MİLLER ve KİRİŞLER - guven
advertisement
2010 Ağustos www.guven-kutay.ch MİLLER ve KİRİŞLER 06a Özet M. Güven KUTAY İÇİNDEKİLER 1 Ortadan tek kuvvet etkisindeki klasik kiriş ............................................................................................................... 4 2 Asimetrik tek kuvvet etkisindeki klasik kiriş ............................................................................................................ 5 3 Simetrik iki kuvvet etkisindeki klasik kiriş............................................................................................................... 7 4 Çift taraf çıkmalı, çıkmada simetrik iki kuvvet etkisindeki klasik kiriş.................................................................... 9 5 Çıkma kiriş ucundaki tek kuvvet etkisindeki klasik kiriş........................................................................................ 11 6 Asimetrik moment etkisindeki klasik kiriş.............................................................................................................. 13 7 Sabit mafsallı tarafta moment etkisindeki klasik kiriş............................................................................................. 15 8 Hareketli tarafta moment etkisindeki klasik kiriş.................................................................................................... 17 9 Tam yayılı yük etkisindeki klasik kiriş ................................................................................................................... 19 10 Ortada simetrik yayılı yük etkisindeki klasik kiriş.................................................................................................. 21 11 Tam yayılı üçken yük etkisindeki klasik kiriş, taban hareketli yatak tarafında....................................................... 23 12 Tam yayılı simetrik üçken yük etkisindeki klasik kiriş........................................................................................... 25 13 Çıkmalı klasik kiriş, çıkma tarafındaki yayılı yük etkisinde ................................................................................... 27 14 Çift taraflı çıkmalı klasik kiriş, tam yayılı yük etkisinde ........................................................................................ 29 15 Tek kuvvet etkisindeki çıkma kiriş ......................................................................................................................... 31 16 Serbest uçta moment etkili çıkma kiriş ................................................................................................................... 32 17 Düzgün yayılı yük etkisindeki çıkma kiriş.............................................................................................................. 33 18 Üçken yayılı yük etkisindeki çıkma kiriş (üçken tabanı sabit tarafta)..................................................................... 34 19 Üçken yayılı yük etkisindeki çıkma kiriş (üçken tabanı boş tarafta)....................................................................... 35 20 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli otadan tek yük etkisindeki kiriş .................................................................... 36 21 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli asimetrik tek yük etkisindeki kiriş ................................................................ 38 22 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli tam yayılı yük etkisindeki kiriş..................................................................... 40 23 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli üçken yayılı yük etkisindeki kiriş ................................................................. 42 24 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli üçken yayılı yük etkisindeki kiriş ................................................................. 44 25 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli moment etkisindeki kiriş............................................................................... 46 26 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli, çıkma ucunda tek kuvvet etkisindeki kiriş ................................................... 48 27 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli, çıkma ucunda moment etkisindeki kiriş....................................................... 50 28 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli, çıkmalı tam yayılı yük etkisindeki kiriş ....................................................... 52 29 İki tarafı sabit, ortadan tek kuvvet etkisindeki kiriş ................................................................................................ 54 30 İki tarafı sabit, asimetrik tek kuvvet etkisindeki kiriş ............................................................................................. 56 31 İki tarafı sabit, tam yayılı yük etkisindeki kiriş....................................................................................................... 58 32 İki tarafı sabit, üçken yayılı yük etkisindeki kiriş ................................................................................................... 60 33 İki tarafı sabit, bağlantı yerinde tek kuvvet etkisindeki kiriş................................................................................... 62 34 İki tarafı sabit, asimetrik moment etkisindeki kiriş ................................................................................................. 63 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 3 Miller ve akslarda (kirişlerde) moment, kuvvet ve sehim, eğim tabloları Aşağıdaki formüllerde verilen sembollerin birimleri şu anlamdadır: Sembol L x, y f fm α F q M I W *)1 m m m m N N/m Nm m4 m3 Birimler *)1 cm mm cm mm cm mm cm mm kp N kp/cm N/mm kpcm Nmm 4 cm mm4 cm3 mm3 Tanım Destek veya yataklama arası, veya kiriş boyu Elastik eğri üzerinde herhangi bir noktanın koordinatları Sehim Maksimum sehim Herhangi bir noktadaki teğetin x-ekseni ile yaptığı açı Kuvvet Yayılı kuvvetşn birim değeri Eğilme momenti Atalet momenti Karşı koyma momenti Hesaplamada daima aynı sütundaki birimler kullanılmalıdır. Yoksa yapılan hesaplar karma karışık olur. Temel konstrüksiyon ilkesi Konstrüksiyonda dikkat edilecek en önemli ilke “Klasik Kiriş” Konstrüksiyonunun yapılmasıdır. Buda şu demektir: Klasik kiriş; Bir ucu mafsallı sabit diğer ucu haraketli destekli kiriştir. Bir rijit kiriş en fazla iki yerden yataklanmalıdır. Bu yataklardan bir tanesi her yönde sabit kalacak şekilde konstrüksiyonu yapılmalıdır. Diğeri, yani ikinci yatak, diklemesine sabit fakat boylamasına hareketli olmalıdır. Böylece hesaplarda mekaniğin altın teorisi denilen üç teori sakıncasız uygulanabilir. Bu şekilde konstrüksiyonu yapılmayan kirişler durumlarına göre, birinci veya ikinci dereceden belirsiz kirişler olur. Belirsiz kirişlerin hesapları bundan sonra verilen formüllerle değil, özel hesaplama usülleri ile yapılmış elektronik hesap programlarıyla yapılır. F A taraf1 B taraf1 L F FA LA LB Klasik kiriş www.guven-kutay.ch FB M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 4 Ortadan tek kuvvet etkisindeki klasik kiriş Mmax 1 F A y FA FB Eğilme momenti M = F.x/2 *)1 Mmax = F.L/4 f max = f = L Şekil 1 F ⋅ L3 48 ⋅ E ⋅ I y Elastik eğrinin x ≤ L/2 için formülü; y= L/2 L/2 FA=FB = F/2 max. Sehim αB fmax x αA B A ve B kuvveti F ⋅ L3 48 ⋅ E ⋅ I y Eğim açısı 3⋅ x 4 ⋅ x3 *)1 ⋅ − 3 L L F ⋅ L2 αA = αB = 16 ⋅ E ⋅ I y Şekil 1 için örnek; Kuvvet Kiriş boyu Elastiklik modülü Atalet momenti x in A ya mesafesi Yatak kuvveti A Yatak kuvveti B max. Moment *)1 X noktasında moment max. Sehim F= L= E= Iy = x= 2'000 1'000 210'000 333'333 300 N mm N/mm2 mm4 mm FA = F/2 = 2'000 / 2 FB = F/2 = 2'000 / 2 F⋅L MX = 4 F⋅ x MX = 2 F ⋅ L3 f max = f = 48 ⋅ E ⋅ I y F ⋅ L3 48 ⋅ E ⋅ I y 3 ⋅ x 4 ⋅ x3 ⋅ − 3 L L X noktasında sehim *)1 y= Eğim açısı F ⋅ L2 αA = 16 ⋅ E ⋅ I y αA = αB FA = FB = Mmax = 500 Nm Mx = 300 Nm fmax = 0,60 mm fx = 0,47 mm αA = 0,0018 Rad αA° = αB = 0,1023 ° 2 F⋅L 16 ⋅ E ⋅ I y αB = αB° = *)1 1'000 N 1'000 N 0,0018 Rad 0,1023 ° Dikkat: Bu formüller x ≤ L/2 için geçerlidir. Hesaplarda x > L/2 değeri olduğunda x için x = (L – x) değerini veriniz. www.guven-kutay.ch 5 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 2 Asimetrik tek kuvvet etkisindeki klasik kiriş F A f1 fC fm a X1 f2 xm αA A yatağı kuvveti; FA = F⋅b L B yatağı kuvveti; FB = F⋅a L B C x1 FA Mmax Yatak kuvvetleri: C Xm L x2 αB X2 FB b Eğilme momentleri: M max = max Moment; F⋅a ⋅b L Şekil 2 XA noktasında moment 0 ≤ xa ≤ a; M Xa = F⋅b ⋅ xa L *)1 XB noktasında