ceb rsel topoloj ı

CEBRSEL TOPOLOJ I
LSANSÜSTÜ DERS NOTLARI 2010
Prof. Dr. smet KARACA
çindekiler
1
GR
3
2
TEMEL TOPOLOJK KAVRAMLAR
7
3
4
5
6
2.1
HOMOTOP
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
KONVEKSLK, BÜZÜLEBLRLK VE KONLER . . . . . .
14
2.3
DENTFKASYON UZAYLARI
. . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.4
BÖLÜM UZAYLARI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.5
YOLLAR VE YOL BALANTILILIK
25
. . . . . . . . . . . . .
Temel Grup
29
3.0.1
Temel Grup
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.0.2
Topolojik Grup
3.0.3
H-Uzay (Hoph Uzay)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
ÖRTÜ UZAYLARI
29
47
48
50
4.0.4
Bir Grubun Küme Üzerine Hareketi . . . . . . . . . . .
57
4.0.5
Örtü Transformasyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
SMPLEKSLER
73
5.1
Ane Uzaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
5.2
Simpleksler Kompleksi
82
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SMPLEKSLER HOMOLOJ GRUBU
88
6.1
Serbest Abel Gruplar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
6.2
Simpleksler Zincir Kompleksi
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
6.3
Simpleksler Homolo ji Grubu . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
6.4
Simpleksler Kompleksin Euler Karakteristi§i
6.5
Homoloji ve Simpleksler Dönü³ümü
6.6
Lefschetz Sabit Nokta Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
6.7
Borsuk-Ulam Teoremi
. . . . . . . . . . 102
. . . . . . . . . . . . . . . 105
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
1
7
Singüler Kompleks ve Homolo ji
109
7.0.1
Eilenberg-Steenrod Aksiyomlar
7.0.2
Hurewicz Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
2
. . . . . . . . . . . . . 115
Bölüm 1
GR
Tanm 1.0.1. Bir kategori; nesneler snfn, morzmler snfn ve bile³ke
i³lemini içerir.
1.
f , g, h
2.
f : A −→ B
ve IA ◦ g = g
birer morzmler ise
ve
h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f ) ◦ g
g : C −→ A
(birle³me özelli§i)
birer morzm olmak üzere
olacak ³ekilde bir
IA : A −→ A
f ◦ IA = f
vardr.(Birim elemann
varl§)
Örnek 1.0.1.
• h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ f ) ◦ g
f ◦ IA = f
ve
oldu§unu gösterelim.
g ◦ IA = g ∃IA : A −→ A
var mdr?
h ◦ (f ◦ g)(x) = h(f ◦ g(x)) = h(f (g(x)))
(h ◦ f ) ◦ g(x) = (h ◦ f )(g(x)) = h(f (g(x)))
f ◦ IA = f
IA ◦ g = g
•
Top: Topolojik uzaylar kategorisi
Objeler: Topolojik uzaylar
Morzmalar: Sürekli fonksiyonlar
Biles
. ke is
. lemi: Sürekli iki fonksiyonun biles
. kesi
3
•
Grup: Gruplar kategorisi
Objeler: Gruplar
Morzmler: Grup homomorzmi
Biles
. ke is
. lemi: iki grup homomorzmasnn biles
. kesi
•
Ring: Halkalar kategorisi
Objeler: Halkalar
Morzmler: Halka homomorzmas
Biles
. ke: Bilinen biles
. ke
•
Ab: Abel gruplar kategorisi
Objeler: Abel gruplar
Morzmler: Homomorzmler (abel gruplar arasnda)
Biles
. ke: Bilinen biles
. ke
• T op∗ =Noktal
Nesneler:
topolojik uzay kategorisi
(X, x0 )
Morzmler:
noktal topolojik uzaylar.
f : (X, x0 ) −→ (Y, y0 ), f
sürekli
Biles
. ke: bilinen biles
. ke is
. lemi
•
N Lin
Sp :
Normlu lineer uzaylar kategorisi
Objeler: Normlu lineer uzaylar
Morzmler: Snrl lineer dönüs
. ümler
4
(x0 ∈ X)
Biles
. ke: Bilinen biles
. ke i³lemi
Tanm 1.0.2. E§er a³a§daki özellikler mevcut ise
[
Hom(A, B)
(A,B)
morzmler snf üzerinde tanml denklik ba§ntsna
C
kategorisi üzerinde
kongruans denir.
f ∼f '⇒ f 0 ∈ Hom(A, B)
1.
f ∈ Hom(A, B)
2.
f ∼ f 0, g ∼ g0 ⇒ g ◦ f ∼ g0 ◦ f 0
Teorem 1.0.1.
[f ], bir f
C
ve
bir kategori,
∼C
üzerinde tanml kongruans olsun. Ayrca
morzminin denklik snfn göstersin.
C0
kategorisini tanmlayalm;
Ob(C 0 ) = Ob(C), HomC 0 (A, B) = {{|{ ∈ HomC (A, B)}, [}] ◦ [{] = [} ◦ {].
O zaman
C0
C0
bir kategoridir (
ayn zamanda bölüm kategorisi olarak ad-
landrlr).
C =Top f ' g ⇔ f, g
'ye homotoptur. Top/
' bölüm kategorisidir.
C =Grup; f, g ∈ Hom(G, H) f ' g ⇔ ∀x ∈ G için f (x) = ag(x)a−1
olacak ³ekilde bir a ∈ H vardr. Grp/∼ bölüm kategorisidir.
Tanm 1.0.3.
A
ve
B
iki kategori olsun.
A
ve
B
arasnda tanmlanan Funk-
tor T a³a§daki özellikleri sa§layan bir fonksiyondur.
1.
A ∈ Ob(A) ⇒ T (A) ∈ Ob(B)
2.
f : A → A0 , A
da bir morzm ise
T (f ) : T (A) → T (A0 ), B
de bir
morzmdir.
3.
f , g, A
4.
∀A ∈ Ob(A)
birer morzm ve
için
g◦f
tanml ise
T (IA ) = IT (A)
T (g ◦ f ) = T (g) ◦ T (f )
(kovaryant funktor)
→ Set
x → F (x)
f → F (f )
Örnek 1.0.2. F: Top
5
F (g ◦ f ) = F (g) ◦ F (f ), F (Ix ) = IF (x)
→Sets
A→G(A)
f → G(f )
G:Grp
fonksiyon
πn :Top→Grp
x → pin (x)
f → πn (f ), f :sürekli,πn (f )
homeomorzm
Hn :Top→Ab
x → Hn (x)
f → Hn (f ), f :sürekli, Hn (f )
homeomorzm
C→C
A → J(A)=A
f → J(f ) = f
Birim funktor,I:
M sabit topolojik uzay olsun;
TM : T op → T op
x → TM (x) = M × X
f → TM (f ) : M × X → M × Y
(M, x) 7→ TM (f )(m, x) = (m, f (x))
Tanm 1.0.4.
A
ve
B
iki kategori olsun.
A
ve
B
arasndaki kontravaryant
funktor S,a³a§daki özellikleri sa§layan bir fonksiyondur.
1.
A ∈ Ob(A) ⇒ S(A) ∈ Ob(A)
2.
f : A → A0
A'da
bir morzm ise
S(f ) : S(A0 ) → S(A)
da
B 'de
bir
morzmdir.
3.
f, gA
4.
∀A ∈ Ob(A)
da birer morzm ve
için
g◦f
S(IA ) = IS(A)
6
tanml ise;
S(g ◦ f ) = S(f ) ◦ S(g)
Bölüm 2
TEMEL TOPOLOJK
KAVRAMLAR
2.1 HOMOTOP
X ve Y iki topolojik uzay olsun ve f, g : X −→ Y sürekli iki
∀x ∈ X için H(x, 0) = f (x) ve H(x, 1) = g(x) olacak ³ekilde
bir H : X × I −→ Y sürekli fonksiyon varsa f , g ye homotoptur denir
ve f ' g ile gösterilir. H fonksiyonuna homotopi fonksiyonu denir.
Tanm 2.1.1.
fonksiyon olsun.
Lemma 2.1.1.
X
topolojik uzay,kapal alt uzaylarn sonlu birle³imi olsun.
Yani;
X=
n
[
Xi
i=1
(
Xi
X bir topolojik uzay olmak üzere ,fi |Xi ∩Xj =fj |Xi ∩Xj
fi :Xi →Y sürekli ise fi |Xi =fi olacak ³ekilde bir tek f : X → Y
kapal alt küme)
olacak ³ekilde
sürekli fonksiyonu vardr.
spat: Kabul edelim ki
olmasn.
g|Xi =fi
f |Xi =fi
olacak ³ekilde
f : X → Y fonksiyon
durumda ∀i için:
olacak ³ekilde bir tek
g:X→Y
olsun.Bu
∀x ∈ Xi için g(x) = fi (x)
∀x ∈ Xi S
için f (x) = fi (x), ∀x ∈ Xi için f (x) = g(x)
⇒ ∀x ∈ ni=1 Xi = x için f (x) = g(x) olur.f tektir.
x=
n
[
i=1
7
Xi
olsun ve
f i : Xi → Y
sürekli, öyle ki
fi |Xi ∩Xj = fj |Xi ∩Xj
olsun.
C, X 'de
kapal olsun.
f −1 (C) = X ∩ f −1 (C) =
n
[
Xi ∩ f −1 (C)
(2.1)
i=1
=
n
[
(Xi ∩
fi−1 (C))
=
i=1
fi
sürekli oldu§undan
n
[
fi−1 (C).
(2.2)
i=1
fi−1 (C)
kapaldr. Kapal kümelerin sonlu bir-
le³imi kapal oldu§undan
n
[
fi−1 (C)
i=1
kapaldr.
Lemma 2.1.2.
X
topolojik uzaynn bir açk örtüsü var olsun. Yani
[
X=
Xi
iI
Y
topolojik uzay olmak üzere
fi |Xi ∩Xj = fj |Xi ∩Xj
olacak ³ekilde
Y
f : Xi → Y
sürekli ise
f |Xi = fi
olacak ³ekilde bir tek
f :X→
sürekli fonksiyon vardr.
Teorem 2.1.1. Homotopi ba§nts sürekli fonksiyonlar kümesi üzerinde bir
denklik ba§ntsdr.
spat:
3
f 'f
f 'g⇒g'f
Geçi³me: f ' g ve g ' h ⇒ f ' h
1)
Yansma:
1)
2)
Yansma:
Simetri:
f :X→Y
olsun.
H :X ×I →Y
(x, t) 7→ H(x, t) = f (x)
H süreklidir çünkü f süreklidir. Ayrca;
H(x, 0) = f (x) ve h(x, 1) = f (x) oldu§undan f ' f
8
olur.
2)
Simetri:
f ' g ⇔ ∃ H : X × I → Y , H(x, 0) = f (x), H(x, 1) = g(x),
olacak ³ekilde H sürekli dönü³ümü mevcuttur.
F :X ×I →Y
(x, t) 7→ F (x, t) = H(x, 1 − t),
F
süreklidir çünkü
H
süreklidir.
F (x, 0) = H(x, 1) = g(x)
F (x, 1) = H(x, 0) = f (x)
⇒g'f
3)
Geçi³me:
f ' g ⇔ ∃H : X × I → Y , H(x, 0) = f (x), H(x, 1) = g(x),
olacak ³ekilde H sürekli dönü³ümü mevcuttur.
g ' h ⇔ ∃G : X × I → Y ,
G(x, 0) = g(x), G(x, 1) = h(x) ,
olacak ³ekilde G sürekli dönü³ümü
mevcuttur.
F :X ×I →Y,
(x, t) → F (x, t) =
F dönü³ümü
H
ve
G
H(x, 2t)
G(x, 2t − 1)
0 ≤ t ≤ 12
1
≤t≤1
2
sürekli oldu§undan Pasting Lemma'dan
süreklidir.
imdi
F (x, 0) = f (x)
F (x, 1) = h(x)
ve
oldu§unu gösterelim.
F (x, 0) = H(x, 0) = f (x)
F (x, 1) = G(x, 1) = h(x)
⇒f 'h
Tanm 2.1.2.
f :X→Y
sürekli dönü³üm olsun.
[f ] = {g : X → Y
sürekli
denklik snfna homotopi snf denir.
9
: g ' f}
f0 , f1 : X → Y sürekli
g0 ' g1 ise g0 ◦g1 ' g1 ◦f1
g0 , g1 : Y → Z
Teorem 2.1.2.
ve
f0 ' f1
dir.
ve
spat:
ba§ntsndan
g0 ◦f0 ' g0 ◦f1 ve g0 ◦f1 ' g1 ◦f1
g0 ◦f0 ' g1 ◦f1 elde ederiz.
sürekli,
oldu§unu gösterip geçi³me
f0 ' f1 ⇔ ∃ F : X × I → Y , F
F (x, 0) = f0 (x), ve F (x, 1) = f1 (x)
sürekli dönü³ümü mevcuttur
öyleki
g0 ' g1 ⇔ ∃ H : X × I → Y , H
H(x, 0) = g0 (x), ve H(x, 1) = g1 (x)
sürekli dönü³ümü mevcuttur
öyleki
F :X ×I →Y
ve
g0 : Y → Z
olmak üzere,
G:X ×I →Z
(x, t) 7→ G(x, t) = g0 ◦ F (x, t)
G
süreklidir çünkü
g0
ve
F
dönü³ümünü tanmlayalm.
süreklidir. Üstelik;
G(x, 0) = g0 ◦ F (x, 0) = g0 ◦ f0 (x)
G(x, 1) = g0 ◦ F (x, 1) = g0 ◦ f1 (x)
⇒ g0 ◦f0 ' g0 ◦f1
K :X ×I →Z
(x,k )7→ H(f1 (x),t)
K süreklidir çünkü
H
ile tanmlansn.
süreklidir. Üstelik
K(
x,0)=H(f1 (x),0)=g0 (f1 (x))=g0 ◦f1 (x)
K(
x,1)=H(f1 (x),1)=g1 (f1 (x))=g0 ◦f1 (x)
⇒g0 ◦f1 ' g1 ◦f1
Geçi³me özelli§inden;
olur.
g0 ◦ f0 ' g1 ◦f1
elde edilir.
Sonuç 2.1.1. Homotopi, Top kategorisinde bir kongruansdr.
10
Tanm 2.1.3. Homotopi, Top kategorisi üzerinde bir kongruansdr dolaysyla
bu kongruansn olu³turdu§u bölüm kategorisine homotopi kategorisi denir
hT op = T op/ '
ve hTop ile gösterilir.
T:
T op → A,
x7→T(x)
f 7→T(f )
cebirsel yap kategorisi (Grp,Ab,Rng,...)
f : X→Y
g : Y →X sürekli
Tanm 2.1.4.
sürekli dönü³üm olsun.
³ekilde
fonksiyon varsa,
X
ve
Y
ve
Y
ayn homotopi tipine sahiptir
topolojik uzaylar arasnda
g◦f ' Ix
ve
f ◦g'Iy
olacak
f ye homotopi denktir denir. E§er
f :X→Y homotopi denklik mevcut ise X
denir. X'Y
ile gösterilir.
Önerme 2.1.1. Ayn homotopi tipine sahip olma ba§nts bir denklik ba§ntsdr.
Özellik 2.1.1.
1.
f :X→Y
homeomorzm ise
f
homotopi denktir. Tersi
do§ru de§ildir.
2.
f : X→Y
homotopi denktir
Tanm 2.1.5.
1.
X
ve
Y
sürekli fonksiyon ve
c : X→ Y
x7→c(x)
fonksiyon
2.
f : X→Y
⇔ [f ]∈ [X ,Y ]
y0
=
Teorem 2.1.3.
C
y0 ∈ Y
da bir denkliktir.
sabit nokta olsun.
³eklinde tanml fonksiyona sabit
denir.
sürekli fonksiyon ve
c
fonksiyon
hTop
ye homotop ise
f
c
sabit fonksiyon olsun. E§er
f
sabit
ye null homotopi (sfrlayan) denir.
kompleks saylar kümesi
P
ρ
⊂ R2 , ρ yarçapl ve merkezi
orijin olan bir çember ve
fρn :
X
−→ C − {0}
ρ
fonksiyonu ,
f n : C − {0} −→ C − {0}
z 7→ z n
P
ρ çemberine kstlanm³ olsun. E§er n ≥ 1 ve ρ > 0 için
n
fρ nullhomotop de§ilse cebirin temel teoremi geçerlidir. Yani sabit olmayan
fonksiyonunun
kompleks bir polinomun en az bir kompleks kökü vardr.
11
spat:
g(z) = z n + an−1 z n−1 + ... + a1 z + a0
kompleks katsayl polinomu dü³ünelim.
ρ > max{1,
n−1
X
|ai |}
i=0
olarak seçelim ve
F:
P
ρ x I
−→C
z t 7−→
( , )
P
i
z n +(1-t) n−1
i=0 ai z
zt
F( , )=
sürekli fonksiy-
onunu tanmlayalm:
g |Σρ ' fρn oldu§u açktr.
E§er ImF ⊂ C − {0}
oldu§unu yani (F (z, t) =
6 0 oldu§unu) gösterirsek
n
g |Σρ ' fρ oldu§unu göstermi³ oluruz. O zaman F (z, t) = 0 oldu§unu kabul
edip çeli³ki elde edelim.
t ∈ I ve |z| =P
ρ olsun.
i
⇒ z n = −(1 − t) n−1
i=0 ai z
z n + (1 − t)
edilir. ρ > 1 için,
O zaman
elde
Pn−1
i=0
|z| = ρ, ρn = |z|n = |z n | = | − (1 − t)
≤ |1 − t|
≤
⇒ ρ≤
g(z)'nin
Pn−1
i=0
|ai |
Pn−1
i=0
Pn−1
i=0
ai z i = 0
Pn−1
i=0
ai z i |
|ai ||z i |
|ai ||z|i =
Pn−1
i=0
Pn−1
|ai |)ρn−1
|ai |ρi ≤ ( i=0
z t 6=0
çeli³kidir. Kabulümüz yanl³, F( , )
dr.
hiçbir kompleks kökü olmasn.
G:
P
ρ
×I −→ C − {0}
z t 7−→ G(z ,t)=g ((1-t)z )
( , )
z
z
z
G( ,0)=g( )
z
G( ,1)=g(0)=k( ),
⇒ fρn ' k
fρn null homotop de§ilse, sabit fonksiyona
g(z ) nin bir kompleks kökü vardr.
Cebirin temel teoremi gerçeklenmi³ olur.
12
homotop olamaz. Bu durumda
Teorem 2.1.4.
f :S n → Y
1.
f
null homotoptur.
2.
f
dönü³ümü,
3.
x0 ∈ S n ,
sürekli dönü³üm olsun.A³a§dakiler denktir:
g : Dn+1 → Y
sürekli dönü³ümüne geni³letilebilir.
Sn → Y
x 7→ k(x)=f (x0 )
sabit dönü³üm ise t ∈ I
k:
f (x0 ) da
f ile k arasnda
için
homotopi mevcuttur.
F (x0 , t) = f (x0 )
f' k .
olacak ³ekilde
spat:
⇒(2): f null homotop olsun o zaman f dönü³ümü ile c : S n → Y
c(x) = y0 sabit dönü³üm arasnda F : S n × I → Y homotopi dönü³ümü
(1)
mevcuttur.
g : Dn+1 −→Y
x7−→ g(x) =
1)
2)
y0
x
F ( ||x||
, 2 − 2||x||)
g dönü³ümü Pasting Lemma'dan
g|S n = f oldu§unu görelim:
süreklidir.
x ∈ S n ⇒ ||x||=1 ⇒ g(x)
Dn+1 ={(x1 ,
(2)
0 ≤ ||x|| ≤ 21
≤ ||x|| ≤ 1
1
2
= F(
x,0)= f (x)
elde edilir.
xn+1 ) | x21 +x22 +...+x2n+1 ≤1}
... ,
⇒(3): g : Dn+1 →Y , f : S n →Y
nin geni³letilmi³i olsun. Yani
g|S n = f
olsun.
F : S n × I −→ Y
(x,t)7→F(x,t)=g ((1-t)x+ tx0 )
Dn+1
çünkü g
dönü³ümünü tanmlay-
alm. (Burada
in konveksli§inden yararlandk.)
F
süreklidir.
süreklidir
F (x,0) = g (x) = f (x),x ∈ S n
F (x,1) = g (x0 ) = f (x0 ),x ∈ S n
⇒f 'f (x0 ) = k
(3)
⇒(1):
Tanmdan
f
null homotoptur.
13
2.2 KONVEKSLK, BÜZÜLEBLRLK VE KONLER
X ⊂ Rn in
tx + (1 − t)y ∈ X
Tanm 2.2.1.
bir alt kümesi olsun. Her
[0,1] için
ise
Örnek 2.2.1.
2.
Sn
Rn , I n , Dn
1.
X
x, y ∈ X
ve
t ∈I
=
alt kümesi konvekstir denir.
birer konveks kümelerdir.
x y ∈ S n,
bir konveks küme de§ildir. ( ,
için
tx + (1 − t)y S n
nin
eleman de§ildir.)
X bir topolojik uzay, Ix : X→X birim
ise X uzayna büzülebilir uzay denir.
Tanm 2.2.2.
nullhomotop
Örnek 2.2.2.
2.
Dn -{a}
Rn , I n , Dn
1.
dönü³üm olsun.
IX
büzülebilir uzaylardr.
büzülebilir uzay de§ildir.
Teorem 2.2.1. Her konveks uzay büzülebilir uzaydr.
spat:
x0 ∈ X ,
IX ' c
F:
F
X−→X
x7→ c(x) = x0
c:
IX : X−→X
x7−→IX (x)=x
?
X × I−→ X ,
(x,t)7→ F(x,t)=(1-t)x+tx0
toplam sürekli oldu§undan
süreklidir.
x,0)
F(x,1)
F(
=
=
x = IX (x)
x0 = c (x)
⇒ IX ' c
Bu teoremin tersi do§ru de§ildir. Yarm küre büzülebilir uzaydr fakat konveks de§ildir.
Tanm 2.2.3.
Xj
bölüntüsü (
X
bir topolojik uzay,
X 0 = {Xj : j ∈ J},
ler ayrk) olsun.
P : X −→ X 0
x 7→p(x) = Xj
14
X
uzaynn
x noktasn içeren bir tek bölüntü Xj dir.
X 0 üzerindeki bölüm topolojisi, P −1 (U), X de açk olacak
0
alt kümelerini kapsar. X üzerindeki bölüm topolojisi ;
Ω0 = {U ⊂ X 0 | P −1 (U ), X
de açk
}
³ekilde
X 0 'nün
³eklinde tanm-
lanr.
∼,
X
üzerinde bir denklik ba§nts olsun.
P:
X −→ X /∼
x 7→ p(x)=[x]
kanonik (do§al) dönü³ümdür. Sürekli ve
örtendir.
Örnek 2.2.3.
1.
[0, 1],
∼1,
x∼y ⇔ x
0
p
[0, 1]
!
f
2.
S
/
y
= 1
[0, 1]/ ∼
≈
z
1
X = R, x ∼ y ⇔ x − y ∈ Z
p
/
R
f
S
3.
= 0,
X = I × I, s ∈ I
1
R/ ∼
≈
|
(s, 0) ∼ (s, 1)
için
p
X
f
1
&
/
v
S × I(silindir)
15
≈
I × I/ ∼
4.
X = [0, 1] × [0, 1] s, t ∈ I
(s, 0) ∼ (s, 1), (0, t) ∼ (1, t)
için
p
X
/
≈
z
"
f
X/ ∼
T orr
5.
X = [0, 1] × [0, 1]
(s, 0) ∼ (s, 1), (1 − s, t) ∼ (s, t)
p
X
/
Kb
6.
X = D2
x ∼ y ⇔ x, y ∈ Bound(D2 ) = S 1
p
X
f
S
7.
X = S2
≈
{
f
X/ ∼
x ∼ y ⇔ x, y
2
/ X/
∼
≈
|
nin merkeze göre simetri§i
p
X
f
!
RP
/
2
{
X/ ∼
≈
Ödev 1. Rotman - An Introduction to Algebraic Topology kitabnda sayfa 19
daki tüm al³trma sorular ödev braklm³tr.
2.3 DENTFKASYON UZAYLARI
Tanm 2.3.1.
(X, τ )
bir topolojik uzay,
Y
herhangi bir küme ve
p : X −→ Y
örten bir fonksiyon olsun.
1.
Y
2.
τ 0 = {V ⊂ Y | p−1 (V ) ∈ τ }
τ 0,
üzerinde kaba topoloji alrsak
p : X −→ Y
p
sürekli olur.
koleksiyonu
Y
üzerinde bir topolojidir.
dönü³ümünn sürekli klan
topolojidir.
16
Y
üzerindeki en geni³
p : X −→ Y
τ0
sürekli
⇔ τ0 ⊂ τ
X in p tarafndan belirlenen identikasyon topolojisi
p : X −→ Y sürekli, örten dönü³ümüne identikasyon dönü³ümü
topolojisine
denir.
