4. bölüm - balgat çözüm temel lisesi

MATEMATİK
4.
www.akademivizyon.com.tr
BÖLÜM
Karmaşık Sayılar
1. KARMAŞIK SAYILAR
n  N olmak üzere
(i4)n = (1)n = 1
i4n+1 = i4n . i = i
i4n+2 = i4n. i2 = 1. (–1) = –1
i4n+3 = i4n. i3 = 1. (–i) = – i
x ve y birer gerçel sayı ve i2 = –1 (i = 1 ) olmak üzere
Z = x +yi ile tanımlı Z sayısına karmaşık (kompleks)
sayı denir.
Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir.
Buna göre,
Sonuç: i ‘ nin herhangi bir kuvveti hesaplanırken, kuv-
C = {Z : Z = x + yi, x,y R ve i2= –1} dir.
vetin 4 ile bölümündeki kalan i’ nin kuvvetine yazılır.
Z = x + yi sayısında x’e Z’nin gerçel (reel) kısmı y’ye
ÖRNEK
Z’nin sanal (imajiner) kısmı denir.
Buna göre,
A) i72
B) i121
C) i162
ifadelerini hesaplayınız?
Re (Z) = x, im(Z) = y şeklinde yazılır.
D) i223
ÇÖZÜM
Z = x + yi sayısında y = 0 ise Z = x olup
xR’dir.
72
4 18
0
A) i = (i ) = i = 1
Demek ki her reel sayı, sanal kısmı sıfır olan bir
karmaşık sayıdır.
–
ÖRNEK
B) i121 = i1 = i
–
Aşağıdaki karmaşık sayıların gerçel ve sanal kısım-
18
121
4
12
30
001
larının bulunuz?
C) i162 = i2 = –1
B) Z2 =  3i
4
4
32
– 32
00
Bu nedenle R C ‘dir.
A) Z1 = 7 – 5i
72
C) Z3 = 3
–
162
4
16
40
002
D) Z4 = 25  9
D) i223 = i3 = –i
ÇÖZÜM
–
232
4
20
55
3
A) Z1 = 7 – 5i ise Re(Z1) = 7 , im(Z1) = –5
3. KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ
B) Z2 =  3i ise Re(Z2) = 0, im(Z2) =  3
Z1 = a + bi ve Z2 = c + di karmaşık sayıları için,
C) Z3 = 3 ise Re(Z3) = 3 , im(Z3) = 0
D) Z4 =
Z1 = Z2 ise Re (Z1) = Re (Z2)
25  9 ise Z4 = 5  3 1
ve im(Z1) = im(Z2) ‘dir.
 Z4 = 5 + 3i
 a = c ve b = d dir.
 Re(Z4) = 5 , im(Z4) = 3 dur.
ÖRNEK
2. İ SAYISININ KUVVETLERİ
i0 = 1
Z1 = 4 – (2a + b)i ve Z2 = a – b + 13i karmaşık sayıları
i1 = i
veriliyor.
Z1 = Z2 olduğuna göre a.b kaçtır?
i2 = –1
i3 = i2 . i = (–1) . i = – i
i4 = i2 . i2 = (–1) . (–1) = 1
www.akademivizyon.com.tr
A) 42
B) 21
C) 0
D) –21
E) –42
ÇÖZÜM
1
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ
www.akademivizyon.com.tr
KARMAŞIK SAYILAR
4 – (2a + b)i = a – b + 13i
a–b= 4

