00 onsoz 12 snf MAT_Mizanpaj 1

3
TÜREV KAVRAMI
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
Türev ile Hız Arasındaki İlişki ...................................................................................................................253
Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki ................................................................................................. 258
Diferansiyel Kavramı .............................................................................................................................. 261
Türevin Tanımı .........................................................................................................................................262
Türev Alma Kuralları ............................................................................................................................... 272
Sabitin Türevi ........................................................................................................................... 272
Toplam veya Farkın Türevi ...................................................................................................... 273
Çarpımın Türevi ..................................................................................................................... 273
Bir Fonksiyonun Kuvvetinin Türevi .......................................................................................... 274
Bölümün Türevi ....................................................................................................................... 284
Parametrik Fonksiyonların Türevi ............................................................................................ 281
Kapalı İfadelerin Türevleri ........................................................................................................ 281
Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri ................................................................................... 282
Logaritma Fonksiyonunun Türevi ............................................................................................ 285
Üstel Fonksiyonun Türevi ........................................................................................................ 286
Bileşke Fonksiyonun Türevi ..................................................................................................... 294
Ters Fonksiyonun Türevi ......................................................................................................... 294
Ardışık Türev (Yüksek Sıradan Türev) .................................................................................... 295
Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi ................................................................................ 297
Mutlak Değerli Fonksiyonların Türevi ...................................................................................... 299
Parametrik Denklemlerde İkinci Mertebe Türevi ...................................................................... 300
Türevin Limit Hesabında Kullanılması .................................................................................................... 310
L'Hospital Kuralı ..................................................................................................................... 310
Türevin Geometrik Anlamı ...................................................................................................................... 317
Teğet Denklemi ........................................................................................................................ 318
Normal Denklemi ..................................................................................................................... 318
Artan ve Azalan Fonksiyonlar .................................................................................................. 327
Ekstremum Noktaları ............................................................................................................... 329
Türevin Anlamı ......................................................................................................................... 339
Dönüm Noktası ........................................................................................................................ 342
İkinci Türev ve Yerel Ekstremum Noktası ................................................................................ 351
Mutlak Maksimum–Mutlak Minimum ....................................................................................... 352
Polinom Fonksiyonlarının Grafikleri ............................................................................... 365
Asimptotlar
......................................................................................................... 372
Kesirli Fonksiyonların Grafikleri ..................................................................................... 373
Üstel Fonksiyonların Grafikleri ....................................................................................... 377
y
Logaritmalı
Fonksiyonların Grafikleri ............................................................................. 378
y
c5
y=f(x)
y
c4
f(a+h)
c3
c2
c1
a1
a2
a3
))
a,
A(
a4
a5
f(a
2
1
f(a)
x
1
–3
p
0
a
a+h q
x
–2
3
x
KAVRAMSAL ADIM
BÖLÜM
KAVRAMSAL ADIM
ETKİNLİK
Bir doğru boyunca hareket eden bir cismin
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
başlangıç noktasına göre konumu S(metre),
Matematiğin en önemli konularından biri türev kavramıdır. Bu kavramı birçok şekilde açıklamak mümkündür. Bu kitapta türev konusu öğrencinin hislerine en çok
hitap edecek bir yöntemle açıklanmıştır. Türev tanımına geçmeden önce bazı kavramları hatırlayıp bu kavramlara dayanan tanımlar vereceğiz.
zamanın t(saniye) bir fonksiyonu olarak
S = S(t) = 10t + t2 ile verilsin.
1. Türev ile Hız Arasındaki ilişki
a) Bu cisim ilk 2 sn'de kaç m yol alır?
Bir doğru üzerinde y = f(x) denklemine göre hareket eden bir hareketlinin x0 anındaki hızını tanımlayalım.
0
y0 = f(x0)
y = f(x)
b) Bu cisim ilk 6 sn'de kaç m yol alır?
x0 anının yakınlarında bir x alınırsa hareketlinin ortalama hızı, alınan yol f(x) – f(x0)
ve geçen süre x – x0 olduğundan
Vort =
c) Bu cisim 2. sn ile 6. sn arasında kaç m yol
alır?
f ^ x h - f ^ x0 h
x - x0
dır.
x0 ın yakınlarında seçilen her x için bu yolla değişik ortalama hızlar elde edilebilir.
Biz x0 anındaki hızı aradığımız için x ≠ x0 olmak üzere elde edilen tüm ortalama hızların limiti olarak
lim
d) Bu cismin 2. sn ile 6. sn arasındaki ortalama hızı kaç m/sn dir?
f ^ x h - f ^ x0 h
x " x0
x - x0
limiti varsa, bu limite x = x0 anındaki anlık hız denir.
ÖRNEK
e) Bu hareketlinin 3.sn deki anlık hızı kaç
m/sn dir?
Bir hareketlinin t saatte aldığı yol S(t) = t2 + 100t fonksiyonu ile verilsin.
Yukarıdaki tanıma göre bu hareketlinin [t1, t2] aralığındaki ortalama hızı
Vort =
S ^ t2 h - S ^ t1 h
t2 - t1
dir.
Bu hareketlinin [3,6] aralığındaki ortalama hızını bulalım.
253
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
1.
TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
Vort =
S^ 6h - S^ 3h
6-3
=
Kan Şekeri Konsantrasyonu: 23 Nisan
Yunanistan'ın güneydoğusunda Ege Deni-
^ 62 + 100.6h - ^ 32 + 100.3h
3
636 - 309
3
Vort =
1988'de insan gücüyle çalışan Daedalus uçağı
= 108 km/sa olur.
zi'ndeki Girit'ten adasından Santorini'ye 119
km'lik rekor bir uçuş yaptı. Uçuştan önceki 6 saatlik dayanıklılık testlerinde araştırmacılar pilot
adaylarının kan şekeri konsantrasyonlarını ölçtü.
Hareketlinin [4,6] aralığındaki ortalama hızını bulalım.
Vort =
S^ 6h - S^ 4h
6-4
Atlet pilotlardan birinin konstantrasyon grafiği
=
^ 62 + 100.6h - ^ 42 + 100.4h
2
636 - 416
2
Vort =
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
şekil–a da görülüyor.
= 110 km/sa olur.
Konsantrasyon miligram/desilitre ve zaman saat
Hareketlinin [5,6] aralığındaki ortalama hızı
olarak verilmiştir.
Vort =
S^ 6h - S^ 5h
6-5
=
^ 62 + 100.6h - ^ 52 + 100.5h
1
Vort = 636 - 525
= 111 km/sa olur.
y
Hareketlinin [5.9, 6] aralığındaki ortalama hızı
E€im 0
y=f(x)
A
10
E€im–1
B
E€im– 4
3
C
E
D
5
E€im 0
8
E€im ≈ 4 = 2 y–birim/x–birim

ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
ETKİNLİK
Vort =
5
10
2
=
15
(a)
= 111,9 km/sa olur.
E€im
Hareketlinin [6, 6.1] aralığındaki ortalama hızı
4
y=f'(x)
3
2
E'
A' 1
D'
5
–1
–2
6 - 5, 9
^ 6 + 100.6h - 6^ 5, 9h2 + 100.^ 5, 9h@
0, 1
636 – (34, 81+ 590)
=
0, 1
≈8 y-birim
≈4 x-birim
0
S ^ 6 h - S ^ 5, 9 h
B'
10
Vort =
S^ 6, 1h - S^ 6h
=
6, 1 - 6
15
=
C'
Dikey koordinat–1
(b)
=
6^ 6, 1h2 + 100.6, 1 @ - ^ 62 + 100.6h
0, 1
^ 37, 21 + 610h - ^ 636h
0, 1
637, 21 – 636
0, 1
= 112,1 km/sa olur.
(a)'daki y = f(x) grafiğinin eğimlerini işaretleyerek (b)'deki y = f'(x)'in grafiğini çizdik. Mesela,
Hareketlinin [6, 7] aralığındaki ortalama hızı
Vort =
B'nin dikey koordinatı B'deki eğimdir. f' nün gra-
S^ 7h - S^ 6h
7-6
^ 72 + 100.7h - ^ 62 + 100.6h
1
749
636
=
=
fiği f'nin eğiminin x ile nasıl değiştiğinin görsel bir
= 113 km/sa olur.
kaydıdır.
Bu sonuçları bir tabloda gösterelim.
[t1,t2] [3, 6] [4, 6] [5, 6] [5.9, 6] [6, 6.1] [6, 7]
Vort
254
109
110
111
111,9 112,1
113
KAVRAMSAL ADIM
Grafik veri noktalarını birleştiren doğru par-
hızı (anlık hızı) h ∈ R+ olmak üzere,
çalarından yapılmıştır. Her parçanın sabit
h → 0 için [6, 6 + h] veya [6–h, 6] aralığında ortalama yardımıyla bulunur.
eğimi ölçümler arasındaki konsantrasyonu
verir. Her parçanın eğimi hesaplanarak
Anl›k h›z = lim
h"0
çizim
yapılırken
konsantrasyonun
^ 6 + hh2 + 100.^ 6 + hh - ^ 62 + 100.6h
h
= lim
36 + 12h + h2 + 600 + 100h - 636
h
= lim
h2 + 112h
h
h"0
79 mg/dL den 93 mg/dL ye arttığı gözlemleniyor. (Şekil–c)
h"0
Net artma Δy = 93 – 79 = 14 mg/dL dir.
h"0
şim oranını buluruz.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
Bunu Δt = 1 saat ile bölerek, ortalama deği-
6+h-6
= lim
şekil–b deki grafik çizilmiştir. Örneğin, ilk saat
için
S^ 6 + hh - S^ 6h
= lim ^ h + 112h
h"0
Δy 14
=
= 14 mg/dL/saat
Δt
1
= 112 km/sa
Konsantrasyonun bir köşesinin bulunduğu ve
veya
eğiminin olmadığı t = 1, 2, ... ,5 zamanlarında
konsantrasyonun değişim oranı hakkında bir
Anl›k h›z = lim
6 - ^ 6 - hh
h"0
tahminde bulunamayız. Türev fonksiyonu
^6 + 100.6h - 6^6 - hh2 + 100^6 - hh@
2
= lim
(şekil–d) bu zamanlarda tanımlı değildir.
S^ 6h - S^ 6 - hh
h"0
h
636 - 6 36 - 12h + h2 + 600 - 100h @
h
h"0
= lim
konsantrasyon mg/dL
112h - h2
h
h"0
= lim
110
= lim ^112 - hh
100
h"0
90
= 112 km/sa bulunur.
80
0
1
2
3
4
5
6
sa
[6, 6+h] aralığında hesaplanan anlık hız t = 6 noktasındaki sağdan türevi, [6–h, 6]
aralığında hesaplanan anlık hız t = 6 noktasındaki soldan türevi ifade eder. Anlık hız
(c)
için sağdan türevin, soldan türeve eşit olduğuna dikkat ediniz.
konsantrasyon de€iﬂim oranı
mg/dL/saat
15
Düzlemde Doğrunun Denklemi ve Doğrunun Eğimi
10
Koordinat düzleminde P1(a1, b1), P2(a2, b2)
5
0
1
2
3
4
–5
5
6
sa
noktalarını alalım.
B1
P1 ve P2 den geçen doğrunun denklemini
–10
y
P2
B2
Y
P1
P
bulmak için bu doğruya ait ve koordinatları
(d)
(x, y) olan bir P noktasını gözönüne alalım.
0
X
A1 A2
x
255
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
Bu hareketlinin 6. saatte hız sınırını geçtiğini varsayalım. Bu hareketlinin 6. saatteki
P, P1 ve P2 noktalarının eksenler üzerindeki dik izdüşümleri
sırasıyla X, A1, A2 ve Y, B1, B2 olsun.
y
y
b
n
Tales teoremi yardımıyla
| B1 Y |
| B1 B2 |
=
| A1 X |
yazılabilir.
| A1 A2 |
b2 - b1
=
x - a1
d:
şeklinde yazılabilir.
a2 - a1
Bu eşitlikten y çekilerek,
y=
b2 - b1
a2 - a1
x+
a2 b1 –a1 b2
a2 - a1
…^ 1h
Doğruya bir fonksiyon gözüyle bakılırsa (1) denklemi
b2 - b1
a2 - a1
$x+
a2 b1 - a1 b2
a2 - a1
şeklindedir.
Bu son yazılıştan f(a1) = b1, f(a2) = b2 olur. O halde doğrunun
denklemi
y=
f ^ a2 h - f ^ a1 h
a2 - a1
b2 - b1
a2 - a1
=
x+
a2 $ f ^ a1 h - a1 $ f ^ a2 h
f^ a2h –f^ a1h
a2 - a1
b2 - b1
a2 - a1
a2 - a1
= m… (3) yazılabilir.
O halde,
n=
a2 $ f ^ a1 h - a1 $ f ^ a2 h
a2 - a1
denilirse (2) denklemi
y = mx + n … (4) şeklini alır.
256
d
x y
+ =1
a b
d: y = mx + n
y = f(x) fonksiyonunda xʼe bağımsız değişken, yʼye bağımlı değişken denir.
Eğer x ve x1, x değişkeninin iki değeri ve y = f(x) ve y1 = f(x1)
bu değerlere karşılık fonksiyonun aldığı değerler ise bu durumda
Δx = x1 – x değerine (x, x1) aralığı üzerinde x değişkeninin artış
miktarı ve
Δy = y1 – y veya
Δy = f(x1) – f(x) = f(x + Δx) – f(x)
değerine de aynı aralıkta y fonksiyonunun artış miktarı denir.
… (2) şeklini alır.
sayısına doğrunun eğimi denir. Bu sayı doğrunun Ox ekseni ile
pozitif yönde oluşturduğu α açısının tanjantına eşittir. Yani
tan a =
x
n
–m
Bağımsız (Serbest) Değişkenin Artış Miktarı,
Fonksiyonun Artış Miktarı
elde edilir. (1) deki bağıntıya P1 ve P2 noktalarından geçen doğrunun denklemi denir.
f^ xh =
0
d
Bu aşamada koordinatlara geçerek
y - b1
x
a
0
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
Değişim Oranı
oranına, x değişkeni x ten x + Δx e kadar değiştiğinde y nin xʼe
göre ortalama değişim oranı denir.
Bir Fonksiyonun Grafiğinin Teğeti
f bir fonksiyon olsun. f nin tanımlı olduğu (p, q) aralığını gözönüne
alalım.
y
Aralığa ait herhangi bir a değeri
seçildikten sonra f fonksiyonunun grafiği üzerinde bulunan
(a, f(a)) noktasına A diyelim.
0
p
q
x
Merkezi A(a, f(a)) olan doğru demetine ait doğrulardan bazıları f
fonksiyonunun grafiğini oluşturan
eğri parçasını A noktası dışında
ikinci bir noktada keser. Bu tür doğrulara eğrinin A noktasından geçen
kesen veya kirişleri denir.
y
A
f(a)
0
p
a
ifadesinin limiti alınabilir. Bu limitin sonucu olarak elde edilen sayıyı eğim olarak kabul eder ve A noktasından geçen doğrunun eğimini yazma olanağı, fonksiyonlar için limit kavramının varlığından
dolayı vardır.
Öyleyse f fonksiyonunun grafiğinin A noktasındaki teğet, fonksiyonlardaki limit kavramını uygulamak suretiyle bulunabilir.
x
q
Teğet Çiziminde Ortaya Çıkabilecek Zorluklar
Teğet problemlerinde ortaya çıkan
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
Şimdi a değerini h kadar arttıralım. a + h noktasına grafik üzerinde (a + h, f(a + h)) noktası karşılık gelir.
(a, f(a)) ve (a+ h , f(a + h)) noktalarından geçen doğrunun denklemi (2) denkleminde olduğu gibi yazılabilir ve bu doğrunun eğimi
(3) bağıntısına göre;
f (a + h) – f (a)
oranının limitini
h
bulmak her zaman mümkün olmayabilir. Değişkenin a değeri için
fonksiyon sürekli değilse böyle bir teğet çizmek mümkün olmayacaktır.
y
ÖRNEK
f(a+h)
)
a)
f (x) = *
, f(
a
A(
f(a)
p
0
a
a+h q
x
x2
, x < 1 ise
0
, x ≥ 1 ise
fonksiyonunun grafiğine x = 1
noktasında teğet çizmek mümkün değildir.
y
(1,1)
0
x
1
f^ a + h h - f^ a h f^ a + h h - f^ a h
=
m (h) =
a+h-a
h
Fonksiyonun sürekli olması halinde bile sürekli olduğu her
noktada teğetinin olması mümkün olmayabilir.
şeklindedir. a ve a + h noktaları arasındaki artma miktarı (h) küçültülürse, yani h ile gösterilen büyüklük sıfıra yaklaştırılacak
olursa (a, f(a)) ve (a+h, f(a+h)) noktaları birbirine yaklaşır. Geometrik olarak (a+h, f(a+h)) noktasının (a, f(a)) noktasına yaklaşarak çakışması halinde kesen doğrunun limit durumuna,
f fonksiyonunun grafiğinin A noktasındaki teğet doğrusu denir.
ÖRNEK
Teğet doğruyu elde etme işlemini fonksiyonlara indirgeyerek,
A noktasından geçen doğrunun denklemi (2) bağıntısına göre,
f ^ a + h h –f ^ a h
^ a + h h $ f^ a h - a $ f^ a + h h
$x+
y=
h
h
=
f^ a + h h - f^ a h
f a + h h - f^ a h
.x- ^
$ a + f^ a h
h
h
y
f(x) = |x| fonksiyonunu gözönüne
alalım. f(x) = |x| fonksiyonu x = 0
noktasında sürekli olduğu halde
bu noktada bir teğet çizmek
mümkün değildir.
y
0
x
y
A
k
A
0 A
x
0
x
şeklinde yazılır.
O halde (a + h, f(a + h)) noktasının (a, f(a)) noktasına yaklaşması
halinde kesen doğrular için aranan limit yerine h sayısının sıfıra
yaklaşması halinde kesen doğrunun eğimi olan,
f (a + h) – f (a)
h
A' ve A'' noktaları k doğrusu kendine paralel kalacak şekilde A
noktasına yaklaştırılabilir. Buna göre, başlangıçtan geçen ve k gibi
her doğruya paralel kalan doğru x = 0 noktası için teğet kabul
edilebilir. Şu halde verilen fonksiyonun x = 0 noktasındaki teğetleri
merkezi O noktası olan ve fonksiyonu belirtilen iki doğru ile sınırlanmış 90° lik açıyı dolduran doğru demetini oluştururlar.
257
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
2. Türev ve Teğetin Eğimi Arasındaki İlişki
y = x2 eğrisi üzerinde A noktasına yakın E(4, 42) noktası için
f(x)= x2 fonksiyonunun grafiğine A(3, 32) noktasında çizilen teğetin eğimini araştıralım.
mAE =
y deki de€iﬂim
Δy
=
Δx
x deki de€iﬂim
=
y
y=x2
32
0
A(3, 32)
3
42 - 32
16 - 9
=
= 7 bulunur.
4-3
1
Elde edilen bu sonuçları tabloda gösterelim.
x
Nokta (2,22) (2.9,(2.9)2) (3.1,(3.1)2) (4,42)
E€im
Düzlemde A(x1,y1) ve B(x2, y2) noktalarından geçen doğrunun
eğiminin
y 2 - y1
m AB = x - x
2
1
y = x2 eğrisi üzerindeki A(3, 32) noktasına yakın B(2, 22) noktası
için,
mAB =
y deki de€iﬂim
Δy
=
Δx
x deki de€iﬂim
y2 - y1
x2 - x1
=
22 - 32
= 5 bulunur.
2-3
Şimdi y = x2 eğrisi üzerinde A(3,32) noktasına yakın (2.9, (2.9)2)
noktası için
y deki de€iﬂim
Δy
mAC =
=
Δx
x deki de€iﬂim
=
^ 2, 9h2 - 32 8, 41 - 9
=
= 5, 9 bulunur.
2, 9 - 3
- 0, 1
y = x2 eğrisi üzerinde A noktasına yakın D(3.1, (3.1)2) noktası için,
mAD =
5,9
y deki de€iﬂim
Δy
=
Δx
x deki de€iﬂim
^ 3, 1h2 - 32 9, 61 - 9
=
=
= 6, 1 bulunur.
3, 1 - 3
0, 1
(3+h)2
32
7
A
B1(3+h,(3+h)2)
3 3+h
x
f(x) = x2 fonksiyonunun grafiğine A(3,32) noktasında çizilen teğetin eğimini bulalım.
h ∈ R+ olmak üzere, h → 0 için
A ve B1(3 + h, f(3 + h)) = B1(3 + h, (3 + h)2) noktalarından geçen
doğrunun eğimini bulalım.
lim mAB = lim
h"0
1
h"0
= lim
h"0
^ 3 + hh2 - 32
^ 3 + hh - 3
6h + h2
h
= lim ^ 6 + hh = 6 d›r.
h"0
Bu değer f(x) = x2 fonksiyonunun x = 3 noktasındaki sağdan
türevidir.
C1((3–h), f(3–h)) = C1(3–h, (3–h)2) noktalarından geçen doğrunun eğimini bulalım.
^ 3 - hh2 - 32
lim mAC = lim
1
h"0
h " 0 ^ 3 - hh - 3
- 6h + h2
= lim
-h
h"0
= lim ^ 6 - hh = 6
h"0
258
6,1
y
0
olduğunu biliyorsunuz.
mAB =
5
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
y
32
(3–h)2
0
A
C1(3–h,(3–h)2)
3–h 3
x
Bu değer f(x) = x2 fonksiyonunun x = 3 noktasındaki soldan
türevidir.
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, fonksiyonun o noktadaki
teğetinin eğimidir. f(x) = x2 fonksiyonun grafiğine A(3, 32) noktasında çizilen teğetin eğimi 6 dır.
ETKİNLİK
a) f(x) = x3 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki soldan ve sağdan
türevini bulunuz.
NOT
UYARI
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
Bir fonksiyonun grafiğine ait bir noktadaki teğetin eğimi için
o noktadaki sağdan ve soldan türevin eşit olduğuna dikkat
ediniz.
Bir fonksiyonun grafiğine x = a noktasında çizilen teğetin
eğimi 0 (sıfır) ise teğet doğru x– eksenine paraleldir.
b) f(x) = x2 + 2x fonksiyonunun x = –1 noktasındaki soldan ve sağ-
Eğim = m = tanα eşitliğinde α açısı teğet doğrunun x ekseninin
pozitif yönüyle yaptığı açıdır.
0° < α < 90°
ise
m = tanα > 0
90° < α < 180°
ise
m = tanα < 0
dan türevini bulunuz.
Yani f fonksiyonunun x0 noktasındaki türevinin değeri x0 noktasındaki teğetinin eğimi m = f'(x0) = tan α > 0 ise α dar açı,
m = f'(x0) = tan α < 0 ise α geniş açıdır.
y
y
1
1
fonksiyonunun x = noktasındaki soldan ve sağdan
2
x
türevini bulunuz.
c) f(x) =
0
x0
x
0
x0
x
0 < a < 90°, f' (x0) > 0
(E€im pozitif)
f' (x0) = 0
E€im s›f›r
y
x0 0
x
90° < a < 180°, f' (x0) < 0
(E€im negatif)
259
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
1.
Bir hareketlinin t saatte aldığı yol S(t) = t2 + 150t fonksiyonu ile
verilsin. Bu hareketlinin [2,3] aralığındaki ortalama hızını
bulunuz.
4.
x değişkeninin aşağıdaki değerlerine karşılık gelen Δx ve
Δy değerlerini bulunuz.
Çözüm
Vort =
a) x = 1 den x = 2ʼ ye
S^ 3h - S^ 2h
b) x = 1 den x = 1,1 e
Çözüm
3-2
^ 32 + 150.3h - ^ 22 + 150.2h
=
3-2
= 459 - 304
= 155 km /sa
f(x) = 1 – 2x2 fonksiyonu veriliyor.
a) Δx = x2 –x1 = 2 – 1 = 1
Δy = y2 – y1 = f(y2) – f(y1) = f(2) –f(1)
= (1–2.22) – (1–2.12)
= (–7) +1 = –6
olur.
b) Δx = x2 – x1 = 1,1 – 1 = 0,1
2.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
Δy = y2 –y1 = f(y2) – f(y1) = f(1,1) –f(1)
y = x2 – 5x + 6 fonksiyonu veriliyor. x değişkeninin aşağıdaki değerlerine karşılık gelen Δx ve Δy değerlerini bulunuz.
a) x = 1 den x = 1,1ʼ e
Çözüm
b) x = 3 ten x = 2 ye
5.
= [(1,1)2 –5(1,1)+6] – [12 –5.1+6]
y = f(x) fonksiyonunun
grafiği ve x = 4 apsisli
noktasındaki teğeti
veriliyor. Buna göre
f'(4) kaçtır?
= –0,29
Çözüm
a) Δx = x2 –x1 = 1, 1 – 1 = 0,1
Δy = f(x2) – f(x1) = f(1,1) –f(1)
b) Δx = x2 – x1 = 2 – 3 = –1
=
–5.2 + 6) –
= [1–2.(1,21)] – (–1)
= 2–2,42
= –0,42 bulunur.
–2
y = f(x)
y
d
2
0
4
x
f'(4), d doğrusunun eğimidir.
Δy = f(x2) – f(x1) = f(2) –f(3)
(22
= (1–2.(1,1)2) – (1–2.12)
(32
md =
– 5.3 + 6)
1
1
olup , fl ^4 h =
tür.
3
3
=0–0
= 0 bulunur.
3.
6.
Şekilde y = f(x) eğrisinin
grafiği ve x = 2 apsisli
noktadaki teğeti verili-
1
1
1
hiperbolünün A f 3, p ve B f 10,
f ^x h =
p noktalarınx
3
10
2
yor. fl ^2 h = - ve
3
dan geçen keseninin (kirişinin) eğimini bulunuz.
B(9,0) olduğuna göre,
A noktasının ordinatı
kaçtır?
Çözüm
x1 = 3 , x2 = 10
Δx = x2 – x1 = 10 – 3 = 7
1
1
7
Δy = y2 – y1 = f(x2) – f(x1) =
- =olup eğim,
10 3
30
mAB =
y deki de€iﬂim
Δy
=
Δx
x teki de€iﬂim
-
mAB =
260
7
30
1
=dur.
7
30
y
T
0
Çözüm
d doğrusunun eğimi
| OA |
2
f l ^ 2 h = md = - =
3
| OB |
(eğim açısı geniş açı) –
y = f(x)
A
2 | OA |
=
3
9
| OA | = 6 dır.
O halde, A noktasının ordinatı 6 dır.
2
B
9
x
d
3. Diferansiyel Kavramı
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
ETKİNLİK
f, x noktasında türevli bir fonksiyon olsun.
f: R → R, f(x) = 2x + 1 fonksiyonu veriliyor.
dy
y = f ^x h &
= fl ^x h & dy = fl ^x hdx
dx
a) x = 2 için aşağıdaki tabloyu tamamlayınız.
Burada dy ye f nin x noktasındaki diferansiyeli denir.
b) Herhangi bir x için
Yaklaşık Değer Hesabında Diferansiyelin Kullanılması
y
lim
Δx $ 0
Δy
limitini hesaplayınız.
Δx
∆y = f(x + ∆x) – f(x)
∆x
∆y
∆x
0, 2
d
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
f(x + x)
0, 1
y
f(x)
P
0, 01
0, 001
x
0
x
Δx
x+ x
–0, 001
d doğrusu f nin grafiğine P noktasında teğettir.
Şekilden Δy = f(x+Δx) – f(x)
ve Δx → 0 için,
(Δx = dx) Δy , dy olduğundan,
dy , f(x + Δx) – f(x) olur.
O halde,
–0, 01
–0, 1
Δy dy
,
Δx dx
–0, 2
f(x + Δx) , f(x) + dy diferansiyel elde edilir. Bu ifade yaklaşık değer hesaplamasında kulanılır.
ÖRNEK
3
ÖRNEK
25, 8 sayısının yaklaşık değerini bulalım.
63 sayısının yaklaşık değerini hesaplayalım.
ÇÖZÜM
y = f ^x h = 3 x alalım.
ÇÖZÜM
f^ x + Δxh , f^ xh + dy
y = f(x) =
x alalım.
f ^x + Δxh , f ^x h + dy
x + Δx , x +
x + Δx , 3 x + d^ 3 x h
3
x + Δx , 3 x +
dx
3. 3 x2
x = 64, Δx = dx = –1 alınır.
dx
2 x
x = 25 ve Δx = dx = 0, 8 alınırsa,
25, 8 = 25 + 0, 8 , 25 +
3
0, 8
3
64 - 1 , 3 64 +
3
2 25
3
8
508
=
= 5, 08 dir.
25, 8 , 5 +
100
100
^ - 1h
3. 3 ^ 64h2
1
3.16
191
63 ,
= 3, 979
48
63 , 4 -
olur.
261
ÖRNEK
4.
Türevin Tanımı (Bir Noktada Türev)
tan 48° nin yaklaşık değerini bulalım.
A 1 R ve f: A → R fonksiyonu verilmiş olsun.
ÇÖZÜM
x0 ∈ A olmak üzere;
f(x) = tanx
lim
x " x0
f(x +Δx) , f(x) + dy
f(x +Δx) , f(x) + f'(x) dx
tan(x +Δx) , tanx +
(1+tan2X)
x = 45° ve Δx = dx = 3° =
fl ^x0 h = lim
alınır.
tan ^45° + 3° h , tan 45° + ^1 + tan2 45° h $
tan 48° , 1 + ^1 + 1 h $
tan 48° , 1 +
f ^ x h - f ^ x0 h
x - x0
x " x0
π
60
π
60
π
olur.
30
ETKİNLİK
x - x0
ifadesi bir reel sayı ise, bu limite, f fonksiyonunun x = x0 noktasındaki türevi denir ve
. dx
π
60
f ^ x h - f ^ x0 h
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
5 sayısını yaklaşık olarak hesaplayınız.
ile gösterilir. Bu durumda f fonksiyonu x = x0 noktasında türevlenebilir denir. f fonksiyonu A kümesinin her noktasında türevlenebiliyorsa, f fonksiyonuna A kümesinde türevlenebilir denir.
f' : A → R fonksiyonuna f fonksiyonunun A tanım kümesindeki
türev fonksiyonu denir.
f fonksiyonunun x = x0 noktasındaki türevi
fl ^ x0h,
df
^ x h , yx ^ x0h simgelerinden biri ile gösterilir.
dx 0
x – a = h olsun, x = a + h olup f fonksiyonunun x = a noktasındaki
türevi
fl ^a h = lim
f ^a + h h - f ^a h
h"0
h
biçiminde de yazılabilir.
ETKİNLİK
ln(e3+e2) nin yaklaşık değerini bulalım.
ETKİNLİK
f(x) = ax + b fonksiyonunun x0 ∈ R noktasındaki türevini
bulunuz.
f(x) = lnx , x = e3 , Δx = dx = e2 alalım.
f(x +Δx) , f(x) + dy
f(x +Δx) , f(x) + f'(x)dx
1
ln ^ x + Δxh , ln x + dx
x
1
ln ^ e3 + e2h , ln e3 + 3 $ e2
e
1
3
2
ln ^ e + e h , 3 + dir.
e
262
fl ^x0 h = lim
x " x0
fl ^x0 h = lim
f ^ x h - f ^ x0 h
x - x0
^ax + b h - ^ax0 + b h
x - x0
x " x0
= lim
x " x0
f l ^x h = a
a ^ x - x0 h
x - x0
bulunur.
=a
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
1.
f: R → R , f(x) = x2 biçiminde tanımlı f fonksiyonunun
x = a noktasındaki türevi nedir?
f: R → R , f(x) = x3 – 1
3.
fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevi nedir?
Çözüm
f^ xh - f^ ah
fl ^ ah = lim
x–a
x"a
Çözüm
x2 - a2
x"a x - a
= lim
fl ^ 1h = lim
^ x - ah^ x + ah
= lim
x"a
^ x - ah
f^ xh - f^ 1h
x-1
x"1
^ x3 - 1h - ^ 13 - 1h
x-1
x"1
= lim
x3 - 1
x"1 x - 1
= lim ^ x + ah
= lim
x"a
^ x - 1h^x2 + x + 1h
^ x - 1h
x"1
= 2a bulunur.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
= lim
= lim ^ x2 + x + 1h = 1 + 1 + 1
2.
f ^x h = x fonksiyonunun x =
bulunuz.
x"1
1
noktasındaki türevini
4
=3
4.
bulunur.
f: R → R , f(x) = sinx fonksiyonunun x =
π
noktasındaki
4
türevini bulunuz.
Çözüm
1
fl f p = lim
4
1
x"
1
f^ xh - f f p
4
x-
4
1
4
x= lim
1
x"
x-
4
1
2
1
x4
x-
= lim
x"
1
4
= lim
1
4
f x+
= lim
x"
1
4
= lim
x"
1
4
1
4
1
ile geniﬂlettik p
2
1
x4
fx -
1
1
pf x + p
4
2
1
x+
1
2
π
fl c m = lim
4
h"0
=1
fc
π
π
+ hm - fc m
4
4
yolunu kullanmak kolaylık sağlar.
h
Türev alırken
sin p - sin q = 2 cos
π
fl c m = lim
4
h"0
1
1
p f x+ p
2
2
.
1
1
xx+
4
2
f xx"
1
4
Çözüm
Trigonometrik fonksiyonların türevini bulmak için,
sin c
p+q
p-q
eşitliğini kullanacağız.
$ sin
2
2
π
π
+ h m – sin
4
4
h
π
f4
2. cos
+h+
2
= lim
π
4p
2
h
π h
= lim cos f + p $ lim
4 2 h"0
h"0
=
+ h–
π h
h
2. cos f + p $ sin
2
4 2
h"0
= cos
π
f4
$ sin
h
h"0
= lim
π
4p
sin
h
2
h
2
π
$1
4
2
bulunur.
2
bulunur.
263
1. Hareket fonksiyonu S = S(t) = 2t2 + 3t + 5 olan bir hareketlinin [1,5] aralığındaki ortalama hızı kaçtır?
(t saniye , S cm)
4. f(x) = 2x + 3 fonksiyonunda neden sadece Δx = 5 verildiğinde Δy bulunabiliyor da bu durum f(x) = x2 fonksiyonunda geçerli olmuyor?
a ≠ 0 için f(x) = ax + b lineer fonksiyon olduğundan bu durum geçerli , 2. ve daha yüksek
dereceli polinom fonksiyonlarda gerçeli değildir.
15 cm / sn
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
5. Aşağıdaki fonksiyonlar için Δy artış miktarını ve
Δy
değiΔx
şim oranını bulunuz.
x2
fonksiyonunun x = 1 den x = 2 ye kadar Δx ve
2. y = f(x) =
Δy değerlerini bulunuz.
a) y =
1
,
x = 1 ve Δx = 0,4 için
b) y = x
,
x = 0 ve Δx = 0,0001
c) y = logx
,
x = 106 , Δx = –9 .105
^x - 2h2
2
Δx = 1
Δy = 3
3. y = f(x) =
3
x fonksiyonu için aşağıdaki değerlere göre
a) 624 ; 1560
b) 0,01 ; 100
c) –1 ; 0,0000011
6. y = 2x – x2 parabolünün kesim noktalarının x1 ve x2
apsisleri aşağıda verilmiş olan kesenlerinin (kirişlerinin)
eğimlerini bulunuz.
Δy yi hesaplayınız.
a) x1 = 1
, x2 = 2
a) x = 0 , Δx = 0,001
b) x1 = 1
, x2 = 0,9
b) x = 8 , Δx = –9
c) x1 = 1
, x2 = 1+ h
c) x = a , Δx = h
a) 0, 1
b) - 3
c)
264
3
a+h -
3
a
a) –1
b) 0,1
c) –h
7. y = 2x eğrisinin [1,5] kapalı aralığındaki
Δy
oranını buluΔx
nuz.
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
10. Bir nokta veya eksen etrafında dönmenin t anındaki,
a) ortalama hızı
b) ani hızı
neye eşittir? (t anındaki dönme açısı: α)
a)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
7, 5
Δa
Δt
b) lim
Δt " 0
Δa
Δt
11. Isıtılmış bir cisim ısısı daha az olan bir ortamda yeniden soğuyacaktır. (ısı kaybedecektir)
Aşağıdaki ifadelerden ne anlaşılır?
8. y = x3 fonksiyonunun 1 ≤ x ≤ 4 kapalı aralığındaki değişiminin ortalama hızı nedir?
a) Ortalama soğuma hızı
b) Verilen bir andaki soğuma hızı (t anındaki ısı I)
ΔI
Δt
a)
21
9. y = f(x) eğrisi için [x, x + Δx] kapalı aralığında
Δy
oranıΔx
b) lim
Δt " 0
ΔI
Δt
12. Kimyasal reaksiyon halindeki bir maddenin reaksiyon
hızından ne anlaşılır?
(Q , t anındaki madde miktarı)
nın değeri nedir?
f^ x + Δxh - f^ xh
Δx
lim
Δt " 0
ΔQ
Δt
265
13. f: R → R , f(x) = x2 + 2x fonksiyonunun
16. f(x) = cosx fonksiyonunun x =
a) x = 2 noktasındaki türevini bulunuz.
π
noktasındaki türevini
2
bulunuz.
b) x = –3 noktasındaki türevini bulunuz.
–1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
a) 6
b) –4
14. f: R → R ,
f(x) = x3 fonksiyonunun
a) x = – 1 ,
b) x = 3 ,
17. f ^x h = 3x2 +
c) x =
1
2
a) x = 1,
1
fonksiyonunun
x
b) x = –1,
c) x =
noktalarındaki türevini bulunuz.
1
3
noktalarındaki türevini bulunuz.
a) 3
b) 27
c)
15. f: R → R , f(x) =
a) x = –1 ,
3
4
a) 5
b) –7
c) –7
1
fonksiyonunun
x
b) x = 2 ,
c) x =
18. f ^x h = 3 x
1
2
fonksiyonunun x = 8 noktasındaki türevini
bulunuz.
noktalarındaki türevini bulunuz.
a) - 1
1
1
4
c) - 4
12
b) -
266
KAVRAMSAL ADIM
A 1 R ve f : A → R fonksiyonu verilsin. a ∈ A ve p ∈ R olmak üzere,
Grafikten yararlanarak
f^ xh - f^ ah
y
lim
x"a
c5
y=f(x)
x-a
–
=p
c4
c3
limitine, f fonksiyonunun x = a noktasındaki soldan türevi denir ve
c2
f'(a–) ile gösterilir.
c1
a1
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
5. Türevin Tanımı (2) (Soldan ve Sağdan Türev)
ETKİNLİK
a2
a3
a4
a5
x
q ∈ R olmak üzere,
lim
a) f fonksiyonunun limitinin olmadığı nokta-
x-a
=q
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ları bulunuz.
x"a
f^ xh - f^ ah
+
limitine de fonksiyonun x = a noktasındaki sağdan türevi denir ve
f'(a+) ile gösterilir.
b) f fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaları
bulunuz.
c) f
fonksiyonu hangi noktalarda türevli
değildir?
UYARI
1.
Bir f fonksiyonunun x = a noktasında türevinin olması için gerek ve
yeter koşul f nin x = a noktasında sürekli ve f nin x = a noktasında soldan ve sağdan türevlerinin eşit olmasıdır.
2.
Bir f fonksiyonu x = a noktasında türevli ise f, bu noktada süreklidir. Ya
da buna denk olarak, f fonksiyonu x = a noktasında sürekli değil ise
f bu noktada türevli değildir.
y
f(x)
y
f(x)
3
d) f fonksiyonunun sürekli olup türevli olmadığı nokta var mıdır?
0
1
x = 1 de f(x) süreksiz
x = 1 de türevi yok.
e)
lim
x $ a3
x
0
2
x
x = 2 de f(x) süreksiz
x = 2 de türevi yok.
f (x) = ? , f (a 3) = ?
f'(a3) = ?
267
1.
f: R → R , f(x) = |x2 – 4| fonksiyonu veriliyor.
a) f'(2–)
b) f'(2+)
b)
c) f'(2)
fl ^ 0-h = lim
x " 0–
Çözüm
fl ^ 2-h = lim
x " 2–
= lim
x " 2–
= lim
x " 2–
= lim
x " 2–
f^ xh - f^ 2h
fl ^ 0+h = lim
x-2
x"0
x2 - 4 - 0
= lim
x-2
x2 - 4
x-2
x " 0+
= lim
x-0
x " 0–
değerlerini (varsa) bulunuz.
a)
f^ xh - f^ 0h
fl ^ 0-h = lim
x-2 x+2
x " 2-
x -0
= lim
x
x " 0–
-x
=-1
x
f^ xh - f^ 0h
x-0
+
x -0
= lim
x"0
+
x
x
=1
x
f'(0–) ≠ f'(0+) olduğundan f nin x = 0 noktasında türevi yoktur.
x-2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
- ^ x - 2h .^ x + 2h
x-2
y
1
= lim - ^x + 2h = - 4
x " 2-
b)
fl ^ 2+h = lim
x " 2+
= lim
x " 2+
= lim
x " 2+
–1
f^ xh - f^ 2h
x2 - 4 - 0
x-2
x2 - 4
x-2
= lim ^ x + 2h = 4
x " 2+
1
c) f'(2–) ≠ f'(2+) olduğundan f'(2) yoktur.
3.
f: R → R
Z2 - x ,
]
]
f^ xh = [ 1
,
]
] 2x - 1,
\
x < 1 ise
x = 1 ise
x > 1 ise
ile tanımlı fonksiyonun x = 1 noktasındaki
2.
f: R → R , f(x) = |x| fonksiyonu veriliyor.
a) sürekliliğini inceleyiniz.
a) f, x = 0 da sürekli midir?
b) türevini (varsa) bulunuz.
b) f, x = 0 da türevli midir?
Çözüm
a) lim f^ xh = lim ^ 2 - xh = 2 - 1 = 1
Çözüm
x " 1–
a) f nin sürekli olması için x = 0 noktasındaki soldan ve sağdan limitlerinin f(0)ʼa eşit olması gerekir.
x " 1–
lim f^ xh = lim ^ 2x - 1h = 2.1 - 1 = 1
x " 1+
x " 1+
lim f^ xh = lim x = lim ^ - xh = 0
ve f(1) = 1 olduğundan
lim f^ xh = lim f (x) = 0 = f^ 0h olup f^ xh = x
x"1
x " 0–
x " 0+
x " 0–
x " 0–
x " 0–
fonksiyonu x = 0 da süreklidir.
268
x
Şekli inceleyiniz. x = 0 da fonksiyonun belirli bir teğetinin
olmadığına dikkat ediniz.
x-2
^ x - 2h .^ x + 2h
x-2
x " 2+
= lim
0
lim f ^x h = f ^1 h = 1 olup
f , x = 1 de süreklidir.
b)
f^ xh - f^ 1h
fl ^ 1-h = lim
x"1
x-1
-
= lim
x"1
–
- ^ x - 1h
= lim
fl ^ 1
+h
= lim
f^ xh - f^ 1h
x-1
x " 1+
Çözüm
2-x-1
x-1
x-1
x " 1–
a) x = 3 > 2 olduğundan f'(3) için f(x) = 3x2 – 6 dır.
=-1
fl ^ 3h = lim
^ 2x - 1 h - 1
= lim
+
x-1
x"1
2^ x - 1h
= lim
x"1
+
x-1
f^ xh - f^ 3h
x-3
x"3
3^ x2 - 2h - ^ 3.32 - 6h
x-3
x"3
= lim
3^ x2 - 9h
x"3 x - 3
= lim
=2
= lim
3 ^ x - 3 h^ x + 3 h
x"3
dir. f'(1–) ≠ f'(1+) olduğundan f fonksiyonunun x = 1 noktasında türevi yoktur.
(x - 3)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
= 3.^ 3 + 3h = 18
b) x = 2 kritik nokta olduğundan sağdan ve soldan türevleri
bulunmalıdır.
4.
f ^x h = *
f: R " R,
1 - x2
^ x2 + 2h - ^ 22 + 2h
x-2
x " 2-
fl ^ 2-h = lim
,x # 1
- 2x + 2 , x 2 1
x2 - 4
x " 2– x - 2
= lim
fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevini (varsa) bulunuz.
= lim
x"2
Çözüm
fl ^ 1–h = lim
f^ xh - f^ 1h
x-1
x " 1–
fl ^2+ h = lim
^ 1 - xh^ 1 + xh
x"2
^ x - 1h
x " 1–
x " 2+
x " 1–
f^ xh - f^ 1h
x " 1+
x-1
x"1
f'(1–)
- 2^ x - 1h
+
x-1
3 ^x - 2h^x + 2 h
x-2
f'(2+) ≠ f'(2–) olduğundan f'(2) yoktur.
=-2
6.
f'(1+)
^3x2 - 6h - ^3.22 - 6h
x-2
= 3 $ ^2 + 2 h = 12
- 2x + 2 - 0
x-1
x " 1+
= lim
= lim
+
= lim
= lim - ^ x + 1h = - 2
fl ^ 1+h = lim
^ x - 2h^ x + 2h
(x – 2)
= 2+2 = 4
1 - x2 - 0
x-1
x " 1–
= lim
= lim
-
olup
=
olduğundan x = 1 noktasında fonksiyon
türevlidir ve türevi f'(1) = –2 dir.
f(x) = |x2 – 16| fonksiyonu için eğer varsa,
a) f'(3) türevini bulalım.
b) f'(4) türevini bulalım.
Çözüm
5.
f: R " R,
Z 2
]x + 2 ,
]
f ^x h = [6
,
]
] 3x 2 - 6 ,
\
fonksiyonu için eğer varsa
a) f'(3) değerini bulalım.
b) f'(2) değerini bulalım.
x 1 2 ise
x = 2 ise
x 2 2 ise
a) x = 3 , f(x) = |x2 – 16| fonksiyonu için bir kritik nokta
olmadığından
fl ^ 3h = lim
x"3
^16 - x2h - ^ 16 - 9h
x-3
- ^ x + 3 h^ x – 3 h
9 - x2
= lim
x
3
(x - 3)
x"3
x"3
= lim
=-6
d›r.
269
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
b) x = 4 noktası f(x) = |x2 – 16| fonksiyonunun bir kritik noktasıdır. Bu nedenle sağdan ve soldan türevlere bakılır.
fl ^ 4+h = lim
f^ xh - f^ 4h
x " 4+
x-4
8.
^ x2 - 16h - ^ 42 - 16h
x-4
x " 4+
Çözüm
= lim
x = 0 kritik nokta olduğundan sağdan ve soldan türevlere
^ x - 4 h^ x + 4h
= lim
x " 4+
bakılır.
(x - 4 )
^ x $ ^ xh + 1h - ^ 0 | 0 | + 1h
x-0
x " 0+
fl ^ 0+h = lim
= 4+4 = 8
fl ^ 4-h = lim
x-4
^ 16 - x2h - ^ 16 - 42h
x-4
x " 4–
x2 + 1 - 1
= lim x = 0
x
x " 0+
x " 0+
= lim
= lim
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
x " 4–
f^ xh - f^ 4h
f(x) = x |x| + 1 ise, f'(0) kaçtır?
