Matematik Olimpiyatı Sayılar Teorisi Konuları

Matematik Olimpiyatı
Sayılar Teorisi Konuları Genel Sınavları
www.sbelian.wordpress.com
SINAV I(IDENTITIES WITH SQUARES)
4
4
1. a + 4b (Sopphie Germain Denklemi) çarpanlarına ayırınız.
2. n 4 + 4 = A ise A nın sadece n=1 durumunda asal olduğunu ispatlayınız.
3. Sıfırdan farklı ardışık 4 pozitif tamsayının çarpımlarının hiçbir zaman asal
olamayacağını çarpanlara ayırma yaparak ispatlayınız.
2
4. Eğer r ≥ s ≥ t ise r 2 − s 2 + t 2 ≥ ( r − s + t ) olduğunu ispatlayınız.
5.
(a
2
2
+ a + 1) ifadesinin üç tam kare ifadenin toplamı biçiminde yazılabileceğini
ispatlayınız.
6.
(10
(4
4
+ 324 ) . ( 22 4 + 324 ) . ( 344 + 324 ) . ( 464 + 324 ) . ( 584 + 324 )
4
+ 324 ) . (16 4 + 324 ) . ( 284 + 324 ) . ( 40 4 + 324 )( 52 4 + 324 )
ifadesinin eşitini
bulunuz.
2
7. r ≥ s ≥ t ≥ u ≥ v ise r 2 − s 2 + t 2 − u 2 + v 2 ≥ ( r 2 − s 2 + t 2 − u 2 + v 2 ) olduğunu
ispatlayınız.
8. a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac =
9.
(1 + x ) . (1 + x
2
1
2
2
2
( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) eşitliğini ispatlayınız.
2
(
)
) . (1 + x ) ...... (1 + x )
10. x > 0 olmak üzere
4
1024
x +1 − x =
(1 − x )
=
2048
eşitliğini ispatlayınız.
1− x
1
olduğuna göre
x +1 + x
1
1
< x +1 − x <
olduğunu ispatlayınız.
2 x +1
2 x
11. Soru (10) u kullanarak 2 n + 1 − 2 < 1 +
1
1
1
+
+ ..... +
< 2 n − 1 olduğunu
2
3
n
gösteriniz.
12. 1 < x < 2 olduğuna göre
1
x + 2 x −1
13.
+
1
x − 2 x −1
=
2
olduğunu ispatlayınız.
2− x
x + 3 − 4 x − 1 + x + 8 − 6 x − 1 = 1 denklemini çözünüz.
Matematik Olimpiyatı
www.sbelian.wordpress.com
1
Matematik Olimpiyatı
Sayılar Teorisi Konuları Genel Sınavları
www.sbelian.wordpress.com
14. x 4 + x 2 + 1 ifadesini çarpanlarına ayırınız. Ve x 4 + x 2 + 1 formundaki tüm asalları
bulunuz.
15. n 4 + 4 n sayısının yalnız n=1 durumunda asal olduğunu ispatlayınız.
16. cot x + tan x = a ise cot 2 x + tan 2 x = ?
SINAV II (IDENTITIES WITH CUBES)
1. a, b, c, d ∈ ℜ olmak üzere a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = ab + bc + cd + da eşitliği var ise
a = b = c = d olması gerektiğini kanıtlayınız.
2.
{a, b, c, d } kümesi elamanları ile {1, 2,3, 4} kümesinin elemanları arasında her bir
eleman yalnızca tekbir elemana gidecek şekilde bir eşleşme yapılıyor. Buna
göre a.b + b.c + c.d + d .a toplamının alabileceği en büyük tamsayı değeri kaçtır?
Kanıtlayarak gösteriniz.
3. 0 ≤ a, b, c, d ≤ 1 olmak üzere a (1 − b ) , b. (1 − c ) , c (1 − d ) , d . (1 − a ) çarpımlarından en az
1
ten küçük olması gerektiğini kanıtlayınız.
4
4. 1 + x + x 2 + .......... + x80 = ( x 54 + x 27 + 1) . ( x18 + x9 + 1) . ( x 6 + x3 + 1) . ( x 2 + x + 1) eşitliğini
bir tanesinin
kanıtlayınız.
5. a 3 + b3 + c3 − 3abc = ( a + b + c ) . ( a 2 + b 2 + c 2 − ab − ac − bc ) eşitliğini kanıtlayınız.
6. n ≥ 2 olmak üzere
n3 + ( n + 2 )
3
ifadesinin bir bileşik sayı olduğunu
4
kanıtlayınız.(bileşik sayı: asal olmayan)
7. tan( x) + cot( x) = a olduğuna göre tan 3 ( x) + cot 3 ( x) = a 3 − 3a olduğunu kanıtlayınız.
8. n ∈ + olmak üzere ( n + 10 ) ( n3 + 100 ) durumunu sağlayan en büyük tamsayıyı
ispatlayarak bulunuz.(AIME 1986)
1
1
1
9. 3
+3
+
= ? (AIME 1989)
3
3
3
1+ 2 + 4
4 + 3 6 + 3 9 3 9 + 12 + 3 16
10. a 2 − a −2 = 4 olmak üzere a 6 + a −6 ifadesinin eşiti kaçtır?
Matematik Olimpiyatı
www.sbelian.wordpress.com
2
Matematik Olimpiyatı
Sayılar Teorisi Konuları Genel Sınavları
www.sbelian.wordpress.com
11. a, b, c, d ∈ olmak üzere a + b + c + d = a 3 + b3 + c3 + d 3 = 0 olduğuna göre;
a, b, c, d sayı çiftlerinden birinin toplamının 0 olduğunu kanıtlayınız.(ITT 1994)
SINAV III (MICELLANEOUS ALGEBRAIC IDENTITIES)
1. 2903n − 803n − 464 n + 261n n ∈ ifadesinin 1897 ile kalansız bölünebildiğini
kanıtlanıyınız.(ETVOS 1989)
2. 1002004008016032 sayısının p > 25.104 olacak şekilde bir çarpanı olduğu bilindiğine
göre p sayısını bulunuz.(IMO,1990)
1 1 1
1
1
1
1
3. 1 − + − + .......... +
=
+
+ ......... +
olarak verilen Katalan
2 3 4
2n − 1 n + 1 n + 2
2n
denkliğini ispatlayınız.
4. 1110 − 1 ≡ x(mod100) ise x=?
5. x > y olmak üzere
xn − y n
> n. y n −1 olduğunu kanıtlayınız.
x− y
n
1 
 1 
6. (a) 1 +  < 1 +