denir.
Teorem 2.3.1.
ise
p
p : X −→ Y
örten ve sürekli ve açk (veya kapal) dönü³üm
identikasyon dönü³ümüdür.
spat :
p : X −→ Y
sürekli oldu§undan:
∀V ⊂ Y
p
açk dönü³üm oldu§undan
Örnek 2.3.1.
p−1 (V ) ⊂ X de açktr.
p(p (V )) ⊂ Y de açktr.
aç§ için
−1
p : R −→ S 1 ⊂ R2
t 7−→ p(t) = e2πit = (cos 2πt, sin 2πt)
i) p örten mi?
ii) p sürekli mi?
iii) p açk veya kapal m?
Çözüm:
•p
örtendir:
∀y = (y1 , y2 ) ∈ S 1
için
f (t) = y
⇒ (cos 2πt, sin 2πt) = (y1 , y2 ) ⇒ t =
•p
süreklidir:
p1 (t) = cos 2πt
sürekli,
⇒ p = (p1 (t), p2 (t))
•p
y1
1
arctan
∈R
2π
y2
p2 (t) = sin 2πt
sürekli
süreklidir.
açk dönü³ümdür:
τS 1 = S 1 ∩ (a, b) = {(x, y)|x2 + y 2 = 1} ∩ (a, b)
∀G ∈ τd
için;
G=
S
(a, b), a, b ∈ R
17
p((a, b)) = ((cos 2πa, sin 2πa), (cos 2πb, sin 2πb)) ∈ τS 1
⇒
Teorem gere§ince
p
identikasyon dönü³ümdür.
f 1 : X → Y1
Önerme 2.3.1.
ve
f 2 : X → Y2
⇔ f :X → Y1 × Y2
süreklidir
süreklidir.
Π1 : R × R −→ R
(x, y) 7−→ Π1 (x, y) = x identikasyon
Örnek 2.3.2.
∀ V ⊂ R
Π1
Π−1
1 (V )
aç§ için
=
dönü³ümüdür:
V × R ⊂ R2
açk
⇒
süreklidir.
W =U × V ⊂ R2
aç§ için
Π1 (W )
⊂ R
= U
açk
⇒ Π1
açktr.
Teorem 2.3.2.
Y, X
in identikasyon uzay ve
uzay olsun. Bu durumda
Z
de
X
Z, Y
nin identikasyon
in identikasyon uzaydr.
spat :
p : X −→ Y
k : X → Z
q : Y −→ Z
ve
identikasyon dönü³ümü olsun.
identikasyon dönü³üm
⇔ (∀V ⊂ Z
de açk
⇔ k −1 (V ) ⊂ X
de açk)
(⇒) V ⊂ Z
de açk olsun.
k = q ◦ p : X −→ Z
³eklinde tanmlansn.
k −1 (V ) = (q ◦ p)−1 (V ) = p−1 (q −1 (V ))
q
identikasyon dönü³üm oldu§undan
q −1 (V ) ⊂ Y
p
identikasyon dönü³üm oldu§undan
p−1 (q −1 (V )) ⊂ X
⇒ k −1 (V ) ⊂ X
(⇐) k −1 (V ) ⊂ X
açktr.
de açktr.
de açktr.
de açk olsun.
k −1 (V ) = p−1 (q −1 (V )) açk olmas için q −1 (V ) nin açk olmas
dir. q identikasyon dönü³üm oldu§undan V ⊂ Z de açktr.
18
gerekmekte-
Teorem 2.3.3.
p : X −→ Y
identikasyon dönü³üm olsun. Herhangi bir
Z
uzay için;
k : Y −→ Z
süreklidir
⇔ k ◦ p : X −→ Z
süreklidir.
spat :
(⇒)
k
ve
p
sürekli oldu§undan
k ◦ p : X −→ Z
(⇐)
k ◦ p : X −→ Z
sürekli olsun.
süreklidir.
∀V ⊂ Z
açk için
k −1 (V ) ⊂ Y
de açk mdr?
(k ◦ p)−1 (V ), k ◦ p
sürekli oldu§undan
(k ◦ p)−1 (V ) = p−1 (k −1 (V ))
nin
Y
de açk olmas gerekmektedir. Çünkü
Teorem 2.3.4.
p : X −→ Y
X de
in
p
X
de açktr.
açk olmas için
k −1 (V )
identikasyon dönü³ümdür.
identikasyon dönü³üm olsun.
g : X −→ Z
a³a§daki özelli§e sahip sürekli fonksiyon olsun:
O zaman
∀x, x0 ∈ X
h ◦ p = g olacak
p(x) = p(x0 ) ⇒ g(x) = g(x0 ).
³ekilde bir tek h : Y −→ Z sürekli
için
dönü³ümü
vardr.
spat :
h : Y −→ Z
y 7−→ h(y) = g(p−1 (y))
olsun.
h
iyi tanml, sürekli ve örtendir.
h
dönü³ümünün tekli§inin göster-
ilmesi ö§renciye braklm³tr.
Sonuç 2.3.1.
p : X −→ Y , q : X −→ Z
identikasyon dönü³üm ise
Y ≈ Z dir.
spat:
1)
h
h : Y −→ Z
olsun.
k : Z −→ Y
olsun.
bijektif mi?
k ◦ h = 1Y ⇔ h, 1 − 1 ve h ◦ k = 1Z ⇔ h,
örten oldu§unu göstermeliyiz.
19
p
X
/
?Y
k
q
Z
q =h◦p
ve
p=k◦q
dönü³ümlerini ele alalm.
(h ◦ k) ◦ q = h ◦ (k ◦ q) = h ◦ p = q = 1Z ◦ q ⇒ h
örten
(k ◦ h) ◦ p = k ◦ (h ◦ p) = k ◦ q = p = 1Y ◦ p ⇒ h, 1 − 1
⇒h
bijektif
2) Teorem 2.3.3 den
q =h◦p
3) Teorem 2.3.3 den
p = h−1 ◦ q
sürekli
⇔h
sürekli
sürekli
⇔ h−1
sürekli
Ödev 2. Rotman - An Introduction to Algebraic Topology kitabnda sayfa 22
deki tüm al³trma sorular ödev braklm³tr.
2.4 BÖLÜM UZAYLARI
Tanm 2.4.1.
olsun.
X/R
X
R, X üzerinde bir denklik ba§nts
qR : X −→ X/R bölüm dönü³ümü kanonik
bir topolojik uzay ve
bir bölüm kümesidir.
dönü³ümdür.
( Her zaman örten olan dönü³ümlere kanonik dönü³üm ya da do§al dönü³üm
denir.)
X/R = [x]R = {z ∈ X | xRz}
(X, τ ) bir topolojik uzay olsun. qR : X −→ X/R bölüm dönü³ümünü sürekli
−1
0
klan Y üzerindeki en geni³ topoloji τ = {V ⊂ X/R | qR (V ) ∈ τ } dr ve
0
bu topolojiye bölüm topolo jisi denir. (X/R, τ ) identikasyon uzayna da
(X, τ ) nun bölüm uzay denir.
Teorem 2.4.1.
f : X → Y
identikasyon dönü³ümü ve
R, X
üzerinde
tanml bir denklik ba§nts olsun:
q : X → X/R
identikasyon dönü³ümüdür.
20
Y , X/R
ye homeomorftur.
spat:
f
X
/
=Y
fb
q
!
X/R
fb
nn homeomorzm oldu§unu göstermeliyiz.
fb : X/R −→ Y
[x]R 7−→ fb([x]R ) = f (x)
fb([x]R ) = fb([x0 ]R ) olsun. O zaman
1)
⇒f (x) = f (x0 ) ⇒ x R x0 ⇒ [x]R = [x0 ]R
olur. 1-1 lik
sa§lanm³ olur.
2)
f
örten oldu§undan,
∀y ∈ Y
∀y ∈ Y
için
için
∃x ∈ X 3 f (x) = y
fb([x]R ) = y
dir.
olacak ³ekilde bir
[x]R ∈ X/R
dir. Örtenlik sa§lanr.
3)
f = fb ◦ q
4)
q = fb−1 ◦ f
sürekli
Örnek 2.4.1.
⇔ fb sürekli
sürekli
⇔ fb−1
süreklidir.
• I = [0, 1], x R y ⇔ x = y = 0
veya
1
olsun.
qR : [0, 1] −→ [0, 1]/R
x 7−→ qR (x) = [x]R
dönü³ümü bölüm dönü³ümüdür.
• p : [0, 1] −→ S 1
t 7−→ p(t) = e2iπt
identikasyon dönü³ümdür.
Sonuç 2.3.2 den yararlanarak
[0, 1]/R ≈ S 1
• pb : [0, 1]/R −→ S 1
[x]R 7→ pb([x]R ) = p(x) = e2iπx
olsun.
21
oldu§unu söyleyebiliriz.
pb
i)
bijektif dönü³ümdür:
~ pb 1-1 dir:
pb([x]R ) = pb([y]R ) ⇒ e2iπx = e2iπy
⇒ cos 2πx = cos 2πy ∧ sin 2πx = sin 2πy
⇒ x = y + k , k = 0, 1
⇒x∼y
⇒ [x]R = [y]R
p
ve
ii)
iii)
q
~ pb
örten:
örten oldu§undan
−1
pb = p ◦ qR
pb sürekli ⇔ p = pb ◦ qR
pb−1
sürekli
Örnek 2.4.2.
örtendir.
sürekli
⇔ qR = pb−1 ◦ p
sürekli
p : I × I −→ I × S 1
(s, t) 7−→ p(s, t) = (s, e2iπt )
identikasyon dönü³ümdür.
q : I × I −→ I × I/R
(s, t) 7−→ q(s, t) = p(s, t) = (s, e2iπt )
identikasyon dönü³ümdür.
I × I/R ≈ I × S 1
dir.
pb : I × I/R −→ I × S 1
[s, t]R 7−→ pb([s, t]R ) = p(s, t) = (s, e2iπt )
dönü³ümü homeomorzmadr.
Tanm 2.4.2. (Topolojik Manifold)
taban olan topolojik uzay olsun.
M
M
bir
T2
nin her aç§
ve saylabilir kom³uluk
Rn
in bir alt kümesine
homeomorf ise M ye topolojik n-manifold denir.
Örnek 2.4.3.
³eridi,
Kb
S1
çemberi topolojik 1- manifold;
S2
küresi,
Mb
Möbiüs
Klein ³i³esi topolojik 2- manifolddur.
Tanm 2.4.3. (Bir Topolojik Uzayn Süspansiyonu)
22
X
topolojik uzay
ve
I = [0, 1]
olsun.
X ×I
X ×I
=
X × {0} ∪ X × {1}
X × {1}
Tanm 2.4.4. (Bir Topolojik Uzayn Konisi)
üzere
X ×I
X
bir topolojik uzay olmak
üzerinde a³a§daki ³ekilde denklik ba§nts tanmlansn.
(x, t) v (x0 , t0 ) ⇔ t = t0 = 1
CX = X × I/∼
bölüm uzayna
Teorem 2.4.2. Her
X
X
üzerinde koni denir.
topolojik uzay için
CX
büzülebilirdir.
spat:
H : CX × I −→ CX
([x, s], t) 7−→ H([x, s], t) = [x, (1 − s)t + s]
ile tanmlay-
alm.
H◦f
X ×I
/
CX
9
H
f
&
CX × I
f nin identikasyon dönü³üm oldu§unu biliyoruz. Ayrca X × I −→
CX × {0} ≈ CX oldu§undan H ◦ f süreklidir. O zaman Teorem 2.3.3 den
H süreklidir.
H([x, t], 0) = [x, t] = ICX [x, t]
H([x, t], 1) = [x, 1] = cx0 [x, t] sabit dönü³ümdür.
homotoptur. Bu durumda CX büzülebilirdir.
Teorem 2.4.3.
X
ve
{a}
Birim dönü³üm null-
ayn homotopi tipine sahiptir
⇔X
spat:
⇒) X
(
c
ve
{a}
ayn homotopi tipine sahip olsun.
sabit dönü³üm olmak üzere
IX ' c
oldu§unu görmeliyiz.
23
büzülebilirdir.
f : X → {a} sürekli dönü³ümü için g : {a} → X
g ◦ f ' IX , f ◦ g ' I{a} dr.
sürekli
dönü³ümü vardr öyleki
cx0 (x) = g ◦ f (x) = g(a) = x0
cx0 (x) ' IX (x)
X
(
sabit dönü³üm olur ve
oldu§undan birim dönü³üm nullhomotoptur.
⇐) X
büzülebilir olsun. Yani
IX (x) ' cx0 (x)
X
büzülebilirdir.
olsun.
f : X −→ {x0 }
x 7−→ f (x) = x0
g : {x0 } −→ X
x0 7−→ g(x0 ) = x0
cx0 (x) = g ◦ f (x) = x0 ⇒ g ◦ f ' Ix
f ◦ g(x0 ) = f (x0 ) = x0 = I{x0 } (x0 )
f ◦ g(x0 ) = I{x0 } ⇒ f ◦ g ' Ix
X
ve
{x0 }
ayn homotopi tipine sahiptir.
Teorem 2.4.4.
ise
f 'g
Y
büzülebilir uzay olsun.
f, g : X → Y
sürekli iki dönü³üm
dir.
spat:
Y
büzülebilir oldu§undan
IY ' cy0 (y)
f : X −→ Y
sürekli,
X
f
/
olur.
g : X −→ Y
x 7−→ g(x) = y0
Y
IY
/
sabit.
Y
cy0 ◦ f = g
IY ' cy0 ⇒ f = IY ◦ f = cy0 ◦ f = g ⇒ f ' g
Not 2.4.1.
Y
3) Y
2)
X
büzülebilir ise teorem do§ru de§ildir.
konveks ise teorem geçerlidir.
nin konveks olmas, nullhomotop dönü³ümlerin homotop olup olmadk-
larnn cevabdr.
Ödev 3. Rotman - An Introduction to Algebraic Topology kitabnda sayfa 23
deki tüm al³trma sorular ödev braklm³tr.
24
2.5 YOLLAR VE YOL BALANTILILIK
f :I→X
f (0) = a ve f (1) = b
Tanm 2.5.1.
E§er
2.
1.
∀a, b ∈ X
için
a
dan
b
sürekli fonksiyona
ise f
ye
ye
X
a
dan
b
X
de bir yoldur denir.
ye bir yoldur denir.
X
de bir yol varsa,
e yol ba§lantl
uzay denir.
Not 2.5.1.
1.
2. Bir yol,
X
Teorem 2.5.1.
f
yolu,
f (I)
görüntü kümesi ile kar³tlmamaldr.
de "parametreli e§ri" olarak benimsenmemelidir.
X
yol ba§lantl ise ba§lantldr.
f : [0, 1] → X sürekli fonksiyonu
vardr. Kabul edelim ki ki X ba§lantl olmasn. Yani; X = A∪B, A∩B = ∅
olacak ³ekilde A, B ⊂ X açklar mevcut olsun. Bu durumda,
∅ = f −1 (∅) = f −1 (A ∩ B) = f −1 (A) ∩ f −1 (B) elde edilir.
Ayrca f sürekli oldu§undan
spat:
X
yol ba§lantl olsun. O zaman
f −1 (A) ⊂ [0, 1] ve f −1 (B) ⊂ [0, 1] açk kümelerdir. O
−1
zaman [0, 1] = f
(A) ∪ f −1 (B) ³eklinde yazlabilir ki bu da [0, 1] in ba§lantl olmasyla çeli³ir. X ba§lantldr.
Not 2.5.2. Teoremin tersi do§ru de§ildir.
Tanm 2.5.2.
a, b ∈ X
Teorem 2.5.2.
∼, X
olsun.
a∼b ⇔ a
ile
b
arasnda bir yol vardr.
üzerinde bir denklik ba§ntsdr.
spat:
i)yansma :
a ∼ a, f : I −→ X , sabit
t 7−→ f (t) = a
dönü³ümü süreklidir.
a ∼ b olsun. ⇒ ∃f : I −→ X ,
a ve f (1) = b dir.
ii)simetri :
f (0)
=
g : I −→ X
t 7−→ g(t) = f (1 − t)
sürekli dönü³üm vardr öyleki
dönü³ümü süreklidir ve,
g(0) = f (1) = b, g(1) = f (0) = a
25
⇒b∼a
iii)geçi³me :
a ∼ b ⇔ ∃f : I → X
b ∼ c ⇔ ∃g : I → X
f (0) = a ve f (1) = b
g(0) = b ve g(1) = c
h : I −→ X
t 7−→ h(t) =
f (2t),
g(2t − 1)
0 ≤ t ≤ 12
≤t≤1
1
2
dönü³ümü Pasting Lemma'dan süreklidir ve,
h(0) = f (0) =a
h(1)=g(1)=c
a ∼c
Tanm 2.5.3.
∼
altnda
X
X
in denklik snarna,
uzaynn yol bile³en-
leri denir.
Not 2.5.3. Her uzay, yol bile³enlerinin ayrk birle³imidir.
Π0 (X), X uzaynn yol bile³enler kümesidir.
içeren X de yol bile³eni ve D , f (c) ∈ Y , Y
Tanm 2.5.4.
C, c ∈ X
i
olsun.
f : X −→ Y
c 7−→ f (c) ⊂ D
Π0 (f ) : Π0 (X) −→ Π0 (Y )
C 7−→ Π0 (f )(C) = D
D ⊂ Y ; f (c)
yi içeren
Π0 (Y )
bir yol bile³endir.
Π0 : T op → Set
Teorem 2.5.3. 1)
2)f
funktorlar
' g ⇒ Π0 (f ) = Π0 (g)
spat:
1)
Π0 (g ◦ f ) = Π0 (g) ◦ Π0 (f )
?
26
de yol bile³eni
/
X
Π0 (X)
f
/
Y
Π0 (Y )
g
deki yol bile³enini
deki yol bile³enini
Y
Z
Π0 (g)
/ Π0 (Z)
Z
Π0 (f ): X
Π0 (g): Y
Π0 (f )
deki bir tek yol bile³enine götürür.
deki bir tek yol bile³enine götürür.
Π0 (g ◦ f ) = Π0 (g) ◦ Π0 (f )
g◦f :X →Z
Π0 (g) ◦ Π0 (f ) : Π0 (X) → Π0 (Z)
Π0 (g) ◦ Π0 (f ): X
deki yol bile³enini
bile³enine götürür.
/
X
/
deki bir tek yol
Π0 (X)
IX
X
Z
Π0 (IX )
Π0 (X)
Π0 (IX ) = IΠ0 (X)
2)
ve
f, g : X −→ Y , f ' g ⇔ ∃F : X ×I → Y
F (x, 1) = g(x)
C , X in
F (C × I)
bir yol bile³eni olsun.
C × I da yol
F süreklidir.
süreklidir öyleki
F (x, 0) = f (x)
ba§lantl olur.
yol b§lantldr çünkü
f (C)=F (C × {0}) ⊂ F (C × I)
g(C)=F (C × {1}) ⊂ F (C × I)
F (C × I)
Y nin yol bile³eni tek D oldu§undan;
f (C), g(C) ⊂ D ⇒ Π0 (f ) = Π0 (g)
y içeren
Sonuç 2.5.1.
X
ve
Y
ayn homotopi tipine sahip ise
yol bile³enine sahiptir.
27
X
ve
Y
ayn sayda
Ödev 4. Rotman - An Introduction to Algebraic Topology kitabnda sayfa
25-26-27 deki tüm al³trma sorular ödev braklm³tr.
spat:
X
ile
Y
f : X → Y
³ekilde g : Y → X
ayn homotopi tipine sahip oldu§undan
g ◦ f ' IX
sürekli dönü³ümü için
ve
f ◦ g ' IY
olacak
sürekli dönü³üm mevcuttur.
Π0 (g ◦ f ) = Π0 (IX ) ve Π0 (f ◦ g) = Π0 (IY )
⇒ Π0 (g) ◦ Π0 (f ) = Π0 (IX ) = IΠ0 (X)
Π0 (f ) ◦ Π0 (g) = IΠ0 (Y )
Π0 (f )
(teorem 2.5.3)
bijektiftir.
A, X in alt uzay ve i : A ,→ X kapsama fonksiyonu olsun.
E§er r◦i = 1A ve i◦r = 1X olacak ³ekilde bir r : X −→ A sürekli fonksiyonu
varsa A ya X in deformation retract denir.
Tanm 2.5.5.
Not 2.5.4. Her deformation retrakt bir retraktr.
Teorem 2.5.4.
A, X
in deformation retrakt ise
A
ve
X
ayn homotopi
tipine sahiptir.
r ◦ i = 1A ⇒ r ◦ i ' 1A
spat:
X
ve
A
i ◦ r ' 1X
ayn homotopi tipine sahiptir.
i:A→X
,
∃r : X → A r ◦ i ' 1A
Tanm 2.5.6. (Silindir Dönü³ümü)
Mf = (X × I) ∪ Y /∼
ve
bölüm uzayna
f
f : X −→ Y
ve
i ◦ r ' 1X
sürekli dönü³üm olsun.
nin silindir dönü³üm uzay denir.
(x, t) ∼ y ⇔ y = f (x), t = 1
Mf
ye
f
nin silindir dönü³ümü denir.
Ödev 5. Rotman - An Introduction to Algebraic Topology kitabnda sayfa
29-30 daki tüm al³trma sorular ödev braklm³tr.
28
Bölüm 3
Temel Grup
3.0.1
Temel Grup
f, g : I → X , f (1) = g(0) özellikli iki yol
f (2t),
0 ≤ t ≤ 1/2
(f ∗ g)(t) =
g(2t − 1), 1/2 ≤ t ≤ 1
Tanm 3.0.7.
f ∗g :I →X
olsun.
pasting lemmadan süreklidir.
A ⊂ X ve f, g : X → Y sürekli dönü³ümler olmak üzere;
f (a) = g(a) olsun. E§er f ve g arasnda bir homotopi fonksiy-
Tanm 3.0.8.
∀a ∈ A
için
onu:
F : X × I −→ Y
var ve
F homotopi fonksiyonuna
f ' g rel A olarak gösterilir.
orsa
A=∅
Not 3.0.5. i)
'relA
ii)
∀a ∈ A
için
F (a, t) = f (a) = g(a)
relatif homotopi fonksiyonu denir.
ise bilinen mutlak(absolute) homotopi elde edilir.
bir denklik ba§ntsdr.
Tanm 3.0.9.
I = [0, 1] ⊂ R ve i = Bound(I) = {0, 1} olsun. f : I → X
f nin yol snf olarak adlandrlr ve [f ] ile gös-
yol homotopi denklik snf
terilir.
[f ] = {g : I → X | g ' f reli}
Teorem 3.0.5.
f0 , f1 , g0 , g1 X
de yol dönü³ümleri ve
f0 ' f1 rel i ve g0 ' g1 rel i olsun.
E§er
oluy-
f0 (1) = f1 (1) = g0 (0) = g1 (0)
ise
29
f0 ∗ g0 ' f1 ∗ g1 rel i
dir.
f0 ' f1 rel i
ve
g0 ' g1 rel i
olsun.
f0 ' f1 rel i ↔ F : I × I → X
f0 (x), F (x, 1) = f1 (x)
F (0, t) = f0 (0) = f1 (0) = x0
F (1, t) = f0 (1) = f1 (1) = x1
süreklidir öyleki
F (x, 0) =
g0 ' g1 rel i ↔ G : I × I → X
g0 (x), G(x, 1) = g1 (x)
G(0, t) = g0 (0) = g1 (0) = x1
G(1, t) = g0 (1) = g1 (1) = x2
süreklidir öyleki
G(x, 0) =
H :I ×I →X
(x, t) 7→ H(x, t) =
F (2x, t),
G(2x − 1, t),
0 ≤ x ≤ 1/2
1/2 ≤ x ≤ 1
F (1, t) = G(0, t) ?
F (1, t) = f0 (1) = f1 (1) = g0 (0) = g1 (0) = G(0, t)
⇒H
süreklidir.Çünkü
F
ve
G
süreklidir.
H homotopi midir?
H(x, 0) =
F (2x, 0),
G(2x − 1, 0),
0 ≤ x ≤ 1/2
1/2 ≤ x ≤ 1
f0 (2x),
g0 (2x − 1),
0 ≤ x ≤ 1/2
1/2 ≤ x ≤ 1
f1 (2x),
g1 (2x − 1),
0 ≤ x ≤ 1/2
1/2 ≤ x ≤ 1
=
f0 ∗ g0 (x)
=
H(x, 1) =
F (2x, 1),
G(2x − 1, 1),
0 ≤ x ≤ 1/2
1/2 ≤ x ≤ 1
=
f1 ∗ g1 (x)
=
H(0, t) = F (0, t) = f0 (0) = f1 (0) = x0
H(1, t) = G(1, t) = g0 (1) = g1 (1) = x2
dolaysyla
f0 ∗ g0 ' f1 ∗ g1 rel i
30
Tanm 3.0.10.
f : I → X x0 dan x1 e giden bir yol olsun.x0 a f
x1 e f nin biti³ noktas denir. E§er f
ve biti³ noktalar ayn ( f (0) = f (1) ) ise f ye kapal
1.
nin ba³langç noktas,
nin ba³langç
yol (loop) denir.
2.
3.
ip : I −→ X
t 7−→ ip (t) = p, p ∈ X
f :I→X
bir yol ise
yoluna sabit yol denir.
f −1 : I −→ X
t 7−→ f −1 (t) = f (1 − t)
yoluna
f
yolunun
ters yolu denir.
f −1 (0) = f (1 − 0) = f (1) = f (1) = x1
f −1 (1) = f (1 − 1) = f (0) = f (1) = x0
Teorem 3.0.6.
∗ i³lemi altnda X
deki tüm yol snarnn kümesi a³a§daki
özellikleri sa§layan bir cebirsel yap (grupoid) olu³turur.
1.
[ip ] ∗ [f ] = [f ] ∗ [iq ]
f , p den ba³layp q
da biten bir yol,
2.
[h] ∗ ([f ] ∗ [g]) = ([h] ∗ [f ]) ∗ [g]
3.
[f ] ∗ [f −1 ] = [ip ]
ve
ip , iq
sabit yollar.
[f −1 ] ∗ [f ] = [iq ]
spat:
1)
[ip ] ∗ [f ] = [f ] ⇔ [ip ∗ f ] = [f ] ⇔ ip ∗ f ' f rel i
31
H : I × I −→ X
(x, t) 7−→ H(s, t) =
H(s, 0) =
p,
),
f ( 2s−1+t
1+t
ip(2s) = p,
f (2s − 1),
2s ≤ 1 − t
2s ≥ 1 − t
0 ≤ s ≤ 21
1
≤s≤1
2
1p ∗ f (s)
=
H(s, 1) = f (s)
h ∗ (f ∗ g) ' (h ∗ f ) ∗ g rel
i
h(2s),
0 ≤ s ≤ 21
H(s, 0) = h ∗ (f ∗ g)(s) =
f ∗ g(2s − 1), 12 ≤ s ≤ 1
2)

