1- x2y``+xy`+x2y=0 x=0 civarında iki bağımsız çözümünü bulunuz

26 /12/ 2012
2012-2013 Eğitim-Öğretim Güz Yarıyılı
Diferansiyel Denklemler Dersi Çalışma Soruları
1) Aşağıda verilen kuvvet serilerinin yakınsaklık yarıçaplarını belirleyiniz.
n
a)
2 x
( 1) n n 2 ( x 2) n
b)
3n
n 1
n
n 0
2) x=x0=0 adi nokta civarında kuvvet serisi yardımıyla verilen diferansiyel denklemleri
çözünüz.
a) y’’-xy’-y=0
b) (1-x)y’’+xy’-y=0
3) x2(1-x2)y’’+2xy’+4y=0 denkleminin tekil noktalarını bulunuz ve bu noktaları düzgün ve
düzgün olmayan tekil noktalar olarak sınıflandırınız.
4) 2x2y’’+3xy’-y=0
euler diferansiyel denklemini çözünüz.
5) x2y’’-2xy’+2y=2xlnx
diferansiyel denklemi çözünüz.
6) Verilen diferansiyel denklemlerin x=0 noktasında düzgün tekil nokta olduğunu gösteriniz.
İndis denklemi,rekürans bağıntısı,indis denkleminin köklerini belirleyiniz. Serilerin çözümünü
bulunuz.
a) x2y’’+xy’+(x-2)y=0
b) x2y’’+xy’+x2y=0
7)
Laplace dönüşümünü bulunuz
a) L(
s
2
2
) ?
3s 4
b) f (t )
(t 3)u2 (t ) (t 2)u3 (t )
.
8) Ters laplace dönüşümünü bulunuz
a) F (s)
e
s
2
2s
s 2
b) F (s)
s 3
.
(s 2)(s 1)
9) y' ' 4 y' 3y e 2t
y(0) 2 , y ' (0)
dönüşümünden yararlanarak çözünüz.
10) L 1(H (s))
L 1(
1
s(s
2
16)
6 başlangıç değer problemini Laplace
) L 1(F (s)G(s)) fonksiyonunun ters-laplace dönüşümünü
konvolüsyon teoremini kullanarak bulunuz.
1
UFUK ÖZERMAN-DİFERANSİYEL DENKLEMLER
1)
2n 1 x n 1
n
2n x n
1
x
2
lim
n
a)
2 x
n
oran testi ile
n 0
2 x 1,
yakınsaklık aralığı -1/2 <x<1/2
( 1) n n 2 ( x 2) n
b)
için,
3n
n 1
lim
n
( 1) n 1 (n 1) 2 ( x 2) n !
3n
x 2 (n 1) 2
lim
=
3
3n 1
( 1) n n 2 ( x 2) n n
n2
x 2
1 , x 2 3 =ρ
3
x 2
1
3
yakınsaklık aralığı -3< x 2 3 -5<x<1
x 2 3 için seri yakınsak olduğundan ρ=3 dür.
2)
a) y′′-xy′-y=0
x=x0=0 adi nokta civarında iki bağımsız çözümünü bulunuz
P(x)=1 sabit değer olduğundan her nokta adi noktadır.
y=a0+a1x+a2x2+ a3x3+a4x4........
an x n
=
n 0
y’=a1+2a2x+......+(n-1)an-1xn-2 +nanxn-1=
nan x n 1
n 1
y’’=2a2+.....+(n-1)(n-2)an-1xn-3+.... =
n(n 1)an x n
2
n 2
(n 2)(n 1)an 2 x n n 0
nan x n n 1
an x n
0
n 0
an
2
an
(n 2)
2
UFUK ÖZERMAN-DİFERANSİYEL DENKLEMLER
rekürans bağıntısı buluınur
n=0 için a2
n=1 için a3
n=2 için a4
n=3 için a5
a0
2
a1
3
a2
4
a3
5
y=a0+a1x+a2x2+ a3x3+a4x4+a5x5
a0
2.4
a1
3.5
y= a0+a1x+
1
2
y= a0(1+ x2+
a0 2 a1 3 a0 4 a1 5
x+
x+
x+
x
2
3
2.4
3.5
x3 x5
1 4
x +…)+a1(x+
+
....)