= lim
x"4
- ( x - 4 ) ( x + 4)
-
( x - 4)
=-8
fl ^ 0-h = lim
dir.
x " 0–
f'(4+) ≠ f'(4–) olduğundan f'(4) yoktur.
^ x^ - xh + 1h - ^ 0 $ 0 + 1h
x-0
- x2 + 1 - 1
= lim (- x) = 0
x
x " 0–
x " 0–
= lim
f'(0+) = f'(0–) = 0 olup, f'(0) = 0 dır.
7.
R de tanımlı f(x) = x2 – 3x fonksiyonunun x = 2 deki türevi
kaçtır?
9.
3
, x<4
f: R → R, f(x) = * x
3–x , x≥4
fonksiyonunun x = –1 deki türevini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
Polinom fonksiyonlar her yerde sürekli olduğundan
x = 2 de f fonksiyonu süreklidir.
x = 2 noktası fonksiyon için bir kritik nokta olmadığından
sol–sağ türevi bulmaya gerek yoktur.
x = –1 noktası bu fonksiyon için kritik nokta değildir. x = –1
in komşuluğunda fonksiyon f(x) = x3 ile ifade edilmektedir.
f(x) = x3 sürekli olduğundan hemen türevini hesaplayabiliriz.
f'(–1) =
Doğrudan türevi bulabiliriz.
f (x) – f (–1)
x – (–1)
f (x) – f (2)
x–2
= lim
x 3 – (–1)
x +1
= lim
(x 2 – 3x) – (4 – 6)
x–2
= lim
x3 + 1
x +1
= lim
x 2 – 3x + 2
x–2
= lim
(x + 1) . (x – x + 1)
x +1
= lim
( x – 1) ( x – 2 )
x–2
= lim
(x2 – x + 1) = 1 + 1 + 1 = 3
f' (2) = lim
x$2
x$2
x$2
x$2
= lim (x – 1) = 1 dir.
x$2
270
lim
x $ –1
x $ –1
x $ –1
2
x $ –1
x $ –1
bulunur.
1.
f(x) = x|x| fonksiyonunun x = –2 noktasında türevini
(varsa) bulunuz.
4.
f^ xh = *
ax2 + bx + 3
,
x#2
x2 + ax + 2
, x22
fonksiyonunun x = 2 noktasında türevli olması için a ve b
değerleri ne olmalıdır?
2.
f^ xh = *
3x2 + 2
,
2x3 + 3
,
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
4
şeklinde tanımlanan
(varsa) bulunuz.
5.
x#1
5
4
, b=
1
4
f(x) = x3 + x2 |x| + 2x +1
fonksiyonunun x = 2 noktasındaki türevini bulunuz.
x21
f
a=
fonksiyonu için f'(1) değerini
26
6
6.
3.
f (x) =
x2
x
fonksiyonunun x = 0 noktasında türevini (varsa)
Z 2
,
] ax + bx + 1
] 3
f^ xh = [ x + 2x2 + cx + 1 ,
]
] x2 + d
,
\
x11
1#x12
x$2
fonksiyonu x = 1 ve x = 2 de türevli olduğuna göre,
bulunuz.
a, b, c, d değerlerini bulunuz.
Türev yoktur.
a=4 , b = –17
c= –16, d = –19
271
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
6. Türev Alma Kuralları
D 1 R ve f, g, h fonksiyonları D kümesinde türevli olsunlar.
ETKİNLİK
Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulunuz.
a) y = x4 + 3x2 – 6
1. Sabitin Türevi
c ∈ R
ve
f(x) = c & f'(x) = 0 dır. (Sabit fonksiyonun türevi
sıfırdır.)
ÖRNEK
f(x) = 5, f(x) = 0, f(x) =
ÇÖZÜM
f(x) = 5 & f'(x) = 0
f(x) = 0 & f'(x) = 0
f(x) =
2 & f'(x) = 0 dır.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
2 fonksiyonlarının türevi nedir?
b) y = 6x7/2 + 4x5/2 + 2x
c) y = (1 + 4x3).(1 + 2x2)
2. n ∈ Q, c ∈ R olmak üzere, f(x) = c.xn
f'(x) = c.n.xn–1 dir.
ÖRNEK
d) y = (2x2 – 3)2
f(x) = 3x5 , f(x) = –x3
f^ xh =
1 2
x , f^ xh = 4x–2 fonksiyonlarının türevini bulunuz.
2
ÇÖZÜM
f(x) = 3x5 & f'(x) = 3.5x5–1 = 15x4
f(x) = –x3 & f'(x) = –3x3–1 = 3x2
f^ xh =
1 2
1
x & fl ^ xh = $ 2x2–1 = x
2
2
f(x) = 4x–2 & f'(x) = 4 . (–2)x–2–1 = –8x–3 olur.
272
e) y =
3
x2 + x + 1
3. Toplam veya Farkın Türevi
II. Yol:
F(x) = f(x) ± g(x) & F'(x) = f'(x) ± g'(x) tir.
Çarpımın türevinde verilen kural uygulanırsa,
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
f'(x) = 2.2x.(x+1)+2x2.1
ÖRNEK
= 4x.(x+1) +2x2
= 4x2 + 4x +2x2 = 6x2 + 4x bulunur.
f(x) = x4 + 3x3 – 5x2
fonksiyonunun türevini bulalım.
ÇÖZÜM
ÖRNEK
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
a, b ≠ 0 olmak üzere;
f(x) = x4 + 3x3 – 5x2 & f'(x) = (x4 + 3x3 – 5x2)'
f(x) = (x–a) (x–b) fonksiyonu veriliyor.
f'(x) = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
& f'(x) = (x4)' + (3x3)' – (5x2)'
& f'(x) = 4x3 + 9x2 – 10x olur.
ÇÖZÜM
f(x) = (x–a) (x–b) & f'(x)
= (x–a)'(x–b) + (x–a)(x–b)'
= 1.(x–b) + (x–a).1
4. Çarpımın Türevi
= 2x – (a+b)
1.
F(x) = f(x) . g(x) ise F'(x) = f'(x) . g(x) + f(x) . g'(x)
2.
F(x) = f(x) .g(x) . h(x) ise
f'(x) = 0 & 2x – (a+b) = 0 & 2x = a + b
&x=
F'(x) = f'(x) .g(x) . h(x) + f(x) . g'(x) . h(x) + f(x) . g(x) . h'(x) tir.
a+b
dir.
2
ÖRNEK
ÖRNEK
m, n ∈ Z+ olmak üzere;
f(x) =
2x2
. (x+1)
f(x) = x2m + x2n ise, f'(1) + f'(–1) toplamı nedir?
fonksiyonu verildiğine göre, f'(x) ifadesini bulunuz.
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
I. Yol:
f(x) = 2x2 (x+1) ise
f(x) = 2x3 +2x2 olup
f'(x) = 2.3x2 + 2.2x = 6x2 + 4x olur.
f(x) = x2m + x2n & f'(x) = 2mx2m–1 + 2nx2n–1 olur.
f'(1) = 2m + 2n
f'(–1) = 2m(–1)2m–1 + 2n(–1)2n–1
= 2m(–1) +2n(–1)
= –(2m+2n) ve
f'(1) + f'(–1) = 2m + 2n – (2m + 2n) = 0 bulunur.
273
5. Bir Fonksiyonun Kuvvetinin Türevi
6. Bölümün Türevi
n ∈ Q ve F(x) = [f(x)]n & F'(x) = n.[f(x)]n–1. f'(x) tir.
g(x) ≠ 0 olmak üzere,
F^ xh =
ÖRNEK
f^ xh
g^ xh
& Fl (x) =
fl (x) .g (x) - f^ xh .gl ^ xh
6 g^ xh@2
f(x) = (x2–1)10 fonksiyonunun türevi nedir?
ÖRNEK
ÇÖZÜM
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
f(x) = (x2 –1)10 & f'(x) = 10.(x2 –1)9.(x2 –1)'
f ^x h =
x+1
olduğuna göre, f'(x) ifadesini bulunuz.
x+2
= 10.(x2–1)9.2x
= 20.x.(x2–1)9 olur.
ÇÖZÜM
fl ^ xh =
=
ÖRNEK
f (x) =
1
^x + 1h3
4
^ x + 1hl .^ x + 2h - ^ x + 1h .^ x + 2hl
^ x + 2h2
^ x + 2h –^ x + 1h
^ x + 2h
2
=
1
^ x + 2h2
bulunur.
fonksiyonu için f'(–1) nedir?
ÇÖZÜM
ÖRNEK
f^ xh =
1
^ x + 1h3
4
& f^ xh = ^ x4 + 1h
–3
f'(x) = –3.(x4 +1)–3–1. (x4+1)'
f ^x h =
1
1 + x2
ise, f'(–1) = cos i
eşitliğini sağlayan en küçük
pozitif i açısı kaç derecedir?
= –3 . (x4 + 1)–4 . 4X3
1
= –12x3 .
^x4 + 1h4
–12.^ –1h
3
f' (–1) =
^^ - 1h + 1h
4
4
=
ÇÖZÜM
olup
12
3
= bulunur.
16
4
f ^x h =
f l ^x h =
1
1 + x2
0. ^1 + x2h–1. ^2xh
f l ^ –1 h =
^1 + x
2 h2
–2. ^–1h
^ 1 + ^ –1 h h
i = 60° dir.
274
ise
2 2
=
=
–2x
^1 + x2h2
2
1
= = cos i ise
4
2
ETKİNLİK
ETKİNLİK
f(x) = (x2 – x + 3)3 ise, f'(x) nedir?
f'(x) = 3(x2 – x + 3)2.(2x – 1)
f (x) =
x2 – x
fonksiyonunun türevini bulalım.
x + 2x – 3
f' (x) =
(2x–1) (x 2 + 2x–3) – (2x + 2) (x 2 –x)
(x 2 + 2x – 3) 2
2
olur.
Veya y = (x2 – x + 3)3 te
x2 – x + 3 = u olsun.
y = u3 &
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
düzenlenirse
dy
= 3u 2
du
f' (x) =
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
du
= 2x – 1
dx
3x 2 – 6x + 3
bulunur.
(x 2 + 2x – 3) 2
dy dy du
=
.
= 3 (x 2 – x + 3) 2 . (2x – 1)
dx du dx
UYARI
f (x) =
bulunur.
ax 2 + bx + c
ise
mx 2 + nx + p
a b c
katsayıları yazılarak
m n p
türevi
a b 2
a c
b c
x +2
x+
m n
m p
n p
f' (x) =
(mx 2 + nx + p) 2
KOLAYLIK
a, b, c, d ∈ R olmak üzere,
ad - bc
ax + b
dir.
f ^x h =
ise fl ^x h =
cx + d
^cx + d h2
;
a b
= an – bm dir. E
m n
bulunur. Buna göre bir önceki örneği çözelim. Katsayıları
1 –1 0
1 2 –3
–1 0
1 –1 2
1 0
x +2
x+
1 2
1 –3
2 –3
f' (x) =
( x 2 + 2x – 3 ) 2
ÖRNEK
2x + 5
f ^x h =
fonksiyonunun türevini bulalım
3x - 2
=
=
3x 2 – 6x + 3
(x 2 + 2x – 3) 2
olur.
ETKİNLİK
ÇÖZÜM
f ^x h =
f' (x) =
2. ^- 2h - 5.3
2x + 5
& fl ^x h =
3x - 2
^3x - 2h2
f (x) =
2x + 1
fonksiyonunun x = 1 deki türevini bulunuz.
5x – 4
- 4 - 15
^3x - 2h2
- 19
^3x - 2h2
dir.
275
ÖRNEK
ÖRNEK
f ^x h =
ve fl ^xh =
x
^1 + xh2
1 + ax
^1 + xh3
ise, a kaçtır?
x
=
=
f ^x h =
ise
^1 + xh2
fl ^x h =
x2 + 1 ise, fl ^ xh nedir?
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
f ^x h =
f^ xh =
x2 + 1 & f l ^x h =
1. ^1 + xh2 - x.2 ^1 + xh
^1 + xh4
=
^x2 + 1 hl
2 x2 + 1
2x
2 x +1
2
=
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
x
x +1
2
^1 + xh6^1 + xh - 2x@
^1 + xh^1 + xh3
1-x
^1 + xh3
=
1 + ax
^1 + xh3
ÖRNEK
ise a = - 1 dir.
f ^xh = 3x + 1 ise f ^xh.fl ^xh nedir?
ÇÖZÜM
ÖRNEK
Her iki tarafın karesini alalım.
m ∈ R olmak üzere f ^x h =
f ^x h = 3x + 1 & f2 ^x h = 3x + 1 olur.
Şimdi de her iki tarafın türevini alalım.
m kaçtır?
2.f ^x h.fl ^x h = 3 & f ^x h.fl ^x h =
ÇÖZÜM
f^ xh =
m2 x + 1
fonksiyonunun türevi sıfır ise,
x+1
3
dir.
2
m2 ^ x + 1h –^ m2 x + 1h
m2 x + 1
& fl ^ xh =
ve
x+1
^ x + 1h2
fl ^ xh = 0 &
m2 - 1
^ x + 1h
2
ÖRNEK
= 0 & m2 - 1 = 0
& m2 = 1
f ^x h =
& m = " 1 dir.
x2 - 2x ise, f'(3) kaçtır?
ÇÖZÜM
7. Köklü İfadelerin Türevi
a) f ^ x h = g ^ x h & f l ^ x h =
b) f ^ x h = n g ^ x h & f l ^ x h =
276
f ^x h =
gl ^x h
2 g ^x h
gl ^x h
n. 6 g ^xh@ n - 1
n
fl ^x h =
dir.
x2 - 2x & fl ^x h =
x-1
x - 2x
2
& fl ^3 h =
=
2x - 2
2 x 2 - 2x
3-1
32 - 2.3
2
3
=
2 3
tür.
3
dir.
ÖRNEK
ETKİNLİK
3
a, b, c ∈ R+
f^ xh =
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
f (x) =
f^ 0h = 1 ve
ax2 + bx + c ,
x + x2 – 3
fonksiyonunun türevi
x
Bu tip fonksiyonlarda türev alınırken önceden sadeleştirme
yapılırsa
f(x).f'(x) = 4x + 3 ise, f'(1) kaçtır?
f(x) = x–1/6 + X3/2 – 3X–1/2
ÇÖZÜM
1 –7/6 3 1/2 3 –3/2
x
+ x + x
6
2
2
biçiminde bulunur.
ax2 + bx + c ise f2 ^x h = ax2 + bx + c
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
f ^x h =
f' (x) = –
2f^ xh .fl ^ xh = 2ax + b & f^ xh .fl ^ xh = ax +
b
ve
2
ETKİNLİK
f^ xh .fl ^ xh = 4x + 3 & ax +
b
= 4x + 3
2
b
& a = 4,
=3&b=6
2
3
d›r.
a) f (x) =
x. x
fonksiyonunun türevini bulunuz.
x3
f^ 0h = 1 & f^ 0h = c = 1 & c = 1 ve
f^ xh =
4x2 + 6x + 1 dir.
f^ 1h = 4.1 + 6.1 + 1 = 11
f^ xh .fl ^ xh = 4x + 3 & f^ 1h .fl ^ 1h = 4.1 + 3
& 11 .fl ^ 1h = 7
& fl ^ 1h =
ÖRNEK
f(x) =
3
7 11
dir.
11
x . x ise, f'(1) değerini bulunuz.
b) f(x) = 4 x + 3 x + x ise, f'(1) değerini bulunuz.
ÇÖZÜM
f (x) =
3
x. x =
=
5
1
1
x 3 .x 2
5
5
x 6 = x 12
7
5 12 –1
5 – 12
.x
=
.x
12
12
7
5 – 12
5
f' (1) =
.1
=
olur.
12
12
f' (x) =
277
1.
1
f(x) = x2 + 36x+1 fonksiyonu için, fl f p değeri kaçtır?
2
4.
f(x) = mx3 + 2x2 + 3x + 2 ve f'(2) = 6 olduğuna göre,
m kaçtır?
Çözüm
Çözüm
f^ xh = x2 + 36x + 1 ise fl ^ xh = 2x + 36
f(x) = mx3 + 2x2 + 3x + 2 ise f'(x) = 3mx2 + 4x + 3
1
1
& fl f p = 2. + 36 = 37
2
2
& f'(2) = 3 . m . 22 + 4 . 2 + 3 = 6
dir.
& 12m = –5 & m = -
2.
f(x) = x2 . g(x) fonksiyonu için g(–1) = 2 , g'(–1) = 4 olduğuna
göre, f'(–1) kaçtır?
5.
Çözüm
x2 + 3x + 1
f ^x h =
x2 + 2x + 3
ise, f'(0) değeri kaçtır?
Çözüm
f(x) = x2.g(x) & f′(x) = 2x . g(x) + x2 . g'(x)
^2x + 3h. ^x2 + 2x + 3h - ^x2 + 3x + 1h. ^2x + 2h
fl ^x h =
x = –1 için, f'(–1) = 2(–1) . g(–1) + (–1)2 . g'(–1)
f'(–1) = –2 . 2 + 4 = 0 bulunur.
^x2 + 2x + 3 h2
^2.0 + 3 h^02 + 2.0 + 3 h - ^02 + 3.0 + 1 h. ^2.0 + 2 h
fl ^0 h =
^02 + 2.0 + 3h2
9-2
7
=
bulunur.
9
9
=
3.
5
bulunur.
12
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
Uygun koşullarda
f^ xh = 3x2 . f^ xh + x + 2 koşulunu sağlayan
f fonksiyonu için f(1) = 4 ise f'(1) değeri kaçtır?
6.
Çözüm
f^ xh = 3x2 . f^ xh + x + 2 ise
fl ^ xh = 6x. f^ xh + 3x2 .
f l ^ xh
2 f^ xh
3.fl ^ 1h
2 4
f l ^ 1h
2 f^ 1h
+1
f'(1) istenmektedir.
fl ^ x h =
+1
3
fl ^ 1h = 12 + $ fl ^ 1h + 1 & fl ^ 1h - 3 fl ^ 1h = 13
4
4
1
fl ^ 1h = 13 & fl ^ 1h = 52 bulunur.
4
278
fonksiyonuna apsisi 1 olan noktadan
x2 + x - 1
çizilen teğetin eğimi kaçtır?
fl (x) =
fl ^ 1h = 6.1. f^ 1h + 3.12 .
x2 + 3x + 2
Çözüm
+1
x = 1 için,
f l ^ 1h = 6 4 +
f ^x h =
fl ^1 h =
fl ^1 h =
^x2 + 3x + 2 hl . ^x2 + x - 1 h - ^x2 + 3x + 2 h. ^x2 + x - 1 hl
^x2 + x - 1 h
2
^2x + 3 h. ^x2 + x - 1 h - ^x2 + 3x + 2 h. ^2x + 1 h
^x2 + x - 1 h
2
^2 + 3 h . ^1 + 1 - 1 h - ^1 + 3 + 2 h . ^2 + 1 h
^1 + 1 - 1 h2
5 - 18
1
= - 13 bulunur.
7.
f ^x h =
ax + 3
1
fonksiyonu için, fl ^1 h = olduğuna göre,
2x + 1
3
10. f(x) = x3 – 3ax + 2 fonksiyonunun grafiğine x = 2 apsisli
noktada çizilen teğetin eğimi 6 olduğuna göre, a kaçtır?
a kaçtır?
Çözüm
Çözüm
f'(2) = 6 olmalıdır.
f ^x h =
a. ^2x + 1 h - 2 $ ^ax + 3 h
ax + 3
& fl ^x h =
2x + 1
^2x + 1 h2
x = 1 & f l ^1 h =
a $ 3 - 2 $ ^a + 3 h
^2 $ 1 + 1 h
2
=
f'(x) = 3x2 – 3a olup f'(2) = 3. 22 – 3a = 6
& 6 = 3a & a = 2 dir.
1
3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
a-6
1
= & a-6 = 3
9
3
& a = 9 bulunur.
11. f(x) = (2x + 3)3 ise, f'(x) nedir?
8.
f(x) + 2x2.g(x) = x3 + 3x2 + 1
Çözüm
f'(1) = 3, g'(1) = 2 olduğuna göre, g(1) kaçtır?
f(x) = (2x +3)3 & f'(x) = 3(2x + 3)3–1 . (2x + 3)'
f'(x) = 3. (2x + 3)2 . 2
Çözüm
f'(x) = 6 . (2x + 3)2 bulunur.
f(x) + 2x2 . g(x) = x3 + 3x2 + 1
f'(x) + 4x . g(x) + 2x2 . g'(x) = 3x2 + 6x
x = 1 & f'(1) + 4 .1 . g(1) + 2.12 . g'(1) = 3.12 + 6.1
f'(1) = 3 ve g'(1) = 2 olduğundan
3 + 4 . g(1) + 2 . 2 = 9
4.g(1) = 2
g(1) =
1
bulunur.
2
12. f(3x – 5) = 2x2 + x – 1 olduğuna göre,
f'(1) + f(1) kaçtır?
Çözüm
f(3x – 5) = 2x2 + x – 1
& f'(3x – 5).3 = 4x + 1
9.
f(x) = (6x2 + 2x + 1)3 fonksiyonu için f'(–1) değeri kaçtır?
Çözüm
& f'(3.2 – 5).3 = 4.2 + 1
& f'(1).3 = 9
f(x) = (6x2 + 2x + 1)3 & f'(x) = 3(6x2 + 2x + 1)3–1.(6x2 + 2x+ 1)'
= 3(6x2 + 2x + 1)2 . (12x + 2)
x = –1 için;
f'(–1) = 3(6 . (–1)2 + 2 .(–1) +1)2 . (12(–1)+2)
& f'(1) = 3
f(3x – 5) = 2x2 + x – 1
& f(3.2 – 5) = 2.22 + 2 – 1
= 3. 25 . (–10)
& f(1) = 9
= –750 bulunur.
O halde, f'(1) + f(1) = 3 + 9 = 12 bulunur.
279
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
1. f(x) = 5x2 – 3x – 1 ise, f'(x) i bulunuz.
5. f(x) = x2 . (x+1)10 fonksiyonu için f'(–2) değeri kaçtır?
10x – 3
–44
6. f^ xh =
2. f(x) = x3 + 2x2 – 3x + 2 ise, f'(–1) değeri kaçtır?
2
4x - 1
fonksiyonunun x = - noktasında (varsa)
3
3x + 2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
türevini bulunuz.
–4
3. f(x) = x3.g(x) + 2x +1 ve g(–1) = –2, g'(–1) = 3 olduğuna
göre, f'(–1) değeri kaçtır?
7. f ^x h =
2x2 + 3x + 1
3x2 + 4x + 2
yoktur
fonksiyonunun x = –1 noktasındaki
türevini bulunuz.
–7
–1
4. f ^x h = x2 +
x+1
x
^3x - 1 h2
fonksiyonunun
x+2
türevini bulunuz.
1
fonksiyonu için fl f p değeri kaçtır?
4
8. f ^x h =
x=
1
3
noktasındaki
–5
––
2
0
280
8. Parametrik Fonksiyonların Türevi
D f R ve f: D → R fonksiyonu (bağıntısı) y = f(x) kuralıyla
verildiği gibi, t ortak değişkenine bağlı olarak x = f(t) ve y = g(t)
kuralıyla da verilebilir. Burada t ye parametre, x = f(t) ve y = g(t)
ifadesine parametrik fonksiyon denir.
dy
dy
dy dt
dt
=
$
=
dir.
dx
dt dx
dx
dt
dy
dy
dt
2t - 2
=
= 3
dx
dx
4t - 3t2
dt
dy
dx
=
=
t=2
2.2 - 2
4.23 - 3.22
2
1
=
bulunur.
32 - 12 10
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
f(t) ve g(t) fonksiyonları t ye göre türevli olmak üzere, y nin
x değişkenine göre türevi:
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
9. Kapalı İfadelerin Türevleri
Bu türev kısaca yxl =
ytl
xtl
biçiminde gösterilir.
F(x,y) = 0 denkleminden, y = f(x) gibi y nin x e bağlı fonksiyonu elde edilebiliyorsa türev
dy
= fl ^ xh tir.
dx
ÖRNEK
Ancak çoğu kez, f(x,y) = 0 denkleminde y = f(x) gibi bir fonksiyon
bulmak olanaksızdır.
x = t2 + 1, y = t2 + t ise,
ÇÖZÜM
dy
ifadesi nedir?
dx
Bu durumda verilen denklemin her teriminin x e göre türevi alınarak
x = t2 + 1 &
dx
= 2t
dt
y = t2 + t &
dy
= 2t + 1 olup
dt
dy
dy
dy dt
dt
2t + 1
=
$
=
=
dir.
dx
dt dx
dx
2t
dt
dy
türevi bulunur.
dx
ÖRNEK
x2 + y2 – 4 = 0 ise,
dy
ifadesi nedir?
dx
ÇÖZÜM
ÖRNEK
x = t4 –t3 ve
dy
y = t2 – 2t ise,
türevinin t = 2 noktasındaki
dx
değeri nedir?
x2 + y2 – 4 = 0 eşitliğinde her terimin x'e göre türevi alınırsa,
x2 + y2 – 4 = 0 & 2x + 2 . y . y' = 0
& x + y.y' = 0 & y.y' = –x
ÇÖZÜM
& y' = dx
= 4t3 - 3t2
dt
dy
y = t 2 - 2t &
= 2t - 2 ve
dt
x = t4 - t3 &
&
x
y
dy
x
=bulunur.
dx
y
281
ÖRNEK
ÇÖZÜM
x4 + 2x2y2 + y4 = 5 ise,
dy
dx
x=2
y=2
değeri kaçtır?
F(x,y) = x3 + 3x2y + y3 – 20
F'x(x,y) = 3x2 + 6xy
F'y(x,y) = 3x2 + 3y2 olup
ÇÖZÜM
Fxl ^ x, yh
dy
3x2 + 6xy
==– 2
dx
Fyl ^ x, yh
3x + 3y2
dy
Önce
i bulalım:
dx
=-
Her terimin xʼe göre türevi alınırsa:
x2 + 2xy
dir.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
x2 + y2
4x3 + 4x.y2 + 2X2.2y.y' + 4.y3.y' = 0
y'(4x2y + 4y3) = –4xy2 – 4x3
ETKİNLİK
y = sin3(πx) + cos4(x2 + 1) & y' = ?
dy
4xy2 + 4x3
= yl = - 2
dx
4x y + 4y3
dy
xy2 + x3
=– 2
dx
x y + y3
ve
dy
dx
x=2
y=2
=–
2.2 2 + 2 3
= –1
2 2 .2 + 2 3
KOLAYLIK
bulunur.
10. Trigonometrik Fonksiyonların Türevleri:
F(x,y) = 0 denkleminin yxl =
dy
türevi şöyle de bulunabilir.
dx
1.
b) f(x) = sing(x) & f'(x) = g'(x) . cosg(x)
y sabit düşünülerek x değişkenine göre F'x(x,y), x sabit düşünülerek y değişkenine göre F'y(x,y) bulunarak
yxl =
a) f(x) = sinx & f'(x) = cosx
c) f(x) = sinnx & f'(x) = n.sinn–1x . (sinx)'
Fxl ^x, y h
dy
=yazılır.
dx
Fyl ^x, y h
= n.sinn–1x.cosx
ÖRNEK
f(x) = sin3x ise, f'(x) nedir?
ÖRNEK
ÇÖZÜM
x3 + 3x2y + y3 = 20 ise,
282
dy
ifadesini bulunuz.
dx
f(x) = sin3x ise, f'(x) = (3x)' . cos3x & f'(x) = 3.cos3x tir.
ÖRNEK
ÇÖZÜM
π
f(x) = sin2x ise, fl c m kaçtır?
4
f(x) = 4sin23x + 3sin24x ise
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
f'(x) = 4.2.sin3x.(cos3x).3 + 3.2sin4x.(cos4x).4
= 12.2.sin3x.cos3x + 12.2.sin4x.cos4x
ÇÖZÜM
= 12. (sin6x + sin8x) olup
f(x) = sin2x ise, f'(x) = 2sinx . (sinx)' = 2sinx . cosx = sin2x ve
f' c
π
π
π
fl c m = sin 2. = sin = 1 dir.
4
4
2
π
π
π
+ sin 8 $
m = 12. c sin 6 $
m
24
24
24
ÖRNEK
f(x) = a.sinx + b.sin3x ve
fl (x) = –2. cos x + 3. cos x
ÇÖZÜM
π
π
2
3
p
+ sin m = 12 $ f
+
4
3
2
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
= 12. c sin
= 6 ^ 2 + 3 h tür.
2. a) f(x) = cosx & f'(x) = –sinx
b) f(x) = cosg(x) & f'(x) = –g'(x).sing(x)
π
ise f c m
2
kaçtır?
c) f(x) = cosnx & f'(x) = n.cosn–1x.(cosx)'
= –n.cosn–1x.sinx
ÖRNEK
f(x) = a.sinx + b.sin3x ise
f'(x) = a.cosx + 3b.cos3x = –2cosx + 3cos3x
olup bu eşitlikten
a = –2, 3b = 3 & b = 1 bulunur. O halde,
f^ xh =
cos 3x
ise , fl ^ xh nedir?
3
ÇÖZÜM
f(x) = –2sinx + sin3x olup,
π
π
3π
f c m = –2 sin + sin
= –2.1 - 1 = –3
2
2
2
bulunur.
cos 3x
ise
3
– sin 3x
– sin 3x
fl ^ xh = ^ 3xhl .
= 3.
= – sin 3x
3
3
olur.
ÖRNEK
ÖRNEK
f(x) = 4.sin23x + 3.sin24x ise, fl c
f^ xh =
π
m nedir?
24
f(x) = cos2x + cos2x türevinin x =
π
noktasındaki değeri nedir?
6
283
ÇÖZÜM
ÖRNEK
f(x) = 3tan2x ise, f' (x) ifadesinin eşiti nedir?
f(x) = cos2x +cos2x ise
f'(x) = –2.cosx.sinx – 2sin2x
ÇÖZÜM
= –sin2x – 2sin2x = –3sin2x
f(x) = 3tan2x ise
π
π
π
3
fl c m = –3. sin 2 $ = - 3 $ sin = –3 $
6
6
3
2
3 3
=dir.
2
f'(x) =3.(1+tan22X)2
= 6(1+tan22x)
= 6sec22x veya
=
6
cos2 2x
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
tir.
ÖRNEK
π
f(x) = tan34x + cos2x ise, fl c m değeri nedir?
3
ÖRNEK
f(x) = sin2 π x + cos2
π.x
olduğuna göre, f'(–1) kaçtır?
2
ÇÖZÜM
f(x) = tan34x + cos2x ise
fl ^ xh = 3 $ tan2 4x $ f
ÇÖZÜM
1
cos2 4x
2
π
4π
fl c m = 12 $ ftan p $
3
3
π.x
f^ xh = sin πx + cos
ise
2
2
2
r
rx
rx
f'(x) = 2π.sinπx.cosπx – 2 . cos
. sin
2
2
2
π
π
fl ^ - 1h = 2.π. sin ^ - πh . cos ^ - πh - π. cos c - m . sin c - m
2
2
= 0 olur.
3. a) f^ xh = tan x & fl ^ xh = 1 + tan2 x =
1
$ gl ^xh
= sec g ^x h.gl ^x h
2
c) f ^x h = tann x & fl ^x h = n $ tann - 1 x $ ^1 + tan2 x h
= n $ tan
n-1
x$
1
cos2 x
= n $ tann - 1 x $ sec2 x
284
= 36 $ 4 -
fcos
1
2
1
f- p
2
2
–2 cos
4π
p
3
-2$
π
π
$ sin
3
3
1 3
$
2 2
3
3
= 144 –
2
2
1
b) f ^x h = tan g ^x h & fl ^x h = ^1 + tan2 g ^x hh.gl ^x h
cos2 g ^x h
2
1
dir.
4. a) f^xh = cot x & fl ^xh = -^1 + cot2 xh
cos2 x
= sec2 x
=
= 12 $ ^ 3 h $
p $ 4 - 2 cos x $ sin x
=-
1
sin2 x
= - cosec2 x
b) f^ xh = cot g^ xh & fl ^ xh = –gl ^ xh^ 1 + cot2 g^ xhh
=-
gl ^xh
sin2 g^ xh
= - gl ^ xh $ cosec2 g^ xh
c) f^xh = cotn x & fl ^xh = - n. cotn - 1 x $ ^1 + cot2 xh
= - n $ cotn - 1 x $
1
sin2 x
= - n $ cotn - 1 x $ cosec2 x
ÖRNEK
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
ÇÖZÜM
f(x) = cot24x – cotx ise, f'(x) ifadesini bulunuz.
lim
x"1
f^ xh - f^ 1h
x2 - 1
f^ xh - f^ 1h
= lim
x " 1 ^ x - 1h^ x + 1h
= lim
f^ xh - f^ 1h
x"1
ÇÖZÜM
= fl ^ 1h $
fl ^ xh = 4 tan3
f(x) = cot24x – cotx ise
x-1
1
1
x
+
x"1
$ lim
1
1
= fl ^ 1h ve
2
2
π
π
π
x $ c 1 + tan2 x m $ oldu€undan
4
4
4
1
1
π
π π
fl ^ 1h = ; 4tan3 c $ 1 m $ c 1 + tan2 mE
2
2
4
4 4
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
f'(x) = –2cot4x.(1 + cot24x).4 + (1 + cot2X)
= –8cot4X – 8cot34X + 1 + cot2X olur.
=
1
2π = π bulunur.
2
ÖRNEK
ÖRNEK
π
f^ xh = 4 tan x + 3 cot x ise, fl c m kaçtır?
4
dx
türevi nedir?
dy
x = tan t ve y = cot t ise,
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
f'^ xh =
4^ 1 + tan2 xh - 3^ 1 + cot2 xh
2 4 tan x + 3 cot x
4^ 1 + 1h - 3^ 1 + 1h
=
2 4.1 + 3.1
7
7
=
8-6
2 7
dx
1
= 1 + tan2 t =
dt
cos2 t
y = cot t &
dy
1
= - ^1 + cot2 th = olup
dt
sin2 t
1
dx
cos2 t
sin2 t
dx
dt
=
=
=–
= - tan2 t
dy
dy
1
cos2 t
– 2
dt
sin t
π
π
4 c 1 + tan2 m - 3 c 1 + cot2 m
4
4
π
fl c m =
4
π
π
4 tan + 3 cot
2.
4
4
=
x = tan t &
=
1
7
dir.
11. Logaritma Fonksiyonunun Türevi
a. F(x) = ln(f(x)) & F'(x) =
fl ^ xh
f^ xh
b. F(x) = loga(f(x)) & F'(x) =
tir.
fl ^x h
1
$
f ^x h ln a
ÖRNEK
=
f^ xh = tan4
πx
4
ise,
lim
x"1
f^ xh - f^ 1h
x2 - 1
bulunur.
ifadesinin değeri nedir?
fl ^x h
f ^x h
loga e
(a ∈ R+–{1}) dir.
285
ÖRNEK
ETKİNLİK
Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulalım.
a) f(x) = nx
d) g(x) = log3
b) g(x) = xnx
e) h(x) = log5(sinx)
c) h(x) = n x
f) k(x) = log2(nx)
f(x) = ,n (,nx) ise türevini bulalım.
x2
,nx = u dersek
f'(x) =
f' (x) =
ÇÖZÜM
f'(x) =
b) g'(x) = (x)' . nx + x . (nx)' = nx + x .
hl (x) =
1
= ,nx 2
=
1
, nx
2
1
= ,nx + 1
x
^x2hl
d) g'(x) = a log3 x2 kl = 2 $ log3 e
x
2x
x2
$ log3 e =
2 1
$
x ln 3
^sin xhl
e) hl ^xh = a log ^sin xhkl =
$ log5 e
5
sin x
=
cos x
1
$ log5 e = cot x $
sin x
ln 5
f) kl ^ xh = a log ^ ,nxhkl =
2
^ ,nxhl
$ log2 e
,nx
1
1
1
x
=
$ log2 e =
$
dir.
,nx
x,nx ,n2
2x
2x
1
log 3 e = 2
.
tür.
x2 + 3
x + 3 ,n3
f(x) = ,n (sin x 2) ise türevini bulalım.
f'(x) =
1 ^ xhl
1
$
=
tir.
2 x
2x
=
1
olur.
x.,nx
f(x) = log3(x2 + 3) ise türevini bulalım.
^xhl 1
a) fl ^x h =
=
x
x
c) h(x) = , n x
u'
1
u & u' = x tir. O halde
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
2x. cos x 2
= 2x.cotx2 olur.
sin x 2
12. Üstel Fonksiyonun Türevi
y = ax ifadesinin her iki yanının doğal logaritmasını alalım:
y = ax & ny = nax & ny = xna olur.
Her iki yanının türevi alınırsa
yl
= 1. ln a & yl = y. ln a & yl = ax . ln a bulunur.
y
O halde
a) y = ax & y' = ax.na
b) y = af(x) & y' = af(x).f'(x).na
dır.
ÖRNEK
ETKİNLİK
r
f(x) = ,n (sin x) için f' a k = ?
6
Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulalım.
d) f ^x h =
a) f(x) = 2x
b) g ^x h = ax
2
c) h ^x h = 41 - x
286
1
2x
2
e) g(x) = 3sinx
2
f) h ^x h = 5
x
ÇÖZÜM
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
ETKİNLİK
a) f(x) = 2x & f'(x) = 2x . (x)' . n2 = 2x . n2
b) g^ xh = a & gl ^ xh = a $ ^ x
x2
c) h^ xh = 4
x2
1 - x2
& hl ^ xh = 4
2hl
1 - x2
f (x) = e 1 + x
2
ise , f'(x) i bulalım.
x2
$ ,na = 2x $ a .,na
f' (x) = 2x.e 1 + x
$ ^ 1 - x hl $ ,n4
2
2
olur.
= - 2x $ 41 - x $ ,n4 = - x $ 2 $ 22 - 2x $ 2,n2
2
2
= - x $ 24 - 2x $ ,n2
2
UYARI
d) f^ xh =
1
2
= 2–x ise
2
2x
2
2
2
fl ^ xh = 2- x ^ - x2hl $ ,n2 = 2–x $ ^ –2xh ,n2 = - x $ 21 - x $ ,n2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
y = ax fonksiyonunda
a = e(e ≅ 2,71828...) alınırsa y = ex olur.
y = ex ⇒ y' = ex.ne = ex.1 = ex tir.
e) g(x) =
3sinx
& g'(x) =
3sinx
. (sinx)'n3
O halde
= cosx . 3sinx . n3
f) h^ xh = 5
x
& hl ^ xh = 5
=5
x^
x hl $ , n5
x
1
$ , n5
2 x
$
tir.
y = ef(x) ⇒ y' = ef(x).f'(x)
olur.
ÖRNEK
Aşağıdaki fonksiyonların türevlerini bulalım.
ETKİNLİK
x
a) f (x) = 3 sin (e ) ise, f' (x) = ?
a) f(x) = e2x
d) f(x) = esinx
b) g(x) = xe–x e) g(x) = e
x
c) h(x) = x2ex f) h(x) = ex –e–x
ÇÖZÜM
a)
f'(x) = e2x.(2x)' = 2e2x
b)
g'(x) = (x)'.e–x +x . (e–x)' = 1.e–x+ x.e–x.(–x)'
= e–x – xe–x = e–x(1-x)
b) f (x) = e cos x ise, f' (x) = ?
c)
h'(x) = (x2)'ex + x2 (ex)'
= 2xex + x2ex = ex(x2+2x)
d)
f'(x) = (esinx)' = esinx.(sinx)' = cosx.esinx
e)
gl ^ xh = ^ e x hl = e
f)
h'(x) = (ex–e–x)' = (ex)' – (e–x)' = ex – e–x.(–x)'
x
$ ^ x hl =
1
2 x
$e
x
tir.
= ex + e–x tir.
287
1.
Parametrik denklemi
x=
3t3
4.
+t+2
f(x) = sin3x fonksiyonunun x =
π
noktasındaki türevini
2
bulunuz.
y = t3 + 2t2 – 1
olan y = f(x) fonksiyonu için
Çözüm
dy
türevinin t = 1 noktasındaki
dx
f ^x h = sin3 x & fl ^x h = 3. sin2 x $ cos x
değeri kaçtır?
π
π
π
& fl c m = 3. sin2 $ cos
2
2
2
Çözüm
dy
dy
3t2 + 4t
dt
=
= 2
dx
dx
9t + 1
dt
= 3.1.0
=
3.1 + 4.1
2
9.1 + 1
2
=
7
bulunur.
10
= 0 bulunur.
f(x) = 3cos2x +2xcotx fonksiyonunun x = -
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
5.
t=1
π
apsisli nokta4
sındaki teğetinin eğimi kaçtır?
2.
Çözüm
x3 + xy2 + x2y + x + y + 1 = 0
f(x) = 3cos2x + 2x . cotx
eşitliğiyle verilen y = f(x) fonksiyonunun y' türevini bulunuz.
f'(x) = 3 . 2 . cosx . (–sinx) + 2cotx + 2x . [–(1+cot2x)]
Çözüm
yl = -
yl = -
fl c -
Fx
Fy
3x2 + y2 + 2xy + 1
2xy + x2 + 1
π
4
m = - 6. cos c - m $ sin c - m +
2 cot c -
dir.
=-6 $
π
4
π
π
4
4
π
π
m + 2 $ c - m $ ; - c 1 + cot2 c - mmE
4
4
π
2
2
p- 2 + $ 2
$ f2
2
2
= 3-2+π
3.
= 1 + π bulunur.
2x3 + x2y + 2xy + 1 = 0
bağıntısıyla verilen y = f(x) fonksiyonunun x = –1 apsisli noktasındaki türevini bulunuz.
6.
Çözüm
2x3 + x2y + 2xy +1 = 0 bağıntısında
π
sin x - cos x
fonksiyonunun x =
apsisli noktasın4
sin x + cos x
daki teğetinin eğimini bulunuz.
f ^x h =
x = –1 için 2.(–1)3 + (–1)2.y + 2(–1) . y + 1 = 0
Çözüm
–2 + y – 2y + 1 = 0
y = –1 olup, A(–1, –1) noktasındaki türev soruluyor.
f^ x h =
sin x - cos x
sin x + cos x
2
y' = –
6x + 2xy + 2y
ifadesinde
x 2 + 2x
x = –1,
yl = -
=-
288
& fl ^ x h =
^ cos x + sin xh $ ^ sin x + cos xh - ^ sin x - cos xh $ ^ cos x - sin xh
^ sin x + cos xh2
y = –1 yazılırsa
6 $ ^ –1h2 + 2 $ ^ - 1h $ ^ - 1h + ^ - 1h $ 2
^ - 1h2 + 2^ - 1h
6+2-2
-6
=
= 6 bulunur.
1-2
-1
& f l ^ r /4 h =
π 2
+ sin m - 0
4
= 1 bulunur.
π
π 2
c sin + cos m
4
4
c cos
π
4
O halde, mT = 1 dir.
7.
x + sin x
fonksiyonunun x = 0 noktasındaki türevinin
x - cos x
değeri kaçtır?
f ^x h =
10. f^ xh = log5 f
x+1
p ise,
x + 11
fl ^ 9h
fl ^0 h =
=
8.
^1 + cos xh $ ^x - cos xh - ^x + sin xh $ ^1 + sin xh
f
^0 - cos 0h
^- 1 h
2
=
-2
= - 2 bulunur.
1
fonksiyonunun x =
x+1
p
x + 11
$ log5 e
^ x + 11h2
& fl ^ xh =
2
^1 + 1h^- 1h - 0 $ 1
x+1 '
p
x + 11
1 $ ^ x + 11h - ^ x + 1h $ 1
^1 + cos 0h $ ^0 - cos 0h - ^0 + sin 0h $ ^1 + sin 0h
eğimini bulunuz.
& fl ^ xh =
f
10
x+1
p
x + 11
^ x + 11h2
$f
$ log5 e
1
x + 11
p$
x + 1 ln 5
fl ^ xh =
10
l
$
^ x + 11h^ x + 1h ln 5
fl ^ 9h =
10
l
1
t ir.
$
=
20.10 ln 5
20 ln 5
π
noktasındaki teğetinin
4
11. f(x) = log(x2 + x + 1) ise, f'(1) kaçtır?
f^ xh = x. tan2 x & fl ^ xh = 1. tan2 x + x $ 2 $ tan x $ ^ 1 + tan2 xh
π
π π
π
π
fl c m = tan2 + $ 2 $ tan $ c 1 + tan2 m
4
4 4
4
4
π
= 1 + ^ 1 + 1h
2
= 1 + π bulunur.
9.
x+1
p & fl ^ xh =
x + 11
f
^x - cos xh2
f(x) = x.tan2x
Çözüm
f^ xh = log5 f
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
fl ^x h =
kaçtır?
Çözüm
Çözüm
x + sin x
f ^x h =
x - cos x
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
Çözüm
f(x) = log(x2 + x + 1) ise
f l ^x h =
^x2 + x + 1 hl
x2 + x + 1
2x + 1
$ log10 e
fl ^x h =
1
ln
10
x +x+1
fl ^1 h =
2+1
1
3
1
$
=
=
dur.
ln 10
1 + 1 + 1 ln 10
3 ln 10
2
$
f(x) = ln(x3 + 2) ise, f'(1) kaçtır?
Çözüm
12. f(x) = ln(tanx) ise, f'(x) nedir?
f ^x h = ln ^x3 + 2 h & fl ^x h =
f l ^x h =
f l ^1 h =
^x3 + 2 hl
x3 + 2
$ ln e
f^ xh = ln ^ tan xh ise fl ^ xh =
3x 2
x3 + 2
3.1
2
13 + 2
=
Çözüm
3
= 1 dir.
3
fl ^ xh =
^ tan xhl
tan x
1 + tan2 x
1
=
+ tan x
tan x
tan x
fl ^ xh = cot x + tan x olur.
289
1
13. f(x) = ln(lnx) ise, fl f p kaçtır?
e
16. f(x) = ln( sin x ) ise, f'(x) nedir?
Çözüm
Çözüm
f^ xh = ,n^ ,nxh & fl ^ xh =
f^ xh = ln ^ sin x h & fl ^ xh =
^ ,nxhl
,nx
sin x
1
1
1
x
& fl ^ xh =
=
x,nx
,nx
1
1
e
e
& fl f p =
=
=
= - e dir.
–1
1
1
e
-1
,ne
$ ,n
e
e
^ sin x hl
=
cos ^ x h .^ x hl
sin x
$ cos x
f l ^ xh =
2 x
f l ^ xh =
cot x
sin x
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
2 x
t ir.
17. y = (nx)nx ise, y' nedir?
Çözüm
14. y = x
x2
ise,, y' nedir?
Çözüm
y=x
x2
y = ^ ,nxh,nx & ,ny = ,n 6^ ,nxh,nx @
& ,ny = ,nx
& , ny = ,nx.,n (,nx)
^ ,nxh'
y' 1
= ,n (,nx) + ,nx
,nx
x
y
1
1
& y' = y ; ,n (,nx) + E
x
x
1
y' = (,nx) ,nx . 6 ,n (,nx) + 1 @
x
x2
& ,ny = x2 ,nx
yl
= ^ x2 ,nxhl
y
yl
1
& = 2x ,nx + x2 $
y
x
&
& yl = y $ ^ 2x,nx + xh
& yl = xx ^ 2x,nx + xh
2
2
18.
f ^x h = 3
1
1 + lnx
ise, f'(e) nedir?