moment 0 ≤ xb ≤ b ; M Xb = F⋅a ⋅ xb L *)2 Xm noktasında moment M Xm = F⋅a ⋅ xm L *)2 max. Sehim F ⋅ a ⋅ L2 − a 2 f max = 9 ⋅ 3 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L max. Sehim mesafesi xm = L − C noktasında sehim ; F ⋅ a 2 ⋅ b2 fC = 3 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L )3 ( (L − a )/ 3 2 2 Elastik eğri: L x a2 ⋅ 1 + − ⋅ b a b *)1 *)2 XA noktasında sehim 0 ≤ xa ≤ a ; F ⋅ a ⋅ b2 ⋅ x a ya = 6 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L XB noktasında sehim 0 ≤ xb ≤ b ; yb = F ⋅ a 2 ⋅ b ⋅ x b L x 2b ⋅ 1+ − 6 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L a a ⋅ b A yatağında eğim açısı αA = F ⋅ a ⋅ b ⋅ (L + b ) 6 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L B yatağında eğim açısı αB = F ⋅ a ⋅ b ⋅ (L + a ) 6 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L Dikkat: Burada a < b dir, eğer a > b ise, a ile b vede xa ve xb yer değiştirir. *)1 0 ≤ xa ≤ a büyüklüğünde alınmalıdır. *)2 0 ≤ xb ≤ b büyüklüğünde alınmalıdır. www.guven-kutay.ch 6 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 2 için örnek; Kuvvet F= 2'000 N Kiriş boyu L= 1'000 mm Kirişin a boyu a= 300 mm Kirişin b boyu b= 700 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 x in A ya mesafesi xa = 200 mm x in B ye mesafesi xb = 500 mm Yatak kuvveti A Yatak kuvveti B max. Moment Xa noktasında moment Xb noktasında moment Xm noktasında moment F⋅b L F⋅a FB = L F⋅a ⋅b M max = L F⋅b M Xa = ⋅ xa L F⋅a M Xb = ⋅ xb L F⋅a M Xm = ⋅ xm L FA = )3 ( max. Sehim F ⋅ a ⋅ L2 − a 2 f max = 9 ⋅ 3 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L xm mesafesi xm = L − C noktasında sehim fC = Xa noktasında sehim Xb noktasında sehim A yatağında eğim açısı (L − a )/ 3 2 2 F ⋅ a 2 ⋅ b2 3 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L L x2 ⋅ 1 + − a b a ⋅ b F ⋅ a 2 ⋅ b ⋅ x b L x 2b yb = ⋅ 1+ − 6 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L a a ⋅ b F ⋅ a ⋅ b ⋅ (L + b ) αA = 6 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L ya = F ⋅ a ⋅ b2 ⋅ x a 6 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L b=L–a FA = 1'400 FB = 600 αB = F ⋅ a ⋅ b ⋅ (L + a ) 6 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L 420 Nm MXa = 280 Nm MXb = 300 Nm MXm = 270 Nm fmax = 0,48 mm xm = 449,2 mm fC = 0,42 mm ya = 0,31 mm yb = 0,47 mm αA = 0,0017 Rad αB = αB° = www.guven-kutay.ch N Mmax = αA° = B yatağında eğim açısı N 0,0974 ° 0,0013 Rad 0,0745 ° 7 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Simetrik iki kuvvet etkisindeki klasik kiriş Mmax 3 F A F C B D a αC y1 f X2 y2 fmax αA f FA c X1 FA = F B yatağı kuvveti FB = F Eğilme momentleri: x1 x2 Yatak kuvvetleri: A yatağı kuvveti max Moment FB M max = F ⋅ a a C ile D arası moment sabittir. L/2 L M C;D = M max = F ⋅ a Şekil 3 D ve B arasında moment 0≤x≤a M x = FA ⋅ x = F ⋅ x C ile D arası çemberin yarı çapı ρ = E ⋅ Iy / M max. Sehim f max = Kuvvet noktalarında sehim F ⋅ L ⋅ a2 4 ⋅ a f C;D = ⋅ 1 − 2 ⋅ E ⋅ Iy 3 ⋅ L X1 noktasında sehim x1 ≤ a ≤ 0,5.L y1 = F ⋅ L2 ⋅ x1 a a x12 ⋅ ⋅ 1 − − 2 ⋅ E ⋅ I y L L 3 ⋅ L2 X2 noktasında sehim a ≤ x2 ≤ 0,5.L y2 = F ⋅ L2 ⋅ a x 2 x 2 a 2 ⋅ ⋅ 1 − − 2 ⋅ E ⋅ I y L L 3 ⋅ L2 Eğim açısı A ve B yataklarında αA = αB = F ⋅ a ⋅ (a + c ) 2 ⋅ E ⋅ Iy Eğim açısı C ile D noktalarında αC = α D = F⋅a ⋅c 2 ⋅ E ⋅ Iy F ⋅ L2 ⋅ a 4 ⋅ a 2 ⋅ 1− 8 ⋅ E ⋅ I y 3 ⋅ L2 www.guven-kutay.ch 8 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 3 için örnek; Kuvvet F= 2'000 N Kiriş boyu L= 1'000 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 Kirişin a boyu a= 350 mm Kirişin b boyu c= 300 mm x in A ya mesafesi x= 250 mm x1 in A ya mesafesi x1 = 400 mm Yatak kuvveti A Yatak kuvveti B max. Moment C ile D arası moment D ve B arasında moment C ile D arası çemberin yarı çapı c = L – 2.a FA = F FB = F M max = F ⋅ a FA = FB = Mmax = 2'000 N 2'000 N 700 Nm M C;D = M max = F ⋅ a MC;D = 700 Nm MX = 500 Nm M x = FA ⋅ x = F ⋅ x ρ = E ⋅ Iy / M F ⋅ L2 ⋅ a 4 ⋅ a 2 ⋅ 1− 8 ⋅ E ⋅ I y 3 ⋅ L2 max. Sehim f max = C ve D noktalarında sehim f = X1 noktasında sehim x1=200 ≤ a ≤ 0,5.L y1 = X2 noktasında sehim a ≤ x2=400 ≤ 0,5.L y2 = A yatağında eğim açısı αA = αB = ρ= fmax = 1,05 mm f= 0,93 mm F ⋅ L2 ⋅ x1 a a x12 ⋅ ⋅ 1 − − 2 ⋅ E ⋅ I y L L 3 ⋅ L2 y1 = 0,74 mm F ⋅ L2 ⋅ a x 2 x 2 a 2 ⋅ ⋅ 1 − − 2 ⋅ E ⋅ I y L L 3 ⋅ L2 y2 = 1,00 mm αA = 0,0033 Rad F ⋅ L ⋅ a2 4 ⋅ a ⋅ 1 − 2 ⋅ E ⋅ Iy 3⋅ L F ⋅ a ⋅ (a + c ) 2 ⋅ E ⋅ Iy αA° = B yatağında eğim açısı αA = αB = F ⋅ a ⋅ (a + c ) 2 ⋅ E ⋅ Iy αB = αB° = C ile D noktalarında eğim açısı 100,00 m αC = α D = F⋅a ⋅c 2 ⋅ E ⋅ Iy αC = αC° = www.guven-kutay.ch 0,1862 ° 0,0033 Rad 0,1862 ° 0,0015 Rad 0,0859 ° 9 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 4 Çift taraf çıkmalı, çıkmada simetrik iki kuvvet etkisindeki klasik kiriş F F B Mmax A 1 a X2 FA fM y y1 αE X B yatağı kuvveti FB = F max Moment αA FB 0,5L αE a M max = F ⋅ a fE fE E FA = F Eğilme momentleri: x2 x1 Yatak kuvvetleri: A yatağı kuvveti A ile B arası moment sabittir. E L M A;B = M max = F ⋅ a Şekil 4 E ile B arasındaki moment 0 ≤ x ≤ a Mx = F ⋅ x A ile B arası çemberin yarı çapı ρ = E ⋅ Iy / M Orta noktada sehim fM = Uç noktalarında sehim F ⋅ L ⋅ a2 2 ⋅ a ⋅ 1 + fE = 2 ⋅ E ⋅ Iy 3 ⋅ L X1 noktasında sehim x1 ≤ a y1 = F ⋅ L3 2 ⋅ E ⋅ Iy X2 noktasında sehim x2 ≤ L y2 = F ⋅ L ⋅ a ⋅ x2 x2 ⋅ 1 − 2 ⋅ E ⋅ Iy L Eğim açısı A ve B yataklarında αA = αB = Eğim açısı E noktalarında αE = F ⋅ L2 ⋅ a 8 ⋅ E ⋅ Iy x3 a ⋅ x a a 2 2 ⋅ a ⋅ 1 3 − 2 1 ⋅ 1 − + 2 ⋅ 1 + L L L 3 ⋅ L 3 ⋅ L 4 ⋅ fM L 4 ⋅ fM a ⋅ 1 + L L www.guven-kutay.ch 10 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 4 için örnek; Kuvvet F= 2'000 N Kiriş boyu L= 1'000 mm Kirişin a boyu a= 300 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 x in A ya mesafesi x= 200 mm x1 in A ya mesafesi x1 = 250 mm Yatak kuvveti A Yatak kuvveti B FA = F FB = F max. Moment M max = F ⋅ a A ile B arası moment M A;B = M max = F ⋅ a A ile B arası çemberin yarı çapı E ve B arasında moment ρ = E ⋅ Iy / M Orta noktada sehim L/2 noktası fM = E noktalarında sehim fE = X1 noktasında sehim x1=200 ≤ a ≤ 0,5.L y1 = X2 noktasında sehim x2 =250 ≤ 0,5.L y2 = A yatağında eğim açısı αA = αB = Mx = F ⋅ x FA = FB = Mmax = MC;D = 2'000 N 2'000 N ρ= 116,67 m 500 Nm F ⋅ L2 ⋅ a 8 ⋅ E ⋅ Iy fM = 1,07 mm F ⋅ L ⋅ a 2 2a ⋅ 1 + 2 ⋅ E ⋅ I y 3L fE = 1,54 mm y1 = 0,22 mm y2 = 0,90 mm αA = 0,0043 Rad F ⋅ L3 2 ⋅ E ⋅ Iy x3 a ⋅ x a a 2 2 ⋅ a ⋅ 1 3 − 2 1 ⋅ 1 − + 2 ⋅ 1 + L L L 3 ⋅ L 3 ⋅ L F ⋅ L ⋅ a ⋅ x2 x2 ⋅ 1 − L 2 ⋅ E ⋅ Iy 4 ⋅ fM L αA = αB = 4 ⋅ fM L αB = αB° = E noktalarında eğim açısı αE = 600 Nm MX = αA° = B yatağında eğim açısı 600 Nm 4 ⋅ fM L a ⋅ 1 + L αC = αC° = www.guven-kutay.ch 0,2456 ° 0,0043 Rad 0,2456 ° 0,0056 Rad 0,3192 ° 11 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 5 Çıkma kiriş ucundaki tek kuvvet etkisindeki klasik kiriş Yatak kuvvetleri: F A yatağı kuvveti; a FA = F ⋅ 1 + L B yatağı kuvveti; FB = F ⋅ A B fC X1 αC a αB X2 max Moment; x1 Şekil 5 0 ≤ x1 ≤ a M x1 = FB ⋅ x1 = F ⋅ F ⋅ L2 ⋅ a 9 ⋅ 3 ⋅ E ⋅ Iy xf noktasıdaki max. sehim xf mesafesi xf = L / 3 C noktasında sehim fC = X1 noktasında sehim F ⋅ L ⋅ a ⋅ x1 x12 ⋅ 1− y1 = 6 ⋅ E ⋅ I y L2 X2 noktasında sehim x2 ≤ a Eğim açısı A yatağında Eğim açısı B yatağında Eğim açısı C noktalarında a ⋅ x1 L M x 2 = F ⋅ (a − x 2 ) f xf = x1 ≤ L M max = M A = F ⋅ a A ile B arası moment 0 ≤ x1 ≤ L. L A ile C arasındaki moment a L Eğilme momentleri: y1 αA xf fxf x2 y 2 Mmax C y2 = F ⋅ L ⋅ a2 3 ⋅ E ⋅ Iy x f = 0,57735 ⋅ L a ⋅ 1 + L F ⋅ L2 ⋅ x 2 2 ⋅ a 3 ⋅ a ⋅ x 2 x 22 ⋅ + − 6 ⋅ E ⋅ I y L L2 L2 αA = F⋅a ⋅ L 3⋅ E ⋅ Iy αB = F⋅a ⋅ L 6 ⋅ E ⋅ Iy αC = F ⋅ a ⋅ (2 ⋅ L + 3 ⋅ a ) 6 ⋅ E ⋅ Iy www.guven-kutay.ch 12 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 5 için örnek; Kuvvet F= 2'000 N Kiriş boyu L= 1'000 mm Kirişin a boyu a= 300 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 X1 in B ye mesafesi x1 = 300 mm X2 nin A ya mesafesi x2 = 100 mm Yatak kuvveti A Yatak kuvveti B max. Moment B ile A arasındaki X1 noktasında moment B ile A arasındaki xf noktasında moment A ile C arasındaki X2 noktasında moment a FA = F ⋅ 1 + L a FB = F ⋅ L M max = F ⋅ a 2'600 N FB = 600 N Mmax = 600 Nm MX1 = 180 Nm MXf = 346,2 Nm M x 2 = F ⋅ (a − x 2 ) MX2 = 400 Nm F ⋅ L2 ⋅ a 9 ⋅ 3 ⋅ E ⋅ Iy fxf = 0,550 mm x f = 0,57735 ⋅ L xf = 577,35 mm a ⋅ 1 + L fC = 1,114 mm y1 = 0,390 mm y2 = 0,324 mm αA = 0,0029 Rad a ⋅ x1 L a ⋅ xf M xf = FB ⋅ x f = F ⋅ L M x1 = FB ⋅ x1 = F ⋅ xf noktasında max. sehim f xf = xf mesafesi xf = L / 3 C noktasında sehim fC = F ⋅ L ⋅ a2 3 ⋅ E ⋅ Iy X1 noktasında sehim x1 =250 ≤ L y1 = F ⋅ L ⋅ a ⋅ x1 x12 ⋅ 1− 6 ⋅ E ⋅ I y L2 X noktasında sehim x2 =100 ≤ a F ⋅ L2 ⋅ x 2 2 ⋅ a 3 ⋅ a ⋅ x 2 x 22 ⋅ + − 6 ⋅ E ⋅ I y L L2 L2 F⋅a ⋅ L αA = 3⋅ E ⋅ Iy A yatağında eğim açısı FA = y2 = αA° = B yatağında eğim açısı αB = F⋅a ⋅ L 6 ⋅ E ⋅ Iy αB = αB° = C noktalarında eğim açısı αC = F ⋅ a ⋅ (2 ⋅ L + 3 ⋅ a ) 6 ⋅ E ⋅ Iy αC = αC° = www.guven-kutay.ch 0,1637 ° 0,0014 Rad 0,0819 ° 0,0041 Rad 0,2374 ° 13 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Asimetrik moment etkisindeki klasik kiriş B f bmax αB αA A yatağı kuvveti; FA = Mb L B yatağı kuvveti; FB = Mb L Eğilme momentleri: eğer a>b ise y x fC famax C Mmax A Yatak kuvvetleri: Mb Mmin 6 αC X M max A = FA ⋅ a max Moment b a L Sistemde max moment Şekil 6 A ile C arasındaki moment 0 ≤ x1 ≤ a M X1 = FA ⋅ x1 C ile B arasındaki moment b ≤ x2 ≤ L M X 2 = FB ⋅ (L − x 2 ) M max = M b 3 a kısmında max. sehim M ⋅ L2 fa max = b 3 ⋅ E ⋅ Iy 1 b2 ⋅ − 3 L2 b kısmında max. sehim M ⋅ L2 f b max = b 3 ⋅ E ⋅ Iy 1 a2 ⋅ − 3 L2 C noktasında sehim fC = Mb ⋅ a ⋅ b a b ⋅ − 3⋅ E ⋅ Iy L L y1 = M b ⋅ L ⋅ x1 3 ⋅ b 2 x12 ⋅ 1− − 6 ⋅ E ⋅ I y L2 L2 y2 = M b ⋅ L x 2 3 ⋅ a 2 2 ⋅ x 2 x 22 ⋅ 1 − − + ⋅ 6 ⋅ E ⋅ Iy L L2 L L2 X1 noktasında sehim x1 ≤ a X2 noktasında sehim a ≤ x2 ≤ L Eğim açısı A yatağında αA = Mb ⋅ L 6 ⋅ E ⋅ Iy 3 ⋅ b2 ⋅ 1 − 2 L Eğim açısı B yatağında αB = Mb ⋅ L 6 ⋅ E ⋅ Iy 3⋅ a2 ⋅ 1 − 2 L Eğim açısı C noktasında αC = Mb ⋅ L 3⋅ a ⋅ b ⋅ 1 − 2 3⋅ E ⋅ Iy L 3 Dikkat! Burada formüller a>b ise geçerlidir. Eğer a<b ise a ve b değerleri yer değiştirir. www.guven-kutay.ch 14 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 6 için örnek; Moment Mb = 1'500 Nm Kiriş boyu L= 1'000 mm Kirişin a boyu a= 700 mm Kirişin b boyu b= 300 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 X1 in A ya mesafesi x1 = 400 mm X2 nin A ya mesafesi x2 = 800 mm Yatak kuvveti A Yatak kuvveti B max. Moment C noktasında moment a kısmında sehim b kısmında sehim C noktasında sehim X noktasında sehim x1 = 400 ≤ a X noktasında sehim x2 = 800 ≤ L A yatağında eğim açısı FA = b=L–a Mb L Mb L M max = FA ⋅ a M C max = FA ⋅ a M C min = FB ⋅ b FB = FA = M ⋅ L2 fa max = b 3 ⋅ E ⋅ Iy 1 b2 ⋅ − 3 L2 1 a2 ⋅ − 3 L2 M ⋅a ⋅b a b fC = b ⋅ − 3⋅ E ⋅ Iy L L M ⋅ L2 f b max = b 3 ⋅ E ⋅ Iy FA = 1'500 N FB = 1'500 N Mmax = MCmax= MCmin= 1’050 Nm 1’050 Nm 450 Nm famax = 0,86 mm fbmax = -0,44i mm fC = 0,60 mm y1 = 0,81 mm y2 = 0,36 mm αA = 0,0026 Rad 3 3 M b ⋅ L ⋅ x1 3 ⋅ b2 x12 ⋅ 1− − y1 = 6 ⋅ E ⋅ I y L2 L2 M ⋅ L x 2 3 ⋅ a 2 2 ⋅ x 2 x 22 y2 = b ⋅ 1 − − + ⋅ L L2 L 6 ⋅ E ⋅ Iy L2 M b ⋅ L 3 ⋅ b2 αA = ⋅ 1− 2 6 ⋅ E ⋅ I y L αA° = B yatağında eğim açısı αB = Mb ⋅ L 6 ⋅ E ⋅ Iy 3⋅ a2 ⋅ 1 − 2 L αB = αB° = C noktalarında eğim açısı αC = Mb ⋅ L 3⋅ a ⋅ b ⋅ 1 − 2 3⋅ E ⋅ Iy L αC = αC° = www.guven-kutay.ch 0,1494 ° -0,0017 Rad -0,0962 ° 0,0026 Rad 0,1494 ° 15 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 7 Sabit mafsallı tarafta moment etkisindeki klasik kiriş Mb Yatak kuvvetleri: Mmax B A x xm L/2 Xm FA = Mb L B yatağı kuvveti; FB = Mb L Eğilme momentleri: f fmax yx αA αB A yatağı kuvveti; X L max Moment M max = FB ⋅ L Sistemde max moment M b = M max Şekil 7 X noktasında moment M X = FB ⋅ (L − x ) max. sehim f max = f m = xm mesafesi 1 x m = 1 − ⋅L 3 L/2 noktasında sehim M b ⋅ L2 f = 16 ⋅ E ⋅ I y X noktasında sehim yx = M b ⋅ L2 6 ⋅ E ⋅ Iy Eğim açısı A yatağında αA = Mb ⋅ L 3 ⋅ E ⋅ Iy Eğim açısı B yatağında αB = Mb ⋅ L 6 ⋅ E ⋅ Iy M b ⋅ L2 9 ⋅ 3 ⋅ E ⋅ Iy 1− 1 = 0,42265 3 2 ⋅ x 3 ⋅ x 2 x3 ⋅ − + 2 L L L3 www.guven-kutay.ch 16 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 7 için örnek; Moment Mb = 1'500 Nm Kiriş boyu L= 1'000 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 X in A ya mesafesi x= Yatak kuvveti A FA = 200 mm Mb L FA = 1'500 N Mb L FB = 1'500 N max. Moment M max = FB ⋅ L Mmax = 1'500 Nm Sistemde max moment M b = M max Mb = 1'500 Nm X noktasında moment M X = FB ⋅ (L − x ) MX = 1'200 Nm max Sehim f max = f m = fmax = 1,375 mm xm mesafesi 1 x m = 1 − ⋅L 3 xm = 422,65 mm L/2 noktasında sehim f = f= 1,339 mm X noktasında sehim M b ⋅ L2 yx = 6 ⋅ E ⋅ Iy yx = 1,029 mm A yatağında eğim açısı αA = αA = 0,0071 Rad Yatak kuvveti B FB = FA = M b ⋅ L2 9 ⋅ 3 ⋅ E ⋅ Iy 1− 1 = 0,42265 3 M b ⋅ L2 16 ⋅ E ⋅ I y Mb ⋅ L 3 ⋅ E ⋅ Iy 2 ⋅ x 3 ⋅ x 2 x3 ⋅ − + 2 L L L3 αA° = B yatağında eğim açısı αB = Mb ⋅ L 6 ⋅ E ⋅ Iy αB = αB° = www.guven-kutay.ch 0,4093 ° 0,0036 Rad 0,2046 ° 17 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 8 Hareketli tarafta moment etkisindeki klasik kiriş Yatak kuvvetleri: Mb A Mmax L/2 X Mb L B yatağı kuvveti; FB = Mb L Eğilme momentleri: αB fmax f yx αA FA = B xm x A yatağı kuvveti; Xm L max Moment M max = FB ⋅ L Sistemde max moment M b = M max Şekil 8 X noktasında moment M X = FA ⋅ x max. sehim M b ⋅ L2 f max = f m = 9 ⋅ 3 ⋅ E ⋅ Iy xm mesafesi xm = L/2 noktasında sehim f = X noktasında sehim yx = Eğim açısı A yatağında αA = Mb ⋅ L 6 ⋅ E ⋅ Iy Eğim açısı B yatağında αB = Mb ⋅ L 3⋅ E ⋅ Iy 1 = 0,57735 3 L 3 M b ⋅ L2 16 ⋅ E ⋅ I y M b ⋅ L2 6 ⋅ E ⋅ Iy x x3 ⋅ − L L3 www.guven-kutay.ch 18 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 8 için örnek; Moment Mb = 1'500 Nm Kiriş boyu L= 1'000 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 X in A ya mesafesi x= Yatak kuvveti A Yatak kuvveti B FA = 200 mm Mb L max. Moment Sistemde max moment X noktasında moment Mb L M max = FB ⋅ L M b = M max M X = FA ⋅ x max Sehim f max = f m = xm mesafesi xm = L/2 noktasında sehim f = X noktasında sehim M b ⋅ L2 yx = 6 ⋅ E ⋅ Iy A yatağında eğim açısı αA = B yatağında eğim açısı FB = FA = M b ⋅ L2 9 ⋅ 3 ⋅ E ⋅ Iy 1 = 0,57735 3 L 3 M b ⋅ L2 16 ⋅ E ⋅ I y αB = x x3 ⋅ − L L3 Mb ⋅ L 6 ⋅ E ⋅ Iy Mb ⋅ L 3⋅ E ⋅ Iy FA = 1'500 N FB = 1'500 N Mmax = Mb = MX = 1'500 Nm 1'500 Nm 300 Nm fmax = 1,375 mm xm = 577,35 mm f= 1,339 mm yx = 0,686 mm αA = 0,0036 Rad αA° = αB = αB° = www.guven-kutay.ch 0,2046 ° 0,0071 Rad 0,4093 ° 19 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 9 Tam yayılı yük etkisindeki klasik kiriş B x L/2 αB fm αA yx A M max q X L/2 L Şekil 9 A yatağı kuvveti FA = q⋅L 2 B yatağı kuvveti FB = q⋅L 2 max Moment q ⋅ L2 M max = 8 X noktasında moment MX = max. sehim f max = f m = X noktasında sehim yx = Eğim açısı A yatağında q ⋅ L3 αA = 24 ⋅ E ⋅ I y Eğim açısı B yatağında q ⋅ L3 αB = αA = 24 ⋅ E ⋅ I y q⋅x ⋅ (L − x ) 2 5 ⋅ q ⋅ L4 384 ⋅ E ⋅ I y q ⋅ L4 24 ⋅ E ⋅ I y x 2 ⋅ x3 x4 ⋅ − 3 + 4 L L L www.guven-kutay.ch 20 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 9 için örnek; Yayılı yük q= Kiriş boyu L= 1'000 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 X in A ya mesafesi x= Yatak kuvveti A Yatak kuvveti B max. Moment X noktasında moment max Sehim 10 N/mm 200 mm q⋅L 2 q⋅L FA = 2 q ⋅ L2 M max = 8 q⋅x MX = ⋅ (L − x ) 2 5 ⋅ q ⋅ L4 f max = f m = 384 ⋅ E ⋅ I y FA = xm mesafesi xm = L 2 X noktasında sehim yx = q ⋅ L4 24 ⋅ E ⋅ I y A yatağında eğim açısı αA = q ⋅ L3 24 ⋅ E ⋅ I y x 2 ⋅ x3 x4 ⋅ − 3 + 4 L L L FA = 5'000 N FB = 5'000 N Mmax = 1'250 Nm MX = 800 Nm fmax = 1,860 mm xm = 500 mm yx = 1,105 mm αA = 0,0060 Rad αA° = B yatağında eğim açısı αB = αA = 0,3410 ° 3 q⋅L 24 ⋅ E ⋅ I y αB = αB° = www.guven-kutay.ch 0,0060 Rad 0,3410 ° 21 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 10 Ortada simetrik yayılı yük etkisindeki klasik kiriş Mmax q A b/2 B b/2 a x2 C yx2 yx1 fmax αA fC x1 αA αB X1 L/2 C αB X2 L Şekil 10 q ⋅a 2 A yatağı kuvveti FA = B yatağı kuvveti FB = FA = max Moment xMmax = 0,5.L M max = 0,25 ⋅ q ⋅ a ⋅ (L − 0,5 ⋅ a ) X noktasında moment x ≤ a/2 2 L a M x = 0,5 ⋅ q ⋅ a ⋅ − x − − x 2 2 q⋅a 2 X noktasında moment x > a/2 C noktalarında moment M x = 0,5 ⋅ q ⋅ a ⋅ (0,5 ⋅ L − x ) max. Sehim xm = 0,5.L fm = q ⋅ L4 384 ⋅ E ⋅ I y C noktalarında sehim xC = 0,5.b fC = q ⋅ a ⋅ b ⋅ L2 a ⋅ b ⋅ 1 + 2 48 ⋅ E ⋅ I y L X noktasında sehim x ≤ a/2 için y= X noktasında sehim x > a/2 için M C = 0,25 ⋅ q ⋅ a ⋅ b b2 b2 ⋅ 1 − 2 ⋅ 5 − 2 L L b 2 b 2 24 ⋅ x 2 16 ⋅ x 4 q ⋅ L4 ⋅ 1 − ⋅ 5 − − + 2 2 4 384 ⋅ E ⋅ I y L2 L L L q ⋅ a ⋅ L3 2 ⋅ x 4 ⋅ x x a2 y= ⋅ 1 − ⋅ 1 − + 2 − ⋅ 96 ⋅ E ⋅ I y L L L L2 Eğim açısı A ve B noktalarında αA = αB = q ⋅ a ⋅ L2 48 ⋅ E ⋅ I y a2 ⋅3− 2 L Eğim açısı C ve D noktalarında αC = α D = q ⋅ a2 ⋅ L 24 ⋅ E ⋅ I y 2⋅a ⋅3− L www.guven-kutay.ch 22 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 10 için örnek; Yayılı yük q= Kiriş boyu L= 1'000 mm Yayılı yük boyu a= 600 mm Yayılı yüksüz boy b= 400 Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 X1 in A ya mesafesi x1 = 200 mm X2 nin A ya mesafesi x2 = 400 mm Yatak kuvveti A Yatak kuvveti B max. Moment X1 noktasında moment x ≤ a/2 FA = 10 N/mm b=L–a q ⋅a 2 q⋅a 2 M max = 0,25 ⋅ q ⋅ a ⋅ (L − 0,5 ⋅ a ) 2 L a M x = 0,5 ⋅ q ⋅ a ⋅ − x − − x 2 2 FB = FA = FA = 3'000 N FB = 3'000 N Mmax = 1'050 Nm MX1 = 850 Nm MX2 = 300 Nm MC = 