2a + b = –13
+
3a = –9
a = –3
x1 = 1–2i ise x2 = 1 + 2i dir.
Denklem,
x2 – (x1 + x2)x + x1 . x2 = 0
 x2 – (1 – 2i + 1 + 2i)x + (1 – 2i) . (1+2i) = 0
b = –7
 x2 – 2x + 5 = 0 dır.
a. b = –3. –7 = 21 dir.
Cevap B’dir.
5. KARMAŞIK SAY ILAR DA DÖ RT İŞL EM:
4. KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
Z1 = a + bi ve Z2 = c + di karmaşık sayılarını göz önüne
alalım.
Z = a + bi karmaşık sayısı için Z  a  bi sayısına Z’nin
eşleniği denir.
a) Toplama İşlemi
Z1 + Z2 = (a +bi) + (c + di)
ÖRNEK
= (a + c) + (b +d)i
A)
B)
C)
D)
Z1 = 5 + 2i
Z2 = 3i – 2
Z3 = 5
Z4 = –7i
b) Çıkarma İşlemi
Z1 – Z2 = (a+ bi) – (c + di)
= (a – c) + (b – d)i
c) Çarpma İşlemi
ÇÖZÜM
Z1. Z2 = (a+bi). (c+di)
A) Z1 = 5 + 2i ise zi  5  2i
= ac + adi + bci + bdi2
B) Z2 = 3i – 2 ise z2  3i  2
= ac + adi + bci – bd
C) Z3 = 5 ise z3  5
= (ac – bd) + (ad +bc)i
D) Z4 = –7i ise Z 4  7i
Z1  Z2  (a  bi)(a  bi)
 a2  b2i2
ÖZELLİKLER:
 a2  b 2 dir.
Her Z1, Z2  C için
1.
Z1  Z2  Z1  Z2
2.
Z1  Z 2  Z1  Z 2
3.
 Zl  Z1
, (Z2  0)

 
 Z2  Z2
4.
(Z)  Z
5.
(Zn )  (Z)n dir.
d) Bölme İşlemi
Bölme işleminde paydanın eşleniği ile pay ve payda
çarpılır.
Z1
Z2


a  bi (a  bi)  (c  di)

c  di (c  di)  (c  di)
ac  bd
c 2  d2

bc  ad
c 2  d2
i olur
ÖRNEK
Z1 = 3 + 5i
Z2 = 2 – 3i
olduğuna göre Z1 + Z2 ve Z1 . Z2’ yi bulunuz?
Gerçel katsayılı bir denklemin köklerinden birisi
a + bi ise diğer kök bu kökün eşleniği olan
a – bi dir.
ÇÖZÜM
Z1 + Z2 = (3+2) + (5 – 3) i
= 5 + 2i
Z1 + Z2 = 6 – 9i + 10i – 15i2
= 6 + i + 15 = 21 + i
ÖRNEK
Bir kökü 1– 2i olan ikinci dereceden gerçel katsayılı
denklemi bulunuz?
6. KARMAŞIK DÜZLE M
ÇÖZÜM
MAT EMAT İK– 2 KON U AN LATI MLI S ORU BA NK ASI
2
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr
a) Z1 = 12 – 5i
b) Z2 = 7 + 24i
c) Z3 = –9
karmaşık sayılarının mutlak değerlerini bulunuz?
(Sanal eksen)
y
ÇÖZÜM
122  ( 5)2  144  25  13
a) |Z1| =
b
b) | Z2 | 72  24 2  25
O
a (Reel eksen)
x
c)
02  9 2  9
MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER
1. Her Z1, Z2  C için
Z = a + bi karmaşık sayısı için Re (Z) =  sayısının x
ekseninde
a) |Z1. Z2| = |Z1| . |Z2|
İm (Z) = b sayısını y ekseni üzerinde alarak oluşturulan
(a,b) noktası Z = a + bi karmaşık sayısını gösterir.
b)
Karmaşık sayılarla birebir eşlenmiş olan bu düzleme
karmaşık düzlem denir.
Z
Z1
 1
Z2
Z2
2. Her Z  C ve n  N+
|Zn| = |Z|n dir.
ÖRNEK
3. Her Z  C için
Z1 = 5 – 3i
Z2 = –3 + 4i
karmaşık sayılarını karmaşık düzlemde gösteriniz?
|Z| = |–Z| = | Z |
4. ||Z1| – |Z2||  |Z1 + Z2|  |Z1| + |Z2|
ÇÖZÜM
5.
y
Z2
Z  Z  | Z |2  | a2  b2 |
ÖRNEK
4
Z  3  2i
–3
x
5
–3
olduğuna göre Z5 sayısının büyüklüğü kaçtır?
A) 121 11
Z1
C) 115
B) 11 11
3
D) 11
E) 11
ÇÖZÜM
7. KARMAŞIK
(MODÜLÜ)
SAYININ
MUTLAK
|Z5| = |Z|5
 ( 9  2)5  ( 11)5  121 11
2
Z = a + bi karmaşık sayısı için a  b
mutlak değeri (modülü) denir.
|Z| =
DEĞERİ
2
ifadesine Z nin
Cevap A’dır.
8. KARMAŞIK DÜZLE MDE
ARAS IND AKİ UZ AKL IK
a2  b 2 dir.
İKİ
N OKTA
y
b2
b
|Z|
|a|
Z2
|b|
b1
a
Z1
a2
a1
x
ÖRNEK
Z1= a1 + b1 i
www.akademivizyon.com.tr
3
ve Z2 = a2 + b2 i
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ
www.akademivizyon.com.tr
KARMAŞIK SAYILAR
9. TOPLA MAN IN
GÖSTE RİMİ
sayıları arasındaki uzaklık
| Z1  Z2 | (a1  a 2 )2  (b1  b2 )2
GEO METR İK
b+d
Z1 + Z2
SONUÇLAR:
a. |Z – Zo| ifadesi Z sayısının Zo ‘a olan uzaklığını
d
belirtir.
b. |Z – Zo| = r koşuluna uyan Z sayılarının geometrik
b
yeri, Zo merkezli r yarıçaplı çemberdir.
Z1
c. |Z – Zo| < r koşuluna uyan Z karmaşık sayılarının
kümesi Zo merkezli r yarıçaplı çemberin içidir.
0
c
Z1= a + bi
ve
d. |Z – Zo| > r koşuluna uyan Z karmaşık sayılarının
kümesi Zo merkezli r yarıçaplı çemberin dışıdır.
a
a+c
Z2 = c + di ise
Z1 + Z2 = (a+c) + (b+d) i dir.
ÖRNEK
0, Z1, Z2 ve Z1 + Z2 noktaları bir paralel kenarın köşeleridir.
Z1 = 3 – 2i ve Z2 = – 1 + 4i
sayılarının arasındaki uzaklık nedir?
A) 4
B) 5
C)
11
10. BİR KARMAŞIK SAYININ
(TRİGONOMETRİK) BİÇİMİ
D) 2 13 E) 10
KUTUPSAL
ÇÖZÜM
Z1 – Z2 = (3 – 2i) – (–1 + 4i)
y
Z1 – Z2 = 4 – 6i
|Z1– Z2| =
42  ( 6)2  2 13
Z=r
b
Cevap D’dir.
(cos + isin)
r = |Z|
ÖRNEK

