Rijit Cisimlerin Dengesi

Rijit Cisimlerin Dengesi
Rijit Cisimlerin Dengesi
• Bu bölümde, rijit cisim dengesinin temel
kavramları ele alınacaktır:
– Rijit cisimler için denge denklemlerinin oluşturulması
– Rijit cisimler için serbest cisim diyagramı çizilmesi
– Denge denklemlerini kullanarak, rijit cisimlerin denge
problemlerinin çözülmesi
• Denge, hem ivmeli hareketle cismin
ötelenmesini önlemek için kuvvetlerin dengesini,
hem de cismin dönmesini önlemek için
momentlerin dengesini gerektirir.
Rijit cisim denge koşulları
• ekilde cisme, kuvvet ve
moment (kuvvet çifti)
vektörleri etkimektedir.
• Bu kuvvetler, yerçekimi,
elektriksel, manyetik veya
temas kuvvetlerinden dolayı
olabilir.
• İç kuvvetlerin toplamı
sıfırdır, çünkü cisim içindeki
parçacıklar arasındaki iç
kuvvetler, Newtonun
üçüncü kanununa göre eşit,
fakat zıt yönlü doğrusal
çiftler şeklindedir, yani
dengededir.
• Bir önceki bölümde anlatılan yöntemle, bir cisme etki eden kuvvet ve
moment çifti sistemi, cismin herhangi bir O noktasına eşdeğer bir
bileşke kuvvet ve bileşke moment çiftine indirgenebilir. Bu bileşke
kuvvet ve moment çiftinin ikisi de sıfıra eşitse, cismin dengede olduğu
söylenebilir.
r
r
FR = ∑ F = 0
r
(M R )O = ∑ M O = 0
Bu denklemler, bir rijit cismin dengede olması için, cisim üzerine etkiyen
bütün dış kuvvetlerin toplamının ve dış kuvvetlerin bir noktaya göre
momentleri toplamının sıfıra eşit olması gerektiğini ifade eder. Bu iki şart,
sadece gerek değil, denge için ayrıca yeter koşuldur. Bunu göstermek için,
bir başka nokta olan A’ya göre moment alalım:
r
r
r r
∑ M A = r × FR + (M R )O = 0
r
r
r
r ≠ 0 ⇒ FR = 0 ve ( M R )O = 0
Konum vektörü sıfırdan farklı bir değer aldığı
için kuvvet ve momentin sıfır olması gerekir.
Önemli !!!
• Denge denklemleri uygulanırken, cismin rijit kaldığı,
şekil değiştirmediği kabul edilmektedir. Gerçekte ise,
yüklere maruz kalan cisimler deforme olur. Bununla
birlikte, beton ve çelik gibi oldukça rijit olan
malzemelerde bile durum böyledir. Ancak, birçok
mühendislik uygulamasında denge denklemleri
uygulanırken, cismin rijit olduğu kabulü yapılır. Cisim
şekil değiştirse bile, bu şekil değişiminin kuvvetlerin
doğrultusunu ve moment kollarının sabit bir referans
eksenine göre değişmediği kabul edilir.
İki Boyutta Denge
• Bu bölümde aynı düzlemdeki kuvvetlerden ve bu düzleme dik
momentlerin dengesi incelenecek.
• Bu tür sistemlere iki boyutlu kuvvet sistemleri denir.
• ekildeki uçak, merkezden geçen eksene göre simetrik olduğu için,
tekerleklerde oluşan kuvvetler T ve T, 2T olarak gösterilmiştir.
Serbest Cisim Diyagramları
• Denge denklemlerinin başarıyla uygulanması için, cisim üzerine
etkiyen bilinen ve bilinmeyen bütün dış kuvvetlerin cisim üzerinde
gösterilmesi gerekir. Bunun için serbest cisim diyagramı çizilmelidir.
