İÇİNDEKİLER

İÇİNDEKİLER
ORAN VE ORANTI
Oran Kavramı. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Orantı Kavramı.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Orantı Elemanlarının Yer Değiştirmesi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
İçler Dışlar Çarpımı Problemleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Orantıyı Sabitleme-I.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Orantıyı Sabitleme-II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Orantıyı Sabitleme-III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
Uygulama Zamanı 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Üçlü Orantı .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Orantı Denkleştirme.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Orantıda En Az - En Çok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Orantı Yardımıyla Sıralama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Oran – Orantı Denklemleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Birim Değer ile Karşılaştırma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Ölçekleme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Uygulama Zamanı 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Doğru Orantı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ters Orantı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bileşik Orantı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Doğru veya Ters Orantı Sabiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bileşik Orantı Sabiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Orantılı Değişimler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oran – Orantı Problemleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
19
20
21
22
23
24
25
Uygulama Zamanı 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aritmetik Ortalama (AO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
AO'da Eksik Terim ve Terimlere Sayı İlaveleri. . . . . . . . . . . . .
Ağırlıklı Ortalama. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Geometrik Ortalama (GO).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aritmetik ve Geometrik Ortalama İlişkileri. . . . . . . . . . . . . . . . .
Harmonik Ortalama (H.O). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
28
29
30
31
32
33
Uygulama Zamanı-4.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tekrar Zamanı
Çözümlü Test 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Çözümlü Test 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Çözümlü Test 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
DENKLEM KURMA
Matematik Diliyle Yazma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Denklem Çözme: İfade Sırası ve Kat İfadeleri.. . . . . . . . . . . .
Dıdının Dıdısı İfadeleri .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dört İşlem: Elemanları Ve Kullanımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Temel İşlem Becerileri ve Adet Hesaplama . . . . . . . . . . . . . . .
Ölçü Birimleri.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Birim Değer - Kr ve TL Hesabı - Zaman Birimleri. . . . . . . . . .
Bilimsel Formül Denklemleri.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eşitsizlik İfadeleri.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Uygulama Zamanı-5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tekrar Zamanı
Çözümlü Test 1 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Çözümlü Test 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SAYI PROBLEMLERİ
Al Gülüm Ver Gülüm / Para Sayıları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 şer 3 er : Kardeş Payı / Eş Gruplama. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Boş Kalan Sıralar / Merdiven Basamakları . . . . . . . . . . . . . . .
Kız - Erkek ve Evli Çift Mevcudu .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Baş - Ayak Sayısı / Kova Kova Depo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
36
38
40
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
56
58
62
63
64
65
66
Tekrar Zamanı
Çözümlü Test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Çözümlü Test 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sayaç Kullanımı / Getiri Götürü İfadeleri .. . . . . . . . . . . . . . . . .
Gişe Kuyruğu / 2 İleri 1 Geri.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kalanı Değerlendirme / Mesafe Merdiveni. . . . . . . . . . . . . . . .
Artarak İş Bitirme / Yarışı Bitirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Manav – Kırtasiye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
En az - En çok / Kesinlik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tekrar Zamanı
69
73
74
75
76
77
78
Çözümlü Test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Çözümlü Test 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
KESİR PROBLEMLERİ
Kesir İfadeleri / Kesrin Değeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parça Hesabı: Tamamın Kesirleri - Kalanın Kesirleri .. .. . .
Kesrin Kesri Kadarı / Kesir - Tam Parça İlişkisi. . . . . . . . . . . .
Tamın Diğer Kesri / Tamın Bayan Erkek Kesri . . . . . . . . . . . .
Artarak - Azalarak İş Bitirme / Top Sıçraması . . . . . . . . . . . . .
Orta Kayması / Mum Erimesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ekleme Çıkartma / Dara – Net .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tekrar Zamanı
81
85
86
87
88
89
90
91
Çözümlü Test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Çözümlü Test 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
Çözümlü Test 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
YAŞ PROBLEMLERİ
Yıl - Yaş İlişkisi / Yaşlanma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
İki Kişi: Yaşlar Toplamı / Yaşlar Farkı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
İleri - Geri: Yaşlar Toplamı / Yaşlar Ortalaması. . . . . . . . . . . 103
Üç Kardeşler / Eşit Ara ile Doğmuş Kardeşler. . . . . . . . . . . . 104
Yaşına Gelme / Doğduğunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Erken - Geç Doğsaydı / En Az - En Çok . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Uygulama Zamanı-6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Tekrar Zamanı
Çözümlü Test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Çözümlü Test 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Çözümlü Test 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
TABLO VE GRAFİKLER
İstatistiksel Temsil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tablo Okuma.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sütun Grafiği Okuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Değişim Oranı.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Çizgisel Grafikte Değişimi Değerlendirme . . . . . . . . . . . . . . .
Düzgün Artan ya da Azalan Çizgi Grafikleri. . . . . . . . . . . . . .
Kesişecek Grafikler / Kesişip Giden Grafikler . . . . . . . . . . . .
Daire Grafiği. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grafikte Yüzdeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sudoku: Tablo Doldurma / Krigami: Katlama Kesme. . . . .
Uygulama Zamanı-7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tekrar Zamanı
113
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
Çözümlü Test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Çözümlü Test 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Çözümlü Test 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
KONU TESTLERİ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Oran Kavramı
ORAN VE ORANTI
ÖRNEK
Konu Özeti
”” Birçok problem oran ve orantıyla çözüleceği için
problem çözme kabilliyetine temel teşkil eden bu konunun çok iyi bilinmesi gerekir.
”” İki çokluğun bölme yoluyla birbirleriyle karşılaştırılmasına oran denir.
”” a ve b reel sayıları için, a nın b ye oranı;
a
veya a : b şeklinde gösterilir.
b
0, 2 0 - 2
5 π
3
,... birer orandır.
,
,
,
,
,
Örneğin
7 2
5 0, 3 4 - 2
a
Bazı kaynaklarda "a ∈ R – {0} iken
tanımsız
0
0
oran" ve " belirsiz oran" olarak belirtilmektedir.
0
”” Oran Çeşitleri: Birim durumuna göre oranları ikiye
ayırabiliriz.
vv Birimsiz Oran: Aynı cins çokluklar oranlandığında birimleri sadeleşerek birimsiz oranı oluşturur.
Örneğin,
5 cm
8 cm
=
Örneğin,
35 kişilik bir sınıfın 15 i kızdır. Buna göre aşağıdaki
oranları en sade şekliyle belirtiniz.
a) Kızların sınıfa oranı
b) Erkeklerin sınıfa oranı
c) Kızların erkeklere oranı d) Sınıfın erkeklere oranı
ÇÖZÜM 35 kişinin 15 i kız ise 20 si erkektir. Sınıf
mevcudu "S", kız mevcudu K, erkek mevcudu E olsun.
K 15 3
=
= S 35 7
K 15 3
=
= c)
E 20 4
a)
ÖRNEK
b)
d)
E 20 4
=
=
S 35 7
S 35 7
=
=
E 20 4
(Birimli - Birimsiz Oran)
Aşağıdaki oranları birimleriyle birlikte belirtiniz.
a) 70 km/sa hızla giden aracın, 180 km/sa hızla giden
aracın hızına oranı nedir?
b) 70 kg kütleye sahip, 180 cm boyundaki bir kişinin
kütlesinin boyuna oranı nedir?
5
8
ÇÖZÜM
vv Birimli Oran: Farklı cins çokluklar oranlandığında birimleri sadeleşmez ve birimli oran oluşur.
(Oran Belirtme)
45 km 45
=
km/sa
2 sa
2
a)
7 0 km/sa
1. AracınHızı
7
" Birimsiz oran
=
=
2. AracınHızı 18 0 km/sa 18
b)
7 0 kg
7
Kişinin Kütlesi
=
=
kg/cm → Birimli oran
Kişinin Boyu
18 0 cm 18
0,1 gr A, 0,2 gr B ve C maddeleriyle oluşturulan 0,5
gramlık bir karışımı için aşağıdaki oranları en sade haliyle bulunuz.
Kenar, yükseklik, çevre ve alan ölçüleri bilinen bir
üçgen için aşağıdaki oranlardan birimli olanları "li"
birimsiz olanları "siz" ile belirtiniz.
1. A maddesinin B maddesine oranı
7. Kenarın kenara oranı
(
)
2. B maddesinin C maddesine oranı
8. Kenarın yüksekliğe oranı (
)
9. Kenarın alana oranı
(
)
10.Çevrenin alana oranı
(
)
11.Çevrenin kenara oranı
(
)
12.Alanın yüksekliğe oranı
(
)
3. C maddesinin karışıma oranı
4. D maddesinin karışıma oranı
5. A, B ve C maddelerinin toplamının karışıma oranı
6. Karışımın A ile B maddelerinin toplamına oranı
1)
1
2
2) 1
3)
2
5
4) 0
5) 1
6)
5
3
7) siz
8) siz
9) li
10) li
11) siz
12) li
1
Orantı Kavramı
ORAN VE ORANTI
(Orantı Kurma)
ÖRNEK
Konu Özeti
Orantı
”” İki veya daha fazla oranın eşitliğine orantı denir.
oran
oran
?
?
a
c
=
b
d
1 444 2 444 3
Orantı
”” Yazılışları: Kesirli ya da yan yana bölme ile belirtilir.
a c
vv İkili Orantı: = + a: b = c: d
b d
a c e
= = + a: c: e = b: d: f
b d
f
vv Üçlü Orantı:
Dışlar
”” Elemanları: a : b = c : d
c
a c
= m
b d
a ve b nin sırasıyla 2 ve 3 ile orantılı olmasını aşağıdaki
oranlara eşitleyerek belirtiniz.
a)
a
b
b) a : b
c)
a
2
d)
b
a
e) b : 3
ÇÖZÜM
a)
a 2
= b 3
b) a : b = 2 : 3
c)
a b
= 2 3
d)
b 3
=
a 2
e) b : 3 = a : 2
İçler
b
eşitliğine göre aşağıdaki soruyu cevaplandırınız
5
ve belirtilen orantıları tamamlayınız.
a=
1. a ve b nin orantılı olduğu en küçük sayma sayıları
sırasıyla nelerdir?
x : y : z = 10 : 15 : 25 orantısına göre aşağıdaki istenilenleri tespit ediniz ve belirtilen orantıları tamamlayınız.
9. x, y ve z nin orantılı olduğu en küçük sayma sayıları
sırasıyla nelerdir?
2. a : b =
10.Orantıyı kesirli belirtiniz.
3.
a
=
b
11.
4. b : a = 5.
b
=
a+b
12.y : z = 6.
a+b
=
b-a
13.
x+y
=
z
7.
2a
=
3b
14.
z-y
=
x+y
8. b : 5 = 1) 1 ve 5
2
x
=
y
2) 1 : 5
3)
1
5
4) 5 : 1
5)
5
6
6)
3
2
7)
2
15
8) a : 1
9) 2, 3 ve 5
10)
x y z
= =
2 3 5
11)
2
3
12) 3 : 5
13) 1
14)
2
5
Orantı Elemanlarının Yer Değiştirmesi
ORAN VE ORANTI
ÖRNEK
Konu Özeti
”” Kesirlerdeki çarpaz çarpımların eşitliği, orantıda içler dışlar çapımı olarak adlandırılır.
İçler
a:b=c:d⇒
a
c
⇒ a·d = b·c
=
b
d
vv
vv
a 2
= orantısına göre aşağıdaki eşitliklerden doğru
b 5
olanları "D" yanlış olanları "Y" ile belirtiniz.
a)
Dışlar
”” Çapraz (içler dışlar) çarpımı sabit kaldığı sürece
orantının elemanları yer değiştirebilir:
a c
= (a·d = b·c) olmak üzere;
b d
a b
=
(a·d = b·c)
c d
2 5
= ^ h
a b
b)
5 a
a+b 7
= ^ h c)
= ^ h
5
b 2
b
ÇÖZÜM Çapraz çarpımlar aynı kaldığı sürece orantının elemanları yer değiştirebilir.
a
2
=
⇒ a·5 = b·2
5
b
d c
=
(a·d = b·c)
b a
(Orantı İfadeleri)
a)
2 5
= & a $ 5 = b $ 2 çapraz çarpımlar aynı (D)
a b
b)
5 a
= & 2 $ 5 = a $ b çapraz çarpım farklı (Y)
b 2
c)
2
a 2 a
= & +1 = +1 &
5
b 5 b
a+b 2+5 7
=
=
(D)
5
5
b
7.
2a 3
= ( )
5
b
a 3
= ( )
b 5
8.
b-a 2
= ( )
a
3
2. a : b = 5 : 3 ( )
9.
10a 3
= ( )
10b 5
3.
a b
= ( )
3 5
10.
a
3
=
( )
4b 20
4.
5 b
= ( )
3 a
11.
a + 2b 8
= ( )
5
b
5.
b a
= ( )
3 5
12.
5
a
+ 1 = ( )
3
b
6.
a+b 8
= ( )
5
b
13. 5 ·
b d
=
(a·d = b·c)
a c
”” Orantının her iki tarafına eşitliğin korunumu ilkesine göre aynı işlemler uygulanabilir.
a c
= iken;
b d
a
c
c " bm c " dm
"m = "m &
=
vv
b
d
b
d
vv
a
c
am cm
$m = $m &
=
b
d
b
d
a
c
a
c
'm = 'm &
=
vv
b
d
bm dm
vv
2a - 3b
9
= - olmak üzere aşağıdaki eşitliklerden doğ5
b
ru olanları "D" yanlış olanları "Y" ile belirtiniz.
1.
1) D
2) Y
3) D
4) D
5) Y
6) D
a
= 3 ( )
b
7) Y
8) D
9) D
10) D
11) Y
12) Y
13) D
3
İçler Dışlar Çarpımı Problemleri
ORAN VE ORANTI
ÖRNEK
Konu Özeti
”” Orantıda içler dışlar çarpımı olarak bilinen çarpraz
çarpımı uygulayabilmemiz için iki kesrin eşitliği elde
edilmelidr. Örneğin;
ÇÖZÜM
a
a + bc d
+c = d &
=
1
b
b
”” Dördüncü Orantılısı: a, b ve c nin dördüncü orantılısı;
a c
= orantısındaki x tir.
b x
y
x - 3y y
x y
= &
= & 2x - 6y = 3y & 2x = 3y + 6y
3 1
2
3
2
(3)
2x = 9y &
”” Orta Orantılısı: a ile b nin orta orantılısı;
ÖRNEK
a x
= orantısındaki x tir.
x b
x 9
= yani x ile 9 ve y ile 2 orantılıdır.
y 2
(Dördüncü Orantısı)
2, 3 ve 6 nın dördüncü orantılısını bulunuz.
ÇÖZÜM
(Çapraz Çarpım)
ÖRNEK
(İki Kesrin Eşitliği)
y
x
- y = olduğuna göre x ile y nin orantılı olduğu en
3
2
küçük pozitif doğal sayıları bulunuz.
2 6
= & 2x = 3 $ 6 & 2x = 18 & x = 9
3 x
a+b 3
= ise a ile b nin orantılı olduğu en küçük doğal
b-a 2
sayıları bulunuz.
ÇÖZÜM
ÖRNEK
(Orta Orantılısı)
4 ve 9 un orta orantılısını bulunuz.
a+b 3
= & 2a + 2b = 3b – 3a ⇒ 2a + 3a = 3b – 2b
b-a 2
a 1
⇒ 5a = b ⇒ = yani a ile 1 ve b ile 5 orantılıdır.
b 5
1. Aşağıdaki verilen ifadelere göre
nuz.
a) 4x = 5y
b) 2x – 3y = 4x + y
c)
x
oranını buluy
ÇÖZÜM
4 x
= & x2 = 4 $ 9 & x2 = 36 & x = 6 ya da x = –6 dır.
x 9
2. Aşağıdaki verilenlerin dördüncü orantısını bulunuz.
a) 3, 6 ve 4
b)
2 , 6 ve
c)
3
2,3
ve 8
3 2
d) 0,5 , 0,8 , 0, 9
x+y 3
=
x
5
3. Aşağıdaki verilenlerin orta orantısını bulunuz.
d)
x
3
=
x-y 2
a) 3 ve 12
c) 5 ve 9
e)
y
x
- 2y = 3x +
2
3
b) 0,4 ve 1,6
d) 2 ve 3 - 5
1) a)
4
5
4
b) –2
c) -
5
2
d) 3
e) -
14
15
2) a) 8
3) a) " 6
b) 3 6
b) ±0,8
c) 18
c) " 3 5
d) 1,6
d) ± ^ 5 - 1 h
Orantıyı Sabitleme – I
ORAN VE ORANTI
ÖRNEK
Konu Özeti
a c e
= = = k orantısındaki k ye orantı sabiti denir.
