Test 1`in Çözümleri Çizgisel ve Açısal Momentum

20
1
Çizgisel ve Açısal Momentum
4. Cisme uygulanan itme, hareketine ters yönlü olduğundan işareti (–) alınır.
Test 1’in Çözümleri
1. Bir cisme sabit bir kuvvet uygulanırsa cismin hızı
düzgün olarak artar.
I. bölgede hız parabolik olarak arttığına göre, uygulanan kuvvet artmaktadır.
II. bölgede hız düzgün olarak arttığına göre, kuvvet
sabittir.
III. bölgede hız parabolik olarak azaldığına göre,
harekete zıt yönde olan kuvvet artmaktadır.
2F·t
F·t
2
3t
4t
5t
0
t
2t
–F·t
2
zaman
–F·t
Nihat Bilgin Yayıncılık©
F
İtme = m · (v2 – v1)
– 36 = 3 (v2 – 8)
v2 = –4 m/s
5. Cisim K dan L ye gelirken yatayda vx hızıyla düzgün doğrusal hareket yapar. Düşeyde ise mg kuvvetinin etkisinde düzgün hızlanır.
2. Kuvvet-zaman grafiğinin altındaki alan momentum
değişimine eşittir.
net kuvvet
İtme = m · ∆v
Cevap D dir.
Cevap B dir.
İtme = F · ∆t
İtme = mg · ∆t
dir. Cismin K dan L ye gelme süresi ∆t, h yüksekliği ile vy hızından etkilenir. Fakat vx hızından etkilenmez.
Bu nedenle itme, vx hızına bağlı değildir.
Cevap A dır.
6.
4v
Ft
Ft
- Ft
2
2
bulunur .
D P = 2 Ft +
D P = Ft
R
v
çarpşmadan önce
–F
P
Cevap A dır.
Çarpışmadan sonra cisimlerin ortak hızları sıfır
olduğundan momentumları da sıfırdır. Buna göre,
cisimlerin çarpışmadan önceki momentumları eşit
ve zıt yönlü olmalıdır.
Cevap B dir.
7. Momentumun korunumunu sisteme uygularsak;
3. Cismin hızındaki değişme
şekilde gösterildiği gibi
2 v dir.
v1 = v
Dv = 2v
A
İtme = m · ∆v olduğundan
İtme = m ·
Hız değişimi güney yönünde olduğundan itme de güneye doğrudur.
2 v olur.
v2 = v
Cevap B dir.
m 1 v 1 + m 2 v 2 = ( m 1 + m 2) · v ortak
v
3m·v + 2m·v2 = ( 3m + 2m )
3
5
3 mv + 2 mv 2 = m · v
3
4
2 mv 2 = - mv
3
2
v 2 = - v bulunur .
3
Cevap C dir.
2
ÇİZGİSEL VE AÇISAL MOMENTUM
8. Momentumun korunumundan;
12. Esnek çarpışmalarda kütleler eşitse cisimler hızlarını birbirine aktarır. Yani m2 kütleli cismin hızı v
olur ve m1 kütleli cisim durur. Bundan sonra m2 kütleli cisim m3 kütleli cisim ile esnek olmayan çarpışma yaparak, iki kütle yapışık hareket etmeye başlıyor. Buradan;
m 1 v 1 + m 2 v 2 = ( m 1 + m 2) · v ort
2m·
5
2
v - 3 m v = ( 2 m + 3 m ) · v ort
2
3
3 m · v = 5 m · v ort
v ort =
3
v olur .
5
Cevap E dir.
9. Başlangıçta cisim durduğuna
göre patlamadan sonraki
momentumların vektörel toplamı sıfır olmalıdır. Bir başka
ifadeyle;
m2v2 + m3v3 = (m2 + m3) · vort
m · v + 3m · 0 = (m + 3m) · vort
mv = 4m · vort
v
vort =
bulunur.
4
P1
P2
P3
P1 + P2 + P3 = 0
dır. O hâlde III. yargı doğrudur.
Hızlar ve kütleler hakkında karar veremeyiz.
Cevap B dir.
13. m1 kütleli cisim m2 kütleli cisme hangi hızla çarptıysa, m2 kütleli cisim aynı hızla harekete geçer.
Böylece cisim aynı yüksekliğe yani Z noktasına
kadar çıkar ve oradan geri döner.
Cevap C dir.
