HPFBU Hızlandırıcı Fiziği Enine Demet Dinamiği I Dr. Öznur METE Hızlandırıcı Fizikçisi The University of Manchester The Cockcroft Institute of Accelerator Science and Technology e-posta: [email protected] www: www.cern.ch/omete 1 HPFBU Giriş Enine demet dinamik Boyuna demet dinamik Öğrendiklerimizi simulasyon çalışmaları ile pekiştireceğiz. Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 2 Hızlandırıcılar Parçacık demetinin yörüngesini magnetik alanlar kullanarak belirliyoruz. Eğici Mıknatıs Dairesel Yörünge için koşul DİPOLE-ÇİFT KUTUPLU FLorentz = Fmerkezcil CERN, PS 1959 Odaklayıcı Mıknatıs QUADRUPOLE-DÖRT KUTUPLU CERN’de Bilim Saati - LHC 3 CERNTR - CERN’de Türkçe Fizik Forumu Temel Taşlar Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları HPFBU Demet Bükülmezliği (rigidity) Hızlandırıcılarda, parcacıklar önceden belirlenmiş yörüngelerde hareket ederler. ‣ ‣ Nasıl? Saptırıcı magnetik alanlar kullanılarak. Ne kadar? Parcacıkların merkezcil kuvvetleri ve Lorentz kuvveti arasındaki dengeye bağlı olarak. gnet a M lu p u t u K i Ik FLorentz = qE + q[v ⇥ B] Fmerkezcil = mv 2 p B. = q Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 4 Temel Taşlar Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları HPFBU Demetin enine ölçüleri, demetin gezinge yarıçapına (~hızlandırıcının çevresi) göre küçük olduğu için magnetik alanı ideal gezinge (trajectory) civarında seriye açabiliriz. Taylor Açılımı: f (x) = f (x0 ) + (x x0 ) (x x0 )2 f (x0 ) + f (x0 ) + ... 1! 2! B magnetik alanının demetin ilerleme eksenine dik eksen civarında Taylor açılımına bakalım: dBy 1 d2 By 2 1 d3 By 3 By (x) = By0 + x+ x + x + ... dx 2! dx2 3! dx3 y momentuma normalize edelim, p/e B(x) B0 g 1 g0 2 1 g 00 3 = + x+ x + x + ... p/e B0 p/e 2! p/e 3! p/e B(x) 1 1 1 3 2 = + kx + mx + ox + ... p/e 2! 3! s dairesel koordinat sistemi Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 5 Temel Taşlar Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları Magnetin kutup sayısı Magnetik yetkinliği 1 iki-kutuplu (dipole) dört-kutuplu (quadrupole) HPFBU Etkisi = e Bz0 p yönlendirme (steering) k= e dBz p dx odaklama (focusing) altı-kutuplu (sextupole) e d2 Bz m= p dx2 renklilik karşılama (chromaticity compensation) sekiz-kutuplu (octupole) e d3 Bz o= p dx3 alan hataları ve hata karşılama (field errors and compensation) v.b. ... ... B(x) 1 1 1 3 2 = + kx + mx + ox + ... p/e 2! 3! Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 6 Temel Taşlar Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları HPFBU t e n g a M u l İki Kutup CERN, PS 1959 CERN, SPS 1976 Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 7 Temel Taşlar Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları HPFBU Bir İki Kutuplunun (Dipolun) Alan Kuvveti (yetkinliği) 1 e = B p 1 e = B ⇥ mv 1 ec = B ⇤ ⇥m cc 1 ec = B ⇥ E Hatırlatıcı p = mv v= c 1 B⇥[T.m] = E ec “normalize alan kuvveti” Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 1 [m 1 B⇥[T.m] = E[GeV ] 0.2998 1 0.2998.B0 (T ) ]= p(GeV /c) 8 Temel Taşlar Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları Bir Dört Kutuplunun (Quadrupole) Odaklama Kuvveti (yetkinliği) Doğrusal olarak artan bir Lorentz kuvveti gerekiyor: “normalize alan kuvveti” k[m “bir dört-kutuplunun odak uzakligi” Dört Kutuplu Magnet Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I Bx = gy By = gx 9 2 0.2998.g ]= p(GeV /c) 1 f= k · lq HPFBU Temel Taşlar Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları HPFBU Bundan sonrası için yapacağımız yaklaşımlar: ‣ Hesapları ideal parçacığı ve tasarım yörüngesini göz önünde bulundurarak yapalım. ‣Diğer ! parçacıkların demet içinde sayılması için gereken koşul: x, y << ‣Magnetik kılavuz alan için koşul: Alanın x,y bileşenler cinsinden sadece doğrusal terimleri göz önünde bulundurulacak. Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 10 Hareket denklemi Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları d2 ⇥ ar = 2 dt Yarıçapsal ivmelenme d 2 ⇥( ) dt ideal yörünge genel gezinge +x d =0 dt d 2 F = m⇥( ) = m⇥⇤ 2 dt d2 F = m 2 (x + ) dt mv 2 = eBy v x+ { { = constant HPFBU F = mv 2 / x d2 d2 (x + ) = 2 x 2 dt dt mm 1 x+ ⇥ 1 y d2 x m 2 dt s dairesel koordinat (eşgüdüm) sistemi Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 11 mv 2 (1 x ) = eBy v (1 m x ) Türetim - 1 ‣ By By = B0 + x x doğrusal yaklaşıma göre kılavuz alan d2 x m 2 dt mv 2 (1 x d2 x dt2 ⇥By ) = ev(B0 + x ) :m ⇥x v2 (1 ‣bağımsız değişkenin değişimi: t -> s 2 dx dx ds d x d dx ds d dx ds ds = = ( )= ( ) 2 dt ds dt dt dt ds dt ds ds dt dt x v x x 2 v2 1 1 x (1 x (1 + x 2 B0 xg = + p/e p/e x + x( 1 evB0 evxg )= + m m \ d2 x dx dv 2 =x v + v 2 dt ds ds evB0 evxg )= + m m eB0 exg )= + mv mv Review of CAS - Accelerator Physics' 09 May/2010 x :v^2 mv=p g/(p/e)=k k) = 0 2 12 O.Mete Hareket denklemi Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları Özetle ‣ ‣ ‣ doğrusal yaklaşım altında kılavuz alanı, bağımsız değişken değişimi, parçacık momentumuna normalizasyon, ve bazı hesaplamalar, önceki sayfa... d2 x m 2 dt mv 2 x + x( (1 1 x ) = eBy v k) = 0 2 k = 0, x = 1 2 x YORUM: Dört-kutuplu magnetler olmaksızın bile iki-kutuplu magnetin eğme düzleminde bir geri-çağırıcı kuvvet var. “Zayıf odaklama”. Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 13 HPFBU Hareket denklemi Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları HPFBU Özetle ‣ ‣ ‣ doğrusal yaklaşım altında kılavuz alanı, bağımsız değişken değişimi, parçacık momentumuna normalizasyon, ve bazı hesaplamalar, önceki sayfa... d2 x m 2 dt mv 2 x + x( (1 1 x ) = eBy v k) = 0 2 Equation for the vertical motion 1 2 =0 k⇥ k no dipoles...in general... quad field changes sign y + ky = 0 Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 14 Hareket denklemi Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları x + x( 1 2 k) = 0 Tanım: 1 Yatay düzlemde: K= Dikey düzlemde: K=k x 2 k Kx = 0 Harmonik salınıcının hareket denklemi! Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 15 HPFBU Hareket denklemi Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları HPFBU Harmonik salınıcı denklemini genel çözümü: x(s) = x0 cos( Ks) + x (s) = x0 ⇥ x0 sin( Ks) K M= ⇥ ⇥ Ksin( Ks) + x0 cos( Ks) ⇤ cos |K|s ⇤ ⇤ |K|sin |K|s |K|s ⇤ cos |K|s s = s1 s = s0 Odaklama ⇤ ⇥1 sin |K| K>0 Bir parçacığın, S0 konumundaki (x,x’) noktalarını M matrisini kullanarak S1 konumu için hesaplayabiliriz. Bu M matrisine “iletim matrisi” denir. x x Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I ⇥ =M s1 16 x x ⇥ s0 ⇥ Hareket denklemi Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları M= ⇤ cos |K|s ⇤ ⇤ |K|sin |K|s Gezinge boyunca magnet yoksa… ⇤ ⇥1 sin |K| |K|s ⇤ cos |K|s ⇥ K=0 1 0 M= s 1 ⇥ Sürüklenme boşluğu için iletim matrisi. Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 17 HPFBU Hareket denklemi Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları ⇤ cos |K|s ⇤ ⇤ |K|sin |K|s M= ⇤ ⇥1 sin |K| |K|s ⇤ cos |K|s K<0 x x Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I ⇥ =M s1 18 ⇥ s = s1 s = s0 Dağıtma HPFBU x x ⇥ s0 İnce lens yaklaşımı Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları HPFBU Kullanışlılık açısından aşağıdaki gibi bir durum incelenebilir: 1 f= >> lq klq Genellikle bir magnetin uzunluğu odak uzunluğundan mertebece küçüktür. lq 0 klq = constant matrix of a focusing quadrupole matrix of a defocusing quadrupole ⇥ ⇥ MQF = Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 1 1 f 0 1 19 MQD = 1 1 f 0 1 Örgü birimleri boyunca demet iletimi Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları HPFBU Tek örgü birimleri için ayrı ayrı bulunmuş sonuçlar, bu birimlerin iletim matrislerinin çarpılması ile birleştirilir. Mtotal = MQF MD Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I MBend MD 20 MQD MD MBend MD ... Örgü birimleri boyunca demet iletimi HPFBU Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları Tek örgü birimleri için ayrı ayrı bulunmuş sonuçlar, bu birimlerin iletim matrislerinin çarpılması ile birleştirilir. Mtotal = MQF MD MBend MD MQD MD MBend MD ... example: FoDo Lattice half cell MF oDo = MQF = 1 1 2f 0 1 ⇥ ⇥ 1 0 l 1 MD ⇥ MQD 1 ⇥ 1 f 0 1 MD ⇥ ⇥ MQF l 1 ⇥ l 2f ) ⇥ 1 0 matrix of a FODO lattice MF oDo = Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 1 l2 2f 2 2l(1 l l (1 + 1 2 2f 2f ) 21 l2 2f 2 ⇥ 1 1 2f 0 1 ⇥ Hill Denklemi Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları HPFBU Periyodik odaklama koşulları altında hareket denklemi… George William Hill (1838 - 1914) Mathematician - Astronomer http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hill.html Hill Denklemi x (s) k(s)x(s) = 0 k(s) demek, odaklama özellikleri hızlandırıcı boyuncaki konuma bağlı demektir. Genel Çözümü x(s) = Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I ⇥ (s)cos(⌅(s) + ⇤) 22 Türetim - 2 (1) (2) (3) x(s) = Evre uzayı ⇥ Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları (s)cos(⌅(s) + ⇤) cos(⌅(s) + ⇤) = x(s) (s) ⇥ x (s) = ⇥ ⇤ ⇥(s) HPFBU [ (s)cos(⇧(s) + ⌅) + sin(⇧(s) + ⌅)] sin(⇧(s) + ⌅) = ⇥x + x ⇥ ⇥(s) ⇤ 2 x (s) 2 cos (⌅(s) + ⇤) = ⇥ (s) 1 2 sin (⇧(s) + ⌅) = (⇥ (s)x 2 (s) + 2⇥(s) (s)x (s)x(s) + ⇤⇥ 2 (4) sin2 (⇥(s) + ) + cos2 (⇥(s) + ) = 1 (5) ⌅ = ⇤(s)x(s)2 + 2 (s)x(s)x (s) + ⇥(s)x (s)2 Ek olarak: (s) = Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 1 + 2 (s) ⇤(s) = ⇥(s) 1 ⇥ (s) 2 23 2 (s)x2 (s)) Evre uzayının korunumu Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları HPFBU Demetin evre uzayındaki yayımı (emittance) korunumludur. ‣ Demetin x-x’ uzayındaki davranışı, s konumuna göre parametrik bir elips ile tanımlanır. ⌅ = ⇤(s)x2 (s) + 2 (s)x(s)x (s) + ⇥(s)x 2 (s) x ( ⇥ , ⇥/ . . ⇤/⇥ ) . ( ⇥ , ⇤/⇥ ) Max. genlik . ‣Büyük beta fonksiyonu geniş bir demetin ve düşük açılmanın (divergence) x göstergesidir. Tersi de doğrudur. ⇥/ ‣Dört-kutuplu magnetin ekseninin ortasında, ⇥ = maximum, = 0 x =0 ‣ ‣ x, x’ uzayında bir elipsin parametrik gösterimidir. bu elipsin şekli ve yönelimi α,β,γ parametrelerince (Twiss parametreleri) belirlenir. Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 24 Evre uzayının korunumu Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları HPFBU Demetin evre uzayındaki yayımı (emittance) korunumludur. ‣ Demetin x-x’ uzayındaki davranışı, s konumuna göre parametrik bir elips ile tanımlanır. ⌅ = ⇤(s)x2 (s) + 2 (s)x(s)x (s) + ⇥(s)x 2 (s) x . ( ⇥ , ⇥/ . to k cı a ç . ar r i p d an lliği n a e p s l öz ! a k e abit a m S te ınc n ala ’ x x, ğ u l plu Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I u un Liouville Teoremi: Faz uzayinda demet tarafindan kaplanan alan sabittir. ⇤/⇥ ) n . . ( ⇥ , ⇤/⇥ ) ✏/ x 1 r r Normalize yayınım ⇥/ (emittance): ✏⇤ = ( 25 r r )✏ Betatron Fonksiyonu Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları HPFBU Daha önce görmüş olduğumuz matris formalizmi, çok parçacıktan oluşan bir sistemin, yani demetin, bileşke davranışı hakkında bilgi vermez. courtesy B. Holzer x(s) ile tanımlanan ideal yörünge civarında gerçekleşen enine salınımlara “Betatron salınımları” denir. Hızlandırıcı boyunca magnetik örgünün odaklama özelliklerinin tanımlandığı periyodik fonksiyondur. (s + L) = (s) “0” ve “s” noktaları arasındaki “evre ilerlemesi” (phase advance) ⇥(s) = 0 1 Q= 2⇥ Tam bir devir için, tur başına salınım sayısına “ayar” (tune) denir. Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I s 26 ds (s) ds (s) Betatron Ayarı Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları “0” ve “s” noktaları arasındaki “evre ilerlemesi” (phase advance) s ⇥(s) = 0 Tam bir devir için, 1 Q= 2⇥ tur başına salınım sayısına “ayar” (tune) denir. HPFBU ds (s) ds (s) Betatron ayarı enine düzlemde parçacık hareketini tanımlamak için kullanılan önemli bir parametredir. İdeal bir hızlandırıcı (ideal magnetler ve hizalama) ve tamamen monochromatic bir demet için betatron ayar değerleri sistemdeki quadrupollerin kuvvet değerlerine uygun herhangi bir değer olabilir. Ancak gerçekte, magnetik alanlarda ve bileşenlerin hizalanmasında ufak hatalar oluşması kaçınılmazdır. Bu tür kusurlardan kaynaklanan karasızlıklardan kaçınmak için hızlandırıcının betatron ayarı çok dikkatli seçilmelidir. Basit bir örnek verelim: Ayarın tamsayı bir değer olduğu bir hızlandırıcıda dipole alanında bir hata olduğunu düşünelim. Bu durumda parçacık perturbasyon bölgesine her turda aynı faz ilişkisi ile varacaktır. Alan hatasında kaynaklanan tekme (“kick”) parçacıkların her turunda sistematik olarak eklenecek, salınımın genliği ta ki parçacıklar hızlandırıcının duvarlarında yok olana dek artacaktır. Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 27 Betatron Ayarı Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları HPFBU Rezonans Diagramı Rezonanslara sebep olan istenilmeyen ayar kombinasyonları bir ayar diagramında gösterilebilir. Demetin ayar uzayında kapladığı alana “ayar ayakizi (tune footprint)” denir. ! Hızlandırıcının performansı ve deneylerdeki parçacık ardalanı ayar diagramındaki ayakizine hassas bir şekilde bağlıdır. CERN-SL-2000-037-DI Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 28 homojen olmayan hareket denklemi Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları HPFBU Homojen olmayan hareket denklemi için parçacık gezingeni y p/p = 0 ‣Demet içinde momentum yayılımının sıfırdan farklı olduğu durumu inceleyelim. dairesel koordinat sistemi x + x( 1 2 k) = p1 p0 Sonraki sayfaya gidiniz. --> Homojen olmayan hareket denkleminin