””
b d
f
”” Orantı Sabiti Cinsinden Yazma:
a
= k & a = bk;
b
c
= k & c = dk;
d
(Sabit Orantılar)
a + 2b
= 2 olduğuna göre aşağıdakilerin değerini bulunuz.
2b - a
a)
b-a
a+b
ÇÖZÜM
e
= k & e = fk
f
b)
a$b
a2 + b2
a + 2b 2
= & a + 2b = 4b – 2a ⇒
2b - a 1
a + 2a = 4b – 2b ⇒ 3a = 2b ⇒
a x
= & a ile x ve b ile y orantılıdır.
b y
Yani a = xk ve b = yk dır.
a = 2k ve b = 3k dır.
””
Çünkü;
1.
a x a b a b
= & = & = = k dır.
x y
x y
b y
a)
k1
b - a 3k - 2k
1
=
=
=
a + b 2k + 3k 5 k 1 5
b)
6 k2
2k $ 3k
6k2
6
a$b
=
=
=
=
a2 + b2 (2k) 2 + (3k) 2 4k2 + 9k2 13 k2 1 13
1
a 3
= olduğuna göre aşağıdaki ifadelerin eşitini
b 5
bulunuz.
2.
x + 3y 3
= olduğuna göre aşağıdaki ifadelerin
2x - y 2
eşitini bulunuz.
a)
a+b
=
b
e)
3a
=
a-b
a)
x
=
y
e)
2x
=
x + 3y
b)
a
=
b-a
f)
3a + 2b
=
2a - 3b
b)
x
=
x+y
f)
3x - y
=
2x + y
c)
a+b
=
a-b
g)
a$b
=
a2 + b2
c)
x+y
=
x-y
g)
2a + b
=
2a - b
h)
b2 - a2
=
a·b
d)
3x + y
=
x + 2y
h)
d)
1) a)
8
5
b)
3
2
c) –4
d) 11
e) -
9
2
f) -
19
9
g)
a 2
= &
b 3
15
34
h)
16
15
2) a)
9
4
b)
9
13
c)
13
5
d)
31
17
xy
x2 + y2
xy
x - y2
e)
2
6
7
f)
=
=
23
22
g)
36
97
h)
36
65
5
Orantıyı Sabitleme – II
ORAN VE ORANTI
ÖRNEK
Konu Özeti
a c e
= = = k orantısına göre m ≠ 0 ve n ≠ 0 ise;
b d
f
””
vv
m $ a c: n e
=
= = k (genişletme - sadeleşme)
m $ b d: n
f
vv
a+c+e
=k
b+d+f
f
vv
ma + nc
=k
mb + nd
c
a$c$e
= k3
vv
b$d$f
bk + dk + fk k (b + d + f)
=
= kp
b+d+f
(b + d + f)
b)
2a
=
2b
d: ^- 3h
&
2.
3.
c)
3a
=
b
i)
a·d
=
b·c
d)
d
=
c
j)
a3
=
b3
e)
b
=
2a
k)
2a2 - 3c2
=
2b2 - 3d2
f)
- 5b
=
3d
l)
a · c2
=
b · d2
4.
2a + 3c
=
2b + 3d
1) a) k
b) k
I) k2
6
m)
c) 3k
i) 1
d)
1
k
j) k3
e)
k) k2
xc + 3a
a c
= k olduğuna göre d
= = k orantısı için
3b - 5
b d
nin x cinsinden eşiti nedir?
1
a b c 2
= = = orantısı veriliyor.
x y z 3
kaçtır?
3d3 - 2b2 · d
=
3c3 - 2a2 · c
2k
a · c + 2c2 - 3e2
a c e
= = = 2 olduğuna göre
ifadesi
b d
f
b · d + 2d2 - 3f2
kaça eşittir?
3a – 2b + c = 8 ve z – 2y = 5 olduğuna göre x in değeri
5.
g)
2a - c
= k ⇒ d = –3 tür.
2b - d
8
+3
a·c
=
ı)
b·d
=
ÇÖZÜM
7d - 9b
=
7c - 9a
h)
c: ^- 3 h
2a - c
= k olduğuna göre d yi bulunuz.
2b + 3
a c
2a - c
= =k&
=
=k
b d
2b - d
k k k
a$c$e
= k $ k $ k = k3 m
c
b$d$f
a c
= = k olduğuna aşağıdaki ifadelerin k cinsinden
b d
eşitini bulunuz. (k ∈ R – {0})
a)
a c
= = k orantısı veriliyor.
b d
ma nc
ma + nc
=
=k&
= km
mb nd
mb + nd
vv n ∈ N+ için;
a n
c n
e n
an + cn + en
= kn cc m = c m = c m = kn m
b
d
f
bn + dn + fn
1.
(Orantı Sabitleme)
f) l) k3
5k
3
m)
g) k
1
k
3
h)
3a - 5b a + 2c 2c + b
=
=
olduğuna göre a : b : c
a-c
a-b
3c - b
oranının eşiti nedir?
1
k
2) -
5
x
3) 4
4)
7
3
5) 12 : 4 : 5
Orantıyı Sabitleme – III
ORAN VE ORANTI
ÇÖZÜM
Konu Özeti
”” Bir orantının elemanlarından elde edilen başka oranların değeri, orantı sabiti ve orantı özellikleri kullanılarak bulunabilir. Örneklerle açıklayalım.
5
a
a c
= olmak üzere a2 + b2 = 45 ve c2 + d2 = 5 ise
c
b d
nin pozitif değerini bulunuz.
a x
= orantısına göre aşağıdaki oranların x ve y
b y
cinsinden eşitini bulunuz.
a)
a2 + b2 = 45 & (ck) 2 + (dk) 2 = 45 & c2 · k2 + d2 · k2 = 45
.
.
c·k d·k
& k2 (c2 + d2) = 45 ⇒ k2 = 9 ⇒ k = ±3 tür.
>
ÖRNEK
1.
a c
= & a = ck ve b = dk dır.
b d
a
=
a+b
c)
?
O halde, a = c · k olduğundan
a
a = c · 3 & = 3 bulunur.
c
3.
1 2
= olmak üzere y2 – x2 = 15 olduğuna göre x · y
x y
çarpımı kaça eşittir?
a-b
=
a+b
4. x =
b)
a
=
a-b
d)
3
y z
= olduğuna göre 3y2 – 4xz ifadesi kaça
2 3
eşittir?
a + 2b
=
3b - a
5.
x-y
a
a + 2b
2.
olduğuna göre
nin x ve y cinsinden
=
b
3a - b 2x + y
eşiti nedir?
xy xz yz
1 1 1 1
=
=
ve + + = olduğuna göre y nin
x y z 2
5
7
9
değeri kaçtır?
6. x ve y pozitif tamsayıları için
x y
8
= =
olduğuna
4 6 y-x
göre x + y toplamı kaçtır?
1) a)
x
x+y
b)
x
x-y
c)
x-y
x+y
d)
x + 2y
3y - x
2)
3x + y
x - 4y
3) 10
4) 0
5) 6
6) 20
7
Uygulama Zamanı
Uygulama – 1
1. 0,2 gr A, 0,4 gr B ve 0,6 gr C maddelerinden oluşan karışım için aşağıdaki oranları bulunuz.
3. x2 – 1, x – 1 ve x + 1 nin dördüncü orantısının eşiti
nedir?
a) A maddesinin B maddesine oranı
4.
b) A maddesinin karışıma oranı
c) Karışımın A ve B maddelerinin toplamına oranı
d) A ve C maddelerinin toplamının karışıma oranı
2. Aşağıdaki verilen ifadelerde
5.
6 - 4 2 ile
kaçtır?
6 + 4 2 sayılarının orta orantısı
2a - b
2
= için aşağıdaki verilen ifadelerin
3a + 2b 5
eşitini bulunuz.
a)
a
=
b
e)
2a + 5b
=
3a - 2b
b)
a+b
=
b
f)
2a2 - b2
=
b2
c)
2a - 3b
=
2b
g)
a2 + b2
=
ab
d)
a+b
=
a-b
h)
a · b + 3b2
=
a2 - b2
a
oranını bulunuz.
b
a) 3a = a + 4b
b) 2a – 5b = 4a + b
c)
a+b 3
= a-b 7
b a
d) a + = + b 3 4
1
2
b)
2) a) 2
b) –3
1) a)
8
1
6
c) 2
c) -
5
2
d)
d)
8
9
2
3
4) ± 2
3) 1
5) a)
9
4
b)
13
4
c)
3
4
d)
13
5
e) 2
f)
73
8
g)
97
36
h)
84
65
6.
a c e
= = = 3 orantısına göre aşağıdaki ifadeleb d
f
rin değerini bulunuz.
a)
2a - e
=
2b - f
e)
5f + 2d - a
=
5e + 2c - b
b)
3c - a - 2e
=
3d - b - 2f
f)
a·c·e
=
b · d· f
c)
a·c
=
b·d
g)
a2 + 2c2
=
b2 + 2d2
d)
c·f
=
d· e
h)
3f2 - 2bd
=
3e2 - 2ac
10. x =
y+z
3 5
=
ve
= 32 olduğuna göre x · y · z
y z
x
çarpımının pozitif değeri kaçtır?
11.
1
2
3
98
=
=
ve a2 + b2 + c2 =
olduğuna göre c
3
ab bc ac
nin negatif değeri kaçtır?
12.
a+1 b+2 c+3
=
=
ve a + b + c = 39 olduğuna
2
3
4
göre a nın değeri kaçtır?
7.
1
x y z
= = = - , 4a – 2c = 14 ve 6x+9y – 3z = 12
a b c
2
olduğuna göre b nin değeri kaçtır?
a c
a+b
b+d
=
ve
= 3 olduğuna göre
oranının
b d
c+d
b-d
değeri kaçtır?
13.
8.
2a + b 2b + c 2c + a
a+b
=
=
eşitliğine göre
oraa+c
c
a+b
b+c
nının değeri kaçtır?
a
a-b x+y
9.
eşitliğine göre
nin x ve y cinsinden
=
b
a+b x-y
eşiti nedir?
6) a) 3
b) 3
c) 9
7) –5
d) 1
8) 2
e)
1
3
f) 27
9) -
g) 9
x
y
h)
14.x ve y pozitif tam sayıları için
y
x
25
=
=
olduğu6 15 y - x
na göre x + y toplamı kaçtır?
1
9
10) 30
11) –2 6
12) 9
13) 2
14) 35
9
Bileşik Orantı Sabiti
ORAN VE ORANTI
ÇÖZÜM
Konu Özeti
”” x ile y doğru ve x ile z ters orantılı ise,
x$z
= k olur.
y
Buradan z ile y nin de doğru orantılı olduğunu anlayabilirsiniz..
ÖRNEK
(Bileşik Orantılı Sabit)
x + 1 ile y – 1 doğru, y – 1 ile z ters orantılıdır. x = 11
iken y = 4 ve z = 2 dir. y = 3 ve z = 4 iken x i bulunuz.
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
x+1
= k dır:
(y - 1) z
x = 11, y = 4, z = 2 ⇒
O halde
11 + 1
=k&k=2
(4 - 1) $ 2
x+1
= 2 dir: y = 3, z = 4 ⇒
(y - 1) $ z
x+1
x+1
= 2 & x = 15 bulunur.
=2&
8
(3 - 1) $ 4
4. (x + 2) sayısı 2b ile ters (c – 1) ile doğru orantılıdır.
x = 3 ve b = 5 iken c = 6 ise x = 3 ve b = 3 iken c kaçtır?
1. a sayısı b ve c ile doğru orantılıdır.
a = 24, b = 4 iken c = 3 ise a = 36, b = 3 iken c kaçtır?
5. x sayısı y2 ile ters ve z – 2 ile doğru orantılıdır.
x = 1, y = 2 iken z = 3 ise x = 3, y = 4 iken z kaçtır?
2. x sayısı y ile doğru z ile ters orantılıdır.
x = 12 ve y = 6 için z = 5 ise x = 8 ve z = 10 için y kaçtır?
6. Bir çifçi tarlasından A, B ve C mahsüllerini kaldırmaktadır. Bu mahsüllerin miktarları ile ilgili olarak aşağıdakiler bilinmektedir.
•• A mahsülünün miktarı ile B mahsülünün miktarı doğru
orantılıdır.
•• B mahsülünün miktarı ile C mahsülünün miktarı ters
orantılıdır.
3. x sayısı (y – 1) sayısı ile doğru (z + 1) sayısı ile ters
orantılıdır. x = 8 ve y = 5 için z = 5 ise x = 12 ve y = 3
için z kaçtır?
1) 6
2) 8
3) 1
•• A mahsülünden 60 ton kaldırdığında B mahsülünden
8 ton, C mahsülünden 5 ton kaldırılmaktadır.
•• Buna göre bu çifçi tarlasından A mahsülünden 90 ton
C mahsülünden 15 ton kaldırılırsa B mahsülünden kaç
ton kaldırır?
4) 4
5) 14
6) 4
23
Orantılı Değişimler
ORAN VE ORANTI
ÇÖZÜM
Konu Özeti
durumunda sabitlenenler ters orantılırdır.
”” Değişkenler arasındaki orantı çeşidi tespit edilerek
karşılıklı artış ya da azalışlar belirlenir.
ÖRNEK
Tüm orantıyı sabitlersek
a$b
= k olur.
c$d
O halde a ile d doğru orantılılıdır. a artarken orantı sabitinin değişmemesi için d de aynı oranda artar.
a
a, b, c ve d gerçek sayıları arasında, = 2, b · c = 3 ve
b
2c = 3d bağıntıları vardır. Buna göre aşağıdakilerden
doğru olanları "D" yanlış olanları "Y" ile belirtiniz.
a) a artarken b artar. (
)
b) a artarken c artar. (
)
c) a azalırken d artar. (
2c = 3d &
c 3
= olduğundan c ile d doğru orantılıdır.
d 2
a) a artarken b artar. DOĞRUDUR
Çünkü a ile b doğru orantılıdır.
b) a artarken c artar. YANLIŞTIR
ÖRNEK
1.
a
= 2 olduğundan a ile b doğru orantılıdır,
b
b · c = 3 olduğundan b ile c ters orantılıdır.
(Orantılı Değişim)
a ile b ters, b ile c doğru, c ile d ters orantılıdır. a artarken b ile c sabit kalırsa d nasıl değişir?
ÇÖZÜM
Bölüm durumda sabitlenenler doğru, çarpım
Çünkü a artarken b artar, b artarken c azalır.
c) a azalırken d artar. DOĞRUDUR
Çünkü a azalırken b azalır, b azalırken c artar, c artarken d artar.
)
a$b
= k ifadesi için aşağıdaki verilenlerden doğru
c$d
olanları "D" yanlış olanları "Y" ile belirtiniz.
a) a ile c doğru orantılıdır. (
2. a, b, c ve d gerçek sayıları arasında
a · b = 2,
4 d
b c
= ve = bağıntıları vardır.
c 5
3 5
Buna göre aşağıdaki tabloda değişkenlerin satır ve sü-
)
tunlarının kesiştiği bölgede aralarındaki orantı çeşitini
doğru orantılı ise "DO", ters orantılı ise "TO" yazarak
b) b ile d ters orantılıdır.
(
)
c) b ile c doğru orantılıdır. (
)
belirtiniz.
d
c
d) c ile d ters orantılıdır.
(
)
e) a ile b ters orantılıdır.
(
)
f) a ve d sabit iken b artarsa c de artar.
(
)
g) a ve b sabit iken c artarsa d de artar.
(
)
h) b ve d sabit iken a artarsa c azalır.
(
)
b
a
d
c
2)
24
1) a) D
b) Y
c) D
d) D
e) D
f) D
g) Y
h) Y
a
TO
b
DO
TO
TO
TO
DO
Oran – Orantı Problemleri
ORAN VE ORANTI
ÖRNEK
Konu Özeti
”” Problemde, verilen ifadeler arasındaki doğru, ters
veya bileşik orantılar tespit edilip değişim diyagramı
ya da orantı sabiti yardımıyla kurulan denklemler çözülerek istenilen bulunur.
ÖRNEK
(Promosyon Problemi)
Bir kırtasiye, 3 kalem alana 1 kalem bedava vermektedir. 20 kalem alan Özay kaç kaleme para öder?
