v - Pegem Akademi

ÖN SÖZ
Değerli Adaylar,
Okul ve meslek yaşamının en önemli sınavlarından birine, Kamu Personeli Seçme Sınavı(KPSS)’na hazırlanmaktasınız
ve buradaki başarınız gelecekteki iş yaşamınızı ciddi şekilde etkileyecek.
Türkçe, Matematik, Tarih, Coğrafya ve Anayasa gibi birbirinden çok farklı branş ve içerikten oluşan KPSS Genel YetenekGenel Kültür bölümü; hem Eğitim Bilimleri hem Alan Bilgisi hem de B grubu kadrolarına başvuracak öğrenciler için ortak ve
zorunludur. Bu bölümdeki başarı diğer bölümlerin de sonucunu haliyle doğrudan etkileyecektir. Bu bölümlerin içinde de tartışmasız en kapsamlı olanı ve altyapı gerektireni matematiktir. Elinizdeki kaynak da bu noktalar dikkate alınarak hazırlanmıştır.
Tüm bölümler; matematik altyapısı olmayan ya da öğrenim hayatına uzun süre ara vermiş öğrencilerin konuları aşama
aşama, kolaydan zora ve basitten karmaşığa doğru çalışabilecekleri şekilde planlanmıştır. Dolayısıyla öğrenciler, kitaptaki
açıklama ve uyarıları dikkate alarak ilerlediğinde ilgili konulardaki soruları rahatlıkla çözebildiklerini fark edecekler hem de
daha ileri konular için bir altyapı oluşturabileceklerdir.
Düzenli, sabırlı ve dikkatli bir çalışmayla matematiğin hiç de zor ve korkulacak bir ders olmadığını anlayacağınız bu kitap
temel bir başvuru kaynağıdır.
Kitabın çalışmalarınızda yararlı olması dileğiyle PEGEM AKADEMİ ailesi olarak KPSS ve meslek hayatınızda başarılar
dileriz.
Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker
İÇİNDEKİLER
MATEMATİK
Birinci Dereceden Denklemler 1 .......................................... 108
Doğal Sayı - Tam Sayı 1 ........................................................ 3
Birinci Dereceden Denklemler 2 .......................................... 112
Doğal Sayı - Tam Sayı 2 ........................................................ 7
Doğal Sayı - Tam Sayı 3 ........................................................ 11
Eşitsizlikler 1 ........................................................................ 114
Doğal Sayı - Tam Sayı 4 ........................................................ 13
Eşitsizlikler 2 ........................................................................ 118
Pozitif - Negatif Sayılar 1 ..................................................... 15
Mutlak Değer 1 .................................................................... 120
Pozitif - Negatif Sayılar 2 ..................................................... 20
Mutlak Değer 2 .................................................................... 124
Tek Sayı - Çift Sayı 1 ........................................................... 22
Üslü Sayılar 1 ...................................................................... 126
Tek Sayı - Çift Sayı 2 ........................................................... 27
Üslü Sayılar 2 ...................................................................... 130
Ardışık Sayılar 1 .................................................................. 29
Ardışık Sayılar 2 .................................................................. 33
Köklü Sayılar 1 .................................................................... 132
Ardışık Sayılar 3 .................................................................. 37
Köklü Sayılar 2 .................................................................... 136
Üslü Köklü Sayılar Karma ................................................... 138
Basamak Analizi 1 ............................................................... 39
Basamak Analizi 2 ............................................................... 43
Çarpanlara Ayırma 1 ........................................................... 140
Çözümleme 1 ...................................................................... 45
Çarpanlara Ayırma 2 ........................................................... 144
Çözümleme 2 ...................................................................... 49
Çarpanlara Ayırma 3 ........................................................... 149
Çarpanlara Ayırma 4 ........................................................... 151
Taban Aritmetiği 1 ................................................................ 51
Taban Aritmetiği 2 ................................................................ 55
Asal Sayılar - Asal Çarpanlara Ayırma 1 ............................. 57
Oran Orantı 1....................................................................... 153
Asal Sayılar - Asal Çarpanlara Ayırma 2 ............................. 61
Oran Orantı 2....................................................................... 157
Oran Orantı 3....................................................................... 161
Faktöriyel 1 .......................................................................... 63
Oran Orantı 4....................................................................... 163
Faktöriyel 2 .......................................................................... 67
Denklem Kurma Problemleri 1............................................. 165
Bölme 1 ............................................................................... 69
Denklem Kurma Problemleri 2............................................. 169
Bölme 2 ............................................................................... 73
Denklem Kurma Problemleri 3............................................. 173
Bölünebilme Kuralları 1 ....................................................... 75
Bölünebilme Kuralları 2 ....................................................... 79
Denklem Kurma Problemleri 4............................................. 177
Denklem Kurma Problemleri 5............................................. 179
OBEB .................................................................................. 81
Denklem Kurma Problemleri 6............................................. 181
OKEK .................................................................................. 86
OBEB-OKEK 1 .................................................................... 90
Yaş Problemleri 1 ................................................................ 183
