1. bölüm temel olasılık bağıntıları

1. BÖLÜM
TEMEL OLASILIK BAĞINTILARI
1.1. Küme Kavramı
1- ) A={3,1,6,2}
A ; 3,1,6,2 sayılarının kümesidir.
2- ) B={x/x çift sayı} B ; çift sayıların kümesidir.
3- ) x A
x ; A kümesinin bir elemanıdır.
4- ) y  A
y ; A kümesinin elemanı değildir.
5- ) A kümesine ait her eleman B kümesine , B kümesine ait her eleman da A
kümesine ait ise ;
A=B dir.
6- )  BOŞ KÜME : Hiç bir elemanı olmayan kümedir.
7- ) A  B : A kümesinin her elemanı , B kümesinin de elemanı ise A , B’nin bir alt
kümesidir.
A{1,3,5} ,
B{4,5,3,2,1}
AB
8- ) A  B ve B  A ise
A=B
9- ) A  B ve B  A ise
B , A’nın üst kümesidir.
10- ) A  B ise B  A
değildir.
11- )  her kümenin bir alt kümesidir.
12- ) B  A B  A
B,A’nın bir özel alt kümesidir.
13- ) A  B ise A ve B ye kıyaslanabilir (comparable) kümeler denir.
14- ) A  B ve B  C ise A  C dir.
15- ) Bazen bir kümenin elemanları da bir kümedir. Kümenin bir elemanı dahi küme
olmasa o
küme, küme ailesi değildir.
A
A , A { 2, [1,3] , [2,5] }
16- ) Göz önüne alınan kümeler sabit bir kümenin alt kümeleri ise , bu kümeye
üniversal küme
denir. U ile gösterilir.
17- ) Herhangi bir kümenin bütün alt kümeleri ailesine güç kümesi denilir. 2 küme ile
gösterilir.
1
A { a,b } 2 A = { [a] , [b], [a,b], [  ] }
Güç kümesinde 2( eleman sayısı ) kadar küme oluşur.
18- ) İki kümenin ortak elemanı yoksa , bu iki kümeye ayrık (disgoirt) kümeler
denilir.
19- ) A  B
B A
A
B
ile gösterilir
20- ) A ve B kıyaslanamaz kümeler ise
B
B
A
Ayrık değilseler
A
Ayrık iseler
ile gösterilir.
20- ) Çizgi Diyagramları
A
Z
C
W
C
Y
A
B
B
AB
B
AC BC
X
Y  Z, W
XY
Y  Z,W,Y
A
AB BC
A
[ çizgi üst kümeden alt kümeye
doğru uzatılıyor]
X{x}, Y{x,y}, Z{xyz}
W{x,y,w}

