iç teet çemberinin merkezidir. m(AéBC)=50° olduuna göre, m(AéDC) kaç derecedir?
2D+2E+50°=180° ise D+E=65° olur.
ADC üçgeninde iç açlar toplamn yazalm.
m(AéDC)+m(CéAD)+m(AéCD)=180°
m(AéDC)+D+E=180°
m(AéDC)+65°=180° ise m(AéDC)=115°
Cevap: 115
çözüm
kavrama sorusu
A
D noktas ABC üçgeninin
d teet çemberinin
A
D
36°
D merkezi ise [BD] ve [CD]
36°
açortaydr.
Buna göre,
B
C
a
a
K
B
b
m(AéBD)=m(DéBK)=D
b
C
m(AéCD)=m(DéCK)=E
K
ABC üçgeninde d açlar toplamn yazarsak
B, C ve K dorusal, D noktas ABC üçgeninin d teet çemberinin merkezidir. m(BéAC)=36°
m(AéCK)=m(AéBK)+m(BéAC)
2E=2D+36° ise E=D+18°
olduuna göre, m(BéDC) kaç derecedir?
BDC üçgeninde DéKC d açdr.
m(DéCK)=m(DéBK)+m(BéDC)
E=D+m(BéDC) ise m(BéDC)=E – D 8° bulunur.
Cevap: 18
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
390
¤¤¦¤Ú¤Ú
Üçgende Açılar
Test / 5
soru 1
soru 5
A
A
ABC üçgen
ABC üçgen
D noktas iç teet
m(CéAD)=m(AéBD)+16°
çemberin merkezidir.
m(CéBD)=m(BéAD)+16°
D
m(AéCB)=70°
B
m(AéDB) kaç derecedir?
A) 115
B) 125
soru 2
olduuna göre,
C
C) 130
D
m(AéCB)=38°
70°
olduuna göre,
D) 135
m(AéDB) kaç derecedir?
A) 140
E) 140
B) 135
ABC üçgen
D noktas iç teet
E, B ve C dorusal
D
A) 80
çemberin merkezidir.
B) 70
B
C
C) 60
soru 3
D) 55
E) 45
A
ABC üçgen
A) 54
B) 48
C) 36
A) 112
B
C
C) 122
D) 132
soru 4
E) 142
m(DéAC) kaç derecedir?
A) 60
B) 56
B
ABC üçgen
C) 55
B, A, L ve B, C, K dorusal
m(BéCD)=2m(DéCA)
m(LéAD)=m(DéAC)
D
E) 49
D
A
m(BéAD)=2m(DéAC)
m(AéCD)=m(DéCK)
57°
m(AéDC) kaç derecedir?
D) 50
L
L
ABC üçgen
olduuna göre,
C
soru 8
A
m(AéBC)=57°
D
olduuna göre,
22°
B) 116
49°
A
ABC üçgen
B, A, K ve B, C, L dorusal
m(AéOB) kaç derecedir?
E) 24
K
m(KéAD)=49°
olduuna göre,
D) 30
soru 7
merkezidir.
O
C
m(BéAC) kaç derecedir?
O iç teet çemberinin
m(BéCO)=22°
B
E
olduuna göre,
www.kartezyen.com.tr
m(BéAC) kaç derecedir?
A
24°
m(BéDC)=24°
olduuna göre,
E) 125
D noktas d teet
120°
m(BéDC)=120°
D) 130
D
ABC üçgen
çemberin merkezidir.
C
C) 132
soru 6
A
38°
B
B
C
27°
m(DéBK)=27°
B
olduuna göre,
C
K
m(LéBD) kaç derecedir?
A) 119
B) 129
C) 130
D) 139
E) 149
A) 27
B) 30
C) 36
D) 38
E) 40
391
1–B
2–C
3–A
4–D
5–E
6–B
7–E
8–A
Üçgende Açılar
Önceki bölümlerde üçgenin iç açortaylarnn iç teet çemberinin merkezinde ve iki d açortayla bir iç açortayn d teet çemberinin
merkezinde kesitiklerini söylemitik. imdi bu konu ile ilgili aadaki bilgileri ve kavrama sorularn inceleyelim.
K
A
D
A
I
B
B
C
Yukarýdaki ABC üçgeninde [BI], [CI] ve [AI] dan herhangi ikisinin
açýortay olduðunu biliyorsak diðeri için de açýortaydýr diyebiliriz.
Mesela [BI] ve [AI] açýortay ise [CI] kesinlikle açýortaydýr. Bu durumda
I noktasý ABC üçgeninin iç teðet çemberinin merkezi olur.
C
L
Yukarýdaki ABC üçgeninde [BD], [AD] ve [CD] den herhangi ikisinin
açýortay olduðunu biliyorsak diðeri için de açýortaydýr diyebiliriz.
Mesela [BD] ve [CD] açýortay ise [AD] kesinlikle açýortaydýr. Bu durumda D noktasý ABC üçgeninin dýþ teðet çemberinin merkezi olur.
çözüm
kavrama sorusu
[BD] ve [CD] açortay ise
[AD] de açortaydr. Bu du-
A
A
rumda D noktas iç teet
çemberinin merkezidir.
24° 24°
24°
D
D
m(BéAD)=m(DéAC)=24° dir.
114°
a
B
m(AéBD)=m(DéBC)=D ve
b
b
a
m(AéCD)=m(DéCB)=E olsun.
C ABC üçgeninde iç açlar
toplamn yazalm.
B
C
ABC üçgen, [BD] ve [CD] açortay, m(BéAD)=24°
m(AéBC)+m(AéCB)+m(BéAC)=180°
olduuna göre, m(BéDC) kaç derecedir?
2D+2E+48°=180° ise D+E=66° bulunur.
BDC üçgeninde iç açlar toplamn yazalm.
m(BéDC)+m(DéCB)+m(DéBC)=180°
m(BéDC)+E+D=180° ise m(BéDC)=114° bulunur.
66°
Cevap: 114
çözüm
kavrama sorusu
D
A
L
A
36°
B
C
a
a
K
B
ABC üçgen, B, C ve K dorusal, m(AéBD)=m(DéBK),
D
b
[AB]’n [BL olacak ekilde
uzatalm.
[BD] ve [CD] açortay ol-
b
36°
duu için [AD]’da açortay
olur.
a+36
a+36
C
K
m(AéBD)=m(DéBC)=D dersek DCK açs BDC üçgeninin d açsdr.
m(AéCD)=m(DéCK), m(BéDC)=36°
m(DéCK)=m(AéCD)=m(DéBC)+m(BéDC)=D+36° dir.
olduuna göre, m(BéAC) kaç derecedir?
ACK açs ABC üçgeninin d açsdr.
m(AéCK)=m(BéAC)+m(AéBC)
(D+36°)+(D+36°)=m(BéAC)+2D ise m(BéAC)=72° dir.
Cevap: 72
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
392
¤¤¦¤Ú¤Ú
Üçgende Açılar
Test / 6
soru 1
soru 5
A
ABC üçgen
[BD] ve [CD] açortay
olduuna göre,
m(BéDC)=30°
21°
m(AéBD) kaç derecedir?
olduuna göre,
B
B) 26
C
C) 21
D) 18
soru 2
B
m(KéAD) kaç derecedir?
E) 16
A) 30
B) 48
C
C) 50
soru 6
A
ABC üçgen
olduuna göre,
50°
m(DéAC)=50°
C
D) 105
E) 100
A
ABC üçgen
B) 40
C) 44
olduuna göre,
A
ABC üçgen
m(KéAD)=m(DéAC)=52°
130°
m(DéCL)=m(DéCA)=48°
B
C
C) 30
D) 40
E) 50
m(DéBL) kaç derecedir?
A) 24
B) 20
52°
48°
B
C
C) 16
D) 12
48°
L
E) 10
A
ABC üçgen
ABC üçgen
A, B, K ve A, C, L dorusal
D noktas ABC üçgeninin
D
iç teet çemberinin merkezidir.
D noktas ABC üçgeninin
16°
m(AéCD)=16°
m(BéDE) kaç derecedir?
B
B
C
d teet çemberinin merkezidir.
K
m(BéDC)=50°
olduuna göre,
C
E
50°
olduuna göre,
B) 80
C) 76
D) 74
L
D
m(KéAL) kaç derecedir?
A) 84
D
52°
soru 8
A
E) 54
K
olduuna göre,
soru 4
K
D) 50
soru 7
D
m(BéDC)=130°
B) 24
A) 25
B, A, K ve B, C, L dorusal
[BD] ve [CD] açortay
m(BéAD) kaç derecedir?
C
m(BéDC) kaç derecedir?
C) 110
soru 3
B
olduuna göre,
B
www.kartezyen.com.tr
B) 120
D
A
[BD] ve [CD] açortay
20°
m(AéDB) kaç derecedir?
E) 60
B, C ve K dorusal
D
m(BéCD)=20°
L
D) 54
ABC üçgen
[AD] ve [BD] açortay
A) 20
30°
B, A, K ve B, C, L dorusal
D
m(DéBC)=21°
A) 42
D
A
ABC üçgen
[AD] ve [CD] açortay
A) 130
K
E) 64
A) 80
B) 70
C) 60
D) 50
E) 40
393
1–C
2–C
3–D
4–D
5–E
6–B
7–E
8–A
Üçgende Açılar
çözüm
kavrama sorusu
A
A
m(BéAN)=m(CéAN)=D
m(AéNC)=180° – 64°=116°
a a
AéNB açs ANC üçgeninde
d açdr.
64°
64°
N
B
B
C
m(AéNB)=m(AéCB)+m(CéAN)
116°
C
N
64°=m(AéCB)+D
m(AéCB)=64° – D dr.
AéNC açs ABN üçgeninde d açdr.
ABC üçgen, m(BéAN)=m(CéAN), m(AéNB)=64°
m(AéNC)=m(AéBC)+m(BéAN)
116°=m(AéBC)+D m(AéBC)=116° – D dr.
olduuna göre, m(AéBC) – m(AéCB) kaç derecedir?
m(AéBC) – m(AéCB)=(116° – D) – (64° – D)
m(AéBC) – m(AéCB)=52° bulunur.
Cevap: 52
çözüm
kavrama sorusu
A
A
a
//
a
b
//
B
D
//
B
m(CéBA)=m(CéAB)=D
m(CéDA)=m(CéAD)=E
b
//
//
D
//
m(BéAD)=D+E=136°
ABC ve ACD üçgenlerinin iç
açlarn toplarsak
C
C
diyelim.
2D+m(BéCA)+2E+m(AéCD)=180°+180°
Yukardaki ekilde |BC|=|AC|=|DC|, m(BéAD)=136°
m(BéCA)+m(AéCD)+2D+2E=360°
olduuna göre, m(BéCD) kaç derecedir?
m(BéCD)+2(D+E)=360°
m(BéCD)+2.136+360°
m(BéCD)+360° – 272°=88° bulunur.
Cevap: 88
çözüm
kavrama sorusu
|DB|=|BE| ise
A
A
m(AéDF)=m(BéED)=30°
//
//
E
B
C
60°
//
30°
/
/
//
/
B
|EF|=|FC| ise
F
F
E
30°
m(FéCE)=m(FéEC)=30°
/
30°
C
30°
30°
D
D
AéBC açs BDE üçgeninde d açdr.
ABC ve ADF üçgen
m(AéBC)=m(BéDE)+m(BéED)=30°+30°=60° dir.
|BD|=|BE|, |EF|=|FC|, m(AéDF)=30°
ABC üçgeninde iç açlar toplamn yazalm.
olduuna göre, m(DéAC) kaç derecedir?
m(DéAC)+m(AéBC)+m(AéCB)=180°
m(DéAC)+60°+30°=180° m(DéAC)=90°
Cevap: 90
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
394
¤¤¦¤Ú¤Ú
Üçgende Açılar
Test / 7
soru 1
A
soru 5
ABC üçgen
64°
A
ABC üçgen
D
[BD] açortaydr.
D
|AB|=|AC|
m(BéAC)=64°
|BD|=|BC|
m(BéCA)=38°
m(DéBC)=50°
38°
B
olduuna göre,
C
m(BéDC) – m(BéDA) kaç
derecedir?
m(AéBD) kaç derecedir?
A) 30
A) 24
B) 26
C) 30
soru 2
D) 36
B) 24
ABC ve ADF üçgen
[AD] açortay
|DE|=|BE|
m(AéDC)=110°
|EC|=|CF|
D
D) 40
soru 3
E) 30
A
ABCD dörtgen
//
|AB|=|BD|=|BC|
D
C) 90
D) 100
E) 110
D) 64
soru 7
E) 66
A
ABC ve ADF üçgen
B
A) 40
/
B) 36
C
D
C) 30
D) 24
E) 20
D
A
|BC|=|AC|=|DC|
C
B
20°
m(AéBD)=20°
olduuna göre,
m(AéBC) kaç derecedir?
C) 120
E
// 70°
//
[BC] A [DC]
//
m(BéCD)=58°
olduuna göre,
F
ABC ve BDC üçgen
//
58°
B) 118
C) 62
soru 8
D
62°
m(BéAD)=62°
A) 116
B) 60
m(DéAC) kaç derecedir?
//
A
|AB|=|BD|=|BC|
A) 54
F
olduuna göre,
C
ABCD dörtgen
m(FéAB) kaç derecedir?
m(DéFC)=70°
//
m(AéBC) kaç derecedir?
soru 4
C
24°
|EF|=|EC|
//
olduuna göre,
B) 80
/
E
|BD|=|BE|
B
m(AéDC)=140°
A) 60
B
//
//
olduuna göre,
C
www.kartezyen.com.tr
C) 50
D
m(AéFD)=24°
110°
B) 60
E) 15
/
A) 70
D) 16
A
ABC üçgen
B
C) 20
soru 6
olduuna göre,
C
E) 38
A
m(AéBC) – m(AéCD)
kaç derecedir?
50°
B
/
olduuna göre,
D) 132
E) 142
m(AéCB) kaç derecedir?
B
A) 50
C) 44
B) 48
C
D) 40
E) 36
395
1–B
2–D
3 –B
4–C
5–E
6–A
7–C
8–A
AÇI - KENAR BAINTILARI
Açı ve Kenar Bağıntısı
Herhangi bir üçgenin kenarlar arasndaki sralamay yapabilmek için bir aç büyüdükçe açnn karsndaki kenarn büyüdüünü ya da aç
küçüldükçe karsndaki kenarn küçüldüünü bilmek yeterlidir. Özetle temel kuralmz bir üçgende büyük açnn karsnda uzun kenar,
küçük açnn karsnda ksa kenar bulunur.
C
A
A
b
c
C
C
B
B
B
A
a
ëB en büyük açýdýr.
ëB en küçük açýdýr.
m(ëA) > m(ëB) > m(ëC) ise
[AC] en uzun kenardýr.
[AC] en kýsa kenardýr.
a > b > c dir.
çözüm
kavrama sorusu
Herhangi bir üçgende açlar sralayabiliyorsak kenarlar da sralayabiliriz. Soruda verilen üçgende;
A
45°
m(ëC)=35° , m(ëA)=45° ve m(ëB)=100° dir.
Buna göre m(ëC) < m(ëA) < m(ëB) dir.
b
c
Buradan c < a < b yazlr.
Cevap: c < a < b
100°
35°
a
B
C
m(ëA)=45°, m(ëC)=35°, m(ëB)=100° olduuna göre, üçgenin kenar uzunluklarn küçükten büyüe doru sralaynz.
çözüm
kavrama sorusu
Herhangi bir üçgende kenarlar sralayabiliyorsak açlar da sra-
A
layabiliriz. Soruda verilen üçgende;
|AB|=8 cm , |AC|=9 cm ve |BC|=10 cm dir.
9
8
Buna göre |BC| > |AC| > |AB| dir.
Buradan m(ëA) > m(ëB) > m(ëC) yazlr.
Cevap: m(ëA) > m(ëB) > m(ëC)
B
10
C
|AB|=8 cm, |AC|=9 cm, |BC|=10 cm olduuna göre, ëA, ëB ve
ëC açlarn büyükten küçüe doru sralaynz.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
396
¤¤¦¤Ú¤Ú
Açı - Kenar Bağıntıları
Test / 1
soru 1
soru 5
A
A
m(ëB)=31°
D
82°
95°
m(ëC)=76°
olduuna göre, üçgenin
kenarlar arasndaki doru
sralama aadakilerden
hangisidir?
40°
B
31°
F
76°
B
C
A) |AB| < |BC| < |AC|
C E
m(ëA)=95° , m(ëD)=82° ve m(ëE)=40°, |BC|=|DF|
olduuna göre, yukardaki ekillerdeki en uzun kenar aadakilerden hangisidir?
B) |AC| < |BC| < |AB|
C) |AC| < |AB| < |BC|
D) |BC| < |AC| < |AB|
E) |BC| < |AB| < |AC|
A) [AB]
B) [AC]
C) [DF]
D) [EF]
E) |ED|
soru 6
C
D
[AD] A [DB]
soru 2
[DC] A [BC]
Bir ABC üçgeninin açlar m(ëA)=52° ve m(ëB)=68°
olduuna göre,
olduuna göre, ABC üçgeninin kenarlar olan a, b, c arasndaki doru sralama aadakilerden hangisidir?
ekilde en uzun kenar
A) b > a > c
A) [AB]
C) c > a > b
E) b > c > a
soru 3
A
ekilde verilen ABC üçgeninin açlar arasnda-
11
8
www.kartezyen.com.tr
B) c > b > a
D) a > b > c
B
A
aadakilerden hangisidir?