600 Nm fmax = 1,513 mm xm = 500 mm fC = 0,886 mm X2 noktasında moment x > a/2 C noktasında moment M x = 0,5 ⋅ q ⋅ a ⋅ (0,5 ⋅ L − x ) max Sehim fm = xm mesafesi xm = 0,5.L C noktasında sehim fC = X1 noktasında sehim y= b 2 q ⋅ L4 b 2 24 ⋅ x 2 16 ⋅ x 4 ⋅ 1 − ⋅ 5 − − + 384 ⋅ E ⋅ I y L2 L2 L2 L4 yx1 = 1,222 mm X2 noktasında sehim y= q ⋅ a ⋅ L3 2 ⋅ x 4 ⋅ x x a2 ⋅ 1 − ⋅ 1 − + 2 − ⋅ 96 ⋅ E ⋅ I y L L L L2 yx2 = 0,464 mm A ve B noktalarında eğim açısı q ⋅ a ⋅ L2 αA = αB = 48 ⋅ E ⋅ I y αA = 0,0047 Rad αA° = αB = αB° = 0,2701 ° 0,0047 Rad 0,2701 ° αC = 0,0039 Rad αC° = αD = αD° = 0,2210 ° 0,0039 Rad 0,2210 ° M C = 0,25 ⋅ q ⋅ a ⋅ b q ⋅ L4 384 ⋅ E ⋅ I y b2 b2 ⋅ 1 − 2 ⋅ 5 − 2 L L q ⋅ a ⋅ b ⋅ L2 a ⋅ b ⋅ 1 + 2 48 ⋅ E ⋅ I y L a 2 ⋅ 3− 2 L B yatağında eğim açısı C noktalarında eğim açısı αC = α D = q ⋅ a2 ⋅ L 2⋅a ⋅3− 24 ⋅ E ⋅ I y L D noktasında eğim açısı www.guven-kutay.ch 23 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 11 Tam yayılı üçken yük etkisindeki klasik kiriş, taban hareketli yatak tarafında Yatak kuvvetleri: M max q A FA = q⋅L 6 B yatağı kuvveti; FB = q⋅L 3 B xM fmax x Yayılı yük kuvveti F = αB yx αA A yatağı kuvveti; X xm q⋅L 2 Eğilme momentleri L max Moment M max = 0,1284 ⋅ F ⋅ L = 0,06415 ⋅ q ⋅ L2 Şekil 11 1 / 3 = 0,57735 xMmax mesafesi x M max = L / 3 X noktasında moment Mx = max. Sehim f max = xm mesafesi x f max = 0,5193296 ⋅ L X noktasında sehim yx = q ⋅ L3 ⋅ x 360 ⋅ E ⋅ I y Eğim açısı A yatağında αA = 7 ⋅ q ⋅ L3 360 ⋅ E ⋅ I y Eğim açısı B yatağında αB = 8 ⋅ q ⋅ L3 360 ⋅ E ⋅ I y q ⋅ L ⋅ x x 2 ⋅ 1− L2 6 q ⋅ L4 (153,3) ⋅ E ⋅ I y 1− 8 = 0,5193296 15 x4 x2 ⋅ 3⋅ − 10 ⋅ + 7 L4 L2 www.guven-kutay.ch 24 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 11 için örnek; Yayılı yükün max değeri q= Kiriş boyu L= 1'000 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 x in A ya mesafesi x= Yatak kuvveti A Yatak kuvveti B Yayılı yük kuvveti 30 N/mm 300 mm q⋅L 6 q⋅L FB = 3 q⋅L Fq = 2 FA = max. Moment M max = 0,1284 ⋅ F ⋅ L = 0,06415 ⋅ q ⋅ L2 xMmax mesafesi x M max = L / 3 X noktasında moment q ⋅ L ⋅ x x 2 Mx = ⋅ 1− L2 6 max Sehim f max = xfmax mesafesi x f max = 0,5193 ⋅ L X noktasında sehim q ⋅ L3 ⋅ x yx = 360 ⋅ E ⋅ I y A yatağında eğim açısı αA = 1 / 3 = 0,57735 q ⋅ L4 (153,3) ⋅ E ⋅ I y 8 = 0,5193 15 x2 − 10 ⋅ + 7 L2 1− x4 ⋅ 3⋅ L4 7 ⋅ q ⋅ L3 360 ⋅ E ⋅ I y FA = 5'000 N FB = 10'000 N Fq = 15'000 N Mmax = 1'925 Nm xfmax = 577,35 mm MX = 1'365 Nm fmax = 2,80 mm xfmax = 519,33 mm yx = 2,19 mm αA = 0,0083 Rad αA° = B yatağında eğim açısı αB = 0,4775 ° 3 8⋅q ⋅L 360 ⋅ E ⋅ I y αB = αB° = www.guven-kutay.ch 0,0095 Rad 0,5457 ° 25 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 12 Tam yayılı simetrik üçken yük etkisindeki klasik kiriş Mmax q B f max A x αB yx αA L/2 X L/2 L Şekil 12 A yatağı kuvveti FA = q⋅L 4 B yatağı kuvveti FB = q⋅L 4 Yayılı yük kuvveti F= max Moment x ≤ L/2 M max = X noktasında moment x ≤ L/2 q ⋅ x L2 x 2 Mx = ⋅ − L 4 3 max. Sehim f max = Eğim açısı A yatağında αA = q 2 ⋅ L3 48 ⋅ E ⋅ I y Eğim açısı B yatağında αB = q 2 ⋅ L3 48 ⋅ E ⋅ I y FA = FB q⋅L 2 q ⋅ L2 12 q ⋅ L4 120 ⋅ E ⋅ I y www.guven-kutay.ch x f max = 0,5 ⋅ L αA = αB 26 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 12 için örnek; Yayılı yükün max değeri q= Kiriş boyu L= 1'000 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 x in A ya mesafesi x= Yatak kuvveti A Yatak kuvveti B Yayılı yük kuvveti max. Moment X noktasında moment x ≤ L/2 30 N/mm 300 mm q⋅L 4 q⋅L FB = 4 q⋅L Fq = 2 q ⋅ L2 M max = 12 q ⋅ x L2 x 2 Mx = ⋅ − L 4 3 FA = q ⋅ L4 120 ⋅ E ⋅ I y FA = 7'500 N FB = 7'500 N Fq = 15'000 N Mmax = 2'500 Nm MX = 1'980 Nm fmax = 3,57 mm max Sehim f max = xfmax mesafesi x f max = 0,5 ⋅ L xfmax = 500 mm A yatağında eğim açısı αA = q 2 ⋅ L3 48 ⋅ E ⋅ I y αA = 0,0089 Rad αA° = B yatağında eğim açısı αB = 0,5116 ° 3 q2 ⋅ L 48 ⋅ E ⋅ I y αB = αB° = www.guven-kutay.ch 0,0089 Rad 0,5116 ° 27 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 13 Çıkmalı klasik kiriş, çıkma tarafındaki yayılı yük etkisinde Yatak kuvvetleri: q x X B yatağı kuvveti; a FB = q ⋅ a ⋅ 1 + 2⋅L X1 αC L Eğilme momentleri fC xm FA = x1 fm αA αB Xm q ⋅ a2 2⋅L A yatağı kuvveti; C B yx1 Mmax A max Moment M max = 0,5 ⋅ q ⋅ a 2 a Şekil 13 q ⋅ a2 ⋅x 2⋅L X noktasında moment x≤L Mx = X1 noktasında moment x1 ≤ a M x1 = 0,5 ⋅ q ⋅ (a − x1 )2 Xm noktasında Sehim fm = xm mesafesi xm = L / 3 C noktasında Sehim fC = X noktasında Sehim 0≤x≤L q ⋅ a 2 ⋅ L2 x x 3 ⋅ − y= 12 ⋅ E ⋅ I y L L3 X1 noktasında Sehim 0 ≤ x1 ≤ a y1 = Eğim açısı A yatağında αA = q ⋅ a2 ⋅ L 12 ⋅ E ⋅ I y Eğim açısı B yatağında αB = q ⋅ a2 ⋅ L 6 ⋅ E ⋅ Iy Eğim açısı C noktasında αC = q ⋅ a 2 (L + a ) 6 ⋅ E ⋅ Iy q ⋅ a 2 ⋅ L2 18 ⋅ 3 ⋅ E ⋅ I y 1 / 3 = 0,57735 q ⋅ a 3 ⋅ (4 ⋅ L + 3 ⋅ a ) 24 ⋅ E ⋅ I y q ⋅ a4 24 ⋅ E ⋅ I y 4 ⋅ L ⋅ x1 6 ⋅ x12 4 ⋅ x13 x14 ⋅ + 2 − 3 + 4 a2 a a a www.guven-kutay.ch 28 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 13 için örnek; Yayılı yükün max değeri q= Kiriş boyu L= 1'000 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 X in A ya mesafesi x= 300 mm X1 in B ye mesafesi x1 = 100 mm Yatak kuvveti A Yatak kuvveti B max. Moment X noktasında moment X1 noktasında moment 10 N/mm q ⋅ a2 FA = 2⋅L a FB = q ⋅ a ⋅ 1 + 2⋅L M max = 0,5 ⋅ q ⋅ a 2 FA = 450 N FB = 3'450 N Mmax= 450 Nm MX = 135 Nm MX1 = 200 Nm fm = 0,412 mm xm = 577,35 mm q ⋅ a 3 ⋅ (4 ⋅ L + 3 ⋅ a ) 24 ⋅ E ⋅ I y fC = 0,788 mm q ⋅ a 2 ⋅ L2 x x 3 ⋅ − 12 ⋅ E ⋅ I y L L3 yx = 0,293 mm yx1 = 0,240 mm αA = 0,0011 Rad Mx = q ⋅ a2 ⋅x 2⋅L M x1 = 0,5 ⋅ q ⋅ (a − x )2 q ⋅ a 2 ⋅ L2 18 ⋅ 3 ⋅ E ⋅ I y Xm noktasında Sehim fm = xm mesafesi xm = L / 3 C noktasında sehim fC = X noktasında sehim 0≤x≤L y= X1 noktasında sehim 0 ≤ x1 ≤ a y1 = A yatağında eğim açısı αA = q ⋅ a4 24 ⋅ E ⋅ I y 1 / 3 = 0,57735 4 ⋅ L ⋅ x1 6 ⋅ x12 4 ⋅ x13 x14 ⋅ + 2 − 3 + 4 a2 a a a q ⋅ a2 ⋅ L 12 ⋅ E ⋅ I y αA° = B yatağında eğim açısı C noktasında eğim açısı 0,0614 ° 2 αB = q ⋅a ⋅ L 6 ⋅ E ⋅ Iy αC = q ⋅ a (L + a ) 6 ⋅ E ⋅ Iy αB = αB° = 0,0021 Rad 0,1228 ° 2 αC = αC° = www.guven-kutay.ch 0,0028 Rad 0,1596 ° M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 29 14 Çift taraflı çıkmalı klasik kiriş, tam yayılı yük etkisinde Yatak kuvvetleri: MA q A yatağı kuvveti; C A B MC E E B yatağı kuvveti; x x1 αA E a L X W fE W y fC fE X1 a E Şekil 14 FA = 0,5 ⋅ q ⋅ (L + 2 ⋅ a ) FB = FA FB = 0,5 ⋅ q ⋅ (L + 2 ⋅ a ) Dönüm noktası: x W = 0,5 ⋅ L ⋅ 1 − 4 ⋅ a 2 ⋅ L− 2 MA;B maksimum, eğer a ≥ 8 .L = 0,35355.L ise a ≤ 8 .L = 0,35355.L ise MC maksimum, eğer a = 0,5 L ise. MC = 0, eğer 8 = 0,35355 − q ⋅ a2 2 Moment A veya B noktasında M A;B = Moment A ve B arasında q ⋅ L2 4 ⋅ a 2 4 ⋅ x 2 M AB = − ⋅ 1− 2 2 8 L L Moment C noktasında, x ≤ 0,5.L x=0 MC = q ⋅ L2 4 ⋅ a 2 ⋅ 1− 8 L2 Moment X1 noktasında − q ⋅ x12 M X1 = 2 E noktalarında Sehim a = 0,3747.L ise fE = 0 olur. q ⋅ L3 ⋅ a fE = 24 ⋅ E ⋅ I y 3 ⋅ a3 6 ⋅ a 2 ⋅ + − 1 2 L3 L C noktasında Sehim eğer a = 0,4564.L ise fC = 0 olur. 5 / 24 = 0,4564 q ⋅ L4 fC = 16 ⋅ E ⋅ I y 5 a2 ⋅ − 24 L2 X noktasında Sehim 0 ≤ x ≤ 0,5.L y= Eğim açısı A yatağında αA = αB q ⋅ L3 αA = 24 ⋅ E ⋅ I y 6 ⋅ a2 ⋅ 1 − 2 L Eğim açısı B yatağında αB = q ⋅ L3 24 ⋅ E ⋅ I y 6 ⋅ a2 ⋅ 1 − 2 L eğer q ⋅ L4 16 ⋅ E ⋅ I y 4 ⋅ x 2 5 a 2 x 2 ⋅ − − ⋅ 1 − 2 24 2 2 ⋅ L L 6 L www.guven-kutay.ch 30 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 14 için örnek; Yayılı yükün max değeri q= 10 N/mm Kirişin L boyu L= 1'000 mm Kirişin a boyu a= 300 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 x in C ye mesafesi x= 250 mm x in B ye mesafesi x1 = 200 mm Yatak kuvveti A Yatak kuvveti B FA = 0,5 ⋅ q ⋅ (L + 2 ⋅ a ) FB = 0,5 ⋅ q ⋅ (L + 2 ⋅ a ) FA = FB = Dönüm noktası: x W = 0,5 ⋅ L ⋅ 1 − 4 ⋅ a 2 ⋅ L− 2 xW = 400 mm A veya B noktasında Moment − q ⋅ a2 M A; B = 2 q ⋅ L2 4 ⋅ a 2 4 ⋅ x 2 − ⋅ 1− M AB = 2 2 8 L L q ⋅ L2 4 ⋅ a 2 ⋅ 1− MC = 8 L2 Mmax= −450 Nm Mmax= −487,5 Nm MC = 800 Nm MX1 = 200 Nm fE = −0,677 mm fC = 1,057 mm yx = 0,723 mm αA = 0,0027 Rad A ve B arasında Moment C noktasında moment X1 noktasında moment E noktasında sehim C noktasında sehim X noktasında sehim x ≤ 0,5.L A yatağında eğim açısı M X1 = − q ⋅ x12 2 3 ⋅ a3 6 ⋅ a 2 ⋅ + − 1 2 L3 L 4 2 5 a q⋅L ⋅ − fC = 16 ⋅ E ⋅ I y 24 L2 q ⋅ L4 4 ⋅ x 2 5 a 2 x 2 ⋅ − − ⋅ 1− y= 16 ⋅ E ⋅ I y L2 24 L2 6 ⋅ L2 q ⋅ L3 6 ⋅ a 2 αA = ⋅ 1− 24 ⋅ E ⋅ I y L2 fE = q ⋅ L3 ⋅ a 24 ⋅ E ⋅ I y αA° = B yatağında eğim açısı αB = q ⋅ L3 24 ⋅ E ⋅ I y 6 ⋅ a2 ⋅ 1 − 2 L αB = αB° = www.guven-kutay.ch 8'000 N 8'000 N 0,1569 ° 0,0027 Rad 0,1569 ° 31 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 15 Tek kuvvet etkisindeki çıkma kiriş B kuvveti FB = F Eğilme momenti M = F.x B F Mmax A Mmax = F.L x F ⋅ L3 3⋅ E ⋅ Iy Elastik eğri: y= y f f