BÖLÜM 12 ÜÇ-BOYUTLU PANEL YÖNTEMLERİ
advertisement
BÖLÜM 12 ÜÇ-BOYUTLU PANEL YÖNTEMLERİ 12.1 Giriş 12.2 Üç-boyutlu panel yöntemlerinin genel yapısı 12.3 Atnalı girdap elemanlarıyla taşıyıcı çizgi çözümü Üç-boyutlu panel yöntemleri 12-1 12.1 Giriş Üç-boyutlu potansiyel akımda potansiyel fonksiyonunun herhangi bir P noktasındaki değerinin Φ( P) = − 1 4π ∂ 1 1 1 ∂ 1 ∫∫ σ ⋅ r − µ ⋅ ∂n r ⋅ dS + 4π ∫∫ µ ⋅ ∂n r ⋅ dS + Φ ∞ ( P) SB (3.13a) SW türünde bir integralle hesaplanabileceği daha önce görülmüştü. Burada SB katı cidarı, SW hesaba katılmışsa iz sınırlarını, σ ve µ ise katı yüzey ve iz sınırları boyunca bunların etkilerini temsilen yer alan kaynak ve dublelerin şiddetlerini belirtmektedir. P noktasında hız vektörünü potansiyel fonksiyonundan G V (P) = ∇Φ (12.1) şeklinde elde etmek mümkündür. Yukarıdaki bağıntılardan yararlanarak potansiyel fonksiyonunun değerini veya hız vektörünü hesaplayabilmek için kaynak ve duble (veya girdap) şiddetlerini bilmek gerektiği açıktır. İz üzerindeki tekilliklerin şiddetleri genellikle potansiyel akım hesaplamalarına paralel olarak yapılan (viskoz) iz hesaplamalarından elde edilir. Katı cidar boyunca tekilliklerin şiddetini elde edebilmek için ise katı cidar üzerindeki sınır şartından yararlanılarak yazılan bir denklemin çözümüne çalışılır. Ancak bu türden bir denklemde bilinmeyen tekillik şiddetlerinin integral ifadesi içerisinde yer alması çözümü güçleştirir. Bu bakımdan katı cidar panel adı verilen küçük yüzey elemanlarına ayrılarak yukarıdaki ifadeler, örneğin potansiyel fonksiyonu için NB 1 j =1 4π Φ( P) = Φ ∞ ( P) + ∑ 1 ∂ 1 NW 1 ∂ 1 ∫∫ σ ⋅ r − µ ⋅ ∂n r ⋅ dS + ∑ ∫∫ µ ⋅ ∂n r ⋅ dS k =1 4π SB (12.2) SW olmak üzere, toplamlar şeklinde yazılır. Bu durumda da bilinmeyen tekillik şiddetleri halen integraller içerisinde olduğundan çözüm güçlük gösterir. Bu bakımdan panel geometrileri ve panel boyunca tekillik şiddetlerinin dağılımları için yapılan özel kabullerle tekillik şiddetleri integral dışına alınarak NB ( ) Φ( P) = Φ ∞ ( P) + ∑ A j σ j + B j µ j + Φ W ( P) (12.3) j =1 türünde ifadeler elde edilir. Burada Aj ve Bj büyüklükleri sadece panel geometrisine bağlı integrallerden ibaret olan katsayıları, σj ve µj ise j inci panel üzerindeki tekillik şiddetini ve dağılımını temsil eden bilinmeyenleri belirtmektedir. Benzeri bağıntıları hız bileşenleri için de yazmak mümkündür. M.A. Yükselen, UCK 419 Hesaplamalı Aerodinamik 2007-2008 Güz dönemi ders notları Üç-boyutlu panel yöntemleri 12-2 Bu tip bağıntılar paneller üzerinde seçilen kontrol noktalarında yazılıp katı cidar sınır şartı da uygulanarak tekillik şiddetleri için lineer denklemler elde etmek ve bu denklemleri standart yöntemlerle çözerek tekillik şiddetlerini hesaplamak mümkündür. Literatürde iki-boyutlu halde olduğu gibi panel geometrisinin türüne, tekillik dağılımının cinsine, sınır şartına bağlı olarak farklı panel yöntemleri görülmektedir. Bu bölümde önce üç-boyutlu panel yöntemlerinin genel yapısına bakılacak, ardından bazı özel panel yöntemleri tanıtılacaktır. 