Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu SM` de yer

Standart Model (SM) Lagrange Yoğunluğu
SM’ de yer alacak fermiyonlar
u  s   t 
      u R , d R , cR , s R , t R , bR
 d L  c L  b L
  e        
      e R ,  R , R
 e L   L   L
Şimdilik nötrinoları kütlesiz Kabul edeceğiz. Kuark çiftlerini Qi , lepton çiftlerini Li ile
gösterelim. u R , c R ve t R ’yi
u iR (i=1,2,3) olarak
d R , s R ve b R ’yi ise diR (i=1,2,3) olarak
gösterelim. Benzer şekilde sağ elli leptonları da eiR olarak gösterelim. SM’nin ayar grubu
SU (2) L U (1)Y olarak belirlenmiştir. Sol elli fermiyonlar SU (2) L altında çiftler oluştururlar, sağ
elliler ise SU (2) L altında değişmezler.
Fermiyonların U (1)Y altındaki yüklerini Yf olarak belirleyelim, yani
YQ , YL , YuR , YdR ... (farklı
ailelerin, birbirilerinin kopyası olduğunu varsaydık. Dolayısıyla farklı ailelerin hiperyükleri
aynıdır).
Bu durumda yazılabilecek ayar teorisi Lagrange yoğunluğu
i
i
L   QiiDQi  LiDL
 u iR iDu iR  dRi iDd iR  eRi iDeiR 
i
1
1
 B B  Wn Wn
4
4
olarak yazılabilir. Burada B ve Wn , U(1)Y ve SU(2)L ayar bozonlarının şiddet tensörleridir.
B    B    B
Wn    Wn    Wn   nlm Wl Wm
olarak verilir.
Kovaryant türevler ise
1

YQ  i
n 
D Qi      ig 2 Wn
Q
  ig1B
2 
2 


YL  i
n 
D Li      ig 2 Wn
L
  ig1B
2 
2 

Yu 

D u iR     ig1B R  u iR
2 

Yd 

D d iR     ig1B R  d iR
2 

Ye 

D eiR     ig1B R  eiR
2 

olarak tanımlanır.
Fermiyonların kütle terimleri
m (R L  LR )
Olarak yazılır ( eğer fermiyonların yükleri varsa, tek olasılık budur, eğer yükleri yoksa,  R gibi ,
TR C R gibi de kütle terimi yazılabilir. Bunlara Majorana kütlesi denir). Ancak sol elli
fermiyonlar ile sağ elli fermiyonlar SU(2) L altında farklı davrandığından, bu terimler SU(2)L
altında invariant değildir. Dolayısıyla Lagrange yoğunluğuna eklenemez.
Bir Higgs ikilisinin olduğunu varsayalım:
  
   0 
 
Ve SU(2)L altında fermiyon ikilileri gibi dönüşsün,  ikilisinden ,
    *     0 * 
0
0
1




   
 C  i2*  



*
*
 1 1   0            

 

ikilisini tanımlayabiliriz. SU(2)L altında bu ikili de  gibi dönüşecektir.  ’nin U(1)Y yüküne
(hiper yüküne) Yh diyelim
bu durumda Lagrange yoğunluğuna;
2
2
L  D   V()
LY  Qi d Rj ijd  Qi  C u Rj iju  Li eRj ije  h.c
terimlerini eklersek, elde edeceğimiz Lagrange yoğunluğu da SU(2)L altında değişmez olacaktır.
Bu terimleri eklememizdeki amaca gelince;
Eğer
V() 


2
  v2
4!

2
Olarak seçersek potansiyelin minimumu   v2 koşulunu sağlayan bütün noktalar olacaktır.
2
Bu koşulu sağlayan bütün noktaları
 e
i n
n
2
0
 
 v
Olarak yazabiliriz. Evren bu minimum noktalardan birini seçecektir. Bu minimumu uygun bir
0
ayar dönüşümü ile     yapabiliriz. Bu minimum da Lagrange yoğunluğunun neye
 v
benzediğine bakalım;
Yukava Terimleri (LY)
0
 v
0
LY  Qi   d Rj ijd  Qi   u Rj iju  Li   e Rj ije  h.c.
 v
0
 v
LY   ijd vdLi d Rj   iju vu Lj u Rj   iju veLj e Rj  h.c.
Bu terimler fermiyonların kütle teriminden başka birşey değildir. Dolayısıyla, evrenin
minimumundan baktığımızda evrendeki fermiyonlar (nötrinolar hariç) kütleli görünecektir.
Higgs Kinetik Terimi