10. Bir cisme verilen itme ile o cismin momentumundaki değişme birbirine eşittir. Eğik atış hareketinde
sadece düşey bileşende momentum değişimi vardır. Buradan;
İtme = mg · ∆t = ∆P
1 · 10 · 5 = ∆P
m
∆P = 50 kg s
Cevap D dir.
Nihat Bilgin Yayıncılık©
Cevap C dir.
14. 1 numaralı bilye 2 numaralı bilyeye çarpınca 4
numaralı bilye aynı hızla harekete geçer. Diğer
bilyeler sabit kalır. İşlem bu şekilde devam eder.
Cevap E dir.
15. Patlamadan önceki momentum
patlamadan sonraki momentuma 6mv
eşittir. Patlamadan sonraki
momentum vektörleri şekildeki
gibidir. Şekil incelenirse
11. Düşey yukarı yönde atılan cismin tepe noktasındaki hızı sıfırdır. Bu nedenle tepe noktasında momentum sıfır olur. Patlamadan sonra da toplam momentumun sıfır olabilmesi için sağ yöndeki momentum
sol yöndeki momentuma eşit olmalıdır.
m1v1 = m2v2
2m · 15 = 3m · v2
60°
6mv
60°
P3
P3 = 6m·v olduğu görülür.
m3v3 = 6m·v
2m·v3 = 6m·v ⇒ v3 = 3v bulunur.
Cevap D dir.
olur. Yere çarpan cisimler arasındaki uzaklık;
16. Momentumun korumundan her üç sistemin çarpışmadan sonraki hızları eşit olmalıdır. Kinetik enerjileri potansiyel enerjiye dönüşünceye kadar takozlar
yükselir.
1
m · v 2 = m gh
2
v 2 = 2 mgh
x1 + x2 = v1t + v2t
x1 + x2 = 15 · 3 + 10 · 3
x1 + x2 = 45 + 30 = 75 m bulunur.
v2 = 10 m/s bulunur.
30 = g·t
t=3s
Takozların hızları eşit olduğundan çıkacakları yükseklikler de eşittir.
Cevap A dır.
Cevap A dır.
3
ÇİZGİSEL VE AÇISAL MOMENTUM
5. K noktasındaki m1 kütleli cisim başlangıçta m1gh1
potansiyel enerjisine sahiptir. Cisim serbest bırakıldığında tüm enerjisi L noktasında kinetik enerjiye dönüşür. Bu enerjiyi kullanan ortak kütle h2 yüksekliğine kadar çıkabiliyor. h2 nin büyütülmesi için
ortak hızın artması gerekir. Bunun için de tek çare
h1 yüksekliğini artırmaktır.
Cevap A dır.
Test 2’nin Çözümleri
1. 2 numaralı tıpadan akan su vagonun hareket doğrultusuna dik olduğu için vagonun hızını değiştirmez.
Cevap B dir.
2. h yükseklikliğinde iken potansiyel enerjiye sahip
cisim serbest bırakıldığında enerjisi kinetik enerjiye
dönüşür. Çarpışma anında tüm enerji kinetik enerjiye dönüşmüş durumdadır.
Ep = Ek
1
mgh = mv 2
2
v = 2 gh
h yüksekliğinden serbest bırakılan cisimlerin kütlesi ne olursa olsun çarpışma hızları aynı olur. Ancak
çarpışmadan sonraki ortak kütlelerin hızları kütlenin büyüklüğüne bağlıdır.
vort1 > vort2 = vort3 olacağından h1 > h2 = h3 olur.
Cevap D dir.
3. Cisimlerin patlamadan önceki momentumları sıfır
olduğundan patlamadan sonraki momentumları
da sıfır olmalıdır. Bu nedenle cisimler patlamadan
hemen sonra v1 = 2v, v2 = v hızlarıyla hareket eder.
Cisimlerin başlangıç kinetik enerjileri;
1
m(2v)2 = 2mv2
2
1
Ek2 =
2mv2 = mv2
2
olup, büyüklükleri farklı olduğundan X ve Y noktalarındaki potansiyel enerjileri de farklıdır.
