ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ

ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
Alev SEVİNDİK
POLİNOM CEBİRLERİNİN KOORDİNAT POLİNOMLARI ve TEST
ELEMANLARI
MATEMATİK ANABİLİM DALI
ADANA,2006
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
POLİNOM CEBİRLERİNİN KOORDİNAT POLİNOMLARI VE TEST
ELEMANLARI
Alev SEVİNDİK
YÜKSEK LİSANS TEZİ
MATEMATİK ANABİLİM DALI
Bu Tez ....../....../2006 Tarihinde Aşağıdaki Jüri Üyeleri Tarafından Oybirliği/Oyçokluğu
İle Kabul Edilmiştir.
İmza:..................................
İmza:................................. İmza:..................................
Yrd.Doç.Dr.Zerrin ESMERLİGİL Prof.Dr.Naime EKİCİ
Yrd.Doç.Dr.Ersin KIRAL
DANIŞMAN
ÜYE
ÜYE
Bu Tez Enstitümüz Matematik Anabilim Dalında hazırlanmıştır.
Kod No:
Prof.Dr.Aziz ERTUNÇ
Enstitü Müdürü
İmza ve Mühür
Not:Bu tezde kullanılan özgün ve başka kaynaktan yapılan bildirişlerin, çizelge, şekil ve fotoğrafların kaynak
gösterilmeden kullanımı, 5846 sayılı Fikir ve Sanat Eserleri Kanunudaki hükümlere tabidir.
ÖZ
YÜKSEK LİSANS TEZİ
POLİNOM CEBİRLERİNİN KOORDİNAT POLİNOMLARI VE TEST
ELEMANLARI
Alev SEVİNDİK
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ
FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
MATEMATİK ANA BİLİM DALI
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Zerrin ESMERLİGİL
Yıl: 2006, Sayfa:65
Jüri: Yrd. Doç. Dr. Zerrin ESMERLİGİL
Prof.Dr.Naime EKİCİ
Yrd.Doç.Dr.Ersin KIRAL
Pn ve An karakteristiği sıfır olan bir K cismi üzerinde sırasıyla n değişkenli
polinom cebiri ve n üreteçli serbest birleşmeli cebir olsun. Bu tezde P2 cebirinin
koordinat polinomlarını bulmamızı sağlayan algoritmalar ile A2 cebirinde bu
probleme paralel olan ve verilen bir elemanının primitif olup olmadığını belirleyen
algoritmalar incelenmiştir. Ayrıca An cebirinin verilen bir endomorfizminin
otomorfizm olması için gerek ve yeter koşullar verilerek An ve Pn cebirlerinin test
elemanları araştırılmıştır.
Anahtar Kelimeler: Polinom cebiri, serbest birleşmeli cebir, koordinat polinomları,
test elemanları, primitif eleman.
I
ABSTRACT
MSc THESIS
COORDİNATES AND TEST ELEMENTS OF POLYNOMİAL ALGEBRAS
Alev SEVİNDİK
DEPARTMANT OF MATHEMATICS
INSTITUTE OF NATUREL AND APPLIED SCIENCES
UNIVERSITY OF ÇUKUROVA
Supervisor: Assist.Prof.Dr. Zerrin ESMERLİGİL
Year: 2006, Pages:65
Jury: Assist.Prof.Dr. Zerrin ESMERLİGİL
Prof.Dr.Naime EKİCİ
Assist.Prof.Dr.Ersin KIRAL
Let Pn and An be the polynomial and free associative algebra over a field K
freely genarated by n generators, respectively. In this thesis we have determined
coordinate polynomials of Pn and we have considered an analogue of this problem in
the algebra A2 . Furthermore we have analyzed algorithms determining whether the
given an element of An is primitive. Also we have given necessary and sufficient
conditions for an endomorphism of An to be an outomorphism. On the other hand we
have constructured test elements for the agebras An and Pn .
Key Words: Polynomial algebra, free associatealgebra, coordinate polynomial, test
element, primitive element.
II
TEŞEKKÜR
Bu çalışmamın hazırlanmasında bilgi ve tecrübeleri ile beni aydınlatan, her
aşamasında yardımlarını esirgemeyen ve değerli zamanlarını ayırarak çalışmamın
tamamlanmasını sağlayan saygıdeğer hocalarım sayın Prof. Dr. Naime EKİCİ ve
sayın Yrd. Doç. Dr. Zerrin ESMERLİGİL’e sonsuz şükran ve teşekkürlermi sunarım.
Ayrıca değerli arkadaşlarım Arş.Gör. Demet PARLAK’a, Arş.Gör. Nazar Şahin
ÖĞÜŞLÜ’e, Arş.Gör. Nazif ÇALIŞ’a ve Arş.Gör. Dilek KAHYALAR’a ,Arş.Gör.
Zeynep Yaptı ya ve tüm Matematik Bölümü akademik personeline bu çalışmanın
oluşmasında yardımlarını esirgemedikleri için teşekkürlerimi sunarım. Tez
yazımında bana yardımcı olan kardeşim Eser SEVİNDİK’e, bugüne kadar beni
sürekli destekleyen ve her zaman yanımda olan eşim Eyyüp SEVİNDİK’e ve aileme
teşekkür ederim.
III
İÇİNDEKİLER
SAYFA
ÖZ.……………………………………………………………………….................. I
ABSTRACT……………………………………………………………………….. II
TEŞEKKÜR………………………………………………………………………. III
İÇİNDEKİLER……………………………………………………………...……. IV
1. GİRİŞ……………………………………………………………………..… 1
2. TEMEL BİLGİLER………………………………………............................. 3
2.1. Serbest Birleşmeli Cebir……………………………………..………… 3
2.2. Fox Türevleri………………………………………………………...… 4
3. JACOBİAN HİPOTEZİ………………………………………………..…… 7
3.1. Polinom Retractları ve Jacobian Hipotezi……………………………… 8
3.2. K [x, y ] nın Retractları………………………………………………… 11
3.3. Jacobian Hipotezinin Uygulamaları…………………………………... 14
4. KOORDİNAT POLİNOMLARI………………………………………..… 18
4.1. İki Değişkenli Polinom Cebirlerinin Koordinatları……...…………… 18
4.1.1. Koordinat Polinomlarının Seçimi İçin Algoritma............................... 27
4.1.2. Jacobian Hipotezi ile Bağlantı............................................................ 29
5. SERBEST BİRLEŞMELİ CEBİRLER
İÇİN TERS FONKSİYON TEOREMİ………………………………...….……… 31
5.1. Ters Fonksiyon Teoremi……………………………………………… 33
5.2. A2 nin Primitif Elemanı İçin Bir Kriter……….……………….……... 36
5.3. Rankı 2 Olan Serbest Birleşmeli Cebirlerin Koordinat Polinomları..... 38
6. POLİNOM CEBİRLERİNİN VE SERBEST BİRLEŞMELİ CEBİRLERİN
TEST ELEMANLARI ……………………………………………….................... 41
6.1. Test Polinomları………………………………………………………. 41
6.2. Polinom Cebirlerinin Test Polinomları……..………………………… 43
6.3 Serbest Birleşmeli Cebirlerin Test Elemanları………………………... 46
KAYNAKLAR………………………………………………………………. 57
ÖZGEÇMİŞ…………………….……………………………………………. 59
IV
1. GİRİŞ
Alev SEVİNDİK
GİRİŞ
An = K x1 ,..., xn , karakteristiği sıfır olan bir K cismi üzerinde serbest üreteç
kümesi X n = { x1 ,..., xn } olan serbest birleşmeli cebir ve Pn = K [ x1 ,..., xn ] K cismi
üzerinde n değişkenli polinom cebiri olsun.
2. Bölüm de tez boyunca kullanılan tanımlar ve bazı gösterimler verildi.
3. Bölümde Jacobian Hipotezi incelendi. Bu bölümde polinom retractları ele
alındı. K [ x, y ] karakteristiği sıfır olan K cismi üzerinde iki değişkenli polinom
cebiri olsun ve R , K [ x, y ] nin bir alt cebiri olsun. Eğer φ ( K [ x, y ]) = R olacak
şekilde bir φ : K [ x, y ] → K [ x, y ] retraksiyonu varsa R ye bir retract denir. R nin
bir retract olması için birbirine denk koşullar verilerek K [ x, y ] nin retractları
karakterize edildi. Eğer K [ x, y ] nin bir φ polinom dönüşümü tersinir Jacobian
matrise sahipse ve sabit olmayan polinomları sabit bırakıyorsa φ nin bir otomorfizm
olduğu gösterildi. Ayrıca Jacobian hipotezinin uygulamaları verildi.
4. Bölümde koordinat polinomlarının nasıl belirleneceği incelendi ve P2 deki
koordinat polinomları için bir algoritma verildi. Buna ek olarak mümkün olan
minimal n sayısı için p1 ,..., pn polinomları Jacobian Hipotezine karşıt bir örnek
sağlarsa bu polinomların her birinin dış rankının 1 den büyük olduğu gösterildi.
5. Bölüm de An serbest birleşmeli cebirinin bir U n = {u1 ,..., un } kümesinin bir
serbest
üreteç kümesi olması için gerek ve yeter koşullar incelendi ve serbest
birleşmeli cebirler için ters fonksiyon teoremi verildi. Bu teoreme göre An nin bir ψ
endomorfizminin bir otomorfizm olması için gerek ve yeter koşul Jacobian
matrisinin tersinir olmasıdır. Bu kısımda A2 = K x, y nin bir elemanının primitif
olması için bir kriter verildi. u ∈ A2 elemanının primitif olması için gerek ve yeter
koşul bir v ∈ A2 elemanı ve 0 ≠ α ∈ K için [u , v ] = α [ x, y ] olmasıdır.
Altıncı bölümde polinom cebirlerinin ve serbest birleşmeli cebirlerin
otomorfizmlerinin nasıl belirleneceği incelendi.
1
1. GİRİŞ
Alev SEVİNDİK
Bir p ( x ) polinomunun minumum dereceli homojen bileşeni maksimum ranklı
ise
p ( x ) in sabit terimi sıfır olan endomorizmler sınıfı içindeki tersinir
endomorfizmleri için test polinomu olduğu gösterildi. Bu bölümde ayrıca serbest
birleşmeli cebirlerin test elemanları ele alınarak ayrıntılı bir şekilde incelendi.
2
2.TEMEL BİLGİLER
Alev SEVİNDİK
2.TEMEL BİLGİLER
2.1.Serbest Birleşmeli Cebir
K bir cisim X boş olmayan bir küme olsun. X deki harflerin w = x1 x2 ...xk ,
k ≥ 0 , xi ∈ X şeklindeki sonlu bir dizisine bir kelime denir. W ( X ) , X deki
harflerin yan yana dizilmesi ile oluşan kelimelerin kümesi olsun. A , bazı W ( X )
olan serbest K modül olsun. A daki çarpım W ( X ) kümesini A nın alt yarı grubu
(yarı grup: Boş olmayan bir küme ve bu küme üzerindeki birleşmeli ikili işlem ile bir
yarı gruptur. ) ve A yı cebir yapacak şekilde belirlenebilir. Bu durumda A serbest
üreteç kümesi X olan birim elemanlı serbest birleşmeli cebirdir.
An ile { xi } , 1 ≤ i ≤ n serbest üreteç kümesiyle tespit edilen rankı ≥ 2 olan serbest
birleşmeli cebiri göstereceğiz.
kümesinden gelen harflere göre yazılışında
Tanm 2.1.1. Bir kelimenin X
u ∈ K [ x1...xn ] için xij ∈ X
olmak üzere u = xi1 xi 2 ...xik şeklinde ise u ya bir
monomial ve k sayısına u nun derecesi denir.
p ∈ K [ x1 ,..., xn ] için p nin yazılışındaki en büyük dereceli monomiale p nin
yazılışındaki leading terimi denir.
Tanım 2.1.2. p ∈ K [ x1 ,..., xn ] için p nin yazılışındaki bütün monomiallerin derecesi
aynı ise p ye homojen polinom denir.
p ∈ K [ x1 ,..., xn ] polinomu için p tarafından üretilen ideali p ile göstereceğiz.
Tanım
2.1.3.
Verilen
bir
F
cismi
üzerindeki
f = ( f 0 , f1 ,..., f n ) , g = ( g 0 , g1 ,..., g m ) olmak üzere
1) af + bg = ( af 0 + bg 0 ,..., af m + bg m ,..., af n )
3
polinomların
kümesi
2.TEMEL BİLGİLER
2)
Alev SEVİNDİK
k = 0,1, 2,...
işlemleriyle F üzerinde değişmeli ve birim elemanlı bir cebirdir.
K [ x1 ,..., xn ] karakteristiği sıfır olan bir K cismi üzerinde n değişkenli polinom
cebiri olsun. Daha genel olarak K [ p1 ,..., p n ] ile K [ x1 ,..., xn ] nin p1 ,…, p n
polinomları tarafından üretilen alt cebirini gösterelim.
Tanım 2.1.4. f1 ,..., f m ∈ K [ x1 ,..., xn ] için g = ( f1 ,..., f m ) olsun. g ( f1 ,..., f m ) = 0
olacak şekilde sıfırdan farklı bir bağıntı bulunamıyorsa
f1 ,..., f m
cebirsel
bağımsızdır.
Tanım 2.1.5. K [ x1 ,..., xn ] nin bir otomorfizmi değişkenlerden biri dışında
diğerlerini sabit bırakıyorsa bu otomorfizme elemanter otomorfizm denir. EndAn ile
An cebirinin endomorfizmler grubunu, AutAn ile An cebirinin otomorfizmler
grubunu göstereceğiz.
2.2. Fox Türevleri
ε : A → K , 1 ≤ i ≤ n için ε ( xi ) = 0
olarak tanımlanan dönüşüme genişletme homomorfizmi denir. Bu homomorfizmin
çekirdeği, bazı X olan bir serbest sol A modüldür. Bu modülü Δ ile gösterelim.
Her u ∈ Δ elemanı
u=
∂u
∂u
∂u
x1 +
x2 + ... +
xn
∂x1
∂x2
∂xn
formunda tek bir şekilde yazılabilir. Burada
koordinatları olan
4
{ x1 ,..., xn }
bazına göre u nun
2.TEMEL BİLGİLER
Alev SEVİNDİK
∂u
xi , ( i = 1,..., n ) elemanları fox türevleri olup bu türevler aşağıdaki şekilde
∂xi
tanımlanır.