Yh 
n 
D       ig 2 Wn

  ig1B
2
2




olduğunu kullanırsak
3
 g 2  W3
D   i   1
2

 2  W  iW
W1  iW2 
Yh   0 

g
B
 

1

 W3 
2   v 
1
2



v  g 2 W  iW
v  2g 2 W




D   i 


i
2  Yh g1B  g 2 W3  
2  Yh g1B  g 2 W3  




olacaktır. Dolayısıyla  alanının kinetik terimi
D 
2

v2
4
 2g 2 W  W    Y g B  g W3 2 
h 1 
2

 2  

halini alır. Burada W W terimi W  bozonlarının kütle terimidir.
Z 
Yh g1B  g 2 W3
g 22   Yh g1 
2
ve
A 
Yh g1W3  g 2 B
g 22   Yh g1 
2
olarak tanımlarsak kinetik terimi
D 
2
1
1
 m2w W W  m2Z Z2  m2 A2
2
2
olarak yazabiliriz. Burada
g 22 v 2
2
2
v
2
m 2Z 
g 22   Yh g1 
2
2
m  0
m 2w 


Yani, potansiyelin minimumunda W  ve Z bozonları kütleli bozonlar olarak görünür. A  ise
kütlesiz görünecektir.
Eğer yazdığımız Lagrange yoğunluğu doğayı açıklayacak ise A  ’yü elektromanyetik potansiyel
olarak belirlemeliyiz. Ancak bu durumda A  ’nün diğer parçacıklarla etkileşmesine de
bakmamız lazım.
4
Genellikle
cos w 
sin w 
g2
g 22   Yh g1 
2
g1Yh
g 22   Yh g1 
2
olarak tanımlanır. Bu durumda
 A   cos w
   
 Z    sin w
sin w   B   B   cos w



cos w   W3   W3   sin w
 sin w   A 
 
cos w   Z 
olarak yazılabilir. Özellikle
m2w
g 22
 2
 cos 2 w
2
2
m Z g 2   Yh g1 
olarak yazılabilir. A  ’yü elektromanyetik alan olarak belirlemek için A  ’nün diğer alanlarla
etkileşimina bakmak lazım. Etkileşim terimleri kovaryant türevlerden gelecektir. Fermiyonların
kinetik terimlerin sadece ilgili kısımlarını yazarsak:
i
i
QiiDQi  LiDL
 u iR iDu iR  d Ri iDd iR  eRi iDeiR
3
   YQ g1B  g 2 W
Q

2        
 i
 Q  ....
Yh g1B  g 2 W3 


 u iL  YQ g1B  g 2 W3  u iL  d Li
YQ g1B  g 2 W3  d iL 

2
2


i 
3
i
i 
 L  YQ g1B  g 2 W   L  eL  YQ g1B  g 2 W3  eiL 
2
2





u iR Yu R g1B u iR  d Ri
YdR g1B d iR  eRi
Yd g1B eiR
2
2
2 R

i
Bu ifade de B  Cw A  Sw Z ve W3  Cw A  Sw Z , (Cw  Cosw ,Sw  Sinw ) yazarsak
5

 i  i

i 
u
u
Y
g
C

g
S

d
d iL  YQ g1B  g 2Sw   


2 w
L
 L 2 L Q 1 w
2




 i  i

i 
i
 A    L  L  YQ g1C w  g 2Sw   eL e L  YQ g1C w  g 2Sw   
2
2







i 
i
i 
i
i 
i
 u R 2 u R Yu R g1C w  d R 2 d R YdR g1C w  eR 2 e R Yd R g1C w 


Z ..........
elde ederiz. Eğer A  ’yü elektromanyetik alan olarak belirleyecek isek, bu ifadeninin
2

 1
 eA   u iL   u iL  u iR   u iR       d Li  d iL  d Ri  d iR    1  eLi  eiL  eRi  eiR   
 3
3