h(2s),





f (4s − 2),
=





g(4s − 3),
H(s, 1) = (h ∗ f ) ∗ g(s) =
h ∗ f (2s),
g(2s − 1),
0≤s≤
1
2
3
4
1
2
≤s≤
3
4
≤s≤1
0 ≤ s ≤ 12
1
≤s≤1
2

h(4s),
0 ≤ s ≤ 14





f (4s − 1), 14 ≤ s ≤ 12
=





g(2s − 1), 12 ≤ s ≤ 1
32
3)
[f ] ∗ [f −1 ] = [1p ]
f ∗ f −1 ' 1p rel i
H : I × I −→ X
(s, t) 7−→ H(s, t) =
H(s, 0) =
f (2s),
f (2 − 2s),
=
f (2s(1 − t)),
f (2(1 − s)(1 − t)),
0 ≤ s ≤ 12
1
≤s≤1
2
0 ≤ s ≤ 12
1
≤s≤1
2
f (2s),
f −1 (2s − 1),
0 ≤ s ≤ 12
1
≤s≤1
2
f ∗ f −1 (s)
=
H(s, 1) = f (0) = p = ip (s)
f ∗ f −1 ' ip rel i
x0 ∈ X olmak üzere X in x0 tabanl temel grubu;
Π1 (X, x0 ) = {[f ] : [f ], X de yol snf ve f (0) = f (1) = x0 }
Tanm 3.0.11.
33
Tanm 3.0.12.
Π1 (X, x0 ), ∗
i³lemi altnda bir gruptur.
Π1 :
Teorem 3.0.7.
2.
−→ Grp
X 7−→ Π1 (X)
pTop
Π1 : T op → Grp
1.
h, k : (X, x0 ) → (Y, y0 )
ve
kovaryant funktor.
h'k
rel
{x0 }
ise
Π1 (h) = Π1 (k)
spat
ii)
Π1 (g ◦ f ) = Π1 (g) ◦ Π1 (f )
Π1 (1X ) = 1Π1 (X) oldu§unu
i)
f : X −→ Y
1. i)
ve
g : Y −→ Z
f
(X, x0 )
göstermeliyiz.
/
iki sürekli dönü³üm olsun.
Π1
Π1 (X, x0 )
Π1 (f )
/
[α]
rightarrow
Π1 (f )
/
h'k
rel
/
Π1 (g)
/
Π1 (Z, z0 )
olsun.
34
elde edilir.
Π1
Π1 (Z, z0 )
7−→ [f ◦ α] 7−→ [g ◦ f ◦ α]
Π1 (g ◦ f ) = Π1 (g) ◦ Π1 (f )
{x0 }
Π1 (g)
g ◦ f (x0 ) = z0
Π1 (Y, y0 )
ii) (Ödev)
2.
/ (Z, z0 )
Π1
Π1 (Y, y0 )
Π1 (g ◦ f ) : Π1 (X, x0 ) −→ Π1 (Z, z0 )
[α] 7−→ [g ◦ f ◦ α]
Π1 (X, x0 )
g
(Y, y0 )
dr.
Π1 (h) = Π1 (X, x0 ) −→ Π1 (Y, y0 )
[f ] 7−→ Π1 (h)([f ]) = [h ◦ f ]
³eklinde tanmlayalm.
Π1 (h) : Π1 (X, x0 ) −→ Π1 (Y, y0 )
f ' f0
rel
{i}
ise
H : I ×I
H
g ◦ f ' g ◦ f0
/
h◦H
I ×I
h
X
/
/
rel
{i}
idi:
Y
Y
F : I × I −→ Y
(s, t) 7−→ F (s, t) = h ◦ H(s, t)
g , x0 'da kapal yollar ise; h ◦ (f ∗ g) = (h ◦ f ) ∗ (h ◦ g)
f (2s),
0 ≤ s ≤ 12
f ∗ g(s) =
g(2s − 1), 12 ≤ s ≤ 1
f
ve
h ◦ (f ∗ g(s)) =
h(f (2s)),
h(g(2s − 1)),
0 ≤ s ≤ 12
1
≤s≤1
2
dir:
(h ◦ f ) ∗ (h ◦ g)(s)
=
Π1 (h) : Π1 (X, x0 ) −→ Π1 (Y, y0 )
Π1 (h)([f ] ∗ [g]) = Π1 (h)([f ∗ g]) = [h ◦ (f ∗ g)] = [(h ◦ f ) ∗ (h ◦ g)]
= [(h ◦ f )] ∗ [(h ◦ g)] = Π1 (h)([f ]) ∗ Π1 (h)([g])
elde edilir. O halde
Π1 (h)
homomorzmadr. Benzer ³ekilde
da homomorzma oldu§u görülür.
F : X × I −→ Y ,h ' k rel {i} ⇒ h ◦ f ' k ◦ f
F (x, 0) = h(x)
F (x, 1) = k(x)
f :I
/X
h
k
/
Y
35
rel
{i}
Π1 (k)
nn
H : I × I −→ Y
(x, t) 7−→ H(x, t) = F (f (x), t)
H(x, 0) = F (f (x), 0) = h(f (x))
H(x, 1) = F (f (x), 1) = k(f (x))
H(x, 0) = h ◦ f (x) = h(f (x))
H(x, 1) = h ◦ f (x) = k(f (x))
[h] = [k] ⇒ [h ◦ f ] = [k ◦ f ] ⇒ Π1 (h)([f ]) = Π1 (k)([f ])
⇒ Π1 (h) = Π1 (k)
Tanm 3.0.13.
h∗
homomorzmasna
h
fonksiyonu tarafndan indirgenen
(üretilen) homomorzm denir.
/
Top '
'
hTop
dir. Burada
hTop = Homotopik topolojik uzaylar kate-
gorisidir.
[f ], [g] ∈ [(X, x0 ), (Y, y0 )], f, g : (X, x0 ) → (Y, y0 )
f 'g
rel
{x0 }
f : (S 1 , 1) → (Y, y0 ), f , Y de kapal
[f ] ∈ [(S 1 , 1), (Y, y0 )] ∼
= Π1 (Y, y0 )
[(S n , 1), (Y, y0 )] ∼
= Πn (Y, y0 )
Teorem 3.0.8.
x0 ∈ X , X 0 , X
in
x0
yol.
içeren yol bile³eni olsun. O zaman;
Π1 (X0 , x0 ) ∼
= Π1 (X, x0 )
olur.
spat:
j : (X0 , x0 ) ,→ (X, x0 )
kapsama dönü³ümü olsun.
j∗ : Π1 (X0 , x0 ) −→ Π1 (X, x0 )
[f ] 7−→ j ∗ [f ] = [j ◦ f ]
indirgenmi³ homomor-
zmas mevcuttur.
j(x0 ) = x0
x0
dir.
X0
da
x0
bazl bir
f
loop aldk ve
j◦f
nin de
X
de
bazl bir loop oldu§unu biliyoruz.
[f ] ∈ Kerj∗ olsun.
j ◦ f ' ex0 rel i
O zaman
j∗ ([f ]) = [ex0 ]
36
olur.
→ [j ◦ f ] = [ex0 ] ⇒
imdi
f ' ex0 rel i
ex0 , x0
oldu§unu görelim. (
noktasndaki sabit yol)
j ◦ f ' ex0 ⇒ F : I × I −→ X sürekli dönü³ümü mevcuttur öyleki
F (0, 0) = x0 dr.
I × I yol ba§lantl ve F sürekli oldu§undan F (I × I) da yol ba§lantldr.
Bu durumda F (I × I) ⊂ X0 dr.
⇒ f ' ex0 rel i ⇒ [f ] = [ex0 ] ⇒ j∗ injektiftir.
imdi j∗ n surjektif oldu§unu görelim:
f : I −→ X dönü³ümü x0 noktasnda loop olsun. O zaman I yol ba§lantl
ve f sürekli oldu§undan f (I) da yol ba§lantldr.
f 0 : I −→ X
t 7−→ f 0 (t) = f (t)
³eklinde tanmlansn.
I
f yolu için f 0 yolu X0
0
(j∗ ([f ]) = [f ] olacak ³ekilde [f ]
⇒ j∗ izomorzmadr.
verilen
0
Teorem 3.0.9.
X
f0
/
X0
j
/
X
da vardr. Bu da
j∗
n örtenli§ini verir.
bulunabiliyor.)
yol ba§lantl ve
x0 , x1 ∈ X
de key iki nokta ise
π1 (X, x0 ) ' π1 (X, x1 )
spat:
α
b : π1 (X, x0 ) −→ π1 (X, x1 )
[f ] 7−→ α
b([f ]) = [α−1 ] ∗ [f ] ∗ [α] ³eklinde dönü³üm
tanmlansn.
α, X
de
x0
dan
x1
e giden bir yol olsun. (Çünkü
α
b iyi tanmldr.
α
b homomorzmdir.
iii) α
b injektiftir.
iv) α
b surjektiftir.
i)
ii)
37
X
yol ba§lantldr.)
α
b
i)
iyi tanmldr:
[f ] = [g] ⇒ α
b([f ]) = α
b([g])?
[f ] = [g] ⇒ f ' g ⇒ α−1 ∗ f ' α−1 ∗ g
⇒ α−1 ∗ f ∗ α ' α−1 ∗ g ∗ α
⇒ [α−1 ] ∗ [f ] ∗ [α] ' [α−1 ] ∗ [g] ∗ [α]
⇒α
b([f ]) = α
b([g])
α
b
ii)
homomorzmdir:
α
b([f ] ∗ [g]) = α
b([f ]) ∗ α
b([g])?
[f ] ∗ [g] = [f ∗ g]
oldu§unu biliyoruz.
α
b([f ] ∗ [g]) = α
b([f ∗ g]) = [α−1 ] ∗ [f ∗ g] ∗ [α]
= [α−1 ] ∗ [f ] ∗ [ex0 ] ∗ [g] ∗ [α]
[α−1 ] ∗ [f ] ∗ [α] ∗ [α−1 ] ∗ [g] ∗ [α]
=
Böylece
α
b
iii)
α
b
=α
b([f ]) ∗ α
b([g])
homomorzmadr.
1-1 dir:
βb : π1 (X, x1 ) −→ π1 (X, x0 )
b
[g] 7−→ β([g])
= [β −1 ] ∗ [g] ∗ [β]
β : I → X , ∀s ∈ I için β(s) = α(1 − s) =
b
α (s) ³eklinde tanmlansn. O zaman β([g])
= [α] ∗ [g] ∗ [α−1 ] elde edilir.
b α([f ])) = β([α
b −1 ∗ f ∗ α]) = α ∗ α−1 ∗ f ∗ α ∗ α−1 = [f ]
⇒ βb ◦ α
b([f ]) = β(b
³eklinde tanmlansn. Burada
−1
α
b
1-1 dir. Çünkü sol tersi vardr
iv)
α
b
örtendir:
38
b
α
b ◦ β([g])
= [g]
midir?
b
b
α
b ◦ β([g])
=α
b(β([g]))
=α
b([β −1 ∗ g ∗ β])) = α
b([α] ∗ [g] ∗ [α−1 ])
= [α−1 ∗ α ∗ g ∗ α−1 ∗ α] = [g]
α
b
örtendir çünkü sa§ tersi vardr.
Teorem 3.0.10.
(X, x0 )
ve
(Y, y0 )
noktal topolojik uzay olsun.
Π1 (X × Y, x0 × y0 ) ∼
= Π1 (X, x0 ) × Π1 (Y, y0 )
spat:
p1 : X × Y −→ X
p2 : X × Y −→ Y
izdü³üm fonksiyonlar olsun.
(p1 )∗ : Π1 (X × Y, x0 × y0 ) −→ Π1 (X, x0 )
(p2 )∗ : Π1 (X × Y, x0 × y0 ) −→ Π1 (Y, y0 )
ϕ : Π1 (X × Y, x0 × y0 ) −→ Π1 (X, x0 ) × Π1 (Y, y0 )
[f ] 7−→ ϕ([f ]) = ([p1 ◦ f ], [p2 ◦ f ])
i)
f
ve
ϕ homomorzmadr.
g x0 × y0 ∈ X × Y noktasnda
ϕ([f ] ∗ [g]) = ϕ([f ∗ g])
iki loop olsun.
([p1 ◦ (f ∗ g)], [p2 ◦ (f ∗ g)])
= ([(p1 ◦ f ) ∗ (p1 ◦ g)], [(p2 ◦ f ) ∗ (p2 ◦ g)])
=
ϕ([f ]) ∗ ϕ([g]) = ([p1 ◦ f ], [p2 ◦ f ]) ∗ ([p1 ◦ g], [p2 ◦ g])
= ([p1 ◦ f ] ∗ [p1 ◦ g], [p1 ◦ f ] ∗ [p2 ◦ g])
= ([(p1 ◦ f ) ∗ (p1 ◦ g)], [(p2 ◦ f ) ∗ (p2 ◦ g)])
⇒ ϕ
homomorzmadr.
39
k : I −→ X x0 ∈ X da bir loop, f : I −→ X × Y x0 × y0 da
h : I −→ Y y0 ∈ Y da bir loop olsun. Bu durumda p1 ◦ f ve p2 ◦ f
x0 ve y0 da bir looptur ve
(k, h) : I −→ X × Y x0 × y0 da bir loop olur.
t 7−→ (g, h)(t) = (g(t), h(t))
bir loop,
srasyla
ψ : Π1 (X, x0 ) × Π1 (Y, y0 ) −→ Π1 (X × Y, x0 × y0 )
([k], [h]) 7−→ ψ([k], [h]) = [(k, h)]
dönü³ümünü tanmlayalm. Bu dönü³üm homomorzmadr.(ÖDEV)
ii)
ψ ◦ ϕ([f ]) = ψ(ϕ[f ]) = ψ([p1 ◦ f ], [p2 ◦ f ])
= [(p1 ◦ f, p2 ◦ f )] = [f ]
O halde
ϕ
nin sol tersi vardr yani injektiftir.
iv)
ϕ ◦ ψ([k], [h]) = ϕ(ψ([k], [h])) = ϕ([(k, h)]) = ([k], [h])
ϕ
nin sa§ tersi vardr.
ϕ
surjektiftir.spat biter.
ϕ0 , ϕ1 : X −→ Y sürekli dönü³ümleri
λ = F (x0 , −) dönü³ümü Y üzerinde ϕ0 (x0 )
Teorem 3.0.11.
homotop olsun.
x0 ∈ X
dan
ve
ϕ1 (x0 )
a
giden bir yol olsun. O zaman a³a§daki diagram komutatiftir.
(ϕ1 )∗
Π1 (X, x0 )
(ϕ0 )∗
'
/
v
Π1 (Y, ϕ1 (x0 ))
ψ
Π1 (Y, ϕ0 (x0 )
ψ ◦ (ϕ1 )∗ = (ϕ0 )∗
dr ve
ψ : Π1 (Y, ϕ1 (x0 )) −→ Π1 (Y, ϕ0 (x))
[g] 7−→ ψ([g]) = λ ∗ g ∗ λ−1
40
izomorzmadr.
spat:
f : I −→ X
x0 ∈ X
da bir loop olsun.
G : I × I −→ Y
(s, t) 7−→ G(s, t) = F (f (s), t)
ϕ0 ◦ f ' ϕ1 ◦ f olur. (Açktr
Y üzerinde srasyla ϕ0 (x0 ) ve ϕ1 (x0 )
O zaman
leri
ki
ile tanmlansn.
ϕ0 ◦ f
ve
ϕ1 ◦ f
dönü³üm-
da loopturlar.)
imdi I × I üzerindeki üçgenle³tirmeleri ele alalm.
H : I ×I −→ I ×I dönü³ümünü önce her bir üçgen üzerinde tanmlayp sonra
da yap³trma "gluing" lemmasna ba³vurarak tanmlayalm. Herbir üçgen (2simpleks) üzerinde
H
dönü³ümü an dönü³ümdür. Böylece
H
dönü³ümünü
sadece kö³eler üzerinde tanmlamak yeterli olacaktr.
H(a) = H(q) = α,
H(b) = H(p) = β ,
H(c) = γ ,
H(d) = δ
,
H(r) = ρ ³eklinde tanmlansn. Sayfa 38 deki Al³trma 2.8 den [a, q]
dik kenar α ya;
[b, p] dik kenar β ya yap³r. Ayrca [q, d] 7−→ [α, δ];
[d, c] 7−→ [δ, γ]; [c, p] 7−→ [γ, β] ya ta³nr.
J = G ◦ H : I × I −→ Y
relatif homotopidir;
J : ϕ0 ◦ f ' (λ ∗ (ϕ1 ) ◦ f ) ∗ λ−1 Reli
Bu durumda;
(ϕ0 )∗ [f ] = [ϕ0 ◦ f ] = [λ ∗ ϕ1 ◦ f ∗ λ−1 ] ve
ψ ◦ (ϕ1 )∗ ([f ]) = ψ([ϕ1 ◦ f ]) = [λ ∗ ϕ1 ◦ f ∗ λ−1 ]
41
olur. stenen elde edilir.
Sonuç 3.0.2.
ϕ0 , ϕ1 : (X, x0 −→ (Y, y0 )
(ϕ0 )∗ , (ϕ1 )∗ birbirlerinin
(ϕ0 )∗ ([f ]) = λ(ϕ1 )∗ ([f ]) ∗ λ−1
i)
ii)
Π1 (Y, x0 )
abel ise
Teorem 3.0.12.
homotop olsun.
∀[f ] ∈ Π1 (X, x0 ) için
[λ] ∈ Π1 (Y, y0 ) vardr.
e³leni§idir. Yani
olacak ³ekilde
(ϕ0 )∗ = (ϕ1 )∗
β : (X, x0 ) −→ (Y, y0 )
homotopi denk ise
β∗ : π1 (X, x0 ) −→ π1 (Y, y0 )
izomorzmdir.
spat:
β : (X, x0 ) −→ (Y, y0 )
homotopi denk olsun.
Bu durumda,
α : (Y, y0 ) −→ (X, x0 )
β ◦ α ' 1Y
vardr öyle ki
α ◦ β ' 1X
dir.
(α ◦ β)∗ = (1X )∗
ve
(β ◦ α)∗ = (1Y )∗
g, f : (X, x0 ) −→ (Y, y0 )
α∗ ◦ β∗ = (1X )∗
ve
homotop ise
f∗ = g∗ 'dr.
β∗ ◦ α∗ = (1Y )∗
⇓
⇓
β∗ ,1 − 1
β∗
örten
⇓
β∗
Sonuç 3.0.3.
1.
izomorzmdir.
β : (X, x0 ) −→ (Y, y0 )
homeomorzm ise
β∗ : π1 (X, x0 ) −→ π1 (Y, y0 )
izomorzmdir.
spat: homeomorf
2.
X
ve
Y
⇒
⇒
homotopi denktir.
sonuca ula³lr.
yol ba§lantl ve ayn homotopi tipine sahip olsun.
π1 (X, x0 ) ' π1 (Y, y0 )
42
ve
3.
X
büzülebilir ve
x0 ∈ X
olsun.
π1 (X, x0 ) = {1}
spat:
X
büzülebilirdir
Tanm 3.0.14.
X
⇔ X ve {x0 } ayn homotopi tipine sahiptir.
⇒ π1 (X, x0 ) ' π1 ({x0 }, x0 ) = {1}
uzay yol ba§lantl ve
π1 (X, x0 ) ' {1}
ise
X
e basit
ba§lantl uzay denir.
Not 3.0.6. Küre basit ba§lantldr fakat büzülebilir de§ildir.
Sonuç 3.0.4.
β : (X, x0 ) −→ (Y, y0 )
null homotop ise
β∗ : π1 (X, x0 ) −→ π1 (Y, y0 )
a³ikar homomorzmdir.
spat: E§er k : X −→ Y dönü³ümü y1 ∈ Y noktasnda sabit ise
k∗ : Π1 (X, x0 ) −→ Π1 (Y, y0 homomorzmas a³ikardr. (k∗ [f ] = k ◦ f idi ve
k ◦ f de sabit yoldur.)
Hipotezden β
nullhomotoptu. O zaman β ' k
oldu§unu kabul edelim.
Lemma 3.0.11 den
β∗
Π1 (X, x0 )
k∗
/
x
&
Π1 (Y, y0 )
ψ
Π1 (Y, y1 )
ψ ◦ β∗ = k∗ olacak ³ekilde ψ izomorzmas mevcuttur.
β∗ = ψ −1 ◦ k∗ a³ikar homomorzmadr. Bu da ispat bitirir.
43
Bu durumda
imdi basit ba§lantl olamayan yani temel grubu a³ikar olmayan
1
S1
uza-
1
Π1 (S , 1) temel grubunu hesaplamak için S çemberini normu
||z|| = 1 olan z kompleks saylarnn kümesi olarak dü³ünelim. h : S 1 −→ S 1
z 7−→ h(z) = z 2 dönü³ümü S 1 etrafnda iki kez tur ataca§ndan h dönü³ümü
g : S 1 −→ S 1 z 7−→ g(z) = z 0 = 1 sabit dönü³ümüne homotop olamaz.
yn ele alalm.
Böylece iki dönü³ümü ayrt etmek için (ve homotopi snarn ayrt etmek
için) bir yöntem aryoruz.
Kompleks de§i³kenli bu tür fonksiyonlar do§rusal integral olan "winding
says" ile ayrt edilebilirler:
1
W (f ) =
2πi
I
f
dz
z
f : (I, i) −→ (S 1 , 1) çemberin parametrizasyonu olsun. f (t) =
exp fe(t) yazarak W (f ) saysn hesaplam³ oluruz. Bu ³ekilde do§rusal ine(t) ile de§i³tirerek bilinen inregrale dönü³türebiliriz.
tegrali z = f (t) = exp f
e0 dt olur ve
O zaman dz = z2πif
Burada
1
W (f ) =
2πi
f
dz
=
z
Z1
fe0 (t)dt = fe(1) − fe(0)
0
I y S 1 etrafnda |m| tur attrr.
(m ≥ 0
için saat yönünün tersine, m < 0
için saat yönünde) O zaman
e
e
e
f (t) = mt alalm ve böylece W (f ) = f (1) − f (0) = m olur.
e(t) = mt+k dönü³ümü de seçilebilirdi.
Burada belli bir k ∈ Z tamsays için f
e aslnda log f dir ve kompleks
Bu seçimin çoklu§u kolayca açklanabilir. f
1
1
logaritma tek de§erli de§ildir. Π1 (S , 1) in hesaplanmas için S
deki her
e
2πif (t)
e
f kapal yol için f (t) = e
olacak ³ekilde f : I −→ R dönü³ümünün
e
e
olu³turulmas ve f (1) ile f (0) n olu³turulmas gerekir.
Örne§in
f (t) = e2πimt
I
X
1
(X, x0 ) −→ (S , 1)
(S 1 , 1)
Lemma 3.0.1.
uzay
fonksiyonu
Rk
f :
exp : (R, t0 ) −→
nn kompakt ve konveks alt kümesi ve
sürekli dönü³üm olsun.
t0 ∈ Z
için
t 7−→ exp(t) = e2πit dönü³ümünü alalm. O zaman
exp ◦fe = f olacak ³ekilde bir tek fe : (X, x0 ) −→ (R, t0 ) sürekli fonksiyonu
e(x0 ) = f (x0 ) = 1
vardr.f˜'ye f 'nin yükseltilmi³ (liftingi) denir. (exp ◦f
olmas için t0 n tamsay alnmas gerekti§ine dikkat edelim.)
44
spat:
X
f düzgün süreklidir.
||f (x) − f (x0 )|| < 2 alalm.
kompakt oldu§undan
0
1
||x − x || < δ iken
( diam(S ) = 2
0
alarak f (x) ve f (x ) noktalarnn antipod olmad§n garantilemi³ oluruz yani
f (x).f (x0 )−1 6= −1 dir.)
0k
< δ olacak ³ekilde bir n ∈ Z+
X snrl oldu§undan tüm x ∈ X için kx−x
n
vardr. ∀x ∈ X için bitim noktalar x0 ve x olan do§ru parçasn (konvekslik
oldu§undan bu do§ru parçasn yine X içinde) x0 , x1 , ..., xn = x uzunluklar
e³it olacak ³ekilde n parçaya ayralm. Böylece
∃δ > 0
için
kxj − xj+1 k =
kX−X0 k
n
<δ
Dolaysyla;
f (x
)
f (xj )−1 .f (xj+1 ) 6= −1 ⇒ f (xj+1
6= −1 ⇒ f (xj+1 ) 6= −f (xj ) dir.
j)
0 ≤ ∀j ≤ n − 1 için g : X −→ S 1 − {−1}
x 7−→ gj (x) = f (xj )−1 .f (xj+1 )
süreklidir ve
∀j
için
gj (x0 ) = 1
dir.
S1
çarpmsal grup oldu§undan
f (x) = f (x0 )[f (x0 )−1 .f (x1 )][f (x1 )−1 .f (x2 )]...[f (xn−1 )−1 .f (xn )]
= f (x0 ).g0 (x).g1 (x)...gn−1 (x) dir. exp dönü³ümünün ( −1
, 1 ) ye kst2 2
−1 1
larsak (
, ) ≈ S 1 − {−1} homeomorzmasn elde ederiz. Bu dönü³ümün
2 2
1
tersine λ
diyelim. (gerçekten λ =
log dur ve λ(1) = 0 dr.) ∀j için
2πi
Imgj ⊂ S 1 − {−1} oldu§undan λ ◦ gj tanml ve süreklidir.
f˜ : X −→ R
x 7−→ f˜(x) = t0 + λg0 (x) + λg1 (x) + ... + λgn−1 (x)
e dönü³ümü sürekli dönü³ümlerin toplam oldu§undan sürekile tanmlansn. f
e(x0 ) = t0
lidir. Ayrca tüm j ler için gj (x0 ) = 1 ve λ(1) = 0 oldu§undan f
e = f dir. fe nin tekli§i ö§renciye ödev olarak braklm³tr.
dr. Ve exp ◦f
Sonuç 3.0.5.
f : (I, i) −→ (S 1 , 1)
sürekli olsun.
45
1.
2.
f˜(0) = 0
dir.(Burada k = exp
k◦fe = f
ve
olacak ³ekilde bir tek sürekli fonksiyon
f˜ : I −→ R
dir.)
g : (I, i) −→ (S 1 , 1) sürekli ve f ' g
fe(t) = ge(t) olur. Ayrca ge(1) = fe(1)
{i} ise fe ' ge rel {i}
rel
dir.Ayrca
I konveks ve kompakt oldu§undan bir önceki lemmadan açktr.
I × I uzay kompakt ve konvekstir. (0, 0) noktasn baz noktas olarak
1
alalm. F : I × I −→ S
relatif homotopi (F : f ' g
reli) ise o zaman
e
e
bir önceki lemmadan exp ◦F = F olacak ³ekilde F : I × I −→ R vardr ve
Fe(0, 0) = 0 dr.
spat: 1.
2.
I ×I
/
F
SO 1
exp
Fe
)
F (t, 0) = f (t),
R
F (t, 1) = g(t),
Fe : fe ' ge reli
oldu§unu yani
F (0, s) = (1, 0) = F (1, s)
F
homotopisinin yükseltilebilece§ini iddia
ediyoruz.
ϕ0 : I −→ R ϕ0 (t) = Fe(t, 0) olarak tanmlansn. O
exp ◦Fe(t, 0) = F (t, 0) = f (t) dir. ϕ0 (0) = Fe(0, 0) = 0
e dr.
seltilmi³in tekli§inden ϕ0 = f
zaman
exp ◦ϕ0 (t) =
oldu§undan ve yük-
θ0 : I −→ R
θ0 (t) = Fe(0, t) olarak tanmlansn. Benzer argümanla
θ0 ≡ 0 sabit fonksiyon oldu§u görülebilir. Buradan Fe(0, 1) = 0 dr.
ϕ1 : I −→ R
ϕ1 (t) = Fe(t, 1) olsun. exp ◦ϕ1 (t) = F (t, 1) = g(t) ve
ϕ1 (0) = Fe(0, 1) = 0 oldu§undan ϕ1 = ge dir.
Son olarak θ1 : I −→ R
θ1 (t) = Fe(1, t) olarak tanmlansn. exp ◦θ1 = c
exp ◦θ1 (t) = f (1) ve θ1 (0) = fe(1) dir.
e(1) üzerindeki sabit dönü³üm c dönü³ümünün yükseltilmi³idir ve
Böylece f
e(1) dir. O halde fe(1) = ge(1) olur. Fe relatif
teklikten ∀t
için θ1 (t) ≡ f
sabit dönü³ümdür. Ayrca
∀t
için
homotopi olur.
Tanm 3.0.15.
f : (I, i) −→ (S 1 , 1)
deg
³eklinde tanmlanr. Burada
f˜, f
sürekli fonksiyon olsun.
f = f˜(1)
nin yükseltilmi³idir.
46
f
nin derecesi:
Teorem 3.0.13.
d : Π1 (S 1 , 1) −→ (Z, +)
[f ] 7−→ d([f ]) =degf
homomorzmi izomorzmdir. Ayrca
deg
Sonuç 3.0.6.
2.
S1
1.
S1
(f ∗ g) =deg(f )+deg(g)
dir.
basit ba§lantl de§ildir.
deki iki kapal yol, yol homotoptur
⇔
iki yol ayn dereceye sahiptir.
spat:
1.
2.
Π1 (S 1 , 1) ∼
= Z {1}
(⇒)f, g : (I, 1) −→ (S 1 , 1) iki yol ve f ' g olsun.
f˜(1) = g̃(1) olur. Buradan deg f = deg g dir.
(⇐) deg f = f˜(1) deg g = g̃(1)
O zaman
f˜ ' g̃
ve
f˜ ' g̃ ⇒ k ◦ f˜ ' k ◦ g̃ ⇒ f ' g
3.0.2
Topolojik Grup
(G, τ ) bir topolojik uzay, (G, ·) bir grup
(G, τ, ·) yapsna topolojik grup denir.
Tanm 3.0.16.
mevcut ise
1.
G × G −→ G sürekli
(x, y) 7−→ x · y
2.
G −→ G sürekli
x 7−→ x−1
Örnek 3.0.1.
2.
(S 1 , τA , ·)
1.
(R, τS , +)
olsun.A³a§dakiler
bir topolojik gruptur.
bir topolojik gruptur.
τA = {S 1 ∩ V | V ∈ τS × τS } ⊂ τS × τS
·
i³lemi kompleks saylar üzerinde çarpmadr.
z1 , z2 ∈ S 1 ⊂ C
için
z1 .z2 = (x1 , y1 )(x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 , y2 , x1 y2 + x2 y1 )
47
3.
(GL(n, R), τG , ·)
bir topolojik gruptur.
(GL(n, R) = {Ai ∈ Mn×n | detA 6= 0}
2
× ... × R}
GL(n, R) ⊂ Rn = |R × R {z
n2
τG = {A ∩ W | W ∈ τS × ... × τS }
O(n) = {A ∈ (GL(n, R) | A.A1 = 1}
SO(n) = {A ∈ O(n) | detA = 1}
SO(n) ⊂ O(n) ⊂ GL(n)
⇐
izomorzm
3.0.3
homeomorzm
⇐
dieomorzm
⇐
izotopi
H-Uzay (Hoph Uzay)
Tanm 3.0.17.
(X, x0 )
dönü³ümlerinin her biri
m(x0 , )
bir noktal topolojik uzay olsun.
1X 'e
m : (X × X, x0 × x0 ) −→ (X, x0 )
(X, x0 )
dönü³ümü varsa
uzayna H-Uzay denir.
m(x0 , −) : {x0 } × X −→ X
m(−, x0 ) : X × {x0 } −→ X
m(x0 , −) ' 1x0
Not 3.0.7. Her topolojik grup bir H-uzaydr.
Teorem 3.0.14.
spat:
(X, x0 )
ve
relatif olarak homotop olacak ³ekilde
H-uzay ise
Π1 (X, x0 )
abeldir.
θ : Π1 (X, x0 ) × π1 (X, x0 ) −→ π1 (X × X, x0 × x0 )
([f ], [g]) 7−→ θ([f ], [g]) = [(f, g)]
∀[f ], [g] ∈ π1 (X, x0 )
ise
[g] = (m ◦ (k, 1x ) ∗ [g]
= m ∗ (k, 1x ) ∗ [g]
[f ] ∗ [g] = [g] ∗ [f ]
(H-uzay)
π1
(
funktor)
= m ∗ ((k ◦ g, g)) = m ∗ (θ([kg], [g])
48
?
m( , x0 )
= m ∗ θ([e], [g])