3 3.5
2.4
b) (1-x)y’’+xy’-y=0 x=x0=0 adi nokta civarında iki bağımsız çözümünü bulunuz.
y=a0+a1x+a2x2+ a3x3+a4x4........
an xn
=
n 0
y’=a1+2a2x+......+(n-1)an-1xn-2 +nanxn-1=
nan x n 1
n 1
y’’= 2a2+.....+(n-1)(n-2)an-1xn-3+.... =
n(n 1)an x n
2
n 2
(n 2)(n 1)an 2 x n n 0
(n 2)(n 1)an 2 x n 1 +
n 0
nan x n n 0
an x n
0
n 0
xn parantezine almak için 2 terimi n=1 den başlatarak n=n-1 yazarsak
(n 2)(n 1)an 2 x n n 0
x n (n 2)(n 1)an
(n 1)(n)an 1 x n +
n 1
2
nan x n n 0
n(n 1)an 1 (n 1)an
an x n
0
n 0
0
3
UFUK ÖZERMAN-DİFERANSİYEL DENKLEMLER
a nın enbüyük indisli terimi olan an+2 yalnız bırakılarak rekürans bağıntısı;
an
2
n(n 1)an 1 (n 1)an
(n 1)(n 2)
elde edilir. Bu bağıntıda n=0,1,2,3,... değerleri verilerek katsayılar bulunur.
n=0 için a2
a0
1.2
n=1 için a3
1.2.a2
2.3
n=2 için a4
2.3.a3 a2
3.4
a2
3
a0
1.2.3
a2
2.3.4
a0
1.2.3.4
y=a0+a1x+a2x2+ a3x3+a4x4
a0 2 a0 3 a0 4
x4
x 2 x3
y=a0+a1x+
x+
x+
x = a0(1+
+
..) a1 x
1.2
1.2.3 1.2.3.4
1.2 1.2.3 1.2.3.4
y=a0y1(x)+a1y2(x)
3) x2(1-x2)y′′-2xy′+4y=0 denkleminin tekil noktalarını bulunuz. Bu noktaları düzgün ve
düzgün olmayan tekil noktalar olarak sınıflandırınız.
P(x)=) x2(1-x2 )=0 x=0 ve x=±1 tekil noktalar
lim x
x0
( x x0 )
Q( x)
P( x)
limx
0
x
2x
x (1 x2 )
2
2
limitler sonlu değer
R( x)
lim x x0 ( x x0 ) 2
P( x)
4
limx 0 x2 2
4
x (1 x2 )
x=0 düzgün tekil nokta
x= 1 tekil noktası için
lim x
x0
( x x0 )
Q( x)
P( x)
limx 1( x 1)
2x
1
x (1 x2 )
2
limitler sonlu değer
lim x
x0
( x x0 ) 2
R( x)
P( x)
limx 1( x 1)2
4
0 x=1 düzgün tekil nokta
x (1 x2 )
2
4
UFUK ÖZERMAN-DİFERANSİYEL DENKLEMLER
x=-1 tekil noktası için
lim x
x0
( x x0 )
Q( x)
P( x)
( x 1)
2x
1
x (1 x2 )
limx
1
limx
4
2
0 x=-1 düzgün tekil nokta
1 ( x 1)
2
x (1 x2 )
2
limitler sonlu değer
R( x)
lim x x0 ( x x0 ) 2
P( x)
4) 2x2y’’+3xy’-y=0
euler diferansiyel denklemini çözünüz.
y=xr seçilir
y'=rxr-1
y''=r(r-1) xr-2
2r(r-1) xr+3rxr-xr=0
2 farklı reel kök
xr(2r2-2r+3r-1)=0 (2r2+r-1)=0 2 farklı reel kök
(r1=1/2,r2=-1)
y=c1 xr1 +c2xr2
y= c1 x1/2 +c2x-1bulunur.
5) x2y’’-2xy’+2y=2xlnx
diferansiyel denklemi çözünüz.
y=xr seçilir
y'=rxr-1
y''=r(r-1) xr-2
r(r-1) xr-2rxr+2xr=0
2 farklı reel kök
xr(r2-r-2r+2)=0 (r2-3r+2)=0 2 farklı reel kök
(r1=1,r2=2)
y=c1 xr1 +c2xr2
y= c1 x +c2x2bulunur.
Parametrelerin değişimi yöntemi kullanılarak
Yözel= u1 x +u2x2.