∂
: A → A ( 1 ≤ i ≤ n ) dönüşümleri sol fox türevleri
∂xi
Aşağıdaki koşulları sağlayan
olarak adlandırılır.
1.
∂xi
= δ ij ,
∂x j
∂
∂u
∂v
(α u + β v ) = α + β ,
∂xi
∂xi
∂xi
2. Her u, v ∈ A ve α , β ∈ K için
3. Her u, v ∈ A için
∂
∂u
∂v
( uv ) = ε ( v ) + u ,
∂xi
∂xi
∂xi
eğer yukardaki koşullar aşağıdaki gibi ise
1.
∂
fonksiyonuna sağ fox türevleri denir.
∂xi
xi ∂
= δ ij ,
∂x j
(α u + β v ) ∂ = α u ∂ + β
2. Her u, v ∈ A ve α , β ∈ K için
3. Her u, v ∈ A için
( uv ) ∂ = ε
∂xi
(u )
∂xi
∂xi
v∂
,
∂xi
∂v u∂
v.
+
∂xi ∂xi
Tanım 2.2.1. 1 ≤ i ≤ n için xi yi p ye götüren φ otomorfizminin Jacobian matrisi
Jφ = ( d j ( pi ) )
1≤ i , j ≤ n
şeklinde tanımlanır. Eğer φ endomorfizmi için p = φ ( q ) ise
zincir kuralı gereğince
( d ( p ) ,..., d ( p ) ) = (φ ( d ( q ) ) ,...,φ ( d ( q ) ) ) .Jφ
1
n
1
n
5
(2.1)
2.TEMEL BİLGİLER
Alev SEVİNDİK
dır.Burada Jφ , φ jacobian matrisidir. Ayrıca jacobian matrisler için çarpım kuralı
Jφ (ψ ) = ψ ( Jφ ) Jψ
(2.2)
dır. GLk ( Pn ) ile Pn üzerindeki k × k tipindeki matrislerin cebirini, GEk ( Pn ) ile
GLk ( Pn ) deki elemanter ve diagonal matrisler tarafından üretilen matrisleri
göstereceğiz.
6
3.JACOBİAN HİPOTEZİ
Alev SEVİNDİK
3. JACOBİAN HİPOTEZİ
Bu bölümde polinom fonksiyonları ile ilgili ünlü bir problem olan Jacobian
hipotezini inceleyeceğiz.
K [ x1 ,..., xn ] karakteristiği sıfır olan bir K cismi üzerinde n değişkenli polinom
cebiri olsun. Daha genel olarak K [ p1 ,..., p n ] ile K [ x1 ,..., xn ] nin p1 ,…, p n
polinomları tarafından üretilen alt cebirini gösterelim.
Tanım 3.0.1. p ∈ K [ x1 ,..., xn ] olsun. K [ x1 ,..., xn ] nin her
α otomorfizmi için
α ( p ) = xi ise p polinomuna koordinat polinomu veya sadece koordinat denir.
p1 ,…, p n ∈ K [ x1 ,..., xn ] olsun. K [ x1 ,..., xn ] cebirinin p1 ,…, pm polinomları
tarafından üretilen idealini ⟨ p1 ,..., p m ⟩ şeklinde gösterelim.
Tanım 3.0.2. p ∈ K [ x1 ,..., xn ] olsun. Eğer her, φ : K [ x1 ,..., xn ] → K [ x1 ,..., xn ]
endomorfizmi için φ ( p ) =p iken φ bir otomorfizm oluyorsa p polinomuna test
polinomu denir.
Teorem 3.0.3. ( Abhyankar ve Moh, 1975 ) p=p ( x ) , q= q ( x ) , K [x] de dereceleri
sırasıyla m ≥ 1 ve n ≥ 1 olan iki polinom olsun.Eğer
K [x] =K [ p, q]
ise o zaman ya m/n dir veya n/m dir.
Şimdi üzerinde yıllardır çalışılan ve hala çözülememiş olan jacobian hipotezini
inceliyelim.
7
3.JACOBİAN HİPOTEZİ
Alev SEVİNDİK
Problem 3.0.4.(Jacobian Hipotezi) (Keller, 1939 ) p 1 ,..., pn ∈ K [ x1 ,..., xn ]
polinomları için Jacobian matrisi tersinir ise K [ p1 ,..., pn ] = K [ x1 ,..., xn ] dir.
n = 2 olması durumu oldukça özel bir durum olup bir φ endomorfizmi için eğer J φ
tersinir ve K [x1 , x2 ] nin bir ψ otomorfizmi için φψ bileşkesi K [x1 , x2 ] de sabit
olmayan polinomları sabit bırakıyorsa, φ nın bir otomorfizm olduğu Shprilrain
tarafından gösterilmiştir. ( Shprilrain ve Yu, 2000 )
3.1.Polinom Retractları ve Jacobian Hipotezi
Tanım 3.1.1. K [x, y ] , K cismi üzerinde iki değişkenli polinom cebiri ve R, K [x, y ]
nin bir alt cebiri olsun. Eğer R aşağıdaki birbirine denk olan koşullardan birini
sağlıyorsa R ye bir retract denir.
bir φ : K [x, y ] → K [x, y ] idempotent
(R 1 ) φ ( K [ x, y ]) = R olacak şekilde
homomorfizmi vardır. Bu homomorfizme bir retraksiyon denir.
(R 2 ) R nin her elamanını sabit bırakan bir φ : K [ x, y ] → R homomorfizmi vardır.
(R 3 ) K [ x, y ] cebirinin bazı I idealleri için K [ x, y ] = R ⊕ I dır.
(R 4 ) I, (R 3 ) deki ideal olmak üzere 1 → I → K [ x, y ] → R → 1 şeklinde bir ayrık
tam dizi vardır.
Örnekler:
1. p ∈ K [x, y ] bir koordinat polinomu olmak üzere K ve K [x, y ] nin K [ p ] formundaki
herhangi bir alt cebiri bir retractdır.
8
3.JACOBİAN HİPOTEZİ
Alev SEVİNDİK
2. p= x+x 2 y koordinat olmadığı halde K [ p ] , K [x, y ] nin bir retractıdır.
3. Bir retractın K [x, y ] nin herhangi bir otomorfizmi altındaki görüntüsü yine bir
retracttır.
( Costa, 1977 ) K [x, y ] nin, K ve K [x, y ] den farklı olan her öz retractının,
p ∈ K [x, y ] için K [ p ] formunda olduğunu göstermiştir. K [x, y ] nin bir retractının bir
otomorfizm
altındaki
görüntüsü
yine
bir
retract
olduğundan
retraktları
otomorfizmlerle de karakterize etmek mümkündür. Bunu aşağıdaki teoremle
gösterebiliriz.
Teorem 3.1.2. ( Shpilrain ve Yu 2000 ) K [ p ] , K [x, y ] nin bir retractı olsun. O
zaman bir q=q ( x, y ) polinomu için bir ψ ∈ Aut ( K [ x, y ]) vardır öyle ki
ψ ( p ) = x + yq dur. K ⎡⎣ψ ( p ) ⎤⎦ nin bir retraksiyonu x → x+yq , y → 0 şeklindedir.
Sonuç 3.1.3. Bir p ∈ K [ x, y ] polinomunun bir retractı üretmesi için gerek ve yeter
koşul K [x, y ] nin p yi x e götüren bir polinom dönüşümünün bulunmasıdır.
Teorem 3.1.2. in bir çok uygulamaları vardır.Bunlardan biri de Jacobian hipotezidir.
K [x, y ] nin retractları ile Jacobian Hipotezi arasındaki ilişkiyi aşağıdaki anlamda
düşüneceğiz.
Hipotez 3.1.4. (“R” Hipotezi):
p,q ∈ K [ x, y ] polinom çifti için karşılık gelen
Jacobian matris tersinir ise o zaman K [ p ] , K [x, y ] nin bir retractıdır.
R Hipotezi p nin koordinat polinomu olma özelliği yerine bir retractı üretme
özelliğine dayanmaktadır bu nedenle daha az kısıtlayıcıdır. Bununla birlikte esas olan
nokta iki hipotezin denk olmasıdır.
Teorem 3.1.5. “R” Hipotezi, Jacobian Hipotezine denktir.
9
3.JACOBİAN HİPOTEZİ
Alev SEVİNDİK
Tanım 3.1.6. (Jacobian çift) p, q ∈ K [ x, y ] polinomları için Jacobian matris tersinir
ise ( p, q ) çiftine Jacobian çift denir.
Sonuç 3.1.7. Aşağıdaki iddialardan herbiri Jacobian Hipotezine denktir.
Varsayalım ki ( p, q ) bir Jacobian çifti olsun.
(i) Bir g koordinat polinomu için K [ x, y ] = K [ p ] + ⟨ g ⟩ dir.
(ii) Bir g koordinat polinomu için K [ x, y ] = K [ g ] + ⟨ p⟩ dir.
Sonuç 3.1.8. ( Gwozdziewicz, 1993 ) Varsayalım ki φ ,
[x, y ] nin Jacobian matrisi
tersinir olan bir polinom dönüşümü olsun. Eğer φ bir doğru üzerinde injektif ise φ
bir otomorfizmdir.
Bir φ : K [x, y ] → K [x, y ] polinom dönüşümü için
∞
φ ∞ ( K [ x, y ]) = I φ k ( K [ x, y ]) olsun.
k =1
Teorem 3.1.9. φ , K [ x, y ] nin bir polinom dönüşümü olsun. Eğer φ nin Jacobian
matrisi tersinir ise ya φ bir otomorfizmdir yada φ ∞ ( K [ x, y ]) = K dır. Eğer φ bir
p ∈ K [ x, y ] polinomunu sabit bırakıyorsa p ∈ φ ∞ ( K [ x, y ]) dir.
Sonuç 3.1.10. Varsayalım ki φ , K [ x, y ] nin tersinir Jacobian matrise sahip olan bir
polinom dönüşümü olsun. Eğer sabit olmayan her p ∈ K [ x, y ] polinomu için
φ ( p ) = p ise φ bir otomorfizmdir.
Bu sonuç aşağıdaki önemli sonuca karar vermemizi sağlar.
Eğer φ , K [ x, y ] nin tersinir Jacobian matrise sahip bir polinom dönüşümü ise bir
α otomorfizmi için α .φ dönüşümü sabit olmayan polinomları sabit bırakır.
10
3.JACOBİAN HİPOTEZİ
Alev SEVİNDİK
3.2. K [ x, y ] nin Retractları
Teorem 3.1.2. nin Ispatı:
p ∈ K [ x, y ] olmak üzere K [ p ] , K [ x, y ] nin bir retractı
ve q1 , q2 tek değişkenli polinomlarına karşılık gelen retraksiyon
φ : x → q1 ( p )
y → q2 ( p )
olsun. φ bir retraksiyon olduğu için q1 ( p ) , q2 ( p ) ; K [ p ] yi gerer. Varsayalım ki q1
ve q2 nin dereceleri sırasıyla n ≥ 1 ve m ≥ 1 olsun. O zaman Abhyankar-Moh teoremi
( Teorem 6 ) gereğince ya m / n yada n / m dir. Varsayalım ki bir k ≥ 1 tamsayısı
için
deg ( q1 ) = k deg ( q2 )
olsun. O zaman koordinatlarda
x → x% = x − cy k ,
y → y% = y
değişikliğini yapabiliriz. Burada c ∈ K * katsayısı q1 − cq2k polinomundaki en büyük
dereceli terimi yok edecek şekilde seçilir. Bu yeni koordinatlarla
φ : x% → q1 − cq2k = q%1 ,
y% → q2 = q%2
11
3.JACOBİAN HİPOTEZİ
Buradan
Alev SEVİNDİK
q%1 ve q%2 polinomlarının K [ p ] nin başka bir üreteç kümesi olduğu
görülebilir. Fakat q%1 ve q%2 nin dereceleri toplamı q1 ve q2 nin derecelerinden
küçüktür. Bu yöntemin devamında bir tanesi c ∈ K sabiti olan polinom çiftini elde
edeceğiz ve diğer polinomu h ile gösterelim. O zaman K [ h ] = K [ p ] dir. (yani
h = c1 p + c2 bir c1 ∈ K ∗ , c2 ∈ K
için ) Böylece koordinatları değiştirerek bir
ψ ∈ Aut ( K [ x, y ]) için
φψ : x → c1. p + c2 ,
y→c
elde edilir. Buradan bir q ( x, y ) polinomu için
c1.ψ ( p ( x, y ) ) + c2 = x + ( y − c ) .q ( x, y ) ,
olup
ψ ( p ( x, y ) ) = c1−1 x + c1−1 ( y − c ) .q − c1−1.c2
= c1−1 − c1−1c2 + c1−1 ( y − c ) .q
= c1−1 x − c1−1c2 + c1−1 yq − c1−1cq
elde edilir.
Sonuç 3.1.3. nin ispatı:
12
3.JACOBİAN HİPOTEZİ
Alev SEVİNDİK
(1) Varsayalım ki p ∈ K [ x, y ] polinomu K [ x, y ] nin bir retractını üretsin. O
zaman Teorem 3.1.2 den bir Ψ ∈ Aut ( K [ x, y ]) otomorfizmi için Ψ ( p ) polinomu
x + y.q ( x, y ) formundadır. φ , K [ x, y ] nin
φ: x→x
y→0
formundaki bir dönüşümü olsun. O zaman φ (ψ ( p ) ) =x dir.
(2) Sonucun yeter koşulunu K [ x1 ,..., xn ] çok değişkenli polinom cebiri için
ispatlayacağız. φ ( p ) = x1 olsun. K [ x1 ,..., xn ] nin
Ψ : x1 → p
xi → 0
i=2,..,n
dönüşümünü düşünelim. O zaman
Ψ (φ ( p ) ) =p
(3.1)
dir.
ψφ = ρ ile gösterelim. O zaman (3.1) den ρ ( p ) = p olup ρ , K [ p ] nin her
elamanını sabit bırakır. Üstelik ρ ( K [ x1 ,..., xn ]) = K [ p ] açıktır. Bu nedenle ρ ,
K [ x1 ,..., xn ] nin bir retraksiyonudur. O halde K [ p ] bir retracttır.
Önerme 3.2.1. R , K [ x1 ,..., xn ] nin p1 ,..., pn n ≥ 2 polinomları tarafından üretilen
bir öz retractı olsun. O zaman p1 ,..., pn cebirsel bağımlıdır.