OBEB-OKEK 2 .................................................................... 92
Yaş Problemleri 2 ................................................................ 187
Rasyonel Sayı 1 .................................................................. 94
Rasyonel Sayı 2 .................................................................. 98
Rasyonel Sayı 3 .................................................................. 102
Yüzde - Faiz Problemleri 1 .................................................. 189
Rasyonel Sayı 4 .................................................................. 104
Yüzde - Faiz Problemleri 2 .................................................. 193
Rasyonel Sayı 5 .................................................................. 106
v
İÇİNDEKİLER
GEOMETRİ
Doğruda Açı 1...................................................................... 277
Kâr - Zarar Problemleri 1 ..................................................... 195
Doğruda Açı 2...................................................................... 281
Kâr - Zarar Problemleri 2 ..................................................... 199
Üçgende Açı - Açı Kenar Bağıntıları 1................................. 283
Karışım Problemleri 1 .......................................................... 201
Üçgende Açı - Açı Kenar Bağıntıları 2................................. 287
Karışım Problemleri 2 .......................................................... 205
Üçgende Açı ........................................................................ 291
Üçgende Açı - Kenar Bağıntıları ......................................... 293
İşçi Problemleri 1 ................................................................. 207
Dik Üçgen 1 ......................................................................... 295
İşçi Problemleri 2 ................................................................. 212
Dik Üçgen 2 ......................................................................... 299
Hareket Problemleri 1 .......................................................... 214
Özel Üçgen 1 ....................................................................... 301
Hareket Problemleri 2 .......................................................... 219
Özel Üçgen 2 ....................................................................... 305
Açıortay - Kenarortay Bağıntıları ......................................... 307
Kümeler 1 ............................................................................ 221
Üçgende Açıortay Bağıntıları............................................... 311
Kümeler 2 ............................................................................ 226
Üçgende Kenarortay Bağıntıları .......................................... 313
Üçgende Alan 1 ................................................................... 315
İşlem 1 ................................................................................. 228
Üçgende Alan 2 ................................................................... 319
İşlem 2 ................................................................................. 232
Üçgende Benzerlik ve Alan 1 .............................................. 321
Üçgende Benzerlik ve Alan 2 .............................................. 326
Modüler Aritmetik 1.............................................................. 234
Üçgende Benzerlik ve Alan 3 .............................................. 330
Modüler Aritmetik 2.............................................................. 238
Üçgende Benzerlik ve Alan 4 .............................................. 332
Çokgen ve Dörtgen 1........................................................... 334
Permütasyon 1 .................................................................... 240
Çokgen ve Dörtgen 2........................................................... 338
Permütasyon 2 .................................................................... 244
Çokgen ve Dörtgen 3........................................................... 342
Paralelkenar - Eşkenar Dörtgen .......................................... 344
Kombinasyon 1 .................................................................... 246
Dikdörtgen - Kare ................................................................ 346
Kombinasyon 2 .................................................................... 250
Yamuk - Deltoid ................................................................... 348
Olasılık 1.............................................................................. 252
Çember - Daire 1 ................................................................. 350
Olasılık 2.............................................................................. 257
Çember - Daire 2 ................................................................. 354
Çemberde Açı...................................................................... 358
Tablo - Grafik Yorumlama 1 ................................................. 259
Çemberde Uzunluk .............................................................. 360
Tablo - Grafik Yorumlama 2 ................................................. 263
Dairede Alan ........................................................................ 362
Tablo - Grafik Yorumlama 3 ................................................. 266
Analitik Geometri 1 .............................................................. 364
Tablo - Grafik Yorumlama 4 ................................................. 271
Analitik Geometri 2 .............................................................. 368
Tablo - Grafik Yorumlama 5 ................................................. 273
Analitik Geometri 3 .............................................................. 372
Analitik Geometri 4 .............................................................. 374
Katı Cisim 1 ......................................................................... 376
Katı Cisim 2 ......................................................................... 380
Matematik - Geometri Cevap Anahtarı .................................382
vi
MATEMATİK
M
A T
E
M
A T
İ K
1
Doğal Sayı - Tam Sayı - 1
1.