 n   n +1 
 1
(b) 1 + 
 n
7.
( 2222 )
5555
n +1
n +1
1 

> 1 +

 n +1
+ ( 5555 )
2222
ifadesini ve
n+ 2
ifadesini ispatlayınız.
ifadesinin 7 ile bölümünden kalanı bulunuz.
8. Teorem(Mersenne Asalları): 2 n − 1 asal ise n ∈ sayısı da asal olmalıdır. Teoremi
ispatlayınız.
9. Teorem(Fermat Asalları): 2 n + 1 asal ise n ∈ sayısı 2 nin bir tam kuvveti olmalıdır.
Teoremi ispatlayınız.
10. 1 + x + x 2 + ....... + x 64 ifadesini çarpanlara ayırınız.
11. A = x9999 + x8888 + x 7777 + ....... + x1111 + 1 ifadesinin
B = x9 + x8 + x 7 + ....... + x1 + 1 ifadesine kalansız bölünebildiğini kanıtlayınız.
Matematik Olimpiyatı
www.sbelian.wordpress.com
3
Matematik Olimpiyatı
Sayılar Teorisi Konuları Genel Sınavları
www.sbelian.wordpress.com
12. 1492 n − 1770 n − 1863n + 2141n ifadesinin 1946 ile kalansız bölündüğünü kanıtlayınız.
( n ∈ + )
13. k ∈ , k = 2n + 1, n ∈ + olmak üzere 1k + 2k + 3k + ........ + n k ifadesinin
1 + 2 + 3 + ........ + n ile kalansız bölünebildiğini kanıtlayınız.
SINAV IV (LOGARITHMS)
3
log ab a = 4 ise log ab
1.
0,5.log
a
nin eşitini bulunuz.
b
( x − x)
2
x
2. x
= 3log9 4 denklemini çözünüz.
log 2 x + log 4 y + log 4 z = 2 

3. log 3 x + log 9 y + log 9 z = 2  denklem sistemini çözünüz.
log 4 x + log16 y + log16 z = 2 


5
5
4. log 1  cos x +
 + log 1  cos x −
 = 2 denklemini çözünüz.
6 
6 
3 
3 
5. A = log 6 16 B = log12 27 olsun. Buna göre ( A + a ) . ( B + b ) = c denkliğini sağlayan
tamsayıları bulunuz.
1
6. a > 1 olmak üzere 1 < x < a iken
> 1 olduğunu kanıtlayınız.
log a x
7. log 3 π + logπ 3 > 2 eşitsizliğini kanıtlayınız.
8. 0 < x < 1 olmak üzere log 1 x > log 1 x eşitsizliğini kanıtlayınız.
2
3
1
1
1
1
9.
+
+
+ .......... +
ifadesinin eşitini bulunuz.
log 2 1996! log 3 1996! log 4 1996!
log1996 1996!
10. Varsayalım, x − 1 < x < x olsun. Buna göre; log 2 1 + log 2 2 + ........... + log 2 1000
ifadesinin eşitini bulunuz.
5. ( log x y + log y x ) = 26 
11.
 denklem sistemini çözünüz.
x. y = 64

12. S = log tan1o + log tan 2o + .......... + log tan 89o ifadesinin en sade halini bulunuz.
13. ( log 2 3) . ( log3 4 ) . ( log 4 5) ................ ( log511 512 ) = ?
14. log8 2 1024 bir rasyonel sayıdır. Bulunuz.
Matematik Olimpiyatı
www.sbelian.wordpress.com
4
Matematik Olimpiyatı
Sayılar Teorisi Konuları Genel Sınavları
www.sbelian.wordpress.com
SINAV V (ARITHMETİC DIVISION ALGORITHM)
1. Varsayalım r ∈ + sayısı 1059, 1417, ve 2312 sayılarının d > 1 ile bölümünden ortak
kalan olsun. Bun göre ( d − r ) kaçtır?(AHSME-1976)
2. n + 1 n 2 + 1 durumunu sağlayan tüm pozitif tamsayıları bulunuz.
3. Eğer 7 3x + 2 ise 7 (15 x 2 − 11x + 14 ) olduğunu kanıtlayınız.
4. Herhangi bir tamsayının karesinin 3k veya 3k + 1 formunda olduğunu kanıtlayınız.
5. Eğer 3 ( a 2 + b 2 ) ise 3 a ve 3 b olduğunu kanıtlayınız.
6. Tüm kenarları birer tamsayı olan bir dik üçgende kenarlardan birinin uzunluğunun 3
ile bölümünden kalanın 0 olduğunu gösteriniz.
7. 5 ( n + 2 ) verilmiş olsun. Buna göre n 2 − 4, n 2 + 8n + 7, n 4 − 1, n 2 − 2n ifadelerinden
hangileri 5 ile kalansız bölünebilir. Gösteriniz.
8. p, p + 2, p + 4 formunda ( 3,5, 7 ) den başka herhangi bir asal üçlü bulunamayacağını
kanıtlayınız.
9. ( n 2 + 2 ) ile kalansız bölünebilen ve ( n + 1) . ( n 4 + 2n ) + 3 ( n3 + 57 ) formunda yazılabilen
en büyük pozitif tamsayıyı bulunuz.
10. ( 4n + 1) formunda yazılabilen iki tamsayının çarpımının yine ( 4n + 1) formunda
yazılabileceğini gösteriniz.
11. ( 6n − 1) formunda yazılabilen sonsuz çoklukta asal sayı olduğunu kanıtlayınız.
12. p bir asal sayı olmak üzere; eğer 2n − 1 ve 2n + 1 sayılarından herhangi biri asal sayı ise
diğerinin bileşik bir sayı olduğunu kanıtlayınız.
13. ( 4n 2 + 1) formunda olup; 13 ve 15 ile kalansız olarak bölünebilen sonsuz çoklukta sayı
bulunabileceğini kanıtlayınız.
14. n ≥ 11 olacak şekilde seçilecek herhangi bir tamsayının 2 pozitif bileşik sayı şeklinde
yazılabileceğini gösteriniz.
15. ( n 2 + 1) ifadesinin 3 ile kalansız olarak bölünemeyeceğini gösteriniz.
16. x, y ∈ olmak üzere x. ( x + 1) y. ( y + 1) biçiminde olan ancak x | y ve
( x + 1) | y durumunu da sağlayan sonsuz çoklukta x,y sayısının bulunabileceğini
kanıtlayınız.
Matematik Olimpiyatı
www.sbelian.wordpress.com
5
Matematik Olimpiyatı
Sayılar Teorisi Konuları Genel Sınavları
www.sbelian.wordpress.com
SINAV VI (DECIMAL SCALE)
1. 111........111
ifadesinin asal olmadığını kanıtlayınız.
221 tane 1
2. İki basamaklı bir tamsayı basamakları toplamına bölündüğünde kalan en fazla kaç
olabilir?
3. 0,3172 kesirler cinsinden ifade ediniz.
4. (AIME 1989) n ∈ + ve d ∈ + ∪ {0} olarak veriliyor.
n
= 0, d 25d 25d 25d 25..... olduğuna göre n kaçtır?
810
5. (AIME1988) Küpünün son 3 basamağı 888 ile biten en küçük pozitif tamsayı
kaçtır?
6. (AIME1988) f : + → + ve k ∈ + olmak üzere f1 (k ) fonksiyonu k sayısının
basamaklarının kareleri toplamını ifade etmektedir. Buna göre; n ≥ 2 için
f n ( k ) = f1 ( f n −1 ( k ) ) ise f1998 (11) kaçtır?
N
ifadesinin eşiti N sayısının basamaklarının
11
kareleri toplamına eşit olduğuna göre; üç basamaklı tüm N sayılarını bulunuz.
8. (IMO 1962) S ∈ + olmak üzere S sayısının birler basamağı 6 dır. Ancak bu 6
rakamı silinip sayının en başına yazıldığında S sayısı 4 katına çıktığına göre; S
sayısının alabileceği en küçük sayı değeri kaçtır?
9. (IMO 1992) A = {1000,1001,1002,........, 2000} kümesinin elamanları içerisinde
toplama işlemine girdikleri zaman sonuca elde işlemi yapılmadan ulaşılan kaç
ardışık tam sayı ikilisi vardır?
10. (AIME 1987) Toplamlarında elde işlemi yapılmadan sonuca gidilen ikililere
varsayalım “Basit Sayılar” diyelim (örneğin; 12+13, 519+100,...vb). Buna göre
toplamları 1492 olan kaç tane basit sayı ikilisi vardır?
11. (AIME 1994) n ∈ + ve P (n) de n sayısının sıfırdan farklı basamaklarının çarpımı
olmak üzere veriliyor. Buna göre; S = P (1) + P (2) + .......... + P (999) ifadesinin
eşitini bulunuz.
1
12. En soldaki basamağı kapatıldığında değeri ilk değerinin
sine eşit olan bir
20
tamsayının en sol basamağı 6 ise bu sayıların genel formunu bulunuz.
13. (IMO 1968) x ∈ olmak üzere x sayısının basamakları çarpımı x 2 − 10 x − 22
olduğuna göre bu durumu sağlayan x sayılarını bulunuz.