5
UFUK ÖZERMAN-DİFERANSİYEL DENKLEMLER
u’ 1 x +u’ 2x2=0
u’ 1 +2u’2x=2xlnx/x2=(2lnx)/x
*-x
u’ 1 x +u’ 2x2=0
-u’1 x -2u’2x2=-(2lnx)
u’2=(2lnx)/x2
u’ 1=(-2lnx)/x
u ln x
1 dx, dx
du
x
u’2=(2lnx)/x2
u 2= (
ln x
x
xdu u’ 1=(-2lnx)/x
için,
u1=-ln2x
u ln x
dv x 2 dx
1 dx,
1
du
v
x
x
uv-∫vdu ,
1
)
x
yözel= u1 x +u2x2.
Denkleminde yerlerine yazılarak özel çözüm bulunur. yözel= (-ln2x) x
7) a) x2y’’+xy’+(x-2)y=0
P(x)= x2
Q(x)= x
R(x)= x-2
(
ln x
x
1 2
)x .
x
x=0 civarında iki bağımsız çözümünü bulunuz.
P(x)= 0 ile x2= 0
tekil nokta bulunur.
x=0 tekil noktası için;
lim x
x0
( x x0 )
Q( x)
P( x)
lim x
0
x
x
x2
1
p0
sonlu bir değer olduklarından
Düzgün tekil nokta
lim x
x0
( x x0 ) 2
R( x)
P( x)
lim x
0
x2
x 2
x2
2 q0
p0=1 ve q0=0 değerleri
F(r) =r(r-1)+p0r+q0 indis denkleminde yerlerine konursa
r(r-1)+r-2=0
r2-2=0
r1= 2 , r2=- 2 kökler reel ve farklı
x=x0= 0 düzgün tekil nokta civarında seri çözümü (a0
0)
6
UFUK ÖZERMAN-DİFERANSİYEL DENKLEMLER
an x r
y=
n
n 0
y’=
(r+n)anxr+n-1
n 0
y’’=
(r+n)(r+n-1)anxr+n-2
n 0
verilen diferansiyel denklemde yerlerine konularak
(r+n)(r+n-1)anxr+n+
n 0
(r+n)anxr+n+
n 0
(r+n)(r+n-1)anxr+n+
n 0
anxr+n+1-2
n 0
(r+n)anxr+n+
n 0
an x r n =0
n 0
an-1xr+n-2
n 1
an x r n =0
n 0
İndis denklemi için (a0 0) ile
r(r-1)a0xr+r a0xr-2 a0xr+ a0xr+1+....... x in en küçük üssü (xr) parantezine alınırsa
indis denklemi;
x r r(r 1) r 2
0 ile
r2-2=0
elde edilir.
r1= 2 , r2=- 2 kökler reel ve farklı
xr
n
(r n)(r n 1)an (r n)an 2an
an 1
0
(r2+2nr+n2-r-n)an+(r+n)an-2an+an-1=0
an
an 1
(r n) 2 2
rekürans bağıntısı elde edilir. Herbir kök değeri rekürans bağıntısında yerlerine konarak
bunlara karşılık gelen bağıntılar elde edilir, bu bağıntılarda n=0,1,2,…… değerleri ile a i
an x r
(i=1,2,3,….) katsayılar belirlenerek y=
n
denkleminde yerlerine konarak genel çözüm
n 0
elde edilir.
r1= 2 için bağıntı
an
an 1
n 1
( 2 n) 2 2
7
UFUK ÖZERMAN-DİFERANSİYEL DENKLEMLER
a0
1 2 2
a1
( 2 2) 2
n=1 için a1
n=2 için a2
2
a0
(1 2 2 )(2 2 2 )2
y1(x)=a0xr1+a1xr1+1+a2xr1+2+…………….
katsayıları
ifadesinde yerlerine konarak lineer bağımsız birinci çözüm
y1(x)= a0 x
a0
x
1 2 2
2
y1(x)= a0 x 2 (1
x
1 2 2
2 1
a0
x
(1 2 2 )(2 2 2)2
2 2
x2
)
(1 2 2 )(2 2 2)2
r2=- 2 için için bağıntı
an
(
an 1
n 1
2 n) 2 2
a0
1 2 2
n=1 için a1
n=2 için a3
(
a1
2 2) 2 2
a0
(1 2 2 )(2 2 2 )2
katsayıları
y2(x)=a0xr2+a1xr2+1+a2xr2+2+…………….
ifadesinde yerlerine konarak lineer bağımsız ikinci çözüm
y2(x)= a0 x
2
y2(x)= a0 x
2
a0
x
1 2 2
(1
2 1
x
1 2 2
elde edilir. Genel çözüm
a0
x
(1 2 2 )(2 2 2)2
2 2
x2
)
(1 2 2 )(2 2 2)2
ygenel=c1y1(x)+c2y2(x)
8
UFUK ÖZERMAN-DİFERANSİYEL DENKLEMLER
b) x2y’’+xy’+x2y=0 x=0 civarında iki bağımsız çözümünü bulunuz.