Nihat Bilgin Yayıncılık©
6. Cisimlerin sahip olduğu potansiyel enerjiler kinetik
enerjiye dönüşerek yatay düzleme varırlar. Buna
göre, cisimlerin çarpışmadan önceki hızları;
v1 = v ise v2 = 3v
olur. Esnek çarpışmalarda çarpışan iki cismin ilk
momentumlarının bileşkesi sıfır ise, çarpışmadan
sonra cisimler geldikleri hızlarla geri dönerler. Bu
durumun oluşabilmesi için;
m1 = 3m , m2 = m olmalıdır.
m2=m
3v
m1=3m
v
çarpşmadan önce
m1
m 2 = 3 bulunur.
v
m1
m2
3v
çarpşmadan sonra
Cevap D dir.
Ek1 =
Cevap E dir.
v
4. Cisimler K ve L noktala3v
rında yalnızca potansiyel
3m
m
enerjiye sahiptir. Bu enerjiler kinetik enerjiye dönüştüğünde m kütleli cismin
hızı, 3m kütleli cismin hızının 3 katı olur. Cisimler
çarpışıp yapıştığında hızları sıfır olur. Çünkü çarpışmadan önceki toplam momentum sıfırdır.
Çarpışmadan sonraki momentum da sıfır olmak
zorundadır.
Cevap A dır.
7. Cisim X noktasından Y noktasına çıkarken 3h ve h
yollarını 2t sürede alarak çıkar. Cisim Y noktasından serbest düşme yaparak h, 3h, 5h yollarını 3t
sürede alır.
Bir cisme verilen itme o cisimdeki momentum değişimine eşittir.
D P1 = F · D t 1
D P1 = mg ·2 t
D P2 = m g ·3 t
D P1
DP2
=
2
3
bulunur .
Cevap B dir.
4
ÇİZGİSEL VE AÇISAL MOMENTUM
8. Hız-zaman grafiğine göre, m1 kütleli cisim v1= 3
m/s lik hızla durmakta olan m2 kütleli cisme çarpmıştır. Çarpışmadan sonra ortak kütle 1 m/s lik
hızla hareket etmiştir.
v1=3 m/s
v2=0
m1
pışma öncesi hız vektörünün (4) numaralı vektör
olduğunu buluruz.
Cevap D dir.
vort=1 m/s
m2
m1 m2
çarpşmadan önce
çarpşmadan sonra
P önce = P sonra
m1v1 + m2v2 = (m1+m2) · vort
3m1 = m1+m2
2m1 = m2
m1
1
m2 = 2
Cevap C dir.
bulunur .
Momentumun korunumundan;
P önce = P sonra
m1·v0x = (m1+m2)·vort
m1·v0cosα = (m1+m2)·vort
yazabiliriz. Dikkat edilirse ortak hızın büyüklüğünü
bulmak için x uzaklığı gerekli değildir.
Nihat Bilgin Yayıncılık©
9. Cismin atılış hızının yatay bileşeni ortak kütlenin
hareketini sağlar.
11. Yerden, 2mv momentumu ile atılan
2mv
cisim, düzgün yavaşlayarak h yükmv
sekliğinden geçerken iç patlama
sonucu iki parçaya ayrılıyor.
Patlamadan
sonra
parçaların
mv
momentum vektörleri şekildeki gibidir. Yani patlamadan sonra bileşke momentum,
yukarı doğru mv kadardır. Patlamadan hemen
önceki momentum da yukarı doğru mv olmalıdır.
Cismin kütlesi 2m olduğuna göre, h yüksekliğine
v
büyüklüğündeki hızla varmış demektir.
2
v 2 = v 20 – 2 gh
v
( ) 2 = v 2 – 2 gh
2
yazabiliriz. v ile g bilindiğine göre buradan h bulunur.
1
h = vt – gt 2
2
Cevap E dir.
bağıntısındaki h, g, v bilindiğine göre t bulunur.
1
Kinetik enerjiyi veren bağıntı, E k = mv 2 dir.
2
Bağıntıdaki v biliniyor ancak m, sayısal değer olarak bilinmiyor. Bu nedenle h yüksekliğindeki kinetik
enerji bulunmaz.
Cevap D dir.
10.
P1
3m
Port
m
2m
P2
m kütleli cismin v 1 hız vektörü ile (m+2m) ortak
kütlenin v ort hız vektörleri Şekil I de verilmiştir.
Çarpışma sonrası v ort hızının büyüklüğü 1 birim
olarak verilmiştir. Bu hızı 3m ile çarptığımızda çarpışma sonrası ortak kütlenin momentumu bulunur.