12.2 Panel yöntemlerinin genel yapısı Üç-boyutlu panel yöntemlerinin genel aşamaları da iki-boyutlu haldekine benzerdir: - Serbest akım bilgileri - Cismin geometri bilgileri Panel özelliklerinin hesaplanması Lineer denklem takımının katsayılarının hesaplanması Lineer denklem takımının çözümü Hızların hesaplanması Aerodinamik katsayıların hesaplanması 12.3 Serbest akım ve cismin geometri bilgileri Pratikte herhangi bir potansiyel akım problemi genellikle cisme bağlı bir eksen takımında incelenir. Yani cismin koordinatları ve serbest akım doğrultusu cisme bağlı bir eksen takımında verilir. Panel yöntemleri için cisim yüzeyi panel adı verilen küçük elemanlara ayrılır. Φ (P) x z y U∞ Serbest akım hızı V∞ ve cisme bağlı eksen takımındaki bileşenleri Vx, Vy ve Vz olmak üzere hız vektörü M.A. Yükselen, UCK 419 Hesaplamalı Aerodinamik 2007-2008 Güz dönemi ders notları Üç-boyutlu panel yöntemleri 12-3 G G G G V∞ = V∞x i + V∞y j + V∞zk z Vz şeklinde tanımlanabilir. Aerodinamik uygulamalarında genel olarak şekilde görüldüğü gibi hız vektörünün x ekseniyle düşey x-z düzleminde yaptığı α açısı hücum açısı olarak, yatay x-y düzleminde yaptığı β açısı ise yanlama açısı olarak adlandırılır. Buna göre hız bileşenleri için sırasıyla V∞ Vy α V ∞ x = V ∞ cos α cos β y β Vx V ∞ y = V ∞ cos α sin β x V ∞ z = V ∞ cos β sin α yazmak mümkündür. Öte yandan serbest akım hız vektörünün eksenlerle yaptığı açıların kosinüsleri, yani kosinüs direktörleri sırasıyla cosαv, cosβv ve cosγv ile belirtilirse V∞ x = V∞ cos α v V∞ y = V∞ cos β v V∞ z = V∞ cos γ v cos α v = cos α cos β → cos β v = cos α sin β (12.4) cos γ v = cos β sin α olduğu görülür. Serbest akım hızının herhangi bir noktadaki hıza katkısını bulmak için yukarıdaki bağıntılar yeterlidir. Ancak serbest akım hızının herhangi bir panelin kontrol noktasındaki hıza katkısı bulunurken bu panele bağlı bir teğet-normal eksen takımında ifade edilmesi uygun olur. Ayrıca bir panel üzerindeki tekillik dağılımının bir başka panelin kontrol noktasında oluşturacağı etkilerin hesabı için panele bağlı bir eksen takımının kullanılması daha uygun olur. Bu nedenle panel yönteminin pratik uygulaması sırasında öncelikle ve daha ziyade geometrik hesaplamalar ve eksen takımı dönüşümleriyle ilgilenmek gerekmektedir. 12.3.1 Panele bağlı eksen takımının oluşturulması Cisim üzerindeki panellerden herhangi birini ele alalım. Panel köşe noktalarının koordinatları n P2(x2,y2,z2) Pk(xk,yk,zk), k=1,2,3,4 olsun (Bazı hallerde panel köşe sayısının 3 alınması gerekebilir). Bu noktalar cisme dışarıdan panel normali yönüne zıt yönde bakıldığında saat ibreleri yönünde sıralanmış olsun. z P1(x1,y1, y1) P3(x3,y3,z3) y x P4(x4,y4,z4) Panellerin eğrisel yüzeyler şeklinde seçildiği yüksek dereceden panel yöntemleri şimdilik kolaylık açısından hariç tutularak sadece düzlemsel panellerle ilgilenilecektir. Böyle bir panel için panele bağlı eksen takımının iki ekseninin panel düzleminde ve üçüncüsünün de panel M.A. Yükselen, UCK 419 Hesaplamalı Aerodinamik 2007-2008 Güz dönemi ders notları Üç-boyutlu panel yöntemleri 12-4 normali doğrultusunda olduğu, ayrıca eksen takımının başlangıç noktasının panel ağırlık merkezinde yer aldığı kabul edilecektir. Panele bağlı eksen takımının eksenlerini (ξ,η,ζ) olarak isimlendirelim. Bunlardan ζ ekseni normal doğrultuda olsun. Panel yüzeyindeki diğer eksenlerden birisi özel şartlarda seçilirse diğeri buna dik olacak şekilde kolaylıkla tanımlanır. ξ eksenini panel merkezinden geçen 1 ve 3 köşe noktalarından geçen doğrultuya paralel ve 1-3 yönünde tanımlayalım. Bu doğrultuyu istenilen başka doğrultularda da (örneğin 1-2 köşeleri arasındaki doğrultuda) almak mümkündür. P2(ξ2,η2,0) ζ P(x,y,z) η n P1(ξ1,η1,0) r P3(ξ3,η3,0) C(0,0,0) z ξ dS y P4(ξ4,η4,0) x Bu eksen takımında panel köşe noktaları da Pk(ξk, ηk,0), k=1,2,3,4 şeklinde adlandırılmaktadır. Panel yöntemiyle hesaplamalar için öncelikle: - Panel köşe noktalarının panele bağlı eksen takımındaki koordinatlarının, - Herhangi bir i ’inci panel kontrol noktasının j ’inci panele bağlı eksen takımındaki