B) [AD]
C) [BD]
D) [DC]
soru 7
A
62°
m(BéAD)=62°
m(AéBD)=53°
53°
m(BéCD)=99°
B
olduuna göre,
ekildeki en uzun kenar
D
99°
aadakilerden hangisidir?
ki doru sralama aadakilerden hangisidir?
A) [AD]
B
13
E) [BC]
B) [BD]
C
C) [AB]
D) [CD]
E) [BC]
C
A) m(ëA) > m(ëC) > m(ëB)
B) m(ëC) > m(ëA) > m(ëB)
C) m(ëA) > m(ëB) > m(ëC)
D) m(ëB) > m(ëC) > m(ëA)
E) m(ëB) > m(ëA) > m(ëC)
soru 8
ABC üçgenin kenarlar arasnda a>c>b sralamas veriliyor.
Buna göre, ABC üçgeni aadakilerden hangisi olabilir?
A)
A
A
B)
80°
soru 4
80°
70°
70°
B
Bir ABC üçgeninin kenar uzunluklar a=11 cm , b=9 cm ve
C)
A
c=14 cm olduuna göre, bu üçgenin açlar arasndaki doru
sralama aadakilerden hangisidir?
30°
C
D)
B) m(ëC) > m(ëB) > m(ëA)
C) m(ëB) > m(ëA) > m(ëC)
D) m(ëA) > m(ëC) > m(ëB)
A
40°
C
C
70°
40°
B
A) m(ëB) > m(ëC) > m(ëA)
B
C
B
A
E)
85°
65°
B
E) m(ëC) > m(ëA) > m(ëB)
C
397
1–B
2–E
3–C
4–E
5–D
6–A
7–C
8–B
Açı - Kenar Bağıntıları
çözüm
kavrama sorusu
A
m(ëB) < m(ëA) ise |AC| < |BC| dir.
Buna göre, |AC| < 7 olmaldr.
Bu durumda |AC| nin alabilecei en büyük tam say deeri 6 dr.
Cevap: 6
B
7
C
m(ëB) < m(ëA), |BC|=7 cm olduuna göre, |AC| nin alabilecei
en büyük tam say deeri kaçtr?
çözüm
kavrama sorusu
A
m(ëA) < m(ëB) ise |BC| < |AC| dir.
Buna göre, |BC| < 9 olmaldr.
Buradan |BC| nin alabilecei deerler 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ve 8 dir.
9
B
Cevap: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
C
m(ëA) < m(ëB), |AC|=9 cm olduuna göre, |BC| nin alabilecei
tam say deerlerini bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
A
m(ëA) < m(ëB) ise |BC| < |AC| dir.
Buna göre, x+6 <3x – 10 olmaldr.
6+10 <3x – x
3x 10
2
8<x
x in alabilecei en küçük tam say deeri 9 dur.
Cevap: 9
B
x+6
C
m(ëA) < m(ëB), |AC|=3x – 10 cm, |BC|=x+6 cm olduuna göre,
x in alabilecei en küçük tam say deeri kaçtr?
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
398
¤¤¦¤Ú¤Ú
Açı - Kenar Bağıntıları
Test / 2
soru 1
soru 5
A
A
m(ëC) < m(ëA) < m(ëB)
m(ëC) > m(ëB)
|AC|=8 cm
olduuna göre,
|AC|=14 cm
|AB| aadakilerden
olduuna göre,
hangisine eit olamaz?
A) 7
B
B) 9
|BC| nin alabilecei
tam say deerleri
toplam kaçtr?
C
C) 10
D) 11
B
B) 55
C) 60
soru 6
A
m(ëA) > m(ëC)
E) 72
A
m(ëC)=62°
10
olduuna göre,
|BC| nin alabilecei
en küçük tam say
m(ëB) nin alabilecei en
B
deeri kaçtr?
C
B) 12
C) 11
D) 10
soru 3
E) 9
A
m(ëB) < m(ëC)
|AC|=11 cm
www.kartezyen.com.tr
olduuna göre,
A) 60
B) 61
C) 62
soru 7
3x 7
olduuna göre,
x in alabilecei en küçük
tam say deeri kaçtr?
B
C
soru 4
E) 15
A) 9
B) 10
B
C) 11
soru 8
A
m(ëA) < m(ëC)
E) 64
m(ëB) > m(ëA)
|AB| aadaki deerlerden hangisini alamaz?
D) 14
D) 63
A
|BC|=2x+3 cm
C) 13
C
|AC|=3x – 7 cm
11
B) 12
62°
küçük tam say deeri
B
kaçtr?
olduuna göre,
A) 10
D) 65
|AC| > |AB|
|AB|=10 cm
A) 13
C
E) 16
A) 45
soru 2
14
8
|AB|=8 cm
8
2x+3
D) 12
C
E) 13
A
m(ëA) > m(ëC)
|AB|=6 cm
|AB|=5x – 12 cm
6
5x 12
olduuna göre,
|BC|=3x+6 cm
|BC| nin alabilecei kaç
farkl tam say deeri vardr?
B
olduuna göre,
x in alabilecei en büyük
tam say deeri kaçtr?
A) 7
C) 5
B) 6
C
D) 4
B
3x+6
C
C) 7
D) 6
E) 5
E) 3
A) 9
B) 8
399
1–A
2–C
3–A
4–C
5–B
6–D
7–C
8–B
Açı - Kenar Bağıntıları
çözüm
kavrama sorusu
A
A
105°
105°
B
C
B
C
102°
102°
D
D
m(BéAC)=105°, m(BéCD)=102° olduuna göre, ekilde en uzun
kenar hangisidir?
ABC üçgeninde m(AéBC)=105° nin karsndaki [BC] kenar ABC
üçgenindeki en uzun kenardr.
Ayn zamanda [BC] BCD üçgeninin de bir kenardr ve BCD üçgeninde m(BéCD)=102° nin karsndaki [BD] kenar en uzun kenardr. Yani |BD| > |BC| dir.
Uyarı
Buna göre ekildeki en uzun kenar [BD] dir.
Birden çok üçgenin bulunduu ekillerde en büyük açnn
karsnda en büyük kenar olmayabilir.
Cevap: [BD]
Uyarı
Birden çok üçgenin bulunduu ekillerde en uzun veya en ksa kenar bulurken hangi üçgenden baladmzn bir önemi yoktur.
Dikkat edilmesi gereken ey bulduumuz kenar iki farkl üçgenin ortak kenar ise çözüm için dier üçgenlerden birini kullanmalyz.
çözüm
kavrama sorusu
E
E
A
A
70°
65°
66°
80°
64°
B
C
68°
46°
70°
66°
80°
B
D
34°
64°
65°
68°
47°
D
C
Yukardaki ekilde verilen ABC, CDE ve ACE üçgenlerine
Öncelikle bilinmeyen açlar ekilde yerlerine yazalm.
göre, en ksa kenar bulunuz.
CDE üçgeninde en ksa kenar [EC] dir.
[EC], ACE ve CDE üçgenlerinin ortak kenar olduu için ACE
üçgeni de incelenir. ACE üçgeninde en ksa kenar [AC] dir. Buradan |AC| < |EC| bulunur.
[AC], ABC ve ACE üçgenlerinin ortak kenar olduu için ABC
üçgeni de incelenir. ABC üçgeninde en ksa kenar [AB] dir. Buradan |AB| < |AC| < |EC| bulunur.
Sonuç olarak ekildeki en ksa kenar [AB] dir.
Cevap: [AB]
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
400
¤¤¦¤Ú¤Ú
Açı - Kenar Bağıntıları
soru 1
Test / 3
soru 4
A
A
m(AéBC)=92°
[AC] A [CD]
m(AéCD)=91°
m(AéBC)=94°
olduuna göre,
en uzun kenar
aadakilerden
hangisidir?
A) [AD]
E
65°
64°
m(AéDE)=64°
D
92°
B
B) [AC]
C
en uzun kenar
D) [BC]
D
B
olduuna göre,
C
C) [AB]
94°
m(AéED)=65°
91°
aadakilerden hangisidir?
E) [CD]
A) [AC]
soru 2
B) [AE]
C) [AC]
D) [ED]
E) [AD]
soru 5
A
E
A
61°
E
60°
58°
66°
B
C
ekilde verilen ABC üçgenindeki en uzun kenar [BC], ACE üçgenindeki en uzun kenar [AC] ve ECD üçgeninde en uzun kenar
[EC] olduuna göre, |BC|, |AC| ve |EC| uzunluklarnn doru sralan aadakilerden hangisidir?
A) |EC| < |BC| < |AC|
B) |EC| < |AC| < |BC|
www.kartezyen.com.tr
D
D
70°
62°
B
C
Yukardaki ekilde verilenlere göre, en ksa kenar aadakilerden hangisidir?
A) [BC]
B) [AC]
C) [AB]
D) [EC]
E) [AE]
C) |BC| < |EC| < |AC|
D) |BC| < |AC| < |EC|
E) |AC| < |BC| < |EC|
soru 3
soru 6
A
A
D
E
64°
60°
62°
68°
B
C
B
61°
56°
D
C
ekilde verilen ABC üçgenindeki en ksa kenar [AC], ACD üçgenindeki en ksa kenar [AD] olduuna göre, |BC|, |AC| ve |AD|
uzunluklarnn doru sralan aadakilerden hangisidir?
Yukardaki ekilde verilenlere göre, en uzun kenar aadakilerden hangisidir?
A) |AD| > |BC| > |AC|
B) |BC| > |AD| > |AC|
C) |AD| > |AC| > |BC|
D) |BC| > |AC| > |AD|
E) |AC| > |BC| > |AD|
A) [ED]
B) [CD]
C) [AE]
D) [AC]
E) [EC]
401
1–A
2–B
3–D
4–E
5–C
6–B
Açı - Kenar Bağıntıları
Bu bölümde elimizdeki üç doru parças ile her zaman bir üçgen elde edebilirmiyiz bunu aratracaz. Öncelikle üçgen elde edebilmemiz için elimizdeki doru parçalarn uç uca ekleyerek kapal bir ekil elde edebilmeliyiz. Elimizde
d1 :
d2:
1 cm
d3:
2 cm
6 cm lik
doru parçalar olsun. Bu doru parçalarn birletirmeye çaltmzda aadaki iki farkl durum oluur.
2. durum
1. durum
B
L d1=1 cm A
d2=2 cm
d2=2 cm
K
A
B
d3=6 cm
2 cm
D
ý
4 cm
B
d1=1 cm
C
d3=6 cm
Yukardaki eklin bir üçgen olabilmesi için A ile B noktalarnn
çakmas gerekir. K, L ve A noktalarn dorusal yapsak bile
d1 ve d2 dorularnn toplam uzunluu 1+2=3 cm yapar ve bu
6 cm den ksadr. Dolaysyla A ve B noktas bu durumda çakmaz. |AB| uzunluu kadar boluk kalr. Bu eklin bir üçgen
Yukardaki eklin bir üçgen olabilmesi için B ve D noktalarnn
çakmas gerekir. [BD] uzunluu kadar boluk kalr.
[AB] ve [AC] dorusunu çaktrmamz durumunda bile
|B'C|=|AC| – |AB'|=6 – 2=4 cm lik bir mesafe olduu görülür.
Farkedeceiniz gibi |B'C| > |DC| olur ve üçgen olumaz. Bu
olabilmesi için |KL|+|LA| toplamnn |KB| den büyük olmas
gerekir.
eklin bir üçgen olabilmesi için |AC| – |AB| farknn |DC| den
küçük olmas gerekir.
Yukardaki artlar göz önüne alrsak herhangi bir ABC üçgeninde herhangi bir kenarn uzunluu dier iki kenarn toplamndan küçük
farkndan büyük olmaldr.
Yandaki üçgen için;
A
|b - c| < a < b+c
b
c
|a - c| < b < a+c
|b - a| < c < b+a
B
a
C
çözüm
kavrama sorusu
ABC üçgen olduuna göre,
A
||AC| – |AB|| < |BC| < |AC|+|AB| olmaldr.
|7 – 4| < x < 7+4 3 < x < 11 bulunur.
7
4
a) x, 3 ile 11 arasndaki deerleri alabilir.
Yani x{4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
b) {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} ise x, 7 farkl tam say deeri alr.
B
x
C
c) x in en büyük tam say deeri 10 dur.
ABC üçgen, |AB|=4 cm, |AC|=7 cm, |BC|=x cm
d) x in en küçük tam say deeri 4 tür.
olduuna göre,
e) 4+5+6+7+8+9+10=49, x in alabilecei deerler toplamdr.
a) |BC|=x in alabilecei deerler kümesi nedir?
b) |BC|=x kaç farkl tam say deeri alr?
c) |BC|=x in en büyük tam say deeri kaçtr?
d) |BC|=x in en küçük tam say deeri kaçtr?
e) |BC|=x in alabilecei tam say deerler toplam kaçtr?
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
402
¤¤¦¤Ú¤Ú
Açı - Kenar Bağıntıları
Test / 4
soru 1
soru 5
A
ABC üçgen
A
ABC üçgen
6
4
|AB|=4 cm
|AC|=6 cm
|BC|=7 cm
olduuna göre,
olduuna göre,
|AC|=x in alabilecei
tam say deerlerinin
toplam kaçtr?
|BC|=x aadakilerden hangisi olabilir?
A) 13
B
B) 12
x
C) 11
C
D) 10
ABC üçgen
C
C) 16
D) 17
soru 3
E) 20
A
ABC üçgen
6
x
|AC|=6 cm
www.kartezyen.com.tr
10
eri kaçtr?
B) 15
B) 64
C) 72
A) 11
B) 12
C) 13
D) 4
E) 3
E) 21
A
|AB|=9 cm
9
ABC üçgeninin çevresinin alabilecei en
B
büyük tam say deeri
kaçtr?
C
D) 14
soru 7
olduuna göre,
C) 5
C
|BC|=12 cm
8
5
olduuna göre,
ABC üçgeninin çevresinin alabilecei en
küçük tam say deeri B
kaçtr?
olduuna göre,
|AB|=x in alabilecei
B
en küçük tam say deeri kaçtr?
B) 6
E) 82
6
|BC|=8 cm
A) 7
D) 78
A
|AC|=5 cm
|BC|=10 cm
A) 14
C
|AB|=6 cm
x
6
olduuna göre,
|AC|=x in alabilecei
B
en büyük tam say de-
7
soru 6
A
|AB|=6 cm
B
E) 9
A) 63
soru 2
x
5
|AB|=5 cm
A) 31
12
B) 36
C) 41
C
D) 44
E) 52
A
soru 4
soru 8
A
ABC üçgen
ABC üçgen
x
5
|AB|=5 cm
|BC|=7 cm
|BC|=14 cm
olduuna göre,
|AC|=x in alabilecei
B
deerlerin aral aa-
|AC|=2x – 4 cm
7
C
dakilerden hangisidir?
A) 2 < x < 11
B
14
C
olduuna göre,
x in alabilecei deerler kümesi aadakilerden hangisidir?
hangisi olabilir?
B) 3 < x < 12
D) 5 < x < 7
2x 4
6
|AB|=6 cm
C) 2 < x < 12
A) 6 < x < 14
E) 5 < x < 12
B) 8 < x < 20
D) 6 < x < 18
C) 12 < x < 24
E) 6 < x < 12
403
1–E
2–B
3–E
4–C
5–A
6–C
7–C
8–E
Açı - Kenar Bağıntıları
çözüm
kavrama sorusu
||BC| – |AB|| < |AC| < |BC|+|AB|
A
|8 – 5| < x < 8+5
3 < x < 13 olmaldr.
5
x
Çeitkenar üçgenlerin tüm kenar uzunluklar birbirinden farkldr.
ABC çeitkenar üçgen olduu için x=5 ve x=8 olamaz. O halde
alabilecei deerler 4, 6, 7, 9, 10, 11 ve 12 dir.
B
8
Yani 7 farkl deer alabilir.
C
Cevap: 7
ABC çeitkenar üçgen, |AB|=5 cm, |BC|=8 cm
olduuna göre, |AC|=x kaç farkl tam say deeri alr?
çözüm
kavrama sorusu
||BC| – |AC|| < |AB| < |BC|+|AC|
A
|5x – 3x| < 18 < 5x+3x
2x < 18 < 8x
3x
18
I.
2x < 18 x < 9
II. 18 < 8x
B
5x
C
I ve II den
9
<x
4
9
< x < 9 bulunur.
4
Cevap:
ABC üçgen, |AC|=3x cm, |BC|=5x cm, |AB|=18 cm
9
<x<9
4
olduuna göre, x in alabilecei deerler kümesini bulunuz.
çözüm
kavrama sorusu
A
Öncelikle m(ëA) < m(ëC) olduu için, |BC| < |AB| olmal yani;
I.
x
10 < x olmal
Üçgen eitsizlii artn yazarsak
6
||BC| – |AC|| < |AB| < |BC|+|AC|
|10 – 6| < x < 10+6
B
10
II.
C
4 < x < 16
I ve II den 10 < x < 16 olmaldr.
ABC üçgen, m(ëA) < m(ëC), |BC|=10 cm, |AC|=6 cm
Cevap: 10 < x < 16
olduuna göre, |AB|=x in alabilecei deerler kümesini
bulunuz.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
404
¤¤¦¤Ú¤Ú
Açı - Kenar Bağıntıları
Test / 5
soru 1
soru 5
A
ABC üçgen
m(BéAC) > m(AéCB)
x
7
|AB|=7 cm
A
|BC|=9 cm
|AC|=14 cm
olduuna göre,
|AC|=x in alabilecei
B
kaç farkl tam say deeri vardr?
olduuna göre,
A) 16
B) 15
9
C
B
|BD|=x in
x
C
alabilecei deerler kümesi aadakilerden hangisidir?