14. A = 49, 4489, 444889,......., 444...4888...89
 dizisinin tüm elemanlarının bir tam

n tane 4 n −1 tane 8 
kare olduğunu kanıtlayınız.
15. (AIME 1992) 0 < r < 1 ve S kümesi de tüm r ∈ elemanlarının kümesi olmak
üzere her bir r 0, abcabcabc....... = 0, abc biçimindedir. Buna göre S kümesinin
elemanlarını en düşük terimlerin kesri biçiminde yazabilmek için kaç farklı payın
yazılmasına gerek vardır.
16. a, b ∈ olmak üzere a = 111....11
b = 1000....005
ise a.b + 1 ifadesinin bir tam
7. (IMO 1988) N ∈ + olmak üzere
m tane 1
m −1 tane 0
kare olduğunu kanıtlayınız.
Matematik Olimpiyatı
www.sbelian.wordpress.com
6
Matematik Olimpiyatı
Sayılar Teorisi Konuları Genel Sınavları
www.sbelian.wordpress.com
17. n ≥ 3 olmak üzere tüm n basamaklı sayıların toplamının 494999...9
55000...0
n −3 tane 9
n − 2 tane 0
olduğunu kanıtlayınız.
18. n ∈ + olmak üzere 111...1
− 222...2
farkının bir tam kare olduğunu kanıtlayınız.
2 n tane 1
n tane 2
SINAV VII (NON-DECIMAL SCALE )
13
ifadesini 6 tabanına göre yazınız.
6
2. ( 4, 41)r olarak verilen ifadenin bir tam kare ifade olduğunu gösteriniz.
1.
3. (AIME 1986) A = {1,3, 4,9,10,12,13,......} dizisinin elemanları belli bir sisteme göre
dizilmişlerdir. Buna göre dizinin 100. elemanını bulunuz.
2 xn −1 < 1
2 xn −1 ,
4. (AHSME 1993) 0 ≤ x < 1 n ≥ 0 olmak üzere xn = 
olarak
2 xn −1 − 1, 2xn −1 ≥ 1
veriliyor. Buna göre x0 = x5 durumu kaç x0 değeri için doğrudur?
5. A = {12 , 22 ,32 ,… , 27 2 } kümesinin elemanlarını öyle üç gruba ayırınız ki her birinin
toplamı diğerleri ile aynı olsun.
6. x : x sayısının tam değerini temsil etmek üzere
x + 2 x + 3x + 4 x + 8 x + 16 x + 32 x = 12345 denklem sistemini
çözünüz.(Not: sorunun çözümü olmayabilir eğer yoksa ispat ediniz.)
SINAV IX (WELL-ORDERING PRINCIPLE)
1. a, b, c ∈ olmak üzere a 6 + 2b 6 = 4c 6 olduğuna göre a = b = c olduğunu kanıtlayınız.
a2 + b2
a2 + b2
ifadesi de bir tamsayı ise
ifadesinin bir
1 + ab
1 + ab
tam kareye eşit olduğunu kanıtlayınız.
3. a 3 + 2b3 = 4c3 ifadesinin tüm sayı çözümlerini bulunuz.
4. x 2 + y 2 + z 2 = 2 xyz eşitliğinin sadece x = y = z = 0 olduğunda sağlandığını kanıtlayınız.
2. (IMO 1988) a, b ∈ + olmak üzere
5. x 2 + y 2 = 3 ( z 2 + w2 ) denkliğini sağlayan x, y, z , w tamsayılarının olmadığını kanıtlayınız.
Matematik Olimpiyatı
www.sbelian.wordpress.com
7
Matematik Olimpiyatı
Sayılar Teorisi Konuları Genel Sınavları
www.sbelian.wordpress.com
SINAV X (MATHEMATICAL INDUCTION)
1. 3 − 26.n − 27 ifadesinin tüm n ∈ sayıları için 169 sayısının bir tam katı olduğunu
tümevarım metodu ile kanıtlayınız.
3 n +3
2.
2n
2n
2n
2n
(1 + 2 ) + (1 − 2 )
(1 + 2 ) − (1 − 2 )
ifadesinin bir çift sayı olduğunu ve
=b 2
b ∈ + , n ≥ 1 eşitliğinin var olduğunu kanıtlayınız.
3. k ∈ + bir tek sayı ise 2n + 2 k 2 n − 1
n ∈ olduğunu kanıtlayınız.
4. s ∈ + olmak üzere, [ s, 2s ] aralığının 2 nin bir tam kuvvetini içerdiğini kanıtlayınız.
5. Tanım: f 0 = 0, f1 = 1, f n +1 = f n + f n −1 , n ≥ 1 olarak tanımlanan dizi bir Fibonacci
dizisidir. Bu tanıma göre f n −1. f n +1 = f n2 + ( −1)
n +1
n ≥ 1 olarak verilen eşitliği kanıtlayınız.
6. Verilen herhangi bir karenin n = 4, 6, 7,8...... parça yeni kareye bölünebileceğini
kanıtlayınız.( Kareler farklı olmak zorunda değildir.)
7. Matemanya ülkesinde bozuk paralar 3 veya 5 matelira olarak verilmektedir. Buna göre 8
mateliradan büyük veya eşit olan her para üstünün bozuk para cinsinden ödenebileceğini
kanıtlayınız.
8. (USAMO 1978) Herhangi bir n ∈ sayısı eğer n = a1 + a2 + ...... + ak biçiminde
1 1
1
yazılabiliyor ve
+ + ......... + = 1 eşitliği de sağlanıyorsa n sayısına “iyi sayı”
a1 a2
ak
diyelim. 33 ile 73 arasındaki tamsayıların birer “iyi sayı” oldukları bilindiğine göre n ≥ 33
olan her sayısının “iyi sayı” olduğunu kanıtlayınız.( a1 , a2 ,......, ak birbirinden farklı olmak
zorunda değildir.)
1.3.5...... ( 2n − 1)
1
9. n ∈ , n ≥ 1 olmak üzere;
<
olduğunu kanıtlayınız.
2.4.6....... ( 2n )
3n + 1
10. a1 = 3, b1 = 4 ve an = 3an−1 , bn = 4bn−1 n ∈ olarak veriliyor. a1000 > b999 olduğunu
kanıtlayınız.
11.
π