13
3.JACOBİAN HİPOTEZİ
Alev SEVİNDİK
İspat : φ : K [ x1 ,..., xn ] → R , φ ( R ) = R olacak şekildeki retraksiyon olsun. Ayrıca
φ nin R’ye kısıtlanmışı R nin bir otomorfizmidir. Eğer
p1 ,..., pn polinomları
cebirsel bağımsız olsaydı ( Connel ve Zweibell, 1994 ) deki sonuçtan φ ,
K [ x1 ,..., xn ] nin bir otomorfizmi olurdu. Bu durumda R= K [ x1 ,..., xn ] dir. Bunun
anlamı R öz retract değildir ve bu bir çelişkidir.
3.3. Jacobian Hipotezi nin Uygulamaları
Teorem 3.1.5. in ispatı: φ , K [ x, y ] nin
φ : x → p ( x, y )
y → q ( x, y )
olarak tanımlanan ve Jacobian matrisi tersinir olan bir polinom dönüşümü olsun.
Eğer “R” Hipotezi doğru ise o zaman p ( x, y ) , K [ x, y ] nin bir retractını üretir.
Teorem 3.1.2 den bir Ψ ∈ AutK ⎡⎣ K ( x, y ) ⎤⎦ otomorfizmi için Ψ ( p ) =x+y.h ( x, y )
formundadır. Bu nedenle φ ile Ψ nin birleşimi üzerine eğer gerekirse p ( x, y ) nin
kendisinin de bu forma sahip olduğunu varsayabiliriz. ( Appelgate ve Onishi, 1985 )
ve (Lang, 1991) den q= α p
olacak şekilde α ∈ K [ x, y ] vardır. K [ p ] , K [ x, y ] nin
bir retractı idi o zaman
K [ x, y ] = K [ p ] ⊕I
şeklindedir. Buradan
I = q ⇒ K [ x, y ] = K [ p ] ⊕ q
= K [ p] ⊕ α p
14
3.JACOBİAN HİPOTEZİ
Alev SEVİNDİK
elde edilir. Bu bir çelişkidir. Dolayısıyla φ bir otomorfizm olmak zorundadır. O
halde K [ x, y ] = K [ p, q ] dır.
Sonuç 3.1.7. nin ispatı:
( i ) Genelliği kaybetmeksizin
p ve g nin her ikisininde sabit terimini sıfır olduğunu
kabul edebiliriz. Eğer gerekirse; bu iki polinoma bir otomorfizim uygulayarak g =x
olduğunu varsayabiliriz.
İlk olarak eğer K [ x, y ] = K [ p ] + x ise bu toplamın direkt olduğunu göstermeliyiz.
Bunu çelişki bulma yöntemi kullanarak gösterelim. Varsayalım ki sıfırdan farklı bir
u = u ( x, y ) polinomu ve ci ∈ K sabitleri için
x.u =
m
∑c p
i =1
(3.2)
i
i
olsun (3.2) eşitliğinin sol tarafı x ile bölünebildiğinden sağ tarafı da x ile bölünür.
Bu ancak p’ nin kendisinin x ile bölünmesiyle mümkündür fakat bu durumda
p ’nin Newton poligonu y-ekseni boyunca bir kenara sahip olamaz. Bu da p ’nin
Jacobian çiftine sahip olması ile çelişir.(Lang, 1991) böylece K [ x, y ] = K [ p ] ⊕ x
tir. ( R3 ) teki retract tanımından K [ p ] , K [ x, y ] nin bir retractıdır. Teorem 3.1.5 den
K [ p, q ] = K [ x, y ] dir.
( ii ) ( i )
m
den p.u = ∑ ci x i eşitliğini elde ettik. Bu durumda p , y ’ ye bağlı olamaz.
i =1
Böylece p = p ( x ) dir, fakat böyle olursa K [ x, y ] = K [ x ] + p
olması mümkün
değildir.
Böylece K [ x, y ] = K [ x ] ⊕ p dir. Bu da açıkça gösterir ki bazı c ∈ K * için p = c. y
dir.
15
3.JACOBİAN HİPOTEZİ
Alev SEVİNDİK
Sonuç 3.3.1. K cebirsel kapalı bir cisim ve p,q ∈ K [ x, y ] için
çifti olsun. Varsayalım ki
p
( p, q )
bir Jacobian
bir homojen polinom tarafından bölünebilen
g ∈ K [ x, y ] polinomu için p=x+g formunda ise K [ p, q ] = K [x, y ] dir.
İspat : p lineer olması durumunda iddia gösterildi. Varsayalım ki p lineer olmasın
ve varsayalım ki g sabit olmayan h homojen polinomu tarafından bölünsün. Eğer
h, x tarafından bölünebiliyorsa p ’nin kendisi de x tarafından bölünür. Bu durumda
p ’nin Newton poligonu y- ekseni boyunca bir kenara sahip olamaz. Bu da p ’nin
Jacobian çiftine sahip olması ile çelişir.(Lang, 1991) Eğer h, y ile bölünebiliyorsa
K [ p ] , K [ x, y ] nin bir retractıdır. Eğer y ile bölünmüyorsa bir c ∈ K * vardır öyle
ki x → p y → cp ye götüren homomorfizm h’yi 0 a götürür. Bu homomorfizm
retraksiyondur. Dolayısıyla K [ p ] , K [ x, y ] nin bir retractıdır.Van den. Essen ve
Tutai ( Essen ve Tutaj,1994 ) de eğer
polinomlar olmak üzere
( p, q )
Jacobian çifti için h1 ve h2 homojen
( p, q ) , ( x + h1 , y + h2 )
formunda ise K [ p, q ] = K [ x, y ]
olduğunu gösterdiler.
Teorem 3.3.2. φ : x → p ( x, y ) ; y → q ( x, y ) K [ x, y ] nin tersinir Jacobian matrisine
sahip bir polinom dönüşümü olsun. Varsayalım ki φ ( K [ x, y ]) bir koordinat
polinomu içersin. O zaman φ bir otomorfizmdir.
İspat: φ nin bir otomorfizm ile birleşimini göz önüne alıp x ∈ φ ( K [ x, y ]) olduğunu
varsayabiliriz.
Bu
ise
K [ p, q , x ] = K [ p, q ]
olduğunu
ve
böylece
K ( p, q, x ) = K ( p, q ) eşitliğinin varlığını gösterir. Burada K ( p, q ) , K [ p, q ] nin
kesir cismidir.
Diğer taraftan ( Formanek, 1994 ) sonucundan
( p, q )
nun Jacobian çifti olması
K ( p, q, x ) = K ( x, y ) olması demektir. O halde K ( p, q ) = K ( x, y ) dir.
16
3.JACOBİAN HİPOTEZİ
Alev SEVİNDİK
( Keller, 1939.) Bu durum K [ p, q ] = K [ x, y ] olmasını gerektirir.
Teorem 3.1.9. nin ispatı: Varsayalım ki φ bir otomorfizm olmasın. O zaman
Teorem 3.3.2 den φ
( K [ x, y ] )
koordinat polinomlarını içermez. φ
( K [ x, y ] )
deki
herhangi bir polinomun derecesi en az 2 dir. Tümevarım yöntemi kullanılarak
φ k ( K [ x, y ]) deki sabit olmayan herhangi bir polinomun derecesinin en az (k+1)
olduğunu göreceğiz. Bu da φ ∞ ( K [ x, y ]) = K
φ k ( K [ x, y ]) cebirini düşünelim; φ
olması demektir.
k ≥ 1 için
bire-bir olduğundan φ k ( x ) ve φ k ( y )
polinomları cebirsel bağımsızdır. Eğer φ
nin φ k ( K [ x, y ])
ye kısıtlaması
φ k ( K [ x, y ]) de bir otomorfizm ise ( Connell ve Zweibel, 1994 ) ün sonucundan φ ,
(
)
K [ x, y ] nin bir otomorfizmi olacaktır. Bu ise varsayımımızla çelişir. φ k ( K [ x, y ]) ,
φ altında invaryant olduğundan φ k ( K [ x, y ]) ⊆ φ k −1 ( K [ x, y ]) olup
φ k +1
( K [ x, y ] ) ⊆ φ ( K [ x, y ] )
k
dir. Buradan φ / φ k ( K [ x, y ]) , φ k ( K [ x, y ]) nin
otomorfizmi değildir. Önce verdiğimiz bilgiye göre φ k +1 ( K [ x, y ]) , φ k ( K [ x, y ]) nin
koordinat polinomlarını içermez. Ayrıca φ k +1 ( K [ x, y ]) deki herhangi bir polinomun
derecesi φ k ( K [ x, y ]) deki koordinat polinomunun derecesinden büyüktür.
17
4.KOORDİNAT POLİNOMLARI
Alev SEVİNDİK
4. KOORDİNAT POLİNOMLARI
Bu
bölümde
koordinat
polinomlarının
nasıl
belirleneceğini
inceleyeceğiz.
Pn = K [ x1 ,..., xn ] , K cismi üzerindeki polinom cebiri olsun. P2 deki koordinatları
belirleyecek çeşitli algoritmalar olmasına rağmen n ≥ 3 için Pn cebirinde koordinat
polinomlarını belirleyecek algoritmalar yoktur.
Tanım 4.0.1. p ∈ K [ x1 ,..., xn ] polinomunun dış rankı, p nin otomorfik görüntüleri nin bağlı olduğu xi üreteçlerinin minimal sayısıdır. Bu sayıyı orank ( p ) ile göstere ceğiz.
Bir koordinat polinomunun dış rankının 1’e eşit olduğu açıktır. Fakat bunun tersi
doğru değildir. Sabit terimi sıfır olan indirgenmez polinomların dış rankı 1 dir.
Verilen bir elemanın farklı cebirsel sistemlerde dış rankının bulunması, üzerinde çok
çalışılan bir problemdir. Bu konuda ( Lyndon ve Zolotykh, 1994 ), ( Mikhalev ve
Zolotykh, 1994 ), ( Umirbaev, 1996 ) ve ( Bergman, 1999 ) çalışmaları önemli bir yer
tutar.
4.1. İki Değişkenli Polinom Cebirlerinin Koordinatları
p ∈ Pn olsun. p nin xi ye göre kısmi türevini d i ( p ) ve p nin d1 ( p ) ,..., d n ( p )
kısmi türevleri tarafından üretilen ideali I d ( p ) ile gösterelim.
Tanım 4.1.1. p ∈ Pn olsun. Eğer I d ( p ) = Pn ise p polinomu unimoduler gradiente
sahiptir denir.
Tanım 4.1.2. (Gröbner İndirgemeleri) Verilen bir ( p, q ) polinom çifti için
18
4.KOORDİNAT POLİNOMLARI
Alev SEVİNDİK
S ( p, q ) =
diyelim.
1.t. ( p ) ,
Burada
L
L
p−
q
1.t. ( p )
1.t. ( q )
p nin
en
büyük
dereceli
terimi;
L = 1.c.m. (1.m. ( p ) ,1.m. ( q ) ) , burada 1.c.m en küçük ortak kat ve 1.m. ( p ) , p nin
leading monomialidir.
Bu çalışmada monomiallere bir tam sıralama verildiğini ve x1 > x2 > ... > xn
olduğunu kabul edeceğiz.
Gröbner indirgemeleri iki şekilde ortaya çıkar:
1)Regüler veya elemanter dönüşümler: Bu dönüşümler r bir polinom ve α ∈ K ∗
olmak üzere eğer p nin en büyük dereceli monomiali q nun en büyük dereceli
monomiali tarafından bölünürse S ( p, q ) = α . p − r.q veya q nin en büyük dereceli
monomiali p nun en büyük dereceli monomiali tarafından bölünüyorsa bu durumda
S ( p, q ) = α .q − r. p
şeklindedir. Bu dönüşümlere lineer denilmesinin sebebi
( p , q ) → ( α1 p , α 2 q ) M
formunda yazılmasıdır burada M elemanter matristir. İkiden
fazla polinom olması durumunda
( p1 ,..., pk ) → (α 1 p1 ,..., α k pk ) M
yazılır. Burada
M , k × k tipinde elemanter matris olup buradaki indirgeme bir polinom çifti
üzerinde uygulanırken diğerlerini sabit bırakır. Bazen kolaylık olması bakımından α i
katsayılarını kaldırıp
( p1 ,..., pk ) → ( p1 ,..., pk ) M ,
yazacağız. Burada M , GLk ( Pn )
nin tüm elemanter ve köşegen matrisleri tarafından üretilen GEk ( Pn ) grubuna aittir.
k ≥ 3 ise GEk ( Pn ) = GLk ( Pn )
olduğu ( Suslin, 1977 ) de ve n ≥ 2
GE2 ( Pn ) ≠ GL2 ( Pn ) olduğu ( Cohn, 1985 ) de gösterilmiştir.
2)Singüler dönüşümler: Bunlar regüler olmayan dönüşümlerdir.
19
ise
4.KOORDİNAT POLİNOMLARI
Alev SEVİNDİK
Teorem 4.1.3. p ∈ P2 polinomu unimodular gradiente sahip olsun. O zaman p ’nin
dış rankının 1’e eşit olması için gerek ve yeter koşul sadece elemanter dönüşümler
kullanılarak ( d1 ( p ) , d 2 ( p ) ) ‘den (1, 0 ) elde edilebilmesidir veya bir M ∈ GE2 ( P2 )
için ( d1 ( p ) , d 2 ( p ) ) M = (1, 0 ) olmasıdır.
Önerme 4.1.4. p ∈ Pn polinomunun koordinat polinomu olması için gerek ve yeter
koşul dış rankının 1 olması ve unımoduler gradiente sahip olmasıdır.
Bu önerme Teorem 4.1.3 ile birleştirilirse aşağıdaki teorem elde edilir.
Teorem 4.1.5. Bir p ∈ P2 polinomunun koordinat polinomu olması için gerek ve
yeter koşul sadece elemanter Gröbner indirgemeleri kullanılarak ( d1 ( p ) , d 2 ( p ) ) den
(1, 0 )
elde edilebilmesidir.