22- ) A{1,2} , B{2,1,2} , C{2,2,2,1,1} ise
A = B = C dir.
Elemanların sıralanması ve tekrarı, bir kümeyi değiştirmez.
23- ) M{r,s,t} ise  bazı gösterme tarzları:
r  M  doğru
r  M  yanlış
{r}  M
yanlış {r }  M 
doğru
24- )  , { 0 }, {  }
bir elemanı boş küme olan, bir elemanlı küme ; küme ailesi ,
{a} Boş Küme değildir.
2
.
25- ) A { x, y, z} nin Alt Kümeleri :
{x,y,z} , {x,y} , {x,z} , {x}, {y}, {z}, 
26- ) Kıyaslanabilirlik
İki A ve B kümesi; A  B ( veya B  A ) koşulunu gerçeklerse yani diğerinin alt
kümesi ise , bunlara kıyaslanabilir denilir. Eğer ;
A  B ve B  A
ise bu kümeler kıyaslanamaz kümeler denir.
1.2. Olaylar Kümesi Ve Olasılıkları
1.2.1. Genel
Sayı , harf , insan , renk vb. gibi toplulukların kümelerinden bahsedildiği gibi (
ki bu kümeler sonlu veya sonsuz elemanlı olabilirler) sonlu olaylar uzayında bazı olay
kümelerinden de bahsedilebilir . A ve B sonlu olaylar uzayındaki kümeler ise ;
A
B , A ya , B ye veya her ikisine birden giren bütün olayların kümesi ; A  B , hem A
ve hem de B ye giren tüm olayların kümesidir.
Bu kavrama göre ; olasılık teorisinde , A yada B veya her ikisinin olasılığı :
A  B  A bileşim B ( x; x  A yada x  B )
P (A  B)
ve A ve B nin her ikisinin birden olasılığı ( aynı anda )
A  B  A kesişim B ( x; x  A ve x  B )
P(A  B) ile gösterilir.
Yine A ve B , S sonlu olaylar uzayındaki olaylar ise ;
AB
P(A  B)=P(A)+P(B)-P(A  B)..............
AB
(1)
dir.
Zira A  B nin olasılığı , A  B deki olayların olasılıkları toplamıdır .
P(A)+P(B) ise ,
3
A daki olasılıklar ile B deki olasılıkların toplamıdır. Bu yüzden P(A)+P(B) 'nin içine
A  B deki olayların olasılıkları iki defa girmektedir . ( hem P(A) ve hem P(B) de ) .
Şu halde bunların biri çıkarılırsa , P(A)  P(B) elde edilir.
1.2.2 Olaylar Ve Olasılıkları
Bağımsız olaylar : Bir olayın meydana gelmesi , diğer bir olayın meydana gelme
olasılığını etkilemezse , bu iki olay için bağımsızdır. Daha bilimsel tanımı ise P(A)
veya P(B) şöyle tanımlanabilir:
P(A)= (A kümesindeki söz konusu olacak olay sayısı)/(S sonlu olaylar uzayı
kümesindeki olay sayısı)
A ve B olaylarının olasılıkları :
P(A  B)=P(A).P(B)
(2)
Bağıntısını gerçeklerse,bu olaylar bağımsızdır denir.
Örnek : İki para ile atılan yazı turada , ilk paranın “yazı gelmesi” olayı ile , ”paraların
aynı gelmesi” olayının bağımsız olduğunun gösterilmesi : S olaylar uzayı;
S = {YT,YY,TY,TT}
olay adedi dört
A olayı ilk paranın yazı gelmesi , B olayı da paraların aynı gelme olasılığı ise;
A = {YT,YY} 
B = {YY,TT} 
A  B = {YY} 
1
2 2
= .
4
4 4
P(A) =
P(B) =
2
4
2
4
P(A  B)=
1
4
eşitliği sağlandığına göre iki olay bağımsızdır.
Örnek : Çift zar atmada her iki zarın 6 gelmesi
A  1. Zarda 6 gelmesi olasılığı
P(A)=
1
6
B  2. Zarda 6 gelmesi olasılığı
P(B)=
1
6
A  B  Her iki zarda 6 gelme olasılığı;
4
P(A  B) = P(A).P(B) =
1 1
1
. =
dır.
6 6
36
Başka bir yönden yaklaşım:
A  1. Zarın 6 gelmesi olay kümesi A={61,62,63,64,65,66}
B  2. Zarın 6 gelmesi olay kümesi B={16,26,36,46,56,66}
A  B = {6.6} ;
P(A) =
1
6
=
6
36
P(A  B) =
“S” olay uzayı kümesindeki olay sayısı = 36
P(B) =
1
6
=
6
36
P(A  B) =
1 1
1
1
= P(A).P(B) = . =
6 6
36
36
1
36
Bu olay bağımsız bir olaydır.
1.2.4 Bağımsız Olaylarda Olasılık Özelliği
İki veya daha fazla olay bağımsız ise ;
1) P(A  B  C.......  N) = P(A).P(B).P(C )......P(N)
(3)
2) Bağımsız olaylarda A  B=B  A
(4)
(Bu özellikten olasılığa geçildiğinde , her zaman gerçeklenmez . Bu husus üzerinde ,
koşullu olasılık üzerinde durmak gerek!!)
3) 2. Şıkdaki özellik , daha sonra özellikleri incelenecek ancak birinden biri olabilecek
- mutually exclusive - olaylar içinde geçerli gibi görünüyor . Zira bu tip olaylarda
A  B=0 , B  A = 0 olduğundan (4) eşitliği gerçekleşiyor.Durumun bir inceliği olup
olmadığını yakından incelemek gerekiyor.
1.2.5. Ancak Birinden Biri Olabilen Olaylar
İki olay aynı zamanda olamıyorsa , veya ortak noktaları yoksa , birinden biri
olabilen olaylar denilir . Tam karşılığı olmamakla beraber ayrık olaylar deniyor.
A ve B iki ayrık olaysa , tanıma göre P(A)  P(B) = 0 olacağından (1) eşitliği , ayrık
olayların olasılığı için
P(A  B)= P(A)+P(B)
(5)
haline dönüşür . İkiden fazla ayrık olay söz konusu ise ;
P(A 1  A 2  ........A n ) = P(A 1 )+ P(A 2 )+..............+ P(A n )
dir.
5
Sözle ifade edilirse ; A 1 yada A 2 ..... yada A n ’in olasılığı , bu olayların
olasılıkları toplamına eşittir . Yine , A 1 , A 2 ....., A n ayrık olaylarının birleşimine bir
S olay uayının bütün noktası girmekte ise , yani
A1
A
An
A2
S = A 1 + A 2 +.............+ A n
ise
Bu n olay , S olay uzayını n alt kümeye bölmeliyor denilir . Böyle bir bölmelede
P(A 1 )+ P(A 2 )+..............+ P(A n )=P(S)= 1.0
(6)
olarak tanımlanır . Bu basit örnekle açıklanabilir ;
Bir torbada x adet beyaz top ; y adet siyah top olsa ; (s=x+y) , beyaz top çekme
olasılığı P(x) =
x
, siyah top çekme olasılığı
xy
P(y) =
y
xy
ve
P(s) =
xy
=1
xy
Buna göre ; P(x)+ P(y) =
x
x
+
xy
xy
=
xy
xy
= 1.0 = P(s) dir.
Örnek : Beş kişilik bir ailenin fertlerinin isimleri ; Ahmet , Beyhan , Cengiz , Deniz,
ve Ediz’dir . Ellerinde 3 adet tiyatro bileti mevcuttur . Gelişi güzel seçilecek 3 kişinin
tiyatroya gitmesi söz konusudur . Ahmet ve Beyhan’ın ; yada Cengiz ve Edis’in ,
yada Beyhan, Cengiz ve Denizin seçilme olasılığı nedir ?