(Orantıyla Yetinme)
Her askerin eşit miktarda erzak tükettiği 30 kişilik bir
tabura 30 gün yetecek erzak vardır. 5 gün sonra taburun
yarısı birliklerine geri dönerse kalan erzaklar kalan
askerlere kaç gün daha yeter?
ÇÖZÜM 5 gün sonra 30 kişilik tabura 30 – 5 = 25
gün yetecek erzak vardır. Taburun yarısı geri dönünce
kalan 15 kişiye, kalan erzak x gün yeterse
3 kalem alana 1 kalem bedava ise her 4 ka-
Kişi
Gün
lemden 1 i bedavadır. 20 kalemden x tanesi bedava ise
30
25
15
x
ÇÖZÜM
Toplam Kalem
Bedava Kalem
4
1
20
x
Artarken
Azalırken
Artar
T.O.: 15 1 · x = 30 2 · 25 & x = 50 gündür.
Artar
D.O.: 4x = 20 ⇒ x = 5 tir.
Özay, 20 – 5 = 15 kaleme para öder.
1, 1
1
ile orantılı üç gruba ayrılırsa en büve
2 3
4
yük grup en küçük gruptan ne kadar fazla olur?
1. x kişi
2. Bir oduncu bir ağacı 5 parçaya 20 dakikada ayırırsa 4
parçaya kaç dakikada ayırır?
3. Bir kümeste bulunan 50 tavuğa 20 gün yetecek yem
vardır. 4 gün sonra tavukların %20 si telef olursa kalan
yem kaç gün daha yeter?
4. Bir markette 10 bardak alana 3 bardak bedava verilmektedir. 52 bardak alıp 120 ¨ ödeyen Elif'in kazancı
kaç ¨ dir?
5. Arka tekerleğinin yarıçapı ön tekerleğinin yarıçapının
3 katı olan bir traktörün, ön ve arka tekerleği toplam
80 tur döndüğünde ön tekerlek arka tekerlekten kaç tur
fazla dönmüş olur?
6. Çağan, oyuncaklarını 3 ile doğru, 2 ve 4 ile ters orantılı
3 parçaya ayrılıyor. Bu bilgilere ek olarak aşağıdaki bilgilerden hangisi ya da hangileri verilirse her parçanın
adeti bulunabilir?
I. Herhangi bir parçanın adeti
II. Parçaların birbirine oranı
III. Herhangi iki parçanın toplamı
1)
3x
13
2) 15
3) 20
4) 36
5) 40
6) I ve III
25
Uygulama Zamanı
Uygulama – 3
1. a, b ve c sayıları sırasıyla 2, 3 ve 5 ile ters orantıllı
olduğuna göre a, b ve c nin doğru orantılı olduğu
en küçük sayma sayıları sırası ile nedir?
2. A, B ve C maddelerinden oluşan 958 gramlık bir
karışımda A nın iki katı ve B nin iki fazlası sırası ile 4
ve 3 ile doğru orantılı iken C nin altıda biri 2 ile ters
orantılıdır.
Buna göre bu karışımda B maddesinden kaç gram
vardır?
3. 18 askere 30 gün yetecek yiyecek 20 askere kaç
gün yeter?
4. Bir işi 15 işçi 16 günde bitiriyor. Bu işçilere aynı nitelikte 9 işçi daha katılsaydı aynı iş kaç günde biterdi?
7. 4 işçinin günde 6 saat çalışarak 15 günde bitirebildiği bir işi 8 işçi günde 15 saat çalışarak kaç günde
bitirir?
8. 1000 dönümlük tarla 2 traktör ile 5 günde sürülürse,
1500 dönümlük tarla 3 traktör ile kaç günde sürülür? (Traktörlerin çalışma kapasitesi aynıdır)
9. (a + 2) ile 2b doğru orantılıdır. a = 16 iken b = 3 olduğuna göre a = 10 iken b nin değeri kaçtır?
10.x ile y pozitif sayıları ters orantılıdır. x = 6 iken y = 4
olduğuna göre x = 3 iken y nin değeri kaçtır?
5. 120 TL para 6, 8 ve 10 yaşlarındaki kardeşlere yaşları ile orantılı olarak paylaştırılıryor.
11.Bir miktar parayı A, B ve C kişileri sırasıyla 2 ve 3 sayıları ile doğru 5 ile ters orantılı olarak paylaşıyorlar.
A ve C kişilerinin aldığı paraların toplamı 330 lira
Buna göre en küçük kardeş en büyük kardeşten
kaç TL daha az para alır?
6. Bir miktar para yaşları 5, 6 ve 10 olan üç kardeş
arasında yaşları ile ters orantılı olarak paylaştırılıyor.
Ortanca kardeşin payına 10 TL düştüğüne göre
paylaştırılan para kaç TL dir?
26
1) 15, 10 ve 6
2) 358
3) 27
4) 10
5) 20
6) 28
olduğuna göre toplam para kaç liradır?
12.a sayısı b + 1 ile doğru 3c ile ters orantılıdır. a = 6 ve
b = 2 iken c = 4 olduğuna göre a = 8 ve b = 7 iken c
nin değeri kaçtır?
7) 3
8) 5
9) 2
10) 8
11) 780
12) 8
10
5
ve
ile ters
3
12
orantılı olduğuna göre a + b toplamı kaça eşittir?
13.a, b ve a · b sayıları sırası ile 5 ,
17.Üç arkadaşın paylaştıkları misket sayılarının birbirine
oranı bilinmektedir. Bununla birlikte aşağıdakilerden
hangisinin bilinmesi misket sayılarını bulmak için
yeterli değildir?
I. Herhangi iki kişinin misket sayıları farkı.
II. Misktet sayılarının kareleri oranı.
III. Herhangi ikisinin misket sayısının üçüncüsünün
misket sayısına oranı.
1
1
ve bc + sırası ile 6 ve 3 ile doğru orantılı
c
a
a
oranı kaça eşittir?
olduğuna göre
c
14.ab +
3r
18.Şekildeki r ve 3r yarıçaplı dişlilerden
küçük dişli 20 ton fazla döndüğünde
iki dişli toplam kaç tur dönmüş olur?
r
19.
15.2a – 1 ile 3b + 5 ters orantılıdır. a = 3 iken b = –2
olduğuna göre a = –3 iken b kaçtır?
A
B
C
Şekildeki A, B ve C kum saatleri ile ilgili olarak aşağıdakiler bilinmektedir.
16.a + 1, 1 – 2b ile doğru c – 1 ile ters orantılıdır.
a = 2 ve b = 2 iken c = 3 olduğuna göre a = 1 için
oranı kaça eşittir?
13) 20
14) 2
•• Üst bölmelerindeki kumların tamamının boşalma
süreleri 5, 3 ve 2 ile orantılıdır.
c
b
•• Üst bölmedeki kum bitince kum saatleri hiç beklenmeden çevrilmektedir.
Her üç kum saati üstleri dolu olarak aynı anda bırakıldıktan sonra A kum saati 11 kez döndürülüp üst bölmesindeki kum tamamen bittiğinde B ve C kum saatleri toplam kaç kez döndürülmüş olur?
15) -
10
7
16) 2
17) II ve III
18) 40
19) 45
27
Temel İşlem Becerileri ve Adet Hesaplama
ÖRNEK
Konu Özeti
”” Sınavlarda dört işlem, üslü köklü ifadeler, mutlak değer ve çarpanlara ayırma ile kurulan denklemler sıkça sorulan problemlerdir.
”” Adet hesaplama: Bölme işleminden faydalanılır.
ÖRNEK
Bir kültürdeki bakteri sayısı her 1 saatlik süre sonunda
iki katına çıkmaktadır. Başlangıçta 32 bakteri varsa, 10
saatin sonunda kaç bakteri olur?
ÇÖZÜM
15
2 ·2 = 2
(İşlem Becerileri)
İki sayının çarpımı, bu sayılardan birine 3 eklenip diğerinden 3 çıkarılmasıyla elde edilen sayıların çarpımından 6 fazladır. Buna göre, sayı doğrusu üzerinde bu iki
sayı arasındaki uzaklık kaç birimdir?
Sayılar a ve b ise aralarındaki uzaklık
a - b dir. Verilenlere göre denklemi kuralım.
10 kez
2
@ 6 444 7 444 8
32 $ 2 $ 2 $ 2 $ .... $ 2 &
10
20 4 $ 40 8
BütünAlan
= 32 adet.
=
Parça Alan
51$ 51
ÇÖZÜM
Tekrarlı Çarpım
5
5
ÇÖZÜM Dikdörtgen ve karenin alanı birbirine dik iki
kanarının çarpımı olduğunu hatırlayınız.
ÖRNEK
(Tekrarlı Çarpım)
(Adet Hesabı)
Boyutları 20 m ve 40 m olan dikdörtgen şeklindeki halı
saha, bir kenarı 5 m olan kare halılarla döşenecektir. Bu
iş için kaç halı kullanılır?
Adet =
Bütün
Adet =
Eş Parça
DENKLEM KURMA
a·b – (a + 3)(b – 3) = 6 ⇒ ab – (ab – 3a + 3b – 9) = 6 ⇒
ab - ab + 3a – 3b + 9 = 6 ⇒ 3(a – b) = –3 ⇒
bakteri olur.
a – b = –1 ⇒ a - b = 1 birimdir.
Aşağıdaki problemlemlerde istenilenleri bulunuz.
1. Bir kültürdeki bakteri sayısı her bir saatlik süre sonun-
4. Boyutları 70 m ve 100 m olan dikdörtgen şeklindeki
bir arazi kenarları metre cinsinden tamsayı olan en az
kaç kare parsele ayrılabilir?
da 2 katına çıkmaktadır. Başlangıçta 8 bakteri varsa 6
saatin sonunda kaç bakteri olur?
2. 120 metrelik bir kumaş 24 metrelik kaç parçaya ayrı-
5. Bir kenar uzunluğu 800 cm olan kare şeklindeki bir
odanın tamamına kenarları 10 cm ve 50 cm olan dikdörtgen şeklindeki parkelerden kaç tane döşenebilir?
labilir?
3. Sayı doğrusunda 2 sayısına 3 br uzaklıktaki sayıların
6. Boyutları 30 m, 40 m ve 50 m olan bir depoya bir ayrıtı
5 m olan küp şeklindeki konteynerlerden en çok kaç
tane konulabilir?
toplamı kaçtır?
1) 29
2) 5
3) 4
4) 6
5) 1280
6) 480
49
Ölçü Birimleri
DENKLEM KURMA
ÖRNEK
Konu Özeti
2 hektar tarla kaç m2 dir?
”” Birimlerin birbirine çevrilmesi çok iyi bilinmelidir.
vv Sınavlarda verilen ve istenilen birimlerin farklılığından soru doğru çözülse de istenilen birimde
yanıt verilmediği için çok sık hata yapılmaktadır.
”” Birim çevirmelerde 10, 100, 1000, … ile çarpıp bömeden faydalanılır.
”” Genel:
k → kilo, h → hekto, da → deka, d → desi,
(birim = br)
c → santi, m → mili
vv kbr – hbr – dabr – br – dbr – cbr – mbr
2 ha = 20 dönüm = 20000 m2
1 dönüm = 1000 m2
ÖRNEK
ÇÖZÜM
: 10
x 10
”” Alan:
x 10
500 ml süt kaç cm3 tür?
x 10
”” Uzunluk:
(metre = m)
ÇÖZÜM
: 10
km – hm – dam – m – dm – cm – mm
2
2
2
2
2
2
1L = 1 dm2
2
km – hm – dam – m – dm – cm – mm
(metrekare = m2)
x 10
: 100
x 10
ÖRNEK
1355 kuruşluk ürün kaç TL dir?
”” Arazi: hektarı (ha) – dekar (daa) – ar (a)
(ar = a)
: 10
: 10
ÇÖZÜM
vv Dekar = dönüm
: 100
vv Arazi ile alan arası geçiş: 1 dönüm = 1000 m2
x 1000
3
3
3
3
3
: 10
500 mL = 50 cL = 5 dL = 0,5L = 0,5 dm3 = 500 cm3
: 10
x 100
: 10
3
3
1355 kr = 13,55 TL
”” Hacim: km – hm – dam – m – dm – cm – mm
(metreküp : m3)
: 1000
x 10
ÖRNEK
”” Sıvı hacmi: kL – hL – daL – L – dL – cL – mL
(litre = L)
: 10
5 kilogram fındık kaç gramdır?
3
vv Katı hacmi ile sıvı hacmi arası geçiş: 1 dm = 1 L
x 100
x 10
”” Para: Türk Lirası (TL) = Kuruş (kr)
x 10
x 10
5 kg = 50 hg = 500 dag = 5000 g
: 100
Aşağıdaki birimleri bir birine çeviriniz.
Aşağıdaki soruları cevaplandırınız.
1. 5 m = .................... cm
6. 12 hm =................ mm
11.50 arlık tarlanın her 2 dam2 sine 3 fidan dikilecektir.
2. 2,5 km = .............. dm
7. 57000 cm =.............km
3. 20 mA = .................. A
8. 5 km2 = ............. dam2
4. 13 cm = .............. dam
9. 2700 cm2=.............. m2
5. 0,5 kg =..................... g
10.2 m3 = ................. cm3
1) 500
50
ÇÖZÜM
6) 1200000
2) 25000
7) 0,57
3) 0,02
8) 50000
4) 0,013
9) 0,27
Buna göre bu tarlaya kaç fidan dikilebilir?
12.50 hL suyla dolu depo kaç m3 tür?
13.4850 kr tutan alışverişe 50 TL ödenirse kaç TL para
üstü geriye alınır?
5) 500
10) 2000000
11) 75
12) 5
13) 1,5
Birim Değer - Kr ve TL (¨) Hesabı - Zaman Birimleri
ÖRNEK
Konu Özeti
”” Problem çözümlerinde aynı cins birimlerde işlemler
yapıldıktan sonra, istenilen birime çevrilerek sonuç
verilir.
x 100
: 100
”” Zaman Birimleri : Saat
x 60
Dakika
: 60
Saniye
: 60
(Birim Değer)
Kilogramı ¨ 20 olan balın 600 gramı kaç ¨ dir?
AZALIR
Tanesi 50 kr olan kalemlerden 20 TL lik kalem alan bir
kırtasiye, her birinde 4 kalem olan paketler yapıyor.
Kırtasiye, kalemlerinin tamamını paketleyerek paketin
tanesini 5 TL den satarsa tamamını kaç TL ye satar?
ÇÖZÜM
x 60
ÇÖZÜM
(Para Hesabı)
kr
”” Para Hesabı: ¨
ÖRNEK
DENKLEM KURMA
20 ¨
600 gr
x¨
Uzun problem, çok açıklamayla kolay çözümü
getirir.
x 100
Tanesi 50 kr olan kalemlerden 20 TL = 2000 kr ile,
2000
= 40 adet kalem alınmıştır.
50
40
= 10
4 kalemle 1 paket yapılıyorsa 40 kalemle,
4
paket yapılır.
1 kg = 1000 gr dır.
1000 gr Uzun problem, zor probelem değildir.
1 paket 5 TL den satılırsa, 10 paket, 10·5 = 50 TL den
satılır.
AZALIR
D.O.: 1 0 0 0 $ x = 6 0 0 $ 2 0 & x = ¨ 12 dir.
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
6. Tanesi 30 kr olan şekerlemelerden ¨ 6 ye kaç tane
alınır?
1. Kilogramı ¨ 12 olan kuru kayısıdan 600 gr alan bir kişi
kaç ¨ öder?
2. Sabit hızla 1 saatte 120 km yol alan bir araç 20 dakikada kaç km yol alır?
3. Saati ¨ 80 den kiralanan bir aracın 45 dakikalık kirası
kaç ¨ dir?
4. 1 dakikada 200 m koşan bir koşucu temposunu düşürmeden 1 saate kaç km koşabilir?
7. Saatteki hızı 72 km olan bir aracın saniyedeki hızı kaç
metredir?
8. Marketten ¨ 12,25 lik ¨ 10,75 lik ve ¨ 5,5 lik bir üründen alan bir kişi ¨ 50 öderse kaç kuruş para üstü alır?
9. Marketteki alışverişi 32 ¨ 35 kr tutan Levent 50 ¨ ödeme yapmıştır. Kasiyer tam para üstü verebilmek için 35
kr rica etmiş ancak Levent 1 ¨ si olduğunu söylemiştir.
