tesis planlaması - Anadolu Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü
advertisement
Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Doç. Dr. Nil ARAS ENM411 Tesis Planlaması 2016-2017 Güz Dönemi Toplam maliyetin enküçüklenmesi 2 Tek tesis yerleştirme problemi Uygulamada sık karşılaşılan bir durumdur. Mevcut tesislere yeni bir tesis ekleneceği zaman, diğerlerinin yerleşimi sabit kalır. Sadece yeni tesise, mevcut sistem içinde verilecek en iyi yerin neresi olacağı araştırılır. Kuramsal önemi büyüktür. Çok tesis yerleştirme problemi hiyerarşisine, bir başlangıç oluşturur. Çok tesis ekleme problemi olarak tanınan üst problemin n=1 olan özel bir halidir. Bu gruptaki problemler, toplam taşıma maliyeti gibi tek bir ölçütün ağırlıklı olduğunu, diğer ölçütlerin bu ana amaç yanında önemsiz kaldığını varsayar. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 3 Örnekler Bölüme yeni bir çay ocağı Kampüse yeni bir bina Hastaneye yeni ameliyathane Askeri birliğe helikopter alanı Şehir içi ulaşım sistemine yeni durak Atölyeye yeni tezgah Bekleme salonuna yeni koltuk Mutfağa yeni bulaşık makinesi Bir ofise fotokopi makinesi Elektrik trafosunu nereye koyalım? Örneklerdeki, bölüm, kampüs, hastane vb. m adet tesisten oluşan sistem MEVCUT SİSTEM, yeni bina, ameliyathane vb. de sisteme eklenecek YENİ TESİS’tir. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 4 Tek tesis probleminin modellenmesi m : Eski tesislerin sayısı, Pi =(ai , bi) : i. eski tesisin koordinatları, X=(x, y) : Yeni tesisin koordinatları, di (X, Pi ) : Yeni tesisin i. eski tesise uzaklığı wi : Yeni tesis ile i. eski tesis arasındaki maliyet (ağırlık) katsayısı Enk f(X) = m i=1 w i di(X,Pi ) Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 5 Enk f(X) = m i=1 w i d i(X,Pi ) Amaç, toplam maliyeti enküçüklemektir. Öyle bir X noktası bulalım ki, bu nokta “ağırlıklar x uzaklıklar” toplamını enküçüklesin. ci : Birim uzaklığa taşıma maliyeti [TL/m] fi : Birim zamandaki sefer sayısı [sefer/yıl] di (X, Pi ) : [m/sefer] F(X)=Σ wi x d(X,Pi) = Σ ci x fi x d(X,Pi) [TL/yıl] Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 6 Tek tesis için mekanik analoji Bir masa düşünelim. Mevcut tesisler üzerine işaretleniyor ve herbirine ip geçirilip, wi’lerle orantılı ağırlıklar takılıyor. Sürtünme yok. İpte uzama yok. İpin direnci yok, kopmaz, çekilebilir. İpler A noktasında birbirine bağlanıyor. İpin ucundan tutup çekersek, denge noktası ENİYİ noktayı verecektir. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 A 7 Tek tesis için mekanik analoji İpleri çıkarttık. Yerine çivi veya çubuklar taktık. Etraflarına lastik gererek sarıyoruz. Yeni tesisin, eskileri içerisine alan dışbükey zarf içinde bir nokta olmasını bekleriz. Bütün mevcut tesisler aynı doğru üzerinde olsaydı, dışbükey zarf bir doğru olacaktı. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 8 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 9 A ve B noktaları arasındaki dikdoğrusal uzaklık lDD Xa Xb Ya Yb Yeni tesis ile i. eski tesis arasındaki dikdoğrusal uzaklık: di (X, Pi ) = |x-ai| + |y-bi| Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 10 Enk f(X) = Enk f(X) = m i=1 m i=1 w i d i(X,Pi ) w i ( x - a i y b i ) Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 11 Ağırlıkların tek boyutta etkisini görmek için, bir hat üzerinde farklı aralıklarla açılan deliklerin olduğu yukarıdaki şekle bakalım. DURUM 1: w3 > ∑wi /2 diğerlerinin söz hakkı kalmaz. Ağırlıklardan birisi (ÖRN, w3), diğer ağırlıkların toplamından daha fazlaysa, denge durumunda diğer ağırlıkların bir söz hakkı kalmayacak, A düğümü (yeni tesis yeri), 3 noktasının üzerine gelecektir. (ÇOĞUNLUK KURAMI- Majority Theorem). Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 12 DURUM 2: ∑ w sol > ∑ w sağ ise A düğümü 3’e, aksi halde 4’e gider. A düğümü, 3 ile 4 noktaları arasına yöneldiyse, 2 noktasına mı yoksa 3 noktasına mı gideceği, düğümü sola ve sağa çeken toplam kuvvetlerin dengesine bağlıdır. Sağa çeken kuvvetlerin toplamı, sola çeken kuvvetlerin toplamından fazla ise, denge durumunda A düğümü 4 noktasına gelecek, aksi halde 3 noktasına gelecektir. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 13 DURUM 3: ∑ w sol = ∑ w sağ ise, (özel bir durum) 3 ile 4 noktaları arasındaki bütün noktalar aynı değerdedir. Bir önceki durumda, sağa çeken kuvvetler toplamı, sola çeken kuvvetler toplamına eşit olursa (özel bir durum), 2 ile 3 noktaları arasında kalan tüm noktalar aynı değere sahip olacaktır. Denge durumunda A noktası bu noktaların herhangi biriyle çakışır. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 14 İki önemli özellik: Mekanik modelin kullanılması, tek tesis probleminin çözümünü sağlayacak iki özelliği ortaya çıkarır. 1. 2. Yeni tesis için eniyi yerin koordinatı, eski tesislerden birinin koordinatı ile aynıdır. (ÇAKIŞMA ÖZELLİĞİ) Yeni tesisin kurulacağı yerin solundaki (ya da sağındaki) ağırlıkların toplamı, ağırlıklar toplamının yarısını geçemez. (ORTANCALIK – MEDYAN- ÖZELLİĞİ) Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 15 Tek boyut için geliştirilen görüşler 2 boyuta uyarlanırsa, 1. 2. Yeni tesisin x (veya y) koordinatı, eski tesislerden birinin x (veya y) koordinatına eşittir. X’in (veya y’nin) solundaki (veya altındaki) wi’lerin toplamı, Σwi değerinin yarısını geçemez. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 16 Enk f(X) = m j=1 w i ( x - ai y bi ) DD uzaklıkları kullanmanın bir sonucu olarak, her boyut birbirinden bağımsız bir alt problem olarak ele alınabilir. w ( x -a y b ) Enk f(x, y) = w x - a w y b Enk f(X) = m i=1 i i i m i=1 m i i i=1 i i Enk f(x, y) = f1 (x) f 2 (y) f1 (x) m i=1 w i x - ai ve f 2 (y) Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 m i=1 w i y bi Çözüm algoritması (eniyi çözümü veren algoritma) 17 Her koordinat için izleyen adımlar tekrarlanır: 1. Mevcut tesislerin x (veya y) koordinat değerleri küçükten büyüğe (veya büyükten küçüğe) sıralanır. 2. Sıralı her i. koordinat için birikimli ağırlıklar hesaplanır. i w k 1 3. k m 1 wk wk 2 k 1 k i olan ilk nokta, yeni tesis için eniyi koordinatı verir. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 18 ÖRNEK: (Tompkins) Bakım atölyesine yeni bir tezgah yerleştirilecektir. Mevcut 5 tezgah ile yeni tezgah arasında gerçekleşecek malzeme taşıma sayıları bellidir. Mevcut ve yeni tezgah arasındaki birim uzaklık taşıma maliyetlerinin aynı olduğunu varsayarak, yeni tezgah için eniyi yeri bulunuz. Mevcut tezgah Tezgah yeri Mevcutyeni tezgah arası taşıma P1 (1,1) 5 P2 (5,2) 6 P3 (2,8) 2 P4 (4,4) 4 P5 (8,6) 8 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 19 Mevcut tesislerin konumları Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 20 Mevcut tesisler arası dikdoğrusal yollar Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 21 Mevcut tesislerin bulunduğu noktalardan çizilen yatay ve dikey çizgiler, ilgilenilen alanı dikdörtgen şeklindeki bölgelere ayırır. Örnekte 5*5=25 kesişme noktası vardır, bunlardan beşi üzerinde de mevcut tesisler yer almaktadır. Çakışma ilkesi gereği, eniyi çözüm mevcut tesislerden geçen doğru parçalarının kesişme noktalarından birindedir. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 22 Yeni tesisin yerleşeceği alan 2 ilkenin gereği olarak: 1. En iyi yerin koordinatları, mevcut tesislerin koordinatları ile aynıdır. 2. En iyi nokta, toplam ağırlığın en az yarısına ulaşılan çizgi üzerindedir. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 23 En iyi x-koordinatı Tezgah x wi Σwi P1 1 5 5 P3 2 2 7 P4 4 4 11 <25/2 P2 5 5 17 >25/2 P5 8 8 25 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 x*=5 24 En iyi y-koordinatı Tezgah y wi Σwi P1 1 5 5 P2 2 6 11 <25/2 P4 4 4 15 >25/2 P5 6 8 23 P3 8 2 25 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 y*=4 25 Yeni tezgah için eniyi noktanın koordinatları X* = ( 5, 4) Eniyi nokta için toplam maliyet (toplam ağırlıklandırılmış mesafe) Enk f(5,4) = Enk f(x, y) = m i=1 m i=1 wi x - ai wi 5 - ai m i=1 m i=1 wi y b i wi 4 b i Enk f(5,4) = f1 (5) f2 (4) 54 51 105 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 140 120 110 100 f1(x) Eniyi çözümün ispatı 26 130 90 80 70 60 Örnek için: (4 < x 5 aralığında) f1(x)= 5(x-1) + 2(x-2) + 4(x-4)+6(5-x) + 8(8-x) f1(x)= - 3 x + 69 (5 x < 8 aralığında) f1(x)=5(x-1) + 2(x-2) + 4(x-4) + 6((x-5)+8(8-x) f1(x)= +9 x + 9 x = 5’de eğimin işareti değişti (Yerel En iyi) 50 40 0 1 2 3 4 5 x Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 6 7 8 9 10 140 27 120 Bütünsel En İyi 100 f1(x) 80 60 40 Y = |x – ai | nin grafiği, ucu ai de bulunan V şeklinde DIŞBÜKEY bir eğridir. wi pozitiftir wi |x – ai | dışbükey ∑ wi |x – ai | de dışbükey olur. f1(x) dışbükey Yerel en iyi bütünsel en iyi olur. 20 0 0 Enk f(x,y) = m i=1 wi x ai Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 2 4 6 8 10 y ai m i=1 x wi y bi 28 LINGO ile çözüm Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 29 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 30 ARAŞTIRMA KONUSU ! Kısıtsız doğrusal olmayan model, kısıtlı doğrusal modele nasıl dönüşür? Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 31 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 32 Eniyi noktayı bulmanın çözüm için yetersiz kaldığı durumlarda, eş maliyet eğrileri çizilerek duyarlılık analizi yapılabilir. Tek tesis probleminin çözümü sonucunda, yeni tesisin kurulacağı eniyi nokta, mevcut tesislerden birinin üzerinde çıkabilir. Veya, yol, sütun, çukur gibi kullanılamayacak bir nokta eniyi çözüm olarak bulunabilir. Bu durumlarda, eniyi noktanın çevresinin kullanılma imkanı aranacaktır. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 33 Bir önceki örnekte yeni tezgahı, bir ısıl işlem ocağının yanına denk geldiğinden, (5,4) konumuna yerleştiremediğimizi varsayalım. Bu durumda, bir çözüm yolu, alternatif birkaç bölge belirleyip, bunların içinden en küçük maliyete sahip olanı seçmektir. Diğer bir çözüm yolu ise, eş-maliyet eğrilerinden faydalanarak yeni tesis için en uygun yerin belirlenmesidir. Maliyetin eniyi noktadan uzaklaştıkça ne şekilde değişeceğinin araştırılması, bir çeşit duyarlılık analizidir. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 34 Eş maliyet eğrileri / izdüşüm eğrileri isocost lines/ contour lines Eş maliyet eğrileri, iç içe geçmiş kapalı eğriler şeklinde olup , toplam maliyeti –kolan noktaların geometrik yeridir. Bir başka deyişle, amaç fonksiyonunun sabit bir değeri için (x,y) noktalarının alabileceği değerleri göstermektedir. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 35 Örnek için toplam maliyet fonksiyonu (3 değişkenli fonksiyon: z, x, y) f(x, y) = j=1 wi x - ai m Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 m j=1 wi y bi 36 Fonksiyonun eşmaliyet / izdüşüm eğrileri (Statgraphics ile çizdirilmiş) Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 37 Örnek için MATLAB ile çizdirilmiş eş-maliyet eğrileri Uzaklık ölçümü dikdoğrusal olduğunda, eşmaliyet eğrileri uç uca eklenmiş doğru parçalarından oluşur. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 38 Mevcut tesislerin bulunduğu noktalardan çizilen yatay ve dikey çizgiler, ilgilenilen alanı dikdörtgen şeklindeki bölgelere ayırır. Aynı bölgenin içinden geçen tüm eş maliyet eğrileri aynı eğime sahiptir. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 39 Aynı eğri üzerindeki her noktadaki maliyet aynıdır. İç bölgelere girdikçe eniyi çözüme yaklaşılır, iç bölgelerden uzaklaştıkça maliyet artar. Eniyi çözümü veren eğri bir nokta şeklindedir. Böylece taşıma maliyetinin değişimini gösteren bir harita elde edilmiş olur. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 Bu eğri üzerindeki her noktanın yerleşim maliyeti=120’dir. 40 Maliyetin hızlı değiştiği (çizgiler daha sık) bölgelerde verilecek hatalı kararlar, daha büyük zararlara yol açacağı için buralarda dikkatli davranılmalıdır. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 41 TP_8 EK Eş maliyet eğrilerinin elle çizimi için Tompkins et al. ve İşlier’in kitaplarından yararlanabilirsiniz. Eş maliyet eğrilerinin STATGRAPHICS ve MATLAB programları kullanarak çizimi için TP_8 EK dosyasına bakabilirsiniz. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 42 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 43 Maliyetler uzaklığın karesi ile orantılı arttığında uygundur. A (Xa, Xb) ve B (Ya, Yb) noktaları arasındaki KUK uzaklığı izleyen şekilde hesaplanmaktadır: lKUK ( X a X b ) 2 ( Ya Yb ) 2 KUK uzaklık ölçümü için tek tesis yerleştirme probleminin amaç fonksiyonu Enk f(x, y) = m i=1 w i ((x - a i ) 2 ( y b i ) 2 ) Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 44 Ağırlık Merkezi Problemi f(x,y) = ∑ wi [(x-ai)2 + (y-bi)2] Türevi sıfıra eşitlenirseEn İyi Çözüm f/x = 2 ∑ wi (x – ai ) = 0 f/y = 2 ∑ wi (y -bi ) = 0 ∑ wi x*= ∑ wi ai ve ∑ wi y*= ∑ wi bi w a x* = w m i 1 m i 1 i i i w b y* = w m i 1 m i 1 i i i Yeni tesisin koordinatları, sistemin ağırlık merkezidir. X* ve Y*, ağırlıklı ortalamalardır. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 45 Enk f(x, y) = m i=1 w i ((x - a i ) 2 ( y b i ) 2 ) (x-ai)2+(y-bi)2, tabanı (ai, bi)olan bir paraboloiddir. Bunun iki noktasını birleştiren doğru parçası, eğrinin bu iki nokta arasında kalan kısmının üstünde kalırDIŞBÜKEY wi ler pozitiftir (x-ai)2+(y-bi)2 ile çarpımları da pozitif Toplamları ∑ wi [(x-ai)2 + (y-bi)2] da pozitif Yerel En İyi Bütünsel En İyi Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 46 ÖRNEK:(Tompkins) KUK uzaklığına göre çözelim. 1.5 5.6 2.2 4.4 8.8 56248 119 X* 4.76 25 X* = 1.5 2.6 8.2 4.4 6.8 56248 97 Y* 3.88 25 eniyi yer (4.76, 3.88) Y* = Enk f(X*, Y*) = m i=1 w i ((4.76 - a i ) 2 (3.88 b i ) 2 ) Enk f(X*, Y*) = 172.56 132.64 305.2 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 47 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 48 Matlab ile eğrilerin çizdirilmesi 1234567- [X,Y] = meshgrid(0:10,0:10); Z = (5*((X-1).^2+(Y-1).^2))+(6*((X-5).^2+(Y-2).^2))+(2*((X-2).^2+(Y8).^2))+(4*((X-4).^2+(Y-4).^2))+(8*((X-8).^2+(Y-6).^2)); [C,h] = contourf(X,Y,Z); grid on; colormap autumn; set(h,'ShowText','on','TextStep',get(h,'LevelStep')*1) axis equal tight Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 Eş maliyet eğrileri (X*,Y*)=(4.76, 3.88) noktasını merkez kabul eden eş merkezli çemberlerdir. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 49 50 C maliyetine sahip çemberin yarıçapı: r C f(X*, Y*) wi ÖRNEK: C=400 olan eş maliyet eğrisi nerededir? r 400 305 .2 1,947 25 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 51 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 52 A (Xa, Xb) ve B (Ya, Yb) noktaları arasındaki KU uzaklığı izleyen şekilde hesaplanmaktadır: lKU ( X a X b ) ( Ya Yb ) 2 2 KU uzaklık ölçümü için tek tesis yerleştirme probleminin amaç fonksiyonu Enk f(x, y) = m i=1 w i ( x - ai )2 ( y bi )2 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 53 Enk f(x, y) = m i=1 w i ( x - ai )2 ( y bi )2 1 f(x, y) /x = 2 1 f(x, y) /y = 2 m x= i1 m i1 m i=1 m i=1 wi wi 2(x - a i ) ( x - ai )2 ( y bi )2 2(x - b i ) ( x - ai )2 ( y bi )2 m w i .a i ( x - ai )2 ( y bi )2 wi (x - ai ) (y bi ) 2 y= 2 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 i1 m i1 0 0 w i .b i ( x - ai )2 ( y bi )2 wi ( x - ai )2 ( y bi )2 54 wi gi ( x, y ) ( x - ai )2 ( y bi )2 m m a .g (x, y) i x= olsun. i 1 m g (x, y) i i 1 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 b .g (x, y) i i y= i i 1 m g (x, y) i i 1 55 Bu problemin çözümü DD ve KUK uzaklıklarına göre daha karmaşıktır ve eniyi çözümü veren bir algoritma yoktur. Kısmi türevleri sıfıra eşitleyerek doğrudan bulamadığımız problemin çözümü, bir başlangıç (xK, yK) noktasından hareketle, ardıştırma yolu ile bulunabilmektedir. Bu şekilde elde edilecek çözüm eniyi çözüm olmayacak fakat eniyiye yakın olarak kabul ettiğimiz bir çözüm olacaktır. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 56 (x,y) noktası mevcut tesislerden birinin koordinatı ile aynı olduğunda kısmi türevler tanımsız olur. Bu durumdan kaçınmanın bir yolu, sıfırdan büyük ve çok küçük olduğunu varsaydığımız ε gibi bir sayıyı fonksiyona dahil etmektir. gi ( x, y ) wi ( x - ai )2 ( y bi )2 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 57 Ardışık bir çözüm yöntemi K : ardıştırma numarası gi ( x , y ) K gi ( x , y ) K wi K (x - ai ) (y bi ) K 2 K xK 1 = veya wi K ( x K - ai )2 ( y K bi )2 m m 2 ai .gi (x K , y K ) yK 1 = i 1 m gi (x K , y K ) i 1 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 b i .gi (x K , y K ) i 1 m i 1 gi (x K , y K ) 58 Ardıştırma adımları 1. 2. 3. 4. 5. x ve y için, bir başlangıç değer bul (x0, y0). (Genellikle, ağırlık merkezi probleminin çözümü olan eniyi nokta, başlangıç çözüm olarak kullanılır.) Ardıştırma numarası olan K’ya sıfır ata.K=0 XK=(xK, yK)’yı kullanarak, XK+1=(xK+1, yK+1)’i hesapla. Ardışık iki sonuç birbirine çok yakın çıkarsa veya ardıştırmada kayda değer bir ilerleme görülmüyorsa DUR. ÖRN: | XK - XK+1|≤ε ise DUR veya | f(XK)- f(XK+1)| ≤ε ise DUR Yakınsama yoksa K=K+1 yaparak 3. adıma geri dön. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 59 ÖRNEK:(Tompkins) KU uzaklığına göre çözelim. 1. 2. 3. Başlangıç nokta, (x0, y0)=(4.76, 3.88), ε=10-3 K=0 gi ( x , y ) K wi K gi ( x 0 , y 0 ) ( x K - ai )2 ( y K bi )2 wi ( x 0 - ai )2 ( y 0 bi )2 gi ( 4.76,3.88) wi ( 4.76 - a i ) 2 (3.88 b i ) 2 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 60 g1 ( 4.76, 3.88) g 2 ( 4.76, 3.88) g3 ( 4.76, 3.88) g 4 ( 4.76, 3.88) g5 ( 4.76, 3.88) 5 ( 4.76 - 1) 2 (3.88 1) 2 1.0557 6 ( 4.76 - 5) 2 (3.88 2) 2 2 ( 4.76 - 2) 2 (3.88 8) 2 4 ( 4.76 - 4) 2 (3.88 4) 2 8 ( 4.76 - 8) 2 (3.88 6) 2 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 3.1658 0.4033 5.1988 2.0661 61 m x1 = m ai .gi (x 0 , y 0 ) i 1 m y1 = gi (x 0 , y 0 ) i 1 bi .gi (x 0 , y 0 ) i 1 m gi (x 0 , y 0 ) i 1 x1 1x1,0557 5x3.1658 2x0.4033 4x5.1988 8x2.0661 4.6272 1.0557 3.1658 0.4033 5.1988 2.0661 x1 1x1,0557 2x3.1658 8x0.4033 4x5.1988 6x2.0661 3.6843 1.0557 3.1658 0.4033 5.1988 2.0661 (x 1, y 1 ) (4.6272 , 3.6843 ) Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 62 4. |x0-x1|=|4.76-4.6272|=0.1328 > ε=10-3 olduğundan, K=0+1=1, 3. adıma dönülür. ......... İzleyen sayfada, Excel’de yapılan 20 ardıştırmadan elde edilen sonuçlar görülmektedir. (ε=10-5 ) (x*,y*)=(4.5416 ; 3.5907) f(x*,y*)=78.4859 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 K XK 0 4,7600 1 g1 g2 XK+1 YK+1 f(x,y) 3,8800 1,0557 3,1658 0,4033 5,1988 63 2,0661 4,6272 3,6843 79,0241 4,6272 3,6843 1,1081 3,4780 0,3959 5,6970 1,9554 4,5686 3,6212 78,5561 2 4,5686 3,6212 1,1292 3,5765 0,3940 5,8546 1,9160 4,5489 3,6012 78,4933 3 4,5489 3,6012 1,1363 3,6068 0,3934 5,8953 1,9035 4,5431 3,5947 78,4866 4 4,5431 3,5947 1,1385 3,6168 0,3932 5,9030 1,8996 4,5415 3,5925 78,4860 5 4,5415 3,5925 1,1392 3,6205 0,3931 5,9023 1,8985 4,5412 3,5917 78,4859 6 4,5412 3,5917 1,1394 3,6222 0,3931 5,9000 1,8981 4,5412 3,5913 78,4859 7 4,5412 3,5913 1,1395 3,6230 0,3930 5,8978 1,8980 4,5413 3,5911 78,4859 8 4,5413 3,5911 1,1395 3,6235 0,3930 5,8961 1,8980 4,5414 3,5909 78,4859 9 4,5414 3,5909 1,1395 3,6238 0,3930 5,8949 1,8980 4,5415 3,5909 78,4859 10 4,5415 3,5909 1,1395 3,6240 0,3930 5,8940 1,8980 4,5415 3,5908 78,4859 11 4,5415 3,5908 1,1395 3,6241 0,3930 5,8934 1,8980 4,5415 3,5908 78,4859 12 4,5415 3,5908 1,1395 3,6242 0,3930 5,8930 1,8980 4,5416 3,5907 78,4859 13 4,5416 3,5907 1,1395 