Çözüm
& y' = xx + x. (2,nx + 1)
1
f^ xh = 3
1 + ,nx
1
l 1 + ,nx
1
& fl ^ xh = f
$ , n3
p$3
1 + ,nx
15. y = xcosx ise, y' nedir?
1
1 + ,nx
.,n3
= 6^ 1 + ,nxh @l $ 3
–1
Çözüm
y = xcos x & ln y = ln xcos x
1
1 1 + ln x
$ , n3
fl ^ xh = - 1^ 1 + ,nxh- 2 $ $ 3
x
& ln y = cos x $ ln x
&
&
yl
= ^cos x $ ln x hl
y
1
yl
1
= - sin x $ ln x + cos x f p
y
x
& yl = y $ f - sin x ln x +
1
cos x p
x
& yl = xcos x $ f - sin x $ ln x +
290
1
cos x p olur.
x
1 1 + ,ne
fl (e) = - ^ 1 + ,neh–2 $ $ 3
$ , n3
e
1
1
2
=$ 3 $ , n3
4e
=-
3 ,n3
4e
dir.
1. f(x) = xcosx fonksiyonunun
x=
π
apsisli noktasındaki
2
4. f(x) = sinx + x2tanx fonksiyonunun x = r apsisli noktasındaki
türevini bulunuz.
türevini bulunuz.
2. f(x) =
1 + sin x
fonksiyonunun x = 0 apsisli noktasındaki
1 + cos x
türevini bulunuz.
π2 – 1
π
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
-
1
2
5. xy3 – 2x2y + 3x – 2y + 1 = 0
eşitliğiyle verilen y = f(x) fonksiyonu için
dy
türevini bulunuz.
dx
dy
y3 - 4xy + 3
= yl = dx
3xy2 - 2x2 - 2
3. Parametrik denklemi
x = t2 – 5t + 1
y = 3t2 + 4t + 3
π
6. f(x) = 4sin3x + 2sin2x fonksiyonu için fl c m değeri kaçtır?
3
dy
olan y = f(x) fonksiyonu için,
türevini bulunuz.
dx
6t + 4
2t - 5
–14
291
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
7. f(x) = sin(cosx) ise, f' (x) fonksiyonunu bulunuz.
10. f^ xh =
1
olduğuna göre, fl f p değerini bulunuz.
e
,n x
x
2
–sinx . cos(cosx)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
π
11. f(x) = esin2x olduğuna göre, fl c m değeri kaçtır?
4
8. f(x) = sin3(sinx) fonksiyonunun türevini bulunuz.
3sin2(sinx).cos(sinx).cosx
0
12. f(x) = x2.ex fonksiyonu için f'(2) değeri kaçtır?
9. f(x) = x3.nx ise, f'(e) değeri kaçtır?
4e2
292
3
8e2
13. f ^x h =
x + ex
x - ex
16. f^ xh = 2,nx + 2x + 2x fonksiyonunun x = 1 apsisli noktasındaki
2
fonksiyonu için f'(0) değeri kaçtır?
türevini bulunuz.
7n2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
–2
π
14. f(x) = xetanx fonksiyonu için fl c m değeri kaçtır?
4
17. f(x) = x.5x fonksiyonu için f'(1) değeri kaçtır?
,n^ 5eh5
π
e (1 + )
2
15. f ^x h = 3cos x - 3sin
2
2
x
fonksiyonunun x =
π
apsisli noktadaki
4
18. f(x) = x2.2x olduğuna göre, f'(–1) değeri kaçtır?
türevini bulunuz.
- 2 3 .,n3
^ ,n 2 h - 1
293
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
13. Bileşke Fonksiyonun Türevi (Zincir Kuralı):
D 1 R, E 1 R olmak üzere;
f: D → E fonksiyonu a ∈ D noktasında, g: E → R fonksiyonu
f(a) ∈ E noktasında türevlenebiliyorsa;
gof: D → R fonksiyonu da a noktasında türevlenebilirdir ve
(gof)' (a) = g'(f(a)) . f'(a) dır.
y = f(x), z = g(y) alınırsa
ETKİNLİK
f (x) = ,nx, g (x) =
ise
(fog)(x) fonksiyonunun türevini bulalım.
(fog) (x) = ,n ( x ) olur.
(fog) ' (x) = a
z = g(f(x)) = (gof)(x) olur.
x
1
1
,nx k ' =
2
2x
bulunur.
dz
dz dy
= ^gof hl^x h =
$
yani zlx = zly $ yxl
dx
dy dx
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
(gof)'(x) = g'(f(x)) . f'(x) olur.
14. Ters Fonksiyonun Türevi:
A 1 R, B 1 R olmak üzere;
ÖRNEK
f: R → R, f(x) = x2 + 1
g: R → R, g(x) = 2x2 ise, (gof)'(1) nedir?
ÇÖZÜM
f: A → B bire bir ve örten fonksiyonunun ters fonksiyonu
f–1: B → A olsun. x ∈ A için y = f(x) ∈ B ise ters fonksiyon
tanımından y ∈ B için f–1(y) = x ∈ A dır. f–1(y) = x eşitliğinin
her iki yanının xʼe göre türevi alınırsa;
^ f–1hl^yh $ yxl = 1 veya (f–1)l ^yh =
I. Yol:
1
tir.
yxl
(gof)'(1) = g'(f(1)) . f'(1) olduğundan
yxl = fl ^ xh = fl ^ f–1 ^ yhh oldu€undan
g(x) = 2x2 & g'(x) = 4x
^ f–1hl^yh =
f(x) = x2 + 1 & f'(x) = 2x , f(1) = 1 + 1 = 2
ve f'(1) = 2.1 = 2 ise
^f–1hl^xh =
g'(f(1)) = g'(2) = 8 olduğundan
(gof)'(1) = 8.2 = 16 dır.
1
fxl ^ f–1 (y)h
1
fl ^ f–1 (x)h
ya da
olur.
ÖRNEK
II. Yol:
(gof) (x) = g(f(x)) = 2(x2+1)2
= 2(x4 + 2x2 +1)
f:(1,4) → R, f(x) = x2 – 2x fonksiyonu veriliyor. (f–1)' (3) nedir?
(gof)'(x) = 2(4x3+4x) olup
(gof)'(1) = 2(4.13 + 4.1) = 2.8 = 16 dır.
ÇÖZÜM
I. Yol:
ÖRNEK
f fonksiyonu (1,4) aralığında bire bir ve örten olduğundan ters fonksiyonu vardır.
f, g ve fog fonksiyonları türevlenebilir fonksiyonlardır.
y = x2 – 2x
& y + 1 = x2 – 2x + 1
g(–1) = 2, g'(–1) = 3 ve f'(2) = 4 olduğuna göre, (fog)'(–1) kaçtır?
& (y + 1) = (x – 1)2
ÇÖZÜM
& |x–1| =
(fog)'(–1) = f'(g(–1)).g'(–1)
= f'(2).3 = 4.3 = 12 dir.
294
y+1
ve x ∈ (1,4) olduğundan x > 1 dir.
x - 1 = x - 1 = y + 1 ise
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
ETKİNLİK
x = y + 1 + 1 ve f (y) = y + 1 + 1 dir.
–1
f(x) = x5 + x eşitliği ile tanımlanan
f : R → R fonksiyonu veriliyor.
O halde,
(f–1)'(2) = ?
f ^ xh = x + 1 + 1 dir.
–1
^ f–1hl^ xh =
& ^ f–1hl^ 3h =
1
2 x+1
II. Yol:
y = f(x) = x2 – 2x ise
2 3+1
1
olur .
4
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
=
1
x = f–1 ^ yh = y + 1 + 1 (bulundu.)
^ f–1hl^ yh =
=
=
^f–1hl^3h =
1
1
1
=
=
fl ^ xh ^ x2 - 2xhl 2x - 2
1
15. Ardışık Türev (Yüksek Sıradan Türev):
D 1 R ve f: D → R fonksiyonu D kümesinde türevli ise;
2^ y + 1 + 1 - 1h
1
2 y+1
1
2 3+1
yl = f l ^ x h =
dy
dx
ifadesine f fonksiyonunun 1. sıradan türevi denir. Eğer f' türev
=
1
1
=
olur.
2.2
4
fonksiyonu da, E 1 D olmak üzere E kümesinde türevli ise
y m = f m ^x h = ^fl ^x hhl =
dyl d2 y
ifadesine f fonksiyonunun
=
dx
dx2
2. sıradan türevi denir.
III. Yol:
Benzer düşünüşle
1
y = f(x) & (f–1)' (y) =
olduğunu görmüştünüz. (f–1)'(3) için
fl ^x h
y n = f n ^x h = ^f m ^x hhl =
y = 3 e karşılık gelen x değerini bulmalıyız.
f(x) = 3
& x2 – 2x = 3 & x2 – 2x – 3 = 0
ifadesine f fonksiyonunun 3. sıradan türevi denir. Genel olarak
n ∈ N+ ve n > 1 için
& (x +1) (x–3) = 0
y^nh = f^nh ^ xh =
x = –1 ve x = 3 tür. –1 z (1,4) ve 3 ∈ (1,4) olup y = 3 için x = 3 tür.
O halde,
^ f–1h^ yh =
dy m
d3 y
=
dx
dx3
dy^n - 1h dn y
=
dx
dxn
ifadesine f fonksiyonunun n. sıradan türevi denir.
1
1
& ^ f–1hl^ 3h =
fl ^ xh
fl ^ 3h
ve f(x) = x2 – 2x & f'(x) = 2x – 2 olduğundan
ÖRNEK
fl ^3 h = 2.3 - 2 = 4 ve ^f–1 hl^3 h =
y = f(x) = x3 – 3x2 + 4x – 1 fonksiyonunun 2. sıradan türevini
bulalım.
1
1
= bulunur.
fl ^3 h 4
295
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
y = x3 – 3x2 + 4x – 1 ise
n sıradan türev sorulduğunda önce, verilen fonksiyonun birkaç sıradan türevi bulunur. Bu türevlerden yararlanarak n. sıradan türev
bulunur.
y' = 3x2 – 6x + 4
y" = (y')' = 6x – 6 dır.
y' = n. xn–1
y" = n.(n–1)xn–2
y"' = n.(n–1) . (n–2) . xn–3
................................................
y(n) = n.(n–1) . (n–2) … 3.2.[n–(n–1)]xn–n
ÖRNEK
y = f(x) = sin2x + sin3x fonksiyonunun 2. sıradan türevini bulalım.
ÇÖZÜM
y' = 2sinx . cosx + 3sin2x . cosx
= sin2x +
y(n) = n! bulunur.
ÖRNEK
y = sin2x + sin3x ise
3sin2x
y(n) = n.(n–1) . (n–2) . (n–3) … 3.2.1.x0
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
. cosx
y=
1
fonksiyonunun n. sıradan türevi nedir?
x
y" = (y')' = 2cos2x + 3.(2sinx . cosx) . cosx + 3sin2x . (–sinx)
= 2cos2x + 3sin2x . cosx – 3sin3x bulunur.
ÇÖZÜM
y=
1
& yl = x–1 dir.
x
y' = (–1) . x–2
ÖRNEK
y'' = (–1) (–2) . x–3 = 1.2.x–3
y = f(x) =
bulalım.
4x3
–
2x2
ÇÖZÜM
+ 5x – 1 fonksiyonunun 3. sıradan türevini
y''' = 1.2.(–3).x–4 = –1.2.3.x–4
………………………………………
y(n) = (–1)n . 1.2.3…n.x–(n+1)
y(n) = (–1)n .
y = 4x3 – 2x2 + 5x – 1 ise
n!
bulunur.
xn+1
y' = 12x2 – 4x + 5
y" = (y')' = 24x – 4
y'" = 24 tür.
UYARI
f(x) , n. dereceden polinom fonksiyon ise, f fonksiyonunun
n. sıradan türevi sabit, daha yüksek türevleri sıfırdır.
ETKİNLİK
x
f(x) = Arccos a k fonksiyonunun türevini bulalım.
3
f (x) = Arc cos
x
& f' (x) =
3
–
1
3
1–
ÖRNEK
n ∈ N+ olmak üzere f(x) = xn fonksiyonunun n. sıradan türevi
nedir?
296
1
3
=
9 – x2
3
–
f' (x) =
–1
9 – x2
x2
9
bulunur.
ETKİNLİK
e) f ^x h = arctan x & fl ^x h =
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
1
1 + x2
1) f : R → R,
f(x) = x6 – 5x4 + 3x3 + x2 – x + 5
ise,
f(4)(x)
= ? ve
f(4)(1)
f) f ^x h = arctan g ^x h & fl ^x h =
=?
gl ^x h
1 + 6 g ^x h@ 2
-1
g) f ^x h = arc cot x & fl ^x h =
1 + x2
gl ^x h
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
h) f ^x h = arc cot g ^x h & fl ^x h = -
1 + 6 g ^x h@ 2
ETKİNLİK
2) sinx, cosx fonksiyonlarının n. sıradan türevlerini, n doğal
sayısına bağlı olarak veren formüller bulunuz.
f(x) = sin c
1
cos x =
1 + tan 2 x
f (x) =
=
1
5 2
1+ c m
12
=
1
1+
25
144
1
12
& cos x =
tür.
13
13
12
cos x =
y = sin a
r
5
+ Arc tan
m 'nin sayısal değerini bulalım.
2
12
r
+ a k = cos a olduğundan
2
12
13
bulunur.
NOT:
16. Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi
a) f ^x h = arcsin x & fl ^x h =
cos x =
1
1 + tan 2 x
ve sin a
r
+ a k = cos a
2
olduğunu hatırlayınız.
1
1 - x2
b) f ^x h = arcsin g ^x h & fl ^x h =
gl ^x h
1 - 6 g ^x h@ 2
ETKİNLİK
f(x) = x 1 – x 2 – Arccosx + 1 fonksiyonu için f'(0) ın değerini
bulalım.
c) f ^x h = arccos x & fl ^x h = -
1
1 - x2
d) f^ xh = arccos g^ xh & f'^ xh = -
gl ^ xh
1 - 6 g^ xh@2
f' (x) = 1. 1 – x 2 –
2x 2
2 1 – x2
+
1
1 – x2
f'(0) = 1 + 1 = 2 bulunur.
297
ÖRNEK
ÖRNEK
f ^x h = arcsin
f ^x h = arctan x ise, f'(4) kaçtır?
1
ise, f'(x) nedir? (x > 0)
x
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
f^ xh = arctan x ise
fl ^ xh =
1 l
f p
x
–
2
=
1
1-f p
x
=-
x
x2 x2 - 1
1
x
2
1-
=-
=-
1
1
=-
x2 - 1
x2
x2
fl ^ xh =
1
^ x hl
1 +^ xh
2
=
2 x
1+x
x2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
1
x
fl ^ 4h =
x2 x2 - 1
1
x x2 - 1
2 4
1
bulunur.
=
1+4
20
olur.
ETKİNLİK
f(x) = Arcsin(π/2) fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevini
bulunuz.
ÖRNEK
f(x) = arccosx
bulunuz.
fonksiyonunun türevsiz olduğu en geniş kümeyi
1
2
r
f(x) = Arcsin a k & f' (x) =
2
1–
ÇÖZÜM
f^ xh = arccos x ise, fl ^ xh = -
1
1 - x2
olup
x2
4
f' (x) =
1
1
2
2
= .
=
4 – x2 2 4 – x2
2
f' (1) =
1
1
3
bulunur.
=
=
3
4–1
3
1
4 – x2
dir.
1 – x2 ≤ 0 için tanımsızdır.
1– x2 = 0 & x = ±1 dir.
ETKİNLİK
x
1– x2
1
-1
–
+
–
f(x) = x 1 + x 2 – Arccotx + 23 fonksiyonu veriliyor.
Buna göre, f'(1) in değerini bulalım.
f' nün tanımlı olmadığı yerlerde f' süreksiz olduğundan türevsizdir.
O halde
f (x) = x 1 + x 2 – Arc cot x + 23
f' (x) = 1. 1 + x 2 +
(–∞ , –1] , [1, +∞ ) kümesinde f(x) = arccosx fonksiyonu türevsizdir.
f' (1) = 2 +
298
2x
2 1+ x 2
+
1
1+ x 2
1
1
+
= 2 2 bulunur.
2
2
17. Mutlak Değerli Fonksiyonların Türevi
D 1 R ve f, D kümesinde türevli bir fonksiyon olsun.
F(x) = |f(x)| ise
Fl ^ xh =
fl ^ xh . f^ xh
f^ xh
=*
fl ^ xh,
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
UYARI
Mutlak değerin içini pozitif yapan değerler için, doğrudan içinin tü-revi alınır. Negatif yapan değerler için,
içinin türevi –1 ile çarpılır.
f^ xh 2 0 ise
- fl ^ xh, f^ xh 1 0 ise
ETKİNLİK
dir.
f:R→R
ÖRNEK
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
f(x) = |2 – x| + 2 olduğuna göre, f(1) + f'(3) ün değerini bulalım.
f(1) = |2 – 1| + 2 & f(1) = 3
f'(x) = –1.(–1) & f'(3) = 1
f(x) = |4x–8| fonksiyonunun türevi nedir?
f(1) + f'(3) = 3 + 1 = 4
ÇÖZÜM
4x – 8 = 0 & x = 2 dir.
ETKİNLİK
^ 4x - 8hl . | 4x – 8 |
x ! 2 için fl ^ xh =
4x - 8
=
4.4 x - 2
4^ x - 2h
ÖRNEK
=
bulunur.
f(x) = |x2 – 4| fonksiyonu için f'(2), f'(–2) ve
f'(5) değerlerini bulalım.
4. x - 2
dir.
x-2
x
–
1
2
x2 – 4
+
–
+
|x2 – 4|
x2–4
–(x2–4)
x2–4
Buna göre f(2) = 0 , f(–2) = 0 olduğundan f'(–2) ve f'(2) yoktur.
f(x) = |x2 – 4x + 3|
nedir?
fonksiyonunun
x=0
noktasındaki türevi
f(5) > 0 & f(x) = x2 – 4 & f'(x) = 2x
f'(5) = 10
olur.
ÇÖZÜM
x2 – 4x + 3 = 0 & (x –1) (x – 3) = 0
& x = 1 ve x = 3ʼtür.
x
2
–
3
1
x +4x+3
+
–
+
f(x)
x2–4x+3
–(x2–4x+3)
x2–4x+3
x = 0 < 1 olup f(x) = x2 – 4x + 3 & f'(x) = 2x – 4 ve
f'(0) = 2.0 – 4 = –4 olur.
ÖRNEK
f: R $ [–1,1]
f(x) = |cosx| fonksiyonu verilyor.
π
a) fl c m
2
π
b) fl c m
3
c) fl f
2π
p
3
π
d) f' c m
6
ifadelerini hesaplayınız.
299
ÇÖZÜM
18. Parametrik Denklemlerde
İkinci Mertebe Türevlerin Hesaplanması
π
π
a) cos = 0 oldu€undan fl c m yoktur.
2
2
x = g (t)
d2 y
ikinci mertebe
4 parametrik denklemlerinden
y = h (t)
dx 2
türevini hesaplayalım.
π
1
= > 0 oldu€undan
3
2
π
π
3
fl c m = - sin = dir.
3
3
2
b) cos
dy'
dy'
dt
d dy
=
=
c m=
dx
dx
dx2 dx dx
dt
dy
dy
dt
=
ve yl =
dx
dx
dt
d2 y
2π
= - 1 1 0 oldu€undan
3
2π
2π
3
fl f p = –1. f– sin p =
dir.
3
3
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
c) cos
dyl
=
dt
d2 y dx dy d2 x
$
$
dt dt2
dt2 dt
2
dir.
dx
f p
dt
Yerine yazılırsa
d) cos π = 3 2 0 oldu€undan
6
2
d2 y dx dy d2 x
dyl
$
$
dt dt2
d2 y
dt
dt2 dt
=
=
2
dx
dx2
dx
dx
$f p
f
p
dt
dt
dt
π
π
1
fl c m = - sin = - dir.
6
6
2
d2 y
dx2
ÖRNEK
=
f(x) = |x2 –5x| –kx –3 ve f'(2) = 2 ise, k nedir?
ya da
d2 y dx dy d2 x
$
$
dt dt2
dt2 dt
f
d2 y
dx2
=
3
bulunur.
dx
p
dt
y".x' – y' – x"
^ x'h3
bulunur.
ÇÖZÜM
ETKİNLİK
x2 – 5x = 0 & x = 0 , x = 5 tir.
t ∈ [0, 2π] parametresine bağlı olarak
x
2
x – 5x
5
0
+
–
x = 4 cos t
+
x = 2 için x2 – 5X < 0 olduğundan
f(x) = |x2 –5x| – kx – 3 & f(x) = –x2 + 5x –kx – 3
f'(x) = –2x + 5 – k & f'(2) = –2 . 2 + 5 – k = 2
& –4 + 5 – k = 2 & k = –1 dir.
300
y = 3 sin t
4
ile verilen fonksiyon için
d2 y
dx 2 t = r
4
=?
olduğundan
1.
f(x) = 3x – 2 ve g(x) = x + 2 ise,
II. Yol:
a) (fog)'(x) nedir?
Fonksiyonun tersini bulmadan
b) (gof)'(x) nedir?
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
f–1(4) = a & f(a) = 4 & a3 + 5 = 4
Çözüm
a) I. Yol:
a3 = –1
(fog)(x) = f(g(x))
a = –1 dir.
= 3(x+2)–2
f(x) = x3 + 5 & f'(x) = 3x2
(fog)(x) = 3x + 4
f'(–1) = 3 . (–1)2 = 3 olur.
(fog)'(x) = 3
II. Yol:
1
1
=
olur.
fl ^ –1h 3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
(f–1) ' (4) =
(fog)'(x) = f'(g(x)) . g'(x)
= 3.1 = 3
b) I. Yol:
3.
(gof)(x) = g(f(x))
f: [2, +∞] → [–9, +∞)
f(x) = x2 – 4x – 5 ise, (f–1)'(–5) kaçtır?
= (3x–2) + 2
= 3x
Çözüm
(gof)'(x) = 3
^ f–1hl^ –5h =
II. Yol:
(gof)'(x) = g'(f(x)) . f'(x)
1
fl ^ f–1 ^ –5hh
tir.
f–1(–5) = a & f(a) = –5
= 1.3
a2 – 4a –5 = –5 & a = 0 V a = 4
= 3 olur.
0 f [2, ∞) olduğundan a = 4 tür. (4 ∈ [2 , ∞))
f'(x) = 2x – 4 & f'(4) = 2 . 4 – 4 = 4 tür.
2.
f: R → R, f(x) = x3 + 5
ise,
^f–1 hl^- 5 h =
(f–1)'(4) değeri kaçtır?
1
fl ^f ^–5 hh
–1
=
1
1
olur.
=
l
f ^4 h 4
Çözüm
I. Yol:
f–1(x) ʻ i bulup türev alalım.
y = x3 + 5 & y – 5 = x3 & x = 3 y - 5
& f–1 ^x h = 3 x - 5
& ^f–1 hl^x h =
& ^f
–1 hl
^ 4h =
4.
f(x) = x3 + 5x2 – 4x – 2 ise, f''(x) nedir?
1
3. ^x - 5 h2
3
1
3. 3 ^ 4 - 5h2
1
= dür.
3
Çözüm
f(x) = x3 + 5x2 – 4x – 2 ise
f'(x) = 3x2 + 10x – 4
f''(x) = 6x + 10 dur.
301
5.
f(x) = x15 ise, f(15)(x) nedir?
x = 3 $ sin t
8.
y = cos 2t
Çözüm
d2 y
4
nin eﬂiti nedir?
dx2
f'(x) = 15x14
f''(x) = 15.14.x13
Çözüm
f'''(x) = 15.14.13.x12
I. Yol:
f(4)(x) = 15.14.13.12.x11
dy
2.2 sin t. cos t
dy
- 2 sin 2t
dt
=
=
=dx
dx
3 cos t
3. cos t
dt
dy
4
= - sin t
dx
3
…………………………………
f(15)(x) = 15.14.13. … 2.1 = 15!
x
6.
^100h
f (x) = e 2 ise ,
f
Çözüm
1 x
e2
2
fl ^ xh =
=
x
1 1
f m ^ xh = $ $ e 2
2 2
d2 y
^ xh nedir?
1 2x
e
2
=
x
olur.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
dx2
d f-
=
4
sin t p
3
dx
dt
II. Yol:
x
1 e2
d2 y
22
dx
x
1 1 1
1 2
f n ^ xh = $ $ $ e 2
=
e
2 2 2
23
........................................................
x
2
=
x'y''–x''y'
^ x'h3
_
b
b
x'' = - 3 sin t b d2 y
3 cos t $ ^ - 4 cos 2th - ^ - 3 $ sin th $ ^ - 2 sin 2th
=
`
2
^ 3 cos th3
y' = - 2 sin 2t b dx
b
y'' = - 4. cos 2tb
a
x' = 3 cos t
x
1 1 1
1
1
f^100h ^ xh = f $ $ … p $ e 2 =
$ e 2 dir.
100
2 2 2
2
2
=
7.
ex $ f
d2 ^xe–xh
dx2
4
- . cos t
3
4
dur.
=
=3. cos t
9
=
p ifadesinin eşiti nedir?
=
- 12 $ cos t $ cos 2t - 6 sin t $ sin 2t
- 12. cos t $ cos 2t - 6 sin t $ 2 sin t $ cos t
dx
2
9 $ cos2 t
=
d d^ x $ e–xh
f
p
dx
dx
=-
2
2
2
4 ^ cos t - sin t + 1 - cos th
$
9
cos2 t
=
d –x
^ e –xe–xh
dx
=–
4
9
= - e–x – e–x + xe–x
= - 2e–x + xe–x
ex $
d2 ^ xe–xh
dx2
= ex $ ^ - 2e–x + xe–xh
= - 2 + x t ir.
302
27. cos t $ cos2 t
- 4 $ ^ cos 2t + 1 - cos2 th
Çözüm
d2 ^ x $ e–xh
27. cos3 t
bulunur.
9.
x = sin2t + cost
10. y = (ax + b)n fonksiyonunda n bir tam sayı olmak üzere,
yn nin eşiti nedir?
y = cos2t + sint
d2 y
olmak üzere,
dx2
nin t =
Çözüm
π
için değeri kaçtır?
2
y' = n.(ax + b)n–1.a
y'' = n(n–1).(ax + b)n–2.a2
y''' = n(n–1)(n–2).(ax + b)n–3.a3
.
.
.
Çözüm
dx
dt
=
=
dx
2 cos t $ ^ - sin th + cos t
2 sin t $ cos t - sin t
dt
- sin 2t + cos t
=
sin 2t - sin t
y(n) = n . (n–1)(n–2) … [n–(n–1)] . (ax + b)n–n . an
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
dy
dy
yn = n! . an dir.
d2 y
d dy
d - sin 2t + cos t
=
c m= c
m
2
dx
dx
dx
sin 2t - sin t
dx
=
=
=
d - sin 2t + cos t
f
p
dt sin 2t - sin t
dx
dt
^ sin 2t - sin th2 $ ^ sin 2t - sin th
t=
c - 2 $ cos 2 $
π
π
2
– sin
2
=
y'' = ex . (x+1) + ex . 1 = ex (x+2)
y''' = ex . (x+2) + ex .1 = ex(x+3)
.
.
.
y(n) = ex . (x+n) dir.
r
2
m $ c sin 2
c sin 2 $
=
y' = ex + xex = ex(x+1)
^ - 2 cos 2t - sin th $ ^ sin 2t - sin th - ^ - sin 2t + cos th $ ^ 2 cos 2t - cos th
dx2
=
Çözüm
2 sin t $ cos t - sin t
d2 y
=
11. y = x.ex ise y(n) nin eşitini bulalım.
d - sin 2t + cos t
f
p
dt sin 2t - sin t
π
- sin
2
π
2
π
2
- sin
m - c - sin 2
π
π 2
π
2
2
m $ c sin 2 $
+ cos
2
π
2
- sin
π
2
m $ c 2 cos 2 $
1 $ ^ - 1h - 0
1^ - 1h
-1
= 1 dir.
-1
- cos
π
2
m
m
^^ - 2h $ ^ - 1h - 1h $ ^ 0 - 1h - ^ 0 + 0h $ ^ 2. (–1) – 0h
^ 0 - 1h2 $ ^ 0 - 1h
π
2
12. y = xex ise, e–x f
d2 y
dx2
-
dy
p ifadesinin eşiti nedir?
dx
Çözüm
y = xex &
d2 y
dx2
dy
= yl = ex + x.ex = ex ^ x + 1h
dx
= ^ ylhl = ^ ex + x.exh ' = ^ exh ' + ^ x.exhl
= ex + yl = ex + ex + x.ex
= ex ^ x + 2h dir.
303
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
Öyleyse,
t
15. x = e
y = t4 + t
bulalım.
d2 y
dy
p = e- x 6 ex ^x + 2 h - ex ^x + 1 h@
e- x f 2 dx
dx
= e- x 6 ex ^x + 2 - x - 1 h@ = 1 bulunur.
13. x = 3. sin i
y = 5. cos i
4 ile verilen y = f(x) fonksiyonu için
d2 y
dx2
dy
dy
dt
4t3 + 1
=
=
dx
dx
et
dt
4 ile verilen y = f(x) fonksiyonu için
bulalım.
Çözüm
d2 y
dx
2
türevini
dyl
5
= - $ ^ 1 + tan2 ih
3
di
d2 y
dir.
dx2
=
et ^ 12t2 – 4t3 + 1h
e3t
= –e–2t(4t3 – 12t2 + 1)
dy'
5
- $ ^ 1 + tan2 ih
d2 y
di
3
=
=
2
dx
3. cos i
dx
di
5
1
=- $
9 cos 3 i
dyl 12t2 $ et - ^ 4t3 + 1h $ et
=
dt
^eth2
12t2 et - ^ 4t3 + 1het
dyl
d2 y
dt
e2t
=
=
2
dx
dx
et
dt
dy
dy
di
- 5 sin i
5
=
=
= - $ tan i ve
dx
dx
3
3 cos i
di
16. x = t2 + t
bulunur.
y = 3t3 + 4t
bulalım.
bulunur.
4 ile verilen y = f(x) fonksiyonu için
d3 y
dx3
Çözüm
2
14. x = t + 2t
y = t3 - 3t
bulalım.
4 ile verilen y = f(x) fonksiyonu için
Çözüm
dy
dy
dt
3t2 - 3
3
=
=
= ^ t - 1h
dx
dx
2t + 2
2
dt
dyl 3
=
dt
2
ve
dyl
3
dt
2
3
=
=
=
bulunur.
2
+
dx
2
t
2
t
4
^ + 1h
dx
dt
d2 y
304
türevini
Çözüm
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
d2 y
dx2
türevini
dy
dy
dt
9t 2 + 4
=
=
dx
dx
2t + 1
dt
2
dyl 18t $ ^2t + 1h - ^9t + 4h $ 2
18t2 + 18t - 8
=
=
dt
^2t + 1h2
^2t + 1h2
18t2 + 18t - 8
dyl
^2t + 1h2
d2 y
dt
18t2 + 18t - 8
=
=
=
tür.
2
dx
^2t + 1h
dx
^2t + 1h3
dt
Diğer taraftan,
dy m
dy m
d d2 y
dt
f
p=
=
=
3
2
dx
dx
dx
dx
dx
dt
d3 y
olup,
türevini
3
2
2
dy m ^36t + 18h $ ^2t + 1h - ^18t + 18t - 8h $ 3^2t + 1h $ 2
=
dt
^2t + 1h6
=
^2t + 1h2 6 18. (2t + 1) $ ^2t + 1h - ^18t2 + 18t - 8h $ 6 @
^2t + 1h6
dy m
d3 y
dy m
dt
=
=
3
dx
dx
dx
dt
18. f, 2. sıradan türevlenebilir bir fonksiyon, a ∈ R ve f'(a) ≠ 0 ise,
lim
x"a
fl ^ xh – fl ^ ah
f^ xh - f^ ah
Çözüm
lim
x"a
f'^ xh - f'^ ah
f^ xh - f^ ah
d3 y
dx
3
=–
x"a
f'' (a)
dır.
f' (a)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
dx3
x-a
f^ xh - f^ ah
= lim
=
^ 2t + 1h4
^ 2t + 1h
=
f'^ xh - f'^ ah
x-a
18 (2t + 1) 2 - ^ 108t2 + 108t - 48h
d3 y
ifadesinin eşiti nedir?
36t2 + 36t – 49
^ 2t + 1h5
bulunur.
19. f(x) = arctan3x ise, f'(0) kaçtır?
Çözüm
f (x) = arctan 3x & fl ^ xh =
17. x = sin t
y = cos t
bulalım.
Çözüm
4 ile verilen y = f(x) fonksiyonu için
d3 y
dx3
& fl ^ 0h =
türevini
=
dy
dy
- sin t
dt
=
=
= - tan t
yl =
cos t
dx
dx
dt
3x $ ln 3
1 + 32x
30 $ ln 3
1 + 32.0
ln 3
2
= ln 3
dyl
- ^1 + tan2 th
d y
dy m
dt
1
=
=
=
=2
cos t
dx
dx
cos3 t
dx
dt
bulunur.
2
dy m
dy m
d d2 y
dt
f
p=
=
=
3
2
dx
dx
dx
dx
dx
dt
d3 y
1
ise, f'(–1) kaçtır?
x
Çözüm
1
f^ xh = arctan & fl ^ xh =
x
dy m
3 sin t
= 3 $ cos- 4 t $ ^ - sin th = dt
cos4 t
- 3 sin t
dy m
d3 y
cos4 t
dt
3 sin t
=
=
=3
cos
dx
t
cos5 t
dx
dt
20. f(x) = arctan
1 l
f p
x
& f l ^ - 1h = -
1
x2
=
2
1
1
1+ 2
1+f p
x
x
fl ^ xh = -
bulunur.
-
1
1
=1+1
2
1
1 + x2
dir.
305
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
23. f(x) = 2arccotx
π
21. f(x) = arccot(1 + sin2x) ise, fl c m kaçtır?
4
Çözüm
f^ xh = 2arc cot x & fl ^ xh = ^ arc cot xhl $ 2arc cot x $ ln 2
Çözüm
f (x) = arc cot ^ 1 + sin2 xh & fl ^ xh = & f l ^ xh = –
& f l ^ xh = –
ise f' (–1) kaçtır?
^ 1 + sin xh '
2
1 + ^ 1 + sin2 xh
& f l ^ x h = f-
2 sin x $ cos x
& fl (–1) = > -
2
1 + ^ 1 + sin xh
2
2
& fl ^ –1h = -
sin 2x
1 + ^ 1 + sin2 xh
2
1
1 + x2
π
& fl c m = –
4
=–
sin c 2 $
π
m
4
1 + c 1 + sin2
p$ 2
1
1 + ^ –1h2
arc cot x
H$ 2
=-2
3π
-1
4
$ . ln 2
$ ln 2 bulunur.
1
1 + f1 +
2
1
p
2
24. f'(x) = x.arcsinx + 1 – x 2 ise, f'(–1) kaçtır?
Çözüm
f'(x) = 1.arcsinx + x.
1
–2x
+
1– x2 2 1– x2
f'(x) = arcsinx = f'(–1) = arcsin(–1) = –
π
dir.
2
π
olmak üzere,
2
y = arcsin
x
fonksiyonunun x = 1 noktasındaki türevinin
x2 +1
a2 – x2 + a Arc sin
25. f(x) =
değeri kaçtır?
bulunuz.
Çözüm
Çözüm
y = arcsin
x
x2 +1
f' (x) =
1. (x 2 + 1)
& y' = f' (x) =
– 2x.x
(x 2 + 1) 2
2
x
1– b 2
l
x +1
1. (1+ 1) – 2.1.1
(1+ 1) 2
=
& f' (1) =
1 2
1– b
l
1+ 1
306
arc cot^- 1h
π 2
m
4
1
4
tür.
=–
=–
13
13
4
22. 0 < y <
$ ln 2
1 3π
$ 2 4 $ ln 2
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
f' (x) =
0
4
1–
1
4
= 0 dır.
f' (x) =
a.
–2x
2 a2 – x2
–x
2
a –x
2
a–x
2
a –x
2
+
+
=
x
(a > 0) fonksiyonunun türevini
a
1
a
1–
x2
a2
1
2
a – x2
a
a – x. a – x
a–x
a+x
=
a–x
a+x
bulunur.
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
4. f: R+ → (–4 , +∞) , y = f(x) = x2 – 4 olduğuna göre,
1. f, g ve gof fonksiyonları türevlenebilir fonksiyonlardır.
f(3) = 4, f'(3) = 5 ve g'(4) = 2 olduğuna göre, (gof)'(3)
ifadesinin değeri kaçtır?
(f–1)'(x) fonksiyonunu bulunuz.
1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
2 x+4
10
2. f: R → R,
g: R → R,
y = f(x) = x3 – 2x
u = g(y) =
fonksiyonları veriliyor.
5. f: (–1, 7] → R, y = f(x) = x2 + 2x – 4 fonksiyonu veriliyor.
y3
(f–1)'(4) değerini bulunuz.
du
ifadesini bulunuz.
dx
1
6
3.(x3–2x)2.(3x2 –2)
3. f: R → R, f(x) = 4x – 5 olduğuna göre, f–1(x) ters fonksiyonunun türevini bulunuz.
6. f(x) = x3 + 4x2 – 2x + 1 fonksiyonunun 4. sıradan türevini
bulunuz.
1
–
4
0
307
7. y =
10. y = x10 ise y(10) türevini bulunuz.
1
fonksiyonunun n. sıradan türevini bulunuz.
x
^ - 1hn .n!
10!
xn + 1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
8. y = f(x) = xex fonksiyonu için f''(–2) değerini bulunuz.
11. y =
0
9. x = t3 + 4t
y = t3 - 4t
4 olduğuna göre, t = 1 için
d2 y
dx2
x 2 –1
fonksiyonu için y(5)(2) değeri kaçtır?
- 5! f
1
36
+ 1p
ikinci türevinin
12. y = 2.e2x fonksiyonu için y(10) türevini bulunuz.
değerini bulunuz.
48
343
308
2x
211.e2x
13. f(x) = arcsin3x olduğuna göre, f'(x) türev fonksiyonunu
bulunuz.
1
16. f(x) = earcsin2x olduğuna göre, fl f p değerini bulunuz.
4
3
π
4
1 - 9x2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
3
e6
17. f(x) = |x2 – 4| fonksiyonu için,
a) f'(1)
x
14. f ^x h = arccos
olduğuna göre, f'(x) türev fonksiyonunu
4
bulunuz.
b) f'(2)
c) f'(–3)
değerlerini bulunuz.
a) – 2
b) Yoktur
c) –6
1
-
4
1-
x2
16
18. f: R [–3 , 3] , f(x) = |3sinx| fonksiyonu için,
π
a) fl c m
3
15. f(x) = x . arctanx ise, f'(–1)değerini bulunuz.
b) f'(π)
c) fl f
7π
p
6
değerlerini bulunuz.
3
2
b) Yoktur
a)
-f
π+2
p
4
c)
3 3
2
309
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
TÜREVİN LİMİT HESABINDA KULLANILMASI
ETKİNLİK
L ‘HOSPİTAL KURALI
f(x) = etanx olduğuna göre,
f (x) – f a
lim
x"
r
4
x–
π
4
π
k
4
Limit problemlerinde birçok kez
Bu tür durumlarda LʼHospital kuralı kolaylık sağlar.
limitinin değerini bulalım.
f (x) – f a
lim
r
x"
4
π
x–
4
π
k
4
= f' a
f(x) =
& f'(x) =
f' (x) =
f ve g türevlenebilir fonksiyonlar olsunlar.
π
k
4
tür.
etanx
lim
x"a
lim
x"a
(tanx)'.etanx
1
.e tan x
cos 2 x
lim
x=
π
π
için f a k =
4
4
1
r
π
cos 2
.e tan 4
4
=
0
3
ya da
belirsizlikleriyle karşılaşılır.
0
3
f^ xh
g^ xh
f^ xh
fl ^x h
0
3
oluyorsa ve lim
limiti (sonlu ve sonsuz) varsa
ya da
0
3
x " a gl ^x h
=
fl ^ xh
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
1 .
e = 2e bulunur.
1 2
m
c
2
x"a
= lim
g^ xh
x"a
f'^ xh
g'^ xh
=
gl ^ xh
tir.
0
3
belirsizliği devam ediyorsa LʼHospital kuralı yine
ya da
0
3
uygulanır.
Eğer lim
x"a
fl ^x h
gl ^xh
limiti yoksa bu kural uygulanamaz.
1∞ , 00 , ∞0 BELİRSİZLİKLERİ
ETKİNLİK
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için
f(x + y) = f(x) + f(y) + xy ve
[f(x)][g(x)] biçimindeki ifadelerin limitleri bulunurken bu tür belirsizliklerle karşılaşılır.
Bu tür belirsizlikleri kaldırmak için x = elnx eşitliğinden yararlanılır.
Yani [f(x)]g(x) = elnf(x)g(x) = eg(x)ln[f(x)] ve
f (h)
=3
lim
h"0 h
olduğuna göre, f'(1)'i bulunuz.
lim 6 f^ xh@g^xh = lim eg (x) ,nf (x)
x"a
x$a
,nf (x)
= lim e
1
g (x)
x$a
Bu son limitte
310
olur.
0
3
veya
belirsizliği vardır.
0
3
1.
3x15 + 2x10 + 1
lim
x
x "-1
10
-1
limitinin değeri nedir?
4.
1 - cos ax
lim
limitinin değeri nedir?
x2
x"0
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
Çözüm
Çözüm
x = 0 için
x = –1 yazılırsa
3 $ ^–1 h15 + 2 $ ^- 1 h10 + 1
^- 1h10 - 1
=
0
-3 + 3
= olur.
1-1
0
lim
x
x "-1
10
-1
=
=
= lim
45x14 + 20x9
x2 – x
x2 - 1
x"1
lim
n
lim
x"a
lim
0
belirsizliği var. LʼHospital Kuralına göre,
0
1 - 3x
= lim
lim
x " a n.xn - 1
=
e- x + x + 1
x2
x"3
1 1-n
x n
n
1-n
-n+1
n
1 n 1-n2
a
2$
n
olur.
limitinin değeri nedir?
Çözüm
lim
1 + 3x
1 - 3x
3
belirsizliği vardır. Kurala göre,
3
x " 3 için
3
x " 3 için
belirsizliği vardır. Kural gereğince,
3
lim
a
1-n2
n
limitinin değeri nedir?
Çözüm
x"3
x-
n
xn - an
1
= 2 $a
n
2 –
2
x 3
x2 – 1
3
3
1
olur.
= lim
=
=
2
2
x
2
3
x"1
x –1
1 + 3x
x"3
0
belirsizliği vardır. Kurala göre
0
1 a n
1
= 2 $ n-1 = 2 $ a
n a
n
6.
3.
limitinin değeri nedir?
xn - an
x = a için
1
x"1
x"a
x -n a
1-n
x = 1 için
3
lim
limitini hesaplayınız.
Çözüm
a $ sin ax
a
sin ax
= . lim
2x
2 x"0 x
Çözüm
45 - 20
25
5
olur.
=
=2
- 10
–10
lim
x"0
a.
sin ax
a
a2
lim
dir.
$a = $1$a =
2 x " 0 ax
2
2
n
5.
9
10 $ ^- 1 h9
= lim
10x9
45 $ ^–1 h + 20. ^- 1 h
3
2.
=
x "-1
14
x2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
3x15 + 2x10 + 1
lim
1 - cos ax
x"0
LʼHospital kuralı uygulanırsa
0
belirsizliği vardır. Kurala göre,
0
= lim
x"3
3x $ ln 3
- 3x $ ln 3
= - 1 bulunur.
x"3
=
e- x + x + 1
x
2
= lim
x"3
- e- x + 1
2x
1
= 0 d›r.
3
311
7.
π
- arctan x
2
limitinin değeri nedir?
lim
1
x"3
x
10. lim x. sin
x"3
m
limitinin değeri 2 ise, m kaçtır?
x
Çözüm
x " 3 için 3 . sin
Çözüm
x " 3 için
0
belirsizliği vardır. Buna göre,
0
1
π
–
- arctan x
2
1 + x2
= lim
lim
1
1
x"3
x"3
- 2
x
x
m
lim x. sin = lim
x
x"3
x"3
= lim
x2
x"3
lim
x"0
1+x
2
= 1 bulunur.
lim
Çözüm
x"3
x"0
x"0
için
0
0
h"0
x"0
a
dir.
b
arcsin 4x
limitinin değeri nedir?
arcsin 8x
y"x
x=0
için
0
belirsizliği vardır.
0
x"3
m
x
x2
3x + h – 3x
limitinin değeri nedir?
h
3x + h – 3x
= f' (x)
h
dir.
y3 – x3
limitinin değeri nedir?
y2 – x2
arcsin 4x
= lim
arcsin 8x x " 0
lim
y"x
y3 – x3 0
=
y2 – x2 0
dır.
Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım.
4
1 - 16x
4
1
dir.
= =
8
8
2
2
1 - 64x2
312
= lim m. cos
Çözüm
Çözüm
lim
1
f(x) = 3x & f'(x) = 3x. ,n3 olur.
12. lim
x"0
-
m
x
Çözüm
h"0
lim
$ cos
& m.1 = 2 & m = 2 dir.
lim
9.
0
biçimine dönüşür.
0
belirsizliği vardır. Kurala göre,
ax - bx
ax $ ln a - bx ln b
= lim
x
1
x"0
= ln a - ln b = ln
yazılırsa
= m. cos 0 = 2
11. lim
lim
x
2
ax - bx
limitinin değeri nedir?
x
(a > 0, b > 0)
m
x
1
x
sin
O halde,
-m
8.
m
= 3 . sin 0 = 3. 0 belirsizliği vardır.
3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
lim
y"x
(y – x) (y 2 + xy + x 2) x 2 + x 2 + x 2 3
=
= x bulunur.
x+x
2
(y – x) (y + x)
11. lim c
x"3
x x
m limitinin değeri kaçtır?
1+x
Çözüm
,n
x
lim c
m =e
x $ 3 1+ x
1
13. lim f
x"a
lim
x$3
x
lim
sin x
= 1 ve
sin a
lim
1
1
= = 3 olup
x-a
0
x"a
1+x
1
x
x"a
0
e0
sin x x - a
limitinin değeri kaçtır?
p
sin a
Çözüm
1 ∞ belirsizliği vardır.
x
olduğundan LʼHospital Kuralı uygulanırsa;
1
lim
^1 + xh2
lim
=e
x"3
$ ^–x2h $
–x
1+x
= e- 1
lim
sin x x - a
x"a
lim f
=e
p
x " a sin a
^ 1 + xh
x
lim
bulunur.