Bu diyagram cismi, çevresinden izole edilmiş veya serbest kalmış
bir şekilde ana hatlarını, yani bir “serbest cismi” gösteren bir
taslaktır. Serbest cisim diyagramını çizmek için:
1) Cisim üzerine etkiyen dış kuvvetler, bilinen ve bilinmeyen tüm
kuvvetler cisim üzerinde gösterilir. Bu kuvvetler: cisme etkiyen dış
kuvvetler, reaksiyon/mesnet kuvvetleri ve cismin ağırlığıdır.
2) Bilinen kuvvetler/momentler bilinen şiddet ve yönleriyle
gösterilmelidir. Bilinmeyen kuvvetler/momentlerin yön ve şiddetleri
harflerle gösterilmelidir
3) Bir x-y koordinat ekseni oluşturulmalı ve bilinmeyen kuvvetler, bu
eksenlerdeki bileşenlerine ayrılarak gösterilmelidir.
4) Cismin boyutları belirtilmelidir (bu boyutlar momentler bulunurken
kullanılacaktır.)
Mesnet Reaksiyonları
• Genel kural: bir mesnet cismin verilen bir doğrultuda ötelenmesini
engelliyorsa, cisim üzerinde sözkonusu doğrultuda bir kuvvet ortaya
çıkar. Aynı şekilde, cismin dönmesi engelleniyorsa, cisim üzerinde
bir kuvvet çifti momenti uygulanır.
• Örneğin, bir kirişte görülen üç mesnet türüne bakalım:
– Kayar mesnet: sadece kirişin düşey doğrultuda ötelenmesini
önler, tekerlek kiriş üzerinde sadece bu doğrultuda bir kuvvet
uygular.
Kuvvet mesnetten kirişe etkiyor şeklinde gösterildi (yani cisim üzerinde)
Mesnet serbestçe döndüğü için ve yatay yönde hareket edebildiği için o
yönlerde mesnet kuvvetleri oluşmaz.
– Mafsallı (pimli) mesnet: kiriş şekildeki gibi, bir pim kullanılarak
daha kısıtlayıcı bir şekilde mesnetlenebilir. Pim yere tutturulmuş
iki elemandan ve kirişteki bir delikten geçer. Pim kirişin herhangi
bir φ doğrultusunda, ötelenmesini önler ve bu yüzden pim kiriş
üzerinde bu doğrultuda bir F kuvveti uygulamalıdır. Bu etkiyi Fx
ve Fy bileşenleri ile ifade etmek daha kolaydır. Hem düşey hem
yatay yönde hareket engellenmiştir, dolayısıyla reaksiyon
kuvvetleri bu iki yönde oluşur. Kiriş sadece serbestçe dönebilir.
– Ankastre mesnet: Kirişi mesnetlemenin en kısıtlayıcı yolu,
şekildeki gibi bir sabit mesnet (ankastre mesnet) kullanmaktır.
Bu mesnet kirişin hem ötelenmesine, hem de dönmesine engel
olur. Bu durumda, mesnette x ve y yönlerinde kuvvetler ve z
ekseni doğrultusunda (moment ekseni) moment oluşacaktır.
Kuvvet mafsallı mesnette olduğu gibi Fx ve Fy bileşenleri ile ifade
edilir, ve bu kuvvetler bilinirse φ açısı da kolaylıkla bulunur.
Kirişin bir noktadan her yöndeki hareketi sınırlanmıştır.
Diğer Rijit Cisim Mesnet Türleri
• Tabloda, sıklıkla kullanılan diğer mesnet türleri verilmiştir. Tüm
durumlarda θ açısının bilindiği kabul edilmiştir.
Kablo: 1 bilinmeyen, tepki
kablo doğrultusunda
elemandan uzaklaşan yönde
etkiyen bir çekme kuvveti
Ağırlıksız çubuk; 1
bilinmeyen, tepki bağlantı
çubuğu ekseni boyunca iki
yönlü kuvvet
Kayar mesnet: 1 bilinmeyen,
tepki temas noktasında
yüzeye dik etkiyen bir
kuvvettir.
Sürtünmesiz yuva içinde kayar
mesnet: 1 bilinmeyen, tepki
yuvaya dik etkiyen bir
kuvvettir.
