ANAL TK GEOMETR Doğru Denklemleri 7. Bölüm

ANALİTİK GEOMETRİ
Doğru Denklemleri
Örnek 27
7. Bölüm
Merkezi K(−1, 2) olan doğru demetinin denklemlerinin bulunuşu;
Analitik düzlemde d1 : x − 3y − 9 = 0 ve d2 : 3x − y − 11 = 0
doğrularının kesiştiği noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
Amacımız K noktasını üzerinde bulunduran tüm doğruları
temsil eden bir denklem bulmaktır.
A) (3, −2)
d20 : 2(x + 1) = 0
B) (3, 2)
C) (−3, 2)
D) (−3, −2)
d10 : x = −1 veya x + 1 = 0 (doğru demetinin asal elemanı)
E) (2, −2)
Çözüm
d30 : 3(x + 1) = 0
Aradığımız nokta d1 ve d2 doğru denklemlerinin ikisini de
sağlayan P(x, y) dır. Bu nokta, verilen denklem sistemini çözmekle bulunabilir;
...
−3/
+
dm0 : m(x + 1) = 0 (m ∈ R)
x − 3y − 9 = 0
d01 : y = 2 veya y − 2 = 0 (doğru demetinin asal elemanı)
−3x + 9y + 27 = 0
d02 : 2(y − 2) = 0
3x − y − 11 = 0
d03 : 3(y − 2) = 0
0 + 8y + 16 = 0 ⇒ y = −2 dir.
...
y değeri ilk denklemde yerine yazılırsa,
d0n : ny = 2n veya ny − 2n = 0 veya n(y − 2) = 0 (n ∈ R)
x − 3(−2) − 9 = 0 ⇒ x = 3 elde edilir.
dmn : m(x +1) + n(y −2) = 0 , (m, n ∈ R)
P(x, y) = P(3, −2) dir.
bu denklemde her keyfi m ve n değerlerine karşılık bir doğru
denklemi elde edilir. Elde edilen bu doğruların K(−1, 2) noktasından geçtiği çok açıktır.
Cevap B
Çözümün yorumu;
d1
d1 : x − 3y − 9 = 0
d2
dmn : m(x +1) + n(y −2) = 0 denklemine doğru demetinin genel
denklemi denir. Herhangi bir reel sayıyı temsil eden m ve n
değişkenlerine doğru demetinin parametreleri denir. Parametre sayısını ikiden bire indirgeye biliriz. Genel denklemin
her tarafı m (veya n) değerine bölünürse elde edilen denklem
de doğru demetinin denklemidir fakat buna genel denklem denilmez. Çünkü doğru demetinin tüm doğrularını temsil etmez.
d2 : 3x − y − 11 = 0
(3, −2)
d3 : x = 3
d4 : y = −2
d3
d4
doğruları (3, −2) noktasında kesişirler.
Bir noktada kesişen doğruların meydana getirdiği geometrik
şekle doğru demeti denir. Kesişim noktasına doğru demetinin merkezi denildiği de olur. Doğru demetinin eksenlere dik
olan doğrularına doğru demetinin asal elemanları veya asal
doğruları denir. Örneğin, x = 3 ve y = −2 doğruları, merkezi
K(3, −2) olan doğru demetinin asal elemanlarıdır.
dmn : m(x +1) + n(y −2) = 0
dmn : (x + 1) +
n
= k dersek
m
Doğru demetinin asal elemanlarının denklemlerinin taraf tarafa
toplamı veya farklarından elde edilen denklemlerin belirttiği
doğrular, doğru demetinin elemanlarıdır.
Örnek 28
Aşağıdakilerden hangisi,, merkezi K((−1,, 2)) olan doğru
demetinin bir elemanı değildir?
A) x = −1
dk : x + 1 + k(y −2) = 0 veya dk : x + ky + 1 −2k = 0
denklemleri, merkezi K(−1, 2) olan doğru demetinin k parametresine göre bir denklemidir.
Doğru demetinin asal elemanları yerine herhangi iki elemanı
seçilerek de doğru demetinin denklemini değişik biçimlerde
yazmak mümkündür. Örneğin,
x + 1 = 0, y − 2 = 0 doğrularını taraf tarafa toplayıp çıkarırsak
elde edilen x + y −1 = 0 ile x − y + 3 = 0 doğruları da K(−1, 2)
noktasından geçer. Bu doğruları kullanarak aynı merkezli doğru demetinin bir başka denklemini yazabiliriz,
B) y = 2
C) x + y = 1
D) 2x + y = 0
E) x − 2y = 3
m ve n parametre olmak üzere, m(x + y − 1) + n(x − y + 3) = 0,
Çözüm
K(−1, 2) noktası, x −2y = 3 denklemini sağlamadığından,
x−2y=3 doğrusu demetin bir elemanı değildir.
(x = −1 denkleminde y nin katsayısı sıfır olarak düşünülmelidir.
x + 0⋅y = −1 gibi.)