max = f = max. Sehim αA X L Eğim açısı Şekil 15 F ⋅ L3 6 ⋅ E ⋅ Iy 3⋅ x x3 ⋅ 2 − + 3 L L F ⋅ L2 3⋅ f αA = = 2 ⋅ E ⋅ Iy 2 ⋅ L αX = 3⋅ y 2⋅L Şekil 15 için örnek; Tek yük F= 2'000 N Kirişin L boyu L= 1'000 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 x in A ya mesafesi x= Yatak kuvveti B B noktasında Moment, max moment X noktasında moment 300 mm FB = F FB = Mmax = F.L M = F. x Mmax= 2'000 Nm MX = 600 Nm fmax = 9,524 mm y= 5,367 mm αA = 0,0143 Rad 3 F⋅L 3⋅ E ⋅ Iy A noktasında sehim max sehim f max = f = X noktasında sehim y= A noktasında eğim açısı F ⋅ L2 3⋅ f αA = = 2 ⋅ E ⋅ Iy 2 ⋅ L X noktasında eğim açısı 3⋅ y αX = 2⋅L F ⋅ L3 6 ⋅ E ⋅ Iy 2'000 N 3 ⋅ x x 3 ⋅2 − + L L3 αA° = αX = αX° = www.guven-kutay.ch 0,8185 ° 0,0081 Rad 0,4612 ° 32 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 16 Serbest uçta moment etkili çıkma kiriş B A FB = 0 Eğilme momenti M = sabit Çemberin yarı çapı ρ = E ⋅ I y / M x f y Mb B kuvveti α X ρ L M b ⋅ L2 =f = 2 ⋅ E ⋅ Iy Sehim f max Elastik eğri: M b ⋅ L2 x ⋅ 1 − y= 2 ⋅ E ⋅ Iy L Eğim açısı Şekil 16 αA = Mb ⋅ L 2 ⋅ f = E ⋅ Iy L αX = 2⋅ y L Şekil 16 için örnek; Moment Mb = 1'500 Nm Kirişin L boyu L= 1'000 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 x in A ya mesafesi x= 500 mm Yatak kuvveti B FB = 0 FB = Çemberin yarı çapı ρ = E ⋅ Iy / M A noktasında sehim max sehim f max = f = X noktasında sehim y= A noktasında eğim açısı αA = ρ= M b ⋅ L2 2 ⋅ E ⋅ Iy M b ⋅ L2 x ⋅ 1 − 2 ⋅ E ⋅ Iy L αX = 46'667 m fmax = 10,714 mm y= 5,357 mm αA = 0,0214 Rad 2 Mb ⋅ L 2 ⋅ f = E ⋅ Iy L αA° = X noktasında eğim açısı 0 kN 2⋅ y L αX = αX° = www.guven-kutay.ch 1,2278 ° 0,0107 Rad 0,6150 ° 2 33 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 17 Düzgün yayılı yük etkisindeki çıkma kiriş FB = q ⋅ L B kuvveti q ⋅ L2 2 q ⋅ x2 MX = 2 q ⋅ L4 f max = f = 8 ⋅ E ⋅ Iy M max = Eğilme momenti q Mmax A Max. Sehim f y x B α q ⋅ L4 24 ⋅ E ⋅ I y y= Eğim açısı αA = q ⋅ L3 4⋅f = 6 ⋅ E ⋅ Iy 3 ⋅ L αx = 4⋅ y 3⋅ L L Şekil 17 4 ⋅ x x 4 ⋅3 − + L L4 Elastik eğri: Şekil 17 için örnek; Yayılı yük F= 10 N/mm Kirişin L boyu L= 1'000 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 x in A ya mesafesi x= 300 mm Yatak kuvveti B FB = q ⋅ L B noktasında moment, max moment X noktasında moment A noktasında sehim max sehim q ⋅ L2 2 q ⋅ x2 MX = 2 q ⋅ L4 f max = f = 8 ⋅ E ⋅ Iy X noktasında sehim y= A noktasında eğim açısı αA = X noktasında eğim açısı 4⋅ y αx = 3⋅ L FB = M max = q ⋅ L4 24 ⋅ E ⋅ I y 4 ⋅ x x 4 ⋅3 − + L L4 q ⋅ L3 4⋅f = 6 ⋅ E ⋅ Iy 3 ⋅ L Mmax= 5'000 Nm MX = 450 Nm fmax = 17,857 mm y= 10,666 mm αA = 0,0238 Rad αA° = αA = αA° = www.guven-kutay.ch 10'000 N 1,3642 ° 0,0142 Rad 0,8148 ° 34 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 18 Üçken yayılı yük etkisindeki çıkma kiriş (üçken tabanı sabit tarafta) FB = 0,5 ⋅ q ⋅ L B kuvveti q Mmax A B max. Sehim f y x q ⋅ L2 6 3 q⋅x MX = 6⋅L q ⋅ L4 f max = f = 1 30 ⋅ E ⋅ I y M max = Eğilme momenti αA X L q1 ⋅ L4 120 ⋅ E ⋅ I y 5 ⋅ x x 5 ⋅4 − + L L5 Elastik eğri y= Eğim açısı αA = q1 ⋅ L3 5⋅f = 24 ⋅ E ⋅ I y 4 ⋅ L αX = 5⋅ y 4⋅L Şekil 18 Şekil 18için örnek; Yayılı yük, B tarafı F= 20 N/mm Kirişin L boyu L= 1'000 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 x in A ya mesafesi x= 300 mm Yatak kuvveti B FB = 0,5 ⋅ q ⋅ L B noktasında Moment, max moment X noktasında moment A noktasında sehim max sehim q ⋅ L2 6 3 q⋅x MX = 6⋅L q ⋅ L4 f max = f = 1 30 ⋅ E ⋅ I y X noktasında sehim y= A noktasında eğim açısı αA = X noktasında eğim açısı 5⋅ y αX = 4⋅L FB = M max = q1 ⋅ L4 120 ⋅ E ⋅ I y 5 ⋅ x x 5 ⋅4 − + L L5 q1 ⋅ L3 5⋅f = 24 ⋅ E ⋅ I y 4 ⋅ L Mmax= 3'333 Nm MX = 90 Nm fmax = 9,524 mm y= 5,958 mm αA = 0,0119 Rad αA° = αA = αA° = www.guven-kutay.ch 10'000 N 0,6821 ° 0,0074 Rad 0,4267 ° 35 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 19 Üçken yayılı yük etkisindeki çıkma kiriş (üçken tabanı boş tarafta) FB = 0,5 ⋅ q ⋅ L B kuvveti q ⋅ L2 3 q ⋅ ( L − x )3 MX = 3⋅ L 11 ⋅ q ⋅ L4 f max = f = 120 ⋅ E ⋅ I y M max = Eğilme momenti q Mmax A B x max. Sehim f y Elastik eğri αA X q 2 ⋅ L4 y= 120 ⋅ E ⋅ I y L Şekil 19 Eğim açısı α= 15 ⋅ x 5 ⋅ x 4 x 5 ⋅ 11 − + 4 − 5 L L L q 2 ⋅ L3 8 ⋅ E ⋅ Iy Şekil 19 için örnek; Yayılı yük, A tarafı F= 30 N/mm Kirişin L boyu L= 1'000 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 x in A ya mesafesi x= 300 mm Yatak kuvveti B FB = 0,5 ⋅ q ⋅ L FB = B noktasında moment, max moment M max = q ⋅ L2 3 Mmax= 10'000 Nm q ⋅ ( L − x )3 3⋅ L MX = 3'430 Nm fmax = 39,286 mm y= 23,350 mm αA = 0,0536 Rad X noktasında moment MX = A noktasında sehim max sehim 11 ⋅ q ⋅ L4 f max = f = 120 ⋅ E ⋅ I y X noktasında sehim y= q 2 ⋅ L4 120 ⋅ E ⋅ I y A noktasında eğim açısı α= q 2 ⋅ L3 8 ⋅ E ⋅ Iy 15 ⋅ x 5 ⋅ x 4 x 5 ⋅ 11 − + 4 − 5 L L L αA° = www.guven-kutay.ch 15'000 N 3,0694 ° 36 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 20 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli otadan tek yük etkisindeki kiriş Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli otadan simetrik yüklemeli kiriş Yatak kuvvetleri: MB L/2 F A MC C B xW x xm X y1 fC αA fm y x1 Xm C A yatağı kuvveti FA = 5 ⋅ F / 16 B yatağı kuvveti FB = 11 ⋅ F / 16 Dönüm noktası x W = 3 ⋅ L / 11 Eğilme momenti X1 L Şekil 20 B noktasında M B = 3 ⋅ F ⋅ L / 16 C noktasında M C = 5 ⋅ F ⋅ L / 32 Moment AC arası X noktasında, x ≤ 0,5.L M X = 5 ⋅ F ⋅ x / 16 Moment BC arası X1 noktasında x1 ≤ 0,5.L M x1 = max. Sehim fm = xm mesafesi xm = 1/ 5 ⋅ L L/2 noktasında sehim f= X noktasında Sehim x ≤ 0,5.L yx = X noktasında Sehim x1 ≤ 0,5.L F⋅L x ⋅ 11 ⋅ 1 − 3 16 L F ⋅ L3 F ⋅ L3 ≈ 48 ⋅ 5 ⋅ E ⋅ I y 107 ⋅ E ⋅ I y 1 / 5 = 0,44721... 7 ⋅ F ⋅ L3 F ⋅ L3 ≈ 768 ⋅ E ⋅ I y 110 ⋅ E ⋅ I y F ⋅ L3 96 ⋅ E ⋅ I y 3 ⋅ x 5 ⋅ x3 ⋅ − 3 L L y x1 = F ⋅ L3 96 ⋅ E ⋅ I y 9 ⋅ x12 11 ⋅ x13 ⋅ − 3 L2 L Eğim açısı A yatağında αA = F ⋅ L2 24 ⋅ f = 32 ⋅ E ⋅ I y 7 ⋅ L Eğim açısı X noktasında αX = 24 ⋅ y x 7⋅L www.guven-kutay.ch 37 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 20 için örnek; Tek yük F= 2'000 N Kirişin L boyu L= 1'000 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 X in A ya mesafesi x= 350 mm X1 in B ye mesafesi x1 = 250 mm Yatak kuvveti A Yatak kuvveti B C noktasında moment B noktasında moment X noktasında moment x ≤ 0,5.L X noktasında moment x1 ≤ 0,5.L Dönüm noktası FA = 5 ⋅ F / 16 FB = 11 ⋅ F / 16 FA = FB = 625 N 1'375 N M C = 5 ⋅ F ⋅ L / 32 MC= 312,5 Nm M B = 3 ⋅ F ⋅ L / 16 MB= 375,0 Nm M X = 5 ⋅ F ⋅ x / 16 MX = 218,75 Nm MX = 31,25 Nm xW = 272,7 mm fmax = 0,266 mm xm = 447,21 mm f= 0,260 mm yx = 0,249 mm yx1 = 0,618 mm αA = 0,0009 Rad F⋅L x ⋅ 11 ⋅ 1 − 3 16 L x W = 3 ⋅ L / 11 M x1 = 3 F⋅L F⋅L ≈ 48 ⋅ 5 ⋅ E ⋅ I y 107 ⋅ E ⋅ I y max sehim fm = xm mesafesi xm = 1/ 5 ⋅ L 1 / 5 = 0,44721... 3 3 7⋅F⋅L F⋅L ≈ 768 ⋅ E ⋅ I y 110 ⋅ E ⋅ I y L/2 noktasında sehim f= X noktasında sehim yx = X1 noktasında sehim 3 3 ⋅ x 5 ⋅ x3 ⋅ − 3 L L F ⋅ L3 9 ⋅ x12 11 ⋅ x13 ⋅ − y x1 = 96 ⋅ E ⋅ I y L2 L3 F ⋅ L3 96 ⋅ E ⋅ I y A noktasında eğim açısı F ⋅ L2 24 ⋅ f αA = = 32 ⋅ E ⋅ I y 7 ⋅ L X noktasında eğim açısı 24 ⋅ y x αX = 7⋅L X1 noktasında eğim açısı α X1 = αA° = αX = 24 ⋅ y x1 7⋅L 0,0009 Rad αX° = 0,0489 ° αX1 = 0,0021 Rad αX1° = www.guven-kutay.ch 0,0512 ° 0,1215 ° 38 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 21 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli asimetrik tek yük etkisindeki kiriş Yatak kuvvetleri: MB F MC A B xW x xm a y1 fm fC x1 y αA a F ⋅ b2 ⋅ + 1 L2 2 ⋅ L B yatağı kuvveti FB = F − FA η Dönüm noktası x W = L ⋅ 1+ η b a η= ⋅ 1 + 2⋅L L Eğilme momenti F⋅a ⋅b b MB = ⋅ 1 − B noktasında L 2⋅L A yatağı kuvveti FA = Xm1 X1 X C xm1 b L Şekil 21 C noktasında Moment AC arası X noktasında, x≤a M x = FA ⋅ x Moment BC arası X1 noktasında x1 ≤ b M x1 = FB ⋅ x1 C noktasında sehim max. Sehim fC = F ⋅ a ⋅ b2 a ⋅ 1 + 2⋅L L2 F ⋅ a 2 ⋅ b3 a ⋅ 1 + 4 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L 3 ⋅ L 2 a 2 ⋅ L ⋅ +a a ≥ 0,4142.L xm = L ⋅ a ≤ 0,4142.L L b ⋅ 1 + a x1m = b a 1+ ⋅ 1 + 2⋅L L xmax mesafesi 2 − 1 = 0,4142 MC = X noktasında Sehim x≤a y= F ⋅ L ⋅ b2 a ⋅ x 2 a x 3 ⋅ 2 − ⋅ 1 + ⋅ 4 ⋅ E ⋅ Iy L 3 2 ⋅ L L3 X noktasında Sehim x1 ≤ b y1 = a 2 x13 F ⋅ L2 ⋅ a a 2 x12 ⋅ 1− ⋅ − 1− ⋅ 4 ⋅ E ⋅ I y L2 L2 3 ⋅ L2 L3 Eğim açısı A yatağında αA = F ⋅ a ⋅ b2 4 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L2 www.guven-kutay.ch 39 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 21 için örnek; Tek yük Kirişin L boyu Kirişin a boyu Kirişin b boyu Elastiklik modülü Atalet momenti X in A ya mesafesi X1 in B ye mesafesi F= L= a= b= E= Iy = x= x1 = 2'000 1'000 300 700 210'000 333'333 250 200 N mm mm mm N/mm2 mm4 mm mm b=L-a B noktasında Moment F ⋅ b2 a ⋅ 1 + L2 2 ⋅ L FB = F − FA F⋅a ⋅b b