3- Olasılık Hesapları ve Olasılık Dağılımları

1
3. Olasılık Hesapları ve Olasılık Dağılımları
3.3. Sayma Teknikleri
Olasılık hesapları ve istatistikte birçok problem, verilen küme elemanlarının sayılmasını veya
sıralanmasını gerektirir. Eğer bir olayın olasılığının hesaplanmasında, mümkün haller sayısı
çok büyük ise olayın doğrudan sıralanması veya sayılması uzun zaman alır ve bazı hallerde
doğrudan saymak mümkün olmaz. Bu gibi durumlarda saymayı kolaylaştırıcı bazı tekniklere
ihtiyaç duyulur. Bu tekniklere sayma teknikleri (combinational analysis) adı verilir.
Kural : A 1 , A 2 ,.......,A k kümeleri sırasıyla n 1 , n 2 ,......., n k eleman içeriyorsa, önce A 1 ’in
sonra A 2 ’nin, sonra A 3 ,........, A k ’nin bir elemanını seçmenin n 1 xn 2 xn 3 x ,......., xn k değişik
yolu vardır. Yani k olay bir arada n 1 x n 2 x........x n k farklı şekilde meydana gelir. Küme sayısı
ne olursa olsun kuralın genel niteliği değişmemektedir.
Örnek: Test şeklinde yapılan bir sınavda 5 soru ve 5 cevap şıkkı varsa bir öğrenci bu 5
soruyu 5x5x5x5x5=3125 değişik şekilde işaretleyebilir.
3.3.1. Permütasyon
Yukarıdaki 2. kural aynı kümeden iadesiz olarak çekilen farklı sayıdaki elemanın sırasının
önemli olduğu problemlere de uygulanabilir. Mesela 15 üyeli bir derneğe 1 başkan ve 1 de
başkan yardımcısı seçimi 15x14=210 değişik şekilde mümkün olur.
Eğer bir kümenin elemanlarının bir kısmı veya hepsi belli bir düzen içerisinde sıralanıyorsa
buna permütasyon denir. Yani n elemanlı bir kümeden r eleman çekilerek belli bir düzen
dahilinde sıralanırsa (sıra önemli) buna permütasyon adı verilir ve şöyle formüle edilir;
nPr
= Prn = n(n-1) (n-2)........[n-(r-1)]
=
n!
(n - r) !
Burada (!) işareti faktöriyel olarak adlandırılır ve bunun altındaki bütün pozitif tam sayıların
çarpılacağı anlamına gelir. n! = n.(n-1).(n-2)......2.1 olarak yazılır
2
Yukarıdaki dernek örneğinde üye sayısı, n=15 ve bunlardan seçilen eleman sayısı r=2
olduğundan permütasyon sayısı;
15
P2 =
15 !
15.14.13!
= 15x14=210 olur.
=
(15 - 2) !
13!
n = r özel hali için
r = 0 için
nP 0 =
nPn=
n!
n! n!
= = = n! ’e eşittir.
(n − n)! 0! 1
n!
= 1 olur.
n!
Permütasyon birçok probleme uygulanabilmekle birlikte, uygulamada dikkat edilmesi gereken
bazı durumlar vardır. Eğer bir problemde şu üç şart gerçekleşiyorsa permütasyon uygulamak
mümkündür.
1- Kümedeki bütün elemanlar birbirinden farklı olmalıdır,
2- Herhangi bir eleman için hiçbir kısıtlama getirilmemelidir,
3- Hiçbir eleman bir defadan fazla kullanılmamalıdır.
3.3.2. Kombinasyon veya kombinezon
Kombinasyon, n elemanı olan bir kümeden her biri r eleman içeren birbirinden farklı alt
kümelerin sıra önemsiz olmak kaydıyla kaç farklı şekilde seçilebileceğini gösteren sayıdır ve
bu sayı;
nC r =
n
n!
  =
formülü ile hesaplanır.
