www.sakarya.edu.tr MUKAVEMET Öğr. Gör. Fatih KURTULUŞ www.sakarya.edu.tr 1 Şekil değiştiren katı cisimler mekaniği, temel kavramlar, Rijit cisim, Hook cismi, Elastik ve plastik cisim kavramlarının açıklanması 2 Taşıyıcı sistemlerin temel yükleme durumları, emniyet katsayısı ve emniyet gerilmelerinin belirlenmesi. 3 Gerilmenin tanımı ve gerilme çeşitleri, 4 Taşıyıcı sistemlerde değişik yükleme tiplerine gör Kesit Tesiri Diyagramlarının çizilmesi. 5 Gerilme ve uzama arasındaki ilişkiler –Elastisite modülü ve Poisson oranı 6 Eksenel Normal gerilme analizi ve uygulamaları. Boyutlandırma ve şekil değiştirme hesaplamaları 7 Eksenel Normal gerilmede termal etki, üç mafsallı çubuk taşıyıcı sistemleri,ince cidarlı halka vb. etkilerin hesaplanması 8 Kesme -Kayma- gerilmesi analizi ve uygulamaları 9 Burulma gerilmesi ve uygulamaları 10 ARA SINAV 11 Burulma gerilmesi ve uygulamaları 12 Basit eğilme gerilmesi, elastik eğri metotları ve uygulamaları 13 Birleşik gerilmeler ve uygulamaları 14 Burkulma ve uygulamaları www.sakarya.edu.tr TEMEL KAVRAMLAR www.sakarya.edu.tr MADDE VE ÖZELLİKLERİ MADDE • Uzayda yer kaplayan, kütlesi olan, eylemsizliğe uyan varlıklara madde denir. • Madde katı, sıvı ve gaz halinde bulunabilir. • Maddenin şekil almış haline cisim denir. www.sakarya.edu.tr MADDE VE ÖZELLİKLERİ MADDENİN ORTAK ÖZELLİKLERİ 1. 2. 3. Kütle: Değişmeyen madde miktarıdır. “m” ile gösterilir. Birimi kg. dır. Terazi ile ölçülür. Skaler büyüklüktür. Hacim: Maddelerin uzayda kapladığı yerdir. V ile gösterilir. Birimi m³ tür. Skaler büyüklüktür. Katıların belirli bir hacmi ve şekli vardır. Sıvıların belirli bir hacmi vardır fakat şekli yoktur içinde bulundukları kabın şeklini alırlar. Gazların belirli bir şekli ve hacimleri yoktur içinde bulundukları kabın hacmini ve şeklini alırlar. Katı ve sıvılar sıkıştırılamazken gazlar sıkıştırılabilir. Eylemsizlik: Bir maddenin hareket durumunu koruma eğilimidir. Örneğin aniden fren yapan bir araçtaki yolcular öne savrulur. Duran madde durmaya devam eder hareket eden hareketini devam ettirmek ister. www.sakarya.edu.tr MADDE VE ÖZELLİKLERİ AĞIRLIK • Bir maddeye bulunduğu noktada etki eden kütle çekim kuvvetidir. G ile gösterilir. Vektörel büyüklüktür. Birimi Newton (kg.m/s²) dur. Dinamometre ile ölçülür. • Kütlesi m olan bir cismin ağırlığı G=m.g eşitliği ile hesaplanır. • Yeryüzünde yer çekimi ivmesinin değeri g=9,81 m/s² dir. (Yeryüzünde en büyük çekim kutuplarda en küçük çekim ekvatordadır.) www.sakarya.edu.tr MADDE VE ÖZELLİKLERİ AĞIRLIK • Farklı kütledeki x,y,z cisimlerinin çekim ivmesinin farklı olduğu iki ayrı noktadaki ağırlıkları; x y z mx =5 kg. my =10 kg. mz =15 kg. g1 = 10 m/s² Gx =50N. Gy =100N. Gz=150N. g2 = 5 m/s² Gx =25N. Gy =50N. Gz =75N. www.sakarya.edu.tr ÜSLÜ SAYILARLA İŞLEMLER • A herhangi bir sayı ve n pozitif tam sayı olmak üzere An=A.A.A.........A (n tane) sayısı A’ nın n inci