Sallanan mesnet: 1
bilinmeyen, tepki temas
noktasında yüzeye dik etkiyen
bir kuvvettir.
Sürtünmesiz yüzey: 1
bilinmeyen, tepki temas
noktasında yüzeye dik etkiyen
bir kuvvettir.
Mafsallı kayar eleman: 1
bilinmeyen, tepki elemana dik
etkiyen bir kuvvettir.
Mafsallı sabit mesnet: İki
bilinmeyen, kuvvetin iki bileşeni
veya bileşke kuvvetin büyüklüğü
ve doğrultusu.
Ankastre kayar mesnet: iki
bilinmeyen. Kuvvet çifti momenti
ve çubuğa dik etkiyen bir kuvvet
Ankastre mesnet: üç bilinmeyen.
Kuvvet çifti momenti ve iki kuvvet
bileşeni veya kuvvet çifti momenti
ve bileşke kuvvetin büyüklüğü ve
doğrultusu.
Dış ve İç kuvvetler
• Bir rijit cisim parçacıkların birleşimi olduğundan, üzerine hem dış
hem de iç yükler etki eder. Ancak cismin serbest cisim diyagramında
iç kuvvetler gösterilmez. İç ve dış kuvvetler daima eşit, fakat zıt
yönlü doğrusal çiftler şeklinde ortaya çıkar ve bu nedenle cisim
üzerindeki net etkileri sıfırdır.
Motora etkiyen tüm iç kuvvetler ( bulon, vida vb. kuvvetleri) birbirlerini dengeler.
Sadece zincir kuvvetleri ve motor ağırlığı serbest cisim diyagramında gösterilir.
Ağırlık ve Ağırlık Merkezi
• Cismin ağırlığı önemli mertebedeyse bu
sorularda belirtilir. Ayrıca cisim üniformsa (aynı
malzemeden yapıldıysa) ağırlık merkezi cismin
geometrik merkeziyle çakışır. Cisim üniform
değilse, veya karmaşık bir geometriye sahipse
bu durumda ağırlık merkezi verilecektir.
İdealize edilmiş modeller
Herhangi bir sistemin kuvvet analizi yapılacağı zaman, gerçek duruma en
yakın analitik veya idealize modeli düşünülmelidir. Bunun için mesnet tipleri,
malzeme davranışı ve cismin boyutları uygun bir şekilde seçilmelidir.
Kompleks durumlarda birden fazla modelin analiz edilmesi gerekebilir.
Örnek 21
• ekildeki üniform kirişin
serbest cisim diyagramını
çiziniz. Kirişin kütlesi 100
kg’dır.
Örnek 22
300’er kg kütleli iki sürtünmesiz boru şekildeki görüldüğü gibi traktörle
taşınmaktadır. Serbest cisim diyagramını her boru için ve birlikte çiziniz.
Örnek 23
ekilde gösterilen sistemin
matematiksel modelini kurun
ve serbest cisim diyagramını
çiziniz.
Denge denklemleri
Rijit bir cismin dengesi için gerekli ve yeterli olan iki koşul:
r
∑ F = 0 ve
r
∑ M0 = 0
Cisim x-y düzleminde yer alan bir kuvvetler sistemine maruzsa,
kuvvetler x ve y bileşenlerine ayrılabilir.
∑F = 0
∑F = 0
∑M = 0
x
y
Cisim üzerine etkiyen
tüm kuvvetlerin x ve y
bileşenlerinin toplamı
O
Kuvvet çifti momentleri ile tüm kuvvet
bileşenlerinin x-y düzlemine dik olan ve
cismin üzerinde veya dışındaki keyfi bir O
noktasından geçen bir eksene göre
momentlerinin toplamı
Alternatif Denge Denklemi Setleri
∑F =0
∑F =0
∑M = 0
x
y
O
denklemleri düzlemsel denge problemlerinin çözümünde
sıklıkla kullanılmakla birlikte üç bağımsız denklemden oluşan
iki alternatif denklem seti de kullanılabilir:
1
∑F = 0
∑M = 0
∑M = 0
x
A
B
Bu denklemlerin kullanılabilmesi için, A ve B moment
noktalarının, x eksenine dik bir doğru üzerinde yer
almamaları gerekir. Aksi durumda denklemler birbirinden
bağımsız olmaz.