1
= e x " a sin a
1
= e sin a
1
1 sin x
>
- 1H
x - a sin a
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
1.^1 + xh–x.1
= ex " 3
12.
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
$>
sin x - sin a
$ lim $ >
x-a
H
sin x - sin a
x-a
x"a
H
olur.
lim x 1 + x limitinin değeri kaçtır?
x$3
Çözüm
lim
x"a
sin x - sin a
= cos a oldu€undan
x-a
∞0 belirsizliği vardır.
1
lim x
1+x
x$3
= e
,nx
lim
x "3 1 + x
limitinde
,n3
3
=
olduğundan
3
3
1
cos a
sin x x - a
lim f
= e sin a = ecot a d›r.
p
x " a sin a
LʼHospital kuralı uygulanırsa;
1
lim
e
x
x"3
1
= e0 = 1 dir.
UYARI
1
2x - 1 x - 1
14. lim f
limitinin değeri kaçtır?
p
x " 1 4x - 3
lim 6 f^ xh@g^xh ifade sinde lim f (x) = 1,
x"a
x"a
Çözüm
lim
2x - 1
2.1 - 1
=
=1
4x - 3
4.1 - 3
lim
1
1
= =3
x-1
0
x"1
lim g^ xh = 3 ise
x"a
x"1
lim 6 f^ xh@g^xh = lim " 1 + 6 f^ xh - 1 @,g^xh
x"a
x"a
olduğundan 1∞ belirsizliği vardır.
1
(f (x)–1).g (x)
lim '6 1 + ^ f^ xhh@ f^xh - 1 1
1
x"a
=e
lim g^xh.6 f^xh - 1 @
x"a
1 2 - 2x
lim x - 1 $f 4x - 3 p
=e
x$1
=e
x$1
lim -
dir.
1
2x - 1
$>
- 1H
lim
2x - 1 x - 1
x - 1 4x - 3
lim f
= ex "1
p
x " 1 4x - 3
=e
1 2^1 - xh
lim x - 1 $ 4x - 3
x$1
2
4x - 3
=e
–2
dir.
313
1. lim
x"1
x4 - 2x + 1
= k ise, k ∈ R sayısı kaçtır?
x-1
4. lim
x"0
e3x - cos x
limitinin değeri kaçtır?
x
3
2
2. lim f
x"2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
1
1
- 2
p limitinin değeri kaçtır?
x-2 x -4
5.
lim
x$0
cos xy – 1
x2 y2
limitinin değeri kaçtır?
∞
3.
lim
x"
π
1 - sin x
limitinin değeri kaçtır?
1 + cos 2x
6.
2
1
4
314
lim fx2 . sin
x"3
1
x2
1
––
2
p limitinin değeri kaçtır?
1
7. lim
x"0
sin2 x - x2
limitinin değeri kaçtır?
cos x - 1
a2 - 3a + 5
10. lim
2 - a2
x"3
= m ve m2 + 2mt - t2 = 0
eşitliklerini
sağlayan m ve t değerleri için t – m farkı kaçtır?
6.
lim
x"
sin ^π. sin x h
π
sin 2x
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
0
11. lim
limitinin değeri kaçtır?
x"0
2
tan x - x
limitinin değeri kaçtır?
x – sin x
2
0
9.
lim f
x"3
e x - e –x
ex + e- x
12. lim ^ sec i - tan ih limitinin değeri kaçtır?
p limitinin değeri kaçtır?
i$
1
π
2
0
315
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
13. x ! 6 0, π @ için lim
a"x
sin a - sin x
1
ise, x kaçtır?
=
x-a
2
16.
1
lim ^ 1 + sin xhx
limitinin değeri kaçtır?
x"0
2π
3
e
14. lim
i"
π
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
cos i - sin i + 1
limitinin değeri kaçtır?
cot i
2
17. lim
x$3
x121
ex
limitinin değeri kaçtır?
1
15. lim f
x"3
2x + 2
x-2
p
x+1
limitinin değeri kaçtır?
18. lim >
x$0
0
1
1
H limitinin değeri kaçtır?
x ex - 1
1
e6
316
1
2
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI
ETKİNLİK
D ⊂ R ve x0 ∈ D olmak üzere;
1) y =
x2
eğrisine, x = 2 apsisli noktasından
f: D → R, y = f(x) fonksiyonu x0 noktasında türevli olsun.
çizilen teğetin denklemini bulunuz.
y
Normalin denklemini bulunuz.
N
f(x)
f
1
α
β
f(x0) M
f(x0)
x–x0 H
x0
x
x
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
T
Te€et
f(x)–f(x0)
f fonksiyonunun grafiği üzerinde M(x0, f(x0)) ve N(x, f(x)) noktalarını alalım.
2) y = sinx eğrisine
r
a) x =
apsisli noktasından çizilen teğet ve
6
normalin denklemini
MN doğrusunun eğimi,
f (x) – f (x )
%
m MN = tan b = tan _ NMH i = x – x 0
0
d›r.
(x → x0 yaklaşırken) N noktası M noktasına β açısı α açısına ve MN doğrusu
MT teğetine yaklaşır.
O halde NT teğeri x → x0 için MN kirişinin limit durumu olup MT teğetinin eğimi,
MN doğrusunun eğiminin x → x0 için limitidir. Öyleyse MT teğetinin eğimi
m te€et = tan a = lim tan b = lim
x " x0
x " x0
f (x) – f (x 0)
olur.
x – x0
SONUÇ
b)
r
apsisli noktasından çizilen teğet ve
2
normalin denklemini yazınız.
x=
x0 noktasında türevli f fonksiyonunun M(x0, f(x0))
noktasındaki teğetinin eğimi, fonksiyonunun x0
noktasındaki türevine eşittir. Yani mt = f'(x0) dır.
ÖRNEK
f (x) =
x
fonksiyonunun x = 0 noktasındaki teğetinin eğim açısı kaç derecedir?
x2 – 1
3) y = cosx ve y = sinx eğrileri kaç derecelik
açı altında kesişirler?
ÇÖZÜM
f' (x) =
=
(x) ' (x 2 – 1) – x (x 2 – 1) '
( x 2 – 1) 2
x 2 – 1 – x. (2x)
1+ x2
=– 2
(x 2 – 1) 2
(x – 1) 2
f' (0) = –
1+ 0
olup tanα = –1 & α = 135° tir.
(0 – 1) 2
317
ÖRNEK
ÇÖZÜM
1
f(x) = x3 – x2 + 2x fonksiyonu veriliyor. f' fonksiyonunun x =
3
noktasındaki teğetinin eğimi nedir?
F(x, y) = xy + x – x2y2 – 1 ise
F (x, y)
y + 1 – 2xy 2
dy
=– x
=–
dx
Fy (x, y)
x – 2x 2 y
ÇÖZÜM
fʼ(x) = 3x2 – 2x + 2
1
f" ( ) tür.
3
1
olup f' nün x = noktasındaki teğetinin eğimi
3
dy
1 + 1 – 2.1.1
0
(1, 1) = –
&m=
dir.
1 – 2.1.1
–1
dx
O halde teğetin denklemi
1
1
f"(x) = 6x – 2 & f" ( ) = 6. –2 = 0
3
3
olur.
y – 1 = m(x – 1) & y – 1 = 0(x – 1) & y = 1
dir.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
UYARI
f fonksiyonu x0 noktasında sürekli değilse bu noktada
TEĞET DENKLEMİ
teğetten söz edilemez. Ancak, f nin sürekli olması teğe-
y = f(x) fonksiyonunun M(x0, f(x0)) noktasındaki teğetinin
denklemi
y – f(x0) = f'(x0).(x – x0)
dır.
tin varlığını garanti etmez.
NORMAL DENKLEMİ
y = f(x) fonksiyonunun M(x0, f(x0)) noktasındaki normal doğru1
sunun eğimi M N = –
dır.
f' (x 0)
ÖRNEK
O halde M(x0, f(x0)) noktasındaki normalinin denklemi
f(x) =
x2
– 2x + 3 eğrisinin x = 2 noktasındaki teğetinin denklemi
y – f (x 0) =
nedir?
ÇÖZÜM
f(x) = x2 – 2x + 3 ise f'(x) = 2x – 2
f'(2) = 2.2 – 2 = 2 dir.
f(2) =
22
– 2.2 + 3 = 3 olup teğet denklemi
y – f(2) = f'(2).(x – 2) & y – 3 = 2.(x – 2)
–1 .
( x – x 0)
f' (x 0)
dır.
ÖRNEK
y = kx3 eğrisinin x0 = 1 apsisli noktasındaki normali y = 6x + 5
doğrusuna paralel olduğuna göre, k kaçtır?
ÇÖZÜM
y = 2x – 4 + 3 & y = 2x – 1 dir.
y = 6x + 5 doğrusunun eğimi 6 dır. Normal ile bu doğru paralel
olduklarından eğimleri eşittir.
ÖRNEK
xy + x = x2y2 + 1 eğrisinin M(1, 1) noktasındaki teğet denklemi
nedir?
318
1
1
=–
Normalin eğimi mN = 6 ve teğetin eğimi mT = –
mN
6
y' = 3kx2 ve mT = y'(1) = 3k dır.
Buradan 3k = –
1
1
& k=–
6
18
bulunur.
dır.
1.
eğimi kaçtır?
r
x
fonksiyonunun grafiğine x =
apsisli noktasın2
sin x
dan çizilen teğetin eğim açısı kaç derecedir?
Çözüm
Çözüm
f(x) = sinx eğrisinin x =
f(x) = sinx eğrisinin x =
r
3
r
3
apsisli noktasındaki teğetinin
4.
apsisli noktasındaki teğetinin
f (x) =
f (x) =
x
1. sin x – x. cos x
& f' (x) =
sin x
sin 2 x
r
eğimi f' ( ) tür.
3
r r
r
r sin 2 – 2 . cos 2
tan a = f' ( ) =
r
2
sin 2
2
f(x) = sinx & f'(x) = cosx ve
r
r 1
dir.
f' ( ) = cos =
3
3 2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
tanα = 1 & α = 45° dir.
5.
2.
Çözüm
α
A(1, 2)
0
x
–3
Şekilde y = f(x) eğrisinin A(1, 2) noktasındaki teğeti veriliyor.
f'(–1) soruluyor.
f (x) =
y=f(x)
y
x 2 + 2x
fonksiyonunun grafiğine x = –1 apsisli nokx+3
tada çizilen teğetin eğimi kaçtır?
f (x) =
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
g (x) =
(2x + 2) (x + 3) – 1. (x 2 + 2x)
x 2 + 2x
& f' ( x ) =
x+3
(x + 3) 2
f' (–1) =
f' (–1) =
– [(–1) 2
(2. (–1) + 2) (–1 + 3)
(–1 + 3) 2
1
4
x
+ f 2 (x)
f (x)
şeklinde tanımlanan g fonksiyonu için,
g'(1) değeri kaçtır?
+ 2. (–1)]
bulunur.
Çözüm
g fonksiyonunun x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi
soruluyor.
g (x) =
x
+ f 2 (x)
f (x)
& g' (x) =
1.f (x) – x.f' (x)
+ 2.f (x) .f' (x)
f 2 (x)
x = 1 yazılırsa
g' (1) =
3.
f(x) =
fonksiyonunun grafiğine x = π apsisli noktasından çizilen teğetin x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı
α ise, tanα kaçtır?
x2.cosx
f(x) =
x2.cosx
Şekilden f(1) = 2 , f'(1) = tanα =
2
1
=
olup yerlerine
3+1 2
yazılırsa
Çözüm
tanα = f'(π)
f (1) – f' (1)
+ 2.f (1) . f' (1)
f 2 (1)
y=f(x)
y
dir.
& f'(x) = 2x.cosx + x2.(–sinx)
f'(π) = 2π.cosπ – π2.sinπ
= 2π(–1) – π2.0
= –2π
bulunur.
1
2–
2 + 2.2. 1
g' (1) =
2
22
=
A(1, 2)
3
19
+2=
8
8
bulunur.
2
α
0
x
–3 1
4
319
6.
f(x) = x3 + kx2 + 3x + 6 fonksiyonu veriliyor. f'(x) fonksiyonunun grafiğine x = –1 apsisli noktasından çizilen teğetin
eğimi –3 olduğuna göre, k reel sayısı kaçtır?
Teğetin eğimi sıfırdır.
Teğetin denklemi:
y – f(x0) = f'(x0) (x – x0)
Çözüm
y – (–3) = 0.(x – (–2))
f(x) = x3 + kx2 + 3x + 6 fonksiyonu verilmiş. f'(x) in grafiğine
x = –1 apsisli noktasından çizilen teğetin eğimi –3 olduğuna
göre,
y = –3 tür.
f'(–2) = 0 olduğundan bulunan teğetin x eksenine paralel
olduğuna dikkat ediniz.
f''(–1) = –3 tür. O halde
f'(x) = 3x2 + 2kx + 3
f''(x) = 6x + 2k
9.
f"(–1) = 6.(–1) + 2k = –3 & 2k = 6 – 3
y
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
k=
3
2
3
bulunur.
A
y=f(x)
0
2
x
g(x) = x+k
7.
y
Şekilde y = f(x) ile f ye A(2, 3) noktasında teğet olan
g(x) = x + k doğrusu veriliyor.
A
150°
O
y=f(x)
2
x
h(x) = 2.f2(x).g(x)
şeklinde tanımlı h fonksiyonuna x = 2 apsisli noktadan
çizilen teğetin denklemi nedir?
Çözüm
Şekilde grafiği verilen y = f(x) fonksiyonuna üzerindeki A(2, y)
noktasından çizilen teğeti x ekseni ile 150° lik açı yaptığına
göre, teğetin eğimi kaçtır?
Çözüm
g(2) = 3 & 2 + k = 3 & k = 1 dir.
h(x) = 2.f2(x).g(x)
Teğetin x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı
180° – 150° = 30° dir.
Teğetin eğimi tan30° =
A(2, 3) noktası g(x) = x + k doğrusu üzerinde olduğundan
= 2f2(x).(x + 1)
h'(x) = 2.2.f(x).f'(x).(x + 1) + 2.f2(x).1
3
olur.
3
h'(2) = 4.f(2).f'(2).(2 + 1) + 2.f2(2)
g(x) = x + 1 ve f(x) in A noktasındaki teğeti g(x) olduğundan
f'(2) = 1 dir. (g(x) = x + 1 in eğimi 1 dir.)
8.
f(x) = x2 + 4x + 1 fonksiyonuna x = –2 apsisli noktasından
çizilen teğetinin denklemi nedir?
Şekilden f(2) = 3 olup yerine yazılırsa
h'(2) = 4.3.1.3 + 2.32 = 54
Çözüm
f(–2) = (–2)2 + 4.(–2) + 1 = –3 olup,
A(–2, –3) noktasından çizilen teğetin denklemi isteniyor.
Teğetin eğimi = f'(–2) dir.
f(x) = x2 + 4x + 1 & f'(x) = 2x + 4
x = –2 & f'(–2) = 2.(–2) + 4 = 0 dır.
320
h(2) = 2.f2(2).g(2) = 2.32.3 = 54 olup
h(x) fonksiyonunun x = 2 apsisli noktasındaki teğetinin
denklemi
y – h(2) = h'(2).(x – 2)
y – 54 = 54.(x – 2)
y = 54x – 54 bulunur.
10. f: R – {–2} → R
f (x) =
12. f(x) = x3 – 12x + 1 eğrisinin hangi noktalarındaki teğetleri
x 2 + mx – 3
fonksiyonunun, apsisi x0 = 1 olan noktax+2
sındaki teğeti, denklemi 2x – 3y – 1 = 0 olan doğruya paralel ise, m kaçtır?
Çözüm
2x – 3y – 1 = 0 doğrusunun eğimi m d =
Çözüm
İstenen noktanın apsisi x0 olsun.
Paralel doğruların eğimleri eşit olacağından istenen teğetlerin eğimi 15 olmalıdır.
O halde f'(x0) = 15
2
tür.
3
Bu doğruya paralel olan teğetin eğimi de m t =
y = 13x + 2 doğrusuna paraleldir?
eşitliğini sağlayan x0 değerlerini bulmalıyız.
2
olur.
3
f(x) = x3 – 12x + 1 & f'(x) = 3x2 – 12
& f'(x0) = 3 x 20 – 12
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
(Paralel doğruların eğimleri eşittir.)
Teğetin eğimi o noktadaki türevin değeri olduğundan
f' (x) =
(2x + m) (x + 2) – (x 2 + mx – 3) .1
(x + 2) 2
f' (1) =
(2 + m) (1 + 2) – (1 + m – 3)
(1 + 2) 2
=
6 + 3m – m + 2 2
=
9
3
2m + 8 2
=
9
3
& 6m + 24 = 18
& 6m = –6
& m = –1 dir.
& 15 = 3x 20 – 12
& 3x 20 = 27 & x 20 = 9
& x 0 = 3 veya x 0 = –3 olur.
x0 = 3 & f(x0) = f(3) = 33 – 12.3 + 1 = –8
x0 = –3 & f(x0) = f(–3) = (–3)3 – 12.(–3) + 1 = 10
olup istenen noktalar (3, –8) ve (–3, 10) dur.
13. f(x) = x2 + 4 eğrisinin orijinden geçen teğetlerinin denklemlerini bulunuz.
Çözüm
y
y=f(x)
f(x) = x2 + 4
eğrisinin orijinden geçen
teğetleri eğriye T1 ve T2
noktalarında teğet olsun.
11. f(x) = x2 + 6x + 3 eğrisinin hangi noktasındaki teğeti
T2
T1
4
x
0
T1(x0, x 20 + 4) ise
y = 8x + 4 doğrusuna paraleldir?
T2(–x0, (–x0)2 + 4) = T2(–x0, x 20 + 4) olur.
Çözüm
T1 noktasındaki teğetin eğimi f'(x0) olduğundan
İstenen noktanın apsisi x0 olsun.
Paralel doğruların eğimleri eşit olacağından istenen teğetin
eğimi 8 olmalıdır. (y = mx + n doğrusunun eğimi m dir.)
f(x) = x2 + 4 & f'(x) = 2x
O halde f'(x0) = 8 denklemini sağlayan x0 değeri isteniyor.
f(x) = x2 + 6x + 3
f'(x) = 2x + 6 & f'(x0) = 2x0 + 6
8 = 2x + 6
x0 = 1
olup x0 = 1 için f(x0) = 1 + 6 + 3 = 10 olur.
O halde istenen nokta (1, 10) olur.
& f'(x0) = 2x0 dır.
T1 noktasındaki teğetin denklemi
y – f(x0) = f'(x0) (x – x0)
y – ( x 20 + 4) = 2x0.(x – x0)
y = – x 20 + 2x0.x + 4
olup T1 teğeti O(0, 0) noktasından geçtiğinden
x = 0 ve y = 0 yazılırsa
321
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
x = 2 ve y = 3 yazılırsa
0 = – x 20 + 2.x0 . 0 + 4
3 = – x 20 + 2x0.2
x 20 = 4 & x0 = 2 veya x0 = –2
bulunur.
x 20 – 4x0 + 3 = 0 & x0 = 1 veya x0 = 3 olur.
x0 = 2 & f(x0) = f(2) = 22 + 4 = 8 & T1(2, 8)
x0 = 1 & f(x0) = 12 & T2(1, 1)
x0 = –2 & f(x0) = f(–2) = (–2)2 + 4 = 8 & T2(–2, 8)
x0 = 3 & f(x0) = 32 & T1(3, 9)
dir.
bulunur.
T1 noktasındaki teğetin eğimi m T = 2x 0 = 2.2 = 4
1
T1 noktasındaki teğetin denklemi
y – f(2) = m T . (x – 2)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
1
y – 8 = 4(x – 2)
y = 4x
T2 noktasındaki teğetin eğimi m T = 2x 0 = 2. (–2) = –4
15. f(x) = ex eğrisinin orijinden
geçen teğetinin denklemini
bulunuz.
2
T2 noktasındaki teğetin denklemi
y – f(–2) = m T [x – (–2)]
Çözüm
2
bulunur.
T(x0,ex0)
ex0
1
y=f(x)
f(x) = ex fonksiyonunun
eğrisine x0 apsisli noktadan
çizilen teğeti orijinden geçsin.
y – 8 = –4(x + 2)
y = –4x
y
0
x0
x
T(x0, e x 0 ) dır.
f(x) = ex & f'(x) = ex
x2
14. f(x) =
eğrisine A(2, 3)
noktasından çizilen teğetlerin değme noktalarını bulunuz.
y
& f'(x0) = e x 0
y=x2
dır. Teğetin eğimi mT = f'(x0) = e x 0 dır.
T1
Çözüm
T2
f(x) = x2 eğrisine A(2, 3)
noktasından çizilen teğetlerin değme noktaları T1 ve T2
olsun. T1 ve T2 nin koordinatları isteniyor.
T(x0, e x 0 ) noktasındaki teğetin denklemi
A(2,3)
x
0
İstenen noktanın apsisi x0 olsun.
T1(x0, x 20 ) dir. f(x) = x2 & f'(x) = 2x olduğundan
T1 noktasındaki teğetin eğimi m T = 2x 0 dır.
1
T1 noktasındaki teğetin denklemi
y – f(x0) = f'(x0).(x – x0)
y – x 20 = 2x0.(x – x0)
y = – x 20 + 2x0.x
olup T1 den geçen teğet A(2, 3) noktasından da geçtiğinden
322
y – f(x0) = f'(x0).(x – x0)
y – e x 0 = e x 0 (x – x0) ... (✭)
ve teğet orijinden geçtiğinden x = 0 ve y = 0 değerleri (✭)
da yerine yazılırsa
0 – e x 0 = e x 0 (0 – x0)
– e x 0 = – e x 0 .x0
e x 0 ≠ 0 olduğundan x0 = 1 dir. O halde
Teğetin değme noktası T(1, e)
Teğetin eğimi mT = e olup
istenen denklem
y – e = e(x – 1)
y = e.x
bulunur.
16. f(x) = ax2 + 3x – b eğrisi x = 1 noktasında x– eksenine teğet
ise (a, b) ikilisi nedir?
18. x2 + y2 = 4 çemberine A(–1, – 3 ) noktasından çizilen
normalin denklemini bulunuz.
Çözüm
Çözüm
Eğri x = 1 noktasında x– eksenine teğet ise fonksiyonun bu
noktadaki teğetinin eğimi sıfırdır. Çünkü x– ekseni üzerindeki
bir noktanın ordinatı ve x– ekseninin eğimi sıfırdır.
F(x, y) = x2 + y2 – 4 diyelim.
O halde
f(1) = 0 ve f'(1) = 0 olacağından
f(1) = a.12 + 3 – b = 0
F'(x, y) = –
Fx
2x
x
=–
= – y ... (✭)
2y
Fy
m T = F' (–1, – 3 )
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
f'(x) = 2ax + 3 & f'(1) = 2a.1 + 3 = 0
& 2a = –3 & a = –
=–
3
... (2)
2
3
yazılırsa
2
3
3 3
– b = –3 & b = 3– =
ve
2
2 2
3 3
(a, b) = b – , l olur.
2 2
–
Fy = 2y olduğundan
olup teğetin eğimi
& a – b = –3 ... (1)
(1) de a = –
Fx = 2x
–1
1
olur.
=–
– 3
3
1
Normalin eğimi m N = – m = –
T
=–
–
1
F' (–1, – 3 )
1
= 3 olur.
1
3
O halde normalin denklemi
y + 3 = m N (x + 1)
y + 3 = 3 (x + 1)
y = 3 x bulunur.
17. f(x) = x2 + 4x + 3 eğrisine x = 1 apsisli noktada çizilen
normalin denklemini bulunuz.
Çözüm
Teğetin eğimi mT ve normalin eğimi mN ise, mT.mN = –1
dir.
f(x) =
x2
+ 4x + 3 & f'(x) = 2x + 4 ve
19. f(x) = x3 – 11x + 1 eğrisinin y = 1 – x doğrusuna dik teğetlerinin denklemleri nedir?
Çözüm
d: y = 1 – x olsun. f(x) = x3 – 11x + 1 ise
f'(x) = 3x2 – 11 olup P(x, y) noktasındaki teğetinin eğimi
1
mp = 3x2 – 11 ve diklik koşulundan m p = – m
dir.
d
1
= 1 dir.
–1
x = 1 apsisli noktadaki teğetin eğimi
d: y = 1 – x olduğundan md = –1 ve m p = –
mT = f'(1) = 2.1 + 4 = 6 olup
O halde 3x2 – 11 = 1 & 3x2 = 12 & x2 = 4 & x1 = 2,
1
6.mN = –1 & mN = –
dır.
6
x2 = –2 dir. x = 2 için f(2) = 23 – 11.2 + 1 = –13 ve mp = 1
f(1) = 12 + 4.1 + 3 = 8 olup
olduğundan
normalin denklemi
1. teğet denklemi:
1
y – f(1) = – m . (x – 1)
T
1
y – 8 = – (x – 1)
6
1
y = – (x – 49) bulunur.
6
y – (–13) = 1.(x – 2) & y = x – 15
x = –2 için f(–2) = (–2)3 – 11.(–2) + 1 = 15
ve mp = 1 olduğundan
2. teğet denklemi:
y – 15 = 1.(x – (–2)) & y = x + 17 bulunur.
323
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
ax + b
eğrisinin x = x0 noktasındaki teğeti x eksenine
x +1
paralel ise, a ile b arasında hangi bağıntı vardır?
20. f (x) =
f'(x) = –2x + a ve f'(1) = –2 + a = m1
f'(0) = a = m2 olur. tanα =
Çözüm
x = x0 noktasındaki teğetin x– eksenine paralel olması için
eğimi sıfır olmalıdır.
a (x + 1) – (ax + b)
ax + b
f (x) =
& f' (x) =
x +1
(x + 1) 2
=
a–b
=0
(x + 1) 2
ise a – b = 0 & a = b olur.
tanα =
m1 – m2
olup
1 + m 1 .m 2
a–2–a
1
ise
=–
2
1 + (a – 2) .a
1 + a2 – 2a = 4 & a2 – 2a – 3 = 0
(a – 3).(a + 1) = 0 & a1 = 3, a2 = –1 dir.
tanα =
m2 – m1
1
=–
eşitliğini sağlayan a reel sayısı
1+ m 2 . m 1
2
yoktur.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
21. f(x) = x3 + bx2 + cx – 1 fonksiyonuna x = –1 noktasında
y = x + 1 teğeti çiziliyor. (1, 2) ∈ f ise, b kaçtır?
Çözüm
Eğrinin x = –1 noktasındaki teğeti y = x + 1 ise y = x + 1
doğrusunun eğimi ile fonksiyonun x = –1 noktasındaki türevinin değeri eşittir.
23. f(x) = x3 + 4x2 – 6x + 1 fonksiyonunun x = 1 noktasındaki
normal doğrusunun denklemi nedir?
Çözüm
f(x) = x3 + 4x2 – 6x + 1 ise f'(x) = 3x2 + 8x – 6 dır.
f'(1) = 3.12 + 8.1 – 6 = 11 – 6 = 5
d: y = x + 1 ise md = 1 dir.
f(1) = 1 + 4 – 6 + 1 = 0 dır.
f'(x) = 3x2 + 2bx + c ise
O halde normalin denklemi
f'(–1) =
3.(–1)2
+ 2.b.(–1) + c = 1
c – 2b = –2 ... (1)
ve (1, 2) ∈ f ise f(1) = 2 olur.
f(1) = 1 + b + c – 1 = 2 ise
y – f (1) = –
y – 0= –
1
. (x – 1)
f' (1)
(x – 1)
1
(x – 1) & y = –
tir.
5
5
b + c = 2 ... (2) dir.
(1) ve (2) den 3b = –4 & b = –
4
bulunur.
3
UYARI
y = f(x) fonksiyonunun x1 noktasındaki teğetinin eğimi m1,
x2 noktasındaki teğetinin eğimi m2 ve bu teğetler arasındaki
m1 – m2
açılardan biri α ise, tan a =
dir.
1 + m 1 .m 2
24. Denklemi x2 + xy + y2 = 1 olan eğrinin M(–1, 1) noktasındaki normal doğrusunun denklemi nedir?
Çözüm
F(x, y) = x2 + xy + y2 – 1
y' =
22. f(x) = –x2 + ax + 2 eğrisinin x1 = 1 ve x2 = 0 apsisli nokta1
lardaki teğetlerinin oluşturduğu açının tanjantı – ise,
2
a kaçtır?
Çözüm
f(x) = –x2 + ax + 2 eğrisinin x1 = 1 ve x2 = 0 noktalarındaki
teğetlerinin eğimi bu noktalarda türev fonksiyonunun aldığı değerdir.
324
olsun.
Fx (x, y)
dy
2x + y
=–
=–
dx
Fy (x, y)
x + 2y
dy
2 (–1) + 1
–1
(–1, 1) = –
=–
& MN = 1
dx
–1+ 2.1
1
Normal denklemi y – 1 = –
1
(x – (–1))
MN
1
y – 1= – (x + 1) ve y – 1= –x – 1& y = –x
1
tir.
1.
f(x) = x2 + 3x + 2 eğrisine x = –2 apsisli noktasından
çizilen teğetin eğimini bulunuz.
5.
f (x) =
x
x +1
fonksiyonunun grafiğine
x = –2 apsisli
noktasından çizilen teğetin denklemi nedir?
–1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
2.
y = x+4
f(x) = x3 + 4x2 + 3x – 1 eğrisine x = –1 apsisli
6.
f(x) = , nx eğrisinin orijinden geçen teğetinin denklemini
bulunuz.
noktasından çizilen teğetin eğimi kaçtır?
y=
x
e
–2
3.
f(x) = x2 – 4 eğrisine apsisi 3 olan noktasından çizilen
teğetin denklemi nedir?
7.
y = e–x + 1 eğrisinin x = 1 apsisli noktasındaki teğetinin
denklemini bulunuz.
y=
1
(–x + 2) + 1
e
y=6x–13
4.
f(x) = x2 eğrisine x = 2 apsisli noktasından çizilen
teğetin y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
–4
8.
1
y = x eğrisine x = –1 apsisli noktasından çizilen teğetin
denklemini bulunuz.
y = –x – 2
325
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
9.
f(x) = x2 , nx eğrisine x = e apsisli noktasından çizilen
normalinin eğimi nedir?
13. f (x) = x eğrisine A(–4, 0) noktasından çizilen teğetin
denklemini bulunuz.
–
1
3e
y=
10. f(x) = x3 eğrisine x = –1 apsisli noktasından çizilen
normalin denklemi nedir?
14. f (x) =
x
+1
4
ax 2 + 2x + 3
fonksiyonunun x = 2 apsisli noktasındaki
x 2 – 4x + 3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
teğetinin eğimi –14 olduğuna göre, a kaçtır?
y=–
1
(x + 4)
3
11. f(x) = x2ex eğrisine x = 1 apsisli noktasından çizilen
normalinin y eksenini kestiği noktanın ordinatı kaçtır?
3
15. f (x) = x. 3 g (x) şeklinde tanımlanıyor. g(x) in x = 3 apsisli noktasındaki teğetinin x ekseninin pozitif yönüyle yaptığı açı 135°
ve g(3) = –8 olduğuna göre, f(x) in x = 3 apsisli noktadaki
teğetinin denklemi nedir?
1
+e
3e
12. Şekilde y = f(x) eğrisinin A(–1, 4)
noktasındaki teğeti veriliyor.
h(x) = x2.f(x) şeklinde tanımlanan h fonksiyonunun x = –1
apsisli noktasındaki teğetinin
eğimini bulunuz.
A
–1
4
0
y=f(x)
x
5
g(x) = x.f2(x) şeklinde tanımlı
g(x) fonksiyonu için,
g'(2) kaçtır?
–
326
16. Şekilde y = f(x) eğrisinin T(2, 4)
noktasındaki teğeti x– ekseni ile
45° lik açı yapıyor.
y
22
3
9
3
y=– x+
4
4
y
y=f(x)
T(2,4)
45°
0
x
32
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
ARTAN VE AZALAN FONKSİYONLAR
c)
h(x) = x3 – 6x2 + 5 & h'(x) = 3x2 – 12x
3x2 – 12x = 0 & 3x(x – 4) = 0
1. ARTAN FONKSİYON
x1 = 0, x2 = 4
TANIM
y = f(x) fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve
x
her x1, x2 ∈ [a, b] için
h'(x)
x1 < x2 iken f(x1) < f(x2) veya
h(x)
–∞
0
+
+∞
4
–
5
+
–27
x1 > x2 iken f(x1) > f(x2) ise
h(0) = 0 – 0 + 5 = 5
f fonksiyonuna [a, b] aralığında artan fonksiyon denir.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
h(4) = 43 – 6.42 + 5 = 69 – 96 + 5 = –27 dir.
Bir fonksiyon hangi aralıkta
artan ise, fonksi-yonun birinci
türevi o aralıkta pozitiftir. Bunun
karşıtı da doğrudur. Yani, bir
fonksiyonun birinci türevi bir
aralıkta pozitif ise fonksiyon bu
aralıkta artandır.
h fonksiyonu (– 3 , 0) ve (4, 3 ) aralıklarında artandır.
y
y=f(x)
f(x2)
f(x1)
0
ETKİNLİK
x1
x2
x
f(x) = x2 – 2x – 3 fonksiyonunun artan–azalan olduğu aralıkları
bulunuz.
ÖRNEK
Aşağıdaki fonksiyonların artan oldukları küme nedir?
a)
f(x) = 5x – 1
b)
g(x) = x2 – 5x + 6
c)
h(x) = x3 – 6x2 + 5
ÇÖZÜM
a)
f(x) = 5x – 1 & f'(x) = 5 > 0 olduğundan f, R de artandır.
b)
g(x) = x2 – 5x + 6 & g'(x) = 2x – 5 = 0 ise x =
2. AZALAN FONKSİYON
5
dir.
2
TANIM
x
g'(x)
g(x)
5
2
–∞
+∞
y = f(x) fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve
+
–
1
4
her x1, x2 ∈ [a, b] için
x1 < x2 iken f(x1) > f(x2) veya
5
5 2
5
25 25
1
olup
g b l = b l – 5. + 5 =
–
+6=–
2
2
2
4
2
4
x1 > x2 iken f(x1) < f(x2) ise
f fonksiyonuna [a, b] aralığında azalan fonksiyon denir.
5
g fonksiyonu b , 3 l aralığında artandır.
2
327
Bir fonksiyon hangi aralıkta azalan ise fonksi-yonun birinci türevi,
o aralıkta negatiftir. Bunun karşıtı da doğrudur. Yani bir fonksiyonun birinci türevi bir aralıkta negatif ise fonksiyon bu aralıkta azalandır.
ÖRNEK
f: R – {k} → R ve a ≠ 0 olmak üzere;
f (x) =
y
ax + b
fonksiyonunun daima azalan olması için k hangi
x–k
koşulu sağlamalıdır?
y=f(x)
f(x1)
ÇÖZÜM
f(x2)
x1
0
x
x2
6x ! R – {k} için f'(x) < 0 olmalıdır.
f (x ) =
ÖRNEK
Aşağıdaki fonksiyonların azalan oldukları küme nedir?
a)
f(x) = 3 – 4x
b) f(x) = x2 + 6x – 9
c)
a. (x – k) – (ax + b) .1
<0
(x – k) 2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
&
–ak – b
< 0 & –ak – b < 0
(x – k) 2
–ak –b
b
k>– a
olmal›d›r.
f(x) = –x3 + 4x2 – 5x + 2
Sabit Fonksiyon
ÇÖZÜM
y
a)
f(x) = 3 – 4x & f'(x) = –4 < 0 olduğundan f fonksiyonu R de
azalandır.
b)
k
f(x) = x2 + 6x – 9 & f'(x) = 2x + 6
2x + 6 = 0 & x = –3
x
–∞
–3
a
x1
x2
b
x
f, [a, b] aralığında sürekli olsun. Her x1, x2 ∈ [a, b] ve x1 < x2
için f(x1) = f(x2) = k ise f fonksiyonuna [a, b] aralığında
+∞
+
–
f'(x)
0
sabit fonksiyon denir.
f(x)
y = f(x) fonksiyonunun [a, b] aralığında sabit olması için gerek ve
f fonksiyonu (– 3 , –3) kümesinde azalandır.
c)
Örneğin,
f(x) = –x3 + 4x2 – 5x + 2 ise
f'(x) = –3x2 + 8x – 5 = 0 & (x – 1)(–3x + 5) = 0 & x1 = 1,
5
x2 =
tür.
3
x
f'(x)
–∞
5
3
1
–
+
+∞
•
f(x) = 4 fonksiyonu için f'(x) = 0 olduğundan f(x) = 4 sabit
fonksiyondur.
•
f(x) =
3 , f(x) = π + 2 , f(x) = e2 + 3 fonksiyonları sabit fonk-
–
f(x)
5
f fonksiyonu (– 3 , 1) ve ( , 3) kümelerinde azalandır.
3
328
yeter koşul her x ∈ [a, b] için f'(x) = 0 olmasıdır.
siyonlardır.
Bir Fonksiyonun Yerel Maksimum ve Yerel
ÖRNEK
Noktaları Ekstremum (Ektremum Noktaları)
f(x) = –x2 + 5x – 6 fonksiyonunun yerel maksimum noktasını
(varsa) bulalım.
1. Maksimum Noktası
y
ÇÖZÜM
f'(x) = –2x + 5
M
C
B
f'(x) = 0 & –2x + 5 = 0 & x =
A
D
Tablo:
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
O
x0–h x0+h
5
2
x
x0
5
2
–∞
x
f'(x)
+∞
–
+
y = f(x) fonksiyonunda x = x0 için alınan y = f(x0) değeri, x0 ın
solundaki x = x0 – h noktası için y = f(x0 – h) ve x0 ın sağındaki
x = x0 + h için y = f(x0 + h) değerinden büyükse y = f(x0) değe-
x=
5
– h için f' (x) > 0
2
rine x = x0 için fonksiyonun yerel maksimum değeri, M(x0, f(x0))
x=
5
için f' (x) = 0
2
x=
5
5
noktasında fonksi+ h için f' (x) < 0 olduğundan x 0 =
2
2
noktasına da fonksiyonun yerel maksimum noktası denir.
Şekilde
f(x0) > f(x0 – h)
ve
f(x0) > f(x0 + h) olduğundan
y = f(x0), x = x0 için fonksiyonun yerel maksimum değeridir.
yon yerel maksimum değerine ulaşır.
x = x0 için fonksiyonun yerel maksimumu varsa x0 ın solundaki
x = x0 – h için fonksiyon artan ve f'(x) > 0, x0 ın sağında x = x0
5 49
5 49
olup M ( ,
f( ) =
) noktası yerel maksimum noktasıdır.
2
4
2 4
+ h için fonksiyon azalan ve f'(x) < 0 dır. x = x0 için ise f'(x0) = 0
dır. Bunun karşıtı da doğrudur. Yani,
bir fonksiyonun birinci türevi
2. Minimum Noktası
y
x = x0 – h için f'(x0 – h) > 0
x = x0 için f'(x0) = 0
A
D
x = x0 + h için f'(x0) < 0
B
C
M
koşullarını sağlıyorsa x = x0 için fonksiyonun yerel maksimumu
vardır.
O
x0–h x0+h
x0
UYARI
Yerel maksimum noktasındaki teğet x– eksenine paralel olur.
x
M nın ordinatı f(x0)
B nin ordinatı f(x0 – h)
C nin ordinatı f(x0 + h)
329
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
y = f(x) fonksiyonunda x = x0 için alınan y = f(x0) değeri,
x0 ın solundaki x = x0 – h noktası için y = f(x0 – h) ve x0 ın
sağındaki x = x0 + h için y = f(x0 + h) değerinden küçükse
x=
8
için f'(x) türev fonksiyonu – den + ya geçtiğinden
3
fonksiyonun x =
8
için bir yerel minimumu vardır.
3
y = f(x0) değerine x = x0 için f fonksiyonunun yerel minimum
değeri, M(x0, f(x0)) noktasına da fonksiyonun yerel minimum
noktası denir.
Şekilde f(x0) < f(x0 – h) ve f(x0) < f(x0 + h) olduğundan
8
8 3
8 2
Bu değer f b l = b l – 4. b l
3
3
3
f(x0), x = x0 için fonksiyonun bir yerel minimum değeridir.
=
x = x0 için fonksiyonun yerel minimumu varsa x0 ın solundaki
x = x0 – h için fonksiyon azalan ve f'(x) < 0
=
x0 ın sağındaki x = x0 + h için fonksiyon artan ve f'(x) > 0 ve
x = x0 için f'(x) = 0 dır.
2 9 2 8 2 9 – 3.2 8
–
=
27
9
27
2 8 (2 – 3)
256
=–
27
27
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
dır.
8
256
O halde B b , –
l noktası yerel minimum noktasıdır.
3
27
Bunun karşıtı da doğrudur. Yani,
bir fonksiyonun birinci türevi
x = x0 – h için f'(x0 – h) < 0
x = x0 için f'(x0) = 0
ETKİNLİK
x = x0 + h için f'(x0 + h) > 0
koşullarını sağlıyorsa x = x0 için fonksiyonun yerel minimumu
vardır.
ÖRNEK
1) f(x) = x3 – 12x fonksiyonunun yerel ekstremum noktasını bulunuz.
f: R → R, f(x) = x3 – 4x2 fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını bulalım.
ÇÖZÜM
f'(x) = 3x2 – 8x ve
2) f(x) = 2x3 + nx – 3 fonksiyonunun x = –1 de yerel ekstremumu
f'(x) = 0 & 3x2 – 8x = 0
& 3x(x –
x
f'(x)
olduğuna göre, n kaçtır?
8
8
) = 0 & x1 = 0, x2 =
olur.
3
3
–∞
8
3
0
–
+
0
+∞
+
256
27
x = 0 noktasında f'(x) türev fonksiyonu + dan – ye geçtiğinden
x = 0 için fonksiyonun bir yerel maksimumu vardır. Bu değer f(0)
= 0 dır. O halde A(0, 0) noktası f nin maksimum noktasıdır.
330
1.
f(x) = x3 – 2x2 + x + 3
C
f' (x)
< 0 olduğundan V teki fonksiyon azalang'(x) = – 2
f (x)
Y
+
fonksiyonunun artan veya azalan olduğu kümeleri bulunuz.
V.
Çözüm
+
dır.
f(x) = x3 – 2x2 + x + 3 & f'(x) = 3x2 – 4x + 1
O halde I – II – III – V te verilenler doğrudur.
f'(x) = 0 & 3x2 – 4x + 1 = 0
(x – 1)(3x – 1) = 0
x1 = 1 veya x2 =
Tablo yapılırsa;
3.
1
3
f'(x)
+
f(x)
artan
+∞
1
–
+
azalan
artan
Çözüm
f (x ) =
1
6x ! b –3, l , ^ 1, 3h için f'(x) > 0 olduğundan f fonksi3
yonu b –3,
x2 + 1
fonksiyonunun artan veya azalan olduğu kümex2 + 2
leri bulalım.
f (x) =
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
–∞
x
1
3
2x (x 2 + 2) – 2x (x 2 + 1)
x2 + 1
& f' ( x ) =
2
x +2
( x 2 + 2) 2
1
l , ^ 1, + 3h kümesinde artandır.
3
=
& x=0
1
1
6x ! b , 1 l için f'(x) < 0 olduğundan f fonksiyonu b , 1 l
3
3
kümesinde azalandır.
–∞
x
f(x)
f(x) fonksiyonu (a, b) aralığında pozitif ve artan olduğuna
göre aşağıdakilerden kaç tanesi doğrudur?
I.
g(x) = x + 2.f(x) aynı aralıkta artandır.
II.
g(x) = –f2(x) aynı aralıkta azalandır.
+∞
0
–
f'(x)
2.
2x
=0
(x 2 + 2) 2
azalan
+
artan
(– 3 , 0) aralığında f azalan
(0, + 3 ) aralığında f artandır.
III. g(x) = f3(x) aynı aralıkta artandır.
IV. g(x) = x + f2(x) aynı aralıkta azalandır.
V.
1
g(x) =
aynı aralıkta azalandır.
f (x)
f(x) = (x2 + 2x)ex fonksiyonunun artan veya azalan olduğu
kümeleri bulunuz.
Çözüm
Çözüm
I.
4.
g'(x) = 1 + 2 f' (x) > 0 olduğundan I deki fonksiyon artanX
f'(x) = (2x + 2).ex + (x2 + 2x).ex
+
= ex(x2 + 4x + 2)
dır.
II.
g'(x) = –2 f (x) . f ' (x) < 0 olduğundan II deki fonksiyon azaW U
6x ! R için ex > 0 olduğundan
landır.
ex.(x2 + 4x + 2) = 0 & x2 + 4x + 2 = 0
+
+
III. g'(x) = 3 f 2 (x) . f' (x) > 0 olduğundan III teki fonksiyon arY X
+
tandır.
IV. g'(x) = 1 + 2 f (x) . f' (x) > 0 olduğundan IV teki fonksiyon
W X
+
artandır.
Δ = 16 – 8 = 8
+
x1 =
–4 + 2 2
= –2 + 2
2
x2 =
–4 – 2 2
= –2 – 2
2
+
331
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
–∞
x
O halde
+∞
–2 + 2
–2 – 2
f'(x)
+
–
+
f(x)
artan
azalan
artan
1
1
6x ! b –3, e l için f'(x) < 0 olduğundan b –3, e l aralığında
f(x) = x , nx fonksiyonu azalandır.
6x ! ^ –3, –2 – 2 h , ^ –2 + 2 , + 3h için
1
1
6x ! b e , + 3 l için f'(x) > 0 olduğundan b e , + 3 l aralı-
f(x) = (x2 + 2x) ex artan,
ğında f(x) = x , nx fonksiyonu artandır.
6x ! ^ –2 – 2 , –2 + 2 h için
f (x) = ^ x 2
+ 2xh e x
azalan bir
fonksiyondur.
5.
f(x) = (x – 1)2 + (x – 2)2 + (x – 3)2 fonksiyonunun artan veya
azalan olduğu aralıkları bulunuz.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
6.
f(x) = x. , nx fonksiyonunun artan veya azalan olduğu küme-
Çözüm
leri bulunuz.
f'(x) = 2(x – 1) + 2(x – 2) + 2(x – 3)
= 6x – 12 = 0
Çözüm
x=2
f(x) = x , nx & f'(x) = , nx + 1
dir.
Tablo yapılırsa;
1
e
–∞
x
f'(x)
f(x)
–
azalan
2
+∞
+
–
f''
, nx = –1 olup
1
x= e
–∞
x
f'(x) = 0 & , nx + 1 = 0
x ∈ (– 3 , 2) için f'(x) < 0 olduğundan (– 3 , 2) de f azalandır.
+∞
+
x ∈ (2, 3 ) için f'(x) > 0 olduğundan f, (2, 3 ) de artandır.
artan
1
f'(x) = , nx + 1 türev fonksiyonunun kökü x = e olduğundan
1
e den büyük değerler için örneğin,
2
2
2
x = e için f' ( e ) = ,n e + 1 = ,n2 – ,ne + 1
= ,n2 > 0
7.
f(x) = (x – a)2 + (x + a)2 + x2 fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları bulunuz.
