TC İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ LİGHTLİKE

T.C.
İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
LİGHTLİKE HİPERYÜZEYLERİN GEOMETRİSİ
Murat POLAT
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
MALATYA
Temmuz 2013
Tezin Başlığı: Lightlike Hiperyüzeylerin Geometrisi
Tezi Hazırlayan:
Murat POLAT
Sınav Tarihi:
Temmuz 2013
Yukarıda adı geçen tez, Jürimizce değerlendirilerek Matematik Anabilim Dalında
Yüksek Lisans Tezi olarak kabul edilmiştir.
Sınav Jürisi Üyeleri (ilk isim jüri başkanı, ikinci isim tez danışmanı)
Prof.Dr.Bayram ŞAHİN
(İnönü Üniv.)
———————————–
Prof.Dr.Rıfat GÜNEŞ
(İnönü Üniv.)
———————————–
Prof.Dr.Bayram KARADAĞ
(İnönü Üniv.)
———————————–
İnönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Onayı
——————————————–
Prof. Dr. Mehmet ALPASLAN
Enstitü Müdürü
Aileme ...
ONUR SÖZÜ
Yüksek Lisans Tezi olarak sunduğum "Lightlike Hiperyüzeylerin Geometrisi"
başlıklı bu çalışmamın bilimsel ahlak ve geleneklere aykırı düşecek bir yardıma
başvurmaksızın tarafımdan yazıldığını ve yararlandığım bütün kaynakların hem metin
içinde hem de kaynakçada yöntemine uygun biçimde gösterilenlerden oluştuğunu
belirtir, bunu onurumla doğrularım.
Murat POLAT
ÖZET
Yüksek Lisans Tezi
LİGHTLİKE HİPERYÜZEYLERİN GEOMETRİSİ
Murat POLAT
İnönü Üniversitesi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Matematik Anabilim Dalı
78+v sayfa
2013
Danışman: Prof.Dr.Rıfat GÜNEŞ
Bu tez lightlike hiperyüzler ile ilgili yapılan çalışmaların bir derlemesi olarak dört
bölümden meydana gelmiştir.
Birinci bölüm giriş olarak düzenlenmiştir.
İkinci bölümde, diğer bölümlere faydalı olacak temel tanım ve kavramlar; vektör
demetleri ve distribüsyonlar, semi-Riemann manifoldlar, semi-Riemann manifoldların
lightlike altmanifoldları ve lightlike manifoldlar ele alınmıştır.
Üçüncü bölümde lightlike hiperyüzeyler ve lightlike hiperyüzeylerle ilgili tanım
ve teoremler verilerek ekran konformal hiperyüzeyler incelendi, ekran distribüsyonunun tekliği araştırıldı ve bir tek ekran distribüsyonunundaki temel sonuçlar
bulunmuştur. Ayrıca bir semi-Riemann manifoldunun bir lightlike hiperyüzeyinin
yeni bir kavramı olan İndirgenmiş skalar eğriliği incelenmiştir.
Dördüncü bölümde lightlike Einstein hiperyüzeyler tanıtılarak üzerindeki distribüs(n+2)
yonların geometrisi incelenmiştir. Ayrıca, Rq
semi-Öklidyen uzayının bir lightlike
hiperyüzeyi için Gauss denklemi verilmiştir. Sonra Minkowski spacetime’ın her
ekran konformal hiperyüzeyinin semi-simetrik olduğu gösterilmiştir. Daha sonra,
ekran konformal lightlike hiperyüzeyin semi-simetrik olma koşulu ile ekran distribüsyonunun semi-simetrik olması koşulu arasında açık bir ilişki olduğu vurgulanmıştır.
Ayrıca semi-Öklidyen uzayların Ricci semi-simetrik lightlike hiperyüzeyleri ve bunlardan
elde edilen bir şart altında total geodezikliği ele alınmış ve bir Lorentzian manifoldun
paralel lightlike hiperyüzeyler üzerinde bir karekterisazyonu verilmiştir.
ANAHTAR KELİMELER: Semi-Riemann manifold, Lightlike manifold, Lightlike
hiperyüzey, Ekran konformal hiperyüzey, Lightlike Einstain hiperyüzey, İndirgenmiş
eğrilik, Total geodezik, Total umbilik, Semi-simetrik metrik konneksiyon, Ricci eğrilik
tensörü
i
ABSTRACT
MSc Thesis
THE GEOMETRY OF LİGHTLİKE HYPERSURFACES
Murat POLAT
İnönü University
Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Mathematics
78+v pages
2013
Supervisor: Prof.Dr.Rıfat GÜNEŞ
This thesis consists of four chapter.
The first chapter has been designed as an introduction.
The second chapter is devoted to the basic materials such as vector bundles,
distributions, semi-Riemannian manifolds, lightlike submanifolds of semi-Riemannian
manifold and lightlike manifolds, which will be useful for other chapters.
In the third chapter, lightlike hypersurfaces have been introduced and theorems
about lightlike hypersurfaces have been given. After investigating unique existence
of screen distributions, it was found basic results on unique existence of screen
distributions. Besides, the induced scalar curvature which is a new concept is
examined in a lightlike hypersurface of a semi-Riemanian manifold.
In the fourth chapter, we introduced lightlike Einstein hypersurfaces and the
geometry of distributions is investigated on the lightlike Einstein hypersurfaces.
Besides, Gauss equation for lightlike hypersurface of a semi-Euclidean space has
been given. Then, we obtained that every screen conformal lightlike hypersurface
of the Minkowski spacetime is semi-symmetric. We showed that the semi-symmetry
condition of a screen conformal lightlike hypersurface reduced to the semi-symmetry
condition of a leaf of its screen distribütion. We also obtained that semi-symmetric
and Ricci semi-symmetric lightlike hypersurfaces are totally geodesic under certain
conditions. Morever, we showed that there exist no non-totally geodesic parallel
hypersurfaces in a Lorentzian space.
KEY WORDS: Semi-Riemanian manifold, Lightlike manifold, Lightlike hypersurface,
Screen conformal hypersurface, Lightlike Einstain hypersurface, Induced scalar curvature,
Totally geodesic, Totally umbilical, Semi-symmetry metric connection, Ricci curvature
tensor
ii
TEŞEKKÜR
Tez konumu veren ve beni her adımda bilgi ve tecrübeleriyle yönlendiren,
tez danışmanım Sayın Prof.Dr.Rıfat GÜNEŞ’e, lisansüstü öğrenimim boyunca beni
yönlendiren Matematik Bölüm başkanı Sayın Prof.Dr.Sadık KELEŞ ve Prof.Dr.Bayram
ŞAHİN’e teşekkürlerimi sunarım.
iii
dizini
İÇİNDEKİLER
ÖZET
i
ABSTRACT
ii
TEŞEKKÜR
iii
İÇİNDEKİLER
v
1 GİRİŞ
1
2 TEMEL KAVRAMLAR
3
2.1
Cebirsel Kavramlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Vektör Demetleri ve Manifold Üzerindeki Distribüsyonlar . . . . . . .
7
2.3
Semi-Riemann Manifoldlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.4
Semi-Riemann Manifoldların Lightlike Altmanifoldları . . . . . . . . . 13
2.5
Lightlike Manifoldlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 LİGHTLİKE HİPERYÜZEYLER
21
3.1
Semi-Riemann Hiperyüzeyler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2
Lightlike Hiperyüzeyler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3
Ekran Konformal Hiperyüzeyler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.4
Ekran Distribüsyonunun Tekliği . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5
İndirgenmiş Skalar Eğrilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 LİGHTLİKE HİPERYÜZEY ÇEŞİTLERİ
50
4.1
Lightlike Einstain Hiperyüzeyler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.2
Semi-Öklidyen Uzaylarda Semi-Simetrik Lightlike Hiperyüzeyler . . . 62
4.3
Semi-Öklidyen Uzaylarda Ricci Semi-Simetrik Lightlike Hiperyüzeyler 69
4.4
Paralel ve Semi-Paralel Lightlike Hiperyüzeyler . . . . . . . . . . . . 73
KAYNAKLAR
76
v
BÖLÜM 1
GİRİŞ
Bir semi-Riemann manifoldunun üzerindeki metrik tensör alanı, bu manifoldun
keyfi bir hiperyüzeyi üzerine her zaman non-dejenere bir metrik tensör indirgemez.
Yani semi-Riemann manifold üzerindeki metrik tensör, hiperyüzey üzerine sadece
simetrik bilineer bir dönüşüm olarak indirgenir. Eğer indirgenen bu simetrik bilineer
dönüşümün çekirdeğinin boyutu 1 ise hiperyüzey, lightlike (null, dejenere) hiperyüzey
olarak adlandırılır. Bu alanda yapılan çalışmalarda, D.N.Küpeli, 1996 [1] ve K.L.Duggal
- A.Bejancu, 1996 [2] tarafından geliştirilen iki yöntem kullanılmaktadır. D.N.Küpeli
tarafından geliştirilen birinci yöntemde; tanjant demetten bölüm uzayına olan izdüşüm
kullanılarak non-dejenere bir metrik tensör alanı elde edildi. D.N.Küpeli, 1987
yılındaki çalışmasında geliştirdiği yöntemi kullanarak, semi-Riemann manifoldunun
dejenere altmanifoldlarının Gauss ve Codazzi denklemleri ile total umbilik dejenere
altmanifoldlarını inceledi.
Lightlike hiperyüzeylerin normal vektörü tanjant uzayda kalmaktadır. Böylece
temel problem, tanjant demete tümleyen olan bir vektör alanının doğal bir yolla elde
edilmemesidir. Böyle bir vektör alanının varlığı ilk defa A.Bejancu-K.L.Duggal [2]
tarafından gösterilerek ikinci yöntem ortaya koyuldu. Lightlike hiperyüzeyi üzerine
indirgenmiş konneksiyonun Ricci tensörünün simetrik olma şartları 1996 yılında
A.Bejancu [3] tarafından bulundu. A.Ioan, [4] 1997 yılında yapmış olduğu çalışmasında
dejenere manifoldlar için Gauss ve codazzi denklemlerini elde ederek bazı örnekler
verdi. Eş boyutu iki olan semi-Riemann manifoldunda total umbilik lightlike altmanifoldların
diferansiyel geometrisi 1998-1999 yıllarında A.Bejancu [3] ve Duggal [2] tarafından
çalışıldı. Bu konu ile ilgili çalışmalara 2001 ve 2002 yıllarında Honda ve Ferrandez
tarafından devam edildi.
K.L.Duggal 2002 yılında semi-Riemann geometrisinin
yöntemlerini kullanarak lightlike geometrinin problemlerini basite indirgeyen teknikleri
buldu. 2003 yılında ise Duggal ve Jın ortak çalışmalarında sabit eğrilikli semi-Riemann
manifoldunun total umbilik altmanifoldların sınıfında yeni sonuçlar gösterdiler ve
1
ekran distribüsyonunun integrallenebilme şartını ispatladılar. Aynı yıl içerisinde,
B.Şahin [5] tarafından lightlike hiperyüzeyin total geodezik olma şartları ve bu
yüzeyin Ricci eğriliğini simetrik yapan bazı yeni sonuçlar gösterildi. B.Şahin, 2004
yılında semi-Riemann manifoldunun total umbilik coisotropik altmanifoldları hakkında
bazı yeni teoremleri ispatladı. Lorentz manifoldunun lightlike hiperyüzeyi üzerinde
lightlike ortalama eğriliğinin özelliği ise 2005 yılında Duggal [6] ve Gimenez tarafından
verildi.
Bu çalışmada, lightlike hiperyüzeylerin temel yapıları incelenerek, ekran distribüsyonunun tekliği araştırıldı ve çeşitli lightlike hiperyüzeyler incelendi. İkinci bölümde,
daha sonra kullanılacak temel tanım ve teoremler, vektör demetleri ve distribüsyonlar,
semi-Riemann manifoldlar, semi-Riemann manifoldların lightlike altmanifoldları ve
lightlike manifoldlar sunuldu. Üçünçü bölümde semi-Riemann hiperyüzeyler ve
lightlike hiperyüzeylerin genel sonuçları verilerek, ekran konformal hiperyüzeyler
incelendi. Ayrıca ekran distribüsyonlarının tekliği araştırılarak indirgenmiş skalar
eğrilik çalışıldı. Son bölümde, çeşitli lightlike hiperyüzeyler inceledi. Bu bölüm
dört altbölümden oluşmaktadır. Birinci altbölümde, lightlike Einstain hiperyüzeyler
incelenmiştir. İkinci altbölümde, semi-Öklidyen uzaylarda semi-simetrik lightlike
hiperyüzeyler, üçüncü altbölümde semi-Öklidyen uzaylarda Ricci semi-simetrik lightlike
hiperyüzeyler ve son altbölümde paralel ve semi-paralel lightlike hiperyüzeyler çalışılmıştır.
2
BÖLÜM 2
TEMEL KAVRAMLAR
Bu bölüm beş altbölümden oluşmaktadır. Birinci altbölümde cebirsel kavramlar,
ikinci altbölümde vektör demetleri ve distribüsyonlar, üçüncü altbölümde semi-Riemann
manifoldlar tanıtılmaktadır. Dördüncü altbölümde altmanifoldların geometrisi incelenirken,
son altbölümde lightlike manifoldlar sunulmaktadır.
2.1
Cebirsel Kavramlar
Tanım 2.1.1. V reel m-boyutlu bir vektör uzayı ve g : V × V → R bir dönüşüm
olsun. Eğer aşağıdaki şartlar sağlanırsa g dönüşümüne bilineer dönüşüm denir.
a, b ∈ R ve ∀u, v, z ∈ V için
1. g(au + bv, z) = ag(u, z) + bg(v, z)
2. g(u, av + bz) = ag(u, v) + bg(u, z)
dir [2].
Tanım 2.1.2. V reel m-boyutlu bir vektör uzayı ve g, V üzerinde bilineer dönüşüm
olsun. Eğer ∀u, v ∈ V için
g(u, v) = g(v, u)
sağlanır ise g ye simetriktir denir [2].
Tanım 2.1.3. Simetrik bilineer dönüşüme bilineer form denir [2].
Tanım 2.1.4. V reel m-boyutlu bir vektör uzayı ve g : V × V → R simetrik bilineer
dönüşüm olsun. 0 6= ξ ∈ V olmak üzere
g(ξ, v) = 0 , ∀v ∈ V
ise g simetrik bilineer dönüşümüne V üzerinde dejeneredir denir [7].
Tanım 2.1.5. V reel m-boyutlu bir vektör uzayı ve g : V × V → R simetrik bilineer
dönüşüm olsun.∀v ∈ V için
3
g(u, v) = 0
olması ancak u = 0 ile mümkünse g ye non-dejenere denir [7].
V üzerinde non-dejenere bilineer form, V nin bir altuzayına dejenere yada non-dejenere
bilineer form indirger.
Tanım 2.1.6. V bir reel vektör uzayı ve V üzerinde simetrik bilineer dönüşüm g
olsun. V uzayının
RadV = {ξ ∈ V | g(ξ, v) = 0, ∀v ∈ V }
ile tanımlı altuzayına, g simetrik bilineer dönüşümüne göre V uzayının radikal uzayı
(veya null uzayı) denir [2].
Tanım 2.1.7. V bir reel vektör uzayı ve V üzerinde simetrik bilineer dönüşüm g
olsun.
i) ∀v ∈ V ve v 6= 0 için g(v, v) > 0 ise g simetrik bilineer formuna pozitif tanımlı,
ii) ∀v ∈ V ve v 6= 0 için g(v, v) < 0 ise g simetrik bilineer formuna negatif
tanımlı,
iii) ∀v ∈ V için g(v, v) ≥ 0 ise g simetrik bilineer formuna pozitif yarı tanımlı,
iv) ∀v ∈ V için g(v, v) ≤ 0 ise g simetrik bilineer formuna negatif yarı tanımlı
denir [8].
Tanım 2.1.8. V reel vektör uzayı, g, V üzerinde bilineer form olsun.V uzayının
herhangi bir W altuzayı için W × W üzerinde g dönüşümünün kısıtlanmışı g |W de
W üzerinde bilineer formdur. Bu forma indirgenmiş bilineer form denir [2].
Tanım 2.1.9. V bir reel vektör uzayı, g, V üzerinde simetrik bilineer form olsun.
g |W : W × W → R
negatif tanımlı olacak şekildeki en büyük boyutlu W altuzayının boyutuna g simetrik
bilineer formun indeksi denir ve υ ile gösterilir [2].
4
Teorem 2.1.1. V bir reel vektör uzayı, g, V üzerinde simetrik bilineer form olsun.
Bu durumda,
i) g(αi , αj ) = 0 , i 6= j
ii) g(αi , αi ) = 1 , 1 ≤ i ≤ γ
iii) g(αi , αi ) = −1 , γ + 1 ≤ i ≤ γ+ υ
iv) g(αi , αi ) = 0 , γ + υ + 1 ≤ i ≤ η = γ+ υ + µ
olacak şekilde V nin {α1 , α2 , ....., αn } bazı vardır [2].
Tanım 2.1.10. V reel vektör uzayı üzerinde non-dejenere simetrik bilineer forma
V reel vektör uzayı üzerinde bir skalar çarpım (semi-Öklidyen metrik) denir. V
üzerindeki bir skalar çarpma g ise (V, g) ikilisine de skalar çarpım uzayı (semi-Öklidyen
uzay) denir. Eğer g pozitif tanımlı ise o zaman g bir iç çarpım (Öklid metriği) olur
ve (V, g) de öklid uzay olarak adlandırılır. Eğer g nin indeksi υ = 1 ise g ye Lorentz
(Minkowski) metriği ve (V, g) ye de Lorentz uzayı denir. Eğer g dejenere ise o zaman
V vektör uzayına g ye göre Lightlike (dejenere) vektör uzayı denir [2].
Tanım 2.1.11. V bir semi-Öklidyen uzay ve v ∈ V olsun.
g(v, v) > 0 veya v = 0 ise v vektörüne spacelike,
g(v, v) < 0 ise v vektörüne timelike,
g(v, v) = 0 ve v 6= 0 ise v vektörüne lightlike denir [7].
Önerme 2.1.1. Boştan farklı semi-Öklidyen uzayların ortonormal bir bazı vardır
[2].
Önerme 2.1.2. (W, g) reel n-boyutlu lightlike vektör uzayı ve RadW de vektör
uzayının radikali olsun. Bu durumda radikal uzaya tümleyen olan altuzay nondejeneredir.
Bu uzaya ekran uzay denir [2].
Tanım 2.1.12. (V, g) reel m-boyutlu semi-Öklidyen uzay ve W da onun altuzayı
olsun. Eğer g |W dejenere ise altuzaya lightlike (dejenere) altuzay denir. Aksi
durumda W ya nondejeneredir denir.
W ⊥ = {v ∈ V | g(v, w) = 0, ∀w ∈ W }
altuzayına W uzayının diki denir ve genelde
W ∩ W ⊥ 6= {0}
5
dır [9].
Önerme 2.1.3. (V, g) reel m-boyutlu semi-Öklidyen uzay ve W da onun alyuzayı
olsun. Bu durumda
i) boyW + boyW ⊥ = m
ii) (W ⊥ )⊥ = W
iii) RadW = RadW ⊥ = W ∩ W ⊥
dir [10].
Bu tezin dördüncü altbölümünde lightlike altmanifoldlar çalışılmakta ve bu altmanifoldlar
üzerinde quasi-ortonormal baz kullanılmaktadır. Şimdi bu bazın inşasını gösterelim.
(V, g) n-boyutlu bir proper semi-Öklidyen uzay olsun. (V, g) uzayının {e1 , e2, .....eq }
birim timelike ve {eq+1 , .....en } birim spacelike vektör olacak şekilde {e1 , e2, .....en } ,
p + q = n ortonormal bazını gözönüne alalım. Lightlike vektörleri ihtiva eden bir
taban üç durumda incelenebilir.
DU RU M I (q < p) Bu durumda
1
1
fi = √ {eq+i + ei } , fi∗ = √ {eq+i − ei } , i ∈ {1, 2, ..q}
2
2
(2.1.1)
vektörlerini inşa edelim. Buradan görülür ki
g(fi , fj ) = g(fi∗ , fj∗ ) = 0
ve
g(fi , fj∗ ) = δij i, j ∈ {1, 2, ..q}
(2.1.2)
dir. Böylece
f1 , ...fq , f1∗ , ...fq∗ , e2q+1 , ..., ep+q
V uzayının 2q tane lightlike vektör ve p − q tane spacelike vektör ihtiva eden bir
bazdır.
DU RU M II (p < q) Bu durumda
1
1
fa = √ {eq+a + ea } , fa∗ = √ {eq+α − ea } , a ∈ {1, 2, ..p}
2
2
(2.1.3)
vektörlerini alıp (2.1.1) ve (2.1.2) de i, j yerine a, b ∈ {1, 2, ..p} alınırsa V uzayının
2p tane lightlike vektör ve q − p tane timelike vektör ihtiva eden
{f1 , ...fp , f1∗ , ...fr∗ , e2p+1 , ..., ep+q }
6