 r  (n − r )!r!
Bu kombinasyon sayısına aynı zamanda binom katsayısı adı da verilmektedir. Özel olarak
n
C 0 =1
nC 1 =
n
nC n
=1 olur.
Örnek: 10 üyesi olan bir dernekte 3 kişilik bir komisyon kaç değişik şekilde teşkil edilebilir.
Çözüm: komisyonda bulunan şahısların seçim sırası önemli olmadığına göre kombinasyon
formülü uygulanır.
10
10 
10!
10! 10.9.8.7!
C 3 =   =
=
=
= 120 değişik komisyon kurulabilir.
7! 3!
 3  (10 − 3)! 3! 7! 3!
3
3.4) Olasılık
3.4.1. Olasılık Kavramı
Olasılık objektif ve sübjektif olmak üzere iki yaklaşımla ele alınmaktadır. Bunlardan en
yaygın olarak kullanılanı objektif olasılık olup klasik olasılık ve nispi frekans kavramı olmak
üzere iki şekilde ele alınır.
Klasik olarak olasılık şöyle tarif edilebilir; Eğer bir olay birbirini karşılıklı olarak engelleyen
ve hepsi de eşit şansa sahip olan N mümkün halden sadece a kadar meydana geliyorsa (uygun
hal), bu olayın olasılığı
a
a
olup, P(A) =
şeklinde yazılır. O halde kısaca olasılık, uygun
n
n
haller sayısının mümkün haller sayısına oranı olarak tarif edilebilir.
Yukarıdaki tanımda iki olayın aynı anda meydana gelmesi mümkün değilse, bu iki olay
birbirini karşılıklı olarak engelleyen (bağdaşmaz) olaylardır. Yani olaylardan biri meydana
gelirken, diğerinin meydana gelmesinin imkansız olması hali. Benzer şekilde, iki olaydan
herhangi birinin meydana gelme önceliği yoksa bu iki olay eşit şansa sahiptir.
Objektif olasılık içinde yer alan ikinci kavram nispi (rölatif - izafi) frekans kavramıdır. Bu
kavram deneylerin tekrarlanabilirliğine ve tekrarlarıma işleminin çok sayıda yapılabileceğine
dayanır. Nispi frekans kavramına göre olasılık şu şekilde tanımlanabilir.
Bir deneyin “N” kez tekrarlamasından sonra (N büyük bir sayı) bir olayın “a” kadar sayıda
ortaya çıktığı gözlenirse, bu olayın olasılığı (meydana gelmesinin nispi frekansı)
P(A) =
a
’dir ve
N
a
şeklinde yazılır. Buna aynı zamanda bir olayın tecrübi olasılığı da denir. Burada N
N
büyük sayıdır demek belirsizlik ifade eder. Onun için olasılık kavramı Kümeler kullanılarak
aksiyomatik bir yaklaşımla ele alınmaktadır.
4
Nispi frekans yaklaşımı ile bir olayın olasılığı, geçmişte meydana gelen benzer olaylar dikkate
alınarak tahmin edilebilmektedir. Dolayısıyla P(A) =
a
söz konusu olayın gerçek olasılığının
N
bir tahminidir.
3.4.3) Olasılık Kuralları
Örnek uzay S olsun. Eğer S süreksiz ise, bütün alt kümeler birer olaya karşılık gelir. Tersine S
sürekli ise, sadece bazı alt kümeler (ölçülebilir olanlar) birer olaya karşılık gelir.
S örnek uzayı süreksiz olduğunda, A alt kümesini ifade eden gerçek bir sayı P(A) şeklinde
yazılabilir ve A olayının olasılığı olarak adlandırılırlar.
S örnek uzayındaki bir A olayının ya da alt kümesinin olasılığı 0 ≤ P(A) ≤ 1 olur.