kuvvetidir. • Üslü işlemlerin kuralları A0=1 A1=A A n. A m = A n+m A n / A m = A n-m A 1/n = (An)m = An.m (A.B)n = A n . B n www.sakarya.edu.tr ÜSLÜ SAYILARLA İŞLEMLER 10 SAYISI İLE İLGİLİ ÜSLÜ İŞLEMLER • 100=1 Bütün sayıların sıfırıncı kuvveti 1’e eşittir. • 103 =1000 1 sayısının sağına 3 sıfır (kuvvet değeri kadar) yazılır. • 10-3 =0,001 1 sayısının soluna 3 sıfır (kuvvet değeri kadar) yazılır. • Tabanlar aynı ise üstler toplanır. • 104.102=104+2=106 • 104.10-2=104-2=102 • Sayının kuvveti ile parantez üstündeki sayı çarpılır. • (103) 2=103.2=106 • Paydadaki kuvvet işaret değiştirerek üste çıkar • 1 / A3 = A-3 • 1 / A-3 = A3 www.sakarya.edu.tr ÜSLÜ SAYILARLA İŞLEMLER 10 SAYISI İLE İLGİLİ ÜSLÜ İŞLEMLER Örnek: İşleminin sonucunu bulunuz. = 3.103 =3000 www.sakarya.edu.tr ÜSLÜ SAYILARLA İŞLEMLER 10 SAYISININ ALT VE ÜST KATLARI Altkat Önek Kısaltma Üstkat Önek Kısaltma 10-18 atto a 10 deka da 10-15 femto f 102 hekto h 10-12 pico p 103 kilo k 10-9 nano n 106 mega m 10-6 mikro µ 109 giga g 10-3 mili m 1012 tera t 10-2 centi c 1015 peta p 10-1 desi d 1018 exa e www.sakarya.edu.tr ÜSLÜ SAYILARLA İŞLEMLER 10 SAYISININ ALT VE ÜST KATLARI 15 mA = …..A = 15.10-3 A = 0,015 A 25 kV = ….. V =25.103 V =25000 V 750 µV = …..mV =750.10-6 V =0,75 m V 5400 kW = …..MW = 5400.103 W = 5,4.103.103 W = 5,4.106 W = 5,4 MW 0,56 mH = …..µH = 0,56.10-3 H = 0,56.10-3.103 H = 0,56.10-6.103, H = 0,56.103.10-6 H = 0,56.103 µH = 560 µH 0,36 MHz = …..kHz = 0,36.106 Hz = 0,36.103.103 Hz = 0,36.103 kHz = 360 kHz www.sakarya.edu.tr ÜSLÜ SAYILARLA İŞLEMLER Örnek : 90 km/saat kaç m/s eder ? Örnek :15 m/s kaç km/saat eder ? www.sakarya.edu.tr KÖKLÜ SAYILARLA İŞLEMLER 1) 2) n ifadesine A sayısının n inci dereceden kökü denir. Örnek: = 41/2 = 22/2 = 2 Köklü İşlemlerin Kuralları = A1/n = 91/2 = 32/2 = 3 1/3 = 23/3 = 2 m = 8 m/n = A A 3) n A n 4) 5) =A = n A B = . n n A B www.sakarya.edu.tr PİSAGOR TEOREMİ • ABC dik üçgeninde; bağıntısına “Pisagor Teoremi” denir. a: Hipotenüs b: Dik kenar c: Dik kenar Örnek: Şekildeki üçgende b = 3 ve c = 4 ise a=? a2 = 3 2 + 4 2 a2 = 9 + 16 = 25 = 52 a=5 www.sakarya.edu.tr TRİGONOMETRİK İFADELER a:Hipotenüs b:Karşı Dik kenar (ϴ açısına göre) c:Komşu Dik kenar (ϴ açısına göre) Sin = Sinϴ = , Sinβ= Cos= Cosϴ= , Cosβ= Tan= Tanϴ= , Tanβ= www.sakarya.edu.tr MEKANİK KATI CİSİMLERİN MEKANİĞİ RİJİT CİSİMLER STATİK AKIŞKANLAR MEKANİĞİ ŞEKİL DEĞİŞTİREN CİSİMLER Mekanik; Dış kuvvetlerin etkisi altındaki cisimlerin hareketini ve dengesini araştıran bir bilim dalıdır. DİNAMİK www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ • Statik duran yada düzgün hareket yapan cisimlerin durumlarını ve birbirleri ile etkileşimlerini inceleyen bilim dalıdır. Statikte cisimlerin rijit olduğu, yani kuvvetlerin tatbiki ile cisimlerde herhangi bir şekil değişmesinin olmadığı kabul edilir. Bu kabul bazı cisimler taş, demir vs. için ihmal edilebilir