bazı elde edilir.
DU RU M III durumunda (p = q) n = 2q = 2p olduğundan (2.1.1) ve (2.1.3) de
tanımlanan
f1 , ...fp , f1∗ , ...fp∗
lightlike bazı elde edilir.
Tanım 2.1.13. (V, g) bir semi-Öklidyen uzay olsun
g(fi , fj ) = g(fi∗ , fj∗ ) = 0 , g(fi∗ , fj ) = δij , i, j ∈ {1, 2, ..q}
g(uα , fi ) = g(uα , fi∗ ) = 0 , g(uα , uβ ) = α δαβ , α, β ∈ {1, 2, ..t} , α = ±1
olacak şekilde {f1 , ...fr , f1∗ , ...fr∗ , u1 , ..., ut } bazına semi-Öklidyen uzayın quasi ortonormal
bazı denir [2].
Önerme 2.1.4. V bir semi-Öklidyen uzay ve W da V uzayının bir altuzayı olsun.
Bu durumda W boyunca V nin quasi-ortonormal bazı vardır [2].
2.2
Vektör Demetleri ve Manifold Üzerindeki Distribüsyonlar
Bu bölümde vektör demetlerinin tanımları ve temel özellikleri verilecektir.
Genel olarak bir vektör demeti her p noktasında vektör uzayı tayin eden bir
diferensiyellenebilir manifolddur. Vektör demeti kavramına geçmek için öncelikle lif
demeti tanımını verelim.
Tanım 2.2.1. E, B, F, C ∞ −manifoldlar ve π : E → B bir C ∞ −dönüşüm olsun. B
nin açık bir örtüsü {Uα }α∈I olmak üzere, eğer
(π ◦ ψα )(x, y) = x, x ∈ Uα , y ∈ F
olacak biçimde
π
ψα : Uα ⊂ B × F → π −1 (Uα ) ⊂ E →
(x, y)
→
ψα (x, y)
B
→ (π ◦ ψα )(x) = x
diffeomorfizimlerinin bir {ψα }α∈I ailesi varsa π, F ye göre lokal çarpım özelliğine
sahiptir denir ve D = {Uα , ψα }α∈I sistemine de π nin lokal ayrışması denir [2].
7
Tanım 2.2.2. π : E → B dönüşümü lokal çarpım özelliğine sahip olsun. Bu
durumda ζ = (E, π, B, F ) dörtlüsüne bir diferensiyellenebilir lif demeti adı verilir.
Bir lif demetinde E ye total uzay B ye baz(taban) uzay, F ye lif modeli ve π ye
de projeksiyon(fibrasyon) denir. Ayrıca rankζ = boyF olarak tanımlanır. Biz lif
demetini E ile göstereceğiz [2].
Tanım 2.2.3. ζ = (E, π, B, F ) bir diferensiyellenebilir lif demeti olsun. Eğer
aşağıdaki iki özellik sağlanıyorsa ζ ya vektör demeti denir.
a) ∀x ∈ B için F ve Fx bir K cismi üzerinde vektör uzaylarıdır.
b) ∀x ∈ B için ψαx : F → Fx dönüşümleri lineer izomorfizm olacak şekilde ζ nın
bir D = {Uα , ψα }α∈I lokal koordinat temsilcisi vardır [2].
0
0
0
0
0
Tanım 2.2.4. ζ = (E, π, B, F ) , ζ = (E , π , B , F ) iki vektör demeti olsun. Eğer
a) B = B
0
0
0
b) ∀x ∈ B için Fx lifi Fx lifinin bir altvektör uzayı
0
c) ι : E → E inclusion dönüşümü diferensiyellenebilirdir.
0
sartları sağlanıyorsa ζ vektör demetine ζ vektör demetinin bir altvektör demeti
denir [2].
Tanım 2.2.5. M̄ m-boyutlu manifold ve M̄ nin n-boyutlu altmanifoldu M olsun.
M̄ ve M nin tanjant demetlerini sırasıyla T M̄ ve T M ile gösterelim. Bu takdirde
∀p ∈ M noktasını Lp (TM (p)) altuzayına taşıyan Lp dönüşümüne T M̄ demetinin
altdemeti denir [2].
Tanım 2.2.6. M̄ m-boyutlu manifold olsun. M̄ üzerinde
D : M̄ →
p
∪TM̄ (p)
→ Dp ⊂ TM̄ (p)
ile tanımlı D dönüşümüne r− boyutlu distribüsyon denir. X ∈ χ(M̄ ) için Xp ∈
Dp ise X vektör alanına D ye aittir denir. Eğer her p noktası için Dp ye ait
r tane diferensiyellenebilir lineer bağımsız vektör alanı var ise D distribüsyonuna
diferensiyellenebilir denir [2].
Tanım 2.2.7. M̄ bir C ∞ −manifold ve D, M̄ üzerinde r-boyutlu bir distribüsyon
olsun. Eğer X, Y ∈ Γ(D) için [X, Y ] ∈ Γ(D) ise D distribüsyonuna involutivedir
denir [2].
8
Tanım 2.2.8. M̄ bir C ∞ -manifold ve D, M̄ üzerinde r−boyutlu bir distribüsyon
olsun. M , M̄ manifoldunun bir altmanifoldu olmak üzere, eğer M nin her p noktasında
M manifoldunun tanjant uzayı ile Dp aynı ise M ye D distribüsyonunun integral
manifoldu denir. Yani,
f : M → M̄
bir immeding olmak üzere ∀p ⊂ M için
f∗ (TM (p)) = Dp
dır. Eğer D distribüsyonunun M manifoldunu kapsayan başka bir integral manifoldu
yoksa bu manifolda distribüsyonun maksimal integral manifoldu denir [2].
Tanım 2.2.9. M̄ bir C ∞ -manifold ve M , M̄ manifoldunun bir altmanifoldu olsun.
Eğer ∀p ∈ M için D distribüsyonunun p noktasını kapsayan bir maksimal integral
manifoldu varsa D distribüsyonuna integrallenebilirdir denir [11].
Tanım 2.2.10. M bir manifold ve ∇, manifold üzerinde bir konneksiyon olsun.
Eğer X, Y ∈ Γ(D) için
∇X Y ∈ Γ(D)
ise D distribüsyonuna paraleldir denir [11].
2.3
Semi-Riemann Manifoldlar
Tanım 2.3.1. Reel m-boyutlu bir diferansiyellenebir manifold M ve g de bu manifold
üzerinde (0, 2) mertebeden simetrik tensör alanı olsun. Böylece g manifoldun her x
noktasındaki Tx M tanjant uzayı üzerine bilineer form taşır bunu gx ile gösterelim.
Eğer manifoldun her x noktası için gx bilineer formun indeksi aynı ve gx , Tx M
uzayı üzerinde non-dejenere ise bu durumda bilineer forma semi-Riemann metrik
ve manifolda da semi-Riemann manifoldu denir. Manifoldun indeksinin sıfır (bir)
olduğu durumda manifold Riemann (Lorentz) manifold adını alır [8].
Tanım 2.3.2. M bir semi-Riemann manifold ve E de, x ∈ M için her Ex lifi
üzerinde non-dejenere bilineer form gx olacak şekilde M manifoldu üzerinde vektör
demeti olsun. Ayrıca gx bilineer formun indeksi her x ∈ M için aynı olduğunu kabul
9
edelim. Eğer gx , M üzerinde diferensiyellenebilir ise bu durumda E ye semi-Riemann
vektör demeti denir. Manifoldun indeksinin sıfır (bir) olduğu durumda E ye Riemann
(Lorentz) vektör demeti denir [2].
Tanım 2.3.3. E, M üzerinde rankı n olan bir vektör demeti olsun. Eğer ∇X
operatörü, ∀X, Y ∈ Γ(T M ) ve S, Ś ∈ Γ(E) ve f diferansiyellenebilir fonksiyon
olmak üzere
i) ∇f X+Y (S) = f ∇X S + ∇Y S
ii) ∇X (f S + S´) = f ∇X S + X(f )S + ∇X Ś
sağlanıyorsa E üzerinde bir lineer konneksiyondur denir. Eğer E = T M ise ∇,
M üzerinde lineer konneksiyondur [8].
Tanım 2.3.4. (M, g) semi-Riemann manifold üzerinde ∇ lineer konneksiyonun
olduğu kabul edilsin. Metrik tensör alanı g, ∇ ya göre paralel ise yani ∀X, Y, Z ∈
Γ(T M ) için
(∇X g)(Y, Z) = Xg(Y, Z) − g(∇X Y, Z) − g(Y, ∇X Z) = 0
ise ∇ ya metrik konneksiyon (Riemann konneksiyon) denir [8].
Tanım 2.3.5. M bir manifold ve ∇, M üzerinde konneksiyon olsun. Bu durumda
∇ nın torsiyon tensörü, ∀X, Y ∈ Γ(T M ) için
T (X, Y ) = ∇X Y − ∇Y X − [X, Y ]
ile tanımlanır [8].
Teorem 2.3.1. Semi-Riemann manifold üzerinde tek bir torsiyonsuz metrik konneksiyon
vardır. Her semi-Riemann metrik,
2g(∇Y X, Z) = Xg(Y, Z) + Y g(Z, X) − Zg(X, Y )
(2.3.1)
+ g([X, Y ] , Z) − g([Y, Z] , X) + g([Z, X] , Y )
ile verilen koszul özdeşliğini sağlar [8].
Tanım 2.3.6. (M, g) semi-Riemann manifold olsun. M üzerinde ∀X, Y, Z ∈ Γ(T M )
için
R(X, Y )Z = ∇X ∇Y Z − ∇Y ∇X Z − ∇[X,Y ] Z
10
(2.3.2)
olarak tanımlanan tensöre ∇ konneksiyonunun eğrilik tensörü, ∀X, Y, Z, W ∈ Γ(T M )
için
< R(X, Y )Z, W >= g(R(X, Y )Z, W )
olarak tanımlanan 4.dereceden kovaryant tensöre de M üzerinde Riemann Christoffel
eğrilik tensörü denir [12].
Levi-Civita konneksiyonun R eğrilik tensörü birinci ve ikinci Bianchi özdeşliğini
sağlar. Ayrıca diğer özellikler aşağıdaki teorem ile verilmektedir.
Teorem 2.3.2. M bir semi-Riemann manifold ve M üzerindeki metrik konneksiyon
∇ olsun. Aşağıdaki bağıntılar geçerlidir.
a) R̄(X, Y, Z, W )+ R̄(Y, X, Z, W ) = 0
b) R̄(X, Y, Z, W )+ R̄(X, Y, W, Z) = 0
c) R̄(X, Y, Z, W )− R̄(Z, W, X, Y ) = 0.
Semi-Riemann manifoldların Önerme 2.1.1 e göre ortonormal bir baza sahip
olduğunu biliyoruz. Buradan M manifoldunun ortonormal bir bazı {E1 , E2 , .....Em }
olsun. Böylece i , {Ei } bazının işareti ve ∀X ∈ Γ(T M ) için
g(Ei , Ej ) = i δij
ve
X=
m
X
i g(X, Ei )Ei
i=1
olmak üzere
g(X, Y ) =
m
X
i g(X, Ei )g(Y, Ei )
(2.3.3)
i=1
yazılır.
M semi-Riemann manifoldunun Ricci tensör alanı
˙
Ric(X, Y ) = IzZ
→ R(X, Y )Z
(2.3.4)
ile tanımlanır. Yerel olarak
Ric(X, Y ) =
m
X
i R̄(X, Ei , Y, Ei )
i=1
olur [8].
11
(2.3.5)
Tanım 2.3.7. M bir semi-Riemann manifold olsun. Eğer λ ∈ R için
Ric(Xp , Yp ) = λḡ(Xp , Yp )
ise M ye Einstain manifold denir [8].
Tanım 2.3.8. M bir semi-Riemann manifold ve R de M nin eğrilik tensörü olsun.
Eğer R = 0 ise M ye lokal flat ve ∇R = 0 ise M ye lokal simetrik uzay denir [8].
Tanım 2.3.9. (M, g) bir semi-Riemann manifoldu ve bir p ∈ M noktasındaki Tp M
tanjant uzayının iki boyutlu altuzayı P olsun. P altuzayının bir bazı {X, Y } olmak
üzere
K(P ) =
R̄(X, Y, X, Y )
g(X, X)g(Y, Y ) − g(X, Y )2
(2.3.6)
olarak tanımlanan K(P ) reel sayısına P nin Riemann anlamındaki kesit eğriliği
denir. Eğer K(P ) = c(sbt) ise M manifolduna c sabit kesit eğrilikli semi-Riemann
manifold denir ve M (c) ile gösterilir. Bu durumda M nin R eğrilik tensör alanı
R(X, Y )Z = c {g(Y, Z)X − g(X, Z)Y }
(2.3.7)
ile verilir [2].
Tanım 2.3.10. M bir diferansiyellenebilir manifold ve K da M üzerinde herhangi
bir tensör alanı olsun. Bu durumda p ∈ M, t ∈ I ⊂ R ve ∀X ∈ Γ(T M ) olmak üzere
1
Lx K = lim (K(p) − (Φt K) (p))
t→o t
ile tanımlanan Lx diferansiyel operatörüne X vektör alanına göre Lie Türevi denir.
Burada Φ,
Φ : (t, x) ∈ [−ε, ε] × U → Φ(t, x) ∈ M
şeklinde tanımlı bir dönüşümdür [9].
Teorem 2.3.3. M bir diferansiyellenebilir manifold ve Lx de manifold üzerinde
tanımlı Lie türevi olsun. ∀Y, Z ∈ Γ(T M ) ve f ∈ C ∞ [M, R] için
i) Lx f = X(f )
12
ii) Lx Y = [X, Y ]
iii) Ψ, M üzerinde (0,2) tipinde bir tensör alanı olmak üzere
(Lx Ψ) (Y, Z) = X (Ψ (Y, Z)) − Ψ ([X, Y ] , Z) − Ψ (Y, [X, Z])
dir [8].
2.4
Semi-Riemann Manifoldların Lightlike Altmanifoldları
Tanım 2.4.1. (M̄ , ḡ) reel m + n boyutlu semi-Riemann manifold ve m > 1, n > 1
olacak şekilde ḡ, q ∈ {1, ....m + n − 1} sabit indeksli semi-Riemann metrik olsun.
M, M̄ manifoldunun ek boyutu n olan bir altmanifoldu olsun. Ayrıca ḡ nin M
üzerine indirgenmiş tensör alanı g ile tanımlanırsa, ∀u ∈ M de ∀Xu , Yu ∈ Tu M için
g(Xu , Yu ) = ḡ(Xu , Yu )
dir. Şimdi u ∈ M noktasında
Tu M ⊥ = Vu ∈ Tu M̄ | ḡu (Vu , Wu ) = 0, ∀Wu ∈ Tu M
cümlesini gözönüne alalım. ḡu nun Tu M üzerinde non-dejenere olması durumunda,
hem Tu M hem de Tu M ⊥ non-dejeneredirler. Ayrıca Tu M ve Tu M ⊥ , Tu M̄ nin
ortogonal tamamlayıcı altuzaylarıdırlar. Aksi takdirde hem Tu M hem de Tu M ⊥
dejenere, ortogonal ancak tamamlayıcı altuzay değildirler ve
RadTu M = RadTu M ⊥ = Tu M ∩ Tu M ⊥
dir. M, M̄ manifoldunun bir altmanifoldu olsun ve M üzerinde,
RadT M : u ∈ M → RadTu M
dönüşümünün rankı r olsun. Eğer r > 0 ise RadT M ye radikal distribüsyon ve
altmanifold M ye de lightlike altmanifold denir. g ye de M üzerinde r−lightlike(r−
dejenere, r − null) metrik denir [7].
Teorem 2.4.1. (M, g), (M̄ , ḡ) semi-Riemann manifoldun bir altmanifoldu olsun.
Bu durumda aşağıdakiler denktir:
13
i) M, r−lightlike altmanifolddur.
ii) Her U ⊂ M koordinat komşuluğunda
RadT U : u ∈ U → RadTu U
dönüşümü, U üzerinde rank r > 0 olan diferansiyellenebilir bir distribüsyona sahiptir.
iii) Her U ⊂ M koordinat komşuluğunda ḡ tarafından indirgenmiş g tensörü,
sabit m − r rankına sahiptir [2].
Tanım 2.4.2. (Ḿ , ǵ), (M̄ , ḡ) semi-Riemann manifoldunun r−lightlike altmanifoldu
ve
−
f : Ḿ → M
fonksiyonunun bir immersiyon olduğunu kabul edelim. Eğer ∀X, Y ∈ Γ(T M´) için
ǵ(X, Y ) = ḡ(f∗ X, f∗ Y )
oluyorsa f ye r−lightlike izometrik immersiyon ve M = f (Ḿ ) ye de M̄ manifoldunun
r − lightlike altmanifoldu denir [7].
Bir r − lightlike altmanifoldu; boyutu, eş boyutu ve rankına göre dört durumda
incelenebir.
1.DURUM
Eğer 0 < r < min(m, n) ise M nin T M tanjant demetinde RadT M ye tümleyen
olan bir S(T M ) ekran distribüsyonu vardır ve
T M = RadT M ⊥ S(T M )
(2.4.1)
şeklinde yazılır. T M nin ortogonal demeti T M ⊥ olmak üzere T M ⊥ de RadT M ye
tümleyen olan non-dejenere bir S(T M ⊥ ) transversal vektör demeti vardır ve
T M ⊥ = RadT M ⊥ S(T M ⊥ )
(2.4.2)
şeklinde ifade edilir. Ayrıca, S(T M ) ve S(T M ⊥ ) sırasıyla T M̄ |M ve S(T M )⊥ nin
non-dejenere alt vektör demetleri olduğundan
T M̄ |M = S(T M ) ⊥ S(T M )⊥
14
(2.4.3)
ve
S(T M )⊥ = S(T M ⊥ ) ⊥ S(T M ⊥ )⊥
(2.4.4)
dir.
Bundan sonra bir lightlike altmanifoldu (M, g, S(T M ), S(T M ⊥ )) ile gösterilecektir.
Ayrıca bu bölümde aksi belirtilmedikce kullanılacak indisler
i, j, k ∈ {1, 2, ...r} , a, b, c ∈ {r + 1, r + 2, ...m} , α, β ∈ {r + 1, r + 2, ..., n}
şeklindedir.
Lemma 2.4.1. (M, g, S(T M ), S(T M ⊥ )), (M̄ , ḡ) semi-Riemann manifoldun r-lightlike
altmanifoldu olsun. Bu altmanifoldun bir koordinat komşuluğu U ve {ξi } de Γ(RadT M |U
) uzayının bir tabanı olduğunu kabul edelim. Bu durumda S(T M ⊥ ) |⊥
U altvektör
demetinin,
g(Ni , ξj ) = δij
(2.4.5)
ve
g(Ni , Nj ) = 0
olacak şekilde {N1 , ....Nr } diferensiyellenebilir vektör alanları vardır [2].
Lightlike altmanifoldlar teorisi ve Riemann yada semi-Riemann altmanifoldlar
teorisi arasındaki temel fark, lightlike durumunda T M ⊥ demetinin bir kısmı altmanifoldun
teğet kısmında kalırken, Riemann yada semi-Riemann durumunda T M ile T M ⊥
vektör demetlerinin arakesiti sıfırdır. Böylece lightlike durum için temel problem,
T M demetine teğet olmayan altvektör demetlerinin varolup olmadığıdır.
Teorem 2.4.2. (M, g, S(T M ), S(T M ⊥ )), (M̄ , ḡ) semi-Riemann manifoldunun r-lightlike
altmanifoldu olsun. Bu durumda i ∈ {1, 2, ...r} için {N1 , ....Nr } tabanı olan S(T M ⊥ )⊥
demetinde RadT M ye komlemant olan bir vektör demeti vardır [12].
Bu vektör demeti ile altmanifoldun tanjant demetinin arakesiti sıfırdır. Bu vektör
demetine (S(T M ), S(T M ⊥ )) çiftine göre M nin lightlike transversal vektör demeti
denir ve ltr(T M ) ile gösterilir. Şimdi,
tr(T M ) = ltr(T M ) ⊥ S(T M ⊥ )
15
(2.4.6)
vektör demetini gözönüne alalım. ltr(T M ), M manifoldunun keyfi bir lightlike
transversal vektör demeti olsun. Burada tr(T M ) demetinin rank n ve T M demeti
ile arakesiti sıfırdır. Böylece tr(T M ), T M̄ |M de T M demetine komplemant ancak
ortogonal olmayan bir vektör demetidir. tr(T M ) vektör demetine M manifoldunun
transversal vektör demeti denir. (2.4.1) ve (2.4.6) denklemlerinden
T M̄ = T M ⊕ tr(T M )
T M̄ = RadT M ⊥ S(T M ) ⊕ ltr(T M ) ⊥ S(T M ⊥ )
T M̄ = S(T M ) ⊥ S(T M ⊥ ) ⊥ (RadT M ⊕ ltr(T M ))
(2.4.7)
elde edilir. Buradan, M boyunca M̄ manifoldu üzerindeki quasi-ortonormal çatı
i ∈ {1, 2, ...r} , a ∈ {r + 1, ...m} , α ∈ {r + 1, ...n} olmak üzere
{ξi , Ni , Xa , Wα }
(2.4.8)
dir. {ξi } ve {Ni } sırasıyla Γ(RadT M |U ) ve Γ(ltr(T M ) |U ) vektör demetlerinin
tabanlarıdır. Ayrıca {Xa } ve {Wα } da sırasıyla Γ(S(T M )) ve Γ(S(T M ⊥ )) demetlerinin
ortonormal tabanlarıdır.
2.DURUM
Eğer 1 < r = n < m ise RadT M = T M ⊥ dir. Böylece S(T M ⊥ ) = {0}
olduğundan T M ve T M̄ , sırasıyla
T M = S(T M ) ⊥ T M ⊥
ve
T M̄ = T M ⊕ ltr(T M ) = S(T M ) ⊥ (T M ⊥ ⊕ ltr(T M ))
dir. Bu durumdaki M ye koizotropik altmanifold denir.
3.DURUM
Eğer 1 < r = m < n ise RadT M = T M dir. Buradan S(T M ) = {0} olduğundan
T M ⊥ ve T M̄ , sırasıyla
T M ⊥ = T M ⊥ S(T M ⊥ )
ve
T M̄ = (T M ⊕ ltr(T M ) ⊥ S(T M ⊥ ))
16
dir. Bu şekildeki M ye isotropik altmanifold denir.
4.DURUM
Eğer 1 < r = m = n ise RadT M = T M = T M ⊥ dir. Buradan S(T M ) =
S(T M ⊥ ) = {0} olduğundan
T M̄ = T M ⊕ ltr(T M )
dir. Bu durumda M ye tamamen lightlike altmanifold denir.
Teorem 2.4.3. M̄ semi-Riemann manifoldunun lightlike altmanifoldu M olsun.
¯ M̄ de Levi-Civita konneksiyon ve (S(T M ), S(T M ⊥ )) çiftine göre M̄ nin transversal
∇,
vektör demeti tr(T M ) olmak üzere; ∀X, Y ∈ Γ(T M ) ve V ∈ Γ(tr(T M )) için Gauss
ve Weingarten denklemleri sırasıyla,
¯ X Y = ∇X Y + h` (X, Y ) + hs (X, Y )
∇
ve
`
s
¯ X V = −AV X + DX
∇
SV + DX
LV
şeklinde tanımlanır. Burada
L : tr(T M ) → ltr(T M ), S : tr(T M ) → S(T M ⊥ )
h` (X, Y ) = Lh(X, Y ), hs (X, Y ) = Sh(X, Y )
ve
Ds : Γ(T M ) × Γ(ltr(T M )) → Γ(S(T M ⊥ ))
→
(X, LV )
s
DX
LV
D` : Γ(T M ) × Γ(S(T M ⊥ )) → Γ(ltr(T M )
→
(X, SV )
`
DX
SV
dir [5].
Teorem 2.4.4. M̄ semi-Riemann manifoldunun lightlike altmanifoldu M olsun.
Eğer M coisotropik altmanifold ise ∀X, Y ∈ Γ(T M ) ve N ∈ Γ(ltr(T M )) için Gauss
ve Weingarten denklemleri sırasıyla,
¯ X Y = ∇X Y + h` (X, Y )
∇
17
ve
¯ X N = −AN X + ∇` N
∇
X
dir [5].
Tanım 2.4.3. M̄ semi-Riemann manifoldunun lightlike altmanifoldu M olsun. Eğer
∀X, Y ∈ Γ(T M ) için
h` (X, Y ) = ḡ(X, Y )HL
hs (X, Y ) = ḡ(X, Y )HS
olacak şekilde HL ∈ Γ(ltr(T M ) ve HS ∈ Γ(S(T M ⊥ )) vektör alanları var ise M ye
total umbilik denir [4].
Teorem 2.4.5. M̄ semi-Riemann manifoldunun lightlike veya coisotropik altmanifoldu
M olsun. O zaman P, T M tanjant demetinden ekran distribüsyonu üzerine bir
projeksiyon dönüşümü olmak üzere; ∀X, Y ∈ Γ(T M ) ve ξ ∈ Γ(Rad(T M )) için
∇X Y = ∇∗X Y + h∗ (X, Y )
ve
∇X ξ = −A∗ξ X + ∇∗t
