Sayısal Analiz - Karabük Üniversitesi

11. HAFTA
BLM323
SAYISAL ANALİZ
Okt. Yasin ORTAKCI
[email protected]
KBUZEM
Karabük Üniversitesi
Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM323 2
Sayısal Analiz
İNTERPOLASYON
Deney sonuçları veya benzer çalışmalar için doğru bilinen değerleri kullanarak
aralarda bilinmeyen noktalardaki değerleri yaklaşık olarak belirleme işlemine
interpolasyon denir. İnterpolasyon, bilinmeyen değerler bilinen değerlerin arasında bir
noktada ise bilinen noktalar kullanarak bilinmeyen değerler bulunabilir. Eğer değeri
bulunmak istenen nokta bilinen noktaların dışında bir yerde ise eğri uydurma
(ekstrapolasyon) işlemleri ile bilinmeyen değerler bulunabilir.
İnterpolasyon çok yaygın olarak kullanılan noktalara polinom uydurarak sonuca
gitmektir. Eğer bilinen nokta sayısı iki
ise bunları bir doğru ile birleştirerek ara
değerleri aramak gerekir. Bilinen nokta sayısı arttıkça polinomun derecesi artacaktır. n
adet nokta için n-1. dereceden bir polinom uydurmak bütün mevcut noktaları
sağlayacaktır.
İnterpolasyon yöntemi olarak kullanabileceğimiz literatürde bir çok yöntem vardır.
Öncelikle Lagrange interpolasyon yöntemini inceleyelim.
KBUZEM
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM323 3
Sayısal Analiz
LAGRANGE İNTERPOLASYON YÖNTEMİ
Weierstrass Yaklaşım Teoremi
n. dereceden bir polinomu (𝑎𝑛 ≠ 0);
𝑃𝑛 (𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + … … … + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
şeklinde gösterelim. Burada 𝑎0 , 𝑎1 , ....,
𝑎𝑛 değerleri polinomun reel katsayılarıdır. n negatif olmayan bir tamsayıdır. (𝑛 ≥ 0)
𝑓 𝑥 ′𝑖𝑛, 𝑎, 𝑏 aralığında tanımlı ve sürekli bir fonksiyon olduğunu varsayalım. Her
ɛ > 0 için öyle bir 𝑃(𝑥) polinomu vardır ki, 𝑓 𝑥 − 𝑃(𝑥) < ɛ ifadesi 𝑎, 𝑏 aralığındaki
her 𝑥 için geçerlidir.
Yaklaşım teorisinde kullanılan bir çok polinom türü vardır. (Lagrange, Hermit,
Chebische, Lagurre vb.)
Lagrange Polinomu
Lagrange interpolasyon ifadeleri aslında bir interpolasyon işleminden ziyade eğri
uydurma işlemi olarak kullanılması daha anlamlı olabilir. Elde var olan noktalar ile bir
doğru ya da eğri uydurulur. Daha sonra bu eşitlik üzerinden istenilen noktaların
değerleri hesaplanır. Bu yöntemde nokta sayısına bağlı olarak polinomun derecesi
değişir. Örneğin 𝑛 adet nokta için uydurulacak polinomun derecesi 𝑛 − 1 olur.
Aşağıdaki şekilde iki noktadan uydurulmuş doğru görülmektedir.
KBUZEM
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM323 4
Sayısal Analiz
Aşağıdaki şekilde ise üç noktadan uydurulmuş eğri görülmektedir.
𝑎𝑥 + 𝑏 gibi birinci dereceden bir polinomu belirlemek için
𝑥0 , 𝑦0
ve
𝑥1 , 𝑦1
noktalarını bildiğimizi kabul edelim. Aslında bu veri 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ) ve 𝑦1 = 𝑓(𝑥1 ) şeklinde
bir 𝑓 𝑥 fonksiyonunun 𝑥0 ve 𝑥1 noktalarında aldığı değerler olarak düşünülürse;
𝑥−𝑥 1
𝐿0 𝑥 = 𝑥
0 −𝑥 1
𝑥−𝑥 0
𝐿1 𝑥 = 𝑥
1 −𝑥 0
şeklinde tanımlı olmak üzere (𝑥0 , 𝑦0 ) ve (𝑥1 , 𝑦1 )noktalarından geçen birinci dereceden
(Lineer) Lagrange Interpolasyon polinomu;
𝑃 𝑥 = 𝐿0 𝑥 𝑓 𝑥0 + 𝐿1 𝑥 𝑓 𝑥1
şeklinde hesaplanır. Aşağıda hesaplandığı gibi, 𝑃 𝑥0 = 𝑓 𝑥0 ve 𝑃 𝑥1 = 𝑓 𝑥1 olur.