3,6243 0,3930 5,8927 1,8980 4,5416 3,5907 78,4859 14 4,5416 3,5907 1,1395 3,6244 0,3930 5,8925 1,8980 4,5416 3,5907 78,4859 15 4,5416 3,5907 1,1395 3,6244 0,3930 5,8924 1,8980 4,5416 3,5907 78,4859 16 4,5416 3,5907 1,1395 3,6244 0,3930 5,8923 1,8980 4,5416 3,5907 78,4859 17 4,5416 3,5907 1,1395 3,6244 0,3930 5,8922 1,8980 4,5416 3,5907 78,4859 18 4,5416 3,5907 1,1395 3,6244 0,3930 5,8921 1,8980 4,5416 3,5907 78,4859 19 4,5416 3,5907 1,1395 3,6244 0,3930 5,8921 1,8980 4,5416 3,5907 78,4859 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Planlaması, 2016-2017 4,5416 3,5907 1,1395 Tesis 3,6245 0,3930 5,8921 1,8980 4,5416 3,5907 78,4859 20 YK g3 g4 g5 64 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 65 Matlab Kodu 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. [X,Y] = meshgrid(0:10,0:10); Z = 5*sqrt((X-1).^2+(Y-1).^2)+6*sqrt((X-5).^2+(Y2).^2)+2*sqrt((X-2).^2+(Y-8).^2)+4*sqrt((X-4).^2+(Y4).^2)+8*sqrt((X-8).^2+(Y-6).^2); [C,h] = contourf(X,Y,Z); grid on; colormap autumn; set(h,'ShowText','on','TextStep',get(h,'LevelStep')*1) axis equal tight Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 66 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 67 KU uzaklıklar için geometrik özel durumlar Ağırlıklar birbirine eşit ve 4 nokta varsa, bunların ağırlık merkezi (kesişim noktası) eniyi çözümü verir. Ağırlıklar birbirine eşit ve 3 nokta varsa, eniyi çözüm: Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 68 Üçgen eşitsizliği Üçgen eşitsizliği adı verilen bir bağıntı, kuşuçuşu uzaklık için bir alt ve üst sınır belirlemede kullanılır. (x0, y0) : KU için aranan nokta (x*, y*) : DD için bulunan eniyi nokta E (x, y) : KU amaç fonksiyonunun (x,y)’de aldığı değer R(x) : f1(x) (DD uzaklık için) R(y) : f2(y) (DD uzaklık için) E(x*, y*) E(x 0 , y 0 ) R(x*)2 R(y*)2 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 69 Örnek: Önceki örneğimiz için alt ve üst sınırı hesaplayalım. (x*, y*)=(5 , 4) E(5,4) = 5 i=1 w i (5 - a i ) 2 ( 4 b i ) 2 79.84 R(5) = f1 (x) wi 5 - ai 54 R(4) = f1 (y) wi 4 - b i 51 5 i=1 5 i=1 R(x*)2 R(y*)2 54 2 512 74.27 79 .84 E(x 0 , y 0 ) 74 .27 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 70 Üçgen eşitsizliği, ardıştırma yapmamıza değer mi değmez mi sorusuna cevap verebilir. Euclid “İki noktayı birleştiren en kısa yol bir doğrudur.” demiştir. Her zaman geçerli olmasa da; herkes alışkın olduğu için, çapraz yollar sözkonusu olabildiğinden, bir alt sınır vermesi açısından, DD bir ortam için “KU’da bile maliyetler şu kadar oluyor, DD’da daha fazla olur” kıyaslamasını yapmak vb. sebeplerden bu uzaklık ölçümü kullanılmaktadır. Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 71 WINQSB İLE TEK-TESİS ENKÜÇÜK MALİYET (veya ENBÜYÜK FAYDA) PROBLEMİNİN ÇÖZÜMÜ Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 72 WINQSB ile çözüm Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 73 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 74 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 75 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 76 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 77 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017 78 Doç. Dr. Nil Aras, ENM411 Tesis Planlaması, 2016-2017