Xξ
olup burada
∇∗X Y, A∗ξ X
ve {h∗ (X, Y ), ∇∗t
X ξ} sırasıyla S(T M ) ve RadT M nin
elemanlarıdırlar [5].
2.5
Lightlike Manifoldlar
Tanım 2.5.1. (M, g) reel n-boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold ve g de (0, 2)
tipinde simetrik tensör alanı olsun. Ayrıca, ∀x ∈ M için gx , Tx M üzerinde sabit q
indeksli olsun. gx in Tx M üzerinde dejenere olduğunu kabul edelim. Böylece Tx M
nin bir ξ 6= 0 vektörü ve ∀v ∈ Tx M için gx (ξ, v) = 0 dir. Tx M nin Radikal uzayı
yada null uzayı,
RadTx M = {ξ ∈ Tx M ; gx (ξ, v) = 0 , ∀v ∈ Tx M }
ile verilen altuzayıdır. RadTx M nin boyutuna gx in nulluk derecesi denir ve nullTx M
ile gösterilir. gx in Tx M üzerinde non-dejenere olması için gerek ve yeter şart
nullTx M = 0 olmasıdır [13].
18
Tanım 2.5.2. RadT M dönüşümü, her x ∈ M için gx metriğine göre rank r > 0
olan Tx M nin bir altuzayını tanımlar ki bu uzaya M nin radikal distribüsyonu denir.
Böylece, ∀ξ ∈ Γ(Rad(T M )), X ∈ Γ(T M ) için
g(ξ, X) = 0
(2.5.1)
bulunur. Bundan dolayı (M, g) nin r − lightlike olması için gerek ve yeter şart g
nin M üzerinde sabit bir n − r rankına sahip olmasıdır [9].
Tanım 2.5.3. (M, g) lightlike manifold olsun. M manifoldu üzerindeki bir X vektör
alanına, LX g = 0 ise X e bir Killing vektör alanı denir [1].
Tanım 2.5.4. M bir lightlike manifold ve D, M manifoldu üzerinde bir distribüsyon
olsun. ∀X ∈ D için LX g = 0 ise D ye bir Killing Distribüsyon denir [1].
Tanım 2.5.5. (M, g) lightlike manifold olsun. M nin radikal distribüsyonu integrallenebilir
ve ∀X, Y, Z ∈ Γ(RadT M ) için (LX g)(Y, Z) = 0 ise M manifolduna Re inhart
lightlike manif old denir [1].
Teorem 2.5.1. (M, g) lightlike manifold olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir.
i) (M, g) bir Reinhart lightlike manifolddur.
ii) RadT M bir Killing Distribüsyondur.
iii) M üzerinde g ye göre bir ∇ Levi-civita konneksiyonu vardır [9].
İspat. i) ⇒ ii) M bir Re inhart lightlike manif old olsun. RadT M integrallenebilir
ve ∀X ∈ Γ(RadT M ) için X = X α ∂α olsun.∀X, Y, Z ∈ Γ(RadT M ) için
∂(g(Y, Z))
∂
∂
α
X
−g
, Y , Z − g Y,
,Z
=0
∂xα
∂xα
∂xα
(2.5.2)
dır. RadT M ye ait Y, Z vektör alanlarından en az biri (2.5.2) ü sağlar. Y =
ve Z =
∂
,
∂xj
∂
∂xi
i, j ∈ {r + 1, ....n} için (2.5.2) sağlanır. Böylece, RadT M bir Killing
distribüsyondur.
ii) ⇒ i) RadT M bir Killing distribüsyon olsun. ∀X ∈ Γ(RadT M ) ve Y, Z ∈
Γ(T M ) için
(LX g)(Y, Z) = X(g(Y, Z)) − g([X, Y ] , Z) − g(Y, [X, Z]) = 0
19
(2.5.3)
dir. Burada Y ∈ Γ(RadT M ) olup, g(ξ, X) = 0 kullanılarak ∀Z ∈ Γ(T M ) için
g([X, Y ] , Z) = 0
elde edilir. Böylece, [X, Y ] ∈ Γ(RadT M ) yani RadT M involutivedir ve Frobenius
teoreminden integrallenebilirdir. Sonuç olarak, (2.5.3) de X =
Y =
∂
∂xi
ve Z =
∂
∂xj
∂
∂xα
∈ Γ(RadT M ),
alınırsa (LX g)(Y, Z) = 0 elde edilir. Böylece (M, g) Reinhart
lightlike manifolddur.
iii) ⇒ ii) M üzerinde bir ∇ Levi-Civita konneksiyon olsun. Yani, g, ∇ ya göre
paralel olsun. O zaman ∀X ∈ Γ(RadT M ) ve ∀Y, Z ∈ Γ(T M ) için
(LX g)(Y, Z) = {X(g(Y, Z)) − g(∇X Y, Z) − g(Y, ∇X Z)}
+ {g(∇Y X, Z) + g(Y, ∇Z X}
= g(∇Y X, Z) + g(Y, ∇Z X)
= Y (g(X, Z) + Z(g(X, Y ) − g(X, ∇Y Z) − g(X, ∇Z Y )
=0
olduğu kolaylıkla görülebilir. Buradan RadT M , M üzerinde bir killing distribüsyondur.
ii) ⇒ iii) (2.5.2) ve (2.5.3) kullanılarak M üzerinde g ye göre bir ∇ Levi-Civita
konneksiyonunun varlığı kolaylıkla gösterilebilir.
Aşağıdaki sonuç yukarıdaki teoremin direkt bir sonuçudur.
Sonuç 2.5.1. (M, g), r = 1 ranklı RadT M distribüsyonuna sahip n-boyutlu bir
lightlike manifold olsun. RadT M bir killing distribüsyondur ve g dejenere metrik
tensör alanına göre M üzerinde bir Levi-Civita konneksiyonu vardır [13].
20
BÖLÜM 3
LİGHTLİKE HİPERYÜZEYLER
3.1
Semi-Riemann Hiperyüzeyler
Tanım 3.1.1. (M̄ , ḡ), sabit q ∈ {1, ...., m + 1} indeksli (m + 2)-boyutlu proper
semi-Riemann manifold olsun. M, (m + 1)-boyutlu diferensiyellenebilir bir manifold
ve i : M → M̄ inclusion dönüşüm olsun. O zaman söylenebilir ki i(M ), M̄ nin bir
immersed hiperyüzeyidir. Bu şart genel olarak alınır ise o zaman i(M ) ye M̄ nin
embedded hiperyüzeyi denir. Embedded hiperyüzeyi, immeding dönüşümü yoluyla M̄
üzerindeki manifold yapısından kalmış doğal bir manifold yapısına sahiptir. g, M
nin simetrik tensör alanı olmak üzere ∀X, Y ∈ Tx M için
g(X, Y ) |x = ḡ(i∗ X, i∗ Y ) |i(x)
olur. Burada i∗ , i nin türev dönüşümü olmak üzere keyfi bir f fonksiyonu için
(i∗ X)(f ) = X(f ◦ i)
dir [13].
Bundan sonra i(M ) ve i(x) in yerine M ve x yazılacaktır. M̄ vektör alanlarının
(spacelike,timelike,lightlike) causal durumlarına göre M hiperyüzeyinin üç tipi vardır.
Bunlar Riemann, semi-Riemann ve lightlike hiperyüzeylerdir.M lightlike hiperyüzeyide
g metriğinin dejenere yada non-dejenere olma durumuna göre iki tipi vardır.
Öncelikle (M, g), (M̄ , ḡ) nin bir semi-Riemann hiperyüzeyi olsun. Buradan g
non-dejeneredir.
T M ⊥ = V ∈ Γ(T M̄ ) | g(V, W ) = 0, ∀W ∈ Γ(T M )
normal altuzay demetini tanımlayalım. M bir hiperyüzey olduğundan boy(Tx M ⊥ ) =
1 dir. Böylece,
T M̄ = T M ⊥ T M ⊥ , T M ∩ T M ⊥ = {0}
21
(3.1.1)
¯ ve ∇,
yazılabilir. Burada, tanjant ve normal altuzay demetleri non-dejeneredir. ∇
sırasıyla M̄ ve M üzerinde Levi-Civita konneksiyonları olsun. O zaman M nin her
−
X, Y vektör alanları ve g(n, n) = = +1 , n ∈ T M ⊥ ve ∇X Y ,An X ∈ Γ(T M ) için
Gauss ve Weingarten formülleri,
¯ X Y = ∇X Y + B(X, Y )n
∇
(3.1.2)
¯ X n = −An X
∇
yazılabilir. Burada B, M nin ikinci temel formudur ve şekil operatörü ile
B(X, Y ) = ḡ(An X, Y ) , ∀X, Y ∈ Γ(T M )
şeklinde ilişkisi vardır.
Tanım 3.1.2. Eğer B = 0 ⇔ An = 0 ise M ye total geodesik hiperyüzey denir [14].
Tanım 3.1.3. Eğer B(X, Y )p = kg(X, Y )p , ∀X, Y ∈ Γp (T M ) ise p ∈ M noktasına
umbilik nokta denir. Burada k ∈ R ve p ye bağlıdır [14].
3.2
Lightlike Hiperyüzeyler
Tanım 3.2.1. g, M üzerinde dejenere olsun. ξ 6= 0, M üzerinde bir vektör alanı
olmak üzere
g(ξ, X) = 0, ∀X ∈ Γ(T M )
dir. Tx M nin radikal uzayı yada null uzayı, her x ∈ M noktasında
RadTx M = {ξ ∈ Tx M | gx (ξ, X) = 0, ∀X ∈ Tx M }
(3.2.1)
ile tanımlanmış altuzayıdır. RadTx M nin boyutuna g nin nulluk derecesi denir ve
M ye M̄ nin bir lightlike hiperyüzeyi denir. Ayrıca
RadTx M = Tx M ∩ Tx M ⊥
olduğu biliniyor. M hiperyüzeyi için boy(Tx M ⊥ ) = 1 yani boy(RadTx M ) = 1 ve
RadTx M = Tx M ⊥ dir. RadT M ye M nin radikal (null) distribüsyonu denir. Bir
M lightlike hiperyüzeyi için T M ve T M ⊥ non-trivial bir kesişmeye sahiptirler. T M̄
tanjant demeti uzayı bunların toplamı olmadığından (3.1.1) i sağlamaz [13].
22
Tanım 3.2.2. T M de T M ⊥ = RadT M nin bir tamamlayıcı vektör demeti S(T M )
olsun. Buna göre
T M = RadT M ⊕orth S(T M )
(3.2.2)
dir. S(T M ) ye M nin bir ekran distribüsyonu denir. (3.2.2) eşitliğinden S(T M ),
bir non-dejenere distribüsyondur. M nin parakompakt olduğu varsayılırsa her zaman
bir ekran S(T M ) vardır. Böylece, M boyunca
T M̄ |M = S(T M ) ⊥ S(T M )⊥ , S(T M ) ∩ S(T M )⊥ 6= {0}
(3.2.3)
ayrışımı çıkar. Yani, S(T M )⊥ , T M̄ |M de S(T M ) için ortogonal tamamlayıcıdır.
Ayrıca S(T M )⊥ in 2 ranklı non-dejenere bir vektör demeti olduğu biliniyor [13].
Teorem 3.2.1. (M, g, S(T M )), (M̄ , ḡ) semi-Riemann manifoldunun bir lightlike
hiperyüzeyi olsun.U ⊂ M üzeinde rankı 1 olan bir tek tr(T M ) vektör demeti vardır
öyle ki T M ⊥ nin her ξ 6= 0 kesiti için
ḡ(N, ξ) = 1 , ḡ(N, N ) = ḡ(N, W ) = 0 , ∀W ∈ Γ(S(T M |U ))
(3.2.4)
olacak şekilde tr(T M ) nin bir tek N kesiti vardır [13].
İspat. S(T M )⊥ in 2 ranklı non-dejenere bir vektör demeti ve T M ⊥ in, S(T M )⊥
nin bir altvektör demeti olduğu biliniyor. S(T M )⊥ de T M ⊥ in tamamlayıcı vektör
demeti F olsun. O zaman V ∈ Γ(F |U ), V 6= 0 olmak üzere U üzerinde ḡ(ξ, V ) 6= 0
dir.Başka bir deyişle S(T M )⊥ , U nun bir noktasında dejenere olur. U da
1
ḡ(V, V )
N=
V −
ξ
ḡ(ξ, V )
2ḡ(ξ, V )
(3.2.5)
olacak şekilde bir vektör alanı tanımlansın. Böylece (3.2.5) de verilen N, (3.2.4) ü
sağlar. Diğer taraftan U ∗ ⊂ M diğer bir koordinat komşuluğu olmak üzere U ∩U ∗ 6=
0 dır. T M ⊥ ve F , M üzerinde rankı 1 olan vektör demetleridir. α ve β, U ∩ U ∗
üzerinde sıfırdan farklı diferensiyellenebilir fonksiyonlar olmak üzere ξ ∗ = αξ ve
V ∗ = βV dır. Buradan, N ∗ = α1 N bulunur. Bu nedenle F vektör demeti,
M üzerinde 2 ranklı tr(T M ) vektör demeti meydana getirip (3.2.4) sağlanır. Son
olarak, S(T M )⊥ de T M ⊥ için başka bir E tamamlayıcı vektör demeti düşünülüp
(3.2.5) de kullanılırsa F ve E için ayrı şekilde tr(T M ) elde edilir. Böylece ispat
tamamlanır.
23
(3.2.4) den tr(T M ) bir lightlike vektör demetidir öyleki ∀u ∈ M için tr(T M ) |u
∩Tu M = {0} dir. Böylece, (3.2.2) ve (3.2.3) den
T M̄ |M = S(T M ) ⊕orth (T M ⊥ ⊕ tr(T M )) = T M ⊕ tr(T M )
(3.2.6)
ayrışımı elde edilir. (3.2.6) yı sağlayan her S(T M ) ekran distribüsyonu için T M̄ |M
de T M için bir tamamlayıcı vektör demeti olan bir tek tr(T M ) vardır. Bu nedenle
tr(T M ) ye S(T M ) ye göre M için lightlike transversal vektör demeti denir. Burada
bütün manifoldlar parakompakt kabul edilir.
Linner konneksiyonlar, ikinci temel formlar, eğrilik tensörü ve Ricci tensörü
gibi geometrik nesnelerden herhangi birisinin elde edilmesinde Gauss-Weingarten
formülü (lightlike durumu için) önemli rol oynar. (3.2.6) da ikinci temel form
¯ ḡ ye göre M̄ üzerinde Levi-Civita metrik konneksiyonu olmak üzere
kullanılarak, ∇,
∀X, Y ∈ Γ(T M ) için
_
∇X Y = ∇X Y + h(X, Y )
(3.2.7)
ve
_
∇X V = −AV X + ∇tX V
dir.
(3.2.8)
Burada ∇X Y, AV X ∈ Γ(T M ) ve h(X, Y ), ∇tX V ∈ Γ(ltr(T M )) dir.
∇,
M üzerinde torsiyonsuz lineer konneksiyondur ve indirgenmiş lineer konneksiyon
olarak adlandırılır. ∇t , ltr(T M ) vektör demetinde bir lineer konneksiyondur. h, bir
Γ(ltr(T M )) değerli simetrik bilineer formdur ve AV , V için M nin şekil operatörüdür.
Burada, (3.2.7) ve (3.2.8) e sırasıyla Gauss ve Weingarten formülü denir.
{ξ, N } ,(3.2.7) yi sağlayan U ∩ M üzerindeki kesitlerin bir çifti olsun. ∀X, Y ∈
Γ(T M |U ) için
B(X, Y ) = ḡ(h(X, Y ), ξ)
_
τ (X) = g(∇tX N, ξ)
(3.2.9)
(3.2.10)
şeklinde U üzerinde bir simetrik F (U )−bilineer B formu ve bir τ 1- formu tanımlansın.
Buradan,
h(X, Y ) = B(X, Y )N , ∇tX N = τ (X)N
24
(3.2.11)
bulunur. Sonuç olarak U üzerinde Gauss ve Weingarten formülleri
_
∇X Y = ∇X Y + B(X, Y )N
(3.2.12)
ve
_
∇X N = −AN X + τ (X)N
(3.2.13)
şeklinde elde edilir. B, N ye göre U üzerinde h ın tek bileşenidir ve B ye M nin
lokal ikinci temel formu denir.
_
∇, M̄ üzerinde metrik konneksiyon olduğundan, ∀X ∈ Γ(T M |U ) için
B(X, ξ) = 0
(3.2.14)
olduğu kolaylıkla görülebilir. Bu nedenle M nin ikinci temel formu dejeneredir.
_
η(X) = g(X, N ) , ∀X ∈ Γ(T M |U )
(3.2.15)
_
şeklinde bir lokal η 1-formu tanımlansın. (3.2.12) , (3.2.15) ve M̄ üzerindeki ∇
metrik konneksiyonu kullanılarak
_
_
0 = (∇X g)(Y, Z)
¯ X Y, Z) − ḡ(Y, ∇
¯ X Z)
= X(ḡ(Y, Z)) − ḡ(∇
= X(g(Y, Z)) − g(∇X Y, Z) − g(Y, ∇X Z)
− B(X, Y )ḡ(Z, N ) − B(X, Z)ḡ(Y, N )
= (∇X g)(Y, Z) − B(X, Y )η(Z) − B(X, Z)η(Y )
elde edilir. Böylece M üzerindeki ∇ konneksiyonu metrik konneksiyon değildir ve
(∇X g)(Y, Z) = B(X, Y )η(Z) + B(X, Z)η(Y )
(3.2.16)
denklemini sağlar.
Uyarı 3.2.1. Semi-Riemann hiperyüzeylerin (3.1.2) de verilen Gauss ve Weingarten
formüllleri ile lightlike hiperyüzeyler için verilen Gauss ve Weingarten formülü arasındaki
fark lightlike durum için (3.2.10) da verilen bir τ 1-formun var olmasıdır. Bundan
dolayı lightlike durumu semi-Riemann durumundan farklıdır [13].
25
Tanım 3.2.3. (3.2.2) deki ayrışıma göre Γ(S(T M )) üzerinde Γ(T M ) nin projeksiyon
morfizmi P olmak üzere Gauss ve Weingarten formülleri ∀X, Y ∈ Γ(T M ) için
∇X P Y = ∇∗X P Y + h∗ (X, P Y )
(3.2.17)
∇X U = −A∗U X + ∇∗t
XU
(3.2.18)
dir. Burada U ∈ Γ(T M ⊥ ) olup ∇∗X Y ve A∗U X, Γ(S(T M )) ye aittir. ∇∗ ve ∇∗t
sırasıyla Γ(S(T M )) ve T M ⊥ de lineer konneksiyonlardır. h∗ , Γ(T M )×Γ(S(T M )) de
F (M )−bilineer formu Γ(T M ⊥ )-değerlidir ve A∗U , Γ(T M ) de F (M )−bilineer operatörü
Γ(S(T M )) değerlidir. h∗ ve A∗U ya sırasıyla S(T M ) nin ekran ikinci temel formu ve
ekran şekil operatörü denir. ∀X, Y ∈ Γ(T M ) için
C(X, P Y ) = ḡ(h∗ (X, P Y ), N )
(3.2.19)
(X) = ḡ(∇∗t
X ξ, N )
(3.2.20)
şeklinde tanımlıdır. Buradan (X) = −τ (X) bulunur. Böylece ∀X, Y ∈ Γ(T M ) için
∇X P Y = ∇∗X P Y + C(X, P Y )ξ
(3.2.21)
∇X ξ = −A∗ξ X − τ (X)ξ
(3.2.22)
elde edilir. Burada C(X, P Y ) ye, S(T M ) nin lokal ekran temel formu denir [13].
Non-dejenere bir hiperyüzeyin ikinci temel formu ve şekil operatörü bir metrik
tensör alanıyla aynı anlamdadır.Lightlike durumunda hiperyüzeyin ikinci temel formu
ile şekil operatörü arasında bir ilişki vardır. M ve S(T M ) nin ikinci temel formları
ile şekil operatörleri arasındaki ilişki,
B(X, Y ) = g(A∗ξ X, Y ) , ḡ(A∗ξ X, N ) = 0
(3.2.23)
C(X, P Y ) = g(AN X, P Y ) , ḡ(AN Y, N ) = 0
(3.2.24)
şeklinde verilir.
26
Önerme 3.2.1. (M, g, S(T M )) semi-Riemann manifoldun bir lightlike hiperyüzeyi
olsun. O zaman
a) M nin AN şekil operatörü bir sıfır özdeğere sahiptir.
b) S(T M ) nin ekran ikinci temel formu dejeneredir.
c) S(T M ) nin A∗ξ ekran şekil operatörü M nin ikinci temel formuna göre simetriktir.
d) (3.2.18) den ∇∗ konneksiyonu S(T M ) üzerinde metrik konneksiyondur.
¯ konneksiyonlarına
e) ξ ∈ Γ (RadT M |U ) nin bir integral eğrisi sırasıyla ∇ ve ∇
göre M ve M̄ nin bir null geodesiğidir [13].
İspat. a) (3.2.24) den AN , Γ(S(T M ))−değerlidir. Bu nedenle sıfırdan farklı bir
X0 ∈ Γ(T M |U ) nın var olması rankAN ≤ m olduğunu gösterir öyle ki AN X0 = 0
dır. b) (3.2.24) deki ilk eşitlikten açıktır. c) (3.2.23) den ∀X, Y ∈ Γ(T M ) için
B(X, A∗ξ Y ) = B(A∗ξ X, Y )
elde edilir. d) (3.2.12) ve (3.2.21) den açıktır. e) (3.2.14) ve (3.2.23) den A∗ξ ξ = 0
dır. Yani, ξ, sıfır özdeğerine sahip A∗ξ için bir özvektör alanıdır. Böylece, (3.2.12),
(3.2.14), (3.2.22) ve A∗ξ ξ = 0 dan
¯ ξ ξ = ∇ξ ξ = −τ (ξ)ξ
∇
m
P
elde edilir. ξ =
yada ξ =
d
dt
ξ α ∂u∂α ve C : uα = uα (t), α ∈ {0, ...., m} t ∈ I ⊂ R, yani ξ α =
α=0
duα
dt
olacak şekilde bir C integral eğrisi alalım. τ (ξ) 6= 0 durumunda t∗ , C
null eğrisi üzerinde yeni bir parametre olmak üzere,
d2 t∗
d dt∗
+
τ
(
)
=0
dt2
dt dt
dir. Buradan ∇
d
dt∗
d
dt∗
= 0 bulunur.Böylece e) sağlanır.
Örnek 3.2.1. (R14 , ḡ),
(∂t , ∂1 , ∂2 , ∂3 , )
kanonik bazın (-,+,+,+) işareti için Minkowski spacetime’ı olsun. (M, g = ḡ |M
, S(T M )),
o
n
π
t(1, cos u cos v, cos u sin v, sin u) ∈ R14 : t > 0, u ∈ (0, ), v ∈ [0, 2π]
2
27
lightlike konisinin açık bir altkümesi ile verilen lightlike hiperyüzeyidir. RadT M ve
ltr(T M ) sırasıyla,
RadT M = span {ξ = ∂t + cos u cos v∂1 + cos u sin v∂2 + sin u∂3 }
1
ltr(T M ) = span N = (−∂t + cos u cos v∂1 + cos u sin v∂2 + sin u∂3 )
2
ile verilir ve S(T M )) nin ekran distribüsyonu,
{W1 = − sin u cos v∂1 − sin u sin v∂2 + cos u∂3 W2 = − sin v∂1 + cos v∂2 }
iki ortonormal spacelike vektörü ile tanımlı olur.
Örnek 3.2.2. (R24 , ḡ),
(∂0 , ∂1 , ∂2 , ∂3 )
kanonik bazının (-,-,+,+) işareti için n-boyutlu semi-Öklidyen uzay olsun.
√ q
x0 = x1 + 2 x22 + x23
ile verilen R24 nin bir M hiperyüzeyi ve f =
ξ = f (∂0 − ∂1 ) +
√
p
x22 + x23 olsun. M nin
2(x2 ∂2 + x3 ∂3 )
ile tanımlı RadT M radikal distribüsyonunun bir lightlike hiperyüzey olduğu kolaylıkla
görülebilir. Lightlike transversal vektör demeti de,
o
√
1 n
ltr(T M ) = span N = 2 f (−∂0 − ∂1 ) + 2(x2 ∂2 + x3 ∂3 )
4f
ile verilir. Buradan S(T M )) nin ekran distribüsyonu,
W1 = ∂0 + ∂1 , W2 = −x3 ∂2 + x2 ∂3
ile tanımlı olur.
Örnek 3.2.3. (R24 , ḡ), Örnek 3.2.2 deki gibi bir M lightlike hiperyüzeyi , (∂0 , ∂1 , ∂2 , ∂3 )
kanonik bazının (-,-,+,+) işareti için 4-boyutlu semi-Öklidyen uzay olsun. Direkt
hesaplamalarla ∀X ∈ Γ(T M ) için
¯ X W1 = ∇
¯ W1 X = 0,
∇
28
¯ W2 W2 = −x2 ∂2 − x3 ∂3
∇
√
√
¯ W2 ξ = ∇
¯ ξ W2 = 2W2
¯ ξ ξ = 2ξ, ∇
∇
elde edilir. Böylece,
B(W1 , W1 ) = 0 = B(W1 , W2 )
√
B(W2 , W2 ) = − 2(x22 + x23 )
olur.
3.3
Ekran Konformal Hiperyüzeyler
Tanım 3.3.1. Semi-Riemann manifoldun bir (M, g, S(T M )) lightlike hiperyüzeyi,
AN = ϕA∗ξ
(3.3.1)
şartını sağlıyor ise M ye ekran konformal lightlike hiperyüzey denir. Burada AN
ve A∗ξ sırasıyla M ve S(T M ) nin şekil operatörleridir. ϕ, M de sıfırdan farklı
diferensiyellenebilir bir fonksiyondur.ϕ sıfırdan farklı bir sabit ise M ekran homothetictir
[15].