6.
x, negatif olmayan en küçük tam sayı; y, pozitif olmayan
en büyük tam sayıdır.
3x + y = 20
Buna göre, x - y farkı kaçtır?
A) –2
B) –1
C) 0
D) 1
x ve y sayma saylar
olduğuna göre, x + 3y nin alabileceği en büyük değer
kaçtır?
E) 2
A) 12
2.
C) 36
D) 52
E) 60
x ve y birbirinden farklı birer rakamdır.
Buna göre, 2x + 3y nin alabileceği en büyük değer ile
en küçük değerin toplamı kaçtır?
A) 41
B) 42
C) 43
D) 44
7.
E) 45
x ve y birbirinden farklı iki basamaklı tam sayılardır.
Buna göre, x + y toplamı en az kaçtır?
A) –198
3.
B) 20
B) –197
C) 0
D) 20
E) 21
x,y,z birbirinden farklı rakamlardır.
Buna göre, 3x + 2y - z nin alabileceği en küçük değer
kaçtır?
A) –10
B) –9
C) –8
D) –7
8.
E) –6
x ve y birer doğal sayı ve
5x = 4y
olduğuna göre, 2x + y nin alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) 0
4.
B) 6
C) 13
D) 14
E) 15
x,y,z negatif tam sayılardır.
Buna göre, x ⋅ y ⋅ z çarpımının alabileceği en büyük
değeri kaçtır?
A) –6
B) –4
C) –3
D) –1
E) 0
9.
x ve y birer doğal sayı
x + y = 15
5.
olduğuna göre, x ⋅ y nin alabileceği en büyük değer
kaçtır?
225
A) 0
B) 14
C) 50
D) 56
E)
4
x, y, z birbirinden farklı negatif olmayan tam sayılardır.
x
+ 2y + 3z nin alabileceği en küçük deBuna göre,
2
ğer kaçtır?
A) 3
B) 7
C) 8
D) 9
E) 14
3
1
Doğal Sayı - Tam Sayı - 1
10. x, y, z birer pozitif reel sayı ve
15. x bir tam sayı ve
5x + 18
x
x+y+z =6
olduğuna göre, x ⋅ y ⋅ z nin alabileceği en büyük
değer kaçtır?
A) 0
B) 4
C) 6
D) 7
ifadesi doğal sayı olduğuna göre, x in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
E) 8
A) 0
B) 6
C) 12
D) 21
E) 39
11. x ve y birer doğal sayı,
x ⋅ y = 24
olduğuna göre, x + y nin alabileceğin en küçük değer
kaçtır?
A) 10
B) 12
C) 14
D) 20
16. x ve y birer sayma sayısı
E) 25
x ⋅ y = 24
olduğuna göre, 3x + 2y nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 24
B) 25
C) 40
D) 51
E) 74
12. x ve y birer tam sayı
x ⋅ y = 15
olduğuna göre, x + y nin alabileceği en küçük ve en
büyük değerin toplamı kaçtır?
A) 0
B) 10
C) 16
D) 20
E) 24
17. x, y, z birer sayma sayısı ve
x = 4y - z
olduğuna göre,
olabilir?