hatalar meydana getirmekte ise de bir çok malzemeler lastik, mantar, ağaç vs. için büyük hatalar doğurmaktadır. • Cisimlerin tatbik edilen kuvvetlerden ötürü, şekil değiştirmesi, değişme miktarı ve bununla ilgili kanunlar «cisimlerin mukavemetini» meydana getirir. www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ • Fizikte büyüklükler skaler ve vektörel olmak üzere ikiye ayrılır. • Sayısal büyüklüğü ve birimi ile tam olarak ifade edilebilen büyüklükler skaler büyüklüklerdir. • Sayısal büyüklüğü, birimi, doğrultusu ve yönü ile tam olarak ifade edilebilen büyüklükler vektörel büyüklüklerdir. • Kuvvet şiddetinin yanında yönü ve doğrultusu ile belirtilen bir büyüklüktür. Bu bakımdan kuvvet vektörel bir büyüklüktür. www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ KUVVET • Kuvvet, bir cismin diğer bir cismin durumunu veya şeklini değiştirme etkisidir. Bu kavram, etkiyi yapan cisme karşı diğer cismin de bir tepkisi olacağını ortaya koyar. Bu Newton’un meşhur «etki tepkiye eşittir» kanunudur. • Bir cisme tatbik edilen kuvvet, o cismin ya şeklini ya hareketini veya her ikisini değiştirmesine sebep olur. Şekil değiştirmenin ihmal edilebilecek düzeyde olması, tepki kuvvetlerinin hesabını kolaylaştırır. www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ KUVVETLERİN ÖZELLİKLERİ • Yön,doğrultu, büyüklük ve birimleri aynı olan kuvvetlere eşit kuvvetler denir. • Doğrultu, büyüklük, birimleri aynı fakat yönleri zıt olan kuvvetlere zıt kuvvetler denir (bir kuvvet -1 ile çarpılırsa zıttı elde edilir). F1 F4 F1 = F2 = -F3 F2 F3 F1 ve F2 kuvvetleri birbirine eşit ve F3 kuvvetine zıttır. F4 kuvveti ise sadece büyüklük olarak onlara eşittir. -F3 www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ KUVVETLERİN ÖZELLİKLERİ • Bir F kuvveti pozitif skaler bir k sayısı ile çarpılırsa, F ile aynı yönde k.I F I büyüklüğünde bir kuvvet olur. • Bir F kuvveti negatif skaler bir -k sayısı ile çarpılırsa, F ile zıt yönde k.I F I büyüklüğünde bir vektör olur. F1 2F1 F2 F3 -3F2 -F3 www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ BİLEŞKE KUVVET • İki yada daha fazla kuvvetin yaptığı etkiyi tek başına yapan kuvvete bileşke kuvvet denir. F1 + F2 + F3 = R gibi bir eşitlikte F1, F2, F3 kuvvetleri bileşen R kuvveti bileşkedir. Bileşke kuvvet bulma yöntemleri; • Uç uca ekleme yöntemi • Paralel kenar yöntemi • Dik bileşenlere ayırma yöntemi www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ BİLEŞKE KUVVET Uç uca ekleme yöntemi Örnek: Örnek: F2 F2 F3 I F1I = 3N. F1 R F1 R I F2I = 4N. F4 F1 + F 2 + F3 + F4 F1 + F2 = R 2 I F1I = 3N. I F2I = 2N. I F3I = 2 I F4I = 2 I R I = I F1I 2 I R I = 32 + I RI = 5 + I F2I 42 = 2 9+16 = 25 N. N. = R R nin büyüklüğü pisagor bağıntısından hesaplanır. 