Middle School Students` Understanding of Average
advertisement
Elementary Education Online, 8(2), 391-400, 2009. lkö retim Online, 8(2), 391-400, 2009. [Online]: http://ilkogretim-online.org.tr Middle School Students’ Understanding of Average* Zülbiye TOLUK UÇAR** Elif Nur AKDO6AN*** ABSTRACT. The purpose of this study was to investigate 6, 7 and 8th grade students’ understanding of average and how these understandings change with respect to the grade level. Participants of the study were 18 students, 6 from each grade level. Semi-structured interviews were conducted to collect the data. Five problems related to the concept of average were asked to the students during the interviews. Problems were developed with respect to the literature review. Data collected were analyzed using content analysis technique. Analysis showed that most of the students understood average as an arithmetic mean, students mostly preferred the arithmetic mean algorithm as a strategy and they didn’t recognize average as a representative value. Results of the study were discussed in terms of the statistics education at middle school level. Key Words: average, measures of central tendency, statistical thinking SUMMARY Purpose and Significance: The concept of average has an important place in data analysis. Lack of a clear definition of this concept results in difficulty in teaching and learning. The purpose of this study was to investigate how 6, 7 and 8th grade students interpret the concept of average and how these understandings differ with respect to the grade level. Methods: This study was done at the center of the Bolu in a middle school. Participants of the study were 18 students from grades 6, 7, and 8, six from each grade level. Students participated in the study voluntarily. Semi-structured interviews were conducted with each students. Five problems were used during the interviews. Three problems were adapted from English to Turkish and the rest were developed by the researchers. Interviews were conducted during the school hours and tape recorded. Each interview lasted approximately 30 minutes. Students’ solutions for each problem were also used in data analysis. Content analysis technique was used in order to analyze the data. Results: It was found that most of the students understand average as an arithmetic mean. As a result, students mostly preferred the arithmetic mean algorithm as a strategy for solving problems. Half of the participants did not recognize average as a representative measure. Results also showed that students’ understanding of average change with respect to the grade level. Discussion and Conclusion: In this study, we investigated how middle school students solved problems about average and approaches they used for solving problems. Half of the students recognized that data was not a collection of individual numbers; rather it was an entity in itself. Other half of the students interpreted average as calculations carried out over several numbers and most of these students understood average as an arithmetic mean and some of these students used only algorithmic approach in solving problems. There were also some differences in students’ understanding of average in terms of approaches they used. Four approaches were identified. These are average as mode, add-divide algorithm, average as midpoint and average as mathematical balance point. Mostly used approach was add-divide algorithm. These results showed that middle school students’ understanding of average was limited. As an implication of this study, mathematics teachers should provide opportunities for their students so that students could collect, summarize and analyze data. In addition, the arithmetic mean algorithm should not be introduced too early. Because once students learn the algorithm, they hardly develop reasoning skills about average. * This article was presented at 8th National Congress on Science and Mathematics Education, Bolu Asst. Prof. Dr., Abant zzet Baysal University, Faculty of Education, [email protected] *** Research Asst., Abant zzet Baysal University, Faculty of Education, [email protected] ** 6.-8. S(n(f Ö*rencilerinin Ortalama Kavram(na Yükledi*i Anlamlar Zülbiye TOLUK UÇAR** Elif Nur AKDO6AN*** ÖZ. Bu araKtLrmanLn amacL ilkö retim 6, 7 ve 8. sLnLf ö rencilerinin ortalama kavramLna yükledikleri anlamlarL incelemektir. AraKtLrmaya Bolu ilinde bulunan bir ilkö retim okulundaki 6, 7 ve 8. sLnLflardan her seviyeden 6 ö renci olmak üzere toplam 18 ö renci katLlmLKtLr. Ö rencilere, ortalama kavramL hakkLndaki düKüncelerini açL a çLkarmaya yönelik 5 tane problem sorulmuK, bu problemlerin 3 tanesi alan yazLnL taramasLndan sonra Türkçeye çevrilmiK, 2 tanesi ise araKtLrmacLlar tarafLndan yazLlmLKtLr. Ö rencilerin her biriyle yarLyapLlandLrLlmLK görüKmeler yapLlmLKtLr. Veriler içerik analizi yöntemiyle analiz edilmiKtir. Bulgular, ö