[f ] = m ∗ θ([f ], [e])
[f ] ∗ [g] = m ∗ θ([f ], [e]) ∗ m ∗ θ([e], [g])
= m ∗ θ([f ], [g])
m ∗ ([f ], [g]) = [g] ∗ [f ]
Sonuç 3.0.7.
(X, x0 )
topolojik grup ise
49
Π1 (X, x0 )
abeldir.
Bölüm 4
ÖRTÜ UZAYLARI
X̃ , ve X
Tanm 4.0.18.
iki topolojik uzay,
olsun. A³a§daki özellikler mevcut ise,
X
p : X̃ −→ X sürekli bir dönü³üm
U aç§na "p tarafndan
deki
düzgün örtülüyor" denir:
F
p−1 (U ) = Si ,
ii) p |Si : Si −→ U
∀i
i)
Tanm 4.0.19.
(X̃, p)
ikilisine
için,
Si ⊂ X̃
da açk kümeler.
bir homeomorzmdir.
X̃ , ve X iki topolojik uzay
X topolojik uzaynn "örtü
olsun.A³a§dakiler mevcut ise
uzay";
p
dönü³ümüne de
"örtülü dönü³üm" denir:
i)
ii)
iii)
X̃ yol ba§lantldr.
p : X̃ −→ X süreklidir.
∀x ∈ X noktasnn bir U
Örnek 4.0.2.
açk kom³ulu§u
p tarafndan düzgün örtülür.
p : R −→ S 1
t 7−→ p(t) = (cos 2πt, sin 2πt)
ile tanmlanan dönü³üm örtü dönü³ümüdür. Yani
(R, p), S 1
in örtü uza-
ydr.
Çözüm:
p
nin identikasyon dönü³ümü oldu§unu biliyoruz. O halde
örten ve süreklidir. Ayrca
−1
R
p
yol ba§lantldr(çünki konveks).
(1, 0) ∈ U olsun. p (U ) yu belirleyelim.
Si = (i −F14 , i + 14 ) ⊂ R açk aralklar için, Si ∩ Sj = ∅ i 6= j
p−1 (U ) = i∈Z Si
imdi p |Si : Si −→ U nun homeomorzma oldu§unu gösterelim.
50
ve
p sürekli oldu§undan p |Si dönü³ümü de süreklidir.
ii) x1 6= x2 ∈ Si için p(x1 ) 6= p(x2 ) p |Si oldu§undan injektiftir.
iii) ∀w ∈ U
için ∃t ∈ Si öyle ki p(t) = w
w = p(t) = e2πit ⇒
1
t = 2πi ln |w| ∈ Si oldu§undan p |Si surjektiftir.
−1
iv) (p |Si )
: U −→ Si
1
w 7−→ (p |Si )−1 (w) = 2πi
ln |w| dönü³ümü süreklidir.
i)
Örnek 4.0.3. Her homeomorzm bir örtülü dönü³ümdür.
p : X −→ Y
ii)
p
p örten ve süreklidir.
p−1 (U ) = V ⊂ X açktr.
bir homeomorzm olsun. Bu durumda
i) Süreklilikten dolay
U ⊂Y
açk için
homeomorzm oldu§undan
O halde inceledi§imiz
Örnek 4.0.4.
1X
p
p |Vα
homeomorzmdir.
homeomorzmi örtü dönü³ümdür.
birim dönü³ümü bir örtü dönü³ümdür.
1X : X −→ X birim dönü³ümünün örten
−1
i) U = Vα alrsak p (U ) = U = Vα dr.
ii) p |U : U −→ U homeomorzmdir.
O halde 1X örtülü dönü³ümdür.
Örnek 4.0.5.
E = X × {0, 1, 2, 3, ...}
ve
ve sürekli oldu§unu biliyoruz.
B =X
olmak üzere
p : E −→ B
örtü dönü³ümdür.
• ∀x ∈ X için (x, 0) ∈ X × {0, 1, 2, 3, ...}
p örtendir.
• U ⊂B=X
de açk olsun.
öyle ki
+
p(x, 0) = x
p−1 (U ) = U × Z ⊂ E
açk oldu§undan
süreklidir.
p−1 (U ) = ∪α∈Z+ U × {α} ayrk birle³imine e³ittir.
ii) p |Vα : Vα −→ U ; p |Vα : U × α −→ U homeomorzmdir.
O halde p örtü dönü³ümdür.
i)
51
oldu§undan
p
p : S 2 −→ RP 2 , p(z) = [z]
Örnek 4.0.6.
ile tanmlanan bölüm dönü³ümü
örtü dönü³ümdür.
p : R+ −→ S
Örnek 4.0.7.
1
,
p(t) = (cos2πt, sin2πt)
örtülü dönü³üm
de§ildir.
Örnek 4.0.8.
p × p : R × R −→ S 1 × S 1 örtü dönü³ümdür. Çünkü;
p : R −→ S 1 örtü dönü³ümlerinin kartezyen çarpm da örtü
dönü³ümüdür.
Lemma 4.0.2.
(X̃, p) X
uzaynn örtü uzay olsun.
1.
p : X̃ −→ X
2.
p
identikasyon dönü³ümdür.
3.
X
yol ba§lantldr.
sürekli örten ve açktr.
spat:
1.
G
p−1 (U ) =
Si Si ⊂ X açk.
G
G i∈I
−1
• pp (U ) = p( Si ) =
p(Si ) = U oldu§undan p
U ⊂X
açk olsun.
i∈I
• p : X̃ −→ X
örtendir.
i∈I
örtü dönü³ümü ve
V ⊂ X̃
açk olsun.
p(V )
nin
X
de
açk oldu§unu gösterelim.
x ∈ p(V ) olsun. x noktasn içeren bir U kom³ulu§u vardr öyleki
U düzgün örtülüyor. x̃ ∈ p−1 (x) ∩ V olsun. Ũ ; x̃ noktasn içeren
U üzerinde bir sheet olsun. p : Ũ −→ U homeomorftur. O halde
Ũ ∩ V[⊂ Ũ açk oldu§undan
p(Ũ ∩ V ) = U açktr.
[
[
V =
Ũi ⇒ V =
Ũi ∩ V → p(V ) = p( Ũi ∩ V ) = U olur. p
i∈I
i∈I
i∈I
açk dönü³ümüdür.
52
2.
p
3.
X̃
sürekli örten ve açk oldu§undan identikasyondur.
yol ba§lantl ve
p
örten ve sürekli oldu§undan
p(X̃) = X
de yol
ba§lantldr.
Teorem 4.0.15.
G
yol ba§lantl topolojik grup,
H
da
G
nin diskret normal
alt grubu olsun.
p : G 7−→ G/H
do§al homomorzm ise
spat:
G/H
p
(G, p), G/H
örtü dönü³ümdür. (
p dönü³ümünün
p(V ) = {Hx : x ∈ V } dir.
n topolojik grup oldu§unu biliyoruz. Önce
G açk olsun.
[ V ⊂ [
p p(V ) =
Hx =
hV dir.
açk oldu§unu görelim.
Böylece
n örtü uzaydr.)
−1
x∈V
h∈H
Lh : G −→ G g 7→ hg homeomorzma oldu§undan hV ⊂ G açktr. Bu
−1
yüzden p
p(V ) ⊂ G de açktr. p dönü³ümü identikasyon oldu§undan
p(V ) ⊂ G/H da açk olur.
H normal altgrubu diskret oldu§undan tüm alt kümeleri açk ve kapaldr.
1 ∈ G birim eleman için W ∩ H = {1} olacak ³ekilde bir W ⊂ G aç§
mevcuttur.
G × G −→ G (x, y) 7→ xy −1 sürekli oldu§undan 1 birim elemannn
V V −1 ⊂ W olacak ³ekilde bir V kom³ulu§u vardr. U = p(V ) ³eklinde
tanmlansn. p açk oldu§undan 1 ∈ U ⊂ G/H açk kom³ulu§u olur. U nun
p tarafndan düzgün örtüldü§ünü
iddia ediyoruz. Yukarda gösterdi§imiz gibi
[
−1
−1
hV hV ⊂ G açk idi. h ∈ H için hV formundaki
p (U ) = p p(V ) =
h∈H
hV ∩ kV = ∅ dir. (Bir an
için hV ∩ kV 6= ∅ oldu§unu kabul edelim. O zaman v, w ∈ V vardr öyle ki
hv = kw olur. Buradan vw−1 = k −1 h ∈ V V −1 ∩ H ⊂ W ∩ H = {1} elde
kümeler iki³erli ayrktr yani
h, k ∈ H h 6= k
ise
edilir ki bu da çeli³kidir.)
p |hV : hV −→ U homeomorzmadr:
• p |hV dönü³ümünün açk ve sürekli oldu§unu biliyoruz.
• p(hV ) = p(h)p(V ) = p(V ) = U (h ∈ H = kerp) oldu§undan p |hV
Sonuç olarak
surjektiftir.
• v, w ∈ W
için
p(hv) = p(hw) ⇒ p(v) = p(w)
p |hV injektiftir.
x̃ ∈ G/H ise o zaman x̃U ⊂ G/H ; x̃
ve
vw−1 ∈ V V −1 ∩H = {1}
oldu§undan
E§er
p
tarafndan düzgün örtülür. Bu durumda
53
noktasnn açk kom³ulu§udur ve
(G, p); G/H
n örtü uzaydr.
Lemma 4.0.3.
p : X̃ −→ X
örtü dönü³ümü,
Y
ba§lantl uzay ve
f : (Y, y0 ) −→ (X, x0 )
sürekli dönü³üm olsun. Verilen
çok bir
f˜ : (Y, y0 ) −→ (X̃, x˜0 )
x˜0 ∈ p−1 (x0 )
6
olacak ³ekilde en
olacak ³ekilde
(X̃, x˜0 )
p
f
(Y, y0 )
p◦f 0 = f
p ◦ f˜ = f
sürekli dönü³üm vardr.
f˜
spat:
için
/
(X, x0 )
f 0 : (Y, y0 ) −→ (X̃, x˜0 ) sürekli dönü³ümünün
oldu§unu kabul edelim.
A = {y ∈ Y : f˜(y) = f 0 (y)}
B = {y ∈ Y : f˜(y) 6= f 0 (y)}
Y = A∪B
A ∩ B = ∅, A ve B açk alt kümeler ve
üstelik Y ba§lantldr. Bu durumda A = ∅ ya da B = ∅ dir. A 6= ∅ olmaldr
0
çünkü y0 ∈ A dr. O zaman B = ∅ olur. f˜ = f dir.
ve
a ∈ A alalm. U , f (a) nn bir kom³ulu§u olsun. S
0
f (a)
y içeren
U
de
f˜(a) =
üzerinde bir yaprak(sheet) olsun.
W = f˜−1 (S) ∩ f 0−1 (S) Y
deki
a
noktasnn bir kom³u-
lu§udur.
w∈W
ise
f˜(w)
ve
f 0 (w) S
ye aittir. Böylece
p ◦ f˜(w) = f (w)
p ◦ f 0 (w) = f (w)
⇒w∈W
için
f˜(w) = f 0 (w) dir. Çünkü p |S homeomorzmdir.
w ∈ A ⇒ W ⊂ A ⇒ A açktr.
X̃
Hausdor olsayd,
A
kapal olacakt ve ispat tamam-
lanacakt.
b ∈ B olsun. Bu durumda V , f (b) nin bir kom³ulu§udur. E§er hem f˜(b) hem
0
0
de f (b), V nin ayn yapra§ üzerine dü³üyorsa f˜(b) = f (b) b ∈ B olmas ile
0
0
0
çeli³ir. Dolaysyla f˜(b) ∈ S ve f (b) ∈ S olur ki S ve S farkl yapraklardr.
54
W 0 = f˜−1 (S) ∩ (f 0 )−1 (S 0 )
W 0, b
nin bir açk kom³ulu§udur. Buradan
olur. O halde
B
b ∈ W0 ⇒ b ∈ W ⇒ W0 ⊂ B
açktr.
p : (X̃, x˜0 ) −→ (X, x0 ) örtü dönü³ümü
f : (I, 0) −→ (X, x0 ) bir yol olsun. E§er x˜0 ∈ p−1 (x0 ) ise p ◦ f˜ = f olacak
³ekilde bir tek f˜ : (I, 0) −→ (X̃, x
˜0 ) yolu vardr.
Teorem 4.0.16. (Lifting Lemma)
ve
spat:
I
ba§lantldr. Bir önceki lemmadan
f˜ tektir.
O halde
f˜ nn
var-
l§n gösterelim.
x = f (a)
∀t ∈ I
nn kom³ulu§u
için
U
ve
f ([a, b]) ⊂ U
olacak ³ekilde
g̃ : ([a, b], a) −→ (X̃, x̃)
t 7−→ g̃(t) = (p |S )−1 ◦ f |[a,b]
Ut , f (t) nin bir kom³ulu§u olsun.
[a, b] ⊂ I
alalm.
olsun.
{f −1 (Ut | t ∈ I}
I kompakt metrik uzaynn açk örtüleridir. Bu örtünün bir Lebesgue says
λ vardr.Yani: 0 < δ < λ ve Y ⊂ I ; çap δ dan küçük olan bir altküme ise o
−1
zaman bir t ∈ I için Y ⊂ f
(Ut ) dir yani f (Y ) ⊂ Ut dir.
i = 1, 2, ..., m − 1 için ti+1 − ti < δ olacak ³ekilde I nn t1 = 0, t2 ..., tm = 1
parçalan³ olsun. O zaman
1≤i≤m−2
g˜1 : [0, t2 ] −→ X̃
p ◦ g˜1 = f |[0,t2 ]
g˜1 (0) = x˜0
g˜2 : [t2 , t3 ] −→ X̃
p ◦ g˜2 = f |[t2 ,t3 ]
g˜2 (t2 ) = g˜1 (t2 )
.
.
.
.
.
.
için;
g̃i+1 : [ti+1 , ti+2 ] −→ X̃
gi+1
˜ (t + 1) = g˜i (t + 1)
O halde
f˜ : (I, 0) −→ (X̃, x˜0 )
p ◦ g̃i = f |[ti+1 ,ti+2 ]
t ∈ [ti , ti+1 ]
³ekilde sürekli bir dönü³üm mevcuttur.
55
için
ve
f˜(t) = g˜i (t)
olcak
Teorem 4.0.17. Covering Homotopi Teoremi
Y
P : X̃ −→ X
örtü dönü³ümü,
herhangi bir uzay olsun. A³a§daki diyagram ele alalm.
f˜
Y
j
Y ×I
7/
X̃
F̃
/
F
p
X
J(y) = (y, 0), ∀y ∈ Y
O zaman
p ◦ F̃ = F olacak ³ekilde bir F̃ : Y × I −→ X̃
Y yol ba§lantl ise F̃ tektir.
sürekli fonksiyon
vardr. Ayrca
Sonuç 4.0.8. Covering Homotopi Lemma
x0 , x1 ∈ X
x̃0 ∈ p−1 (x0 )
f, g : I −→ X x0
dan
x1
p : X̃ −→ X
bir örtü dönü³ümü;
e giden iki yol olsun. Ayrca
olsun.
F : I × I −→ X dönü³ümü f ve g arasnda relatif homotopi ise
p ◦ F̃ = F ve F̃ (0, 0) = x̃0 olacak ³ekilde birtek F̃ : I × I −→ X̃ sürekli
1. E§er
dönü³ümü vardr.
2.
f˜, g̃ , f ve g nin yükseltilmi³i (f˜(0) = g̃(0) = x̃0 )
f˜ ' g̃ rel {i} dir.
ise
f˜(1) = g̃(1)
dir ve
spat:
1.
Y =I
2.
f˜, g̃ , f , g nin yükseltilmi³i ve f˜(0) = g̃(0) olsun. p◦f˜ = f
alrsak teoremden sonuca ula³rz.
ve
p◦g̃ = g dir.
F̃0 : I −→ X̃
t 7−→ F̃0 (t) = F̃ (t, 0) ³eklinde tanmlansn. O za˜
˜0 = f˜
man p ◦ F0 = f ve F̃0 (0) = F̃ (0, 0) = x̃0 dir. Lifting Lemma dan F
dir.
F̃ |{0}×I X̃ da bir yoldur. Lifting Lemma dan ∀t ∈ I için F̃ (0, t) =
x̃0 = f˜(0) = g̃(0) dr. Benzer ³ekilde F̃ |{1}×I , f˜(1) de sabit yoldur.
F̃1 : I −→ X̃
56
rumda
t 7−→ F̃1 (t) = F̃ (t, 1) olarak tanmlansn. Bu duF̃1 (0) = F̃ (0, 1) = x̃0 dr. Böylece F̃1 = g̃ dir.
p ◦ F̃1 = g
ve
Yani;
g̃(1) = F̃1 (1) = F̃ (1, 1) = f˜(1)
F̃ : I × I −→ X̃
dönü³ümü
f˜
ve
g̃
arasndaki re-
latif homotopi dönü³ümüdür.
Teorem 4.0.18.
Π1 (X, x0 )
p : (X̃, x̃0 ) −→ (X, x0 ) örtü dönü³ümü ise p∗ : Π1 (X̃, x̃0 ) −→
monomorzmdir.
[f˜] ∈ Π1 (X̃, x̃0 ), x˜0
[p ◦ f˜] = 1 ⇒ p ◦ f˜ ' c rel i
spat:
p ◦ f˜ = f
p∗ ([f˜]) = 1 ⇒
f ' c rel i dir. Bir önceki sonuçtan f˜ ' c̃ rel i
[f˜] = [c̃] = [1]. O halde p∗ monomorzmadr.
oldu§undan
dir. Bu durumda
4.0.4
noktasnda kapal yol olsun.
Bir Grubun Küme Üzerine Hareketi
Tanm 4.0.20.
(G, ∗) bir grup, Y
G × Y −→ Y
özellikleri sa§layan
de topolojik uzay olsun. E§er a³a§daki
(sürekli) fonksiyon varsa
G
grubu
Y
topolo jik uzay üzerinde hareket ediyor denir.
1.
(g ∗ g 0 ).y = g.(g 0 ∗ y), ∀g, g 0 ∈ G, ∀y ∈ Y
2.
1.y = y , 1 ∈ G, ∀y ∈ Y
•
E§er
G
grubu
Y
kümesi(topolo jik uzay) üzerinde hareket ediyorsa
kümesine(uzayna)
•
E§er
∀y, y 0 ∈ Y
G-küme(uzay)
için
g.y = y 0
Y
denir.
olacak ³ekilde
g ∈ G
varsa
G
ye
Y
Y
kümesine
• G grubu Y üzerinde hareket etsin. Her bir g ∈ G için
Y −→ Y
y 7−→ g.y dönü³ümü Y nin permutasyonudur
mevcuttur. (Yani Y −→ Y
y 7−→ g −1 .y )
ve tersi de
üzerinde geçi³li(transitii) hareket ediyor
de
•
geçi³li(transitif )
G-küme
denir.
denir.
G grubu Y topolo jik uzay üzerinde
y 7−→ g.y dönü³ümü homeomorzmadr.
E§er
57
hareket ediyorsa
Y −→ Y
Tanm 4.0.21.
G
bir grup,
Y
bir küme ve
O(y) = {g.y | g ∈ G} ⊂ Y
y∈Y
olsun.
kümesine
y
noktasnn orbiti
denir.
Gy = {g ∈ G | g.y = y} ⊂ G
altgrubuna
y
noktasnn
stablizeri(izotropi) denir.
Not 4.0.8.
G, Y
Lemma 4.0.4.
1.
üzerinde transitii hareket eder
G
grubu,
|O(y)| = [G : Gy ]
Y
⇔ O(y) = Y, ∀y ∈ Y
kümesi üzerinde hareket etsin.
dir. (Yani,
O(y)
y∈Y
olsun.
nin mertebesi indeks saysna e³it-
tir.)
2. Ayrca
G, Y
üzerinde geçi³li(transitii) hareket ediyorsa
|Y | = [G : Gy ]
spat:
1.
ϕ : O(y) −→ G/Gy
g.y 7−→ ϕ(g.y) = g ∗ Gy ³eklinde tanmlansn.
• ϕ 1-1 dir:
g, h ∈ G için g ∗ Gy = h ∗ Gy olsun. ⇐⇒ g −1 ∗ h ∈ Gy
⇐⇒ (g −1 ∗ h).y = y (Gy tanmndan) ⇐⇒ h.y = g.y
• ϕ örtendir:
∀hGy ∈ G/Gy için ∃h.y ∈ O(y) dir.
ϕ
bijektif oldu§undan kardinaliteler birbirine e³it olur. stenen elde
edilir.
2. Bir önceki nottan
Tanm 4.0.22.
O(y) = Y
f : X −→ Y
alnr. stenen elde edilir.
bir dönü³üm ve
y ∈ Y
olsun.
f −1 (y)
ye
y
üzerinde ber (lif ) denir.
Teorem 4.0.19.
X̃ , X
in örtü uzay,
x0 ∈ X
ve
Y = p−1 (x0 )
(Yani
Y ; x0
üzerinde bir lif ) olsun.
1.
Π1 (X, x0 ), Y
2.
x̃0 ∈ Y
3.
|Y | = [Π1 (X, x0 ) : p∗ Π1 (X̃, x̃0 )]
ise
üzerinde transitii hareket eder.
Gx̃0 = p∗ Π1 (X̃, x̃0 )
spat: (1) ve (2) yi gösterirsek bir önceki lemmadan (3) mevcuttur.
58
1.
Π1 (X, x0 ) × Y −→ Y
Y = p−1 (x0 )
([f ], x̃) 7−→ x̃[f ] = f˜(1) ³eklinde tanmlansn. Öncelikle hareket
olma kriterleri sa§latlmaldr.(Ödev - [f ], [g], [ex0 ] ∈ Π1 (X, x0 ) ve x̃ ∈
Y için ([f ] ∗ [g])x̃ = [f ]([g]x̃ ve [ex0 ]x̃ = x̃ ko³ullarnn sa§land§
görülmelidir.)
Burada
f˜;
f
nin yükseltilmi³i olsun öyle ki
f˜(0) = x̃.
Bu hareketin
transitii hareket olmasn istiyoruz. (Transitif olma kriteri:
için
x˜0 [g] = x̃
olacak ³ekilde
[g] ∈ Π1 (X, x0 )
I
vardr.)
X̃
8
f˜
f
∀x˜0 , x̃ ∈ Y
/
p
X
λ; x0 ∈ X de kapal bir yol olmak üzere (ki p(x˜0 ) = x0 ) x˜0 ∈ Y
seçelim ve x̃ Y
üzerinde herhangi bir nokta olsun. X̃
yol ba§lantl
oldu§undan x
˜0 noktasn x̃ noktasna ba§layan λ̃ : I −→ X̃ yolu vardr
öyle ki p ◦ λ̃ = λ
X̃
8
λ̃
/
λ
I
p
X
p ◦ λ̃ dönü³ümü x0 da kapal yol olur böylece [p ◦ λ̃] ∈ Π1 (X, x0 ) ve
x˜0 [p ◦ λ̃] = λ̃(1) = x̃ dir. O halde Π1 (X, x0 ); Y üzerinde transitii
hareket eder.
2.
f , X de x0 noktasnda
f˜(0) = x̃0 olsun.
f˜, f
kapal yol olsun.
8
f˜
f
I
/
nin yükseltilmi³i öyle ki
X̃
p
X
f (0) = x0 , p(x˜0 ) = x0 , f˜(0) = x˜0 , ve p ◦ f˜ = f
[f ] ∈ Gx˜0 alalm. O zaman x˜0 = x˜0 [f ] = f˜(1)
Π1 (X̃, x˜0 ) ve [f ] = [p ◦ f˜] ∈ p∗ (Π1 (X̃, x˜0 )) olur.
O halde Gx˜0 ⊆ p∗ (Π1 (X̃, x
˜0 ))
59
olur. Böylece
[f˜] ∈
[g̃] ∈ Π1 (X̃, x˜0 )
için
[f ] = [p ◦ g̃]
olsun.
f˜
g̃ ; f
f˜ = g̃
ve
oldu§undan ve yükseltilmi³in tekli§inden
nin yükseltilmi³leri
dir, ayrca
f˜(1) =
g̃(1) = x˜0 dr.
x˜0 [f ] = f˜(1) = x˜0 =⇒ [f ] ∈ Gx˜0 =⇒ p∗ (Π1 (X̃, x˜0 )) ⊆ Gx˜0
elde
edilir. Çift yönlü kapsamadan e³itlik gelir.
Teorem 4.0.20.
−1
Y1 = p (x1 )
(X̃, p), X
x0 , x1 ∈ X , Y0 = p−1 (x0 )
in örtü uzay,
olsun. O zaman:
|Y0 | = |Y1 |
ve
dir.
x̃0 ∈ Y0 ve x̃1 ∈ Y1 olsun. λ̃, X̃ da x˜0 dan x˜1 e giden bir yol olsun.
λ = p ◦ λ̃ olacak ³ekilde X de x0 dan x1 e giden bir yoldur.
spat:
O zaman
Π1 (X̃, x̃0 )
Σ
/
Π1 (X̃, x̃1 )
p∗
Π1 (X, x0 )
σ
/
p∗
Π1 (X, x1 )
Σ : ([f˜]) 7→ Σ([f˜]) = [λ̃−1 ∗ f˜ ∗ λ̃]
σ : [f ] 7→ σ([f ]) = [λ−1 ∗ f ∗ λ]
olarak tanmlansn.
Σ
Π1 (X̃, x̃0 ) ile Π1 (X̃, x̃1 ) in kardinaliteleri ayndr. Benzer ³ekilde Π1 (X, x0 ) ile Π1 (X, x1 ) in kardinaliteleri
ayndr. Ayrca p örtü dönü³ümü oldu§undan p∗ injektif idi. |Y0 | = [Π1 (X, x0 ) :
p∗ (Π1 (X̃, x̃0 ))] = [Π1 (X, x1 ) : p∗ (Π1 (X̃, x̃1 ))] = |Y1 | olur.
ve
σ
birer izomorzmdir. O zaman
Tanm 4.0.23.
(X̃, p), X
in örtü uzay olsun.
X
in örtü uzaynn "multi-
plicity" si (katman), bir linin kardinalitesidir. E§er katman says
ise
(X̃, p)
örtü uzayna
Sonuç 4.0.9.
spat:
−1
p (x0 )
n≥2
X
için
Π1 (RP n ) ∼
= Z/2Z
p : S n −→ RP n
”m”
in m-katmanl örtü uzay denir.
dir.
örtü dönü³ümü oldu§unu biliyoruz.
x0 ∈ Rpn
için
linde iki tane katman(yaprak) vardr. Dolaysyla;
[Π1 (RP n , x0 ) : p∗ Π1 (S n , x̃0 )] = 2
n
Ayrca n ≥ 2 için Π1 (S , x
˜0 ) = {0} a³ikar grup idi. Bu durumda
n
p∗ : Π1 (S , x˜0 ) −→ Π1 (RP n x0 ) homomorzmas için Imp∗ = {0} olur. O
n
n
∼
∼
halde |Π1 (RP , x0 )| = 2 dir. Mertebe 2 oldu§undan Π1 (RP , x0 ) = Z2 =
Z/2Z
60
(X̃, p), X
Sonuç 4.0.10.
1.
x̃0 , x̃1 ∈ Y
x0 ∈ X
ve
Y = p−1 (x0 )
p∗ (Π1 (X̃, x̃0 )) ve p∗ (Π1 (X̃, x̃1 )); Π1 (X, x0 )
(H1 , H2 ≤ G, a ∈ G için H1 = aH2 a−1 )
ise
gruplardr.
2.
in örtülü uzay,
x̃0 ∈ Y
için
S , p∗ (Π1 (X̃, x̃0 )) ile e³lenik
S = p∗ (Π1 (X̃, x̃1 )) olacak
grubu ise o zaman
Σ
Π1 (X̃, x̃0 )
/
σ
n e³lenik alt
Π1 (X, x0 ) n
x̃1 ∈ Y
³ekilde bir
bir alt
vardr.
Π1 (X̃, x̃1 )
p∗
Π1 (X, x0 )
olan
lif olsun.
/
p∗
Π1 (X, x1 )
spat:
1.
[f˜] −→ Σ([f˜]) = [λ̃−1 ∗ f˜ ∗ λ̃]
[f ] −→ σ([f ]) = [λ−1 ∗ f ∗ λ]
idi. Diyagramn komutatii§inden,
p∗ ◦(Σ(Π1 (X̃, x˜0 )) = p∗ (Π1 (X̃, x˜1 )) = σ◦p∗ (Π1 (X̃, x˜0 )) = [λ−1 ]∗[p∗ (Π1 (X̃, x˜0 ))]∗[λ]
Bu iki grup
[λ] ∈ Π1 (X, x0 )
ile e³leniktir. Yani;
p∗ (Π1 (X̃, x˜0 )) = [λ−1 ] ∗ [p∗ (Π1 (X̃, x˜1 ))] ∗ [λ]
2.
S = [λ−1 ] ∗ [p∗ (Π1 (X̃, x˜0 ))] ∗ [λ]
S = σ ◦ p∗ (Π1 (X̃, x˜0 )) = p∗ ◦ Σ(Π1 (X̃, x˜0 )) = p∗ (Π1 (X̃, x˜1 ))
Tanm 4.0.24.
ise
(X̃, p)
Not 4.0.9.
noktalar
2.
X̃
∀x0 ∈ X
için
p∗ (Π1 (X̃, x˜0 )), Π1 (X, x0 )
n normal altgrubu
örtü uzayna regüler örtü uzay denir.
(X̃, p); X in regüler örtü uzay ise
için p∗ (Π1 (X̃, x
˜0 )) = p∗ (Π1 (X̃, x˜1 ))
1.
basit ba§lantl ise
(X̃, p)
ayn lifteki
regüler örtü uzaydr.
61
x˜0
ve
x˜1
4.0.5
Örtü Transformasyonlar
Y ba§lantl ve yerel yol ba§lantl uzay,
f : (Y, y0 ) −→ (X, x0 ) sürekli olsun. (X̃, p), X in örtü uzay ise f nin bir tek
yükseltilmi³i f˜ : (Y, y0 ) −→ (X̃, x
˜0 ) vardr ⇐⇒ f∗ Π1 (Y, y0 ) ⊆ p∗ Π1 (X̃, x˜0 )
Teorem 4.0.21. (Lifting Kriteri:)
spat:
:=⇒ f
nin bir tek
f˜
p ◦ f˜ = f
yükseltilmi³i var olsun. Yani
ve
f˜(y0 ) = x˜0 . Dolaysyla;
f∗ Π1 (Y, y0 ) = p∗ ◦ f∗ (Π1 (Y, y0 )) ⊂ p∗ (Π1 (X̃, x˜0 ))
⇐=:
(ÖDEV)
Sonuç 4.0.11.
(X, x0 )
Y
(X̃, p), X in örtü uzay
f˜ : (Y, y0 ) −→ (X̃, x˜0 ) vardr.
sürekli olsun.
tek yükseltilmi³i
f : (Y, y0 ) −→
x˜0 ∈ p (x0 ) ise f nin bir
basit ba§lantl ve yerel yol ba§lantl uzay,
ve
−1
Y basit ba§lantl oldu§undan Π1 (Y, y0 ) = {1} dir. Dolaysyla ;
f∗ Π1 (Y, y0 = 1 ⊂ p∗ Π1 (X̃, x˜0 ) daima kapsanr. Bir önceki teoremden f nin
bir tek f˜ yükseltilmi³i vardr.
spat:
(X̃, p) ve (Ỹ , q), X in
x0 ∈ X, x̃0 ∈ X̃ ve y˜0 ∈ Ỹ seçelim. (p(x˜0 ) = x0 = q(y˜0 ))
E§er q∗ Π1 (Ỹ , y˜0 ) = p∗ Π1 (X̃, x
˜0 ) ise p ◦ h = q olacak ³ekilde bir tek sürekli
h : (Ỹ , y˜0 ) −→ (X̃, x˜0 ) sürekli dönü³ümü vardr ve h homeomorzmdir.
Sonuç 4.0.12.
X
ba§lantl ve yerel yol ba§lantl,
örtü uzaylar olsun.
spat:
/
h
Ỹ
q
X
X̃
p