A) –50
B) –25
x + y + z aşağıdakilerden hangisi
C) –5
D) 0
E) 15
13. x ve y birer tam sayı
12
=8
y
olduğuna göre, x in alabileceği en büyük ve en küçük
değerlerinin toplamı kaçtır?
x+
A) 9
B) 12
C) 14
D) 15
E) 16
18. x, y, z birer sayma sayısı ve
2x = 3y
14. x ve y birer tam sayı ve
2y = 3z
2x ⋅ y + y = 6
olduğuna göre, x + y + z nin alabileceği en küçük
değer kaçtır?
olduğuna göre, y kaç farklı değer alabilir?
A) 8
B) 6
C) 5
D) 4
A) –38
E) 3
4
B) –19
C) 0
D) 19
E) 38
Doğal Sayı - Tam Sayı - 1
1.
ÇÖZÜMLER
Negatif olmayan tam sayılar kümesi A = {0,1,2,3, …} olduğundan A kümesinin en küçük elemanı x sayısını vereceğinden x = 0 olur.
6.
Pozitif olmayan tam sayılar kümesi B= {…, –3,–2,–1,0}
olduğundan.
B kümesinin en büyük elemanı y sayısını vereceğinden
y = 0 olur.
Buna göre, x − y = 0 − 0 = 0 bulunur.
x + 3y nin en büyük olması için y = 17 ve x = 1 olmalıdır.
Cevap C
2.
3x + y = 20 için denkleminde x yerine değerler yazıp, y nin
değerlerini bulalım.
x=1
⇒
y = 17
x=2
⇒
y = 14
x=3
⇒
y = 11
x=4
⇒
y=8
x=5
⇒
y=5
x=6
⇒
y = 2 dir.
Buna göre, x + 3y = 1 + 3 ⋅ 17 = 52 bulunur.
2x + 3y nin en büyük değeri alabilmesi için x ve y yerine
büyük değerler yazılmalıdır.
Cevap D
x ve y farklı rakamlar olduğundan katsayısı büyük olan y
yerine 9, katsayısı küçük olan x yerine 8 yazılmalıdır.
7.
Böylece 2x + 3y = 2 ⋅ 8 + 3 ⋅ 9 = 16 + 27 = 43 olur.
İki basamaklı tam sayılar kümesi
A= {–99,–98, … ,–10, 10, 11, … 99} olur.
2x + 3y nin en küçük değeri alabilmesi için x ve y yerine
küçük değerler yazılmalıdır.
Birbirinden farklı iki tam sayının toplamının
küçük olması için bu sayıların yerine –99
–98 yazılmalıdır.
x ve y farklı rakamlar olduğundan katsayısı büyük olan y
yerine 0, kat sayısı küçük olan x yerine 1 yazılmalıdır.
en
ve
Buna göre, x + y = ( −99) + ( −98) = −197 bulunur.
Böylece 2x + 3y = 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 = 2 olur.
Cevap B
Dolayısıyla 2x + 3y nin alabileceği en büyük ve en küçük
değerin toplamı 43 + 2 = 45 bulunur.
8.
Cevap E
Doğal sayılar kümesi N = {0,1,2,3, …} dir.
5x = 4y ⇒ x = 4k ve y = 5 k dır.
k=1
⇒ x = 0 ve y = 0
⇒ x = 4 ve y = 5
k=2
⇒ x = 8 ve y = 10
k=0
3.
3x + 2y − z nin en küçük değeri alabilmesi için x ve y yerine
küçük, z yerine büyük değer yazılmalıdır.
2x + y nin en küçük değerini alması için x ve y en küçük
olmalıdır.
x ve y farklı rakamlar olduğundan katsayısı büyük olan x
yerine 0, katsayısı küçük olan y yerine 1 yazılmalıdır. z
yerine büyük bir rakam yani 9 yazılmalıdır.
Buna göre 2x + y = 2 ⋅ 0 + 0 = 0 bulunur.
Böylece
Cevap A
3x + 2y − z = 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 − 9
= 2−9
= −7 bulunur.
Cevap D
9.
x + y = 15 iken x ⋅ y nin en büyük olması için x ile y nin arasındaki farkın küçük olması gerekir.
x ve y doğal sayı olduğundan x = 7 ve y = 8 olmalıdır.
4.