Örnek uzayı S nin olasılığı ise P(S) = 1 olur
3.4.3.1) Olasılıkların Toplamı Kuralı
Burada iki farklı durumdan söz edilir.
1) Özel toplama kuralı: Eğer olaylar birbirini karşılıklı olarak engelleyen bağımsız
olaylar ise, bu olayların bileşiminin olasılığı ayrı ayrı olasılıkları toplamına eşit olur ve
buna özel toplama kuralı adı verilir.
P(A 1 ∪A 2 ∪A 3 ∪.....) =P(A 1 )+P(A 2 )+P(A 3 )+.........olur.
Örnek Bir kutuda 80’i beyaz 20’si kırmızı 100 top vardır. Beyaz topların 30’u, kırmızı
topların ise 5’i kusurludur.
a) Kutulardan beyaz bir top çekme olasılığı nedir?
b) Kusurlu bir top çekme olasılığı nedir?
Çözüm a) P(B)=
b) P(K)=
80 4
B
=
=
N 100 5
30 + 5 35
7
=
=
100
100 20
5
2) Genel Toplama kuralı: Olaylar birbirini engellemeyen bağdaşır olaylar ise, yani
birlikte gerçekleşebiliyorlarsa böyle olayların bileşiminin olasılığı genel toplama
kuralı ile ifade edilir. Eğer A ve B olayları bağdaşır olaylar ise,
P(A∪B)=P(A)+P(B) – P(A∩B) olur.
A, B, C gibi üç bağdaşır olay için,
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C) – P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C) olur.
Örnek: P(A)=0,60, P(B)=0,30 ve P(A∩B)=0,20 olarak verildiği taktirde aşağıdaki olasılıkları
hesaplayınız.
a) P(A∪B)
b)P(Ac∪Bc)
c) P(A∩Bc)
d) P(Ac∩B)
Çözüm: a)P(A∪B)=P(A)+P(B) – P(A∩B)
=0,60+0,30-0,20=0,70
b) P(Ac∪Bc) = P(A∩B)c = 1-P(A∩B) = 1-0,20=0,80
c)P(A) =P(A∩Bc) + P(A∩B)
P(A∩Bc)=P(A)P(A∩B)= 0,60-0,20=0,40
d) P(B) =P(A∩B)+P(Ac∩B)=P(Ac∩B)=P(B) – P(A∩B) =0,30-0,20=0,10
3.4.3.2. Şartlı Olasılık ve Olasılıkların çarpımı kuralı
Bir olayın olasılığı araştırılırken o olayın içinde bulunduğu örnek uzayının bilinmesi gerekir.
Söz konusu örnek uzay her zaman açık olarak anlaşılamaz. Bu sebeple, veri örnek uzay (S)
içindeki bir olayın (A) olasılığı sorulduğunda olasılık P(A / S) şeklinde yazılır. Veri örnek
uzayı böylelikle açık bir şekilde belirtilmiş olur. Burada P(A / S) sembolü S örnek uzayına
göre A olayının şartlı olasılığını gösterir. Ancak, eğer örnek uzay (S) açıkça belli ise A
olayının olasılığı P(A) şeklinde kısaltılmaktadır. Aslında tüm olasılıklar şartlı olasılık olarak
düşünülebilir.
S örnek uzayın A ve B olaylarını göz önüne alalım. Eğer P(A)>0 ise, A olayın gerçekleşmek
şartıyla B olayının gerçekleşme olasılığı;
P(B/A)=
verilir
P( B ∩ A)
şeklinde yazılır. Bu olasılığa B olayının A ya bağlı şartlı olasılığı adı
P( A)
6
Benzer şekilde B olayı gerçekleşmek şartıyla A olayının gerçekleşme olasılığı de
P(A/B)=
P( A ∩ B)
şeklinde yazılır. P(B)>0
P( B)
S
B
A
1) Genel çarpım kuralı: A ve B olayları bağımlı olaylar ise, bu iki olayın birlikte
gerçekleşme olasılığı genel çarpım kuralı olarak adlandırılan aşağıdaki kurala göre belirlenir.
P(A∩B)=P(B) . P(A/B) burada P(B) >0
P(A∩B)=P(A) . P(B/A) burada P(A) >0