2 + 2 + 2 + ...... + 2 = 2 cos n +1 eşitliğini kanıtlayınız.( n ∈ )
2
n tane kök işareti
12. sin ( nx ) ≤ n. sin x eşitsizliğini kanıtlayınız.( n ∈ + , x ∈ )
1
1
1
+
+ ......... +
> 1 olduğunu kanıtlayınız.
n +1 n + 2
3n + 1
3
3
14. n3 + ( n + 1) + ( n + 2 ) toplamının 9 ile kalansız bölünebildiğini kanıtlayınız.
13. n ∈ olmak üzere;
1 1 1
1
1
+ 2 + 2 + ....... + 2 < 2 −
n ∈ , n > 1 eşitsizliğini kanıtlayınız.
2
1 2 3
n
n
1
1
16. k ∈ + olmak üzere x + ifadesi bir tamsayıya eşit ise x k + k ifadesinin de bir tamsayı
x
x
olduğunu kanıtlayınız.
17. Sophie Germain eşitliğini kullanarak x 4 + x 2 + 1 = ( x 2 − x + 1)( x 2 + x + 1) eşitliğini
15.
n +1
n
gösteriniz. Daha sonra bu eşitliği kullanarak 22 + 22 + 1 ifadesinin n farklı asal çarpanı
olduğunu kanıtlayınız.
Matematik Olimpiyatı
www.sbelian.wordpress.com
8
Matematik Olimpiyatı
Sayılar Teorisi Konuları Genel Sınavları
www.sbelian.wordpress.com
18. n ≥ 2 olmak üzere; f1 + f 2 + ........ + f n = f n + 2 − 1 eşitliğini kanıtlayınız.
SINAV XI (CONGRUENCES)
1. 61987 sayısının 37 ile bölümünden kalanı bulunuz.
3
2. 12233.455679 + ( 87653) ifadesinin 4 ile bölümünden kalanı bulunuz.
3. 7 32 n +1 + 2n + 2 olduğunu modüler metot ile gösteriniz.
4. 641 ( 232 + 1) olduğunu gösteriniz.
5. 7 ( 22225555 + 55552222 ) olduğunu gösteriniz.
7
6. 7 7 sayısının birler basamağını bulunuz.
7. (AIME 1994) Artan bir dizi olan S = {3,15, 24, 48,.....} dizisinin elemanları hem 3
sayısının pozitif bir tam katı hem de tam kareden bir eksiktir. Buna göre dizinin 1994.
teriminin 1000 ile bölümünden kalanı bulunuz.
8. x 2 − 5 y 2 = 2 eşitliğini sağlayan herhangi bir ( x, y ) tamsayı ikilisinin
bulunamayacağını kanıtlayınız.
9. x3 = 2 y + 15 eşitliğini sağlayan herhangi bir ( x, y ) pozitif tamsayı ikilisinin
bulunamayacağını kanıtlayınız.
10. x 2 − 7 y = 3 eşitliğini sağlayan herhangi bir ( x, y ) pozitif tamsayı ikilisinin
bulunamayacağını kanıtlayınız.
11. 7 a 2 + b 2 olduğuna göre 7 a ve 7 b olduğunu kanıtlayınız.
12. 3100 ifadesinin sağdan ilk iki basamağını bulunuz.
13. Bir tam kare tamsayının basamaklarının sayı değerleri toplamının 1991 sayısına eşit
olamayacağını kanıtlayınız.
14. 800000007 = x 2 + y 2 + z 2
x, y, z ∈ denkliğini sağlayan ( x, y, z ) üçlülerinin
bulunamayacağını kanıtlayınız.
15. 62ab 427 sayısı eğer 99 ile kalansız bölünebiliyor ise; a ve b değerlerini bulunuz.
16. n = 1, 2,3,...... olmak üzere bir tam sayının 2n ile kalansız bölünebilmesi için sayının
sondan n basamağının 2n ile kalansız bölünebilmesi gerektiğini kanıtlayınız.
2
17. ∀n > 1 için ( n − 1) ifadesinin n n − n 2 + n − 1 ifadesini kalansız böldüğünü gösteriniz.
18. 10 n10 + 1 durumunu sağlayan n ∈ + sayılarını bulunuz.
19. (USAMO 1979) ∀ni ∈ + , i = 1, 2,3.... olmak üzere
n14 + n24 + n34 + ......... + n144 = 1599 denklemini sağlayan kaç farklı
( n1 , n2 , n3 ,....., n14 ) permütasyonu bulunabilir?
1020000 olarak verilen ifadenin birler basamağını bulunuz.
20. (PUTNAM 1986) 100
10 + 3 21. (PUTNAM 1973) Varsayalım {a1 , a2 , a3 , a4 ,.....a2 n +1} elemanları tamsayılar olan bir
küme olsun. Öyle ki herhangi bir eleman kümeden çıkarıldığında kalan elamanların
tamamı kullanılarak elemanları toplamı birbirine eşit olan n elemanlı iki küme elde
edilebildiğine göre; a1 = a2 = .......... = a2 n +1 olduğunu kanıtlayınız.
Matematik Olimpiyatı
www.sbelian.wordpress.com
9
Matematik Olimpiyatı
Sayılar Teorisi Konuları Genel Sınavları
www.sbelian.wordpress.com
n 1 
1 1
22. n !! = n ! − + ......... + ( −1) .  olarak veriliyor. Buna göre n ∈ , n > 3 olmak
n! 
 2! 3!
üzere n !! = n !mod ( n − 1) olduğunu kanıtlayınız.
6n+2
23.
∑ C (6n + 2, 2k ).3 ≡ 0, −2
k =0
3 n +1
, 23 n +1 mod ( 23n + 2 ) eşitliğinin n = 2k , 4k + 3 veya 4k + 1
olduğu durumlarda doğru olduğunu kanıtlayınız.
24. (Polish Mathematical Olympiad) 30 x0 y 03 sayısının 13 ile kalansız bölünebilmesi
içinx ve y yerine gelebilecek sayıları bulunuz.
25. 1 ≤ n ≤ 25 olmak üzere n 2 + 15n + 122 ifadesinin 6 ile kalansız bölünmesini sağlayan
tüm n değerlerini bulunuz. İpucu: n 2 + 15n + 122 = n 2 + 3n + 2 = ( n + 1)( n + 2 )