koordinatlarının elde edilmesi gerekmektedir. Bu hesaplar için de ayrıca - Panel sentroidlerinin, - Panel eksenlerinin cisme bağlı eksen takımındaki kosinüs direktörlerinin bilinmesine gerek vardır. Bütün bu hesapların kolaylıkla yapılabilmesi için vektörlerin skaler ve vektörel çarpma özelliklerinden yararlanılacaktır. İki vektörün skaler çarpımı z Cisme bağlı koordinat sisteminde iki vektör V1 G G G G V1 = a1 i + b1 j + c1 k G, G G G V 2 = a 2 i + b2 j + c 2 k şeklinde olsun. İki vektörün skaler çarpımı, aralarındaki açı θ olmak üzere genel olarak V1 θ x M.A. Yükselen, UCK 419 Hesaplamalı Aerodinamik 2007-2008 Güz dönemi ders notları V2 y Üç-boyutlu panel yöntemleri 12-5 G G G G V1 ⋅ V2 = V1 ⋅ V2 cos θ şeklinde tanımlanır. Öte yandan bu vektörleri şiddetleri ve skaler çarpımları bileşenleri cinsinden sırasıyla G V1 = d 1 = a12 + b12 + c12 , G V2 = d 2 = a 22 + b22 + c 22 , G G V1 ⋅ V2 = a1 a 2 + b1 b2 + c1 c 2 şeklinde yazılabilir. Bunlar önceki bağıntıda kullanılarak G G V1 ⋅ V2 a a + b1b2 + c1 c 2 cos θ = G G = 1 2 d1d 2 V1 ⋅ V2 elde edilir. Bu bağıntı cos θ = cos α 1 cos α 2 + cos β 1 cos β 2 + cos γ 1 cos γ 2 (12.5a) şeklinde de düzenlenebilir. Burada a1 = cos α 1 , d1 b1 = cos β 1 , d1 c1 = cos γ 1 d1 a2 = cos α 2 , d2 b2 = cos β 2 , d2 c2 = cos γ 2 d2 (12.5b) büyüklükleri vektörlerin cisme bağlı eksen takımındaki kosinüs direktörleri, yani eksenlerle yaptıkları açıların kosinüsleridir. Skaler çarpma ayrıca bir vektörün diğeri üzerindeki izdüşümü ile ikinci vektörün şiddetinin çarpımı olarak da değerlendirilebilir. İki vektörün vektörel çarpımı G i G G V2 × V1 = a 2 a1 G j b2 b1 c13 G a13 i − c12 a12 = (b13 c12 V1 V1 G k c2 c1 V2 x yazılabilir. Bu determinat hesaplanarak G G b V2 × V1 = 13 b12 V2×V1 z Aynı vektörlerin vektörel çarpımı için matris formda b13 G k b12 G G − c12 a13 ) j + (a13 b12 − a12 a13 ) k c13 G a13 j+ c12 a12 G − b12 c13 ) i + (c13 a12 y (12.6) elde edilir. Çarpımın sonucu yeni bir vektör olup bu vektör çarpılan iki vektörün oluşturdukları düzleme diktir. Vektörün yönü ise çarpımdaki sıraya bağlıdır. Örneğin şekildeki M.A. Yükselen, UCK 419 Hesaplamalı Aerodinamik 2007-2008 Güz dönemi ders notları Üç-boyutlu panel yöntemleri 12-6 örnekte çarpım sonucu elde edilen vektör sağ el kuralına göre düzlemden yukarıya doğru yönlenmiştir. Bir vektörün başka bir eksen takımına dönüştürülmesi Bir vektör (x,y,z) ve (ξ,η,ζ) eksen takımlarında sırasıyla G G G G V xyz = v x i + v y j + v z k ζ vz Vζ (12.7a) G G G G Vξηζ = vξ eξ + vη eη + vζ eζ ξ (12.7b) vy Vξ z Vη vx şeklinde tanımlanmış olsun. η y Vektörün bileşenleri bir eksen takımında bilindiğinde diğerindeki bileşenleri bulabilmek için eksen takımlarını birbirine bağlayan ilişkiye ihtiyaç vardır. x (ξ,η,ζ) eksen takımındaki eksenlerin birim vektörleri (x,y,z) eksen takımında sırasıyla G eξ = cos α ξ G eη = cos α η G eζ = cos α ζ G i + cos β ξ G i + cos β η G i + cos β ζ G G j + cos γ ξ k G G j + cos γ η k G G j + cos γ ζ k şeklinde tanımlanabilir. Buradaki eksenlerin kosinüs direktörleridir. (12.8) (cosαξ, cosβξ , cosγξ, cosαη,…, cosγζ,) büyüklükleri Bu bağıntılar (12.7b) de kullanılarak ( ( ( G G G G G Vξηζ = vξ eξ + vη eη + vζ eζ = vξ cos α ξ i + cos β ξ G + vη cos α η i + cos βη G + vζ cos α ζ i + cos β ζ ) ) ) G G j + cos γ ξ k G G j + cos γ η k G G j + cos γ ζ k ve (12.7a) ile karşılaştırılarak v x = vξ cos α ξ + vη cos α η + vζ cos α ζ v y = vξ cos β ξ + vη cos βη + vζ cos β ζ (12.9) v z = vξ cos γ ξ + vη cos γ η + vζ cos γ ζ elde edilir Bu dönüşümün tersi yapılmak, yani hız vektörü (x,y,z) eksen takımında bilinip de (ξ,η,ζ) eksen takımında hesaplanmak istenirse, hız vektörünün herbir eksen doğrultusundaki bileşenini bulmak için bu eksene ait birim vektörle skaler olarak çarpılması yeterli olur. Örneğin ξ ekseni doğrultusundaki hız bileşeni için M.A. Yükselen, UCK 419 Hesaplamalı Aerodinamik 2007-2008 Güz dönemi ders notları Üç-boyutlu panel yöntemleri ( 12-7 )( G G G G G G G G vξ = V xyz ⋅ eξ = v x i + v y j + v z k ⋅ cos α ξ i + cos β ξ j + cos γ ξ k ) G G vξ = V xyz ⋅ eξ = v x cos α ξ + v y cos β ξ + v z cos γ ξ (12.10a) bulunur. Benzeri işlemle diğer hız bileşenleri için de G G vη = V xyz ⋅ eη = v x cos α η + v y cos βη + v z cos γ η (12.10b) G G vζ = V xyz ⋅ eζ = v x cos α ζ + v y cos β ζ + v z cos γ ζ (12.10c) elde edilebilir. 12.3.2 Panel sentroidinin koordinatları Panel sentroidinin cisme bağlı eksen takımındaki koordinatları 1 (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) 4 1 y C = (y 1 + y 2 + y 3 + y 4 ) 4 1 z C = (z 1 + z 2 + z 3 + z 4 ) 4 xC = (12.11a) şeklinde hesaplanabilir. Panelin üçgensel olması halinde sentroid koordinatları xC = 1 (x 1 + x 2 + x 3 ), 3 yC = 1 (y 1 + y 2 + y 3 ), 3 zC = 1 (z 1 + z 2 + z 3 ) 3 (12.11b) şeklinde hesaplanacaktır. 12.3.3 Panel eksenlerinin cisme bağlı eksen takımındaki kosinüs direktörleri: Panele bağlı eksen takımında ζ ekseninin panele dik (normal doğrultusunda) ve cisim yüzeyinden dışarıya doğru olacağı daha önce belirtilmişti. Panel üzerindeki herhangi iki vektörün vektörel çarpımı panel yüzeyine dik olacaktır. Buna göre panelin P1, P2 ve P3 köşe noktalarını kullanarak P2(x2,y2,z2) P1(x1,y1,z1) n Pc(xc,yc,zc) → → G P1 P3 × P1 P2 // ζ yazmak mümkündür. ζ ekseni doğrultusunun cisme bağlı eksen takımındaki kosinüs direktörleri M.A. Yükselen, UCK 419 Hesaplamalı Aerodinamik 2007-2008 Güz dönemi ders notları Üç-boyutlu panel yöntemleri 12-8 G G G eζ = cos α ζ i + cos β ζ j + cos γ ζ k (12.12) şeklinde ifade edilirse → → G PP ×PP G G cos α ζ i + cos β ζ j + cos γ ζ k = 1→ 3 1→ 2 P1 P3 × P1 P2 şeklinde hesaplanabileceği görülür. Buna göre, panel üzerindeki vektörler için → P1 P2 = (a12 , b12 , c12 ) , → P1 P3 = (a13 , b13 , c13 ) , a12 = x2 − x1 , b12 = y 2 − y1 , c12 = z 2 − z1 (12.13a) a13 = x3 − x1 , b13 = y 3 − y1 , c13 = z 3 − z1 (12.13b) yazılarak yukarıdaki vektörel çarpım → → G i G j G k b c13 G a13 c13 G a13 b13 G k j+ i− c13 = 13 a12 b12 a12 c12 b12 c12 c12 G G G = (b13 c12 − b12 c13 ) i + (c13 a12 − c12 a13 ) j + (a13 b12 − a12 b13 ) k P1 P3 × P1 P2 = a13 a12 b13 b12 veya daha kısa bir gösterimle düzenlenerek → → G G G P1 P3 × P1 P2 = ζ x i + ζ y j + ζ z k ζ x = B13 C12 − B12 C13 ζ y = C13 A12 − C12 A13 (12.14) ζ z = A13 B12 − A12 B13 şeklinde yazılabilir. Vektörün şiddeti → → P1 P3 × P1 P2 = d = ζ x2 + ζ y2 + ζ z2 (12.15) olup, panel ζ ekseninin kosinüs direktörleri için sonuçta cos α ζ = ζx d , cos β ζ = ζy d , cos γ ζ = ζz d (12.16) elde edilir. Panelin, P1P3 doğrultusuna paralel seçileceği daha önce belirtilmiş olan ξ ekseninin kosinüs direktörleri de M.A. Yükselen, UCK 419 Hesaplamalı Aerodinamik 2007-2008 Güz dönemi ders notları Üç-boyutlu panel yöntemleri 12-9 G G G G eξ = cos α ξ i + cos β ξ j + cos γ ξ k (12.17) şeklinde ifade edilirse → G PP G G cos α ξ i + cos β ξ j + cos γ ξ k = 1→ 3 P1 P3 şeklinde hesaplanabileceği görülür. Buradaki vektör için daha önce (12.13b) ile → P1 P3 = (a13 , b13 , c13 ) , a13 = x3 − x1 , b13 = y 3 − y1 , c13 = z 3 − z1 bağıntısı verilmişti. Vektörün şiddeti de → 2 2 2 P1 P3 = d = a13 + b13 + c13 (12.18) olup, sonuç olarak olan ξ ekseninin kosinüs direktörleri için cos α ξ = a13 , d cos β ξ = b13 , d cos γ ξ = c13 d (12.19) elde edilir. Panel η ekseni diğer iki eksene dik olup, vektörel çarpma özelliğinden yararlanarak G G G eζ × eξ = eη yazılabilir. Veya G G G G eη = cos α η i + cos βη j + cos γ η k (12.20) olmak üzere G i G G G cos α η i + cos βη j + cos γ η k = cos α ζ cos α ξ = cos β ζ cos β ξ G j G k cos β ζ cos β ξ cos γ ζ cos γ ξ cos γ ζ G cos α ζ i − cos γ ξ cos α ξ cos γ ζ cos γ ξ G cos α ζ j+ cos α ξ cos β ζ G k cos β ξ cos α η = cos β ζ cos γ ξ − cos β ξ cos γ ζ cos βη = cos γ ζ cos α ξ − cos γ ξ cos α ζ cos γ η = cos α ζ cos β ξ − cos α ξ cos β ζ M.A. Yükselen, UCK 419 Hesaplamalı Aerodinamik 2007-2008 Güz dönemi ders notları (12.21) Üç-boyutlu panel yöntemleri 12-10 elde edilir. 12.3.4 Panel köşe noktalarının panele bağlı eksen takımındaki koordinatları Panel köşe noktalarından herhangi birinin cisme bağlı koordinat sistemindeki koordinatları Pk (xk , yk , zk) ve panel senroidinin koordinatları da C(xc ,yc , zc) olsun. Bu iki nokta arasındaki vektör → G G G Pc Pk = a ck i + bck j + c ck k (12.22a) şeklinde ifade edilebilir. Burada a ck = x k − xc bck = y k − y c (12.22b) cck = z k − z c ve ayrıca vektörün boyu da → d ck = Pc Pk = a ck2 + bck2 + cck2 (12.22c) dir. Köşe noktasının panele bağlı eksen takımındaki koordinatlarını bulmak için → Pc Pk vektörünün ilgili eksen üzerindeki izdüşümünü almak yeterlidir. Bunun için de vektörün ilgili eksenin birim vektörü ile skaler çarpımı yapılmalıdır. Buna göre: → G → G ξ k = Pc Pk ⋅ eξ η k = Pc Pk ⋅ eη → ξ k = ack cos α ξ + bck cos β ξ + cck cos γ ξ (12.23a) → η k = ack cos αη + bck cos βη + cck cos γ η (12.23b) elde edilir. Köşe noktaları panel üzerinde olduğundan ζ koordinatları sıfır olacaktır. 12.3.5 i ’inci panel kontrol noktasının j ’inci panel eksen takımındaki koordinatları i ‘inci panelin Ci kontrol noktasının (panel sentroidi), j ‘inci panele bağlı eksen takımındaki koordinatlarını bulmak için CjCi vektörünün j ’inci panelin eksenleri üzerindeki izdüşümlerini almak gerekir. → G G G C j C i = A ji i + B ji j + C ji k z ni ζ nj Ci η Cj (12.24a) A ji = X ci − X cj B ji = Yci − Ycj C ji = Z ci − Z cj (12.24b) x M.A. Yükselen, UCK 419 Hesaplamalı Aerodinamik 2007-2008 Güz dönemi ders notları ξ Üç-boyutlu panel yöntemleri 12-11 olup panel eksenlerinin kosinüs direktörleri daha önce tanımlanmıştı. Buna göre Ci kontrol noktasının koordinatları → G → G → G ξ i = C j C i ⋅ eξ η i = C j C i ⋅ eη ζ i = C j C i ⋅ eζ → ξ i = a ji cos α ξ + b ji cos β ξ + c ji cos γ ξ (12.25a) → η i = a ji cos α η + b ji cos βη + c ji cos γ η (12.25b) → ζ i = a ji cos α ζ + b ji cos β ζ + c ji cos γ ζ (12.25c) olarak elde edilir. 12.3.6 Serbest akım hızının panel eksen takımındaki bileşenleri Serbest akım hızının herhangi bir panelin kontrol noktasındaki hıza teğetsel ve normal doğrultulardaki katkılarını bulmak için hız vektörünün bu panel eksenleri üzerindeki izdüşümlerini almak gerekir. Bunun için serbest akım hız vektörünün cisme bağlı eksen takımında G G G G V ∞ = V∞ x i + V∞ y j + V ∞ z k şeklinde tanımlandığı hatırlanır, i ‘inci panele bağlı eksen takımında aynı vektör G G G G V∞ξηζ = V∞ ξ eξ + V∞ η eη + V∞ ζ eζ şeklinde tanımlanırsa ( ( ( )( )( )( G G G G G V∞ ξ = V∞ ⋅ eξ = V∞ x i + V∞ y j + V∞ z k ⋅ cos α ξ G G G G G V∞η = V∞ ⋅ eη = V∞ x i + V∞ y j + V∞ z k ⋅ cos α η G G G G G V∞ ζ = V∞ ⋅ eζ = V∞ x i + V∞ y j + V∞ z k ⋅ cos α ζ G i + cos β ξ G i + cos βη G i + cos β ζ ) ) ) G G j + cos γ ξ k G G j + cos γ η k G G j + cos γ ζ k bağıntılarından V∞ ξ = V∞ x cos α ξ + V∞ y cos β ξ + V∞ z cos γ ξ V∞η = V∞ x cos α η + V∞ y cos βη + V∞ z cos γ η (12.26) V∞ ζ = V∞ x cos α ζ + V∞ y cos β ζ + V∞ z cos γ ζ elde edilir. 