C) 13
soru 2
D) 11
A) 3 < x < 25
B) 11 < x < 14
C) 14 < x < 25
D) 11 < x < 25
E) 14 < x < 20
E) 10
soru 6
A
ABC çeitkenar üçgen
A
m(BéAC)>m(AéCB)
6
4
|AC|=6 cm
8
x
|AC|=8 cm
|AB|=4 cm
|BC|=9 cm
deerler toplam kaçtr?
A) 64
olduuna göre,
B
B) 54
x
C) 50
soru 3
C
D) 48
E) 32
A
ABC üçgen
16
3x
|AB|=3x cm
www.kartezyen.com.tr
olduuna göre,
|BC|=x in alabilecei
ABC üçgeninin çevB
resinin alabilecei en
büyük tam say deeri kaçtr?
9
A) 24
D) 32
B) 25
C) 27
soru 7
C
9
olduuna göre,
|BD|=x in alabilecei en büyük tam say
B
deeri kaçtr?
A) 2 < x < 8
A) 10
5x
B) 3 < x < 9
D) 2 < x < 16
C) 6 < x < 10
E) 42
a
m(BéAD)=m(AéCB)
B
olduuna göre,
x in alabilecei deerler aral aadakilerden hangisidir?
|AC|=16 cm
C
A
|AB|=9 cm
|BC=5x cm
a
D
x
B) 9
C) 8
C
D) 7
E) 6
E) 4 < x < 8
soru 4
soru 8
A
ABC üçgen
A
9
D
[BD] A [DC]
9
2x
|AB|=2x cm
14
|AB|=14 cm
|BC|=x+8 cm
|AD|=9 cm
|AC|=9 cm
x
|BC|=16
B
olduuna göre,
x+8
C
x in alabilecei en küçük tam say deeri kaçtr?
A) 8
14
11
|AB|=11 cm
B) 5
C) 3
D) 2
olduuna göre,
B
16
C
|BD|=x in
E) 1
alabilecei kaç farkl tam say deeri vardr?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11
405
1–C
2–E
3–A
4–E
5–D
6–B
7–C
8–D
Açı - Kenar Bağıntıları
çözüm
kavrama sorusu
[BC] kenar hem ABC üçgeninin hem de DBC üçgeninin ortak
kenar olduundan, her iki üçgen için de üçgen eitsizliini salamaldr.
A
13
ABC üçgeni için;
7
D
7
||AB| – |AC|| < |BC| < |AB|+|AC|
4
|13 – 7| < |BC| < 13+7 eitsizliinden
B
I.
C
6 < |BC| < 20 bulunur.
DBC üçgeni için;
D, ABC üçgeninin içinde herhangi bir noktadr.
||BD| – |DC|| < |BC| < |BD|+|DC|
|AB|=13 cm, |AC|=|BD|=7 cm ve |DC|=4 cm
|7 – 4| < |BC| < 7+4 eitsizliinden
olduuna göre;
II.
a) |BC| nin alabilecei tam say deerleri kümesini bulunuz.
3 < |BC| < 11 bulunur.
alt snr
I den 6 < |BC| < 20
b) |BC| nin alabilecei en büyük tam say deeri kaçtr?
üst snr
c) |BC| nin alabilecei en küçük tam say deeri kaçtr?
II den 3 < |BC|< 11
I ve II den 6 < |BC| < 11 olmal
a) {7, 8, 9, 10}
b) |BC| nin en büyük deeri 10 cm dir.
c) |BC| nin en küçük deeri 7 cm dir.
çözüm
kavrama sorusu
ABD üçgeninde üçgen eitsizliini yazalm.
A
||AD| – |AB|| < |BD| < |AB|+|AD|
13
9
|13 – 9| < x < 13+9
x
B
D
I.
4 < x < 22 bulunur.
BCD üçgeninde üçgen eitsizliini yazalm.
12
||CD| – |BC|| < |BD| < |CD|+|BC|
14
|14 – 12| < x < 14+12
II.
C
2 < x < 26 bulunur.
I ve II den
Yukarda verilen ekilde, |AB|=9 cm, |AD|=13 cm,
üst snr
|BC|=12 cm ve |CD|=14 cm
4 < x < 22
olduuna göre, |BD|=x in alabilecei deerler kümesini bulunuz.
alt snr
4 < x < 26 eitsizliklerinden 4 < x < 22 dir.
Cevap: 4 < x < 22
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
406
¤¤¦¤Ú¤Ú
Açı - Kenar Bağıntıları
Test / 6
soru 1
soru 5
A
ABC ve ABD üçgen
7
|AC|=8 cm
|AB|=6 cm
8
|BD|=2 cm
11
C
C) 5
E) 7
A) 9
B) 8
ABD ve BCD üçgen
|AB|=16 cm
|AB|=|CD|=10 cm
16
12
6
5
E) 10
soru 3
A
ABC ve ABD üçgen
|AC|=|BD|=8 cm
6
8
|BC|=11 cm
8
B
olduuna göre,
D
B) 17
11
C) 19
C
D) 23
A) 3
C) 5
|AC|=16 cm
16
ABC ve ADC üçgen
9
B
|BC|=13 cm
D
13
|CD|=5 cm
5
olduuna göre,
C
|AC| nin alabilecei en büyük tam say deeri kaçtr?
B) 20
C)16
D)13
E) 12
A
9
7
|AD|=9 cm
B
8
|AB|=9 cm
|AB|=7 cm
|AD|=6 cm
D
8
E) 7
A
Yandaki ekilde
6
|BC|=11 cm
D) 6
soru 8
ABC ve ABD üçgen
B
D
|CD|=8 cm
11
C
5
|BC|=5 cm
8
olduuna göre,
olduuna göre,
|AB| nin alabilecei kaç farkl tam say deeri vardr?
A) 11
B) 4
E) 26
A
|BD|=8 cm
C
soru 7
A) 21
soru 4
10
|AD|=8 cm
|AB| nin alabilecei en küçük ve en büyük tam say deerleri toplam kaçtr?
A) 16
www.kartezyen.com.tr
D) 11
D
8
tam say deeri kaçtr?
|BC| nin alabilecei en büyük tam say deeri kaçtr?
|AD|=6 cm
6
B
olduuna göre,
|BD| nin alabilecei en küçük
C
C) 12
10
|BC|=8 cm
B
B) 24
E) 5
|AD|=6 cm
D
|DC|=6 cm
A) 27
D) 6
A
ABC ve BDC üçgen
|BD|=5 cm
C) 7
soru 6
A
|AC|=12 cm
C
|AC| nin alabilecei kaç farkl tam say deeri vardr?
D) 6
soru 2
7
olduuna göre,
|AB| nin alabilecei en küçük tam say deeri kaçtr?
B) 4
12
|DC|=7 cm
B
olduuna göre,
D
|AD|=8 cm
D
8
B
|BC|=12 cm
2
|BC|=11 cm
olduuna göre,
6
ABC ve ADC üçgen
|AD|=7 cm
A) 3
A
B) 10
C) 9
D) 8
E) 7
C
|AC| nin alabilecei en büyük
tam say deeri ile |BD| nin alabilecei en küçük tam say
deerinin toplam kaçtr?
A) 21
B) 19
C) 17
D) 15
E) 13
407
1–D
2–E
3–B
4–D
5–B
6–C
7–E
8–D
Açı - Kenar Bağıntıları
Uyarı
Örencilerin bir ksm reel (gerçek) say ve tam say arasndaki fark dikkate almayp yanl sonuçlar elde etmektedir. Sorulardaki
metni dikkatlice okuyup aranan uzunluun reel say ya da tam say olduundan emin olunmaldr.
çözüm
kavrama sorusu
ADC üçgeninde
A
6
||AD| – |DC|| < |AC| < |AD|+|DC|
D
|6 – 4| < |AC| < 6+4 2 < |AC| < 10
Burada |AC| nin en büyük tam say deeri |AC|=9 cm dir.
4
ABC üçgeninde
|AB|+|BC| > |AC| dir.
B
|AB|+|BC| > 9 dur.
C
Buradan |AB|+|BC|=10 seçilir.
|AD|=6 cm, |DC|=4 cm olduuna göre, [AC] nin en büyük
tam say deeri için Çevre(A¿BC) nin en küçük tam say de-
Çevre(A¿BC)=|AB|+|BC|+|AC|=10+9=19 cm dir.
Cevap: 19
eri kaçtr?
çözüm
kavrama sorusu
A
ADC üçgeninde
6
||AD| – |DC|| < |AC| < |AD|+|DC|
D
|6 – 4| < |AC| < 6+4 2 < |AC| < 10 dur.
Burada |AC| bir tam saydr denmedii için herhangi bir say
seçemeyiz. Yalnzca |AB|+|BC| > |AC| ve |AC| > 2 olduunu
biliyoruz.
4
B
C
Buradan |AB|+|BC| > |AC| eitsizliinde her iki tarafa da
|AC| eklersek
|AD|=6 cm, |CD|=4 cm olduuna göre, [AC] nin en küçük
deeri için Çevre(A¿BC) nin en küçük tam say deeri kaçtr?
|AB|+|BC|+|AC| > 2|AC|
Çevre(A¿BC) > 2|AC| bulunur.
|AC| > 2 2|AC| > 4 tür.
Bu durumda Çevre(A¿BC) > 2|AC| > 4 Çevre(A¿BC) > 4 tür.
Çevre(A¿BC) nin en küçük deeri Çevre(A¿BC)=5 cm dir.
Cevap: 5
çözüm
kavrama sorusu
3
//
10
D
//
3
//
B
C
|ED|
ABC üçgen, |AD|=|DC|, |AB|=6 cm, |BC|=10 cm
sizlii yazabilmemiz için
öncelikle [BD]’nin dier iki
kenar bilinen bir üçgen içine yerletirmeliyiz. Bunun
için [ED] // [BC] yi çizelim.
//
5
E
D
6
B
[BD] hakknda üçgen eit-
A
A
10
|BC|
2
10
2
C
Bu durumda [ED] orta taban olur ve
5 cm ve |BE|=|EA|=3 cm olur.
BED üçgeninde, üçgen eitsizlii yazlrsa,
olduuna göre, [BD] nin alabilecei tam say deerlerinin
araln bulunuz.
||ED| – |EB|| < |BD| < |ED|+|EB|
|5 – 3| < |BD| < 5+3 2 < |BD| < 8 bulunur.
Cevap: 2 < |BD| < 8
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
408
¤¤¦¤Ú¤Ú
Açı - Kenar Bağıntıları
Test / 7
soru 1
soru 5
A
ABCD dörtgen
ABCD dörtgen
6
|DC|=9 cm
D
|BC|=9 cm
[AC] en büyük deerini
aldnda A¿DC üçgeninin
çevresinin en küçük tam
say deeri kaç cm olur?
|BD| bir tam say
B
olduuna göre,
ABD üçgeninin çevresinin
9
C
C) 31
D) 32
soru 2
A
E) 33
A) 6
D
B) 7
|BD|=|AD|
|AC|=12 cm
8
D) 36
E) 37
A
6
D
www.kartezyen.com.tr
C) 35
A
ABC üçgen
|BD|=|DC|
|AD|=6 cm
B
9
C
ADC üçgeninin çevresinin en küçük tam say deeri kaçtr?
C) 7
D) 29
soru 4
E) 30
ABCD dörtgen
6
5
D
B
A) 15
B) 14
C) 13
A) 15
D) 18
B) 16
C) 17
D) 12
C
E) 20
A
8
A, C ve E dorusal
10
|BD|=|DC|
//
B
C
//
D
|AC|=10 cm
x
4
|CE|=4 cm
C
say deeri kaçtr?
D
|AB|=8 cm
4
8
6
olduuna göre,
B
|AB|=x in alabilecei
kaç farkl tam say deeri vardr?
ABC üçgen
|AB|=5 cm
olduuna göre,
|BC| nin en büyük tam
x
soru 8
A
C) 5 < x < 10
E) 2 < x < 11
soru 7
|AC|=8 cm
|DC|=4 cm
C
B) 2 < x < 12
D) 1 < x < 11
|AC| bir reel say
|AD|=6 cm
10
B
A) 2 < x < 22
|BC|=9 cm
B) 6
12
cei deerler aral aadakilerden hangisidir?
ABCD dörtgen
A) 5
E) 32
x
olduuna göre,
|DC|=x in alabile-
C
soru 3
olduuna göre,
D) 31
D
|BC|=10 cm
küçük tam say deeri
kaçtr?
|AB|=6 cm
C) 8
ABC üçgen
|DC|=8 cm
[AC] en büyük tam say
B
deerini aldnda ABC
üçgeninin çevresinin en
C
A
|AD|=9 cm
B) 33
7
soru 6
9
ABCD dörtgen
A) 32
B
en küçük tam say deeri kaçtr?
//
B) 30
9
|BC|=7 cm
//
|AB|=6 cm
A) 29
D
A
E) 11
E
olduuna göre, |DE|=x in alabilecei deerler aral aadakilerden hangisidir?
A) 4 < x < 8
B) 8 < x < 14
D) 8 < x < 13
C) 5 < x < 10
E) 5 < x < 13
409
1–B
2–B
3–C
4–B
5–B
6–D
7–A
8–E
Açı - Kenar Bağıntıları
imdiye kadar incelediimiz aç ve kenar bantlar sorularnda herhangi bir aç durumu söz konusu deildi. Bu bölümde bize verilen
üçgenin bir açsnn dar (0° < D < 90°) ya da geni (0° < D <180°) olmas durumunda neler yapacamz öreneceiz. Aadaki üçgeni
ele alalm.
Bu üçgende D açs için üç farkl durum söz konusudur.
A
1. durum: D=90° b2=a2+c2 dir. (Pisagor teoremi)
2. durum: D < 90° b2 < a2+c2 dir.
b
c
Bu durumda D açs daraldkça karsndaki kenar (b) küçüleceinden yukardaki eitsizlik elde edilir.
3. durum: D > 90° b2 > a2+c2 dir.
a
B
Bu durumda D açs geniledikçe karsndaki kenar (b) bü-
C
a
yeyeceinden yukardaki eitsizlik elde edilir.
çözüm
kavrama sorusu
Bu sorunun çözümünde öncelikle herhangi bir aç art yokmu
gibi üçgen eitsizlii yazlmaldr.
A
a
||AC| – |AB|| < |BC| < |AC|+|AB|
12
5
|12 – 5| < |BC| < 12+5 7 < |BC| < 17
1
a) D > 90° |BC|2 > |AB|2+|AC|2
|BC|2 > 52+122 |BC|2 > 169 |BC| > 13 olmal
B
2
1 ve 2 den 13 < |BC| < 17 olmaldr.
C
Cevap: {14, 15, 16}
m(BéAC)=D, |AB|=5 cm, |AC|=12 cm olduuna göre;
b) D < 90° |BC| < |AB| +|AC|
2
a) D > 90° ise |BC| nin alabilecei tam say deerleri kümesini bulunuz.
2
2
|BC|2 < 52+122 |BC|2 < 169 |BC| < 13 olmal
1 ve 3 ten 7 < |BC| < 13 olmaldr.
b) D < 90° ise |BC| nin alabilecei tam say deerler kümesini bulunuz.
3
Cevap: {8, 9, 10, 11, 12}
çözüm
kavrama sorusu
ABC üçgeninde üçgen eitsizliini yazalm.
A
||AB| – |AC|| < |BC| < |AB|+|AC|
|10 – 6| < |BC| < 10+6 4 < |BC| < 16
10
6
1
D < 90° olduundan Daçsnn karsndaki kenar için
|AB|2 < |BC|2+|AC|2
102 < x2+62 x2 > 102 – 62 x > 8
a
B
x
C
2
1 ve 2 den 8 < x <16 olmaldr.
Cevap: (8, 16)
m(AéCB)=D < 90°, |AB|=10 cm, |AC|=6 cm olduuna göre,
|BC|=x in alabilecei deerler kümesini bulunuz.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
410
¤¤¦¤Ú¤Ú
Açı - Kenar Bağıntıları
Test / 8
soru 1
soru 5
A
b
ABC üçgen, m(BéAC)=E
m(AéBC) > 90°
8
6
|AB|=6 cm, |AC|=8 cm
|AB|=3 cm
olduuna göre,
B
hangileri dorudur?
olduuna göre,
C
II.
E > 90° ise |BC| > 10 cm dir.
E=90° ise |BC|=10 cm dir.
A) Yalnz I
A) 5
B) Yalnz III
E) I, II ve III
8
C
15
D > 90° ise |AC| nin en küçük tam say deeri 18 cm dir.
III.
|AC| nin en küçük tam say deeri 8 cm dir.
IV.
D < 90° ise |AC| nin en büyük tam say deeri 16 cm dir.
V.
|AC| nin en büyük tam say deeri 22 cm dir.
ifadelerinden kaç tanesi dorudur?
C) 3
D) 4
E) 5
www.kartezyen.com.tr
B
II.
a
soru 3
A) 42
B) 48
C) 56
D) 64
soru 7
E) 66
A
a
x
5
|BC|=8 cm
m(AéCB)=D < 90°
4
|AC|=4 cm
C) 7
soru 4
D) 8
A) 72
C) 36
D) 15
soru 8
a
E) 11
A
m(AéBC)+m(AéCB) > 90°
7
5
|AB|=5 cm
B) 48
E) 9
A
m(BéAC)=D > 90°
C
C
olduuna göre,
|AB| nin alabilecei en büyük tam say deeri kaçtr?