Bu, P2 deki koordinat polinomlarının bulunması için doğrudan doğruya bir
algoritma verir. p bir koordinat polinomu olduğunda bu algoritma p ’yi P2 nin
bazına tamamlayacak polinomu da bulabilir. n ≥ 3 olduğunda Pn nin koordinat
polinomlarını seçmek için bir algoritmanın varlığı henüz
bilinmemektedir. p
koordinat polinomunu bulmak için geliştirilen algoritma p yi x1 e dönüştüren
elemanter otomorfizmlerin bir dizisini de belirler. Bu otomorfizmler, lineer
otomorfizmler ile
x1 → x1 + f ( x2 )
x2 → x2
formundaki otomorfizmlerden oluşur.
Şimdi Teorem 4.1.3 ü ispatlayabilmek için aşağıdaki önermelere ihtiyacımız vardır.
20
4.KOORDİNAT POLİNOMLARI
Alev SEVİNDİK
Önerme 4.1.4. ün İspatı:
(i )
Varsayalım ki p bir koordinat olsun orank ( p) = 1 ’ dir. Tanımdan P n nin
p yi x1 ’ e götüren bir otomorfizmi vardır. Bir φ otomorfizmi için p = φ ( x1 ) olsun.
O zaman (2.1) deki zincir kuralının uygulamasından
( d ( p ) ,..., d ( p ) ) = (φ ( d ( x ) ) ,...,φ ( d ( x ) ) ) .Jφ
1
1
n
1
n
1
elde ederiz. Buradan
( d ( p ) ,..., d ( p ) ) = (1, 0,..., 0 ) .Jφ
1
( 4.1)
n
bulunur. φ bir otomorfizm olduğundan Jφ matrisi tersinirdir. Böylece (4.1) den
( d ( p ) ,..., d ( p ) ) Jφ = (1, 0,..., 0 ) ,
−1
1
n
elde edilir. 1 ∈ I d ( p ) . O halde I d ( p ) = Pn dir.
( ii )
Varsayalım ki orank ( p ) = 1 ve I d ( p ) = Pn olsun. Otomorfizm uygulandıktan
sonra p yi p = ∑ α i x1i formuna indirgeyebiliriz burada α i ∈ K dır. d1 ( p ) ler Pn ’ i
i
ideal olarak üretmeli. Fakat bu ancak i⟩1 için α i = 0 olmasıyla mümkündür. Böylece
p koordinat polinomudur.
Önerme 4.1.6. p ∈ Pn koordinat polinomu olsun. O zaman yalnızca elemanter
dönüşümler kullanılarak ( d1 ( p ) ,..., d n ( p ) ) den (1, 0,..., 0 ) elde edilebilir.
21
4.KOORDİNAT POLİNOMLARI
Alev SEVİNDİK
Teorem 4.1.7. φ , Pn nin bir otomorfizmi ise Jφ Jacobian matrisi GEn ( Pn ) e aittir.
İspat: Jφ nin GLn ( Pn ) e ait olması zincir kuralından elde edilir. Burada iki durum
söz konusudur:
(i )
n ≥ 3 olsun. O zaman ( Suslin, 1977 ) un sonucundan GEn ( Pn ) = GLn ( Pn )
( ii )
n = 2 olsun. Bu durumda P2 ’nin otomorfizm grubu lineer otomorfizm ve
dir.
x1 → x1 + f ( x2 )
x2 → x2
,
( Burada f ( x2 ) , x1 e bağlı olmayan bir polinomdur ) formundaki otomorfizmler
tarafından üretilir ( Jung,1942 ). Bu otomorfizmlerin her birinin Jacobian matrisleri
GE2 ( P2 ) ye aittir. Bu nedenle P2 nin herhangi bir otomorfizminin Jacobian matrisi
de GE2 ( P2 ) ye aittir.
Önerme 4.1.6. nın İspatı:
Önerme 4.1.4 den I d ( p ) = Pn dir. p koordinat polinomu olduğundan bir φ
otomorfizmi için p = φ ( x1 ) dir. Önerme 4.1.4 ispatındaki gibi
( d ( p ) ,..., d ( p ) ) .Jφ = (1, 0,..., 0 )
( 4.2 )
−1
1
n
elde edilir. Teorem 4.1.7 den Jφ−1 ∈ GEn ( Pn ) dir. ( 4.2 ) gösterir ki ( d1 ( p ) ,..., d n ( p ) )
den (1, 0,..., 0 ) yalnızca elemanter dönüşümler kullanılarak elde edilebilir. Bir I
22
4.KOORDİNAT POLİNOMLARI
Alev SEVİNDİK
idealinin rankı bu ideali üreten üreteçlerin minimum sayısı olup bunu rank (I ) ile
göstereceğiz.
Teorem4.1.8. Bir p ∈ Pn polinomu için orank ( p ) ≥ rank (I d ( p ) ) dır.
İspat: orank ( p ) = k olsun. O zaman p ’ ye bir otomorfizm uygulandığında (eğer
gerekirse) p = p ( x1 ,..., xk ) formuna sahip olduğunu varsayabiliriz. I d ( p ) nin rankı
p ’ ye bir otomorfizm uygulanması ile değişmez. O zaman I d ( p ) , k eleman
tarafından üretilir.
Şimdi Teorem 4.1.3 ün ispatına başlayalım:
orank ( p ) ≠ rankI d ( p )
dönüşümler kullanılarak
olduğunu göstermek yeterlidir. Yalnızca elemanter
( d ( p ) , d ( p ))
1
2
den
(1, 0 )
elde edilebildiği için bir
⎛q
M ∈ GE2 ( P2 ) matrisi için ( d1 ( p ) , d 2 ( p ) ) . M = (1, 0 ) dir. M = ⎜ 1
⎝ q2
r1 ⎞
⎟ olsun. O
r2 ⎠
zaman
d1 ( p ) r1 + d 2 ( p ) r2 = 0
(4.3)
dır.
⎛r ⎞
M ∈ GL2 ( P2 ) olduğundan ⎜ 1 ⎟ kolonu unimodular olmak zorundadır. Yani bazı
⎝ r2 ⎠
s1 , s2 ∈ P2 için s1.r1 + s2 r2 = 1
Bu eşitlik 4.3 ile birlikte
⎛ d ( p ) d2 ( p ) ⎞
⎛1 0 ⎞
J =⎜ 1
⎟ .M = ⎜
⎟ = M1
s2 ⎠
⎝* 1 ⎠
⎝ s1
23
4.KOORDİNAT POLİNOMLARI
olur.
M1
matrisi
GE2 ( P2 )
Alev SEVİNDİK
ye aittir. Çünkü
üçgenseldir. Buradan
M1
⎛ d ( p ) d2 ( p ) ⎞
J =⎜ 1
⎟ matrisi de GE2 ( P2 ) ye aittir. ( Wright, 1978 ) deki sonuca göre
s2 ⎠
⎝ s1
p, q
P2 ’ nin iki polinomu ve bunlara karşılık gelen
Jacobian matris
⎛ d ( p ) d2 ( p ) ⎞
J =⎜ 1
⎟ , GE2 ( P2 ) ye ait ise p, q P2 yi üretir. O halde p ve q
⎝ d1 ( q ) d 2 ( q ) ⎠
koordinat polinomlarıdır.
⎛ d ( p ) d2 ( p ) ⎞
Önerme 4.1.9. Eğer J = ⎜ 1
⎟ formuna sahip bir matris ve J ∈ GE2 ( P2 )
s2 ⎠
⎝ s1
ise p koordinat polinomudur.
İspat: Bu önermenin ispatının bir kısmı ( Wright, 1978 ) , deki Teorem 6 nın ispatı
ile aynıdır. J matrisinin bir φ endomorfizmi için jacobian matrisi olup olmadığını
anlamak için Teorem 6 nın ( Wright, 1978 )
ispatından φ nin elemanter ψ
otomorfizmi ile bileşkesi için bir şey söyleyemeyiz. (2.2) deki çarpım kuralnın yerine
J * = ψ ( J ) .Jψ matrisini düşünelim. Burada Jψ ,ψ nin jacobian matrisi olup Jψ
elemanter matrisidir. ( Wright, 1978 ) nolu referansta Jψφ matrisine karşılık gelen J *
ifadesi J * ın normal formunun, J
nin normal formundan daha küçük uzunluğa
sahip olduğunu gösterir. Bir q ∈ P2 polinomu için J * ın 1. satırı ( d1 ( q ) , d 2 ( q ) )
formundadır. J * matrisinin ilk satırının ( d1 (ψ ( p ) ) d 2 (ψ ( p ) ) olduğunu görmek
kolaydır. Ayrıca orank ( p ) = 1 dir. Buradan ispat tamamlanır.
Önerme 4.1.10.
⎛ p q⎞
A=⎜
⎟ ∈ GE2 ( P2 )
⎝ r s⎠
⎛ 1.m. ( p ) 1.m. ( q ) ⎞
ve 1.m. A = ⎜
⎟
⎝ 1.m. ( r ) 1.m. ( s ) ⎠
matrisi olsun.
24
leading monomiallerin
4.KOORDİNAT POLİNOMLARI
Alev SEVİNDİK
O zaman A nın bileşenlerinden en az üçü sabittir veya 1.m. ( A ) nın satırlardan biri
diğer satırların bir monomial katıdır ve kolonlardan biri diğer kolonun bir monomial
katıdır.
İspat: A = D.E1...Ek k ≥ 2 olsun. Burada D köşegen matris ve E1...Ek elemanter
matrisler olmak üzere ispat
tümevarımla yapılır.
A
Ei
matrislerinin sayısı (minimum) üzerinden
matrisi tersinir olduğundan
A
nın determinatı
hesaplanırken en büyük dereceli terimleri iptal edilir. Bunun anlamı 1.m . ( A )
matrisinin ya bileşenlerinden her biri sabitlerdir ( bileşenlerin bir tanesi sıfır ve
diğerlerinden ikisi sabittir ) ya da det (1.m ( A ) ) = 0 dır. det (1.m. ( A ) ) = 0 ve
A′ = D.E1 ...E k −1 olsun. Tümevarım hipotezine göre iki durum düşünülür.
⎛ 1 0⎞
⎟⎟ olsun. O zaman üç durum söz
i) 1.m. ( A′ ) nin üç bileşeni sabit olabilir. E k = ⎜⎜
⎝ g 1⎠
konusudur:
a ) 1.m. ( A′ ) nın bütün bileşenleri sabittirler. Bu durumda 1.m. ( A ) matrisi
⎛1.m. ( g ) 1⎞
⎜
⎟ formundadır.
⎝1.m. ( g ) 1⎠
b ) 1.m. ( A′ ) nın bileşenlerinden üçü sabittir. Bu durumda bunlardan biri sıfırdır.
⎛f
1.m. ( A′ ) = ⎜
⎝1
c)
(b)
1⎞
⎟ olsun. O zaman 1.m. ( A ) matrisi 3 sabit bileşene sahiptir.
0⎠
⎛1
ile aynı olup 1.m ( A′ ) = ⎜
⎝0
f⎞
⎟, ( f
1⎠
sabit değil) dır. O zaman
⎛ 1.m. ( f )1.m. ( g ) 1.m. ( f ) ⎞
1.m. ( A ) = ⎜
⎟ olup 1.m. ( A ) nın 1. satırı 2. satırın 1.m. ( f )
m
g
1.
.
1
(
)
⎝
⎠
katıdır ve 1. kolon 2. kolonun 1.m. ( g ) katıdır.
25
4.KOORDİNAT POLİNOMLARI
( ii )
Alev SEVİNDİK
⎛a b ⎞
A′ = ⎜
⎟ olsun ve h, h′ sabit olmayan monomialleri için
⎝c d⎠
(1.m. ( a ) ,1.m. ( b ) ) = h (1.m. ( c ) ,1.m. ( d ) )
(1.m. ( a ) ,1.m. ( c ) ) = h′ (1.m. ( b ) ,1.m. ( d ) )
( 4.4 )
( 4.5)
⎛1 g ⎞
dir. Bu ise a, b, c nin sabit olmadığını gösterir. Şimdi g ≠ 0 için Ek = ⎜
⎟
⎝0 1 ⎠
⎛ a b + ga ⎞
durumunu düşüneceğiz. O zaman A = ⎜
⎟ dir. det A = 1 olduğundan
⎝ c d + gc ⎠
1.m. ( c )1.m. ( b + ga ) = 1.m. ( a )1.m. ( d + gc ) = h.1m. ( c )1.m. ( d + gc )
elde edilir.
Buradan
1.m. ( b + ga ) = h.1.m. ( d + gc )
( 4.4 )
ile birlikte 1.m. ( A ) nın ilk satırı ikinci satırın h katı olduğu anlamına gelir.
Ayrıca ( 4.5 ) ile
1.m ( b + ga ) = 1.m ( ga ) = 1.m ( g )1.m ( a ) ve
1.m ( d + gc ) = 1.m ( gc ) = 1m ( g ) .1.m ( c )
26
4.KOORDİNAT POLİNOMLARI
Alev SEVİNDİK
dır. Buradan da 1.m ( A ) nın ikinci kolonu birinci kolonun 1.m ( g ) katı olduğu elde
edilir.
Teorem4.1.5. nın ispatını tamamlayabilmek için p nin bir koordinat polinomu
olabilmesi için gerek ve yeter koşul
( d ( p ) , d ( p ))
1
2
satırının GE2 ( P2 ) nin bir
matrisine tamamlanabilir olması gerçeğinden yararlanırız. Bunu Önerme 4.1.10. ile
birleştirirsek sonuç elde edilir.
4.1.1. Koordinat Polinomlarının Seçimi İçin Algoritma
Verilen bir p = p ( x1 , x2 ) polinomunun P2 polinom cebirinin bir bazının bir parçası
olup olmadığını araştırmak istiyoruz:
1. Adım: d1 ( p ) , d 2 ( p ) türevlerini alıp; d1 ( p ) yi q1 ile d 2 ( p ) yi q2 ile
gösterelim.
2. Adım: q1 nin en büyük dereceli monomiali (1.m ) , q2 nin en büyük dereceli
monomiali tarafından bölünemiyorsa p bazın bir parçası değildir.
Teorem 4.1.3 ve Önerme 4.1.10 dan hareketle bir h monomiali için
1.m. ( q1 ) = h.1.m. ( q2 ) veya 1.m. ( q2 ) = h.1.m. ( q1 ) ise 3. adım ile devam edilir.