|Z – 3 + 7i| = 4
a2
0
koşulunu sağlayan Z karmaşık sayısının karmaşık
düzlemdeki görüntüsü ne oluşturur?
|Z| = r =
ÇÖZÜM
cos  
|Z – 3 + 7i| = 4
olduğuna göre |Z – (3 – 7i)| = 4 tür.
sin  
Bu sonuç Z noktasının
x
a
a2  b2
a
 a  r cos 
r
b
 b  r sin  olur.
r
Zo = 3 – 7i noktasına olan uzaklığının 4 birim olduğunu
Bu değerler Z de yerine yazılırsa
gösterir. Bu nedenle bu koşula uyan Z sayılarının görün-
Z = r (cos + isin) olur.
tüleri merkezi (3, –7) ve yarıçapı 4 birim olan çember
Z = r (cos + isin) = r cis
oluşturur.
şeklindeki yazılışa karmaşık sayının kutupsal biçimi
denir.
y
Z = a + bi karmaşık sayısı için,
cos  
3
a
ve
|Z|
sin  =
b
|Z|
eşitliklerini sağlayan  ya Z nin argümenti denir.
argZ =  şeklinde yazılır.
–7
(3,–7)
0   < 2 ise  açısına Z nin esas argümenti denir.
(r, ) ikilisine Z nin kutupsal koordinatları denir.
MAT EMAT İK– 2 KON U AN LATI MLI S ORU BA NK ASI
4
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr
ÖRNEK
Z=-
ÖRNEK
3 8 3
- i
2
2

5
ve Z2= 3cis
3
6
olduğuna göre Z1 + Z2 yi bulunuz.
Z1= 5cis
karmaşık sayısının kutupsal biçimi
aşağıdakilerden hangisidir?