Çözüm
f'(x) = 2(x – a) + 2(x + a) + 2x
= 2x – 2a + 2x + 2a + 2x
3
3
3
x = e için f' ( e ) = ,n e + 1 = ,n3 – ,ne + 1
= ,n3 > 0
1
x = e den küçük değerler için
= 6x = 0 & x = 0
x
f'(x)
–∞
+∞
0
–
+
Örneğin,
x=
x=
332
1
1
1
için f' ( 2 ) = ,n 2 + 1 = ,n1 – ,ne 2 + 1
e2
e
e
= –1 < 0
1
1
1
için f' ( 3 ) = ,n 3 + 1 = ,n1 – ,ne 3 + 1
e3
e
e
= –2 < 0
(– 3 , 0) aralığında f azalan,
(0, 3 ) aralığında f artandır.
8.
f(x) = x3 – 2x2 + x – 1 fonksiyonunun yerel maksimum değeri
kaçtır?
10.
y
f'(x)
Çözüm
n
a
f'(x) = 3x2 – 4x + 1 ve f'(x) = 0 & 3x2 – 4x + 1 = 0
m
b
c
x
& (x – 1)(3x – 1) = 0
x = 1 veya x =
+∞
1
–
+
f'(x)
Şekilde verilen f fonksiyonunun türevinin grafiğine göre, f(x)'in
maksimum ve minimum noktasının apsisi nedir?
1
3
–∞
x
1
tür.
3
Çözüm
+
x=
min
+
a
1
– h için f'(x) > 0
3
1
x = için f(x) = 0
3
x=
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
y
maks
1
1
+ h için f'(x) < 0 olup x =
için fonksiyon maksimum
3
3
değerini alır.
Öyleyse x =
1
için maksimum değer
3
1
1 3
1 2 1
fb l = b l – 2b l + – 1
3
3
3
3
1
2 2
– –
27 9 3
1 – 6 – 18
=
27
23
=–
olur.
27
=
+
+ + + +
–
–
–
m
+
+
+
b –
n
–– ––
+ f'(x)
+
+
+
+
x
– c
–
f(x) in maksimum değer alması için f'(x)'in pozitif değerden,
negatif değere geçmesi gerekir. Buna göre x = b'de f(x) in
maksimum değeri vardır.
f(x) in minimum değeri için, türev negatif değerden pozitif değere geçmelidir. O halde a ve c noktalarında f(x)'in minimum
değerleri vardır.
x2 – 2
fonksiyonunun x = –2 de bir ekstremumu
mx + 1
varsa, m kaçtır?
11. y = f(x) =
9.
a, b ∈ R ve f: R → R
f(x) = x3 + ax2 + bx + 2 fonksiyonu için x1 = –1 ve x2 = 1
yerel ekstremum noktalarının apsisleri ise, (a, b) ilikisini
bulalım.
Çözüm
y = f(x) fonksiyonunun x = –2 de bir ekstremumu varsa
f'(–2) = 0 olmalıdır.
y=
x2 – 2
ise
mx + 1
y' =
2x (mx + 1) – m (x 2 – 2) 2mx 2 + 2x – mx 2 + 2m
=
(mx + 1) 2
(mx + 1) 2
Çözüm
f'(x) = 3x2 + 2ax + b
f'(–1) = 3 – 2a + b = 0 ... 1
f'(1) = 3 + 2a + b = 0 ... 2
1 ve 2 den a = 0, b = –3 bulunur.
(a, b) = (0, –3) tür.
f' (–2) = 0 &
& m=
8m – 4 – 4m + 2m
=0
(–2m + 1) 2
4 2
=
6 3
bulunur.
333
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
12.
Çözüm
y
Verilen grafik incelendiğinde
f(x)
(– 3 , –1) için f(x) azalan, yani f'(x) < 0 ve f'(–1) = 0 ;
A
b
a
(–1, 0) aralığında f(x) artan, yani f'(x) > 0 ve f'(0) = 0 dır.
x
c
O
(0, 1) aralığında f(x) azalan, yani; f'(x) < 0 ; (1, 3 ) ara-
B
lığında f(x) artan yani, f'(x) > 0 olduğundan bu koşulları
f(x) = 3x3 – 9x fonksiyonunun grafiği verildiğine göre,
sağlayan grafik (B) seçeneğindedir.
|AB| kaç birimdir?
Çözüm
A noktası yerel maksimum noktasının ordinatı, B noktası da
yerel minimum noktasının ordinatıdır.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
f'(x) = 9x2 – 9 & f'(x) = 0 & x = ! 1
14.
2
O halde a = –1 ; b = 1 olur.
f(–1) =
f(1) =
3(–1)3
3.13–
y
y=f(x)
1
– 9(–1) = –3 + 9 = 6
9.1 = 3 – 9 = –6 dır.
–2
Buna göre |AB| = |6 – (–6)| = 12 bulunur.
–1
O
3
1
2
4
x
–1
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre,
y = f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
13.
A) Yerel minimum değerlerinden biri sıfırdır.
y
3
B) Yerel maksimum değerlerinden biri 1 dir.
y=f(x)
C) Yerel maksimum değerlerinden biri 2 dir.
–1
0
D) Yerel minimum değerlerinden biri –1 dir.
x
1
E) 3 tane maksimum değeri vardır.
Şekilde verilen y = f(x) fonksiyonunun grafiği için, f'(x) türev
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
Çözüm
y
A)
3
–1
C)
y
B)
0
x
1
–1
1
D)
y
–1
0
0
1
x
Grafik incelenirse y = f(x) fonksiyonunun x = –1 ve x = 3
apsisli noktalarda yerel minimumu, x = –2 ve x = 1 apsisli
noktalarda yerel maksimumu vardır. Bu nedenle A, B, C ve D
seçenekleri doğru E seçeneği yanlıştır.
x
y
–1
0
x
15. f(x) = x3 – 3x + 6 fonksiyonunun yerel minimum ve yerel maksimum değerlerini bulalım.
Çözüm
E)
y
f(x) = x3 – 3x + 6 ise
f'(x) = 3x2 – 3 = 0 & x2 = 1
0
334
1
x
x = –1,
x=1
Çözüm
Tablo yapılırsa:
x
–∞
f'(x)
+∞
1
–1
–
+
+
a) Önce f'(x) in kritik noktaları bulunur.
f'(x) = 0 & 6x2 – 6x – 12 = 0 & x2 – x – 2 = 0
x1, x2 ∈ [–2,
x1 = –1 ve x2 = 2
f(x)
yerel min.
yerel maks.
Türev fonksiyonunun işareti incelenirse f fonksiyonu (–∞, –1)
aralığında –1'e kadar türev fonksiyonunun işareti incelenirse
[a, b] = [–2,
f'(–1) = 0 olduğundan f(x) in maksimum değeri
f(–1) = –1 + 3 + 6 = 8 dir.
f(1) = 1 – 3 + 6 = 4 tür.
5
] aralığındaki en küçük
2
değeri –19, en büyük değeri 8 dir.
1
b) f'(x) = 0 & 2x , nx + x2 . x = 0
x(2 , nx + 1) = 0
x ≠ 0 , ,nx = –
16. f(x) = x2 – 4x + 1 fonksiyonunun [0, 3] aralığındaki yerel
ekstremum değerlerinin toplamı kaçtır?
x=
Çözüm
f nin [–2,
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
(–1, 1) aralığında 1 e kadar negatif ve f'(1) = 0 olduğundan
f(x) in minimum değeri
5
] olup f(a), f(b), f(x1), f(x2) bulunur.
2
f (–2) = –3, _
b
f (–1) = 8, b
b
f (2) = –19 `
b
5
1
f ( ) = –16 b
2
2b
a
f fonksiyonu (– 3 , –1) aralığında –1 e kadar pozitif ve
5
] dir.
2
1
1
&x=
2
e
1
g [1, e] olduğundan sadece f(1) ve f(e) ye bakılır.
e
f(1) = 0 ve f(e) = e2
f(x) = x2 – 4x + 1 & f'(x) = 2x – 4 = 0
f(1) = 0 en küçük değer, f(e) = e2 en büyük değerdir.
x=2
olup x = 2 ∈ [0, 3] olduğundan x = 2 bir kritik noktadır.
c) f'(x) = 0 & e–x – xe–x = 0
e–x(1 – x) = 0, e–x ≠ 0, x = 1
x
0
2
–
f'(x)
3
+
x = 1 ∈ [0, 3 )
1
f(1) = e , f(0) = 0
f(x)
yerel min.
yerel maks.
yerel min.
f(+ 3 ) = lim xe –x = lim
x "+3
x "+3
x = 0 için f(0) = 02 – 4.0 + 1 = 1
x = 2 için f(1) =
22
(Yerel maksimum)
L' Hospital kuralı uygulanırsa
– 4.2 + 1 = –3 (Yerel minimum)
x = 3 için f(3) = 32 – 4.3 + 1 = –2
(Yerel minimum)
O halde, yerel ekstremum değerlerinin toplamı
1 + (–3) + (–2) = –4 olur.
lim
x$3
(x) '
x
(e )
= lim
x$3
1
e
x
=
1
" 0
3
En küçük değer : 0
1
En büyük değer : e dir.
d) f'(x) =
17. Aşağıdaki fonksiyonların verilen aralıklardaki en küçük ve en
büyük değerlerini bulalım.
x
3
=
ex 3
–2x. (1 + 2x 2) + (1 – x 2) .4x
=0
2 (1 – x 2) . (1 + 2x 2)
–2x – 4x3 + 4x – 4x3 = 0
5
[–2, ]
2
8x3 – 2x = 0 & 2x(4x2 – 1) = 0
1
1
x1 = 0, x2 = – , x3 =
2
2
b) f(x) = x2 ,nx
[1, e)
x1, x2, x3 ∈ [–1, 1] dir.
c) f(x) = xe–x
[0, 3 ]
d) f(x) = (1 – x 2) (1 + 2x 2)
[–1, 1]
a) f(x) =
2x3
–
3x2
– 12x + 1
1
3
1
3
f(–1) = 0 , f (– ) =
, f( ) =
, f (0) = 1 , f (1) = 0
2 2 2
2 2 2
En küçük değer: 0
3
En büyük değer:
dir.
2 2
335
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
1.
f(x) = 2x2 – 6x + 3 fonksiyonunun artan veya azalan
oldukları kümeleri bulunuz.
a 3,
2
+ 3k
4.
f(x) = –x3 + 6x2 + x + 2 fonksiyonu veriliyor.
f'(x) türev fonksiyonunun artan veya azalan olduğu
kümeleri bulunuz.
da artan
a –3, 3 k da arzalan
2
2.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
^ –3, 2h de artan
^ 2, + 3h da azalan
5.
f(x) = 2x3 + kx2 + 2x – 1 fonksiyonunun R de artan olması
için k hangi koşulu sağlamalıdır?
6.
(a, b) aralığında şekildeki gibi
tanımlı f fonksiyonu veriliyor.
f(x) = x3 + 4x2 – 11x + 1 fonksiyonunun artan veya azalan
olduğu kümeleri bulunuz.
b –3, – 11
l , ^ 1, + 3h da artan
3
b – 11
, 1 l de azalan
3
Buna göre, aşağıda tanımlanan fonksiyonların hangilerinin artan, hangilerinin azalan
olduklarını belirtiniz.
3.
f(x) = 4 , nx – x fonksiyonunun artan veya azalan olduğu
kümeleri bulunuz.
(– 3 , 0) ∪ (4, + 3 ) da azalan
(0, 4) te artan
336
1
f (x )
b) h (x) = f 2 (x)
a ) g ( x) =
y
a
b
0
x
f
c ) T ( x) = x + f 3 ( x )
d) R (x) = 3 f (x)
a) g azalan
b) h azalan
c) T artan
d) R artan
7.
f(x) = x3 – 3x2 + 3x + 4 fonksiyonunun [–1, 2] aralığındaki
yerel ekstremum değerlerinin toplamı kaçtır?
1
10. f(x) = x3 + 4ax2 – x + 3 fonksiyonunun x = apsisli nokta3
sında yerel minimumu olduğuna göre, a nın değeri kaçtır?
3
f: [–3, 3] → R, f(x) = x3 – 6x fonksiyonunun yerel ekstremum değerlerinin toplamını bulunuz.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
8.
1
4
11.
y
f'(x)
d
b
a
0
c
x
0
9.
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun f'(x) türevinin grafiği verilmiştir. y = f(x) in yerel maksimum ve yerel minimum noktalarının apsislerini bulunuz.
y
y=f(x)
3
2
–5
2
–4 –3
0
–1
6 7
4 5
x
–2
–3
x = a, x = c de
yerel maksimum;
x = b, x = d de
yerel minimum var.
Şekilde y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Buna göre,
bu fonksiyon için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) x = –5 te yerel minimum değeri vardır.
B) x = 2 de yerel minimum değeri vardır.
C) 2 tane yerel maksimum değeri vardır.
12. f(x) = x3 + ax2 + bx + 1 fonksiyonunun apsisi x = 1 olan noktası yerel minimum noktasıdır. Bu noktadaki minimum değeri –3 olduğuna göre, a.b kaçtır?
D) x = –3 te yerel maksimum değeri vardır.
E) x = 5 te yerel minimum değeri vardır.
E
–14
337
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
13.
15.
y
y
4
4
y=f'(x)
y=f'(x)
–1
0
1
2
4
3
–2
x
–1
0
2
x
3
Şekilde türevinin grafiği verilmiş olan y = f(x) fonksiyonunun yerel maksimum noktalarının apsisleri toplamı
kaçtır?
y = f(x) fonksiyonunun türevinin grafiği çizilmiştir.
y = f(x) fonksiyonunun hangi x değeri için minimumu
vardır?
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
2
14.
y
16.
y
–1
y=f(x)
a
0
c
d
x
b
f: [a, b] → R; y = f(x) ile tanımlı fonksiyonun grafiği şekildeki
gibidir. f'(x) fonksiyonuna ait grafik aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
A)
y
B)
b
a
c
0
D)
x
y
a
0
d
d
b
x
C)
b
d
2
3
4 5
x
7
y=f'(x)
Şekilde türevinin grafiği verilmiş olan y = f(x) fonksiyonunun yerel minimum noktalarının apsislerinin toplamının yerel maksimum noktalarının apsislerinin toplamına
oranı kaçtır?
0 a
d
b
x
1
3
y
a
0
0 1
y
c
x
0 a c
E)
c
y
0
c
d
b
x
17. f (x) =
(k + 1) x 2 + 2x – 1
fonksiyonunun x0 = 1 noktasında bir
x +1
yerel ekstremumunun olması için, k kaç olmalıdır?
C
338
–2
TÜREVİN ANLAMI
ÇÖZÜM
Hareketli bir cismin t zamanda aldığı S yolunu t zamanının bir
fonksiyonu olarak
S = f(t) ile gösterelim.
V(t) = f'(t) = 3t2
a(t) = V'(t) = (3t2)' = 6t olup a(2) = 6.2 = 12 m/sn2 bulunur.
Cismin t = t1 anında aldığı yol S1 = f(t1)
t = t2 anında aldığı yol S2 = f(t2) olur.
t1 < t2 ise
S 2 – S 1 f ( t 2) – f ( t 1)
oranına cismin [t1, t2] aralıt2 – t1 = t2 – t1
Vort =
f(t 2) – f(t 1)
t2 – t1
dir.
f(t) = t3 – 9t2 + 24t denklemiyle bir doğru üzerinde hareket eden
bir cismin hızı hangi zaman aralığında azalır?
ÇÖZÜM
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ğındaki ortalama hızı denir ve Vort ile gösterilir. Yani
ÖRNEK
V(t) = f'(t) = 3t2–18t + 24
f'(t0) değeri varsa bu değere cismin t = t0 anındaki anlık (anı)
hızı denir.
f'(t) = 0 & 3t2 – 18t + 24 = 0
t2 – 6t + 8 = 0
(t – 2)(t – 4) = 0
Cismin hız fonksiyonu V(t) ile gösterilirse V(t) = f'(t) olur.
Başka bir deyişle yolun zamana göre türevi hızı verir.
Cismin ivmesi a ise ivme zamanın bir fonksiyonudur. Yani
a(t) = V'(t) dir.
Bu “hızın zamana göre türevi ivmeyi verir” şeklinde yorumlanır.
x
–∞
V(t)
+∞
4
2
–
+
+
Tablodan görüldüğü gibi cismin hızı (2, 4) aralığında azalır
ETKİNLİK
ÖRNEK
Hareket denklemleri
Hareket denklemi f(t) = t2 + 2t + 1 olan bir cismin t1 = 2 ve t2 = 3
saniyeleri arasındaki ortalama hızı kaç m/sn dir?
ÇÖZÜM
S1 = t3 + 4 ve S2 = 3t + k
olan iki cisim buluştukları anda hızları aynıdır.
S1 ve S2 cisimlerin yerden yüksekliğini gösterdiğine göre, k kaçtır?
Cisimlerin hız fonksiyonları
V1(t) = 3t2
f (t ) – f (t )
Vort = t1 – t 2 idi.
1
2
V2(t) = 3 tür.
Hızlar eşit olacağından
t1 = 2 için f(2) = 22 + 2.2 + 1 = 9
3t2 = 3 & t = 1 olur.
t2 = 3 için f(3) = 32 + 2.3 + 1 = 16
Buluştukları anda iki cisim de yerden aynı yükseklikte olacağından
v ort =
9 – 16
= 7 m/sn dir.
2–3
S1 = S2 olmalıdır.
O zaman t = 1 için
S1 = 1 + 4 = 5
ÖRNEK
S2 = 3 + k
Hareket denklemi f(t) = t3 + 1 olan hareketlinin t = 2'nci saniyedeki ivmesi kaç
m/sn2
4
3+k =5
& k=2
bulunur.
dir?
339
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
KONVEKSLİK VE TÜREV İLİŞKİSİ
ETKİNLİK
f: A → R fonksiyonu verilsin.
Hareket denklemi
y
f
f nin grafiği üzerinde a 0
iken f'(a) < f'(b) yani f' artandır.
V(t) = S'(t) = 6t – 1
olduğundan t0 = 2 deki
anlık hız V(2) = 12 – 1 = 11 m/sn dir.
a
α
0
b
x
f'(x) artan olduğundan f'' > 0 dır.
Ayrıca f'(x) = lim
h"0
f'(a) = lim
h"0
ETKİNLİK
y=
e–x
y' =
–e–x
f (x + h) – f (x)
olduğundan x yerine a yazılırsa,
h
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
f (a + h) – f (a)
h
f nin x = a noktasındaki türevi idi.
denklemiyle verilen aralığı bulalım.
& y" =
e–x
6x ! R için y" =
Burada a + h = x denirse h = x – a dır.
tir.
e–x
h → 0 için x → a olur.
>0
f' (a) = lim
x"a
olduğundan her yerde eğri konkavdır.
y
olur.
Grafikten a 0
b–a>0
1
f (x) – f (a)
x–a
3
lim
b"a
f' (b) – f' (a)
>0
b–a
0
f'' (a) > 0
d›r.
y=e–x
0
x
O halde, f iki kez türevlenebilen bir fonksiyon olsun.
x ∈ (a, b) & f''(x) > 0 ise
f konveks (çukur) bir fonksiyondur.
f(x) konveks ise, ef(x) konvekstir.
UYARI
f iki kez türevlenebilen bir fonksiyon olsun.
y
f(x) bir polinom olsun.
1) m ∈ Z+ olmak üzere
f(x), (x – a)m ile bölünebiliyorsa, f'(x), (x – a)m–1 ile
bölünebilir.
f
α
β
a
0
b
x
2) Eğer f'(x), (x – a)m–1 ile bölünebilyorsa ve f(a) = 0 ise,
f(x), (x – a)m ile bölünebilir.
3) f(x) , (x – a)m ile bölünebiliyorsa f(m–1)(a) = 0 dır.
a 0
f'(b) = tanα < 0
a f'(b) dir.
Yani (a, b) de f' azalandır. f' azalan ise, f''(x) < 0 dır.
340
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
Diğer bir ifadeyle
Aşağıdaki şekilleri inceleyiniz.
a f'(b) olduğundan
0
b–a>0 →
lim
y
f'(b) – f'(a) < 0
f(x)=ax
f' (b) – f' (a)
<0
b–a
f' (b) – f' (a)
<0
–4
a 4 4 44 3
" a 44
1b44
4b2
x
0
f''(a) < 0
1<a<
O halde, 6x ! (a, b) için f''(x) < 0 & f konkavdır. (tümsek)
f(x) = ax konveks
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
f konveks & –f konkavdır.
y
Sonuçlar
1.
f(x)=ax2
f: [a, b] → R fonksiyonu, [a, b] aralığında sürekli ve (a, b)
aralığında 1. ve 2. türevleri alınabilsin.
(a, b) aralığında, y = f(x) fonksiyonunun eğrisi tüm teğet-
0<a<
lerinin üstünde kalıyorsa, f fonksiyonunun eğrisinin çukur-
f(x) = ax2 konveks
luğu yukarı (konveks) denir.
Bu durumda 6x ! (a, b) için f'' (x) > 0
Bunun karşıtı da doğrudur.
x
0
y
y
Yani 6 x ∈ (a, b) için f''(x)
f(x)= nx
y=f(x)
> 0 ise f fonksiyonunun
eğrisinin çukurluğu (a, b)
0
aralığında yukarı doğrudur.
0
a
b
x
1
x
f(x) = nx konkav
2.
y
f: [a, b] → R fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve (a, b)
f(x)=x3
aralığında 1. ve 2. türevleri var olsun.
(a, b) aralığında y = f(x) fonksiyonunun eğrisi tüm teğetlerinin altında kalıyorsa f fonksiyonunun eğrisinin çukurluğu
0
x
aşağı (konkav) denir.
Bu durumda 6x ! (a, b) için f''(x) < 0 dır.
Bunun karşıtı da doğrudur. Yani 6x ! (a, b) için f''(x) < 0
ise, f fonksiyonunun eğrisinin çukurluğu aşağı doğrudur.
y
a
b
0
f(x) = x3 fonksiyonu
(0,
) aralı€ında konveks,
(–
, 0) aralı€ında konkav.
x
y=f(x)
341
Dönüm Noktası
ETKİNLİK
Bir eğrinin çukurluğunun yön değiştirdiği noktaya eğrinin dönüm
y = x3 denklemiyle tanımlanan eğrinin konveksliğini inceleyelim.
noktası denir.
y' = 3x2 & y" = 6x tir.
D 1 R ve f: D → R fonksiyonu verilsin.
x
–∞
+
–
y"=6x
y
+∞
0
konveks
konkav
y
x0 ∈ D olmak üzere M(x0, f(x0)) noktasında f tanımlı, sürekli ve
f' türevli olsun.
f''(x0) = 0 ve x0 ın solunda ve sağında f'' türev fonksiyonu zıt
y=x3
işaretli ise M(x0, f(x0)) noktası f nin bir dönüm noktasıdır.
0
x < 0 için y" < 0,
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
y
x
M
x
0
x > 0 için y" > 0 dır.
dönüm
noktası
x < 0 için eğri konveks
x > 0 için eğri konkavdır.
y''<0
1. y = f(x) fonksiyonunda x = x0 için
ETKİNLİK
f(x) = x3 – 2x2 + x – 1
f'(x0) = 0 veya f'(x0) ≠ 0,
f''(x0) = 0 ve x0 ın solunda ve sağında f'' zıt işaretli ise,
fonksiyonunun konkavitesini inceleyiniz.
f(x) = x3 – 2x2 + x – 1
f''(x) = 6x – 4
6x – 4 = 0 & x =
x = x0 noktası bir dönüm noktasıdır.
Aşağıdaki şekilleri inceleyiniz.
y
f'(x) = 3x2 – 4x + 1
A
α
f"(x)
f(x)
2
3
–∞
konkav
+∞
D.N.
x<
2
için f(x) konkav,
3
x>
2
için f(x) konvekstir.
3
x0
0
y
+
–
x
x0
0
x
y
B
2
3
Tablo:
342
y''>0
x
y
D
konveks
C
α
0
x0
x
0
x
x0
Şekillerde A, B, C ve D noktaları birer dönüm noktasıdır.
2. y = f(x) fonksiyonunda x = x0 için f'(x0) = 3 ve x0 ın
ÖRNEK
solunda ve sağında f'' zıt işaretli ise x = x0 noktası bir dönüm
f: R → R, f(x) = x4 fonksiyonu için x = 0 noktası bir dönüm
noktasıdır. Aşağıdaki şekilleri inceleyiniz.
noktası mıdır?
y
y
ÇÖZÜM
y
E
E
f(x) = x4
0
x0
x
0
x
x0
f
f'(x) = 4x3
f''(x) = 12x2
f''(x) = 0 & 12x2 = 0
x
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
Şekillerde E ve F noktası birer dönüm noktasıdır.
0
& x = 0 dır.
Fakat (0, 0) noktası bir dönüm noktası değildir. Eğrinin çukurluk
ETKİNLİK
yönünden değişmediğine dikkat ediniz.
f(x) = 3x3 – x2 + 2x + 1 fonksiyonunun dönüm noktasının
apsisini bulalım.
f'(x) = 9x2 – 2x + 2
f"(x) = 18x – 2
f"(x) = 0 & 18x – 2 = 0 & x =
ÖRNEK
1
bulunur.
9
f: R → R, f(x) = 2x3 – 3x2 fonksiyonunun dönüm noktası nedir?
ÇÖZÜM
f'(x) = 6x2 – 6x
UYARI
x0 noktası f fonksiyonunun bir dönüm noktası ise, f' türev
fonksiyonu bu noktada işaret değiştirmez. Yani x0 ın solunda
ve sağında f' birinci türev fonksiyonu aynı işarete sahiptir.
f''(x) = 12x – 6
f''(x) = 0 & 12x – 6 = 0 & x =
1
dir.
2
f'' için işaret tablosu yapılırsa:
Fakat x0 ın solunda ve sağında f'' ikinci türev fonksiyonu
zıt işaretlidir.
x
1
2
–∞
f''
–
–
f''( 1 ) < 0
2
UYARI
f fonksiyonunun x = x0 noktasında 1. ve 2. türevleri var
olsun. f''(x0) = 0 olması (x0, f(x0)) noktasının bir dönüm
noktası olmasını gerektirmez.
+∞
+
+
f''( 1 ) > 0
2
1
1 3
1 2
fc m = 2c m – 3c m
2
2
2
1
1
= 2. – 3.
8
4
1 3
= –
4 4
=–
olup b
1
2
1
1
, – l noktası fonksiyonun dönüm noktasıdır.
2
2
343
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
ÖRNEK
ETKİNLİK
f(x) = sinx fonksiyonunun (0, 2π) aralığındaki dönüm noktası
nedir?
y = sinx + cosx fonksiyonunun artan, azalan oldukları aralık ve
ÇÖZÜM
ekstremum, dönüm noktalarını [0, 2π) aralığında belirtelim.
y' = cosx – sinx olup köklerini bulalım.
cos x– sin x = 0 & sin x = cos x &
f'(x) = cosx, f''(x) = –sinx
f''(x) = 0 & –sinx = 0 & x = kπ
(k ∈ Z) ve k = 1 için x = π dir.
Tablo:
r
r
5r
, x2 = r + =
4
4
4
ekstremum noktalarını verir.
Ayırt etmek için ikinci türevin bu noktalarındaki işaretini
π
–∞
x
& tan x = 1 & x1 =
sin x
=1
cos x
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
–
f''
f''(x) < 0
+∞
+
f''(x) > 0
O halde, x = π noktası f(x) = sinx fonksiyonunun dönüm
noktasıdır.
ÖRNEK
f(x) = x3 + ax2 + 4x – 1 fonksiyonu için M(1, 2) noktası bir dönüm
noktası ise, a kaçtır?
ÇÖZÜM
inceleyelim.
y" = –sinx – cosx olup
x1 =
r
2
2
için y" = –
–
2
2
4
y" = – 2 < 0 dır.
Maksimum oluşur.
5r
Dolayısıyla x 2 =
te minimum elde edilir.
4
Dönüm noktasını bulmak için ikinci türevi sıfırlayalım.
y" = –sinx – cosx = 0
& sinx = –cosx
sin x
& cos x = –1
3r
ve
tanx = –1 & x1 = π – π/4 =
4
M(1, 2) bir dönüm noktası ise
f''(1) = 0 ve f'(x) = 3x2 + 2ax + 4
x2 = 2r –
r 7r
=
noktaları dönüm noktasıdır.
4
4
f''(x) = 6x + 2a
f''(1) = 0 & 6.1 + 2a = 0 & a = –3 tür.
ETKİNLİK
f(x) = x3 – 2x2 + x + 3
Artan ve azalan olduğu aralıkları bulmak için türev işaret
tablosunu yapalım.
x
y'
π/4
0
5π/4
2π
+
–
+
y
max
fonksiyonunun dönüm noktasının apsisini bulunuz.
Tabloya göre c 0,
min
r
m te fonksiyon artan,
4
r 5r
5r
, 2r m de artandır.
m te azalan, c
c ,
4 4
4
344
1.
f(x) = x3 – 5x2 + 7x – 2 fonksiyonunun eğrisinin konveks veya
konkav olduğu kümeleri bulunuz.
3.
f: [a, b] → R
y
y = f(x) fonksiyonunun grafiği
verilmiştir.
Çözüm
f'(x) = 3x2 – 10x + 7
6x ! (a, b) için aşağıdakilerden
f''(x) = 6x – 10 olur.
hangisi doğrudur?
f''(x) = 0 & 6x – 10 = 0 & x =
5
3
–∞
x
B) f'(x) > 0
C) f'(x) > 0
f''(x) < 0
f''(x) > 0
f''(x) = 0
D) f'(x) < 0
E) f'(x) < 0
f''(x) > 0
f''(x) < 0
+
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
f(x)
Çözüm
(–3,
x
b
A) f'(x) > 0
+∞
–
f''(x)
5
tür.
3
a
0
y
Grafik incelenirse 6x ! (a, b) için
5
) aralığında f nin çukurluğu aşağı doğru (konkav),
3
f(x) artandır.
Dolayısıyla f'(x) > 0 dır.
5
( , 3) aralığında f nin çukurluğu yukarı doğrudur. (konveks)
3
a
0
x
b
Ayrıca f(x) fonksiyonunun grafiği
6x ! (a, b) için tüm teğetlerinin üstünde olduğundan f kon-
vekstir. Yani f'(x) > 0 dır.
O halde, doğru cevap B dir.
2.
Aşağıdaki grafikler (–1, 4) aralığında y = f(x) fonksiyonuna
aittir.
Aşağıdakilerden hangisinde f(x) > 0; f'(x) > 0; f''(x) < 0
koşullarının her üçü de sağlanır?
y
A)
–1
0
x
4
y
C)
4.
y
B)
–1
0
4
x
Aşağıda grafikleri çizilen f(x) fonksiyonlarından hangisinde
verilen aralıklarda f'(x) < 0, f''(x) > 0 koşulları sağlanır?
y
D)
y
A)
0
0
x
4
–1
0
4
0
0
4
b
x
b
x
y
D)
a
x
b
a
0
y
E)
–1
a
0
x
y
E)
x
b
y
C)
–1
a
y
B)
x
0
a
b
x
Çözüm
f(x) > 0 olması grafiğin x ekseninin üst kısmında olduğunu,
Çözüm
f'(x) > 0 olması f nin artan olduğunu,
6x ! (a, b) için f'(x) < 0 olması f nin (a, b) aralığında aza-
f''(x) < 0 olması da f nin konkav olduğunu söyler.
lan olduğunu, f''(x) > 0 olması da f nin (a, b) aralığında konveks olduğunu gösterir. O halde, doğru cevap C dir.
Bu üç koşulu sağlayan grafik C dedir.
345
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
5.
6.
y
f'(x)
f:R → R, f(x) = (x – 5)3 – 2 fonksiyonunun dönüm noktasının
koordinatlarının toplamını bulalım.
Çözüm
f(x) = (x – 5)3 – 2 ise
a
b c
f'(x) = 3(x – 5)2.1 = 0
x
d
0
e
(x – 5)2 = 0
x = 5 (çift katlı kök)
f''(x)
f''(x) = 6(x – 5) = 0 & x = 5 tir.
Şekilde g(x) fonksiyonuna ait f'(x) ve f''(x) türev fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
Tabloyu oluşturalım.
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
x
A) f''(b) < 0 dır.
–∞
B) x > d için f(x) artandır.
+∞
5
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
f'
+
+
f''
–
+
C) f(x), (b, d) aralığında azalandır.
İkinci türev fonksiyonunun kökü x = 5 tir. 5 in solunda ve sağında f''(x) fonksiyonunun işaretleri farklı olduğundan x = 5
dönüm noktasının apsisidir.
D) x = c için f(x) in dönüm noktası vardır.
E) f'(0).f''(0) = 0
O halde
x = 5 için f(5) = (5 – 5)3 – 2 = –2 olup D(5, –2) dönüm
noktasıdır. Dönüm noktasının koordinatlarının toplamı
Çözüm
5 + (–2) = 3 bulunur.
Grafiğe göre tabloyu oluşturalım.
x
f'(x)
–∞
b
+
+
–
–
f(x)
f''(x)
c
–
–
+∞
d
–
+
+
+
+
+
7.
y
–4
–3 –1 0
y=f'(x)
4
6
x
f'(x) 1. türev fonksiyonu (– 3 , b) ve (d, + 3 ) aralıklarında
pozitif olduğundan bu aralıklarda
f artan, (b, d) aralığında
negatif olduğundan bu aralıkta f azalandır.
f''(x) fonksiyonu x = c de x eksenini kestiğinden ve
c nin solunda ve sağında f''(x) fonksiyonunun işareti farklı
olduğundan x = c de f nin bir dönüm noktası vardır.
f'(0) = a, f''(0) = e olup a > 0, e < 0 olup a.e ≠ 0 dır.
O halde tablodan,
A) f''(b) < 0 önermesi doğrudur.
B) x > d için f(x) artandır.
C) f(x) (b, d) aradığında azalandır.
D) x = c için f(x) in dönüm noktası vardır.
E) f'(0).f''(0) = 0 önermesi yanlıştır.
346
Şekilde türevinin grafiği verilen f fonksiyonunun dönüm
noktalarının apsislerinin toplamı kaçtır?
Çözüm
Grafikten f'(–4) = f'(–1) = f'(6) = 0 dır.
Ayrıca (f')'(–3) = f''(–3) = 0
(f')'(4) = f''(4) = 0 dır.
f'(x) türev fonksiyonu x = –3 ün solunda artan sağında azalan
olduğundan f''(x) fonksiyonunun x = –3 te bir dönüm noktası
vardır.
Benzer şekilde f'(x) türev fonksiyonu x = 4 ün solunda azalan, sağında artan olduğundan, f''(x) fonksiyonunun x = 4 te
bir dönüm noktası vardır. O halde, f nin dönüm noktalarının
apsislerinin toplamı –3 + 4 = 1 dir.
8.
9.
y
Çözüm
2
x
0
–2
y=f(x)
–2
Yukarıdaki grafik f(x) = ax3 + bx2 + cx + d fonksiyonuna aittir.
Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
B) f'(3).f''(3) > 0
1
1
C) f'b – l .f'' b – l > 0
2
2
1
1
D) f' b l .f b l < 0
2
2
(x + 2)3 = 0 & x = –2 dir.
_
P (–2) = 0 b
b
P' (–2) = 0 ` sistemini çözmeliyiz.
b
P'' (–2) = 0b
a
P(–2) = 4.(–2)3 + a.(–2)2 + b.(–2) + c = 0
–32 + 4a – 2b + c = 0
4a – 2b + c = 32 ... (1)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
A) f(–2).f'(–2) = 0
E) f'(2) + f''(2) < 0
P(x) = 4x3 + ax2 + bx + c polinomu (x + 2)3 ile tam bölünebildiğine göre, a + b + c toplamını bulalım.
P(x) =
4x3
& P'(x) =
+
ax2
12x2
+ bx + c
+ 2ax + b
P'(–2) = 12.(–2)2 + 2.a.(–2) + b = 0
Çözüm
Grafik incelenirse;
–4a + b = –48 ... (2)
P''(x) = 24x + 2a
y
P''(–2) = 24.(–2) + 2a = 0
2a = 48
1
2
–2
k
2
x
0
y=f(x)
–2
a = 24 ... (3)
(3) ten a = 24 değeri (2) de yerine yazılırsa
–4.(24) + b = –48
& b = 48 olur.
k ∈ (0, 2) olmak üzere x = k noktası dönüm noktasının apsisidir. Yani f''(k) = 0 dır.
a = 24 ve b = 48 değeri (1) de yerine yazılırsa
Buradan (– 3 , k) aralığında f''(x) > 0,
4.24 – 2.48 + c = 32
(k, + 3 ) aralığında f''(x) < 0 dır.
Ayrıca (– 3 , 0) ve (2, + 3 ) aralıklarında f fonksiyonu aza-
& c = 32 bulunur.
O halde a + b + c = 24 + 48 + 32 = 104 tür.
lan olduğundan f'(x) < 0 dır.
Grafikten ve yukarıda elde edilen bilgiler yardımıyla,
A) f(–2) = 0 olduğundan f(–2).f'(–2) = 0 önermesi doğrudur.
B) f'(3) < 0 ve f''(3) < 0 olduğundan
f'(3).f''(3) > 0 önermesi doğrudur.
1
1
C) f' (– ) < 0 ve f'' (– ) > 0 olduğundan
2
2
1
1
f'( – ) .f'' (– ) > 0 önermesi yanlıştır.
2
2
1
D) f' ( ) > 0,
2
1
f ( ) < 0 olduğundan
2
1 1
f' ( ) .f ( ) < 0 önermesi doğrudur.
2 2
E) f'(2) = 0 ve f''(2) < 0 olduğundan
f'(2) + f''(2) < 0 önermesi doğrudur.
Doğru cevap C dir.
10. y = x3 + bx2 + cx – 1 fonksiyonunda apsisi x = 1 olan nokta
dönüm (büküm) noktasıdır. Fonksiyonun bu noktadaki teğetinin eğimi 1 olduğuna göre, c nin değeri kaçtır?
Çözüm
y' = 3x2 + 2bx + c
y'' = 6x + 2b
x = 1 için dönüm noktası olduğundan f''(1) = 0 olmalıdır.
& 6 + 2b = 0 & b = –3 bulunur. & y' = 3x2 – 6x + c olur.
x = 1 de teğetin eğimi 1 olduğundan f'(1) = 1 olmalıdır.
& 3 – 6 + c = 1 & c = 4 olur.
347
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
11. Üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonda bir ve yalnız bir
dönüm noktası vardır. Neden?
14. y = Sinx – Cosx fonksiyonunun konkav ve konveks olduğu
aralıkları bulunuz.
Çözüm
Çözüm
Üçüncü dereceden bir polinomun ikinci türevi birinci dereceden bir fonksiyondur.
y' = Cosx + Sinx & y'' = –Sinx + Cosx &
Birinci derece denklemlerinin bir ve yalnız bir kökü vardır. Bu
nedenle üçüncü dereceden bir polinom fonksiyonun bir ve yalnız bir dönüm noktası vardır.
Cosx = Cos a –
–Sinx + Cosx = 0 & Cosx = Sinx &
x=–
r
– xk &
2
r
r
– x + k.2r V x = – a – – x k + k.2r &
2
2
2x = –
r
r
+ k.2r V 0 = – + k.2r
2
1 44422 444 3
anlams›z
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
r
x = – + kr
4
12. Hareket denklemi S(t) = 6 + 4t + 3t2 olan hareketlinin
ivme–zaman grafiğini çiziniz.
Çözüm
S'(t) = 4 + 6t
a(t) = S''(t) = 6 olur.
x
r
+ k.r noktaları dönüm noktalarıdır.
4
π
π
... (– 4 –2π) (– 4 –π)
y''=Cosx – Sinx ...
Buna göre, hareket sabit ivmelidir. Grafik aşağıdaki gibi olur.
a(t)
Buna göre, x = –
–
+
(
π
π
–π) ( +2π) ...
4
4
–
+
y=Sinx–Cosx
D.N
D.N
konkav
6
π
4
D.N
D.N
D.N
konveks konkav konveks
e x + e –x
fonksiyonunun konkav ve konveks olduğu
2
aralıkları bulunuz.
15. y =
x
0
Çözüm
y' =
e x – e –x
e x + e –x
& y'' =
=0
2
2
ex + e–x = 0 & e x +
13. Hareket denklemi zamanın 3. dereceden bir fonksiyonu olan
hareketlinin ivmesini grafik çizerek açıklayınız.
1
=0 &
ex
e2x + 1 = 0 & e2x = –1 olur. Bu denklemin çözümü yoktur.
O halde, dönüm noktası yoktur. Üstelik,
Çözüm
S(t) = at3 + bt2 + ct + d
6x ! R için y'' =
S'(t) = 3at2 + 2bt + c
e x + e –x
> 0 olduğundan her yerde
2
konvekstir.
a(t) = 6at + 2b olur. Bu bir doğru denklemidir. a > 0 ise ivme
düzgün artan, a < 0 ise ivme düzgün azalandır. a > 0, b > 0
için grafik aşağıdadır.
a(t)
UYARI
y=
e x + e –x
fonksiyonunun grafiği aşağıdadır. (0, 1) noktası
2
bir minimumdur. Her yerde konveks olduğu görülür.
y
6a+2b
e2+1
2e
2b
1
0
348
1
x
–1
0
1
x
1.
f(x) = x3 – 3x2 + 2x – 1 fonksiyonunun dönüm noktasını
bulunuz.
4.
f: [a, b] → R için f(x) < 0, f'(x) < 0 ve f''(x) > 0
koşullarını sağlayan fonksiyonun grafiği aşağıdakilerden
hangisi olabilir?
y
A)
a
y
B)
b
a
x
0
b
0
x
D(1, –1)
y
C)
a
b
a
x
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
0
2.
y
D)
f(x) = (x – 3)4 + (x – 3)3 fonksiyonunun dönüm noktasının
apsislerinin toplamı kaçtır?
b
0
x
y
E)
a
b
x
0
11
2
3.
D
y
5.
Şekilde grafiği verilen
y
y=f(x)
4
–1
0
y = f(x) fonksiyonu için
aşağıdakilerden hangisi
yanlıştır?
x
k
–3
y=f(x)
0 1
2
2
3
5
x
y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Aşağıdakilerden
hangisi yanlıştır?
A) f'(k) = 0
B) f'(0) > 0
D) f''(–1) > 0
A) f'(0) > 0
C) f'(4) < 0
B) f''(0) < 0
D) f'(3) = 0
E) f''(k) > 0
C) f'(
1
)=0
2
E) f'(2) < 0
E
C
349
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
6.
P(x) = 2x3 + ax2 + 2bx + c polinomu (x – 2)3 ile tam olarak
bölündüğüne göre, a + b + c toplamı kaçtır?
8.
f(x) = (x – 1)4 fonksiyonunun dönüm noktası var mıdır?
Yoktur
–16
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
9.
a, b, c reel sayıları arasında a 0
B) f''(a) < 0
D) f''(c) < 0
E) f'(b) < 0
C) f'(c) > 0
1
ket denklemi S (t) = t 3 tür. Bu cismin ivme–zaman grafiği
3
aşağıdakilerden hangisidir?
(Zaman birimi saniye, konum birimi metredir.)
a(m/sn2)
A)
a(m/sn2)
B)
4
D
3
1
1
t(sn)
2
a(m/sn2)
C)
t(sn)
a(m/sn2)
D)
4
4
2
1
t(sn)
2
E)
10. Yandaki şekil 3. dereceden bir f(x) polinomunun grafiği olduğuna göre
aşağıdakilerden hangisi
yanlıştır?
t(sn)
a(m/sn2)
y
2
A) x = –2 için f(x) = 0'dır.
B) x = –1 için f'(x) < 0'dır.
8/3
1/3
–2
–1
0
1
x
C) x = 0 için f(x) = 2'dir.
1
2
t(sn)
D) x = 1 için f(x) = 0'dır.
E) x = –2 için f'(x) = 0'dır.
C
350
B
İkinci Türev ve Yerel Ekstremum Noktası
ETKİNLİK
Eğrinin maksimum noktasında çukurlu-
y
1) y = x3 + ax2 + bx + c
ğun yönü aşağı doğru olduğundan,
f'(x1)=0 f''(x1)<0
fonksiyonunun x = –1 de maksimumu, x = 3 te
maksimum noktada ikinci türev negatif-
minimumu olması için a ve b ne olmalıdır?
tir. Yani
y = x3 + ax2 + bx + c
f'(x1) = 0 iken f''(x1) < 0 ise, x1 noktası f fonksiyonu için bir yerel maksi-
f'(x2)=0
fonksiyonu, türevlenebilen bir fonksiyon oldu-
O
x1
f''(x2)>0
x
x2
mum noktasıdır.
ğundan yerel maksimum–minimum noktala-
Eğrinin minimum noktasında çukurluğun yönü yukarı doğru olduğundan minimum
rında türevi sıfır olmalıdır.
noktada ikinci türev pozitiftir. Yani:
f'(x2) = 0 iken f''(x2) > 0 ise, x2 noktası f fonksiyonu için bir yerel minimum nok-
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
y' = 3x2 + 2ax + b dir.
x = –1 de maksimum olduğundan,
tadır.
y'(–1) = 3 – 2a + b = 0
f fonksiyonunun (a, b) aralığında f(n) türevi mevcut ve (a, b) aralığının bir c nokta-
x = 3 te minimum olduğundan,
sında,
y'(3) = 27 + 6a + b = 0 olur.
f'(c) = f''(c) = ... = f(n–1)(c) = 0 ve f(n)(c) ≠ 0 olsun.
3 – 2a + b = 0
Aynı zamanda f(n) fonksiyonu c'de sürekli olur.
27 + 6a + b = 0
denklem sisteminden
a = –3, b = –9 bulunur.
1)
Eğer; n çift ve f(n)(c) > 0 ise f nin x = c de bir yerel minimumu vardır.
2)
Eğer; n çift ve f(n)(c) < 0 ise f nin x = c de bir yerel maksimumu vardır.
3)
Eğer; n tek ise x = c de f nin ne yerel minimumu ne de yerel maksimumu vardır.
ETKİNLİK
Asıl boyu a olan bir yayın boyu, b kadar bastırılıp bırakıldıktan sonra, za-
2)
x– ekseni üzerinde sabit M1, M2 ..., Mn
manın fonksiyonu olarak L = a + b.Sin(t + kπ) olmaktadır. Yayın hareket hı-
noktaları alınıyor. Eksen üzerinde öyle bir N
zının maksimum ve minimum olduğu anları bulunuz. (a ve b pozitif reel sayılar,
noktası bulunuz ki diğer noktalara uzaklıkları-
k ∈ Z dir.)
nın kareleri toplamı minimum olsun.
Hız denkleminin türevini sıfır yapan t değerleri, hızın en düşük veya en büyük
olduğu anları gösterir. (Hızın türevi ivmedir. Demek ki ivmenin sıfır olduğu anlarda hız ekstremum değerdedir.)