Kasiyer 1 ¨ yi alırsa kaç ¨ para üstü öder?
5. Metresi ¨ 20 olan bir kumaştan 20 cm alınırsa kaç ¨
ödenir?
1) 7,2
2) 40
3) 60
4) 12
5) 4
6) 20
7) 20
8) 2150
9) 18,65
51
Bilimsel Formül Denklemleri
DENKLEM KURMA
ÇÖZÜM
Konu Özeti
Suyun son sıcaklığını bulmak için sıcaklık
değişimi ∆t yi bulmalıyız.
”” Matematik, fen ve diğer bilimsel alanlarda kullanılan
formüller birer denklemdir ve değişkenleri arasındaki
ilişki denklem kurma yöntemleriyle tespit edilir.
Bilimsel formülleri uygularken birimlere dikkat
ediniz.
Öncelikle birimleri uygun birimlere çevirmeliyiz.
Q = 25 kcal = 25000 cal dir.
m = 0,5 kg = 500 gr dır.
Q = m · C · ∆t
⇒ 25000 = 500 · 1 · ∆t
ÖRNEK
Q kalori cinsinden ısı enerjisi, m gram cinsinden kütle,
C madde cinsine bağlı öz ısı ve ∆t Celcius cinsinden
sıcaklık değişimi olmak üzere ısı ile sıcaklık arasındaki
ilişki Q = m · C · ∆t formulü ile hesaplanır.
Bu eşitliği kullanarak 20 °C deki yarım kilo suya 25 kcal
ısı verildiğinde suyun sıcaklığının kaç °C ye çıkacağını
bulunuz. ( Csu = 1 cal/gr °C)
1. Taban ayrıt uzunluğu a, yükseklik uzunluğu h olan dik
bir kare prizmanın yüzey alanı A = 2a2 + 4ah fomülüyle
bulunabilir.
a) Formülü yükseklik uzunluğu h için düzenleyiniz.
b) Taban ayrıt uzunluğu 5 cm ve yüzey alanı 150 cm2
olan kare pirizma şeklindeki kutunun yüksekliği kaç cm
dir?
⇒ ∆t = 50 °C dir.
Sıcaklık değimi 50 °C ise suyun sıcaklığı
20 °C + 50 °C = 70 °C olur.
Sıcaklık ile ısının birbirinden farklı ancak ilişkili olduğuna
dikkat ediniz.
3. Sıcaklık Fahrenheit (F) ve Celcius (C) gibi farklı birimlerle ölçülebilir.
•• Su 0 °C veya 32 °F da donar ve 100 °C veya 212 °F
da kaynar.
•• Fahrenheit ve Celcius arasında doğrusal bir ilişki vardır.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplandırınız.
a) F ile C arasındaki ilişkiyi cebirsel olarak bulup, F için
düzenleyiniz.
2. Sesin havadaki hızı m/sn cinsinden yaklaşık olarak
S = 331,5 + 0,6T formülüyle hesaplanabilir. Formüldeki
T sıcaklığının Celcius cinsinden değeridir.
Sesin havadaki hızı 346,5 m/sn iken hava sıcaklığı kaç
°C dir?
1) a) h =
52
A - 2a 2
4a
b) 5
2) 25
b) Sıcaklık 10 °C iken kaç °F dir.
c) Sıcaklık 5 °F iken kaç °C dir?
3) a) F =
9
C + 32
5
b) 50
c) –15
Eşitsizlik İfadeleri
DENKLEM KURMA
ÇÖZÜM
Konu Özeti
Simitçinin günlük sattığı simit sayısı x olsun,
Fırıncının simitçiye yapacağı günlük ödemeler
”” Verilen sözel ifade, bilinmeyeni ile birlikte uygun işlemler ve eşitsizlikler (>, <, ≥, ≤) kullanılarak matematik cümlesine dönüştürülüp oluşan eşitsizlik çözülür.
1. ödeme; 60 ¨ dir.
2. ödeme; 40 ¨ + 0, 25 · x ¨ dir.
;
25 kuruş
ÖRNEK
2. ödemenin daha kazançlı olması için;
Bir fırın, seyyar simitçilerine iki türlü ödeme yapmaktadır. Birinci ödeme günlük ne kadar satış yaparsa yapsın
60 ¨ dir. İkinci ödeme ise 40 ¨ sabit ve simit başına 25
kuruş prim şeklindedir. Bir seyyar simitçinin günlük en
az kaç simit satışına kadar ikinci ödemeyi tercih etmesi
daha kazançlıdır?
1. 2 katının 3 eksiği 51 den küçük olan en büyük tam sayı
kaçtır?
60 < 40 + 0,25 · x ⇒ 20 < 0,25x
& 20 <
1
25 x
100 4
& 80 < x olmalıdır.
O halde, simitçi 80 simitten fazla yani en az 81 simit
sattığında ikinci ödeme daha kazançlıdır.
5. Bir iş yerindeki çalışanların maaşlarına ya %6 ya da
150 ¨ olmak üzere iki çeşit zam yapılacaktır. Maaşı
kaç ¨ ye kadar olanların 150 ¨ lik zammı tercih etmeleri daha kazançlıdır?
2. 5 katının 16 fazlası 2 katının 15 eksiğinden büyük olan
en küçük tamsayı kaçtır?
6. Aşağıdaki tabloda A ve B GSM öperatörlerinin aylık
ücretlendirme tarifeleri verilmiştir.
3. 2 katının 1 eksiği; 4 katının 9 eksiğinden büyük, 6
katının 7 fazlasından küçük küçük olan kaç tamsayı
vardır?
Operatör
Sabit
Sabite Dahil
Süre
Dakika Aşımında
Dakika Ücreti
A
45 ¨
1000 dk
0,5 ¨
B
35 ¨
500 dk
0,4 ¨
A operatörü kullanan Anıl ile B operatörünü kullanan
Burcu dakika aşımına uğrayarak aynı süre konuştukları
bir ayda en az kaçar dakika konuşurlursa Anıl'ın faturası Burcu'nun faturasından daha yüksek gelir?
4. Karesinin 3 katının 5 eksiği 120 den küçük olan
en büyük tamsayı kaçtır?
1) 26
2) –10
3) 5
4) 6
5) Maaşı 2500 ¨ den az olanların
6) 2901
53
Uygulama Zamanı
Uygulama – 5
1. 5 katının 3 eksiği 11 eden sayı kaçtır?
8. 3 katının 1 eksiğinin karesi 5 eden sayıların çarpımı
kaçtır?
2. 3 eksiğinin 5 katı 11 eden sayı kaçtır?
9. Toplamları 25, farkları 7 olan iki sayıdan küçüğü
kaçtır?
3. Hangi sayının
2
sinin 12 fazlası aynı sayının yarısı3
nın 12 eksiğidir?
10.Hangi sayma sayısının karesi başka bir sayma sayısının karesinden 23 fazladır?
4. 1 fazlasının karesinin yarısı 18 eden sayıların kümesi
nedir?
11.Her katı 3 er metre olan bir apartmanın 2 katının tavanıyla 12. katının zemini arasında kaç metre mesafe
vardır?
5. Hangi sayıya bu sayının 12 fazlası eklendiğinde bu
sayının 4 katı elde edilir.
12.Biyolojik silah olarak üretilen bir virüs günde bir kişiden 3 kişiye bulaşmaktadır. Başlangıçta 27 kişiye bulaştırılan bu virüs 1 hafta sonunda kaç kişiye bulaşır?
6. Hangi sayının 4 katı bu sayının 3 katından 12 fazdadır?
7. Hangi sayının 4 kat fazlası bu sayının 3 katından 12
fazladır?
54
1) 2,8
2) 5,2
3) –144
4) {5, –7}
5) 6
6) 12
7) 6
13.Bir marangoz eşit uzunluktaki 5 tane kalasın herbirini
elektirikli testere ile eşit parçalara ayıracaktır. Marangoz bu kalaslardan 20 tane eş parça elde etmek için
kaç kesim yapmalıdır?
8) -
4
9
9) 9
10) 12
11) 27
12) 310
13) 15
14.Sayı doğrusunda yerleri işaretlenen a, b ve c sayıları
için aşağıdakiler bilinmektedir.
17.3 dL şurup 15 cm3 lük şişelere doldurulacaktır. Bu iş
için kaç şişeye ihtiyaç vardır?
•• b en solda, c en sağdadır.
•• Bu üç sayının toplamı negatiftir.
•• a ile b arasında uzaklık 2 br, b ile c arasındaki uzaklık 7 br dir.
a nın sıfıra olan uzaklığı 3 birim olduğuna göre
a + b + c toplamı kaçtır?
18.Buket kumbarasındaki 60 tane 5 kuruşluk ve
25 kuruşluktan oluşan parayı bakkalda tümlettirdiğinde bakkal Buket'e 5 ¨ veriyor. Buna göre Buket'in
parayı tümlettirmeden önce kaç tane 5 kuruşu vardı?
15.Boyutları a cm, b cm ve x cm olan dikdörtgenler prizması şeklindeki bir kaşar peynir bir ayrıtı m cm olan n
tane köp şeklinde parçaya ayrılıyor. Buna göre x in a,
b, m ve n cinsinden eşitini bulunuz.
19.Taban yarıçapı uzunluğu r, yükseklik uzunluğu h
olan bir dik koninin yüzey alanı A = πr2 + πr r2 + h2
formülü ile bulunabilir. Buna göre aşağıdaki soruları
cevaplandırınız.
a) Formülü h için düzenleyiniz.
16.0,02 hektar bir tarlanın her 4 m2 sine 2 ağaç dikilirse
bu tarlaya toplam kaç ağaç dikilebilir?
14) –6
15)
n · m3
a ·b
16) 100
b) Dik koni şeklinde bir çikolata kutusunun yarıçapı 3
cm ve yüzey alanı 24 π cm2 olduğuna göre yüksekliği
kaç cm2 dir?
17) 20
18) 50
19) a) h =
c
2
A · πr 2
m - r2
πr
b) 4 cm
55
Al Gülüm Ver Gülüm / Para Sayıları
SAYI PROBLEMLERİ
Konu Özeti
(Al Gülüm Ver Gülüm)
Konu Özeti
”” Al gülüm ver gülüm ifadelerinde birinin verdiği diğerinin aldığı olduğu için, birindeki azalış diğerindeki
artıştır.
Çağan'ın parası Doğa'nın parasının 2 katıdır. Çağan,
Doğa'ya 10 TL verirse paraları eşit oluyor. Buna göre,
Doğanın başlangıçta kaç TL si vardır?
Başlangıçta Doğa'nın parası ¨ x olsun,
Doğa
Çağan
Başlangıçtax10 alır 2x
Aldı verdiyle x + 10
2x – 10
–––––––––––––––––––––––––––
x + 10 = 2x – 10 ⇒ x = 20 dir.
10 verir
50 kr luk ve ¨ 1 lik 30 adet madeni para ¨ 20 ise 50 kr
luk kaç adettir?
ÇÖZÜM
Denklemi "kr" biriminde kuralım;
¨ 1 = 100 kr, ¨ 20 = 2000 kr tur. 50 kr luk x adet olsun.
50 kr luk
100 kr luk
x
30 – x
Adet
Tutar
50x
100(30 – x)
––––––––––––––––––––––––––––
50x + 100(30 – x) = 2000 ⇒ 50x + 3000 – 100x = 2000 ⇒
3000 – 2000 = 50x ⇒ 1000 = 50x ⇒ x = 20 dir.
Aşağıdaki problemlerde istenileni bulunuz.
Aşağıdaki problemlerde istenileni bulunuz.
1. Metin'in parası Ercan'ın parasının 3 katıdır. Metin
Ercan'a ¨ 20 verirse paraları eşit oluyor. Buna göre
Ercan'ın başlangıçtaki parası kaç ¨ dir?
1. Bir çocuk bozuk para biriktirdiği kumbarasını açtığında
100 er adet 10 kr ve 25 kr luk, 50 adet 50 kr luk ve 30
adet ¨ 1 çıkıyor. Buna göre çocuğun kumbarasındaki
toplam para kaç ¨ dr?
2. Altan'ın oyuncaklarının sayısı Elif'in oyuncaklarının
sayısının yarısı kadardır. Altan oyuncaklarının 10
tanesini Elif'e verdiğinde Elif'in oyuncaklarının sayısı
Altan'ın oyuncaklarının sayısının 3 katı olduğuna göre
başlangıçta ikisinin toplam kaç oyuncağı vardır?
3. Gül'ün Şenay'dan 30 fazla kitabı vardır. Şenay, Gül'e
10 kitap verince Gül'ün kitap sayısı Şenay'ın kitap
sayısının 3 katının 10 eksiğine eşit oluyor. Buna göre
başlangıçta Şenay'ın kaç kitabı vardır?
62
”” Mümkün olduğu kadar tek bilinmeyen üzerinden,
aynı para biriminde denklemleri kurulur.
ÖRNEK
ÖRNEK
ÇÖZÜM
(Para Sayıları)
1) 20
2) 120
3) 40
2. ¨ 50 lik ve ¨ 100 lik 100 adet banknot ¨ 6000 ise
¨ 100 lik banknot sayısı ¨ 50 lik banknot sayısından
kaç eksiktir?
3. 25 ve 50 kuruşluklardan oluşan 30 tane madeni
paranın tutarı ¨ 10 dir. Buna göre 50 kr luk kaç tane
madeni para vardır?
1) 90
2) 60
3) 10
2 şer 3 er : Kardeş Payı / Eş Gruplama
Konu Özeti
SAYI PROBLEMLERİ
”” Kişi sayısı ve dağıtılacak nesne miktarı sabit iken
nesnenin kişilere farklı dağıtılış ifadeleri birbirine eşitlenerek denklemi kurulur.
”” Aynı miktar farklı şekillerde eş gruplara ayrıldığında,
her gruba düşen eksiklik ya da fazlalık eşitliğin uygun
tarafında belirtilerek denklem kurulur.
ÖRNEK
ÖRNEK
Bir miktar fındık, bir grup öğrenciye ikişer dağıtılırsa 1
fındık artıyor, üçer dağıtılırsa 5 çocuk fındık alamıyor.
Buna göre, dağıtılan fındık miktarı kaçtır?
ÇÖZÜM
Gruptaki öğrenci sayısı x olsun,
Fındık alan öğrenci
Fındık Miktarı
İkişerli
x
2x + 1
Üçerli
x – 5
3(x – 5)
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2x + 1 = 3(x – 5) ⇒ 2x + 1 = 3x – 15 ⇒ x = 16
(Eş Gruplama)
Konu Özeti
(Kardeş Payı)
Fındık miktarı, 2x + 1 = 2·16 + 1 = 33 adettir.
Bir miktar para 3 kişiye eşit olarak paylaştırılıyor. Bu
para 2 kişi arasında eşit paylaştırılsaydı her biri 10 TL
daha fazla para alacaktı. Paylaştırılan para kaç TL dir?
ÇÖZÜM
Paylaştırılan para ¨ x olsun,
2 şerli
3 erli
x
x
Kişi Başına
2
3
––––––––––––––––––––––––––
x
x 10 3x 2x + 60
+
&
=
&
=
1
2
3
6
6
^3 h
^2 h
^6 h
3x – 2x= 60 ⇒ x = 60 bulunur.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
1. 48 tane ceviz bir grup çocuğa 5'er paylaştırıldığında
3 ceviz artıyor. Buna göre grupta kaç çocuk var?
1. 180 tane ceviz her gruba 90 tane olacak şekilde 1.
gruptaki 10 çocuğa ve 2. gruptaki 15 çocuğa eşit paylaştırılıyor. Buna göre 1. gruptaki bir çocuk 2. gruptaki
bir çocuktan kaç ceviz fazla almıştır?
2. ¨ 50 bir grup çocuğa her bir çocuk ¨ 10 alacak şekilde
dağıtılırsa 3 çocuk para alamıyor. Bu para bu çocukların her birine ¨ 6 verilecek şekilde dağıtılırsa kaç ¨
artar?
3. Bir miktar misket bir grup çocuğa 3'er dağıtılırsa 6
misket artıyor. 5'er dağıtılırsa 2 çocuk misket alamıyor.
Buna göre bu grupta kaç çocuk vardır?
1) 9
2) 2
3) 8
2. Bir miktar para 5 kişiye paylaştırıldığında kişi başına
düşen para, 3 kişiye paylaştırıldığında kişi başına
düşün paradan ¨ 10 eksiktir. Buna göre paylaştırılan
para kaç ¨ dir?