n
26.
∑2
3k
.C ( 2n + 1, 2k + 1) ifadesinin 5 ile kalansız bölünemeyeceğini kanıtlayınız.
k =0
27. (IMO 1975) Varsayalım S = {a1 , a2 ,.......} elemanları pozitif tamsayılardan oluşan
artan bir dizi olsun. Buna göre; ∀s ≥ 1 için am = x.as + y.at formunda yazılabilen
sonsuz çoklukta am olduğunu kanıtlayınız. ( x, y ∈ t > s )
SINAV XII (DIVISIBILITY TESTS)
1. (AHSME 1992) 19dan 92ye kadar olan iki basamaklı sayılar yan yana yazılarak
S = 19202122.........89909192 sayısı elde ediliyor. Buna göre s sayısını bölen 3 ün en
büyük kuvveti kaçtır?
2. (IMO 1975) 44444444 sayısının ondalık açılımı yapıldığında bulunan sayısının
basamakları toplamı A ve A sayısının da basamakları toplamı B ise; B sayısının
basamakları toplamı kaçtır? (A ve B onluk sistemde iki sayıdır.)
n
3. (PUTNAM 1952) Varsayalım; f ( x) = ∑ ak .x n − k ifadesi n. dereceden bir polinoma
k =0
eşit olduğuna göre, eğer a0 , an ve f (1) ifadelerinin hepsi tek sayı ise,
f ( x ) = 0 ifadesinin rasyonel bir kökü olmadığını kanıtlayınız.
4.
f 2 n +1 = f n2+1 mod f n2 olduğunu kanıtlayınız.
5. (Lagrange 1975) f n + 60 ≡ f n mod10 olduğunu kanıtlayınız.
6. (AHSME 1991) 321 sayısı “enteresan” bir sayıdır öyle ki
1 3 , 1 32 ve 3 321 durumunu sağlar. Buna göre; 6 basamaklı kaç “enteresan” sayı
vardır?
7. Eski bir fatura üzerinde alınan 88 parça eşyaya karşılık x 4, y 2 ytl para verildiği
yazmaktadır ancak x ve y nin olduğu basamaklar tahrifattan dolayı okunamamaktadır.
Buna göre her bir parça eşyaya ne kadar ödenmiş olabilir?
8.
((UM ) C 1991) Varsayalım a , a , a ,......, a ∈ 2
8
0
1
2
n
an ≠ 0 olmak üzere
P ( x ) = a0 + a1.x + ...... + an .x n olarak tanımlanmış olsun. x0 ∈ olmak üzere
P ( x0 ) = 0 durumunu sağlayan bir x0 ın bulunduğunu varsayalım. Buna göre
1 ≤ k ≤ n ise ak .x0 + ............ + an .xnn − k +1 ifadesinin de bir tamsayı olduğunu kanıtlayınız.
Matematik Olimpiyatı
www.sbelian.wordpress.com
10
Matematik Olimpiyatı
Sayılar Teorisi Konuları Genel Sınavları
www.sbelian.wordpress.com
SINAV XIII (MORE ON CONGRUENCES)
1. (IMO 1970) S = {n, n + 1, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5} olarak verilen S kümesi elemanları
çarpımı birbirine eşit olan iki kümeye ayrılabildiğine göre n in alabileceği değerleri
bulunuz.
2. 3 ( n.2n + 1) durumunu sağlayan tüm n doğal sayılarını bulunuz.
3. n 2n + 2 durumunu sağlayan sonsuz çoklukta n tamsayısı olduğunu kanıtlayınız.
4.
p 2 p + 1 durumunu sağlayan tüm p asallarını bulunuz.
5.
p ≠ q ve p,q asal sayılardır. Buna göre p.q ( a pq − a p − a q − a ) olduğunu
kanıtlayınız. a ∈ 6. p asal bir sayı olmak üzere; p a p + ( p − 1) !.a olduğunu kanıtlayınız.
7.
( mn, 42 ) = 1 ise 168 m6 − n6
olduğunu kanıtlayınız.
p ≠ q ve p,q asal olmak üzere q p −1 + p q −1 ≡ 1mod( pq ) olduğunu kanıtlayınız.
9. p tek asal sayı olmak üzere n p ≡ n mod(2 p ) olduğunu kanıtlayınız. n ∈ 8.
10. p tek asal sayı olmak üzere p m p + n p olduğuna göre, p 2 m p + n p olduğunu
kanıtlayınız.
11. n > 1 olmak üzere p asal bir sayıdır ⇔ ( n − 1) ! ≡ −1mod n olduğunu kanıtlayınız.
( p −1)
12. p > 2 ve p asal olmak üzere 12.32........( p − 2) 2 ≡ 22.42.......( p − 1) 2 ≡ (−1)
olduğunu kanıtlayınız.
(
13. 19 22
6 k +2
2
mod( p )
)
+ 3 olduğunu kanıtlayınız.
SINAV XIV (EULER THEOREM)
1000
1. 7 7 ifadesinin son iki basamağını bulunuz.
2. (IMO 1978) m, n ∈ N 1 ≤ m < n olarak veriliyor. 1978m ifadesinin son üç basamağı
sırası ile 1978n ifadesinin son üç basamağına eşit olduğuna göre m+n in alabileceği en
küçük değer kaçtır?
3. (IMO 1984) Öyle bir (a,b) ikilisi bulunuz ki;
a. a.b ( a + b ) 7 ile bölünmeyecek.
b.
( a + b)
7
− a 7 − b 7 7 7 ile bölünebilecek, şartlarından ikisini de sağlasın.
4. (USAMO 1982) k .2n + 1 ifadesinin birleşik bir sayı olmasını sağlayan k ∈ biçiminde
bir sayının her n ∈ için bulunabileceğini kanıtlayınız.
5. a1 = 7 ve an = 7 an −1 ise a1001 elemanının son iki basamağını bulunuz.
6.
7.
( m, n ) = 1 olmak üzere mφ ( n ) + nφ ( n ) ≡ 1( mod mn ) olduğunu kanıtlayınız.
n