12.3.7 Hız bileşenlerinin i ’inci panele bağlı eksen takımına aktarılması Akım hızlarına göre formülleştirilen panel yöntemlerinde j ‘inci panel üzerindeki tekilliklerin bu panele bağlı eksen takımında i ‘inci panel kontrol noktasında indüklediği hız bileşenlerinin i ‘inci panele bağlı eksen takımında ifade edilmesi gerekmektedir. Bunun için hız bileşenlerinin M.A. Yükselen, UCK 419 Hesaplamalı Aerodinamik 2007-2008 Güz dönemi ders notları Üç-boyutlu panel yöntemleri - önce cisme aktarılması, 12-12 bağlı eksen takımına ζi vζj - ardından i ‘inci panele bağlı eksen takımına aktarılması ξi uygun olur. G G G G V j = vξ j eξ j + vη j eη j + vζ j eζ vηj Vξi Ci ζj vξj Herhangi bir j ’inci panel üzerindeki kaynak dağılımının i ’inci panelin kontrol noktasında indüklediği bozuntu hız vektörünü j ‘inci panele, cisme ve i ‘inci panele bağlı eksen takımlarında sırasıyla: Vζi V ηi ηi Cj ηj ξj (12.27a) j G G G G V = vxi + v y j + vz k (12.27b) G G G G Vi = vξ i eξ i + vη i eη i + vζ i eζ i (12.27c) ile gösterelim. Buna göre cisme bağlı eksen takımında hız bileşenleri, örneğin x bileşeni için ( ) G G G G G G v x = V j ⋅ i = vξ j eξ j + vη j eη j + vζ j e ⋅ i G G G vξ cos α ξ i + cos β ξ j + cos γ ξ k + j j j j G G G G = vη j cos α η j i + cos βη j j + cos γ η j k + ⋅ i G G G v cos α ζ j i + cos β ζ j j + cos γ ζ j k ζ j ( ( ( ) ) ) eşitliği düzenlenerek v x = vξ j cos α ξ j + vη j cos α η j + vζ j cos α ζ (12.28a) j şeklinde ve benzeri işlemlerle diğer bileşenler de G G v y = V j ⋅ j = vξ j cos β ξ j + vη j cos βη j + vζ j cos β ζ G G v z = V j ⋅ k = vξ j cos γ ξ j + vη j cos γ η j + vζ j cos γ ζ (12.28b) j (12.28c) j şeklinde elde edilir. i ‘inci panel üzerindeki hız bileşenleri de, örneğin ξ bileşeni için ( ( ) G G G G G G vξ i = V ⋅ eξ i = v x i + v y j + v z k ⋅ ⋅eξ i G G G G G G = v x i + v y j + v z k ⋅ cos α ξ i i + cos β ξ i j + cos γ ξ i k )( ) M.A. Yükselen, UCK 419 Hesaplamalı Aerodinamik 2007-2008 Güz dönemi ders notları Üç-boyutlu panel yöntemleri 12-13 eşitliği düzenlenerek G G vξ i = V ⋅ eξ i = v x cos α ξ i + v y cos β ξ i + v z cos γ ξ i (12.29a) şeklinde ve benzeri işlemlerle diğer bileşenler de G G vη i = V ⋅ eη i = v x cos α η i + v y cos β η i + v z cos γ η i (12.29b) G G vζ i = V ⋅ eζ i = v x cos α ζ i + v y cos β ζ i + v z cos γ ζ i (12.29c) şeklinde elde edilir. 12.3 Atnalı girdap elemanlarıyla taşıyıcı çizgi çözümü İlk örnek olarak taşıyıcı çizgi teorisinin sayısal bir çözümü yapılacaktır. Bu uygulama taşıyıcı çizgi teorisinin sınırlarını gösterecek olup, uygulanacak sayısal çözüm yönteminin kanat ok açısı, dihedral açısı ve hatta kayma etkilerini içerecek biçimde genelleştirilmesi kolaylıkla mümkündür. Burada kolaylık açısından veter doğrultusunda tek girdap kullanılacaktır. Ancak yöntemin daha çok sayıda girdap içerecek biçimde değiştirilmesi mümkündür. Bu yöntem küçük bozuntular teorisi çerçevesinde geçerli olup, bu bakımdan incelenen kanatların açıklık oranlarının büyük (AR>4) olacağı kabul edilecektir. Girdap çizgisi Laplace denkleminin bir çözümü olup, sağlanması gereken tek sınır şartı kanat yüzeyine dik hız bileşeninin sıfır olmasından ibarettir. G ∇ ( Φ∞ + Φ ) ⋅ n = 0 (12.1) Prandtl ‘ın klasik taşıyıcı çizgi teorisinde kanat bir kartezyen eksen takımında x-y düzleminde yer almakta olup, sınır şartı gereği kanada bağlı girdaplarla izdeki girdapların ve serbest akımın