Z ..........
Şeklinde yazılabiliyor olması gerekir.
Bu koşullardan yola çıkarak parçacıkların hiperyüklerini bulabilirz. Nötrinoların elektrik yükleri
olmadığından
YQg1Cw  g 2Sw  0
olması gerekir. Eğer C w ve Sw ifadelerini yerlerine yerleştirirsek
YL  Yh  0
koşulunu elde ederiz. Yine C w ve Sw ’lerin açık ifadelerinden
Yh g1Cosw  g2Sinw
olduğunu görebiliriz. Bunu kullanırsak, A  ’nün etkileşimleri için
1 i  i
1 i  i
1 i  i

u

u
Y

Y

d

d
Y

Y

eL  e L  YL  Yh   




L
L
Q
h
L
L
Q
h
2
2
2
 A g1C w 

1
1
1
 u i   u i Y  d i   d i Y  e i   ei Y

R uR
R
R dR
R
R eR
 2 R

2
2
buluruz. Eğer
e  g1Cw
g1g 2
g  (g1Yh ) 2
2
2
6
olarak tanımlarsak, ve yukarıdaki ifadeyi fotonun etkileşimi ile kıyaslarsak
1
2
YQ  Yh  

2
3
1
1
YQ  Yh   

2
3
1
 YL  Yh   1
2
1
2
Yu R 
2
3
1
1
YdR  
2
3
1
Ye  1
2 R
buluruz. Daha önce bulduğumuz
1
 YL  Yh   0
2
koşulu ile de birleştirirsek
YQR 
1
3
Yh  1
YL  1
Yu R 
4
3
2
3
YeR  2
Yd R  
olarak buluruz. Burada dikkat ederseniz teorinin başında hiperyükler herhangi bir değeri
alabiliyordu. Ancak gözlemlediğimiz elektrik yüklerini açıklayabilmek için belli değerleri almak
zorunda kaldılar. Hiperyüklerin neden sadece bu değerleri aldığı Standart Modelin
açıklayamadığı sorulardan biridir!!!!.
Fermiyon Kütleleri
LY  ijd vdLi d Rj  iju vu Lj u Rj  iju veLj eRj  h.c.
Teriminin fermiyonların kütlelerini veren terim olduğunu söylemiştik. Terimleri açık şekilde
yazacak olursak, i ve j’ler üzerinden toplamlar
22
3
LY  v11
d d L d R  v d sL s R  v d bL b R 
21
v12
d dL s R  v d sL d R  ......
7
olarak yazabiliriz. Her ne kadar birinci sıradaki terimlerin katsayıları terimlerin katsayılarını d, s
ve b kuarkların kütleleri olarak belirlemek akla gelse de, ikinci sıradaki terimler gibi farklı
kuarkları birbirine bağlayan terimlerin varlığı buna izin vermez. Öncelikle alanlarımızı yeniden
tanımlayarak, bu terimlerden kurtulmamız gerekir. Bundan önce tanımladığımız alanları bundan
böyle “O” ile gösterelim. Bu şekilde Yukawa terimini
LY  dLo Mijd dojR  u Lo Miju u ojR  eLo Mije eojR  ......
i
i
i
olarak yazabiliriz. Burada Mij  vij (  d, u,e) olarak tanımlanmıştır.
Bu şekilde tanımlanan Mu , Md , Me matrislerinin hermitsel, üniter vs. olmak gibi herhangi bir
özellikleri yoktur. Böyle matrisleri, ikili üniter dönüşümler kullanarak, öz değerleri reel olacak
şekilde köşegenleştirebiliriz. Başka bir deyişle, öyle üniter DL , DR , UL , UR , E L , E R matrisleri
bulabiliriz ki
M d  DL diag(m d , ms , m b )D R
M u  U L diag(m u , mc , m t )U R
M d  E L diag(m e , m , m  )E R
şeklinde yazabiliriz. Burada
a 0 0


diag(a, b, c)   0 b 0  dir.
0 0 c


yeni alanlarımızı
 d R,L 
 d R,L 
 0 


s

D
 R,L 
R,L  s R,L  ,
 0 
b 
 R,L 
 b R,L 
0
 u 0 R,L 
 u R,L 
 0 


c

U
 R,L 
R,L  c R,L  ,.....
 0 
t 
 R,L 
 t R,L 
olarak tanımlarsak, Yukawa terimini
LY  mu u L u R  md dLd R  mc cLcR  ms sLs R  m t tL t R  m b bL b R 
me eLeR  m L R  m  L R  h.c.
olarak yazabiliriz. Artık operatörlerin katsayılarını karşılık geldikleri parçacıkların kütleleri
olarak belirleyebiliriz.
8
Bundan sonra yapmamız gereken, Lagrange yoğunluğundaki diğer terimleri de tanımladığımız
yeni alanlar cinsinden yazmaktır.
Kinetik Terimler
Öncelikle sadece u i0 R,L ’lerin kinetik terimlerine bakalım. u i0 R,L ’lerin kinetik terimi
u i0R,Liu i0 R,L
Olarak yazılır.
 u 0 R ,L 
 u R ,L 
 0 