B) 6
8
|AC|=x in alabilecei tam say deerlerinin toplam kaçtr?
6
B
B
olduuna göre,
a
|BC|=6 cm
x
|BC|=9 cm
|AC|=7 cm
6
|AC|=6 cm
olduuna göre,
olduuna göre,
|BC| nin alabilecei
B
C
en küçük tam say deeri kaçtr?
A) 8
C
deerleri toplam kaçtr?
|AB|=5 cm
A
10
B
m(BéAC)=Dgeni aç
A) 4
E) 1
x
6
olduuna göre,
|AC|=x in
alabilecei tam say
a
B) 2
D) 2
A
|AB|=6 cm
olduuna göre,
A) 1
C) 3
|BC|=10 cm
D=90° ise
C
m(AéBC)=D<90°
ABC üçgen, m(AéBC)=D
|AC|=17 cm dir.
B) 4
soru 6
A
|AB|=8 cm, |BC|=15 cm
5
C) I ve II
D) II ve III
soru 2
B
|AC|=x in alabilecei kaç farkl tam say deeri vardr?
E < 90° ise |BC| < 10 cm dir.
III.
I.
x
3
|BC|=5 cm
aadaki ifadelerden
I.
A
B) 9
|AB|=x in alabilecei
B
9
C
kaç farkl tam say deeri vardr?
C) 10
D) 11
E) 12
A) 13
B) 8
C) 7
D) 6
E) 3
411
1–E
2–E
3–C
4–B
5–D
6–C
7–D
8–B
Açı - Kenar Bağıntıları
Baz sorularda üçgendeki herhangi bir açnn durumu dorudan verilmeyebilir. Ama aç hakknda bilgi soru içinde dolayl olarak mutlaka
verilir. Bu durumda üçgende temel aç özelliklerini hatrlayarak aç hakknda bilgi elde etmemiz gerekir.
çözüm
kavrama sorusu
1. adm:
A
Öncelikle ABC üçgeninde üçgen eitsizliini yazalm.
||AC| – |AB|| < |BC| < |AC|+|AB|
15
8
|15 – 8| < |BC| < 15+8 7 < |BC| < 23
1
2. adm:
ikinci olarak aç durumunu inceleyelim.
B
C
m(ëA) > m(ëB)+m(ëC) veriliyor. Eitsizliin her iki tarafna m(ëA) ekleyelim.
m(ëA) > m(ëB)+m(ëC), |AB|=8 cm, |AC|=15 cm olduuna göre,
2m(ëA) > m(ëA)+m(ëB)+m(ëC)
|BC| nin alabilecei deerler kümesini bulunuz.
180°
2m(ëA) > 180° m(ëA) > 90° bulunur.
m(ëA) > 90° |BC|2 > |AB|2+|AC|2
Uyarı
m(ëA) > 90° |BC|2 > 82+152 |BC| > 17
2
1 ve 2 den 17 < |BC| < 23 bulunur.
Cevap: (17, 23)
Herhangi bir üçgende m(ëA)+m(ëB)+m(ëC)=180° dir.
çözüm
kavrama sorusu
A
A
b
6
B
x
6
D
8
C
6
6
a
a
x
q
D
B
8
C
ABC üçgen, |AB|=|AD|=6 cm, |DC|=8 cm,
ABD ikizkenar üçgen olduu için
olduuna göre, |AC|=x in alabilecei deerler kümesini bulunuz.
m(AéBD)=m(AéDB)=D , m(BéAD)=E ve m(AéDC)=T diyelim.
ABD üçgeninde iç açlar toplamn yazarsak
2D+E=180° 2D=180° – E D= 90° –
E
bulunur. D <90° dir.
2
D < 90° ise T > 90° olmaldr.
T > 90° ise |AC|2 > |AD|2+|DC|2
x2 > 62+82 x2 > 100 x > 10
1
Üçgen eitsizliinden
||DC| – |AD|| < |AC| < |DC|+|AD|
|8 – 6| < x < 8+6 2 < x < 14
2
1 ve 2 den 10 < x < 14 bulunur.
Cevap: (10, 14)
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
412
¤¤¦¤Ú¤Ú
Açı - Kenar Bağıntıları
Test / 9
soru 1
soru 5
A
A
[BD] A [DC]
m(ëB) < m(ëA)+ m(ëC)
x
6
|AB|=6 cm
|BC|=7 cm
|AC|=12 cm
olduuna göre,
olduuna göre,
|AC| nin alabilecei
B
kaç farkl tam say
deeri vardr?
A) 12
B) 11
|BC|=x in
B
alabilecei deerler
aral aadakilerden hangisidir?
C
7
C) 9
D) 8
E) 7
12
C
x
A) 4 < x < 20
B) 4 < x < 28
C) 12 < x < 20
D) 10 < x < 28
E) 12 < x < 28
soru 6
A
soru 2
D
16
|AB|=16 cm
A
ABC üçgen
m(ëA) > m(ëB)+ m(ëC)
5
x
|AC|=5 cm
x
|AD|=|AC|=6 cm
6
6
|BD|=3 cm
|BC|=8 cm
olduuna göre,
B
8
|AB|=x in alabilecei
tam say deerleri toplam kaçtr?
A) 24
B) 19
D) 12
E) 9
A
[AB] A [BC]
9
|AD|=9 cm
x
|DC|=12 cm
olduuna göre,
12
C
aral aadakilerden hangisidir?
A) 3 < |AC| < 21
B) 3 < |AC| < 12
D) 12 < |AC| < 15
soru 4
A) 2
B) 3
C
C) 4
soru 7
D) 5
C) 9 < |AC| < 15
ABC üçgen
4
[A,] ve [C,] açortay
|A,|=4 cm
I
B
C
|AC| nin alabilecei tam say deerleri kümesi aadakilerden hangisidir?
A) {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
B) {1, 2, 3, 4, 5}
D) {5, 6, 7, 8, 9}
E) {7, 8, 9}
soru 8
A
[AD] ve [CD] açortay
13
//
x
7
D
olduuna göre, |AB|=|AD|=x in alabilecei en küçük ve en
büyük tam say deerlerinin toplam kaçtr?
B) 20
C) 22
D) 23
4
B
olduuna göre,
|AC| nin alabilecei deerler kü-
C
5
ABC üçgen, |AC|=13 cm, |DC|=5 cm
A) 18
D
|AD|=7 cm
|CD|=4 cm
B
C) {7, 8}
K
[BK [BL={B}
//
5
E) 15 < |AC| < 21
A
x
E) 6
A
olduuna göre,
B
alabilecei deerler
D
|C,|=5 cm
D
|AC| nin
3
|AB|=x in alabile- B
cei kaç farkl tam say deeri vardr?
C) 15
soru 3
C
www.kartezyen.com.tr
olduuna göre,
C
mesi aadakilerden hangisidir?
A) 3 < |AC| < 11
C) 3 < |AC| < ò65
B) 4 < |AC| < 11
D) ò65 < |AC| < 11
E) 27
L
E) 7 < |AC| < ò65
413
1–D
2–C
3–E
4–B
5–A
6–A
7–C
8–C
Açı - Kenar Bağıntıları
Yanda verilen ABC çeitkenar üçgeninde,
A
A köesine ait yükseklik ha, açortay nA, kenarortay va
B köesine ait yükseklik hb, açortay nB, kenarortay vb
ha
nA
C köesine ait yükseklik hc, açortay nC, kenarortay vc
va
sembolleri ile gösterilir.
Tüm çeitkenar üçgenlerde herhangi bir köeye veya kenara ait yükseklik (h), açortay (n) ve kenarortay (v) sralamas
H
B
N
D
C
ha < nA < va , hb < nB < vb ve hc < nC < vc eklindedir.
imdi de herhangi bir çeitkenar üçgenin yüksekliklerinin kendi arasnda
açortaylarnn kendi arasnda ve kenarortaylarnn kendi arasnda nasl
A
sralandn aratralm.
Yandaki ABC çeitkenar üçgeninde a > b > c olsun. Bu durumda
b
c
ha < hb < hc , nA < nB < nC ve va < vb < vc eklindedir.
Özetle herhangi bir üçgende bir kenarn uzunluu ne kadar büyükse bu
kenara ait yükseklik, açortay ve kenarortay o kadar küçüktür.
B
a
C
çözüm
kavrama sorusu
Bir üçgenin herhangi bir kenar uzunluu ile bu kenara ait yükseklik, açortay ve kenarortay uzunluklarnn ters orantl olduu-
A
nu örenmitik.
8
7
ABC üçgeninde;
|BC|=a=11 cm
|AC|=b=8 cm
B
11
|AB|=c=7 cm dir. Burada a > b > c bulunur.
C
a) a > b > c ise ha < hb < hc dir.
ABC üçgen, |BC|=11 cm, |AC|=8 cm ve |AB|=7 cm dir.
b) a > b > c ise va < vb < vc dir.
Buna göre,
c) a > b > c ise nA < nB < nC dir.
a) Yükseklikleri arasndaki sralamay bulunuz.
b) Kenarortaylar arasndaki sralamay bulunuz.
c) Açortaylar arasndaki sralamay bulunuz.
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
414
¤¤¦¤Ú¤Ú
Açı - Kenar Bağıntıları
Test / 10
soru 1
soru 5
K
Yanda verilen KLM
üçgeninin kenarlar
k, l ve m olmak üzere aadakilerden
Bir ABC üçgeninin kenarlar arasnda b < a < c sralamas olduuna göre,
l
m
hangisi yanltr?
L
k
M
I.
hc < ha < hb
II.
vc < va < vb
III.
nC < nA < nB
sralamalarndan hangisi ya da hangileri dorudur?
A) L açsna ait açortay nL ile gösterilir.
A) Yalnz I
B) M kenarna ait kenarortay vm ile gösterilir.
B) Yalnz III
D) II ve III
C) K kenarna ait yükseklik hk ile gösterilir.
C) I ve II
E) I, II ve III
D) M açsna ait açortay nM ile gösterilir.
E) K kenarna ait kenarortay nK ile gösterilir.
soru 5
Çeitkenar bir DEF üçgeninde D kenarna ait yükseklik, kenarortay ve D açsna ait açortay uzunluklar arasndaki sralama aadakilerden hangisidir?
A) hd < vd < nD
B) vd < hd < nD
D) hd < nD < vd
C) vd < nD < hd
E) nD < hd < vd
soru 3
www.kartezyen.com.tr
soru 2
Bir ABC üçgeninde hb=12 cm ve vb=18 cm olduuna göre, B
açsna ait açortay uzunluunun alabilecei kaç farkl tam
say deeri vardr?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
soru 7
Bir ABC üçgeninin açortaylar arasndaki nA < nC < nB sralamas
olduuna göre, bu üçgenin yükseklikleri arasndaki sralama
Bir ABC üçgeninde a, b ve c kenarlarna ait yükseklikler arasnda
ha=hb < hc bants var ise aadakilerden hangisi yanltr?
aadakilerden hangisidir?
A) va=vb
A) ha < hb < hc
B) ha < hc < hb
D) hb < hc < ha
C) hb < ha < hc
B) nB < nC
D) b > c
C) m(ëA) > m(ëC)
E) m(ëB) < m(ëC)
E) hc < ha < hb
soru 4
soru 8
Bir ABC üçgeninin kenarortaylar arasndaki vb < va < vc sralamas olduuna göre, bu üçgenin kenarlar arasndaki sralama
aadakilerden hangisidir?
A) b > a > c
B) b > c > a
D) c > a > b
C) c > b > a
E) a > b > c
I.
vc < nA
IV.
nC < ha
II.
vc < va
V.
va < nA
III.
hc < ha
Çeitkenar bir ABC üçgeninde ha=vc olduuna göre, yukardakilerden kaç tanesi dorudur?
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
E) 1
415
1–E
2–D
3–B
4–A
5–E
6–A
7–E
8–B
Açı - Kenar Bağıntıları
çözüm
kavrama sorusu
Herhangi bir üçgen oluturmak için a=4 cm, b=8 cm ve c=2 cm
lik doru parçalar verilmektedir.
C
Bu uzunluklar kullanlarak bir üçgen çizilebilir mi?
m
8c
b=
D
c=2 cm
A
B
a=4 cm
ekilde de görülecei gibi |AB|+|BD|=4+2=6 cm yapmaktadr.
Bu toplam |AC|=8 cm den daha ksa olduu için bu doru parçalar ile üçgen çizilemez.
Cevap: Çizilemez
çözüm
kavrama sorusu
Bir ABC üçgeninin çizilebilmesi için aadaki bilgiler veriliyor.
A
m(ëA)=110°, b=8 cm ve a=10 cm
110°
Bu bilgilere göre, ABC üçgeni çizilebilir mi?
8
B
10
C
Herhangi bir üçgende en büyük açnn karsnda en uzun kenar olmaldr. Soruda verilen bilgiler bu kurala uymaktadr. Dier
iki aç m(ëA)=110° den küçük olacai için [AB] nin uzunluu da
|BC|=a=10 cm den büyük olamaz. Yani ABC üçgeni çizilebilir.
Cevap: Çizilebilir
çözüm
kavrama sorusu
Bir ABC üçgeninin çizilebilmesi için aadaki bilgiler veriliyor.
A
a=18 cm, b=14 cm ve ha=20 cm
Bu bilgilere göre, ABC üçgeni çizilebilir mi?
ha=20 cm
B
14 cm
C
H
18 cm
Verilen bilgilere göre yukardaki ekil elde edilir.
AHC dik üçgeninde |AH|=20 cm ve |AC|=14 cm olur.
Bir dik üçgende dik kenarlar hipotenüsten uzun olamaz. Yani bu
üçgen çizilemez.
Cevap: Çizilemez
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
416
¤¤¦¤Ú¤Ú
Açı - Kenar Bağıntıları
Test / 11
soru 1
soru 4
I.
a=9 cm, b=7 cm, c=17 cm
II.
a=3 cm, b=8 cm, c=4 cm
III.
a=7 cm, b=2 cm, c=8 cm
Uzunluklar 4 cm, 6 cm, 10 cm ve 12 cm olan doru parçalar
ile kaç farkl üçgen elde edilir?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
Yukarda I, II ve III numaral ekillere ait kenar uzunluklar verilmitir.
Bu bilgilere göre, hangisi ya da hangileri bir üçgen belirtir?
A) Yalnz I
B) Yalnz III
D) II ve III
C) I ve II
E) I, II ve III
soru 5
Aada baz ölçüleri verilen üçgenlerden hangisi çizilemez?
A) a=6 cm, b=9 cm, c=5 cm
B) ha=6 cm, a=9 cm, b=12 cm
C) m(ëB)=104°, b=18 cm, c=16 cm
D) m(ëA)=91°, a=6 cm, b=3 cm
I.
m(ëA)=105°, a=12 cm, b=10 cm
II.
m(ëA)=90°, hc=8 cm, hb=10 cm
III.
m(ëB)=96°, b=12 cm, c=14 cm
Yukarda I, II ve III numaral ekillere ait baz bilgiler verilmitir.
Bu bilgilere göre, hangisi ya da hangileri bir üçgen belirtir?
A) Yalnz I
B) Yalnz II
D) II ve III
www.kartezyen.com.tr
E) m(ëC)=90°, c=8 cm, b=7 cm
soru 2
C) I ve II
E) I, II ve III
soru 6
I.
m(ëA)=102°, a=8 cm, c=9 cm
II.
ha=9 cm, a=10 cm, b=8 cm
III.
a=6 cm, b=9 cm, c=4 cm
Yukarda I, II ve III numaral ekillere ait baz bilgiler verilmitir.
Buna göre, hangisi ya da hangileri bir üçgen belirtmez?
A) Yalnz I
B) Yalnz III
D) II ve III
C) I ve II
E) I, II ve III
soru 3
I.
hb=9 cm, c=12 cm, a=7 cm
II.
hc=12 cm, c=14 cm, b=16 cm
III.
a=9 cm, b=12 cm, c=6 cm
soru 7
Yukarda I, II ve III numaral ekillere ait baz bilgiler verilmitir.
ha=6 cm ve va=12 cm olan ekil bir üçgen belirttiine göre,
Bu bilgilere göre, hangisi ya da hangileri bir üçgen belirtir?
A açsna ait açortay uzunluu kaç farkl tam say deeri alabilir?
A) Yalnz I
B) Yalnz III
D) II ve III
C) I ve II
A) 6
E) I, II ve III
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
417
1–B
2–C
3–D
4–A
5–B
6–B
7–B
ÜÇGENDE ELK VE BENZERLK
Benzerlik
Geometride benzerlik kavram görsel olarak birbiri ile ayn olan ekiller için kullanlr. Benzer iki eklin karlkl kenarlar arasnda sabit bir
oran vardr.
Biz bu bölümde sadece üçgenler arasndaki benzerlii inceleyeceiz.
Benzer üçgenlerin karlkl açlar birbirine eittir.
Benzer iki üçgenin karlkl kenar uzunluklar arasnda sabit bir oran vardr. Üçgenlerin kenar uzunluklar arasndaki bu sabit orana “Benzerlik Oran” denir.
Benzer iki üçgenin, karlkl açortaylarnn uzunluklar, kenarortaylarnn uzunluklar, yüksekliklerinin uzunluklar veya çevreleri arasndaki
oran da benzerlik oranna eittir.
Sonuç olarak unu söyleyelim; benzer iki üçgenin karlkl tüm açlar birbirine eit, karlkl tüm uzunluklar ise birbiri ile orantldr.
