Geometri Problemi

Matematik Dünyas›, 2005 Güz
Geometri Problemi
Ali Nesin / Mustafa Ya¤c›
[email protected] / [email protected]
2005-II Sorusu: Yanl›fl Nerde?
A
B
Yan›t: fiekil yanl›fl. fiekil sol sütundaki gibi de¤il
sa¤daki gibi olmal›. F
noktas› çok daha afla¤›da
olmal›...
Gerçekten de çok güzel.
ABCD bir kare olsun.
Yandaki flekilden takip
edelim. C ’den CB uzunlu¤unda bir CE do¤ru parças› çekelim. AB ve AE
D
C
do¤ru parçalar›n›n ortadikmeleri F noktas›nda
kesiflsin.
F
ADC dik aç›s›n›n
ECD aç›s›na eflit oldu¤unu kan›tlayaca¤›z!
ADF ve ECF üçgenlerine bakal›m.
• Elbette AD = BC = EC.
• F noktas› AE ’nin ortadikmesinin üstünde
bulundu¤undan AF = EF.
• F noktas› ayr›ca AB’nin ortadikmesinin üstünde bulundu¤undan, DC ’nin de ortadikmesinin üstünde bulunur. Dolay›s›yla DF = CF.
Demek ki ADF ve ECF üçgenlerinin üç kenar› da birbirine eflit, yani bu iki üçgen birbirine
eflitler. Dolay›s›yla ADF ve ECF aç›lar› eflitler.
Ama DFC ikizkenar üçgen oldu¤undan, FDC aç›s›yla FCD aç›lar› eflitler. Demek ki ADC dik aç›s›
ECD aç›s›na eflittir!
Nerde yanl›fl yapt›k?
Bu soru Alice Harikalar Diyar›nda’n›n yazar›
matematikçi ve mant›kç› Lewis Carroll’›n en sevdi¤i sorulardan biriymifl.
E
F
ABCD dikdörtgeninin BD köflegenine C köflesinden indirilen dikme AD kenar›n› X’te kessin.
X’ten AD’ye ç›k›lan dikme BC’yi A
X
D
Y’de kessin. BCD
ile CDX üçgenleri
benzer oldu¤undan
ABCD ve YCDX
dikdörtgenleri de B
C
Y
benzerdir.
fiöyle de olur. DC kenar›na eflit bir uzunlu¤u BcC colarak uzun kena- A
D
r›n üstüne herhangi bir
yere yerlefltirelim. Sonra flekilden anlafl›lmas› gereken
Bc
Cc
C
yöntemle koyu gri dikdört- B
geni bulal›m. Bu koyu dikdörtgen ABCD dikdörtgeniyle benzerdir (ve bir kenar› CD’dir.) Kolay kan›t›
okura b›rak›yoruz.
?
1
D
√2
1
C
D
Benzer Dikdörtgen Elde Etme
A
B
B
E
Do¤ru Yan›tlar: Bu
soruyu sadece Kayseri Uzman Dersanesi’nden Alper
Çay do¤ru yan›tlad›. Kutlar›z. Kendisine elimizde
bulunan en güzel kitaplardan birini ödül olarak sunaca¤›z.
2005-III Sorusu
Yandaki flekilde,
ABC bir üçgen,
|AB| = |AC|,
|AD| = |BC| = 1,
|CD| = √2
ise m(CAB) kaçt›r?
Yan›tlar 1 fiubat’a kadar Mustafa Ya¤c›’n›n adresine yollanmal›.
A
C
61