3. Bir miktar ceviz 10 kişiye yaplaştırıldığında kişi başına
düşen ceviz miktarı, 15 kişiye dağıtıldığında kişi başına düşen ceviz miktarınını 2 katının 5 eksiğidir. Buna
göre paylaştılan ceviz kaç tanedir?
1) 3
2) 75
3) 150
63
Boş Kalan Sıralar / Merdiven Basamakları
SAYI PROBLEMLERİ
Konu Özeti
Konu Özeti
(Boş Kalan Sıralar)
”” Sıra sayısı ve sınıf mevcudu sabittir. Bu sıralara farklı
oturuş şekillerine göre elde edilen sınıf mevcudu ifadeleri birbirine eşitlenerek denklemi kurulur.
”” Basamak sayısı sabittir. Atılan adım sayılarına göre
basamak sayısı ifadeleri birbirine eşitlenerek denklemi kurulur.
ÖRNEK
ÖRNEK
Bir sınıftaki öğrenciler sıralara 2 şerli otururlarsa 3 öğrenci ayakta kalıyor, 3 erli otururlarsa 2 sıra boş kalıyor.
Buna göre sınıfın mevcudu kaçtır?
ÇÖZÜM
ÇÖZÜM
Kullanılan sıra
Sınıf mevcudu
2 şerli
x
2x + 3
Çıkarken atılan adım sayısı x olsun,
Adım sayısı
Basamak sayısı
2 şer çıkarken x
3 erli
x – 2
3(x – 2)
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2x + 3 = 3(x – 2) ⇒ 2x + 3 = 3x – 6 ⇒ x = 9
64
Yusuf, bir merdivenin basamaklarını 2 şer 2 şer çıkıp, 3
er 3 er iniyor. İnerken attığı adım sayısı çıkarken attığı
adım sayısından 5 eksik olduğuna göre merdiven kaç
basamaklıdır?
Sıra sayısı x olsun,
(Merdiven Basamakları)
Sınıf mevcudu; 2x + 3 = 2·9 + 3 = 21 bulunur.
2x
3 er inerken x – 5
3(x – 5)
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2x = 3(x – 5) ⇒ 2x = 3x – 15 ⇒ x = 15
Basamak sayısı; 2x = 2·15 = 30 bulunur.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
1. 45 Kişi bir sınıftaki sıralara öğrenciler üçerli oturursa 2
sıra boş kalıyor. Buna göre sınıfta kaç sıra vardır?
1. Bir çocuk bir binanın merdivenlerini dörder dörder
çıkıyor. Çıkarken attığı adım sayısı 10 ise merdiven
kaç basamaklıdır?
2. Toplam 12 sıranın bulunduğu bir sınıfta öğrenciler
sıralara üçerli otururlarsa bir sırada 2 kişilik boş yer
kalıyor. Buna göre öğrenci sayısı kaçtır?
2. 48 basamaklı bir merdivenin basamaklarını ikişer ikişer
çıkıp üçer üçer inen bir kişinin toplamda attığı adım
sayısı kaçtır?
3. Bir sınıftaki sıralara öğrenciler ikişerli oturursa 5 öğrenci ayakta kalıyor, üçerli oturursa 3 sıra boş kalıyor.
Buna göre sınıf mevcudu kaçtır?
3. Cihan bir binanın merdivenlerini ikişer ikişer çıkıp üçer
üçer iniyor. Çıkarken attığı adım sayısı inerken attığı
adım sayısından 5 fazla olduğuna göre bu merdiven
kaç basamaklıdır?
1) 17
2) 34
3) 33
1) 40
2) 40
3) 30
Kız - Erkek ve Evli Çift Mevcudu
Konu Özeti
(Kız Erkek Mevcudu)
Konu Özeti
”” Bu tarz sorular, kız ve erkek sayıları toplam mevcudu tamamlayacak şekilde, tek bilinmeyen üzerinden
denklemleri kurularak çözülebilir.
ÖRNEK
(Sınıf Mevcudu)
Erkek öğrenclerin sayısı x olsun,
Erkek
Kız
”” x evli çift ile x bayan ve x erkek olmak üzere toplam
2x kişi anlaşılır.
(Evli Çift Mevcudu)
Bir iş yemeğine 20 erkek, 15 bayan vardır. Bu yemekten
kaç evli çift ayrılırsa erkeklerin sayısı bayanların sayısının iki katı olur?
ÇÖZÜM
30 – x
Başlangıçx
5 gelir
3 gider
Geliş - Gidişle x + 5
27 – x
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
x + 5 = 27 – x ⇒ 2x = 22 ⇒ x = 11dir.
(Evli Çift Mevcudu)
”” Evli çiftler birlikte hareket ederler.
ÖRNEK
30 kişilik bir sınıfa 5 erkek öğrenci daha gelir ve sınıftan
3 kız öğrenci ayrılırsa, erkeklerin sayısı ile kızların sayısı
eşit oluyor. Başlangıçta sınıfta kaç erkek öğrenci vardır?
ÇÖZÜM
SAYI PROBLEMLERİ
Yemekten ayrılan çift sayısı x olsun,
Erkek Sayısı
20
Başlangıç
Bayan Sayısı
x gider
15
x gider
Kalan
20 – x
15 – x
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
20 – x = 2(15 – x) ⇒ 20 – x = 30 – 2x ⇒ x = 10 dur.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
1. 20 kişilik bir sınıfa 4 erkek geliyor ve sınıftan 6 kız öğrenci ayrılıyor. Son durumdaki sınıf mevcudu kaç olur?
1. 10 evli çiftin bulunduğu bir otobüse 4 evli çift biner
3 evli çift inerse son durumda otobüste kaç yolcu
bulunur?
2. 40 kişilik bir sınıfta 24 erkek öğrenci vardır. Sınıfa
4 erkek öğrenci geldiğinde ve sınıftan bir miktar kız
öğrenci ayrıldığında sınıf mevcudu değişmiyor. Buna
göre son durumdaki kız öğrenci sayısı kaçtır?
3. 20 kişilik bir sınıfa 4 erkek öğrenci gelir ve sınıftan
6 kız öğrenci ayrılırsa erkeklerin sayısı kızların sayısının 2 katı oluyor. Buna göre başlangıçta sınıfta kaç kız
öğrenci vardır?
1) 18
2) 12
3) 12
2. 10 erkek 15 bayanın bulunduğu bir davette 6 evli çift
katılırsa son durumdaki toplam kişi sayısı kaç olur?
3. Bir iş yemeğinde 12 erkek 18 bayan vardır. Bu yemekten kaç evli çift ayrılırsa bayanların sayısı erkeklerinin
sayısının 2 katı olur?
1) 22
2) 37
3) 6
65
Artarak - Azalarak İş Bitirme / Top Sıçraması
Konu Özeti
(Artarak İş Bitirme)
Konu Özeti
”” Her gün yapılan iş miktarı ve işin toplam kaç günde
bittiğine dikkat edilir.
ÖRNEK
(Top Sıçraması)
”” Topun sıçrayış sayısına göre kesrin kaç kez kullanılacağı tespit edilir.
(Kesir Kadar - Kesirden Daha Fazlası)
a) Her gün bir önceki günün 3 te 1 i kadar soru çözerek
3 günde ödevini bitiren Levent 2. gün 12 soru çözdüğüne göre ödevi kaç sorudur?
b) Her gün bir önceki günün 3 te1 i daha az soru
çözerek 3 günde ödevini bitiren Hasan 2. gün 12 soru
çözdüğüne göre Hasan'ın ödevi kaç sorudur?
1
Her iki ifade de
iki kez kulanılacağı için ilk
3
günkü soru sayısı 9x olsun,
ÇÖZÜM
ÖRNEK
Belirli bir yükseklikten bırakılan bir top yere her vuruşundan sonra bir önceki düşüş yüksekliğinin yarısı kadar
yükselmektedir.
Top yere 3. vuruşundan sonra 2 m yükseldiğine göre
başlangıçta kaç metreden bırakılmıştır?
ÇÖZÜM
2. gün 3. gün 2. gün 12 soru
14243
a)1. gün
KESİR PROBLEMLERİ
1
kesri 3 kez kullanılacağı için topun bıra2
3x = 12 ⇒ x = 4
kıldığı yüksekliğe 2 · 2 · 2 = 8p diyelim,
Toplam: 13·4 = 52 soru
b) 1. gün 2. gün 3. gün
2. gün 12 soru
Düşülen
Yükseklik 1. Sıçrama
–3x
–2x
14243
9x
3x
x
14444244443
Toplam: 13x
9x
6x
4x
14444244443
Toplam: 19x
6x = 12 ⇒ x = 2
Toplam: 19·2 = 38 soru
2. Sıçrama 3. Sıçrama
8p
4p
2p
p
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
p = 2 m ⇒ Başlangıç: 8·2 = 16 m dir.
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
1. Her saat bir önceki saatin yarısı kadar koşan bir
koşucu, 1. saat 12 km koştuğuna göre 3. saat kaç km
koşar?
1. Belli bir yükseklikten bırakılan bir top yere her vuruşun4
si kadar yükselmekdan sonra düştüğü yüksekliğin
7
tedir. Topun yere bırakıldığı yükseklik 42 cm olduğuna
göre top yere ilk vuruşundan sonra kaç cm yükselir?
2. Her hafta bir önceki hafta yazdığından dörtte bir daha
az sayfa yazan bir yazar ilk hafta 64 sayfa yazarsa 3.
hafta kaç sayfa yazar?
3. Her gün bir önceki günün yarısı kadar para harcayarak
5 günde haftalığını bitiren Seçil, 2. gün ¨ 16 harçadığına göre Seçil'in haftalığı kaç ¨ dir?
1) 3
2) 36
3) 62
4
i kadar yüksel5
mektedir. 150 cm yükseklikten bırakılan bir top ikinci
kez yere çarptığında kaç cm yükselir?
2. Bir lastik top düştüğü yüksekliğin
1
ü kadar zıplamak3
tadır. Top üçüncü kez yere değdiği ana kadar düşey
3. Bir top bırakıldığı yüksekliğin
istikamette toplam 153 cm yol aldığına göre topun ilk
bırakıldığı yükseklik kaç cm dir?
1) 24
2) 96
3) 81
89
Orta Kayması / Mum Erimesi
KESİR PROBLEMLERİ
Konu Özeti
Konu Özeti
(Orta Kayması)
”” Bir telin ilk durumdaki ortası ile, ucundan parça kesildikten sonraki ortası arasındaki farkı belirlemedir.
ÖRNEK
1
i kesilince ortası 3 cm kayıyor. Telin
5
başlangıçtaki uzunluğu kaç cm dir?
Tamamı
Ortası
10x
5x
Başlangıç
–2x
1
i kesilince
8x
4x
5
––––––––––––––––––––––––––––––––––
Orta kayması: 5x – 4x = 3 cm ⇒ x = 3 cm dir.
Telin tamamı : 10x = 10 · 3 = 30 cm dir.
Mumun tamamı 1, aranan süre x olsun,
1. Mumum tamamı (1 i) 2 saatte erirse, (Hızlı eriyen)
x
x
1
i, x saatte
si erir, kalan 1 - dir.
1 saate
2
2
2
2. Mumun tamamı (1 i) 3 saatte erirse, (Yavaş eriyen)
x
x
1
i x saatte
ü erir, kalan 1 - dir.
1 saatte
3
3
3
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
2x
x
x
x
2c 1 - m = 1 - & 2 = 1- &
2
3
3
2
2-1 = x-
x
2x
3
&1=
& x = = 1, 5 saattir.
3
3
2
Aşağıdaki orta kayması ifadelerindeki istenilenleri bulunuz.
Aşağıdaki mum erimesi ifadelerindeki istenilenleri bulunuz.
1. 100 cm lik bir telin bir ucundan 24 cm kesilince orta
noktası kaç cm kayar?
1. Farklı kalitede 24 cm uzunlukta iki mumdan biri 4
saatte diğeri 6 saatte tamamen yanıyor. Buna göre
hızlı yanan mum bittiğinde yavaş yanan mumdan kaç
cm kalmıştır?
2. 80 cm lik bir telin orta noktasının 12 cm kayması için
telin bir ucundan kaçta kaçı kesilmelidir?
1
i kesilince orta noktası 4 cm
5
kayıyor. Buna göre telin başlangıçtaki uzunluğu kaç
cm dir?
3. Bir telin bir ucundan
1) 12
90
Farklı kalitede aynı uzunlukta iki mum yakıldığında biri 2
saatte diğeri 3 saatte bitiyor. Bu iki mum yakıldıktan kaç
saat sonra birinin boyu diğerinin boyunun iki katı olur?
ÇÖZÜM
Telin tamamı 10x olsun,
1
1
Kesilen parça, 10x in
ise 10x ·
= 2x tir.
5
5
”” Mum erime hızına göre çözülebilen bu sorular, kesirler ile de rahatça çözülebilir. Örneklerle açıklayalım.
ÖRNEK
(Tel Kesme)
Bir telin ucundan
ÇÖZÜM
(Mum Erimesi)
2)
3
10
3) 40
2. 24 cm uzunluğundaki bir mum 6 saatte tamamen yanmaktadır. Kaç saat sonra mumun yanan kısmı kalan
kısmının 2 katı olur?
3. Farklı kalitede aynı uzunlukta iki mumdan biri 4 saatte
diğeri 6 saatte tamamen bitmektedir. Bu iki mum
yakıldıktan kaç sonra birinin boyu diğerinin boyunun 2
katı olur?
1) 8
2) 4
3) 3
İlave - Eksiltme / Dara - Net
Konu Özeti
KESİR PROBLEMLERİ
(İlave – Eksiltme)
Konu Özeti
”” Genellikle iki bilinmeyen üzerinden denklemi kurulabilir.
(Dara Net)
”” Dara yani boş taşıyıcının ağırlığı ve içindeki maddenin ağırlığı, ayrı ayrı iki bilinmeyenle denklem sistemi
kurulabilir.
ÖRNEK
Bir bidondaki bir miktar suyun 5 L si boşaltılırsa bidonun
2
si dolu kalıyor. Bidondan su boşaltmayıp 10 L su
5
3
ilave edilirse deponun
ü doluyor. Buna göre deponun
5
tamamı kaç L dir?
ÇÖZÜM
Bidon 5x L, başlangıçtaki su y L olsun,
1. Durum: –1(y – 5 = 2x) ⇒ - y + 5 = - 2x
2. Durum:
1
i
5
boşaltılınca ağırlığı 43 ton geldiğine göre kamyonun
ağırlığı kaç tondur?
Yük dolu bir kamyonun ağırlığı 53 tondur. Yükün
ÇÖZÜM
1. Durum:
Yük 5x ton, kamyon y ton olsun,
5x + y = 53 ⇒
5x + y = 53
2. Durum: –1(4x + y = 43) ⇒ - 4x - y = - 43
+
y + 10 = 3x ⇒ y + 10 = 3x
+
ÖRNEK
15 = x
x = 10 ton
Kamyon: 5·10 + y = 53 ⇒ y = 3 ton bulunur.
Bidonun tamamı, 5·15 = 75 L dir.
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
Aşağıdaki ifadelerde istenilenleri bulunuz.
1. Yarısı dolu bir depodaki suyun 20 L si kullanılırsa
1
i dolu kalıyor. Buna göre deponun tamamı
deponun
3
kaç L dir?
1. Bir kabın tamamı boş iken ağırlığı 2 kg,
2. Bir telin ucundan üçte biri kesilince oluşan orta, üçte
biri eklenince oluşan ortadan 10 cm kısa olduğuna
göre bu telin boyu kaç cm dir?
2. Tamamı su dolu bir şişenin ağırlığı x gr, yarısı su ile
dolu iken y gr dır. Buna göre boş şişenin ağırlığının x
ve y cinsinden eşiti nedir?
3. Tamamen dolu olmayan bir yakıt deposundan 9 L yakıt
kullanılırsa deponun üçte biri dolu kalıyor. Bunun yerine depodan yakıt kullanmadan, 9 L yakıt ilave edilirse
deponun üçte ikisi dolu oluyor. Buna göre ilk durumda
depodaki yakıt miktarı nedir?
3. Su dolu bir şişenin ağırlığı 220 gr gelmektedir. İçindeki
1
suyun
ü boşaltığında ise 180 gr gelmektedir. Buna
3
göre boş şişenin ağırlığı kaç gr dır?
1) 120
2) 30
3) 27
1
ü su ile dolu
4
iken ağırlığı 5 kg dır. Bu kabın tamamı su ile dolu iken
ağırlığı kaç kg dır?