2) Özel çarpım kuralı: İki olay bağımsızsa bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı özel
çarpım kuralı olarak adlandırılan aşağıdaki kurala göre bulunur.
P(A∩B)=P(A) . P(B) yazılır.
Bağımsız olay tanımı: Eğer A 1 , A 2 ,.......A r olaylarından 2,3,.....,r tanesinin kesiminin
olasılığı (kombinasyon olasılığı) bunların tek tek olasılıklarının çarpımına eşit ise, bu olaylar
bağımsızdır.
3.5. Olasılık Dağılımları
Rassal değişken: İstatistik ve olasılık hesaplarında birçok problemde bir deneyin belli bir
yönü veya bir kaç yönü üzerinde durulmaktadır. Mesela bir öğrencinin test usulü ile yapılan
bir sınavda onun için önemli olan işaretlediği doğru cevapların sayısıdır. Bir yazı-tura atışında
önemli olan husus kaç yazı geldiği olabilir; bunların sıralama şekli önemli olmayabilir.
Tesadüfen seçilen bir tüketici ile yapılan ankette yaşı veya boyu yerine ailesindeki kişi sayısı
veya geliri ile ilgilenilir.
Yukarıda olduğu gibi öğrencinin cevapladığı doğru cevap sayısı, yazı – tura atışındaki gelen
yazı ve tura sayısı, tüketicinin ailesindeki kişi sayısı veya aile geliri her biri birer rassal
değişken olarak adlandırılır. Bir örnek uzayın her noktası bir sayı ile ifade edildiğinde, bu
7
örnek uzayda tarif edilen bir fonksiyon elde edilmektedir. Bu fonksiyona rassal değişken adı
verilmektedir ve genellikle büyük X ve Y harfi ile gösterilmektedir.
Örnek: Bir paranın 3 kez atılışında örnek uzayını teşkil edelim.
S = { YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TTY, TYT, TTT }
Yazı gelme sayısını X (rassal değişken) ile temsil edersek, aşağıdaki tablodan görüleceği
üzere X için her örnek noktasına ait olan bir sayı yazabiliriz.
Örnek Noktası
S3
S4
S5
S6
S7
S8
YY T
YTY
TYY
YTT
TTY
TYT
TTT
2
2
2
1
1
1
0
S1
YYY
X Yazı Gelme Sayısı 3
S2
Görüldüğü gibi x farklı durumlarda farklı değerler almaktadır.{YYY}3 , {YTY}2, {TTT}0
değerlerini almaktadır. Bu sebeple X rassal bir değişkendir.
Kesikli ve Sürekli Rassal Değişkenler
Rassal bir değişkenin içinde bulunduğu örnek uzayı veya başka bir deyişle değişim aralığı
süreksiz ise, yani sonlu sayıda ya da sayılabilir sonsuz sayıda eleman içeriyorsa buna süreksiz
(kesikli ) rassal değişken adı verilir. Diğer taraftan bir değişken sayılamayacak sayıda
sınırsız değerler alırsa bu değişkene sürekli (kesiksiz) rassal değişken adı verilir.
3.5.1. Süreksiz (Kesikli ) Olasılık Dağılımları
X ile gösterilen
kesikli rassal bir değişkenin aldığı değerler
x 1 , x 2 , x 3 ............. ise
değişkenin bu değerlerden sadece birini alması olasılığı f(x) = P (X=x) şeklinde yazılabilir ve
X in olasılık yoğunluk veya olasılık fonksiyonu olarak adlandırılır.
Bir dağılım ya da fonksiyonda aşağıdaki iki şart sağlanıyorsa bu fonksiyonlara olasılık
fonksiyonları adı verilir.