A
Yandaki ekilde ABC ve DEF üçgenleri benzerdir.
D
Bu benzerlik AÿBC~DÿEF eklinde gösterilir.
AÿBC~DÿEF ise m(ëA)=m(ëD), m(ëB)=m(ëE),
m(ëC)=m(ëF)
| AB| | AC| |BC|
k (benzerlik oran) dr.
|DE| |DF | |EF |
B
C
E
F
Benzer iki üçgenin benzerlii yazlrken sralama önemlidir. Örnek olarak, yukar-
Uyarı
daki ekil için AÿBC~DÿEF dir. Ancak AÿBC~DÿFE gösterimi veya AÿBC~EÿDF gösterimi yanltr.
D
K
30°
A
60°
60°
60°
30°
B
C
E
30°
F
L
M
Yukarda verilen üçgenleri dikkatle inceleyiniz. Bu üçgenler için benzerlik yazlrken üçgenlerin açlarna dikkat edilmelidir.
Aada verilen benzerlik yazmlarn dikkatle inceleyiniz.
{Benzerliklerin üçgenlerin açlarna göre yazldna dikkat ediniz.}
60
90°
30°
°
Fÿ E D a Kÿ M L
60
90°
30°
°
Mÿ K L 90
60°
30°
°
Aÿ B C a
90
60°
30°
°
90
60°
30°
°
90
60°
30°
°
Aÿ B C a Eÿ F D Aada verilen benzerlik yazmlar ise yanltr.
AÿBC a DÿEF
AÿBC a KÿLM
DÿEF a KÿLM
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
buradaki yazmlarda açlara dikkat edilmediini farketmelisiniz.
418
¤¤¦¤Ú¤Ú
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
Test / 1
soru 1
soru 4
Benzer iki üçgen için, bu üçgenler karlkl eletirildiinde,
I)
Tüm iç açlar birbirine eittir.
II)
Tüm kenarlar arasnda sabit bir oran vardr.
III)
Tüm açortaylar arasnda sabit bir oran vardr.
IV)
Tüm yükseklikleri birbirine eittir.
V)
Çevreleri birbirine eittir.
ADE ve BMK üçgenleri için m(ëA)=m(ëK), m(ëD)=m(ëM) ve
m(ëE)=m(ëB) olduuna göre, aadakilerden hangisi dorudur?
A) AÿDE ~ BÿMK
B) AÿDE ~ BÿKM
D) AÿDE ~ KÿMB
C) AÿDE ~ MÿBK
E) AÿDE ~ MÿKB
Yukarda verilen bilgilerden hangisi veya hangileri dorudur?
A) I, II, III
B) II, III
C) III, IV
D) II, III
E) IV, V
soru 2
D
A
B
C
E
F
Yukardaki ekilde açlar gösterilen benzer iki üçgen için
aadakilerden hangisi dorudur?
A) AÿBC~DÿEF
B) AÿBC~EÿDF
D) BÿCA~DÿEF
C) AÿBC~FÿED
E) BÿAC~EÿDF
www.kartezyen.com.tr
soru 5
FKL ve DBE üçgenleri için FÿLK~BÿDE olduuna göre, aadakilerden hangisi yanltr?
A)
|FL | |KL |
|BD| |DE|
B)
mB
C) mF
|FK | |KL |
|BE| |ED|
%
l mB
D) mK
%
E) KLF EDB
soru 3
D
A
soru 6
ABC ve DEF üçgenlerinin kenarlar arasnda
B
C
E
F
Yukardaki ekilde açlar gösterilen benzer iki üçgen için
aadakilerden hangisi dorudur?
A)
| AB| | AC| |BC|
|DE| |DF | |EF |
B)
| AB| | AC| |BC|
|DF | |DE| |EF |
C)
| AB| | AC| |BC|
|DF | |EF | |DE|
D)
| AB| | AC| |BC|
|EF | |DE| |DF |
E)
oran olduuna göre, aadakilerden hangisi veya hangileri
dorudur?
I)
AÿBC~DÿFE
II)
BÿCA~FÿED
III)
AÿCB~DÿEF
IV)
BÿAC~EÿFD
A) I, II
| AB| | AC| |BC|
|EF | |DF | |DE|
| AB| | AC| |BC|
|DF | |DE| |FE|
B) II, III
D) II, III, IV
C) II, IV
E) I, II, III
419
1–A
2–D
3–C
4–D
5–D
6–E
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
çözüm
kavrama sorusu
Benzer iki üçgenin benzerlik oran
Benzer iki üçgenin kenarlarnn uzunluklar oran benzerlik ora-
3
tir. Küçük üçgenin en uzun
5
nna eittir. Buna göre, büyük üçgenin en uzun kenarn x cm
kenar 9 cm olduuna göre, büyük üçgenin en uzun kenar kaç
alrsak
cm dir?
9
x
3
ise x
5
5.9
3
15 cm
Cevap: 15
Açı - Açı Benzerliği
ki üçgen benzer ise karlkl olarak üç açsnn eit olduunu görmütük. Verilen farkl iki üçgenin karlkl olarak iki açs eit ise üçüncü
açlarda eit olacandan bu üçgenler benzerdir diyebiliriz.
A
D
Yandaki ekilde m(ëA)=m(ëD), m(ëC)=m(ëF) ise m(ëB)=m(ëE) dir.
Buna göre, üçgenlerin tüm açlar eit olduundan AÿBC~DÿEF dir.
B
C
E
F
çözüm
kavrama sorusu
Üçgenlerin ikier açlar eit verildiine göre, üçüncü açlarda
C
eittir.
D
m(AéCB)=m(FéDE)
Üç açlarda eit olduundan üçgenler benzerdir.
30
AÿBC~FÿED {Benzerliin açlara göre yazldna dikkat ediniz.}
pp
DE
a
A
b
20
B
E
Üçgenlerin kenarlarn oranlayalm.
a
b
18
pp
DE
{Oranlamay yaparken ayn açlarn karsndaki kenarlar alt alta gelecek
F
ekilde uzunluklar yazlmaldr.}
m(AéBC)=m(DéEF)=E, m(BéAC)=m(DéFE)=D, |AB|=20 cm,
D açsnn E açsnn Üçüncü açnn
karsndaki karsndaki karsndaki
kenarlar
kenarlar
kenarlar
|BC|=30 cm, |EF|=18 cm olduuna göre, |DE| kaç cm dir?
|BC|
| AC|
=
=
|DE|
|DF |
ise
20
18
30
|DE|
| AB|
| AB| |BC|
ise
|EF |
|EF | |DE|
|DE|=30.
18
20
27
Cevap: 27
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
420
¤¤¦¤Ú¤Ú
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
Test / 2
soru 1
soru 6
A
2
Benzer iki üçgenin benzerlik oran
tir. Büyük üçgenin en
5
D
ksa kenar 10 cm olduuna göre, küçük üçgenin en ksa kenar kaç cm dir?
B
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
C
E
F
m(BéAC)=m(DéEF), m(AéCB)=m(EéDF) olduuna göre, aada
verilen eitliklerden hangisi dorudur?
A)
soru 2
| AB| | AC|
|DF | |EF |
D)
Benzer iki üçgenin en ksa kenarlar arasndaki oran 2 dir. Kü-
B)
|BC| |DF |
| AB| |DE|
| AB| | AC|
|DF | |DE|
E)
C)
|BC| | AC|
|EF | |DF |
| AC| |DE|
| AB| |EF |
7
çük üçgenin çevresi 16 cm olduuna göre, büyük üçgenin çevresi kaç cm dir?
A) 60
B) 56
C) 48
D) 36
E) 24
soru 7
A
|BC|
AÿBC~DÿEF,
|EF |
2
, |AB|=6 cm olduuna göre,
5
|DE| kaç cm dir?
A) 21
B) 20
C) 18
D) 17
E) 15
soru 4
www.kartezyen.com.tr
soru 3
D
16
B
12
20
C
E
F
m(AéBC)=m(EéFD), m(BéCA)=m(DéEF), |AB|=16 cm
|BC|=20 cm, |DF|=12 cm olduuna göre, |EF| kaç cm dir?
A) 20
B) 18
C) 15
D) 13
E) 12
AÿBC ~ DÿEF , Çevre(ABC)=24 cm, Çevre(DEF)=30 cm,
|BC|=k.|EF| olduuna göre, k kaçtr?
A)
4
3
B)
2
3
C)
soru 5
3
4
A
D)
4
5
E)
5
4
soru 8
A
B
D
E
D
C
F
L
K
[AD]A[BC], [EL]A[FK], m(AéBC)=m(EéFK), m(CéAD)=m(KéEL)
B
C
E
F
m(AéBC)=m(DéFE), m(AéCB)=m(DéEF) olduuna göre, aada
verilenlerden hangisi dorudur?
A) AÿBC ~ DÿEF
B) AÿCB ~ DÿFE
D) BÿAC ~ EÿDF
C) CÿAB ~ FÿDE
E) CÿBA ~ EÿFD
3
2
, |EL|=
olduuna göre,
4
3
Çevre(ABC)
oran kaçtr?
Çevre(EFK)
|AD|=
A)
8
9
B)
9
8
C)
2
3
D)
1
2
E)
3
5
421
1–B
2–B
3–E
4–D
5–E
6–E
7–C
8–B
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
Baz durumlarda sizden üçgenlerin açlarnn eit olduu gizlenir. Üçgenler arasnda benzerlii yakalayabilmeniz için öncelikle eit olan
açlar tespit etmelisiniz. imdi sra ile bu durumlar inceleyelim. Kavrama sorularn dikkatle inceleyecek olursanz, benzerlik konusunun
korktuunuz kadar zor olmadn göreceksiniz!
çözüm
kavrama sorusu
B
36
a
B
m(AéDC)=m(AéBC)=D
|AB|=36 cm
12
D
A
E
12
|DC|=27 cm
a
36
a
D
|BE|=12 cm
b
E
b
a
olduuna göre,
27
A
q
AéEB ve DéEC açlar
“ters açlar” dr.
q
27
|DE| kaç cm dir?
Soruda birer aç eit
olarak verildiine göre, eit olan ikinci açy
bulmalyz.
C
C
Genel olarak birer açs eit verilen iki üçgende eit olan
Buna göre, m(AéEB)=m(DéEC)=E olsun. Üçgenlerimizin ikier açlar eit olduuna göre, üçüncü açlarda eittir.
ikinci açy tespit etmeniz gerekir. Bunu yapabilirseniz
m(BéAD)=m(BéCD)=Tdiyelim.
AÇI - AÇI benzerliini yakalayabiliriniz. Eit olan ikinci açy
Tüm açlarmz eit olduuna göre, üçgenler benzerdir.
tespit etmekte aslnda bu kavrama sorusunda da gördüü-
AÿBE~CÿDE {Benzerlik açlara göre yazlr.}
p ppp pp
nüz gibi gayet kolaydr.
TDE TDE
Son olarak kenarlar oranlayalm.
E açsnn T açsnn
karsndaki karsndaki
kenarlar
kenarlar
| AB|
|BE|
=
ise
|CD|
|DE|
36
27
12
|DE|
|DE|=12.
27
=9 cm
36
Cevap: 9
Baz durumlarda, üçgenlerin açlarnn eit olduu verilmez. Bunun yerine üçgenlerin kenarlar arasnda paralellik verilir ve örencinin
eit açlar kendisinin tespit etmesi beklenir. Aadaki kavrama sorusunu incelerseniz bu durumunda anlalmas gayet kolay olduunu
göreceksiniz.
çözüm
kavrama sorusu
A
A
m(AéBC)=m(BéCD)=E
{ç ters açlar}
a
m(BéAD)=m(AéDC)=D
{ç ters açlar}
C
C
20
20
q
E
12
b
B
3x
AÿBE~DÿCE
DET DET
|BE| | AB|
|EC| |CD|
Bu kavrama sorusu ile bir öncekinin farkna dikkat ediniz!
q
Üçgenlerdeki açlarn
12
eitliinden benzerlii
yazalm.
D
Kenarlar oranlayalm:
p ppp pp
|BC|=24 cm olduuna göre, |BE| kaç cm dir?
{Ters açlar}
b
a
5x
B
D
[AD][BC]={E}, [AB]//[CD], |AB|=20 cm, |CD|=12 cm
E
m(AéEB)=m(CéED)=T
20
12
5
3
ise |BE|=5x cm, |EC|=3x cm dir.
|BE|+|EC|=5x+3x=24 ise x=3 cm |BE|=5x=5.3=15 cm
Cevap: 15
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
422
¤¤¦¤Ú¤Ú
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
Test / 3
soru 1
soru 5
A
m(BéAC)=m(BéDC)
E
|AB|=12 cm
E
|CD|=6 cm
olduuna göre, |AB| kaç cm dir?
B
B) 8
C) 9
|CD|=8 cm
6
olduuna göre,
| AE| |CE|
oran kaçtr?
| AD| |BC|
3
4
C
D) 10
B
E
D)
soru 3
D) 15
E) 28
C
m(BéAD)=m(BéCD)
D
|BE|=9 cm
|AB|+|AE|=24 cm
olduuna göre,
6
olduuna göre,
A) 7
B) 11
C)
21
2
C) 14
D) 13
E) 12
150
7
soru 7
[AC][BD]={E}
E)
120
17
A
B
E
D
C
olduuna göre,
A) 9
B) 10
C) 11
soru 8
A
m(AéBC)=m(AéDC)
12
C
|BC|=13 cm
E
B
6
|DC|=9 cm
9
3
E
[AB]//[CD]
x+2
|AB|=3|CD|
D
|ED|=x+2 cm
D
C) 18
C
4x+
B
olduuna göre, x kaçtr?
20
D)
3
E) 15
|AE|=4x+3 cm
olduuna göre,
|AE| kaç cm dir?
D) 13
A
[AD][BC]={E}
B) 16
D)
|AE|+|BE| toplamnn deeri kaçtr?
soru 4
|DE|=6 cm
B
A
|DE| kaç cm dir?
|AC|+|BD|=25 cm
B
A
|CE|+|CD| toplam kaç cm dir?
|AB|=12 cm
2
5
14
E
2|CD|=3|AB|
9
B) 15
E)
C
[AB]//[CD]
6
E
|DE|=6 cm
www.kartezyen.com.tr
28
C)
3
B) 14
3
5
D
|AD|=15 cm
D
|DC| kaç cm dir?
A) 15
3
4
|BD|=14 cm
olduuna göre,
A) 16
C)
|AC|=6 cm
|AB|=14 cm
7
A)
2
2
3
[AC]//[BD]
6
C
|EC|=6 cm
B)
[AD][BC]={E}
14
9
|AE|=9 cm
D
soru 6
A
m(AéBC)=m(AéDC)
8
C
E) 11
A) 1
soru 2
B
[AB]//[CD]
|EC|=3 cm
A) 7
12
[AD][BC]={E}
D
|BE|=4 cm
A
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
22
E)
3
423
1–B
2–C
3–A
4–D
5–A
6–C
7–B
8–C
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
imdi çok sk karlaacanz bir benzerlik türünü adm adm inceleyelim. Aada verilen ekilleri dikkatle inceler ve açklamalar anlamaya gayret ederseniz bu adm da rahat bir ekilde geçebilirsiniz.
A
A
B
C
A
+
C
B
D
E
ABC ve ADE üçgenlerini dikkatle inceleyelim.
ki üçgenin birbirine benzer olduunu görebilirsiniz.
| AB| | AC| |BC|
dir.
| AD| | AE| |DE|
D
E
Soldaki iki üçgenin birletirilmesi ile oluan ADE üçgenine ve içindeki ABC üçgeni ile verilen açlara dikkat ediniz.
| AB| | AC| |BC|
Burada da AÿBC~AÿDE ve
dir.
| AD| | AE| |DE|
Biz buna “Temel benzerlik” diyoruz. Temel Benzerlik sorularnda size iç içe iki üçgen verilir, ancak üçgenlerin açlar verilmez. Bunun
yerine paralellik verilir. Bununla ilgili aada verdiimiz kavrama sorularn dikkatle inceleyiniz.
çözüm
kavrama sorusu
ABC üçgen
A
[DE]//[BC] olduundan
yönde açlar oluur.
A
[DE]//[BC]
|AD|=9 cm
12
9
m(AéDE)=m(AéBC)
12
9
{Yönde açlar}
|AE|=12 cm
E
D
4
x
B
|EC|=4 cm
D
olduuna göre,
x
{Yönde açlar}
4
Açlarn eitliinden
|BD|=x kaç cm dir?
C
m(AéED)=m(AéCB)
E
B
| AD| | AE|
| AB| | AC|
ise
9
9x
C
AÿDE~AÿBC
12
12 4
x=3 cm
çözüm
kavrama sorusu
A
A
12
12
D
D
6
C
Cevap: 3
6
x
E
14
B
C
ABC üçgen, [AB]//[DE], |AD|=12 cm, |DC|=6 cm
x
E
14
[AB]//[DE] olduundan yönde açlar oluur.
|BE|=14 cm olduuna göre, |EC|=x kaç cm dir?
m(BéAC)=m(EéDC)
{Yönde açlar}
m(AéBC)=m(DéEC)
{Yönde açlar}
Açlarn eitliinden AÿBC~DÿEC
|CD| |CE|
6
x
ise
|CA | |CB|
6 12 x 14
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
B
424
x=7 cm
Cevap: 7
¤¤¦¤Ú¤Ú
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
Test / 4
soru 1
soru 5
A
ABC üçgen
ABC üçgen
8
[DE]//[BC]
|AE|=8 cm
5|AD|=2|BD|
E
B
B) 2
2
5
D)
soru 2
[DE]//[BC]
A) 16
4
3
E)
3
5
C)
5
9
D)
5
12
E)
1
3
A
3
D
ABC üçgen
[AB]//[DE]
www.kartezyen.com.tr
|BD|
oran kaçtr?
| AB|
B)
D) 24
6
D
E
|EC|=2 cm
2
|AB|=12 cm
C
B
olduuna göre, |AD| kaç cm dir?