3. Adım: Sırasıyla q1′ = q1 − h.q2 veya q2′ = q2 − h.q1 olsun. Eğer 1.m. ( q1′ ) = 1 ise
Teorem 4.1.3 den p bazın bir parçasıdır. 1.m. ( q1′ ) = 0 ise p bazın bir parçasıdır
ancak ve ancak 1.m. ( q2 ) =1 ise. Tekrar Teorem 4.1.3 ile eğer 1.m ( q1′ ) ≠ 0 veya 1 ise
sırasıyla q1 ile q1′ veya q2 ile q2′ yerine konularak 2. adım tekrarlanır. q1 ve q2 nin
derecelerinin maksimumu 3. adımı her uyguladığımızda azalacağından biz bunu en
fazla
27
4.KOORDİNAT POLİNOMLARI
Alev SEVİNDİK
d + ( d − 1) + .... + 1 =
d . ( d + 1)
2
defa uygulayabiliriz. Burada d , p polinomunun derecesidir. Eğer bu algoritma p
nin koordinat polinomu olduğunu gösterirse P2 nin tamamını p ile birlikte üretecek
şekilde bir q polinomu bulmak kolaydır. Burada yapmamız gereken şey 3. adımda
uyguladıklarımızın matris formunu aşağıdaki şekilde uygulamaktır:
( q1 , q2 ) → ( q1 , q2 ) E ( h )
⎛ 1 0⎞
⎛ 1 −h ⎞
(burada E ( h ) = ⎜
⎟ veya ⎜
⎟ ).
⎝ −h 1 ⎠
⎝0 1 ⎠
Sonunda eğer p polinomu koordinat polinomu ise
( d ( p ) , d ( p ) ) = (1, 0 ) .M
1
2
dir.
⎛ d ( p ) d2 ( p ) ⎞
Burada M , E ( h ) matrislerinin bir çarpımıdır. Buradan M = ⎜ 1
⎟
s2 ⎠
⎝ s1
formundadır. Böylece p ve q , P2 yi üretecek şekildeki bir q polinomu için
s1 = d1 ( q ) , s2 = d 2 ( q ) dir.
Bu algoritmayla p nin koordinat polinomu olması durumunda p ∈ P2 yi x1 e
indirgeyen
elemanter
( d ( p ) , d ( p ) ) = (1, 0 ) .M
1
2
otomorfizmlerin
bir
dizisini
bulabiliriz.
Aslında
olacak şekilde bir M ∈ GE2 ( P2 ) matrisini bulunabileceği
gösterilmiş oldu. Varsayalım ki
M = E12 ( p1 ) .E21 ( q1 ) ...E12 ( pk ) .E21 ( qk )
⎛1 p⎞
⎛ 1 0⎞
olsun. Burada E12 ( p ) = ⎜
⎟ ve E21 ( q ) = ⎜
⎟ dir. O zaman qk = qk ( x1 ) dir.
⎝0 1 ⎠
⎝ q 1⎠
Böylece E21 ( qk ) matrisi bir elemanter otomorfizmin Jacobian matrisidir. Benzer
28
4.KOORDİNAT POLİNOMLARI
Alev SEVİNDİK
olarak, eğer sağdaki ilk elemanter matris E12 ( pk ) formunda ise pk = pk ( x2 ) dir.
( E12 ( pk ) bir elemanter otomorfizmin Jacobian matrisidir).
4.1.2. Jacobian Hipotezi ile Bağlantı
Bu bölümde 2 den daha yüksek boyutlarda Jacobian hipotezine karşıt bir örneğin
açıklanan yöntemle nasıl bulunacağını inceleyeceğiz.
Önerme 4.1.11. Mümkün olan minimal n sayısı için p1 ,..., pn polinomları Jacobian
Hipotezine karşıt bir örnek sağlarsa bu polinomların her birinin dış rankı 1 den
büyüktür.
Ispat: Varsayalım ki orank ( p1 ) = 1 olsun. O zaman p1 i ( eğer gerekirse ) bir
otomorfizm uygulanması üzerine p1 = p1 ( x1 ) formunda varsayabiliriz. p1 tersinir
Jacobian matrise sahip olacağından bir α ∈ K ∗ için p1 = α x1 dir. O zaman
( n − 1) × ( n − 1)
J ′ = ( d j ( pi ) )
2≤i , j ≤ n
Jacobian matrisi de tersinirdir. Bu da K ( x1 ) [ p2 ,..., pn ] = K ( x1 ) [ x2 ,..., xn ] anlamına
gelir.
Burada
K ( x1 ) ,
K ( x1 , p2 ,..., pn ) = K ( x1 , x2 ,..., xn )
K [ x1 ]
in
bölüm
cismidir.
Buradan
olur. Keller in teoremi ( Keller, 1991 )
K ( x1 , p2 ,..., pn ) = Pn olmasını gerektirir. Böylece p1 ,..., pn polinomları Pn cebirini
üretirler. Bu ise bir çelişkidir.
Böylece unimodüler gradiante sahip olan fakat dış rankları 1’ den büyük olan
polinomlar Jacobian Hipotezinin karşıt örneği olarak düşünülebilirler. Suslin’ in (
29
4.KOORDİNAT POLİNOMLARI
Alev SEVİNDİK
Suslin, 1977 ) bir sonucu olarak n ≥ 3 için her unimoduler polinom satırı Pn
üzerinde tersinir bir n × n matrise tamamlanabilir. Burada esas problem her
( q1 ,..., qn )
satırı için d j ( qi ) = di ( q j ) koşulunu sağlayan diğer n − 1 satırın varlığıdır.
Bu satırların varlığı tersinir matrisimizin Jacobian matris olup olmadığına emin
olmamızı sağlar.
30
5. SERBEST BİRLEŞMELİ CEBİRLER İÇİN
TERS FONKSİYON TEOREMİ
Alev SEVİNDİK
5. SERBEST BİRLEŞMELİ CEBİRLER İÇİN TERS FONKSİYON
TEOREMİ
An = K x1 ,..., xn , bir K cismi üzerinde serbest üreteç kümesi X n = { x1 ,..., xn } olan
serbest birleşmeli cebir olsun. Bir ψ ∈ EndAn endomorfizmi ψ ( xi ) = ui , i = 1,..., n
şeklinde X n üzerindeki etkisi tek türlü bellidir. U n = {u1 ,..., un } , An nin serbest
üreteçlerinin kümesi ise ψ , An nin bir otomorfizmdir.
Tanım 5.0.1. Serbest birleşmeli An cebirinin bir u elemanı An nin bir serbest üreteç
kümesi tarafından içeriliyor ise u ya primitif eleman denir.
Rankı 2 olan serbest asosyatif cebirlerin otomorfizmleri çok iyi bilindiğinden
üreteç kümeleri için aşağıdaki komutatör testi geliştirilmiştir:
U 2 = {u1 ,u 2 } kümesinin A2 = K x1 , x2
koşul sıfırdan farklı bir
sağlanmasıdır. Burada
α ∈K
[u , v ]
cebirini üretmesi için gerek ve yeter
skaleri için
çarpımı
[u1 , u2 ] = α [ x1 , x2 ]
[u, v] = uv − vu
eşitliğinin
olarak tanımlanan Lie
komutatörüdür.
Bu bölümde An nin bir U n = {u1 ,..., un } kümesinin bir serbest üreteç kümesi
olması için gerek ve yeter olan koşullar incelenecektir. w , An nin herhangi bir
elemanı ise
∂w
( xi − 1) = w − ε ( w)
i =1,..., n ∂xi
∑
( 5.1)
şeklinde tek türlü yazılışa sahiptir.
31
5. SERBEST BİRLEŞMELİ CEBİRLER İÇİN
TERS FONKSİYON TEOREMİ
An her
Alev SEVİNDİK
∂
kısmi türevi altında invaryant olduğundan biz bunları An nin serbest
∂xi
Fox türevleri olarak varsayabiliriz. Eğer ψ : An → An herhangi bir endomorfizm ise
o zaman ψ nin Jacobian matrisi
⎛ ∂ψ ( xi ) ⎞
Jψ = ⎜
⎜ ∂x j ⎟⎟
⎝
⎠
( 5.2 )
olarak tanımlanır Jψ nin An üzerindeki tek yanlı tersinirliği, Jψ nin tersinirliğine
denktir.
Önerme 5.0.2. Eğer ψ ∈ AutAn , K cismi üzerindeki An = K x1 ,..., xn
serbest
birleşmeli cebirinin bir otomorfizmi ise Jψ Jacobian matrisi An üzerinde tersinirdir.
İspat: i = 1,..., n için u i = ψ ( xi ) olsun. X n = { x1 ,..., xn } kümesinin elemanlarının
i = 1,..., n xi = wi ( u1 ,..., un ) ifadeleri U n = {u1 ,..., un } nin elemanlarının wi kelimeler
formunda bulunur. Bu ifadelerin değiştirilmesi ile
∂wi ∂uk
k =1 ∂uk ∂x j
n
δ ij = ∑
( 5.3)
formundaki bu eşitlikler elde edilir. Bu denklem sisteminin matris formu
( 5.4 )
A.Jψ = Jψ . A = E
⎛ ∂w ⎞
dır. Burada A = ⎜ i ⎟ i, k = 1,..., n dir.
⎝ ∂uk ⎠
Not: c1 ,..., cn ∈ A için
32
5. SERBEST BİRLEŞMELİ CEBİRLER İÇİN
TERS FONKSİYON TEOREMİ
n
D = D ( c1 ,..., cn ) = ∑
i =1
n
D ( w) = ∑
i =1
Alev SEVİNDİK
∂
ci türevini
∂xi
∂w
ci
∂xi
( 5.5)
formülü ile tanımlayalım wi ler ispatta geçen elemanlar olmak üzere i, j = 1,..., n
için aij =
∂wi
yazalım. A = ( aij ) matrisi için
∂x j
∂
a ji i = 1,..., n
j =1 ∂x j
n
Di = ∑
( 5.6 )
diyelim. i, j = 1,..., n için Di (u j ) = δ ij dir.
5.1. Ters Fonksiyon Teoremi
Teorem 5.1.1. i = 1,..., n için eğer Di ( b ) = Di ( c ) eşitlikleri bazı b, c ∈ An
elemanları için doğru ise b − c ∈ K dır.
İspat: Eğer bir d ∈ An için i = 1,..., n
∂d
= 0 ise d ∈ K dır. i = 1,..., n Di ( b − c ) =0
∂xi
eşitlikleri baştan sona kadar yazılırsa katsayılar matrisi A olan ve bilinmeyenleri
∂ (b − c )
( j = 1,..., n ) olan bir homojen denklem sistemi elde edilir: D1 ( b − c ) = 0
∂x j
denklemini açık olarak yazalım.
∂ (b − c )
∂ (b − c )
∂ (b − c )
∂ (b − c )
a j1 =
a11 +
a21 + ... +
an1 =0
∂x j
∂x1
∂x2
∂xn
k =1
n
D1 ( b − c ) = ∑
33
5. SERBEST BİRLEŞMELİ CEBİRLER İÇİN
TERS FONKSİYON TEOREMİ
A tersinir olduğundan
Alev SEVİNDİK
∂ (b − c )
= 0 ( i = 1,..., n ) dır.
∂xi
ε : KFn → K ε ( xi ) = 0 olacak şekildeki homomorfizm ise ε ( ui ) = 0 ( i = 1,..., n ) dır.
Bu durumda b1 ,..., bn ∈ An ve i = 1, 2,..., n için
Di ( b1u1 + ... + bnun ) = bi
( 5.7 )
dir.
Örnek
5.1.2:
u = x 2 + xy − x − 1 ,
v = 2 x + y − x 2 − xy − 1∈ A2 = K x, y
ψ ∈ EndA2 için ψ ( x ) = u ve ψ ( y ) = v ise
⎛ ∂u
⎜∂
x
⎜
Jψ =
⎜ ∂v
⎜⎜
⎝ ∂x
∂u ⎞
⎛ x −1
∂y ⎟ ⎜
⎟ =
∂ v ⎟ ⎜⎜
2− x
⎟
∂ y ⎠⎟ ⎝
x ⎞
⎟
⎟
1 − x ⎠⎟
dır. Jψ tersinir olup tersi
−1
Jψ
⎛ −1 + x
⎜
=⎜
⎜ −x + 2
⎝
⎞
⎟
⎟
− x + 1⎟⎠
x
dır. Diğer taraftan
[u, v] = [x 2 + xy − x − 1,2 x + y − x 2 − xy − 1]
= ⎡⎣ x 2 , y ⎤⎦ − ⎡⎣ x 2 , xy ⎤⎦ + [ xy, 2 x ] + [ xy, y ] − ⎡⎣ xy, x 2 ⎤⎦ − [ x, y ] + [ x, xy ]
= ⎡⎣ x 2 , y ⎤⎦ + [ xy, x ] + [ xy, y ] − [ x, y ] ≠ α [ x, y ]
34
ve
5. SERBEST BİRLEŞMELİ CEBİRLER İÇİN
TERS FONKSİYON TEOREMİ
Alev SEVİNDİK
dır. Yani ψ bir otomorfizm değildir.Görüldüğü gibi Jψ matrisi tersinir olduğu halde
ψ bir otomorfizm değildir.
Tanım 5.1.3. (Lokal Nilpotentlik) ∂ , K [ X ] in bir türevi olmak üzere eğer bir
f ∈ K [ X ] için ∂ p ( f ) = 0 olacak şekilde bir pozitif bir p tamsayısı varsa ∂ ya
lokal nilpotenttir denir.
Teorem 5.1.4. An = K x1 ,..., xn
bir K cismi üzerinde rankı n olan serbest
birleşmeli cebir olsun. O zaman ψ ∈ EndAn bir otomorfizm olması için gerek ve
yeter koşul aşağıdaki koşulların sağlanmasıdır:
(1)
⎛ ∂ψ ( xi ) ⎞
Jψ = ⎜
Jacobian matrisi An üzerinde tersinirdir. Yani Jψ A = E olacak
⎜ ∂x j ⎟⎟
⎝
⎠
şekilde bir A matrisi vardır.
( 2)
i = 1,..., n için Di ler ( 5.6 ) ile tanımlı olmak üzere D = K ⟨ D1 ,..., Dn ⟩ türevler
cebirinin An üzerindeki etkisi lokal nilpotent ise.