diyagram komutatiftir. Bir önceki teoremden
(Ỹ , y0 ) sürekli dönü³ümü
h ◦ k = 1X̃ ve k ◦ h = 1Ỹ
q◦k = p
vardr.
oldu§unu görmeliyiz.
1x̃
X̃
p
/
p

X
/
h◦k
X̃
p
X
62
X̃

p
X̃
o.³.
k : (X̃, x0 ) −→
h ◦ k ve 1X̃ diaygram komutatif klar. Komutatiik tek oldu§undan h ◦
k = 1X̃ dir. Bu da h dönü³ümünün örtenli§ini verir. Benzer ³ekilde k ◦ h =
1Ỹ oldu§u görülebilir. Bu durumda h injektif olur. O halde h bijektiftir.
−1
Hipotezde h ve h
= k sürekli oldu§undan h homeomorzmadr.
X ba§lantl, yerel yol ba§lantl, (X̃, p), (Ỹ , q); X in örtü
p(x˜0 ) = x0 = q(y˜0 ) olmak üzere x̃0 ∈ X, ỹ0 ∈ Y ve x0 ∈ X
seçelim. E§er q∗ (Π1 (Ỹ , y˜0 )) ⊂ p∗ (Π1 (X̃, x
˜0 )) ise p ◦ h = q olacak ³ekilde bir
tek sürekli h : (Ỹ , y˜0 ) −→ (X̃, x
˜0 ) sürekli dönü³ümü vardr. Ayrca (Ỹ , h), X̃
nn örtü uzaydr ve X̃ , Ỹ nn bölüm uzaydr.
Teorem 4.0.22.
uzaylar olsun.
spat: ÖDEV
Tanm 4.0.25.
X
X̃
basit ba§lantl ve
(X̃, p); X
in örtü uzay ise
(X̃, p)
ye
in evrensel örtü uzay denir.
(S n , p), RP n nin örtü uzay idi. n ≥ 2 için S n basit ba§lantl
n ≥ 2 için (S n , p); RP n nin evrensel örtü uzaydr.
Örnek 4.0.9.
oldu§undan
X ba§lantl, yerel yol ba§lantl ve (Ỹ , q), X in örtü uzay
(X̃, p), X in evrensel örtü uzay ise q ◦ h = p olacak ³ekilde bir tek
h : X̃ −→ Ỹ sürekli dönü³ümü vardr.
Teorem 4.0.23.
olsun.
Tanm 4.0.26.
X̃ −→ X̃
(X̃, p), X
in örtü uzay olsun.
homeomorzmas varsa
h
p◦h = p olacak ³ekilde bir h :
dönü³ümüne örtü transformasyonu
ya da deck transformasyonu denir. Örtü transformasyonlarnn kümesi
Cov(X̃/X) = {h : X̃ −→ X̃}
Not 4.0.10.
Cov(X̃/X)
ile gösterilir.
kümesi bile³ke i³lemi altnda bir gruptur.
x0 ∈ X olsun. X in örtü
−1
uzay (X̃, p) nin regülerdir ⇐⇒ Cov(X̃/X) grubu p
(x) üzerinde transitii
Teorem 4.0.24.
X
ba§lantl, yerel yol ba§lantl,
hareket eder.
(⇒) x˜0 , x˜1 ∈ p−1 (x0 ) alalm. (X̃, p) regüler olsun. Sonuç 4.0.10
dan p∗ (Π1 (X̃, x
˜0 )) = p∗ (Π1 (X̃, x˜1 )) dr. Sonuç 4.0.12 den p ◦ h = p olacak ³ekilde h : (X̃, x
˜0 ) −→ (X̃, x˜1 ) homeomorzmas vardr. Dolaysyla
h ∈ Cov(X̃/X) ve h(x˜0 ) = x˜1 olur. Bu hareket transitiidir.
spat:
(⇐) Cov(X̃/X)
grubu
p−1 (x0 )
Cov(X̃/X)
x
üzerinde transitii hareket etsin. Yani:
p−1 (x0 ) −→ p−1 (x0 )
(h, x˜0 ) 7−→ h(x̃0 ) = x˜1
63
olsun. Bu durumda
x˜0 , x˜1 ∈ p−1 (x0 ) için h(x̃0 ) = x˜1 olacak ³ekilde h ∈ Cov(X̃/X)
h∗ (Π1 (X̃, x˜0 )) = Π1 (X̃, x˜1 ) dr.
p ◦ h = p oldu§undan p∗ = p∗ ◦ h∗ olur. Böylece
vardr.
Π1 (X̃, x˜0 ) = p∗ ◦ h∗ Π1 (X̃, x˜0 ) = p∗ Π1 (X̃, x˜1 )
olur. Yine Sonuç 4.0.10 dan
grubudur.
(X̃, p)
p∗ (Π1 (X̃, x˜0 )),
p∗ (Π1 (X, x0 ))
n normal alt
regülerdir.
Teorem 4.0.25.
(X̃, p), X
1.
h ∈ Cov(X̃/X)
2.
h1 , h2 ∈ Cov(X̃/X)
h1 = h2 dir.
ve
in örtü uzay olsun.
h 6= 1x
ve
ise
h
n sabit noktas yoktur.
h1 (x̃) = h2 (x̃)
olacak ³ekilde
x̃ ∈ X̃
varsa
spat:
1.
x̃ ∈ X̃ var olsun. p(x̃) = x diyelim. Diyagram komutatiftir. Bu durumda h = 1x olur. Çeli³ki elde edilir. O halde
h(x̃) 6= x̃
h(x̃) = x̃
olacak ³ekilde bir
1x̃ ,h
(X̃, x̃)
p
$
/
(X̃, x̃)
p
z
(X, x)
2.
h−1
1 h2 ∈ Cov(X̃/X)
−1
(1) in kar³t tersinden h1 h2
Tanm 4.0.27.
(X̃, p)
(X, x) sabit
olur. ⇒ h1 = h2
dönü³ümünün bir
= 1X̃
noktas var olsun.
(Ỹ , q); X in örtü uzaylar olsun. A³a§daki diya³ekilde bir h : Ỹ −→ X̃ homeomorzmas varsa
ve
gram komutatif klacak
örtü uzaylar denktir denir.
q
Teorem 4.0.26.
X
ile
(Ỹ , q)