Olaylar uzayı 5 kişinin 3’lü kombinasyonu oluyor . Yani olay sayısı :
5
C3=
5!
=10
3!(5  3)!
buna göre S = {ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE,BCD,BCE,BDE,CDE}
Buna göre ;
Ahmet ve Beyhan : A 1 = {ABC, ABD, ABE} P(A 1 ) =
3
= 0,3
10
Cengiz ve Ediz
3
= 0,3
10
: A 2 = {ACE,BCE,CDE}
P(A 2 ) =
6
Beyhan, Cengiz ve Ediz
A 3 ={BCE}
P(A 3 )=
1
=0,1
10
P(A 1  A 2  A 3 )= 0,3+0,3+0,1= 0,7
1.2.6. Tümleyici Olaylar
Bir A olayı ile , A’da bulunmayan bütün uzay noktalarını içine alan A olayına
tümleyici olaylar denir.
Böylece, herhangi bir A olayı ile bunun tümleyicisi
A
A
olan A olayı , ancak birinden biri olabilir
S olayı
A  A = S dir . Yani , bunların birleşimi tüm olaylar uzayını verir .
Dolayısı ile; P(A)+P( A ) = P(S) = 1.0
P(A  A ) = P(A)+P( A ) = P(S) = 1.0
(7)
1.2.7. Koşullu Olaylar Ve Olasılığı
Çoğu zaman , bütün bir uzay olayı ile ilgilenelicek yerde , bunun parçalarının
olasılığı ile ilgilenilir . B belli ( veya belirli, veya koşullu değerde ) iken A’nın koşullu
olasılığı P(A/B) ile gösterilir ve
P(A/B) =
P( A  B)
,
P( B)
P(B)  0
(8)
Denklemi ile tanımlanır . Burada B ye indirgenmiş olaylar uzayı denilir.
Örnek-1 Biri kırmızı (k) , diğeri mavi (m) renkli atılan zarlarla k+m < 4 olması
koşulu ile
( veya olduğu bilindiğine göre ) k=1 olması koşulu nedir? Zar atmada k+m < 4
koşulunu sağlar zar sayıları B indirgenmiş olay uzayını oluşturuyor . Şu halde ;
B = {11,12,21}
A = {11,12,13,14,15,16} ;
S’ deki olay sayısı ise 36 dır.
A  B = {11,12}
7
P(B) =
3
36
P(A  B ) =
2
2
P(A/B) = 36 =
3
3
36
Örnek-2
2
36
P(A/B) =
P( A  B)
P( B)
P(B)  0
dür.
İki a ve iki b sıra ile dizilmiştir . Bütün diziler eşit olasılıdır . Dizide son
harfin b olduğu bilindiğine göre ( yani son harf b olması koşulu ile ) iki a’ nın yan
yana olma koşulu nedir ?
Olaylar uzayı S = {aabb,abab,abba,baab,baba,bbaa}
B = { aabb,abab,bbaa}  son harfin b olması olayı
A = { aabb,baba,bbaa}  iki a ‘nın yan yana olması
A  B = { aabb,baba} ;
(B) =
3
36
S olay uzayında 6 olası olay var.
P(A  B ) =
2
36
2
36 = 2
P(A/B) =
3
3
36
dür.
1.2.8. Bağımsız Olayların Koşullu Olasılığı
A ve B bağımsız iki olay ise , B belli iken ( veya A belli iken ) A’nın olasılığı
(veya B’nin koşullu olasılığı ) ;
P(A/B) = P(A)
P(B/A) = P(B) dir . Zira ;
P(A/B) =
P( A  B)
=
P( B)
P( A). P( B)
= P ( A)
P( B)
P(B/A) =
P( B  A)
=
P( A)
P( A). P( B)
= P( B)
P( A)
Bir A olayının meydana gelmesi , bir çok Bj ayrık olaylarına bağlı ise bu taktirde ;
j
P(A) =
 P(A / Bi). P(Bi)
(9)
i 1
dir. Eğer A olayı , bilinenleri istenen (Bx) ve istenmeyen (By) olan iki ayrık B olayına
bağlı ise ; (9) eşitliği;
8
P(A) = P(A/Bx) . P(Bx) + P(A/By) . P(By)
halinde yazılır.
A olayı , bir sistemin bozukluğuna tekabül ediyorsa ;
P (sistem bozukluğu ) = P( B iyi ise sistemin bozukluğu ). P(Bx)+ P(B kötü ise
sistemin bozukluğu ). P(By)
Yok eğer A sistem iyiliğine tekabül eden olay ise ;
P(sistem iyiliği ) = P( B iyi ise sistem iyiliği ) . P(Bx)+ P( B kötü ise sistem iyiliği ).
P(By)
1.2.9. Matematiksel Umu
Sonuçları x 1 ,x 2 ,........x n
olan bir olasılık modelini göz önüne alalım . Bu
sonuçların herbirinin olasılığı sırası ile P 1 ,P 2 ,........P n ise , x değişken sonuçlarının
matematiksel umusu
n
E(X) =
x P
i 1
i
(10)
İ
olarak tanımlanır . Bu umu , olası değerlerin ağırlıklı ortalamasıdır ; çok sık meydana
gelen veya meydana gelmesi çok olası olan değer demek değildir.
Hatta bazen ,
aşağıdaki örnekte olduğu gibi , gerçekleşmesi olası bir değerde olmayabilir.
Örnek : Birçok defa atılan bir zarda , üst yüzeyde görülecek nokta sayısının umusu
nedir?
Üst yüzde görülebilecek nokta sayıları ; x i =1,2,3,4,5,6
herbirinin olasılığı ise P i =
dır . Bunların
1
olacağına göre , (10) ifadesine göre ;
6
1
1
1
1
1
1
E (üst yüzde nokta sayısı) = 1. +2. +3. +4. +5. +6. = 3,5
6
6
6
6
6
6
Örnek : İstatistiklere göre , 30 yaşındaki bir kimsenin bir yıl içinde ölme olasılığı
0,995 dir . Bir sigorta şirketi bu kimseyi , yıllık 3000 lira prim karşılığı 300000 liraya
sigorta etse , şirketin matematiksel kazanç umusu ne olur ?
Burada x 1 =3000 , P 1 =0,995 ;
9
x 2 =(3000-300000) = -297000 ; P 2 =0,005
E (Kazanç umusu) = 3000 x 0.995 - 297000 x 0,005 = 1500 TL
NOT:Matematiksel
umu,umu
sözcüğünün
günlük
konuşmamızda
geçen”umduğumuz” anlamında değildir ; ancak çok sayıda tekrarlanan denemeler
üzerinden alınan ortalama bu değere yaklaşır.
Matematiksel umunun bazı özellikleri:
a ve c birer sabit olmak üzere ; E(X) =  xi p i olduğuna göre ;
1- ) E(ax) =  a x i p i = a  xi p i = aE(x)
2- ) E(x+c) =  (xi +c)p i =  xi p i + c  pi = E(x) + c
{  pi =1,0}
3- ) E(ax+c) =  (axi +c)p =  axi p i + c  pi = aE(x) + c
4- ) E(x 2 ) =  xi2 p i  [E(x)] 2
5-) E[(x-c) 2 ]=  (xi -c) 2 p i =  xi2 p i -2c  xi p i +c 2
p
i
=E(x 2 )-2cE(x)+ c 2
6- ) E(x) = 
c =  alarak ;
ise ; 2. Özellikte a = 1
E(x-  ) = E(x) -  =  -  = 0 olur .
7- ) (x-c) nin umulan değerine , çoğunlukta , c ye göre alınan x in ilk momenti denilir
Fizik yorumu şöyledir ;
E(x-c) = (x 1 -c)p 1 + (x 2 -c)p 2 +...............+ (x n -c)p n
olduğundan ; mekanikteki
moment alma işlemine benziyor.
x1-c
x2-c
P1
Pn
P2
c-xi
xn-c
Pi
8- ) E[x -E(x)2] =  (xi2 -2x i E+E 2 )P i
E(x)2 =  ile de gösterilebilir.
=  xi2 p i - 2E  xi p i + E 2
p
i
xi
10