Örnek 3.3.1. R1n+2 ,
0 0
ḡ(x, y) = −x y +
n+1
X
a a
x y ,
(X =
a=1
n+1
X
A=0
xA
∂
)
∂xA
semi-Öklidyen metriği ile verilen Rn+2 uzayı olsun. ∧n+1
lightlike konisi, −(x0 )2 +
0
n+1
P a 2
(x ) = 0, x 6= 0 eşitliği ile verilir. ∧n+1
, R1n+2 nin bir lightlike hiperyüzeyidir ve
0
a=1
üzerindeki radikal distribüsyonu,
∧n+1
0
ξ=
n+1
X
xA
A=0
∂
∂xA
(3.3.2)
küresel vektör alanı ile tanımlı olduğu biliniyor. (3.2.5) yi sağlayan bir tek N kesiti,
(
)
n+1
X
1
0 ∂
a ∂
N=
−x
+
x
(3.3.3)
2(x0 )2
∂x0 a=1 ∂xa
29
ile verilir ve küresel tanımlıdır. ξ vektör alanı iken ∀X ∈ Γ(T M ) için
¯ X ξ = ∇X X = X
∇
dir. O halde, A∗ξ X + τ (X)ξ + X = 0 dır. A∗ξ , Γ(S(T M )) değerli iken ∀X ∈ Γ(T M )
için
A∗ξ X = −P X
(3.3.4)
dir. (x1 , ....., xn+1 ) koordinat komşuluğunda her X ∈ Γ(S(T ∧n+1
)) için X =
0
n+1
P
a=1
X a ∂x∂ a
olup,
n+1
X
xa X a = 0
(3.3.5)
a=1
sağlanır.Buradan,
¯ ξX =
∇ξ X = ∇
n+1 X
n+1
X
A=0 a=1
ḡ(∇ξ X, ξ) =
n+1 X
n+1
X
A=0 a=1
xa X A
xA
∂xa ∂
∂xA ∂xa
n+1
n+1 X
X
∂xa
xa X A = 0
=
−
∂xA
A=0 a=1
(3.3.6)
elde edilir. (3.3.5) ve (3.3.6) dan ∇ξ X ∈ Γ(S(T ∧n+1
)) olup AN ξ = 0 dır. ∀X ∈
0
Γ(S(T ∧n+1
)) için AN X i hesaplayalım. X, Y ∈ Γ(S(T ∧n+1
)) olsun. (3.3.3) ve
0
0
(3.3.5) kullanılarak
¯ X Y, N ) = −
C(X, Y ) = g(∇X Y, N ) = ḡ(∇
1
g(X, Y )
2(x0 )2
olur. Buradan,
g(AN X, Y ) = −
1
g(X, Y )
2(x0 )2
elde edilir. Böylece,
AN X =
1
A∗ X, X ∈ Γ(T ∧n+1
)
0
2(x0 )2 ξ
(3.3.7)
bulunur. Sonuç olarak, ∧n+1
, ∧n+1
üzerinde küresel olarak tanımlanmış ϕ =
0
0
1
2(x0 )2
pozitif konformal konneksiyonu ile R1n+2 nin ekran küresel konformal lightlike hiperyüzeyidir
[9].
Önerme 3.3.1. (M̄ , ḡ) nin bir lightlike hiperyüzeyi (M, g, S(T M )) olsun. S(T M )
nin integrallenebilir ve S(T M ) nin her kesitinin M̄ de total umbilik immersed olduğunu
kabul edelim. Ekran distribüsyonu, radikal distribüsyonunun integral eğrileri boyunca
paralel ise M yerel ekran konformaldir [15].
30
İspat. S(T M ) nin bir kesiti Ḿ ile gösterilsin. ∀X, Y ∈ Γ(T Ḿ ) için
¯ X Y = ∇∗ Y + C(X, Y )ξ + B(X, Y )N
∇
X
(3.3.8)
dir. H ∗ , Ḿ nin 2 ranklı ortalama eğrilik vektör alanı olsun. α, ρ diferensiyellenebilir
fonksiyonlar olmak üzere H ∗ = αξ + ρN şeklinde yazılabilir. Ḿ , (M̄ , ḡ) de total
umbilik immersed olduğundan
C(X, Y )ξ + B(X, Y )N = −g(X, Y )(αξ + ρN ) , ∀X, Y ∈ Γ(T Ḿ )
dir. Buradan,
B(X, Y ) = ρg(X, Y ) ve C(X, Y ) = αg(X, Y ) , ∀X, Y ∈ Γ(T Ḿ )
(3.3.9)
olur. Ayrıca hH ∗ , H ∗ i = 2αρ ve H ∗ sıfırdan farklı spacelike olduğundan M üzerinde
αρ > 0 dır. (3.3.9) dan, ∀X, Y ∈ Γ(T Ḿ ) için C(X, Y ) = αρ B(X, Y ) olup Ḿ üzerinde
α
ρ
> 0 dır. Böylece ∀X ∈ Γ(T Ḿ ) için AN X =
α ∗
AX
ρ ξ
bulunur. S(T M ), RadT M
nin integral eğrileri boyunca paralel olduğundan
AN ξ = 0 =
α ∗
Aξ
ρ ξ
dır. Buradan, ∀X ∈ Γ(T M ) için
AN X =
bulunur. Bu yüzden M, ϕ =
α
ρ
α ∗
AX
ρ ξ
için ekran konformaldir.
Uyarı 3.3.1. M̄ , c sabit kesit eğrilikli ise o zaman c 6= 0 için H ∗ üzerinde sıfırdan
farklı olma şartı gerekli değildir. Bu durum için her noktada her zaman α 6= 0 dır
[15].
Teorem 3.3.1. (M, g, S(T M )), (M̄ , ḡ) Lorentzian manifoldun bir lightlike hiperyüzeyi
olsun. O zaman aşağıdaki ifadeler denktir.
a) (M, g, S(T M )) yerel ekran konformaldir.
b) M de ekran distribüsyonunun değişebilen şekil operatörlerine sahip olduğu bir
U maksimal alanı vardır. Ancak, bu şekil operatörlerinin temel eğrilikleri U ⊂ M
üzerinde sıfırdan farklı diferensiyellenebilir bir ϕ fonksiyonu kadardır [13].
31
İspat. (M, g, S(T M )) yerel ekran konformal ise o zaman U alanı üzerindeki konformalitede
sıfırdan farklı deferensiyellenebilir bir ϕ fonksiyonu vardır öyle ki U ⊂ M deki bütün
tanjant X ler için AN X = ϕA∗ξ X dir. O halde AN ve A∗ξ şekil operatörlerinin
konformalliği U üzerindedir. Sonuç olarak aynı anda diyagonal olan bu şekil operatörlerine
göre bir lokal çatı alanı vardır. AN ve A∗ξ için U üzerindeki bir özçatı alanı (E0 , ....En )
olsun. µi ve λi sırasıyla AN ve A∗ξ ye göre Ei nin temel eğriliklerini göstermek
üzere (3.3.1) den µi = ϕλi olup b) deki son iddia tamamlanır. Tersine, AN ve A∗ξ
şekil operatörlerinin konformalliği, AN ve A∗ξ nin diyagonal olması U üzerinde bir
(E0 , ....En ) çatı alanının var olması anlamına gelir. µi ve λi , AN ve A∗ξ ye göre Ei
nin temel eğrilikleri olsun. b) deki son iddia µi = ϕλi , 0 ≤ i ≤ n olması için U
üzerinde sıfırdan farklı diferensiyellenebilir bir ϕ fonksiyonunun var olması gerekir.
(E0 , ....En ) çatı alanı üzerinde bir X ∈ T U tanjant vektörü alınır ise X = X i Ei olur.
O zaman
AN X = AN (X i Ei ) = X i AN Ei = X i µi Ei = X i ϕλi Ei
= ϕ(X i λi Ei ) = ϕX i A∗ξ Ei = ϕA∗ξ (X i Ei ) = ϕA∗ξ X
olur. Böylece, (3.3.1), U ⊂ M üzerinde sıfırdan farklı diferensiyellenebilir bir ϕ
fonksiyonu vardır.
Uyarı 3.3.2. Özuzayda A∗ξ nin N0 denen sıfır özdeğeri,
S = span A∗ξ Y , Y ∈ Γ(T M )
ile tanımlanmış S(T M ) nin bir altdemetini göstermek üzere
N0 = span A∗ξ Y , Y ∈ Γ(T M )⊥M = S ⊥M
dir. Burada, ⊥M , M de ortogonallık sembolüdür. Özellikle, eğer S, S(T M ) ile
çakışıyorsa o zaman N0 daki her özvektör alanı ξ nin bir katıdır.
Bir M lightlike hiperyüzeyinin 1-boyutlu RadT M radikal distribüsyonu integrallenebilir
olmasına rağmen genelde her ekran distribüsyonunun integrallenebilir olması gerekmez
[15].
32
Örnek 3.3.2. (R24 , ḡ), (∂0 , ....∂n ) kanonik bazının (−, −, +, +) işaretiyle 2 indisli
4-boyutlu semi-Öklidyen uzayı olsun.
x3 = x0 + sin(x1 + x2 ) , x1 + x2 6= nπ, n ∈ Z
ile verilen R24 nin bir M hiperyüzeyini düşünelim. Kolaylıkla görülebilir ki M,
ξ = ∂0 + cos(x1 + x2 )∂1 − cos(x1 + x2 )∂2 + ∂3
ile tanımlı RadT M radikal distribüsyonlu bir lightlike hiperyüzeydir.
V = ∂0 + cos(x1 + x2 )∂1
olsun. O zaman
g(V, V ) = g(ξ, V ) = −(1 + cos2 (x1 + x2 ))
dir. Bu yüzden, (3.2.5) e göre lightlike transversal vektör demeti ltr(T M ) = span {N }
şeklinde verilir. Burada,
N=
−1
{∂0 + cos(x1 + x2 )∂1 + cos(x1 + x2 )∂2 − ∂3 }
2(1 + cos2 (x1 + x2 ))
dir. T R24 tanjant demeti
∂
∂
∂
= ∂0 + ∂3 ,
= ∂1 + cos(x1 + x2 )∂3 ,
= ∂2 + cos(x1 + x2 )∂3
∂u0
∂u1
∂u2
ile tanımlıdır. Buradan, S(T M ) ekran distribüsyonu
{W1 = cos(x1 + x2 )∂0 − ∂1 , W2 = ∂2 + cos(x1 + x2 )∂3 }
ile gerilir. Bu durumda
¯ W1 W2 − ∇
¯ W2 W1 = sin(x1 + x2 ) {∂0 + ∂3 }
[W1 , W2 ] = ∇
dir. Böylece,
ḡ([W1 , W2 ] , N ) =
sin(x1 + x2 )
1 + cos2 (x1 + x2 )
olup S(T M ) integrallenebilir değildir [9].
33
Teorem 3.3.2. (M, g, S(T M )), (M̄ , ḡ) semi-Riemann manifoldunun bir lightlike
hiperyüzeyi olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir.
i) S(T M ) integrallenebilir distribüsyondur.
ii) h∗ (X, Y ) = h∗ (Y, X) , ∀X, Y ∈ Γ(S(T M ))
iii) M nin şekil operatörü g ye göre simetriktir, yani, V ∈ Γ(tr(T M ) ve ∀X, Y ∈
Γ(S(T M )) için
g(AV X, Y ) = g(X, AV Y )
dir [2].
İspat. (3.2.15) den, M üzerindeki bir X vöktör alanının S(T M ) ye ait olması için
gerek ve yeter şart η(X) = 0 olmasıdır. (3.2.15) ve (3.2.23) kullanılarak, ∀X, Y ∈
Γ(T M |U ) için
C(X, Y ) − C(Y, X) = η([X, Y ])
bulunur. Böylece, i) ve ii) nin denkliği (3.2.19) ile birlikte sağlanmış olur. ii) ve iii)
nin denkliği de (3.2.24) den bulunur. Böylece ispat tamamlanır.
Tanım 3.3.2. İndirgenmiş bir ∇ konneksiyonuna göre bir M lightlike hiperyüzeyinin
¯ konneksiyonuna göre M̄ nin bir geodeziği ise M ye M̄ nin bir total
her geodeziği, ∇
geodezik lightlike hiperyüzeyi denir [15].
Uyarı 3.3.3. S(T M ) integrallenebilir ise o zaman M, C × Ḿ manifold çarpımıdır.
Burada C null eğrisi ve Ḿ , S(T M ) nin bir kesitidir [15].
Önerme 3.3.2. (M, g, S(T M )), (M̄ , ḡ) semi-Riemann manifoldunun bir lightlike
hiperyüzeyi olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir.
i) S(T M ), indirgenmiş ∇ konneksiyonuna göre paraleldir.
ii) h∗ , M üzerinde sıfırdır.
iii) AN , M üzerinde sıfırdır [2].
Teorem 3.3.3. (M, g, S(T M )), (M̄ , ḡ) semi-Riemann manifoldunun ekran konformal
lightlike hiperyüzeyi olsun. Ekran distribüsyonu integrallenebilirdir. Ayrıca M nin
M̄ de total geodezik yada total umbilik olması için gerek ve yeter şart S(T M ) nin
her Ḿ kesiti M̄ de bir 2-codimension non-dejenere altmanifold olmasıdır [9].
34
İspat. (3.3.6) dan ekran distribüsyonunun integrallenebilir olması için gerek ve yeter
şart M nin şekil operatörünün indirgenmiş g metrik tensörüne göre simetrik olması
gerektiği biliniyor. İntegrallenebilirlik idaası, AN = ϕA∗ξ ve g ye göre A∗ξ nin simetrik
olmasını gerektirir. Ekran distribüsyonunun Ḿ kesitinin vektör alanları X, Y olsun.
h́, da 2-codimension non-dejenere altmanifold Ḿ kesitinin ikinci temel formu olsun.
∇∗ , Ḿ de Levi-Civita konneksiyonu olmak üzere,
¯ X Y = ∇∗X Y + C(X, Y )ξ + B(X, Y )N
∇
olup buradan, ∀X, Y ∈ Γ(T Ḿ |U ) için
¯ X Y = ∇∗ Y + g(A∗ X, Y )(ϕξ + N )
∇
X
ξ
bulunur. Böylece
p
1
ϕ
ξ+p
N)
2 | ϕ |B(X, Y )( p
2|ϕ|
2|ϕ|
p
N, Ḿ üzerinde birim normal vektör alanıdır. 2 | ϕ |
h́(X, Y ) = B(X, Y )(ϕξ + N ) =
elde edilir. Burada √ϕ ξ+ √1
2|ϕ|
2|ϕ|
sıfırdan farklı ve ∀X ∈ Γ(T Ḿ ) için B(X, ξ) = 0 olduğundan teoremin son iddiasıda
ispatlanmış olur.
3.4
Ekran Distribüsyonunun Tekliği
Lightlike uzaylarda indirgenmiş nesnelerin tanımlanmasında yardımcı olan bir
non-dejenere S(T M ) ekran distribüsyonu kullanılmasına rağmen dejenere metrikten
dolayı S(T M ) tek değildir.
Bu yüzden birkaç indirgenmiş goemetrik nesnenin
ekranın seçilmesine bağlı olması bir proplem yaratır. Bu sebeble M üzerinde indirgenmiş
nesnelerin iyi tanımlanmış olması bir tek veya kanonik ekran distribüsyonuna bakmak
gerekir.
(3.2.2) ve (3.2.4) den
F = {ξ, N, Wα } , α ∈ {1, ...., m}
(3.4.1)
ile verilen M boyunca M̄ nin bir quasi-ortonormal bazı vardır. Burada {ξ} , {N }
ve {Wα } sırasıyla Γ(RadT M |U ), Γ(tr(T M |U )) nin null bazı ve Γ(S(T M |U )) nun
35
n
o
ortonormal bazıdırlar. Aynı ξ için sırasıyla {S(T M ), tr(T M )} ve Ś(T M ), (tr´)(T M )
n
o
tarafından U ⊂ M üzerinde indirgenmiş F = {ξ, N, Wα } , F́ = ξ, Ń , Ẃα iki
quasi-ortonormal çatı alanı olsun. (3.2.4) ve (3.2.6) kullanılarak
Ẃα =
m
X
Wab (Wb − b fb ξ)
b=1
Ń = N + f ξ +
m
X
fα Wα
α=1
elde edilir. Burada {α } , {Wα } ve Wab ortonormal bazlarının işaretidir. f ve fα , U
üzerinde diferensiyellenebilir fonksiyonlardır öyleki Wab , m×m tipinde yarı-ortogonal
matrislerdir. (3.2.6) ve ḡ(Wα , Wα ) = 1 kullanılarak ḡ(Ń , Ń ) = 0 hesaplanırsa
m
X
2f +
a (fa )2 = 0
a=1
bulunur. Bu denklem yukarıdaki iki denklemde yerine yazılırsa,
Ẃα =
m
X
Wab (Wb − b fb ξ)
(3.4.2)
b=1
1
Ń = N −
2
( m
X
)
2
a (fa )
a=1
ξ+
m
X
fα Wα
(3.4.3)
α=1
elde edilir. Bu iki denklem, bazdaki bir değişmeye göre {S(T M ), tr(T M )} çiftinden
biri değiştiği zaman indirgenmiş nesnelerin dönüşümünü incelemek için kullanılır.
Önerme 3.4.1. (M, g, S(T M )), (M̄ , ḡ) semi-Riemann manifoldunun bir lightlike
hiperyüzeyi olsun. O zaman
a) M nin ikinci temel formu B, S(T M ) den bağımsızdır.
b) B ve τ 1-formu (Weingarten denkleminde) bir ξ ∈ Γ(RadT M |U ) kesitinin
seçilmesine bağlıdır.
c) dτ, ξ kesitinden bağımsızdır [13].
İspat. S(T M ) ve S(T M ´), sırasıyla tr(T M ) ve tr(T M ´) ye karşılık gelen h ve h́
ikinci temel formlarına sahip M üzerinde iki ekran olsun. Her iki ekran için (3.2.7)
ve (3.2.9) kullanılırsa,
¯ X Y, ξ) = B́(X, Y ) , ∀X, Y ∈ Γ(T M |U )
B(X, Y ) = ḡ(∇
36
(3.4.4)
bulunur. Böylece, U üzerinde B = B́ olup a) sağlanır. Bazı α fonksiyonları için
ξ¯ = αξ alalım. O zaman N̄ = ( α1 )N dir. (3.2.12) ve (3.2.13) den ∀X ∈ Γ(T M |U )
için
B́ = αB , τ (X) = τ̄ (X) + X(log α)
(3.4.5)
elde edilir. Buradan B ve τ , U üzerinde ξ kısmına bağlı olup b) ispatlanmış olur.
Son olarak (3.4.5) in ikinci kısmının her iki tarafının dış türevi alınırsa dτ = dτ̄ elde
edilir ve c) sağlanır. Böylece ispat tamamlanmış olur.
S(T M ) ekran distribüsyonu üzerinde ∇, τ, AN , A∗ξ indirgenmiş nesnelerin bağımlılığını
çalışmak için, transversal demeti tr(T M ´) olan diğer bir S(T M ´) ekran distribüsyonu
n
o
´ µ́, ÁN , Á∗ alalım. Sırasıyla
ve ona göre indirgenmiş nesnelerin kümesi olarak da ∇,
ξ
n
o
{S(T M ), tr(T M )} ve S(T M ´), (tr´)(T M ) tarafından U ⊂ M koordinat komşuluğu
n
o
üzerinde indirgenmiş iki quasi-ortonormal çatı alanı F = {ξ, N, Wα } , F́ = ξ, Ń , Ẃα
olmak üzere. (3.4.4) ve (3.4.5) dönüşüm denklemleri kullanılarak,
( ( m
)
)
m
X
X
´ X Y = ∇X Y + B(X, Y ) 1
∇
a (fa )2 ξ −
fα W α
2 a=1
α=1
τ́ (X) = τ (X) + B(X, Ń − N )
ÁŃ X = AN X +
m
X
(3.4.6)
(3.4.7)
a fa X(fa ) − τ (X)a (fa )2 ξ
(3.4.8)
a=1
−
m X
1
a=1
2
2
a (fa ) B(X, Ń − N ) + fa C(X, Wα ) ξ
m n
o
X
fa (τ (X)) + B(X, Ń − N ) − X(fa ) Wα
+
a=1
m
m
X
1X
∗
−
fa ∇ X W α −
a (fa )2 A∗ξ X
2 a=1
a=1
Á∗ξ X = A∗ξ X + B(X, N − Ń )ξ , ∀X, Y ∈ Γ(T M |U )
(3.4.9)
olacak şekilde S(T M ) ve S(T M ´) ye göre Gauss-Weingarten denklemleri tarafından
indirgenmiş geometrik nesneler arasındaki bağıntılar elde edilir.
37
Önerme 3.4.2. (M, g, S(T M )), bir semi-Riemann manifoldunun bir lightlike hiperyüzeyi
olsun. M üzerindeki indirgenmiş ∇ konneksiyonu, (3.2.10) deki τ 1-formu ve (3.2.22)
deki A∗ξ şekil operatörünün S(T M ) nin bağımsız elemanları olması için gerek ve yeter
şart M nin h ikinci temel formunun M üzerinde sıfır olmasıdır [9].
Uyarı 3.4.1. (3.4.8) den AN şekil operatörü S(T M ) nin seçilişine bağlıdır aksi
takdirde h, M üzerinde sıfır olur [13].
Önerme 3.4.3. S(T M ) ve S(T M ´) ekranlarının sırasıyla C ve Ć ikinci temel formları,
Ć(X, P Y ) = C(X, P Y ) −
ile verilir. Burada W =
m
P
1
kW k2 B(X, Y ) + g(∇X P Y, W )
2
(3.4.10)
fa Wa ya karakteristik vektör alanı denir [13].
a=1
İspat. (3.4.3) ve (3.4.6) kullanılarak,
´ X P Y, Ń )
Ć(X, P Y ) = ḡ(∇
(
m
m
X
1 X
fa Wα
( a (fa )2 )ξ −
= ḡ ∇X P Y + B(X, Y )
2 a=1
a=1
!
m
X
fa Wα
= ḡ (∇X P Y, N ) + ḡ ∇X P Y,
)
!
, Ń
a=1
(
+ B(X, Y )
m
m X
m
X
1 X
g(fa Wα , fb Wb
( a (fa )2 ) −
2 a=1
b=1 a=1
= C(X, P Y ) + g(∇X P Y, W ) −
)
1
kW k2 B(X, Y )
2
elde edilir ve bu istenilen formüldür.
(3.2.22), (3.2.23) ve (3.3.1) den M ve S(T M ) nin sırasıyla B ve C ikinci temel
formları arasındaki bağıntı ∀X, Y ∈ Γ(T M |U ) için
C(X, P Y ) = ϕB(X, Y )
(3.4.11)
şeklindedir. S(T M ) nin birinci türevi, ∀x ∈ M için
S 1 (x) = span {[X, Y ] |x , Xx , Yx ∈ S(Tx M )}
(3.4.12)
olsun. S(T M ) ve S(T M ´), M üzerinde iki ekran distribüsyonu ve tr(T M ) ve tr(T M ´)
ye göre ikinci temel formları aynı ξ ∈ Γ(T M ⊥ |U ) için sırasıyla h ve h́ olsun. g metrik
38
tensörüne göre (3.4.10) dan W =
m
P
fa Wα vektör alanının dual 1-formu w olmak
a=1
üzere ∀X ∈ Γ(T M ) için
w(X) = g(X, W )
(3.4.13)
dir.
Aşağıdaki teorem bir tek ekran distribüsyonunun varlığındaki temel sonuçtur.
Teorem 3.4.1. (M, g, S(T M )), (M̄ , ḡ) semi-Riemann manifoldunun bir ekran konformal
lightlike hiperyüzeyi ve S 1 , (3.4.12) de verilen S(T M ) nin birinci türevi olsun. O
zaman
i) (3.3.1) i sağlayan M nin seçilen bir S(T M ) ekran distribüsyonu integrallenebilirdir.
ii) (3.4.13) deki w 1-formu, S 1 de sıfırdır.
iii) S 1 , S(T M ) ile çakışırsa o zaman M , bir ortogonal dönüşüm kadar bir tek
ekran distribüsyonu ve bir tek lightlike transversal vektör demeti meydana getirebilir.
Ancak, hiperyüzeylerin bu sınıfı için C ekran ikinci temel formu onun seçilişinden
bağımsızdır [13].
İspat. (3.2.22) den her lightlike hiperyüzeyi için, S(T M ) nin A∗ξ şekil operatörü g
ye göre simetriktir. Yani, ∀X, Y ∈ Γ(S(T M )) ve ξ ∈ Γ(RadT M ) için
g(A∗ξ X, Y ) = g(A∗ξ Y, X)
dir. Bu sonuç ve (3.4.10) eşitliği, teorem3.3.2. ile birlikte M ekran konformal
lightlike hiperyüzeyinin seçilen her ekran distribüsyonu integrallenebilirdir anlamına
gelir ve bu i) yi sağlar. S(T M ) integrallenebilir iken, S 1 onun altdemetidir. (3.4.10)
eşitliğinin sağ tarafı X ve Y de simetrik olduğundan, ∀X, Y ∈ Γ(T M ) için
g(∇X P Y − ∇Y P X, W ) = 0
elde edilir. Böylece, ∀X, Y ∈ Γ(S(T M )) için g(∇X Y − ∇Y X, W ) = 0 olur yani
∀X, Y ∈ Γ(S(T M )) için w([X, Y ]) = g([X, Y ] , W ) = 0 olup ii) sağlanır. S 1 =
S(T M ) olsun. (3.4.13) den W = 0 olup , w S(T M ) de sıfırdır. Bu da fα fonksiyonlarının
sıfır olması anlamına gelir. Böylece (3.4.3) ve (3.4.4) dönüşüm denklemleri Ẃα =
m
P
Wαb ve Ń = N haline gelir. Burada Wαb , M nin her x noktasında S(Tx M ) nin bir
b=1
ortogonal matrisidir. Böylece, iii) ün ilk kısmı sağlanmış olur. C nin bağımsızlığı
(3.4.10) da W = 0 yazılarak sağlanır ve ispat tamamlanmış olur.
39
Bu teoremden;
a) Rqm+2 bir semi-Öklidyen uzayın her lightlike hiperyüzeyi için standart bir ekran