1n + 2n + ........ + ( n − 1) toplamını bölen tüm n ∈ sayılarını bulunuz.
8. n = 2k + 1, n ∈ , k ∈ ise n ( 2n! − 1) olduğunu kanıtlayınız.
Matematik Olimpiyatı
www.sbelian.wordpress.com
11
Matematik Olimpiyatı
Sayılar Teorisi Konuları Genel Sınavları
www.sbelian.wordpress.com
1
2
10
9. 1010 + 1010 + .......... + 1010 toplamının 7 ile bölümünden kalan kaçtır?
10. 504 n9 − n3 olduğunu kanıtlayınız.
SINAV XV (MISCALLENEOUS PROBLEMS INVOLVING INTEGERS)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
( m + n )!
ifadesinin m, n ∈ + ∪ {0} için tamsayılar kümesinin bir elemanı olduğunu
m !n !
kanıtlayınız.
n5 − 5n3 + 4n ifadesinin 120 ile kalansız bölünebildiğini kanıtlayınız.
A ∈ + olmak üzere A′ sayısı da A sayısının basamaklarının yer değiştirilmesi ile
oluşturulan yeni bir sayıdır. Buna göre eğer A + A′ = 1010 ise A sayısının 10 ile
kalansız bölünebildiğini kanıtlayınız.
Bazı pozitif tamsayıların toplamı 1996 olduğuna göre bu sayıların çarpımlarının
maksimum değeri kaçtır?
1
r ∈ olmak üzere r + ∈ + biçiminde yazılabilen tüm pozitif tamsayıları bulunuz.
r
5 + 55 + 555 + 5555 + ...... + 5...5
toplamını bulunuz.
n tane 5
n
7. 7 1000! ise nmax = ?
8. n9 − 6n 7 + 9n5 − 4n3 ifadesinin 8640 ile kalansız bölünebildiğini kanıtlayınız.
9. n > 4 için n bir bileşik sayı ise n ( n − 1) ! olduğunu gösteriniz.
10. x 2 − x − 2 = x eşitliğini sağlayan x ∈ değerlerini bulunuz.
x x =
eşitliğini sağlayan kaç x tamsayı değeri vardır?
11. 1999! 2000!
12. (PUTNAM 1948) n ∈ + olmak üzere n + n + 1 = 4n + 2 olduğunu
kanıtlayınız.
13. 6 n3 − n, n ∈ olduğunu kanıtlayınız.
14. a,b,c bir üçgenin kenarları olmak üzere
2
; 3 ( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c ) ≤ 4 ( ab + bc + ca ) olduğunu kanıtlayınız.
15. (IMO 1979) a, b ∈ öyle ki
a
1 1 1
1
1
= 1 − + − + ...... −
+
ise 1979 a
b
2 3 4
1318 1319
olduğunu kanıtlayınız.
16. Sonsuz sayıda tam kare üçgensel sayı (1,1+2,1+2+3,….) bulunduğunu kanıtlayınız.
( 2m )!( 3n )! ifadesinin bir tamsayıya eşit olduğunu kanıtlayınız.
17.
2
3
( m !) ( n !)
18. n ∈ olmak üzere ( n !) ! ifadesinin n !( n −1)! ile kalansız bölünebileceğini kanıtlayınız.
19. (OLYMPIADA MATHEMATICA ESPANOLA 1985) n ∈ + olmak üzere
2n ( n + 1)( n + 2 )( n + 3) ...... ( 2n ) olduğunu kanıtlayınız.
Matematik Olimpiyatı
www.sbelian.wordpress.com
12
Matematik Olimpiyatı
Sayılar Teorisi Konuları Genel Sınavları
www.sbelian.wordpress.com
SINAV XVI (GCD AND LCM)
1.
( a, b ) = 1 ise ( a + b, a 2 − ab + b 2 ) = 1 veya 3 olması gerektiğini kanıtlayınız.
2. (IMO 1959)
21n + 4
kesrinin her n ∈ için sadeleşemeyen bir kesir olduğunu
14n + 3
kanıtlayınız.
3. (AIME 1985) S = {101,104,116,.....} dizisinin elemanları an = 100 + n 2 , n = 1, 2,3,...
olarak veriliyor. Eğer d n = ( an , an +1 ) ise max d n kaçtır?
n ≥1
4. m, n ∈ ve m tek sayı olduğuna göre ( 2 − 1, 2m + 1) = 1 olduğunu gösteriniz.
m
5. Ardışık seçilen iki Fibonacci sayısının aralarında asal olduklarını kanıtlayınız.
6. Hiçbir tek Fibonacci sayısının 17 ile kalansız bölünemeyeceğini gösteriniz.
1
C (2n, n) ise Cn ifadesinin bir
7. Cn Katalan sayıları olarak tanımlansın. Cn =
n +1
tamsayıya eşit olduğunu kanıtlayınız.
8. n ∈ ve C ( 2n,1) , C ( 2n,3) , C ( 2n,5) ,......., C ( 2n,1) dizinin elemanlarının en büyük
ortak bölenini bulunuz.
9. a ∈ olmak üzere; ( 2b − 1) ( 2a + 1) durumunu sağlayan b ∈ sayılarını (ispat
ederek) bulunuz.
(
)
n
10. an ve bn ; an + bn 2 = 1 + 2 , n ∈ bağıntısı ile veriliyor. Buna göre
EBOB ( an , bn ) = 1 olduğunu gösteriniz.
n
11. Fn = 22 + 1 ifadesi bize n. Fermat Sayısı nı verir. Buna göre ( Fn , Fm ) = ?
12. Genel terimi an = 16n + 10n − 1, n = 1, 2, 3,.... ifadesinin en büyük ortak bölenini
bulunuz.
13. p bir asal sayı olmak üzere p 2 p − 2 olduğunu kanıtlayınız.
Matematik Olimpiyatı
www.sbelian.wordpress.com
13
Matematik Olimpiyatı
Sayılar Teorisi Konuları Genel Sınavları
www.sbelian.wordpress.com
SINAV XVIII (TELESCOPIC CANCELATION)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
2n
n
n ∈ olmak üzere; 22 + 1 ifadesinin 2 2 − 2 yi kalansız böldüğünü gösteriniz.
1 
 1
 1
 1

