Güven Aralığı Hesaplamaları

Güven Aralığı
Hesaplamaları
ÖRNEKLER
Standart normal dağılım ile olasılık
hesaplamaları
Standart normal dağılım ile olasılık
hesaplamaları
 1
f ( x)dx  P((   1 )  x (   1 ))  0.6826

 
1
  2
f ( x)dx  P((   2 )  x (   2 ))  0.9546

 
2
  3
f ( x)dx  P((   3 )  x (   3 ))  0.9973

 
3
Normal dağılım eğrisinin standardizasyonu
i 
xi  

xi  X
Örneklemde   i 
s
1

f ( ) d   P ( 1     1)  0.6826
1
2

f ( ) d   P ( 2     2)  0.9546
2
3

3
f ( ) d   P ( 3     3)  0.9973
Örnek 1
 Bir kliniğe belli bir şikayetle gelen hastaların yaşlarının normal
dağılıma sahip olduğu ve ortalamasının 37.5, standart sapmasının ise
7.6 olduğu varsayılırsa, random olarak seçilen bir hastanın 44 yaşından
genç olması olasılığı nedir?
  37.5
  7.6
Z 44 yaş 
x


44  37.5 6.5

 0.86
7.6
7.6
 Standart normal dağılım tablosuna baktığımızda, Z=0.86’nın
0.8051’lik bir olasılık değerine eşit olduğunu görürüz.
Dolayısıyla, rastgele seçilen bir hastanın 44 yaşından genç olma
olasılığı %80.5’tir.
Örnek 2
 Bir önceki örneğin verilerine dayanarak, rastgele
seçilen bir hastanın yaşının 46 ile 54 arasında olması
olasılığı nedir?
46  37.5 8.5

 1.12
7.6
7.6
54  37.5 16.5
Z 54 

 2.17
7.6
7.6
0 ile 2.17 arasındaki alan  0.9850
Z 46 
0 ile1.12 arasındaki alan  0.8686
Fark  0.9850  0.8686  0.1164
P (46  x  54)  0.1164  %11.64 
Güven Aralığı
 Bir örneklemden elde edilen aritmetik ortalamadan /
orandan / varyanstan hareket ederek, populasyon
ortalamasına / oranına / varyansına yönelik tahmini
sınırları verir
 Güven aralığındaki alt ve üst sınırların nedeni,
örneklemler arasındaki değişkenliktir
 Örneklem büyüklüğü arttıkça, güven aralığı daralır
Standart normal dağılımla güven aralığı
 Aritmetik ortalamaya ait teorik örnekleme dağılımının
normal eğriye yakınlaştığını, normal eğri altındaki toplam
alanın %95’inin de -1.96 ile +1.96 sınırları arasında
kaldığını hatırlatalım:
Standart normal dağılımla ortalama için güven
aralığı formulü
 Populasyon aritmetik ortalaması µ’nün %95 güven
aralığı sınırları aşağıdaki gibi ifade edilir:
Genel
 
 
P (( X  Z /2  X )   X  ( X  Z /2  X ))
 n
 n
%90 Güven Araligi
 
 
P (( X  1.65  X )   X  ( X  1.65  X ))  .90
 n
 n
%95 Güven Araligi
 
 
P (( X  1.96  X )   X  ( X  1.96  X ))  .95
 n
 n
%99 Güven Araligi
  
  
P (( X  2.58 
)



(
X

2.58
X


))  .99
 n
 n
Örnek 1
 Glaucoma rahatsızlığı bulunan 60 yaşındaki 200 hastanın
ortalama kan basıncı 140 ve standart sapması 25 olarak
belirlenmiştir. İlgili populasyonun artalama kan basıncı
%95 olasılıkla hangi değerler arasında olabilir?
n  200
X  140
 X  25
Ortalamanin standart hatasi  SH 
X
n
P( X  1.96( SH ))  P(140  1.96(1.77))
Alt sınır  P(140  1.96(1.77))  136.5
Üst sınır  P(140  1.96(1.77))  143.5
136.5   X  143.5