X
X̃
p
x0 ∈ X , (X̃, p) ve (Ỹ , q), X
ỹ0 ∈ q −1 (x0 ) olsun.
yerel yol ba§lantl
uzaylar olsun. Ayrca
(X̃, p)
/
h
Ỹ
−1
x̃0 ∈ p (x0 )
denktir
ve
⇔ q∗ (Π1 (Ỹ , ỹ0 ))
e³lenik alt gruplardr.
64
ve
p∗ (Π1 (X̃, x̃0 ));
in örtü
(Π1 (X, x0 ))
n
spat: (⇒)
(X̃, p) , (Ỹ , q) ya denk olsun. p ◦ ϕ = q
olacak ³ekilde
ϕ : (Ỹ , y˜0 ) −→ (X̃, x˜0 )
homomorzmasn alalm. O zaman
ϕ(y˜0 ) ∈ p−1 (x0 ), q∗ (Π1 (Ỹ , ỹ0 )) = p∗ (Π1 (X̃, ϕ(ỹ0 )))
Sonuç 4.0.10 dan
p∗ (Π1 (X̃, x̃0 ))
ve
p∗ (Π1 (X̃, ϕ(ỹ0 ))), (Π1 (X, x0 ))
n e³lenik
alt gruplardr.
(⇐)
q∗ (Π1 (Ỹ , ỹ0 ))
p∗ (Π1 (X̃, x̃0 )),
ve
(Π1 (X, x0 ))
n e³lenik alt gruplar olsun.
Sonuç 4.0.10 dan
q∗ (Π1 (Ỹ , ỹ0 )) = p∗ (Π1 (X̃, x̃1 ))
ϕ : Ỹ −→ X̃ sürekli
(X̃, p) ile (Ỹ , q) denktir.
olacak ³ekilde bir
zmadr.
dönü³ümü vardr. Yani
ϕ
homomor-
bir grup, Y , Z G- küme olsun. ∀g ∈ G ve y ∈ Y için
ϕ : Y −→ Z dönü³ümüne G-dönü³üm denir. E§er bu
dönü³üm bijektif ise buna G-izomorzm denir.
Aut(Y ) = Y den Y ye giden tüm G-izomorzmlerin kümesini temsil etsin.
G bir grup; H , G nin bir alt grubu ve G/H , G deki H n sol yan kümesinin
ailesi olun. G grubu G/H üzerinde hareket eder.
Tanm 4.0.28.
ϕ(gy) = gϕ(y)
G
ise
a ∈ G, gH ∈ G/H ⇒ a : gH −→ agH
G, G/H
üzerinde transitii hareket eder.
Lemma 4.0.5.
1.
tann stablizeri
2.
H
yan kümelerin stablizeridir.
G, X üzerinde transitii hareket
ise X ile G/H G-izomorktir.
H ve K , G nin alt gruplar ise o zaman G/H
⇐⇒ H ve K , G de e³lenik alt gruplardr.
ve
ediyor ve
H,
bir nok-
G/K G-izomorktir
spat:
1.
x0 ∈ X ve H = Gx0
gx ∈ G vardr.
olsun.
∀x0 , x ∈ X
için
gx x0 = x
olacak ³ekilde
θ : H −→ G/H
x 7−→ θ(x) = gx H
layalm.
• θ
• θ
iyi tanml ve bijektiftir. (ÖDEV)
nn
G-dönü³üm
oldu§unu gösterelim.
65
dönü³ümünü tanm-
a∈G
ve
x∈X
alalm.
x = gx x0
ve
ax = gax x0
dr. Dolaysyla;
ax = agx x0
−1
gax
agx ∈ Gx0 = H, gax H = agx H
θ(ax) = gax H ve aθ(x) = agx H =⇒ θ(ax) = aθ(x) =⇒ θ G-dönü³ümdür.
O halde θ G-izomorzmdir.
2.
(⇒)
θ : G/H −→ G/K G-izomorzm olsun. θ(H) = gK olacak ³ekilde bir
g ∈ G vardr. h ∈ H olsun. gK = θ(H) = θ(hH) = hθ(H) = hgK
oldu§undan;
g −1 hg ∈ K,
g −1 Hg ⊂ K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗
θ(g −1 H) = g −1 θ(H) = g −1 gK = K
θ
bijektif oldu§undan;
θ−1 (K) = g −1 H =⇒ gKg −1 ⊂ H =⇒ K ⊂ g −1 Hg . . . . . . . . . ∗ ∗
olur. Yani
∗
ve
∗∗
dan
K = g −1 Hg
olur. Dolaysyla
H
ve
K
e³lenik
alt gruplardr.
(⇐)
H ve K , G de
g ∈ G alalm.
e³lenik alt gruplar olsun.
(a)
∀a, b ∈ G
(b)
a−1 b ∈ H
(c)
g −1 a−1 bg ∈ g −1 Hg = K
(d)
agK = bgK
için
g −1 Hg = K
olacak ³ekilde
aH = bH
Bunlarn hepsi denktir.
θ : G/H −→ G/K
aH 7−→ θ(aH) = agK
iyi tanml ve injektiftir.
θ(aH) = θ(bH) =⇒ agK = bgK ⇐⇒ aH = bH , b ∈ G =⇒
bK = θ(bg −1 H) =⇒ θ
örten
=⇒ θ
66
bijektif.
θ(abH) = (ab)gK
aθ(bH) = a(bgk)
=⇒ θ(abH) = aθ(bH)
olur. O halde
θ
bir
G-izomorzmadr.
X yerel yol ba§lantl x0 ∈ X olsun. X in örtü uzaylar (X̃, p)
(Ỹ , q) denktir ⇐⇒ p−1 (x0 ) ve q −1 (x0 ) lieri izomork Π1 (X, x0 ) -kümedir.
Sonuç 4.0.13.
ve
x˜0 ∈ p−1 (x0 ) ve y˜0 ∈ q −1 (x0 ) olsun. Teorem 4.0.26 dan (X̃, p) ve
(Ỹ , q) denktir ⇐⇒ p∗ Π1 (X̃, x˜0 ) ve q∗ Π1 (Ỹ , y˜0 ), Π1 (X, x0 ) n e³lenik altgru−1
plardr. Teorem 4.0.19 dan p
(x0 ) transitif Π1 (X, x0 )-kümedir ve p∗ Π1 (X̃, x˜0 ),
x˜0 n stabilizeridir. Benzer ³ekilde q −1 (x0 ) transitif Π1 (X, x0 )-kümedir ve
q∗ Π1 (Ỹ , y˜0 ), y˜0 n stabilizeridir. Lemmadan p∗ Π1 (X̃, x˜0 ) ve q∗ Π1 (Ỹ , y˜0 ), Π1 (X, x0 )
n e³lenik altgruplardr. ⇐⇒ lier Π1 (X, x0 )-izomorzmadr.
spat:
Lemma 4.0.6.
olsun.
Gx
ve
Gy
G grubu Y
x, y ∈ Y
ϕ ∈ Aut(Y )
kümesi üzerinde transitii hareket etsin.
stablizerleri e³ittir
⇐⇒ ϕ(x) = y
olacak ³ekilde
vardr.
spat:
Gx = {g ∈ G : gx = X} ⊂ G
Gy = {g 0 ∈ G : g 0 y = y} ⊂ G
O(x) = {gX : g ∈ G} ⊂ Y
(⇐)
ϕ(x) = y
h ∈ Gx
olacak ³ekilde
ise ve
ϕ ∈ Aut(Y )
var olsun.
ϕ(hx) = ϕ(x) = y hϕ(x) = y =⇒ hy = y
=⇒ h ∈ Gy =⇒ Gx ⊂ Gy . . . . . . . . . ∗
benzer dü³ünceyle;
Gy ⊂ Gx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∗ ∗
(⇒)
Gx = Gy
z∈Y
ise
oldu§unu varsayalm.
z = gX
olacak ³ekilde bir
g∈G
vardr.
ϕ : Y −→ Y
z 7−→ ϕ(z) = ϕ(gx) = gϕ(x) = gy
67
1.
ϕ
iyi tanml m?
2.
ϕ
1-1 mi?
3.
ϕ
örten mi?
4.
ϕ
homomorzm mi?
z1 , z2 ∈ Y
ve
z1 = z2
olsun.
z1 ∈ Y =⇒ z1 = g1 y
z2 ∈ Y =⇒ z2 = g2 y
olacak ³ekilde
olacak ³ekilde
g1 ∈ G
g2 ∈ G
vardr.
vardr.
ϕ(z1 ) = ϕ(z2 )
k
k
g1 y = g1 y
g1 x = g2 x ⇒ g −1 g1 x = X ⇒ g −1 g1 ∈ Gx = Gy ⇒ g −1 g1 y = y ⇒ g1 y = gy
ϕ(hz) = ϕ(hgz) = hgy = hϕ(gx) = hϕ(z)
θ : Y −→ Y
z 0 7−→ θ(z 0 ) = θ(g 0 y) = g 0 x
θ ◦ ϕ(z) = θ(gy) = gx = z = 1(z) =⇒ ϕ
ϕ ◦ θ(z 0 ) = z 0 = 1(z 0 ) =⇒ θ örten
1-1
ϕ ∈ Aut(Y )
(X̃, p), X in örtü uzay, X yerel yol ba§lantl, x0 ∈ X ,
p (x0 ) li, Π1 (X, x0 )-küme olsun. h −→ h|p−1 x0 dönü³ümü izomorzmdir.
−1
Yani Cov(X̃/X) ≈ Aut(ϕ
(x0 ))
Lemma 4.0.7.
−1
Y = p−1 (x0 )
h|y : Y −→ Y bijektiftir.
spat:
olsun. E§er
h ∈ Cov(X̃/X)
h|y : Y −→ Y ; Π1 (X, x0 )-izomorzmdir.
ψ : Cov(X̃/X) −→ Aut(p−1 (x0 ))
h 7−→ ψ(h) = h|y = ϕ
68
ise
h(Y ) = Y
ve
[f ] ∈ Π1 (X, x0 )
ve
x̃ ∈ Y
alalm.
h([f ]x̃) = hf˜(1)
f˜, f
f˜(0) = x̃
nin yükseltilmi³i ve
[f˜]h(x̃) = f˜1 (1)
f˜1 , f
nin yükseltilmi³i ve
f˜1 (0) = h(x̃)
p ◦ h ◦ f˜ = p ◦ f˜ = f
hf˜(0) = h(x̃)
f˜1 = h ◦ f˜ (yükseltilmi³in
tekli§inden)
h([f ]x̃) = [f ]h(x̃)
ψ
homomorzmdir.
ψ(h ◦ k) = ϕ(h) ◦ ψ(k)
h ◦ k|y = h|y ◦ k|y
ϕ ∈ Aut(Y )
h ∈ Cov(X̃/X)
Π1 (X, x0 ), Y
olacak ³ekilde
olur.
x̃ ∈ Y
ise
h(x̃) = ϕ(x̃)
olacak ³ekilde
vardr.
üzerinde transitii hareket etti§inden
[f ] ∈ Π1 (X, x0 )
∀x̃1 ∈ Y
için
x̃1 = [f ]x̃
vardr.
h(x̃1 ) = h([f ]x̃) = [f ]h(x̃) = [f ]ϕ(x̃) = ϕ([f ]x̃) = ϕ(x̃1 ) ⇒ h|y = ϕ
(X̃, p), X in örtü uzay, X yerel yol ba§lantl x0 ∈ X , p−1 (y0)
−1
transitif Π1 (X, x0 )-küme olsun. Verilen x̃0 , x̃1 ∈ p
(x0 ) için, h(x̃0 ) = x̃1
olacak ³ekilde h ∈ Cov(X̃/X) var olmas için gerek ve yeter ³art ϕ(x
˜0 ) = x̃1
−1
olacak ³ekilde bir ϕ ∈ Aut(p
(x0 )) var olmamasdr.
Lemma 4.0.8.
spat:
h(x˜0 ) = (x˜1 )
olacak ³ekilde
h ∈ Cov(X̃/X)
terinden
p∗ (Π1 (X̃, x̃0 )) = p∗ (Π1 (X̃, x̃1 ))
k : (X̃, x̃0 )) −→ X̃, x̃1 )
69
varsa lifting kri-
X̃, x̃0 ), x0
dir.
n stablizeri oldu§undan
hn
var olmas için gerek ve yeter
³art:
Gx̃0 = Gx̃1
Gx̃0 = Gx̃1 ⇐⇒ ϕ ∈ Aut(p−1 (x0 ))
dir.
H, G
nin bir alt grubu olsun.
H
n normalli§i:
NG (H) = g ∈ G|gHg −1 = H
³eklinde tanmlanr.
1.
H, G
2.
H , NG (H)
nin normal alt grubu ise
Lemma 4.0.9.
alalm. O zaman
NG (H) = G
dir.
n bir normal alt grubudur.
G grubu Y üzerinde transitii hareket etsin ve y0 ∈ Y
G0 , y0 n stablizeri olmak üzere Aut(Y ) ' NG (G0 )/G0 dr.
ϕ ∈ Aut(Y ) olsun.G, Y üzerinde transitii hareket etti§inden ϕ(y0 ) =
gy0 olacak ³ekilde g ∈ G vardr. lk olarak g ∈ NG (G0 ) oldu§unu gösterelim.
spat:
h ∈ G0 =⇒ hy0 = y0
gy0 = ϕ(y0 ) = ϕ(hy0 ) = hϕ(y0 ) = hgy0
Dolaysyla;
y0 = g −1 hgy0 ,
g −1 hg ∈ G0
=⇒
g ∈ NG (G0 )
gG0 g −1 = G0 ⇐⇒ gG0 = G0 g
ϕ(y0 ) = gy0 = g1 y0
ise
g −1 g1 , y0
sabir brakalm ve
g1 G0 = gG0
Γ : Aut(Y ) −→ NG (G0 )/G0
ϕ 7−→ Γ(ϕ) = g −1 G0 , ϕ(y0 ) = gy0
Γ homomorzmdir. θ ∈ Aut(Y ) ve θ(y0 ) = g 0 y0
θϕ(y0 ) = θ(gy0 ) = gθ(y0 ) = gg 0 y0
Γ(θϕ) = (gg 0 )−1 G0
70
olur.
Γ(θ)Γ(ϕ) = (g 0 )−1 G0 g −1 G0 = (gg 0 )−1 G0 = Γ(θϕ)
Γ(ϕ) = G0
olsun.
ϕ(y0 ) = y0 , ϕ(hy0 ) = hϕ(y0 ) = hy0 ,
ϕ, Y
deki her
eleman sabit klar.
G, Y
üzerinde transitii hareket etti§inden
g ∈ NG (G0 )
ϕ = 1Y =⇒ Γ
1-1 dir.
alalm.
ϕ : Y −→ Y
y 7−→ ϕ(y) = hgy0 , y = hy0
∀g −1 G0
için
∃ϕ ∈ Aut(Y ), Γ(ϕ) = g −1 G0
(X̃, p) yerel yol ba§lantl uzay X in örtü uzay olsun. x0 ∈
x̃0 ∈ p (x0 ) için Cov(X̃/X) ≈ NΠ1 (x,x0 ) (p∗ Π1 (x̃, x˜0 )/p∗ Π1 (x̃, x˜0 )
Teorem 4.0.27.
X
ve
−1
spat:
Cov(X̃/X) ∼
= Aut(p−1 (x0 ))
x0
stablizeri
p∗ Π1 (x̃, x˜0 )
dir.
Aut(Y ) ∼
= NG (G0 )/G0
Cov(X̃/X) ∼
= Aut(p−1 (x0 )) ∼
= NΠ1 (x,x0 ) (p∗ Π1 (x̃, x˜0 )/p∗ Π1 (x̃, x˜0 )
Sonuç 4.0.14.
1.
(X̃, p), yerel yol ba§lantl X
uzaynn regüler örtü uzay
olsun.
2.
(X̃, p)
∀x0 ∈ X
ve
x0 ∈ p−1 (x0 ) için Cov(X̃/X) ∼
= Π1 (X, x0 )/p∗ Π1 (x̃, x˜0 )
yerel yol ba§lantl
X
uzaynn evrensel örtülü uzay olsun.
Cov(X̃/X) ∼
= Π1 (X, x0 ), ∀x0 ∈ X
71
spat:
1.
(X̃, p); X
in regüler örtü uzay oldu§undan
p∗ Π1 (x̃, x˜0 ), (Π1 (X, x0 ))
normal alt grubudur.
Cov(X̃/X) ≈ NΠ1 (x,x0 ) (p∗ Π1 (x̃, x˜0 )/p∗ Π1 (x̃, x˜0 )
= (Π1 (X, x0 ))/p∗ Π1 (x̃, x˜0 )
2.
(X̃, p); X
in evrensel örtü uzay oldu§undan,
Yani;
Π1 (x̃, x˜0 ) = 1
Cov(X̃/X) ∼
= Π1 (X, x0 )
72
X̃
basit ba§lantldr.
Bölüm 5
SMPLEKSLER
5.1 Ane Uzaylar
Tanm 5.1.1.
oluyorsa
A'ya
Tanm 5.1.2.
x
ve
y
A
bir küme olsun.
∀x, y ∈ A, t ∈ [0, 1]
için
(1 − t)x + ty ∈ A
konveks küme denir.
A,
Euclid uzaynn bir alt kümesi olsun.
tarafndan olu³turulan do§ru
A'da
bulunuyorsa
∀ farkl x, y ∈ A için
A' ya ane alt küme
denir.
Not 5.1.1.
1. Ane alt kümeler konvekstir.
2. Bo³ küme ve tek noktal kümeler ane kümelerdir.
{Xj }j∈J , Rn e ait konveks
j∈J Xj konveks alt uzaydr.
Teorem 5.1.1.
O zaman
(ane) alt kümeler ailesi olsun.
T
spat:
x, y ∈
\
Xj
(x 6= y)
j∈J
∀j ∈ J için x, y ∈ Xj 'dir. ∀j ∈ J için Xj ler konveks altTküme oldu§undan; ∀j ∈ J için (1−t)x+ty ∈ Xj 'dir. O halde (1−t)x+ty ∈
j∈J Xj 'dir.
olsun.
X, Rn 'in bir alt kümesi olsun. X 'i içeren Rn 'e ait tüm konveks
arakesitine X 'in konveks hull'u denir.
Tanm 5.1.3.
kümelerin
Tanm 5.1.4.
• p0 , p1 , . . . , pm , Rn 'de
noktalar olsun.
p0 , . . . , p m
larnn ane kombinasyonu
x = t0 p0 + t1 p1 + · · · + tm pm ;
m
X
i=1
³eklinde tanmlanr.
73
ti = 1
nokta-
• p0 , p1 , . . . , pm noktalarnn konveks kombinasyonu an kombinasyonudur
öyleki ti ≥ 0, i = 0, . . . m'dir. Yani
m
X
t0 p0 + t1 p1 + · · · + tm pm ;
ti = 1 ve ti ≥ 0,
i = 0, . . . , m.
i=1
Örnek 5.1.1.
x, y
noktalarnn konveks kombinasyonu
(1 − t)x + ty,
t ∈ [0, 1]
formundadr.
p0 , p1 , . . . , pm , Rn 'de noktalar olsun. p0 , . . . , pm noktalar tarafn[p0 , . . . , pm ] konveks küme, p0 , . . . , pm noktalarnn konveks kom-
Teorem 5.1.2.
dan gerilen
binasyonlarn kümesidir.
spat:
S
S,
tüm konveks kombinasyonlarn kümesini göstersin.
S = [p0 , p1 , . . . , pm ] e³itli§ini göstermemiz gerekir. lk önce [p0 , p1 , . . . , pm ] ⊂
S 'nin p0 , . . . , pm noktalarn içeren kon-
oldu§unu gösterelim. Bunun için
veks küme oldu§unu göstermemiz yeterli olacaktr.
• tj = 1
ve di§eleri için
tj = 0
olsun. Bu durumda;
m
X
t0 p0 + · · · + tj pj + · · · + tm pm ;
ti = 1, ti ≥ 0, i = 0, ..., m
i=0
ve dolasyla
⇒ ∀j
için
pj ∈ S .
•
α=
m
X
ai p i ,
β=
i=0
m
X
bi p i ∈ S
(ai , bi ≥ 0;
X
ai = 1;
X
bi = 1) olsun.
i=0
(1 − t)α + tβ ∈ S
oldu§unu iddia ediyoruz.
(1 − t)α + tβ = (1 − t)
m
X
ai p i + t
m
X
i=0
bi p i =
i=0
m
X
((1 − t)ai + tbi )pi ∈ S
i=0
çünkü
m
X
i=0
(1 − t)ai + tbi = (1 − t)
m
X
i=1
74
bi = 1,
(1 − t)ai + tbi ≥ 0.
Bunun sonucunda
[p0 , p1 , . . . , pm ] ⊂ S .
S ⊂ [p0 , p1 , . . . , pm ]
ba§ntsn gösterelim.
X , p0 , . . . , pm noktalarn içeren bir konveks
tümevarm ile S ⊂ X oldu§unu gösterelim.
• m=0
için
• m > 0
küme ise
m≥0
üzerinde
S = p0 'dr.
olsun.
Pm
ti ≥ 0 ve
i=0 ti
Pm
= 1 ise p =
i=0 ti pi
X
e
ait olup olmad§n görelim. t0 6= 1 oldu§unu varsayabiliriz. Aksi halde
p = p0 olabilir ve bir üstteki ko³ul içine dü³er. Tümevarm hipotezinden
q=
ve böylece
t1
t2
tm
p1 +
p2 + · · · +
pm ∈ X
1 − t0
1 − t0
1 − t0
p = t0 p0 + (1 − t0 )q ∈ X
çünkü
X
konvekstir. Dolasyla
S ⊂ X 'dir.
Sonuç olarak
S = [p0 , . . . , pm ]
Sonuç 5.1.1.
e³itli§ini elde ederiz.
{p0 , p1 , . . . , pm }, Rn 'de
noktalar olsun.
{p0 , ..., pm }
nok-
talarnn gerdi§i an küme bu noktalarn an kombinasyonunu içerir.
Rn 'de {p0 , . . . , pm } noktalarnn sral kümesini ele alalm.
{p1 −p0 , p2 −p0 , . . . , pm −p0 } kümesi Rn vektör uzaynn lineer ba§msz
alt uzay ise {p0 , p1 , . . . , pm } sral kümesine an ba§mszdr denir.
Tanm 5.1.5.
Not 5.1.2.
1.
Rn 'nin lineer ba§msz alt kümesi an ba§msz kümedir.
Tersi do§ru de§ildir çünkü orijin ile birlikte lineer ba§msz küme
ane ba§mszdr.
2. Tek noktal küme
pi − p0
{p0 }
an ba§mszdr çünkü
formunda noktalar yok ve
3.
p1 − p0 6= 0
4.
{p0 , p1 , p2 , }
olmas durumunda
φ
i 6= 0
olmak üzere
bo³ kümesi lineer ba§mszdr.
{p0 , p1 }
kümesi an ba§mszdr .
noktalar ayn do§ru üzerinde de§ilse
{p0 , p1 , p2 }
an
ba§mszdr.
5.
{p0 , p1 , p2 , p3 } noktalar ayn düzlem üzerinde de§ilse {p0 , p1 , p2 , p3 }
an ba§mszdr.
Teorem 5.1.3.
{p0 , . . . , pm },
Rn 'de
denktir:
75
sral küme olsun. A³a§dakiler
1.
{p0 , . . . , pm }
2.
{s0 , . . . , sm } ⊂ R
an ba§mszdr.
kümesi
m
X
m
X
si pi = 0 ve
i=0
i=0
e³itsizliklerini do§ruluyor ise
3.
A, {p0 , . . . , pm }
si = 0
s1 = s2 = · · · = sm = 0
dr.
tarafndan gerilen an küme olmak üzere
∀x ∈ A
eleman an kombinasyonu olarak tektürlü ifade edilir, yani
x=
m
X
t i pi
m
X
ve
i=0
Teorem 5.1.4.
{p0 , . . . , pm }, Rn 'de sral küme olsun. A³a§dakiler denktir:
1.
{p0 , . . . , pm }
2.
{s0 , . . . , sm } ⊂ R
an ba§mszdr.
kümesi
m
X
si pi = 0
m
X
ve
i=0
A, {p0 , . . . , pm }
si = 0
i=0
e³itsizliklerini do§ruluyor ise
3.
ti = 1.
i=0
s1 = s2 = · · · = sm = 0
dr.
tarafndan gerilen an küme olmak üzere
∀x ∈ A
ele-
man an kombinasyonu olarak tektürlü ifade edilir, yani
x=
m
X
ti pi
m
X
ve
i=0
spat 5.1.1.
i=0
1) ⇒ 2) : {p0 , p1 , ..., pm }
kümesi
m
X
ti = 1.
si pi = 0 ve
i=0
an ba§msz olsun.
m
X
{s0 , ..., sm } ⊂ R
si = 0
i=0
e³itsizliklerini sa§lasn.
m
X
i=0
si pi =
m
X
i=0
si pi − (
m
X
si )p0 =
i=0
i = 1, . . . , m için pi − p0 lineer ba§msz
halde;
s1 = s2 = · · · = sm = 0'dr.
76
m
X
si (pi − p0 ) = 0
i=0
çünkü
{p0 , . . . , pm }
an ba§msz. O
m
X
si = 0
i=0
oldu§undan
2) ⇒ 3) :
s0 = 0'dr.
x ∈ A alalm.
Sonuç
5.1.1
x ∈ A
den dolay
x ∈ A
kombinasyon olarak ifade edilir. Böylece
eleman ane
elemann tek türlü ifade
edildi§ni gösterelim.
x=
m
X
m
X
ti pi ,
i=0
ve
x=
ti = 1
i=0
m
X
m
X
t0i pi ,
i=0
t0i = 1
i=0
oldu§unu varsayalm.
m
X
ti pi =
i=0
m
X
t0i pi
m
X
⇒
(ti − t0i )pi = 0 ⇒ ∀i, ti − t0i = 0 ⇒ ∀i, ti = t0i .
i=0
3) ⇒ 1) :
i=0
∀x ∈ A
{p0 , p1 , ..., pm }
eleman
noktalarnn an kombinasy-
{po , . . . , pm } kümesinin
{p1 − p0 , p2 − p0 , . . . , pm − p0 }
onu olarak tek türlü ifade edildi§ini varsayalm. Yani
an ba§msz oldu§unu göstermeliyiz. Yani;
lineer ba§msz oldu§unu göstermeliyiz.
Varsayalm ki
{p1 − p0 , . . . , pm − p0 }
m
X
lineer ba§ml olsun. O halde;
ri (pi − p0 ) = 0
i=0
iken
ri
(hepsi sfr de§il) vardr.
pj ∈ A
rj 6= 0
rj = 1
alalm.
ise
pj = −
X
pj = 1.pj
X
ri pi + (
ri + 1)p0
i6=j
pj
olsun.
i6=j
iki türlü ifade edilemeyece§inden çeli³ki.
O halde
{p1 − p0 , . . . , pm − p0 }
Sonuç 5.1.2.
{p0 , . . . , pm }
lineer ba§mszdr.
sral küme olsun. An ba§mszlk bu kümenin
bir özellikelli§idir.
77
{a1 , . . . , ak }, Rn 'de
Tanm 5.1.6.
bir küme olsun. Bu kümenin
man an ba§msz küme olu³turuyorsa,
{a1 , . . . , ak }
(n + 1)
ele-
kümesi genel pozisyon-
dadr denir.
Not 5.1.3. Genel pozisyonda olma özellikelli§i
{a1 , a2 , . . . , ak }, Rn 'de
• n = 1
için
n
saysna ba§ldr.
genel pozisyon olsun.
{ai , aj }
an ba§msz olmaldr. Yani tüm noktalar farkl
olmal.
• n=2
için üç nokta kolineer olmamaldr.
• n=3
için dört nokta kodüzlem olmamaldr.
Teorem 5.1.5.
∀k ≥ 0
için
Rn
Euclid uzay genel pozisyonda
k
tane noktas
vardr.
Tanm 5.1.7.
{p0 , p1 , . . . , pm },
Rn 'de
an ba§msz alt küme olsun.
bu alt küme tarafndan gerilen bir an küme olsun.
x=
m
X
ti pi ,
i=0
m
X
x∈A
ise teo
A'da
5.1.3'den
ti = 1.
i=0
(t0 , t1 , . . . , tm ), (m+1)-bile³enine x elemannn bary-centric koordinat denir.
p0
p1
t0 = t1 =
1
2
p2
JJ
J
t0
"J
b
b "
b
"
" b J
b J
""
b
"
b
J
p0
= t1 = t2 = 31 ,
x = 13 (p0 + p1 + p2 )
p1
p3
p2
"
"
"
""
""
"
p0
Genel hali:
Tanm 5.1.8.
x = 41 (p0 + p1 + p2 + pj )
p1
1
(p
m+1 0
+ · · · + pm ) = x
{p0 , p1 , . . . , pm }, Rn 'de
küme tarafndan gerilen konveks kümeye
p
an ba§msz alt küme olsun. Bu alt
m-simpleks denir. [p0 , p1 , . . . , pm ] ile
gösterilir ( i 'ler kö³eler olarak adlandrlr).
78
Teorem 5.1.6.
m-simpleksinin
{p0 , p1 , . . . , pm } an ba§msz olsun. Bu durumda [p0 , . . . , pm ]
x eleman;
her
x=
m
X
m
X
ti pi ,
i=0
ti ≥ 0,
ti = 1,
i = 0, . . . , m
i=0
formunda tek türlü yazlr.
Tanm 5.1.9.
{p0 , p1 , . . . , pm } an ba§msz olsun. [p0 , . . . , pm ] m-simpleksinin
baricentrik koordinat;
1
(p0 + p1 + · · · + pm ).
m+1
(t0 = t1 = · · · = tm =
1
)
m+1
Not 5.1.4. Barisentrik sözcü§ü a§rlk anlamanda barys yunanca kelimesinde
gelmektedir. Dolasyla barisentrik, a§rlk merkezi anlamndadr
Örnek 5.1.2.
• [p0 ]
barisentrik'i kendisidir.
• [p0 , p1 ] 1-simpleksinin
barisentrik'i
• [p0 , p1 , p2 ] 2-simpleksinin
1
(p
2 0
barisentrik'i
• ei = (0, 0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) ∈ Rn+1
ba§mszdr. [e0 , e1 , . . . , en ],
x=
n
X
+ p1 )'dir.
1
(p
3 0
+ p1 + p2 )'dir.
olmak üzere
{e0 , e1 , . . . , en }
an
ti ei
i=0
formundaki tüm konveks kombinasyonu içerir.
(t0 , t1 , . . . , tn )'dir.
p0 = (0, 0, 0, 0 . . . ) = e0 ,
p1 = (1, 0, 0, 0 . . . ) = e1 ,
p2 = (0, 1, 0, 0 . . . ) = e2 ,
p3 = (0, 0, 1, 0, . . . ) = e3 ,
......
trik koordinat
6
v
a
aa
aa v v
79
[e0 , e1 , . . . , en ]'in barisen-
Tanm 5.1.10.
[p0 , p1 , . . . , pm ] bir m-simpleks olsun. Tüm barisentrik kom-simplekse ait noktalrn kümesine açk k -simpleks
ordinatlar pozitif olan
denir.
• Rn
Örnek 5.1.3.
açk
e ait
p0 , p 1
noktalarn olu³turdu§u açk aralk bir
1-simplekstir.
• Rn e ait p0 , p1 , p1 noktalarn olu³turdu§u üçgenin içi açk 2-simplekstir.
Tanm 5.1.11.
[p0 , p1 , . . . , pm ]
bir
[p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pm ] = {
m-simpleks olsun. pi
m
X
|
tj pj
m
X
j=0
noktasnn ters yüzü
tj = 1,
tj ≥ 0}.
j=0
[p0 , p1 , . . . , pm ] m-simpleksinin snr bu ters yüzlerin birle³imi ³eklinde tanmlanr.
s
0-simplekste
p0 'in
tersyüzü kendisi
p0
1-simplekste p1 'in
p0
tersyüzü
p0 'dr.
p1
p2
@
@
@
@
@
p0
2-simplekste p2 'nin
p1
ters yüzü
p 0 p1
ters yüzü
[p1 , p2 , p3 ] 2-simplekstir
do§ru parças
p3
@
@
@
@
p0 H H
@ 3-simplekste
p2
H
H
H
p0 'nin
p1
Not 5.1.5.
2.
1. Bir
[p0 , p1 , . . . , pm ]
k -simplekstir.
Teorem 5.1.7.
m-simpleksin, m + 1
simpleksinin
tane yüzü vardr.
k -yüzü, k + 1
S n-simpleksi, [p0 , p1 , . . . , pn ]
80
kö³e tarafndan gerilen bir
ile gösterilsin.
i.
ii.
iii.
u, v ∈ S
ise
ku − vk ≤ Sup ku − pi k.
diam S = Sup kpi − pj k.
b, S 'nin
barisentrik'i ise
kb − pi k ≤
n
n+1
diam S.
spat:
i.
v=
n
X
n
X
ti pi ,
i=0
ti = 1,
n
X
ku − vk = ku −
i = 0, . . . , n olsun.
n
n
X
X
ti pi k = k(
ti )u −
ti pi k
i=0
=k
ti ≥ 0,
i=0
n
X
i=0
n
X
≤(
ti (u − pi )k ≤
i=0
n
X
i=0
kti (u − pi )k =
i=0
n
X
ti ku − pi k
i=0
ti )Sup ku − pi k = Sup ku − pi k
i=0
ii. Teoremin i ksmndan ve çap tanmndan,
ku − pi k ≤ Sup kpj − pi k0 dir.
iii.
b=
1
n+1
Pn
j=0
pj
oldu§undan
n
kb − pi k = k
1 X
p j − pi k
n + 1 j=0
n
n
1 X
1 X
=k
pj −
pi k
n + 1 j=0
n + 1 j=0
n
1 X
=k
(pj − pi )k
n + 1 j=0
n
1 X
≤
Sup kpj − pi k (i = j iken,
n + 1 j=0
n
n
≤
Sup kpj − pi k =
diam S
n+1
n+1
Tanm 5.1.12.
kpj − pi k)
{p0 , . . . , pm } kümesi an ba§msz ve A, bu noktalarn gerdi§i
an küme olsun. An dönü³üm
k
T : A −→ R
m
X
ti pi 7−→ T (
i=0
m
X
i=0
81
ti pi ) =
m
X
i=0
ti T (pi ).
özelli§ini sa§layan bir fonksiyondur.
T 'nin S = [p0 , . . . , pm ]'ye kstlan³ yine
bir an dönü³ümdür.
Not 5.1.6.
1. An dönü³üm, an kombinasyonu ve konveks kombinasy-
onu korur.
2. An dönü³üm, an ba§msz küme üzerinde ald§ de§erle belirlenebilir.
3.
p0 , . . . , pm noktalarnn bary centric koordinatn tekli§i bu tür T
dönü³üm-
lerin varl§n gösterir.
[p0 , . . . , pm ] m-simpleks, [q0 , . . . , qn ] n simpleks ve
f : {p0 , . . . , pm } −→ [q0 , . . . , qn ] bir fonksiyon olsun. T (pi ) = f (pi )
³ekilde bir tek T : [p0 , . . . , pm ] −→ [q0 , . . . , qn ] dönü³ümü mevcuttur.
P
Pm
Y.G:
T( m
i=0 ti pi ) =
i=0 tf (pi )
Teorem 5.1.8.
olacak
5.2 Simpleksler Kompleksi
S = [v0 , v1 , . . . , vq ] q-simpleks olsun.
V er(S) = {v0 , . . . , vq } ile gösterilsin.
S
Tanm 5.2.1.
Bu simplekslerin kö³elerinin kümesi
V er(S 0 ) ⊂ V er(S) ise S 0 ne S
V er(S 0 ) ( V er(S) ise S 0 ne S simpleksinin
bir simpleks olsun. E§er
simpleksinin yüzü denir. E§er
has yüzü denir.
Tanm 5.2.2. Sonlu simpleksler kompleksi
K
a³a§daki özellikellikleri sa§layan
sonlu simpleksler kolleksiyonudur.
i.
ii.
s∈K
s
ise
s, t ∈ K
nin yüzü de
K
ya aittir.
ise bu iki simpleksin arakesiti ya bo³tur ya da bu iki simpleksin
ortak yüzüdür.
Tanm 5.2.3. Bir simpleksler kompleksi
dir. Bir simpleksler kompleksi
tam say ise
K
Örnek 5.2.1.
nn boyutu
m
p0 = (0, 0, 0),
K
da
bo³ k§me ise
K
nn boyutu
−1
m-simpleks var olacak ³ekilde m en büyük
dir.
p1 = (1, 0, 0),
p3
6
p0
@
R
@
@
@ p2
p1 K
82
p2 = (1, 2, 0),
p3 = (2, 3, 4)
Bu üçgen prizmann snrlar bir simpleksler kompleksi olu³turur.
~ 0-simpleksler:
σ10 = p0 , σ20 = p1 ,
~ 1-simpleksler:
σ11 =< p0 , p1 >,
σ51 =< p1 , p3 >,
σ30 = p2 ,
σ40 = p3
σ21 =< p0 , p2 >,
σ61 =< p2 , p3 >
~ 2-simpleksler:
σ12 =< p0 , p1 , p2 >,
σ42 =< p0 , p1 , p3 >
σ31 =< p0 , p3 >,
σ22 =< P1 , P2 , P3 >,
σ41 =< p1 , p2 >,
σ32 =< p0 , p2 , p3 >,
~ 3-simpleksler:
σ13 =< p0 , p1 , p2 , p3 >
v5
v2
[v1 , v2 ] ∩ [v3 , v5 ] = [v3 ] → v3
JJ v
3
JH
J HH
H
H
J
→
Örnek 5.2.2.
v0
v1
v2
→
v5
JJ
v
J3
J
J
v1J
JJ
v0
ortak yüz de§ildir.
simpleksler kompleksi de§il.
v4
simpleksler kompleksi de§il.
v1 , v3
ortak yüz de§il.
v4
Tanm 5.2.4.
1.
K
bir simpleksler kompleksi olsun.
K 'nn
geometrik re-
allizasyonu(underlying uzay)
| K |=
[
s
s∈K
K, Rn 'in
³eklinde tanmlanr. (
2.
alt uzay)
h :| K |→ X homeomorzma olacak ³ekilde
simpleksler kompleksi K varsa X 'e polihedron(polyhedron) denir. (K, h)
ikilisine X 'in üçgenle³tirilmesi(triangulation) denir.
X
topolojik uzay verilsin.
83
• (K),
Not 5.2.1.
• s, K 'da
•
Euclid uzaynn kompakt alt uzaydr.
bir simpleks ise
Simpleksler kompleksi
| s |= s'dir.
K simplekslerden olu³an
|K| Euclid uzaynn bir
geometrik realizasyonu
•
|K|,
geometrik realizasyonu
sonlu küme iken
K
nn
alt uzaydr.
noktalar do§ru parçalar, üçgen düzlemler,
üçgen prizma(teterahedron) içerir.
Örnek 5.2.3.
X = {(cos θ, sin θ) ∈ R2 | 0 ≤ θ ≤ π/2}
³eklinde verilsin.
X
polihedrondur.
Herhangi bir
1-sim§leks [p0 , p1 ]
olsun. Simpleksler kompleksi
K = {[p0 ], [p1 ], [p0 , p1 ]},
|K| −→ X bir homemorzmadr. Simpleksler kompleksi L = {[p0 ], [p1 ], [p2 ][p0 , p1 ], [p1 , p2 ]}, X 'in bir ba³ka üçgenle³tirilmi³idir çünkü |L| −→ X bir homemorzmadr.
X 'in
üçgenle³tirilmi³idir çünkü
Örnek 5.2.4.
42 = {
2
X
ti vi
|
i=0
2
X
ti = 1,
ti ≥ 0,
i = 0, 1, 2}
i=0
2-simpleks (42 ⊂ Rn ) K = 42 standart 2-simpleksindeki
0-simpleks ve tüm 1-simplekslerin kolleksiyonu olsun.
standart
v2
K = {[v0 ], [v1 ], [v2 ], [v0 , v1 ], [v0 , v2 ], [v1 , v2 ]}
@
@
@
@
@
v0
v1
2 − simpleks
K
K
simpleksler kompleksin kolleksiyonu iki ko³ulu da sa§lar.
nn geometrik realizasyonu üçgen olacaktr.
v2
L : |K| =
v0
@ −→
@
X = S1
v1
homeorzmas var.
O halde çember polihedrondur.
84
tüm
Tanm 5.2.5.
n)
için,
Kr,
n-Boyutlu
simpleksler kompleksi
K 'ya
simpleksler kompleksi
K
olsun. Her bir
ait boyutu
r
r (0 ≤ r ≤
den küçük veya e³it
olan tüm simplekslerin kümesini göstersin. Simpleksler kompleksi
nn iskeleti(skeleton) denir. Böylece
r
|K |, |K|
Kr
ye
K
nn altpolihedrondur.
3-Simpleks [p0 , p1 , p2 , p3 ] in tüm yüzeylerini içereni K ile göstere0
lim. K , K nn 2-boyutlu iskeleti olarak alalm. Böylece K , [p0 , p1 , p2 , p3 ] in
0
2
2
has yüzeylerini içerir. Dolasyla |K |, S ye homeomorftur. Bu da bize S nin
Örnek 5.2.5.
0
bir polihedron oldu§unu gösterir.
{p0 , p1 , . . . , pq } noktalar, K 'da bir simpleksi gererken {ϕ(p0 ), ϕ(p1 ), . . . , ϕ(pq )} noktalar L'de
bir simpleksi gerecek ³ekilde tanimlanan ϕ : K → L fonksiyona simpleksler
K
Tanm 5.2.6.
ve
L
ve
L
iki simpleksler kompleksi olsun.
dönü³üm denir.
Tanm 5.2.7.
K
K
L
daki kö³eler ile
bir izmorzm denir.
deki kö³eler arasnda bijektif ise
K
ϕ : K −→ L,
K ve L arasbda
iki simpleksler kompleksi olmak üzere
ve
L
ϕ'
ye
ye de izmork simpleksler kompleksi denir.
Önerme 5.2.1. Simpleksler dönü³ümün birle³imide simpleksler dönü³ümüdür.
spat: spat okuyucuya ödev olarak biraklm³tr
Tanm 5.2.8.
∀i
için
pleksin alt kümesine
Örnegin, bir
ti > 0
P 'nin
olacak ³ekilde
P
içi denir.
◦
Pm
i=1 ti pi noktalrna ait
P
sim-
ile gösterilir.
0-simpleksin içi kendisidir. Ayrca bir dijital m-simpleks açk
simplekslerin ayrk birle³imi oldu§u gözlenmelidir.
Tanm 5.2.9.
p
K
bir
m-simpleksler kompleksi ve p ∈ V er(K) olsun. O zaman
nin yldz
st(p) = ∪S ◦
³eklinde tanmlanr. Burada
Tanm 5.2.10.
K
S∈K
p ∈ V er(K).
ve
bir simpleksler kompleksi olsun.
dimK = sup{dim(s)}.
s∈K
Teorem 5.2.1.
K
homeomorzm ise
ve L iki simpleksler
dimK = dimL'dir.
kompleksi olsun. E§er
K olsun. Kö³eler çifti x, y ∈ K
[pi , pi+1 ] 1-simpleksler dizisi var ise
Tanm 5.2.11. Bir simpleksler kompleksi
için,
K
x = p0 , y = pm
olacak ³ekilde
K
da
ya ba§lantldr denir.
85
f : |K| → |L|
•
Not 5.2.2.
Simpleksler kompleksi
ba§lantl iken
•
K
0
K
nn
r-boyutlu iskeletsi K r (r ≥ 1)
ba§lantl de§ildir.
Küre, Möbius ³eridi, Projektif düzlem, ve Tor gibi yüzeylerin üçgenle³tirilmesi ba§lantldr.
Tanm 5.2.12.
K
ve
L
simpleksler dönü³ümü ve
kö³esi
p
iki simpleksler kompleksi olmak üzere
f : |K| −→ |L|
ϕ : K −→ L
K nn her
sürekli dönü³üm olsun.
için
f (st(p)) ⊂ st(ϕ(p))
ise
f
ϕ
ye
dönü³ümünün simpleksler yakla³m denir.
Önerme 5.2.2.
ϕ
simpleksler dönü³ümünün yakla³m
• f
süreklidir.
• f
homeomorzm olmas için gerek ve yeter ³art
f
ϕ
olsun.
izomorzmdir.
• f1 : |K| −→ |L| fonksiyonu ϕ1 : K −→ L dönü³ümünün yakla³m
ve f2 : |L| −→ |M | fonksiyonu ϕ2 : L −→ M simpleksler dönü³ümün
yakla³m ise f2 ◦ f1 : |K| −→ |M |,
ϕ2 ◦ ϕ1 'in simpleksler yakla³m
fonksiyonudur.
spat 5.2.1. spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr.
{p0 , p1 , . . . , pm },
m
da bir simpleks olu³turabilmesi için gerek ve yeter ³art ∩i=0 st(pi ) 6= 0 ol-
Önerme 5.2.3. Simpleksler kompleksi
K
K
ya ait kö³eler kümesi
masdr.
spat 5.2.2. spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr.
Tanm 5.2.13. Bir simpleksler kompleksi
K
nn ³ebekesi veya a§(mesh),
mesh(K) = max{diam(S) | S, K 0 da bir simpleks}
³eklinde tanmlanr ve
Not 5.2.3. Bir
mesh(K)
0-boyutlu
ile gösterilir.
simpleksler kompleksi
K
nn ³ebeksi,
0 = mesh(K) = mesh(K 0 ) = mesh(K 1 ) = · · ·
Lemma 5.2.1. Bir pozitif boyutlu simpleks
S
nin kö³eleri
diam(S) = kv − wk dir.
spat 5.2.3. spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr.
86
v, w
olmak üzere
K
Teorem 5.2.2. Pozitif boyutlu simpleksler komplesi
olmak üzere
lim mesh(K r ) = 0 dir.
r→∞
spat 5.2.4. Simpleksler komplesi
K
nn boyutu
n
olsun. lk önce
K0
ile
K
nn ³ebekelrini kar³la³tralm:
Simpleksler komplesi
olsun.
τ
K
iki simples
σ
ve
τ
alalm ve
σ, τ
nun bir has yüzü
nun barisentri§i
m
1 X
τ=
pi
m + 1 i=0
olsun.
kτ − σk ≤ kτ − pk (p, τ 0 nun bir kö³esi)
m
m
1 X
1 X
=k
pi − pk ≤
kpi − pk
m + 1 i=0
m + 1 i=0
m
1
m · mesh(K) =
mesh(K).
m+1
m+1
m
1
Böylece mesh(K ) ≤
mesh(K). Bu i³lelemleri tekrarlayarak yapt§mzda
m+1
≤
mesh(K r ) ≤ (
Dolasyla
m r
limr→∞ ( m+1
) = 0.
m r
) mesh(K)
m+1
olur.
Buda istedi§imiz sonuca götürür.
K ve L olmak üzere ϕ : K −→ L
simpleksler dönü³ümü ve f : kKk −→ kLk sürekli dönü³üm olsun. Sürekli
r
dönü³üm f ye homotop olacak ³ekilde φ : K −→ L simpleksler dönü³ümü
Teorem 5.2.3. Simpleksler Kompleks
vardr.
spat 5.2.5. spat okuyucuya ödev olarak braklm³tr.
87
Bölüm 6
SMPLEKSLER HOMOLOJ
GRUBU
6.1 Serbest Abel Gruplar
Tanm 6.1.1.
B, F
abel grubunun alt kümesi olsun. Her
devirli altgrubu sonsuz ve
F = ⊕b∈B < b >
ise
F
ye
B
b∈B
için
<b>
bazl serbest abel
grup denir.
Dolasyla bir serbest abel grup
gruplarnn direkt toplamlardr.
Z
F
serbest abel grubun tipik eleman
x=
X
formunda tek türlü ifade edilir. Burada
sfrdr (tümü fakat
Not 6.1.1.
•
mb
mb b
mb ∈ Z ve mb nin hemen hemen hepsi
nin sonlu sayda olmas)
Serbest abel grubun bazlar, vektör uzaynn bazlar gibi
hareket ederler(davranrlar).
•
Bu abel grubun bazlar üzerinde çak³an iki homomorzma e³it olmaldr.
Yani bir kümesi üzerinde bir tek homomorzm tanmlanr.
Teorem 6.1.1.
1.
F, B
bazl serbest abel grup olsun.
G serbest abel grup ve ϕ : B −→ G bir fonksiyon ise Her b ∈ B için,
ϕ̃◦i(b) = ϕ(b) olcak ³ekilde bir tek homomorzmas ϕ : F −→ G vardr.
88
F
@
i
?
@ ϕ̄
@
@
ϕ
B
2.
F
R
@
- G
serbest abel grup olmak üzere her abel grup
G, F/R
bölüm grubuna
izomorftur.
spat:
i)
F
serbest abel grubuna ait her elemenn
x=
X
mb b
yazlabildi§ini biliyoruz. O zaman
ϕ̄ : F −→ G x 7−→ ϕ̄(x) =
³eklinde tanmlansn.
x
X
mb ϕ(x)
elemann tek türlü ifade edilmesinden
homomorzmadr. Bir önceki notun ikinci ksmndan
x ∈ G için, üreteci bx olan Zx
Dolasyla B = {bx | x ∈ G} bazl
ii) Her
F =
ϕ̄
ϕ̄
iyi-tanml
tektir.
sonlu olmayan devirli grubunu seçelim.
X
Zx
x∈G
serbest abel gruptur.
ϕ : B −→ G bx 7−→ ϕ(bx ) = x
ϕ sürjektif oldu§undan ϕ̄ homomorzmas
∼
teoreminden G = F/Ker ϕ̄.
³eklinde fonksiyonu tanmlayalm.
sürjektir. Birinci izomorzma
Teorem 6.1.2. Verilen
grup
F
T
kümesi için,
T
yi baz kabul eden bir serbest sbel
vardr.
spat:
T = φ
ise
F = 0
t ∈ T için elemanlar mt olan Zt
t olan bir sonsuz devirli grup
F = ⊕t∈T Zt grubu t inci koordinat
dir. Aksi halde her
toplamsal grubunu tanmlarz.
Zt
nin üreteci
oldu§u kolayca görülebilir. Dolasyla
sfrdan farkl olmak üzere
bt
tbaz elemanlarndan olu³an bir serbest abel
grupttur.
89
Teorem 6.1.3.
F
serbest abel grubun her hangi iki bazn kardinalitisi e³ittir.
spat:
Okuyucuya braklm³tr.
Tanm 6.1.2.
F, B
bazl serbest abel grup ise
F
nin rank
B
nin kardinati-
sine e³ittir.
imdi herhangi bir abel grubun rankn tanmlayabiliriz;
Tanm 6.1.3.
G
nin bir
F
G
bir abel grup olsun. A³a§daki özellikleri sa§layacak ³ekilde
abel alt grubu varsa
1.
rank F = r;
2.
G/F
G
nin rank
r
dir denir;
burulmal(torsiyon).
6.2 Simpleksler Zincir Kompleksi
Tanm 6.2.1.
üzere
Cq (K)
K
orianted (yönlü) simpleksler kompleksi olsun.
q≥0
olmak
a³a§daki özellikelliklere sahip abel gruptur.
* Üreteçler:
pi ∈ V erK olmak üzere (p0 , p1 , . . . , pq ) noktalarndan
{p0 , p1 , . . . , pq }, K 'daki bir simpleksi germesi gerekir.
olu³acak öyleki
* Ba§ntlar:
(p0 , p1 , . . . , pq ) = 0'dr.
(p0 , p1 , . . . , pq ) = Sgn(π)(pπ(0) , pπ(1),...,pπ(q) )
i. E§er bir kenar tekrarlarsa
ii.
Cq (K)'nn
elemann
Lemma 6.2.1.
1.
Cq (K),
2.
q>m
K m-boyutlu
bazlar
ise
Tanm 6.2.2.
< p0 , p1 , . . . , pq >
simpleksler kompleksi olsun.
< p0 , p1 , . . . , pn >
Cq (K) = 0
ile gösterece§iz.
olan serbest abel gruptur.
dr.
∂q : Cq (K) −→ Cq−1 (K)
< p0 , p1 , . . . , pq >7→ ∂q (< p0 , . . . , pq >)
q
X
=
(−1)i < p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pn >
i=0
90
Örnek olarak;
∂2 (< p0 , p1 , p2 >) =
2
X
(−1)i < P0 , p̂i , p2 >
i=1
= < p1 , p2 > − < p0 , p2 > + < p0 , p1 >
< p1 , p2 >, < p0 , p1 >, < p0 , p2 >∈ C1 (K)
Böylelikle baz elemanlarn lineer birle³imi ifade edilmi³ oldu.
Teorem 6.2.1.
K
m-boyutlu simpleksler kompleksi olsun. O zaman;
∂m−1
∂
m
Cm−1 (K) −→ . . . −→ C0 (K) −→ 0
0 −→ Cm (K) −→
bir zincir komplekstir.
L iki simpleksler kompleksi olmak üzere ϕ : K −→ L
dönü³ümü ϕ∗ : Cq (K) −→ Cq (L) a³a§daki gibi lineer dönü³üm
Tanm 6.2.3.
simpleksler
(∂m−1 ◦ ∂m = 0)
K
ve
indirger;
ϕ∗ ({p0 , . . . , pq }) =
{ϕ(p0 ), . . . , ϕ(pq )}, {ϕ(p0 ), . . . , ϕ(pq )} L
0,
{ϕ(p0 ), . . . , ϕ(pq )} L
deki bir simpleksi gerer
deki bir simpleksi germez
Tanmdan A³a§daki önermeyi verebiliriz;
ϕ : K −→ L ve ψ : L −→ M
ψ ◦ ϕ : K −→ M bile³kesi
Önerme 6.2.1.
olsun.
iki simpleksler dönü³ümü
(ψ ◦ ϕ)∗ = ψ∗ ◦ ϕ∗
e³itli§ini gerçekleyen
(ψ ◦ ϕ)∗ : Cq (K) −→ Cq (M )
dönü³ümünü üretir.
simpleksler dönü³ümü ile snr homomorzmas arasndaki ili³ki ³öyledir;
Önerme 6.2.2.
ϕ : K −→ L
simpleksler dön³ümü ise
∂ ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ ∂ : Cq (K) −→ Cq−1 (L).
spat:
{p0 , . . . , pq }, K
da bir
q -simpleksi
gersin. O zaman
∂ ◦ ϕ∗ ({p0 , . . . , pq }) = ∂({ϕ(p0 ), . . . , ϕ(pq )})
q
X
=
(−1)i {ϕ(p0 ), . . . , ϕ̂(pi ), . . . ϕ(pq )}
(6.1)
(6.2)
i=0
q
X
(−1)i ϕ∗ ({p0 , . . . , p̂i , . . . pq })
(6.3)
q
X
= ϕ∗ ( (−1)i {p0 , . . . , p̂i , . . . pq })
(6.4)
=
i=0
i=0
= ϕ∗ ◦ ∂({p0 , . . . , p̂i , . . . pq })
91
(6.5)
σ =< p0 , p1 , . . . , pn >, n-simpleks
Teorem 6.2.2.
spat:
σ =< p0 , p1 , . . . , pn >, n-simpleks
ise,
∂n−1 ◦ ∂n (σ) = 0'dr.
olsun.
∂n−1 ◦ ∂n (σ) = ∂n−1 (∂n (σ)) = ∂n−1 (∂n < p0 , p1 , . . . , pn )
n
X
= ∂n−1 ( (−1)i < p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pn >)
(6.6)
(6.7)
i=0
n
i−1
X
X
i
=
(−1) [ (−1)j < p0 , p1 , . . . , pˆj , . . . , p̂i , . . . , pn >
+
i=0
n
X
(6.8)
j=0
(−1)j−1 < p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pˆj , . . . , pn >]
(6.9)
j=i+1
=
X
(−1)i+j < p0 , p1 , . . . , pˆj , . . . , p̂i , . . . , pn >
(6.10)
j<i≤n
+
X
(−1)i+j−1 < p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pˆj , . . . , pn >
(6.11)
i<j≤n
=
X
((−1)i+j + (−1)i+j−1 ) < p0 , p1 , . . . , pˆj , . . . , p̂i , . . . , pn >= 0.
j6=i
(6.12)
6.3 Simpleksler Homoloji Grubu
Tanm 6.3.1.
K
oriented simpleksler kompleksi olsun.
•
Zq (K) = Ker∂q
(6.13)
= {< p0 , p1 , . . . , pq >∈ Cq (K) | ∂q (< p0 , . . . , pq >) = 0}
(6.14)
grubuna q-devir grubu denir.
•
Bq (K) = Im∂q+1
(6.15)
= {< p0 , p1 , . . . , pq >∈ Cq (K) | ∂q+1 (< p0 , . . . , pq+1 >) =< p0 , p1 , . . . , pq >}
(6.16)
grubuna q-snr grubu denir.
Teorem
6.2.2
den a³a§daki sonuçu söyleyebiriz.
92
Lemma 6.3.1.
Bq (K) ⊂ Zq (K) ⊂ Cq (K)'dr.
K, m boyutlu bir simpleksler kompleksi olsun. Hq (K) =
grubuna q . boyutta simpleksler homoloji grubu denir.
Tanm 6.3.2.
bölüm
Zq (K)
Bq (K)
Teorem 6.3.1.
1.
K=∅
2.
K = {x0 }
ise
H0 (K) = 0'dir.
bir 0-simpleks ise
q≥1
Hq (K) = 0,
spat:
1.
K=∅
olsun.
C0 (K) = 0,
C1 (K) = 0,
∂
C2 (K) = 0;
∂
∂
Ci (K) = 0 i ≥ 3
∂
0 →4 C3 (K) →3 C2 (K) →2 C1 (K) →1 C0 (K) → 0
Z0 (K) = Ker ∂0 = 0
Dolasyla
2.
K = {x0 }
H0 (K) =
B0 (K) = Im ∂1 = 0.
∼
= {0}.
Z0 (K)
B0 (K)
olsun.
C0 (K) =< x0 >∼
= Z,
ve
Ci (K) = {0} i ≥ 1.
Buradan a³a§daki ksa diziyi elde ederiz;
∂
∂
0 →1 C0 (K) →0 0.
Bu diziden hemen a³a§dakini elde edeiz;
Z0 (K) = Ker ∂0 = C0 (K) ' Z,
Sonuç olarak
Teorem 6.3.2.
B0 (K) = Im ∂1 = {0}.
H0 (K) ∼
= Z.
f : X −→ Y
homeomorf ise
tur.
spat: Okuyucuya braklm³tr.
93
f∗ : Hq (X) → Hq (Y )
izomorf-
Örnek 6.3.1. Klein i³esi
1 tane 0-simpleks ([v]), 3 tane 1-simpleks
2-simpleks ([U ], [L]) vardr. Böylece
Klein ³i³esinde,
2
tane
C0 (Kb) ∼
= Z,
Di§er taraftan
q≥3
C1 (Kb) ∼
= Z ⊕ Z ⊕ Z,
için
Cq (Kb) ∼
= {0}
∂
∂
(
[a], [b], [c]),
ve
C2 (Kb) ∼
= Z ⊕ Z.
dir. A³a§daki ksa diziyi elde edriz;
∂
∂
3
2
1
0
0 −→
C2 (Kb) −→
C1 (Kb) −→
C0 (Kb) −→
0
Bu ksa diziden hemen
Ker ∂0 = C0 (Kb) ∼
=Z
ve
Im ∂3 = {0} e³itliklerini
elde ederiz.
∀ p U + q L ∈ C2 (Kb)
için
∂2 (pU + qL) = p ∂2 (U ) + q ∂2 (L)
= p (−a − b + c) + q (−c − a + b)
= −(p + q) a + (q − p) (b − c)
b − a − c elemanlar Im ∂2 yi üretir.
2Z ⊕ Z dir. imdi ∂2 nin çekirde§ini tespit edelim.
∂2 (pU + qL) = 0 olsun. O zaman
O halde
2a
ve
Buradan;
(6.17)
(6.18)
(6.19)
Im ∂2 ∼
=
−(p + q) a + (q − p) (b − c) = 0 ⇐⇒ p = q = 0.
Ker ∂2 ∼
= {0} dir.
∀r1 a + r2 b + r3 c ∈ C1 (Kb)
Böylece
için
∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = r1 ∂1 (a) + r2 ∂1 (b) + r3 ∂1 (c)
= r1 (v − v) + r2 (v − v) + r3 (v − v)
=0
94
(6.20)
(6.21)
(6.22)
elde edilir. Bu durumda
Ker ∂1 ∼
=Z⊕Z⊕Z
ve
Im ∂1 ∼
= {0}
dir.
Sonuç olarak Klein i³esinin simpleksler homoloji grubu;