Buna göre, x ⋅ y = 7 ⋅ 8 = 56 bulunur.
x, y ve z negatif tam sayı olduğundan üçünün çarpımı negatif olur. Çarpımın en büyük negatif sayı olması için x, y ve z
nin –1 olması gerekir.
Cevap D
Buna göre,
10.
x ⋅ y ⋅ z = ( −1) ⋅ ( −1) ⋅ ( −1) = −1 bulunur.
Cevap D
x + y + z = 6 iken x ⋅ y ⋅ z nin en büyük olması için x, y ve z
nin birbirine yakın sayılar olması gerekir.
x = y = z = 2 alınırsa x ⋅ y ⋅ z = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 bulunur.
Cevap E
5.
x, y ve z negatif olmayan tam sayılar olduğundan
11.
A = {0,1,2,3, … } kümesinin elemanlarından biri olabilir.
x
+ 2y + 3z toplamının en küçük olması için katsayısı büyük
2
olan terime en küçük değer verilmelidir.
x. y = 24 iken x + y nin en küçük olması için x ve y nin birbirine yakın olması gerekir.
x ⋅ y = 24 ⇒ x = 1,y = 24
⇒ x = 2,y = 12
⇒ x = 3,y = 8
⇒ x = 4,y = 6
z = 0, y = 1 ve x = 2 seçilirse,
x
2
+ 2y + 3z = + 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 = 3 bulunur.
2
2
Buna göre, x + y = 4 + 6 = 10 bulunur.
Cevap A
Cevap A
5
ÇÖZÜMLER
12.
Doğal Sayı - Tam Sayı - 1
16.
x ⋅ y = 15 ⇒ x = −15,y = −1
⇒ x = −5,y = −3
⇒ x = −3,y = −5
⇒ x = −1,y = −15
⇒ x = 15,y = 1
⇒ x = 3,y = 5
⇒ x = 5,y = 3
⇒ x = 15,y = 1
x ve y sayma sayıları ve çarpımları 24 olduğundan,
x ⋅ y = 24 iken 3x + 2y nin değerleri
x
1 ⋅
2 ⋅
3 ⋅
4 ⋅
6 ⋅
8 ⋅
12 ⋅
24 ⋅
y
24
12
8
6
4
3
2
1
⎯⎯→
⎯⎯→
⎯⎯→
⎯⎯→
⎯⎯→
⎯⎯→
⎯⎯→
⎯⎯→
3x + 2y
3 ⋅ 1 + 2 ⋅ 24 = 51
3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 12 = 30
3 ⋅ 3 + 2 ⋅ 8 = 25
3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 6 = 24
3 ⋅ 6 + 2 ⋅ 4 = 26
3 ⋅ 8 + 2 ⋅ 3 = 30
3 ⋅ 12 + 2 ⋅ 2 = 40
3 ⋅ 24 + 2 ⋅ 1 = 74
x + y nin alabileceği en küçük değer −15 − 1 = −16 olur.
En büyük değer 15 + 1 = 16 olur.
Buna göre, en büyük ve en küçük değerlerin toplamı
16 − 16 = 0 bulunur.
olarak bulunur.
Buna göre, 3x + 2y nin alabileceği en büyük değer 74 tür.
Cevap A
Cevap E
13. x + 12 = 8
y
denklemini sağlayan x’lerin tam sayı olması için
y nin 12 yi tam bölmesi gerekir. 12 nin tam bölenlerinin kümesi A = {–12, –6, –4, –3, –2, –1,1,2,3,4,6,12} dir.
y = –1 için x in en büyük değeri 20 bulunur.
y = 1 için x in en küçük değeri olan –4 bulunur.
Buna göre, en büyük ve en küçük x değerlerinin toplamı
20 − 4 = 16 bulunur.
Cevap E
17.
x = 4y — z ise x + z = 4y bulunur.
x + y + z = x + z + y = 4y + y = 5y
14.
2x ⋅ y + y = 6 ifadesi y parantezine alınırsa y(2x + 1) = 6 bulunur.
2x + 1 tek sayı olduğundan y nin çift sayı olması gerekir.
y sayısı; 6 nın da çarpanı olduğundan
–6, –2, 2 ve 6 değerlerini alır.
Dolayısıyla y nin 4 farklı değeri vardır.