25
 1.77
200
Örnek 1.2
 Bir önceki çalışma eğer 100 hasta ile yapılmış
olsaydı, %95 güven aralığı sınırları ne olurdu?
n  100
X  140
 X  25
Ortalamanin standart hatasi  SH 
X
P( X  1.96( SH ))  P(140  1.96(2.5))
Alt sınır  P (140  1.96(2.5))  135
Üst sınır  P(140  1.96(2.5))  145
135   X  145
n

25
 2.5
100
Örnek 1.3
 Örnek 1.2’deki değerlerle %99 güven aralığının
hesaplanması:
n  100
X  140
 X  25
Ortalamanin standart hatasi  SH 
X
n
P( X  1.65( SH ))  P(140  1.65(2.5))
Alt sınır  P (140  1.65(2.5))  135.88
Üst sınır  P(140  1.65(2.5))  144.13
135.88   X  144.13

25
 2.5
100
Standart normal dağılımla oranlar için güven
aralığı formulü
ps  örneklemdeki oran
qs  1  ps
ˆ p 
ps (1  ps )
n
Genel
P (( ps  Z / 2 ˆ p )  Pp  ( X  Z / 2 ˆ p ))
%90 Güven Araligi
P (( ps  1.65 ˆ p )  Pp  ( ps  1.65 ˆ p ))  .90
%95 Güven Araligi
P (( ps  1.96 ˆ p )  Pp  ( ps  1.96 ˆ p ))  .95
%99 Güven Araligi
P (( ps  2.58 ˆ p )  Pp  ( ps  2.58 ˆ p ))  .99
Standart normal dağılımla oranlar için güven
aralığı: Örnek 1.4
 Bir Anadolu kasabasında, 40 yaş ve üstü 175 kişi random
olarak seçilmiş, %54’ünün (.54) obez olduğu tesbit
edilmiştir. %95 güvenle kasabadaki aynı yaş grubu
populasyonunun obezite oranlarının sınırları nedir?
n  175
ps  0.54
qs  1  0.54  0.46
ps (1  ps )
0.54(0.46)

 0.0377
n
175
P((0.54  1.96  0.0377 )  Pp  (0.54  1.96  0.0377 ))
ˆ p 
0.466  Pp  0.614
%46.6  Pp  %61.4
n<30 ve σ bilinmediği durumlarda
 Sözkonusu değişkenin populasyondaki dağılımının
normal olduğu varsayımıyla, güven aralığı aşağıdaki
gibi ifade edilir:
 sx 
 sx 
P(( X  t , n1 
)   X  ( X  t , n1 
))
 n
 n
 Yukarıdaki ifadede t, hedeflenen güven seviyesine
göre, n-1 serbestlik derecesine karşılık gelen tdağılımı (Student’s t) değeridir.
Student’s t-dağılımı
 Populasyon standart sapması (σ) bilinmediği
durumlarda, örneklemin standart sapması (s) bir
yaklaşım olarak kullanılır
 (σ)’nın yerine (s) yerleştirildiğinde, normal dağılım
yerine t-dağılımı devreye girer
 n<30 olduğu durumlarda, t-dağılımını
kullanabilmek için populasyonun normal dağılıma
sahip olması gerekir
 n>30 olduğu durumlarda ise, normal dağılım
t- dağılımına bir yaklaşım olarak kullanılabilir
(populasyon normal dağılıma sahip olmasa dahi.)
Örnek 2
 Örnek 1.3’teki verilerin n=25 için söz konusu
olduğunu varsayalım; Bu durumda %95 güven
aralığı: n  30
X  140
sx  25
sx
25
 4.56
n
30
P( X  t ,n 1 ( SH ))  P( X  t0.5,301 ( SH ))  P(140  2.045(4.56))
Ortalamanin standart hatasi  SH 

Alt sınır  P(140  2.045(4.56))  130.68
Üst sınır  P(140  2.045(4.56))  149.33
130.68   X  149.33