MB = ⋅ 1 − L 2⋅L C noktasında Moment MC = X noktasında moment X1 noktasında moment M x = FA ⋅ x M x1 = FB ⋅ x1 Dönüm noktası xW = L ⋅ fmax mesafesi xmax için a ≥ 0,4142.L xm = L ⋅ max. Sehim xmax için y= fmax mesafesi x1max için a ≤ 0,4142.L x1m = max. Sehim x1max için y1 = F ⋅ L2 ⋅ a a 2 x12m a 2 x13m 1 ⋅ − − ⋅ 1− 2 ⋅ 4 ⋅ E ⋅ I y L L2 3 ⋅ L2 L2 C noktasında sehim fC = F ⋅ a 2 ⋅ b2 2 ⋅ a 2 ⋅ a 2 ⋅ 1− − 4 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L 3 ⋅ L 6 ⋅ L2 X noktasında sehim y= F ⋅ L ⋅ b2 a ⋅ x 2 a x 3 ⋅ 2 − ⋅ 1 + ⋅ 4 ⋅ E ⋅ Iy L 3 2 ⋅ L L3 X1 noktasında sehim y1 = F ⋅ L2 ⋅ a a 2 x12 a 2 x13 ⋅ ⋅ 1− 2 ⋅ 2 − 1− 4 ⋅ E ⋅ I y L L 3 ⋅ L2 L2 A noktasında eğim açısı αA = Yatak kuvveti A Yatak kuvveti B FA = F ⋅ a ⋅ b2 a ⋅ 1 + 2⋅L L2 η 1+ η η= b a ⋅ 1 + 2⋅L L a 2 ⋅ L ⋅ +a F ⋅ L ⋅ b2 a ⋅ x m 2 a x 3m ⋅ − ⋅ 1 + ⋅ 4 ⋅ E ⋅ I y L2 3 2 ⋅ L L3 ( b ⋅ 1 + L ⋅ a −1 −1 ( ) 1 + 0,5 ⋅ b ⋅ L ⋅ 1 + L ⋅ a −1 ) F ⋅ a ⋅ b2 4 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L FA = 1'127 N FB = 873 N MB= 273 Nm MC= 338,1 Nm MX = 281,7 Nm MX1 = 174,6 Nm xW = 285,1 mm xm = 361,16 mm fxmax = 0,253 mm x1m = 625,43 mm fx1max = 0,253 mm fC= 0,243 mm yx = 0,221 mm yx1 = 0,061 mm αA = 0,0011 Rad αA° = www.guven-kutay.ch 0,0602 ° 40 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 22 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli tam yayılı yük etkisindeki kiriş MB Yatak kuvvetleri: MC q A A yatağı kuvveti FA = 3 ⋅ q ⋅ L / 8 B yatağı kuvveti FB = 5 ⋅ q ⋅ L / 8 B C xW = 3⋅ L / 4 Dönüm noktası xW xC αA fm y Eğilme momenti x X xm Xm L x≤L xC mesafesi Mx = q ⋅ L2 8 9 ⋅ q ⋅ L2 MC = 128 3⋅ L xC = 8 C noktasında Şekil 22 Moment X noktasında, M B = M max = B noktasında q ⋅ L2 3 ⋅ x 4 ⋅ x 2 ⋅ − 2 8 L L q ⋅ L4 185 ⋅ E ⋅ I y max. Sehim f max = f m = xmax mesafesi xm = C noktasında sehim q ⋅ L4 fC ≈ 187 ⋅ E ⋅ I y X noktasında Sehim y= Eğim açısı A yatağında αA = 1 + 33 ⋅L 16 q ⋅ L4 48 ⋅ E ⋅ I y 1 78 + 110 ⋅ 33 = 185 2 ⋅164 1 + 33 = 0,421535.. 16 x 3⋅ x3 2 ⋅ x4 ⋅ − 3 + 4 L L L q ⋅ L3 48 ⋅ E ⋅ I y www.guven-kutay.ch 41 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 22 için örnek; Yayılı yük F= 2'000 N Kirişin L boyu L= 1'000 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 X in A ya mesafesi x= 300 mm Yatak kuvveti A Yatak kuvveti B Dönüm noktası xW mesafesi FA = 3 ⋅ q ⋅ L / 8 FB = 5 ⋅ q ⋅ L / 8 3 xw = ⋅ L 4 B noktasında Moment MB = C noktasında Moment X noktasında moment 9 ⋅ q ⋅ L2 MC = 128 q ⋅ L2 3 ⋅ x 4 ⋅ x 2 ⋅ − 2 Mx = 8 L L max sehim f max = f m = xm mesafesi C noktasında sehim FA = FB = q ⋅ L2 8 q ⋅ L4 185 ⋅ E ⋅ I y 1 + 33 ⋅L 16 q ⋅ L4 fC ≈ 187 ⋅ E ⋅ I y xm = 3⋅ L 8 XC mesafesi xC = X noktasında sehim y= A noktasında eğim açısı q ⋅ L3 αA = 48 ⋅ E ⋅ I y q ⋅ L4 48 ⋅ E ⋅ I y x 3⋅ x3 2 ⋅ x4 ⋅ − 3 + 4 L L L xW = 750 mm MB= 1'250 Nm MC= 703 Nm MX = 675 Nm fmax = 0,772 mm xm = 421,54 mm fC = 0,764 mm xC = 375 mm yx = 0,700 mm αA = 0,0030 Rad αA° = www.guven-kutay.ch 3'750 N 6'250 N 0,1705 ° 42 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 23 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli üçken yayılı yük etkisindeki kiriş Üçken tabanı sabit tarafta Yatak kuvvetleri: MC MB q A B Dönüm noktası xW x αA xW = L ⋅ 3 / 5 y Eğilme momenti fm xm A yatağı kuvveti FA = q ⋅ L / 10 B yatağı kuvveti FB = 4 ⋅ q ⋅ L / 10 C L Şekil 23 B noktasında M B = q ⋅ L2 / 15 C noktasında M C = 0,0298 ⋅ q ⋅ L2 xC mesafesi cC = x m = L / 5 Moment X noktasında q ⋅ L2 3 ⋅ x x 3 ⋅ − Mx = 6 5 ⋅ L L3 max. Sehim C noktasında sehim f max = f m = xmax mesafesi x m = 1 / 5 ⋅ L = 0,44721 ⋅ L X noktasında Sehim yx = Eğim açısı A yatağında αA = q ⋅ L3 7 ⋅ fm ≈ 120 ⋅ E ⋅ I y 2 ⋅ L Eğim açısı X noktasında αx ≈ 7 ⋅ yx 2⋅L q ⋅ L4 419 ⋅ E ⋅ I y q ⋅ L4 120 ⋅ E ⋅ I y 1 / 5 = 0,44721 x 2 ⋅ x3 x5 ⋅ − + 3 L L L5 www.guven-kutay.ch 43 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 23 için örnek; Üçken yayılı yük q= 20 N/mm Kirişin L boyu L= 1'000 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 X in A ya mesafesi x= 300 mm Yatak kuvveti A FA = q 2 ⋅ L / 10 FA = 2'000 N Yatak kuvveti B FB = 4 ⋅ q 2 ⋅ L / 10 FB = 8'000 N Dönüm noktası xW = L ⋅ 3 / 5 xW = 774,6 mm B noktasında Moment M B = q 2 ⋅ L2 / 15 MB= 1'333 Nm C noktasında Moment M C = 0,0298 ⋅ q 2 ⋅ L2 MC= 596 Nm X noktasında moment q 2 ⋅ L2 3 ⋅ x x 3 ⋅ − Mx = 5 ⋅ L L3 6 MX = 510 Nm max sehim f max = f m = fmax = 0,682 mm xm mesafesi x m = 1 / 5 ⋅ L = 0,44721 ⋅ L xm = 447,2 mm X noktasında sehim y= yx = 0,592 mm A noktasında eğim açısı αA = αA = 0,0024 Rad q 2 ⋅ L4 419 ⋅ E ⋅ I y q 2 ⋅ L4 120 ⋅ E ⋅ I y x 2 ⋅ x3 x5 ⋅ − + 3 L L L5 q 2 ⋅ L3 120 ⋅ E ⋅ I y αA° = X noktasında eğim açısı αx = 7 ⋅ yx 2⋅L αA = αA° = www.guven-kutay.ch 0,1364 ° 0,0021 Rad 0,1186 ° 44 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 24 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli üçken yayılı yük etkisindeki kiriş Üçken tabanı hareketli tarafta Yatak kuvvetleri: A yatağı kuvveti FA = 9 ⋅ q ⋅ L / 40 B yatağı kuvveti FB = 11 ⋅ q ⋅ L / 40 A MC MA q xW Dönüm noktası B ( 3 / 5 − 0,5) = 0,2745 y fm xC x x W = L ⋅ ( 3 / 5 − 0,5) X Xm xm Eğilme momenti αB C L A noktasında M A = 7 ⋅ q ⋅ L2 / 120 C noktasında M C ≈ 0,0423 ⋅ q ⋅ L2 xC mesafesi x C = L ⋅ 9 / 20 = 0,671 ⋅ L Şekil 24 Moment X noktasında q ⋅ L2 x x 2 x 7 ⋅ 1 − ⋅ 2 + − Mx = 1 6 L 20 L L max. Sehim f max = f m ≈ xmax mesafesi xm = 0,5975.L X noktasında Sehim q1 ⋅ L4 yx = 240 ⋅ E ⋅ I y Eğim açısı A yatağında αA = q1 ⋅ L3 4,1 ⋅ f m ≈ 80 ⋅ E ⋅ I y L Eğim açısı X noktasında αx ≈ 4,1 ⋅ y x L q1 ⋅ L4 328 ⋅ E ⋅ I y x5 x2 x3 ⋅ 2⋅ −9⋅ + 7⋅ L5 L2 L3 www.guven-kutay.ch − 45 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 24 için örnek; Üçken yayılı yük q= 20 N/mm Kirişin L boyu L= 1'000 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 X in A ya mesafesi x= 300 mm Yatak kuvveti A FA = 9 ⋅ q ⋅ L / 40 FA = 4'500 N Yatak kuvveti B FB = 11 ⋅ q ⋅ L / 40 FB = 5'500 N xW = 274,6 mm Dönüm noktası x W = L ⋅ ( 3 / 5 − 0,5) ( 3 / 5 − 0,5) = 0,2745 A noktasında Moment M A = 7 ⋅ q ⋅ L2 / 120 MA= 1'167 Nm C noktasında Moment M C ≈ 0,0423 ⋅ q ⋅ L2 MC= 846 Nm X noktasında moment q ⋅ L2 x x 2 x 7 ⋅ 1 − ⋅ 2 + − Mx = 1 6 L 20 L L MX = 93 Nm max sehim q1 ⋅ L4 f max = f m ≈ 328 ⋅ E ⋅ I y fmax = 0,871 mm xm mesafesi xm = 0,5975.L xm = 597,5 mm X noktasında sehim yx = yx = 0,467 mm A noktasında eğim açısı q1 ⋅ L3 4,1 ⋅ f m αA = ≈ 80 ⋅ E ⋅ I y L q1 ⋅ L4 240 ⋅ E ⋅ I y x5 x3 x2 ⋅2⋅ −9⋅ + 7⋅ L5 L3 L2 − αA = 0,00357 Rad αA° = X noktasında eğim açısı αx ≈ 4,1 ⋅ y x L αA = αA° = www.guven-kutay.ch 0,2046 ° 0,0019 Rad 0,1096 ° 46 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 25 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli moment etkisindeki kiriş Mb A B B yatağı kuvveti 3 ⋅ M b b 2 FB = ⋅ 1− 2 ⋅ L L2 C x1 x m2 αC αB A yatağı kuvveti fm2 yx1 y x f m1 fC x FB X noktasında moment 0≤x≤a M x = FA ⋅ x x m1 b a FA = FB X1 noktasında moment a ≤ x1 ≤ L M x1 = FB ⋅ (L − x1) L Şekil 25 M b ⋅ a 2 ⋅ b a 2 4 ⋅ a ⋅ − + 2 4 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L L2 L C noktasında Sehim fC = Xm1 noktasında Sehim M ⋅ L2 f m1 = b 9 ⋅ E ⋅ Iy 1 b2 ⋅ − 3 L2 3 b2 ⋅ 1 − L2 −2 2 ⋅ L ⋅ (L2 − 3 ⋅ b 2 ) xm1 mesafesi x m1 = Xm2 noktasında Sehim M ⋅a ⋅L b 1 b fm2 = b ⋅ − ⋅ + 1 2 ⋅ E ⋅ Iy L 3 L xm2 mesafesi −1 b 1 b x m 2 = L ⋅ 1 − − ⋅ + 1 L 3 L X noktasında Sehim 0≤x≤a M b ⋅ x3 yx = 4 ⋅ E ⋅ Iy Xm1 noktasında Sehim a ≤ x1 ≤ L y x1 = M b ⋅ a ⋅ L x1 x1 a x 2⋅a ⋅ 1 − ⋅ ⋅ 2 − ⋅ 2 − 1 − 4 ⋅ E ⋅ Iy L L L L L Eğim açısı B yatağında αB = Mb ⋅ a 3⋅ b ⋅ − 1 4 ⋅ E ⋅ Iy L Eğim açısı C noktasında αC = Mb ⋅ a 4 ⋅ E ⋅ Iy 3 ⋅ (L2 − b 2 ) 3 −1 b2 x ⋅ 2 − 1 − ⋅ 3 − L L2 3 ⋅ b2 ⋅ 2 − 1 L www.guven-kutay.ch 47 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 25 için örnek; Moment Kirişin L boyu Kirişin a boyu Kirişin b boyu Elastiklik modülü Atalet momenti X in A ya mesafesi X1 in A ya mesafesi Yatak kuvveti B Mb = L= a= b= E= Iy = x= x1 = 3 ⋅ Mb FB = 2⋅L 1'500 1'000 400 600 210'000 333'333 200 500 Nm mm mm mm N/mm2 mm4 mm mm b=L-a b2 ⋅ 1 − L2 FB = 1'440 N 1'440 N Yatak kuvveti A X noktasında Moment 0 ≤ x ≤ a X1 noktasında moment a ≤ x1 ≤ L FA = FB FA = M x = FA ⋅ x MX= 288 Nm MX1 = 720 Nm C noktasında sehim fC = fC = 0,288 mm Xm1 noktasında Sehim M ⋅ L2 f m1 = b 9 ⋅ E ⋅ Iy fm1 = -0,155 mm xm1 = -83,33 mm fm2 = 0,467 mm xm2 = 591,75 mm yx = 0,045 mm yx1 = 0,429 mm αB = 0,0017 Rad M x1 = FB ⋅ (L − x1) M b ⋅ a 2 ⋅ b a 2 4 ⋅ a ⋅ − + 2 4 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L L2 L 1 b2 ⋅ − 3 L2 3 b2 ⋅ 1 − L2 −2 2 ⋅ L ⋅ (L2 − 3 ⋅ b 2 ) xm1 mesafesi x m1 = X m2 noktasında sehim M ⋅a ⋅L b 1 b ⋅ − ⋅ + 1 fm2 = b 2 ⋅ E ⋅ Iy L 3 L xm2 mesafesi X