1) 14
2) 2y – x
3) 100
91
Yaşına Gelme / Doğduğunda
Konu Özeti
(Yaşına Gelme)
Konu Özeti
”” Birinin yaşı diğerinin yaşına geldiğinde geçen süre
bütün yaşlar için aynen kullanılır.
ÖRNEK
(Doğduğunda)
”” Bir kişinin doğduğu yıla dönerken yaşı kadar yıl geri
gidilir.
ÖRNEK
ÇÖZÜM
Kızın yaşı x olsun,
Anne
Bügün:
3x Kızı annnenin 2x
yaşındayken: 5x
Kızı
x
3x
2x
14243
Hasan ile Kemal'in yaşları toplamı 50 dir. Hasan doğduğunda Kemal 10 yaşında olduğuna göre, Kemal bugün
kaç yaşındadır?
kızı annenin yaşına
gelene kadar geçen 2x süre anne
için de geçer
–––––––––––––––––––––––––––
5x + 3x = 80 ⇒ 8x = 80 ⇒ x = 10 dur.
Annenin bugünkü yaşı: 3x = 3·10 = 30 bulunur.
Hasan'ın yaşı x olsun,
Bügün:
Hasan Kemal
x
50 – x
–x
–x
Hasan
0
50 – 2x
doğduğunda:
14243
Bir annenin yaşı kızının yaşının 3 katıdır. Kızı annenin
yaşına geldiğinde yaşları toplamı 80 olacağına göre
annenin bugünkü yaşı kaçtır?
ÇÖZÜM
YAŞ PROBLEMLERİ
Hasan'ın 0 yaşına
(doğumuna) dönmek için x er yıl
geri gidilir.
––––––––––––––––––––––––––––
50 – 2x = 10 ⇒ 40 = 2x ⇒ x = 20 dir.
Kemal'in yaşı: 50 – x = 50 – 20 = 30 dur.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
1. Cemal'in oğlu bugün 24 yaşındadır. Cemal 30 yaşında
iken oğlu 6 yaşında idi. Buna göre Cemal bugün kaç
yaşındadır?
1. Ahmet ile Bekir'in yaşları toplamı 45 tir. Bekir doğduğunda Ahmet 15 yaşında olduğuna göre Bekir bugün
kaç yaşındadır?
2. Bir babanın yaşı oğluğun yaşının 4 katıdır. Oğlu
babasının yaşına geldiğinde ikisinin yaşları toplamı 66
olduğuna göre babanın bugünkü yaşı kaçtır?
2. Ali ile Veli'nin yaşları toplamı 40 tır. Veli doğduğunda
Ali'nin doğmasına 12 yıl vardı. Buna göre Veli bugün
kaç yaşındadır?
3. Bir baba 50 yaşındadır. Baba oğlunun yaşında iken
1
oğlunun yaşı bugünkü yaşının
ü olduğuna göre
3
baba ile oğlunun bugünkü yaşları farkı kaçtır?
3. Tuna doğduğunda annesi Tuna'nın şimdiki yaşının
4 katı yaşındaydı. Bugün Tuna ile annesinin yaşları
toplamı 36 olduğuna göre Tuna doğduğunda annesi
kaç yaşındaydı?
1) 48
2) 24
3) 20
1) 15
2) 26
3) 24
105
Erken - Geç Doğsaydı / En Az - En Çok
YAŞ PROBLEMLERİ
Konu Özeti
(Erken - Geç Doğsaydı)
”” Bir kişinin bugünkü yaşı x ise,
vv a yıl önce doğsaydı x + a yaşında olurdu.
Konu Özeti
(En Az - En Çok)
”” Kardeşlerden büyüğünün yaşının küçüğünden daima
büyük olması gerektiğine dikkat ediniz.
vv a yıl sonra doğsaydı x – a yaşında olurdu.
ÖRNEK
ÖRNEK
2
tür. Kerem 5 yıl erken,
3
Aslı 10 yıl geç doğsalardı Kerem'in yaşının Aslı'nın yaşı5
na oranı
olacağına göre Aslı kaç yaşındadır?
4
Kerem ile Aslı'nın yaşları oranı
2
Kerem
= olduğuna göre
3
Aslı
2k, 5 yıl erken doğsaydı: 2k + 5
ÇÖZÜM
Kerem
ÇÖZÜM
Baba
2 Çocuk
Bügün
x + 24
x
3k, 10 yıl geç doğsaydı: 3k – 10
Aslı
–––––––––––––––––––––––––––––––––––
2k + 5
5
= & 4(2k + 5) = 5(3k – 10) ⇒
3k - 10 4
4 yıl sonra
x + 28
x+8
–––––––––––––––––––––––––––
x + 28 = 2(x + 8) ⇒ x + 28 = 2x + 16 ⇒ x = 12 dir.
8k + 20 = 15k –50 ⇒ 70 = 7k ⇒ k = 10 dur.
Küçük + Büyük = 12 ise Büyük en az 7 olabilir.
Aslının bugünkü yaşı, 3k = 3·10 = 30 dur.
(5
+
7
= 12 dir.)
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
Aşağıdaki problemlerde istenilenleri bulunuz.
1. Ali 18, Ahmet 24 yaşındadır. Ali 3 yıl önce Ahmet ise
5 yıl sonra doğmuş olsaydı ikisinin bugünkü yaşları
toplamı kaç olurdu?
1. Yaşları toplamı 21 olan iki kardeşten büyük olanının
yaşı en az kaçtır?
2. Ege ile Deniz'in yaşları toplamı 25 dir. Ege 5 yıl önce,
Deniz ise 3 yıl sonra doğmuş olsaydı yaşları toplamı
kaç olurdu?
3. Bir babanın yaşı oğlunun yaşının 4 katıdır. Baba doğduğu yıldan 10, oğlu ise 5 yıl sonra doğmuş olsaydı
babanın yaşı oğlunun yaşının 5 katı olacaktı.Buna
göre baba bügün kaç yaşındadır?
106
Bir babanın yaşı iki çocuğunun yaşları toplamından
24 fazladır. 4 yıl sonra babanın yaşı çocukların yaşları
toplamının 2 katı olduğuna göre bugün büyük çocuk en
az kaç yaşındadır?
1) 40
2) 27
3) 60
2. Yaşları farklı üç kardeşin yaşları toplamı 30 dur. Buna
göre en küçük kardeşin yaşı en çok kaçtır?
3. Bir babanın yaşı 2 çocuğun yaşları toplamının 4
katıdır. 6 yıl sonra babanın yaşı 2 çocuğunun yaşları
toplamanın 3 katından 3 eksik oluyor. Buna göre küçük
çocuk bugün en çok kaç yaşındadır?
1) 11
2) 9
3) 13
Uygulama Zamanı
Uygulama – 6
1. Bir babanın yaşı 3 er yıl arayla doğmuş üç çocuğunun yaşları toplamına eşittir. Baba 42 yaşında
olduğuna göre en büyük çocuk doğduğunda baba
kaç yaşındaydı?
5. Baba ve üç çocuğunun yaşları ile ilgili aşağıdakilerden bilinmektedir.
•• Çocuklar 2 şer yıl arayla doğmuştur.
•• Babanın 3 yıl önceki yaşı çocukların bugünkü yaşları toplamından 9 fazladır.
•• Babanın bugünkü yaşı, çocukların 3 yıl önceki yaşları toplamının 2 katına eşittir.
Buna göre en küçük çocuk kaç yaşındadır?
2. Bir babanın yaşı, iki çocuğunun yaşları toplamının
3 katından 2 fazladır. 4 yıl sonra çocukların yaşları
toplamı babanın bugünkü yaşının yarısına eşit olacağına göre babanın şimdiki yaşı kaçtır?
6. Elif, Doğan'ın yaşına geldiğinde Doğan'ın yaşı Elif'in
yaşının 3 katının 14 eksiği olacaktır. Buna göre Elif ile
Doğan'ın bugünkü yaşları toplamı kaçtır?
3. Ali doğduğunda, Doğan 11 yaşındaydı ve Hakan doğduğunda Ali 4 yaşındaydı. Üçünün bügünkü yaşları
toplamı 34 olduğuna göre Doğan kaç yaşındadır?
7. Ahmet ve Mete'nin yaşları ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
•• Ahmet'in yaşı doğum yılının rakamları toplamı 4 eksiğidir.
•• Ahmet doğduğunda, Mete'nin doğmasına daha 4 yıl
vardı.
4. Ahmet'in yaşı, Bergin ve Ceren'in yaşları toplamından 6 fazladır. Ahmet'in yaşının karesi Bergin ve
Ceren'in yaşları toplamının karesinden 180 fazladır.
Buna göre Ahmet, Bergin ve Ceren'in yaşları toplamı
kaçtır?
1) 25
2) 32
3) 20
4) 30
•• Ahmet ile Mete'nin doğum yıllarının ortalaması 1997
dir.
Buna göre Ahmet kaç yaşındadır?
5) 8
6) 14
7) 20
107
İstatistiksel Temsil
TABLO VE GRAFİKLER
ÇÖZÜM
Konu Özeti
”” Tablo ve grafikler konusu matematik dışındaki derslerde de kullanıldığı için iyi bilinmesi gereken bir kondur.
”” İstatistiksel Çalışma: Bir örneklemden (gruptan),
üzerinde çalışılan konu ile ilgili elde edilen verilerin
düzenlenerek tablo ve grafiiklerle temsil edilmesidir.
”” Tablo grafiklerde, başlığa, eksenlere ve ölçeklere bakılarak istatistiksel çalışma değerlendirilir.
Grafiklerde ölçekler 0'dan başlanarak eşit
aralıklı yerleştirilir.
”” Tablo ve grafik okumak için ölçeklerin kesiştiği değere bakılır.
ÖRNEK
(Tablo ve Grafikler)
Yandaki tabloya göre
aşağıdaki soruları
cevaplayınız. (45 altı
not başarısızdır.)
Erkan'ın 2013-2014 Eğitim Öğretim
Yılı Matematik Sıvav Sonuçları
Sınav
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Not
30
50
60
40
60
90
a) İstatistiksel çalışmanın konusu nedir?
c) Tabloya ait çizgi grafiğini çiziniz.
d) Erkan'ın başarısız olduğu sınavlar hangileridir?
e) En az not artışı hangi sınavda olmuştur?
e) Erkan'ın matematik notunun ortalaması kaçtır?.
Grafik: Erkek öğrenci sayısı
Notlar
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
c)
1
2
1
2
3
4
5
6
Sınavlar
Notlar
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
3
4
5
6 Sınavlar
e) 10 puanlık artışla en az artış 3. sınavda olmuştur.
f) ortalama =
30 + 50 + 60 + 40 + 60 + 90 330
=
= 55
6
6
Grafik: Dakikada yazılan doğru kelime sayısı
Kişiler
Erkek Öğr. Sayısı
Adem
12
Bekir
10
Ceren
8
Demet
6
Elif
4
0
2
12 A 12 B 12 C 12 D
Sınıflar
Yukarıdaki grafikte bir okulun 12. sınıflarındaki erkek öğrenci sayıları verilmiştir.
Buna göre aşağıdakileri cevaplandırınız.
1. Erkek öğrenci sayısı en çok hangi sınıftadır?
2. Erkek öğrenci sayısı en az hangi sınıftadır?
3. Bu okulda 12. sınıfta kaç erkek öğrenci vardır?
118
b)
d) 45 altı, 1. sınav (30) ve 4. sınav (40) başarısız olunan
sınavlardır.
b) Tabloya ait sütün grafiğini çiziniz.
0
a) Erkan'ın 2013 - 2014 eğitim öğretim yılı matematik
sınav sonuçlarına göre başarı durumu.
1) 12B
2) 12C
3) 34
20
40
60
80
100
Kelime sayısı
Yukarıdaki grafik bilgisayarda yazı yazma yarışında
kişilerin 1 dakikada doğru yazdıkları kelime sayısını
vermektedir.
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1. En az kelime yazan kimdir?
2. En çok kelime yazan kimdir?
3. Ceren'in yazdığı kelime sayısının toplam yazılan kelime sayısına oranı kaçtır.
1) Demet
2) Elif
3)
4
15
Tablo Okuma
TABLO VE GRAFİKLER
ÇÖZÜM
Konu Özeti
”” Tablo okurken, istenen ile ilgili satır, sütun ya da hücredeki veriler değerlendirilir.
ÖRNEK
Yandaki tabloda bir gün içinde
beş şehir arasındaki uçak
seferleri sayıları verilmiştir.
Buna göre aşağıdaki soruları
cevaplandırınız.
V = VARIŞ K = KALKIŞ
Satır
V A B C D E
Toplamı
K
A
2 3 6 3 14
V = VARIŞ K = KALKIŞ
V A B C D E
K
A
2 3 6 3
B
5
6
C
2
5
D
1
4
4
E
2
6
4
3
4
4
2
1
B
5
C
2
5
D
1
4
4
2
6
4
E
Sütun
Toplamı
6
3
4
18
4
2
13
1
10
5
17
10 17 17 18 10
a) Hangi iki şehir arasında giden ve gelen sefer sayıları
eşittir?
a) Belirtilen renkli köşegene göre simetrik hücreler aynı
şehirden kalkış ve varış sayılarıdır. Buna göre " C - D"
şehrinden birbirlerine kalkan ve varan sefer sayıları
eşittir.
b) Hangi şehirden diğer dört şehre giden toplam sefer
sayısı en azdır?
b) Satırlar toplamı, her şehirden kalkan toplam sefer
sayısıdır. Buna göre, en az D şehrinden uçak kalkar.
c) Hangi şehre, diğer dört şehirden gelen toplam sefer
sayısı en çoktur?
c) Sütunlar toplamı her şehire varan toplam sefer sayısıdır. Buna göre, en çok D şehrine uçak varır.
5
Aşağıdaki tabloda masa tenisi maçı yapan bir grup arkadaşın birbirleriyle yaptıkları karşılaşma sayıları bulundukları satır ve sütünların kesişiminde belirtilecektir.
Bir kırtasiyede defter ¨ d, kalem ¨ k ve silgi ¨ s den satılmaktadır. Aşağıdaki tabloda Ahmet, Burcu ve Ceyda'nın
bu kırtasiyeden aldıkları defter, kalem ve silgi sayıları
gösterilmiştir.
Defter
Deniz
Ceren
Betül
Arda
3
4
Arda, Betül, Ceren ve Deniz sırasıyla 8, 5, 8 ve 9 karşılaşma yaptığına göre aşağıdaki soruları cevaplandırınız.
Kalem
Silgi
Ahmet
1
2
1
Burcu
2
1
1
Ceyda
1
1
2
Aldıkları malzeme için en az parayı Ceyda, en çok
parayı Burcu ödediğine göre, aşağıdaki soruları cevaplandırınız.
4. Ahmet, aldığı ürünlere kaç ¨ ödemiştir?
1. Toplam kaç maç yapılmıştır?
2. En çok maç hangi iki kişi arasında yapılmıştır?
5. Burcu, Ceyda'dan kaç ¨ fazla ödeme yapmıştır?
3. Hangi iki kişi birbiriyle maç yapmamıştır?
6. Bu ürünlerin fiyatlarının sıralaması nedir?
1) 15
2) Ceren ile Deniz
3) Betül ile Deniz
4) d + 2k + s
5) d – s
6) s < k < d
119
Sütun Grafiği Okuma
TABLO VE GRAFİKLER
ÇÖZÜM
Konu Özeti
”” Sütun grafiklerinde, genellikle veri ve adeti değerlendirilir ve ortalama ile ilgili sorular sorulur.
Sütun grafiğindeki sütunlar yatay ya da dikey
olabilir.
ÖRNEK
Şekildeki sütun grafiği bir mate
matik kulübündeki yaş
dağılımını göstermektedir.
Buna göre aşağıdakileri
cevaplayınız.
a) Topluluğun yaş ortalaması
kaçtır?
b) Topluluktan 10 yaşındaki
bazı öğrenciler ayrılırsa yaş
ortalaması nasıl değişir?
a) Yaş ortalaması =
8 $ 5 + 10 $ 9 + 15 $ 6 220
=
= 11dir.
5+9+6
20
b) Topluluktan yaşı ortalamadan düşük 10 yaşında
öğrenciler ayrılırsa ortalama artar.