İspat: Bir b ∈ An elemanına D ye göre 0 height e sahiptir deriz eğer her i = 1,..., n
Di ( b ) = 0 ise. O zaman Teorem 5.1.1. den b ∈ K dır. Bir b ∈ An elemanı ≤ k − 1
heighte sahip değilse ve D1 ,..., Dn de k + 1 dereceli her M monomiali b yi sıfır
yapıyorsa yani M ( b ) = 0 ise b elemanına k height e sahiptir deriz. Her b ∈ An ve
Di için Di ( b ) nin heighti b nin heightinden kesinlikle daha küçüktür. ui = ψ ( xi )
i = 1,..., n tarafından üretilen alt cebir içinde heighti ≤ k olacak şekilde her c ∈ An
elemanının nereye ait olduğunu bildiğimizi varsayalım. Buna göre
35
5. SERBEST BİRLEŞMELİ CEBİRLER İÇİN
TERS FONKSİYON TEOREMİ
Alev SEVİNDİK
b′ = b − D1 ( b ) u1 − ... − Dn ( b ) un
( 5.8)
elemanını düşünelim. Genelliği kaybetmeksizin i = 1,..., n ε ( ui ) = 0 varsayabiliriz.
Bu durumda her j için
D j ( b′ ) = D j ( b ) − D j ( b ) = 0
( 5.9 )
olur. Teorem 5.1.1. dolayı b′ ∈ K demektir. Tümevarım hipotezi kullanılarak
D1 ( b ) ,..., Dn ( b ) için b nin K u1 ,..., un
e ait olduğu gösterilir. Fox türevlerinin
özellikleri ile teoremin 2. kısmı An nin x1 ,..., xn üreteç elemanları üzerindeki etkinin
nilpotent olduğunu gösterir.
∂
a ji
j =1 ∂x j
∂
δ j1
j =1 ∂x j
n
n
Di = ∑
D1 ( x1 ) =
D1 = ∑
∂x1
∂x
∂x
.a11 + 1 .a21 + ... + 1 .an1
∂x1
∂x2
∂xn
D1 ( x1 ) = a11 = 1 D1 ( D1 ( x1 ) ) = 0
Di ( x j ) = δ ij
5.2. A2 nin Primitif Elemanı İçin Bir Kriter
A2 = K x, y olsun. Bir u ∈ A2 elemanı primitif olması için gerek ve yeter koşul
bir v ∈ A2 elemanı ve 0 ≠ α ∈ K için [u , v ] = α [ x, y ] olmasıdır. Bu durumda α = 1
alınırsa primitif eleman için gerek ve yeter koşulu
uv − vu = xy − yx
(5.10)
36
5. SERBEST BİRLEŞMELİ CEBİRLER İÇİN
TERS FONKSİYON TEOREMİ
Alev SEVİNDİK
şeklinde ifade edebiliriz. Genelliği kaybetmeksizin ε ( u ) = ε ( v ) = 0 varsayalım.
Varsayımımız altında Du =
∂
∂
ve Dv =
kısmi türevleri de vardır.
∂u
∂v
( 5.10 )
eşitliğinin v ye göre türevini alırsak
u = ( x − 1)
∂y
∂x
∂y
∂x
+ (1 − y ) = x − y
∂v
∂v
∂v
∂v
( 5.11)
ve u, v ∈ An için
δ ( u.v )
δv δu
= ε (u )
+
v
δ xi
δ xi δ xi
( 5.12 )
dır. Bu durumda w ∈ A2 için
δw
n
∑ ( x − 1) δ x
i =1
( 5.11)
i
= w − ε ( w ) olur.
( 5.13)
i
ile ( 5.13) eşitliklerini karşılaştırırsak
Dv ( y ) =
δu
δu
, Dv ( x ) = −
δx
δy
( 5.14 )
elde edilir. Buradan Dv türevi aşağıdaki şekilde tek türlü bellidir.
Dv = −
∂ δu ∂ δu
+
∂x δ y ∂y δ x
( 5.15)
u nun primitifliği için gerekli koşullar aşağıdaki şekilde sıralanabilir:
37
5. SERBEST BİRLEŞMELİ CEBİRLER İÇİN
TERS FONKSİYON TEOREMİ
(1)
Alev SEVİNDİK
⎛ ∂u ∂u ⎞
∂u = ⎜ , ⎟ unimoduler dir.
⎝ ∂x ∂y ⎠
( 2 ) . Dv ( u ) = −
∂u δ u ∂u δ u
.
+
=0
∂x δ y ∂y δ x
( 5.16 )
(3) ( 5.15 ) ile tanımlanan Dv türevinin x ve y ye etkisi nilpotenttir.
Örnek 5.2.1: u = x + xy = x (1 + y ) elemanı primitif değildir. u , x ve
(1 + y )
tarafından üretilen alt cebirin karesinin elemanı olup u primitif değildir. Buna
rağmen ∂ u = (1, x ) vektörü unimodülerdir. Gerçekten de
∂u
∂u
= x olup (1 + x ) .1 + ( −1) .x = 1 dir. Fakat Dv ( u ) = −1.0 + x. (1 + y ) ≠ 0 dır.
= 1,
∂y
∂x
Örnek 5.2.2.: u = x + x 2 + yx elemanı primitif değildir. Çünkü ∂u (1 + x + y, 0 )
vektörü unimoduler değildir.
Örnek 5.2.3.: u = x + xyx elemanı için ∂u = (1 + xy, 0 ) vektörü unimodüler değildir
Ayrıca Dv ( u ) = − (1 + xy ) .0 + 0. (1 + yx ) = 0 dır. Fakat Dv ( y ) = 1 + yx olup Dv nin y
üzerindeki etkisi nilpotent değildir.
5.3. Rankı 2 Olan Serbest Birleşmeli Cebirlerin Koordinat Polinomları
P2 = K [ x1 , x2 ] , K cismi üzerinde rankı 2 olan polinom cebiri ve A2 = K = ⟨ x1 , x2 ⟩
aynı cisim üzerinde rankı 2 olan serbest birleşmeli cebir olsun. Aut ( P2 ) ve Aut ( A2 )
otomorfizm gruplarının birbirlerine izomorfik oldukları açıktır.
Tanım 5.3.1. φ ∈ Aut ( P2 ) olsun. Eğer φ lineer kısım üzerinde birim ise, φ ye IL
otomorfizm denir. Bunun benzeri tanım A2 nin otomorfizmlerine de uygulanır. P2
38
5. SERBEST BİRLEŞMELİ CEBİRLER İÇİN
TERS FONKSİYON TEOREMİ
Alev SEVİNDİK
nin ve A2 nin IL otomorfizmler grubunu sırasıyla Aut IL ( P2 )
ve Aut IL ( A2 )
şeklinde göstereceğiz.
Örnek 5.3.2.:
φ : x1 → x1 + p1
x2 → x2 + p2
otomorfizmi bir IL otomorfizmidir. Örneğin u = x1 + x2 + [ x1 , x2 ] için
φ ( u ) = x1 + x2 + ⎡⎣φ ( x1 ) , φ ( x2 ) ⎤⎦
= x1 + x2 + [ x1 + p1 , x2 + p2 ] dır.
Aut IL ( P2 ) alt grubu veya Aut IL ( A2 ) alt grubu
x1 → x1 + f ( x2 )
x2 → x2
formundaki
elemanter
IL
veya
x1 → x1
x2 → x2 + f ( x1 )
otomorfizmleri
tarafından
üretilir.
Burada
f
polinomlarının monomiallerinin derecesi ≥ 2 dir. Aut o ( P2 ) ile ( Aut o ( A2 ) ) P2 nin
( A2 ' nin )
genişlemeyi koruyan otomorfizmler grubunu gösterelim. Bunlar i = 1, 2
için xi → xi + pi formundaki otomorfizmlerdir. Burada pi polinomlarının
sabit
terimi sıfırdır.
Teorem 5.3.3. Karakteristiği sıfır olan bir cisim üzerindeki A2 cebirinin primitif
elemanlarını belirlemek için bir algoritma vardır.
39
5. SERBEST BİRLEŞMELİ CEBİRLER İÇİN
TERS FONKSİYON TEOREMİ
Alev SEVİNDİK
Sonuç 5.3.4. Δ ile A2 nin genişleme idealini yani sabit terimi sıfır olan elemanların
kümesini gösterelim. Her u ∈ Δ elemanı u =
∂u
∂u
x1 +
x2
∂x1
∂x2
formunda tek türlü
bellidir. ( Cohn, 1966 ) di ( u ) elemanlarına u nun (kısmi) Fox türevleri denir.
Di (1) = d i (1) = 0 olacak şekilde A2 nin tamamına lineer olarak genişletilebilir.
Teorem 5.3.4. u , A2 nin primitif elemanı olsun. O zaman
D1 ( u ) .
∂
∂
( u ) − D2 ( u ) . ( u ) = 0
∂x2
∂x1
dır.
İspat : i = 1, 2 için φ : xi → yi olarak tanımlanan φ ∈ Aut ( A2 ) otomorfizmi için
⎛ D2 ( y2 ) − D2 ( y1 ) ⎞ ⎛ d1 ( y1 ) d 2 ( y1 ) ⎞
⎜
⎟ .⎜
⎟ = cI
⎝ − D1 ( y2 ) D1 ( y1 ) ⎠ ⎝ d1 ( y2 ) d 2 ( y2 ) ⎠
olduğu ( Shpilrain, 1992 ) de ispatlanmıştır. Burada c ∈ K ∗ ve I birim matristir.
Buradan ( Cohn, 1966 )
⎛ d1 ( y1 ) d 2 ( y1 ) ⎞ ⎛ D2 ( y2 ) − D2 ( y1 ) ⎞
⎜
⎟ .⎜
⎟ = c.I
⎝ d1 ( y2 ) d 2 ( y2 ) ⎠ ⎝ − D1 ( y2 ) D1 ( y1 ) ⎠
ve böylece
d1 ( y1 ) . ( − D2 ( y1 ) ) + d 2 ( y1 ) .D1 ( y1 ) = 0
elde edilir.
40
6. POLİNOM CEBİRLERİNİN VE SERBEST BİRLEŞMELİ
CEBİRLERİN TEST ELEMANLARI
Alev SEVİNDİK
6.POLİNOM CEBİRLERİNİN VE SERBEST BİRLEŞMELİ CEBİRLERİN
TEST ELEMANLARI
K , bir cisim ve
K [ X ] = K [ x1 ,..., xn ]
ile K ⟨ X ⟩ = K ⟨ x1 ,..., xn ⟩
X = { x1 ,..., xn } kümesi tarafından üretilen polinom cebiri
sırasıyla
ve serbest birleşmeli
cebirleri göstersin. Bu bölümde K [ X ] ile K ⟨ X ⟩ cebirlerinin otomorfizmlerinin
nasıl belirlenebileceğini inceleyeceğiz.
6.1. Test Polinomları
Tanım 6.1.1. p = p ( X ) ∈ K [ X ] olsun. Eğer her F ∈ ( K [ X ]) sıralı n − lisi için
n
p ( F ) = p ( X ) olması X → F dönüşümünün bir otomorfizm olmasını gerektiriyorsa
p polinomuna K [ X ] in bir test polinomu denir.
Tanım 6.1.2. S , K [ X ] ( veya K ⟨ X ⟩ ) in endomorfizmlerinin bir sınıfı ve M , S
nin bir alt sınıfı olsun. p ( X ) = p ( x1 ,..., xn ) polinomuna M için S de bir test
polinomudur denir eğer her F ∈ S için p ( F ) = p ( X ) iken F ∈ M ise. Eğer p test
polinomu F otomorfizmi tarafından sabit bırakılıyorsa p, F yi ayırt ediyor deriz.
K ⟨ X ⟩ in test elemanları da benzer şekilde tanımlanır.
Tanım 6.1.3. K [ X ] deki bir p ( X ) polinomunun dış rankı ( veya K ⟨ X ⟩ de ) p nin
otomorfik görüntüsünün bağlı olduğu xi üreteçlerinin minimum sayısıdır. Van den
Essen ve Shpilrain ( Essen ve Zweibel, 1994 ) herhangi bir p ( X ) test polinomunun
dış rankının n olduğunu gösterdi. Polinom ve serbest cebirler için test elemanlarını
sınıflandırmak oldukça zor bir problemdir. Bununla birlikte [x1 , x 2 ] komutatörünün
K x1 , x 2 cebiri ( Dicks, 1982 ) ve x12 + ... + x n2 polinomunun
41
[X ]
cebiri için birer
6. POLİNOM CEBİRLERİNİN VE SERBEST BİRLEŞMELİ
CEBİRLERİN TEST ELEMANLARI
Alev SEVİNDİK
test polinomu olduğu ( Essen ve Shpilrain,1997 ) gösterilmiştir i = 1,..., n için
xi → fi dönüşümünü F = ( f1 ,..., f n ) ile göstereceğiz. Ayrıca p ( f1 ,..., f n ) için
p ( F ) ve p ( x1 ,..., xn ) için p ( X ) notasyonunu kullanacağız.
Tanım 6.1.4. Eğer α i ∈ K
için F = (α1 + g1 ,..., α n + g n ) bir otomorfizm ve
G = ( g1 ,..., g n ) tersinir lineer dönüşüm ise F otomorfizmine afin otomorfizm denir.
Tanım 6.1.5. Üçgensel otomorfizmler 0 ≠ α i ∈ K ,
fi = α i xi + hi olmak üzere
F = ( f1 ,..., f n ) formundaki otomorfizmlerdir. Burada hi polinomları x1 ,..., xi ye
bağlı değildir.
Tanım 6.1.6. Y = { y1 ,..., yn } , K [ X ] ( veyaK X
) in serbest üreteçlerinin bir kümesi
olsun ve p ( X ) ∈ K [ X ] polinomu q (Y ) = p ( X ) şeklinde yazılsın. Eğer Y nin her
seçimi için q (Y ) polinomu her i için y i değişkenine bağlı ise p ( X ) polinomuna
maximal ranklı polinom denir.
1≤ i ≤ n
( veyaK
X
için
αi ∈ K
olmak
üzere
F = (α1 + g1 ,..., α n + g n ) , K [ X ]
) bir endomorfizmi olsun. Burada i = 1,..., n
in
için gi polinomlarının sabit
terimleri sıfırdır. H = ( x1 − α1 ,..., xn − α n ) olsun. O zaman F ve H nin bileşkesi
Fο H = G = ( g1 ,..., g n ) olup F nin bir otomorfizm olması için gerek ve yeter koşul
F o H nin bir otomorfizm olmasıdır. Bu açıdan bakıldığında test polinomlarını, sabit
terimi sıfır olan endomorfizmlerin sınıfında düşünebiliriz.