V(t) = L' = b.Cos(t + kπ)
V'(t) = L'' = –b.Sin(t + kπ) olur.
–b.Sin(t + k.π) = 0 & Sin(t + k.π) = 0 denklemi bulunur.
& t + k.π = k.2π V t + kπ = π + k.2π
& t1 = k.π V t2 = π + k.π
& t1 = k.π V t2 = (k + 1)π
Bu değerleri, hızın ikinci türevinde yerine yazalım.
V''(t) = L''' = –b.Cos(t + kπ)
V''(t1) = –b.Cos(kπ + kπ) = –b.Cos(2.kπ) = –b.1
= –b < 0
V''(t2) = –b.Cos[(k + 1)π + kπ] = –b.Cos(π + 2kπ)
= –b.(–1) = b > 0
351
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
ETKİNLİK
Buna göre,
1) y = 1 – |x + 2| denklemiyle verilen eğrinin
V'(t1) = 0 ve V''(t1) < 0 olduğundan,
maksimum–minimumlarını araştıralım.
t1 = kπ anlarında hız maksimumdur.
V'(t2) = 0 ve V''(t2) > 0 olduğundan,
x ≤ –2 için y = 1 – (–x – 2) = x + 3
t2 = (k + 1)π anlarında hız minimumdur.
x > 2 için y = 1 – (x + 2) = –x – 1
olduğundan, fonksiyonu
UYARI
y
1
–2 –1
–3
0
x
–1
y=*
x+3 ,
x ≤ –2
–x – 1 , x > –2
t1 ve t2 değerleri için Sin(kπ + t) = 0 olacağından, bu anlarda yayın boyu
L = a dır. Bu değer ise, yayın denge konumundaki boyudur. Denge konumunda
hem maksimum hem de minimum hızın olması, hızlardan biri sıkışma için diğeri
de gevşeme için demektir. (Bu hızların büyüklükleri eşittir. Biri pozitif, diğeri negatiftir.)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
Yayın boyunun L = a + b olması anında hız sıfırdır. Hız yönlü bir kavram olduğu için sıfır hız minimum hız olmaz.
biçiminde parçalı olarak yazalım. Grafikten gö-
MUTLAK MAKSİMUM – MUTLAK MİNİMUM
rüldüğü gibi x = –2 apsisli noktada fonksiyon
Bir fonksiyonun görüntü kümesindeki (varsa) en büyük elemana o fonksiyonun mut-
maksimum değerini almaktadır ve maksimum
lak maksimum değeri, en küçük elemana (varsa) mutlak minimum değeri denir.
değeri 1 dir. Oysa;
Bir fonksiyonun mutlak maksimum, mutlak minimum değerlerine o fonksiyonun mut-
y' = *
1,
x < –2
–1, x > –2
lak ekstremum değerleri denir.
y
ve y'(–2–) = 1, y'(–2+) = –1 olduğundan
y'(–2) türevi yoktur.
y=f(x)
Mutlak
min
a
O
x1
x2
b
x
1. Çevreleri eşit olan dörtgenler içinde alanı
maksimum olan karedir.
2. Çevreleri eşit olan üçgenler içinde alanı
maksimum olan eşkenar üçgendir.
x = x1 de mutlak maksimumu
x = x2 de mutlak minimumu
4. Toplamları sabit olan iki sayının çarpımlarının
maksimum olması için bu sayılar eşit
olmalıdır.
352
Mutlak
maks.
a
b
x2
b
x = x1 de mutlak minimumu
x = x2 de mutlak maksimumu
f'(x1) = 0
Mutlak
min.
O
x1 O
y=f(x)
vardır. f'(x2) tanımlı değil.
vardır. f'(x1) = 0, f'(x2) = 0
y
Mutlak
min.
y = f(x) fonksiyonunun
y = f(x) fonksiyonunun
3. Çevreleri eşit olan n–kenarlı çokgenlerden,
alanı en büyük olanı düzgün çokgen olanıdır.
a
Mutlak Maks.
[a, b] de grafiği verilen
[a, b] de grafiği verilen
UYARI
y
Mutlak
maks.
x
x
ETKİNLİK
Mutlak
maks.
y
y
Uzunluğu a olan bir ip iki parçaya bölünüyor
ve her parçanın uçları birleştirilerek birisinden
x
O
kare, diğerinden bir daire yapılıyor. Kare ile
x
O
Mutlak
min.
dairenin alanları toplamının en küçük olması
Mutlak minimum yok.
için karenin bir kenarı ne olmalıdır?
Mutlak maksimum yok.
Mutlak
maks.
y
A
4x
y
Yerel
maks.
a–4x
b
Yerel maks.
c
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
Yerel
maks.
x
O
Yerel min.
x
O
r
Mutlak
min.
x
Mutlak
min.
Mutlak maksimum yok.
Mutlak minimum ve mutlak maksimum var.
Şekildeki gibi karenin bir kenarı x, dairenin
Mutlak
Maks.
y
y
yarıçapı r ise, 2πr = a – 4x ten,
r=
a – 4x
dir.
2r
Yerel Maks.
a
A(x) = x2 + r c
a – 4x 2
m
2r
Yerel
Min. b
Yerel
Maks.
Karenin ve dairenin alanları toplamı
Yerel
Min.
x
Mutlak Min.
Mutlak minimum ve mutlak maksimum var.
= x2 +
= 2x –
2 (a – 4x)
r
2 (r + 4) x – 2a
r
A'(x) = 0 dan x =
A"(x) =
x=
x
Mutlak minimum ve mutlak
maksimum yok.
1
(a – 4x) 2 dir.
4r
1
A'(x) = 2x +
.2(a – 4x).(–4)
4r
=
O
2 (r + 4)
r
Mutlak
Maks.
y
a
O
b
ve
Mutlak
Min.
Mutlak minimum ve
Mutlak maksimum var.
a
bulunur.
4+r
> 0 olduğundan,
a
için A(x) minimum olur.
4+r
x
Sürekli Bir Fonksiyonun [a, b] Kapalı Aralığındaki Mutlak Ekstremumlarını Bulmak
İçin:
1. (a, b) açık aralığındaki kritik noktalar bulunur.
2. f nin kritik noktalarındaki ve uç noktalardaki f(a), f(b) değerleri bulunur.
3. Bulunan görüntülerin en küçüğü f nin mutlak minimumu, en büyüğü f nin
mutlak maksimumudur.
353
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
1.
y
2.
y=f'(x)
Toplamları 28 olan iki pozitif tam sayının kareleri toplamı en az
kaçtır?
Çözüm
3
En az ifadesinden minimum anlaşılacaktır.
–2
II. sayı
I. sayı
x
O
x
f(x) =
lıyız.
28–x ise
x2
+ (28 – x)2 fonksiyonunun minimum değerini bulma-
Türevinin grafiği verilen f(x) fonksiyonu için aşağıdaki
önermelerden hangisi doğru değildir?
f'(x) = 2x + 2(28 – x).(–1) = 4x – 56 ve
A) x0 = –2'de f(x) in minimum değeri vardır.
f'(14) = 142 + (28 – 14)2 = 2.142
B) f(–5) > f(–3)
f'(x) = 0 & 4x – 56 = 0 & x = 14 olur.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
= 392 en küçük değer olur.
C) f(5) < f(8)
D) 6 x ∈ (–2, + 3 ) için f'(x) > 0
E) x = 0 da f(x) in maksimum değeri vardır.
3.
Çevresi 60 cm olan dikdörtgenler içinde alanı maksimum
olanın alanı kaç cm2 dir?
Çözüm
Çözüm
f'(x) fonksiyonunun grafiği veriliyor.
Dikdörtgenin kenar uzunlukları
x ve y ise çevresi
Grafikten f'(–2) = 0 ve (– 3 , –2) aralığında f azalan
Ç = (2x + 2y) = 60 & x + y = 30
(–2, + 3 ) aralığında f artandır.
dur.
Alan: A = x.y ve x + y = 30
olduğundan
x
f'
–∞
–2
f
C
y
A
x
B
y = 30 – x olup A(x) = x(30 – x) = –x2 + 30x tir.
+∞
+
–
D
A'(x) = –2x + 30 ve A'(x) = 0
& –2x + 30 = 0 & x = 15 olur.
min
A''(x) = –2 < 0 olup x = 15 için alan maksimum olur.
Maksimum değer A(15) = 15.(30 – 15) = 225 cm2 dir.
A) x0 = –2 de f(x) in minimum değeri vardır önermesi doğrudur.
B) (– 3 , –2) aralığında f azalan olduğundan f(–5) > f(–3)
eşitsizliği doğrudur.
C) (–2, + 3 ) aralığında f artan olduğundan f(5) < f(8) eşit-
4.
Toplamları 2 ve çarpımları maksimum olan pozitif iki sayı
bulunuz.
D) 6 x ∈ (–2, + 3 ) için f'(x) > 0 önermesi doğrudur.
Çözüm
Sayılardan biri x ise diğeri 2 – x olur.
y = x(2 – x) çarpımının maksimum olması için y' = 0
olmalıdır.
E) (–2, + 3 ) aralığında f artan olup x = 0 apsisli noktada
y = 2x – x2 & y' = 2 – 2x = 0
sizliği doğrudur.
f nin maksimumu olamaz.
O halde doğru cevap (E) dir.
354
& 2x = 2 & x = 1 olur.
Diğer sayı 2 – 1 = 1 dir.
f: (0, 2π) → R
6.
Şekilde a, b > 0 ve
a + b = 6 birim ise taralı alanın
f(x) = sin2x + cosx fonksiyonunun ekstremum noktalarını
en büyük değeri kaç
bulalım.
y
d1
birimkaredir?
d2
A
–2ab
x
C
(a + b) 2ab
= 6.ab ve b = 6 – a ise
2
f'(x) = 2sinx.cosx – sinx ve
Alan A =
f'(x) = 0 & 2sinx.cosx – sinx = 0
A(a) = 6.a(6 – a) = 36a – 6a2 dir.
A'(a) = 36 – 12a ve A'(a) = 0 ise
& sinx(2cosx – 1) = 0
x = π veya x =
B
b
|AB| = a + b = 6 birim olup
f(x) = sin2x + cosx ise
sinx = 0 veya cosx =
O
a
Çözüm
Çözüm
36 – 12a = 0 & a = 3 ve b = 3 tür.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
5.
1
2
A''(a) = –12 < 0 olduğundan a = 3 için alan en büyük değerini alır. O halde alanın en büyük değeri:
r , 5r
3 3
A(3) = 6.3.3 = 18.3 = 54 birimkaredir.
f'(x) = 2sinx.cosx – sinx = sin2x – sinx
f''(x) = 2cos2x – cosx ve
f''(π) = 2.cos2π – cosπ = 2.1–(–1) = 3 > 0
7.
olduğundan x = π de minimum var.
f(π) = sin2π + cosπ = –1 olup A(π, –1) f nin bir minimum noktasıdır.
Çözüm
r
2r
r
1 1
3
f'' ( ) = 2 cos
– cos = 2. (– ) – = – < 0 olup
3
3
3
2 2
2
x=
x tane mal üretilmiş olsun.
x.p = 100x – 0,01x2 satıştan elde edilen kâr:k = xp – y
r
'te bir maksimumu vardır.
3
k(x) = 100x – 0,01x2 – 30x – 10.000
dk
= 0 & 70 – 0, 02x = 0
dx
0, 02x = 70
70
7000
x=
=
= 3500 bulunur.
0, 02
2
r 5
B ( , ) f nin bir maksimum noktasıdır.
3 4
5r
5r
5r
) = 2 cos 2.
– cos
3
3
3
1 1
3
= 2. (– ) – = – < 0 olup
2 2
2
x=
5r
te
3
bir maksimumu var.
f(
5r
5r
5r
) = sin 2
+ cos
3
3
3
= c–
C(
dir.
dk
= 100 – 0, 02x – 30 ve
dx
2
3m
1 3 1 5
r
r
r
f ( ) = sin 2 + cos = c
+ = + =
3
3
3
2
2 4 2 4
f'' (
Bir fabrika y = 30x + 10.000 liraya mal ettiği üretimin tanesini
P = 100–0,01x liraya satıyor. x üretim sayısını gösterdiğine
göre kârın en çok olabilmesi için üretim sayısı kaç olmalıdır?
2
3m
1 3 1 5
+ = + =
olup
2
2 4 2 4
5r 5
, ) f nin bir maksimum noktasıdır.
3 4
O halde f(x) = sin2x + cosx fonksiyonunun (0, 2π) aralığında
5
minimum değeri –1, maksimum değeri
olur.
4
8.
y = (x + 3)3 + 6 ifadesinin x = –3 te maksimum veya
minimumunun bulunup bulunmadığını inceleyelim.
Çözüm
y' = 3(x + 3)2 = 0 & x + 3 = 0 & x = –3 tür.
Demek ki x = –3 te türev sıfırdır. Bu, maksimum olması anlamına gelmez. İkinci türevi ne yaptığına bakmalıyız.
y'' = 6(x + 3) tür.
x = –3 için y'' = 0 olur. Bu nedenle x = –3 te ekstremum yok,
dönüm noktası vardır. (–3 sayısının üçüncü türevi sıfır yapmadığını görürüz.)
355
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
9.
Şekilde |AB| = |AC| = b,
|BC| = 2a ve a + b = k (k sabit)
ise, A(ABC) nin en büyük
değeri nedir?
10. Çarpımları 2 ve toplamları minimum olan pozitif iki sayı
bulunuz.
A
Çözüm
b
b
2
Sayılardan biri x olsun. Diğeri x olur.
Çözüm
&
A _ ABC i
için Heron formülü
2a
B
C
kullanılırsa
2
y = x + x toplamının minimum olması için y' = 0 olmalıdır.
& y' = 1 –
Çevre = 2u = 2a + b + b & u = a + b dir.
&
A _ ABC i = u. (u – a) (u – b) (u – c)
2
2
= 0 & 2 =1
x2
x
& x2 = 2 & x = " 2 pozitif olması
istendiğinden, x = 2 alınır.
= (a + b) . (a + b – 2a) . (a + b – b) . (a + b – b)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
= (a + b) . (b – a) .a.a ve
Diğer sayı ise
a + b = k & b = k – a olur.
2
= 2 olur.
2
&
A _ ABC i = A = k. (k – 2a) .a 2
A (a) = a 2 k 2 – 2a 3 k
A'(a) =
11. f (x) =
2ak 2 – 6a 2 k
=0
2 a 2 k 2 – 2a 3 k
Çözüm
f' (x) =
2ak (k – 3a)
k (k – 3a)
=
=
2a k 2 – 2ak
k 2 – 2ak
k.(k – 3a) = 0 & k ≠ 0 olduğundan k – 3a = 0 & a =
–3k. k 2 – 2ak – (k 2 – 3ak) .
A'' (a) =
=
=
k
A'' ( ) =
3
=
–2k
2 k 2 – 2ak
k 2 – 2ak
–3k. (k 2
2ak) + k 3
e 2x
– ex fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?
2
2e 2x
– e ve f'(x) = 0 ise e2x – e = 0
2
k
tür.
3
–
–
(k 2 –2ak) . k 2 – 2ak
noktası olup minimum değeri 0 dır.
–2k 3 + 3ak 2
(k 2 – 2ak) k 2 – 2ak
12. Bir daire diliminin çevresi 12 cm dir. Daire kesmesinin alanının en büyük olması için yarıçapı kaç cm olmalıdır?
k
–2k 3 + 3. .k 2
3
k
2k
k
b k 2 –2. k l k 2 –
3
3
–k 3
= –3 3 < 0
2
k . k
3
3
Çözüm
olduğundan a =
k
için
3
A (a) = a 2 k 2 – 2a 3 k ise
k 2
k 3
b l .k 2 – 2. b l .k
3
3
k4
2 4
–
k =
9 27
k4
k2
=
tür.
27 3 3
O
|OA| = |OB| = r
%
| AB | = , olsun.
1
Alan = r.,
2
356
1
2
e 2x
1
– ex fonksiyonunun minimum
b , 0 l noktası f (x) =
2
2
3ak 2
2r + , = 12
=
x=
1
1
1
1
f b l = e 2. 2 – e . = 0 dır.
2
2
2
&
A _ ABC i en büyük değerini alır. Bu değer;
k
A( ) =
3
e2x = e1
2x = 1
r
r
A
B
, = 12 – 2r
A(r) =
1
r.(12 – 2r) & A(r) = r.(6 – r)
2
& A'(r) = 6 – 2r = 0 & r = 3 cm dir.
13. f(x) = 2.(cos2x) + 3 x fonksiyonunun [0, 2π] aralığındaki
ekstremum değeri kaçtır?
Çözüm
f'(x) = 4cosx.(–sinx) +
f'(x) = –2sin2x +
–2sin2x +
Çözüm
1
f'(x) = ,n 2 x + x.2,nx. x
3 ve f'(x) = 0 ise
f'(x) = ,n 2 x + 2,nx = 0 & ,nx. (,nx + 2) = 0
3
3 = 0 & sin2x =
3
r
ve 2x =
2
3
x=
r
6
,nx = 0 V ,nx + 2 = 0 & ,nx = –2
x = 1 V x = e–2 dir.
f'' (x) =
2,nx
1
x + 2. x
f'' (1) =
2,n1
1
+ 2. = 0 + 2 = 2 > 0
1
1
r
r
f'' a k = –2. sin 4 = – 3
6
6
olup x =
r
apsisli nokta
6
(1, f(1)) yerel minimum
O halde f(x) = 2cos2x +
nokta ve yerel minimum değeri f(1) = 1. ,n 2 = 1 dır.
f''(e–2) =
maksimum noktasıdır.
3 x fonksiyonunun ekstremum
r
r
r
(maksimum) değeri f ( ) = 2 cos 2 + 3 . &
6
6
6
=
3
+
2
3r
6
2,ne –2
2
–2
+ –2 & –2 = –2e 2 < 0 olduğundan
e –2
e
e
^ e –2, f (e –2)h f nin yerel maksimum noktasıdır. f nin yerel
maksimum değeri f (e –2) = e –2 . (,ne –2) 2 =
4
dir.
e2
dır.
3
14. f (x) = x 4 – x 3 – 9x 2 + 7 fonksiyonunun ekstremum değeri
4
kaçtır?
16. a n =
n3
f'(x) = 3x3 – 3x2 – 18x = 3.x.(x2 – x – 6)
x3
3x(x + 2)(x – 3) = 0 & x1 = 0, x2 = –2, x3 = 3
f''(x) = 9x2 – 6x – 18
x2
fonksiyonunun maksimum değerini
+ 200
bulmalıyız.
f'(x) = 0 denkleminin kökleri f(x) in kritik noktalarıdır.
f'(x) = 0 & 3x(x2 – x – 6) = 0
n2
dizisinin en büyük terimi kaçtır?
+ 200
Çözüm
f(x) =
Çözüm
olup
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ve f''(x) = –4.sin2x.cos2x
f''(x) = –2.sin4x
15. f(x) = x,n 2 x fonksiyonunun ekstremum değerlerini bulunuz.
f' (x) =
2x. (x 3 + 200) – x 2 .3x 2
x (400 – x 3)
& f' (x) = 3
(x 3 + 200) 2
(x + 200) 2
f'(x) = 0 &
x (400 – x 3)
= 0 & x = 0 V x = 3 400
(x 3 + 200) 2
f''(0) = –18 < 0 olup (0, f(0)) yerel maksimum nokta,
f''(–2) = 9.(–2)2 – 6.(–2) – 18 = 30 > 0 olup (–2, f(–2))
x
yerel minimum nokta,
f'(x)
f''(3) = 9.32 – 6.3 – 18 = 45 > 0 olup (3, f(3)) yerel minimum
f(x)
–∞
3
0
–
+∞
400
+
–
artan
azalan
noktadır.
7 < 3 400 < 8 olduğundan, a7 veya a8 den büyük olan
O halde,
maksimum değerdir.
f(0) = 7 f nin yerel maksimum değeridir.
f(–2) = –9 f nin yerel minimum değeridir.
f(3) = –40
1
f nin yerel minimum değeridir.
4
a7 =
49
8
olduğundan dizinin en büyük terimi
> a8 =
543
89
a7 =
49
tür.
543
357
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
17. Yarıçapı R olan küre dışına çizilen minimum hacimli dik
koninin hacmi nedir?
Çözüm
18.
D
C
10
10
D
10
|OD| = x, |OA| = R ve
|BC| = r olsun.
x
Buna göre:
| DA | | OA |
=
+
| DC | | BC |
Koninin Hacmi:
R
B
ABCD yamuğunda verilenlere göre, yamuğun alanının
en büyük olabilmesi için |AB| = x ne olmalıdır?
A
O
dir.
x
C
Çözüm
B
D
10
1
1
V (x) = r.r 2 .h = .r.r 2 (x + R)
3
3
=
=
V' (x) =
=
r.R 2
3
.
A
1 . . R 2 (x + R) 2 .
(x + R)
r
3
x2 – R2
(x + R) 2
1
r.R 2 .
3
x –R
2 (x + R) . (x – R) –
(x – R) 2
10
E x–10
2
10
h
10
H x–10 B
2
[CE] // [DA] çizilirse AECD eşkenar dörtgen, CEB ikizkenar
üçgendir. |BE| = x – 10 olup [CH] ⊥ [AB] çizilirse
dir.
|EH| = |BH| =
(x + R) 2
x – 10
olur.
2
O halde h2 = 102 – b
r.R 2 (2x 2 – 2R 2) – x 2 – 2xR – R 2
.
3
(x – R) 2
h=
x – 10 2
x 2 – 20x + 100
l = 100 –
2
4
1
300 + 20x – x 2
2
=
r.R 2 x 2 – 2xR – 3R 2
.
3
(x – R) 2
&
&
10.h
h
+ (x – 10) .
A(ABCD) = 2. A _ CAE i + A _ CEB i = 2.
2
2
=
r.R 2 (x + R) (x – 3R)
.
3
(x – R) 2
A(ABCD)=10.
ve V'(x) = 0 ise x = –R ve x = 3R olur.
r.R 2 (2x – 2R) . (x – R) 2 – (x 2 – 2 x R – 3R 2) .2 (x – R)
V'' (x) =
.
3
(x – R) 4
1
.^ x + 10h . 300 + 20x – x2
4
A' (x) =
1
x + 10
20 – 2x
. 300 + 20x – x 2 + b
l.
4
4
2 300 + 20x – x 2
2 (x – R) 2 – 2 (x 2 – 2xR – 3R 2)
.
=
3
(x – R) 3
=
r.R 2 2.4R 2 rR
.
=
> 0 olduğundan
3
3
8R 3
x = 3R için koni minimum hacimli olur. Buna göre hacmin
1
8
r.R 2 .
= rR 3 birimküp bulunur.
3
3
(3R – R)
300 + 20x – x 2 + 100 – x 2
=0
4 300 + 20x – x 2
Δ = 100 + 800 = 900
x=
V (3R) =
olur.
& –2x 2 + 20x + 400 = 0; x 2 – 10x – 200 = 0
minimum değeri
(3R + R) 2
x – 10
l
4
A (x) =
rR 2
ve V''(3R) =
1
1 1
300 + 20x – x 2 + (x – 10) . .
300 + 20x – x 2
2
2 2
A (x) = 300 + 20x – x 2 . b 5 +
x = –R olamaz. x = 3R dir.
10 + 30
= 20 dir.
2
A''(10) < 0 olduğu kolayca görülebilir.
O halde |AB| = 20 bririm olur.
358
C
10
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
R (x + R)
x2 – R2 R
= r &r=
x +R
x2 – R2
A
2
DOA ve DBC üçgenleri benzerdir.
2
x –R
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
19. f: R → R f(x) = x4 – 3x2 – 1 fonksiyonu veriliyor.
f'(x) fonksiyonunun en küçük değeri kaçtır?
Çözüm
f'(x) = 4x3 – 6x & f''(x) = 12x2 – 6 dır.
21. Bir yamuğun üç kenarından her birinin uzunluğu 12 cm dir.
Yamuğun alanının en büyük olması için dördüncü kenar kaç
cm olmalıdır?
Çözüm
D
f''(x) = 0 için 12x2 – 6 = 0
6
1
2
=
& x2 =
&x="
dir.
12 2
2
12
12
C
12
144–x2
f'''(x) = 24x olup f'''(x) > 0 olacak şekildeki x değeri için
en küçük olacağından
2
2
2
için f''' (
) = 24 .
> 0 dır.
2
2
2
x=
2
için en küçük değere ulaşır.
2
Buna göre f'(x) fonksiyonunun en küçük değeri,
f' c
3
2m
2m
2m
= 4. c
– 6. c
2
2
2
= 4.
Çözüm
Eğri üzerindeki B (x,
x2
) noktası en yakın olan nokta olsun.
2
Uzaklık fonksiyonu , (x) ise
x2
– 1) 2
2
x3 – 8
x4
– 8x + 17
4
(x – 4) 2 + (
& ,' (x) =
2.
12
H
x
B
(2x + 12) + 12
E. 144 – x 2
2
A (x) = (x + 12) 144 – x 2
A' (x) = 144 – x 2 + (x + 12) .
=
ETKİNLİK
R yarıçaplı bir küre içine yerleştirilen maksimum hacimli dik silindirin
–2x
2 144 – x 2
144 – x 2 – x 2 – 12x
= 0 & 2x2 + 12x – 144 = 0
144 – x 2
x2 + 6x – 72 = 0
& x=
Δ = 36 + 288 = 324
–6 + 18
= 6 olur.
2
1
22. f(x) fonksiyonunun x0 da bir maksimumu varsa g(x) =
f (x)
fonksiyonunun x0 da bir minimumu olduğunu gösteriniz.
(f(x0) ≠ 0)
Çözüm
(x0, f(x0)) maksimum ise, a) f'(x0) = 0 ve b) f''(x0) < 0 dır.
a) g'(x0) =
& x = 2 dir.
yüksekliğini bulunuz.
K
A (x) = ;
2 2
– 3 2 = 2 2 dir.
8
1
20. A(4, 1) noktasına y = x 2 eğrisinin en yakın noktasının
2
apsisi kaçtır?
, (x) =
x
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
x=
A
b) g''(x0) =
g''(x0) =
–f' (x 0)
f 2 (x 0)
=
0
= 0 & g' (x 0) = 0
f 2 (x 0)
olur.
–f'' (x 0) .f 2 (x 0) + 2.f (x 0) . (f') 2 (x 0)
f 4 (x 0 )
–f'' (x 0) .f 2 (x 0) + 0
f 4 (x 0)
=
–f'' (x 0)
f 2 (x 0 )
olur.
f''(x0) < 0 olduğundan –f''(x0) > 0 olur.
Ayrıca f2(x0) > 0 dır. (Çift kuvvet olduğu için)
&
–f'' (x 0)
> 0 & g'' (x 0) > 0
f (x 0)
g' (x 0) = 0
4 & (x 0 , g (x 0))
g'' (x 0) > 0
olur.
minimumdur.
359
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
23.
y
24. ABC üçgeninde
%
m _ ABC i = 90°
y=x3
P
|AB| + |BC| = 20 cm
olduğuna göre,
|AC| nin en küçük değeri kaç
cm olur?
x
0
A
B
C
Çözüm
f(x) = x3 eğrisi üzerindeki değişken bir P noktasının K(4, 0)
noktasına uzaklığı en az kaç birimdir?
|AB| = x ise |BC| = 20 – x dir.
|AC| = f(x) =
f'(x) =
2x + 2 (x – 20)
=0
2 x 2 + (20 – x) 2
2x + 2x – 40 = 0
Çözüm
P noktasından x eksenine
4x = 40
y
x = 10
y=x3
[PH] dikmesini çizelim.
P(x, x3)
x
|OH| = x ise |PH| = x3 tür.
x3
İki nokta arasındaki uzaklık
0
H
x
| PK | = (4 – x) 2 + (x 3 – 0) 2
.
h (x) = (4 –
x) 2
+ x6
–∞
f'(x)
K(4,0)
x
10
+∞
+
–
f(x)
min
f(x) fonksiyonu x = 10 un solunda azalan, sağında artan
olduğundan x = 10 da minimum vardır.
olur.
h(x) fonksiyonunun minimum değerini bulmalıyız.
f (10) = 10 2 + (20 – 10) 2 = 100 + 100 = 200 = 10 2 cm
bulunur.
6x 5 + 2 (x – 4)
h' (x) =
=0
2 x 6 + (x – 4) 2
h' (x) =
x 2 + (20 – x) 2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
3x 5 + x – 4
=0
x 6 + (x – 4) 2
Alan en büyük olduğunda hipotenüs en küçüktür.
& 3x5 + x – 4 = 0 & (x – 1).(3x4 + 3x3 + 3x2 + 3x + 4) = 0
@
& (x – 1) . 6134x4(x4+44
1)2
(x 24+414) +
4443 = 0
!0
ETKİNLİK
x – 1 = 0 & x = 1 dir.
f(x) = sinx + cosx fonksiyonunun [0, 2π] aralığındaki yerel minix
h'(x)
–∞
+∞
1
+
–
h(x)
min
x = 1 in solunda h(x) fonksiyonu azalan, sağında artan olup
x = 1 de h fonksiyonunun minimumu vardır.
x = 1 için h(1) =
360
(4 – 1) 2 + 1 6 = 10 birim bulunur.
mum ve yerel maksimum değerlerini bulunuz.
25.
26.
y
|AB| = |AC|
|BC| = a
|AH| = 4a
|KF| = x
Bu üçgenin içine şekildeki gibi
bir dikdörtgen yerleştiriliyor. Bu
dikdörtgenin alanının maksimum olması için, kenarları
a cinsinden ne olmalıdır?
A
P2
P1
0
H1
K
D
x
H2
x
y = 16 – x 2 yarım çemberi üzerinde P1 ve P2 noktaları alınıyor. P1 ve P2 den x eksenine çizilen dikme ayakları sıra-
B
L
H
F
C
Çözüm
|P1H| + |P2H| toplamının en büyük değeri kaçtır?
|AB| = |AC| olduğundan [AH], [BC] yi ortalar
Çözüm
H 1 b x 1,
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
sıyla H1 ve H2 dir. |H1H2| = 4 birim olduğuna göre,
& | HC | =
16 –
2
x1 l
, H2 bx2 ,
16 –
2
| P1 H 1 | + | P2 H 2 | =
2
x2 l
olup
2
16 – x 2 ve
16 – x 1 +
| CF |
| CF |
x
x
=
& a =
&
4a
| CH | | AH |
2
| CF | =
2
16 – x 1 +
olur.
|KF| = x diyelim.
x2 – x1 = 4 (veriliyor.) olur.
f (x 1) =
a
2
x
olur.
8
16 – (4 + x 1) 2
| FH | = | HC | – | CF | =
f (x 1) =
2
16 – x 1 +
–8x 1 – x 21
| FL | = a –
f'(x1) =
–2x 1
2 16 –
–x 1
16 –
x 21
x 21
+
–8 – 2x 1
2 –8x 1 – x 21
(4 + x 1 )
–
–8x 1 – x 21
=0
A(x) = (a –
A' (x) = a –
x 1 a –8x1 – x 1 k = ^ 4 + x1h2 . a 16 – x 1 k
2
x
bulunur. Dikdörtgenin alanı A(x) ise,
4
x
x2
) .x = ax –
4
4
olur.
A(x) in maksimum olması için A'(x) = 0 olmalıdır.
=0
–x 1 –8x 1 – x 21 = (4 + x 1) 16 – x 21
2
a x
–
&
2 8
2x
x
=a – =0 &
4
2
x
= a & x = 2a
2
2
| LF | = a –
x
2a 2a a a
=a –
=
– =
4
4
2
2 2
–8x 31 – x 41 = (16 + 8x 1 + x 21) . (16 – x 21)
Demek ki dikdörtgenin kenarları
a
ve 2a olmalıdır.
2
–8 x 31 – x 41 = 256 – 16 x 21 + 128x 1 – 8 x 31 + 16 x 21 – x 41
128x1 = –256 & x1 = –2
| P1 H 1 | + | P2 H 2 | = 16 – (–2) 2 + –8. (–2) – (–2) 2
= 12 + 12 = 4 3
tür.
UYARI
Dikdörtgenin yüksekliği, üçgenin yüksekliğinin yarısıdır.
Maksimum alan ise,
a
. 2a = a 2 dir. (Üçgenin alanının yarısı)
2
361
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
UYGULAMA ADIMI
1.
Toplamları 8 olan iki reel sayının çarpımları en çok kaç
olur?
4.
f: R → R, f (x) =
2
e x – 1 fonksiyonunun minimum değeri
kaçtır?
16
0
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
5.
y
4
C
D
2.
2
–2
Çarpımları 24 olan iki reel sayının toplamları en az kaç
olur?
A
B
x
–4 6
6.
y
1
A
1
3.
f(x) = x3 – 6x2 + 1
fonksiyonunun minimum ve maksimum
değerlerini bulunuz.
–1
0
x
B
Denklemi y = f(x) = 4 – x2
parabol veriliyor. ABCD
dörtgen olduğuna göre
dörtgenin alanı en çok
birimkare olur?
olan
dikdikkaç
32 3
9
Şekildeki birim çemberde B
sabit A değişken bir noktadır.
Buna göre, AOB üçgeninin
alanının en büyük değeri kaç
birimkaredir?
d
–1
1 maksimum
–31 minimum
362
1
2
7.
10. Kare prizma biçiminde üstü açık, 32000 m3 hacminde bir
yüzme havuzu yapılacaktır. En az malzeme kullanılarak yapılan bu havuzun yüzey alanı kaç m2 olur?
E
A
6
4
B
C
D
10
Şekilde |BD| = 10 m, |AB| = 4 m ve |ED = 6 m dir.
C, [BD] üzerinde değişken bir nokta ise,
|CA| + |CE| toplamı en az kaç birim olur?
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
4800
11. Şekildeki daire diliminin çevresi
40 birim ise, alanının en büyük
değeri kaç birimkaredir?
y
x
x
10 2
8.
y = x eğrisinin A(9, 0) noktasına en yakın noktasının
apsisi nedir?
17
2
9.
O
f(x) = x3 + mx2 + nx – 3 fonksiyonunun x = 2 noktasındaki
maksimum değeri 4 ise n kaçtır?
12. Yandaki şekilde A ve B noktalarından geçen d doğrusu değişkendir. x2 + y = 48 ise AOB üçgeninin alanının en büyük
olduğu anda |AB| uzunluğu
kaçtır?
100
y
O
y
A
B
x
x
d
4 3
11
363
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
13. Şekildeki O merkezli yarım
çemberde [DA] ⊥ [AB] ,
D
16. Şekilde f(x) = –x2 parabolünün
grafiği verilmiştir. Grafik üzerindeki P noktasının A(–3, 0) noktasına olan uzaklığının en
küçük olması için,
C
[CD] ⊥ [AD] ve
|AB| = 8 br ise,
ADC üçgeninin alanının en
büyük değeri nedir?
A
O
8
y
A(–3,0)
x
0
P
B
P noktası aşağıdakilerden
hangisi olmalıdır?
A) b –
1
1
, – l
2
4
D) b –
B) ^ – 3 , –3h
2
4
, – l
3
9
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
C) b –
3
9
, – l
4
16
E) (–1, –1)
6 3
14. f(x) = x2 parabolü üzerinde
apsisleri x1 ve x2 olan A ve B
noktaları alınıyor. |x1| + x2 = 8
ise, |AB| uzunluğunun en
küçük değeri kaçtır?
y
E
B
A
x1
x
x2
0
17. Yarıçapı 2 birim olan küre içine yerleştirilen maksimum
hacimli dönel silindirin hacmini bulunuz.
8
15. Değişken durumlu d1 ve d2
doğruları birbirine dik olacak
şekilde hareket ediyor.
x1 + x2 = 6 ise, |OK| = x
uzunluğunun en küçük
değeri kaçtır?
d1
y
K
x2
O
d2
x
x1
x
3 2
364
32 3 r
9
18. Taban yarıçapı r ve yüksekliği 4r olan koni içine çizilen
maksimum hacimli silindirin hacmini hesaplayınız.
16r.r 3
27
Türevin işareti incelenirken en büyük kökün sağına y' türevinin en
GRAFİK ÇİZİMİ
yüksek dereceli teriminin işareti yazılır. Türevin tek katlı köklerinin
1. POLİNOM FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
soluna sağındaki işaretin tersi, çift katlı köklerin soluna sağındaki
y = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0
işaretin aynısı yazılır.
biçimindeki bir fonksiyonun grafiğini çizerken aşağıdaki yolu
izlemek kolaylık sağlar:
6. Tablodaki bilgiler koordinat sistemine aktarılarak fonksiyonun
grafiği çizilir.
1. Tanım kümesi bulunur. Bu tür fonksiyonların tanım kümesi
(–∞, +∞), yani R dir.
ETKİNLİK
x → +∞ için y → ?
bulunur.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
2. x → –∞ için y → ?
y = x2 – 6x + 8 fonksiyonunun grafiğini çizelim.
i) Fonksiyon R de tanımlıdır.
Burada y bulunurken en yüksek dereceli terim olan anxn de
x yerine ! 3 yazılır. Yani y =
lim (a n x n) limiti bulunur.
ii) x = +∞ için y = +∞
x "!3
f
Burada bulunan iki y değeri, eğrinin uçlarının hangi bölgede olduğunu belirtir. Yani,
x → –∞ için y → –∞ III. bölgeyi
x =+ 3
y=3
olup asimptot yoktur.
p
iii) y' = 2x – 6 = 0 & x = 3 için ekstremum vardır. x = 3 için
x → –∞ için y → +∞ II. bölgeyi
y = 32 – 6.3 + 8 = –1
x → +∞ için y → +∞ I. bölgeyi
f
x → +∞ için y → –∞ IV. bölgeyi belirtir.
3. Eğrinin x ve y eksenlerini kestiği noktalar bulunur.
x=3
y = –1
p ekst.
iv) x = 0 için y = 8 olup
f
x=0
y=8
p
Oy ekseni kesimi ve y = 0 için
x2 – 6x + 8 = 0 & x1 = 2
x = 0 için bulunan y değeri eğrinin y eksenini kestiği noktayı
y = 0 için bulunan x değerleri eğrinin x eksenini kestiği
x2 = 4 olup Ox ekseni kesimi bulunur.
noktaları verir.
f
x=2
y=0
p, f
x=4
y=0
p
UYARI
y = 0 denkleminin tek katlı köklerinde eğri x eksenini keser,
çift katlı köklerinde eğri x eksenine teğettir.
v)
x –∞
y'
+∞
4. y' türevi bulunur y' = 0 denkleminin kökleri ve bu köklere kar-
2
0
–
–
3
–
+
+∞
–1
min
8
+∞
4
+
y
vi)
şılık gelen y değerleri bulunur.
8
5. Değişim tablosu düzenlenir. Yukarıda elde edilen değerler
tabloya yerleştirilir. Türevin işareti incelenerek fonksiyonun artan
ya da azalan olduğu bölgeler ve ekstremum noktaları belirtilir.
0
3
2
4
x
365
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
Değişim tablosu:
y
0
2. Limit: lim (x 3 – x 2) = lim x 3 = (–3) 3 = –3
x " –3
x " –3
lim (x 3
x "+3
–
x 2) =
6.
lim x 3 = (+ 3) 3 = + 3
x "+3
Yani x → + 3 için y → – 3 III. bölge
+
––
+
––
Eğri III. bölgeden gelecek, artarak (0, 0) noktasında maksimum değerini alacak ve sonra azalarak b
2 –4
,
l noktasında
3 27
minimum değerini alacaktır. Buradan sonra artarak (1, 0)
noktasından geçecek ve I. bölgeden gidecektir.
Grafik:
x → + 3 için y → + 3 I. bölge
y
olup eğrinin uçları III. ve I. bölgededir.
3.
––
min.
ÇÖZÜM
1. Tanım kümesi: (–∞ , ∞) = R
––
0
4
27
maks.
+∞
1
–
+
––
y'
çiziniz.
2
3
0
––
–∞
––
x
y = f(x) = x3 – x2 fonksiyonunun değişimini inceleyip grafiğini
––
5.
ÖRNEK – 1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
Grafiğin eksenleri kestiği noktalar:
0
f(x)
2
3
1
x
A) x eksenini kestiği noktalar:
4
27
y = 0 için x3 – x2 = 0 & x2(1 – x) = 0
x2 = 0 veya 1 – x = 0 & x1 = x2 = 0 veya x3 = 1
olduğundan x eksenini A(0, 0) , B(1, 0) noktasında keser.
x = 0 çift katlı kök olduğundan eğri bu noktada x eksenine
UYARI
a ∈ R ve n ∈ N+ için y = f(x) fonksiyonu için:
teğettir.
1. y = f(x) = (x – a).g(x) ise fonksiyonun grafiği x eksenini
x = a noktasında keser.
B) y eksenini kestiği noktalar:
x = 0 & y = 0 olduğundan grafik 0(0, 0) noktasından geçer.
4.
Türev:
y' = f'(x) =
3x2
– 2x ve f'(x) = 0 ise
2. y = f(x) = (x – a)2n . g(x) ise fonksiyonunun grafiği x = a
noktasında x eksenine teğettir.
3. y = f(x) = (x – a)2n–1.g(x) ise n ≥ 2 için fonksiyonun
x = a noktasında dönüm noktası vardır.
2
x(3x – 2) = 0 & x4 = 0 veya x5 =
3
x4 = 0 & y = f(x4) = f(0) = 0
C(0, 0)
x5 =
2
2 3
2 2
4
2
& y = f(x5) = f b l = b l – b l = –
3
3
3
3
27
ÖRNEK – 2
Üçüncü dereceden bir f(x)
Db
2 –4
,
l
3 27
dir.
C ve D noktaları ekstremum noktası olmaya aday noktalardır.
366
fonksiyonu
y– eksenini (0, 16),
x– eksenini (–1, 0) noktalarında kesiyor. Ayrıca x eksenine (4, 0)
noktasında teğet oluyor. Bu eğrinin denklemi nedir?
POLİNOM FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİNİN PRATİK
ÇÖZÜM
y = f(x) eğrisi (–1, 0) noktasından geçtiğine göre ve (4, 0)
noktasında x eksenine teğet olduğuna göre eğrinin denklemi:
OLARAK ÇİZİMİ
y = P(x) = anxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + ... + a1x + a0 verilsin.
y = f(x) = a(x + 1)(x + 4)2 biçimindedir. Eğri (0, 16) noktasından da
geçtiğinden
1) Grafiğin hangi bölgede başlayıp hangi bölgede bittiğine
f(0) = 16 & a.(0 + 1)(0 + 4)2 = 16 & a = 1 olup
bakılır.
y = f(x) = (x + 1)(x + 4)2 dir.
a)
lim
y = –3 ise grafik III. bölgede başlar.
lim
y = –3 ise IV. bölgede biter.
x " –3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
x "+3
ÖRNEK – 3
lim y = + 3 ise I. bölgede biter.
x "+3
lim y = + 3 ise I. bölgede biter.
m ∈ R olmak üzere f(x) = 2x3 – x2 – 2mx + m fonksiyonunun
x "+3
eğrisi x eksenine teğet ise, m nin alabileceği değerlerin toplamı
b)
nedir?
lim
ÇÖZÜM
x "+3
f(x) = 2x3 – x2 – 2mx + m = x2(2x – 1) – m(2x – 1)
1)(x2
f(x) = (2x –
– m) yazılabilir. Eğrinin x eksenine teğet olabil-
mesi için f(x) = 0 denkleminin eşit iki kökü olmalıdır. f(x) = 0 ise
– m) = 0 & 2x – 1 = 0 veya
(2x –
1)(x2
x1 =
1
veya x 2 = m veya x 3 = – m
2
Köklerden biri x 1 =
x=
lim y = + 3 ise grafik IV. bölgede başlar.
x " –3
x2
–m=0
1
olduğundan x2 – m = 0 denkleminde
2
1 2
1
1
yazılırsa b l –m = 0 & m =
olur.
2
2
4
y = –3 ise IV. bölgede biter.
2) P(x) = 0 denkleminin kökleri bulunur.
Denklemin tek kat kökleri için x eksenini konkavlığın
yönünü değiştirmeden keser.
Denklemin çift kat köklerinde x eksenine teğet olur.
Bu noktalar yerel ekstremum noktalarıdır.
3) m, 3 veya 3 ten büyük tek sayı olmak kaydıyla
P(x) in (x – a)m gibi bir çarpanı varsa x = a
P(x) in grafiğinin bir dönüm noktasıdır.
Böylece f(x) = (2x – 1)(x2 – m) = 0 denkleminin eşit iki kökü olur.
Bu durumda eğri b
1
, 0 l noktasında x eksenine teğettir.
2
x2 – m = 0 denkleminin eşit iki kökünün olması durumunda da
f(x) = 0 denkleminin eşit iki kökü olur.
Bunun için Δ = b2 – 4.a.c = 0 olmalıdır.
O halde
x2
ETKİNLİK
y = (x + 1)2.(2 – x) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
– m = 0 denkleminde
a = 1, b = 0, c = m olduğundan
Δ = 0 – 4.1. m = 0 & m = 0 dır.
Bu durumda eğri x– eksenine (0, 0) noktasında teğettir.
O halde, m değerlerinin toplamı
1
1
+0=
dir.
2
2
367
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
UYGULAMA ADIMI
y = x3 –3x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
2.
Çözüm
a)
b)
y = x(x – 1)2(x + 4) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm
6x ! R için tanımlıdır.
lim (x 3 – 3x) =
x " –3
1)
3
lim x 3 (1 – x ) = –3 .1 = –3
lim y = + 3 olduğundan birinci bölgeden devam eder.
x "+3
x " –3
3
lim (x 3 – 3x) = lim x 3 (1 – x ) = + 3.1 = + 3
x "+3
x "+3
2) x(x – 1)2(x + 4) = 0 ise x2 = 0, x2 = x3 = 1 (çift katlı kök)
c) x = 0 için y = 0 dır.
x3 –
y = 0 için
x4 = –4 olduğundan, x = 0 ve x = –4 te
3x = 0 &
x(x2
– 3) = 0 &
grafik x eksenini keser.
x = 0 V x2 – 3 = 0 &
x = 1 çift katlı kök olduğundan x = 1 de grafik
x eksenine teğettir.
x=0 V x=– 3 V x= 3 &
(0, 0) ,
lim y = 3 olduğundan, grafik ikinci bölgeden başlar.
x " –3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
1.
x = 1 de yerel minimum var.
(– 3 , 0) ( 3 , 0) noktalarında eksenleri keser.
y
d) y' = 3x2 – 3 = 0 & x2 = 1 & x = " 1
f(–1) = –1 + 3 = 2, f(1) = 1 – 3 = –2
& (–1, 2), (1, –2) olur.
x
–∞
–1
+
y'=3x2–3
0
–4
1
x
+∞
1
–
+
e) y'' = 6x = 0 & x = 0
f(0) = 0 & (0, 0)
x
–∞
+∞
0
–
y''=6x
+
3.
f)
y = x2(x – 3)2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Değişim tablosu:
Çözüm
x
–∞
–1
y'
+
y''
–
y
–∞
0
+∞
1
–
–
+ +
–
+
+ +
2
0
Dönüm
Noktası
maks.