E(x)
=E(x 2 ) - 2[E(x)] 2 + [E(x)] 2
= E(x 2 ) - [E(x)] 2 = VAR(x)
olarak
tanımlanıyor.
VAR = VARYANS
{
p
 x  VAR( x )  E ( x   ) 2 
i
=1,0}
 (x
i
  ) 2 Pi de STANDART SAPMA
(veya ayrılma) olarak tanımlanıyor.
E(|x-  |)  ORTALAMA SALT SAPMA (veya ayrılma) olarak tanımlanıyor.
=  |(xi -  |p i
NOT:Olasılık teorisine ait bazı kitaplarda p i = f(x i ) ile gösterilir.
1.3. OLASILIK DAĞILIMLARI
1.3.1. Binomsal Dağılım
Her tekrarlandığında iki olasılığı olan ve tekrar esnasında olasılığı değişmeyen
bazı olaylar vardır . Örneğin bir para ile yazı tura atmada ya tura ya yazı gelir . Ayrıca
her bir atışta tura gelme olasılığı değişmez . Bu denemelerin n defa tekrarlanmasında
olası sonuçların bu iki çeşidinin dağılımı birbirleri ile ilgili olmayıp (discrete) binomsal
tiptedir . İki olasılığı ; başarı (veya istenen sonuç) ve başarısızlık (veya istenen sonuç)
ve başarısızlık (veya istenmeyen sonuç) olarak niteleyelim.
Bir denemedeki başarı olasılığı : p (bütün denemelerde değeri aynı)
Bir denemedeki başarısızlık olasılığı : q (bütün denemelerde değeri aynı)
p+q=1  q =1-p
ise
dir.
Bir denemedeki başarı olasılığı p ise iki denemedeki başarı olasılığı p.p = p 2
dir.
(iki zarla atmada aynı sayının gelmesi gibi)
P(A)  P(B) = P(A) . P(B)
Üç demedeki başarı olasılığı
p.p.p = p 3
r denemedeki başarı olasılığı p r dir.
11
Şu halde yapılan n denemede r başarı ve (n-r) başarısızlık elde edilmişse (sonucuna
varılmışsa )
q n  r = (1-p) n  r dir.
N denemede , tam olarak r başarı ve (n-r) başarısızlığının meydana gelebilme yolları
veya çeşitleri sayısı :
n
Cr =
  n 
n!
   