Öğrenci Sayısı
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Grafiğe göre klüpte 8 yaşında 5 öğrenci, 10 yaşında 9
öğrenci, 15 yaşında 6 öğrenci bulunmaktadır.
c) Toplulaktan ayrılan 15 yaşındaki öğrenci sayısı x
olsun,
220 - 15x
= 10 & 220 - 15x = 10 (20 - x) &
20 - x
8 10 15
Yaş
220 – 15x = 200 – 10x
220 – 200 = 15x – 10x
c) Topluluktan kaç tane 15 yaşında öğrenci ayrılırsa yaş
ortalaması 10 olur?
20 = 5x ⇒ x = 4 bulunur.
4. Sınıftaki öğrencilerin boylarının toplamı kaç cm dir?
Boy (cm)
170
160
5. Boyu 160 cm olan öğrencilerin boylarının toplamı,
boyu 140 cm olan öğrencilerin boylarının toplamına
oranı kaçtır?
150
140
2
4
6
8
Öğrenci sayısı
Yukarıdaki sütun grafiği bir sınıftaki öğrencilerin
boylarının dağılımını göstermektedir.
6. Sınıfın boy ortalaması kaçtır?
Buna göre aşağıdaki soruları cevaplayınız.
1. Boyu 160 cm olan kaç öğrenci vardır?
7. Boyu 150 cm olan öğrencilerin hepsi sınıftan ayrılınca
kalanların boy ortalaması kaç olur?
2. Boyu 155 cm den fazla olan kaç öğrenci vardır.
8. Sınftan boyu 160 cm olan kaç öğrenci ayrılırsa öğrencilerin boy ortalaması 155 olur?
3. Sınıf mevcudu kaçtır?
1) 6
120
2) 10
3) 20
4) 3120
5)
24
7
6) 156
7) 160
8) 4
Değişim Oranı
TABLO VE GRAFİKLER
ÇÖZÜM
Konu Özeti
”” Değişim oranı, farklı iki nicelikteki değişimi oranlayarak karşılaştırmadır. Örneğin bir ürünün fiyatı zamanla değişebilir. Ürün fiyatındaki değişimin, zamandaki
değişime oranlanmasıyla değişim oranı bulunur.
”” İstatistiksel çalışmalarda oransal değişim sayısal değişimden daha fazla önem taşır.
Grafiğe göre şehrin 2010 yılındaki nüfusu 15000 iken
2014 yılında 25000 e çıkmıştır.
O halde
Nüfustaki değişimi; 25000 – 15000 = 10000 kişidir.
Geçen süre; 2014 – 2010 = 4 yıldır.
Buna göre
ÖRNEK
Nüfus (x1000)
Yandaki grafikte bir şehrin 2010
ve 2014 yıllarındaki nüfus
sayıları verilmiştir. Buna göre bu
şehrin 2010 dan 2014 e
nüfusunda meydana gelen
değişim oranını bulunuz.
Değişim oranı =
30
25000 - 15000 10000 kişi
=
2014 - 2010
4 yıl
= 2500 kişi / yıl dır.
25
20
15
10
5
0
2010
2014
Yıllar
Selçuk Oto Kiralama, araçlarına arabalarının bürosuna
olan uzaklığını gösteren araç takip sistemi taktırmıştır. Kiralanan bir aracın takip sisteminden bilgisayara aşağıdaki
grafik aktarılmıştır.
1. Aşağıdaki tobloyu doldurunuz.
Zaman
Yoldaki
Zamandaki
Değim
Aralığı (Sa)
Değişim (Km)
Değişim (Sa)
Oranı
0–2
Yol (x 10 km)
2–4
4–6
6–8
30
8 – 12
25
20
15
2. Bu aracın 12 saatlik hareketi boyunca yoldaki değişiminin oranı kaç km/sa tir?
10
5
2
4
6
8
10
12
Zaman
(sa)
3. 8 – 10 sa ve 10 – 12 sa zaman aralıklarındaki değişim
oranı aynı olduğuna göre 10. saatte aracın büroya
olan uzaklığı kaç km dir?
Buna göre bu araç için yandaki soruları cevaplandırınız.
Zaman
Aralığı (Su)
0–2
1)
2–4
4–6
6–8
8 – 12
Yoldaki
Değişim (Km)
100
150
–100
0
150
Zamandaki
Değişim (Su)
2
2
2
2
4
Değim
Oranı
50
75
–50
0
37,5
2) 25
3) 225
121
9. Bir evcil hayvan dükkanındaki iki kafeste toplam 144
2
kuş vardır. Birinci kafesteki kuşların
i diğerine
5
aktarılınca ikinci kafesteki kuş sayısı, birinci kafeste
kalan kuş sayısından 24 fazla oluyor.
A
13.Şekildeki A kabı B bardağıyla 8
defada C bardağıyla 5 defada
dolmaktadır. A kabına B
bardağıyla 1 bardak ve C
bardağıyla 2 bardak su boşaltılıyor.
Buna göre başlangıçta ikinci kafeste kaç kuş vardır?
A) 24
B) 28
C) 34
D) 36
C
B
Buna göre A kabının dolması için aşağıdakilerden
hangisi yapılmalıdır?
A) B bardağıyla 1 bardak, C bardağıyla 2 bardak su
konulmalıdır.
E) 44
B) B bardağıyla 3 bardak, C bardağıyla 2 bardak su
konulmalıdır.
C) B ve C bardaklarıyla 1 er bardak su konulmalıdır.
10.Her gün okul servisine geç kalan bir öğrenci geç
kalmamak için kol saatini 6 dakika ileri almış, bindiği
aracında saati 4 dakika geri kalmıştır. Bu öğreci kol
saatine göre saat 8:00 da evinin önünden servise
binmiş ve araçtaki saate göre 8:25 te okula ulaşmıştır.
D) B bardağıyla 3 bardak, C bardağıyla yarım bardak
su konulmalıdır.
E) B bardağıyla 2 bardak, C bardağıyla 1 bardak su
konulmalıdır.
Buna göre bu öğrencinin okulu ile evi arası kaç
dakika sürmüştür?
A) 30
B) 33
C) 35
D) 37
14.
E) 39
Kırmızı Sarı
Son durumda bu üç kovadaki su miktarı eşit olduğuna göre x + y toplamı kaçtır?
B) 6
C) 7
D) 8
Buna göre Harun kırmızı parkeden başlamak şartıyla ilerlerse 54. adımı hangi renkteki parke üzerinde olur?
E) 9
12.Beş katlı bir asansörün zemin katında bulunan boş
asansöre belli sayıda kişi binmiştir. Tek numaralı katlarda asansörde bulunan kişilerin ikide biri inmiş, çift
numaralı katlarda ise asansörde bulunanların üçte
biri kadar kişi binmiştir.
B) 4
C) 6
D) 8
A) Kırmızı
B) Sarı
D) Yeşil E) Beyaz
C) Mavi
15.Bir otobüs firması, yolcularına sıcak veya soğuk
içecek ikram etmektedir. Her sıcak içeceğin servisi 20 saniye, her soğuk içeceğin servisi 15 saniye
sürmektedir.
Asansör her katta durarak ilerlediğine göre zemin
katta asansöre 18 kişi binmişse 4. katta kaç kişi
inmiştir?
A) 2
...
Harun kırmızı, sarı, mavi, yeşil ve beyaz renklerle
renklendirilmiş verilen sırada periyodik olarak sıralanan yeterince uzun parkeler üzerinde her adımı
bir parkenin içine gelecek şekilde, parke atlamadan
5 adım ileri 2 adım geri giderek ilerliyor.
11.Eşit hacimli A, B ve C kovalarında sırasıyla 15 litre,
10 litre ve 2 litre su bulunmaktadır. A daki suyun x
litresi ve B deki suyun y litresi C ye aktarılıyor.
A) 5
Mavi Yeşil Beyaz Kırmızı
Bu firma ile seyahat eden 54 yolcuya yapılan servis 16 dakika sürdüğüne göre bu yolcuların kaçı
sıcak içecek içmiştir?
E) 10
A) 24
B) 30
C) 36
D) 40
E) 45
158
1. C
2. D
3. D
4. A
5. C
6. D
7. E
8. B
9. E
10. C
11. C
12. B
13. D
14. A
15. B
Sayı ile Kesir Problemleri
KONU TESTİ - 11
1. Bir market sahibi marketi için 5 li ve 8 li paketler
halinde satılan sakızlardan 25 paket almıştır.
Bu market sahibinin aldığı paketler içinde toplam
176 tane sakız olduğuna göre bu market sahibi 8 li
paketlerden kaç tane almıştır?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
2. Aynı şirkette çalışan Ahmet ve Bekir'in maaşları
sırasıyla A ¨ ve B ¨ dir. Ahmet'in maaşına Bekir'in
maaşının yarısı kadar, Bekir'in maaşına da Ahmet'in
1
ü kadar zam yapıldığında ikisinin maaşmaaşının
3
ları eşit oluyor.
Buna göre A ile B arasındaki ilişki aşağıdakilerden
hangisidir?
B) 5A = 2B
B) 3A = 4B
D) 4A = 3B
E) 2A = 3B
C) 3A = 5B
4. Hakan Bey'in maaşına 2015 yılının 3. ve 8. aylarında
sırasıyla 120 ¨ ve 250 ¨ zam yapılmıştır. Aynı yılın
ilk 10 ayında aldığı toplam maaşı ilk 5 ayında aldığı
toplam maaştan 10350 ¨ fazladır.
Buna göre Hakan Bey'in 2015 ocak maaşı kaç
¨ dir?
A) 1400
B) 1500
D) 1700
E) 1800
5. Bir çiftlikte bulunan inek ve koyunlara her gün saat
8:00 dan saat 20:00 a kadar belirli aralıklarla yem
verilmektedir. Her sabah saat 8:00 da yem verilmeye
başlanan bu hayvanların günlük yem miktarları ile
ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
•• İneklere her 4 saatte, koyunlara ise her 6 saatte bir
yem verilmektedir.
•• Bir ineğin yediği yem miktarı bir koyunun yediği yem
miktarının 2 katıdır.
•• Toplam 25 hayvanın bulunduğu bu çiftlikte bir koyunun günlük yediği yem miktarı 4,5 kg dır.
Çiftlikte bir günde tüm hayvanlara verilen yem
miktarı 225 kg olduğuna göre çiftlikte kaç tane
inek vardır?
A) 10
3. Bir miktar para üç kardeş arasında aşağıdaki gibi
paylaştırılmaktadır.
2
•• Küçük kardeş tüm paranın
ini alıyor.
5
•• Ortanca kardeş büyük kardeşin aldığı paranın
1
ünü alıyor.
3
Buna göre büyük kardeşin aldığı para küçük kardeşin aldığı paranın kaç katıdır?
A)
5
8
B)
3
4
C)
7
8
C) 1600
D)
9
8
E)
5
4
B) 12
C) 15
D) 18
E) 20
6. Bir terzi, kolay bir şekilde ölçü alabilmek için çırağından 100 cm uzunluğunda bir tahta parçası yaptırmasını istiyor. Fakat çırak yanlışlıkla 80 cm uzunluğunda bir tahta parçası yaptırıyor. Bu terzi, boyutları,
gerçekte eni 2 m ve boyu 10 m olan kumaşı çırağın
yaptırdığı tahta parçasıyla ölçüyor ve yaptığı bu ölçüme göre fiyatını hesaplayıp müşterisine satıyor.
Kumaşın metrekare fiyatı 10 ¨ olduğuna göre terzi
müşterisinden fazladan kaç ¨ almıştır?
A) 70
B) 72
C) 75
D) 78
E) 84
159
10.Bir telefon kulübesindeki banka kartıyla çalışan
telefonun yurt dışı görüşme ücretlendirilmesi ile ilgili
aşağıdakiler bilinmektedir.
7.
•• Telefon sabit bir ücret ile açılmaktadır.
I
•• Her dakika, bir önceki dakikanın yarısı kadar daha
fazla ücret ile ücretlendirilmektedir.
II
Şekil I deki silindir biçimindeki kabın
7
si su ile do12
•• 2 dakikalık konuşma 6 ¨ tutmaktadır.
Bu telefonla Almanya'daki kuzeni ile görüşen Ebru,
4 dakikalık görüşme için telefonun dijital ekranında
kartından 15 ¨ çekildiğini görmüştür.
ludur. Bu kap şekil II deki gibi eğildiğinde kaptan eşit
hacimdeki 5 bardak su alınabiliyor.
Buna göre bu kabın tamamı kaç bardak su ile dolar?
A) 45
B) 48
C) 54
D) 60
Buna göre telefonun sabit açılış ücreti kaç ¨ dır?
A) 1,5
E) 72
11.
B) 2
C) 2,5
150 cm
D) 3
E) 3,5
150 cm
240 cm
8. Her sabah yürüyüş yapmaya karar veren Aylin ve
Berna'nın yürüyüşleri ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
Tablo
•• Aylin birinci gün 400 m yürümüştür.
•• Aylin her 4 günde bir günlük yürüme mesafesini
50 m arttırmaktadır.
150 cm
•• Berna ise yürüme mesafesini her 6 günde bir 80 m
arttırmaktadır.
Zemin
Bir kenarı 240 cm olan bir kare tablo 300 cm uzunluğundaki iple şekildeki gibi asıldığında taban kenarı
zemine paralel duruyor.
Aylin ile Berna'nın 24. gün yürüdükleri mesafe
aynı ise Berna'nın birinci gün yürüdüğü mesafe
kaç metredir?
A) 320
B) 360
C) 380
D) 390
Buna göre tablo aynı noktaya asılmak şartıyla ipin
boyu 40 cm kısaltılıp tablonun taban kenarı zemine paralel olacak şekilde duvara asıldığında tablonun taban kenarının zemine uzaklığı kaç cm olur?
E) 420
9. Bir ses yarışmasına katılan Samet'in üç farklı jüri
üyesinden 1 de 9 a kadar aldığı puanlar ile ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
•• I jüri üyesinin verdiği puan II. jüri üyesinin verdiği
puanın 2 katıdır.
A) 180
D) 17
E) 220
•• Her kamyonun yüklenmesi yarım saat, yükü taşıması 3 saat, yükü boşaltması yarım saat ve madene
dönüşü 2 saat sürmektedir.
Buna göre Samet yarışmadan en çok kaç puan almıştır?
C) 16
D) 210
•• 6 şar ton yük taşıyan ve sürekli çalışan 4 kamyon
bulunmaktadır.
•• III. jüri üyesinin verdiği puan I. jüri üyesinin verdiği
puandan büyük ve asal sayıdır.
B) 15
C) 200
12.Bir maden ocağından çıkarılan kömürlerin işlenmek
üzere fabrikaya taşınmasıyla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
•• II. jüri üyesinin verdiği puan III. jüri üyesinin verdiği
puandan küçük ve tek sayıdır.
A) 14
B) 190
Buna göre 480 ton kömür, bu dört kamyona aynı
anda yüklenmeye başlanırsa kaç saatte fabrikaya
tamamen boşaltılmış olur?
E) 18
A) 112
B) 116
C) 118
D) 120
E) 122
160
1. E
2. D
3. D
4. E
5. C
6. B
7. D
8. C
9. C
10. B
11. B
12. C
Konu Adı
KONU TESTİ - 12
1. Esra, Ecem'den 4 yaş büyüktür.
2015 yılında Ecem 20 yaşında olduğuna göre Esra'nın 2010 yılındaki yaşı kaçtır?
A) 11
B) 13
C) 15
D) 17
E) 19
2. Ercan A yılında, Metin B yılında doğmuştur.
Ercan'ın A + 24 yılındaki yaşı, Metin'in B + x yılındaki yaşından 5 fazladır.
Buna göre x kaçtır?
A) 17
B) 19
C) 21
D) 25
E) 29
3. Ahmet a yılında, babası b yılında doğmuştur.
Ahmet x yaşında iken babasının yaşı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) a + b – x
B) b + x – a
D) b – a – x
E) a + x – b
C) x – a – b
4. İki kardeşin 3 yıl önceki yaşları farkı 3a – 1, 4 yıl
sonraki yaşları farklı ise 5a – 7 dir.
Buna göre bu kardeşlerin bugünkü yaşları farkı
kaçtır?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
5. Sezayi ile annesinin yaşları farkı x tir. Annesinin yaşı
Sezayi'nin yaşının y katının 2 fazlasıdır.
Buna göre Sezayi'nin yaşını veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x-1
y+1
B)
x-2
y-2
D)
x-2
y-1
E)
x-1
y-2
C)
x+1
y-1
6. Samet'in yaşı ab, Cihan'ın yaşı ba iki basamaklı
sayılarına eşittir.
