Fizik 101: Ders 24 Gündem

Fizik 101: Ders 24
Gündem
Tekrar
 “Başlangıç koşullarını” kullanarak BHH denklemlerinin
çözümü.
 Genel fiziksel sarkaç
 Burulmalı sarkaç
 BHHte enerji
 Atomik titreşimler
 Problem: Düşey yay
 Problem: taşıma tuneli
 BHH tekrar

BHH & yaylar
kuvvet:
d 2s
2


s
2
dt

k
m
k
s
çözüm
s = A cos(t + )
k
m
m
0
0
s
Hız ve İvme
Konum: x(t) = A cos(t + )
Hız:
v(t) = -A sin(t + )
İvme: a(t) = -2A cos(t + )
xMAX = A
vMAX = A
aMAX = 2A
k
m
0
x
Türevleri
alarak...
v( t ) 
dx ( t )
dt
a( t ) 
dv ( t )
dt
Ders 24, Soru 1
Basit Harmonik Hareket
Bir yay üzerindeki bir kütle aşağı yukarı titreşim hareketler
yapmaktadır. Kütlenin konumu zamanın bir fonksiyonu olarak
aşağıda verilmiştir. Verilen noktakardan hangisinde hız pozitif
ve ivme negatiftir?
y(t)
(a)
(c)
t
(b)
Ders 24, Soru 1
Çözüm
y(t) nin eğimi hızın işaretini belirler zira:
v
dy
dt
y(t) ve a(t) nin işaretleri birbirinin tersidir a(t) = -w2 y(t)
a<0
v<0
y(t)
a<0
v>0
(a)
(c)
t
(b)
a>0
v>0
cevap (c).
Örnek

m = 2 kg kütleli bir cisim bir yayın ucunda genliği A=10
cm olan titreşim hareketleri yapıyor. Başlangıçta t = 0
hızı maksimum, ve v = +2 m/s.


Titreşimin frekansı  nedir?
Yay sabiti k nedir?
v MAX 2 m s

 20 s 1
=
A
10 cm
vMAX = A
vede  
k
m
k = m2
 k = (2 kg) x (20 s -1) 2 = 800 kg/s2 = 800 N/m
k
m
x
Başlangıç Koşulları
“başlangıç koşullarını” kullanarak  yi belirleyelim!
Vasayım: x(0) = 0 , ve x
başlangıçta artıyor (v(0) = pozitif):
 = /2 yada -/2
<0
x(0) = 0 = A cos()
v(0) > 0 = -A sin()

x(t) = A cos(t + )
v(t) = -A sin(t + )
a(t) = -2A cos(t + )
 = -/2

k
cos sin
m
0
x


Başlangıç Koşulları...
bulgu  = -/2!!
x(t) = A cos(t - /2 )
v(t) = -A sin(t - /2 )
a(t) = -2A cos(t - /2 )
x(t) = A sin(t)
v(t) = A cos(t)
a(t) = -2A sin(t)
A
x(t)

k
m
0
-A
x

t
Ders 24, Soru 2
Başlangıç Koşulları
Düşey bir yaya asılı bir kütle denge konumundan d kadar yukarıya
kaldırılıp t=0 anında serbest bırakılıyor. Aşağıdakilerden hangisi hız
ve ivmeyi zamanın fonksiyonu olarak verir?
(a) v(t) = -vmax sin(wt)
a(t) = -amax cos(wt)
(b) v(t) = vmax sin(wt)
a(t) = amax cos(wt)
(c) v(t) = vmax cos(wt)
a(t) = -amax cos(wt)
(vmax ve amax her ikiside pozitif)
k
t=0
y
m
d
0
Ders 24, Soru 2
Çözüm
t=0 da mümkün olan en büyük yerdeğiştirme ile
başladığımızdan :
y = d cos(wt)
v
dy
 d sin t   v max sin t 
dt
dv
a
  2d cost   amax cost 
dt
k
t=0
y
m
d
0
Tekrar: Basit sarkaç