r !(n  r )!   r  
olacaktır. Buna göre , r başarısının ve (n-r) başarısızlığın meydana gelmesinde , sıra
söz konusu değildir .
n denemede ; r adet başarının olasılığı ,


 n  n 1  n  n 2 2
n
n
n
(q  p)  q   q p   q p  ....  p 
1 
2


n!
.p r .(1-p) n  r = n C r .p r .q n  r
r !(n  r )!
p(r) =
(11)
olacaktır . (11) eşitliği ise ;
n
n
(q+p) =

r 0
n
Cr . p r . q n r
(12)
şeklinde olan binom açınımıdır.
Binomsal dağılımın uygulanabilmesi için , bir deneme aşağıdaki özellikleri
gerçeklemelidir.
1. Deneme sabit sayıda olmalıdır.
2. Her bir denemenin sonucu iki olasılığı içermelidir. (örneğin; “ başarı” veya
“başarısızlık” yada “istenen sonuç” veya “istenmeyen sonuç” gibi )
3. Bütün denemelerde , “başarı” olasılığı aynı değerde olmalıdır.
4. Bütün denemeler bağımsız olmalıdır.
Örnek : Yazı - tura atmada , tura gelme olasılığı 1 2 olduğu varsayılır. Para beş defa
atıldığında , tura gelme sayısının dağılımını çiziniz.
Y T
12
5
3
4
5
2
2
3
4
1  1
 1  1
 1 1  1
 1 1
 1  1
 1
P(5)=    =   +5.   . +10.      10.   .    5.     
 2  2
 2 2  2
 2 2
 2  2
 2
2  2
0
=
1
2
3
4
5
5
1
5 10 10 5
1





32 32 32 32 32 32
p = q olduğu için simetrik
Binom
açınımı
10
8
6
2
3
4
5
6
7
4
2
1
2
3
4
5
Tura sayısı( istenen sonuç sayısı)
Örnek: Bir denemede başarı olasılığı
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1
1
(p= ) olan bir olayda , 4 deneme
4
4
yapıldığında ,
başarı dağılımını çiziniz.
1
3
p= ; olduğuna göre q= olur . Şu halde ;
4
4
p(4) = (q+p) 4 = (
=(
=
3 1 4
+ )
4 4
3 4
3
1
3
1
3 1
1
) + 4.( ) 3 . + 6. ( ) 2 ( ) 2 + 4. ( ) 3 +( ) 4
4
4
4
4
4
4 4
4
81 108 54 12
1
+
+
+
+
256 256 256 256 256





0
1
2
3
4
110
100
90
80
70
60
13
Bundan böyle p ile olasılığı aranan sonuç q ile diğer sonuç gösterilecektir. Daha önce
p i =f (x i ) ile gösterilmişti . Olasılık fonksiyonunun sürekli olması halinde
matematiksel umu (veya ortalama değer)

E(x) =  xi .f(x i ).dx
olacaktır.

Binomsal dağılım , ayrık bir olasılık dağılımıdır . Umu değeri (beklenen ortalama
değer) ;
n
x. n!
p x . q n x
x  0 x !( n  x )!
E(x)= 
(13)
ifadesi ile verilir. Bu ifade aşağıdaki hale getirilebilir :
n.(n  1)!
. p x . q n x
(
x

1
)!.(
n

x
)!
x 0
n
E(x) = 
y = x-1 olarak bir değişken dönüşümü yapılırsa, yukarıdaki ifade ;
n 1
E(x) = n.p 
y 0
(n  1)!
. p y . q n 1 y *
y !.(n  1  y )!
haline gelir. Toplama işaretinden itibaren olan terim , binomsal dağılım olduğundan ,
değeri 1.0 dır. Şu halde , binomsal dağılımda
E(x) = n.p
(14)
dir. Yazı ile ifade edilirse ,
E(x) = (deneme sayısı) x (meydana gelme olasılığı)
Burada “meydana gelme olasılığı” deyimi , sonucunu bilmek istediğimiz olayın bir
denemedeki olasılığı anlamındadır.
14
m
*
n-1 = m denirse ;
m!
 y !.(m  y)! . p
y
. q m y
olur. Bu ise ;
y 0
m

y 0
m
C0 p y . q m y  (q  p) m dir. p+q = 1.0 olduğundan
bu terimin değeri
(1.0) m =1,0 dır.
Örnek : Bir üretim maddesinin %90 defosuz üretildiği iddia edilmektedir . Alınan dört
numuneden , defolu olması umusu nedir ?
(13) ifadesinde ; n = 4 ve x = 1,2,3,4 ; p =
0
0.4!  1   9 
E(x) =
  . 
0!(4  0)!  10   10 
3
+
1
40
9
1
;q=
buna göre ;
10
10
1
3
2
14
. ! 1  9
2!.4!  1   9 

    
   