1 2 2 R IR I = 12 + IR I = 22 = 1+4=5 N. www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ BİLEŞKE KUVVET Uç uca ekleme yöntemi Örnek: F2 F1 Not: Bu üç kuvvetten herhangi ikisinin bileşkesi her zaman üçüncüye eşit ve zıttır. F3 F1 + F2 + F3 = 0 F1 + F2 = - F3 F1 + F2 F1 + F3 = - F2 F1 F2 + F3 = - F1 F3 F2 www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ BİLEŞKE KUVVET Uç uca ekleme yöntemi Örnek: Örnek: F2 F2 F3 F1 - F4 F1 F3 - F3 F5 F4 F4 F1 + F2 + F3 = F4 F1 + F2 + F3 = 0 F1 + F2 + F3 - F4 = 0 F1 + F2 + F3 + F4 = 2 F4 F3 + F4 + F5 = 0 F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = - F3 www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ BİLEŞKE KUVVET Paralel kenar yöntemi Paralel kenar yönteminin nasıl uygulanacağını gösteren animasyon için tıklayınız. F1 + F2 = R α = 0 ise vektörler aynı yönlü ve bileşke en büyük değerdedir. R = F1 + F2 α = 180 ise vektörler zıt yönlü ve bileşke en küçük değerdedir. R = F1 - F2 α = 90 ise vektörler birbirine dik ve bileşke şeklinde hesaplanır. Bu durumda bileşke aralığında değerler alır. Açı büyüdükçe bileşke küçülür. www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ BİLEŞKE KUVVET Paralel kenar yöntemi • Örnek: 2 N ve 5 N luk iki kuvvetin bileşkesi kaç N olabilir? Çözüm: |2 - 5| ≤ R ≤ |2 + 5 |= │-3│≤ R ≤ │7│= 3 ≤ R ≤ 7 • Örnek: 2 N, 5 N, 5N luk üç kuvvetin bileşkesi 0 olabilirmi? Çözüm: Yukarıdaki örnekte görüldüğü gibi, 2 ve 5 N luk iki kuvvetin bileşkesi 5 N olabildiğine göre, üçüncü 5 N luk kuvvet bu ikisinin bileşkesi olan 5 N‘ a ters yönlü alındığında üç kuvvetin bileşkesi 0 olabilir. www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ • BİLEŞKE KUVVET Paralel kenar yöntemi Özel Durum: Özel açı ve eşit • Örnek: kuvvetler olması hali F1 + F 2 + F 3 = R ise R = ? ve F1 = F2 = F3 = 5 N. F1 120 90 F1 + F 2 120 120 F3 F2 F1 = F2 = F3 olduğundan F1 + F2 = -F3 tür. Bunun için de F1 + F2 + F3 = R ifadesi -F3 + F3 = R olduğundan R = 0 dır. www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ BİLEŞKE KUVVET Dik bileşenlere ayırma yöntemi • Bir vektörün dik bileşenleri vektörün başlangıç ve bitim noktalarından o eksene dik inilerek elde edilir. y Fy 0 F = Fx + Fy A vektörünün x ekseni üzerindeki izdüşümü; yani A vektörünün yatay bileşeni, F Fx F x = F . cos α x A vektörünün y ekseni üzerindeki izdüşümü; yani A vektörünün düşey bileşeni, F y = F . sin α F vektörünün büyüklüğü F2 = Fx2 + Fy2 dir. www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ BİLEŞKE KUVVET Dik bileşenlere ayırma yöntemi Örnek: y F6 x F1 F2 F5 x F4 F3 F1 + F2 + F3 + F4 + F5 + F6 = R y y F1 +1 +2 F2 +3 +1 F3 +2 -1 Ry F4 0 -1 F5 -2 0 F6 -1 +3 Rx R 3 4 R2 = Rx2 + Ry2 tanα = 4 / 3 R α = 53 ͦ x R2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 R= 5 www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ BİLEŞKE KUVVET Dik bileşenlere ayırma yöntemi • Bir noktada kesişen kuvvetlerin bileşkesi; F1 + F2 + F3 = R F1x = F1 . Cos θ F1y = F1 . sin θ F2x = -F2 F2y = 0 F3x = 0 F3y = -F3 θ X ve y doğrultusundaki bileşenlerin cebrik toplamı ve Bileşke yaptığı açı α; , bileşkenin x ekseni ile bağıntısıyla hesaplanır. www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ BİLEŞKE KUVVET Dik bileşenlere ayırma yöntemi F1 + F2 + F3 = R ve F1 = 10 N. F2 = 5 N. F3 = 2 N. F1x = F1 . Cos 37 = 10 . 