İST254: Mühendisler İçin İstatistik

2/26/2013
Ders 4: Olasılık Aksiyomları ve Bazı Olasılık
Kuralları
01.03.2013





Olasılık aksiyomları
Bazı olasılık kuralları
Bağımsız olaylar
Koşullu olasılık
Bayes theoremi
01.03.2013



Bir olayın gerçekleşme ihtimalinin sayısal
değerine olasılık denir.
Örnek uzayda 𝑁 örnek nokta varsa, ve bunların
her birinin gerçekleşme ihtimali aynı ise, her
birinin olasılığı 1 𝑁dir.
𝐴 olayı 𝑁 örnek noktalı 𝑆 örnek uzayındaki 𝑀
örnek noktayı kapsıyorsa ve örnek noktaların her
birinin gerçekleşme ihtimali aynı ise 𝐴 olayının
olasılığı
𝑀
𝑃 𝐴 =
𝑁
olur
01.03.2013
1
2/26/2013


Aksiyom (Belit): mantık yürütme sürecinin
başında tartışılmaya gerek görülmeden kabul
edilen önerme.
Olasılık aksiyomları:
1. 𝑃 𝐴 ≥ 0
2. 𝑃 𝑆 = 1
3. 𝐴 ve 𝐵 ayrık olayları için:
𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵
01.03.2013




𝐴1 ⊆ 𝐴2 ⇒ 𝑃 𝐴1 ≤ 𝑃 𝐴2
𝑃 𝐴′ = 1 − 𝑃 𝐴
𝑃 ∅ =0
𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴∩𝐵
01.03.2013




Aşağıdaki ifadelerdeki hataları bulunuz:
Bir satış temsilcisinin bir gün içerisinde 0, 1,
2, veya 3 satış gerçekleştirme olasılığı
sırasıyla 0,19, 0,38, 0,29 ve 0,15’tir
Bir yazıcının günde 0, 1, 2, 3 veya 4 ve daha
fazla hata yapma olasılığı sırasıyla 0,19, 0,34, 0,25, 0,43 ve 0,15’tir
Bir desteden rastgele çekilen kartın kupa
olma olasılığı 1 4, siyah olma olasılığı 1 2, her
ikisi birden olma olasılığı 1 8dir
01.03.2013
2
2/26/2013
İçinde 2 beyaz ve 3 yeşil boncuk bulunan bir
kavanozdan birer birer çekilen 5 boncuk bir ipe
diziliyor. İki yeşil boncuğun an yana gelmemesi
olasılığı nedir?
𝑀 3! × 2! 6 × 2
1
𝑃= =
=
=
𝑁
5!
120
10
01.03.2013

Bir 𝐴 olayı olduğunda, 𝐵 olayının olma
olasılığına 𝐵’nin koşullu olasılığı denir
𝑃 𝐵|𝐴 şeklinde gösterilir

𝑃 𝐵|𝐴 =

𝑃 𝐴∩𝐵
𝑃 𝐴
01.03.2013
Bir hapishanedeki mahkûmların 2 3’ü 25 yaşın
altındadır. Toplamda mahkûmların 3 5’inin
erkek, 5 8’inin de kadın ya da 25 yaşın altında
olduğu bilinmektedir. Buna göre, rastgele
seçilen bir mahkûmun kadın ve en az 25
yaşında olma olasılığı nedir?
Kadın
yaş<25
53
yaş≥25
1
Toplam
2
Erkek
120
24
5
9
3
3
Toplam
40
8
5
2
3
1
3
1
01.03.2013
3
2/26/2013
(4.8.15) Bir kimya mühendisi bir petrol rafinerisinde özel bir
proseste yöneticidir. Geçmiş deneyimlere göre tüm iş
durdurmalarının, 0,15’i donanım arızasından, 0,05’i donanım
arızası ve operatör hatasından, 0,40’ı operatör hatasından
kaynaklanmaktadır. İşin tatil edilmiş olduğunu kabul edelim.
Herhangi bir anda iş durdurulmuşsa, bunun
a) Donanım arızası veya operatör hatasından kaynaklanması,
b) Yanlız operatör hatasından kaynaklanması
c) Ne operatör hatası ne de donanım arızasından
kaynaklanması
d)Donanım arızası olduğu verilmişken, operatör hatasından
kaynaklanması
e) Donanım arızası olmadığı verilmişken, operatör hatasından
kaynaklanması olasılıklarını bulunuz.
01.03.2013
𝐴 olayı donanım arızası, 𝐵 olayı operatör hatası
olsun
a) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0,15 +
0,40 − 0,05 = 0,50
b) 𝑃 𝐵 ∩ 𝐴′ = 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 0,40 − 0,05 = 0,35
c) 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 ′ = 1 − 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 1 − 0,5 = 0,5
d) 𝑃 𝐵|𝐴 =
e) 𝑃 𝐴|𝐵 =
𝑃 𝐴∩𝐵
𝑃 𝐴
𝑃 𝐴∩𝐵
𝑃 𝐵
=
=
0,05
1
=
0,15
3
0,05
1
=
0,40
8
01.03.2013