Buna göre, x + y + z toplamı 5 in katı olur, ancak y sayma
sayı olduğundan x + y + z toplamı pozitif bir sayı olmalıdır.
Seçenekler incelenirse x + y + z = 15 olabilir.
Cevap E
Cevap D
15.
5x + 18
18 olarak yazılabilir.
=5+
x
x
5+
18
in doğal sayı olması için x in 18 i tam bölen sayılar
x
olması gerekir.
x = – 18
⇒
x=–9
⇒
x=–6
⇒
x=–3
⇒
x=–2
⇒
18
18
=5+
= 4 ∈N
x
−18
18
18
5+
=5+
= 3 ∈N
x
−9
18
18
5+
=5+
= 2 ∈N
x
−6
18
18
5+
=5+
= −1 ∉ N
x
−3
18
18
5+
=5+
= −4 ∉ N
x
−2
5+
18.
5+
⇒
x 3
y 3
= ve 2y = 3z ifadesini de
=
y 2
z 2
olarak yazabiliriz.
y nin karşısındaki sayıları eşitleyelim.
x 3 9⎫
x = 9k ⎫
= =
y 2 6 ⎪⎪
⎪
⎬ ve y = 6k ⎬ bulunur.
y 3 6⎪
z = 4k ⎭⎪
= =
z 2 4 ⎪⎭
Buna göre, x + y + z = 9k + 6k + 4k = 19k bulunur.
x, y ve z sayma sayısı olduğundan k = 1 için
x + y + z = 19⋅1 = 19 bulunur.
18
18
=5+
= −13 ∉ N
x
−1
18 in pozitif böleni olan 1, 2, 3, 6, 9 ve 18 değerleri için
x=–1
2x = 3y ifadesini
5+
Cevap D
18
ifadesi daima doğal sayı olacağından x in alabileceği
x
değerler {–18, –9, –6, 1, 2, 3, 6, 9, 18} olur.
Buna göre toplamları
–18 – 9 – 6 + 1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 6 bulunur.
Cevap B
6
GEOMETRİ
G
E
O
M
E
T
R İ
1
Doğruda Açı - 1
1.
5.
Tümler iki açıdan birinin ölçüsü diğerinin ölçüsünün 3
katından 10° eksiktir.
B) 25
C) 45
A
60o
m(BAC) = 60°
Buna göre, küçük olan açı kaç derecedir?
A) 20
ABDC dörtgeninde
m(ABD) = 40°
D) 65
m(ACD) = 20° dir.
E) 75
D
40 o
20 o
B
C
Yukarıda verilenlere göre, m(BDC) kaç derecedir?
A) 110
B) 115
C) 120
D) 125
E) 130
2.
d3
3 x + 20o
y
4x − 10o
d1
d2
d4
3.
6.
d1 // d2 ve d3 // d4 olduğuna göre, y kaç derecedir?
Bir dar açının ölçüsü, bir doğru açının ölçüsünün
yarısından 25° eksik ise, bu dar açının ölçüsü kaç
derecedir?
A) 140
A) 75
B) 130
d1 // d2
C) 120
B
m(ABC) = 50°
m(BCD) = 3x + 20°
m(CDE) = 30° dir.
D) 110
50
E) 100
A
o
7.
d1
E
30 o
4.
B) 24
C) 28
D) 30
A) 32
E) 36
8.
D
128o
F
B) 35
C) 38
E
D) 40
F
[EF // AC
E) 43
E
x
m(DBC) = 30°
o
C 75
D
m(EDB) = 90°
m(CDE) = y
y
m(BCD) = 75° dir.
B) 280
C) 285
o
30
m(FED) = x
D
E
D) 290
A
B
C
Yukarıda verilenlere göre, x kaç derecedir?
Yukarıda verilenler göre, x + y kaç derecedir?
A) 275
B
Yukarıda verilenlere göre, m(DEF) kaç derecedir?
x
m(ABC) = x
27o
A
B
[BA // [DE
E) 55
C 117o
m(CDE) = 128° dir.
d2
D) 60
A
[BA // [EF
m(BCD) = 117°
Yukarıda verilenlere göre, x kaç derecedir?