1- f (x) ≥ 0
8
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun alacağı değerler 0 ile 1 arasında değişir.
2- Σ f ( x ) = 1
x
Bir olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanım aralığındaki değerlerinin toplamı 1 olmalıdır.
X rassal değişkenin olasılık dağılım fonksiyonu veya diğer bir deyişle kümülatif (yığılımlı,
birikimli) yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki şekilde tarif edilir.
F( x ) = ∑ f ( t ) burada - ∞ ≤ x ≤ ∞ aralığında değişiyor.
t≤x
Yukarıdaki eşitliğin sağ tarafına bakılırsa bu dağılım x’e eşit veya x ten küçük t değerlerinin
olasılıklarının toplamının kümülatif (birikimli) dağılımını verdiği görülür. Yani kümülatif
dağılım fonksiyonu x tesadüfi değişkenin belli bir değere eşit veya daha küçük olması
olasılığını gösteren bir fonksiyondur.
3.5.1.1. Binom Dağılımı
Olasılık dağılımları içersinde en yaygın olarak kullanılanıdır. Deneylerin tekrarlana bildiği
durumlarda kullanılır. Bir olay n deneyde X defa vuku buluyorsa bu olayın olasılığı Binom
dağılımı yardımı ile bulunur.
Örnek :
- Bir parti malın tesliminde örnek olarak seçilen 50 mamulden ikisinin bozuk
olması olasılığı
- 10 defa atılan bir para atışında üç yazı gelmesi (7 tura ) olasılığı
- 50 test sorusundan 30 nun doğru cevaplandırılması olasılığı
- Kansere yakalanan 30 hastadan 20 sinin kurtulması olasılığı vb.
Bu gibi durumlarda aranan şey n sayıdaki mümkün halden x sayıdaki uygun halin olasılığıdır.
Dolayısıyla binom dağılımında birbirini karşılıklı olarak engelleyen 2 olayda sadece birinin
(bozuk veya sağlam, doğru veya yanlış, kabul veya ret, kusurlu veya kusursuz gibi ) olasılığı
söz konusudur.
Binom dağılımı şu varsayımlara dayanmaktadır.
9
1- Her deney birbirlerinin karşılıklı önleyen iki mümkün halden sadece birinde vuku bulur.
Mümkün hallerden biri elverişli hal (x) diğeri elverişsiz hal (n-x) olarak ifade edilir.
2- Bir uygun halin olasılığı (p) her deneyde aynıdır. Uygun olmayan halin olasılığı
(q=1-p) içinde aynı durum söz konusudur.(seçim iadeli)
3- Deneyler bağımsızdır. Yani bir deneyde ister uygun ister uygun olmayan hal meydana
gelsin bu durum diğer deneydeki uygun bir halin olasılığına etki etmez.
Binom dağılımının formülü şöyle ifade edilebilir. n Bağımsız deneyden x sayıda uygun halin
gelmesi olasılığı;
n
P( X = x ) = f ( x ) = b( x ; n ; p ) =   p x (1 − p ) n −x burada x = 0,1,2,3,....n
 x
Problem: Bir acemi işçinin kusurlu mamul üretme olasılığı %10 dur. Bu işçinin ürettiği
mamullerden rasgele10 tanesi seçildiğinde (kütle sonsuz)
a) Mamullerin en az 2’sinin kusurlu olma olasılığı
b) En çok 3 ünü kusurlu olma olasılığı
c) En az birinin kusurlu olma olasılığını bulunuz.
Çözüm:
a ) P(X ≥ 2) = P(x = 2) + P(x = 3) + ...... + P(x = 10) =1 - [P(x = 0) + P(x = 1)]
10 