0,8 = 8N. F2x = F2 = 5N. F3x = 0 θ F1y = F1 . sin 37 = 10 . 0,6 = 6N. F2y = 0 F3y = F3 = 2N. y θ=37 Sin 37 = 0,6 Cos 37 = 0,8 Ry = 4N. Örnek: R α Rx = 3N. x x y F1 +8 +6 F2 -5 0 F3 0 -2 R 3 4 R2 = 32 + 42 = 9 + 16 R2 = 25 N. R=5 Tan α = 4 / 3 α = 53 ͦ www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ BİLEŞKE KUVVET ÖDEV: F1 + F2 + F3 = R ve F1 = 15 N. F2 = 5 N. F3 = 9 N. F1y = ? F2y = ? F3y = ? F1x = ? F2x = ? F3x = ? θ θ=53 Sin 53 = 0,8 Cos 53 = 0,6 R bileşke kuvveti grafik üzerinde gösteriniz? x y F1 F2 F3 R R2 = Rx2 + Ry2 R=? y x www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ KUVVET VE VAZİYET PLANLARI • Bir cisim üzerine tatbik edilen kuvvetleri serbest vektörler halinde göstermeğe kuvvet planı denir. Cisim durmakta veya düzgün harekette bulunuyorsa kuvvet poligonu kapalıdır. • Vaziyet planı ise kuvvetlerin tatbik noktaları dahil, yönlerini cisim üzerinde gösteren plandır. • Aşağıdaki yüklü sistemin vaziyet ve kuvvet planlarını gösterelim. Vaziyet planı Kuvvet planı G www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ MOMENT (TORK) • Moment (Tork): Kuvvetin döndürücü etkisidir. M ile gösterilir. Vektörel büyüklüktür. F4 F3 . O F2 F1 F3 F4 .O F4 Saat yönüne ters yönde döner F1 F3 F1 F3 F2 . O F1 F4 F4 F4 F2 F3 . O F2 F1 F1 .O F2 Saat yönünde döner .O F2 F3 Kuvvetlerin doğrultusu dönme noktasından geçerse sistem dönmez. (M=0) www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ MOMENT (TORK) Yandaki şekilde gösterilen ve bir cıvata başlığını döndürmeye çalışan anahtar üzerinde moment kavramını irdelemeye çalışalım. Anahtarın koluna P ve Q gibi eşit iki kuvvet etki etsinler. Bu iki kuvvetten anahtar koluna dik olarak etki eden, P kuvvetinin, şiddetçe Q kuvvetine eşit olmasına rağmen daha önemli olduğu söylenebilir. Bu durum bize bir kuvvetin bir noktaya göre momentinin şiddetinin ölçüsünü anlamada yardımcı olacaktır ve göreceğiz ki kuvvetin momentinin şiddeti, kuvvetin moment merkezine olan dik uzaklığıyla doğru orantılıdır. Bir momentin şiddeti, kuvvetin şiddeti ile, cismin dönme noktasının etki doğrusuna olan uzaklığının çarpımı olarak ifade edilir. Bu uzaklık kuvvet kolu olarak da adlandırılır. Kuvvet kolunun dik uzaklık olduğu unutulmamalıdır. Moment = Kuvvet x Kuvvet kolu (Birimi: Newton x metre) M= F x L www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ MOMENT (TORK) • Örnek: • Örnek: O noktası etrafında dönebilen çubuk şekildeki gibi 10 N. luk bir kuvvet etkisinde kaç N.m lik bir moment etkisinde kalır? (Sin 37 = 0,6 O noktası etrafında dönebilen çubuk şekildeki gibi 10 N. luk bir kuvvet etkisinde kaç N.m lik bir moment etkisinde kalır? O . d = 5m. O . . F = 10N. F F = 10N. M = F x d = 10N. x 5m. = 50 Nm Cos 37 = 0,8 ) d = 5m. Fx α = 37 . Fy F Fx = F.Cos37 = 10 . 