rencilerin büyük ço unlu unun ortalamayL, aritmetik ortalama olarak algLladLklarLnL, ortalama ile ilgili problemlerde ilk seçtikleri stratejinin aritmetik ortalama algoritmasLnL kullanma oldu unu ve ö rencilerin yarLsLnLn ortalamanLn veriyi temsil etme gücünü anlamadLklarLnL göstermiKtir. AraKtLrmanLn bulgularL, ilkö retimde istatistik e itimi açLsLndan tartLKLlmLKtLr. Anahtar Kelimeler: Ortalama, merkezi e ilim ölçüleri, istatistiksel düKünce G1R12 Teknolojinin hLzlL bir Kekilde ilerledi i ve yayLldL L toplumumuzda bilgi ve veri toplama önemli bir rol oynamaktadLr. Her gün bir yL Ln bilgi ile karKL karKLya kalmaktayLz. Bu bilgiler yazLlL ya da görsel medyada grafik, tablo ya da ortalama olarak karKLmLza gelmektedir. Bilgi ve verilerin de erlendirilmesi ve yorumlanmasL sürecinde istatistiksel bilgiye ihtiyaç duyulmaktadLr. Matematik e itiminin amaçlarLndan biri de ö rencilere bu bilgilerle baK edebilme becerilerini kazandLrmaktLr. Sonuç olarak toplumda istatistiksel becerilere olan ihtiyaç karKLsLnda matematik e itiminde de yenilik arayLKLna gidilmiK ve e itimin tüm seviyelerinde istatistik e itiminde reform süreci baKlatLlmLKtLr. (National Council of Teachers of Mathematics, 2000). Bu reform çalLKmalarL ö rencilerin, özellikle ortaokul seviyesinde, istatistiksel uygulamalara yo unlaKmalarLnLn ve istatistiksel becerileri geliKtirmelerinin önemli oldu unu açL a çLkarmLKtLr. Bu nedenle, birçok ülkede istatistik ve olasLlLk konularL matematik programlarLnda yerini almLKtLr. Bu programlarda, veri düzenleme, betimleme, temsil etme ve analiz etme süreçlerine önem verilmeye baKlanmLKtLr. statistik e itimindeki yeni yaklaKLm, Shaughnessy, Garfield ve Greer’in (1996) de öne sürdü ü gibi verileri grafi e dökme becerisi gibi dar bir bakLK açLsLndan çok, veri toplama, veri analizi gibi önemli becerileri kapsayan daha geniK bir bakLK açLsLna sahiptir (akt. Jones ve vd., 2000). Uzun yLllar okullardaki matematik programlarLnda ortalama kavramL, merkezi e ilim ölçüleri (ortanca, tepe de er ve aritmetik ortalama) olarak tanLmlanmLK olsa da ço unlukla aritmetik ortalama kavramL ile eK anlamda kullanLlmLK ve daha çok iKlemsel açLdan ele alLnmLKtLr (Watson ve Moritz, 2000). Türkiye’de de 2005 yLlLndan önce, merkezi e ilim ölçüleri ilkö retim matematik programLnda 7. sLnLfta bir ünite içinde ve birbirinden ba LmsLz birer kavram olarak yalnLzca iKlemsel açLdan ele alLnmaktaydL. Bu kavramlarLn veriyi temsil etme ve yorumlama özellikleri ise hemen hemen hiç vurgulanmamaktaydL (MEB, 1998). Dünyadaki reform çalLKmalarLna paralel olarak, 2004 yLlLnda ilkö retim 6, 7, ve 8. sLnLflar matematik programLnda ortalama kavramL, istatistik ve olasLlLk ö renme alanLnLn içinde merkezi e ilim ölçüleri olarak yerini almLKtLr. Aritmetik ortalama, ortalama kavramLnLn üç farklL anlamLndan sadece birisidir. Bir baKka ifadeyle, aritmetik ortalama verinin ortalamasL ya da merkezi e ilimi hakkLnda bilgi veren araçlardan biridir (Randall, 2006). Ortalama bir veri grubunun da LlLmLnLn merkezi hakkLnda bilgi verir. Ortalama bazen veride en sLk tekrarlanan de er (tepe de er veya mod), bazen ortadaki de er (ortanca veya medyan) bazen de verinin denge noktasLdLr (aritmetik ortalama). AyrLca, verinin da LlLmLnLn Kekline ** Yrd. Doç. Dr., Abant zzet Baysal Üniversitesi, E itim Fakültesi, [email protected] ArK. Gör., Abant zzet Baysal Üniversitesi, E itim Fakültesi, [email protected] *** 392 göre bu ölçülerden hangisinin daha iyi bir temsilci oldu u de iKebilir. Örne in, normal ya da normale yakLn da LlLmlarda aritmetik ortalama iyi bir temsilciyken, çarpLk da LlLmlarda ya da büyük uç de erlerin bulundu u durumlarda ortanca daha iyi bir temsilci olabilir. OrtalamanLn tek bir tanLmLnLn olmamasL ve verinin da LlLmLndan etkilenmesi nedeniyle, ortalama kavramL tam olarak anlaKLlamamakta, hatta ço u zaman aritmetik ortalama ile eK anlamda kullanLlmaktadLr. Aritmetik ortalama ile ilgili yapLlan araKtLrmalar da, bu kavramLn sadece iKlemsel açLdan anlaKLldL LnL ve veriyi temsil etme gücünün yeterince geliKmedi ini göstermektedir (Pollatsek, Lima and D’Well, 1981; Mevarech, 1983; Cai, 1999). Cai (1999) Çinli ve AmerikalL 6. sLnLf ö rencileriyle yaptL L araKtLrmada ö rencilerin aritmetik ortalama kavramLnL yeterince anlamadLklarL için problem çözme durumlarLnda algoritmayL geriye do ru çalLKtLrmada güçlük çektiklerini belirlemiKtir. Çocuklarda merkezi e ilim ölçülerinin (ortanca, tepe de er ve aritmetik ortalama) algoritmik bilgisinin hLzlL geliKmesine ra men kavramsal bilgisinin geliKimi uzun yLllar almaktadLr. Mokros ve Russell (1995) 4, 6 ve 8. sLnLf ö rencilerinin ortalama ile ilgili problemlerin çözümlerinde kullandLklarL stratejileri incelemiKtir. Mokros ve Russell çocuklarda ortalama kavramL ile ilgili 5 geliKimsel yaklaKLm belirlemiKlerdir. Bu yaklaKLmlardan ilk ikisinde çocuklar veriyi tek tek sayLlardan oluKan bir sayL dizisi olarak ele aldLklarL için, ortalamayL