1!.3!  10   10 
2!.2!  10   10 
3.4!  1   9 
4.4!  1 
    
 
3!.1!  10   10 
4!.0!  10 
2
4
=0,2916+0,0972+0,0108+0,0004 = 0,4
elde edilir.
Binomsal dağılımdan;
VARYANS = n.p.q =  2
ortalama = n.p = 
standart sapma =
(15)
dir.
npq  
Binomsal dağılım ancak olasılıkları hep aynı olan tekrarlı denemelere uygulanabilir..
1.3.2. Poisson Dağılımı
Poisson dağılımı , oluşma oranı zaman veya uzayda kararlı olduğunda verilen
bir zaman veya uzay aralığında özel sayıda zamanlarda oluşan ayrık bir olayın
olasılığını gösterir . Olayların oluşumu yalnız tesadüfi etkilnmelidir . Poisson
dağılımının karakteristik özelliği olayın oluşumunun sayılması gerçeğidir , kesinlikler
oluşmamamsı sayılmaz . Bundan dolayı toplam olay sayısı bilinmez , binomal dağılımı
uygulanamaz.
Örneğin ; Bir peryoddaki yıldırım darbe sayısı , Hockey oyunundaki gol sayısı , Bir
peryoddaki telefon zil sesi sayısı...
Birçok mühendislik istatistik kitaplarında , Poisson dağılımı binomal dağılımına
yaklaşık olarak türetilir ve bu bakışta , o çok faydalıdır.
15
Binomal Dağılımından Poısson Dağılımının Türetilmesi
n denemede r olay başarı olasılığı ;
pr =
n!
p r q nr
r !(n  r )!
n >> r ise,
n!
= n(n-1)(n-2)...........(n-r+1)  nr
(n  r )!
Bundan dolayı pr =
n r r n-r
pq
r!
p çok küçük ve r n ye kıyasla küçükse ;
Bundan dolayı
q n-r  (1-p)n
(np) r
(np) r
n(n  1)
n
pr =
(1-p) =
[1-np+
(-p)2+.....]
2.1
r!
r!
Eğer n büyükse n(n-1)  n2 dir.
pr=
(np) r
(np) 2
(np) r -np
[1-np+
+........] =
e
r!
r!
r!
olur.
Başarıların umulan sayısı (np) olduğunda n denemede r başarının olasılığı p r dir.
Yukarıdaki türetilen poisson dağılımının , deneme sayısı n’in çok büyük ve olasılık
faktörü p’nin küçük olması durumunda iyi bir yaklaşım olduğu görülebilir. n  20 ve
p  0.05 olduğunda o iyi bir yaklaşımdır ve yaklaşım n artarken p’nin azalması ile
düzelir.
Örnek:
Kesinlikle 2 başarının 10 denemede başarı olasılığı nedir?
a)Binomal dağılımı kullanarak bulalım,
p(2) = 10 C2 (0,1)2(0,9)8 =
10!
(0,1)2(0,9)8 = 0,1937
2 !.8!
b)Poisson dağılımı kullanarak bulalım;
np = 10x0,1 = 1
(1,0) 2 1,0
p(2) =
e = 0,1839
2!
Eğer düşünülen zaman peryodu sürekli ise ve oluşumların ortalama sayısı zaman
biriminde ifade edilirse o zaman arızaların ortalalma sayısı  t olarak gösterilebilir.
=ortalama arıza oranı-zaman birimi başına arızalar
t=zaman
Bu durumda Poisson bağıntısı;
16
(t ) r  t
pr =
e olarak bulunur .
r!
Yani , t zaman peryodunda r arıza olasılığı pr dir . Bu ifadede önemli durum , t
zamanında sıfır arıza olasılığıdır. Bu bize zamanın fonksiyonu olarak elemanın
güvenilirliğini verir.
P(0)=e- t
R(t)= e- t
bu ifadede  =sbt dir.
Poısson Dağılımının Başka Bir Metodla Eldesi
dt uzunlukta (t, t+dt) zaman aralığında olayın bir defa oluşma olasılığı  dt
olsun,  =sbt ve dt mümkün olduğunca küçük öyleki bu dt süresinde bir defadan daha
çok olay oluşma olasılığı ihmal edilebilir.
Px(t) ; (0,t) zaman aralığında x kere olay oluşma olasılığı
x=0 ise, p0(t+dt) = p0(t)(1-  dt)
olayı bağımsız kabul edelim.
p0 (t  dt )  p0 (t )
  p0 (t ) dt  0 ‘a giderken,
dt
p0' (t ) 
dp0 (t )
dt
p0' (t )   p0 (t )
p0 (t )  e  t
ilk koşul p0(0) = 1 kullanılarak,
bu poisson ifadesinin ilk terimidir.
Eğer x>0 ise,
px(t+dt) = px(t) [p(dt) aralığında sıfır olay oluşumu] + px-1(t) [p(dt) aralığında 1 olay
oluşumu ]
+ p ( x2 ) (t) [p(dt) aralığında 2 olay oluşumu ]
px(t+dt) = px(t)(1-  dt) + px-1(t)  dt
= px(t)t  dt (px(t) - px-1(t))
(t ) x e  t
px(t) =
x!
Hiç arıza olmama olasılığı;
R(t) = p(0) = e  t
dir.
17
Örnek : Büyük bir sistemde kablonun 100 km.’si başına ve yıl başına ortalama kablo
arıza sayısı 0,5 dir. 10 km. lik bir kablo parçasını düşünelim , 40 yıllık bir peryodda
0,1,2 vs. arızaların olasılıkları nedir ?
Soruda kablo ve 40 yıllık peryod için geçerli olacak ortalama arıza sayısını kabul
0,3