 

A) 9  cos  sin i 
6
6 


2 

B) 9  cos
 sin i 

3 


2 

C) 3  cos
 sin i 

3 


7 

D) 3  cos
 sin i 

6 

ÇÖZÜM

 

E) 3  cos  sin i 
3
3


z1  5cis




 5  cos  isin 
3
3
3

z2  3cis
5
5 5  

= 3  cos


6
6
6 

 z1=
ÇÖZÜM

3 2 
 Z2  3  
 i
 2 3 


2
2
 3 3
3
| Z |  
  3


2 
2


cos  
ise  
5 5 3i

2
2
z2  
3 3
2  3
3
2
3 3 3
 i
2
2
 5 5 3i   3 3 3 
 z1  z 2   
i   
 i
2
2  
2
2 


dır.


53 3 5 3 3

i
2
2
7
7 

Buna göre, Z = 3  cos
 isin  dır.
6
6 

Cevap D’dir.
ÖRNEK
11. KUTUPSAL BİÇİMDE İŞLEMLER
7
7 

z1= –4  cos
 isin 
24
24 

a) Topl am a – Çı karm a:

 

z2= –2  cos
 isin 
24
24


Kutupsal biçimdeki iki karmaşık sayının toplamı ve
farkı, a + bi standart biçimine çevrilerek bulunur.
ise z1. z2 ve
Z1
yi bulunuz.
Z2
b) Çarpm a:

 7  
 7   


  sin 

 24 24 
 24 24  
ÇÖZÜM Z1.Z2  4.  2 cos 
z1= r1 (cos1 + isin1)

z2 = r2 (cos2 + isin2) ise



 8  cos  isin 
3
3

1
3
 8  i

2
2


z1.z2 = r1. r2[(cos (1 + 2)) + isin (1+2] ve
arg (z1. z2) = arg (z1) + arg(z2)
= 1 + 2 dir.
 4  4 3i
c) Böl m e:
Z1 4 
 7  
 7  
=


cos 
  isin 

Z2 2 
24
24


 24 24  
z1= r1((cos1+ isin1)
z2=r2(cos2 + isin2) ise
,


 2  cos  isin 
4
4

Z1 r1
 [cos( 1  2 )  isin( 1  2 ) ve
Z2 r2
 2
2
 2
 i

 2
2


z 
arg  1   arg(z1)  arg(z 2 )
 z2 
 2  2i olur.
= 1– 2 dir.
www.akademivizyon.com.tr
5
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ
www.akademivizyon.com.tr
KARMAŞIK SAYILAR
12.B İR KA RMA ŞIK S AY ININ
(DE MOİVRE FOR MÜL Ü)
KUV VETİ
ÖRNEK
Z= r.(cos + isin) ise Zn = rn . (cos(n.) + isin (n. )) dir.
Z = 1  3i
sayısının kareköklerini bulunuz?
ÖRNEK
ÇÖZÜM
Z sayısını kutupsal biçimde yazalım.
Z = 3.(cos12 + isin12)
sayısı için Z5 nedir?
r  1 3  2
3
   60
1
Z= 2 (cos60 + isin60) dır.
tan  
35 32 3

i
2
2
A)
5
B)
5
C)
3
3

i
2
2
E)
3
3

i
2
2
35 35 3

i
2
2
5
D)
Z0  2(cos30  isin30 )
5
3
3

i
2
2
Z1  
6
2

i
2
2
ÇÖZÜM
5
argZ0=

2
argZ1=


2
5
Z = 3 (cos60 + isin60)
1
3 
Z5 = 35  
i
 2 2 


Z5 =
35 35 3i

2
2
Z = a + bi karmaşık sayısının kareköklerini
kutupsal biçime çevirmeden bulabilmek için
aşağıdaki formüller kullanılır.
Cevap B’dir.
1. b > 0 için
| Z | a 
  | Z | a
Z0,Z1   
i


Z
Z 

13. BİR KARMAŞIK SAYININ KÖKLERİ
n  N+ olmak üzere her Z = r. (cos + isin) sayısının n.
2. b < 0 için
kuvvetten n tane farklı kökü bulunur.
| Z | a 
  | Z | a
Z0,Z1   
i