P 2 vektöründen yararlanarak 2m kütleli cismin çar-
12. m1, m2 kütleli cisimler t süre sonra A noktasında
çarpışıyorlar. m1 kütlesi cismin A noktasına uzaklığı 3 birim, m2 kütleli cismin A noktasına uzaklığı 1
birimdir. Buna göre;
v1 = 3v, v2 = v
dir. Merkezi esnek çarpışma yapan cisimlerin kütleleri eşit ise, cisimler hızlarını birbirine aktarırlar.
Yani çarpışmadan sonra;
v1ʹ = v, v2ʹ = 3v
olur. Çarpışmadan t süre sonra m1 kütleli cisim 1
birim yol alarak K noktasından, m2 kütleli cismin ise
aynı anda 3 birim yol alarak Z den geçer.
Cevap C dir.
ÇİZGİSEL VE AÇISAL MOMENTUM
13.
3v
53°
Test 3’ün Çözümleri
m2
5v
4v
m1
Cismin hız bileşenleri şekildeki gibidir. Düşey bileşenin harekete katkısı yoktur.
Açısal momentum bağıntısı L = I·ω dır. Bu bağıntıya göre, hem açısal momentumlar hem de açısal
hızlar eşittir. Bu nedenle eylemsiz momentleri de
eşit olur.
Cisimlerin dönme yarıçapları farklı olduğundan;
I = m·r2
bağıntısına göre kütleleri farklıdır.
Momentumun korunumundan;
P önce = P sonra
1. Sistem bir bütün hâlinde hareket ettiğine göre sistem üzerindeki her noktanın açısal hızı aynıdır.
Buna göre m1 ve m2 kütlelerinin açısal hızları aynı
olur.
v1=v
53°
m1v1 – m2v2x = (m1 + m2)vort
4m·v – m.3v = (5m)·vort
mv = 5m·vort
vort =
1
v
5
5
bulunur.
Cevap E dir.
14. Yatay atış yapan bir cismin yatay eksenindeki hızı
sabit kalır. Düşey eksende ise cisim serbest düşme
yapar.
m
v
v
2m
çarpşmadan önce
3m
1v
3
çarpşmadan sonra
Yatay eksende çarpışmadan önceki ve çarpışmadan sonraki momentum vektörleri şekildeki gibidir.
Cisimler K noktasında çarpıştıklarında bir de aşağı
doğru düşey hızlarının etkisindedir. Bu nedenle
ortak kütle (2) yönünde pike atışı yapar.
Nihat Bilgin Yayıncılık©
Cevap C dir.
2. Momentumun korunumu kanununa göre, bir sisteme dışardan tork etki etmedikçe sistemin açısal
momentumu değişmez. Yani Dünya Güneş etrafında dönerken Dünya’nın açısal momentumu değişmez.
Cevap C dir.
3. Cisim K dan O ya gelirken enerjinin korunumuna
göre çizgisel hızı artar. Eylemsizlik momenti kütleye ve yarıçapa bağlıdır. Cisim K dan O ya gelirken kütle ve yarıçap değişmediği için eylemsizlik
momenti de değişmez.
Yerçekimi kuvvetinin oluşturduğu torktan dolayı
açısal momentum artar.
Cevap A dır.
Cevap D dir.
4. Açısal momentum L = mvr dir. Kütle birimi kg, hız
m
birimi s , yarıçap birimi m olduğundan açısal
momentum birimi;
m
m2
kg s · m = kg s
olur. Buna göre I doğru, II yanlıştır.
Yukarıdaki bağıntıyı tekrar yazalım.
L = m·v·r = m·at·r = F·t·r
olur. Her bir büyüklüğün birimini yazarsak;
N·s·m = J·s
bulunur. Buna göre, IV doğru, III yanlıştır.
Cevap C dir.
6
ÇİZGİSEL VE AÇISAL MOMENTUM
9. Ι = mr2 bağıntısına göre yarıçap azaldığı için
eylemsizlik momenti de azalır. I. yargı yanlıştır.
5. X ve Z çarklarının çizgisel hızları eşittir. Bu yüzden
açısal momentum bağıntısını çizgisel hız cinsinden
yazalım.
L = m·v·r
LX = mX·vX·rX
LZ = mZ·vZ·rZ
LX
LZ
Açısal momentum korunumuna göre
momentum sabit kalır. II. yargı doğrudur.