log 2 1 +  + log 2 1 +  + log 2 1 +  + ....log 2  1 +
=?
 2
 3
 4
 1023 
1 
1
1 


1 − 2  . 1 − 2  ....... 1 − 2  = P ise P = ?
 2  3 
 99 
Dn = 1 − 2 + 3 − 4 + ....... + (−1) n −1.n ise Dn için kapalı bir form bulunuz.
1.1!+ 2.2!+ 3.3!+ ....... + 99.99! toplamını bulunuz.
1 3 5
9999
1
. . ........
<
olduğunu kanıtlayınız.
2 4 6
10000 100
π
2π
4π
P = cos cos
cos
ise P?
7
7
7
( 2 + 1) . ( 22
1
)(
2
) (
98
)
+ 1 . 22 + 1 ....... 22 + 1 = 2a + b ise a ve b tamsayılarını bulunuz.
SINAV XIX (SUMS, PRODUCTS, RECURSIONS)
1. 1 + 2 + 3 + ...... + ( n − 1) + n =
2
2
n 2 . ( n 2 + 1)
eşitliğini kanıtlayınız.
2
2. 1 + 3 + 5 + ......... + ( 2n − 1) = n 2 eşitliğini kanıtlayınız.
1
2
3. (AIME 1994) 20 + 20 + 20 + ........ + 40 toplamını bulunuz.
5
5
1
2
3
1995
4.
+
+
+ ....... +
= S ise S ∈ olduğunu kanıtlayınız.
1996 1996 1996
1996
1
1
1
5. Orjin noktasından kalkan bir kelebek 1 birim yukarı, birim sağa, birim aşağı,
2
4
8
1
birim sola,
birim yukarı... şeklinde bir rota ile uçmaktadır. Buna göre bu kelebek
16
uçuşunu hangi koordinat noktasında bitirir.
1
1
1
1
6.
+
+
+ ..... +
toplamının eşitini bulunuz.
1.4 4.7 7.10
31.34
1
1
1
1
7.
+
+
+ ..... +
toplamını bulunuz.
1.4.7 4.7.10 7.10.13
25.28.31
2
 n ( n + 1) 
3
3
3
3
8. 1 + 2 + 3 + .... + n = 
 eşitliğini kanıtlayınız.
2 

n3 − 1 2
= eşitliğini kanıtlayınız (Gramm e göre).
∏
3
3
n= 2 n + 1
∞
9.
Matematik Olimpiyatı
www.sbelian.wordpress.com
14
Matematik Olimpiyatı
Sayılar Teorisi Konuları Genel Sınavları
www.sbelian.wordpress.com
1
 1.2.4 + 2.4.8 + 3.6.12 + ....  3
10. 
 ifadesinin eşitini bulunuz.
 1.3.9 + 2.6.18 + 3.9.27 + .... 
n
k
1 n2 + n
11. ∑ 4
olduğunu gösteriniz.
=
.
2
2 n2 + n + 1
k =1 k + k + 1
12. csc 2 + csc 4 + csc8 + ....... + csc 2 n = cot1 − cot 2n eşitliğini kanıtlayınız.
SINAV XX (RECURSIONS)
1. x0 = 7 ve xn = 2.xn −1 , n ≥ 1 ise xn için kapalı bir form bulunuz.
2. x0 = 2 ve xn = 9.xn −1 − 56n + 63, n ≥ 1 ise xn için kapalı bir form bulunuz.
3. x0 = 2 ve xn = 2.xn −1 + 3n −1 , n ≥ 1 ise xn için kapalı bir form bulunuz.
4. x0 = 7 ve xn = xn −1 + n, n ≥ 1 ise xn için kapalı bir form bulunuz.
5. x0 = 3 ve x 2 n +1 = xn , n ≥ 1 ise xn için kapalı bir form bulunuz.
x +4
6. x0 = 3 ve xn = n −1
ise xn için kapalı bir form bulunuz.
3
7. x0 = 1 ve xn = 5 xn −1 − 20n + 25 ise xn için kapalı bir form bulunuz.
8. x0 = 1 ve xn = xn −1 + 12n ise xn için kapalı bir form bulunuz.
9. x0 = 5 ve xn = 2.xn −1 + 9. ( 5n −1 ) ise xn için kapalı bir form bulunuz.
10. a0 = 5 ve a j +1 = a 2j + 2a j , j ≥ 0 ise a j için kapalı bir form bulunuz.
11. (AIME 1994) Eğer n ≥ 1 ise xn + xn −1 = n 2 ve x19 = 94 ise x94 elemanının 1000 ile
bölümünden kalan kaçtır?
12. x0 = −1 ve xn = xn −1 + n 2 , n > 0 ise xn için kapalı bir form bulunuz.
13. x1 = 1 ve xn +1 = xn2 − xn + 1, n > 0 ise
∞
1
∑x
n =1
= 1 olduğunu kanıtlayınız.
n
SINAV XXI (EQUATIONS IN ONE VARIABLE)
1. 2 x = sin x 2 denklemini çözünüz.
2.
x −3
(x
2
−8 x +15
( x −12)
)
= 1 denklemini çözünüz.
x
3. x x = 2 ise x in yaklaşık değeri kaçtır?
4. 9 + x −4 = 10.x −2 denklemini çözünüz.
5. ( x − 5 )( x − 7 )( x + 6 )( x + 4 ) = 504 denklemini çözünüz.
6. 9 x − 3x+1 − 4 = 0 denklemini çözünüz.
7. 12 x 4 − 56 x 3 + 89 x 2 − 56 x + 12 = 0 denklemini çözününüz.
8. x 2 − 5 x + 2 x 2 − 5 x + 3 = 12 denklemini çözünüz.
9.
3x 2 − 4 x + 34 − 3 x 2 − 4 x − 11 = 9 denklemini çözünüz.
10. 3 14 + x + 3 14 − x = 4 denklemini çözünüz.
Matematik Olimpiyatı
www.sbelian.wordpress.com
15
Matematik Olimpiyatı
Sayılar Teorisi Konuları Genel Sınavları
www.sbelian.wordpress.com
2π
a −1
11. cos
ifadesinin eşiti
ise a+b=?
5
b
x
eşitliğini sağlayan kaç x reel sayısı vardır?
12. sin x =
100
x
a b
a
13. 2
+3
= + 6 denklemini x e göre çözünüz.
a
x a
b
14. ( x − 3)( x − 7 )( x + 5 )( x + 1) = 1680 denklemini çözünüz.
15. x 4 + x3 − 4 x 2 + x + 1 = 0 denklemini çözünüz.
2
2
16. 2sin x + 5.2cos x = 7 denklemini çözünüz.
17. x + x + x + … = 2 ise x kaçtır?
18. sin x = log e x denkleminin kaç reel çözümü vardır?
19. x − 1 − x + 3 x − 1 − 2 x − 2 = x + 2 denklemini çözünüz.
x + x + 11 + x + x − 11 = 4 denklemini çözünüz.
1
= x olarak verilen denklemi çözünüz.
21.
1
1+
1
1+
20.
1+
1+
22.
1
x
x + 2 x + 2 x + + 2 x + 2 3 x = x denklemini çözünüz.
10
23. ( x 2 − 9 x − 1) + 99 x10 = 10 x9 . ( x 2 − 1) denklemini çözünüz.
24.
x + x2 − 1
x − x2 − 1
+
x − x2 − 1
x + x2 −1
= 98 denklemini çözünüz.
SINAV XXII (SYSTEM OF EQUATION)
1.
( x + y ).( x + z ) 

( y + z ) . ( y + x )  denklem sistemini çözünüz.
( x + z ) . ( z + y ) 
a, b, c ∈ ve a.b.c ≠ 0 olmak üzere
x2 − ( y − z ) = a 2 

2.
2

y 2 − ( z − x ) = b 2  denklem sistemini çözünüz.