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
soru 7
ABC üçgen
D
|BE|=8 cm
|BE|=4 cm
E) 10
A
[AB]//[DE]
6
|AD|=3 cm
E) 28
A
|AE|=6 cm
B
D
soru 3
3
|EC|=4 cm
E
C
|DC|=6 cm
4
B
|DC|=3 cm
B) 8
C) 10
soru 4
D) 12
E) 14
A) 3
[DE]//[AC]
| AD|
4
|AD|=|BE|=6 cm
E
C)
9
2
4
D) 5
C
E) 6
A
D
[AC]//[DE]
D
|BD|=4 cm
C
7
2
ABC üçgen
6
olduuna göre,
B)
soru 8
A
ABC üçgen
E
8
B
olduuna göre, |AD| kaç cm dir?
olduuna göre, |BC| kaç cm dir?
A) 6
C) 20
[DE]//[BC]
A
olduuna göre,
2
3
B) 18
ABC üçgen
6
|EC|=3 cm
C
soru 6
|AE|=6 cm
A)
A
|BE| kaç cm dir?
C
3
E
ABC üçgen
5
7
8
olduuna göre,
C
C)
E
D
|EC|=8 cm
4
olduuna göre,
| AD|
oran kaçtr?
|BD|
2
3
[AC]//[DE]
D
|EC|=4 cm
A)
B
6
B
1
| AB|
3
|BE|=3x cm
C
x+1
E
3x
B
|EC|=x+1 cm
|CE| kaç cm dir?
olduuna göre, x kaçtr?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
425
1–B
2–E
3–D
4–E
5–C
6–D
7–E
8–A
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
çözüm
kavrama sorusu
A
A
9
D
x
D
E
12
x
18
B
18
B
C
ABC üçgen, [DE]//[BC], |AD|=9 cm, |DE|=12 cm
|BC|=18 cm olduuna göre, |BD|=x kaç cm dir?
m(AéDE)=m(AéBC)
{Yönde açlar}
m(AéED)=m(AéCB)
{Yönde açlar}
| AD| |DE|
| AB| |BC|
ise
E
12
9
9x
12
18
C
9

ise AÿDE~AÿBC dir.
x
9
cm
2
Cevap:
9
2
çözüm
kavrama sorusu
A
AÿED~AÿCB dir.
| AE| 7x
| AE| | AD|
ise | AC| 12x
| AC| | AB|
7x
Buna göre, |AE|=7k ise |EC|=5k ve
E
D
7
5
tir.
Aslnda temel benzerlik sorularnda paralel tabanlar arasn-
5x
C
| AE|
|EC|
7
12
da kalan kenarlarn oranlar daima birbirlerine eittir.
| AD| | AE|
dir.
Yani
|DB| |EC|
B
ABC üçgen, [DE]//[BC], |AD|=7x cm, |BD|=5x cm
Cevap:
| AE|
oran kaçtr?
olduuna göre,
|EC|
7
5
çözüm
kavrama sorusu
C
[DE]//[BC] olduuna göre, AÿDE~AÿBC dir.
Bir önceki kavrama sorusunda gördüümüz gibi paralel doru
parçalar arasnda kalan kenarlarn oranlar eittir.
E
| AD| | AE|
| AD|
9
ise
|DB| |EC|
4
|EC|
Buradan, |AD|.|EC|=9.4=36 cm2
9
Cevap: 36
A
D
4
B
ABC üçgen, [DE]//[BC], |AE|=9 cm, |DB|=4 cm
olduuna göre, |AD|.|EC| çarpm kaç cm2 dir?
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
426
¤¤¦¤Ú¤Ú
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
Test / 5
soru 1
soru 5
A
ABC üçgen
ABC üçgen
8
[DE]//[BC]
|AD|=8 cm
10
5|BE|=3|EC|
E
olduuna göre,
C
| AD|
oran kaçtr?
| AC|
4
|BD|=4 cm
B
olduuna göre,
C
A)
|BC| kaç cm dir?
A) 15
B) 16
soru 2
C) 17
D) 18
8
D
|AD|=4 cm
1
C
4
|AD|=
A
E
D)
5
3
E)
C) 3
D)
5
2
E) 4
soru 3
ABC üçgen
E
C
3
[DE]//[BC]
A
D
5
cm
3
6
B
cm
5
olduuna göre,
www.kartezyen.com.tr
B) 2
8
9
5
3
6
5
|BE|=
olduuna göre, |BC| kaç cm dir?
E
C
|BD|.|EC| çarpmnn deeri kaçtr?
A) 4
B)
7
2
C) 3
D)
soru 7
5
2
E) 2
A
ABC üçgen
[DE]//[BC]
9
|AE|=9 cm
6
|DE|=12 cm
|EC|=3 cm
|BC|=16 cm
A
|BC|=6 cm
B
D
B)
5
2
C) 3
D)
soru 4
9
2
D
olduuna göre,
| AE|
oran kaçtr?
|EC|
olduuna göre, |DE| kaç cm dir?
5
3
5
8
[AC]//[DE]
|BD|=8 cm
A)
C)
ABC üçgen
[DE]//[BC]
3
2
3
8
B)
B
soru 6
ABC üçgen
A)
3
5
E
E) 20
B
|DE|=1 cm
D
[AB]//[DE]
D
|DE|=10 cm
A
E) 4
A) 2
B) 3
soru 8
A
B
C)
B
D
|BC|=36 cm
E
olduuna göre,
B
|DE| kaç cm dir?
D) 4
8
E)
9
2
A
E
ABC üçgen, [BC]//[DE], |DE|=2x cm, |BC|=3x cm
|AD|=8 cm, |CE|=6 cm olduuna göre,
C
36
6
C
7
2
C
2x
3x
|AE|=3|EC|
E
16
D
ABC üçgen
[DE]//[BC]
12
|AB|+|AC| toplamnn deeri kaçtr?
A) 27
B) 24
C) 22
D) 20
E) 18
A) 24
B) 28
C) 30
D) 36
E) 42
427
1–A
2–C
3–D
4–A
5–B
6–E
7–B
8–C
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
çözüm
kavrama sorusu
A
A
3x
3x
F
x
D
E
7
F
G
x
D
B
4k
B
C
E
7
k
4x
4x
21
3k
G
28
C
[DE]//[FG]//[BC] ise karlkl olarak |AD| ile |AE|
ABC üçgen, [DE]//[FG]//[BC], |AD|=3x cm, |DF|=x cm
|DF| ile |EG|, |FB| ile |GC| orantldr.
|BF|=4x cm, |EG|=7 cm olduuna göre, |AC| kaç cm dir?
|DF|=x ise |EG|=k
|AD|=3x ise |AE|=3k
|BF|=4x ise |GC|=4k olur.
k=7 ise
|AE|=3k=3.7=21 cm
|GC|=4k=4.7=28 cm
|AC|=21+7+28=56 cm
çözüm
kavrama sorusu
B
x
3
[DE]//[BC] ise AÿDE~AÿBC dir.
| AD| |DE|
| AB| |BC|
D
ise
4
x
4
4x
x
x.(4+x)=3.4 x=2 cm
3
Cevap: 2
A
E
C
Cevap: 56
ABC üçgen, [DE]//[BC], |AD|=4 cm, |BC|=3 cm
olduuna göre, |DE|=|DB|=x kaç cm dir?
çözüm
kavrama sorusu
D 2 A
F
C
11
14
D 2 A
B
C
ABCD dörtgen, [AD]//[EF]//[BC], |AD|=2 cm, |EF|=11 cm
|DF |
|BC|=14 cm olduuna göre,
oran kaçtr?
|DC|
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
2
K
12
L
2
E
B
[AB]//[DL] olacak ekilde [DL] çizelim.
|AD|=|EK|=|BL|=2 cm, |KF|=11 – 2=9 cm
|LC|=14 – 2=12 cm dir. DKF ve DLC üçgenleri [KF]//[LC] olduundan benzerdir.
DÿKF~DÿLC ise
¦¨¡¡£
9
F
E
428
|DF | |KF |
|DC| |LC|
9
12
3
4
Cevap:
¤¤¦¤Ú¤Ú
3
4
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
soru 1
Test / 6
soru 5
B
8
ABC üçgen
F
[DE]//[FG]//[BC]
[DE]//[BC]
12
|AD|=6 cm
|DE|=8 cm
D
|DF|=12 cm
E
8
5
|BC|=|AE|+2
C
G
olduuna göre,
|EG|
ifadesinin deeri kaçtr?
| AE|+|GC|
6
7
D
|EC|=5 cm
6
|BF|=8 cm
A)
A
ABC üçgen
B)
2
3
C)
soru 2
A
3
4
E
A
3
5
E)
D
B) 15
C) 14
4
3
|AD|=2 cm
G
E
E) 12
D
4
[BE] açortay
F
D) 13
B
ABC üçgen
[AB]//[DE]//[FG]
B
A) 16
5
6
soru 6
2
C
|BC| kaç cm dir?
D)
ABC üçgen
|DF|=4 cm
B
olduuna göre,
9
[DE]//[BC]
C
|AD|=9 cm
C
A
E
|BC|=4 cm
|BE| |GC|
.
ifadesinin deeri kaçtr?
olduuna göre,
|EG| |EC|
olduuna göre, |BD|+|DE| toplamnn deeri kaçtr?
A)
2
5
B)
3
5
C)
2
7
D)
soru 3
3
14
E)
3
7
A
ABC üçgen
[DE]//[FG]//[BC]
F
B
olduuna göre,
soru 7
A
D) 6
3
E) 7
D
ABCD dörtgen
7
E
F
|EF|=7 cm
olduuna göre,
|DF |
oran kaçtr?
|FC|
C
|DE|+|BC| toplamnn deeri kaçtr?
A) 1
B) 60
C) 56
soru 4
D) 48
1
2
11
C)
4
5
C
D)
E
E)
2
5
[AD]//[EF]//[BC]
8
3
2
A
ABCD dörtgen
6
|AD|=8 cm
B
soru 8
D
[DE]//[BC]
B)
E) 42
B
ABC üçgen
5
2
D
F
|AD|=2 cm
|BC|=6 cm
|EF|=5 cm
E
C
olduuna göre,
A
|BE|=3|AE|
B
olduuna göre, |BC| kaç cm dir?
|DE|=|BD| kaç cm dir?
A) 2
C) 5
|BC|=11 cm
|FG|=24 cm
A) 66
B) 4
|AD|=3 cm
G
24
A) 3
[AD]//[EF]//[BC]
E
D
1
.| AD| |DF |
2
1
.|GC| |EG|
2
www.kartezyen.com.tr
|FC|=3 cm
B) 3
C)
7
2
D) 4
E)
9
2
A) 10
B) 11
C) 12
C
D) 13
E) 14
429
1–A
2–D
3–C
4–D
5–E
6–D
7–A
8–E
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
çözüm
kavrama sorusu
ABC üçgen,
A
Eit açlar ekil üzerinde gösterelim.
A
B, G, E dorusal
[FE]//[BC] olduundan, tüm
iç açlar eit olan EFG ve BCG
üçgenleri benzerdir.
[DE]//[BC]
|DF|=|FE|=x cm
F
x
E
x
D
3
x
E
|FG|=3 cm
|GC|=6 cm
G
D
|FE| |FG|
ise
|BC| |GC|
3
G
olduuna göre,
6
x
F
6
x
|BC|
|AF| kaç cm dir?
C
B
C
2x
3
|BC|=2x cm
6
B
[DF]//[BC] olduundan, tüm iç açlar eit olan ADF ve ABC üçgenleri benzerdir.
Açıklama
|DF | | AF |
|BC| | AC|
Soruda iki çeit benzerlik olduuna dikkat ediniz. Birincisi,
ADF ve ABC üçgenleri arasndaki benzerlik, dieri EFG ve
BCG üçgenleri arasndaki kelebek benzerlii
x
2x
ise
| AF |
| AF | 9

1
2
| AF |
| AF | 9
|AF|=9 cm
Cevap: 9
çözüm
kavrama sorusu
ABC üçgen
A
[DC][BE]={F}
3x
D
|EC|=5x cm
F
B
3k
|DE| | AE|
|BC| | AC|
E
F
olduuna göre,
|DF |
oran kaçtr?
|FC|
5x
AÿDE~AÿBC dir.
3x
|AE|=3x cm
E
D
[DE]//[BC] ise
A
3x
8x
Buna göre,
5x
|DE|=3k cm ise
|BC|=8k cm dir.
C
B
C
8k
[DE]//[BC]
ise
Açlarn eliinden DÿEF~CÿBF
|DF | |DE| 3k 3
Buna göre,
|FC| |BC| 8k 8
3
8
çözüm
kavrama sorusu
A
A
12
12
D
E
D
E
4
3
B
Cevap:
F
B
C
F
3x
[AC][BD]={E}, B, F, C dorusal, [AB]//[EF]//[DC]
|FC|=x cm ise |BF|=3x cm
|BF|=3|FC|, |AB|=12 cm olduuna göre,
a) [EF]//[AB] ise CÿEF~CÿAB dir.
|CF | |EF |
|CB| | AB|
a) |EF| kaç cm dir?
b) |DC| kaç cm dir?
ise
x
4x
x
C
|EF |
1
|EF|=12. =3 cm
12
4
b) [EF]//[DC] ise BÿFE~BÿCD dir.
|BF | |EF |
|BC| |DC|
ise
3x
4x
3
4
|DC|=3. =4 cm
|DC|
3
Cevap: 3, 4
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
430
¤¤¦¤Ú¤Ú
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
Test / 7
soru 1
soru 5
A
ABC üçgen
ABC üçgen
B, G, E dorusal
[BE][DC]={F}
[DE]//[BC]
F
E
|DF|=|FE|
[DE]//[BC]
D
1
G
|FG|=1 cm
|BD|=7 cm
B) 3
C) 4
soru 2
D) 5
B
|AB| kaç cm dir?
E) 6
A) 21
B
B) 24
C
C) 27
E
3x
D
2x
[AB]//[DE]
A
E) 36
A
[AE][BD]={F}
6
F
|AD|=3x cm
|DG|=|GE|
| AE|
oran kaçtr?
|EC|
3
C)
2
B) 1
soru 3
A
ABC üçgen
B, G, E dorusal
[DE]//[BC]
E 3 F
|DF|=5 cm
G
5
E
D
A) 21
B) 18
C) 16
soru 7
9
B, F, C dorusal
4
|AB|=9 cm
B
F
|BC|=9 cm
|GC|
oran kaçtr? C
| AF |
soru 4
9
23
D)
10
B
27
E)
20
3x
[DC][BE]={F}
E
5x
9
4
B)
4
9
C)
4
13
D)
5
7
E)
7
9
D
A
[AC][BD]={E}
B, F, C dorusal
D
[DE]//[BC]
|AE|=3x cm
A)
C
soru 8
A
ABC üçgen
D
E
[AB]//[EF]//[DC]
|FC|
oran kaçtr?
olduuna göre,
|BF |
3
C)
5
E) 12
[AC][BD]={E}
|DC|=4 cm
5
B)
3
D) 15
A
|FE|=3 cm
olduuna göre,
B
|DF|=6 cm olduuna göre, |BF| kaç cm dir?
5
E)
2
D) 2
C
|DC|=2x cm
www.kartezyen.com.tr
3|FB|=5|GF| olduuna göre,
13
A)
5
D) 30
soru 6
G
C, F, D dorusal
1
A)
2
F
ABC üçgen
ABC üçgen
C
7
B
D
F
[DE]//[BC]
E
olduuna göre,
C
olduuna göre, |AF| kaç cm dir?
D
3|DF|=2|FC|
2
|GC|=2 cm
A) 2
A
E
12
[AB]//[EF]//[DC]
F
|AB|=12 cm
|EC|=5x cm
8
B
F
C
|EF|=8 cm
olduuna göre,
|DE|
oran kaçtr?
|BC|
C
3
A)
7
3
C)
8
2
B)
3
B
olduuna göre, |DC| kaç cm dir?
A) 26
6
D)
7
B) 24
C) 22
D) 20
E) 18
5
E)
9
431
1–B
2–C
3–C
4–C
5–A
6–D
7–B
8–B
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
Baz sorularda, size iç içe geçmi iki üçgen verilir. Bu üçgenlerin herhangi bir açlar eit verilmise aç aç benzerlii vardr. Bu durumu
aada verdiimiz kavrama sorularn inceleyerek anlayabilirsiniz.
çözüm
kavrama sorusu
A
A
D
7
4
E
B
C
8
q
7
a
C
b
D
8
4
b
q
E
B
m(AéCB)=D olsun.
ABC üçgen, m(BéAC)=m(DéEC), |AB|=8 cm, |DE|=4 cm
D açs ABC ve DEC üçgenlerinin ortak açsdr.
|DC|=7 cm olduuna göre, |BC| kaç cm dir?
m(BéAC)=m(DéEC)=E olsun.
m(AéBC)=m(EéDC)=180°–(D+E)=Tdiyelim.