 = I kullanarak ve sin    küçük lar için
z
d 2
 mgL  mL
dt 2
2

I

burada


bulgu
d 2
2




2
dt
BHH çözümü   = 0 cos(t + )
L
g
L
m
d
mg
Tekrar: Çubuk sarkaç

 = I kullanarak ve sin    küçük lar için
z
2
L
1
2 d 
 mg   mL
2
3
dt 2

I
L/2


bulgu
xKM
d 2
2



 burada
2
dt

BHH çözümü   = 0 cos(t + )
3g
2L
L
d
mg
Genel Fiziksel Sarkaç


z-ekseni
Elimizde M kütleli, şekli keyfi
olan bir cisim sabit bir
eksene asılı bulunsun. Bunun
yanında bu cisim için KM ve
bu eksen etrafında biliniyor
eylemsizlik moment I olsun.
Küçük açılar  için dönme
ekseni (z) etrafındaki tork
(sin    )
 = -Mgd  -MgR
d 2
dt 2

xCM
d
Mg
d 2
 MgR  I
dt 2
  2  burada
 = 0 cos(t + )
R



MgR
I
Ders 24, Soru 3
Fiziksel Sarkaç

D çaplı bir hoola hoop’un bir çiviye asılmasıyla bir sarkaç
yapılıyor.
hoola hoopun küçük yerdeğiştirmeleri için açısal
frekans nedir? (IKM = mR2 hoop için)
(a)

g
D
(b)

2g
D
(c)

g
2D
Eksen (çivi)
D
Ders 24, Soru 3
Çözüm
 Küçük yerdeğiştirmeler içim hoopun açısal frekansı

mgR
I
Paralel eksen teoremini kullanarak: I = Icm + mR2
= mR2 + mR2 = 2mR2
Eksen (çivi)

mgR
g
g


2R
D
2 mR 2


g
D
km
x R
m
Burulmalı Sarkaç


KM’inden bir tel ile asılı bir cismi dikkate
alalım. Tel dönme eksenini tanımlar ve bu
eksene göre eylemsizlik momenti I biliniyor
olsun.
Tel “burulma yayı gibi” davranır.
 Cisim döndürüldüğünde, tel burulur. Bu
dönmeye karşı bir tork meydana getirir.
 Yay durumundaki gibi meydana gelen
tork açısal yer değiştirme ile orantılıdır:
 = -k
tel


I
Burulmalı Sarkaç...

 = -k ve  = I yazarsak
k  I
d 
2
dt
2
tel
d 2
dt 2


  
2
burada  
k
I
Bu durum “yay da kütle” örneğine benzer bir
farklılıkla m yerine I kullanılır.
I
BHHte Enerji



Yay ve sarkaç için enerjinin korunumunu kullanarak
BHH çözümünü bulabiliriz.
BHH yapan sistemin toplam
enerjisi (K + U) her zaman
sabit kalacaktır!
Sistemde korunumlu kuvvetler
olduğundan bu beklenmektedir
ve K+U eneji korunur.
U
K
E
-A
0
U
A
s
BHH ve kuadratik (karesel)
potansiyeller



Kuadratik potansiyelin bulunduğu her yerde BHH
olur.
Bu genel bir durum değildir.
Örneğin, H2 molekülündeki H
U
atomları arasındaki potansiyel:
K
E
U
-A
x
0
U
A
x
BHH ve kuadratik potansiyeller...
Eğer potansiyelin minimum yakınlarında bir taylor serisine açarsak
küçük yerdeğiştirmeler için kuadratik potansiyel:
U
U(x) = U(x0 ) + U(x0 ) (x- x0 )
1
+ U (x0 ) (x- x0 )2+....
2
U
x0
U(x0) = 0 (x0 potansiyel
x
minimumu olduğundan.)
tanım
x = x - x0 ve U(x0 ) = 0
1
 U(x) =
U (x0 ) x 2
2
x
BHH ve kuadratik potansiyeller...
1
U(x) = U (x0) x 2
2
k = U (x0) olsun.
U
U
x0
Böylece:
x
1
U(x) = k x 2
2
BHH potansiyel!!!
x
Problem: Düşey Yay

m = 102 g olan bir kütle yatay bir yaya asılır.
Denge pozisyonu y = 0 dır. Kütle denge
konumundan d=10 cm aşağı çekilir ve t=0
anında serbest bırakılır. Titreşim periyodu
T = 0.8 s olarak ölçülür.
 Yay sabiti k nedir?
 Kütle için konum, hız ve ivmeyi zamanın
birer fonksiyonu olarak yazınız.
 Maksimum hız nedir?
 Maksimum ivme nedir?
k
y
0
m
t=0
-d
Problem: Düşey Yay

k nedir?