noktasında sehim 0≤x≤a 3 ⋅ (L2 − b 2 ) 3 −1 −1 b 1 b x m 2 = L ⋅ 1 − − ⋅ + 1 L 3 L M b ⋅ x 3 b 2 x ⋅ 3 − yx = ⋅ 2 − 1 − 4 ⋅ E ⋅ I y L2 L X1 noktasında sehim a ≤ x1 ≤ L y x1 = B noktasında eğim açısı αB = M b ⋅ a ⋅ L x1 x1 a x 2⋅a ⋅ 1 − ⋅ ⋅ 2 − ⋅ 2 − 1 − 4 ⋅ E ⋅ Iy L L L L L Mb ⋅ a 3⋅ b ⋅ − 1 4 ⋅ E ⋅ Iy L αB° = C noktasında eğim açısı αC = Mb ⋅a 4 ⋅ E ⋅ Iy 3⋅ b ⋅ 2 − 1 L 0,0982 ° 2 αC = αC° = www.guven-kutay.ch 0,0002 Rad 0,0098 ° 48 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 26 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli, çıkma ucunda tek kuvvet etkisindeki kiriş MA C MB Xm FB αB yx fm X FA = F ⋅ 3⋅ a 2⋅L Eğilme momenti: MB = F ⋅ a x1 αC M A = −0,5 ⋅ F ⋅ a X1 x fm a L A kuvveti fC x yx1 xW 3⋅ a FB = F ⋅ 1 + 2⋅L F B A B kuvveti C Dönüm noktası xW = L / 3 M x = F ⋅ (L − x + a ) − FB ⋅ (L − x ) Şekil 26 M x1 = F ⋅ (a − x1) C noktasında Sehim fC = F ⋅ a2 ⋅ L a ⋅3+ 12 ⋅ E ⋅ I y L Xm noktasında Sehim fm = F ⋅ a ⋅ L2 27 ⋅ E ⋅ I y xfm mesafesi xfm = 2.L/3 X noktasında Sehim 0≤x≤L yx = X1 noktasında Sehim 0 ≤ x1 ≤ a F ⋅ L2 ⋅ x1 6 ⋅ a 3 ⋅ a ⋅ x1 x12 y x1 = ⋅ + − 24 ⋅ E ⋅ I y L L2 L2 B noktasında eğim açısı αB = F⋅a ⋅ L 4 ⋅ E ⋅ Iy C noktasında eğim açısı αC = F⋅a ⋅ L a ⋅2 + 8 ⋅ E ⋅ Iy L F ⋅ a ⋅ x2 x ⋅ 1 − 4 ⋅ E ⋅ Iy L www.guven-kutay.ch 49 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 26 için örnek; Moment Mb = 1'500 Nm Kirişin L boyu L= 1'000 mm Kirişin a boyu a= 400 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 X in A ya mesafesi x= 200 mm X1 in B ye mesafesi x1 = 500 mm Yatak kuvveti B 3⋅ a FB = F ⋅ 1 + 2⋅L Yatak kuvveti A FA = FB B noktasında Moment FB = 1'450 N FA = 450 N MB = F ⋅ a MB = 300 Nm A noktasında Moment M A = −0,5 ⋅ F ⋅ a MA = −150 Nm X noktasında Moment 0 ≤ x ≤ L M x = F ⋅ (L − x + a ) − FB ⋅ (L − x ) MX= 30 Nm X1 noktasında moment 0 ≤ x1 ≤a M x1 = FB ⋅ (L − x1) MX1 = 100 Nm C noktasında Sehim fC = F ⋅ a2 ⋅ L a ⋅3+ 12 ⋅ E ⋅ I y L fC = 0,354 mm Xm noktasında Sehim fm = F ⋅ a ⋅ L2 27 ⋅ E ⋅ I y fm = 0,159 mm xfm mesafesi xfm = 2.L/3 xfm = 666,67 mm X noktasında Sehim 0≤x≤L F ⋅ a ⋅ x2 x ⋅ 1 − yx = 4 ⋅ E ⋅ Iy L yx = 0,103 mm X1 noktasında Sehim 0 ≤ x1 ≤ a y x1 = F ⋅ L2 ⋅ x1 6 ⋅ a 3 ⋅ a ⋅ x1 x12 ⋅ + − 24 ⋅ E ⋅ I y L L2 L2 yx1 = 0,231 mm B noktasında eğim açısı αB = F⋅a ⋅ L 4 ⋅ E ⋅ Iy αB = 0,00123 Rad FA = F ⋅ 3⋅ a 2⋅L αB° = 0,07060 ° C noktasında eğim açısı αC = F⋅a ⋅ L 8 ⋅ E ⋅ Iy a ⋅2 + L αC = 0,00107 Rad αC° = 0,06139 ° www.guven-kutay.ch 50 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 27 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli, çıkma ucunda moment etkisindeki kiriş A ve B kuvveti C B xw FA = 3 ⋅ Mb 2⋅L FA = FB Eğilme momenti: x αB x1 B ρ xm MB = Mb αC X1 a L fc fm yx X Xm y1 FA 3 ⋅ Mb 2⋅L Mb FB MB MA A FB = C M A = −0,5 ⋅ M b Dönüm noktası Şekil 27 xw = L / 3 M x = M b − FB ⋅ (L − x ) x1 için C noktasında Sehim fC = Mb ⋅ a ⋅ L 2 ⋅ a ⋅ 1 + 4 ⋅ E ⋅ Iy L Xm noktasında Sehim fm = M b ⋅ L2 27 ⋅ E ⋅ I y xfm mesafesi x fm = B ile C arası çemberin yarı çapı ρ = E ⋅ Iy / M X noktasında Sehim 0≤x≤L yx = Mb ⋅ x2 x ⋅ 1 − 4 ⋅ E ⋅ Iy L X1 noktasında Sehim 0 ≤ x1 ≤ a y x1 = F ⋅ L ⋅ x1 24 ⋅ E ⋅ I y B noktasında eğim açısı αB = Mb ⋅ L 4 ⋅ E ⋅ Iy C noktasında eğim açısı αC = Mb ⋅ L 4 ⋅ a ⋅ 1 + 4 ⋅ E ⋅ Iy L Mb = sabit 2⋅L 3 2 ⋅ x1 ⋅ 1 + L www.guven-kutay.ch 51 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 27 için örnek; Moment Mb = 1'500 Nm Kirişin L boyu L= 1'000 mm Kirişin a boyu a= 400 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 X in A ya mesafesi x= 400 mm X1 in B ye mesafesi x1 = 100 mm Yatak kuvveti B FB = 3 ⋅ Mb 2⋅L FB = 2'250 N Yatak kuvveti A FA = 3 ⋅ Mb 2⋅L FA = 2'250 N B noktasında Moment MB = Mb MB = 1'500 Nm A noktasında Moment M A = −0,5 ⋅ M b MA = 750 Nm X noktasında Moment 0≤x≤L M x = M b − FB ⋅ (L − x ) MX= 150 Nm B ile C arası çemberin yarı çapı ρ = E ⋅ Iy / M ρ= 46'667 mm C noktasında Sehim fC = fC = 3,857 mm Xm noktasında Sehim M b ⋅ L2 fm = 27 ⋅ E ⋅ I y fm = 0,794 mm xfm mesafesi x fm = xfm = 666,67 mm X noktasında Sehim 0≤x≤L yx = Mb ⋅ x2 4 ⋅ E ⋅ Iy yx = 0,514 mm X1 noktasında Sehim 0 ≤ x1 ≤ a y x1 = F ⋅ L ⋅ x1 2 ⋅ x1 ⋅ 1 + 24 ⋅ E ⋅ I y L yx1 = 0,643 mm B noktasında eğim açısı αB = Mb ⋅ L 4 ⋅ E ⋅ Iy αB = 0,00536 Rad Mb ⋅ a ⋅ L 2 ⋅ a ⋅ 1 + 4 ⋅ E ⋅ Iy L 2⋅L 3 x ⋅ 1 − L αB° = 0,30694 ° C noktasında eğim açısı αC = Mb ⋅ L 4 ⋅ a ⋅ 1 + 4 ⋅ E ⋅ Iy L αC = 0,01393 Rad αC° = 0,79805 ° www.guven-kutay.ch 52 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 28 Bir tarafı sabit, diğer tarafı hareketli, çıkmalı tam yayılı yük etkisindeki kiriş Yayılı yük kuvveti Fq = q ⋅ (L + a ) q C B αB x1 A kuvveti FA = Fq − FB y αC fC x B noktasında moment M B = 0,5 ⋅ a 2 ⋅ q a L q ⋅ L 8 ⋅ a 6 ⋅ a 2 ⋅ 3+ + 8 L L2 y1 A B kuvveti FB = A noktasında moment Şekil 28 M A = 0,5 ⋅ q ⋅ (L + a ) 2 − FB ⋅ L X noktasında moment M x = 0,5 ⋅ q ⋅ (L + a − x ) 2 − (L − x ) ⋅ FB X1 noktasında moment M x1 = 0,5 ⋅ q ⋅ (a − x1) 2 C noktasında Sehim fC = X noktasında Sehim 0≤x≤L q ⋅ L2 ⋅ x 2 x 2 ⋅ a 2 2 ⋅ x yx = ⋅ 1 − ⋅ 3 ⋅ 1 − − 48 ⋅ E ⋅ I y L L2 L X1 noktasında Sehim 0 ≤ x1 ≤ a y x1 = A ve B arasında iki max Sehim yeri 1 L Eğer olursa. ⋅L ≤ a ≤ 6 2 B ve C arasında max Sehim yeri: L Eğer 0,34 ⋅ L ≤ a ≤ olursa. 6 3 ⋅ (2 + λ ) + 9 ⋅ (2 + λ )2 − 64 ⋅ λ x m1 = L ⋅ 16 q ⋅ a ⋅ L3 48 ⋅ E ⋅ I y 6 ⋅ a3 6 ⋅ a2 ⋅ 3 + 2 − 1 L L q ⋅ L3 ⋅ x1 6 ⋅ a 2 2 ⋅ x1 6 ⋅ a 2 4 ⋅ a ⋅ x1 x12 ⋅ −1+ ⋅ − + 2 2 48 ⋅ E ⋅ I y L2 L L2 L L 3 ⋅ (2 + λ ) − 9 ⋅ (2 + λ )2 − 64 ⋅ λ x m2 = L ⋅ 16 Faktör λ 2 ⋅ a2 λ = 3 ⋅ 1 − 2 L B noktasında eğim açısı αB = q ⋅ L3 48 ⋅ E ⋅ I y 6 ⋅ a2 ⋅ 2 − 1 L C noktasında eğim açısı αC = q ⋅ L3 48 ⋅ E ⋅ I y 8 ⋅ a3 6 ⋅ a2 ⋅ 3 + 2 − 1 L L www.guven-kutay.ch 53 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 28 için örnek; Yayılı yük q= 20 N/mm Kirişin L boyu L= 1'000 mm Kirişin a boyu a= 400 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 X in A ya mesafesi x= 400 mm X1 in B ye mesafesi x1 = 200 mm Yayılı yükün kuvveti Fq = q ⋅ (L + a ) Fq = 28'000 N Yatak kuvveti B q ⋅ L 8 ⋅ a 6 ⋅ a 2 FB = ⋅ 3+ + 8 L L2 FB = 10'100 N Yatak kuvveti A FA = Fq − FB FA = 17'900 N B noktasında Moment M B = 0,5 ⋅ a 2 ⋅ q MB = 1'600 Nm A noktasında Moment M A = 0,5 ⋅ q ⋅ (L + a ) 2 − FB ⋅ L MA = 1'700 Nm X noktasında Moment 0≤x≤L M x = 0,5 ⋅ q ⋅ (L + a − x ) 2 − (L − x ) ⋅ FB MX = −740 Nm X1 noktasında moment M x1 = 0,5 ⋅ q ⋅ (a − x1) 2 MX1 = 400 Nm C noktasında Sehim fC = q ⋅ a ⋅ L3 48 ⋅ E ⋅ I y 6 ⋅ a3 6 ⋅ a2 ⋅ 3 + 2 − 1 L L fC = 0,819 mm X noktasında Sehim 0≤x≤L yx = q ⋅ L2 ⋅ x 2 x 2 ⋅ a 2 2 ⋅ x − ⋅ 1 − ⋅ 3 ⋅ 1 − 48 ⋅ E ⋅ I y L L2 L yx = 0,709 mm X1 noktasında Sehim 0 ≤ x1 ≤ a y x1 = q ⋅ L3 ⋅ x1 6 ⋅ a 2 2 ⋅ x1 6 ⋅ a 2 4 ⋅ a ⋅ x1 x12 ⋅ −1+ ⋅ − + 2 48 ⋅ E ⋅ I y L L L2 L2 L2 yx1 = 0,276 mm B noktasında eğim açısı αB = q ⋅ L3 48 ⋅ E ⋅ I y 6 ⋅ a2 ⋅ 2 − 1 L αB = 0,00024 Rad αB° = 0,01364 ° C noktasında eğim açısı αC = q ⋅ L3 48 ⋅ E ⋅ I y 8 ⋅ a3 6 ⋅ a2 ⋅ 3 + 2 − 1 L L αC = 0,00281 Rad αC° = 0,16097 ° www.guven-kutay.ch 54 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 29 İki tarafı sabit, ortadan tek kuvvet etkisindeki kiriş C MC A MB MA F xw W X B kuvveti FB = FA Eğilme momenti: C X fW yx x fC yx fW αw FA = B xw x F 2 A kuvveti W M max = F ⋅ L / 8 αw Mmax = MA = MB =MC L/2 L Şekil 29 Dönüm noktası mesafesi xWM = L/4 F⋅L 1 x ⋅ − 2 4 L X noktasında moment 0 ≤ x ≤ 0,5.L MB = max Sehim C noktasında f max = f C = W noktasında sehim Dönüm noktasında fW = F ⋅ L3 384 ⋅ E ⋅ I y Dönüm noktası mesafesi xw = L 4 X noktasında Sehim 0 ≤ x ≤ 0,5.L y= Eğim açısı Dönüm noktasında αW = F ⋅ L3 192 ⋅ E ⋅ I y F ⋅ L3 48 ⋅ E ⋅ I y f W = 0,5 ⋅ f max 3⋅ x2 4 ⋅ x3 ⋅ 2 − 3 L L 3 ⋅ F ⋅ L2 384 ⋅ E ⋅ I y www.guven-kutay.ch FB = F 2 55 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 29 için örnek; Kuvvet F= 2'000 N Kirişin L boyu L= 1'000 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 X in ortaya mesafesi x= 300 mm Yatak kuvveti A FA = F 2 FA = 1'000 N Yatak kuvveti B FB = F 2 FB = 1'000 N max Moment M max = F ⋅ L / 8 Dönüm noktası mesafesi xw = L 4 X noktasında Moment 0 ≤ x ≤ 0,5.L MB = F⋅L 1 x ⋅ − 2 4 L max Sehim C noktasında sehim W noktasında sehim Dönüm noktasında Sehim MB = 250 Nm xw = 250 mm MX = -50,0 Nm F ⋅ L3 f max = f C = 192 ⋅ E ⋅ I y fC = 0,149 mm fW = F ⋅ L3 384 ⋅ E ⋅ I y fw = 0,0745 mm X noktasında Sehim 0 ≤ x ≤ 0,5.L yx = F ⋅ L3 48 ⋅ E ⋅ I y yx = 0,052 mm Dönüm noktasında eğim açısı 3 ⋅ F ⋅ L2 αW = 384 ⋅ E ⋅ I y f W = 0,5 ⋅ f max 3 ⋅ x 2 4 ⋅ x3 ⋅ − 3 L2 L αB = 0,00022 Rad αB° = 0,01279 ° www.guven-kutay.ch 56 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 30 İki tarafı sabit, asimetrik tek kuvvet etkisindeki kiriş Yatak kuvvetleri: F ⋅ b2 