Uyarı
Buna göre, üç açlar da eit olduundan AÿBC~EÿDC
p ppp pp
ETD ETD
|DE|
|DC|
4
7
7.8
=
ise
|BC|=
=14 cm
| AB|
|BC|
8 |BC|
4
ç içe verilmi iki üçgende birer aç eit verilmi ise bu
üçgenler arasnda benzerlik vardr.
D açsnn E açsnn
karsndaki karsndaki
kenarlar
kenarlar
Cevap: 14
çözüm
kavrama sorusu
D
5
A
D
8
5
q
A
b
E
2
C
8
a
a
B
E
q
C
2
B
ABC üçgen, m(AéED)=m(AéCB), |AE|=8 cm, |AD|=5 cm
m(AéED)=m(AéCB)=D ve m(BéAC)=E olsun.
|BE|=2 cm olduuna göre, |DC| kaç cm dir?
AED üçgeninde m(AéDE)=180°–(D+E)=T ise
ABC üçgeninde m(AéBC)=180°–(D+E)=T olur.
Buna göre, tüm açlar eit olduundan AED ve ACB üçgenleri
benzerdir.
| AD|
| AE|
5
8
=

|AC|=16 cm
AÿED~AÿCB ise
| AB|
| AC|
10 | AC|
p ppp pp
EDT EDT
D açsnn T açsnn
karsndaki karsndaki
kenarlar
kenarlar
Buradan, |DC|=|AC|–5=16 – 5=11 cm
Cevap: 11
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
432
¤¤¦¤Ú¤Ú
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
Test / 8
soru 1
soru 5
A
D
ABC üçgen
A
D
ABC üçgen
m(AéBC)=m(EéDC)
m(BéAC)=m(BéED)
5|DC|=3|BC|
|BD|=|EC|
|EC|=12 cm
|BC|=12 cm
olduuna göre, C
12
E
B
|AC| kaç cm dir?
A) 30
C
3|AC|=4|DE|
B) 25
C) 20
D) 18
E) 16
A) 2
B) 3
C) 4
soru 6
C
D) 5
D
9
m(AéCB)=m(AéED)
[DE]A[BC]
|AD|=3 cm, |AE|=5 cm
|AB|=|EC|=9 cm
|BE|=7 cm
|DE|=6 cm
3
|DC| kaç cm dir?
D
A
5
B) 16
E
7
soru 3
D) 14
E) 13
A
3
ABC üçgen
E
D
5
A)
27
2
B)
29
3
C)
17
2
D)
soru 7
B
C
[AB]A[BC]
E
D
olduuna göre,
A
C) 3
D) 2
|DE|=6 cm
|AC|=12 cm
B
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
soru 8
C
E
12
m(AéCB)=m(BéDE)
12
E) 1
A) 6
ABC üçgen
25
3
|DE| kaç cm dir?
olduuna göre, |BD| kaç cm dir?
soru 4
E)
C
|AB|=12 cm
B) 4
15
2
3|AC|=4|DC|
|EC|=5 cm
|AB|=6 cm
C
9
[DE]A[AC]
m(AéDE)=m(AéCB)
|AE|=3 cm
E
|AC| kaç cm dir?
B
C) 15
6
B
olduuna göre,
www.kartezyen.com.tr
olduuna göre
E) 6
A
[AB]A[AC]
ABC üçgen
A) 5
B
olduuna göre, |BE| kaç cm dir?
soru 2
A) 17
E
C
[AB]A[BC]
8
6
E
[DE]A[AC]
12
|AB|=18 cm
A
B
D
|BE|=8 cm olduuna göre, |AB| kaç cm dir?
4
|AE|=12 cm
D
A
|DE|=4 cm
B
olduuna göre, |BC| kaç cm dir?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
433
1–C
2–A
3–D
4–E
5–B
6–A
7 –D
8–B
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
Tales Teoremi
d1
3b
3a
5a
d2
5b
2a
d3
2b
l1
Tales teoremi temelde unu ifade eder. Birbirine paralel olan dorular baka dorular karlkl orantl parçalara ayracak ekilde keserler. Yandaki
ekilde birbirine paralel olarak verilen d1, d2, d3 ve d4 dorularnn A1 ve A2
dorularn nasl orantl parçalara böldükleri gösterilmitir.
d4
l2
çözüm
kavrama sorusu
F
C
F
C
3x
B
B
E
A
3k
A
D
E
x
k
D
AD, BE ve CF dorular paralel olduklarndan
A, B, C ve D, E, F dorusal, AD//BE//CF, |BC|=3|AB|
|BC|=3|AB| ise |EF|=3|DE| dir.
|DE|=5 cm olduuna göre, |EF| kaç cm dir?
|AB|=x cm
ise
|BC|=3x cm
|DE|=k cm
ise
|EF|=3k cm
|DE|=k=5 cm
ise
|EF|=3k=3.5=15 cm
Cevap: 15
çözüm
kavrama sorusu
A
A
K
E
B
E
F
3x
B
C
ABC ve ACD üçgen [EF]//[BC], [KF]//[CD],
K
7a
D
F
7b
7x
| AE|
|EB|
3a
3b
D
C
Tales teoremine göre, [AB], [AC] ve [AD] doru parçalar kar-
7
3
lkl orantl olacak ekilde parçalanr.
| AK |
olduuna göre,
oran kaçtr?
|KD|
Yani
| AE| | AF | | AK |
|EB| |FC| |KD|
7
3
Cevap:
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
434
¤¤¦¤Ú¤Ú
7
3
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
Test / 9
soru 1
A
A, C, E ve B, D, F dorusal
a2
C
soru 5
B
D
A
ABC ve ACD üçgen
AB//CD//EF
[EF]//[BC]
a+4
|AC|=a – 2 cm
F
E
|CE|=a+4 cm
12
|AE|=12 cm
|BE|=4 cm
olduuna göre, a kaçtr?
|AK|=k.|KD|
4
olduuna göre, k kaçtr?
B
A) 4
C)
B) 5
C) 6
D) 7
soru 2
A, C, E ve B, D, F dorusal
C
AB//CD//EF
|AC|=x+1 cm
x+1
2x
[EF]//[BC]
x+6
[FK]//[CD]
F
| AE|
|BE|
soru 3
D) 18
A
A, C, E ve B, D, F dorusal
AB//CD//EF
| AC| 2
|EC| 3
E) 17
B
8
12
C
D
www.kartezyen.com.tr
C) 20
5
2
D) 2
F
D
E
F
7
4
B
C
olduuna göre, |CD| kaç cm dir?
A) 21
B) 22
C) 23
D) 24
A
ABC ve ACD üçgen
[EF]//[BC]
4a
E
B
8
a
C
|EF|=8 cm
olduuna göre, |EF| kaç cm dir?
K
F
|DK|=a cm
|CD|=12 cm
E) 25
soru 7
|AK|=4a cm
|AB|=8 cm
3
2
K
[FK]//[CD]
E
E)
A
|FK|=14 cm
|DF|=x+6 olduuna göre, |AE|+|BF| toplam kaç cm dir?
B) 24
C
ABC ve ACD üçgen
D
|BD|=2x cm
A) 25
B) 3
soru 6
2x
E
|CE|=2x cm
F
E) 8
B
A
D
E
|DF|=3|BD|
A) 4
K
[FK]//[CD]
D
olduuna göre, |BC| kaç cm dir?
A) 14
B) 15
C) 16
D) 17
E) 18
A) 14
soru 4
A
A, C, E ve B, D, F dorusal
11
D
18
F
E
F
|EF|=9 cm
|BD|
oran kaçtr?
olduuna göre,
|DF |
B)
4
3
C) 1
D)
1
2
D
9
|AD|=12 cm
|EF|=18 cm
3
2
12
[DC]//[FG]
E
E) 10
A
[AD]//[EF]
|AB|=4 cm
|CD|=11 cm
D) 11
ABD ve BCD üçgen
C
AB//CD//EF
A)
C) 12
soru 8
B
4
B) 13
E)
7
6
olduuna göre,
|CG|
oran kaçtr?
|BG|
A)
1
3
B)
B
3
4
C)
G
4
3
C
D)
3
2
E) 2
435
1–B
2–A
3–E
4–C
5–B
6–B
7–E
8–A
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
çözüm
kavrama sorusu
A
|AF|=3|BF| ise
A
|AF|=3a
3y
3a
L
F
9
F
E
C
D
K
G
B
b
Tales teoremine göre,
y
x
C
D
| AF | | AG| | AK | | AL |
Yani;
|FB| |GC| |KD| |LE|
ABC ve ADE üçgen [FG]//[BC], [GK]//[CD], [KL]//[DE]
|AF|=3|BF|, |KL|=9 cm olduuna göre, |DE| kaç cm dir?
birbirine paralel olarak
verilen doru parçalar [AB], [AC], [AD] ve
[AE] kenarlarn orantl
olacak ekilde böler.
E
9
a
K
G
B
L
3x
3b
|BF|=a dr.
3a
a
3
1
{ekilde buna göre yaplan harflendirmeleri inceleyiniz.}
[KL]//[DE] olduuna göre, AKL ve ADE üçgenleri benzerdir.
| AK | |KL |
3x
9
AÿKL~AÿDE ise

|DE|=12 cm
| AD| |DE|
4x |DE|
Cevap: 12
çözüm
kavrama sorusu
B
4|DG|=3|GC| ise
B
E
|DG|=3a, |GC|=4a olsun.
E
A
9
[AD]//[FG] ise
A
9
Tales teoremine göre,
| AF | |DG| 3a 3
|FC| |GC| 4a 4
3b
F
C
F
4b
G
D
C
ABC ve ACD üçgen, [EF]//[BC], [FG]//[AD], 4|DG|=3|GC|
G
4a
D
3a
|AF|=3b, |FC|=4b
[EF]//[BC] ise AEF ve ABC
benzer üçgenlerdir.
|EF|=9 cm olduuna göre, |BC| kaç cm dir?
AÿEF~AÿBC ise
|EF | | AF |
9
ve
|BC| | AC|
|BC|
3b
|BC|=21 cm
7b
Cevap: 21
çözüm
kavrama sorusu
A
A
4
E
2
4
F
E
D
2x
F
2
D
x
C
B
C
ABC üçgen, [DE]//[BC], [DF]//[BE], |AF|=4 cm, |FE|=2 cm
olduuna göre, |EC| kaç cm dir?
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
4
2
2
Buna göre, |AD|=2x, |BD|=x olsun.
| AD| | AE|
ABC üçgeninde [DE]//[BC] ise
{Tales teoremi}
|BD| |EC|
2x
x
¦¨¡¡£
B
| AD| | AF |
ABE üçgeninde [DF]//[BE] ise
|BD| |FE|
436
42
|EC|

|EC|=
6
=3 cm
2
Cevap: 3
¤¤¦¤Ú¤Ú
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
soru 1
Test / 10
A
L
soru 5
E
ABC ve ADE üçgen
K
[GK]//[CD]
[KL]//[DE]
F
|AL|=3|LE|
C) 5
soru 2
ABC ve ADE üçgen
D) 4
[GK]//[CD]
B) 7
soru 3
[AD]//[FG]
D) 5
E) 4
A
F
E
D
olduuna göre, |EC| kaç cm dir?
A) 6
B) 7
B
C
C) 8
D) 9
soru 7
A
ABC üçgen
F
[DF]//[BE]
E
C
9
D
|DE|=9 cm
3x
|BC|=12 cm
B
olduuna göre,
| AF |
oran kaçtr?
|FE|
A) 4
B) 13
C) 14
D) 15
soru 4
[EF]//[BC]
[AD]//[FG]
| AE|
E
1
|EB|
2
C
3
2
E)
4
3
A
ABC üçgen
G
[DE]//[BC]
F
[DF]//[BE]
F
E
|DE|=10 cm
10
D
|BC|=16 cm
|AD|=24 cm
olduuna göre, |FG| kaç cm dir?
B
C
olduuna göre,
A)
A) 21
D)
soru 8
24
A
C) 2
E) 16
D
ABC ve ACD üçgen
B) 3
E
12
B
olduuna göre, |CG| kaç cm dir?
A) 12
E) 10
[DE]//[BC]
5x
F
E) 32
|AE|=14 cm
E
|BE|=3x cm
|DG|=25 cm
D) 34
|AF|=2|FE|
25
G
|AE|=5x cm
C) 36
[DF]//[BE]
L
A
[EF]//[BC]
B) 38
[DE]//[BC]
D
ABC ve ACD üçgen
E
ABC üçgen
12
C) 6
L
soru 6
A
K
[KL]//[DE]
|FG| 3
, |AL|=12 cm
D
|BC| 5
olduuna göre, |LE| kaç cm dir?
D
3
, |FG|=9 cm, |KL|=5 cm
4
A) 40
E) 3
G
C
[FG]//[BC]
5
olduuna göre, |BC|+|AE| toplam kaç cm dir?
F
B
A) 8
|GK |
|CD|
C
B
olduuna göre, |BF| kaç cm dir?
K
[KL]//[AE]
G
|AF|=12 cm
B) 6
[GK]//[CD]
D
A
G
C
[FG]//[BC]
12
A) 7
F
9
ABC ve ADE üçgen
www.kartezyen.com.tr
[FG]//[BC]
B
B) 20
C) 19
D) 18
E) 16
5
8
|FE|
oran kaçtr?
|EC|
B)
15
17
C)
4
5
16
C
D)
5
6
B
E)
6
7
437
1–D
2–A
3–D
4–E
5–E
6–B
7–B
8–A
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
Kenar - Açı - Kenar Benzerliği
Buraya kadar iki veya üç açs eit olarak verilen üçgenlerin benzer olduklarn gördük. Peki! sadece bir açs eit olan farkl iki üçgen
benzerdir diyebilir miyiz?
Evet! Ancak bu üçgenlerin baz artlarda salamalar gerekir.
A
Yandaki gibi birer açlar eit olan iki üçgen benzerdir diyemeyiz.
Ancak eit olan açnn yanndaki kollar arasnda sabit bir oran varsa (ki bu benzerlik orandr) üçgenler benzerdir.
D
b
c
e
f
a
Yani
a
B
a
C
E
d
F
a
d
c
f
ise
AÿBC~DÿEF dir.
AÿBC~DÿEF ise m(ëA)=m(ëD),
unu hatrlaynz.
m(ëB)=m(ëE),
m(ëC)=m(ëF) oldu-
çözüm
kavrama sorusu
C
C
F
F
a
b
4
4
9
D
6
D
q
6
A
q
9
E
m(BéAC)=m(FéDE), |AB|=|DE|=6 cm, |AC|=9 cm, |DF|=4 cm
olduuna göre, ABC ve DEF üçgenlerinin benzer olup olma-
a
E
b
6
A
B
6
B
m(BéAC)=m(FéDE) ise birer açlar eit
dklarn bulup üçgenler arasndaki benzerlii yaznz.
Uyarı
| AB|
|DF |
6
4
3
2
| AC|
|DE|
9
6
3
2
| AB| | AC|
olduundan üçgenler benzerdir.
|DF | |DE|
imdi üçgenler arasndaki benzerlii yazalm!
| AB|
|DE|
6
| AC|
,
6
|DF |
9
| AB| | AC|
bu durumda
dir.
4
|DE| |EF |
| AB|
| AC|
=
|DF |
|DE|
Bu durumda benzerlik yoktur derseniz yanlm olursunuz.
=
DÿEF nin uzun kenar
|BC|
|EF |
T açsnn
E açsnn
D açsnn
karsndaki karsndaki karsndaki
kenarlar
kenarlar
kenarlar
Bu hataya dümemek için
AÿBC nin uzun kenar
=
AÿBC nin ksa kenar
Kenarlar arasnda sabit bir oran olduuna göre, AÿBC~DÿFE
DÿEF nin ksa kenar
olacak ekilde uzun kenarlar kendi aralarnda ve ksa
kenarlar kendi aralarnda oranlaynz.
çözüm
kavrama sorusu
C
m(CéAB)=m(DéEF) ise üçgenlerin birer açlar eit
D
| AB|
|EF |
10
5
2
3
| AC|
|DE|
6
3
2
6
B
10
A
E
5
F
| AB| | AC| |BC|
2 olur.
|EF | |DE| |DF |
m(CéAB)=m(DéEF), |AB|=10 cm, |AC|=6 cm, |DE|=3 cm
|BC|
|EF|=5 cm olduuna göre,
oran kaçtr?
|DF |
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
| AB| | AC|
ise üçgenler benzerdir.
|EF | |DE|
Cevap: 2
438
¤¤¦¤Ú¤Ú
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
Test / 11
soru 1
D
soru 4
A
Aada verilen üçgen çiftlerinden hangisi benzerdir?
A)
a
9
B)
4
12
a
a
C)
a
a
2
9
a
9
3
E)
a
a
4
a 3
soru 2
9
A) 44
B) 43
C) 42
D) 40
E) 39
12
6
5
F
|DE| nin alabilecei deerlerin toplam kaçtr?
D)
6
E
C
Yandaki ekilde verilen üçgenler benzer olduklarna göre,
3
6
18
6
B
6
1
3
a
3
a
a 2
A
a
15
10
C
B
Aada ekli verilen üçgenlerden hangisi ABC üçgeninin
benzeridir?
A)
B)
a
C)
2
3
6
3
4
a
a
3
D)
D
A
B
12
9
8
6
12
C
E
F
m(CéAB)=m(FéDE), |AB|=8 cm, |BC|=|DF|=12 cm
|DE|=9 cm, |AC|=6 cm olduuna göre, |EF| kaç cm dir?
A) 16
B) 18
C) 20
D) 22
E) 24
E)
a
8
www.kartezyen.com.tr
soru 5
12
12
a
9
soru 3
A
D
6
E
4
a
B
a
C
8
E
6
10
F
3
Yandaki ekilde verilenlere göre,
I.