1)
lim y = + 3 ve
x " –3
lim y = + 3 olduğundan grafik ikinci
x "+3
bölgeden başlar ve birinci bölgeden devam eder.
+∞
–2
min.
2) x2(x – 3)2 = 0 & x1 = x2 = 0 (çift katlı kök)
x3 = x4 = 3 (çift katlı kök)
Grafik:
Grafik:
y
y
2
1
– 3
–1
0
x
3
0
–2
368
3
x
UYGULAMA ADIMI
y = 3(x – 2)3(x + 1)2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
lim y = + 3 olduğundan grafik
lim y = –3 ve
x " –3
x "+3
üçüncü bölgeden gelip birinci bölgeden devam eder.
2) 3(x –
Yandaki üçüncü dereceden
y=
Çözüm
1)
6.
2)3(x
+
1)2
= 0 & x1 = x2 = x3 = 2 (üç katlı kök)
ax3
+
bx2
y
+ cx + d
fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Fonksiyonun minimum
noktasının ordinatını bulunuz.
–1
0
x
5
–10
x4 = x5 = –1 (çift katlı kök)
x = 2 dönüm noktasının apsisidir.
Çözüm
y
x = –1 de Ox eksenine teğet olduğu için (x + 1)2 çarpanı
y=f(x)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
vardır. x = 5 te Ox kesildiği için fonksiyon (x – 5) çarpanını
–1
0
x
2
taşır. Buna göre fonksiyon y = a.(x + 1)2.(x – 5) yapısında
olup
x = 0 için y = –10 olacağından
–10 = a(0 + 1)2.(0 – 5) & a = 2 olup fonksiyon
y = 2(x + 1)2.(x – 5) tir.
y' = 2.[2(x + 1).(x – 5) + (x + 1)2]
5.
y
y' = 2.(x + 1).(2x – 10 + x + 1) = 2(x + 1).(3x – 9) = 0
ile türev kökleri x1 = –1 ve x2 = 3 olup
2
–2
0
x
3
y=f(x)
x = 3 te minimum oluşmuştur. x = 3 için
ymin = 2.(3 + 1)2.(3 – 5) = –64
bulunur.
Şekilde grafiği verilen üçüncü dereceden
ETKİNLİK
y = f(x) fonksiyonunu bulunuz.
Çözüm
y = f(x) fonksiyonunun grafiği x = –2 de x– eksenine teğet
olduğundan (x + 2)2 çarpanı vardır. x eksenini x = 3 te kestiği için (x – 3) çarpanı vardır.
f: R → R, f(x) = x3 – x fonksiyonunun grafiğini çiziniz. f nin yerel
2 3
2 3
minimum değerinin –
, yerel maksimum değerinin
9
9
olduğunu gösteriniz.
f(x) = a(x + 2)2(x – 3) şeklindedir.
Grafik (0, 2) noktasından geçtiğinden
2 = a.(0 + 2)2.(0 – 3) & –12a = 2
a=–
1
bulunur.
6
1
O halde f(x) = – (x + 2) 2 . (x – 3) bulunur.
6
369
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
4.
1.
4.
y
y
4
2
2
–4
0
2
x
–1
0
x
y=f(x)
y=f(x)
Şekilde grafiği verilen üçüncü dereceden fonksiyonu bulunuz.
Şekildeki grafiğe ait fonksiyonu bulunuz.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
y = –(x+1)2(x–2)
1
y = – (x + 4) 2 (x–2)
8
5.
2.
y = (x – 2)(x + 2)2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
f(x) = x3 – x2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y
8
2
0
–2
x
y
1
0
3.
x
f(x) = x(x2 – 9) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
6.
f(x) = x3.(x + 2)2 fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y
y
–2
0
–3
370
0
3
x
x
7.
10.
y
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
y
y=f(x)
2
–1
0
–4
x
2
x
O
Şekildeki grafik dördüncü dereceden bir fonksiyona ait
olduğuna göre, bu fonksiyonu bulunuz.
A
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
Şekildeki grafik y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d fonksiyonuna ait
olduğuna göre, A noktasının apsisini bulunuz.
y=
8.
1
(x + 1) 2 . (x–2) 2
2
–
4
3
y
11.
y
y=f(x)
2
2
–1
0
2
3
x
–1
y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
O
x
4
fonksiyonunun grafiği veŞekilde
rilmiştir. a + b + c + d toplamının değeri kaçtır?
Grafik y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d fonksiyonuna aittir.
a + b + c + d nin değeri kaçtır?
4
3
6
9.
y
12.
A 18
y
y=f(x)
0
B(–3,0)
Şekildeki grafik y = f(x) =
O
ax4
C
+
bx2
x
–4
2
x
(2, –4)
+ c fonksiyonuna aittir.
Yukarıda grafiği verilen fonksiyonu bulunuz.
Köşeleri A, B, C olan üçgenin alanı kaç birimkaredir?
y=
1 3 3 2
x – x
4
2
54
371
ASİMPTOTLAR
ETKİNLİK
1.
f (x) =
2x – 1
fonksiyonunun asimptotlarını
x+7
lim f (x) = lim
x$3
x$3
lim {f (x) – g (x)} = 0 ya da
x " –3
lim {f (x) – g (x)} = 0
x "+3
ise
y = g(x) fonksiyonuna y = f(x) in asimptotu denir.
bulalım.
i)
y = f(x) fonksiyonu için
g(x) = sabit ise yatay asimptot g(x) = mx + n biçiminde bir doğru ise eğik
asimptot, bunların dışında eğri asimptot adını alır.
2x – 1
= 2
x+7
Daha doğrusu;
lim f (x) = k ise y = k yatay asimptot.
x"3
olduğu için y = 2 yatay asimptottur.
lim f(x) = 3 ise eğik ya da eğri asimptot vardır.
x"3
ii) x = –7 için f(x) → ∞ olduğundan, x = –7
düşey asimptottur.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
y = mx + n biçiminde bir eğik asimptot varsa
m = lim
x"3
f (x)
x
n = lim {f(x) – mx} ile bulunur.
x"3
lim f (x) = + 3
2.
ETKİNLİK
x"a
x"a
nun düşey asimptotu denir.
Aşağıdaki fonksiyonların asimptotlarını bulunuz.
a) f (x) =
ya da lim f (x) = –3 ise x = a doğrusuna f(x) fonksiyonu-
3x – 1
2x + 5
f (x) =
g (x)
biçimindeki fonksiyonlarda h(x) = 0 denkleminin köklerinde
h (x)
düşey asimptot vardır.
ÖRNEK – 1
f (x) =
2x + 3
fonksiyonunun asimptotlarını bulunuz.
5x + 1
ÇÖZÜM
1.
2.
b) f (x) =
lim f (x) = lim
x ""3
x "!3
2
2x + 3 2
olduğundan y =
yatay asimptottur.
=
5
5x + 1 5
5x + 1 = 0 & –1 & x = –
1
doğrusu düşey asimptottur.
5
x2 + x – 7
x+2
ÖRNEK – 2
f (x) =
3x 2 – 1
eğrisinin asimptotlarını bulunuz.
x2 – 1
ÇÖZÜM
1.
372
lim f (x) = lim
x "!3
x "!3
3x 2 + 1 3
= = 3 olup y = 3 doğrusu yatay asimptottur.
1
x2 – 1
2.
ETKİNLİK
x2 – 1 = 0 & x2 = 1 & x = ! 1 doğruları düşey asimptottur.
ÖRNEK – 3
f(x) = e–x.sinx + x
fonksiyonunun asimptotlarını bulalım.
f (x) =
lim
x$3
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
f (x) = lim (e–x . sin x + x) = 3
x$3
2x 2 – x + 1
fonksiyonunun asimptotlarını bulunuz.
x –1
ÇÖZÜM
olduğundan, eğik asimptotunun varlığını araştıralım.
=
f (x)
e–x . sin x + x
= lim
x
x $+3 x
x $+3
lim >
x $ + 3 x.ex
+ 1H = 1
x"3
m = lim
lim
sin x
lim f (x) = lim
x"3
x"3
2x 2 – x + 1
= 3 olduğundan yatay asimptot yoktur.
x –1
f (x)
2x 2 – x + 1
=2
x = xlim
" 3 x (x – 1 )
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
m=
1.
n = lim {f (x) – 2.x} =
x " –3
lim
x " –3
n = lim
n=
lim 6 f (x) – 1.x @
x $+3
x " –3
2x 2 – x + 1
– 2x
x –1
x +1
= 1 olduğundan
x –1
y = mx + n = 2x + 1 eğik asimptottur.
=
lim
x $+3
6 e–x . sin x + x – x @
2.
= lim e–x . sin x = lim
x$3
sin x
x $ 3 ex
=0
x – 1 = 0 & x = 1 doğrusu düşey asimptottur.
UYARI
y = ax 2 + bx + c fonksiyonunda a > 0 ise eğrinin
olduğu için x → + 3 için
y= a. x+
b
2a
biçiminde bir eğik asimptotu vardır.
y = 1.x + 0 & y = x eğik asimptottur.
a < 0 için x " 3 durumunda karekök içi negatif olacağından asimptot
f (x)
e–x sin x + x
= lim
lim
x $ –3 x
x $ –3
x
=
lim ;
x $ –3
e–x . sin x
+ 1E
x
hesaplanamaz. Bu tür bir eğrinin eğik asimptotu yoktur.
2. KESİRLİ FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
limitinde ilk terim x $ –3 için sınırsız olarak
arttığından limit yoktur.
f (x)
limiti olmadığından x $ –3 için
lim
x $ –3 x
asimptot yoktur.
Bu tür fonksiyonların grafiğinde yatay, eğik ve eğri asimptotlardan sadece birisi
vardır. Grafik asimptotların x " –3 ucundan gelir, x " + 3 ucuna gider.
f (x) =
g (x)
rasyonel fonksiyonunda h(x) = 0 denkleminin kökü olan x değerlerih (x)
nin çift ya da tek katlı oluşuna göre eğri asimptota yaklaşır veya uzaklaşır.
y
x=a
çift katlı
kök ise
y
a
x
x=b
tek katlı
kök ise
b
x
373
ETKİNLİK
y=
y=
2x – 4
fonksiyonunun grafiğini çizelim.
x –1
x
g (x)
fonksiyonunun değişim tablosu yapılırken
h (x)
–∞
+∞
y'
i)
Paydayı sıfırlayarak x – 1 = 0 & x = 1 için
y
∞ ∞
∞ ∞
fonksiyon y = " 3 olup tanımsızdır. x = 1
x in değerleri sırasıyla yerleştirilir. Düşey asimptotlara çift çizgi çekilir ve her çizgi-
de düşey asimptot verir.
f
ii)
x =1
y=" 3
lim y =
x=" 3
y=2
türevin işareti aynı, sağdaki sonsuzun işareti ile çizginin sağındaki türevin işareti
p Düşey asimptottur.
x $"3
f
nin ucuna birer sonsuz ( 3 ) yazılır. Soldaki sonsuzun işareti ile çizginin solundaki
2x – 4
lim
x $"3 x – 1
terstir.
Türevin işareti incelenirken türevin en büyük kökünün sağına g'.h – g.h' deki en yük-
= 2 olup
sek dereceli terimin işareti yazılır. Türevin tek katlı kökünün soluna sağındaki işare-
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
tin tersi, çift katlı kökünün soluna sağındaki işaretin aynısı yazılır.
p
Önce asimptotlar çizilir, sonra diğer noktalar işaretlenerek grafik tamamlanır.
ÖRNEK – 1
Yatay asimptot verir.
y' =
2. (x – 1) –1. (2x – 4)
(x – 1) 2
=
y = f(x) =
2
(x – 1) 2
x +1
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x –1
ÇÖZÜM
iii) y' > 0 olup fonksiyon daima artandır.
1.
Ekstremum yok.
iv) x = 0 için y =
2.
x=0
2.0 – 4
=4 & f
p
0–1
y=4
2x – 4
= 0 & 2x – 4 = 0
x +1
& x = 2 dir.
y = 0 için
&f
x=2
y=0
p
–∞
y
0
1
+
+
2
x +1
= 1 olup y = 1 yatay asimptottur.
x –1
lim
x "!3
3.
x – 1 = 0 & x = 1 olup x = 1 doğrusu düşey asimptottur.
4.
f' (x) =
1. (x – 1) – (x + 1) 1
–2
=
olup 6x ! R – {1} için f'(x) < 0 dır.
( x – 1) 2
(x – 1) 2
Ayrıca f'(x) = 0 denkleminin kökleri yoktur.
5.
x
lim f (x) =
x "!3
Bu nedenle fonksiyonun maksimum veya minimum noktası yoktur.
v)
y'
x – 1 = 0 & x = 1 olup tanım kümesi R – {1} dir.
D(–1, 0) noktasından geçer.
+
6.
+∞
4
+∞
2
+
0 +1
= –1 olup eğri A(0, –1) den geçer.
0–1
0+1
y=0 &
= 0 & x + 1 = 0 & x = –1 olduğundan eğri
0–1
x = 0 & y=
Tablo
2
0
y
–∞
y'
y
y
–1
0
–
1
0
–1
7.
Grafik
–∞ +∞
1
2
1
ters
y
2
0
–
aynı
4
+∞
1
–
–
x
1
–1
O
–1
374
1
x
ÖRNEK – 2
2x2 – 4x + 6
y=
x2 + 2x – 3
fonksiyonunun grafiğini
y = f (x) =
x 2 – 5x + 6
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
(x – 1) 2
çizelim.
ÇÖZÜM
x2 + 2x – 3 = 0 için x1 = –3 ve x2 = 1
i)
de fonksiyon tanımsız ve süreksizdir.
1.
Düşey asimptot verir.
f
Düşey asimptotlar
ii)
x =1
y=" 3
p
y=" 3
p D.A.
2.
lim f (x) =
x "!3
x $"3
f
y=
x=" 3
y=2
iii) y' =
y' =
2x2 – 4x + 6
lim
x $ " 3 x2 + 2x – 3
p Y.A
(x – 1)2 = 0 & x = 1 (çift katlı) düşey asimptottur.
4.
f' (x) =
= 2 olup
(2x – 5) (x – 1) 2 – (x 2 – 5x + 6) .2 (x – 1)
(x – 1) 4
dir. y' = 0 & 8x2 – 24X = 0
& x1 = 0; x2 = 3 ekstremum noktalarıdır.
x=0
y = –2
pekst. f
x=3
y=1
pekst.
=
3x – 7
(x – 1) 3
7
tür.
3
7
1
Ab , – l
3
8
x1 = 0 için y1 = –2 ve x2 = 3 için y2 = 1 dir.
f
(x – 1) (2x 2 – 7x + 5 – 2x 2 + 10x – 12)
(x – 1) 4
7 2
7
b l – 5. + 6 49 – 35 + 6
3
3
1
3
y=
= 9
=–
2
8
16
7
b – 1l
9
3
(x2 + 2x – 3) 2
8x2 – 24x
=
f'(x) = 0 & 3x – 7 = 0 & x =
(4x–4)^ x2 + 2x–3) – (2x + 2h . (2x2 –4x + 6)
(x2 + 2x – 3) 2
x 2 – 5x + 6
= 1 olduğundan y = 1 yatay asimptottur.
(x – 1) 2
3.
D.A. dır.
Yatay asimptot bulalım.
lim
lim
x "!3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
f
x = –3
(x – 1)2 = 0 & x = 1 olup tanım kümesi R – {1} dir.
5.
y = 0 için
x 2 – 5x + 6
= 0 & x 2 – 5x + 6 = 0 & x = 2, x = 3 olur.
(x – 1) 2
Grafik B(2, 0), C(3, 0) dan geçer. x = 0 için y = 6 olup D(0, 6) dan geçer.
iv) x = 0 için y = –2 & f
x=0
y = –2
p
6.
Tablo:
y = 0 için 2x2 – 4x + 6 = 0 gerçel kök yok,
Ox'i kesmez.
x
–∞
y'
+
y
2
x
–3
0
1
+
–
+∞
3
–
–
–∞
+∞
y
1
+
y'
+
0
+
–
–
+∞ +∞
6
1
7
3
2
0
+
3x–7
y'=
(x–1)3
–1
8
∞
3
+
+
0
1
+
–2
v)
–∞
2
1
7.
Grafik:
y
y
6
2
1
1
1
–3
–2
3
7
3
x
1
2
3
x
1
8
375
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
UYARI
ETKİNLİK
y=
x2
eğrisi ile y = mx doğrusunun
x +1
A(–1, –2) noktasına göre simetrik iki noktada
y=
kesişebilmesi için m ne olmalıdır?
ax 2 + bx + c
biçimindeki bir fonksiyonun grafiği asimptotların kesim
mx + n
noktasına göre simetriktir. Yani asimptotların kesim noktası eğrinin simetri
n bm – 2an
merkezidir. Bu nokta c – m ,
m dir.
m2
ÖRNEK – 3
y=
mx + 1
m
fonksiyonunun grafiği (3, 6) noktasına göre simetrik ise, p kaçtır?
3x + p
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
ÇÖZÜM
Eğri (3, 6) noktasına göre simetrik ise bu nokta asimptotların kesim noktasıdır.
3x + p = 0 & 3x = –p & x = –
lim
x ""3
y=
ETKİNLİK
y=
ax – 3
fonksiyonunun grafiği (1, –2)
2x + k
b–
y=
lim
x ""3
p
düşey asimptot,
3
mx + 1 m
=
3x + p
3
m
yatay asimptottur.
3
p m
p
l = (3, 6) & – = 3 & p = –9
,
3 3
3
m
m 18
= 6 & m = 18 & p =
= –2 dir.
3
–9
noktasına göre simetrik ise, a + k kaçtır?
(1, –2) noktası asimptotların kesim noktası
demektir.
x=
–k
düşey asimptot,
2
y=
a
yatay asimptot olduğundan,
2
c
–k a
, m = ^ 1, –2h
2 2
&
–k
a
= 1 / = –2
2
2
& k = –2 / a = –4 bulunur.
a + k = –4 + (–2) = –6 dır.
ÖRNEK – 4
y=
ax 2
fonksiyonunun simetri merkezinin ordinatı 4 ise, a kaçtır?
x+2
ÇÖZÜM
y=
ax 2
ax 2 + 0x + 0
=
x+2
1.x + 2
.
.
m
n
n bm – 2an
simetri merkezi c – m ,
m
m2
2 0 – 2.a.2
m = (–2, –4a) ve –4a = 4 & a = –1 dir.
c– 1 ,
12
376
3. ÜSTEL FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
ETKİNLİK
a > 1 olmak üzere y = af(x) biçimindeki üstel fonksiyonların değişimi incelenirken
1
y = e 1–x fonksiyonunun grafiğini çizelim.
u=
ii)
af(x) > 0 ve , na > 0 olduğundan y' ile f'(x) aynı işarete sahiptir. y = af(x) fonksi-
1
diyelim y = eu olur.
1– x
yonunda:
1.
y = af(x) ile u = f(x) fonksiyonlarının tanım kümeleri aynıdır.
sızdır.
2.
u = f(x) in yatay asimptotu u = k ise y = af(x) in yatay asimptotu y = ak dır.
Tanım kümesi R – {1} dir.
3.
u = f(x) in düşey asimptotu, y = af(x) in düşey asimptotu ile aynıdır.
4.
u = f(x) in eğik asimptotu u = mx + n ise y = af(x) in eğik asimptotu
u ve y = eu fonksiyonları x = 1 de tanım-
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
i)
u = f(x) fonksiyonu incelenir. Çünkü y' = f'(x).af(x). , na türev fonksiyonunda
y nin yatay asimptotu y = e0 = 1 dir.
yani x $ ! 3 için
u = 0 & y = 1 dir.
y = amx+n dir.
y = af(x) ve u = f(x) fonksiyonları aynı aralıkta azalır, aynı aralıkta artar ve
5.
aynı noktalarda maksimum ya da minimum değerini alırlar.
iii) x = 1 düşey asimptottur.
ÖRNEK – 1
iv) u' =
1
(1 – x) 2
> 0 olduğundan,
1
y = 2 x fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
R – {1} de u artan & y artandır.
v)
1
u = x olsun. y = 2u olur.
1
1. x = 0 da u = x tanımsız olduğundan y = 2u fonksiyonunun tanım kümesi
x = 0 için u = 1 & y = e1 = e dir.
aynı
ÇÖZÜM
ters
+∞
x
–∞
u'
+
+
u
0
+∞ – ∞
0
y=eu
1
+∞
1
0
R – {0} dır.
+
0
2.
lim u =
x ""3
1
1
lim x = 0 olduğundan u = x in yatay asimptotu u = 0 ve
x ""3
y = 2u nun yatay asimptotu y = 2u = 20 = 1 dir.
1
u = x in düşey asimptotu x = 0 olduğundan y = 2u nun düşey asimptotu da
3.
x = 0 dır.
iv) e+ 3 =+ 3, e–3 = 0
1
1
1
< 0 olduğundan u = x R – {0} da azalandır. Dolayısıyla y = 2 x
x2
fonksiyonu R – {0} da azalandır.
4.
u' = –
olduğuna dikkat ediniz.
y
5.
Tablo:
6. Grafik:
e
aynı
y
ters
1
0
1
x
x
–∞
+∞
0
–
u'
–
1
0
–∞ +∞
0
y=2u 1
0 +∞
1
u
0
x
1–∞ = 0
2+∞ = +∞ olduğuna dikkat ediniz.
377
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
y = ,n c
x +1
m fonksiyonunun değişimini
2–x
inceleyerek grafiğini çizelim.
1)
x +1
> 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi fonk2–x
siyonun tanım kümesi olduğundan, tanım
–∞
x+1
2–x
2)
–
lim
x $ –1+
+
y=
lim
,n c
x +1
m
2–x
–1+ h + 1
= lim ,n c
m
2 +1– h
h$0
= lim ,n c
h$0
lim y = lim
x $ 2–
x $ 2–
,n c
= lim ,n c
h$0
=
olur.
lim ,n c
h$0
Tanım kümesi bulunur. f(x) > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi y nin tanım
kümesidir.
Varsa
y' türevi alınarak y' = 0 denkleminin köklerine bakılır. Ekstremumlar araştırılır.
4.
Varsa x = 0 için y, y = 0 için x değerleri bulunur.
5.
Değişim tablosu yapılır.
6.
Grafik çizilir.
h
m = ,n0 = –3
3–h
ÖRNEK
x+1
m
2–x
2–h + 1
m
2–2 + h
y = log3(x – 2) fonksiyonunun değişimini inceleyip grafiğini çiziniz.
3–h
m = ,n (+ 3) =+ 3
h
ÇÖZÜM
x – 2 > 0 & x > 2 dir. Tanım kümesi (2, 3 ) aralığıdır.
1. (2 – x) + 1. (x + 1)
4)
2.
(2 – x) 2
x +1
2–x
3
=
(x + 1) (2 – x)
y' =
x = 0 için y = ,n
= lim log 3 (2 + h – 2)
h"0
= lim log 3 h = –3 olur.
h"0
x +1
m
2–x
x
–∞
y
1
2
0
+
–∞
x"2
tir.
x +1
1
= 1& x =
bulunur.
2–x
2
–1
x "+3
lim y = lim log 3 (x – 2)
x"2
&
y'
lim y = lim log 3 (x – 2) = + 3 olduğundan x " + 3 için y " + 3 olur.
x "+3
1
= –,n2
2
y = 0 için 0 = ,n c
değerleri bulunur.
3.
1.
3)
x → – 3 için y = ?
x → + 3 için y = ?
–
x $ –1+
1.
+∞
2
–1
y = logaf(x) biçimindeki fonksiyonların grafiklerinin çizimi için;
2.
kümesi –1 < x < 2 dir.
x
4. LOGARİTMALI FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
KAVRAMSAL ADIM
0
y' =
4.
x = 0 için log(–2) tanımsız olup y değeri bulunamaz.
y = 0 için log3(x – 2) = 0 & x – 2 = 30 & x – 2 = 1 & x = 3
2
+
+
–ln2
1
. log 3 e dir. x – 2 > 0 ve log3e > 0 olduğundan y' > 0 dır.
x–2
3.
5.
Tablo:
olur.
6. Grafik:
+∞
y
y
5)
x
–∞
–1
0
2
–ln2
378
x
y
–∞
+∞
+
+
y'
1
2
3
2
0
–∞
0
2
3
x
UYGULAMA ADIMI
y = tanx fonksiyonunun [0, 2π] aralığında düşey asimptotlarını bulunuz.
4.
y=
x –1
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x +1
Çözüm
Çözüm
1.
sin x
y = tan x = cos x olur.
2.
r
3r
cosx = 0 & x =
düşey asimptotlardır.
V x=
2
2
x + 1 = 0, x = –1 de tanımsız, tanım kümesi = R – {–1} dir.
lim y = 3 & x = –1 düşey asimptot
x " –1
lim y = 1 & y = 1 yatay asimptot
x ""3
f(x) = ,n (x – 2) fonksiyonunun düşey asimptotunu bulunuz.
Çözüm
x = 0 & y = –1
4.
y' =
x değeri f(x) in düşey asimptotudur.
5.
O halde, x – 2 = 0 & x = 2 düşey asimptottur.
Tablo:
x
–∞
y'
+
y
6.
y=
–1
x " –3
x2
+ 3x
=
–x + 1
1
+
lim
+
+
1
+∞ –∞
Grafik:
y
1
3
x 2 (1 + x )
–x + 1
x " –3
+∞
+
x 2 + 3x
fonksiyonunun yatay asimptotlarını araştırınız.
–x + 1
Çözüm
lim
1. (x + 1) – 1. (x – 1)
2
& y' =
>0
(x + 1) 2
(x + 1) 2
6x ! R için y' > 0 olduğundan grafik her yerde artandır.
f(x) = loga(g(x)) fonksiyonunda g(x) = 0 olacak şekildeki
3.
y=0 & x=1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
2.
3.
–1
0
x
1
–1
3
| x | 1+ x
= lim
x " –3
1
x (–1 + x )
= lim
x " –3
= lim
x " –3
lim
x"3
3
1+ x
1
x (–1 + x )
–x.
–
3
1+ x – 1
=
=1
–1
1
–1 + x
3
x 1+ x
x 2 + 3x
= lim
x"3
1
–x + 1
x (–1 + x )
3
1+ x
1
= lim
=
= –1
x"3
–1
1
–1 + x
Buna göre, y = –1 ve y = 1 doğruları yatay asimptotlardır.
5.
y=
x –1
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x2 – 1
Çözüm
a.
x2 – 1 = 0 & x2 = 1 & x = " 1
Buna göre tanım kümesi R \ {–1, 1} dir.
b.
Paydayı sıfır yapıp payı sıfır yapmayan x = –1
düşey asimptottur.
lim y = –3 ,
x " 1–
lim
x ""3
lim y = + 3 dur.
x " 1+
x –1
= 0 & y = 0 yatay asimptottur.
x2 – 1
Eğik ve eğri asimptot yoktur.
379
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
1.
UYGULAMA ADIMI
x = 0 için y = 1 & (0, 1) noktası bulunur.
3.
x = 0 için y =
y = 0 için x bulunamaz. (Ya da x = " 3 dur.)
x2 – 3x + 2 = 0 &
1
1
1
=
olur. & (1, ) boştur.
x = 1 için
x +1 2
2
d.
y' =
y' =
y' =
(x – 1)(x – 2) = 0 & x – 1 = 0 V x – 2 = 0
& x = 1 V x = 2 dir. & (1, 0), (2, 0) noktaları bulunur.
x 2 – 1 –2x (x – 1) x 2 – 1 – 2x 2 + 2x
=
( x 2 – 1) 2
( x 2 – 1) 2
O halde, (0, 2), (1, 0), (2, 0) eksenleri kestiği noktalardır.
– (x – 1 ) 2
–x 2 + 2x – 1
=
2
(x – 1)
(x – 1) 2 (x + 1) 2
–1
olur.
(x + 1) 2
4.
(2x – 3) (x 2 + 2x + 1) – (2x + 2) (x 2 –3x + 2)
(x 2 + 2x + 1) 2
y' =
5x 2 – 2x – 7
(x + 1) 4
=
–1
= 0 eşitliğini sağlayan x değeri yoktur.
(x + 1) 2
y' = 0 & 5x2 – 2X – 7 = 0 &
–1
O halde, ekstremum yok. Üstelik, x = –1 için
<0
(x + 1)
olduğundan fonksiyon azalandır.
e.
x 2 – 3x + 2
=0 &
x 2 + 2x + 1
y = 0 için
x –1
x –1
1
y= 2
=
=
dir.
x – 1 (x – 1) (x + 1) x + 1
2
= 2 & (0, 2) noktası bulunur.
1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
c.
x1 = –1 , x2 =
7
5
x = –1 asimptot olduğundan ekstremum olmaz.
Tablo
(Zaten, x = –1 değeri türevin paydasını sıfır yapar.) O halde,
x
–∞
–1
1
+∞
y'
–
– –
– –
–
y
0
–∞ +∞
1
2
0
x=
(
f.
Grafik
7
1
olduğundan,
için y = –
5
24
7
1
, – ) ekstremumdur.
5
24
x
y
–1
–∞
7/5
+∞
5x2–2x–7
+
–
+
(x+1)4
+
+
+
+
–
+
y'
1
1/2
–1
6.
1.
0
x
1
5.
y'' =
=
(10x – 2) (x + 1) – 4 (5x 2 – 2x – 7)
(x + 1) 5
=
(10x – 2) (x + 1) – 4 (x + 1) (5x – 7)
(x + 1) 5
Çözüm
=
10x – 2 – 4 (5x – 7) –10x + 26
=
(x + 1) 4
(x + 1) 4
x2 + 2x + 1 = 0 & (x + 1)2 = 0 & x + 1 = 0 & x = –1
y'' = 0 & –10x + 26 = 0 & x =
y=
x 2 – 3x + 2
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
(x + 1) 2
& Tanım kümesi R \ {–1} dir.
f(
2.
(10x – 2) (x + 1) 4 – 4 (x + 1) 3 (5x 2 – 2x – 7)
(x + 1) 8
x = –1 düşey asimptottur. (Payı sıfır yapmaz.)
lim y = + 3 dur.
x " –1
lim
x ""3
380
x 2 – 3x – 2
= 1 & y = 1 yatay asimptottur.
x 2 + 2x + 1
26 13
=
5
10
13
2
13 2
olduğundan dönüm noktası (
)=
,
) dir.
5
5 27
27
x
–∞
13/5
–1
+∞
–10x+26
+ +
+ +
–
–
(x+1)4
+ +
+ +
+
+
y''
+ +
+ +
–
–
UYGULAMA ADIMI
Değişim tablosu:
x
x 1 = 1– 2 için y = 2 – 2 2
–1
–∞
7/5
13/5
+∞
y'
+
–
+
+
y''
+
+
+
–
x 2 = 1 + 2 için y = 2 + 2 2
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
6.
4 &
(1 – 2 , 2 – 2 2 ) ve (1 + 2 , 2 + 2 2 ) noktaları
y
1
+∞ +∞
2
27
1
24
ekstremumdur.
1
x
–1
7.
1
24
2.
2 13
5
1
x – 1 = 0 & x = 1 & Tanım kümesi R \ {1}
+
(x–1)2
+
+
+
+
y'
+
–
–
+
lim – = –3 , lim + y = + 3 ,
x"1
x"1
yatay asimptot yok.
x2 + 1
−
+x
+ x2 −
x–1
x+1
lim y = –3 ,
x " –3
(2x – 2) (x – 1) 2 – 2 (x – 1) . (x 2 – 2x – 1)
(x – 1) 4
=
(2x – 2) (x – 1) – 2 (x 2 – 2x – 1)
(x – 1) 3
=
2x 2 – 2x – 2x + 2 – 2x 2 + 4x + 2
(x – 1) 3
=
4
= 0 & Çözüm yok. Dönüm noktası yok.
(x – 1) 3
1
–∞
+
+
+
+
(x–1)3
–
–
+
+
y''
–
–
+
+
1– 2
1
lim y = + 3
x "+3
6.
Değişim tablosu
x
⇒ y = x + 1 e€ik asimptottur.
–∞
y'
y
7.
–
+
–
–
+
+
–∞
2–2 2
–∞ +∞
2x (x – 1)
y' =
(x – 1) 2
y' = 0 &
x 1, 2 =
+∞
Grafik
y
y=x+1
+ 1)
2x 2 – 2x – x 2 – 1 x 2 – 2x – 1
=
(x – 1) 2
(x – 1) 2
x2
2+2 2
min
2+2 2
– 1. (x 2
+∞
–
maks
x = 0 için y = –1 & (0, –1) noktası bulunur.
=
1+ 2
+
y = 0 yapan x değeri yoktur. & Ox eksenini kesmez.
4.
+∞
4
y''
x+1
−
+1
+x −
2
3.
y'' =
x
x = 1 düşey asimptottur.
+∞
–
x
x2 + 1
y=
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x –1
Çözüm
1.
5.
7/5
1+ 2
–
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
1
1
+
y
2
27
1– 2
–∞
x2–2x–1
– 2x – 1 = 0 &
1– 2
1
x
–1
1+ 2
2–2 2
–1
2" 4+4 2"2 2
=
&
2
2
x=1
x 1, 2 = 1 " 2 & x 1 = 1– 2 , x 2 = 1 + 2
381
UYGULAMA ADIMI
y=
2x + 1
eğrisinin varsa, düşey asimptotlarını bulalım.
x2 – 4
Çözüm
2x + 1
y= 2
x –4
13. y =
Çözüm
y
x2
x 3 + 2x 2 + 1
eğrisinin varsa yatay asimptotunu bulalım.
3x 3 + 2x – 3
lim
x "+3
– 4=0
x = –2
n
x=2
–2
0
x
2
düşey
asimptottur.
+ 2x 2
+1 1
olup
=
3x 3 + 2x – 3 3
1
doğrusu yatay asimptottur.
3
y=
14. y =
y
x3
1
3
Çözüm
9.
y=
x+2
eğrisinin (varsa) düşey asimptotlarını bulalım.
x3 + 8
Çözüm
x
0
x +1
eğrisinin varsa, yatay asimptotunu bulalım.
x2 – 9
y
x +1
= 0 olup y = 0 doğrusu
x2 – 9
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
8.
lim
x "+3
yatay asimptottur.
0
x3 + 8 = 0 & x = –2 düşey asimptot.
15. y =
x
y=0
| x | + 3x + 2
eğrisinin varsa, yatay asimptotlarını
4x + 1
bulalım.
x+3
10. y = 2
eğrisinin varsa düşey asimptotunu bulalım.
x + x +1
Çözüm
lim
Çözüm
x " –3
x2 + x + 1 = 0 ise Δ < 0 olduğundan kök yok, yani
lim
x"3
düşey asimptot yok.
y=
11. y =
| x | + 3x + 1
x + 3x + 2
= lim
= 1= y
x " 3 4x + 1
4x + 1
1
ve y = 1 yatay asimptotlarıdır.
2
4x 2 + x + 1 + 2x + 1
eğrisinin varsa yatay asimptotla3x + 2
rını bulalım.
16. y =
3x + 2
eğrisinin varsa düşey asimptotunu bulalım.
1 – ,n 2 x
Çözüm
| x | + 3x + 2
–x + 3x + 2 1
= lim
= =y
x " –3
4x + 1
4x + 1
2
Çözüm
–2x + ... + 2x + 1
2 | x | + ... + 2x + 1
lim
= lim
=0=y
x " –3
x " –3
3x + 2
3x + 2
1 – ,n 2 x = 0 & ,n 2 x = 1 & ,nx = 1 V ,nx = –1
1
x=e V x= e
y
düşey asimptotlarıdır.
lim
x"3
2 | x | + ... + 2x + 1
2x + ... + 2x + 1 4
= lim
= =y
x"3
3x + 2
3x + 1
3
y = 0 ve y =
0
12. y =
1
e
e
x
sin 2x
fonksiyonunun varsa düşey asimptotlarını
sin x – cos x
17. y = e 1/x + ,nx eğrisinin varsa, yatay asimptotlarını bulalım.
ex
Çözüm
bulalım.
x < 0 için ,nx tanımlı değil, limit yoktur.
Çözüm
r
sinx – cosx = 0 & tanx = 1 & x = + kr
4
k!Z
yani
1
lim e x +
x " –3
,nx
yoktur.
ex
x > 0 için
düşey asimptotlardır.
lim e 1/x +
x"3
382
4
doğruları yatay asimptottur.
3
,nx
= e 0 + 0 = 1 & y = 1 yatay asimptottur.
ex
1.
f (x) =
x 2 – 5x + 3
x–4
eğrisinin asimptotlarının x ekseniyle
4.
y=
mx + 4
eğrisinin asimptotları y = x2 – 4x parabolünün
nx – 2
tepe noktasında kesiştiğine göre, m + n toplamı kaçtır?
oluşturduğu kapalı bölgenin alanı kaç birimkaredir?
9
–
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
2.
–3
1
3x + 1
0 < k < 3 olmak üzere y = x + x ve y =
eğrilerinin
x–k
5.
y=
x 3 – 2x 2 + 4x + 7
eğrisinin asimptotlarının kesim noktası
x–2
K(m, n) ise, m + n toplamı kaçtır?
asimptotlarının oluşturduğu dörtgenin alanı 4 birimkare olduğuna göre, k kaçtır?
10
2
3.
y = x 2 – 8x + 7 eğrisinin asimptotları ile y = 2 doğrusu
6.
f (x) =
kx 2 + (m – k) x + 2 – m
x –1
fonksiyonunun eğik asimptotu
y = 4 – 2x olduğuna göre, m.k çarpımı kaçtır?
arasında kalan alan kaç birimkaredir?
–8
4
383
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
7.
f (x) =
ax + k
fonksiyonunun grafiğinin simetri merkezi P(3, 2)
2x – b
10. f (x) =
x–2
x +1
fonksiyonunun grafiği yatay asimptotunu
hangi apsisli noktada keser?
olduğuna göre, a + b toplamı kaçtır?
1
2
10
8.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
(x – 3) 2 – 6 fonksiyonunun eğik asimptotlarının
f(x) = 2x –
11. y =
kesim noktası K(m, n) ise, m + n toplamı kaçtır?
(x + 2) 2
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
(x – 1) 2
y
4
1
–2
0
1
9
9.
Şekilde verilen grafiğin fonk-
y
12.
y
ax + b
siyonu y =
ise,
bx + c
Şekildeki grafiğin hangi
2
3
4
0
k kaçtır?
1
k
0
x
–
384
fonksiyona ait olduğunu
1
1
2
1
2
3
x
bulunuz.
y=
x2 –4x + 3
x2 –4x + 4
x
13. y =
16.
(x + 1) 2 + 3
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x+2
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
PEKİŞTİRME ADIMI
y
2
–1
0
3
x
y
–3
2
x
0
–2
14. y =
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
Şekildeki grafiğin hangi fonksiyona ait olduğunu bulunuz.
y=
x 2 –2x
x+1
6
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
(x – 1) 2
17. y =
y
(x + 1) 2 – 1
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
(x + 1) 2
6
1
0
15. y =
x–3
x+3
x
18. y =
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
y
1
–2 –1
x
0
ax – x + 4
eğrilerinin asimptotlarının kesim noktalarıx–a
nın geometrik yerinin denklemini bulunuz.
y
1
–3
0
3
x
y=x–1
385
SINAMA ADIMI
f (x) =
x2 + 1
fonksiyonunun eğik asimptotunun denklemi
x +1
5.
aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x + 1
2.
f (x) =
f–1(x) fonksiyonunun düşey asimptotu x = 3 ise,
B) y = x – 1
D) y = 1 – x
2mx + n
x–n
m kaçtır?
C) y = 2 – x
A) –4
E) y = 2 + x
fonksiyonunun asimptotlarının kesim
6.
noktası (1, 2) ise, m + n toplamı kaçtır?
B) 1
A) 2
3x – 1
f (x) = mx + n fonksiyonu veriliyor.
B) –3
C) 1
C) 0
D) –1
y
A)
E) –2
D) 2
E) 3
y = xlnx fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
1.
1
y
B)
e
0
e
y=
x2 – 2
fonksiyonunun asimptotlarının kesim noktası3x + 1
nın ordinatı kaçtır?
A) –
1
3
B) –
2
9
0
1
e
y
C)
3.
1
e
x
–1
1
e
e
2
1
9
D)
2
9
E)
1
3
y
E)
e
x
0
4.
Şekilde grafiği verilen
f fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?
y
f
0
x
e
0
–1
1
e
C)
y
D)
x
0
x
1
7.
2
x
Şekilde grafiği verilen fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
y
2
1
–4
–1
A) f(x) = x3 + 3x2
B) f(x) = 2x3 – x2
C) f(x) = x3 – 3x2
D) f(x) = x3 – 4x2
1. B
2. A
2x – 1
x +1
D) f (x) =
E) f(x) = 2x3 – 3x2
386
A) f (x) =
3. B
4. C
B) f (x) =
2x + 3
x –1
5. C
x
x +1
E) f (x) =
6. B
7. E
0
C) f (x) =
2x + 1
x +1
x
2x + 1
x+4
SINAMA ADIMI
f (x) = 4x 2 – 8x + 3 fonksiyonunun eğik asimptotu aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = |x + 1|
B) y = 2|x + 3|
C) y = |x – 2|
13. y =
C) 5
D) 7
E) 9
10. f(x) = 2–x fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
y
0
1
x
0
1
2
14. f (x) =
y
B) –
1
4
C) –
1
8
–1
E)
1
2
3x 2 + 2x – 1
fonksiyonu veriliyor.
4x 2 – 2x + 1
1
3
B)
1
2
C)
2
2
D)
3
4
E)
3
2
2
x
0
x
0
y
E)
15. y =
0
x
x2 – x + 1
eğrisinin asimptotunun eğriyi kestiği nokx2 + x + 1
tadaki teğet denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
–1
A) x + 2y = 1
B) y + 2x = 1
D) 2x + y = 2
x +1
x–3
eğrileri x = 2 apsisli noktada
ve y =
ax + 1
ax + 2
16. y =
kesiştiğine göre, a kaçtır?
A ) –3
1
4
y
D)
1
11. y =
D)
Eğrinin asimptotu kestiği noktanın apsisi aşağıdakilerden
hangisidir?
x
A)
C)
E) y = mx + –1
y = 4x2 – 2x + 1 ise, eğrinin x eksenini kestiği noktanın
apsisi nedir?
y
B)
C) y = –x
mx 3 + 1
fonksiyonunun eğri asimptotu
2x + 1
A) –
A)
B) y = 3x – 1
D) y = x
asimptotu y = mx + n ise, m + n toplamı kaçtır?
B) 3
A) y = mx + 1
E) y = 2|x – 1|
2x 3 + x 2 – 1
fonksiyonunun belirttiği eğrinin eğik
x 2 – 2x
A) 2
eğrisinin simetri merkezinden geçen
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
f (x) =
mx 2 + nx + 4
mx + n
doğru aşağıdakilerden hangisidir? (m ≠ 0)
D) y = 2|x – 4|
9.
12. y =
B) –
3
2
C) – 1
8. E
9. D
D) –
10. C
7
8
E) –
11. D
1
2
C) x + y = 2
E) x + y = 1
x–2
eğrisinin asimptotunun eğriyi kestiği noktax2 + 1
daki teğeti x– eksenini hangi apsisli noktada keser?
A) –2
12. D
B) –1
13. A
C) 0
14. B
15. B
D) 1
16. E
E) 2
387
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
8.
1
SINAMA ADIMI
mx + n
y = nx + m eğrisinin geçtiği sabit nokta aşağıdakilerden
6.
hangisidir?
A) (–1, 1)
B) (1, 2)
D) (1, 1)
y=
x 2 – mx + 1
x –1
fonksiyonunun maksimum veya mini-
mum noktasının olmaması için m hangi kümenin elemanı
olmalıdır?
C) (2, 2)
A) [2, 3 )
E) (–1, –2)
B) (– 3 , 2)
D) (2, 3 )
2.
y=
ax + b
x+2
eğrisi y =
x2
(x – 1) 2
eğrisinin asimptotlarının
7.
kesim noktasından geçtiğine göre, a + b toplamı kaçtır?
B) 3
A) 4
C) 2
x
3.
D) 1
B) y = e2
1
D) y =e
8.
E) y = e–3
y = log3(x – 3) fonksiyonunun x– eksenini kestiği nokta
B) 4
C) 3
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
Şekilde taralı alan kaç
B) –6
C) –5
D) –4
9.
A) 9
B) 6
D) 4
E) 3
y=
E) 1
y
C) 5
E) –3
B) 2
A) 1
2. B
3. A
4. E
y=
O
1–x
2
2–x
2
C) 3
B
3
x
x
5. C
D) 4
E) 5
eğrisinin yatay asimptotu ile y = 2e – x doğru-
sunun ortak noktaları aşağıdakilerden hangisidir?
A) (e, 2e)
B) (2e, e)
D) (1, e)
1. D
C
A
3x 2 – 1
eğrisinin yatay asimptotu y = x + 2 doğax 2 + 2x – 3
10. y = e
Eğrinin simetri merkezi (?, 1) olduğuna göre, b kaçtır?
388
D) 2
rusu ile x = 1 apsisli noktada kesiştiğine göre eğrinin
düşey asimptotları arasındaki uzaklık kaç birimdir?
ax + b
eğrisi A(1, 2) noktasından geçiyor.
y=
x–3
A) –7
A) 5
C) y = e3
x y
a + b = 1 doğrusu üzerinde ise, a kaçtır?
5.
eğrisinin asimptotlarının kesim noktası
birimkaredir?
A) y = e
A) –1
x 2 – 4x + 5
x –1
mx – y = 3 doğrusu üzerinde ise, m kaçtır?
E) 0
y = e x–1 fonksiyonunun yatay asimptotu aşağıdakilerden
hangisidir?
4.
y=
C) (– 3 , 1)
E) (– 3 , 0)
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
1.
2
6. D
7. E
C) (e, e)
E) (e, 1)
8. E
9. D
10. C
SINAMA ADIMI
x–2
eğrisinin grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
x+2
y
A)
B)
1
0
0
x
1
x
2
–2
y
C)
A) y = 2 x
1
–1
16. x2 + y2 = 3x ve y2 = 2x eğrilerinin kesim noktalarından
geçen doğrulardan birinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
B) y = 3 x
D) y = x + 1
C) y = 2x
E) y = 1 – x
D)
1
1
0
x
x
–2
17. y =
x 2 – mx + 1
x2 + x + 1
eğrisinin x– eksenini kesmemesi için,
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
1 2
0
m aşağıdaki koşullardan hangisini sağlamalıdır?
E)
0
–2
–1
D) 0 < m < 2
x
2
12. y = –x4 + 2x2 – 1 eğrisinin x eksenine teğet olduğu noktalar arasındaki uzaklık kaç birimdir?
A) 6
B) 4
B) –2 < m < 2
A) –4 < m < 4
1
C) 3
D) 2
E) 1
C)
2 <m<2
E) 0 < m < 1
x2 – m
18. y = x + m fonksiyonunun x = 1 apsisli noktada x eksenine paralel teğeti varsa, m kaçtır?