Z
Z 

Bu kökler k  {0, 1, 2, ……, n – 13 dir.}

2 
2  


Zk  n r cos   k    isin   k 

n
n
n
n 




14. ORİJİN ETRAFINDA DÖNME
Buna göre Z=r.(cos + isin)
Bir Z noktasına orijin etrafında  derecelik dönme yap-
sayısının karekökleri,
Z0 =
tırmak için Z sayısı cis ile çarpılır.



r cos  isin 
2
2

y
Z1





Z1  r cos      isin     
2

2


Z


Aynı şekilde Z nin küpkökleri,
Z0 
3



r cos  isin 
3
3

Z1 
3

   2 
   2  
r cos 
  isin 

 3 
 3 

Z2 
3

   4 
   4  
r cos 
  isin 

 3 
 3 

MAT EMAT İK– 2 KON U AN LATI MLI S ORU BA NK ASI
x
Z1= Z.(cos + isin)
döndürme formülü elde edilir.
6
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr
6.
ÇÖZÜMLÜ TEST
1.
A) {1 + i 7 , 1 – i 7 }
C) {2 + 2i , 2 – 2i}
 3 +  12 –  75
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) – 3i
B) –2 3
D) – 3i
E) –2 3i
x2 – 2x + 8 = 0
denkleminin kökleri aşağıdakilerden hangisidir?
E) { 
C) –i
7.
1
i 11
1
i 11
+
, 
–
}
3
3
3
3
f(x) = x6 – 6x5 + 15x4 – 20x3 + 15x2 – 6x + 1
olduğuna göre f(1 – i) aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) –1
2.
B) {4 , 2}
D) {i , –i}
B) 0
C) –i
D) i
E) 1–i
i 4n 3  i20n 1
i12n  6
işleminin sonucu kaçtır?
A) –i
B) 0
C) 1
D) 2i
E) 2
8.
3
i
1
i
i
1
i5
işleminin sonucu nedir?
3.
A) –5i
x + y + xi – yi = 4 + 8i
olduğuna göre,
A) –3
B) –i
C) 0
D) 6
E) 3i
x
nin değeri kaçtır?
y
B) –2
C) 0
D) 2
E) 3
9.
Z
x  1  2i
x  1 i
| Z | 1
olduğuna göre, x kaçtır?
4.
A)
(1 – i)6 (1 + i)5
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) (1 – i)
D) 4 – 4i
B) 1
E) 32 – 32i
z=1–i 3
B) 128 – 128 3i
D) 215
E) 210
www.akademivizyon.com.tr
1
2
C) 0
D) 
3
4
E) 
2
3
(1 + i)6 . Z  1  2i
eşitliğindeki Z karmaşık sayısı aşağıdakilerden
hangisidir?
A)
olduğuna göre, z30 aşağıdakilerden hangisidir?
A) –8 + 8 3i
B)
C) –i
10.
5.
3
2
1 1
 i
4 8
D) 
C) 230
7
1
i
4
B)
1 1
 i
4 8
E) 
C) 
1 1
 i
4 8
1 1
 i
4 8
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ
www.akademivizyon.com.tr
11.
KARMAŞIK SAYILAR
Z + 2 = 3
eşitliğinin geometrik yer denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) (x – 2)2 + y2 = 3
C) (x – 2)2 + y2 = 9
E) x2 + (y – 2)2 = 3
14.
B) (x + 2)2 + y2 = 9
D) x2 + (y – 2)2 = 9
3


Z  3   cos
 i sin 
4
4

karmaşık sayısının standart biçimde gösterimi
aşağıdakilerden hangisidir?
1 i

2 2
B)
2
2

i
3
3
C) 3 + 3i
D)
2
2

i
2
2
A)
E) 
12.
Z – i  1
eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden
hangisidir?
y
A)
4
1
2
x
D)