Teorem 6.1.7. Eğer K [ X ] ( veyaK X
)
deki p ( X ) polinomunun minimum
dereceli homojen bileşeni maksimum ranklı ise p ( X ) , sabit terimi sıfır olan
endomorfizmlerin sınıfı içindeki tersinir endomorfizmler için bir test polinomudur.
42
6. POLİNOM CEBİRLERİNİN VE SERBEST BİRLEŞMELİ
CEBİRLERİN TEST ELEMANLARI
Alev SEVİNDİK
İspat: Pk ( X ) , p ( X ) in minimuml dereceli homojen bileşeni olsun ve bu düşünce
altında F = ( f1 ,..., f n ) bu sınıfın bir endomorfizmi olsun. G = ( g1 ,..., g n ) , F nin
lineer bileşeni olsun. Eğer p ( F ) = p ( X ) ise p ( F ) nin minimial dereceli homojen
bileşeni Pk ( G ) = Pk ( X ) elde ederiz. Eğer g1 ,..., g k lineer bağımlı ise o zaman
x1 ,..., xn den lineer dönüşümlerle elde edilen y1 ,..., yn serbest üreteçleri için
y1 ,..., yn −1 in lineer birleşimidir. Bu Pk ( X ) , maksimum ranklı olması ile çelişir. Bu
nedenle g1 ,..., g n lineer bağımsızdır ve F endomorfizmi tersinirdir.
6.2. Polinom Cebirlerinin Test polinomları
Bu bölümde, K cisminin karakteristiğinin sıfır olduğunu varsayacağız ve
K [ X ] = K [ x1 ,..., xn ] cebirinin endomorfizmlerini düşüneceğiz.
Önerme 6.2.1. x12 + x22 polinomu K [ x1 , x2 ] nin sabit terimi sıfır olan endomorfizm-
ler sınıfındaki otomorfizmler için bir test polinomudur. Bu polinom ortogonal lineer
dönüşümleri ayırt eder.
İspat: L, K nın
−1 cisim genişlemesi olsun. Eğer p ( X ) = x12 + x22 , L üzerinde
sabit terimi sıfır olan endomorfizmlerin sınıfı içindeki otomorfizmler için bir test
polinomu ise o zaman p ( X ) K üzerinde aynı özelliğe sahiptir. Bu ne-denle
genelliği kaybetmeksizin
−1 ∈ K varsayabiliriz. F = ( f1 , f 2 ) , p ( F ) = p ( X )
olacak şekilde bir endomorfizm olsun. O zaman
(
)(
)
(
)(
P ( F ) = f1 + f 2 −1 . f1 − f 2 −1 = p ( X ) = x1 + x2 −1 . x1 − x2 −1
ve
43
)
6. POLİNOM CEBİRLERİNİN VE SERBEST BİRLEŞMELİ
CEBİRLERİN TEST ELEMANLARI
(
)
Alev SEVİNDİK
f1 + f 2 −1 = α x1 ± x2 −1 ,
(
f1 − f 2 −1 = α −1 x1 m x2 −1
)
dır. Burada 0 ≠ α ∈ K ve F , X in lineer dönüşümüdür. F , p ( X ) in quadratik
formunu sabit bıraktığı için ortogonaldir.
Önerme 6.2.2. Derecesi 2 den büyük ve rankı 2 olan her homojen polinom
[ x1 , x2 ]
nın sabit terimi sıfır olan endomorfizmler sınıfındaki otomorfizmler için
[ x1 , x2 ] cebirinin bir test polinomudur.
Teorem 6.2.3.
(i ) K
herhangi bir cisim ve k1 ,..., kn pozitif tamsayılar olsun. O zaman
p ( X ) = X k = x1k1 ...xnkn
K [ X ] = K [ x1 ,..., xn ] cebirinin sabit terimi sıfır olan endomorfizmler sınıfındaki
otomorfizmler için bir test polinomudur. Bu test polinomu aşağıdaki otomorfizmleri
ayırt eder:
(
)
F = α1 xσ (1) ,..., α n xσ ( n ) , 0 ≠ α i ∈ K i = 1,..., n
Burada α1k1 ...α nkn = 1 ve σ , Sn simetrik grubunun kσ (1) = k1 ,..., kσ ( n ) = kn olacak
şekildeki bir elemanıdır.
( ii ) p ( X ) = ( X k )
s
(
= x1k1 ...xnkn
)
s
44
6. POLİNOM CEBİRLERİNİN VE SERBEST BİRLEŞMELİ
CEBİRLERİN TEST ELEMANLARI
Alev SEVİNDİK
polinomu ki = n + i − 1, i = 1,..., n ve s ≥ 1 için K [ X ] in endomorfizmler sınıfındaki
otomorfizmler için bir test polinomudur. Bu test polinomları tarafından ayırt edilen
otomorfizmler:
α1 ,..., α n ∈ K için (α1k ,..., α nk
1
n
)
s
= 1 olmak üzere F = (α1 x1 ,..., α n xn ) dir.
İspat:
( i ) F = ( f1 ,..., f n )
sabit terimi sıfır olan endomorfizm olsun. O zaman P ( F ) = P ( X )
olduğundan f1k1 ... f nkn = x1k1 ...xnkn olup fi = α i xσ ( i ) , ( σ ∈ Sn ) dir.
(
α1 xσ (1)
) (
k1
.... α n xσ ( n )
)
kn
α1k ...α nk xσk (1) ...xσk ( n ) = x1k ...xnk
1
1
n
1
1
= x1k1 ...xnkn
( α1k1 ...α nkn =1)
n
xσk1(1) ...xσk1( n ) = x1k1 ...xnkn
( ii )
F = ( f1 ,..., f n ) ve
(f
k1
1
,..., f nkn
) = (x
s
k1
1
,..., xnkn
)
s
olsun. O zaman tüm
n
n
i =1
j =1
polinomları monomiallerdir.
n
fi = βi ∏ x j ij 0 ≠ β ∈ K ve
a
j =1
n
∏x
i =1
ki
i
= ∏∏ x j ij olsun.
a
xi nin derecesi için
ai1n + ai 2 ( n + 1) + ... + ain ( 2n − 1) = n + i − 1
45
fi
6. POLİNOM CEBİRLERİNİN VE SERBEST BİRLEŞMELİ
CEBİRLERİN TEST ELEMANLARI
Alev SEVİNDİK
elde edilir. aij ler negatif olmayan tamsayılar olduğundan herhangi n + q − 1 ve
n + r − 1 sayılarının toplamı 2n − 1 den büyüktür. Buradan aii = 1 , aij = 0 ( i ≠ j ) tek
olasılığı elde edilir. Buradan sonuç ispatlanmış olur.
Sonuç 6.2.4. Bir önceki teoremin ( i ) ifadesi tüm endomorfizm sınıfı için doğru
p ( X ) = x1...xn
değildir. Örneğin
polinomu
n⟩1
için otomorfizm olmayan
F = ( x1 ,..., xn ,1,...,1) endomorfizmi tarafından sabit bırakılır.
Sonuç 6.2.5. Teorem 6.2.3
( ii )
nin ispatındaki fikir kullanarak lineer olmayan
üçgensel otomorfizmler için de test polinomu inşa edilebilir.
Örneğin n = 2 olsun.
(
)
3
p ( X ) = x22 x1 + a 2 (1 − a8 ) x22 ,
−1
a∈K
a8 ≠ 1
a≠0
p ( X ) , F = ( a −2 x1 + x22 , a 3 x2 ) otomorfizmi tarafından sabit bırakılır.
Diğer yandan p ( X ) bütün endomorfizmler sınıfındaki otomorfizmler için test
polinomudur. F otomorfizmi bir lineer otomorfizme eşleniktir. Eğer üreteçlerin yeni
bir
sistemi
(
Y = ( y1 , y2 ) = x1 + a 2 (1 − a8 ) x22 , x2
−1
)
olarak
alınırsa
F (Y ) = ( a −2 y1 , a 3 y2 ) olduğunu görürüz.
6.3. Serbest Birleşmeli Cebirlerin Test Elemanları
Bu kısımda K ⟨ X ⟩ = K x1 ,..., x n serbest birleşmeli cebirinin test elemanlarını
inceleyeceğiz.
46
6. POLİNOM CEBİRLERİNİN VE SERBEST BİRLEŞMELİ
CEBİRLERİN TEST ELEMANLARI
Alev SEVİNDİK
Tanım 6.3.1. K ⟨ X ⟩ cebirinin her I sol ideali aynı zamanda bir sol K ⟨ X ⟩ -modül ise
K ⟨ X ⟩ e serbest ideal halkası denir.
Önerme 6.3.2. (Cohn, 1985 )
(i )
K ⟨ X ⟩ cebiri serbest ideal halkasıdır; eğer I homojen elmanlar tarafından
üretililen bir ideal ise. O zaman I , K ⟨ X ⟩ modül olarak homojen bir serbest üreteç
sistemine sahiptir.
( ii )
Eğer 0 ≠ yi , zi ∈ K ⟨ X ⟩ , i = 1,..., k için
deg ( yi −1 ) ≤ deg ( yi ) i = 2,..., k ve
k
∑yz
i =1
i i
=0
ise o zaman yi elemanlarından biri y1 ,..., yi −1 tarafından üretilen sağ ideale aittir.
Sonuç 6.3.3.
( i ) Eğer i = 1, 2
için ui , vi , K ⟨ X ⟩ in sıfırdan farklı elemanları ve
deg ( u1 ) ≥ deg ( v1 ) ise u1u2 = v1v2 eşitliği bir w ∈ K ⟨ X ⟩ için u1 = v1w , u2 = wv2
olmasını gerektirir.
( ii )
Eğer KarK = 0 ve K ⟨ X ⟩ de uv + vu = 0 ise u = 0 veya v = 0 dır.
İspat:
(i )
2
∑u v
i =1
i i
Önerme 6.3.2 de
( ii )
den görülür. Gerçekten deg ( v1 ) ≤ deg ( u1 ) ise
= 0 dan u1v1 + u2 v2 = 0 ve y1 = v1 , y2 = u1 olur.
( ii )
deg ( u ) + deg ( v ) üzerinden tümevarımla gösterelim.
47
6. POLİNOM CEBİRLERİNİN VE SERBEST BİRLEŞMELİ
CEBİRLERİN TEST ELEMANLARI
Alev SEVİNDİK
d ( v ) = 0 ise sonuç açıktır.
u, v ≠ 0 ve deg ( u ) ≥ deg ( v ) ≥ 1 olsun . uv + vu = 0 ise uv = v ( −u ) olup ( i ) den bir
w ∈ K ⟨ X ⟩ için u = vw ve ( vw ) v + v ( vw ) = 0 dır. K ⟨ X ⟩ sıfır bölensiz olduğundan
wv + vw = 0 elde edilir. O zaman deg ( w ) < deg ( u ) olup ispat tamamlanır.
Teorem 6.3.4. K , karakteristiği sıfır olan bir cisim olsun. O zaman p ( X ) = x12 + x22
elemanı K ⟨ x1 , x2 ⟩ serbest cebirinin sabit terimi sıfır olan endomorfizmler sınıfındaki
otomorfizmler için bir test elemanıdır.
İspat:
−1 ∈ K olarak varsayabiliriz. F = ( f1 , f 2 ) sabit terimi sıfır olan bir
endomorfizm olsun öyle ki
p ( F ) = p ( X ) olsun .
f1 = g1 + g 2 + ... + g k
ve
f 2 = h1 + h2 + ... + hk olsun. Burada gi ve hi , f1 ve f 2 nin sırasıyla i dereceli
homojen bileşenleri olsun. Eğer hk ≠ 0 ve k > 1 alınırsa P ( F ) ve P ( X ) in 2k
dereceli homojen bileşenlerinin karşılaştırılması ile
g k = hk −1 dir. Kabul edelim ki i ≥ 1 için g j = h j −1
g k2 + hk2 = 0
( j = i + 1,..., k ) olsun. k + i
dereceli homojen bileşenlerin karşılaştırılması ile
k
∑( g g
s =i
(h + g
i
i
s
i+k −s
+ hs hi + k − s ) = 0 ,
)
(
)
−1 hk + hk hi + gi −1 = 0
elde edilir. p ( F ) = f12 + f 22 = x12 + x22 olup
( g1 + g 2 + ... + g k ) + ( h1 + h2 + ... + hk )
2
48
elde edilir.
2
= x12 + x22
6. POLİNOM CEBİRLERİNİN VE SERBEST BİRLEŞMELİ
CEBİRLERİN TEST ELEMANLARI
Alev SEVİNDİK
eşitliğinden
g12 + g 22 + .... + g k2 + g1 g 2 + g 2 g1 + ... + g1 g k + g k g1 + ... + g k −1 g k + g k g k −1 +
h12 + h22 + .... + hk2 + h1h2 + h2 h1 + ... + h1hk + hk h1 + ... + hk −1hk + hk hk −1 = x12 + x22
elde edilir. Sonuç 6.3.3 (ii) den gi = hi −1 olur. Buradan g1 = h1 −1 bulunur.
P ( F ) nin derecesi 2 olan homojen bileşenleri ve P ( X ) , g12 + h12 = x12 + x22 eşitliğini
sağlar. Bu
g1 = h1 −1 olmasıyla çelişir. Böylece F lineerdir. F , x12 + x22 i
invaryant bıraktığından tersinirdir. O halde F otomorfizmdir.
Şimdi n-inci simetrik grubu S n ile gösterelim.
Teorem 6.3.5. K , KarK = 0 olan bir cisim ve α σ ∈ K ,
p( X ) =
olsun. Eğer
∑ ασ ≠ 0
σ ∈Sn
∑ ασ xσ ( ) ...xσ ( ) ∈ K
σ ∈Sn
1
n
X = K ⟨ x1 ,..., xn ⟩
ise p ( X ) sabit terimi sıfır olan endomorfizmler sınıfındaki
otomorfizmler için bir test elemanıdır. Bu test elemanı sadece lineer otomorfizmleri
ayırt eder.
İspat: F = ( f1 ,..., f n ) , P ( F ) = P ( X ) olacak şekilde sabit terimi sıfır olan bir
endomorfizm olsun. Öncelikle F lineer olmasın. gi lerde fi lerin maksimum
dereceli homojen bileşenleri olsun.
p( X )
elemanı multilineer olduğundan
p ( F ) = p ( f1 ,..., f n ) nin maksimum dereceli homojen bileşeni p ( G ) = p ( g1 ,..., g n )
dir. F lineer olmadığından bir i için deg ( gi )⟩1 ve
p ( G ) = p ( g1 ,..., g n ) =
∑ ασ gσ ( ) ...gσ ( ) = 0 dır.