a ⋅ 1 + L2 2 ⋅ L B yatağı kuvveti FB = F − FA MA A yatağı kuvveti FA = MC A MB F C F ⋅ a2 2 ⋅ b FB = 2 ⋅ 1 + L L B x1w xw x Xm a A noktasındamoment MA = B noktasında moment MB = x1 C b L Dönüm noktası Şekil 30 L2 MC = X noktasında moment F ⋅ b 2 a x a Mx = ⋅ 1 + 2 ⋅ ⋅ − L L L L X1 noktasında moment M x1 = fC = − F ⋅ b ⋅ a2 a⋅L 2⋅a + L b⋅L x1w = 2⋅b + L L2 xw = 2 ⋅ F ⋅ a 2 ⋅ b2 C noktasında moment C noktasında Sehim − F ⋅ a ⋅ b2 y1 fC αC fm y xm L3 F ⋅ a 2 b x b ⋅ 1 + 2 ⋅ ⋅ 1 − L L L L F ⋅ a 3 ⋅ b3 3 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L3 a>b fm = 2 ⋅ F ⋅ a 3 ⋅ b2 L ⋅ 3 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L2 L + 2 ⋅ a xm = 2⋅a ⋅ L 2⋅a + L a<b 2 ⋅ F ⋅ a 2 ⋅ b3 L fm = ⋅ 3 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L2 L + 2 ⋅ b xm = 2⋅b⋅L 2⋅b + L X noktasında Sehim 0≤x≤a yx = F ⋅ L ⋅ b2 3 ⋅ a ⋅ x 2 2 ⋅ a x3 ⋅ − 1 + ⋅ 6 ⋅ E ⋅ I y L3 L L3 X1 noktasında Sehim 0 ≤ x1 ≤ b y x1 = F ⋅ L ⋅ a 2 3 ⋅ b ⋅ x12 2 ⋅ b x13 ⋅ − 1 + ⋅ 6 ⋅ E ⋅ I y L3 L L3 C noktasında eğim açısı αC = Xm noktasında Sehim ve xm mesafesi F ⋅ a 2 ⋅ b 2 ⋅ (b − a ) 2 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L4 www.guven-kutay.ch 57 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 30 için örnek; Kuvvet Kirişin L boyu Kirişin a boyu Kirişin b boyu Elastiklik modülü Atalet momenti X in A ya mesafesi X1 in B ye mesafesi F= L= a= b= E= Iy = x= x1 = 2'000 1'000 600 400 210'000 333'333 200 300 Yatak kuvveti A FA = Yatak kuvveti B FB = F − FA N/mm mm mm mm N/mm2 mm4 mm mm b=L-a F ⋅ b2 a ⋅ 1 + L2 2 ⋅ L A noktasında Moment MA = B noktasında Moment MB = C noktasında moment MC = FB = F ⋅ a2 2 ⋅ b ⋅ 1 + L L2 − F ⋅ a ⋅ b2 L2 − F ⋅ b ⋅ a2 L2 2 ⋅ F ⋅ a 2 ⋅ b2 FA = 704 N FB = 1'296 N MA = -192 Nm MB = -288 Nm MC = 230,4 Nm MX = -51,2 Nm MX1 = 100,8 Nm fC = 0,132 mm X noktasında Moment 0≤x≤a L3 F ⋅ b 2 a x a ⋅ 1 + 2 ⋅ ⋅ − Mx = L L L L X1 noktasında moment 0 ≤ x1 ≤ b M x1 = C noktasında Sehim fC = Xm noktasında Sehim fm = 2 ⋅ F ⋅ a 3 ⋅ b2 L ⋅ 3 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L2 L + 2 ⋅ a fm = 0,136 mm xm mesafesi xm = 2⋅a ⋅ L 2⋅a + L xm = 545,45 mm X noktasında Sehim 0≤x≤a yx = F ⋅ L ⋅ b2 3 ⋅ a ⋅ x 2 2 ⋅ a x3 ⋅ − 1 + ⋅ 6 ⋅ E ⋅ I y L3 L L3 yx = 0,041 mm X1 noktasında Sehim 0 ≤ x1 ≤ b y x1 = F ⋅ L ⋅ a 2 3 ⋅ b ⋅ x12 2 ⋅ b x13 ⋅ − 1 + ⋅ 6 ⋅ E ⋅ I y L3 L L3 yx1 = 0,102 mm C noktasında eğim açısı αC = F ⋅ a 2 b x b ⋅ 1 + 2 ⋅ ⋅ 1 − L L L L F ⋅ a 3 ⋅ b3 3 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L3 F ⋅ a 2 ⋅ b2 ⋅ (b − a ) 2 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L4 C noktasında eğim açısı αC = 0,00016 Rad αB° = 0,00016 Rad www.guven-kutay.ch 58 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 31 İki tarafı sabit, tam yayılı yük etkisindeki kiriş q C B MC A MB MA Yayılı yük kuvveti Fq = q ⋅ L FA = B kuvveti FA = FB q⋅L FB = 2 xw yx fC x Eğilme momenti: C L/2 q⋅L 2 A kuvveti q ⋅ L2 MA = 12 L Şekil 31 M A = M B = 2 ⋅ MC q ⋅ L2 12 B noktasında moment MA = MB C noktasında moment q ⋅ L2 MC = = 0,5 ⋅ M A 24 Dönüm noktası xw = L 2⋅ 3 X noktasında moment Mx = q ⋅ L2 x2 ⋅ 1 − 12 ⋅ 24 L2 C noktasında Sehim fC = X noktasında Sehim 0 ≤ x ≤ 0,5.L q ⋅ L4 yx = 384 ⋅ E ⋅ I y MB = q ⋅ L4 384 ⋅ E ⋅ I y www.guven-kutay.ch x2 ⋅ 1 − 4 ⋅ L2 2 59 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 31 için örnek; Yayılı yük q= 20 N/mm Kirişin L boyu L= 1'000 mm Kirişin a boyu a= 400 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 X in ortaya mesafesi x= 200 mm Yayılı yükün kuvveti Fq = q ⋅ L Fq = 20'000 N Yatak kuvveti A FA = q⋅L 2 FA = 10'000 N Yatak kuvveti B FB = q⋅L 2 FB = 10'000 N A noktasında Moment MA = q ⋅ L2 12 MA = 1'667 Nm B noktasında Moment q ⋅ L2 MB = 12 MB = 1'667 Nm C noktasında Moment MC = q ⋅ L2 = 0,5 ⋅ M A 24 MC = 833,3 Nm Dönüm noktası xw = L 2⋅ 3 xW = 288,68 mm X noktasında Moment 0 ≤ x ≤ 0,5.L Mx = q ⋅ L2 x2 ⋅ 1 − 12 ⋅ 24 L2 MX = 433,3 Nm C noktasında Sehim 0,5 . L fC = fC = 0,744 mm X noktasında Sehim 0 ≤ x ≤ 0,5 . L q ⋅ L4 yx = 384 ⋅ E ⋅ I y yx = 0,525 mm q ⋅ L4 384 ⋅ E ⋅ I y x2 ⋅ 1 − 4 ⋅ L2 www.guven-kutay.ch 2 60 32 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R İki tarafı sabit, üçken yayılı yük etkisindeki kiriş Üçken tabanı herhangi sabit tarafta. Yayılı yük kuvveti Fq = 0,5 ⋅ q ⋅ L C x w1 xC A kuvveti FA = 3⋅ q2 ⋅ L 20 B kuvveti FB = 7 ⋅ q2 ⋅ L 20 B MC A MB MA q x xm Eğilme momenti: fm yx x w2 Xm A noktasında q ⋅ L2 MA = 2 30 B noktasında q 2 ⋅ L2 MB = 20 L Şekil 32 Dönüm noktası xw1 x w1 = 0,237 ⋅ L Dönüm noktası xw2 x w 2 = 0,808 ⋅ L C noktasında moment M C = −0,0429 ⋅ Fq ⋅ L xC mesafesi x C = 0,3 ⋅ L max Sehim fm = q 2 ⋅ L4 764 ⋅ E ⋅ I y xm mesafesi xm = ( X noktasında sehim y= q 2 ⋅ L4 120 ⋅ E ⋅ I y www.guven-kutay.ch ) 21 / 20 − 0,5 ⋅ L 2 ⋅ x 2 3 ⋅ x3 x5 ⋅ 2 − 3 + 5 L L L 61 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 32 için örnek; Yayılı yük B tabanı q= 20 N Kirişin L boyu L= 1'000 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 X in A ya mesafesi x= 400 mm Yayılı yükün kuvveti Fq = 0,5 ⋅ q ⋅ L Fq = 10'000 N A kuvveti FA = 3 ⋅ q2 ⋅ L 20 FA = 3'000 N B kuvveti FB = 7 ⋅ q2 ⋅ L 20 FB = 7'000 N A noktasında Moment q ⋅ L2 MA = 2 30 MA = 666,67 Nm B noktasında Moment q ⋅ L2 MB = 2 20 MB = 1'000 Nm Dönüm noktası xw1 x w1 = 0,237 ⋅ L xw1 = 237 mm Dönüm noktası xw2 x w 2 = 0,808 ⋅ L xw2 = 808 mm C noktasında Moment M C = −0,0429 ⋅ Fq ⋅ L MC = −429 Nm xC mesafesi x C = 0,3 ⋅ L xC = 547,72 mm max Sehim q 2 ⋅ L4 fm = 764 ⋅ E ⋅ I y fm = 0,374 mm xm mesafesi xm = xm = 524,7 mm X noktasında Sehim q 2 ⋅ L4 y= 120 ⋅ E ⋅ I y yx = 0,329 mm ( ) 21 / 20 − 0,5 ⋅ L 2 ⋅ x 2 3 ⋅ x3 x5 ⋅ 2 − 3 + 5 L L L www.guven-kutay.ch 62 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 33 İki tarafı sabit, bağlantı yerinde tek kuvvet etkisindeki kiriş MB F A MA B A ve B kuvveti : FA = 0 f = F⋅L 2 F ⋅ L3 12 ⋅ E ⋅ I y y Sehim f MA = MB = Eğilme momenti: x FB = F F ⋅ L3 Elastik eğri: y x = 12 ⋅ E ⋅ I y L 3 ⋅ x 2 2 ⋅ x3 ⋅ − 3 L2 L Şekil 33 Şekil 33 için örnek; Kuvvet F= 2'000 N Kirişin L boyu L= 1'000 mm Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm2 Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 X in B ye mesafesi x= 600 mm Yatak kuvveti B FB = F A ve B noktalarında Moment MA = MB = A noktasında Sehim f = X noktasında Sehim 0≤x≤L F ⋅ L3 yx = 12 ⋅ E ⋅ I y FB = F⋅L 2 F ⋅ L3 12 ⋅ E ⋅ I y 3 ⋅ x 2 2 ⋅ x3 ⋅ − 3 L2 L www.guven-kutay.ch 2'000 N MA=MB= 11'000 Nm f= 2,381 mm yx = 1,543 mm 63 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R 34 İki tarafı sabit, asimetrik moment etkisindeki kiriş Mb A B FA = B kuvveti : FB = FA C x m2 xm1 f m1 yx1 X1 fC C X m1 a X m2 X2 FB = f m2 x1 yx2 x2 − 6 ⋅ a ⋅ b ⋅ Mb A kuvveti : L3 − 6 ⋅ a ⋅ b ⋅ Mb L3 Eğilme momenti: b MB = L Şekil 34 Mb ⋅ a 3⋅ a ⋅2 − L L M b ⋅ a 2 ⋅ b2 ⋅ (b − a ) C noktasında Sehim fC = Xm1 noktasında Sehim a bölgesinde max sehim f m1 = 3⋅ a ⋅ − 1 54 ⋅ E ⋅ I y ⋅ a 2 L xm1 mesafesi x m1 = L2 a 1 ⋅ − a L 3 Xm2 noktasında Sehim b bölgesinde max sehim fm2 = 3⋅ b ⋅ − 1 54 ⋅ E ⋅ I y ⋅ b 2 L xm2 mesafesi x m2 = L2 3⋅ b X1 noktasında Sehim 0≤x≤a Mb ⋅ b ⋅ x 2 3 ⋅ a 2 ⋅ a ⋅ x y x1 = ⋅ 1 − + L 2 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L L2 X2 noktasında Sehim a≤x≤L yx2 = Mb ⋅ a ⋅ L x 2 ⋅ b ⋅ x a ⋅ 1 − ⋅ + 2 ⋅ E ⋅ I y L L2 L C noktasında eğim açısı αC = Mb ⋅ a ⋅ b 3⋅ a ⋅ b ⋅ 1 − E ⋅ Iy ⋅ L L2 2 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L3 M b ⋅ b ⋅ L3 M b ⋅ a ⋅ L3 2 www.guven-kutay.ch 3 3 64 M İ L L E R veya K İ R İ Ş L E R Şekil 34 için örnek; Moment Mb = 1'500 Nm Kirişin L boyu L= 1'000 mm Kirişin a boyu a= 600 mm Kirişin b boyu b= 400 mm b=L–a 2 Elastiklik modülü E= 210'000 N/mm Atalet momenti Iy = 333'333 mm4 X in mesafesi x1 = 200 mm X in mesafesi x2 = 600 mm A kuvveti FA = B kuvveti FB = Eğilme momenti L3 − 6 ⋅ a ⋅ b ⋅ Mb L3 M ⋅a 3⋅ a MB = b ⋅ 2 − L L C noktasında Sehim fC = Xm1 noktasında Sehim a bölgesinde max sehim f m1 = xm1 mesafesi Xm2 noktasında Sehim b bölgesinde max sehim − 6 ⋅ a ⋅ b ⋅ Mb M b ⋅ a 2 ⋅ b2 ⋅ (b − a ) 2 ⋅ E ⋅ I y ⋅ L3 M b ⋅ b ⋅ L3 3⋅ a ⋅ − 1 54 ⋅ E ⋅ I y ⋅ a 2 L M b ⋅ a ⋅ L3 3⋅ b ⋅ − 1 54 ⋅ E ⋅ I y ⋅ b 2 L FB = −2'160 N MB = 180 Nm fC = −0,123 mm fm1 = 0,226 mm xm1 = 444,4 mm fm2 = 0,012 mm xm2 = 833,3 mm yx1 = −0,096 mm yx2 = 0,123 mm 3 X1 noktasında Sehim 0≤x≤a L2 x m2 = 3⋅ b M ⋅ b ⋅ x2 3 ⋅ a 2 ⋅ a ⋅ x y x1 = b ⋅ 1 − + 2 ⋅ E ⋅ Iy ⋅ L L L2 X2 noktasında Sehim a≤x≤L M ⋅a ⋅L x 2⋅b⋅x a yx2 = b ⋅ 1 − ⋅ + 2 ⋅ E ⋅ I y L L2 L C noktasında eğim açısı αC = xm2 mesafesi −2'160 N 3 L2 a 1 x m1 = ⋅ − a L 3 fm2 = FA = 2 Mb ⋅ a ⋅ b 3⋅ a ⋅ b ⋅ 1 − 2 E ⋅ Iy ⋅ L L α°C = αC ⋅180 / π www.guven-kutay.ch αC = 0,00144 Rad αC° = 0,08251 °