4
Z2 = 4.Cis
A) i
D) 5
x
0
y
C)
Z1 = 2.Cis
7
4
olduğuna göre, Z1. Z2 çarpımının standart gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
y
B)
2
0
15.
3 2 3 2

i
2
2
B) 3i
E) 8
C) 1 + 2i
y
1
0
1
2
x
–1
0
1
x
–1
–2
olduğuna göre, Z4 kaçtır?
y
E)
–1
 3 
Z = 3.Cis 

 4 
16.
A) –81
B) –27
C) 0
D) 27
E) 81
0
17.
Z = Cis280
olduğuna
göre,

1
Z
karmaşık
sayısının
argümenti kaçtır?
A) 180
13.
Z=1–
1

 Cis
2
6
B) Cis

3
E) 3Cis
D) Cis
C) 240
D) 260
E) 280
3i
karmaşık sayısının kutupsal biçimde gösterimi
aşağıdakilerden hangisidir?
A)
B) 210

6
C) 2  Cis
18. Z = 4 – 5i karmaşık sayısının orjin etrafında
pozitif yönde 30 döndürülmesiyle oluşan karmaşık sayının reel kısmı aşağıdakilerden hangisidir?
5
6

3
A) 2 
D)
MAT EMAT İK– 2 KON U AN LATI MLI S ORU BA NK ASI
8
5 3
2
B) 2 
3
2
1
2
E) 4 3 
5
2
3
C)
5
2 3
2
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr
6.
ÇÖZÜMLER
x2 – 2x + 8 = 0   = (–2)2 – 4.1.8 = 4 – 32 = –28
   28  2 7 i
 ( 2)  2 7i 2  2 7i

1 7
2
2
 x1, 2 =
1.
3   12   75
=
3 .  1  12 .  1  75 .  1
=
3i  2 3i  5 3i  2 3i
 Ç = {1 +
7i , 1 –
7i }
Cevap A’dır.
Cevap E’dir.
2.
i 4n 3  i20n 1
12n  6
i
=
i3  i3
i
2

7.
f(x) = x6 – 6x5 + 15x4 – 203 + 15x2 – 6x + 1
f(x) = (x – 1)6 dır.
f(1 – i) = (1 – i – 1)6 = (–i)6 = i6 = i2 = –1 dir.
Cevap A’dır.
8.
i
 i  i  2i

 2i
1
1
Cevap D’dir.
3.
x + y + xi – yi = 4 + 8i ise
x + y + (x – yi) = 4 + 8i

x
değerini bulalım.
y
3
i
i
x+y=4
x–y=8
2x = 12  x = 6
ve y = –2 dir.
= i
x
6

 3 bulunur.
y 2
= i
Cevap A’dır.
İ5
1
i
11
i
i2
i
1
3
6i
3
 i
1
i
1
i
1
i
i
3
i
i
2
3
i
i
1
i2  1
i
3
6
i
i
i
(i )
2
 i  6i  5i
Cevap A’dır.
4.
(1 – i)6 . (1 + i)5 = (1 – i) . (1 – i)5 . (1 + i)5
= (1 – i) . [(1 – i) . (1 + i)]5 = (1 – i) . (1 + i – i – i2)5
= (1 – i) . (1 + 1)5 = 32 – 32i
Cevap E’dir.
9.
|Z| 

5.
z = 1 – i 3 ise z =
( x  1) 2  2 2
1
( x  1) 2  12
12  (  3 )2  2
(x + 1)2 + 4 = (x – 1)2 + 1
x2 + 2x + 1 + 4 = x2 – 2x + 1 + 1
4x = –3
3
x= 
bulunur.
4
arg(z) = 300  z = 2 . ei300 olur.
(9000  0 (mod360))
 z30 = 230 . ei9000 = 230 . ei.0
= 230 . e0 = 230
Cevap C’dir.
www.akademivizyon.com.tr
| x  1  2i |
1
| x  1 i |
Cevap D’dir.
9
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ
www.akademivizyon.com.tr
10.
Z
Z
1  2i
(1  i)6
1  2i
[2i]3