10 
P(X ≥ 2) = 1 -   ⋅ 0,10 ⋅ 0,910 +   ⋅ 0,11 ⋅ 0,9 9 
1 
 0 

b) P(X ≤ 3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3)
10 
10 
10 
10 
=  0,10 ⋅ 0,910 +  0,11 ⋅ 0,9 9 +  0,12 ⋅ 0,98 +  0,13 ⋅ 0,9 7
0 
1 
2 
3 
10 
c) P ( X ≤ 9) = 1 − P ( x = 0) = 1 −  0,10 ⋅ 0,910
0 
n veya p’nin her farklı değeri farklı bir dağılım gösterdiğinden, binom dağılımı gerçekte bir
dağılımlar gurubu teşkil eder. p=0,5 olduğu zaman dağılım simetrik bir şekil alır. p’nin aldığı
değere göre dağılım şekil alır. p<0,5 olursa dağılım sağa çarpık, p>0,5 olduğunda ise çarpıklık
sola doğru olmaktadır.
10
3.5.1.2. Hipergeometrik Dağılım
Binom dağılım genellikle yerine koymak suretiyle yapılan deneylere ya da sınırsız bir
kütleden yapılan deneylere uygulanan bir dağılımdır. Örnek, kütleden yerine koymadan
(iadesiz çekim) çekildiği takdirde artık bağımsız olay söz konusu olmadığından binom
dağılım uygulanamaz. Bu gibi durumlarda Hipergeometrik dağılım uygulanır.
İçerisinde a sayıda uygun, b sayıda uygun olmayan eleman bulunan sınırlı bir kütleden n
sayıda örnek iadesiz olarak çekildiğinde, örnekteki elemanların x tanesinin uygun, n-x
tanesinin uygun olmayan elemanlardan oluşma olasılığı hipergeometrik dağılımla aşağıdaki
fonksiyonla belirlenir.
 a  b 
 

x  n − x 

f ( x; n; a; b) =
a + b


n


x = 0,1,2,......, n olur.
Dağılımın a, b ve n gibi üç parametresi vardır.
Problem: 20’si sağlam 10’u bozuk toplam 30 parçadan 10 birimlik örnek çekildiğinde 4’ünün
sağlam olma olasılığı nedir?
Çözüm:
x:4
a:20
b:10
n:10
n-x=6
 a  b 
 

n
n
−
x
 = f (4,10,20,10) =
f ( x; n; a; b) =  
a + b


 n 
 20 10 
  
 4  6  = 1017450 = 0,03386
30045015
 30 
 
10 
3.5.1.3. Poisson Dağılımı
p → 0 , n → ∞ ve n.p = Sabit olduğu zaman Binom dağılımı, Poisson dağılımına yaklaşır.
Bir olayın meydana gelme olasılığı (p) sıfıra, dolayısıyla q=1-p, 1’e yaklaşırsa (terside
mümkün ) ve n çok büyük olursa böyle olaylara nadir meydana gelen olaylar denir (n çok
büyüdüğünde kombinasyon hesabı zor yapılır). Pratik olarak eğer bir olaydaki deney sayısı en
11
az 50 n ≥ 50 ve n.p < 5 olursa böyle olaylar nadir meydana gelen olaylar olarak düşünülebilir.
Böyle durumlarda Binom dağılımı Poisson dağılımına yaklaşır.
Poisson dağılımı şöyle ifade edilir.
e −λ λx
f(x; λ ) =
x!
burada x = 0,1,2,........
Dağılımın bağlı olduğu tek parametre λ olup dağılımın ortalamasıdır ve λ=np ye eşittir.
Problem: Bir fabrikada imal edilen malların 0,03’ü bozuktur. Muayene için 25 birimlik bir
örnek çekildiğinde;
a) 4 bozuk mal çıkması
b) 3 veya daha fazla bozuk mal çıkması,
c) En fazla 2 bozuk mal çıkması olasılığı nedir?
Çözüm:
λ = 25.0,03 = 0,75
a) λ = n. p
λe
−λ
x =4
0,75 e −0, 75 0,316.0,472
⇒ f(4 : 0,75) =
=
= 0,006
f(x; λ ) =
4!
4.3.2.1
x!
b) λ = 0,75
x≥3
x
4
0,75 0.e −0, 75 0,751.e −0, 75 0,75 2.e −0, 75
−
−
f(x ≥ 3;0,75) = 1 0!
1!
2!
= 1 - 0,472 - 0,75.0,472 - 0,28.0,472
= 1 - 0,472 - 0,3540 - 0,1321
= 1 - 0,9601 = 0,04
0,75 0.e −0, 75 0,751.e −0, 75 0,75 2.e −0, 75
+
+
c) f(x ≤ 2) =
0!
1!
2!
= 0,9601 olur.
3.5.2. Sürekli Olasılık Dağılımları
Daha önce bir değişkenin sayılamayacak sayıda sınırsız değerler alabiliyorsa bu değişkene
‘Sürekli rassal değişken ’adı verildiğini görmüştük. Bu kısımda sürekli rassal değişkenin
olasılık dağılımları üzerinde durulacaktır.
Sürekli rassal bir değişkenin tanım aralığındaki herhangi bir değeri tam olarak alması
imkansızdır. Çünkü gerek sayılar ekseninin her aralığında sonsuz sayı (nokta) mevcuttur.
Sonsuz noktadan birinin çekilmesi olasılığı 1/ ∞ → 0 dır. O halde sürekli rassal bir değişkenin
12
her hangi bir değeri tam olarak alma olasılığı sıfır olup, her hangi bir olasılığından
bahsedebilmek için belli bir aralığın olasılığının araştırılması gerekir.
X sürekli tesadüfi değişkenin dağılım fonksiyonu F(x) (kümülatif dağılım fonksiyonu) olsun.
Bunun türevi olan F’(x)=f(x) ‘e olasılık fonksiyonu ( olasılık yoğunluk fonksiyonu )
denilebilmesi için şu iki şartın birlikte sağlaması gerekir.
∞
1) f (x) ≥ 0
2)
∫ f (x ) dx = 1 olmalıdır.
−∞
Bu fonksiyondan hareketle, X değişkeninin a ve b aralığında bulunma olasılığı şöyle tarif
edilir.
b
F(b)-F(a) = P (a<X<b) = ∫ f ( x )dx
a
3.5.2.1. Düzgün (Üniform) Dağılım
Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir.
 1