P(x)= x2
Q(x)=x
R(x)= x2
lim x
x0
p(x)= 0 ile x2= 0
( x x0 )
Q( x)
P( x)
lim x
0
x
x
x2
1
p0
sonlu bir değer
olduklarından
Düzgün tekil nokta
lim x
x0
( x x0 ) 2
2
R( x)
P( x)
lim x
0
x2
x
x2
0 q0
p0=1 ve q0=0 değerleri
F(r) =r(r-1)+p0r+q0
r2=0
r(r-1)+r=0
indis denkleminde yerlerine konursa
r1,2=0 kökler eşit(katlı) bulunur.
x=x0= 0 düzgün tekil nokta civarında seri çözümü (a0 0)
an x r
y=
n
n 0
y’=
(r+n)anxr+n-1
n 0
y’’=
(r+n)(r+n-1)anxr+n-2
n 0
verilen diferansiyel denklemde yerlerine konularak
(r+n)(r+n-1)anxr+n+
n 0
(r+n)anxr+n+
an x r
n 2
0
n 0
n 0
xr+n parantezine alabilmek için indeks ötelemesi yapılarak son terimde n=n-2 yazılırsa
(r+n)(r+n-1)anxr+n+
n 0
(r+n)anxr+n+
n 0
an 2 x r
n
0
(a)
n 2
sayısal değerler konularak x in en küçük derecesesini içeren denklem(İndis denklemi) elde
edilir.
r(r-1)a0xr+ra0 xr +a0xr+2+(r+1)ra1xr+1+(r+1)a1xr+1+a1xr+3+……….=0
9
UFUK ÖZERMAN-DİFERANSİYEL DENKLEMLER
n=0 için, x in en küçük derecesi xr olduğundan
a0xr(r(r-1)+r)=0 r2=0 İndis denklemi r1,2=0 kökler eşit(katlı) bulunur. Dikkat edilirse
yukarıdaki indis denkleminden de aynı sonuç elde edilmişti.
2
n=1 için r(r+1) a1x
r+1
=0 dan a1=0 olur.
(a) ifadesinden rekürans bağıntısı
2
a0xrr2+ r(r+1) a1x
r+1
+
((r+n)(r+n-1)an+ (r+n)an+ an 2 )x r
n
0
n 2
an 2
(r n)(r n 1) (r n)
an
an 2
(r n) 2
n 2
elde edilir. n e sayısal değerler verilerek
a2
a0
(r 2) 2
a4
a2
(r 4) 2
a0
(r 2) 2 (r 4) 2
a6
a4
(r 6) 2
a0
(r 2) (r 4) 2 (r 6) 2
2
a1=0 olduğundan a1=a3=a5=...................=0 dır. Katsayılar yerlerine konarak
y a0 x r 1
x2
(r 2) 2
x4
(r 2) 2 (r 4) 2
x6
(r 2) 2 (r 4) 2 (r 6) 2
....... ( 1**)
Bu ifadede r=0 konursa ve a0=1 seçilirse lineer bağımsız çözümlerden biri
x2
y1 ( x) 1 2
2
x4
22 42
x6
22 42 62
10
UFUK ÖZERMAN-DİFERANSİYEL DENKLEMLER
7)
a)
s
2
3s 4
2
2
(s 4)(s 1)
a(s 1) b(s 4) 2
s(a b) 0
a 4b 2
a
b
(s 4)
(s 1)
a b 0
a 4b 2
L(
s
2
2/5
(s 4)
2
)
3s 4
2
,b
5
a
2/5
(s 1)
2 / 5e
2
5
4t
2 / 5et
b)
Birim Basamak Fonksiyonu
e st uc (t )dt
L uc (t )
0
e cs L(t )
s>0
s
0
L uc (t )(t c)
cs
e
e st dt
e cs
s2
f (t ) (t 3)u2 (t ) (t 2)u3 (t )
F(s)=?