Cevap E
eky ders notları
n
(y −2) = 0,
m
k parametresine göre x + y −1 + k(x − y + 3) = 0 veya
(1 + k)x + (1 − k)y + 3k − 1 = 0 denklemi, merkezi K(−1, 2) olan
doğru demetinin k parametresine göre bir başka denklemidir.
Bir doğru demetinin birden fazla parametrik denklemi vardır.
11
[email protected]
ANALİTİK GEOMETRİ
Doğru Denklemleri
7. Bölüm
Örnek 29
Çözüm
Analitik düzlemde k parametre olmak üzere,, denklemi
−3))x + (k+
+2))y + 15 = 0 olan doğru demetinin merkezinin
(k−
koordinatları toplamı kaçtır?
4x − 3y + 4 = 0, 5x −2y + 6 = 0 ve istenilen doğru aynı noktadan geçtiğine göre doğru demeti oluştururlar. Demetin tüm
elemanlarını içeren genel denklem (iki parametreli denklemi)
yazılırsa istenen koşula göre kesişme noktasını bulmadan sonuca gidebiliriz. a ve b parametresine göre doğru demetinin
genel denklemi, a(4x − 3y + 4) + b(5x − 2y + 6) = 0 biçimindedir.
A) −3
B) −1
C) 0
D) 3
E) 6
Çözüm
4a + 5b
⇒ b = 2a
−3b − 2b
oranı elde edilir. Doğru demetinde b yerine 2a yazılırsa istenen doğru denklemi elde edilir,
Bu denklemde eğimin 2 olması için, 2 = −
İki keyfi k değeri verilen demet denkleminde yerine yazılırsa,
iki doğru denklemi elde edilir. Bu doğruların kesiştiği nokta
doğru demetinin merkezidir. Fakat k yerine keyfi değerler
vermek yerine, sonuca kolay ulaşabilmek için uygun değerlerin seçilmesi işlemleri kolaylaştıracaktır.
a(4x − 3y + 4) + 2a(5x − 2y + 6) = 0
(k−3)x + (k+2)y + 15 = 0 denkleminde
4x − 3y + 4 + 10x − 4y + 12 = 0
k = 3 yazılırsa y değeri, k = −2 yazılırsa x değeri bulunur.
14 x − 7y + 16 = 0 dır.
k = 3 için 0x + 5y + 15 = 0 ⇒ y = −3
b = 2a oranı, demet denklemine yazılırken a = 1, b = 2 gibi
sabit değerler yazılabileceğine dikkat ediniz.
Cevap D
k = −2 için −5x + 0y + 15 = 0 ⇒ x = 3
doğru demetinin merkezi (3, −3) olduğundan koordinatları
toplamı 3 + (−3) = 0 dır.
Örnek 32
Analitik düzlemde 2x + 3y − 12 = 0 ve x − 2y + 1 = 0 doğrularının kesiştiği noktadan geçen ve x eksenine dik olan
doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Cevap C
Örnek 30
Analitik düzlemde k parametre olmak üzere,, denklemi
−1))x + (k+
+1))y + 8 = 0 olan doğru demetinin eğimi 2 olan
(k−
elemanının x eksenini kestiği noktanın apsisi kaçtır?
A) x = 3
B) x = 2
C) x = 1
D) x = − 2
E) x = −3
A) −8
B) −6
C) 2
D) 4
E) 6
Çözüm
Çözüm
2x + 3y − 12 = 0, x − 2y + 1 = 0 doğrularının K(a, b) kesim
noktasından geçen ve x eksenine dik olan doğrunun denklemi
x = a dır. Yani istenen doğru denkleminde y li terim yoktur. Verilen denklem sisteminde y li terimler yok edilirse istenen doğrunun denklemi bulunmuş olur.
(k−1)x + (k+1)y + 8 = 0 denkleminde eğimi 2 yapan k değerini
bulunmalıdır.
k −1
1
= 2 olması için k = − olmalıdır.
k +1
3
−
2/ 2x + 3y − 12 = 0
3/ x − 2y + 1 = 0
Demet denkleminde bu değerle birlikte, x eksenini kestiği
noktanın bulunması için y = 0 yazılırsa
(−
1
1
−1)x + (− +1)⋅0 + 8 = 0 ⇒ x = −6 dır.
3
3
+
4x + 6y − 24 = 0
3x − 6y + 3 = 0
Cevap B
7x − 21 = 0 ⇒ x = 3 olur.
Kesişen iki doğrunun kesişim noktasından geçen doğruların
denklemleri, kesişen doğruların denklemleri kullanılarak bulunabilir.