1
3
A) –
B) –
1
4
C)
1
4
D)
1
3
E)
1
2
13. y = 2x2 –8x + 9 eğrisinin minimum noktasının x eksenine
uzaklığı kaç birimdir?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 8
19. y = log 2 b
x +1
l eğrisinin yatay asimptotu aşağıdakiler4x – 1
den hangisidir?
14. y =
1
x2 – x + 1
eğrisinin maksimum noktası x– eksenine
B) y = –4
A) y = 4
C) y =
kaç birim uzaklıktadır?
A)
1
2
15. y =
B)
4
3
C)
3
2
D)
7
4
E)
5
2
D) y = –2
x –1
eğrisinin eksenleri kestiği noktadan geçen
(x – 2) 2
20. y =
doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x–
1
4
B) y = 2x – 1
D) y = 1 – 2x
11. E
C) y =
x –1
4
E) y =
1
2
1
4
x 2 – ax
eğrisinin eğik asimptotu 1. açıortay doğrusu
ax – 1
olduğuna göre, a kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 1
D) 2
E) 4
E) y = 4x – 1
12. D
13. A
14. B
15. C
16. A
17. B
18. A
19. D
20. C
389
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
11. y =
2
SINAMA ADIMI
f(x) = x3 + 3x2 olduğuna göre,
5.
lim f (x) – f (1) değeri aşağıdakilerden hangisine eşittir?
9x – 9
x " 1
A) 9
B) 6
C) 3
D) 2
f (x) – 4
f(x) = x . |x| olduğuna göre, xlim
değeri kaçtır?
" 2 x – 2
A) 2
B) 4
C) 5
D) 6
E) 8
E) 1
1
6.
3
f (x) = 8x 2 – 16x 2 + 8x
1
–2
olduğuna göre, fl (4) değeri kaçtır?
2.
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
1.
3
f(x) = sin(x – 1) – 4cos (
r
x) ise, fl (1) kaçtır?
2
B) π
A) 1
A) –
3x
E) 3π
4x
olduğuna göre,
f(x + 1) = x2 + 2x
E) 3
, x < –1
lim f (x) – 16 . lim f (x) – 6 çarpımının sonucu kaçtır?
x " 2 x – 2
x+2
x " –2
B) –36
A) –48
C) –12
D) 12
E) 48
8.
f (x) =
4
x
4
–
3
x
3
+
2
x
2
–
1
x
olduğuna göre, fl (2) değeri kaçtır?
4.
y=
x3e3x
dy
olduğuna göre, e –3x dx işleminin sonucu kaçtır?
A) 3x3 + x2
B) x3+3x2
D) x2(1 + x)
390
1. E
C) x2(x+2)
E) 3x2(1 + x)
2. D
3. A
4. E
91
2
89
2
f (x) – 8
olduğuna göre, xlim
değeri kaçtır?
" 3 x – 3
A) 15
B) 12
C) 9
D) 6
, x ≥ –1
2
E) –
D) –45
7.
f (x) = '
C) –
B) –46
C) 2 – π
D) 1 + 2π
3.
93
2
A) –
1
32
B) –
D) –
5. B
1
16
3
16
C) –
E) –
6. A
7. D
1
4
8. D
1
8
SINAMA ADIMI
3
2
f (x) =
x +1
13.
olduğuna göre, fl (1) değeri kaçtır?
B) –
2
2
D)
10.
y=
2
2
C)
E) 2
fonksiyonunun eğri asimptotu aşağıdakilerden hangisidir?
B) y = x2 + x
A) y = x2 + x + 1
2
D) y = x2 + x – 2
C) y = x + x –1
2
E) y = x + x – 4
2
2
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
A) –
2
x + 2x – 3x – 5
x +1
y=
ax – 3
bx + 2
14.
y=
3
u,u =
4t
,t=
t–1
fonksiyonunun asimptotlarının kesim noktası aynı zamanda
f(x) = x3 – 3x2 + 3x fonksiyonunun dönüm noktası ise,
olduğuna göre,
a + b toplamı kaçtır?
A) 1
B) –1
C) –2
D) –3
E) –4
A) –
y = ax + 1 +
a
x
fonksiyonunun eğik asimptotu y = 3x + 1 olduğuna göre,
a kaçtır?
A) 3
B) 2
C) 1
D) 0
E) –1
15.
11
24
3
B) –
A) 12
12.
f (x) = (a – 1) x +
3
y = (u –1) , u =
olduğuna göre,
x
dy
in x = 1 için değeri kaçtır?
dx
7
24
C) –
1
3
D) –
11.
3x +
3
E) –
5
24
2
3
2
t – 3, t = | x – x |
dy
in x = 2 için değeri kaçtır?
dx
B) 24
C) 32
D) 36
E) 41
a+4
x
16. y = (x2 – x)3, x = u2 – 15, u = (t2 – t)2
fonksiyonunun eğik asimptotu y = x olduğuna göre,
olduğuna göre,
f(a) kaçtır?
A) 2
B) 3
9. C
C) 4
10. E
D) 5
11. A
12. D
E) 6
A) 24
dy
nin t = 2 için değeri kaçtır?
dx
B) 17
13. E
14. B
C) 12
15. D
D) 5
16. E
E) 0
391
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
9.
3
SINAMA ADIMI
f(x) = 2x3 – 6x + 9
5.
y
fonksiyonunun [–1, 3] aralığında alabileceği en küçük
değer kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 7
D) 9
E) 13
–2
2.
f(x) = (x –
fl a
1)cosx
y=f(x)
3
0
Şekilde; 3. dereceden bir f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
olduğuna göre,
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
3r
k aşağıdakilerden hangisine eşittir?
2
A) 0
A) x = 2 için f(x) = 0 dır.
B) x = 2 için fl (x) = 0 dır.
r
C) ln a k
2
B) 1
E) ln c
D) In(π – 2)
x
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
1.
4
C) x = 0 için f(x) = 3 tür.
3r – 2
m
2
D) x = –2 için f(x) = 0 dır.
E) x = 1 için fl (x) > 0 dır.
3.
y
f
–1
0
1
x
2
6.
f(x) = cos(sin2x) olduğuna göre,
d
f (x) değeri aşağıdakidx
lerden hangisine eşittir?
A) –sin2x.sin(sin2x)
Şekildeki grafik
B) –sin2x.cos(sin2x)
f(x) = (x + 1)2 . (ax – 3) . (bx + 4)2
C) –cos2x.sin(sin2x)
fonksiyonuna ait ise, a + b kaçtır?
A) 1
4.
3
B)
2
5
D)
2
C) 2
D) sin2x.cos(cos2x)
E) 3
E) sin2x.sin(cos2x)
f(x) = 2x– (In2) . x
fonksiyonunun minimum noktası nedir?
A) (1, 0)
D)
392
C)a
B) (0, 1)
a1
e
, 1k
e
1. B
E)
2. E
a e, 1 k
3. A
e
4. B
1 ,0
k
e
7.
f(x) = x3 –|x2 –4|
eğrisinin x = –1 apsisli noktasındaki teğetinin denklemi
aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = x + 5
B) y = x + 3
C) y = x + 1
D) y = x – 3
E) y = x – 2
5. E
6. A
7. D
SINAMA ADIMI
f(x) = mx3 + 2x2 – 4nx + 2
12.
fonksiyonunun x = 1 noktasındaki teğetinin eğimi 2 dir.
f(x) fonksiyonunun dönüm noktasının apsisi –1 olduğuna göre, m + n toplamı kaçtır?
A)
5
3
B) 1
C)
1
3
D) –
2
3
E) –
f (x) =
–x
2
x +1
fonksiyonunun grafiği aşağıdakilerden hangisidir?
A)
1
3
B)
y
D)
y
0
E)
A) tanx.cos[In(cosx)]
B) cotx.cos[In(sinx)]
C) tanx.sin[In(cosx)]
D) cotx.sin[In(cosx)]
E) tanx.cos[In(sinx)]
A
B
g(3x) = (x + 1)2.f(x) olduğuna göre, gl (6) kaçtır?
A) –30
B) –15
C) –10
D) 0
x
0
y
D
fl (2) = 0, f(2) = –5
x
0
y
13.
10.
y
x
dy
f(x) = sin[In(sinx)] olduğuna göre,
aşağıdakilerden handx
gisine eşittir?
x
0
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
C)
y
x
0
9.
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
8.
4
y=f(x)=–x2+3x+10
0
C
E) 5
Şekilde y = f(x) = –x2 + 3x + 10
eğrisi x eksenini B ve C, y eksenini D noktasında kesmektedir. D noktasından eğriye çizilen teğet x eksenini A noktasında kestiğine göre |AB| . |OC| çarpımı nedir?
A)
4
3
B)
8
3
C)
10
3
D)
16
3
E)
20
3
2
11.
y=
x + bx + c
x–2
fonksiyonunun grafiği Ox eksenini 1 ve 4 noktalarında
kestiğine göre eğrinin simetri merkezinin ordinatı nedir?
A) –2
B) –1
8. A
C) 1
9. B
D) 2
10. C
11. B
E) 3
14. f(x) = (x – 1)2(x – a)
fll (1) = 8 olduğuna göre, a kaçtır?
A) –4
B) –3
C) –1
12. B
13. E
D) 3
14. B
E) 4
393
SINAMA ADIMI
e
–x
.
d
2
x
(sin x.e ) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden
dx
5.
y=
( x + 3) (x – 1)
(x – 2)
2
hangisidir?
fonksiyonunun grafiği hangisi olabilir?
B) cos2x + sinx
D) cos2x
A) cosx + sinx
C) sin2x + sin2x
A)
B)
E) sin2x
1
0
–1
2.
x
3
–3
0
E) In4
2
1
D)
–3 1
0
2
–1
x
3
0 3
–2
C)
r
f(x) = In(2cos3x) olduğuna göre, r' a k kaçtır?
6
A) –In64
B) –In16
C) –In8
D) 0
2
1
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
1.
5
E)
1
–3
0
3.
1 2
x
y
4
A
2
y=f(x)
2
–6
–3
x
0
6.
Şekildeki doğrusu y = f(x) fonksiyonunun grafiğine A(–3, 2)
noktasında teğettir.
4.
B) –3
A) 0
C) 0
D) 6
7.
d
(gof) C (3) kaçtır?
9 dx
394
B) –6
1. C
C) 6
2. C
D) 9
3. A
4. B
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
E) 10
f(3) = 6, fl (3) = 2, gl (6) = –3 olduğuna göre,
A) –18
x + ax + 2
x–b
fonksiyonunun asimptotlarının kesim noktası (1, 2) olduğuna
göre, a . b çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?
h(x) = x2.f(x) ise, hl (–3) kaçtır?
A) –6
y=
E) 12
y=x–2+
2
x +1
eğrisine ait asimptotlarla koordinat eksenleri arasında
kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?
5
7
9
B)
C) 3
D)
E)
A) 2
2
2
2
5. E
6. A
7. B
SINAMA ADIMI
f(x) = x2.2x olduğuna göre, fl (1) kaçtır?
A) In4
B) 4 + In4
12.
C) 2 + In4
D) 4 + In2
ax + 3
x+b
y=
daima azalan bir fonksiyon olması için a ve b arasındaki
bağıntı ne olmalıdır?
E) 8 + In2
A) a + b = 3
B) a – b = 3
D) a . b < 3
f(x) = arcsin(cosx) olduğuna göre, f' c
A) –
1
4
B) –
1
2
C)
b
=3
a
E) a.b > 3
3r
m kaçtır?
2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
9.
C)
1
4
D)
1
2
E) 1
13. f(x) = x2.ex
fonksiyonunun yerel maksimum değeri kaçtır?
A)
10. f(x) = x4 –2x2 + 8
1
e
B)
2
2
e
2
C)
3
e
2
4
D)
e
E) e2
2
fonksiyonunun [–1, 2] aralığındaki en küçük değeri
aşağıdakilerden hangisidir?
A) 16
B) 12
C) 10
D) 8
E) 7
14. f: R → R, f(x) = x3 – 7
olduğuna göre, (f )l (1) değeri kaçtır?
–1
A)
1
12
B)
1
10
C)
1
9
D)
1
6
E)
1
5
11. y = 3 ve x = –1
doğrularını asimptot kabul eden; y eksenini (0, –1) noktasında kesen fonksiyon aşağıdakilerden hangisidir?
A) y =
2x + 1
x +1
B) y =
D) y =
3x + 5
x–1
3x + 2
x +1
8. B
C) y =
E) y =
9. E
10. E
–3x + 2
x+2
3x – 1
x +1
11. E
15.
y=
1
x–2
fonksiyonunun düşey asimptotunun denklemi nedir?
B) x = –1
A) x = –2
D) x = 1
12. D
C) x = 0
E) x = 2
13. D
14. A
15. E
395
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
8.
5
SINAMA ADIMI
f(x) = |9 – x2|
5.
olduğuna göre, fl (2) kaçtır?
A) –6
2.
f (x) = *
B) –4
2
ax + 2x–1
3x + b
olduğuna göre, fl (2) kaçtır?
C) –2
D) 0
A) 30
E) 4
,
,
6.
x ≥ 1 ise
B) 1
C)
1
2
E) –
D) –1
C) 4
D) 5
lim f (x) – f (4) = 16 olduğuna göre, m kaçtır?
x–4
x " 4
396
C) 7
1. B
2. E
D) 16
E) 20
lim f (4 + a) – f (4) değeri kaçtır?
a
B) 12
C) 10
D) 8
E) 4
D) 8
3. D
4. D
a " 0
f(x) = cos(arctan2x) olduğuna göre,
fl a
ile tanımlanan f fonksiyonu için
B) 6
C) 15
E) 6
f(x) = x2 + mx – 12
A) 4
E) 100
f(x) = x2 + 6x
A) 14
8.
4.
B) 10
oldğuna göre,
fonksiyonunun simetri merkezi (1, 1) olduğuna göre, a + b
toplamı kaçtır?
B) 3
D) 80
3
2
f(x) = x3 – ax2 + bx + 1
A) 2
C) 60
g(x) = f(5x) ve fl (5) = 4 olduğuna göre,
A) 5
7.
3.
B) 40
gl (1) kaçtır?
x < 1 ise
f(x) fonksiyonu 6x ! R için türevli olduğuna göre, b kaçtır?
A) 2
f(x) = (x3 – 2x + 1)2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
1.
6
A) –
E) 10
1
k aşağıdakilerden hangisine eşittir?
2
3
2
B) –
5. E
2
2
6. E
C)
1
2
7. A
D)
8. B
3
2
E) 1
SINAMA ADIMI
f(x) = x3 – x2 + 2x + 3
fonksiyonunun y = 3x – 5 doğrusuna paralel teğetlerinden birinin değme noktasının apsisi kaçtır?
B)
3
2
C) 2
D)
5
2
E) 3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
A) 1
13. 3y2 = x eğrisine üzerindeki A(12, 2) noktasından çizilen
teğetin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) x – 12y – 6 = 0
B) x – 12y + 12 = 0
C) x – 12y + 6 = 0
D) x – 6y + 12 = 0
E) x – 6y + 24 = 0
2
14.
10. f(x) = x3 – |x2 – 4|
B) –1
–2x – 4x + 17
2x – 8
fonksiyonunun asimptotlarının kesim noktasının ordinatı kaçtır?
olduğuna göre, fl (–1) kaçtır?
A) –2
f (x) =
C) 1
D) 2
E) 5
B) –8
A) –10
C) –6
D) 2
E) 4
15. f(x) = x3 + ax2 + bx + 5
fonksiyonunun x = 2 noktasında dönüm noktası olduğuna
göre, a kaçtır?
mx – 2
fonksiyonunun
11. Her x gerçel sayısı için, f (x) =
x+1
daima artan olması için m’nin alabileceği en küçük tam
A) –9
B) –6
C) –3
D) 2
E) 5
sayı değeri kaçtır?
A) –4
B) –3
C) –2
D) –1
E) 0
16.
y
y=f ′(x)
–4 –2 0
1
3
5
x
12. A(a, b) noktası f(x) = x(7 – x) parabolünün üzerindedir.
a’nın hangi değeri için a + b toplamı maksimum olur?
7
5
A) 5
B) 4
C)
D) 3
E)
2
2
9. A
10. C
11. D
12. B
Türevinin grafiği verilen f fonksiyonu, hangi x değeri için
maksimum değerini alır?
A) –4
B) –2
13. B
C) 1
14. A
15. B
D) 3
16. E
E) 5
397
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
9.
6
SINAMA ADIMI
Denklemi y = x3 + mx2 + (m + 5)x – 3
6.
C
y
olan eğrinin dönüm (büküm) noktasının apsisi 2 ise, ordinatı
kaçtır?
A) –7
B) –11
C) –13
D) –21
E) –25
0
A(x, 0)
x
B(1, 0)
y= x
Şekilde y = x grafiği çizilmiştir. A(x, 0), B(1, 0) olduğuna
göre, ABCD yamuğunun alanı en çok kaç birimkaredir?
2.
x2 – (a – 1) x + a + 2 = 0
2
x1
denkleminin kökleri x1 ve x2 dir.
mum olması için, a kaç olmalıdır?
A)
1
2
B) 1
+
2
x2
A)
toplamının mini-
C)
3
2
D) 2
m nin hangi aralıktaki değerleri için f (x) =
mx + 4
fonkx+m
siyonu daima azalandır?
A) (– 3 , 2)
4.
3
4
C)
4
9
D)
16
27
E)
7
9
y = 1 ve x = 2 doğrularını asimptot kabul eden ve y eksenini –1 noktasında kesen eğrinin fonksiyonu aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) y =
C) (–2, 3 )
B) (–2, 2)
D) (2, 3 )
B)
E) 3
7.
3.
8
9
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
1.
7
x +1
x–1
D) y =
E) (–1, 4)
8.
y = f(x) = (x + 2)3
x+2
x–2
B) y =
x +1
x+2
y
C) y =
E) y =
x+2
x–1
x
x–2
y=f(x)
fonksiyonunun dönüm (büküm) noktasının apsisi kaçtır?
A(0,2)
A) 8
B) 4
C) 2
D) 0
E) –2
B(2,0)
–1
5.
3 cm yarıçaplı küre içine çizilen maksimum hacimli silindirin hacmi kaç π cm3 tür?
A) 6
3
B) 8
D) 16
398
3
3
1. D
C)12
E) 18
2. D
3. B
3
4. E
5. C
x
Şekilde f(x) fonksiyonunun x = –1 noktasındaki teğeti çizilmiştir.
f (2x – 3)
şeklinde tanımlaA(0, 2), B(2, 0) ve g(x) = x2 +
x
nan g(x) fonksiyonunun x = 1 deki teğetinin eğimi kaçtır?
A) –4
3
0
B) –3
C) –2
6. D
7. B
D) 3
8. B
E) 4
SINAMA ADIMI
f(x) = x2 + 5x – 6
13. f(x) = x3 – 6x + 2
parabolünün koordinatları toplamının minimum olduğu
noktanın ordinatı kaçtır?
A) –12
B) –10
C) –8
D) –6
fonksiyonunun y = 6x – 1 doğrusuna paralel teğetlerinden birinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = 6x – 3
B) y = 6x – 6
C) y = 6x – 10
D) y = 6x – 14
E) y = 6x – 18
E) –2
14.
B) –1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
10. y = x2 fonksiyonuna A(3, –7) noktasından çizilen teğetlerinden birinin değme noktasının apsisi kaçtır?
A) –2
ax – b
fonksix–c
yonunun grafiği verilmiştir.
Şekilde; y =
x
C) 1
D) 2
2
E) 4
0
A) 5
x
4
B) 6
Buna göre a + b + c toplamı
kaçtır?
C) 8
D) 10
E) 12
15. f(x) = 4x3 – 6x2
11. f(x) = sin(cos5x) olduğuna göre, f' a
A) 5
B) 1
C) 0
r
k kaçtır?
10
D) –5
fonksiyonunun [0, 2] aralığında alabileceği en küçük
değer kaçtır?
E) –10
A) –4
B) –3
16.
12.
y
y=f ′(x)
–2
–4
–2 0
4
A) y =
A) fll (–6) < 0
B) (–∞, –4) aralığında f(x) artandır.
C) (–2, f(–2)) noktası f(x) in yerel minimum noktasıdır.
C) y =
(x – 1)
y
1
x
0
(x + 2)
(x + 1)
(x + 2)
2
E) (4, f(4)) noktası f(x) in yerel minimum noktasıdır.
12. E
2
D) y =
2
E) y =
13. D
B) y =
2
D) fll (0) .fll (6) > 0
11. D
E) 1
Şekildeki grafiğin denklemi aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
Buna göre, aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
10. B
D) 0
x
Şekilde, y = fl (x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir.
9. A
–1
C) –2
(x + 2)
x +1
14. D
(x + 1)
x–2
2
x +1
(x + 2)
2
2
15. C
16. C
399
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
9.
7
SINAMA ADIMI
f(x) = (1 – 2x2) (x3 + 2x)
6.
olduğuna göre, fl (2) kaçtır?
A) –194
B) –180
eğrisinin yerel maksimum noktasındaki teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
C) –160
D) –142
f(x) = x2 – x3
A) 4x = 3
E) –84
B) 4y = 9
D) 27y = 4
2.
C) 3y = 4x
E) 9y = 8
f(x) = 4sin2x.cosx olduğuna göre,
r
f' c m aşağıdakilerden hangisine eşittir?
4
A) –3
2
B) –2
D) 2
3.
f (x) =
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
1.
8
9x
2
3
C)
E) 2
3
7.
y = 3 ve x = 2
doğrularını asimptot kabul eden ve y eksenini –3 noktasında kesen eğrinin fonksiyonu aşağıdakilerden hangisi
olabilir?
2
A) y =
3x + 6
x–2
B) y =
3x – 6
x–2
C) y =
3x – 4
x–2
D) y =
3x + 1
x+2
olduğuna göre,
2
x +1
E) y =
f' ( 3 ) kaçtır?
A)
13
4
B)
9
4
C)
4
3
D)
9
8
E)
7
3
8.
4.
(fog)l (2) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
B) 8.e8
D) 8.e4
5.
C) 12.e4
E) 16.e4
f(x) (0, 3 ) aralığında azalan bir fonksiyon ise aşağıdakilerden hangisi aynı aralıkta artandır?
A) f2(x)
C) f(x2)
B) 2f(x)
D) –x + f(x)
400
1. A
x2 + 2y2 – x – y – 3 = 0
eğrisinin (–1, 1) noktasındaki teğetinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y + x = 0
B) x + 2y – 2 = 0
C) y – 2x = 0
D) y – x – 2 = 0
E) 3x + 4y – 1 = 0
f(x) = ex, g(x) = x3 olduğuna göre,
A) 12.e8
3x + 4
x+2
3. D
4. A
f: R+ → R f(x) = x . Inx – x
fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?
A) –2
E) x – f(x)
2. B
9.
5. E
B) –1
6. D
7. A
C) 0
8. D
D) 1
9. B
E) 2
SINAMA ADIMI
Şekilde;
y
13.
Şekilde;
A
x2
C
fonksiyonunun
f(x) = 54 –
grafiği verilmiştir.
B
0
|BC| = 20 cm
|AH| = 12 cm,
L
x
A
|AB| = |AC|
K
olduğuna göre,
f(x)=54–x2
B
D
H
ABC üçgeninin içine çiziledikdörtgenlerden
C bilecek
alanı en büyük olanının alanı
kaç cm2 dir?
E
OABC dikdörtgeninin alanı en fazla kaç birimkaredir?
A) 72
2
B) 96
C)
2
A) 90
B) 80
C) 75
14.
Şekilde orijinden geçen d
doğrusu y = h(x) eğrisine
x = 2 apsisli noktada teğettir.
y=h(x)
y
0
2
d
A) y = 3x
x
x
2
f ′ (x)
3
–3 –1
0
4
2
6
5
x
Şekilde türevinin grafiği verilen , f(x) fonksiyonu, hangi x
değeri için minimum değerini alır?
f(3x – 5) = x.h(x) ve
fl (1) = 4 olduğuna göre,
d doğrusunun denklemi
nedir?
B) y = 2x
D) y =
E) 45
y
–5
11.
D) 60
E) 136
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
D) 128
108
A) –3
B) –2
C) –1
D) 5
E) 6
C) y = x
E) y =
x
3
15.
y
y=x2+2
y=x
2
0
Şekildeki y = x2 + 2 parabolünün y = x doğrusuna en
kısa uzaklığı kaç birimdir?
2
12.
x + ax + 2
f (x) =
x+3
fonksiyonunun x = –1 noktasında ekstremum noktasının
olması için, a kaç olmalıdır?
3
7
A) 1
B)
C) 2
D)
E) 3
2
3
10. C
11. A
12. D
A)
7
2
B)
8
D)
3
5
2
2
E)
8
13. D
C)
8
14. C
7
2
2
3
2
4
15. A
401
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
10.
8
SINAMA ADIMI
f: R – {1} → R fonksiyonu
5.
2x + 3
f (x) =
olduğuna göre, fl (2) kaçtır?
x–1
3
4
+ = 2 ile verilen y = f(x) fonksiyonu için, fl (3) kaçtır?
x
y
A) –4
A) –8
2.
B) –5
x = arctant
y = In (t + 1)
t = 1 için
A)
3.
1
C) –3
D) 2
E) 6
olduğuna göre,
6.
B)
1
3
1
2
D) 1
B)
D)
2
8
Inx
x
2
2
Inx
x
C)
E)
Inx
x
B)
D)
7.
2
16
Inx
x
1
2In3
E) 2
1
3
E) 0
1
3In3
4
3In3
C)
E)
2
In3
2
3In3
y = 2xx.Inx fonksiyonu için,
dy
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
dx
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
4.
D) –
f(x) = log3(x2 – 1) olduğuna göre,
A)
C)
d
2 2
(Inx )
dx
A)
4
3
fl (2) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
dy
kaçtır?
dx
1
4
C) –
B) –3
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
1.
9
2
4
Inx
x
A) xx(Inx)2
B) Inx + 2
C) 2Inx + x
2
D) xx(Inx + x)
1
E) 2x x : ln 2 x + ln x + x D
y = 2e2t ve x = e–t olduğuna göre,
dy
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
dx
A) –2e2t
B) –4e2t
D) 2e3t
402
1. B
8.
C) –4e3t
3. C
4. C
x
x
+ arccot olduğuna göre,
a
a
fl (a) kaçtır?
A) 0
E) 4e3t
2. D
f (x) = arctan
B) 1
5. C
C) 3
6. D
7. E
D) a
8. A
E) 2a
SINAMA ADIMI
f(x) = 14 . sin7x . cos7x fonksiyonu için,
f' a
14. f(x) = sin2x olduğuna göre,
^ f'of''hc
r
k kaçtır?
42
A) 98
B) 49
C) 45
10. f(x) = In(tan2x) ise, f' a
A) 4
3
d y
dx
kaçtır?
B) –3
A) e5
2
nin A(2, 1) noktasındaki değeri
C) –4
2
x +a
f (x) =
2
x – x +1
1
2
B)
B) e3
D) –5
16.
E) –6
C) 34
C) 1
–c
3
2
D)
y
a
0
c
f(x)
0
c
–c
x
c
D)
y
–a
y
c
x
0
0
E)
x +1
x–1
–a
B) (–1, 1)
D) (0, –1)
9. B
c
x
y
fonksiyonunun simetri merkezi nedir?
A) (1, 1)
x
0
a
y=
x
E) 2
C)
13.
E) 36
Grafiği verilen fonksiyonun birinci türevinin grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A)
B)
y
y
fonksiyonunda
2
3
–c
–a
fl (0) = fl (1) olduğuna göre, a kaçtır?
A)
D) 35
(f5, f in 5. türevini göstermektedir.)
3
2
12.
E) –2
15. f(x) = e3x olduğuna göre, f5(0) kaçtır?
C) 3
3
D) –1
E) 8
11. x2 + y2 = 5 ise
A) –2
C) 0
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
3
8
B) 1
A) 2
E) 28
r
k değeri kaçtır?
12
B)
D) 4
D) 42
3r
m kaçtır?
2
0
a
x
C) (–1, –1)
E) (–1, 0)
10. B
11. D
12. A
13. A
14. A
15. D
16. B
403
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
9.
9
SINAMA ADIMI
f(2x – 3) = 3x2 + 2x – 4 olduğuna göre,
5.
fl (1) kaçtır?
A) 11
B) 9
C) 7
D) 6
6x ! R için f(x) = x3 + 3x2 + mx
fonksiyonunun daima artan olması için m’nin alabileceği
en küçük tam sayı değeri kaçtır?
E) 4
A) 2
2.
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
f(x) = sin34x olduğuna göre,
f' c
r
m kaçtır?
12
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
1.
10
6.
f(x) = x2 –5x + 12
parabolü üzerindeki bir noktanın koordinatları
A)
3.
5
2
B) 3
C)
9
2
D) 9
toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
E) 18
A) 2
1
2
+ Inx fonksiyonunun x = e noktasındaki
Inx
türevinin değeri kaçtır?
f (x) =
1
B)
e
A) 0
2
D)
e
C) e
3
E)
e
7.
f (x) =
B) 3
C) 4
D) 6
E) 8
3x – 1
ile tanımlı
x–2
f: R – {2} → R fonksiyonunun grafiği aşağıdaki
noktalardan hangisine göre simetriktir?
A) (2, 1)
B) (2, 3)
D) (–2, 1)
4.
Köşeleri 0x ekseni ve y = –x2 + 6 parabolü üzerinde bulunan dikdörtgenlerden alanı en büyük olanının alanı kaç
birimkaredir?
A) 24
2
B) 18
D) 12
404
1. C
2
2
C) 16
E) 8
2. C
3. B
2
4. E
2
8.
C) (–2, 3)
E) (1, 2)
f ve g reel sayılarda türevi alınabilen fonksiyonlardır. A(3, –2)
noktasında f fonksiyonunun yerel ekstremumu vardır.
g(2x) = x2 . f(x) olduğuna göre, gl (6) kaçtır?
A) –12
B) –9
5. C
C) –6
6. E
7. B
D) –3
8. C
E) –1
SINAMA ADIMI
13. f: R → R+ U {0}
x = u3 + 3u, y = u3 – 3u ise,
f(x) = |x2 + x – 3| olduğuna göre,
2
u = 1 için
d y
dx
fl (–1) kaçtır?
değeri kaçtır?
2
A) –2
1
A)
6
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
9.
10
1
B)
3
C) 1
D) 3
B) –1
C) 0
D) 1
E) 2
E) 6
14. f(3x – 2) = x3 + x2 + 2x + 1 ise
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
f(x) fonksiyonunun x = 4 noktasındaki teğetinin eğimi
kaçtır?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 6
r
10. f(x) = x + 3 sin2x eğrisinin x = teki normalinin eğimi
4
nedir?
A ) –1
B) –
1
2
C) –
1
3
D) –
1
4
E)
1
2
15. f(x) = 3x2 – 8x + 5 ve g(x) = ax2 + bx + 3
fonksiyonları veriliyor.
Bu fonksiyonların eğrilerinin üzerindeki aynı apsisli
noktalardaki teğetler birbirine paralel ise, a + b kaçtır?
A) –5
B) –4
C) –3
D) –2
E) –1
11. f(x) = |x3 – 5x| + In(x2 + 1) olduğuna göre,
2
d f (x)
dx
2
16.
nin x = –1 için değeri kaçtır?
y
T
2
A) 6
B) 4
C) 0
D) –2
E) –6
y=f(x)
x
1
–1 0
Şekilde f(x) fonksiyonunun T(1, 2) noktasındaki teğeti
çizilmiştir.
g (x) =
12. f(2x + 3) = x2 + 2x – 5 olduğuna göre,
f (x)
2
x +1
olduğuna göre, gl (1) kaçtır?
fl (–1) kaçtır?
A) –2
B) –1
9. A
C) 0
10. D
D) 1
11. E
12. B
E) 2
A) –4
B) –2
13. D
C)
14. E
–
15. A
1
2
D) –
16. C
1
4
E) –
405
1
8
SINAMA ADIMI
2
f(x) = (3)x olduğuna göre,
fl (2)
5.
B) 81.In3
D) 27.log3e
2.
fl (–1) kaçtır?
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) 27.In3
f(x) = |x + 2| + |2x – 5| + 3x olduğuna göre,
C) 324.In3
B) 1
A) 0
D) 5
E) 7
E) 81.log3e
f(x) = arctan(Inx) olduğuna göre,
fl (e) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
2
e
B)
1
e
C)
1
2e
6.
D) e
f (x) =
cosx
olduğuna göre,
x
r
f' c m aşağıdakilerden hangisine eşittir?
2
E) 2e
4
A) – r
3.
C) 2
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
1.
11
2
B) – r
C) 0
1
D) r
E) 2
f(x) = 3x3 – 1 ve g(x) = a2 x + 1 fonksiyonları için
(f – g)l (1) = 0 olduğuna göre, a’nın pozitif değeri kaçtır?
A)
1
2
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4
7.
f(x) = |x2 – 2x| + 3x olduğuna göre,
f'(3) kaçtır?
A) 8
4.
B) 7
C) 6
D) 3
E) 1
x . y + y2 – x + y = 0 olduğuna göre,
dy
(1, 2) kaçtır?
dx
A) –
406
1
4
B) –
1
6
1. C
8.
C)
2. C
1
3
D)
3. D
1
2
4. B
E)
1
4
f(x) = cos(arcsinx) + sin(arccosx) fonksiyonu için,
f'(0) kaçtır?
A) –1
B) 0
5. C
C) 1
6. B
7. B
D) 2
8. B
E) 3
SINAMA ADIMI
f(x) = x2 – 2x + 5
13. f(x) = x2 + 4x – 6
fonksiyonunun tanımlı olduğu değerler için (f )l (8) kaç
–1
A) 4
olabilir?
A) 3
fonksiyonunun x = 2 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
B) 2
C) 1
D)
1
4
E)
B) 6
C) 8
D) 9
E) 10
1
8
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
14. f(x) = x2 – 3x + 1
fonksiyonunun x = –1 noktasındaki normalinin eğimi
kaçtır?
10. 4x2 + 9y2 – 36 = 0 olduğuna göre,
x=
A)
3
ve y =
2
2
–
3
B)
9
–
D)
2
3
C)
3
3
E) –2
6
B) –
A) –5
dy
3 için
kaçtır?
dx
1
5
C) 5
D) 1
E)
1
5
3
3
3
15. y = x + sin2x eğrisi veriliyor.
Buna göre,
A) –4
11. f(1 – x) = x2 – 2x – 3 olduğuna göre,
fl (–5) kaçtır?
A) –10
B) –6
C) –5
D) –1
d3y
dx 3
x=
r
12
B) –2
kaçtır?
C) –1
D)
3
E) 2
3
E) 0
16. y = x3 – 3x + 21 eğrisinin x = 2 apsisli noktasındaki
teğeti bu eğriyi hangi noktada keser?
12. A(1, a) ve B(2a –1, 3) noktaları veriliyor.
A) (0, 21)
|AB| nin en küçük olması için, a kaç olmalıdır?
A)
4
5
B) 1
C)
9. D
7
5
10. A
D)
11. A
8
3
12. C
E) 3
B) (4, 73)
D) (–2, 19)
13. C
14. E
C) (–1, 23)
E) (–4, 31)
15. B
16. E
407
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
9.
11
SINAMA ADIMI
f (x) =
sinx – cosx
ise,
x
e
5.
fl (x) aşağıdakilerden hangisidir?
A) e–xcosx
B) e–xsinx
D) 2e–xsinx
A)
A) –3
B) –2
e
2e
y = ,n (t + 1)
t = 1 için
1
A)
2
C) –1
D) 0
E)
e
2
e
2
f (x) =
e
3Inx
3
olduğuna göre, fl (2) kaçtır?
B) 2
C) 2e
D) 4e E)
1
2e
4 olduğuna göre,
dy
kaçtır?
dx
2
B)
3
8.
3
C)
4
1
D)
4
x3y – y2x + 2 = 0
fonksiyonunun birinci türevinin (1, 2) noktasındaki değeri
kaçtır?
1
E)
3
9.
fonksiyonunun x = 3 noktasındaki teğetinin eğimi kaçtır?
408
e
3
3
E) 1
f(x) = x2 + |4 – x2|
A) 14
C)
r
r
f'' c m + f c m toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
3
3
B) 1
C) 0
D) –1
E) –2
A) 2
A)
4.
e
e
f(x) = x . sinx olduğuna göre,
A) 4
x = 3t + 1
2
2
E) e–x(cosx – sinx)
7.
3.
B)
D)
f(x) = esin2x olduğuna göre,
fl (0)
kaçtır?
2
3
C) 2e–xcosx
6.
2.
x . Inx olduğuna göre, fl (e) kaçtır?
f (x) =
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
1.
12
B) 12
1. C
C) 10
2. E
D) 8
3. B
4. B
E) 6
1
4
B)
1
3
C)
3
5
D)
1
4
E)
2
3
f(x) = x2.g(1 – x), fl (–1) = 8 ve g(2) = –3
olduğuna göre, gl (2) kaçtır?
A) –4
5. A
B) –3
6. B
C) –2
7. A
8. E
D) 2
9. C
E) 4
SINAMA ADIMI
14.
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
10. f(x) = 3x2 + 4 olduğuna göre,
12
B
lim f (1 + h) – f (1) değeri kaçtır?
h
h " 0
A) 1
B) 3
C) 4
D) 6
D
E
E) 9
O
Şekilde merkezi O, yarıçapı | OA | = | OB | = 2 2 cm olan
dörtte bir çember yayı üzerindeki bir D noktasından yarıçaplara inen dikme ayakları C ve Eʼdir.
11. f(x) = x.Inx olduğuna göre,
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
fl (x) < 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
1
A) (– 3 , 0)
B) (1, –3 )
C) a 0, k
e
D)
C A
a1
, ek
e
Buna göre, OCDE dikdörtgeninin en büyük alanı kaç cm2
dir?
A) 2
6
B) 5
C) 6
D) 4
E) (1, e)
E)
5
2
15. f(x) = x3 – 3x2 – 9x + a
12.
y=
fonksiyonunun yerel maksimum ve minimum değerleri sırasıyla m ve n dir.
ax + 2
eğrisinin asimptotlarının kesim noktası A(–12, 5)
x + 3b
m ile n arasında 3m + 5n = 0 bağıntısı olduğuna göre,
a kaçtır?
ise, a – b farkı kaçtır?
A) 4
B) 3
C) 2
13.
D) 1
E) 0
A) 7
B) 9
16.
y
A 4
D) 15
E) 18
A
C
0
C) 12
c
b
x
B
B
1
C
%
Şekilde; m (BAC) = 90°
Şekildeki grafik;
f(x) = x2 fonksiyonuna aittir. Grafiğe üzerindeki x = 4 apsisli C
noktasından çizilen teğet eksenleri A ve B noktalarını kesmektedir. Buna göre, taralı AOB üçgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 20
B) 16
10. D
C) 12
11. C
D) 9
12. D
13. B
E) 8
|BC| = 1 birim, |AB| = c birim ve |AC| = b birim
olduğuna göre, c + 2b toplamının alabileceği en büyük
değer kaçtır?
A)
5
B) 2
C)
14. D
D)
3
15. D
16. A
2
E) 1
409
TEKRAR TESTI
f: R → R, f(x) = x2 + 3x fonksiyonu için
lim
h"0
5.
f (x + h) – f (x)
h
A) 10
B) 3
f: R → R, f(x) =
lim
x$2
f (x) – f (2)
x–2
C) 8
D) 7
E) 6
E) 2x + 3
6.
2.
B) 9
C) 2x + 6
D) x + 3
3x2
1
fonksiyonu için
x
f'(–1) değeri kaçtır?
liminitin değeri nedir?
A) 2x
f: R – {0} → R f(x) = 2x3 + 4x +
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
1.
1
– 4x fonksiyonu için
f: R → R, f(x) = x2 + 6x + 5 fonksiyonu için f'(a + 1) = 16
ise, a kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 2
D) 3
E) 4
liminitin değeri kaçtır?
A) 12
B) 10
C) 8
D) 7
E) 6
7.
3.
4.
f: R – {–1} → R – {1} , f (x) =
f: R → R, f(x) = x2 + 5x + 6 fonksiyonu için f'(–2) + f(3)
toplamının değeri kaçtır?
f'(2) değeri kaçtır?
A) 32
A) –
B) 31
C) 30
D) 29
E) 28
8.
f: R → R, f(x) = 3x2 + ax2 + 3x + 2
1
14
B) –
1
36
f'(–1) değeri kaçtır?
A) –5
A) –325
410
1. E
C) –3
2. C
D) –2
3. B
4. D
E) –1
4
25
D) –
1
16
E) –
1
25
f: R → R, f(x) = (2x2 + 3)3 fonksiyonu için
fonksiyonu için f'(2) = 7 ise, a nın değeri kaçtır?
B) –4
C) –
2x + 3
fonksiyonu için
2x + 1
B) –300
5. B
6. E
C) –280
7. C
D) –250
8. B
E) –200
TEKRAR TESTI
13. f: R → R, f(x) = ex+1 fonksiyonu için
f: R → R, f(x) = 4x.(x + 1)3 fonksiyonu için
f'(1) değeri kaçtır?
B) 72
C) 76
D) 80
E) 84
A) –1
B) 0
C) 1
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
A) 64
f'(–1) değeri kaçtır?
10. f: R – {0} → R, f(x) = x3 + ax2 +
3a
x
2
D) 2
E) 3
14. f: R – {0} → R, f (x) = ,n x fonksiyonu için
fonksiyonu için
f''(e2) değeri kaçtır?
f'(–1) = 11 ise, a kaçtır?
A) –e–4
A) 3
B) 2
C) 1
D) –1
B) –e–2
C) –e4
D) e4
E) e–4
E) –2
15. f: R → R, g(x) = x2 + 3x + 2f(x) fonksiyonu veriliyor.
11. f: R – {2} → R – {1}, f (x) =
x +m
fonksiyonu için
x–2
f(x) in x = 2 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi
göre, g(x) in x = 2 apsisli noktasındaki teğetinin eğimi
kaçtır?
f'(3) = –4 olduğuna göre, m kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
A) 8
f'(–2) = 6 ise, a kaçtır?
B) 4
A) 8
C) 5
9. D
10. B
D) 6
11. A
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
16. f(x) = 2x + f'(x) eşitliğini sağlayan f fonksiyonunun x = 3
apsisli noktasındaki teğetinin eğimi 2 ise, f(3) kaçtır?
12. f: R → R, f(x) = (x + a)2 fonksiyonu için
A) 3
1
olduğuna
2
B) 7
C) 6
D) 5
E) 4
E) 7
12. C
13. C
14. A
15. A
16. A
411
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
9.
1
TEKRAR TESTI
Köşeleri yarıçapı 4 cm olan bir çember üzerinde bulunan dikdörtgenlerden alanı en büyük olanın alanı kaç cm2
dir?
A) 36
B) 32
C) 30
D) 28
5.
y
3
E) 24
–1
0
2
x
3
f
Şekilde üçüncü dereceden bir y f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) f'(–1) = 0
2.
600 metre uzunluğundaki tel kullanılarak bir tarladan, dikdörtgen şeklinde bir bahçe yapılıp etrafı 2 kat tel ile çevrilecektir.
Bu bahçenin alanının en büyük olduğu durumda köşegen
konumundaki uzunluk kaç metredir?
A) 150
B) 75 3
B) f'(0) > 0
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
1.
2
C) 80 2
D) 90
E) 75 2
D) f'(3) > 0
6.
C) f'(2) = 0
E) f(3) = 0
y
–3
2
3
4
6
x
0
3.
y=
x2
parabolü üzerinde A(6, 0) noktasına en yakın nokta
2
Şekilde, [–3, 6] aralığında türevinin grafiği verilen
y = f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
B ise, B nin apsisi kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
A) [–3, –2] de f artandır.
E) 2
B) (2, 3] aralığında f artandır.
C) f nin x = 3 de yerel minimumu var.
D) f nin x = –2 de yerel ekstremumu vardır.
E) f"(2) = 0
4.
f: R → R, f(x) = 3x2 – 4x fonksiyonu için
lim
x$2
7.
f (x) – f (2)
x–2
y2 = 2x eğrisi üzerinde M(x1, y1) noktası alınıyor.
3
2
4 x 1 – 3y 1 ifadesinin maksimum değeri kaçtır?
limitinin değeri kaçtır?
A) 12
412
B) 10
1. B
C) 8
2. E
D) 7
3. E
E) 6
4. C
A) 3 2
B) 2 2
5. E
C) 2
D)
6. E
7. B
2
2
E)
2
3
TEKRAR TESTI
12. f: [–1, 1] → [0, π] , f(x) = Arccosx
y
x1
x2
x3
x4
fonksiyonunun azalan olduğu aralık aşağıdakilerden
hangisidir?
x5
x
0
A) (2, –1)
C) (– 3 , 0)
B) (–1, 1)
D) (– 3 , 1)
E) (1, 3 )
Şekilde grafiği verilen f fonksiyonu için aşağıdakilerden
hangisi yanlıştır?
A) f'(x1) > 0
B) f'(x2) = 0
D) f'(x4) = 0
C) f'(x3) = 0
w
w
EZ w.m
G u
İ G ra
Ü t-ko
LE c
R .co
YÜ m
Z
E) f'(x5) < 0
13. y =
3x + 2
2
x + mx + 9
eğrisinin düşey asimptotunun olmaması için
m hangi aralıkta olmalıdır?
9.
Şekilde y = (x – 12)2
parabolünün grafiği
veriliyor.
birimkaredir?
A) 64
B) 80
D) (–4, 8)
y=(x–12)2
C
OABC dikdörtgeninin
alanı en çok kaç
0
C) 144
B) (– 3 , 0)
A) (–8, 4)
y
C) (–2, 8)
E) (–6, 6)
B
x
A
D) 256
E) 512
14. x < 0 olmak üzere f(x) = ex.cosx + x eğrisinin eğik
asimptotunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) y = –x
10. x3 + (m + 1)x2 + (2m – 1)x + 2 = 0 denkleminin kökleri
2
2
B) y = x
D) y = x – 2
C) y = x + 1
E) y = x + 3
2
x1, x2, x3 tür. x 1 + x 2 + x 3 toplamının minimum olması
için m kaç olmalıdır?
A) –3
B) –2
C) –1
D) 0
E) 1
11. f: R → R, f(x) = 4x3 – 6x2 + mx + 6 fonksiyonunun yerel
ekstremuma sahip olmaması için m nin alabileceği değerlerin kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (– 3 , 0)
B) (– 3 , 3]
D) (0, 3 )
8. D
C) [3, 3 )
E) (1, 3 )
9. D
10. E
15. f(x) = ax2 + bx + c fonksiyonunun [x1, x2] aralığında ortalama değer teoremini gerçekleyen x0 değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) x 1 x 2
B)
D)
11. C
x1 – x2
x1 x2
2
x1 + x2
2
E) x 1 + x 2
2
12. B
C)
13. E
14. B
15. C
413
ÜNİTE – 3 TÜREV KAVRAMI
8.
2

00 onsoz 12 snf MAT_Mizanpaj 1

Related documents

Products

Support

00 onsoz 12 snf MAT_Mizanpaj 1

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib