PARAMETRIK EGRILERLE SINIRLI BÖLGENIN ALANI

Paremetrik . . .
Örnek 1
Örnek 2
Mahmut KOÇAK
c 2008 [email protected]
Hazırlama Tarihi: Nisan 10, 2008
http://www2.ogu.edu.tr/~mkocak/
Sunum Tarihi: Nisan 17, 2008
2/6
Paremetrik Eğrilerle Sınırlı Bölgenin Alanı
g : [a ,b ] → sürekli bir fonksiyon ve f : [a ,b ] → sürekli türevi olan bir fonksiyon olmak üzere
x = f (t ), y = g (t )
parametrik denkleminin eğrisi C ve t , a dan b ya değişirken eğri tekrar etmesin. Her x ∈ [a ,b ] için g (t ) ≥ 0 (C eğrisinin x -ekseninin
altında hiç bir noktası olmadığını) ve f (t ) ≥ 0 olduğunu varsayalım. Bu durumda C eğrisinin yönü t , a dan b ye artarken soldan
sağa doğru olur.
P = {a = t 0 , t 1 , t 2 , · · · , t i −1 , t i , t i +1 , · · · , t n−1 , t n = b },
[a ,b ] aralığınının bir bölüntüsü ve t i = t i −t i −1 olsun. Bu durumda C eğrisi, x -ekseni, x = f (t i −1) ve x = f (t i ) doğrularının sınırladığı
A bölgesinin alanı yaklaşık olarak taban uzunluğu f (t i )− f (t i −1) ve yüksekliği g (t i ) olan A i dikdörtgenlerin alanları toplamına eşittir.
?
P
Şekil . ya bakınız. Yani
A∼
=
n
( f (t i ) − f (t i −1))g (t i )
i =1
dir. Diğer yandan ortalama değer teoremi gereğince
f (t i ) − f (t i −1) = t i f (t i )
olacak şekilde t i ∈ (t i −1 , t i ) noktası vardır. Böylece
A∼
=
n
i =1
f (t i )g (t i ) t i
Paremetrik . . .
Örnek 1
Örnek 2
Paremetrik Eğrilerle Sınırlı Bölgenin Alanı
3/6
olur.
A = lim
P→0
n
f
(t i )g (t i ) t i
b
f (t )g (t ) dt
=
i =1
a
olur. Böylece C eğrisi, x -ekseni, x = f (a ) ve x = f (b ) doğruları arasında kalan bölgenin alanı
b
f (t )g (t ) dt
A=
a
Örnek 1
Örnek 2
olur.
Benzer şekilde her t ∈ [a ,b ] için C eğrisi, x -ekseni, x = f (a ) ve x = f (b ) doğruları arasında kalan bölgenin alanı A olmak üzere
b
2 f (t ) ≥ 0 ve g (t ) < 0 ise A = −
f (t )g (t ) dt ,
a
b
2 f
Paremetrik . . .
(t ) ≤ 0
f (t )g (t ) dt ,
ve g (t ) ≥ 0 ise A = −
a
b
2 f (t ) ≤ 0 ve g (t ) ≤ 0 ise A =
f (t )g (t ) dt
a
Paremetrik Eğrilerle Sınırlı Bölgenin Alanı
4/6
olduğu gösterilir. Bu durumda A 1 , C eğrisi, x -ekseninin
f (t )g (t ) ≥ 0
özelliğini sağlayan x = f (t ) lerin bölgesi arasında kalan bölgenin alanı ve A 2 , C eğrisi, x -ekseninin
f (t )g (t ) < 0
özelliğini sağlayan x = f (t ) lerin bölgesi arasında kalan bölgenin alanı olmak üzere
b
f (t )g (t ) dt = A 1 − A 2
Paremetrik . . .
Örnek 1
Örnek 2
a
olur. Özel olarak C eğrisi kendisini kesmeyen bir eğri olmak üzere
b
f (t )g (t ) dt olur.
2 t artarken C nin yönü saatin dönme yönündeyse A =
a
b
f (t )g (t ) dt olur.
2 t artarken C nin yönü saatin dönme yönünün tersi yönündeyse A = −
a
5/6
Örnek 1
2 x = a cos t , y = b sin t (0 ≤ t ≤ 2π) parametrik denklemleriyle verilen elipsin sınırladığı bölgenin alanını
bulalım. Şekil .P? ye bakınız.
2 Sekilde de görüldüğü gibielipsin alanı dört eşit alanın toplamına eşittir.
π
olmak üzere her t ∈ 0,
2
f (t ) = a cos t ve g (t ) = b sin t
için
Paremetrik . . .
f (t ) = −a sin t ≤ 0 ve y = b sin t ≥ 0
Örnek 1
Örnek 2
olduğundan
π
π
2
A1 = −
2
(−a sin t )b sin t d t = ab
0
π
ab
sin t d t =
2
2
0
ab
(1 − cos2t ) d t =
2
0
olur. Böylece
A = 4A 1 =4
olur.
2
πab
= πab
4
π
1
2 πab
t − sin 2t =
2
4
0
6/6
Örnek 2
2 a > 0 olmak üzere x = a cos3 t , y = a sin3 t (0 ≤ t ≤ 2π) parametrik eğrisi tarafından sınırlanan bölgenin
alanını bulalım. Şekil .P? ye bakınız.
2 Sekil de görüldüğü gibi istenilen alan A birbirlerine
eşit
A 1 , A 2 , A 3 ve A 4 alanlarının toplamına eşittir. f (t ) =
a cos3 t ve g (t ) = a sin3 t olmak üzere her t ∈ 0,
duğundan
π
2
A1 = −
π
2
için f (t ) = −3a cos2 t sin t ≤ 0 ve y = a sin3 t ≥ 0 ol-
Paremetrik . . .
π
2
−3a cos2 t sin t a sin3 t d t = 3a 2
0
= 3a 2
sin4 t − sin6 t d t = 3a 2
0
A = 4A 1 = 4
İndirgeme
formülü
Örnek 2
1 − sin2 t sin4 t d t
π
2
sin4 t d t − 3a 2
kullanılırsa
Örnek 1
0
π
2
0
3πa 2
olur.
=
32
8
3πa 2
cos2 t sin4 t d t = 3a 2
0
π
2
olur.
π
2
sin6 t d t
0
A1
=
3πa 2
32
olarak
bulunur.
Böylece