distribüsyonu vardır. Özellikle , Rqm+2 nin bir lightlike konisi üzerinde standart ekran
distribüsyonu integrallenebilirdir.
b) R1m+2 nin her lightlike hiperyüzeyinde standart ekran distribüsyonu integrallenebilirdir.
Sonuçları elde edilir.
Her ekran konformal lightlike hiperyüzeyi bir integrallenebilir ekran distribüsyonu
meydana getirmesine rağmen, her integrallenebilir ekran bir kanonik ekran ile çakışmaz.
Yani, S 1 6= S(T M ) olan durumlar da vardır. Aşağıdaki örnek bununla ilgilidir.
Örnek 3.4.1. Ω, Rm+1 in açık bir kümesi olmak üzere F : Ω → R diferensiyellenebilir
bir fonksiyon olsun. O zaman
M = (x0 , ....., xm+1 ) ∈ Rqm+2 : x0 = F (x1 , ....., xm+1 )
bir monge hiperyüzeyidir. M üzerindeki doğrusal parametrizasyon
x0 = F (v 0 , ....., v m+1 ); xα+1 = v α , α ∈ {0, ....., m}
dir. Sonuç olarak M üzerinde doğal çatıların alanı
∂v α = F́xα+1 ∂x0 + ∂xα+1 , α ∈ {0, ....., m}
ile tanımlıdır. O zaman, T M ⊥
ξ = ∂x0 −
q−1
X
F́xs ∂xs +
s=1
m+1
X
F́xα ∂xα
α=q
ile tanımlı olur. Bu yüzden M nin lightlike olması için gerek ve yeter şart, ξ vektör
alanı RadT M ile tanımlı olacak şekilde F nin,
q−1
m+1
X
X
1+
(F́xs )2 =
(F́xα )2
s=1
α=q
kısmi diferansiyel denkleminin bir çözümü olmasıdır. M boyunca Γ(T Rqm+2 ) nin
V ∗ = ∂x0 sabit timelike kısmı olmak üzere ḡ(V ∗ , ξ) = −1 olup buradan V ∗ , M
için tanjant değildir. Bu yüzden H ∗ = span {V ∗ , ξ} vektör demeti M üzerinde
non-dejeneredir. T Rqm+2 de H ∗ için S ∗ (T M ) tamamlayıcı vektör demeti RadT M
40
için tamamlayıcı olup M üzerinde non-dejenere distribüsyondur. Böylece, S ∗ (T M ), M
üzerinde bir ekran distribüsyonudur. (tr)∗ (T M ) transversal demeti, N = −V ∗ + 21 ξ
ve ∀X ∈ Γ(T M ) için τ (X) = 0 dır. Gerçekten,
¯ X N, ξ) = 1 ḡ(∇
¯ X ξ, ξ) = 0
τ (X) = ḡ(∇
2
dır. Bu yüzden Weingarten denklemleri,
1
AN X = A∗ξ X , ∀X ∈ Γ(T M )
2
eşitliğini sağlayan
¯ X N = −AN X ve ∇X ξ = −A∗ X
∇
ξ
denklemlerine indirgenir. Sonuç olarak, Rqm+2 nin her lightlike monge hiperyüzeyi
ϕ(x) =
1
2
sabit pozitif konformal fonksiyonu ile ekran konformaldır.
S ∗ (T M ) ye doğal ekran distribüsyonu denir. Ayrıca, yukarıdaki yapıdan sadece
q = 1 durumunda, doğal ve kanonik ekran distribüsyonları lightlike monge hiperyüzeyleri
üzerinde çakıştığı görülebilir. Ancak genelde doğal ve kanonik ekran distribüsyonları
aşağıdaki örnekte açıklandığı gibi farklıdırlar.
Örnek 3.4.2. M : x3 = x0 + 12 (x1 + x2 )2 , R24 de bir lightlike hiperyüzey olsun.
∂
∂
⊥
1
2 ∂
1
2 ∂
T M = span ξ =
+ (x + x ) 1 − (x + x ) 2 + 3
∂x0
∂x
∂x
∂x
= RadT M
olduğu kolaylıkla görülebilir. tr(T M ) lightlike transversal vektör demetini,
N=
1
∂
∂
∂
∂
( 0 + (x1 + x2 ) 1 + (x1 + x2 ) 2 − 3 )
1
2
2
2(1 + (x + x ) ) ∂x
∂x
∂x
∂x
bir vektör alanı ile tanımlı olarak alalım. Buradan, S(T M ) kanonik ekran distribüsyonu,
∂
∂
1
2 ∂
1
2 ∂
W1 =
− (x + x ) 0 , W2 =
+ (x + x ) 3
∂x1
∂x
∂x2
∂x
ile tanımlıdır. Diğer taraftan, R24 nin bir monge hiperyüzeyi olarak M için yukarıdaki
yapıya bakılırsa, o zaman doğal ekran distribüsyonu
∂
∂
∗
1
2 ∂
∗
1
2 ∂
W1 =
+ (x + x ) 3 , W2 =
+ (x + x ) 3
∂x1
∂x
∂x2
∂x
ile tanımlanmış olup yukarıdaki kanonik ekran distribüsyonu ile çakışmaz.
41
Teorem 3.4.2. (M, g, S(T M )), (M̄qm+2 , ḡ) semi-Riemann manifoldunun bir lightlike
hiperyüzeyi ve E sabit bir kovaryant timelike vektör alanı olmak üzere S(T M )⊥ de
T M ⊥ nin tamamlayıcı vektör demeti olsun. RadT M nin bir ξ kesitine göre, M
ekran konformaldir. Böylece M integrallenebilir bir tek ekran distribüsyonu meydana
getirebilir [13].
İspat. M boyunca V ∈ Γ(E) bir birim timelike sabit kovaryant vektör alanı olsun.
(3.2.5) de verilen şartları sağlayan, ḡ(V, ξ) 6= 0 olan RadT M nin bir ξ kesiti seçilsin.
Hesaplamalarda kolaylık için, ḡ(V, ξ) = θ−1 alınsın.
Buradan, ß= span {V, ξ}
vektör demeti M de non-dejeneredir. ß için T M̄ de RadT M için tamamlayıcı olan
non-dejenere bir S(T M ) ortogonal tamamlayıcı vektör demeti alınsın. M üzerinde
ekran distribüsyonu olarak seçilen S(T M ) nin, M üzerinde bir ekran distribüsyonu
olması ß=S(T M )⊥ anlamına gelir. Bu eşitlik ve (3.2.5) kullanılarak, M nin null
transversal vöktör demeti,
θ
N = θ(V + ξ)
2
şeklinde olur. (3.2.12) ve (3.2.21) de (3.4.14) kullanılarak,
¯ X ξ, ξ)
¯ X N, ξ) = X(θ)ḡ(V, ξ) + 1 (θ)2 ḡ(∇
τ (X) = ḡ(∇
2
(3.4.14)
(3.4.15)
= X(θ).(θ)−1 = X(Inθ)
elde edilir. τ nun bu değeri, (3.4.14) ve (3.2.10) kullanılarak,
¯ X N = X(θ)V + θX(θ)ξ + 1 (θ)2 ∇
¯ Xξ
∇
2
1
1
= X(θ)V + θX(θ)ξ − (θ)2 A∗ξ X
2
2
(3.4.16)
denklemi elde edilir. Diğer tarftan (3.2.13) de τ nun değeri yerine yazılırsa
¯ X N = −AN X + X(θ)V + 1 θX(θ)ξ
∇
2
(3.4.17)
bulunur. (3.4.16) ve (3.4.17) eşit olduğundan
AN = (
elde edilir. Böylece tanım gereği M, ϕ =
θ2 ∗
)A
2 ξ
θ2
2
konformal fonksiyonu ile M̄ nin bir ekran
konformal lightlike hiperyüzeyidir. Son olarak, bir integrallenebilirliğin ve bir tek
S(T M ) ekran distribüsyonunun varlığı teorem3.4.1 den görülür.(Eğer S 1 = S(T M )
varsa). Böylece ispat tamamlanmış olur.
42
3.5
İndirgenmiş Skalar Eğrilik
Bu bölümde bir (M̄ , ḡ) semi-Riemann manifoldunun bir (M, g, S(T M )) lightlike
hiperyüzeyinin yeni bir kavramı olan indirgenmiş skalar eğrilik incelenecektir.
¯ Levi-Civita konneksiyonunun M ve S(T M ) üzerinde ∇ ve ∇∗
M̄ üzerinde ∇
indirgenmiş konneksiyonlarının eğrilik tensörleri sırasıyla R̄, R ve R∗ olsun. tr(T M )
ye ait h(X, Y ) ikinci temel formundan
(∇X h)(Y, Z) = ∇tX (h(Y, Z)) − h(∇X Y, Z) − h(Y, ∇X Z)
dir. Koszul formülü, (3.2.7) ve (3.2.8) kullanılarak ∀X, Y, Z ∈ Γ(T M ) için
R̄(X, Y )Z = R(X, Y )Z + Ah(X,Z) Y − Ah(Y,Z) X + (∇X h)(Y, Z) − (∇Y h)(X, Z)
elde edilir. R̄ eğrilik tensörü (0,4) tipinde olsun. Yukarıdaki denklemler ve M ile
S(T M ) için Gauss-Weingarten denklemleri, ∀X, Y, Z, W ∈ Γ(T M ), U ∈ Γ(RadT M ),
V ∈ Γ(tr(T M )) için
ḡ(R̄(X, Y )Z, P W ) = g(R(X, Y )Z, P W ) + ḡ(h(X, Z), h∗ (Y, P W ))
(3.5.1)
− ḡ(h(Y, Z), h∗ (X, P W ))
ḡ(R̄(X, Y )Z, U ) = ḡ((∇X h)(Y, Z) − (∇Y h)(X, Z), U )
(3.5.2)
ḡ(R̄(X, Y )Z, V ) = ḡ(R(X, Y )Z, V )
(3.5.3)
dir. (3.5.1), (3.5.2) ve (3.5.3) denklemlerine M lightlike hiperyüzeyi için global
Gauss-Codazzi tipi denklemler denir. Şimdi U ⊂ M üzerinde bir {ξ, N } null çiftine
göre lokal Gauss-Weingarten denklemleri kullanılarak ∀X, Y, Z, W ∈ Γ(T M |U ) için
(∇X B)(Y, Z) = X(B(Y, Z)) − B(∇X Y, Z) − B(Y, ∇X Z)
olup,
ḡ(R̄(X, Y )Z, P W ) = g(R(X, Y )Z, P W ) + B(X, Z)C(Y, P W )
(3.5.4)
− B(Y, Z)C(X, P W )
ḡ(R̄(X, Y )Z, ξ) = (∇X B)(Y, Z) − (∇Y B)(X, Z) + B(Y, Z)τ (X)
− B(X, Z)τ (Y )
43
(3.5.5)
ḡ(R̄(X, Y )Z, W ) = ḡ(R(X, Y )Z, N )
g(R(X, Y )P Z, P W ) = g(R∗ (X, Y )P Z, P W ) + C(X, P Z)B(Y, P W )
(3.5.6)
(3.5.7)
− C(Y, P Z)B(X, P W )
denklemleri elde edilir. (3.5.6) nın sağ kısmında semi-Riemann eğrilik tensörünün
tanımı ve (3.2.7) kullanılarak ∀X, Y, Z ∈ Γ(T M |U ) için
ḡ(R̄(X, Y )P Z, N ) = (∇X C)(Y, P Z) − (∇Y C)(X, P Z)
(3.5.8)
+ τ (Y )C(X, P Z) − τ (X)C(Y, P Z)
ḡ(R̄(X, Y )ξ, N ) = C(Y, A∗ξ X) − C(X, A∗ξ Y ) − 2dτ (X, Y )
(3.5.9)
elde edilir. Buradan,
(∇X C)(Y, P Z) = X(C(Y, P Z)) − C(∇X Y, P Z) − C(Y, ∇∗X P Z)
bulunur.(3.5.9) da dış türev formülü kullanılarak,
dτ (X, Y ) =
1
{X(τ (Y )) − Y (τ (X)) − τ ([X, Y ])}
2
elde edilir.
İndirgenmiş Ricci Eğriliği : M̄ nin R̄ic indirgenmiş Ricci tensörünün (3.2.8)
eşitliği kullanılarak R(0,2) , ∀X, Y ∈ Γ(T M ) için
R(0,2) (X, Y ) = tr {Z → R(X, Z)Y }
(3.5.10)
ile verilen M üzerinde bir (0,2) tensör olsun. Yukarıdaki lokal sonuçlar kullanılarak,
Ric(X, Y ) = g ij g(R(X,
δ
δ
δ
)Y,
)
+
g(R(X,
)Y, N )
δui
δuj
δu0
elde edilir. Buradan,
δ
δ
δ
δ
Ric(X, Y ) − Ric(Y, X) = g
C(X, j )B(Y, i ) − C(Y, j )B(X, i )
δu
δu
δu
δu
∂
+ ḡ(R̄(X, Y ) 0 , N )
∂u
ij
bulunur.
44
Teorem 3.5.1. (M, g, S(T M )), (M̄ , ḡ) semi-Riemann manifoldunun bir lightlike
hiperyüzeyi olsun. ∇ indirgenmiş konneksiyonunun Ricci tensörünün simetrik olması
için gerek ve yeter şart S(T M ) tarafından indirgenmiş her τ 1-formunun kapalı
olmasıdır. Yani her U ⊂ M üzerinde dτ = 0 olmasıdır [13].
Önerme 3.5.1. (M, g), (M̄ , ḡ) nin bir lightlike hiperyüzeyi olsun. ∇ nın Ricci
tensörü simetrik ise o zaman U ⊂ M üzerinde bir {ξ, N } vektör çifti vardır öyleki
Weingarten denklemindeki τ 1-formu sıfır olur.
R(0,2) nin simetrik olmadığı yukarıdakilerden açıktır. Bu yüzden genelde bu
bir tensör niceliğidir. Bu aşağıdaki alternatif yolu doğrulamayabilir. Şimdi E =
{ξ, N, Wα }, M̄ üzerindeki çatı alanına uygun olsun. RadT M = Span {ξ} ve S(T M ) =
Span {Wα } olacak şekilde M üzerinde bir {ξ, Wα } quasi-ortonormal bazı olsun. O
zaman α , Wα vektör alanının causal karekterini (±1) göstermek üzere
R
(0,2)
(X, Y ) =
m
X
α g(R(X, Wα )Y, Wα ) + ḡ(R(X, ξ)Y, N )
(3.5.11)
α=1
elde edilir. Gauss-Codazzi denklemleri kullanılarak,
g(R(X, Wα )Y, Wα ) = ḡ(R̄(X, Wα )Y, Wα )
+ B(X, Y )C(Wα , Wα ) − B(Wα , Y )C(X, Wα )
elde edilir. (3.5.11) de (3.2.23) ve (3.2.24) kullanılarak ∀X, Y ∈ Γ(T M ) ve R̄ic, M̄
nin Ricci tensörü için
R(0,2) (X, Y ) = R̄ic(X, Y ) + B(X, Y )trAN − g(AN X, A∗ξ Y ) − ḡ(R(ξ, Y )X, N )
(3.5.12)
bulunur. Bu yüzden R(0,2) simetrik değildir.
Tanım 3.5.1. (M, g, S(T M )), (M̄ , ḡ) semi-Riemann manifoldunun bir lightlike hiperyüzeyi
olsun.
(3.5.10) ile verilen M nin bir R(0,2) tensör alanı simetrik ise R(0,2) ye
indirgenmiş Ricci tensörü denir [13].
Teorem 3.5.2. (M, g, S(T M )), c sabit eğrilikli (M̄ n+2 (c), ḡ) semi-Riemann manifoldunun
ekran konformal lightlike hiperyüzeyi olsun. O zaman M, indirgenmiş bir Ricci
tensör meydana getirir [5].
45
İspat. M nin Ricci tensörünün genel ifadesinden,
R0,2 (X, Y ) = R̄ic(X, Y )− ḡ(R(ξ, Y )X, N )+B(X, Y )trAN −g(AN X, A∗ξ Y ) (3.5.13)
yazılabilir. M̄ n+2 (c) non-dejenere iken R̄ic(ξ, Y )X = ∓cḡ(X, Y )ξ dir. + yada −
olması eğrilik tensörünün tanımına bağlıdır. İşaret − alınırsa, (3.5.13) den,
Ric(X, Y ) = R̄ic(X, Y ) + cḡ(X, Y ) + B(X, Y )trAN − g(AN X, A∗ξ Y )
elde edilir. g ve B simetrik olduğundan,
R0,2 (X, Y ) − R0,2 (Y, X) = g(AN Y, A∗ξ X) − g(AN X, A∗ξ Y )
dir.Böylece,
R0,2 (X, Y ) − R0,2 (Y, X) = ϕg( A∗ξ , A∗ξ Y, X) = 0
olup ispat tamamlanır.
Önerme 3.5.2. M̄ semi-Riemann manifoldunun bir (M, g) lightlike hiperyüzeyinin
Ricci tensörü, RadT M nin bir null kesitinin seçilişinden bağımsızdır.[5]
İspat. {ξ, N, W1 , .....Wm }, (3.2.6) deki ayrışıma uyarlanmış M boyunca M̄ üzerinde
0 0
0 0
0 0
bir quasi-ortonormal baz olsun. Başka bir ξ , N , W1 , .....Wm bazını alalım ve ξ , N
0
0
0
vektör çifti de R ic Ricci tensörüne uygun olsun. O zaman, ξ = αξ ve N = ( α1 )N
bağıntıları kullanılarak, bazı diferensiyellenebilir α > 0 fonksiyonları için, (3.5.11)
0
deki R ic in ifadesine göre,
0
R ic(X, Y ) = Ric(X, Y ) , ∀X, Y ∈ Γ(T M )
olduğu anlaşılır. Böylece ispat tamamlanır.
İndirgenmiş Skalar Eğrilik : {ξ; Wα } , T M̄ için bir {ξ; Wα , N } çatısından
indirgenmiş T M için quasi-ortonormal çatısı olacak şekilde S(T M ) = Span {W1 , .....Wm }
ve RadT M = Span {ξ} olsun. (3.5.10) da X = Y alınırsa,
R
(0,2)
(X, X) =
m
X
g(R(X, Wb )X, Wb ) + ḡ(R(X, ξ)X, N )
b=1
46
(3.5.14)
olur. X yerine ξ alınıp (3.5.4), (3.5.5) ve (3.5.9) kullanılarak
R
(0,2)
(ξ, ξ) =
=
m
X
α=1
m
X
g(R(ξ, Wα )ξ, Wα ) − ḡ(R(ξ, ξ)ξ, N )
(3.5.15)
g(R(ξ, Wα )ξ, Wα )
α=1
elde edilir. Burada (3.5.9) dan dolayı ikinci kısım sıfır olur. Her X yerine S(T M )
nin Wα baz vektörü alınıp, toplam alınırsa,
)
( m
m
m
X
X
X
R(0,2) (Wα , Wα ) =
g(R(Wα , Wb )Wα , Wb )
α=1
+
α=1
m
X
(3.5.16)
b=1
ḡ(R(Wα , ξ)Wα , N )
α=1
bulunur. Sonuç olarak, (3.4.15) ve (3.4.16) eklenirse
r=R
(0,2)
(ξ, ξ) +
m
X
R(0,2) (Wα , Wα )
(3.5.17)
α=1
( m
)
m
X
X
g(R(Wα , Wb )Wα , Wb )
=
α=1
+
m
X
b=1
{g(R(ξ, Wα )ξ, Wα ) + ḡ(R(Wα , ξ)Wα , N )}
α=1
ile verilen skalar bir r elde edilir.
Bir (M̄ , ḡ) semi-Riemann manifoldunun bir lightlike hiperyüzeyi (M, g, S(T M ))
olsun. Eğer indirgenmiş g |S(T M ) metrik tensörü sabit s işaretli ise lightlike hiperyüzeye
s genusludur denir
Bir semi-Riemann manifoldun lightlike hiperyüzeyinin skalar eğriliğini çalışmak
için yukarıdaki genel konsept geçerli olmasına rağmen bu tezde sadece bir M̄ Lorentzian
manifoldu üzerinde çalışıldı. O zaman M nin S(T M )0 ekranı ile sıfır genuslu bir
lightlike hiperyüzeyi olduğu söylenir. Sıfır genuslu bir lightlike hiperyüzeyinin sınıfı
C [M ]0 = [(M, g, S(T M ))]0 ile gösterilmek üzere,
a) M, bir kanonik yada tek S(T M ) ekran distribüsyonu meydana getirir.
b) M, bir Ric indirgenmiş simetrik Ricci tensörü meydana getirir
Tanım 3.5.2. (M, g, ξ, N ), C [M ]0 ye ait olsun. (3.5.17) ile verilen r skalarına M
nin sıfır genuslu indirgenmiş skalar eğriliği denir [13].
47
Teorem 3.5.3. (M, g, S(T M )), (M̄ (c), ḡ) Lorentzian manifoldun bir ekran konformal
lightlike hiperyüzeyi olsun. S 1 , (3.4.12) ile verilen S(T M ) nin birinci türevi olmak
üzere Eğer S 1 , S(T M ) ile çakışıyorsa o zaman M , C [M ]0 a aittir. Lightlike hiperyüzeylerin
bu sınıf sıfır genuslu indirgenmiş skalar eğrilik meydana getirir [13].
İspat. S 1 = S(T M ) olduğundan Teorem 3.4.1 den M, (a) şartını sağlayan indirgenmiş
bir tek lightlike transversal vektör demeti olan bir tek S(T M ) ekran distribüsyonu
meydana getirir. (b) şartı da Teorem 3.5.2 den bir simetrik Ricci tensör alanı
meydana getiren M̄ (c) nin bir M ekran konformal sınıfının var olduğunu gösterir.
Teorem 3.5.4. (M̄ , ḡ) Lorentzian manifoldun bir lightlike hiperyüzeyi (M, g, S(T M ))
olsun. E, S(T M )⊥ de T M ⊥ in tamamlayıcı vektör demeti olacak şekilde E, bir
kovaryant sabit timelike vektör alanı meydana getirir. M nin bir simetrik Ricci
tensör alanı meydana getirdiğini kabul edelim. O zaman M, C [M ]0 ın bir elemanıdır.
Sonuç olarak, lightlike hiperyüzeylerin bu sınıfı sıfır genuslu indirgenmiş skalar eğriliğini
meydana getirir [13].
Özel Sınıf : (M, g, S(T M ), ξ, N ), c sabit eğrilikli M̄ (c) yönlendirilebilir spacetime
manifoldunun bir lightlike hiperyüzeyinin sınıfı olsun. M̄ (c) nin R̄ eğrilik tensörü
R̄(X, Y )Z = c {ḡ(Y, Z)X − ḡ(X, Z)Y }
(3.5.18)
ile verilir. (3.5.6) da (3.5.18) kullanılırsa ḡ(R(X, ξ)Y, N ) = −cḡ(X, Y ) olur. Bu
sonuç ve (3.5.4) de (3.5.18) kullanılarak (3.5.11) eşitliği,
Ric(X, X) =
m
X
g(R(X, Wb )X, Wb ) − cḡ(R(X, X)
(3.5.19)
b=1
=
m
X
B(Wb , X)C(X, Wb ) − B(X, X)C(Wb , Wb ) − cmḡ(X, X)
b=1
denklemine indirgenir. Böylece Ric(ξ, ξ) = 0 dan (3.5.15) ve (3.5.16) denklemleri
( m
)
m
m
X
X
X
B(Wb , Wa )C(Wa , Wb ) − B(Wa , Wa )C(Wb , Wb )
Ric(Wa , Wa ) =
a=1
a=1
b=1
(3.5.20)
− cm2
=r
48
denklemine indirgenir. Yukarıdakilerden hareketle bu C [M ]0 sınıfı için indirgenmiş
Ricci tensör ve M nin skalar eğriliği, Ric |S(T M ) ve r |S(T M ) den biri bilinirse tespit
edilebilir. Daha doğrusu,
Ric = Ric |S(T M ) , r = r |S(T M ) −cm2
(3.5.21)
dir. Teorem 3.4.5 in ispatından ve (3.4.11) den
1
C(X, P W ) = θ2 B(X, W ), θ−1 = ḡ(V, ξ), ∀X, W ∈ Γ(T M )
2
olduğu biliniyor. Bu durum kullanılarak (3.5.20) den,
( m
)
m
1 2X X r= θ
(B)2 (Wa , Wb ) − B(Wa , Wa )B(Wb , Wb ) − cm2
2 a=1 b=1
elde edilir. 3 ve 4-boyutlu M̄ (c) için r nin değeri sırasıyla
r = −c ve r = θ2 (B)2 (W1 , W2 ) − B(W1 , W1 )B(W2 , W2 ) − 4c
dir.
49
(3.5.22)
BÖLÜM 4
LİGHTLİKE HİPERYÜZEY ÇEŞİTLERİ
4.1
Lightlike Einstain Hiperyüzeyler
Tanım 4.1.1. (M̄ , ḡ), (m+2)-boyutlu bir semi-Riemann manifold olsun. k̄ bir sabit
olmak üzere R̄ic = k̄ḡ ise M̄ manifolduna Einstain manifold denir. Ayrıca, M̄
nin Einstain olması için gerek ve yeter şart r̄, M̄ nin skalar eğriliği olmak üzere
k̄ =
r̄
(m+2)
olmasıdır. Bir (M, g, S(T M )) lightlike Einstain hiperyüzeyinin geometrik
konsepti, onun skalar eğriliğini içermelidir. Bu yüzden iyi tanımlanmış bir lightlike
Einstain hiperyüzey konsepti, hesaplanabilir bir indirgenmiş skalar eğrilikden bir
simetrik Ricci tensör form meydana getiren M yi sağlaması gerekir [13].
Tanım 4.1.2. (M̄ , ḡ) semi-Riemann manifoldun bir lightlike Einstain hiperyüzeyi
(M, g, S(T M )) olsun. g non-dejenere durumda iken ∀X, Y ∈ Tp M için
B(X, Y )p = ag(X, Y )p
ise M nin bir p noktasına umbilik nokta denir. Burada a ∈ R olup p ye bağlıdır. M
nin her noktası umbilik yani ρ diferensiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere B = ρg
ise M ye total umbilik denir [13].
Önerme 4.1.1. (M̄ , ḡ) semi-Riemann manifoldun bir lightlike Einstain hiperyüzeyi
(M, g, S(T M )) olsun. M nin total umbilik olması için gerek ve yeter şart her bir U