2
∑M
∑M
∑M
A
=0
B
=0
C
=0
Bu denklemlerin kullanılabilmesi için, A, B ve C aynı doğru
üzerinde olmamalıdır.
Analizde İzlenecek yol:
Serbest Cisim Diyagramının çizilmesi:
Cisim üzerine etkiyen tüm dış kuvvetler ve kuvvet çifti momentlerinin gösterilmesi
gereklidir. Bu vektörlerin büyüklükleri ve oluşturulan bir x-y eksen takımına göre
belirlenen doğrultuları belirtilmelidir. Kuvvetlerin momentlerinin hesaplanması için
gerekli olan cismin boyutları da serbest cisim diyagramına dahil edilir.
Bilinmeyenler belirlenir. Etki çizgisi bilinen ancak büyüklüğü bilinmeyen bir kuvvet
veya kuvvet çifti momentinin yönü varsayım ile belirlenebilir.
Denge denklemlerinin uygulanması:
Bütün denklemleri aynı anda çözmek zorunda kalmamak için iki bilinmeyen
kuvvetin etki çizgilerinin kesişme noktasında yer alan bir O noktasına göre ΣM0=0
moment denklemi uygulanır (ki bu bilinmeyen kuvvetlerin O noktasına göre
momentleri sıfır olsun). Oluşturulan x-y eksenleri kullanılarak ΣFx=0 ve ΣFy=0
denge denklemleri uygulanır. Denge denkleminin çözümü sonucunda negatif bir
skaler çıkarsa, sözkonusu kuvvet veya momentinin yönünün, serbest cisim
diyagramında varsayılanın tersine olduğu anlaşılır.
Örnek 24
ekildeki yüklemeye maruz
kalan kirişteki mesnet
kuvvetlerini bulunuz.
1- Serbest cisim diyagramı
* Bilinmeyen reaksiyon kuvvetleri mesnet noktalarına, yön kabuluyle etki ettirildi.
2- Denge Denklemleri
kontrol
Örnek 25
750 N
3m
3m
A ve B noktasında oluşan
reaksiyon kuvvetlerini
bulunuz.
2m
750 N
3m
3m
2m
Denge Denklemleri
NB reaksiyonunu bulmak için A noktasına göre moment alınır:
+∑MA = 0
N B cos 30.(6m) − N B sin 30.(2m) − 750 N .(3m) = 0
N B = 536.2 N
+

→
∑ Fx = 0
Ax − (536.2 N ) sin 30 = 0
Ax = 268 N
+ ∑ Fy = 0
Ay + (536.2 N ) cos 30 − 750 N = 0
Ay = 286 N
750 N
3m
3m
2m
Örnek 26
ekildeki sistemin mesnet
reaksiyonlarını bulunuz.
Not: A noktası düşey
yönde hareket edebiliyor
SERBEST CİSİM DİYAGRAMI
DENGE DENKLEMLERİ
Ax ve NB kuvvet denklemlerinin dengesinden bulunabilir:
daha sonra A noktasına göre moment alınır:
veya
Örnek 27
A noktasından mafsallı
eleman B noktasında
sürtünmesiz bir mesnetle
desteklenmiştir. A
mafsalındaki mesnet
kuvvetlerini bulunuz.
Örnek 28
A mesnedinde oluşan reaksiyon
kuvvetlerini bulunuz.
→ ∑ Fx = 0 − Ax + 400. cos 30 = 0
↑
∑F
∑M
y
A
=0
Ax = 346 N
Ay − 200 − 200 − 200 − 400. sin 30 = 0
Ay = 800 N
= 0 M A − 200(2.5) − 200(3.5) − 200(4.5)
− 400. sin 30(4.5) − 400. cos 30(3 sin 60) = 0
M A = 3.90 kNm
Ödev 12
Mesnet tepkilerini ve C
noktasında oluşan kuvveti
bulunuz.