KBUZEM
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM323 5
Sayısal Analiz
𝐿0 (𝑥0 ) = 1, 𝐿0 (𝑥1 ) = 0, 𝐿1 (𝑥0 ) = 0, 𝑎𝑛𝑑 𝐿1 (𝑥1 ) = 1,
Buna göre
𝑃(𝑥0 ) = 1 ・ 𝑓 (𝑥0 ) + 0 ・ 𝑓 (𝑥1 ) = 𝑓 (𝑥0 ) = 𝑦0
ve
𝑃(𝑥1 ) = 0 ・ 𝑓 (𝑥0 ) + 1 ・ 𝑓 (𝑥1 ) = 𝑓 (𝑥1 ) = 𝑦1
Teorem: 𝑥0 , 𝑥1 , … … , 𝑥𝑛
(𝑛 + 1) farklı sayı ve 𝑓(𝑥) fonksiyonu bu (𝑛 + 1) noktada
değeri bilinen bir fonksiyon ise, 𝑛. dereceden 𝑃 𝑥 polinomu mevcuttur ve
𝑓 𝑥𝑘 = 𝑃 𝑥𝑘 ′ 𝑑ı𝑟.
𝑘 = 0,1,2, … … , 𝑛 𝑜𝑙𝑚𝑎𝑘 ü𝑧𝑒𝑟𝑒
Özetle 𝑃 𝑥 polinomu şu şekildedir:
Örnek: 2,4 𝑣𝑒 (5,1) noktalarından geçen lineer Lagrange polinomunu bulunuz.
Çözüm:
𝑥−5
𝐿0 = 2−5 =
5−𝑥
3
ve 𝐿1 =
𝑥−2
3
bulunur. Bu sonuçlara göre:
KBUZEM
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM323 6
Sayısal Analiz
𝑃 𝑥 =
5−𝑥
3
×4+
𝑥−2
3
× 1 = 6 − 𝑥 bulunur.
Şimdi de yaklaşım polinomunun n. dereceden olduğunu düşünürsek (𝑛 + 1) tane
detaya ihtiyacımız vardır.
Yani 𝑦 = 𝑓 𝑥 fonksiyonu için;
𝑓 𝑥0 = 𝑦0 ,
𝑓 𝑥1 = 𝑦1 , … … … … . ,
𝑓 𝑥𝑛 = 𝑦𝑛
n. dereceden Lagrange polinomu verilen detay ile şu şekilde ifade edilir:
0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 olmak üzere;
𝐿𝑛 ,𝑘 =
𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 … . . 𝑥 − 𝑥𝑘−1 𝑥 − 𝑥𝑘+1 … . . (𝑥 − 𝑥𝑛 )
𝑥𝑘 − 𝑥0 𝑥𝑘 − 𝑥1 … . . 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘+1 … . . (𝑥𝑘 − 𝑥𝑛 )
Özetle;
𝑛
𝐿𝑛,𝑘 (𝑥) =
𝑖=0
𝑖≠𝑘
𝑥 − 𝑥𝑖
𝑜𝑙𝑚𝑎𝑘 ü𝑧𝑒𝑟𝑒
𝑥𝑘 − 𝑥𝑖
𝐿𝑛,𝑘 polinomlarını kullanarak yaklaşım polinomu:
𝑃 𝑥 = 𝐿𝑛 ,0 × 𝑓 𝑥0 + 𝐿𝑛,1 × 𝑓 𝑥1 + … … … … + 𝐿𝑛 ,𝑛 × 𝑓(𝑥𝑛 )
𝑛
𝑃 𝑥 =
𝐿𝑛,𝑘 × 𝑓 𝑥𝑘
𝑘=0
KBUZEM
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM323 7
Sayısal Analiz
Örnek: 𝑥0 = 2, 𝑥1 = 2,75, 𝑥2 = 4 noktalarında tanımlı ikinci dereceden Lagrange
1
polinomunu bulunuz. (𝑓 𝑥 = 𝑥 )
Çözüm:
𝐿0 =
𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2
𝑥 − 2.75 𝑥 − 4
2
=
= (𝑥 − 2.75)(𝑥 − 4)
𝑥0 − 𝑥1 𝑥0 − 𝑥2
2 − 2.75 2 − 4
3
𝐿1 =
𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥2
𝑥−2 𝑥−4
16
=
=−
(𝑥 − 2)(𝑥 − 4)
𝑥1 − 𝑥0 𝑥1 − 𝑥2
2.75 − 2 2.75 − 4
15
𝐿2 =
𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1
𝑥 − 2 𝑥 − 2.75
2
=
= (𝑥 − 2)(𝑥 − 2.75)
𝑥2 − 𝑥0 𝑥2 − 𝑥1
4 − 2 4 − 2.75
5
1
1
1
1
𝑓 𝑥 = 𝑥 olduğuna göre 𝑓 𝑥0 = 2 , 𝑓 𝑥1 = 2.75 ve 𝑓 𝑥2 = 4
𝑃 𝑥 =
2
1 16
1
2
1
𝑥 − 2.75 𝑥 − 4 −
𝑥−2 𝑥−4
+ 𝑥 − 2 (𝑥 − 2.75)
3
2 15
2.75 5
4
𝑃 𝑥 =
1
64
1
𝑥 − 2.75 𝑥 − 4 −
𝑥−2 𝑥−4 +
𝑥 − 2 (𝑥 − 2.75)
3
55
10
𝑓 3 𝑑𝑒ğ𝑒𝑟𝑖𝑛𝑖 𝑕𝑒𝑠𝑎𝑝𝑙𝑎𝑦𝑎𝑙ı𝑚.