A) 20
C) 65
m(ABC) = 27°
3x+20o C
D
B) 70
A) 100
E) 295
277
B) 110
C) 120
D) 130
E)140
1
9.
Doğruda Açı - 1
A
[BA // [CD
13. Bir dar açının bütünleri tümlerinden kaç derece faz-
D
E
ladır?
m(ABC) = 56°
m(BCE) = 48°
B
m(DCE) = x
48o
5 6o
A) 70
x
B) 75
C) 80
D) 85
E) 90
C
Yukarıda verilenlere göre, x kaç derecedir?
A) 84
B) 76
C) 70
D) 58
E) 42
14.
[AB // [DE,[AC //[DF,
B
A
E
10. d1 // d2
F
E
D
110 o
m(FEB) = 110°
d1
C
m(BCD) = x
K
30 o
A
B
A) 75
d2
[AK]ile [DK] açıortay
F
Yukarıda verilenlere göre
m(AKD) = α kaç derecedir?
α
C x
m(BAD) = 30°
D
B) 80
C) 85
D) 90
E) 100
Yukarıda verilenlere göre, x kaç derecedir?
A) 80
11.
B) 100
A
d1
C) 120
D) 140
E) 150
15.
d1 // d2 ise verilenlere göre, y
kaç derecedir?
E
3x
B 120o
A
o
100
C
E
2x
y
α
160o
D
B
[AB // [CD // [EF, [KC] açıortay
D
m(KAB) = 100° ve
F
m(KEF) = 160°
K
d2
C
Yukarıda verilenlere göre m(KCD) = α kaç derecedir?
A) 12
B) 18
C) 20
D) 24
E) 28
A) 100
12.
A
c
D
b
B
G
d2
16.
a
E
C) 120
A
B
D) 130
E) 140
d1 // d2 ise a, b, c arasındaki bağıntı aşağıdakilerden hangisidir?
F
C
B) 110
K
d1
A) a + b + c = 180°
B) a = b + c
C) a + c = b
D) a + b + c = 90°
T
α
C
11 5
o
F
D
AB//CD ve A, K, C noktaları doğrusal
AB = AK , KC = CD ,
[KF açıortay ve
m(BTF) = 115°
Yukarıda verilenlere göre m(KDB) = α kaç derecedir?
E) a + b = c
A) 10
278
B) 15
C) 20
D) 25
E) 30
Doğruda Açı - 1
1.
ÇÖZÜMLER
6.
α ve β tümler iki açı olsun. O halde α + β = 90° dir. Açılardan birinin ölçüsü diğerinin 3 katından 10° eksik olduğuna
göre α = 3β − 10° dir. Buradan α + β = 90° ve α = 3β − 10°
Dar açının ölçüsü α olsun.
180°
α=
− 25° = 65° bulunur.
2
Cevap C
denklemler ortak çözümlenirse
α + β = 90° ⇒ 3β − 10° + β = 90°
↓
4β = 100°
3β − 10°
β = 25° olur.
α + β = 90° ⇒ α = 90° − 25° = 65° olur.
O halde küçük olan açı 25° bulunur.
Cevap B
2.
7.
(3x + 20°) ile (4x − 10°) içters açılar olduğundan ölçüleri
birbirine eşittir.
K
E
d2
n + m(KEF)
n = m(BKE)
n
olduğundan m(ABK)
Cevap C
50° + 30° = 3x + 20°
60° = 3x
x = 20° bulunur.
3x+20o C
30 o
E
n = 65°
27° + m(KEF)
n = 38° bulunur.
m(KEF)
d1 // d2 olduğundan
n + m(CDE)
n = m(BCD)
n
m(ABC)
d1
n = 52° dir.
m(KDC)
Δ
[BA // [EF
D
128°
[KB]∩ [KE] = {K} olacak
şekilde bir K noktası belirlenirse doğru açı tanımı gereği
n = 63° ve
m(KCD)
K CD nde iç açıların ölçüleri toplamı yazılacak olursa
n = 65° olur.
m(CKD)
Cevap D
50 o
117°
F
y = 4 ⋅ 30° − 10° = 110° bulunur.
B
63°
52°
D
y = 4x − 10° olur.