ederek,
0,2
 t ortalama arıza sayısı;
Olasılık
t=
0,5x10 x 40
 2.0 dir.
100
(2.0) r 2.0
22 23
pr = 0,1
= e 2 (1  2 
 .......)
e
r!
2! 3!
= (0,135 + 0,270 + 0,270 + 0,180 + 0,09 + 0,036 + 0,012 + ......)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Arızaların Sayısı
Örnek: Küçük bir elektrik santralı , güç katsayısı 1,0 olan 10 MW lık bir yükü
beslemek için tasarımlanacaktır . Aşağıdaki alternatifler gözönüne alınıyor :
(1) 1 Adet 10 MW lık ünite
(2) 2 Adet 10 MW lık ünite
(3) 3 Adet 5 MW lık ünite
(4) 4 Adet 3
1
MW lık ünite
3
Çözüm:
Bu alternatiflerin ilki hariç , diğerlerinde 10 MW’tır . Üstünde yedek vardır .
Her bir ünitenin zorlanmış devre dışı kalma mertebesi veya derecesi yada
nispeti(forced outage rate tanımı ileride verilecek buradaki anlamı devre dışı kalma
olasılığı anlamında.) 0,03 dür. Her bir tertibin güvenebilirlik bakımından değeri
18
binomsal açınım (expansion) ve matematiksel umu kavramından hareketle mukayese
edilebilir. Zorlanmış Devredışı kalma Oranı =(Z.D.K.O.)
ZDKO = (Zorlanmış devredışı kalma zamanı(anı)) / ( ZDK'ya maruz kalınan
zaman)
Z.D.K.‘ya maruz kalınan zamanı = Zorlanmış devre dışı kalma zamanı +
çalışma zamanı
Z.D.K.O. tanılamasından herbir düzen için gelecekteki devredışı kalmadaki bulunan
herbir değişik kapasite miktarının olasılığı tayin edilebilir .
Z.D.K.O. = P(mevcut devre dışı kalma) = 0,03
Sağlamlık oranı = P(sağlanabilir birim,sağlam ünite) = 0,97
0.03 + 0.97 = 1.00
Herbir düzen için hesaplama yapılırsa ;
2x10 MW ünite düzeni için,
(D.Ü.)
(K.K.)
(S.K.)
(O.)
Devre Dışı Ünite
Kayıp kapasite
Sağlanabilirlik kapasite
Olasılık
0
0 MW
20 MW
0,9409
1
10 MW
10 MW
0,0582
2
20 MW
0 MW
0,0009
1,0000
Not:Tüm olası durum olasılıkları toplamı 1 olmalıdır.
Deneme = Ünite Sayısı = n = 2
Sağlam Ünite Sayısı = r
Arıza Olasılığı = q = 0,03
Sağlamlık Olasılığı = p = 1-q = 0,97
p (sağlanabilirlik olasılığı) =
n!
p n (1  p) n r  n Cr p r q n r
r !(n  r )!
19
2!
(0,97) 2 (0,03) 2 2  0,9409
2!(2  2)!
n=2 r=2 olması halinde;
p(2) 
n=2 r=1 olması halinde ;
p(1)
2!
(0,97) 1 (0,03) 1  0,0582
1!(2  1)!
n=2 r=0 olması halinde ;
p(0)
2!
(0,97) 0 (0,03) 2  0,0009
0!(2  0)!
olasılıkları bulunur.
3x5 MW ünite düzeni
(D.Ü.)
(K.K.)
(S.K.)
(O.)
Devre Dışı Ünite
Kayıp kapasite
Sağlanabilirlik kapasite
Olasılık
0
0 MW
15 MW
0,912673
1
10 MW
10 MW
0,084681
2
20 MW
5 MW
0,002619
3
15 MW
0 MW
0,000027
1,00000
4x 3
1
MW ünite düzeni
3
(D.Ü.)
(K.K.)
(S.K.)
(O.)
Devre Dışı Ünite
Kayıp kapasite
Sağlanabilirlik kapasite
Olasılık
0
0 MW
13,33 MW
0,88529281
1
3,33 MW
10,0 MW
0,10952075
2
6,66 MW
6,66 MW
0,00508086
3
10,0 MW
3,33 MW
0,00010476
4
13,33 MW
0 MW
0,00000081
20
1,00000000
Her bir düzen için yukarıdaki tablolar, devre dışı kapasite olasılıkları tabloları olarak
adlandırılırlar . Bu tablolar , herbir düzendeki olası kapasite eksikliklerinin
göstergesidir , fakat nisbi güvenilirlik değerlerinin göstergesi değildirler.
Bir tek 10 MW’lık ünite düzeninde birim devre dışı kalma olasılığını , 0,03
Z.D.K.O’nına eşittir.
Bundan dolayı umulan yük kaybı
10 x 0,03 = 0,3 MW’dır.
10 x P(0) = 0,3 MW
2x10 MW düzeninde , bir ünitenin kaybı yük kaybına neden olmaz . Ancak bir yük
kaybı için iki ünitenin kalması gerekir . O halde bu düzende ;
Umulan yük kaybı
10 x P(0) = 0,009 MW
yük kaybı x P(0) = 0,009 MW
3x5 MW ünite düzeni
Devre Dışı
Olasılık
Yük Kaybı
Umulan Yük Kaybı
(MW)
(MW)
10
0,002619
5 MW
0,013095
15
0,000027
10 MW
0,000270
0,013365
4x3
1
MW ünite düzeni
3
Devre Dışı
Olasılık
Yük Kaybı
(MW)
Umulan Yük Kaybı
(MW)
6,61
0,00508086
3,33
0,0169362
10,0
0,00010476
6,66
0,0006984
13,33
0,00000081
10,0
0,0000081
0,0176427
Bu noktada , her bir düzenin maliyetinin bir kıyaslaması yapılabilir ve umulan yük
kaybıyla belirli bağıl güvenilirlik kıyaslamasıda mümkündür . Yıllık masraflar, çalışma