temsilci olarak görememektedirler. Bu nedenle de ya veride en çok tekrar eden de ere yo unlaKmaktadLrlar ya da ortalamayL sadece bir iKlem olarak algLlamaktadLrlar. Di er 3 yaklaKLmda ise çocuklar ortalamanLn temsil etme özelli ini anlamaya ve ortalama kavramLnLn tanLmLnL geliKtirmeye, ortalamanLn verinin da LlLmL hakkLnda bilgi veren ve veride tipik olanL temsil eden bir de er oldu unu anlamaya baKlamaktadLr. Watson ve Moritz (2000) benzer bir çalLKmayL daha geniK bir örneklem üzerinden yapmLKtLr. Ortalama kavramLnLn 3. sLnLftan 9. sLnLfa kadar 137 ö rencide nasLl geliKti ini incelediklerinde 6 hiyerarKik düzey tespit etmiKlerdir. lk 4 düzey ortalama kavramLnLn sezgisel günlük yaKam düKüncelerinden, bir veri kümesinin merkezi ölçüsünü elde etmek için kullanLlan iKlemsel ve kavramsal açLklamalara dönüKümünü açLklarken, en üst 2 seviye ilk dört seviyede kazanLlan anlamalarL karmaKLk problem çözme ortamlarLnda ortalama algoritmasLnL geri çevirmeye ve a LrlLklL ortalama hesaplamaya nasLl taKLdLklarLnL açLklamaktadLr. AyrLca, Watson ve Moritz çocuklarLn ortalama ifadesini genellikle “orta” olarak yorumladLklarLnL bulmuKtur. Leavy ve O’loughlin (2006), 263 ö retmen adayLyla yapmLK oldu u çalLKmada ö retmen adaylarLnLn ortalama hesaplama konusunda önceden gerekli iKlemsel bilgilere sahip olduklarL, formülleri ve kurallarL bildiklerini fakat yeterli düzeyde kavramsal bilgiye sahip olmadLklarL için kavramsal bilgi ile iKlemsel bilgi arasLnda iliKki kuramadLklarLnL tespit etmiKtir. Ülkemizde ise, bu konuyla ilgili matematik e itiminde yapLlan araKtLrmalar incelendi inde, ortalama kavramLnLn nasLl algLlandL L ile ilgili yeterli çalLKma bulunmamaktadLr. Bu nedenle ortalama kavramLna ö rencilerin yükledi i anlamlarLn ve ortalama problemlerini çözerken kullandLklarL stratejilerin ortaya çLkarLlmasLna ihtiyaç duyulmaktadLr. AyrLca günümüzde matematik e itiminde yapLlan araKtLrmalar incelendi inde yalnLzca % 2 lik kLsmLnLn konusunun istatistik ve olasLlLk oldu u görülmektedir (Aisling ve Middleton, 2001). Bu yüzden bu alana yönelik araKtLrmalarLn sayLsL artLrLlmalLdLr. Bu ba lamda bu araKtLrmanLn amacL, ilkö retim 6. – 8. sLnLf ö rencilerinin ortalama kavramLna hangi anlamlarL yükledikleri ve bu anlamlarLn sLnLflara göre nasLl de iKti inin incelenmesidir. YÖNTEM AraKtLrmada nitel araKtLrma yöntemi kullanLlmLKtLr. [imKek ve YLldLrLm (2006)’a göre nitel araKtLrma; gözlem, görüKme ve doküman analizi gibi veri toplama yöntemlerinin kullanLldL L, algLlarLn ve olaylarLn do al ortamda gerçekçi ve bütüncül bir biçimde ortaya konmasLna yönelik nitel bir sürecin izlendi i araKtLrma olarak tanLmlanmaktadLr. Bu nedenle, araKtLrmaya katLlan ilkö retim 6, 7 ve 8. sLnLf ö rencilerinin “ortalama” kavramLna yükledikleri anlamlarL ortaya çLkarmak için ö rencilerle birebir görüKmeler yapLlmLKtLr. Kat(l(mc(lar AraKtLrma Bolu ili merkez ilçesinde bir ilkö retim okulunda gerçekleKtirilmiKtir. AraKtLrmanLn verileri bu okulun 6, 7 ve 8. sLnLf ö rencilerinden her bir sLnLf seviyesinden maksimum çeKitlilik 393 örneklemesine uygun olacak Kekilde altLKar ö renci seçilerek, 18 ö renciden toplanmLKtLr. Ö renciler sLnLflarLnda matematik derslerindeki baKarL düzeylerinin alt, orta ve üst düzey olmasLna dikkat edilerek, ö retmenleri tarafLndan problem çözmede düKüncelerini açLklayabilme becerisi ve çalLKmaya gönüllü olmalarL göz önüne alLnarak yapLlmLKtLr. Maksimum çeKitlilik örneklemesinin kullanLmLndaki amaç, örneklemde çalLKLlan probleme taraf olabilecek bireylerin çeKitlili ini maksimum derecede yansLtmaktLr ([imKek ve YLldLrLm, 2006). AyrLca farklL sLnLf düzeylerinden ö rencilerin seçilmesindeki amaç, ortalama kavramLnLn sLnLflara göre nasLl geliKti inin açL a çLkarLlmasLdLr. Veri Toplama Süreci Veri toplama aracL olarak, klinik mülakat yöntemi kullanLlmLKtLr. Klinik mülakatlarda kullanLlan 5 problem alanyazLnL taramasLna göre hazLrlanmLKtLr (Bkz. Ek). Problemlerin ilk 3 tanesi nglizceden Türkçe’ye uyarlanmLKtLr. Birinci problem stanbul’da ortalama yolculuk süresi ile ilgili bir gazete haberidir. Bu problem Watson ve Moritz’den (2000) uyarlanmLK, çocuklarLn ortalama kavramLnL günlük yaKamda nasLl anladLklarLnL ortaya çLkarmak için hazLrlanmLKtLr. kinci problem Mokros ve Russell’dan (1995) uyarlanmLKtLr. Bu problemde veri grafik biçiminde sunulmuK, ö rencilere grafikte verilen haftalLk harçlLk miktarlarLnLn ortalamasLnL bulmalarL sorulmuKtur. A LrlLklL ortalama ile ilgili 3. problem ise Pollatsek ve vd. (1981) den uyarlanmLK asansör problemidir. Bu problemde ortalama a LrlLklarL verilen 6 erkek ve 4 kadLnLn 800 kg kapasiteli bir asansöre güvenle binip binemeyecekleri sorulmuKtur. Son iki problem araKtLrmacLlar tarafLndan hazLrlanmLKtLr. Dördüncü problemde bir ö renci grubunun 10 gruba ayrLldL L, her grupta ortalama 11 ö rencinin oldu u ve ilk 2 gruptaki ö renci sayLlarLnLn 10 ve 9 oldu u bilgileri verilmiKtir. Ö rencilerden hiçbir grupta 11 ö renci olmamak KartLyla di er 8 gruptaki ö renci sayLlarLnL bulmalarL istenmiKtir. Son problemde ise ö rencilerden tablo Keklinde sunulan veriyi en iyi Kekilde temsil edecek ortalama de eri bulmalarL beklenmiKtir. Problemlerin sunum sLrasL her çocuk için aynL olmuKtur. GörüKmeler, okulda ders saatleri içinde gerçekleKtirilmiK ve ses kaydL yapLlmLKtLr. Her bir görüKme yaklaKLk 30 dakika sürmüKtür. GörüKmelerde kaydedilen ses kayLtlarLnLn çözümlemesi yapLldLktan sonra ö rencilerin görüKme esnasLndaki çözümleri de analizde kullanLlmLKtLr. Veri Analizi Verilerin analizinde içerik analizi tekni i kullanLlmLKtLr. Veri analizi üç aKamada gerçekleKtirilmiKtir. Birinci aKamada her ö renci ile yapLlan görüKmeler okunmuK ve kodlar belirlenmiKtir. Elde edilen kodlara göre görüKmeler kodlanmLKtLr. Kodlamalardan sonra, her ö rencinin ortalama kavramL ile ilgili düKüncelerinin genel bir resmi çLkarLlmLKtLr. kinci aKamada ise, Mokros ve Russell’Ln (1995) çalLKmasLnda ortaya çLkan 4, 6 ve 8. sLnLf ö rencilerinin ortalama kavramL ile ilgili problemleri çözerken kullandLklarL yaklaKLmlar kullanLlarak kodlama yapLlmLKtLr. Mokros ve Russell ö rencilerin ortalama problemlerinde 5 farklL yaklaKLm kullandLklarLnL tespit etmiK ve her bir yaklaKLm için kullanLlan stratejileri listelemiKtir. Mokros ve Russel’Ln belirlemiK oldu u yaklaKLmlar sLrayla mod (en sLk tekrar eden de er), algoritma, akla yatkLnlLk, orta nokta (medyan) ve matematiksel denge noktasL yaklaKLmlarLdLr. Bu yaklaKLmlar ve alt stratejiler kullanLlarak görüKmeler tekrar kodlanmLKtLr. Her ö rencinin problemlere yaklaKLmlarL tekrar ayrL ayrL incelenmiK, ö rencinin hangi stratejiyi kullandL L belirlendikten sonra, her problem için elde edilen analiz sonuçlarL bir araya getirilerek ö rencinin kullandL L en baskLn strateji belirlenmiKtir. Birinci ve ikinci aKamada elde edilen kodlar karKLlaKtLrLlarak her ö rencinin ortalama kavramLna yükledi i en belirgin anlam belirlenmiKtir. En son aKamada, ö rencilerin ortalama kavramLnL bir veri grubunu temsil etme gücünü anlayLp anlamadLklarL de erlendirilmiKtir. Ortaya çLkan analiz sonuçlarLna göre ö rencilerin stratejilerinin sLnLf seviyesine göre farklLlLk gösterip göstermedi i belirlenmiKtir. BULGULAR YapLlan analizler sonucunda ö rencilerin problemlerin çözümlerinde baskLn Kekilde kullandLklarL stratejiler iki grupta toplanmLKtLr. Bu stratejiler ortalamanLn bir veri grubunu temsil etme gücünün farkLnda olmayanlar ve temsil etme gücünü bilen stratejilerdir. Ö rencilerin bu stratejilere ve 394 sLnLf seviyelerine göre da LlLmL Tablo 1’de verilmiKtir. AraKtLrmaya katLlan 18 ö renci bu iki gruba eKit olarak da LlmLKlardLr. Tablo 1. Ö rencilerin problemlerde kulland klar stratejilerin s n f seviyelerine göre da l m Stratejiler Temsilci de il Temsilci 6. sLnLf 4 2 Ö renci sayLsL 7. sLnLf 3 3 8. sLnLf 2 4 OrtalamanLn temsil etme gücünün farkLnda olmayan ö rencilerin problem çözme yaklaKLmlarLnLn esnek olmadL L gözlemlenmiKtir. Bu gruptaki ö renciler genellikle aritmetik ortalama algoritmasLnL kullanmayL tercih etmiKler, algoritmayL kullanmadan ortalamayL bulmalarL istendi inde yeni bir strateji geliKtirememiKlerdir. OrtalamanLn ne ifade etti i soruldu unda genellikle aritmetik ortalama algoritmasLnLn nasLl yapLldL LnL açLklamLKlardLr. Bu gruptaki bir 6. sLnLf ö rencisi ortalamayL hesaplarken bazL problemlerde algoritmayL ya yanlLK kullanmLK ya da ortalamanLn nasLl hesaplanaca LnL bilmedi ini söylemiKtir. OrtalamanLn temsil etme gücünün farkLnda olmayan ö renciler genellikle ortalama kavramLnL günlük yaKamda duymadLklarLnL, matematikle ilgili bir kavram oldu unu belirtmiKlerdir. Ortalama insan ifadesini “ya na uygun davranan, savurgan olmayan, ne yarar ne zarar olan, fazla samimi olmayan, gürültülü yerleri seven, sorumluluklar n yerine getiren, herkesin fikrini alan” insan olarak yorumlamLKlardLr. AKa Ldaki alLntL bir 7. sLnLf ö rencisinin ortalama insan ifadesini nasLl yorumladL LnL göstermektedir. A: Ortalama insan ifadesini daha önce hiç duydun mu? Ö: Hay r duymad m. A: Peki imdi duydun, burada ne anlat lmak isteniyor? Ortalama insan denilince senin akl na ne geldi? Ö: Ortalama insan, herkesin dü ündü üne uyan yani bir insanlar n fikirlerine dan an, onlar n fikirlerini al p bir i e ba layan gibi geldi… AKa Ldaki alLntLda baKka bir 7. sLnLf ö rencisi ortalama insanL “tüm insanlar n toplam say lar na bölümü” olarak tanLmlamLKtLr. Bu ö renci ortalama kavramLnL sadece algoritmik yönüyle düKünmektedir. A: Ortalama insan ifadesini daha önce hiç duydun mu? Ö: Evet asl nda biraz duydum, nüfus say m nda veriliyor, ortalama… ya da yakla kl kta da oluyor bunlarda. A: Peki sence burada ortalama insan derken anlatmak istedikleri ey nedir? Ö: Ortalama insan derken yani tüm insanlar n ne kadar say lar varsa ona bölümü gibi bir ey… Bu gruptaki ö renciler a LrlLklL ortalama problemini çözerken, toplamL iki grubun ortalamalarLnL toplayarak bulmuK, verilen bir ortalamaya uygun veri grubu oluKturmalarL istendi inde ise toplam kaç kiKi oldu unu bilemedikleri için tek tek veri oluKturamayacaklarLnL belirtmiKlerdir. AyrLca, ortalama hesaplarken tüm verileri dikkate almamLKlar ve verinin da LlLmLna dikkat etmemiKlerdir. OrtalamanLn temsil etme gücünün farkLnda olan ö renciler problemleri çözerken daha esnek yaklaKmLKlardLr. OrtalamayL hesaplarken veriyi bir bütün olarak ele almLK ve verinin da LlLmLna dikkat etmiKlerdir. Bu gruptaki ö renciler uç de erlerin ortalamayL etkileyebilece ini, bu nedenle hesaplarken bütün verilerin kullanLlmasL gerekti ini açLklamLKlardLr. AyrLca, bu ö renciler günlük yaKamda ortalama kavramLnLn neden kullanLldL LnL daha iyi açLklamLKlardLr. Örne in, ortalama kavramLnLn günlük yaKamda matematik dersi dLKLnda da kullanLldL LnL ortalama sLcaklLk, ortalama gelir, futbolda, bilgisayar oyunlarLnda ortalama puan olarak karKLlaKtLklarLnL belirtmiKlerdir. AKa Ldaki alLntLda bir 7. sLnLf ö rencisi günlük yaKamda ortalamayL nerelerde duydu unu ve neden kullanLldL LnL 395 açLklamaktadLr. Ö renci açLklamasLnda ortalamanLn bir da LlLm hakkLnda bilgi veren bir de er oldu unu vurgulamaktadLr. A: Günlük ya amda, aile ortam nda, arkada ortam nda veya televizyonda ortalama kelimesiyle kar la t n m ? Ö: Evet A: Nerelerde kar la t n? Ö: Mesela co rafya dersinde ortalama s cakl k, ortalama ya miktar , … gibi. A: Co rafya dersinde ortalama s cakl k, ortalama ya kullan l yor dedin. Ortalama nedir burada? Niçin ortalama kullan yor olabilirler? Ö: Genel eyleri i te… Da l diyebiliriz. Öyle diye geliyor akl ma. A: Nas l yani? Biraz daha açarsan… Ö: Eeeee (dü ünüyor). Genelleme yap yoruz. Mesela hani her taraf nda ya farkl olabilir ama genel ya n bir birime dü en de eri gibi bir ey… Ya miktar hakk nda bize bilgi veriyor. Bir baKka ö renci (8. sLnLf) grafikten ortalama hesaplama sorusunda, uç de erlerden sLfLrL neden hesaplamaya kattL LnL Köyle açLklamLKtLr: Ö: 5 ki i hiç harçl k alm yorsa tabi onu almak zorunday z. A: Grafi e bakt nda neden 5’i almak zorunday z? Ö: Çünkü yine ki i say s na ba l … Dü ürecek o… bu 5 ki iyi eyin d nda b rak rsak hem, gerçek verilere ula amay z. Yani 5 ki i de harçl k almasa da kesinlikle almal y z onu. A: Neden dü ürece ini dü ünüyorsun, ortalamay 5 ki inin? Ö: Çünkü onlar hiç harçl k alm yor. Be ki iyi almadan 3 YTL ç kacaksa ortalama, 5 ki iyi ald ktan sonra 2,2 YTL, 2 YTL gibi ç kar. Ortalama insanL ise “genele uyan, ço unlukla ayn olan, orta özelliklere sahip olan” insanlar olarak tanLmlamLKlardLr. Örne in, bir 8. sLnLf ö rencisi ortalama kavramLnL açLklarken robot resimlerin çizimlerinde oldu u gibi verilerin tam olarak bilinmedi i durumlarda ortalamadan yararlanLldL LnL belirtmiKtir. Bir baKka 8. sLnLf ö rencisi ortalamanLn belli özellikler hakkLnda bir fikir vermek için, geneli anlamak, da LlLm hakkLnda bilgi edinmek için kullanLldL LnL belirtmiKtir. Bu gruptaki ö renciler ortalamanLn farklL farklL de erlerden oluKan veriler hakkLnda bilgi edinmek için gerekli oldu unu ileri sürmüKlerdir. OrtalamanLn temsil etme gücünün farkLnda olan ö renciler, a LrlLklL ortalama problemini çözerken aritmetik ortalama hesabLnda toplam ve ortalama arasLndaki iliKkiyi do ru kullanmLK ve açLklamLKlardLr. ToplamLn gerçek bir veri oldu unu ve daha kesin oldu unu belirtirken, ortalamanLn yaklaKLk, kesin olmayan bir de er oldu unu belirtmiKlerdir. AyrLca, verideki de erlerin ortalama ile aynL olabilece i gibi farklL olabilece inin hatta veri grubunda hiç olmayabilece ini belirtmiKler, ortalamanLn toplama göre daha iyi fikir verdi ini, de erlendirme yapmayL kolaylaKtLrdL LnL açLklamLKlardLr. Ö rencilerin çözümleri ortalama kavramLna yüklenilen anlamlara göre de sLnLflandLrLlmLKtLr. SLnLflandLrma yapLlLrken bazL problemlerde farklL yaklaKLmlar kullanLlmLK olsa da, bütün görüKme boyunca en baskLn Kekilde kullanLlan stratejiye dikkat edilmiKtir. Bu sLnLflandLrma sonucunda 4 de iKik yaklaKLm ortaya çLkmLKtLr. Tablo 2 bu yaklaKLmlarL kullanan ö rencilerin sLnLflara göre da LlLmLnL özetlemektedir. Tablo 2’ye göre, ö rencilerin ortalama kavramLna yükledi i anlamlarLn sLnLf seviyesine göre farklLlLk gösterdi i görülmüKtür. OrtalamayL sadece mod olarak yorumlayan hiç 8. sLnLf ö rencisi bulunmazken, matematiksel denge noktasL olarak algLlayan üç 8. sLnLf ö rencisi oldu u belirlenmiKtir. Benzer Kekilde hiçbir 6. sLnLf ö rencisi ortalamayL bir da LlLmL temsil eden matematiksel denge noktasL olarak yorumlamamLKtLr. AyrLca, ö rencilerin ço unlu u (7 ö renci) ortalama kavramLnL topla ve böl Keklinde iKlemsel yönüyle kullanmLKlardLr. 