0,8 = 8N. Fy = F.sin 37 = 10 . 0,6 = 6N. Mx = 0 My = Fy .d = 6.5 = 30 N.m. ∑ M = 30 N.m www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ DENGE • • Herhangi bir cisme etki eden kuvvetlerin x ve y yönündeki izdüşümlerinin cebrik toplamının sıfır olması cismin denge şartlarıydı. Burada cisme etki eden kuvvetlerin, cisme olan etkisinin, onu doğrusal olarak harekete zorladığı varsayımına dayanıyordu. Halbuki bir cisme etki eden kuvvetler, cisme döndürme etkisi de yapabilir. Bu durumda, bir kuvvetin bir cismi sabit bir nokta etrafında döndürme etkisi üzerinde durulmalıdır. Çünkü kuvvet etkisindeki bir cismin , kuvvetin etkisi doğrultusunda hareket eğiliminde bulunması yanında , kuvvet cismi, kuvvetin etki çizgisi (doğrultusu) ile kesişmeyen bir eksen etrafında döndürmekte ister. Bir maddesel noktanın dengede olması demek hiçbir hareket özelliği taşımaması demektir. Bunun için ana (temel) doğrultular olan X doğrultusu ve Y doğrultusunda hareket etmemesi gerektiği gibi, olduğu yerde dönmemesi de gerekmektedir. Kısacası aşağıdaki şartları taşımalıdır. 1) ∑Fx = 0 ( x doğrultusunda hareket olmaması için) 2) ∑Fy = 0 ( y doğrultusunda hareket olmaması için ) 3) ∑M = 0 ( Dönme olmaması için) www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ DENGE PARALEL KUVVETLERİN BİLEŞKESİ VE DENGESİ Aynı yönlü paralel kuvvetler T =-R . O d1 d2 F1 F2 R = F 1 + F2 Aynı yönlü paralel kuvvetlerin bileşkesi, kuvvetler eşit ise tam ortada farklı ise büyük olan kuvvete daha yakın olacak şekilde kuvvetler arasında, kuvvetlerle aynı yönde ve kuvvetlerin toplamı kadar olur. Sistemi dengelemek için bileşkenin olduğu yerden asmak gerekir. İpte bileşkeye eşit şiddette bir gerilme oluşacağından bileşkenin sıfır olma şartı sağlanır. İpteki gerilme; T = F1 + F2 dir. Sistem bileşkenin olduğu yerden asılarak dönme engellenmiş olur ve toplam momentin sıfır olma şartı sağlanır. ∑M = 0 ; F1 . d1 = F2 . d2 www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ DENGE PARALEL KUVVETLERİN BİLEŞKESİ VE DENGESİ Zıt yönlü paralel kuvvetler a)F1 ˃ F2 ise b) F1 ˂ F2 ise F1 R = F + F 1 2 T =-R . d2 F2 d1 O F2 d1 R = F1 + F2 F1 d2 . O T =-R Zıt yönlü paralel kuvvetlerin bileşkesi, kuvvetlerin dışında büyük kuvvet tarafında ve yönünde ve kuvvetlerin farkı kadardır. Sistemi dengelemek için bileşkenin olduğu yerden asmak gerekir. İpte bileşkeye eşit şiddette bir gerilme oluşacağından bileşkenin sıfır olma şartı sağlanır. Sistem bileşkenin olduğu yerden asılarak dönme engellenmiş olur ve toplam momentin sıfır olma şartı sağlanır. 