f ( x) =  β − α
0

α <x<β
x<0
Burada α ve β dağılımın parametreleri olup gerçek sabitlerdir. (β>α)
Bu dağılımın dağılım fonksiyonu şöyle yazılır.
0

 x −α
F ( x ) = P( X < x ) = 
β −α
1
x <α
α≤x<β
x≥β
Problem: X tesadüfi değişkeni -2 ≤ x ≤ 2 aralığında uniform olarak dağılmıştır.
a) P(x<1)
Çözüm:
1
b)P( x − 1 ≥ ) yi hesaplayınız .
2
13
1
a) P(x < 1) =
1
1
∫ 4 dx = 4 x
−2
1
−2
=
1 2 3
+ =
4 4 4
1
b)P( x − 1 ≥ ) = P(−2 < x < 0,5) + P(1,5 < x < 2) = 1 − P(0,5 < x < 1,5)
2
1, 5
1
1
1 3
1, 5
1,5 − 0,5 
= 1 − ∫ dx =1 − ( x ) 0,5 = 1 − 
= 1− =

4
4
4 4
 4 
0,5
3.5.2.2. Üstel Dağılım
Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir.
 1 −( µx )
 e
f ( x) =  µ
0

x > 0 için
diğiğerhaller
Burada µ >0 olup, dağılımın ortalaması ve tek parametresidir.
Üstel dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunun grafiği aşağıdaki gibidir.
Üstel dağılımın dağılım fonksiyonu
x
−