Samet'in 4 yıl önceki yaşının Cihan'ın 1 yıl sonraki
7
olduğuna göre Samet, Cihan'dan
yaşına oranı
6
kaç yaş büyüktür?
A) 10
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6
161
11.Anne, baba ve çocuklardan oluşan bir ailenin yaş
ortalaması 14 tür.
3
1
7. Fatih'in yaşı Ömer'in yaşının
ü, Uğur'un yaşının
3
4
ine eşittir.
Üç yıl sonra bu ailenin yaş toplamı 85 olacağına
göre aile kaç çocukludur?
Üçünün yaşları toplamı 64 olduğuna göre Ömer,
Fatih'ten kaç yaş büyüktür?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
A) 1
E) 6
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
8. Sinan doğduğunda Mehmet 8 yaşında ve Talha doğduğunda Sinan 3 yaşındadır.
Üçünün yaşları toplamı 50 olduğuna göre Mehmet'in bugünkü yaşı kaçtır?
A) 23
B) 22
C) 21
D) 20
12.Çağan a, babası b ve dedesi c yıllarında dünyaya
gelmişlerdir.
E) 19
Buna göre c - b + a - c - a - b ifadesinin eşiti
aşağıdakilerden hangisidir?
A) a
B) 2a – 2b
D) 2b – 2c
E) 2c – 2a
C) 2b – c
9. Ali, Bora ve Cemil isimli kardeşlerin yaşları ile ilgili
aşağıdakiler bilinmektedir.
• Ali, Bora'dan 3 yaş büyüktür.
• Bora doğduğunda Cemil'in doğmasına 6 yıl vardı.
• Üçünün yaşlarının aritmetik ortalaması 12 dir.
Buna göre Bora'nın yaşı kaçtır?
A) 12
B) 13
C) 14
D) 15
13.İkisi ikiz 4 kardeşin yaşları için aşağıdakiler bilinmektedir.
E) 16
• İkiz olan kardeşlerin doğum yılı diğer kardeşlerin doğum yılından küçüktür.
• Kardeşlerin yaşları ardışık tek sayılardır.
• Dört kardeşin yaşları toplamı 30 dur.
Buna göre ikiz kardeşlerin yaşı kaçtır?
10.Ayşe Hanım'ın ve üç çocuğunun yaşları toplamı 50
dir. 14 yıl sonra Ayşe Hanım'ın yaşı, çocuklarının yaşları toplamına eşit olacaktır.
A) 5
B) 7
C) 9
D) 10
E) 13
Buna göre Ayşe Hanım bugün kaç yaşındadır?
A) 28
B) 30
C) 32
D) 34
E) 39
162
1. E
2. B
3. E
4. D
5. D
6. B
7. C
8. A
9. B
10. E
11. C
12. D
13. C
Yaş Problemleri
KONU TESTİ - 13
1. Gülşah 1981 yılında, Gül 1987 yılında doğmuştur.
Hangi yılda Gülşah'ın yaşının Gül'ün yaşına oranı
3
olur?
2
A) 1995
B) 1997
D) 2001
E) 2003
C) 1999
5. Bir büyükbaş hayvan çiftliğindeki yaş ortalaması 8
olan 5 hayvan kesime gönderilince kalan hayvanların
yaş ortalaması 13 oluyor. Çiftlik sahibi kayıtlarını incelerken 2 sene önce aynı hayvanların yaş ortalamasının 10 olduğunu görüyor.
Buna göre kesimden sonra çiftlikte kaç hayvan
kalmıştır?
A) 20
2. 2014 yılında Mizgin'in yaşının 5 katı Furkanın yaşının
3 katına eşittir.
Mizgin'in 2010 yılındaki yaşı, Furkan'ın 2020 yılındaki yaşının yarısı olduğuna göre Mizgin hangi yılda doğmuştur?
A) 1970
B) 1972
D) 1976
E) 1980
C) 1974
Buna göre Müjde bugün kaç yaşındadır?
A) 15
B) 18
C) 20
D) 23
E) 25
4. Mehmet'in yaşı iki kardeşinin yaşları farkının 5 katıdır. 10 yıl sonra Mehmet'in yaşı kardeşlerinin yaşları
farkının 8 katından 5 eksik olacaktır.
C) 24
D) 25
E) 28
6. Yaşları toplamı 32 olan üç kardeşin yaşları ile ilgili
olarak aşağıdakiler biilinmektedir.
•• Ortanca kardeş en küçüğünün yaşındayken, en büyük ortancanın 4 katı yaşındaydı.
•• Ortanca kardeş en büyüğün yaşına geldiğinde, en
büyük kardeş en küçük kardeşin 2 katı yaşta olacaktır.
Buna göre ortanca kardeş bügün kaç yaşındadır?
A) 4
3. Hakan ile Müjde'nin yaşları toplamı 60 tır. 10 yıl son2
ra Hakan'ın yaşı Müjde'nin yaşının
si kadar daha
7
fazla olacaktır.
B) 22
B) 6
C) 8
D) 12
E) 16
7. Bir baba ile ikiz çocuklarının bugünkü yaşları toplamı
A dır.
t yıl sonra babanın yaşı çocuklarının yaşları toplamının 2 katı olacağına göre çocuklardan birinin
bugünkü yaşı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A)
3t - 6
A
B)
A + 6t
3
D)
A + 3t
6
E)
A - 3t
6
C)
A - 6t
3
8. Yaşları farklı beş kardeşin yaşları toplamı 45 tir.
Buna göre Mehmet bugün kaç yaşındadır?
Buna göre en büyük kardeş en az kaç yaşındadır?
A) 10
A) 10
B) 12
C) 13
D) 15
E) 18
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14
163
9. Eşit ara ile doğmuş dört kardeşten en büyüğünün
yaşı, en küçüğünün yaşının 5 katıdır. 2 yıl sonra diğer
kardeşlerin yaşları toplamı 22 olacaktır.
Buna göre en büyük kardeş bugün kaç yaşındadır?
A) 9
B) 10
C) 12
D) 15
12.Bir anne ve iki çocuğunun yaşları toplamı 60 tır.
Anne 10 yıl önce, çocuklardan biri 5 yıl sonra, diğeri
3 yıl önce doğmuş olsalardı annenin yaşı çocukların
yaşları toplamına eşit olacaktı.
Buna göre anne kaç yaşındadır?
E) 18
A) 22
B) 23
C) 24
D) 25
E) 26
13.Erkay, Tuna ve Poyraz'ın yaşları ile ilgili aşağıdakiler
bilinmektedir.
•• Erkay, Tuna'nın bugünkü yaşına geldiğinde Poyraz
15 yaşında oluyor.
10.2015 yılında Mert, Ömer'den 12 yaş büyüktür. 2000
yılında Mert 10 yaşında olduğuna göre Ömer'in
doğum yılı aşağıdakilerden hangisidir?
A) 1978
B) 1986
D) 1998
E) 2002
•• ErKay doğduğunda Poyraz'ın doğmasına 6 yıl vardı.
Buna göre Tuna'nın bugünkü yaşı kaçtır?
C) 1994
A) 20
11.Cemal ile kardeşi Kemal'in yaşları toplamı A dır. Cemal doğduğunda Kemal'in doğmasına k yıl vardı.
A-k
B)
2
D) A – 2k
E)
C) 22
D) 23
E) 24
14.Ayla, Bahar ve Ceyda isimli üç arkadaşın yaşları ile
ilgili aşağıdakiler bilinmetedir.
•• Ayla'nın doğum yılı Bahar'ın doğum yılından 3 fazladır.
Buna göre Cemal bugün kaç yaşındadır?
A+k
A)
2
B) 21
•• Ceyda doğduğunda Ayla'nın doğmasına 6 yıl vardı.
C) A + 2k
•• Üç arkadaşın yaş ortalaması 10 dur.
k-A
2
Buna göre Ayla ile Ceyda'nın yaşları toplamı kaçtır?
A) 17
B) 18
C) 19
D) 20
E) 21
164
1. C
2. B
3. E
4. D
5. A
6. C
7. E
8. B
9. D
10. E
11. B
12. C
13. B
14. E
Tablo ve Grafikler
KONU TESTİ - 14
1. Ağustos ayınn başında bir kayısı tüccarının elinde
1000 ton kayısı bulunmaktadır. Bu kayısıların 250
tonu ilk ay, 400 tonu ilk iki ay 750 tonu da ilk üç ay
içinde satılıyor.
Buna göre, ay başlarında bu tüccarın elinde bulunan kayısı miktarını gösteren grafik aşağıdakilerden hangisidir?
B)
Kayısı miktarı (Ton)
1000
700
350
300
250
250
Ağustos Eylül Ekim Kasım
C)
Aylar
D)
Kayısı miktarı (Ton)
4
Muz
60
12
Elma
72
8
Portakal
48
6
Aylar
Buna göre kaçıncı gün sonunda tezgâhta kalan
muz ve elmaların toplam miktarı, armut ve portakalın toplam miktarından 4 kg fazla olur?
Kayısı miktarı (Ton)
1000
750
600
750
600
A) 1
300
Ağustos Eylül Ekim Kasım
E)
Ağustos Eylül Ekim Kasım
1000
250
40
Şekildeki tabloda, bir manavın tezgâhında bulunan
dört çeşit meyveden kaçar kg olduğu ve bu meyvelerin günlük satış miktarları gösterilmiştir.
Kayısı miktarı (Ton)
1000
750
Armut
Aylar
Ağustos Eylül Ekim Kasım
Aylar
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
4. Aşağıdaki dairesel grafikte bir cevizli tatlının yapımında kullanılan malzeme çeşitine göre dağılımı
verilmiştir.
Kayısı miktarı (Ton)
Şeker
1000
Yağ
750
600
60°
Süt
250
Ağustos Eylül Ekim Kasım
Aylar
80°
100°
Un
Ceviz
A)
Tezgahta
Günlük satış
bulunan (kg)
(kg)
3.
Bir tepsi cevizli tatlının yapımında kullanılan un ve yağ
miktarı toplamı 320 gramdır.
Buna göre bir tepsi tatlının yapımında kaç gram
ceviz kullanılmıştır?
2.
A) 60
Yol (km)
C) 80
D) 90
270
B
180
A
B
1
2
Zaman (saat)
Şekilde A ve B araçlarının yol ve zaman grafiği verilmiştir.
Buna göre kaç saat sonra B aracı A aracını yakalar?
A) 9
E) 100
5. Bir otobüs firması; A, B, C ve D şehirleri arasındaki
bilet fiyatlarını aşağıdaki gibi A ile B arasındaki bilet
fiyatına göre belirlemektedir.
A
210
B) 70
B) 8
C) 7
D) 6
E) 5
C
D
x + 40
x
x + 15
x–5
x + 20
x + 30
Ahmet önce A şehrinden C şehrine, oradan da B şehrine bu otobüs firması ile seyahat etmiştir. Bekir ise
önce A şehrinden B şehrine oradan da D şehrine seyahat etmiştir.
Ahmet ve Bekir'in tüm seyahatleri boyunca ödedikleri
para toplam 350 TL olduğuna göre A ile D arasındaki
yolculuğun bilet fiyatı kç TL'dir?
A) 110
B) 105
C) 100
D) 95
E) 90
165
6. Siirt
Antep
Alış fiyatı (TL)
12
30
Satış fiyatı (TL)
20
40
2010
2015
Kişi sayısı
Eğitim
Sağlık
Şekildeki tabloda bir esnafın sattığı iki çeşit fıstığın
alış ve satış fiyatları verilmiştir. Bu kuruyemiş dükkanının bir kilogram fıstığı bir hafta depolama maliyeti
0,25 TL'dir.
Turizm
Sanayi
İletişim
Bu esnaf iki çeşit fıstıktan 1020 TL lik alıp10 hafta depolayarak satıyor ve bu satıştan 280 TL kâr ediyor.
50
Çalışan
Nüfus
100 150 200 250 300 350
Buna göre bu esnaf kaç kg Antep fıstığı almıştır?
Şekildeki grafik 2015 ve 2010 yıllarında çalışan nüfusun iş alanlarına göre dağılımını göstermektedir.
A) 50
Buna göre 8. ve 9. soruları cevaplayınız.
B) 40
C) 30
D) 20
E) 10
8. 2015 yılında çalışan nüfusun kaçta kaçı sanayi alanında çalışmaktadır?
A)
B)
2
25
C)
3
25
4
25
D)
E)
7
25
Üzüm suyu (kg)
7. Üzüm (kg)
9. Verilen yıllar arasında çalışan nüfustaki artış oranı
hangi iş alanında en yüksektir?
5
5
2
Üzüm
suyu (Litre) O
3
Pekmez
(kg)
Şekildeki doğrusal grafiklerin birincisinde üzümden
elde edilen üzüm suyu miktarı, ikincisinde ise üzüm
suyundan elde edilen pekmez miktarı gösterilmiştir.
B) 220
C) 200
D) 180
A) Eğitim
B) Sağlık
D) Sanayi
E) İletişim
10.
Buna göre 48 kg pekmez elde etmek için kaç kg
üzüm gerekir?
A) 240
1
25
E) 160
C) Tarım
Paslolu Öğrenci
Tam
Tek Bilet Fiyatı
1,75 ¨
2,25 ¨
5 li Bilet Fiyatı
6¨
11 ¨
Şekildeki tabloda bir kentteki belediye otobüslerine
uygulanan bilet tarifesi verilmiştir.
Yıllık paso ücreti 60 ¨ olan bu kentte pasosu olmayan
öğrenciler tam bilet tarifesiyle şehir içi ulaşım yapmaktadır. Burcu pasosuz 1 yıl boyunca 5 li bilet alarak 400
defa, Gülce ise pasolu 1 yıl boyunca tekli bilet alarak
400 defa otobüse binmiştir.
Buna göre 1 yılda Burcu Gülce'den kaç ¨ fazla
para ödemiştir?
A) 100
B) 120
C) 140
D) 160
E) 180
166
1. E
2. C
3. D
4. A
5. A
6. C
7. C
8. D
9. A
10. B
Tablo ve Grafikler
KONU TESTİ - 15
1. Bir okulda düzenlenen hafta sonu kursuna kayıt yaptıran öğrenci sayılarından bazıları aşağıdaki tabloda
verilmiştir.
3.
Su miktarı (Litre)
450
Erkek
Kız
Matematik
250
16
Fizik
24
Kimya
14
12
Tarih
O
Toplam
Bu kursa Matematik dersi için kayıt yaptıran erkek
öğrenci sayısı Tarih dersine kayıt yaptıran kız öğrenci
sayısının yarısı, Kimya dersine kayıt yaptıran kız öğ-
Zaman (Saat)
8
Bir depoda 450 litre su bulunmaktadır. Şekildeki doğrusal grafik, bu deponun altında bulunan musluk açıldığında depodaki su miktarının zamana göre değişimini göstermektedir.
sayısının 2 katıdır.
Buna göre musluk açıldıktan kaç saat sonra depodan boşalan su miktarı depoda kalan su miktarının
2 katı olur?
Ayrıca kurslara kayıt yaptıran toplam kız ve erkek öğ-
A) 12
renci sayısı Tarih dersine kayıt yaptıran erkek öğrenci
B) 13
C) 14
D) 15
E) 16
renci sayıları eşittir.
Buna göre, kursa kayıt yaptıran öğrenci sayısı
Kum miktarı (Gram)
kaçtır?
A) 100
B) 96
C) 94
D) 92
E) 88
100
90
2. Alınan
O
Puanlar
Şekil I
Yol (km)
20
Şekil II
Şekil II'deki doğrusal grafik bir aracın aldığı yol ile
şekil I'deki kum saatinin üst bölmesinde kalan kum
miktarı arasındaki değişimi göstermektedir.
100
90
80
70
Buna göre 4. ve 5. soruları cevaplayınız.
60
50
40
30
4. Araç 48 km yol aldığında kum saatinin üst bölmesinde kaç gram kum kalır?
20
10
2
4
6
8
10
Öğrenci
Saysı
30 öğrencinin bulunduğu bir sınıfta öğrencilerin Matematik sınavından aldıkları notlar ve öğrenci sayısı
arasındaki ilişki verilmiştir.
Buna göre sınıfın matematik sınavındaki ortalaması kaçtır?
A) 43
B) 44
C) 45
D) 46
E) 47
A) 55
B) 68
C) 72
D) 74
E) 76
5. Kum saatinin alt bölmesindeki kum miktarı üst bölmesindeki kum miktarının 4 katı olduğunda araç kaç km
yol almıştır?
A) 160
B) 150
C) 140
D) 130
E) 120
167