İki olay bağımsız ise; birinin gerçekleşmesi,
diğerinin gerçekleşme olasılığını etkilemez:
𝑃 𝐴|𝐵 = 𝑃 𝐴
Dolayısıyla iki bağımsız olayın beraber
gerçekleşme olasılığı:
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵 × 𝑃 𝐴|𝐵 = 𝑃 𝐵 × 𝑃 𝐴
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵 × 𝑃 𝐴 ⟺ 𝐴 𝑣𝑒 𝐵 𝑏𝑎ğ𝚤𝑚𝑠𝚤𝑧
01.03.2013
4
2/26/2013
Bir emlakçının elinde kiralık 8 ev vardır. Kiralık
evlerin %40’ının bir anahtarı komşuda ya da
kapıcıda bulunduğuna göre, yanında rastgele 3
anahtar taşıyan emlakçının kiralık evlerden birisini
müşteriye gösterebilme olasılığı nedir?
𝐴 emlakçının doğru anahtarı yanında bulundurması
𝐵 bir anahtarın komşu ya da kapıcıda olması olsun
𝑃 𝐴∪𝐵 =𝑃 𝐴 +𝑃 𝐵 −𝑃 𝐴 ×𝑃 𝐵
3
3
= + 0,4 − × 0,4 = 0,625
8
8
01.03.2013




𝐵1 , 𝐵2 , ... , 𝐵𝑘 örnek uzayın ayrık ve birlikte
tüketici olayları olsun. 𝑃 𝐴 ≠ 0 bir olay için:
𝑃 𝐵𝑟 |𝐴 =
𝑃 𝐵𝑟 𝑃
𝑘 𝑃 𝐵
𝑖
𝑖=1
𝐴|𝐵𝑟
𝑃 𝐴|𝐵𝑖
Örnek uzayın 𝐵 ve 𝐵′ olarak bölündüğü
durumda 𝑘 = 2 ve:
𝑃 𝐵|𝐴 =
𝑃 𝐵 𝑃 𝐴|𝐵
𝑃 𝐵 𝑃 𝐴|𝐵 +𝑃 𝐵 ′ 𝑃 𝐴|𝐵 ′
01.03.2013
Bir bölgede yaşayan insanların %5’inin belli bir
hastalığa yakalanmış olduğu bilinmektedir.
Basit bir kan testi ile hastaların %85’ini tesbit
edebilmekte, hasta olmayanların da %3’üne
yanlış tanı koymaktadır. Buna göre;
a) kan testi pozitif çıkanların gerçekten hasta
olma olasılığı nedir?
b) kan testi negatif çıkanların hasta olma
olasılığı nedir?
01.03.2013
5
2/26/2013
𝑃 𝐴 kan testinin pozitif çıkması
𝑃 𝐵 kişinin hasta olması olsun
𝑃 𝐵 𝑃 𝐴|𝐵
𝑃 𝐵|𝐴 =
𝑃 𝐵 𝑃 𝐴|𝐵 + 𝑃 𝐵′ 𝑃 𝐴|𝐵′
0,05 × 0,85
0,0425
=
=
≅ 0,599
0,05 × 0,85 + 0,95 × 0,03
0,071
′
𝑃
𝐵
𝑃
𝐴
|𝐵
𝑃 𝐵|𝐴′ =
𝑃 𝐵 𝑃 𝐴′ |𝐵 + 𝑃 𝐵′ 𝑃 𝐴′ |𝐵′
0,05 × 0,15
0,0075
=
=
≅ 0,0081
0,05 × 0,15 + 0,95 × 0,97
0,929
01.03.2013
6