1 − e µ
F( x ) = 
0
x>0
aksi durum
Olup bunun şekli aşağıda görülmektedir.
14
Problem: Bir işletmenin üretilmiş olduğu elektronik cihazların arızasız çalışma
sürelerinin (saat cinsinden ) üstel dağılıma uyduğu görülmüştür ve µ =24 saat olarak
bulunmuştur. Buna göre;
a )Bir cihazın en az 12 saat arızasız çalışması
b) En fazla 36 saat arızasız çalışması olasılığını bulunuz?
c) Cihazın 30 saatten fazla çalışma olasılığı en az %80 olması için µ
olmalıdır.
Çözüm:
x
1 24
e
x>0
24
f(x) = 0 diğer haller
f (x) =
+∞
x
x
−
1 −
a) P( x ≥ 12) = ∫ e 24 dx = − e 24
24
12
36
b) P(0 < x < 36) =
x
∞
12
=e
−
12
24
x
−
1 −
∫0 24 e 24 dx = − e 24
36
0
= e −0,5 = 0,6065
= 1 − e −1,5 = 1 − 0,2231 = 0,7769
en az ne
15
∞
c) ∫
30
1
µ
x
−( )
e
µ
dx =
1
µ
−
-e
−
.( − µ ).e
x
−( )
∞
µ
= 0,8 ⇒ - e
x
−( )
µ
∞
30
= 0,8
30
∞
µ
+e
−
30
µ
= 0,8 ⇒ e
−
30
µ
= 0,8
30
= ln 0,8 µ ≥ 134 saat olmalıdır
µ
3.5.2.3. Normal Dağılım
İstatistikte en yaygın kullanılan dağılımdır. Bazı eserlerde Gauss dağılımı, çan eğrisi, normal
eğri vb. gibi isimlerle adlandırılmaktadır.
Normal yoğunluk fonksiyonu şöyledir:
f (x) =
1
2 πσ
e - ( x -µ )
2
2σ 2
-∞ < x < ∞
Burada π = 3,14159 ve e = 2,71828 dir. Bu dağılım µ (ortalama) ve σ (standart sapma)
parametrelerine dayanmaktadır. Dolayısıyla normal bir dağılım N(µ, σ 2 ) sembolü ile
gösterilir.
Normal dağılım aritmetik ortalama etrafında simetrik bir dağılım olup, ortalama etrafındaki
bazı alanlar aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.
16
Normal Dağılım , µ ve σ parametreleri ile tespit edilmektedir. Fakat her µ ve σ değeri için
farklı bir normal dağılım elde edilmektedir. µ farklı değerler alındığında şekilde görüldüğü
gibi dağılım x ekseni üzerinde kaymaktadır. σ ’nın farklı değerler alması ise dağılımın
sivriliğine
veya
basıklığına
tesir
etmektedir
bu
durum
şekilde
gösterilmiştir.
Standart Normal Dağılım
Daha önce belirtildiği gibi µ ve σ nın her farklı değeri için farklı bir normal dağılım vardır.
Dolayısıyla µ ve σ
değerlerine dayanan sonsuz sayıda normal dağılım elde etmek
mümkündür. Bu durumu önleyebilmek ve sadece bir tana normal dağılım elde edebilmek için
normal değişken standart hale çevrilir. Böylece farklı ortalama ve varyansa sahip bütün
normal dağılışlar aynı ortalama (0) ve varyansa (1) sahip dağılışlar haline dönüşürler. Böylece
standart normal değişkene ait dağılıma standart normal dağılım adı verilir.
Standart değişkene dönüştürme işlemi şöyle yapılır
Z=
X −X
σ
Bu Z değişkeninin dağılımının aritmetik ortalaması 0 ve varyansı 1 dir. Standart Normal
Dağılımın yoğunluk fonksiyonu normal yoğunluk fonksiyonundaki µ yerine 0 ve σ yerine
1 koymak suretiyle;
f (z) =
1
2π
e
−
z2
2
− ∞ < z < ∞ elde edilir.
17
Standart normal dağılımın alanları için olasılık değerlerini veren tablolar hazırlanmıştır. Bu
tablolardan faydalanarak alanlara ait olasılıkları kolaylıkla hesaplamak mümkün olmaktadır.
Problem: Bir fabrikada üretilen cıvataların çapları 2cm. Ortalama ve 0,1 cm. standart sapma
ile normal dağılıma uymaktadır. Bu cıvataların çapı 1,8 ile 2,15cm. dışına düşerse bozuk
sayılmaktadır. Bu verilere göre üretimin kusurlu oranını bulunuz.
Çözüm: P(X<1,8 ; X>2,15)=?
−
Z1 =
X1 − X
σ
1,8 − 2
=
⇒ Z 1 = −2
0,1
_
Z2 =
X2 − X
σ
=
2,15 − 2
⇒ Z 2 = 1,5
0,1
P(Z 1 <-2 veya Z 2 >1,5) =?
1, 5
0

1,5

1 −  ∫ f ( z )d z  = 1 −  ∫ f ( z )d z + ∫ f ( z )d z  = 1 − [0,4772 + 0,4332] = 0,0896
0
−2

−2