üzerinde
A∗ξ (P X) = ρP X, ∀X ∈ Γ(T M |U )
(4.1.1)
olacak şekilde bir ρ vardır [13].
Önerme 4.1.2. (M̄ , ḡ) semi-Riemann manifoldun bir lightlike Einstain hiperyüzeyi
(M, g, S(T M )) olsun. ρ, diferensiyellenebilir bir fonksiyon olmak üzere,
B = 0 ⇐⇒ ρ = 0
ise M, M̄ de total geodeziktir [13].
50
Total geodezik lightlike hiperyüzeylerdeki genel sonuçlar aşağıda verilmiştir.
Teorem 4.1.1. (M, g, S(T M )), (M̄ , ḡ) semi-Riemann manifoldunun bir lightlike
hiperyüzeyi olsun. Aşağıdaki ifadeler denktir:
i) M total geodeziktir.
ii) h, M üzerinde sıfırdır.
iii) ∀U ∈ Γ(RadT M ) için A∗U , M üzerinde sıfırdır.
iv) M üzerinde bir tek ∇ metrik konneksiyonu vardır.
v) RadT M , ∇ ya göre paralel distribüsyondur.
vi) RadT M , M üzerinde Killing distribüsyondur [13].
İspat. i) ve ii) nin denkliği (3.2.7) eşitliği non-dejenere altmanifoldlar durumundayken
çıkar.
(3.2.11) ve (3.2.14) kullanılarak ii) ve iii) nin denkliği elde edilir.
iii)
ve v) in denklikleri (3.2.7) den açıktır. (3.4.5) in ikinci sonucuyla ii) ve iv) nin
denkliği elde edilir. Sonuç olarak, (3.2.6) den g(∇X ξ, Z) = −B(X, Z) denkleminden
(∇X g)(ξ, Z) = B(X, Z) elde edilir. Daha sonra
(Lξ g)(X, Z) = g(∇X ξ, Z) + g(∇Z ξ, X) = −2B(X, Z)
olup ii) ve vi) nin denkliği sağlanmış olur. (M, g, S(T M )), sabit c eğrilikli (M̄ (c), ḡ)
semi-Riemann manifoldun bir total geodezik lightlike hiperyüzeyi olsun. (2.3.7) den
R̄(ξ, Y )X = ḡ(X, Y )ξ
bulunur. (3.5.6) dan
ḡ(R̄(ξ, Y )X, N ) = ḡ(R(ξ, Y )X, N )
olduğundan (3.5.12) ve teorem 3.5.1 in ii) ve iii) şıkları kullanılarak ḡ simetrik
olduğundan
Ric(X, Y ) = R̄ic(X, Y ) − cḡ(X, Y )
simetrik denklemi elde edilir.
Önerme 4.1.3. M̄ (c) nin her total goedezik lightlike hiperyüzeyi, indirgenmiş Ricci
tensör içerir.
51
Total umbilik lightlike hiperyüzeyler için aşağıdaki sonuçlar mevcuttur.
i) c 6= 0 olmak üzereM̄ (c) de total goedezik ekran distribüsyonu için lightlike
olmayan hiperyüzeyler vardır.
ii) Proper total umbilik ekran distribüsyonu için M̄ (c) nin her lightlike hiperyüzeyi,
M̄ (c) de ya total umbiliktir yada total geodezik immerseddir.
iii) Bir 3-boyutlu Lorentz manifoldun her lightlike yüzeyi ya total umbiliktir
yada total geodeziktir [13].
Tanım 4.1.3. (M, g, S(T M )), (M̄ , ḡ) (m+2-boyutlu) semi-Riemann manifoldunun
bir lightlike hiperyüzeyi olmak üzere M, indirgenmiş simetrik Ricci tensörü Ric i
içersin. O zaman m > 1 iken k sabit olmak üzere
Ric(X, Y ) = kg(X, Y ) , ∀X, Y ∈ Γ(T M )
(4.1.2)
ise M ye bir Einstain hiperyüzey denir [13].
Önerme 4.1.4. (M̄ (c), ḡ) nin bir ekran homothetic lightlike hiperyüzeyi (M, g, S(T M ))
olsun. ϕ sıfırdan farklı bir sabit olmak üzere
2ϕτ (ξ)B(X, P Z) = cg(X, P Z)
dir [13].
İspat. M̄ , c sabit eğrilikli olduğundan (3.5.18) den
(∇X B)(Y, Z) − ∇Y B)(X, Z) = B(X, Z)τ (Y ) − B(Y, Z)τ (X)
dir. Diğer taraftan (3.5.5), (3.5.8) ve son eşitlik kullanılarak
2ϕ {B(X, P Z)τ (Y ) − B(Y, P Z)τ (X)} = c {g(Y, P Z)µ(X) − g(X, P Z)µ(Y )}
bulunur. Bu eşitlikte Y yerine ξ yazılırsa
2ϕτ (ξ)B(X, P Z) = −cg(X, P Z)
elde edilir.
Uyarı 4.1.1. Yukarıdaki önermenin hipotezine göre, eğer τ = 0 ise o zaman c = 0
dir. Eğer τ (ξ) 6= 0 ise o zaman M, M̄ de total umbiliktir. O halde Önerme 3.5.2
den ve bu uyarıdan τ = c = 0 bulunur [13].
52
r=
m+2
P
α Ric(Ei , Ei ) = g ij Rij olarak tanımlanmış M̄ nin r̄ skalar eğriliği ve M
α=1
nin r skalar niceliği sırasıyla
r̄ = R̄ic(N, N ) +
m
X
α R̄ic(Wα , Wα )
α=1
r=R
(0,2)
(ξ, ξ) +
m
X
α R(0,2) (Wα , Wα )
α=1
ile verilen R
(0,2)
den elde edilmişti. Bu eşitlikler ve (3.5.12) kullanılarak
R(0,2) (ξ, ξ) = R̄ic(ξ, ξ)
R(0,2) (Wα , Wα ) = R̄ic(Wα , Wα ) + g(A∗ξ Wα , Wα )tr(AN )
− g(AN Wα , A∗ξ Wα ) − ḡ(R(ξ, Wα )Wα , N )
elde edilir. Böylece,
r = r̄ + trA∗ξ AN − tr(A∗ξ N )
−
m
X
(4.1.3)
α ḡ(R(ξ, Wα )Wα , N ) + ḡ(R̄(N, Wα )Wα , N )
α=1
bulunur. M̄ Lorentzian uzay formu olduğundan
R̄(ξ, Y )X − cḡ(X, Y )ξ , R̄ic(X, X) = (m + 1)cḡ(X, Y )
ve
r̄ = cm(m + 1), ḡ(R̄(N, Wα )Wα , N ) = 0
bulunur. Böylece,
R(0,2) (X, Y ) = mcg(X, Y ) + B(X, Y )tr(AN )
(4.1.4)
r = m2 c + trA∗ξ trAN − tr(A∗ξ AN )
(4.1.5)
olur. (4.1.4), (4.1.5) ve M nin Einstain olma özellikleri kullanılarak
r = Ric(ξ, ξ) +
m
X
α Ric(Wα , Wα )
α=1
m
X
= kg(ξ, ξ) + k
α=1
= km
53
α g(Wα , Wα )
(4.1.6)
bulunur. Böylece,
Ric(X, Y ) = (
r
)g(X, Y )
m
(4.1.7)
elde edilir.
k=
r
m
sabitinden de görüldüğü gibi bu denklem lightlike Einstain hiperyüzeylerin
bir geometrik yorumunu sağlar. ξ, sıfır özdeğerine karşılık gelen A∗ξ nin bir özvektör
alanı ve A∗ξ , reel simetrik Γ(S(T M )) değerli olduğundan A∗ξ , S(T M ) de m-reel
ortonormal özvektör alanına sahiptir.
{ξ, E1 , ....Em } A∗ξ nin özvektörlerinin bir özçatı alanı olmak üzere {E1 , ....Em } ,
S(T M ) nin bir ortonormal çatı alanı olsun. O zaman
A∗ξ Ei = λi Ei , 1 ≤ i ≤ m
dir. M ekran konformal ve Ric = kg olduğundan (4.1.4) denklemi,
g(A∗ξ X, A∗ξ Y ) − sg(A∗ξ X, Y ) + ϕ−1 (k − mc)g(X, Y ) = 0
(4.1.8)
denklemine indirgenir. Burada s = trA∗ξ dir. (4.1.8) de X = Y = Ei yazılırsa λi ,
x2 − sx + ϕ−1 (k − mc) = 0
(4.1.9)
denkleminin bir çözümü olur.
(4.1.9) denklemi, U üzerinde reel değerli fonksiyonlar olan en çok iki farklı çözüme
sahip olur. p ∈ {0, 1, ..., m} olmak üzere λ1 = ..... = λp = α, λp+1 = ..... = λm = β
olarak alınırsa (4.1.9) dan
s = α + β = pα = (m − p)β ; αβ = ϕ−1 (k − mc)
olup,
(p − 1)α + (m − p − 1)β = 0
elde edilir.
M üzerinde
Dα = X ∈ Γ(T M ) | A∗ξ X = αP X , Dαs = Dα ∩ S(T M )
Dβ = U ∈ Γ(T M ) | A∗ξ U = βP U , Dβs = Dβ ∩ S(T M )
54
(4.1.10)
olacak şekilde Dα , Dβ , Dαs , Dβs distribüsyonlar olsun.
E1 , ....., Ep ∈ Γ(Dαs ) ve
Ep+1 , ....., Em ∈ Γ(Dβs ) olsun. (4.1.5) denklemi sadece bir çözüme sahiptir ⇐⇒ α =
β ⇐⇒ Dα = Dβ (= T M ). 0 < p < m ise o zaman Dα 6= Dβ ve Dα ∩ Dβ = RadT M
olur. m ≥ 2 ve Dα 6= Dβ durumunda p = 0 ise α, A∗ξ nin bir özdeğeri değildir ama
(4.1.9) un bir kökü ve Dα = RadT M ; Dβ = T M olur. Eğer p = m ise o zaman β,
A∗ξ nin bir özdeğeri değildir ama (4.1.9) un bir kökü ve Dα = T M ; Dβ = RadT M
olur
Lemma 4.1.1. Dα 6= Dβ ise o zaman Dα ⊥g Dβ ve Dα ⊥B Dβ dir [13].
İspat. 0 < p < m ise ∀X ∈ Γ(Dα ) için A∗ξ P X = A∗ξ X = αP X ve ∀U ∈ Γ(Dβ )
için A∗ξ P U = A∗ξ U = αP U bulunur. Böylece P projeksiyonu Dαs üzerinde Dα ve Dβs
üzerinde Dβ haritalıdır. P X ve P U reel simetrik tensör A∗ξ nin özvektör alanları
olduğundan sırasıyla farklı α ve β özdeğerlerine sahiptirler. P X 6= P U ve g(X, U ) =
g(P X, P U ) = 0 yani Dα ⊥g Dβ dir. Bir de B(X, U ) = g(A∗ξ X, U ) = αg(P X, P U ) =
0 olduğundan B(Dα , Dβ ) = 0 bulunur. Yani, Dα ⊥B Dβ olur. P = 0 yada P = m
ise o zaman sırasıyla Dα = RadT M ; Dβ = T M yada Dα = T M ; Dβ = RadT M dir.
Böylece Dα ⊥g Dβ ve Dα ⊥B Dβ bulunur.
Lemma 4.1.2. Dα 6= Dβ ise T M = RadT M ⊕orth Dαs ⊕orth Dβs dir. Dα = Dβ ise
o zaman T M = RadT M ⊕orth Dαs ⊕orth {0} dir [13].
İspat. 0 < p < m ise {Ei } , 1 ≤ i ≤ p ve {Eα } , p + 1 ≤ α ≤ m sırasıyla Dαs
ve Dβs nin vektör alanları ve Dαs ve Dβs , S(T M ) nin karşılıklı altdemet vektörleri
olmak üzere Dαs ve Dβs sırasıyla p ve m − p rankılı non-dejenere distribüsyonlardır
ve Dαs ∩ Dβs = {0} dır. Böylece, S(T M ) = Dαs ⊕orth Dβs bulunur. Dα = Dβ ve p = 0
ise o zaman, Dαs = {0} ve Dβs = S(T M ) olur. Dα 6= Dβ ise p = m ise o zaman
Dαs = S(T M ) ve Dβs = {0} olur ve S(T M ) = Dαs ⊕orth Dβs bulunur. Eğer Dα = Dβ
ise o zaman Dαs = Dβs = S(T M ) dir. Böylece (3.2.2) den bu lemma tamamlanır.
Lemma 4.1.3. Im (A∗ξ − αP ) ⊂ Γ(Dβs ); Im (A∗ξ − βP ) ⊂ Γ(Dαs ) dir [13].
İspat. (4.1.8) den 0 < p < m ise (A∗ξ )2 −(α+β)A∗ξ +αβP = 0 dır. Y ∈ Im (A∗ξ −αP )
olsun. O zaman X ∈ Γ(T M ) vardır öyle ki Y = (A∗ξ − αP )X ve (A∗ξ − βP )Y = 0
55
ve Y ∈ Γ(Dβ ) dir. Böylece, Im (A∗ξ − αP ) ⊂ Γ(Dβ ) bulunur. A∗ξ − αP morfizmi
Γ(S(T M )) boyunca Γ(T M ) haritalı olduğundan Im (A∗ξ − αP ) ⊂ Γ(Dβs ) bulunur.
Benzer olarak Im (A∗ξ − βP ) ⊂ Γ(Dαs ) bulunur.
Lemma 4.1.4. Dαs ve Dβs distribüsyonları her zaman integrallenebilirdir. Özellikle
Dα 6= Dβ ise Dα ve Dβ integrallenebilirdir [13].
İspat. Dα 6= Dβ ise ∀X, Y ∈ Γ(Dα ) ve Z ∈ Γ(T M ) için
(∇X B)(Y, Z) = −g (A∗ξ − αP )∇X Y, U + αB(X, Y )η(U )
+ (Xα)g(P Y, Z) + α2 η(Y )g(P X, Z)
bulunur. Bu eşitlik ve
(∇X B)(Y, Z) = −(∇Y B)(X, Z) = B(X, Z)τ (Y ) − B(Y, Z)τ (X)
denklemi kullanılarak
g((A∗ξ − αP ) [X, Y ] , Z) = Xα + ατ (X) − α2 η(X) g(P Y, Z)
− Yα + ατ (Y ) − α2 η(Y ) g(P X, Z)
(4.1.11)
bulunur. Z = U ∈ Γ(Dβs ) alınırsa o zaman
g((A∗ξ − αP ) [X, Y ] , U ) = 0
olur. Dβs non-dejenere ve Im (A∗ξ − αP ) ⊂ Γ(Dβ ) olduğundan (A∗ξ − αP ) [X, Y ] = 0
dir. Böylece [X, Y ] ∈ Γ(Dα ) olup Dα integrallenebilirdir. Benzer olarak, Dβ nin
de integrallenebilir olduğu bulunur. S(T M ) integrallenebilir olduğundan ∀X, Y ∈
Γ(Dαs ) için [X, Y ] ∈ Γ(Dα ) ve [X, Y ] ∈ Γ(S(T M )) dir. Böylece [X, Y ] ∈ Γ(Dαs ) ve
Dαs integrallenebilirdir. Dα = Dβ ise o zaman Dαs = Dβs = S(T M ) integrallenebilirdir.
Lemma 4.1.5. 0 < p < m iken
(dα + ατ − α2 η) |Dα = 0 ve (dβ + βτ − β 2 η) |Dβ = 0
dır [13].
56
İspat. (4.1.10) dan ∀X, Y ∈ Γ(Dα ) ve Z ∈ Γ(T M ) için
Xα + ατ (X) − α2 η(X) g(P Y, Z) = Yα + ατ (Y ) − α2 η(Y ) g(P X, Z)
dir. S(T M ) non-dejenere olduğundan
Xα + ατ (X) − α2 η(X) P Y = Yα + ατ (Y ) − α2 η(Y ) P X
bulunur. Bir X0 ∈ Γ(Dα ) vektör alanı olmak üzere M nin her bir x noktasında
olduğunu kabul edelim.
dα + ατ − α2 η (X0 ) 6= 0
O zaman f diferensiyellenebilir bir fonksiyon ve Y ∈
Γ(Dα ) için P Y = f P X0 dır. Buradan (Dα )x lifindeki bütün vektörler (P X0 )x
için doğrusaldır. Ancak boy((Dα )x ) = p + 1 > 1 iken bu bir çelişki olur. Böylece
(dα + ατ − α2 η) |Dα = 0 bulunur. Benzer şekilde (dβ + βτ − β 2 η) |Dβ = 0 bulunur.
Lemma 4.1.6. M, c sabit eğrilikli (M̄ (c), ḡ) Lorentzian manifoldun bir Einstain
ekran homothetic lightlike hiperyüzeyi olsun. 0 < p < m için α ve β nın, S(T M )
boyunca sabit olmaları için gerek ve yeter şart S(T M ) de τ = 0 olmasıdır [13].
İspat. Lemma 4.1.5 dan (dα + ατ ) |Dαs = 0 ve (dβ + βτ ) |Dβs = 0 olduğu biliniyor.
S(T M ) üzerinde τ = 0 olması için gerek ve yeter şart Dαs de dα = 0 ve Dβs de dβ = 0
olmasıdır. M ekran homothetic olduğundan τ = 0 ise Uyarı 4.1.1 den c = 0 dır.
(4.1.10) nun ikinci kısmını αβ = ϕ−1 γ sabit olup ispat tamamlanır.
(M, g, S(T M )), {ξ, N } kanonik null çifti ile birlikte artık bir Einstain ekran
homothetic lightlike hiperyüzey olarak adlandırılacak
Uyarı 4.1.2. 0 < p < m ise α ve β, T M boyunca sabit değildirler ama S(T M )
boyunca sabittirler. İleride α ve β, T M boyunca sabit olur ise Lemma 4.1.5 dan
her X ∈ Dα için η(X) = 0, ve her U ∈ Dβ için η(U ) = 0, bulunur. M üzerindeki
bir X vektör alanının S(T M ) ye ait olması için gerek ve yeter şart yerel olarak her
U ⊂ M üzerinde η(X) = 0 olmasıdır. Buradan Dα ve Dβ distribüsyonları S(T M )
nin vektör altdemetleridirler. Sonuç olarak, Dα = Dαs ve Dβ = Dβs bulunur. Bu
RadT M ⊂ Dα ve RadT M ⊂ Dβ için bir çelişkidir. Böylece α ve β, T M boyunca
sabit değildirler [13].
57
Uyarı 4.1.3. 0 < p < m ise X ∈ Γ(Dα ) ve U ∈ Γ(Dβ ) için
∇X U ∈ Γ(Dβ ) ; ∇U X ∈ Γ(Dα )
(4.1.12)
dir [13].
İspat. τ = 0 ile verilen (3.5.5) den ∀Z ∈ Γ(T M ) için
(∇X B)(U, Z) = (∇U B)(X, Z)
yani,
g( (A∗ξ − βP ))∇X U − (A∗ξ − αP )∇U X , Z) = 0
dir. S(T M ) non-dejenere olduğundan
(A∗ξ − βP ))∇X U = A∗ξ − αP )∇U X
olur. Bu eşitliğin sol kısmı Γ(Dαs ) de ve sağ kısmı Γ(Dβs ) de olduğundan
(A∗ξ − βP ))∇X U = 0 , (A∗ξ − αP )∇U X = 0
dır. Bu da ∇X U ∈ Γ(Dβ ) ve ∇U X ∈ Γ(Dα ) olduğunu gösterir. Böylece ispat
tamamlanır.
Lemma 4.1.7. 0 < p < m ise X, Y ∈ Γ(Dα ) ve U, V ∈ Γ(Dβ ) için
g(∇Y X, U ) = 0 ve g(X, ∇V U ) = 0
(4.1.13)
dir [13].
İspat. g(X, P U ) = 0 olduğundan
∇Y (g(X, P U )) − g(∇Y X, P U ) − g(X, ∇Y P U )
= B(X, Y )η(P U ) + B(Y, P U )η(X) = 0,
ve
∇V (g(U, P X)) − g(∇V U, P X) − g(U, ∇V P X)
= B(V, U )η(P X) + B(V, P X)η(U ) = 0
bulunur. Dα ⊥ Dβ ve B(Dα , Dβ ) = 0 olduğundan g(∇Y X, U ) = g(∇Y X, P U ) = 0
ve g(X, ∇V U ) = g(P X, ∇V U ) = 0 bulunur. Böylece ispat tamamlanır.
58
S(T M ) nin Ḿ kesiti Riemann ve S(T M ) = Dαs ⊥ Dβs olduğundan Ḿ = Mα xMβ
dir. Burada Dαs ve Dβs , (4.1.13) den dolayı Ḿ nin ∇∗ indirgenmiş konneksiyonuna
göre paralel distribüsyonlardır. Mα ve Mβ sırasıyla Dαs ve Dβs nin kesitleridir.
Teorem 4.1.2. (M̄ (c), ḡ), c sabit eğrilikli bir Lorentz manifoldun bir Einstain ekran
konformal lightlike hiperyüzeyi (M, g, S(T M )) olsun. C bir null eğrisi, Ḿ , S(T M )
nin bir integrallenebilir manifoldu ve Mα , Mβ da M nin bazı distribüsyonlarının
lifleri olmak üzere M bir yerel C × (Ḿ = Mα × Mβ ) üçlü çarpım manifoldudur [13].
Lemma 4.1.8. 0 < p < m ise γ = ϕαβ dir. Özellikle αβ = 0 dır [13].
İspat. X ∈ Γ(Dα ) ve U ∈ Γ(Dβ ) için
g(R(X, U )U, X) = g(∇X ∇U U, R)
dir. (4.1.12) eşitliğinin ikinci kısmından ∇U U, Dα bileşenine sahip değildir. P
projeksiyon morfizmi Γ(Dαs ) üzerinde Γ(Dα ) ve Γ(Dβs ) üzerinde Γ(Dβ ) haritalı ve
S(T M ) = Dαs ⊥ Dβs olduğundan
∇U U = P (∇U U ) + η(∇U U )ξ ; P (∇U U ) ∈ Γ(Dβs )
bulunur. Buradan,
g(∇X ∇U U, X) = g(∇X P (∇U U ), X) + ∇X (η(∇U U ))g(ξ, X) + η(∇U U )g(∇X ξ, X)
= −αη(∇U U )g(X, X)
dir. η(∇U U ) = ϕBg(U, U ) olduğundan
g(R(X, U )U, X) = −ϕαBg(X, X)g(U, U )
bulunur.
Teorem 4.1.3. (M̄ (c), ḡ) c sabit eğrilikli (m + 2) boyutlu Lorentz manifoldun bir
Einstain ekran homethetic lightlike hiperyüzeyi (M, g, S(T M )) olsun. c = 0 ve M
yerel lightlike C × (Ḿ = Mα × Mβ ) üçlü çarpım manifoldu olsun. C bir null
eğri, Ḿ , S(T M ) nin bir integrallenebilir manifoldu ve Mα , Mβ de M nin bazı
distribüsyonlarının lifleri olmak üzere
59
1) k 6= 0 ise Mα veya Mβ ya, biri m-pseudo küreye diğeri bir noktaya izometrik
olan ϕα2 yada ϕβ 2 sabit eğrilikli total umbilik Riemann manifold denir.
2) k = 0 ise Mα bir (m-1) veya m-boyutlu total geodezik Öklidyen uzaydır. Mβ
da M̄ de bir null olmayan eğri yada bir noktasıdır [13].
İspat. 1) k 6= 0 olsun. (trA∗ξ )2 6= 4ϕ−1 γ durumu : (4.1.9) deklemi α ve β gibi
sıfırdan farklı iki çözüme sahiptir. 0 < p < m ise Lemma 4.1.14 den γ = 0 çıkar.
Böylece p = 0 yada p = m dir. p = 0 ise α, A∗ξ şekil operatörünün bir özdeğeri
değildir ama (4.1.7) denkleminin bir çözümüdür. Buradan (4.1.10) denklemleri
s = α + β = mβ; αβ = ϕ−1 k denklemlerine indirgenir. p = m ise β, A∗ξ şekil
operatörünün bir özdeğeri değildir ama (4.1.9) denkleminin bir çözümüdür. Buradan
(4.1.10) denklemleri s = α + β = mα; αβ = ϕ−1 k denklemlerine indirgenir. sonuç
olarak, p = 0 yada p = m ise α ve β sabittirler. O halde Dαs = {0} ; S(T M ) = Dβs
yada S(T M ) = Dαs ; Dβs = {0} dir. (3.5.4) ve (3.5.7) den,
R∗ (X, Y )Z = ϕα2 {g(Y, Z)X − g(X, Z)Y } , ∀X, Y, Z ∈ Γ(Dα );
R∗ (U, V )W = ϕβ 2 {g(V, W )U − g(U, W )V } , ∀U, V, W ∈ Γ(Dβ )
elde edilir. Böylece sırasıyla Dα ve Dβ nın lifleri olan Mα veya Mβ ya, ϕα2 veya
ϕβ 2 sabit eğrilikli bir M ∗ Riemann manifolddurlar ve Dα ile Dβ nın diğer bir lifi
{x} noktasıdır. M ∗ = Mα ise ∀X, Y ∈ Γ(S(T M )) için B(X, Y ) = ϕαg(X, Y ) dir.
M ∗ = Mβ ise ∀U, V ∈ Γ(S(T M )) için B(U, V ) = βg(U, V ) olduğundan ∀U, V ∈
Γ(S(T M )) için C(U, V ) = ϕβg(U, V ) dir. Böylece M ∗ lifi, total geodezik olmayan
bir total umbiliktir. Sonuç olarak, M bir yerel C × M ∗ × {x} yada C × {x} ×
M ∗ çarpım manifoldudur. Burada M ∗ bir m-pseudo küreye izometrik olan ϕα2
yada ϕβ 2 sabit eğriliğinin yerel umbilik Riemann manifoldudur ve {x} bir noktadır.
(trA∗ξ )2 = 4ϕ−1 γ durumu : (4.1.9) denklemi, A∗ξ şekil operatörünün sadece bir tek
özdeğeri için sadece bir tek sıfırdan farklı sabit bir çözümü vardır. Bu durumda
(4.1.10) denklemleri s = 2α = mα ; α2 = ϕ−1 γ denklemlerine indirgenir. Böylece
m = 2 bulunur. (3.5.4) ve (3.5.9) dan
R∗ (X, Y )Z = k {g(Y, Z)X − g(X, Z)Y } , ∀X, Y, Z ∈ Γ(S(T M ))
60
dir. Böylece, M ∗ lifi sabit k eğrilikli bir Riemann 2-yüzeydir. ∀X, Y ∈ Γ(T M ) için
B(X, Y ) = αg(X, Y ) olduğundan ∀X, Y ∈ Γ(S(T M )) için C(X, Y ) = ϕαg(X, Y )
bulunur. Böylece M ∗ lifi, total geodezik olmayan bir total umbiliktir. Sonuç olarak,
M bir yerel CxM ∗ x {x} lokal çarpımıdır. Burada C, M̄ de bir null eğrisi ve M ∗ ,
2-pseudo küreye izometrik olan sabit eğrilikli bir Riemann 2-yüzeyidir. 2) k = 0
olsun. (4.1.9) denklemi
λi (λi − s) = 0, 1 ≤ i ≤ m
denklemine indirgenir. tr A∗ξ 6= 0 durumu : α = 0 ve β = s olsun. O zaman s = β =
(m − β)β yani (m − β − 1)β = 0 bulunur. Böylece p = m − 1 yani,


0






.






.




A∗ξ = 

.






.






0


β
dir. {ξ, E1 , ....Em } , A∗ξ nin özvektörlerinin çatı alanı olmak üzere {Ei }i , S(T M ) nin
bir ortonormal çatı alanıdır. 1 ≤ i < j ≤ m için B(Ei , Ej ) = C(Ei , Ej ) = 0 dır.
Böylece Dα nın Mα lifi, total geodesik (m-1)-boyutlu Riemann manifold ve Dβ nın
Mβ lifi, bir eğridir. (3.5.4) ve (3.5.7) den,
ḡ(R(Ei , Ej )Ej , Ei ) = g(R∗ (Ei , Ej )Ej , Ei ) = 0
elde edilir. Buradan Dα nın Mα lifinin K eğrilik kesiti,
K(Ei , Ej ) =
ḡ(R(Ei , Ej )Ej , Ei )
=0
g(Ei , Ei )g(Ej , Ej ) − g 2 (Ei , Ej )
ile verilir. Böylece Mα , (m-1)-boyutlu Öklidyen uzay ve Mβ de M̄ de bir eğri olmak
üzere M, CxMα xMβ yerel çarpımıdır. tr A∗ξ = 0 durumu : α = β = 0 ve A∗ξ = 0
yada eşdeğer olarak B = 0 ve Dαs = Dβs = S(T M ) dir. Böylece M, M̄ de total
geodeziktir. M ekran homothetic olduğu zaman C = AN = 0 dır. Böylece S(T M )
nin M ∗ lifi de total geodezik olur. M ∗ lifi için ∀X, Y tanjant vektör alanı için
61
¯ X Y = ∇∗ Y bulunur. Bu da M ∗ nin bir Öklidyen m-uzay olduğunu gösterir.
∇
X
Böylece M bir CxM ∗ x {x} lokal çarpımıdır.
4.2
Semi-Öklidyen Uzaylarda Semi-Simetrik Lightlike Hiperyüzeyler
(n+2)
Bu kısımda Rq
semi-Öklidyen uzayının bir lightlike hiperyüzeyi için Gauss
denklemi verilecektir. Sonra Minkowski spacetime’in her ekran konformal hiperyüzeyinin
semi-simetrik olduğu gösterilecek ve yüksek boyutlular için, bir M ekran konformal
lightlike hiperyüzeyinin semi-simetrik olma koşulu ile ekran distribüsyonunun semi-simetrik
olması koşulu arasında açık bir ilişki olduğu ifade edilecektir. Bundan sonra bir
lightlike hiperyüzey M ve AN de A ile tanımlanacaktır.
(n+2)
Önerme 4.2.1. Bir Rq
semi-Öklidyen uzayının bir lightlike hiperyüzeyi M olsun.
M nin Gauss denklemi ∀X, Y ∈ Γ(T M ) ve N ∈ Γ(ltr(T M )) için
R(X, Y )Z = B(Y, Z)AX − B(X, Z)AY
(4.2.1)
ile verilir [5].
_
İspat. M semi-Riemann manifoldun lightlike hiperyüzeyi için
_
R(X, Y )Z = R(X, Y )Z + Ah(X,Z) Y − Ah(Y,Z) X
(4.2.2)
+ (∇X h)(Y, Z) − (∇Y h)(X, Z)
_
_
olduğu biliniyor. Burada R ve R sırasıyla M ve M nin eğrilik tensör alanlarıdır.
(∇X h)(Y, Z) nin
(∇X h)(Y, Z) = ∇tX h(Y, Z) − h(∇X Y, Z) − h(Y, ∇X Z)
_
(n+2)
olduğu biliniyor. Bu varsayımla M = Rq
(4.2.3)
bir semi-Öklidyen uzaydır. Böylece
_
R = 0 bulunur. O zaman (4.2.2) ifadeside
R(X, Y )Z + Ah(X,Z) Y − Ah(Y,Z) X + (∇X h)(Y, Z) − (∇Y h)(X, Z) = 0
olur. Diğer taraftan (3.2.7) ve (3.2.12) den ∀X, Y ∈ Γ(T M ) ve N ∈ Γ(ltr(T M ))
için
h(X, Y ) = B(X, Y )N
62
dir. Böylece
R(X, Y )Z + B(X, Z)AN Y − B(Y, Z)AN X + (∇X h)(Y, Z) − (∇Y h)(X, Z) = 0
elde edilir. Yukarıdaki denklemin teğetsel ve transversal parçalarının karşılaştırılmasından
(4.2.1) elde edilir.
Genelde bir lightlike hiperyüzeyi için
g(R(X, Y )Z, W ) 6= −g(R(X, Y )W, Z) , ∀X, Y, Z, W ∈ Γ(T M )
olduğu söylenebilir.
(n+2)
Tanım 4.2.1. M , Rq
semi-Öklidyen uzayının bir lightlike hiperyüzeyi olsun.
X, Y, X1 , X2 , X3 , X4 ∈ Γ(T M ) için
(R(X, Y ).R)(X1 , X2 , X3 , X4 ) = 0
(4.2.4)
koşulu sağlanıyorsa M ye semi-simetrik denir. ξ ∈ Γ(T M ⊥ ) için
(R(X, Y ).R)(X1 , X2 , X3 , ξ) = 0
olduğunu kolayca görebiliriz. Böylece (4.2.4) koşulu, X, Y, X1 , X2 , X3 , X4 ∈ Γ(T M )
için
(R(X, Y ).R)(X1 , X2 , X3 , P X4 ) = 0
koşuluna eşdeğerdir. ∀X, Y, Z, W ∈ Γ(T M ) için genelde,
g(R(X, Y )Z, W ) 6= −g(R(X, Y )W, Z)
olduğundan (4.2.4) ve (4.2.5) denklemleri ∀X, Y, U, V, W ∈ Γ(T M ) için
(R(X, Y ).R)(U, V )W = R(X, Y )R(U, V )W − R(U, V )R(X, Y )W
− R(R(X, Y )U, V )W − R(U, R(X, Y )V )W
=0
63
(4.2.5)
eşitliği anlamına gelmez. (4.2.5) ve (4.2.1) den X, Y, X1 , X2 , X3 , X4 ∈ Γ(T M ) için
(R(X, Y ).R)(X1 , X2 , X3 , P X4 )
= B(Y, X1 ) B(AX, X3 )g(AX2 , P X4 ) − B(X2 , X3 )g(A2 X, P X4 )
+ B(X, X1 ) B(X2 , X3 )g(A2 Y, P X4 ) − B(AY, X3 )g(AX2 , P X4 )
(4.2.6)
+ g(AX1 , P X4 ) [−B(Y, X2 )B(AX, X3 ) + B(X, X2 )B(AY, X3 )]
+ B(X1 , X3 ) B(Y, X2 )g(A2 X, P X4 ) − B(X, X2 )g(A2 Y, P X4 )
+ g(AX1 , P X4 ) [−B(X3 , Y )B(X2 , AX) + B(X, X3 )B(X2 , AY )]
+ g(AX2 , P X4 ) [B(X3 , Y )B(X1 , A) − B(X, X3 )B(X1 , AY )]
+ B(X2 , X3 ) [−B(Y, X4 )g(AX1 , AX) + B(X, P X4 )g(AX1 , AY )]
+ B(X1 , X3 ) [B(Y, P X4 )g(AX2 , AX) − B(X, P X4 )g(AX2 , AY )]
elde edilir [5].
Önerme 4.2.2. Minkowski spacetime’in her ekran konformal lightlike hiperyüzeyi
bir semi-simetrik lightlike hiperyüzeydir [5].
İspat. Öncelikle (4.2.6) bağıntısından X, Y, X2 , X3 , X4 ∈ Γ(T M ) ve ξ ∈ Γ(RadT M )
için
(R(X, Y ).R)(ξ, X2 , X3 , P X4 )
= B(Y, ξ) B(AX, X3 )g(AX2 , P X4 ) − B(X2 , X3 )g(A2 X, P X4 )
+ B(X, ξ) B(X2 , X3 )g(A2 Y, P X4 ) − B(AY, X3 )g(AX2 , P X4 )
+ g(Aξ, P X4 ) [−B(Y, X2 )B(AX, X3 ) + B(X, X2 )B(AY, X3 )]
+ B(ξ, X3 ) B(Y, X2 )g(A2 X, P X4 ) − B(X, X2 )g(A2 Y, P X4 )
+ g(Aξ, P X4 ) [−B(X3 , Y )B(X2 , AX) + B(X, X3 )B(X2 , AY )]
+ g(AX2 , P X4 ) [B(X3 , Y )B(ξ, AX) − B(X, X3 )B(ξ, AY )]
+ B(X2 , X3 ) [−B(Y, X4 )g(Aξ, AX) + B(X, P X4 )g(Aξ, AY )]
+ B(ξ, X3 ) [B(Y, P X4 )g(AX2 , AX) − B(X, P X4 )g(AX2 , AY )]
64
olduğu biliniyor. (3.2.14) den,
(R(X, Y ).R)(ξ, X2 , X3 , P X4 )
= g(Aξ, P X4 ) [−B(Y, X2 )B(AX, X3 ) + B(X, X2 )B(AY, X3 )]
+ g(Aξ, P X4 ) [−B(X3 , Y )B(X2 , AX) + B(X, X3 )B(X2 , AY )]
+ B(X2 , X3 ) [−B(Y, P X4 )B(Aξ, AX) + B(X, P X4 )g(Aξ, AY )]
elde edilir. (3.2.1),
(R(X, Y ).R)(ξ, X2 , X3 , P X4 )
= ϕg(A∗ξ ξ, P X4 ) [−B(Y, X2 )B(AX, X3 ) + B(X, X2 )B(AY, X3 )]
+ ϕg(A∗ξ ξ, P X4 ) [−B(X3 , Y )B(X2 , AX) + B(X, X3 )B(X2 , AY )]
+ ϕB(X2 , X3 ) −B(Y, P X4 )B(A∗ξ ξ, AX) + B(X, P X4 )g(A∗ξ ξ, AY )
olup (4.2.2) ve (3.2.14) den A∗ξ ξ = 0 olur. Böylece
(R(X, Y ).R)(ξ, X2 , X3 , P X4 ) = 0
elde edilir. Benzer bir yolla, X1 , X2 , X3 , X4 ∈ Γ(T M ) ve ξ ∈ Γ(T M ⊥ ) için
(R(X, Y ).R)(X1 , X2 , ξ, P X4 ) = 0 , (R(ξ, Y ).R)(X1 , X2 , X3 , P X4 ) = 0
ve
(R(X, Y ).R)(X1 , ξ, X3 , P X4 ) = 0 , (R(X, ξ).R)(X1 , X2 , X3 , P X4 ) = 0
elde edilir. {X1 , X2 , ξ, N } , R14 in bir quasi ortonormal bazı olsun. Öyle ki S(T M )=span{X1 , X2 }
65
ve ltr(T M ) = span(N ) olsun. (4.2.6) dan,
(R(X1 , X2 ).R)(X1 , X2 , X1 , X2 )
= B(X2 , X1 ) B(AX1 , X1 )g(AX2 , X2 ) − B(X2 , X1 )g(A2 X1 , X2 )
+ B(X1 , X1 ) B(X2 , X1 )g(A2 X2 , X2 ) − B(AX2 , X1 )g(AX2 , X2 )
+ g(AX1 , X2 ) [−B(X2 , X2 )B(AX1 , X1 ) + B(X1 , X2 )B(AX2 , X1 )]
+ B(X1 , X1 ) B(X2 , X2 )g(A2 X1 , P X2 ) − B(X1 , X2 )g(A2 X2 , X2 )
+ g(AX1 , X2 ) [−B(X1 , X2 )B(X2 , AX1 ) + B(X1 , X1 )B(X2 , AX2 )]
+ g(AX2 , X2 ) [B(X1 , X2 )B(X1 , AX1 ) − B(X1 , X1 )B(X1 , AX2 )]
+ B(X2 , X1 ) [−B(X2 , X2 )g(AX1 , AX1 ) + B(X1 , X2 )g(AX1 , AX2 )]
+ B(X1 , X1 ) [B(X2 , X2 )g(AX2 , AX) − B(X1 , P X2 )g(AX2 , AX2 )]
olduğu biliniyor. AN X ∈ Γ(S(T M )), ∀X ∈ Γ(T M ) , N ∈ Γ(ltr(T M )) ve A = AN ,
S(T M ) üzerinde self-adjoint olduğundan,
(R(X1 , X2 ).R)(X1 , X2 , X1 , X2 )
= B(X2 , X1 ) [B(AX1 , X1 )g(AX2 , X2 − B(X2 , X1 )g(AX1 , AX2 )]
+ B(X1 , X1 ) [B(X2 , X1 )g(AX2 , AX2 ) − B(AX2 , X1 )g(AX2 , X2 )]
+ g(AX1 , X2 ) [−B(X2 , X2 )B(AX1 , X1 ) + B(X1 , X2 )B(AX2 , X1 )]
+ B(X1 , X1 ) [B(X2 , X2 )g(AX1 , AX2 ) − B(X1 , X2 )g(AX2 , AX2 )]
+ g(AX1 , X2 ) [−B(X1 , X2 )B(X2 , AX1 ) + B(X1 , X1 )B(X2 , AX2 )]
+ g(AX2 , X2 ) [B(X1 , X2 )B(X1 , AX1 ) − B(X1 , X1 )B(X1 , AX2 )]
+ B(X2 , X1 ) [−B(X2 , X2 )g(AX1 , AX1 ) + B(X1 , X2 )g(AX1 , AX2 )]
+ B(X1 , X1 ) [B(X2 , X2 )g(AX2 , AX) − B(X1 , P X2 )g(AX2 , AX2 )]
66
dir. Buradan (3.3.1) kullanılarak,
(R(X1 , X2 ).R)(X1 , X2 , X1 , X2 )
= ϕB(X2 , X1 ) B(AX1 , X1 )g(A∗ξ X2 , X2 ) − B(X2 , X1 )g(A∗ξ X1 , AX2 )
+ ϕB(X1 , X1 ) B(X2 , X1 )g(A∗ξ X2 , AX2 ) − B(AX2 , X1 )g(A∗ξ X2 , X2 )
+ ϕg(A∗ξ X1 , X2 ) [−B(X2 , X2 )B(AX1 , X1 ) + B(X1 , X2 )B(AX2 , X1 )]
+ ϕB(X1 , X1 ) B(X2 , X2 )g(A∗ξ X1 , AX2 ) − B(X1 , X2 )g(A∗ξ X2 , AX2 )
+ ϕg(A∗ξ X1 , X2 ) [−B(X1 , X2 )B(X2 , AX1 ) + B(X1 , X1 )B(X2 , AX2 )]
+ ϕg(A∗ξ X2 , X2 ) [B(X1 , X2 )B(X1 , AX1 ) − B(X1 , X1 )B(X1 , AX2 )]
+ ϕB(X2 , X1 ) −B(X2 , X2 )g(A∗ξ X1 , AX1 ) + B(X1 , X2 )g(A∗ξ X1 , AX2 )
+ ϕB(X1 , X1 ) B(X2 , X2 )g(A∗ξ X2 , AX) − B(X1 , P X2 )g(A∗ξ X2 , AX2 )
sonuçuna varılır ve (3.2.23) den,
(R(X1 , X2 ).R)(X1 , X2 , X1 , X2 )
= ϕB(X2 , X1 ) [B(AX1 , X1 )B(X2 , X2 ) − B(X2 , X1 )B(X1 , AX2 )]
+ ϕB(X1 , X1 ) [B(X2 , X1 )B(X2 , AX2 ) − B(AX2 , X1 )B(X2 , X2 )]
+ ϕB(X1 , X2 ) [−B(X2 , X2 )B(AX1 , X1 ) + B(X1 , X2 )B(AX2 , X1 )]
+ ϕB(X1 , X1 ) [B(X2 , X2 )B(X1 , AX2 ) − B(X1 , X2 )B(X2 , AX2 )]
+ ϕB(X1 , X2 ) [−B(X1 , X2 )B(X2 , AX1 ) + B(X1 , X1 )B(X2 , AX2 )]
+ ϕB(X2 , X2 ) [B(X1 , X2 )B(X1 , AX1 ) − B(X1 , X1 )B(X1 , AX2 )]
+ ϕB(X2 , X1 ) [−B(X2 , X2 )B(X1 , AX1 ) + B(X1 , X2 )B(X1 , AX2 )]
+ ϕB(X1 , X1 ) [B(X2 , X2 )B(X2 , AX) − B(X1 , P X2 )B(X2 , AX2 )]
elde edilir. B simetrik olduğundan direkt hesaplamalarla