A
B
C
65°
Yani 3x + 20° = 4x − 10°
x = 30° olur.
y ile (4x − 10°) yöndeş iki açının ölçüleridir. O halde
3.
27°
A
Cevap A
4.
8.
[BA // [DE
olduğundan verilen şekilde aynı yöne bakan açıların ölçüleri toplamı 360° dır.
n + m(BCD)
n + m(CDE)
n = 360° dır.
Buradan m(ABC)
F
K
E
x
180° − x
D
x + 75° + y = 360°
x + y = 285° bulunur.
A
B
30°
C
F, E, K noktaları doğrusal
olacak şekilde bir K noktası
seçersek doğru açı tanımınn = 180° − x olur.
dan m(KED)
FK // AC olduğundan
n + m(DBC)
n = m(EDB)
n
m(KED)
180° − x + 30° = 90°
x = 120° bulunur.
Cevap C
Cevap C
A
5.
60o
40 o
B
D
20 o
C
n + m(ABD)
n + m(ACD)
n = m(BDC)
n
Şekilde m(BAC)
9.
[BA // [CD
n
60° + 40° + 20° = m(BDC)
n = 120° bulunur.
m(BDC)
olduğundan
n + m(BCD)
n = 180°
(Karşı durumlu açılar)
m(ABC)
x = 76° bulunur.
Cevap C
Cevap B
279
ÇÖZÜMLER
10.
F
Doğruda Açı - 1
d1 d1 // d2
B
halde
n + m(EBA)
n = 180°
m(FEB)
n = 180°
110° + m(EBA)
d2
n = 70° dir.
m(EBA)
n bütünler
n ile EDF
olduğundan BAC
iki açıdır. Bütünler iki açının açıortayları arasında kalan açının ölçüsü α = 90° dir.
n karşı durumlu açılardır. O
EBA
C x
3 0o
A
14. [AB // [DE ; [AC // [DF
n ile
olduğundan FEB
D
E
11 0 o
Cevap D
Δ
n + m(CBA)
n = m(DCB)
n
C A B nde m(CAB)
30° + 70° = x
x = 100° bulunur.
Cevap B
11.
d1 // d2 dir. İç ters açıların ölçüleri birbirine eşit olduğundan
2x = y dir. A, B, C noktaları doğrusal olduğundan
3x + 20° + 2x = 180°
5x = 60°
x = 12° ve y = 24° bulunur.
15.
A
100o
C
Cevap D
L
K
B
α = 130°
D
E
30°
30°
20°
F
160o
L
K
KL // [AB // [CD // [EF çin ,
EKL
n ile
zersek FEK
n ve
n
BAK ile AKL
n
DCK
n
ile CKL karşı durumlu
açılardır. O halde açılar
şekildeki gibi yerleştirilebilir.
Buradan α = 130° bulunur.
Cevap D
12.
K
c
A
C
F
D, C, K ve E, B, L noktaları
doğrusal olacak şekilde çizi-
c
D
b
d2
a
L
B
a
G
E
d1
lirse ters açıların ölçüleri eşit
n =c,
olduğundan
m(KCA)
n = a dır.
m(ABL)
KD // LE olduğundan
n + m(ABL)
n = m(CAB)
n
m(KCA)
c + a = b bulunur.
Cevap C
16.
H
A
45 o
b
2b
L C
Dar açı α olsun.
Açının bütünleri 180° − α
Açının tümleri 90° − α
B
a
K
13.
a
2a
45o 115
α
b
T
115
o
F
n = m(AKB)
n =a,
m(ABK)
n
n
m(CKD) = m(KDC) = b
n = 2a ,
dersek m(HAC)
n = 2b olur.
m(ACL)
D
HB//CD olduğundan 2a + 2b = 180° ⇒ a + b = 90° dir.
n = 90° dir.
Buradan m(BKD)
n = m(BKF)
n = 45°
[KF açıortay olduğundan m(FKD)
olur. KTD üçgeninde iç açıların ölçüleri toplamından
45° + 115° + α = 180° ⇒ α = 20° bulunur.
Buradan (180° − α ) − (90° − α ) = 180° − α − 90° + α
= 90° bulunur.
Cevap E
Cevap C
280