indüklediği yüzeye dik hız bileşenleri toplamı sıfır olacaktır: wb + wi + V∞α = 0 Bu problemi çözmek için Şekil 12.1 de görüldüğü gibi at nalı girdap elemanları kullanılacaktır. Bu eleman kanat taşımasını modelleyen bir bağlı girdap (BC) ile izi temsil eden iki yarı-sonsuz girdaptan oluşmaktadır. Girdabın BC kısmı y eksenine paralel olmak zorunda değildir. Ancak izi temsil eden kısımları serbest akıma paralel olmak zorundadır. Böylece girdabı bu kısımlarına herhangi bir aerodinamik yük etkimeyecektir. (12.2) z y C ∞ V∞ B D x Şekil 12.1 M.A. Yükselen, UCK 419 Hesaplamalı Aerodinamik 2007-2008 Güz dönemi ders notları A Üç-boyutlu panel yöntemleri 12-14 Helmholtz kuralının ihlal edilmemesi için aslında bu at-nalı girdap sisteminin sonsuz gerideki A ve D noktaları arasında sistemi halka şekline getiren bir girdap daha bulunmakla birlikte bu girdabın sonsuzda olması nedeniyle kanat üzerindeki etkisi ihmal edilmektedir. Uzak izin serbest akıma paralel olma şartı modelleme zorluğu yaratır. Bu husus Şekil 12.2a da gösterilmiş olup, kaçma girdabı serbest akıma paralel olmak için firar kenarından sonra bükülmek zorunda kalmaktadır. z y z α α α V∞ V∞ x (a) α y (b) x Şekil 12.2 Bir başka olasılık da Şekil 12.2b de görüldüğü gibi firar kenarında bükülmeyip akıma paralel kalan bir at-nalı girdabı almaktır. Hücum açısının çok küçük kabul edilmesi halinde izin Şekil 12.3 de gösterildiği gibi tamamıyla kanat düzlemi içinde (x-y düzleminde) alınması mümkündür. y z 8 7 α 6 n7 n6 5 n5 V∞ n8 ∆y 4 n4 3 n3 x 2 n2 J= 1 n1 Şekil 12.3 M.A. Yükselen, UCK 419 Hesaplamalı Aerodinamik 2007-2008 Güz dönemi ders notları x=∞ Üç-boyutlu panel yöntemleri 12-15 Burada taşıyıcı çizgi modelinin sayısal çözümü amaçlandığından Şekil 12.3 deki küçük hücum açısı kabulüne dayanan model kullanılacaktır. Ancak yöntem 12.2a da gösterilen daha genel haller için de kullanılabilir. Yöntem gereği ince kanat yüzeyi şekil 12.3 de gösterildiği gibi elemanlara (panel) ayrılır. Bu elemanlardan tipik birisi Şekil 12.4 de gösterilmiştir. P (x,y,z) z y C Asılı-girdap modelinin sonucuna dayanılarak burada bağlı girdap kanat hücum kenarından çeyrek veter kadar geriye konulmakta, panel kontrol noktası ise panel hücum kenarından üç-çeyrek veter boyu kadar geride (üç-çeyrek veter noktası) yer almaktadır. Girdabın şiddeti bütün atnalı boyunca sabit olup, pozitif yönü şekilde gösterilmiştir. Kontrol noktası +Γ ) c /4 B ∆b/2 ∆b D → ∞ c /2 c /4 +Γ A → ∞ Şekil 12.4 Yöntemin dayandığı asılı-girdap modelinde iki-boyutlu bir Kutta şartı uygulanmakta olup, bu üç-boyutlu modelde Kutta şartı (yaklaşık bir şekilde) γ FK = 0 (12.3) olmak üzere uygulanmaktadır. Böyle bir eleman için herhangi bir P noktasında indüklenen hız G G G Γ r1 × r 2 v= G G 4 π r1 × r 2 2 G G G G r0 × r1 r0 × r 2 ⋅ G − G r2 r1 (10.115) denklemi at-nalı girdabının her bir parçası için bir kez uygulanarak hesaplanır. Burada küçük bozuntulu taşıyıcı-çizgi yaklaşımı ile yA = yB , yC = yD , xA = xD → ∞ olup ∞ sembolü girdap çizgisinin xA veya xD nın ötesindeki etkisinin ihmal edilebileceği anlamına gelir. Pratikte sonsuz ile kanattan geriye açıklığın en az 20 katı kadar bir mesafe kastedilmektedir. Bu noktada x=∞ da zA =xA sin α ve zD = xD sin α alarak izi serbest akımla aynı doğrultuya getirmek mümkündür. Veya Şekil 12.2a ‘daki gibi kaçma girdabını iki parçaya ayırıp herbir parçanın indüklemesini ayrı hesaplamak mümkündür. Atnalı girdabının üç parçasının indüklemeleri hesaplandıktan sonra bunlar toplanarak bu elemanın toplam indüklemesi elde edilir. G G G G v = v1 + v2 + v3 M.A. Yükselen, UCK 419 Hesaplamalı Aerodinamik 2007-2008 Güz dönemi ders notları (12.4) Üç-boyutlu panel yöntemleri 12-16 İşlemler sırasında at-nalı girdabının kaçma girdabı kollarının indükledikleri aşağı sapma hızlarını bağlı girdap kısmının indüklediği hızdan ayırıp saklamakta yarar bulunmaktadır. Zira bu bilgi daha sonra indüklenmiş sürüklemenin hesaplanmasında kullanılacaktır. G G G v* = v 1 + v 3 (12.5) Ayrıklaştırma ve ağ üretimi Uygulama için kanat başlangıçta açıklık boyunca N adet panele ayrılır. Panel kenarları x eksenine paralel kabul edilmektedir. Şekil 12.3 deki örnekte panel sayısı 8 alınmıştır. Bu aşamada ayrıca Sj panel alanları, nj normal vektörleri ve kontrol noktalarının (xj, yj, zj) koordinatları hesaplanır. Panel düz levha şeklinde alınmışsa normal vektörü G G G n j = sin α j i + cos α j k (12.6) şeklinde hesaplanabilir. Etkileşim katsayıları ve denklem sisteminin çözümü Yüzey sınır şartını sağlamak için herbir panel kontrol noktasında (12.2) denklemi uygulanır. Herhangi bir j inci panel üzerindeki atnalı girdabının herhangi bir i inci panelin kontrol noktasında indüklediği normal hız vij Γj olmak üzere, i ‘inci kontrol noktasında bu denklemin [ vG 11 ] G G G G G Γ1 + v 12 Γ1 + v 13 Γ3 + "" + v 1 N ΓN + V ∞ ⋅ n i = 0 , i = 1,2," , N şeklinde olacağı gösterilebilir. Bu denklem G G A ij = v ij ⋅ n i , G G Ri = V∞ ⋅ n i (12.7) olmak üzere N ∑A i =1 ij Γj = R i , i = 1,2," , N (12.8) şeklinde de düzenlenebilir. Ortaya çıkan denklem sistemi diyagonal baskın bir katsayılar matrisine sahip olup, herhangi bir standart çözüm yöntemiyle (Gauss eliminasyon vb. gibi) çözülebilir. Art işlemler: Basınçlar, aerodinamik yükler, hızlar: Denklem sisteminin çözümü bilinmeyen girdap şiddetlerini verecektir. Herbir bağlı girdabın taşıması Kutta-Joukowsky taşıma kanunu kullanılarak ∆L j = ρV ∞ Γ j ∆y j (12.9) şeklinde hesaplanabilir. Burada ∆yj panelin bağlı girdabının serbest akıma dik doğrultudaki izdüşümüdür. Kanadın toplam taşıması herbir panelin katkılarının toplamına eşit olacaktır. M.A. Yükselen, UCK 419 Hesaplamalı Aerodinamik 2007-2008 Güz dönemi ders notları Üç-boyutlu panel yöntemleri 12-17 İndüklenmiş sürükleme hesabı için indüklenmiş hız esas alınarak KuttaJoukowsky taşıma kanunu bir kez daha yazılırsa z y w8 w7 ∆D j = − ρ wind j Γ j ∆y j (12.10) w6 w5 elde edilir. Burada windj büyüklüğü j ‘inci w4 panel kontrol noktasındaki indüklenmiş hız olup, bütün kaçma girdaplarının bu noktada indükledikleri dikey hız bileşenlerinin toplamına eşittir (Şekil 12.5). x w3 w2 w1 Herbir panele ait indüklenmiş sürüklemeler toplanarak kanada etkiyen toplam indüklenmiş sürükleme elde edilir. Kaçma girdapları Şekil 12.5 İndüklenmiş sürükleme momentum denklemi yardımıyla firar kenarından yeterince uzakta serbest akıma dik Trefftz düzleminde de hesaplanabilir. İze bir kuvvet etkimediğinden kaçma girdapları Trefftz düzlemine dik olacaklardır. Dolayısıyla indüklenmiş hızları iki boyutlu formülle hesaplanabilir. Sonuç olarak herbir kaçma girdabı üzerindeki aşağı sapma hızı wj = − 1 2π x j − xi Nw ∑ i =1 (z − zi ) + ( x j − xi ) 2 j 2 Olur. Burada Nw büyüklüğü kaçma girdaplarının sayısını belirtmektedir. Herhangi bir girdabın kendi üzerindeki indüklemesi sıfır alınacaktır. Kaçma girdap çizgileri üzerindeki aşağı sapma hızları bu şekilde elde edildikten sonra kanadın indüklenmiş sürüklemesi D=− ρ 2 b/2 ∫ −b/ 2 Γ ( y ) w dy = − ρ 2 Nw ∑Γ w j =1 j ind j ∆y j şeklinde bulunur. M.A. Yükselen, UCK 419 Hesaplamalı Aerodinamik 2007-2008 Güz dönemi ders notları (12.10a)