ve bakım maliyetleri ile düzen maliyetleri elde edilir. Bu örneğin amacı , bunların ünite
21
bazına 10 MW kullanılarak yerleştirilmiş toplam düzen kapasitesine nazaran
farzedilmiştir.
ÖZET:
Üniteler / Düzen
Düzen Kapasitesi
Umulan Yük Kaybı
Yatırım
Maliyeti
1
10 MW
0,3
1,0
2
20 MW
0,009
2,0
3
15 MW
0,013
1,5
4
13 1/3 MW
0,018
1,33
Güvenilirlik indeksi, umulan yük kaybından çok zamana göre olabilir.
100% yük faktörü ile (1.0) , yük kaybıyla sonuçlanacak reserv kapasite sınırından daha
büyük herhangi bir üretim kaybı olasılığı bir dir. Yıl başına 8760 saat kullanılarak,
her bir kapasite koşulu için umulan yük durumları aşağıda verilmiştir.
Umulan Yük Azalması,
Düzen Başına Birim
Yük Kaybı Olasılığı
Kesilmesi
1
0,03 x 8760
262,8 saat/yıl
2
0,0009 x 8760
7,9 saat/yıl
3
0,002646 x 8760
33,1 saat/yıl
4
0,00518643 x 8760
45,4 saat/yıl
(yük kaybı olasılığı) x 8760 = (umulan yük kesilmesi)
[Pi(0) x 8760 = U.Y.K]
[ i = herhangi bir düzen ]
Yılbaşına umulan devre dışı kalma saatlerine göre güvenilirlik indeksi ,
oluşacak herbir yük kaybının umulan saat sayısının bir göstergesini temin eder . MW
olarak umulan yük kaybı kriteri , zamanın göstermini değil umulan yahut ortalama yük
kesilmesini gösterir . Kriter seçimi proses tipine bağlı olacaktır (besleme düzenine).
Benzer birimleri ihtiva eden bir sistemde eğer bir yedek birim mevcut ise ve birimlerin
sayısı tedricen (derece derece) yükseliyorsa risk seviyesindeki yükselme enteresandır.
Örneğin; Herbir elemanın Z.D.K.O. 0,02 olsun . Buradan olasılık değerleri binomal
tablodan elde edilebilir.
22
Sistemdeki Ünite Bir Ünite Fazlasında Devre
Nisbi Risk
Sayısı
Dışı Olasılığı
2
0,000400
1,00
*3
0,001184
2,96 = (0,001184 / 0,000400)
4
0,002336
5,85
5
0,003842
9,60
6
0,005687
14,20
7
0,007857
19,60
8
0,010337
25,80
9
0,013115
32,80
10
0,016178
40,40
* - 2 ve daha fazla ünitenin devre dışı kalma olasılığı
Nisbi risk , iki ünite risk seviyesi 1 olarak elde edilen değerden her bir olası
yük kaybına dayandırılmıştır . Yüklerin 100% lük bir yük faktörüne sahip olduğu
kabul edilmiştir . Yükten fazla bir yedek ünite , ünite sayısı ve yük artarken serbest bir
risk sonucunu vermez . Bu kriter çoğu kez geçmişte üretim kapasitesi planlaması için
kabul edilmiştir.
Bu yaklaşımın kullanımındaki hata genel olarak ünite ilaveleri
boyutta yükselmeye meylederken azaltılabilir . Sisteme en son ilave sistemde
halihazırdaki bir çok üniteden daha çok büyük olabilir . Bundan dolayı yukarıdaki
örnek sistemden çıkan sonuçlar böyle bir durumda gerçek değildir.
Daha öncede vurgulandığı gibi binomal dağılım yalnız herbir deneme benzer
başarı ve arıza olasılıklarına bağlıysa uygulanabilir . Herbir deneme düşünülen
sistemde aynı öneme de sahip olmalıdır.
Örnek : 2-20 MW ünite ve 1-30 MW üniteye sahip bir üretim düzeni olsun . Herbir
ünite 0,1 lik bir arıza oranına sahiptir . ( Bu pratik olarak devre dışı kalma oranı
değildir fakat o çarpımı kolaylaştırır.)
Bu düzen (tesis) için kapasite devre dışı kalma olasılığı tablosunu hesaplayınız .
a) Servis dışı değişik sayıda ünitelerin bulunan olasılıkları binomal axpansın ile
veriliyor.
23
(0,9 + 0,1)3
Servis Dışı
Olasılık
Üniteler
0
(0,9) 3 =0,729
1
3(0,9) 2 .(0,1)=0,243
2
3(0,9)(0,1) 2 =0,027
3
(0,1) 3 = 0,001
1,000
b) Düzenin devre dışı kapasite olasılığı tablosunun tayininde , tüm birimler eşit
kapasiteye sahip değillerse binomal dağılım tamamen uygulanamaz.
2-20 MW
Servis Dışı
1-30 MW
Olasılık
Servis dışı
Kapasite
olasılık
kapasite
0 MW
(0,9) 2 =0,81
0 MW
0,9
20 MW
2(0,9)(0,1)=0,18
30 MW
0,1
40 MW
(0,1) 2 =0,01
1,0
1,00
İki Tablonun Kombinasyonu
Servis Dışı
Kapasite
Olasılık
0
(0,81).(0,9) = 0,729
20
(0,18).(0,9) = 0,162
30
(0,81).(0,1) = 0,081
40
(0,01)(0,9) = 0,009
50
(0,18)(0,1) = 0,018
24
60
-------
70
(0,01)(0.1 ) = 0,001
1,000
25