4
A
AÿBC~DÿEF
II.
m(CéAB)=m(EéFD)
III.
m(BéCA)=m(FéDE)
A)
B) II
C) II, III
D) I, III
B
F
D
15
m(AéBC)=m(EéFD), |AB|=4 cm, |BC|=6 cm, |EF|=10 cm
| AC|
|DF|=15 cm olduuna göre,
oran kaçtr?
|DE|
ifadelerinden hangisi veya hangileri dorudur?
A) I
C
soru 6
E) I, II, III
1
3
B)
2
5
C)
1
2
D)
3
5
E)
3
4
439
1–C
2–D
3–C
4–E
5–B
6–B
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
çözüm
kavrama sorusu
A
A
2
2
D
D
3
4
E
C
3
4
E
1
B
1
B
C
ABC üçgen, |AE|=3 cm, |AD|=2 cm, |BE|=1 cm
|DE|
|DC|=4 cm olduuna göre,
oran kaçtr?
|BC|
ABC ve ADE üçgenlerinde CéAB açs ortak açdr.
Birer açlar ortak olduuna göre, bu üçgenler arasnda benzerlik
arayalm.
Üçgenlerin ksa
AÿDE nin ksa kenar | AD|
=
kenarlarn :
| AB|
AÿBC nin ksa kenar
oranlayalm
2
4
Üçgenlerin
AÿDE nin uzun kenar | AE|
=
uzun kenarlarn :
| AC|
AÿBC nin uzun kenar
oranlayalm
3
6
1
2
1
2
| AD| | AE|
olduundan üçgenler benzerdir.
| AB| | AC|
| AD| | AE| |DE|
| AB| | AC| |BC|
AÿDE~AÿBC ve
1
2
Cevap:
1
2
çözüm
kavrama sorusu
C
C
8
8
10
D
E
12
E
12
6
A
10
D
6
B
A
ABC üçgen, |AD|=12 cm, |DC|=8 cm, |BE|=6 cm
|DE|
|EC|=10 cm olduuna göre,
oran kaçtr?
| AB|
B
ABC ve DEC üçgenlerinde AéCB açs ortak açdr.
Birer açlar ortak olduuna göre, bu üçgenler arasnda benzerlik
arayalm.
Üçgenlerin ksa
kenarlarn
oranlayalm
CÿDE nin ksa kenar |CD| 8
:
=
|CB| 16
CÿBA nn ksa kenar
Üçgenlerin
CÿDE nin uzun kenar |CE|
=
uzun kenarlarn :
|CA |
CÿBA nn uzun kenar
oranlayalm
10
20
1
2
1
2
|CD| |CE|
olduundan üçgenler benzerdir.
|CB| |CA |
CÿDE~CÿBA ve
|CD| |CE| |DE|
|CB| |CA | | AB|
1
2
Cevap:
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
440
¤¤¦¤Ú¤Ú
1
2
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
Test / 12
soru 1
4
2
[AE][BD]={C}
|AB|=2 cm
8
|BC|=|CE|=4 cm
|CD|=2 cm
4
|DC|=3 cm
B
C)
5
2
soru 2
D) 3
A
E) 4
11
olduuna göre,
|DE|
oran kaçtr?
|BC|
1
D)
2
soru 3
www.kartezyen.com.tr
2
C)
3
2
E)
5
A
2
1
|EC|=1 cm
C
4
A
E
A)
7
2
B)
7
3
D) 6
C
C)
7
5
D)
soru 7
9
2
E) 3
3
D
A
6
|BC|=12 cm
soru 4
B
2
|BD|=6 cm
B
C) 7
D
6
|AD|=3 cm
4
4
olduuna göre, |BC| kaç cm dir?
B) 8
7
[AD]//[BC]
D
3
|BD|=|DE|=4 cm
E) 2
|AC|=7 cm olduuna göre, |DC| kaç cm dir?
C
|AD|=2 cm
D) 1
C
|BC|=4 cm
ABC üçgen
5
4
|BD|=2 cm
B
3
B)
4
C)
|AD|=6 cm
4
|AE|=3 cm
6
5
ABC üçgen
E
D
|BD|=|AE|=4 cm
B)
4
6
|AD|=6 cm
3
2
B
2
soru 6
A
ABC üçgen
A) 9
1
| AC|
oran kaçtr?
| AD|
A)
4
A)
5
D
olduuna göre,
B) 2
|EC|=11 cm
3
|BD|=1 cm
A
olduuna göre,
| AB|
oran kaçtr?
|DE|
C
ABC üçgen
C
|AC|=8 cm
A) 1
soru 5
E
D
E) 5
olduuna göre,
| AB|
oran kaçtr?
|DC|
A)
1
4
B)
C
12
2
5
C)
soru 8
D
2
3
B
D)
4
1
2
E)
1
3
A
2
E
ABC üçgen
[AD]//[BC]
|AD|=4 cm
4
|BD|=3 cm
6
|AC|=6 cm
|AD|=5 cm
A
|BE|=4 cm
D
5
B
3
|BC|=9 cm
|AB|+|DC|=20 cm
|EC|=2 cm, |AC|=k.|DE| olduklarna göre, k kaçtr?
C
9
B
olduuna göre, |AB| kaç cm dir?
A) 1
B)
3
2
C) 2
D)
5
2
E) 3
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
441
1–B
2–E
3–B
4–C
5–E
6–A
7–D
8–A
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
Kenar - Kenar - Kenar Benzerlik Teoremi
ki üçgen arasndaki elemede karlkl kenarlarn uzunluklar arasnda sabit bir oran var ise bu üçgenler benzerdir.
A
D
B
E
C
Yandaki ekilde
| AB| | AC| |BC|
|DE| |DF | |EF |
F
ise AÿBC~DÿEF dir.
Bu durumda, m(ëA)=m(ëD)
m(ëB)=m(ëE)
m(ëC)=m(ëF)
çözüm
kavrama sorusu
E
| AB|
|EF |
15
9
B
F
10
K
6
9
|BC| 12
|FG| 18
A
6
olduuna dikkat ediniz.
2
3
| AC|
|EG|
2
3
10
15
| AB| | AC| |BC|
|EF | |EG| |FG|
olduundan
Kenar - Kenar - Kenar benzerlik teoremine göre,
G
AÿBC~EÿFG dir ve benzerlik oran
D
2
3
C
Buna göre,
[AD], [EK] açortay, |AB|=6 cm, |AC|=10 cm
| AD|
|EK |
2
tür.
3
2
olur.
3
Cevap:
|BC|=12 cm, |EF|=9 cm, |EG|=15 cm, |FG|=18 cm
olduuna göre,
2
3
| AD|
oran kaçtr?
|EK |
çözüm
kavrama sorusu
A
A
E
E
x
F
B
6
3
C
D
B
6
K
F
x
C
3
D
ABC ve EBD üçgen, |AE|=|EB|, |FD|=|EF|, |BC|=6 cm
I.adm
olduuna göre, |CD| kaç cm dir?
E veya F noktasndan paralel çizmeliyiz. Biz E noktasn seçiyoruz [EK]//[BD] olacak ekilde [EK] çizelim.
Uyarı
II.adm
Dikkatle incelerseniz AÿEK~AÿBC {[EK]//[BC] olduu için}
Bu tür sorularda daima aadaki admlar takip edin!
sndan paralel doru parças çizin.
EÿKF~DÿCF {Kelebek benzerlii} dir.
| AE| |EK |
1 |EK |
AÿEK~AÿBC olduundan
ise
| AB| |BC|
2
6
II.adm: Ek çizimden sonra karnza ya temel benzerlik
ve |EK|=3 cm
veya kelebek ekli çkacaktr.
EÿKF~DÿCF olduundan
I.adm: Orantl olarak bölünen parçalarn kesiim nokta-
|EF | |EK |
x
ise
|FD| |CD|
x
3
|CD|
ve |CD|=3 cm
Cevap: 3
temel benzerlik
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
kelebek
442
¤¤¦¤Ú¤Ú
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
Test / 13
A
soru 1
soru 5
D
8
ABC ve EBD üçgen
6
C
B
A
|AE|=|BE|
E
|EF |
|DF |
F
E
5
2
F
ABC ve DEF ekenar üçgen, |AB|=8 cm, |DE|=6 cm
|BC|=10 cm
ABC üçgeninin yüksekliinin, DEF üçgeninin yüksekliine oran kaçtr?
olduuna göre,
A)
2
3
B)
4
9
C)
3
2
D)
4
3
A) 1
E
soru 2
B) 2
D
D
C
F
K
E) 5
10
E
| AB| |BC| | AC|
|EF | |FG| |EG|
C
|DF |
oran kaçtr?
|EF |
4
, |BD|=8 cm
7
olduuna göre, |KF| kaç cm dir?
C) 15
D) 20
soru 3
E) 25
A
ABC ve EBD üçgen
|AE|=|BE|
A)
1
2
B)
5
1
3
B
C)
1
4
1
5
D)
soru 7
D
olduuna göre,
C
B
3
4
F
olduuna göre,
B
|BC|
oran kaçtr?
|BE|
|FD| kaç cm dir?
B) 5
C) 6
soru 4
D) 7
E) 8
2
F
7
D)
3
|EF|=3|DF|
olduuna göre,
|BE|
oran kaçtr?
|EC|
B
C
D
|ED| kaç cm dir?
C) 12
D) 14
E) 16
A)
4
3
A
E)
7
4
A
F
|AC|=4|AD|
|EF|=2 cm
B) 10
D
4
C)
3
D
|BE|=3|AE|
olduuna göre,
C
5
B)
2
ABC ve DEC üçgen
E
|BC|=|CD|
3
A)
2
soru 8
A
ABC ve EBD üçgen
1
6
E
|EF|=|DF|
|EF|=4 cm
E)
ABC ve DEC üçgen
| AD|
|DC|
E
F
|BC|=|CD|
www.kartezyen.com.tr
olduuna göre,
B) 14
F
|BC|=5 cm
G
ABC ve EFG üçgen, [AD]A[BC], [EK]A[FG]
A) 8
D) 4
ABC ve DEC üçgen
|BE|=10 cm
A) 4
D
A
|AD|=|DC|
A) 10
C
C) 3
soru 6
A
B
10
|CD| kaç cm dir?
9
4
E)
B
B)
B
3
2
E
C) 2
D)
5
2
C
E) 3
443
1–D
2–B
3–E
4–A
5–B
6–C
7–D
8–E
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
Eşlik
A
D
ki üçgenin birbirine e olmas bu üçgenlerin tüm açlarnn ve tüm kenar uzunluklarnn birbirine eit olmas demektir.
B
C
E
F
Yukarda verilen ekildeki ABC ve DEF üçgenleri e ise
m(ëA)=m(ëD)
m(ëB)=m(ëE)
|AB|=|DE|
ve
AÿBC #DÿEF
dir ve bu üçgenlerin elii
|AC|=|DF|
m(ëC)=m(ëF)
eklinde gösterilir.
|BC|=|EF|
Benzer iki üçgenin benzerlik oran 1 ise bu üçgenler etir diyebiliriz.
çözüm
kavrama sorusu
D
A
6
5
B
8
C
6
5
F
E
B
6
8
C
F
5
E
8
AÿBC #DÿEF ise |AB|=|DE|=5 cm, |BC|=|EF|=8 cm
Yukardaki ekillerde AÿBC #DÿEF, |AB|=5 cm, |BC|=8 cm
|DF|=6 cm olduuna göre,
D
A
| AC|
oran kaçtr?
|DE|+|FE|
|AC|=|DF|=6 cm dir.
| AC|
6
6
|DE| |FE| 5 8 13
Cevap:
6
13
çözüm
kavrama sorusu
D
A
AÿBC #DÿFE
ise
m(ëA)=m(ëD)
m(ëB)=m(ëF)
m(ëC)=m(ëE) dir.
m(ëC)=m(ëE) ise 50°=3x – 10°
50°
B
C
E
3x 10°
x=20°
F
Cevap: 20
Yukardaki ekillerde AÿBC #DÿFE, m(ëC)=50°, m(ëE)=3x – 10° ise
x kaçtr?
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
444
¤¤¦¤Ú¤Ú
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
Test / 14
soru 1
soru 4
A
D
A
D
74°
B
B
C
F
E
C
E
F
Yukardaki ekilde AÿBC #DÿEF, m(ëA)=74° olduuna göre,
Yukardaki ekilde AÿBC #EÿDF ise aadakilerden hangisi
m(ëD) kaç derecedir?
yada hangileri dorudur?
I)
|AB|=|DE|
II)
m(ëB)=m(ëE)
B) 40
C) 45
D) 56
E) 74
m(ëA)+m(ëC)=m(ëE)+m(ëF)
A) Yalnz I
B) I-II
C) II-III
D) I-III
E) I-II-III
D
soru 2
A
www.kartezyen.com.tr
III)
A) 37
18
8
B
C E
F
Yukardaki ekilde AÿBC #FÿDE, |AC|=8 cm, |DF|=18 cm
B) 26
C) 24
D
B
2x 16°
x+12°
C
A
F
E
Yukardaki ekilde AÿBC #DÿEF, m(ëA)=x+12°, m(ëD)=2x – 16°
olduuna göre, |EF|+|AB| kaç cm dir?
A) 28
soru 5
olduuna göre, x kaçtr?
D) 22
E) 20
A) 20
B) 25
C) 28
D) 35
E) 40
soru 3
A
24°
D
x
36°
C
E
F
B
soru 6
Yukardaki ekilde AÿBC #FÿED olduuna göre,
AÿBC #DÿEF, |AC|=2a+5 cm, |BC|=3b – 12 cm, |EF|=21 cm
m(ëD)=x kaç derecedir?
|DF|=b+8 cm olduuna göre, a kaçtr?
A) 100
B) 120
C) 125
D) 128
E) 130
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
E) 10
445
1–D
2–B
3–B
4–E
5–C
6–B
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
ki üçgende karlkl iki kenar ve bu kenarlar arasndaki aç eit ise bu iki üçgen etir.
D
A
B
C E
F
|AB|=|DE|, |AC|=|DF| ve m(ëA)=m(ëD) ise AÿBC #DÿEF olur.
Buradan;
m(ëB)=m(ëE)
m(ëC)=m(ëF) ve |BC|=|EF| olur.
Dikkat ederseniz, e açlarn karlarndaki kenarlar eittir. Bu üçgenin ayn zamanda e kenarlarna ait açortaylar, kenarortaylar ve yüksekliklerde eittir.
çözüm
kavrama sorusu
ABC ve DEF üçgenlerinde |AB|=|DF|=6 cm
E
|AC|=|DE|=9 cm ve m(ëA)=m(ëD) olduundan bu üçgenler eittir.
Dolaysyla AÿBC #DÿFE, |BC|=|EF|=13 cm olur.
A
9
9
6
B
Cevap: 13
13
C
F
6
D
Yukardaki ekilde m(ëA)=m(ëD), |AB|=|DF|=6 cm
|AC|=|DE|=9 cm ve |BC|=13 cm olduuna göre,
|EF| kaç cm dir?
çözüm
kavrama sorusu
AÿBC #DÿEF ve ha=3x – 5 cm, hd=x+13 cm, Vb=2x+3 cm
AÿBC #DÿEF olduu için
olduuna göre, Ve kaç cm dir?
ha=hd , hb=he , hc=hf ve Va=Vd , Vb=Ve , Vc=Vf
ha=hd ise
3x – 5=x+13

x=9 cm
Vb=Ve=2x+3=2.9+3=21 cm
Cevap: 21
¦¨¡¡£
v¨¡£¤¯Ú¡ÚŶ¦¡ÚÚ
446
¤¤¦¤Ú¤Ú
Üçgende Eşlik ve Benzerlik
Test / 15
soru 1
soru 4
E
A
16
C
D
A
B
B
C
D
F
Yukardaki ekilde |AB|=|BC|, m(AéBD)=m(DéBC)
Yukardaki ekilde m(ëC)=m(ëE), |BC|=|EF|, |AC|=|DE|
|AD|=16 cm olduuna göre, |DC| kaç cm dir?
Çevre(ABC)=17 cm olduuna göre,
A) 4
Çevre (DFE) kaç cm dir?
B) 19
C) 21
D) 24
C) 8
D) 12
E) 16
E) 26
C
soru 2
www.kartezyen.com.tr
A) 17
B) 6
D
A
B
E
F
Yukardaki ekilde m(ëB)=m(ëD), |AB|=|DF|, |BC|=|DE|
Çevre(ABC)=2x+7 cm, Çevre(DEF)=3x – 8 cm
soru 5
ABC ve DEF üçgenleri veriliyor.
AÿBC #DÿEF, nB=2x+7 cm, nE=3x – 9 cm
olduuna göre, x kaçtr?
olduuna göre, x kaçtr?
A) 18
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
B) 16
C) 15
D) 12
E) 8
D) 11
E) 9
E) 15
soru 3
D
A
9
5
5
E
B
11
F
C
11
soru 6
Yukardaki ekilde m(ëB)=m(ëF), |DE|=9 cm
|AB|=|DF|=5 cm, |BC|=|EF|=11 cm
AÿBC #DÿEF, hc=x+3 cm ve hf=2x – 5 cm
olduuna göre, |AC| kaç cm dir?
olduuna göre, hf kaç cm dir?
A) 9
B) 10
C) 12
D) 14
E) 15
A) 15
B) 14
C) 12
447
1–A
2–E
3–A
4–E
5–B
6–D