σ ∈Sn
49
1
n
6. POLİNOM CEBİRLERİNİN VE SERBEST BİRLEŞMELİ
CEBİRLERİN TEST ELEMANLARI
Örneğin; S2 de p ( x ) =
∑ ασ xσ ( ) xσ ( ) = ασ .x .x
σ ∈S2
1
2
1
1
2
Alev SEVİNDİK
+ ασ 2 .x2 .x1 için
F = ( f1 , f 2 ) G = ( g1 , g 2 ) deg ( g1 ) > 1 olsun.
P ( G ) = ασ1 g1 g 2 + ασ 2 g 2 g1
P ( F ) = ασ1 f1 f 2 + ασ 2 f 2 f1
= ασ1 ( g1 + g1∗ ) . ( g 2 + g 2∗ ) + ασ 2 ( g 2 + g 2∗ )( g1 + g1∗ )
= ασ1 x1 x2 + ασ 2 x2 x1
(
dır. Buradan bir τ ∈ Sn için p (τ ( G ) ) = p gτ (1) ,..., gτ ( n )
)
= ∑ ασ gστ (1) ...gστ ( n ) = 0
σ ∈Sn
dır. τ , Sn i taradıkça bu toplamı oluşturursak Snτ = Sn olduğundan
⎛
⎞⎛
⎞
q ( G ) = ⎜ ∑ α ρ ⎟ ⎜ ∑ gσ (1) ...gσ ( n ) ⎟ = 0
⎝ ρ∈Sn ⎠ ⎝ σ ∈Sn
⎠
elde edilir. Bu nedenle p ( G ) = 0 eşitliğinde tüm ασ katsayılarının 1 olduğunu
varsayabiliriz. Yani
p( X ) =
∑ xσ ( ) ...xσ ( )
σ ∈Sn
olduğunu varsayabiliriz.
50
1
n
6. POLİNOM CEBİRLERİNİN VE SERBEST BİRLEŞMELİ
CEBİRLERİN TEST ELEMANLARI
Alev SEVİNDİK
hi , gi nin en büyük dereceli terimi olsun. p ( G ) de her gσ (1) ,..., gσ ( n ) çarpımının en
büyük dereceli terimi hσ (1) ...hσ ( n ) dir ve p ( G ) nin en büyük dereceli terimi
hσ (1) ...hσ ( n ) lerin toplamıdır. Cismin karakteristiği sıfır ve p ( G ) nin en büyük
dereceli terimi sıfırdan farklı olduğundan bu bir çelişkidir. Buradan fi polinomları
lineerdir. K ⎡⎣ X ⎤⎦ polinom cebirinin F dönüşümü F nin belirlediği bir dönüşümdür.
( )
( )
P X = P F = n ! f 1... f n
Teorem 6.2.3. dan f i ler lineer bağımsızdır. fi ler lineer olduğundan fi ler lineer
bağımsızdır yani F , K ⟨ X ⟩ in lineer otomorfizmidir. Dolayısıyla p ( X ) test
elemanıdır.
Sonuç 6.3.6. K , KarK = 0 olan bir cisim α σ ∈ K ,
p( X ) =
olsun. Verilen her
∑ ασ ≠ 0 ve
σ ∈Sn
∑ ασ xσ ( ) ...xσ ( ) ∈ K ⟨ X ⟩ = K ⟨ x ,..., x ⟩
1
σ ∈Sn
s ≥1
için
1
n
n
(
q ( X ) = p x1sn , x2s( n +1) ,..., xns( 2 n −1)
)
elemanı tüm
endomorfizmler sınıfındaki otomorfizmler için bir test elemanıdır.
İspat: F , K ⟨ x⟩ in bir endomorfizmi olsun öyle ki q ( F ) = q ( X ) ve G = ( g1 ,..., g n )
olsun. Burada gi = fi s( n +i −1) dir. hi , gi nin maximum dereceli homojen bileşeni olsun.
Eğer F , afin değilse Teorem 6.3.5 ün ispatındaki gibi p ( h1 ,..., hn ) = 0 elde ederiz.
Bu olası değildir. Bu nedenle F affine dir. Şimdi K ⎡⎣ x ⎤⎦ in F tarafından belirlenen
F endomorfizmini düşünelim.
51
6. POLİNOM CEBİRLERİNİN VE SERBEST BİRLEŞMELİ
CEBİRLERİN TEST ELEMANLARI
Alev SEVİNDİK
⎛
⎞
q X = q F = p G = ⎜ ∑ ασ ⎟ g1...g n
⎝ σ ∈Sn ⎠
( ) ( )
( )
⎛
⎞
= ⎜ ∑ ασ ⎟ f1sn f 2s( n +1) ... f ns ( 2 n −1)
⎝ σ ∈Sn ⎠
⎛
⎞
= ⎜ ∑ α r ⎟ x1sn x2s( n +1) ...xns( 2 n −1)
⎝ σ ∈Sn ⎠
olduğu görülür. Teorem 6.2.3 den F nin K ⎡⎣ X ⎤⎦ nin lineer otomorfizmi olduğunu
elde ederiz. Aynı şey K X de F için de geçerlidir.
Teorem 6.3.7. K X in her h1 , h2 monomiali n > 2 için x3 ,..., xn değişkenlerinden
bazılarına bağlı olsun. O zaman [ x1 + h1 , x2 + h2 ] = [ x1 , x2 ] eşitliği varsa h1 = h2 = 0
dır.
İspat: Genelliği bozmaksızın h1 ≠ 0
varsayalım W ⊂ K X
x3 ,..., xn
lerin
bazılarına bağlı tüm monomialleri tarafından gerilen vektör uzayı olsun. w1 ve w2
sadece x1 ve x2 ye bağlı ve i1 ve ik indislerinin her ikisi 1 ve 2 den farklı olmak
üzere w = w1 ( x1 , x2 ) xi1 ...xik w2 ( x1 , x2 ) formunda yazılabilir. Açıkça W ,
xi1 ,..., xik , k ≥ 1 i1 , ik ≠ 1, 2
monomiallerinden oluşan baz ile serbest K ⟨ x1 , x2 ⟩ bimodüldür. p, h1 ve h2 nin
sıfırdan farklı homojen bileşenlerinin minimum derecesi ve u1 , u2 sırasıyla h1 ve h2
nin p -dereceli homojen bileşenleri olsun. O zaman
52
6. POLİNOM CEBİRLERİNİN VE SERBEST BİRLEŞMELİ
CEBİRLERİN TEST ELEMANLARI
Alev SEVİNDİK
[ x1 , u2 ] + [u1 , x2 ] = x1u2 − x2u1 − u2 x1 + u1 x2 = 0
dır u1 ve u2 aşağıdaki formdadır:
u1 = ∑ s1i ( x1 , x2 )xi1...xik s2i ( x1 , x2 ) ,
u2 = ∑ t1i ( x1 , x2 )xi1...xik t2i ( x1 , x2 )
(Burada toplam i1 , ik ≠ 1, 2 ile i1 ,..., ik üzerindendir.) Böylece
[ x1 + h1 , x2 + h2 ] = [ x1 , x2 ] eşitliğinden
[ x1 + h1 , x2 ] + [ x1 + h1 , h2 ] = [ x1 , x2 ] + [ h1 , x2 ] + [ x1 , h2 ] + [ h1 , h2 ] = [ x1 , x2 ]
[ h1 , x2 ] + [ x1 , h2 ] + [ h1 , h2 ] =0
[u1 , x2 ] + [ x1 , u2 ] = 0
elde edilir. Buradan
[ x1 , u2 ] + [u1 , x2 ] = ∑ ( x1t1i xi1...xik t2i − x2 s1i xi1...xik s2i − t1i xi1...xik t2i x1 + s1i x1i ...xik s2i x2 ) = 0
olur. W , serbest K ⟨ x1 , x2 ⟩ bimodül olduğundan herhangi bir
K ⟨ x1 , x2 ⟩ ⊗k K ⟨ x1 , x2 ⟩ de olacak şekilde eşitliği elde ederiz.
x1t1i ⊗ t2i − x2 s1i ⊗ s2i − t1i ⊗ t2i x1 + s1i ⊗ s2i .x2 = 0
53
( i1 ,..., ik )
için
6. POLİNOM CEBİRLERİNİN VE SERBEST BİRLEŞMELİ
CEBİRLERİN TEST ELEMANLARI
Alev SEVİNDİK
s2i ve t2i nin minimum dereceli homojen bileşenlerinin karşılaştırılması ile bunların
0 olduğu kabul edilir. Bu ise bir çelişkidir.
Teorem 6.3.8. i1 ,..., ir , j1 ,..., jr indislerin bir kümesi olsun öyle ki k = 1,..., r için
ik ≠ jk ve {ik , jk k = 1,..., r} = {1,..., n} olsun. O zaman
p ( X ) = ⎡⎣ xi1 , x j1 ⎤⎦ … ⎡⎣ xir , x jr ⎤⎦
polinomu K X
in tüm endomorfizmleri sınıfındaki otomorfizmler için bir test
polinomudur.
İspat: F = ( f1 ,..., f n ) , K X
in p ( F ) = p ( X ) olacak şekilde bir endomorfizmi
olsun. ⎡⎣ fik , f jk ⎤⎦ komutatörleri sabit ve lineer terimlere sahip olmadığından ve
deg( p( x )) = 2r olduğundan
⎡⎣ f ik , f jk ⎤⎦ = α k ⎡⎣ xik , x jk ⎤⎦ , 0 ≠ α k ∈ K
dır. Örneğin
[ f1 , f 2 ] = α [ x1 , x2 ]
olsun.
h1 , h2
nin her monomiali
x3 ,..., xn
değişkenlerinin her birine bağlı olduğunda f1 ve f 2
f1 = g1 ( x1 , x2 ) + h1 , f 2 = g 2 ( x1 , x2 ) + h2
formunda yazılır. Bu nedenle
⎡⎣ g1 ( x1 , x2 ) , g 2 ( x1 , x2 ) ⎤⎦ = α [ x1 , x2 ]
olup ( Dicks, 1982 ) sonucu gereğince ( g1 , g 2 ) , K x1 , x2 nin bir otomorfizmidir.
54
6. POLİNOM CEBİRLERİNİN VE SERBEST BİRLEŞMELİ
CEBİRLERİN TEST ELEMANLARI
( g1 , g 2 )
yi
G = ( g1 , g 2 , x3 ,..., xn )
in
K X
Alev SEVİNDİK
otomorfizmine genişletebiliriz.
G −1 = ( u1 , u2 , x3 ,..., xn ) , G nin tersi olsun. [u1 , u2 ] = α −1 [ x1 , x2 ] olup V = F o G −1
otomorfizmi
[v1 , v2 ] = [ x1 , x2 ]
özelliğine sahiptir. Diğer yandan w1 , w2 nin her
monomiali x3 ,..., xn lere bağlı olduğundan v1 = x1 + w1 , v2 = x2 + w2 dır. Teorem6.3.7
den w1 = w2 = 0 olduğu görülür. Yani, f1 = f1 ( x1 , x2 ) , f 2 = f 2 ( x1 , x2 ) ve
( f1 , f 2 )
nin bir otomorfizmidir. Bu yolla her ik , jk indis çifti için Fk = ( fik , f jk )
K x1 , x2
(
)
çiftinin K xik , x jk
2
ya ait olduğu elde edilir. Bu da Fk nın K xik , x jk
nın bir
otomorfizmi olduğu gösterir.
Bir i indeksi i1 ,..., ir , j1 ,..., jr indisleri içinde tam olarak bir kez göründüğünden
F , Gk otomorfizmlerinin bir çarpımı olarak ayrıştırılır öyle ki her Gk , xik ve x jk
dan farklı bütün xs , leri sabit bırakır. Buradan F bir otomorfizmdir. Şimdi 1 indeksi
2 kere görünsün örneğin i1 ve i2 olsun. O zaman f1 ∈ K x1 , x j1 ∩ K x1 , x j 2
f1 = f1 ( x1 ) dir.
( f , f ),
1
j1
K x1 , x j1
ve
in bir otomorfizmi olduğundan f1 = ξ + μ x1 ,
ξ ,η ∈ K , η ≠ 0 elde edilir ve fi , x1 in lineer polinomudur. Şimdi p ( X ) üç tipteki
komutatörün çarpımı olarak sunulur.
(i )
⎡⎣ xi , x j ⎤⎦ . Burada xi ve x j diğer komütatörlerde görünür.
( ii ) [ xi , xk ] . Burada
xi diğer komütatörlerde görünür ancak xk görünmez .
( iii ) [ xl , xm ] . Burada diğer komutatörlerde ne
fi = ξi + ηi xi , f j = ξ j + η j x j ,
xl de xm in görünmez.
ξi , ξ j ∈ K , 0 ≠ ηi ,η j ∈ K
f k = ηk xk + g k ( xi ) , 0 ≠ η k ∈ K , g k ∈ K ⟨ xi ⟩
55
6. POLİNOM CEBİRLERİNİN VE SERBEST BİRLEŞMELİ
CEBİRLERİN TEST ELEMANLARI
Alev SEVİNDİK
( f1 , f m ) = ( f1 ( xl , xm ) , f m ( xl , xm ) ) ∈ AutK ⟨ xl , xm ⟩
F , bir veya iki değişkenli dışında diğerlerini sabit bırakan otomorfizmler
kompozisyonudur. Bu da f nin bir otomorfizm olduğunu gösterir.
Sonuç 6.3.9.
p ( X ) = [ x1 , x2 ] ...[ x2 n −1 , x2 n ]
K x1 ,..., x2 n nin endomorfizmler sınıfında bir test elemanıdır.
56
ÖZGEÇMİŞ
1979 yılında Adana’da doğdum. Öğrenimimi sırasıyla Yıldırım Bayezit
İlkokulu, Tepebağ Ortaokulu ve Adana Kız Lisesi’nde tamamladım. 1997 yılında
Çukurova Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü’ne girdim. 2002
yılında lisans öğrenimimi tamamlayıp 2003 yılında bölümde yüksek lisansa başladım
ve halen İmamoğlu Çok Programlı Lisesinde Matematik öğretmeni olarak görev
yapmaktayım.
59