(t 3 1 1)u 2 (t ) (t 2 1 1)u3 (t )
(t 2) 1 u2 (t )
e
2s
e 2s
s2
e
L(t )
e
3s
s
2s
s
(t 3) 1 u3 (t )
2s
e L(t )
e 3s
s2
e
e
3s
s
3s
e 2s
s2
s
se 2s
s2
s2e
2s
se
2s
s2e
2s
(1 s)e
e 3s
s2
e
3s
3s
se 3s
s2
se
3s
(1 s) =F(s)
11
UFUK ÖZERMAN-DİFERANSİYEL DENKLEMLER
8)
e
a) F (s)
s
2
2s
L 1 F ( s)
s 2
e 2s
(s 1)(s 2)
L1 e
a
1
=
(s 1)(s 2) (s 1)
2s
1
(s 1)(s 2)
b
?
basit kesirlere ayrılırsa
a(s+2)+b(s-1)=1
(s 1)
s(a+b)=0 ,
L1 e
2s
1/ 3
(s 1)
1/ 3
(s 1)
2(s 1)e 2s
s 2 2s 2
F (s)
2s
e
1
( et
3
1 2t
e )
3
u2 (t )
L 1 (F (s)) ?
2a-b=1
1 (t
e
3
2)
e at cosbt
1
e
3
a=1/3 ,b= -1/3
2( t 2)
(s a)
(s a) 2 b 2
L 1 (e cs F(s)) uc (t) f (t c) yararlanarak
L 1 (e
b)
2s
2(s 1)
)
(s 1) 2 1
L 1 (e
s 3
(s 2)(s 1)
2s
2et cost ) 2u2 (t )e (t
L 1 F ( s)
2)
cos(t 2)
?
s 3
s 3
s 3
a
b
=
basit kesirlere ayrılırsa
=
s s 2 (s 2)(s 1)
(s 2)(s 1) s 2 s 1
F (s)
2
a=5/3 , b=2/3 bulunur.
L-1(
s 3
5 1
2 1
5
)= L-1(
)-L-1(
)= e2t
3s 2
3s 1 3
(s s 2)
2
2
e
3
t
12
UFUK ÖZERMAN-DİFERANSİYEL DENKLEMLER
9) y' ' 4 y' 3y e 2t
y(0) 2 , y ' (0)
dönüşümümünden yaralanarak çözünüz.
6 başlangıç değer problemini Laplace
Laplace dönüşümünün lineerliğinden
L y' '
4L y'
3L y
Le
2t
L y' ' s 2Y (s) sy(0) y' (0)
L y' sY (s) y(0)
L y Y ( s)
s 2Y (s) sy(0) y' (0) 4sY (s) 4 y(0) 3Y (s) =1/(s+2)
1
s 2Y (s) 2s 6 4sY (s) 8 3Y (s)
Y (s) s 2
Y (s)
4s 3
2s 2
1
s 2
s 2
Y (s) s 2
,
1
2
(s 1)(s 2)(s 3)
s 3
4s 3
1
s 2
2(s 1) ,
Basit kesirlere ayrılırsa;
1
a
(s 1)(s 2)(s 3)
Y(s)=
1/ 2
1
s 1 s 2
L 1 Y (s)
b
s 1 s 2
c
a= 1/2 , b=-1 , c= ½
s 3
5/ 2
bu ifadenin her iki tarafının laplace dönüşümü alınırsa
s 3
1 1 1
1
5 1 1
L (
) L 1(
)
L (
)
2
s 1
s 2 2
s 3
y(t )
1
e
2
t
e
2t
5
e
2
3t
13
UFUK ÖZERMAN-DİFERANSİYEL DENKLEMLER
10) L 1(H (s))
L 1(
1
s(s
2
16)
) L 1(F (s)G(s)) fonksiyonunun ters-laplace dönüşümünü
konvolüsyon teoremini kullanarak bulunuz.
H (s)
1
s(s
2
1 1
s (s2 16)
16)
F (s)G(s)
şeklinde yazılırsa
1
1
1
f (t ) L 1 ( ) 1, g(t ) L 1( 2
)
sin 4t
s
s 16 4
olduğu dikkate alınarak
L 1(H (s)) L 1(
1
s(s
2
16)
t
) L 1(F (s)G(s))
t
= f (t
) g ( )d
0
f ( ) g (t
)d . integrallerinden işleme uygun olanı seçilerek
0
h(t)= L (
t
1
1
s(s
2
16)
t
f (t
)
) g ( )d
0
h(t)=
1
(1)* sin 4 )d .
4
0
1
t
( cos4 ) 0
4
1
(1 cos4t)
4
14
UFUK ÖZERMAN-DİFERANSİYEL DENKLEMLER
LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ TABLOSU
15
UFUK ÖZERMAN-DİFERANSİYEL DENKLEMLER