29
Yaklaşık değeri 𝑃 3 = 88 = 0.32954
1
Gerçek değeri 𝑓 3 = 3 = 0.33333
𝑓 3 ≈ 𝑃 3 'dir.
KBUZEM
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM323 8
Sayısal Analiz
Örnek: Aşağıda verilen noktalara Lagrange enterpolasyon yöntemi ile eğri uydurarak
polinom katsayılarını belirleyiniz.
Bulunan eğrinin 𝑥 = 5.5 ve 𝑥 = −2 için (𝑦)
değerlerini hesaplayınız.
Çözüm:
𝑥
0
1
3
5
𝑦
-16
-3
-17
41
Verilen nokta sayısı dört olduğuna göre polinomun derecesi 3 olacaktır.
Lagrange katsayılarını sayısı ise yine dört olacaktır. Bulunacak polinomu genel olarak
şu şekilde yazabiliriz:
𝑃 𝑥 = 𝐿0 (𝑥). 𝑦0 + 𝐿1 (𝑥). 𝑦1 + 𝐿2 (𝑥). 𝑦2 + 𝐿3 (𝑥). 𝑦3
𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 𝑥 − 𝑥3
𝑥−1 𝑥−3 𝑥−5
𝑥 3 − 9𝑥 2 + 23𝑥 − 15
𝐿0 =
=
=
𝑥0 − 𝑥1 𝑥0 − 𝑥2 𝑥0 − 𝑥3
0−1 0−3 0−5
(−15)
𝐿1 =
𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥2 𝑥 − 𝑥3
𝑥−0 𝑥−3 𝑥−5
𝑥 3 − 8𝑥 2 + 15
=
=
𝑥1 − 𝑥0 𝑥1 − 𝑥2 𝑥1 − 𝑥3
1−0 1−3 1−5
8
𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥3
𝑥−0 𝑥−1 𝑥−5
−𝑥 3 + 6𝑥 2 − 5
𝐿2 =
=
=
𝑥2 − 𝑥0 𝑥2 − 𝑥1 𝑥2 − 𝑥3
3−0 3−1 3−5
12
KBUZEM
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM323 9
Sayısal Analiz
𝐿3 =
𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2
𝑥−0 𝑥−1 𝑥−3
𝑥 3 − 4𝑥 2 + 3𝑥
=
=
𝑥3 − 𝑥0 𝑥3 − 𝑥1 𝑥3 − 𝑥2
5−0 5−1 5−3
40
𝑃 𝑥 = −16𝐿0 − 3𝐿1 − 17𝐿2 + 41𝐿3
376𝑥 3 − 2304𝑥 2 + 3313𝑥 + 1595
𝑃 𝑥 =
120
bulunur.
Bu polinomda bazı 𝑥 değerleri hesaplanarak aşağıdaki tablo elde edilmiştir.
𝑥
-2
0
1
3
5
5.5
𝑦
-176
-16
-3
-17
41
84.375
Bulunan yeni fonksiyonun grafiği bu noktalardan faydalanılarak çizilirse aşağıdaki
şekil elde edilir.
KBUZEM
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi
BLM323 10
Sayısal Analiz
Algoritması
𝐼𝑁𝑃𝑈𝑇 𝑡𝑕𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟 𝑜𝑓 𝑘𝑛𝑜𝑤𝑛𝑠 𝑝𝑜𝑖𝑛𝑡𝑠 (𝑛 + 1), 𝑡𝑕𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑖𝑒𝑠 𝑥𝑘 , 𝑓 𝑥𝑘
𝑥 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑝𝑜𝑙𝑎𝑡𝑒
0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛,
𝑂𝑈𝑇𝑃𝑈𝑇 𝑡𝑕𝑒 𝑎𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑡𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑦 = 𝑃(𝑥) 𝑜𝑓 𝑔𝑖𝑣𝑒𝑛 𝑥 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒.
𝑆𝑡𝑒𝑝 1 𝐹𝑜𝑟 𝑘 = 0, . . . , 𝑛
𝑛
𝐿𝑛 ,𝑘 (𝑥) =
𝑖=0
𝑖≠𝑘
𝑥 − 𝑥𝑖
𝑥𝑘 − 𝑥𝑖
𝑆𝑡𝑒𝑝 2
𝑛
𝑃 𝑥 =
𝐿𝑛,𝑘 × 𝑓 𝑥𝑘
𝑘=0
𝑆𝑡𝑒𝑝 3 𝑂𝑈𝑇𝑃𝑈𝑇 (𝑃(𝑥));
𝑆𝑇𝑂𝑃.
Kaynakça

Richard L. Burden, Richard L. Burden (2009). “Numerical Analysis” Brooks/Cole
Cengage Learning, Boston.

Doç. Dr. İbrahim UZUN, (2004), "Numarik Analiz” Beta Yayıncılık.
KBUZEM
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Uygulama ve Araştırma Merkezi