böylece:
k
m
k   2m
2
 7 .85 s 1
T
k
y

k  7.85s

1 2
N
0.102kg  6.29
m
0
m
t=0
-d
Problem: Düşey Yay...


Hareket denklemleri nelerdir?
t = 0 da,
 y = -d = -ymax
 v = 0
k
y
0

Böylece:
y(t) = -d cos(t)
v(t) = d sin(t)
a(t) = 2d cos(t)
m
t=0
-d
Problem: Yatay Yay...
y(t) = -d cos(t)
v(t) = d sin(t)
a(t) = 2d cos(t)
0


t
k
xmax = d = .1m
y
vmax = d = (7.85 s-1)(.1m) = 0.78 m/s
0
amax = 2d = (7.85 s-1)2(.1m) = 6.2 m/s2
m
t=0
-d
İletim Tüneli

Dünyanın merkezinden geçen bir tünel delinip bir
mühendislik öğrencisi delikten aşağı öğle arasında
(saat 12de) bırakılsın.
 Öğrenci ne zaman geri döner?
İletim Tüneli...
FG R  
FG
Burada R yarıçapı içindeki
kütle MR ile verilir.
R
RE
MR
GmM R
R2
FG R 
M R RE2

FG RE  R 2 M E
ama MR  R 3
FG R 
R 3 RE2
R
 2 3 
FG RE  R RE RE
İletim Tüneli...
FG R 
FG RE 
FG

R
RE
FG ( RE )  mg
R
RE
MR
R
FG  mg
 kR
RE
Ucunda kütle
olan yay gibi
k 
mg
RE
İletim Tüneli...
Ucunda kütle k  mg
RE
olan yay gibi
FG

R
RE
MR

k
g

m
RE
g = 9.81 m/s2 ve
RE = 6.38 x 106 m
Yerine koyarsak
 = .00124 s-1
2
sonuÇ T =
= 5067 s

 84 dk
İletim Tüneli...

84 dakika sonra geri döner, yani 1:24 te dünya turu
yapıp döner.
İletim Tüneli...

Tuhaf ama gerçek:
Titreşim periyodu tünelin
dünyanın merkezinden
geçmesini gerektirmez.
Herhangi bir doğru tünel
sürtünme olmadığı ve
yoğunluk sabit olduğu
sürece aynı sonucu verir.
İletim Tüneli...

Bir başka tuhaf ama
gerçek: Dünyanın hemen
yüzeyinde dolaşan bir
cisim geçiş tüneli ile aynı
periyoda sahiptir.
a = 2R
9.81 = 2 6.38(10)6 m
 = .00124 s-1
T=
2
= 5067 s

 84 min
Basit Harmonik Hareket:
Özet
k

Kuvvet:
d 2s
2


s
2
dt
s
k
m
0
m
k
m
s
0
Çözüm:
s = A cos(t + )

g
L
s
L
Çözüm
Tekrar
 “Başlangıç koşullarını” kullanarak BHH denklemlerinin
çözümü.
 Genel fiziksel sarkaç
 Burulmalı sarkaç
 BHHte enerji
 Atomik titreşimler
 Problem: Düşey yay
 Problem: taşıma tuneli
 BHH tekrar

Quiz sınav soruları:





Bölüm 8 soru 81
Bölüm 9 soru 100
Bölüm 10 soru 44
Bölüm 11 soru 59
Bölüm 13 soru 68
Cevap kağıdının okunaklı, temiz ve düzenli
olması %25 ağırlıklıdır.
Teslim: 30.11.2012