 cR ,L   U R ,L  c R ,L 
 0 
t 
 R ,L 
 t R ,L 
Olarak tanımladığından ve u R ,L üniter olduğundan
 u0 
u
 0
 

 c   U R ,L  c 
t 
 t0 
  R ,L
  R ,L
olur. Bileşenleri cinsinden yazarsak
u
u
 
 U R ,L  c 
t 
  R ,L

i0
R ,L
olur. Kinetik terim de yerine yerleştirirsek
   
 U U  iu
*
u i0R ,Liu i0 R ,L  u Rj ,L U R ,L i U R ,L u k R ,L
ij
=u Rj ,L
ji
R ,L
ik
ik
R ,L
k
R ,L
=u Rj ,L  U R ,L U R ,L  iu k R ,L
jk
 jk
=u
j
R ,L
iu R ,L
j
dolayısıyla, yeni alanlar cinsinden yazıldığında da kinetik terimler değişmez.
9
Her ne kadar bunu sadece u R ,L kuarkları için göstermiş olsak da, diğer fermiyonlar içinde aynı
sonucun elde edileceği gösterilebilir. Dolayısıyla, kinetik terimlerin yeni alanlar cinsinden ifadesi
ile eski alanlar cinsinden ifadesi ile aynıdır.
io
Kinetik terimin değişmemesinin sebebi sadece u i0L ile u io L ’nin ve u i0
R ile u R ’nin çarpımları
içermesidir. Dolayısıyla yeni alanlar tanımladığımızda bu terimler U  U ile değişti ve U U  1
olduğundan, bu terimler değişmedi.
Foton ve Z Etkileşimleri
i0
io
io
B ve W3 etkileşimlerine baktığımızda, bunlarda sadece u i0
L ile u L ’nin ve u R ile u R ’nin
çarpımlarının içerirler. Dolayısıyla B ve W3 etkileşimleri ( ve dolayısıyla A  ve Z )şekil
olarak alanları yeniden tanımlamamızdan etkilenmezler. Dolayısıyla f0 alanları cinsinden
parçacıkları türlerini değiştirmediği için (farklı i değerlerinin çarpımını içermezler) yeniden
tanımlamadan sonra da parçacık türlerini değiştirmezler. Dolayısıyla, standart model de ağaç
seviyesinde (Tree-level) çeşni (flavour) değiştiren yüksüz akımlar yoktur.
W - fermiyon Etkileşimleri
W fermiyon etkileşimleri kovaryant türevlerden gelir. Sadece ilgili terimleri alacak olursak
QioiDQio  LioiDLio
 0
2W  io
2W  io
g2  0
io  g 2



L
Q

L



2  2W
2  2W
0
0




g
g
g
g
 u ioL   2 2W d ioL  d Lio   2 2W u ioL   Lio   2 2W eioL  eLio   2 2W  ioL
2
2
2
2

io  io
io  io

io  io
io  io
 2g 2 W  u L  d L   L  e L   2g 2 W  d L  u L  eL   L 
 Qio  
 2g 2 W  u ioL   d ioL   Lio   eioL   h.c.
Yeni kuark alanları cinsinden yazarsak
 2g 2 W  u iL  (UL DL )d Lj  Li EijL eLj 
şimdiye kadar nötrinolar için herhangi bir dönüşüm tanımlamadık. Bunun sebebi nötrinoların
kütlesiz olmasıdır. Kütlesiz olduklarından nötrinoları istediğimiz gibi tanımlayabiliriz. Bu
serbestliğimizi kullanarak,
10
 oe 
 e 
 o 
 

    E L    
 o 
 
 
  
olarak tanımlarsak
W etkileşimleri
 2g 2 W  u iL  (UL DL )ij d Lj  Li  eLj 
CKM matrisini
VCKM  UL DL
olarak tanımlarsak
ij
 2g 2 W  u iL   d Lj VCKM
 Li   e Lj 
g2  i 
ij
W  u L  (1   5 )d Lj VCKM
  Li   (1   5 )e Lj 
2
CKM matrisi üniter bir matristir;

VCKM
VCKM   DL UL  UL DL   DL DL  1 .
11
Detaylı bilgi için Prof. Dr. Altuğ Özpineci’ ye danışınız 
Ulaş Özdem….
12