KARMAŞIK SAYILAR
1  2i
15. Z1 = 2.Cis
[(1  i)2 ]3

4
 7 
Z2 = 4.Cis 

 4 
1  2i
8.i
(i)
  7 
Z1.Z2 = 2.4.Cis  

4 
4
i2
1 1
Z
  i
8
4 8
= 8.Cis(2)
= 8.(Cos2 + i.Sin2)
= 8.(1 + i.0)
= 8 bulunur.
1 1
Z=   i
4 8
Cevap E’dir.
Cevap E’dir.
11. Z + 2 = 3  Z – (–2 + 0.i) | = 3
şeklinde yazılırsa, Merkezi (–2, 0) ve yarıçapı r = 3
olan bir çember belirtir.
(x + 2)2 + y2 = 9 bulunur.
Cevap B’dir.
 3 

 4 
16. Z = 3.Cis 
 3 
Z4 = 34 . Cis 
 4
 4

Z4 = 81.(Cos3 + i.Sin3)
Z4 = 81.(–1 + i.0)
= –81 bulunur.
12. Z – (0 + 1.i)  1 eşitsizliğinin çözüm kümesi
Cevap A’dır.
merkezi (0,1) ve yarıçapı r = 1 olan çember ve
çemberin iç bölgesidir.
Cevap A’dır.
17. Z1 = 
13. Z = 1 –
3.i
1 Cis(180 )

 Cis(180  280 )
Z Cis( 280 )
= Cis(–100) = Cis260 bulunur.
Tan =  3
(Sin( )
Cevap D’dir.
ve Cos(+) olduğundan 4.
bölge]
Esas argüment =
5
olur.
6
| Z |  12  (  3 ) 2  2
Z = Z . Cis = 2. Cis
5
bulunur.
6
18. Z = 4 – 5i karmaşık sayısı 30 döndürüldüğünde
Z1 karmaşık sayısı oluşsun.
Z1 = Z. Cis30
= (4 – 5i) (Cos 30 + i.Sin 30)
Cevap C’dir.
 3
i
= (4 – 5i) 
 
 2

2



3

14. Z = 3   Cos  i  Sin 
4
4

= 2 3  2i 

2
2 
Z = 3  
i
 2

2


Z= 
5 3
5
 
=   2 3   2 
 i

2 
2
 
3 2 3 2

 i bulunur.
2
2
Cevap E’dir.
MAT EMAT İK– 2 KON U AN LATI MLI S ORU BA NK ASI
5 3 .i 5.i 2

2
2
bulunur.
Cevap C’dir.
10
www.akademivizyon.com.tr
MATEMATİK
www.akademivizyon.com.tr
6.
KONU TEKRAR TESTİ
x – 12i = –5 + 2 (x – y)i
eşitliğine göre, x + y toplamı kaçtır?
A) –5
1.
A) –9
B) –9i
C) 3 3
D) 9i
C) –2
D) 1
E) 2
E) 9
7.
2.
B) –4
3 . 27 işleminin sonucu kaçtır?
2  i 2  3i

i
1  2i
ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
8
 16 . 4
2
sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) –7 + 2i B)
A) –8i
3.
B) –4i
C) 0
D) 2+8i
E) –6
z = 1 + i olduğuna göre z10
aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) –32
B) –32i
C) 32
8.
D) 32i
E) 16i
C) –2 + i D)
13  9i
5
E)
2i
5
(z – 1) . (1 – i) = 2 + i
denklemini sağlayan z karmaşık sayısı için Im (z)
nedir?
A)
4.
2  i
5
1
2
B)
2
3
C)
3
4
D)
3
2
E) 2
i2 = –1 dir.
1
= a + ib eşitliğine göre, a + b toplamı kaçtır?
1+ i
A)
1
2
B) 0
C) 
1
2
D) 
3
2
9.
E) –1
z=
3+i
sayısının eşleniğinin sanal kısmı nedir?
4 + 3i
A) 
5.
1+ i
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
2
A)
1  2i
2
B)
i
www.akademivizyon.com.tr
C)
2i
D)
2i
E) 
10.
3
5
11
1
2
i  3 16  4 4  2 9 
A) –3
i
2
B) 
B) –2
C)
1
3
D)
1
5
E)
3
8
ifadesinin değeri nedir?
C) 2
D) 2i
E) 3i
ÖZE L AC AR KA LİTE DE ĞER M İLAT TEM EL LİS E Sİ