çözümü p x(s) = x (s) + D(s) · p Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 29 s Türetim - 3 Homojen olmayan hareket denkleminin türetilmesi 1 x Türetim 2‘den hatırlayalım: (1 x eB0 exg )= + mv mv p = p0 + p Hesabımızı küçük bir momentum hatası olduğunu göz önüne alarak yineleyelim: 1 p << p0 ⇤ p0 + x 1 + x 2 eB0 ⇥ p0 1 ⇥ p p0 p20 p exg eB0 + 2 p0 p0 k x 1 2 k) = xeg p p20 } } } 1 x + x( p 0 (x, p small) p1 p0 Momentum yayılımı hareket denkleminin sağ tarafına ek bir terim getiriyor. Review of CAS - Accelerator Physics' 09 May/2010 30 O.Mete homojen olmayan hareket denklemi Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları HPFBU Homojen olmayan hareket denklemi için parçacık gezingeni matris formalizmi x(s) = x (s) + D(s) · p/p x(s) = C(s) · x0 + S(s) · x0 + D(s) · x x ⇥ = s C C S S ⇥ x x ⇥ p + p 0 p/p D D ⇥ veya ⇤ ⇥ x C ⌅ =⇤ C x p/p s 0 S S 0 ⇥ D D ⌅·⇤ 1 ⇥ x ⌅ x p/p 0 ‣ İdeal parçacığın sahip olduğu yörünge dp/p = 0 için tanımlıdır. ‣ Herhangi bir parçacığın yörüngesi ise xβ ve dağılımdan gelen terimin toplamına eşittir. ‣ D(s), örgünün odaklama özelliklerine bağlı diğer bir yörüngeyi tanımlar. ‣ Dağılıma iki-kutuplu magnetler sebep olur. ‣ Çarpıştırıcıların etkileşme noktalarında dağılım değeri sıfır olmalıdır. Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 31 momentum sıkıştırması Enine Demet Dinamiğinin Temel Kavramları HPFBU Homojen olmayan hareket denklemi için parçacık gezingeni Momentum Sıkıştırma (compaction) Katsayısı Dağılım (dispersion) fonksiyonu aracılığı ile parçacığın momentum dağılımı ve boyuna hareketini ilişkilendirir. Momentumu sapmış parçacıklar için yörüngenin uzaması: cp 1 = L ⇥l = L Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I D(s) ds ⇥(s) cp 32 p p HPFBU momentum sıkıştırması Basic concepts of transverse and longitudinal beam dynamics Homojen olmayan hareket denklemi için parçacık gezingeni Dört Kutuplu Hataları ve Renklilik (Quadrupole Error and Chromaticity) ‣ ‣ ‣ Quadrupole hataları ayar (tune) kaymasına sebep olur. ΔQ, quadrupole içindeki β fonksiyonu ile orantılıdır. Renklilik momentumdaki hatayı ayar kayması ile ilişkilendiren katsayıdır. Q= s0 +l s0 K(s) (s)ds 4⇥ Q = p Q=Q p Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 33 1 4⇥ K(s) (s)ds HPFBU Alıştırma CERN’de bulunan Super Proton Synchrotron’undan LHC’ye aktarılacak demetin enine genişliğinin hesaplanması. Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 34 HPFBU Alıştırma CERN’de bulunan Super Proton Synchrotron’undan LHC’ye aktarılacak demetin enine genişliğinin hesaplanması. Κοnum=~3969.26 m ("@QF.41610") βx = 106.6 m Dx = -0.44 m εx = 1x10-8 m Δp/p = 0.287x10-3 Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 35 HPFBU Alıştırma CERN’de bulunan Super Proton Synchrotron’undan LHC’ye aktarılacak demetin enine genişliğinin hesaplanması. Κοnum=~3969.26 m ("@QF.41610") βx = 106.6 m Dx = -0.44 m Quadratic Toplam s ⇤x,y = ⇥x,y x,y + (Dx εx = 1x10-8 m Δp/p = 0.287x10-3 Doğrusal Toplam p 2 ) p ⇤x,y = p ⇥x,y x,y + |Dx p | p Toleranslar ⇤x,y = ⌅ p ⇥x,y x,y + ⌅ |Dx p |+c p τ = 1.1, c = 100 μm alarak ve doğrusal toplam yolunu kullanarak demetin enini hesaplayınız. Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 36 HPFBU Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 37 HPFBU www.cern.ch/acctr Dr. Oznur Mete / Enine Demet Dinamiği I 38