1) ∑F= 0 ; T = R = F1 - F2 2) ∑M = 0 ; F1 . d1 = F2 . d2 www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ DENGE PARALEL KUVVETLERİN BİLEŞKESİ VE DENGESİ Kuvvet Çifti c)F1 = F2 = F ise F2 . O d F1 d Aynı şiddette olan ve tesir çizgileri (doğrultuları) paralel ve yönleri ters (zıt) olan kuvvetlere kuvvet çifti denir veya böyle kuvvetler bir kuvvet çifti oluştururlar Bu iki kuvvetin her hangi bir doğrultudaki bileşenleri toplamı sıfırdır. Buna karşın, bu iki kuvvetin verilen bir noktaya göre momentleri toplamı sıfır değildir. Böyle iki kuvvet etki ettikleri rijit cisim üzerinde öteleme değil, döndürme etkisi meydana getirirler. Bu iki kuvvetin bulunduğu düzlemdeki , bir O noktasından geçen ve bu düzleme dik olan bir eksene göre , bu kuvvetlerin momentleri, kuvvet çifti olarak tanımlanır ve şiddeti; ∑M= F . d + F . d = 2Fd www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ DENGE PARALEL KUVVETLERİN BİLEŞKESİ VE DENGESİ Örnek: Ağırlığı önemsiz çubuk üzerine şekildeki gibi 10N. luk x, y cisimleri asıldığında a) Dengede kalması için çubuğu hangi noktadan asarız? b) İpte kaç N. gerilme oluşur? Çözüm: a) X ve Y eşit ağırlıkta olduğundan bileşke T = R = 20N. ağırlık tam ortada toplanacaktır bu durumda A B C O D E F dengede kalması için çubuğu tam ortadan asmamız gerekir. b) İpteki gerilmede cisimlerin toplam ağırlığı kadar olur. y x T = R = 20 ; ∑F= 0 10N. 10N. Mx = My = 30 ; ∑M = 0 R = 20N. My = 10.3 =30 M = 10.3 = 30 x www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ DENGE PARALEL KUVVETLERİN BİLEŞKESİ VE DENGESİ Örnek: Ağırlığı önemsiz çubuk üzerine 10N. luk x cismi ve ağırlığı bilinmeyen y cismi asıldığında şekildeki gibi dengede kalmaktadır bu durumda a) Y nin ağırlığı kaç N. Dur? b) İpte kaç N. gerilme oluşur? Çözüm: a) ∑M = 0 ; Mx = My T =? 10.4 = Gy . 2 A B C O D E F Gy = 20N. b) ∑F= 0 ; T = R = 10+20 = 30N. y x 10N. Gy = ? www.sakarya.edu.tr STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ DENGE • Örnek: Ağırlığı 2 kN olan homojen dikdörtgenler prizmasının devrilmemesi için F kuvveti en fazla kaç kN olmalıdır? Çözüm : Devrilmesi için dönme zemindeki köşe etrafında olacağından, bu köşeye göre toplam moment sıfır olursa dengede olur. Devrilme A noktası etrafında olacağından devrilmemesi için A ;F.80=W.20 , F.80=2.20 , F=0,5 kN STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ DENGE • Örnek: Şekildeki AB çubuğunun ağırlığı W=100 N. F=50 N ise A ve B mafsallarındaki reaksiyon (tepki) kuvvetinin değeri kaç N dur? Sin 53 = 0,8 Cos 53 = 0,6 STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ DENGE • Çözüm: ∑Fx = 0; Ax = Fx = 30N. Fx = F . Cos 53 = 50 . 0,6 = 30N. Fy = F . sin 53 = 50 . 0,8 = 40N. ; By . 4= 100.2 + 40.3 By .4= 320 By = 80 N dır. ∑FY = 0; AY + BY = W + FY AY + 80 = 100 + 40 AY = 140 – 80 = 60N. A2 = Ax 2 + AY 2 A2 = 302 + 602 = 900 + 3600 A2 = 4500 N. A = 67N. STATİĞİN TEMEL PRENSİPLERİ DENGE • ÖDEV: Şekildeki AB çubuğunun ağırlığı W=50 N. F=25 N ise A ve B mafsalındaki reaksiyon (tepki) kuvvetinin değeri kaç N dur? Sin 53 = 0,8 Cos 53 = 0,6