(B(X2 , X1 ))2 B(X1 , AX2 )





−(B(X1 , X2 ))2 B(X2 , AX1 )
(R(X1 , X2 ).R)(X1 , X2 , X1 , X2 ) = ϕ


−B(X2 , X2 )B(X1 , X1 )B(X1 , AX2 )




 +B(X , X )B(X , X )B(X , AX )
1
1
2
2
2
1















(4.2.7)
67
elde edilir. Diğer taraftan (3.2.23) ve (3.3.1) den
B(AX2 , X1 ) = g(A∗ξ X1 , AX2 ) = g(ϕA∗ξ X1 , A∗ξ X2 ) = g(AX1 , A∗ξ X2 )
olduğu biliniyor. Böylece (3.2.23) kullanılırsa,
B(AX2 , X1 ) = B(X2 , AX1 )
(4.2.8)
elde edilir. O zaman (4.2.7) ve (4.2.8) den
(R(X1 , X2 ).R)(X1 , X2 , X1 , X2 ) = 0
olur. Benzer şekilde,
(R(X1 , X2 ).R)(X1 , X1 , X2 , X2 ) = (R(X1 , X2 ).R)(X2 , X1 , X1 , X2 ) = 0,
(R(X1 , X2 ).R)(X2 , X1 , X2 , X1 ) = (R(X1 , X2 ).R)(X2 , X2 , X1 , X1 ) = 0
ve
(R(X1 , X2 ).R)(X1 , X2 , X2 , X1 ) = 0
dir, böylece ispat tamamlanır.
Uyarı 4.2.1. (4.2.2) önermesinden, R14 in lightlike konisi,R14 in lightlike monge
hiperyüzeyi ve R13 in lightlike yüzeyleri semi-simetrik lightlike hiperyüzeyler için
örneklerdir. (4.2.1) önermeside 1 ≤ q < 4 için Rq4 semi-Öklidyen uzayı için geçerlidir
[12].
M, (n+2)−boyutlu semi-Öklidyen uzayın bir ekran konformal lightlike hiperyüzeyi
olsun. M nin ekran distribüsyonu integrallenebilirdir. Ekran distribüsyonunun bir
lif M p ile gösterilsin. Bu durumda aşağıdaki teorem verilebilir.
Teorem 4.2.1. M, bir (n + 2)−boyutlu semi-Öklidyen uzayın bir ekran konformal
lightlike hiperyüzeyi olsun. M nin semi-simetrik olması için gerek ve yeter şart
S(T M ) nin her M p lifinin semi-Öklidyen uzayda semi-simetrik olmasıdır [5].
İspat. (4.2.1) ve (3.3.1) kullanarak ∀X, Y, Z, W ∈ Γ(T M ) için
g(R(X, Y )P Z, P W ) = ϕ {B(Y, Z)B(X, P W ) − B(X, Z)B(Y, P W )}
68
(4.2.9)
elde edilir.
O zaman (3.2.21), (3.2.22), (3.2.24), (3.2.14) ve (3.3.1) bağıntıları
kullanılarak direkt hesaplamalarla ∀X, Y, Z, W ∈ Γ(T M ) için
g(R(X, Y )P Z, P W ) = g(R∗ (X, Y )P Z, P W )−ϕ {B(Y, P Z)B(X, P W ) + B(X, P Z)B(Y, P W )}
(4.2.10)
elde edilir, böylece (4.2.9) ve (4.2.10) dan,
g(R(X, Y )P Z, P W ) =
1
g(R∗ (X, Y )P Z, P W )
1+ϕ
(4.2.11)
çıkar. Diğer taraftan (3.2.24) ve (4.2.1) den
g(R(X, Y )Z, N ) = 0 , ∀X, Y, Z, ∈ Γ(T M ) , N ∈ Γ(tr(T M ))
(4.2.12)
elde edilir. Böylece (4.2.11) ve (4.2.12) den
R(X, Y )P Z =
1
R∗ (X, Y )P Z
1+ϕ
(4.2.13)
sonuçu çıkar. Eğrilik tensör alanının cebirsel özellikleri kullanılarak ∀X, Y, U, V, W ∈
Γ(S(T M )) için
(R(X, Y ).R)(U, V, W, Z) =
1
(R∗ (X, Y ).R∗ )(U, V, W, Z)
1+ϕ
(4.2.14)
dir, buradan ispat tamamlanır.
Uyarı 4.2.2. Yukarıdaki teoremden, (n + 2) boyutlu semi-öklidyen uzayın bir ekran
konformal lightlike hiperyüzeyinin semi-simetrikliliği, integrallenebilir ekran distribüsyonunun
bir M p lifinin semi-simetrikliliği ile ilişkilendirilebilir olduğunu gösterir. Lorentzian
durumda ekran distribüsyonu Riemannian olduğundan bir ekran konformal lightlike
hiperyüzeyinin semi-simetrikliliğini çalışmak bir Riemann manifold ile tamamen
aynıdır. Gerçekten, Teorem 4.2.1 in ispatından bir ekran konformal lightlike hiperyüzeyinin
eğrilik şartları, ekran distribüsyonunun bir lifinin eğrilik şartlarına indirgenebilir
olduğu görülebilir [12].
4.3
Semi-Öklidyen Uzaylarda Ricci Semi-Simetrik Lightlike
Hiperyüzeyler
Bu kısımda semi-Öklidyen uzayların Ricci semi-simetrik lightlike hiperyüzeyleri
ve Ricci semi-simetrik lightlike hiperyüzeylerden elde edilen bir şart altında total
69
geodezik çalışıldı. Ricci tensörü bakımından semi-Öklidyen uzayın semi-simetrik
lightlike hiperyüzeylerde bir ifadesi ele alınsın. Öncelikle bir lightlike hiperyüzeyin
Ricci tensörünün ifadesi gereklidir.
Lemma 4.3.1. M, bir (n+2)−boyutlu semi-Öklidyen uzayın bir lightlike hiperyüzeyi
olsun. O zaman M nin Ric, Ricci tensörü ∀X, Y ∈ Γ(T M ) için
n
X
Ric(X, Y ) = − i {B(X, Y )C(wi , wi )} − g(A∗ξ Y, AX)
(4.3.1)
i=1
ile verilir, burada i = ±1 ve {wi }ni=1 , S(T M ) nin bir ortonormal bazıdır [5].
İspat. Bir lightlike hiperyüzeyin Ricci tensörü, ∀X, Y ∈ Γ(T M ) , ξ ∈ Γ(T M ⊥ ) ve
N ∈ Γ(ltr(T M )) için
Ric(X, Y ) =
n
X
i g(R(X, wi )Y, wi ) − ḡ(R(X, ξ)Y, N )
i=1
ile verilir. Burada {wi }ni=1 , S(T M ) nin bir bazıdır. (3.2.24) ve (4.2.1) den
n
X
Ric(X, Y ) = − i {B(X, Y )C(wi , wi ) − B(Y, wi )C(X, wi )}
i=1
olduğu biliniyor. (3.2.24) ve (3.2.23) den,
n
n
X
X
Ric(X, Y ) = − i {B(X, Y )C(wi , wi )} − g( i g(A∗ξ Y, wi )wi , AX)
i=1
i=1
elde edilir, buradan
n
X
Ric(X, Y ) = − i {B(X, Y )C(wi , wi )} − g(A∗ξ Y, AX)
i=1
bulunmuş olur. Böylece ispat tamamlanır.
Tanım 4.3.1. M, bir semi-Öklidyen uzayın bir lightlike hiperyüzeyi olsun. M nin
Ricci semi-simetrik olması için, X, Y, X1 , X2 ∈ Γ(T M ) için
(R(X, Y ).Ric)(X1 , X2 ) = 0
(4.3.2)
olmasıdır. Birazdan verilecek teorem, bir semi-Öklidyen uzayın lightlike hiperyüzeyleri
geometrisinde Ricci semi-simetrik şartının sonuçlarını gösterecektir [5].
70
Teorem 4.3.1. M, bir (n+2)−boyutlu semi-Öklidyen uzayın bir Ricci semi-simetrik
lightlike hiperyüzeyi olsun. O zaman ya M geodeziktir yada ξ ∈ Γ(T M ⊥ ) için
Ric(ξ, Aξ) = 0 dır. Burada Ric, M nin Ricci tensör alanı ve A, (3.2.13) da
tanımlanan şekil operatörünü gösterir [5].
İspat. (4.2.1), (4.3.2) ve
(R(X, Y ).Ric)(X1 , X2 ) = −Ric(R(X, Y )X1 , X2 ) − Ric(X1 , R(X, Y )X2 )
denklemlerinden X, Y, X1 , X2 ∈ Γ(T M ) için


 −B(X, X )B(AY, X ) + B(Y, X )B(AX, X ) 
1
2
1
2
(R(X, Y ).Ric)(X1 , X2 ) = α
 −B(X, X )B(X , AY ) + B(Y, X )B(X , AX) 
2
1
2
1
− B(X, X1 )B(X2 , A2 Y ) + B(Y, X1 )B(X2 , A2 X)
− B(X, X2 )B(AY, AX1 ) + B(Y, X2 )B(AX, AX1 )
elde edilir. Burada α =
n
P
i C(wi , wi ) dir. M Ricci simetrik lightlike hiperyüzey
i=1
olsun. Yukarıdaki denklemde X1 = ξ alalım ve (3.2.14) eşitliğini kullanarak,
−B(X, X2 )B(AY, Aξ) + B(Y, X2 )B(AX, Aξ) = 0
elde edilir, Y = ξ için
B(X, X2 )B(Aξ, Aξ) = 0
çıkar. Eğer X, X2 ∈ Γ(T M ) için
B(X, X2 ) = 0
ise M total geodeziktir. Eğer M tamamen total değil ise
B(Aξ, Aξ) = 0
dır. O zaman (4.3.1) den
Ric(ξ, Aξ) = 0
elde edilir.
71
Teorem 4.3.2. M, bir (n+2)−boyutlu semi-Öklidyen uzayın bir lightlike hiperyüzeyi
olsun. Ric(ξ, X) = 0 , X ∈ Γ(T M ) , ξ ∈ Γ(T M ⊥ ) ve Aξ, null olmayan bir vektör
alanı olsun. O halde M nin semi-simetrik olması için gerek ve yeter şart M nin total
geodezik olmasıdır. Burada Ric, M nin Ricci tensörü ve A, M nin şekil operatörüdür
[5].
İspat. M, bir (n+2)−boyutlu semi-Öklidyen yüzeyin bir lightlike hiperyüzeyi olsun.
(4.2.6) da X1 = ξ alınırsa,
0 = {−B(Y, X2 )B(AX, X3 ) + B(X, X2 )B(AY, X3 )} g(Aξ, P X4 )
{−B(X3 , Y )B(X2 , AX) + B(X, X3 )B(X2 , AY )} g(Aξ, P X4 )
{−B(Y, P X4 )g(Aξ, AX) + B(X, P X4 )g(Aξ, AY )} B(X2 , X3 )
elde edilir, O zaman Y = ξ için
0 = −B(X, X2 )B(Aξ, X3 )g(Aξ, P X4 ) + B(X, X3 )B(X2 , Aξ)g(Aξ, P X4 )
+ B(X, P X4 )g(Aξ, Aξ)B(X2 , X3 )
olur. Böylece Ric(ξ, X) = 0 varsayımıyla B(X, Aξ) = 0 olur. Buradan,
B(X, P X4 )g(Aξ, Aξ)B(X2 , X3 ) = 0
elde edilir. Aξ null olmayan bir vektör alanıdır hipoteziyle X = X3 ve X4 = X2 için
B(X2 , X3 ) = 0
(n+2)
sonuçuna varılır. Böylece M, total geodeziktir. Tersi (4.2.6) dan açıktır. R1
lorentzian yüzeyi için aşağıdaki sonuç verilebir.
(n+2)
Sonuç 4.3.1. M, R1
lorentzian uzayın bir lightlike hiperyüzeyi olsun. ∀X ∈
Γ(T M ) , ξ ∈ Γ(T M ⊥ ) için Ric(ξ, X) = 0 olsun. M nin total geodezik olması için
gerekli ve yeterli şart M nin semi-simetrik olmasıdır. Burada Ric, M nin Ricci
tensörüdür [5].
(n+2)
İspat. Eğer M, R1
lorentzian uzayın bir lightlike hiperyüzeyi ise M nin ekran
distribüsyonu bir Riemannian vektör demetidir. (3.2.24) den AX ∈ Γ(S(T M )) ,
∀X ∈ Γ(T M ) olduğu görülebilir. Böylece bu ispat Teorem 4.3.2 den çıkar.
72
4.4
Paralel ve Semi-Paralel Lightlike Hiperyüzeyler
Bu kısımda bir Lorentzian manifoldun paralel lightlike hiperyüzeyler üzerinde bir
karekterisazyonu verilecektir. Gerçekten bir Lorentzian manifold da total geodezik
olmayan paralel lightlike hiperyüzeyler olmadığı gösterilecektir. Üstelik, bir semi-Öklidyen
uzayda lightlike hiperyüzeylerin geometrisinde semi-paralel olma şartının sonuçları
(etkileri) araştırılacaktır.
Teorem 4.4.1. M, M̄ lorentzian manifoldun bir lightlike hiperyüzeyi olsun. M nin
ikinci temel formunun paralel olması için gerek ve yeter şart M nin total geodezik
olmasıdır [5].
İspat. M bir lorentzian manifoldun bir lightlike hiperyüzeyi olsun. h ikinci temel
formu paralel olduğunu kabul edelim. O halde (4.2.3) ve (3.2.12) den
(∇X h)(Y, Z) = X(B(Y, Z)N ) − B(∇X Y, Z)N − B(Y, ∇X Z)N = 0
(4.4.1)
dır. (3.2.14) den Y = ξ için
−B(∇X ξ, Z)N = 0
elde edilir. (3.2.22) den
B(A∗ξ X, Z)N = 0
dır. Buradan
B(A∗ξ X, Z) = 0
çıkar. (3.2.14) eşitliği düşünülerek Z ∈ Γ(S(T M )) olduğu kabul edilebilir. Böylece,
(3.2.23) den g(A∗ξ X, A∗ξ Z) = 0 elde edilir. X = Z için g(A∗ξ X, A∗ξ X) = 0 olur. Diğer
taraftan bir Lorentzian manifoldun bir lightlike hiperyüzeyinin her S(T M ) ekran
distribüsyonu Riemanniandır. O zaman ∀X ∈ Γ(T M ) için A∗ξ X = 0 dır. Böylece
ispat bu eşitlik ve (3.2.14) eşitliğinden çıkar. Tersi açıktır.
Teorem 4.4.2. M, bir (n+2)−boyutlu semi-Öklidyen uzayın bir semi-paralel lightlike
hiperyüzeyi olsun. O zaman M, ya total goedeziktir yada ∀U ∈ Γ(S(T M )) ve
ξ ∈ Γ(T M ⊥ ) için C(ξ, A∗ξ U ) = 0 dır. C ve A∗ξ sırasıyla (3.2.24) ve (3.2.22) de
tanımlanan S(T M ) ekran distribüsyonunun ikinci temel formu ve şekil operatörüdür
[5].
73
İspat. M, bir semi-paralel lightlike hiperyüzey olduğundan
h(R(X, Y )Z, W ) + h(Z, R(X, Y )W ) = 0
dır. (4.2.1) kullanılarak ∀X, Y, Z, W ∈ Γ(T M ) için
B(X, Z)B(AY, W )−B(Y, Z)B(AX, W )+B(X, W )B(Z, AY )−B(Y, W )B(AX, Z) = 0
(4.4.2)
elde edilir. O zaman (3.2.14) ve (4.4.2) den X = ξ için
B(Y, Z)B(Aξ, W ) + B(Y, W )B(Aξ, Z) = 0
olur. W = Z için
B(Y, Z)B(Aξ, Z) = 0
elde edilir. Eğer B(Y, Z) = 0 ise M total geodeziktir. Eğer B(Y, Z) 6= 0 ise (3.2.24)
den ∀U ∈ Γ(S(T M )) için
C(ξ, A∗ξ U ) = 0
bulunur.
Örnek 4.4.1. R24 de
√ q
x1 = x2 + 2 x23 + x24
ile verilen bir M hiperyüzeyini düşünelim. M nin bir lightlike hiperyüzey olduğu
açıktır. Bu
ξ=
q
q
√
√
∂
∂
∂
∂
x23 + x24
− x23 + x24
+ 2x3
+ 2x4
∂x1
∂x2
∂x3
∂x4
ile hesaplanan radikal distribüsyondur. O zaman lightlike transversal vektör demeti,
q
q
√
√
1
∂
∂
∂
∂
(− x23 + x24
+ x23 + x24
+ 2x3
+ 2x4
)
tr(T M ) = span N =
4(x23 + x24 )
∂x1
∂x2
∂x3
∂x4
ile tanımlıdır. O zaman S(T M ) ekran distribüsyonunun karşılığı
∂
∂
∂
∂
+
, Z2 = −x4
+ x3
Z1 =
∂x1 ∂x2
∂x3
∂x4
ile tanımlıdır. Direkt hesaplamalarla ∀X ∈ Γ(T M ) için
¯ X Z1 = ∇
¯ Z1 X = 0 , ∇
¯ ξξ =
∇
√
74
¯ Z2 ξ = ∇
¯ ξ Z2 =
2ξ , ∇
√
2Z2 ,
ve
¯ Z2 Z2 = −x3 ∂ − x4 ∂
∇
∂x3
∂x4
elde edilir. Gauss förmülü kullanılarak,
√
1
∇X Z1 = 0 , ∇Z2 Z2 = − √ ξ , ∇ξ Z2 = ∇Z2 ξ = 2Z2 , ∇Z1 Z = 0
2 2
ve
√
B(Z2 , Z2 ) = − 2(x23 + x24 ) , B(Z1 , Z2 ) = 0 , B(Z1 , Z1 ) = 0
elde edilir. Diğer taraftan
∂
∂
1
¯ ξ N = √ p1
∇
− √ p 2
2 ∂x
2 ∂x
2
2 2 x3 + x4 1 2 2 x3 + x4 2
∂
∂
1
x3
1
x4
−
−−
2
2
2
2
2 (x3 + x4 ) ∂x3
2 (x3 + x4 ) ∂x4
¯ Z1 N = 0
∇
∂
∂
x3
¯ Z 2 N = − √ x4
+ √ 2
∇
2
2 ∂x
2 ∂x
2 2(x3 + x4 ) 3 2 2(x3 + x4 ) 4
dır. Böylece (3.2.13) Weingarten formülünden
1
Z2
AN ξ = 0 , AN Z1 = 0 , AN Z2 = √ 2
2 2(x3 + x24 )
olur. O zaman yukarıdaki denklemlerden biri aşağıdaki denklemlerin sağlandığını
gösterir.
(R(Z1 , Z2 )h)(Z1 , Z1 ) = 0 , (R(Z1 , Z2 )h)(Z1 , Z2 ) = 0 , (R(Z1 , Z2 )h)(Z2 , Z2 ) = 0
Sonuç olarak (3.2.14) ve (R(X, Y )h) ın tanımı kullanılarak,
(R(X, Y )h)(U, ξ) = 0 , ∀X, Y, U ∈ Γ(T M ) ve ξ ∈ Γ(T M ⊥ )
bulunur. Böylece M, R24 nin total geodezik olmayan semi-paralel hiperyüzeyidir.
75
KAYNAKLAR
[1] D.N.Kupeli, Singular Semi-Riemannian Geometry, Kluwer, Dordrecht, (1996)
[2] K.L.Duggal and A.Bejancu, Lightlike Submanifolds of Semi-Riemannian
Manifolds and Aplications, Kluwer. Dordrecht,(1996)
[3] A.Bejancu, Null Hypersurfaces
Math.J.Vol:14; 25-40 (1996)
in
Semi-Euclidean
Space,
Saitama
[4] C.I.Ioan, Totally Umbilical Lightlike Submanifolds, Tensor N.S.58 (1997) 18-30
[5] B.Şahin, Lightlike Hypersurfaces of Semi-Euclidean Spaces Satisfying
Curvature Conditions of Semi-Symmetry type, Turk J.Math 31. 139-162 (2007)
[6] B.Şahin, Manifoldların Diferensiyel Geometrisi, Nobel yayınları (2012)
[7] A.Bejancu and K.L.Duggal, Lightlike Submanifolds of Semi-Riemannian
manifolds Acta Appl.Math.38 197-215, (1995)
[8] B.O’Neill. Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity,
Academic Press, (1971)
[9] B.Y.Chen, Goemtry of submanifolds, Marcell Dekker Inc. (1973)
[10] C.Yıldırım, Belirsiz Sasakiyan Manifoldlarının Dejenere Altmanifoldların
Üzerine, Doktora Tezi, Malatya (2009)
[11] B.Şahin, CR-Altmanifoldların Geometrisi, Yüksek Lisans Tezi, İnönü Üniv.Fen
Bil.Enst. (1996)
[12] M.A.Akivis and V.V.Goldberg, Lightlike Hypersurface on a Four-Dimensional
Manifold Endowed With Pseudo Conformal Structure of Signature (2,2),
rendiconti del Seminario di Messina serie II (1999)
[13] K.L.Duggal-B.Şahin, Differential
Birkhauser Verlag, (2010)
Geometry
of
Lightlike
Submanifolds
[14] C.I.Ioan, Dejenerate Submanifolds of Semi-Riemann Manifolds, Tensor N.S.58
(1997) 1-7
[15] Atindogbe, C., Duggal,K.L.: Conformal Screen on Lightlike Hypersurfaces,
Int.J.Pure Appl.Math.11,4,421-442, (2004)
[16] E.Yaşar, Yarı-Riemann Manifoldunda Lightlike Hiperyüzeylerin Geometrisi
Üzerine, Doktora Tezi, Isparta (2006)
76
[17] B.O’Neill. Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity,
Academic Press, (1971)
[18] B.Şahin, Lightlike Altmanifoldların Geometrisi, Doktora Tezi, İnönü Üniv.Fen
Bil.Enst. (2000)
77
ÖZGEÇMİŞ
07 Eylül 1984 tarihinde Siirt’te doğdu. İlk ve orta öğrenimini Diyarbakır’da
tamamladı. 2003 yılında Dicle Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü
lisans programına kayıt yaptırdı ve Haziran 2007’de mezun oldu. 2007 yılında
Bozok Üniversitesi’nde memur olarak atandı. 2009 yılında kurumlar arası geçiş
ile Dicle Üniversitesi’ne tayin oldu.Halen Dicle Üniversitesi’nde memur olarak görev
yapmaktadır. Eylül 2009’da İnönü Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik
Bölümünde yüksek lisans programına başladı.
78