396 Tablo 2. Ö rencilerin ortalama kavram na yükledi i anlamlar n s n flara göre da l m Anlamlar En sLk tekrar eden de er (Mod) Algoritma (Topla ve böl) Orta nokta (Medyan) Matematiksel denge noktasL (Aritmetik ortalama) 6. sLnLf 1 3 2 0 Ö renci sayLsL 7. sLnLf 1 2 2 1 8. sLnLf 0 2 1 3 OrtalamayL sadece en sLk tekrar eden de er olarak yorumlayan 2 ö renci, genellikle problemleri çözerken verinin modunu dikkate almLKtLr. Örne in trafikte harcanan ortalama yolculuk süresini ço unlu un harcadL L süre olarak açLklamLKlardLr. Benzer Kekilde, grafikten ortalama haftalLk miktarLnL belirlerken grafikte en yüksek sütuna yo unlaKmLKlardLr. Bu ö renciler, ortalamayL kullanmadan verilen ortalamaya uygun veri grubu oluKturmalarL istendi inde çözümlerinin akla yatkLnlL Lna bakmadan rasgele sayLlar oluKturmuKlardLr. Örne in bir 6. sLnLf ö rencisi ortalamanLn 11 oldu una dikkat etmeden bütün gruplarLn ö renci sayLsLnL 11 den küçük seçmiKtir. AyrLca, bu iki ö renci aritmetik ortalama algoritmasLnL birçok problemde yanlLK kullanmLKlardLr. Örne in bir 6. sLnLf ö rencisi ortalama haftalLk miktarLnL bulurken grafikte düKey eksendeki verileri toplamLK yatay eksendeki sayLlarLn toplamLna bölmüKtür. Ortalama kavramLnL ço unlukla aritmetik ortalama algoritmasL ile açLklamaya çalLKan 7 ö renci, iKlem yapmadan ortalamayL tahmin edemeyeceklerini, tek bildikleri yolun iKlem yaparak bulmak oldu unu söylemiKlerdir. Ö rencilerden neden toplayLp böldüklerini açLklamalarL istendi inde ise iKlemin öyle yapLlmasL gerekti ini, sonucu bulduklarLnL, toplamLn büyük, ortalamanLn küçük olmasL gerekti i için kullandLklarLnL, okulda ve dershanede bu Kekilde ö rendiklerini belirtmiKlerdir. Bir 8. sLnLf ö rencisi neden ortalama kelimesinin kullanLldL L soruldu unda aKa Ldaki açLklamayL getirmiKtir. A: Neden insanlar ortalama kelimesini kullan yorlar? Ö: Kolaya kaçmak için kullan yorlar. A: Nas l? Ö: 9 lem yapmak gibi, i lem kolayl k için, i lem yoksa sallar m… AynL ö renci asansör probleminde erkek ve kadLnlarLn toplam a LrlLklarLnL bulurken, kadLn ve erkeklerin ortalama a LrlLklarLnLn toplamLnL bulmuKtur. Bir 7. sLnLf ö rencisi asansör probleminde gerçek kilolarL bilmeden toplam a LrlL L bulamayaca LnL söylemiKtir. FarklL sorularla ö renciler sorgulandL Lnda ise ö rencilerin sLkLldLklarL, hatta heyecanlandLklarL gözlenmiKtir. AKa Ldaki alLntLda, bir 6. sLnLf ö rencisi algoritmayL bilmesinin sezgisel düKüncesinin önüne nasLl geçti ini açLklamaktadLr. A: Ortalama senin için sadece i lem mi ifade ediyor? Ö: (Dü ünüyor)Hani küçük olup da ortalaman n nas l hesapland söyleyebilirdim ama bildi im için sadece i lem ifade ediyor... n bilmeseydim, bir eyler OrtalamayL orta de er olarak yorumlayan 5 ö renci ise aritmetik ortalama algoritmasLna alternatif strateji olarak veri grubunun orta noktasLnL bulmuKlardLr. Bir ö renci dLKLnda hiçbir ö renci medyan algoritmasLnL kullanmasa da yaklaKLmlarL veri grubunun orta noktasLnL bulmayL içermiKtir. Bu ö renciler genellikle verinin en küçük ve en yüksek de erinin toplamLnL ikiye bölerek ortadaki de eri bulduklarLnL iddia etmiKlerdir. Ortalama kelimesini ise genellikle “ortadaki de er”, “tam ortada” olarak yorumlamLKlardLr. AyrLca bir ortalamaya uygun veri grubu oluKtururken, ortalamanLn sa Lna ve soluna sayLlarL da Ltarak simetrik bir da LlLm elde etmiKlerdir. SayLlarL ortalamanLn iki tarafLna yerleKtirirken sayL ikililerinin ortalamasLnLn 11 olmasLna dikkat etmiKlerdir. Simetrik bir da LlLm bulunmayan haftalLk miktarlarL ile ilgili problemde ortalamayL bulurken zorlanmLKlardLr. Bu stratejiyi kullanan bir 7. sLnLf ö rencisinin açLklamalarL aKa Ldaki gibidir. A: Peki imdi diyelim ki gruplar n ortalamas 11 olacak ama gruplardaki ö renci say s 11 397 Olmayacak, ö rencileri gruplara yerle tirebilir misin? Ö: ;imdi gruptaki her bir grupta 11 ki i olmayacak, ortalama 11 olacak. A: Ortalama 11 olacak, evet. Ö: Ortalama 11 olmas için, yani bir grupta 8 ki i varsa, bir grupta 14 ki i olur gibi… Üç 8. sLnLf ve bir 7. sLnLf ö rencisinin çözümleri ortalamanLn bir matematiksel denge noktasL oldu u düKüncesini yansLtmLKtLr. Bu ö renciler aritmetik ortalama algoritmasLnLn kullanLlmasLnLn gerekti i problem durumlarLnda algoritmayL do ru Kekilde uygulamLKlardLr. OrtalamayL bulmak için sadece algoritmaya güvenmemiKler, farklL problem durumlarLnda uygun ortalamayL seçmiKlerdir. Asansör probleminde, ortalama ve toplam arasLndaki iliKkiyi esnek bir Kekilde kullanarak problemi çözmüKlerdir. Grafikle verilen ortalama haftalLk miktarlarL ile ilgili problemde, ortalamayL bulurken grafikte uç de erleri, yL LlmanLn oldu u kLsLmlarL dikkate alarak ortalamayL bulmuKlardLr. Veri grubu oluKturma probleminde bu ö renciler problemi alt ortalamalara ayLrarak oluKturmuKlardLr. Veri grubunu oluKtururken sayLlarLn ortalamadan eKit uzaklLkta olmasLna dikkat etmiKlerdir. TARTI2MA, SONUÇ ve ÖNER1LER Bu çalLKmada ö rencilerin ortalama kavramL ile ilgili problem durumlarLna nasLl yaklaKtLklarL incelenmiKtir. Ö rencilerin yarLsL ortalama kavramLnL bir veri grubunu temsil eden bir de er olarak yorumlamamLKlardLr. Bu ö renciler ortalama kavramLnL bir dizi sayLnLn üzerine yapLlan iKlemler olarak algLlamLKlardLr. Ö rencilerin di er yarLsLnLn ise ortalama kavramLnLn tanLmLnL geliKtirme sürecinde oldu