Cevap A
Örnek 33
Örnek 31
Analitik düzlemde 3x + 4y − 14 = 0 ve x − 2y + 2 = 0 doğrularının kesiştiği noktadan geçen ve x + 2y + 1 = 0 doğrusuna dik olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
Analitik düzlemde 4x − 3y + 4 = 0 ve 5x − 2y + 6 = 0 doğrularının kesişim noktasından geçen ve eğimi 2 olan doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 2x − y + 1 = 0
B) 4x − 2y − 15 = 0
A) 2x − y + 3 = 0
C) 8x − 4y + 17 = 0
D) 14x − 7y + 16 = 0
C) 2x − y = 0
D) 2x − y − 1 = 0
E) 2x − y − 3 = 0
E) 18x − 9y + 17 = 0
eky ders notları
B) 2x − y + 1 = 0
12
[email protected]
ANALİTİK GEOMETRİ
Doğru Denklemleri
7. Bölüm
Çözüm
Örnek 35
1
olduğundan bu
2
doğruya dik olan doğruların eğimleri m' = 2 dir. (dik doğruların
eğimleri çarpımı −1) Aranan doğru ile 3x + 4y −14 = 0 ve x −2y
+ 2 = 0 doğruları aynı noktadan geçtiğine göre doğru demeti
meydana getirirler. Doğru demetinin a ve b parametresine göre denklemi;
Analitik düzlemde 3x − 2y + k = 0, x + y − 1 = 0, 2x + y −3 = 0
doğruları tek noktada kesiştiğine göre, k kaçtır?
x + 2y + 1 = 0 doğrusunun eğimi m = −
A) −8
B) −7
C) −6
D) −4
E) −3
Çözüm
3x − 2y + k = 0 doğrusu, a(x + y − 1) + b(2x + y − 3) = 0 denkleminden elde edilebilir.
a(3x + 4y −14) + b(x − 2y + 2) = 0 olsun, bu doğrulardan eğimi
2 olanını bulmak için a ile b arasındaki oranı bulalım,
3 = a + 2b
3a + b
2=−
⇒ 8a − 4b = − 3a − b ⇒ 11a = 3b dir.
4a − 2b
−2 = a + b
k = −a − 3b ⇒
a = 3, b = 11 seçilerek demet denkleminde yazılırsa
taraf tarafa çıkarılırsa, b = 5 , a = −7
k = −(−7) −3⋅5 = −8
3(3x + 4y − 14) + 11(x − 2y + 2) = 0
Cevap A
9x + 12y − 52 + 11x − 22y + 22 = 0
Örnek 36
20x − 10y − 30 = 0 ⇒ 2x − y − 3 = 0 dır.
Cevap E
Analitik düzlemde 2x − y − 3 = 0 doğrusunun, x − y + 1 = 0
doğrusuna göre simetriğinin denklemi aşağıdakilerden
hangisidir?
Örnek 34
Analitik düzlemde
A
ABC üçgen
A) x − 6y + 6 = 0
B) x − 5y − 6 = 0
AB : 2x − y + 3 = 0
C) x − 4y + 6 = 0
D) x − 3y + 6 = 0
AC : x + y − 2 = 0
B
H
E) x − 2y + 6 = 0
C
AH : 3x + a = 0
Çözüm
Yukarıdaki verilenlere göre, a kaçtır?
A) −8
B) −6
C) 2
Simetrik doğru d ve eğimi m olsun,
D) 4
E) 6
tan α1 = tan α2
Çözüm
m1 − m2
m2 − m
=
1 + m1 ⋅ m2 1 + m2 ⋅ m
AB, AC, AH doğruları A noktasında kesiştiğinden, AH doğrusunun denklemi AB ve AC doğru denklemleri kullanılarak bulunabilir. AH doğrusunun denkleminde y li terim olmadığından,
+
2x−y−3=0, m1=2
α1 = α2
α1
α2
x−y+1=0, m2=1
A
d, m
2 −1
1− m
1
=
⇒m=
1 + 2 ⋅ 1 1 + 1⋅ m
2
2x − y + 3 = 0
x + y −2 = 0
Doğrular bir noktada kesiştiğinden demet meydana getirirler.
Simetri doğrusu, kesişim noktası bulunmadan da demet denklemi yardımıyla bulunabilir.
3x + 1 = 0 dir.
Cevap C
a(2x − y − 3) + b(x − y + 1) = 0 ,
1
2a + b
=−
⇒ b = − 3a
2
−a − b
d1, d2, d3 doğruları bir noktada kesişiyorsa;
d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0
d2 : a2 x + b2 y + c2 = 0
d3 : a3 x + b3 y + c3 = 0
a1 b1
a 2 b2
a3 b3
olduğundan demet denkleminde a = 1, b = −3 yazarak simetri
doğrunun denklemini bulmuş oluruz.
c1
c2 = 0
c3
2x − y − 3 −3⋅(x − y + 1) = 0
− x + 2y − 6 = 0
x − 2y + 6 = 0
Determinant konusuna bakınız ve analitik geometri bilgileriyle
kıyaslayınız...
Değişik çözüm yöntemleri için simetri konusunu inceleyiniz.
Cevap E
eky ders notları
13
[email protected]