2
z 2 − ( x − y ) = c2 

2
Matematik Olimpiyatı
www.sbelian.wordpress.com
16
Matematik Olimpiyatı
Sayılar Teorisi Konuları Genel Sınavları
www.sbelian.wordpress.com
3.
x3 + 3 x 2 y + y 3 = 8 
 denklem sistemini çözünüz.
2 x 3 − 2 x 2 y + xy 2 = 1
4.
( x + 2 ) . ( y + 3) = 39 
 denklem sistemini çözünüz.
2
2
( x + 2 ) + ( y + 3) + ( x + 2 )( y + 3) = 741
5.
x 4 + y 4 = 82
 sistemini çözünüz.
x− y = 2 
6.
7.
x + 2+ y +3+
x1.x2 = 1, x2 .x3 = 3, … , x100 .x101 = 100, x101.x1 = 101
denklem sistemini çözünüz.
x 2 − y.z = 3 

y 2 − z.x = 4  denklem sistemini çözünüz.
z 2 − x. y = 5 
2 x + y + z + u = −1
x + 2 y + z + u = 12 
8.
 denklem sistemini çözünüz.
x + y + 2z + u = 5 
x + y + z + 2u = −1


9. y + 2 xy + z = 168
 denklem sistemini çözünüz.
2
z + 2 yz + 2 xz = 12480 
x2 + x + y = 8
2
SINAV XXIII (REMAINDER+FACTOR THEOREMS+POLYNOMIALS)
1. P( x) polinomu P ( − x ) = − P ( x ) durumunu sağlamaktadır. P( x) polinomu ( x − 3) ile
bölündüğünde 6 kalanını verdiğine göre ( x 2 − 9 ) ile bölündüğünde vereceği kalanı
bulunuz.
2. P( x) , n. dereceden bir polinom olmak üzere P ( k ) =
1
, k = 1, 2,3, 4,..., n + 1 ise
k
P(n + 2) ifadesinin eşitini bulunuz.
Matematik Olimpiyatı
www.sbelian.wordpress.com
17
Matematik Olimpiyatı
Sayılar Teorisi Konuları Genel Sınavları
www.sbelian.wordpress.com
3. Katsayıları tamsayılar olan bir P( x) polinomunda x in alacağı 4 farklı değer için
P( x) = 7 ise P( x) polinomunun hiçbir zaman 14 e eşit olamayacağını kanıtlayınız.
4. 3. dereceden bir polinom olan P( x) veriliyor.
P(1) = 1, P(2) = 2, P(3) = 3, P(4) = 5 ise P(6)?
5.
f ( x) = x 4 + x3 + x 2 + x + 1 polinomu veriliyor. f ( x 5 ) in f ( x ) ile bölümünden kalan
kaçtır?
6. P( x) polinomu ( x − 1) bölündüğünde kalan −2 , ( x + 2 ) ile bölününce −4 kalanını
vermektedir. Buna göre P( x) polinomunun ( x 2 + x − 2 ) ile bölümünden kalan kaçtır?
7.
5
8
1997
( x + 3) + ( x + 2 ) + ( 5 x + 2 )
olarak verilen P( x) polinomu ( x + 2 ) ile bölündüğünde
elde edilecek kalanı bulunuz.
SINAV XXIV (VIETE’S FORMULAE)
1. α , β , γ sayıları x3 − x 2 + 1 = 0 denkleminin kökleri ise
1
α
2
+
1
β
2
+
1
γ2
toplamını
bulunuz.
2. x3 − x 2 + 2 = 0 denkleminin kökleri a,b,c ise a 2 + b 2 + c 2 , a 3 + b3 + c3 , a 4 + b 4 + c 4
toplamlarını bulunuz.
3. (USAMO 1973)
x+ y+ z =3 

x 2 + y 2 + z 2 = 3 sisteminin tüm (reelyadacomplex) çözümlerini bulunuz.

x3 + y 3 + z 3 = 3 
4. x n + a1.x n −1 + a2 .x n − 2 + … + an = ( x + r1 ) . ( x + r2 )… ( x + rn ) ve r1 , r2 ,..., rn ∈ olarak
veriliyor. Buna göre ( n − 1) .a12 ≥ 2n.a2 olduğunu gösteriniz.
5. (USAMO 1984) x 4 − 18 x 3 + kx 2 + 200 x − 1984 = 0 denkleminin kökler çarpımı −32
ise k değerini bulunuz.
6. x 4 − 16 x3 + 94 x 2 + px + q = 0 denkleminin çift katlı kökü var olduğuna göre, p + q
toplamını bulunuz.
7. α1 , α 2 , α 3 ,… , α100 değerleri x100 − 10 x + 10 = 0 denkleminin kökleri olduğuna göre
100
α1100 + α 2100 + .... + α100
toplamını bulunuz.
8. Varsayalım α , β , γ elemanları x3 − x − 1 = 0 denkleminin kökleri olsun buna göre
1
1
1
+ 3 + 3 ve α 5 + β 5 + γ 5 toplamlarını bulunuz.
3
α β γ
9. α , β ∈ sayıları
α 3 − 3α 2 + 5α − 17 = 0 
 denklemlerini sağlıyorsa α + β toplamını bulunuz.
β 3 − 3β 2 + 5β + 11 = 0
Matematik Olimpiyatı
www.sbelian.wordpress.com
18
Matematik Olimpiyatı
Sayılar Teorisi Konuları Genel Sınavları
www.sbelian.wordpress.com
SINAV XXV (LANGRANGE’S INTERPOLATION)
p (1) = 1, p ( 2 ) = 2, p ( 3) = 3, p ( 4 ) = 5 durumlarını sağlayan 3. dereceden p ( x )
polinomunu bulunuz.
2. p (1) = 1, p ( 2 ) = 2, p ( 3) = 3, p ( 4 ) = 5, p ( 5 ) = 5 durumlarını sağlayan 4. dereceden
1.
p ( x ) polinomunu bulunuz.
3.
p (1) = −1, p ( 2 ) = 2, p ( −3) = 4, p ( 4 ) = 5, p ( 5) = 8 durumlarını sağlayan 4. dereceden
p ( x ) polinomunu bulunuz.
Matematik Olimpiyatı
www.sbelian.wordpress.com
19