u gözlenmiKtir. Bu ö rencilerin ortalama kavramLnL verinin merkezinin bir ölçüsü oldu u, bir veri grubunun belli yönlerini temsil eden de er oldu unu sezgisel düzeyde anladLklarL belirlenmiKtir. Bu gruptaki ö renciler ortalamanLn bir veri grubu hakkLnda bilgi verdi inin farkLndadLrlar. Mokros ve Russell’a (1995) göre temsil etme düKüncesinin ortalama ile ilgili herhangi bir çalLKmanLn temelini oluKturdu unu ve ortalamanLn farklL anlamlarLnLn (ortanca, tepe de er ve aritmetik ortalama) tanLmlarLnL oluKturabilmek için bir ön Kart oldu unu ileri sürmektedir. Hangi de erin bir veri grubunu daha iyi temsil etti ini belirlerken da LlLmLn Kekli, uç de erler, yL Llmalar, en sLk tekrar eden de erler, ortadaki de erler bazL ipuçlarL verirler. Bu araKtLrmaya katLlan 9 ö renci veriyi tek tek sayLlarLn oluKturdu u bir sayL dizisi olarak de il, veriyi bir bütün olarak ele alarak bu ipuçlarLndan bazLlarLnL sezgisel düzeyde de olsa kullanmaktadLrlar. Bu araKtLrmada ortalamanLn bir veri grubunun temsilcisi oldu u anlayLKLnLn sLnLf seviyesi ilerledikçe geliKti i belirlenmiKtir. Benzer bulgularL Mokros ve Russell (1995) 4, 6 ve 8. sLnLf ö rencileriyle yaptL L çalLKmada elde etmiKtir. Fakat Watson ve Moritz (2000) ortalamanLn temsilci olma düKüncesinin 3 ve 5. sLnLf ö rencilerinde bulunmadL LnL tespit etmiKtir. Ö rencilerin ortalama kavramLna yükledikleri anlamlara bakLldL Lnda ise Mokros ve Rusell’Ln (1995) çalLKmalarLnda ortaya çLkan 5 yaklaKLmdan dört tanesi tespit edilmiKtir. Bunlar en sLk tekrar eden de er, topla-böl algoritmasL, ortadaki de er ve matematiksel denge noktasL yaklaKLmlarLdLr. Ö renciler arasLnda en yaygLn olan yaklaKLm topla-böl algoritmasL, daha sonra ortadaki de eri bulmadLr. Bu çalLKmada Mokros ve Russell’Ln çalLKmalarLnda bulduklarL aritmetik ortalamanLn makul de er olarak algLlanmasL ortaya çLkmamLKtLr. AyrLca, bu çalLKmada matematiksel denge noktasL yaklaKLmLnda Mokros ve Russell’Ln bu yaklaKLm için açLkladL L gibi, dengeleme ya da seviye ayarlama stratejilerini ö renciler açLk bir Kekilde kullanmamLKlardLr. Mokros ve Russell’Ln çalLKmasLnLn aksine, bu çalLKmada ortaya çLkan matematiksel denge yaklaKLmLnL en belirgin özelli i ortanca ve tepe de erin yanL sLra, aritmetik ortalama kavramLnLn uygun bir biçimde uygulanmasLdLr. AyrLca, bu yaklaKLmL kullanan ö renciler aritmetik ortalama algoritmasLnL do ru Kekilde kullanmanLn yanL sLra farklL problem durumlarLnda uygun ortalamayL seçebilmiKlerdir. Bu çalLKmada, ö renciler ço unlukla problemleri çözerken ilk tercih olarak algoritmik yaklaKLm sergilemiKlerdir. Fakat alternatif strateji geliKtirmeleri istendi inde çok azL bunu baKarabilmiKtir. Bu da ö rencilerin ortalama kavramLnL genellikle iKlemsel açLdan yorumladLklarLnL göstermektedir. Buradan yola çLkarak, Mokros ve Russell’Ln (1995) ifadesiyle “algoritmayla evli olan” ö renciler, ortalamanLn dar bir iKlemsel kavram oldu u bakLK açLsLndan uzaklaKtLrLlmalLlar, veriyi özetleme, betimleme ve karKLlaKtLrma gibi etkinliklere yönlendirilmelidirler. AyrLca, bir 6. sLnLf ö rencisinin de belirtti i gibi 398 ö rencilerin aritmetik ortalamanLn algoritmasLyla erken tanLKtLrLlmalarL ortalama ile ilgili problem durumlarLnda akLl yürütmelerine engel olmaktadLr. Randall (2006) benzer e ilimleri üniversite ö rencilerinde de gözlemlemiKtir. Randall ö retmenlerin merkezi e ilim ölçülerini ö retirken aritmetik ortalamanLn tek ve en uygun merkezi e ilim ölçüsü oldu u mesajLnL vermemeye dikkat etmelerini vurgulamaktadLr (2006, s. 19). Ö rencilerin içinde ortalama ifadesi geçen problemlerde aritmetik ortalama algoritmasLnL kullanma e ilimleri baKka çalLKmalarda da ortaya çLkmLKtLr. YLldLrLm (2006) PISA 2003’de sorulan matematik sorularLnLn yanlLlL LnL araKtLrLrken, içinde “ortalama olarak” ifadesi geçen fakat aritmetik ortalama algoritmasLnL kullanmayL gerektirmeyen bir soruda Türk ö rencilerinin baKarLsLz olduklarLnL tespit etmiKtir. YLldLrLm bu baKarLsLzlL Ln nedenini, problemin içinde ortalama ifadesinin bulunmasL nedeniyle, Türk ö rencilerinin aritmetik ortalamayL hesaplamaya çalLKmLK olmalarLyla açLklamaktadLr. AyrLca, ö rencilerin ortalamanLn kavramsal anlamLnL geliKtirebilmeleri için sLnLflarda yapLlan etkinlikler sadece ortalamanLn do ru hesaplanmasL üzerinde durmamalL, gerçek verilerle veriyi özetleme, betimleme ve karKLlaKtLrma yapma fLrsatlarL sa lamalLdLr. Ö renciler belli bir veri grubunu betimlerken, o veri grubunu en iyi Kekilde temsil eden de eri bulmaya ve bunu bulurken verinin hangi özelliklerinden yararlandLklarLnL açLklamaya teKvik edilmelidirler. SLnLf içinde kullanLlan veri gruplarL farklL da LlLm özellikleri göstermeli ve ö renciler bu da LlLm özelliklerinin ortalamayL nasLl etkiledi ini, hangi ortalamanLn en uygun oldu unu incelemeli ve tartLKmalLdLrlar. Ö rencilerde bu becerileri geliKtirebilmek için ö retmenler de bu yönde hazLrlanmalLdLrlar. Bu araKtLrmada elde edilen bulgulardan ortaya çLkarLlacak bir di er önemli sonuç ise ö rencilerin tablo ve grafik okuma becerilerinin yetersiz olmasLdLr. Ö rencilerin tablo ve grafik Keklinde sunulan sorularda di er sorulara göre daha çok zorlandLklarL gözlenmiKtir. Ö retmenler matematik ö retimlerinde farklL temsil biçimlerini kullanmalL ve ö rencilerini bu yönde desteklemelidirler. KAYNAKÇA Cai, J. (2000). Understanding and Representing the Arithmetic Averaging Algorithm: An Analysis and Comparison of US and Chinese Students’ Responses, International Journal of Mathematical Education in Science and Techonolgy, 31, 839-855. Jones, G., Thornton, A., Langrall, W., Mooney, S., Perry, B., & Putt, J. (2000). A Framework for Characterizing Children’s Statistical Thinking. Mathematical Thinking and Learning, 2 (4), 269-307. Leavy, A.M. & Middleton, J.A. (2001, April). Middle Grade Students Understanding of the Statistical Concept of Distribution. American Educational Research Association Annual Conference in Seattle, Washington, USA. Leavy, A.M. & O’Loughlin, N. (2006). Preservice Teachers Understanding of the Mean: Moving Beyond the Arithmetic Average, Journal of Mathematics Teacher Education, 9, 53-90. Mevarech, Z. (1983). A deep structure model of students’ statistical misconceptions, Educational Studies in Mathematics, 14, 415-429. Milli E itim BakanlL L, (1998). lkö retim Okulu Matematik Dersi Ö retim ProgramL, “6. 7., 8. sLnLflar”. Ankara. National Council of Teachers of Mathematics. (2000). Principles and standards for school mathematics. Reston: VA. Pollatsek, A., Lima, S. & Well, A.D. (1981). Concept or computation: Students’ understanding of the mean, Educational Studies in Mathematics, 12, 191-204. Randall, G. (2006). An Exploration of Students’ Statistical Thinking. Teaching Statistics, 28(1), 17-21. Mokros, J. & Russell, S. (1995). Children’s Concepts of Average and Representativeness, Journal for Research in Mathematics Education, 26, 20-39. [imKek, H. ve YLldLrLm, A. (2006). Nitel Ara t rma Yöntemleri. Ankara: Seçkin YayLncLlLk. Watson, M. & Moritz, J. (2000). The Longitudinal Development of Understanding of Average, Mathematical Thinking and Learning, 2(1&2), 11-50. YLldLrLm, H. H. (2006). The Differential Item Functioning (DIF) Analysis of Mathematics Items in the International assessment Programs. YayLmlanmamLK Doktora Tezi, Orta Do u Teknik Üniversitesi, Ankara. 399 EK Görü?me Sorular(: Günlük yaKamda ortalama kelimesiyle karKLlaKtLn mL? • (evet karKLlaKtLmsa cevap ) Nerelerde karKLlaKtLn? Örnek verir misin? • “ortalama insan” ifadesinden ne anlLyorsun? 1. Problem Yandaki gazete haberi 27.09.2007 tarihinde radikal gazetesinde yayLnlanmLKtLr. • Bu haberde belirtilen ortalama yolculuk süresi 30 dakikadan ne anlLyorsun? • Sence bu haberdeki “ortalama” kelimesi ne anlama gelmektedir? Bunu nasLl hesaplamLK olabilirler? Haftal k Harçl k Miktarlar YTL 2. Problem • Grafikten ne anlLyorsun? • Çocuklara en çok kaç ytl harçlLk veriliyor? • Bu grafi e göre, çocuklarLn aldL L ortalama haftalLk harçlLk kaç ytl dir? • OrtalamayL belirlerken grafikte nelere dikkat ettin? 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 2 4 5 6 K 7 8 12 SAYISI 3. Problem Güvenli bir Kekilde bir asansöre binebilmek için sLnLr 10 kiKidir ve bu 10 kiKinin a LrlLklarL toplamL en fazla 800 kg olmalLdLr. Bu asansöre 10 kiKi binecektir ve bu 10 kiKiden 6sL erkek, 4 ü kadLndLr. 6 erke in a LrlLklarLnLn ortalamasL 90 kg dLr ve 4 kadLnLn a LrlLklarLnLn ortalamasL ise 65 kg dLr. • Bu 10 kiKi güvenle asansöre binebilir mi? Neden? • Bu sonucu belirlerken nasLl bir yol izledin? • Bu 10 kiKinin a LrlLklarLnLn ortalamasLnL bulabilir misin? • 6 erke in a LrlLklarLnLn ortalamasL 90 kg ve 10 kiKinin a LrlLklarL toplam 800 kg derken ortalama ve toplam ifadelerinden ne anlLyorsun? 4. Problem Bir etkinlik için 10 grup oluKturulmuKtur. Her gruptaki ortalama ö renci sayLsL 11 dir. lk iki grubun ö renci sayLsL verilmiKtir. • Her grupta ortalama 11 ö renci olmasL için di er gruplardaki ö renci sayLsLnL bulabilir misin? • Bu gruplarLn hiçbirinde 11 ö renci olmamak koKuluyla, gruplardaki ö renci sayLsLnL bulabilir misin? 1. grup: 10 kiKi 6. grup: 2. grup: 9 kiKi 7. grup: 3. grup: 8. grup: 4. grup: 9. grup: 5. grup: 10. grup: 5. Problem Yandaki tabloda 7 ay süresince bir kursa her ay sene 1.ay 2.ay 3.ay 4.ay 5.ay 6.ay 7.ay kaydolan kiKi sayLsL verilmiKtir. Bu tabloya göre 71 80 75 73 79 77 1996 77 • Senelere göre, bu aylarda kursa kaydolan ö rencilerin ortalamasL nedir? 71 77 80 77 77 69 1995 75 • OrtalamayL iKlem yapmadan tahmini olarak 71 74 79 77 73 72 1994 79 belirleyebilir misin? Bunu tabloyu kullanarak nasLl buldun? • Tahmini olarak bu sonucu bulmanda tabloda ne kolaylLk sa ladL? • (Tahmini ortalamayL bulurken en az ve en yüksek katLlLma bakLyorsa bu KLktaki soru ö renciye sunulmuKtur.) Her sene için ortalama bulurken, yalnLzca en az ve en yüksek katLlLm olan aya bakmamLz yeterli mi sence? Neden? 400