L = mvr bağıntısında, L ve m değişmiyor, r azalıyorsa; dönme hızı olan v artar. Bu nedenle III. yargı
doğrudur.
rX
2
bulunur.
= r =
3
Z
açısal
Cevap D dir.
Cevap C dir.
6. Açısal momentum bağıntısı,
L = I·ω = mr2·ω
m3 > m2 > m1 ve r3 > r2 > r1
olduğundan I3 > I2 > I1 olur.
Açısal hızlar da eşit olduğuna göre açısal momentumlar arasındaki ilişki L3 > L2 > L1 olur.
10. Öğrenci merkeze doğru yürürken I = mr2 bağıntısana göre r azaldığı için I azalır. O hâlde I. yargı yanlıştır.
7. Momentumun korunumuna göre dış kuvvetler tork
oluşturmuyorsa bir sistemin açısal momentumu
değişmez. Buna göre III. yargı yanlıştır.
I = m·r2 bağıntısına göre yarıçap azaldığı için
eylemsizlik momenti de azalır. II. yargı doğrudur.
L = I·ω bağıntısında açısal hız değişmez ve eylemsizlik momenti azalırsa açısal hız artar. Yani I. yargı
yanlıştır.
Cevap B dir.
8. İpin çe­kil­me­siy­le uy­gu­la­nan kuv­vet açı­sal hı­za
dik ol­du­ğun­dan tork üret­mez. Bu ne­den­le açı­sal
Açısal momentumun korunumuna göre dış kuvvetler tork oluşturmuyorsa açısal momentum sabit
kalır. Buna göre II. yargı doğrudur.
L = I.ω bağıntısında, L sabit I azalıyorsa ω açısal
hızı artar. Bu nedenle III. yargı yanlıştır.
Nihat Bilgin Yayıncılık©
Cevap E dir.
Cevap B dir.
11. I = mr2 bağıntısına göre yarıçap azaldığı için
eylemsizlik momenti azalır. O hâlde I. yargı yanlıştır.
Dışarıdan tork oluşturulmadığı için açısal momentum değişmez.
L = I.ω bağıntısında I eylemsizlik momenti azaldığı,
L açısal momentumu değişmediği için ω açısal hızı
artar. Buna göre II. yargı doğrudur.
Cevap B dir.
mo­men­tum ko­ru­nur, ya­ni;
Ι1 . ω1 = Ι2 . ω2
dir. İpin kı­sal­ma­sıy­la ya­rı­çap aza­lır ve bu­na bağ­lı
ola­rak da ey­lem­siz­lik mo­men­ti ( Ι ) aza­lır, açı­sal hız
( ω ) ar­tar. Ya­ni Ι1 > Ι2 ol­du­ğun­dan ω1 > ω2 olur.
v = ω . r ba­ğın­tı­sın­da ω da­ki ar­tış r de­ki ar­tış­tan
da­ha bü­yük­tür. Bu ne­den­le v çiz­gi­sel hı­zı ar­tar.
Sorumuzun cevabı II ve III olur.
Cevap E dir.
12. Eylemsizlik momenti hem kütle ile hem de cismin
dönme eksenine olan uzaklığın karesiyle de doğru
orantılıdır. Eylemsizlik momenti ayrıca cismin geometrik yapısına da bağlıdır.
Cevap E dir.
ÇİZGİSEL VE AÇISAL MOMENTUM
13. I. tekerlek ters çevrildiğinde dönme yönü değişmiş
olur. Toplam açısal momentumun sabit kalması için
tabure bisikletin tekerleriyle ters yönde dönmeye
başlar.
II. Şekil I de gösterilen yönde döndürülen bisiklet
tekerinin açısal momentumunun yönü sağ el kuralına göre yukarı yönlüdür. (L1).
III. Toplam açısal momentumun sabit kalması için
tabure ile bisiklet tekeri zıt yönde döner.
Şekil II de tekerleğin negatif olan açısal momentumunun öğrenciden kaynaklanan pozitif açısal
momentuma eklenmesi gerekir. Ancak bu şekilde
toplam açısal momentumun korunması mümkün
olur.
Yanıt B dir.
14. Eylemsizlik momenti ipin uzunluğunun karesi ile
doğru orantılıdır. Buna göre I1 > I2 > I3 olur.
Nihat Bilgin Yayıncılık©
Cevap C dir.
7