q = 0,
Z,
Hq (KB) = Z2 ⊕ Z, q = 1


0,
q 6= 0, 1.
Örnek 6.3.2. Tor
1 tane 0-simpleks ([v]), 3 tane 1-simpleks [a], [b], [c]),
2-simpleks ([U ], [L]) vardr. Dlasyla
Torda,
tane
C0 (T ) ∼
= Z,
Di§er taraftan
q≥3
C1 (T ) ∼
= Z ⊕ Z ⊕ Z,
için
∂
Bu ksa diziden
Cq (T ) ∼
= {0}
∂
ve
2
C2 (T ) ∼
=Z⊕Z
dir.
∂
∂
3
2
1
0
0 −→
C2 (T ) −→
C1 (T ) −→
C0 (T ) −→
0
hemen Ker ∂0 = C0 (T ) ∼
= Z ve Im ∂3 ∼
= {0}
olduklarnz
görürüz.
∀pU + qL ∈ C2 (T )
için
∂2 (pU + qL) = p ∂2 (U ) + q ∂2 (L)
= p (−a − b + c) + q (a + b − c)
= p (−a − b + c) + q (a + b − c)
= (p − q) (c − a − b)
O halde
qL) = 0
Im ∂2 ∼
=Z
olur. imdi
∂2
nin çekirde§ini hesaplayalm.
olsun. O zaman
(p − q) (c − a − b) = 0 =⇒ p = q.
95
(6.23)
(6.24)
(6.25)
(6.26)
∂2 (pU +
Ker ∂2 ∼
= Z dir.
∀r1 a + r2 b + r3 c ∈ C1 (T ) için
Böylece
∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = r1 ∂1 (a) + r2 ∂1 (b) + r3 ∂1 (c)
= r1 (v − v) + r2 (v − v) + r3 (v − v)
=0
elde edilir.
O zaman
Ker ∂1 = C1 (T ) ∼
= Z⊕Z⊕Z
ve
Im ∂1 ∼
= {0}
Sonuç olarak Tor'un simpleksler homoloji grubu;

Z,



Z ⊕ Z,
Hq (T ) =

Z,



0,
96
q
q
q
q
= 0,
=1
=2
6= 0, 1, 2.
(6.27)
(6.28)
(6.29)
oldu§unu görürüz.
Örnek 6.3.3. Reel Projektif Düzlem
2 tane 0-simpleks ([v], [w]), 3 tane 1-simpleks
2-simpleks ([U ], [L]) vardr. Dolasyla
Reel Projektif Düzleminde,
(
[a], [b], [c]),
ve
2
tane
C0 (RP 2 ) ∼
= Z ⊕ Z,
Di§er taraftan
q≥3
için
C1 (RP 2 ) ∼
= Z ⊕ Z ⊕ Z,
Cq (RP 2 ) ∼
= {0}
∂
Bu ksa diziden
∂
C2 (RP 2 ) ∼
=Z⊕Z
dir.
∂
∂
3
2
1
0
0 −→
C2 (T ) −→
C1 (T ) −→
C0 (T ) −→
0
hemen
Ker ∂0 = C0 (RP 2 ) ∼
= Z ⊕ Z ve Im ∂3 ∼
= {0}
olduklarnz görürüz.
∀pU + qL ∈ C2 (RP 2 )
için,
∂2 (pU + qL) = p ∂2 (U ) + q ∂2 (L)
= p (−a + b + c) + q (−a + b − c)
= −a (p + q) + b (p + q) + c (p − q)
= (p + q) (b − a) + (p − q) c
Im ∂2 in üreteçleri, 2(b − a) ve −a − c + b
∼
Im∂2 = 2Z ⊕ Z oldu§unu rahatlkla söyleyebiliriz. imdi ∂2
O halde
(6.30)
(6.31)
(6.32)
(6.33)
dir. Buradan
nin çekirde§ini
hesaplayalm.
∂2 (pU + qL) = 0
(p + q) (b − a) + (p − q) c = 0
(p + q) (b − a) + (p − q) c = 0 ⇐⇒ p = q = 0.
97
(6.34)
(6.35)
Ker ∂2 = {0}
O halde
dir.
∀r1 a + r2 b + r3 c ∈ C1 (T )
için,
∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = r1 ∂1 (a) + r2 ∂1 (b) + r3 ∂1 (c)
= r1 (w − v) + r2 (w − v) + r3 (v − v)
= (w − v) (r1 + r2 ).
O zaman
Im ∂1 'in
üreteçi bir tanedir. Yani
çekirde§ini tespit edelim.
∂1 (r1 a + r2 b + r3 c) = 0
(w − v) (r1 − r2 ) = 0
Böylece
Ker ∂1 ∼
= Z⊕Z
=⇒
Im ∂1 ∼
=Z
dir.
(6.36)
(6.37)
(6.38)
Im ∂1 'in
olsun. O zaman
r1 = −r2 .
olur. Sonuç olarak Reel Projektif Düzlemin sim-
pleksler homoloji grubu;


Z,
2
Hq (RP ) = Z2 ,


0,
q = 0,
q=1
q 6= 0, 1.
Örnek 6.3.4. Möbiüs eridi
2 tane 0-simpleks
grubu
Z
C0 (M b)
[x], [y]
var.
Bunlar baz kabul eden serbest abel
ile gösterelim. Biz baz 2 tane olan serbest abel grubun
Z⊕
oldu§unu biliyoruz ve bu serbest abel grupta çal³mak bizim için daha
al³agelmi³ oldu§undan
C0 (M b) ' Z ⊕ Z
alyoruz. Bu mantkla
simpleksi baz kabul eden serbest abel grubunu
ona izomorf olan
n
tane
Z
Ck (M b)
n
tane k-
ile gösterece§iz ve
nin direkt toplamn olan serbest abel grubunda
çal³aca§z.
[α], [β], [δ], [γ] var. O halde C1 (M b) ' Z ⊕ Z ⊕ Z ⊕ Z
2 tane 2-simpleks
[U ], [L] var. O halde C2 (M b) ' Z ⊕ Z
Ve q ≥ 3 için Cq (M b) ' {0} dir.
4 tane 1-simpleks
... −→ 0 −→ C2 (M b) −→ C1 (M b) −→ C0 (M b) −→ 0
98
Burada;
Ker∂0 = C0 (M b) ' Z ⊕ Z
Im∂3 = {0}
ve
oldu§u açktr.
∂2 : C2 (M b) −→ C1 (M b)
homomorzmasn ele alalm.
p, q ∈ Z
ve
∀ p[U ] + q[L] ∈ C2 (Kb)
için
∂2 (p[U ] + q[L]) = p ∂2 [U ] + q ∂2 [L] = p (−α − β + γ) + q (−α − γ + δ)
= −(p + q) α − p β + qδ + (p − q)γ
O zaman önce Im∂2 yi hesaplayalm. −(p + q) = ω1 ,
−p = ω2 , q = ω3 ,
p − q = ω4 diyelim ω4 = −ω2 − ω3 ve ω1 = ω2 − ω3 ³eklinde yazlabiliyor.
Im∂2 = {ω1 α + ω2 β + ω2 δ + ω4 γ} = {(ω2 − ω3 )α + ω2 β + ω3 δ + (−ω2 − ω3 )γ}
= {ω2 (−α + β − γ) + ω3 (−α + δ − γ)} ' Z ⊕ Z
( Bu durumda C1 (M b) de geriye sadece 2 baz kalr. Baz iki olan ve
çal³labilecek en kolay serbest grup Z ⊕ Z oldu§undan Im∂2 ' Z ⊕ Z dir.)
imdi Ker∂2 yi hesaplayalm:
∂2 (pU +qL) = 0 olsun. Bu durumda = −(p+q) α−p β +qδ +(p−q)γ = 0
dr. Ker∂2 ≤ C2 (M b) serbest altgrubu oldu§undan lineer ba§mszdr. O
halde −p − q = 0 −p = 0 q = 0 p − q = 0 olur. Buradan p = q = 0 dr.
Ker∂2 = 0 dr.
∂1 : C1 (M b) −→ C0 (M b)
homomorzmasn ele alalm.
C1 (M b)
∀r1 , r2 , r3 r4 ∈ Z ve ∀r1 [α]+r2 [β]+r3 [δ]+r4 [γ] ∈
için
∂1 (r1 [α] + r2 [β] + r3 [δ] + r4 [γ]) = r1 ∂1 ([α]) + r2 ∂1 ([β]) + r3 ∂1 ([δ]) + r4 ∂1 ([γ])
= r1 (y−x)+r2 (x−y)+r3 (y−x)+r4 (x−x) = (r1 −r2 +r3 )(y−x)+r4 (x−x)
elde edilir.
Ker∂2 yi hesaplayalm. ∂1 (r1 [α] + r2 [β] + r3 [δ] + r4 [γ]) = 0 olsun. O zaman
(r1 −r2 +r3 )(y−x)+r4 (x−x) = 0 dr. Yine lineer ba§mszlktan r1 −r2 +r3 = 0
ve r4 ∈ Z dir. r2 = r1 + r3 ³eklinde yazlabildi§inden r1 , r3 , r4 katsaylar
kalr. O zaman Ker∂2 ' Z ⊕ Z ⊕ Z dir.
Im∂1 yi hesaplayalm. ∂1 (r1 [α] + r2 [β] + r3 [δ] + r4 [γ]) = (r1 − r2 + r3 )(y −
x) + r4 (x − x) = r(y − x) olur. Yani Im∂1 = {r(y − x) r ∈ Z} ' Z dir.
Artk Möbiüs eridinin homolo ji gruplarn hesaplayabiliriz.
99
H0 (M b) =
H1 (M b) =
Ker∂0
Im∂1
Ker∂1
Im∂2
H2 (M b) =
Örnek 6.3.5.
p0 = (0, 0, 0),
'Z⊕Z
Ker∂2
Im∂3
Hq (M b) = {0}
'Z
= {0}
q≥3
p1 = (1, 0, 0),
dir.
p2 = (1, 2, 0),
p3 = (2, 3, 4)
P3
6
P0
@
R
@
@
@ P2
P1 σ10 =< p0 >,
σ20 =< p1 >,
σ30 =< p2 >,
σ11 =< p0 , p1 >, σ21 =< p0 , p2 >,
σ61 =< p2 , p3 >
σ51 =< p1 , p3 >,
σ40 =< p3 >
σ31 =< p0 , p3 >,
σ41 =< p1 , p2 >
σ12 =< p0 , p1 , p2 >, σ22 =< p1 , p2 , p3 >, σ32 =< p0 , p2 , p3 >, σ42 =< p0 , p1 , p3 >
C0 (K) =< σ10 > ⊕ < σ20 > ⊕ < σ30 > ⊕ < σ40 >' Z ⊕ Z ⊕ Z ⊕ Z ∼
= Z4
C1 (K) =< σ11 > ⊕ < σ21 > ⊕ < σ31 > ⊕ < σ41 > ⊕ < σ51 > ⊕ < σ61 >∼
= Z6
C2 (K) =< σ12 > ⊕ < σ22 > ⊕ < σ32 > ⊕ < σ42 >∼
= Z4
C3 (K) =< σ13 >∼
=Z
Ci (K) = 0 i ≥ 4
100
∂
∂
∂
∂
3
2
1
0
0 −→
C2 (K) −→
C1 (K) −→
C0 (K) −→
0
∂
∂
∂
∂
3
2
1
0
0 −→
Z4 −→
Z6 −→
Z4 −→
0
Z0 (K) = Ker ∂0 = C0 (K) ∼
= Z4
B0 (K) = Im ∂1
(6.39)
0
0
0
0
= {a1 < σ1 > +a2 < σ2 > +a3 < σ3 > +a4 < σ4 >| a1 + a2 + a3 + a4 = 0}
(6.40)
∼
=Z
3
(Üreteç says
3)
(6.41)
Dolasyla sfrnc boyutta homoloji grubu;
H0 (K) =
Z0 (K) ∼ Z4 ∼
= 3 =Z
B0 (K)
Z
Hatrlatma:
∂i (< p0 , p1 , . . . , pm >) =
m
X
(−1)i < p0 , p1 , . . . , p̂i , . . . , pm >
i=0
∂1 (σ11 ) = p1 − p0
∂1 (σ21 ) = p2 − p0
∂1 (σ31 ) = p3 − p0
∂1 (σ41 ) = p2 − p1
∂1 (σ51 ) = p3 − p1
∂1 (σ61 ) = p3 − p2
∂1
snr homomorzmasnn matrisi;


−1 −1 −1 0
0
0
 1
0
0 −1 −1 0 


 0
1
0
1
0 −1 
0
0
1
0
1
1
101
(6.42)
(6.43)
(6.44)
(6.45)
(6.46)
(6.47)
∂2 (σ12 ) =< p1 , p2
∂2 (σ22 ) =< p2 , p3
∂2 (σ32 ) =< p2 , p3
∂2 (σ42 ) =< p1 , p3
> − < p0 , p2
> − < p1 , p3
> − < p0 , p3
> − < p0 , p3
> + < p0 , p1
> + < p1 , p2
> + < p0 , p2
> + < p0 , p1
>
>
>
>
(6.48)
(6.49)
(6.50)
(6.51)
(6.52)
∂2
snr homomorzmasnn matrisi;




⇒




1
0
0
1
−1 0
1
0 

0
0 −1 −1 

1
1
0
0 

0 −1 0
1 
0
1
1
0
Verilen piramidin homoloji grubu;
(
Z, q = 0, 2
Hq (K) =
0, q 6= 0, 2.
6.4 Simpleksler Kompleksin Euler Karakteristi§i
(K, f ), S 2 kürenin bir üçgenle³tirilmi³i olsun. V , kö³eler(0-simpleksler) saysn,
E kenarlar(1-simpleksler) saysn ve F yüzeyler(2-simpleksler) saysn gösterüzere
Euler formulü nün
V −E+F =2
oldu§unu biliyoruz. imdi bunu genelle³tirelim;
Tanm 6.4.1.
K 'daki
K,
m-boyutlu simpleksler kompleksi olsun.
q-simpleksler kompleksinin says olsun.
Euler karakteristi§i:
χ(K) =
m
X
(−1)q αq
q=0
³eklinde tanmlanr.
102
K
q ≥ 0
için
αq ,
simpleksler kompleksinin
K,
Teorem 6.4.1.
m-boyutlu oriyantal simpleksler kompleksi olsun.
χ(K) =
m
X
(−1)q rank(Hq (K)).
q=0
spat:
A³a§daki zincir kompleksini ele alalm;
∂m+1
∂m−1
∂
∂
∂
m
1
0
C0 (K) −→
0.
Cm−1 (K) −→ · · · −→
0 −→ Cm (K) −→
Her
q
için
Cq (K)
rank
αq
olan serbest abel grupttur.
Hq (K) =
Zq (K)
Bq (K)
oldu§undan
rankHq (K) = rankZq (K) − rankBq (K)
Im∂m+1 = 0
oldu§undan
Bm (K) = 0
dir. Her
q≥0
için
∂q
0 −→ Zq (K) −→ Cq (K) −→ Bq−1 (K) −→ 0
tam dizisi vardr.
αq = rank Cq (K) = rank Zq (K) + rank Bq−1 (K)
χ(K) =
=
m
X
q=0
m
X
q
(−1) αq (K) =
m
X
(−1)q (rank Zq (K) + rank Bq−1 (K))
(6.53)
q=0
q
(−1) rank Zq (K) +
q=0
=
=
(−1)q rank Bq−1 (K))
(6.54)
q=0
B−1 (K) = 0 = Bm (K)
χ(K) =
m
X
m
X
q=0
m
X
q=0
m
X
oldu§undan
q
(−1) rank Zq (K) +
m
X
(−1)q+1 rank Bq (K)
(6.55)
q=0
(−1)q (rank Zq (K) − rank Bq (K))
(6.56)
(−1)q rank Hq (K).
(6.57)
q=0
103
Örnek 6.4.1.
2
Hi (S ) =
Z, i = 0, 2
0, i =
6 0, 2
Hi (D ) =

i = 0, 2
 Z,L
Z
Z, i = 1
Hi (T ) =

0,
i 6= 0, 1, 2
1
Hi (M b) =
Z, i = 0
0, i =
6 0
Hi (S ) =

i=0
 Z,L
Z
Z2 , i = 1
Hi (Kb) =

0,
i 6= 0, 1
2
1
Hi (S × I) =
Z, i = 0, 1
0, i =
6 0, 1
Z, i = 0, 1
0, i =
6 0, 1

 Z, i = 0
2
Z2 , i = 1
Hi (RP ) =

0, i 6= 0, 1
Z, i = 0, 1
0, i =
6 0, 1
Yukardaki Homoloji gruplarn kullanarak Euler karakteristi§ini hesaplayabiliriz;
2
χ(S ) =
∞
X
(−1)i rank Hq (S 2 )
(6.58)
q=0
= (−1)0 rank S 2 (T ) + (−1)1 rank H1 (S 2 ) + (−1)2 rank H2 (S 2 ) + . . .
(6.59)
= 1 − 0 + 1 + 0 + 0 + ... = 2
χ(T ) =
∞
X
(−1)q rank Hq (T )
(6.60)
(6.61)
q=0
= (−1)0 rank H0 (T ) + (−1)1 rank H1 (T ) + (−1)2 rank H2 (T ) + . . .
(6.62)
= 1 + (−1).2 + 1 = 0
χ(RP 2 ) =
(6.63)
∞
X
(−1)q rank Hq (RP 2 )
(6.64)
q=0
= (−1)0 rank H0 (RP 2 ) + (−1)1 rank H1 (RP 2 ) + (−1)2 rank H2 (RP 2 ) + . . .
(6.65)
= 1 + (−1).1 + 0 = 0
(6.66)
104
χ(Kb) =
∞
X
(−1)q rank Hq (Kb)
(6.67)
q=0
= (−1)0 rank H0 (Kb) + (−1)1 rank H1 (Kb) + (−1)2 rank H2 (Kb) + . . .
(6.68)
= 1 + (−1).1 + 0 = 0
(6.69)
6.5 Homoloji ve Simpleksler Dönü³ümü
ϕ : K −→ L simpleksler dönü³üm olsun. ϕ, ∂ ◦ ϕ∗ = ϕ∗ ◦ ∂ e³itli§ini
do§rulayan ϕ : Cq (K) −→ Cq (L) lineer dönü³ümü üretti§ini biliyoruz. [c] =
c + Bq (K), Hq (K) bir eleman göstersin. Dolasyla c ∈ Zq (K) dir yani
∂(c) = 0 ve böylece ∂ ◦ ϕ∗ (c) = ϕ∗ ◦ ∂(c) = 0 oldu§undan ϕ∗ (c) ∈ Zq (L) dir.
c−c0 ∈ Bq (K) ise bir u ∈ Cq+1 (K) için ϕ∗ (c−c0 ) = ϕ∗ (∂(u)) = ∂(ϕ∗ (u))
0
dir. Yani ϕ∗ (c) + Bq (L) = ϕ∗ (c ) + Bq (L). Dolasyla
H(ϕ) : Hq (K) −→ Hq (L)
c+Bq (K) 7−→ H(ϕ)(c+Bq (K)) = ϕ∗ (c)+Bq (L).
ϕ, ψ : K −→ L
Tanm 6.5.1.
iki simpleksler dönü³üm olsun. Her
q
için
ϕ
ve
∂q+1 ◦ h + h ◦ ∂q = ϕ∗ − ψ∗
e³itli§ini do§rulayan
h : Cq (K) −→ Cq+1 (L)
lineer dön³ümü varsa
ψ
dönü³ümleri zincir homotoptur denir.
Teorem 6.5.1.
ϕ
ve
ψ
arasnda bir zincir homotopi varsa
H(ϕ) = H(ψ).
spat:
[c] = c + Bq (K) ∈ Hq (K)
olsun.
∂q+1 ◦ h(c) + h ◦ ∂q (c) = ϕ∗ (c) − ψ∗ (c).
∂q (c) = 0 oldu§undan ϕ∗ (c) − ψ∗ (c) = ∂ ◦ h(c) ∈ Bq (L). Yani ϕ∗ (c) + Bq (L) =
ψ∗ (c) + Bq (L) ve H(ϕ)([c]) = H(ψ)([c]).
Tanm 6.5.2.
bir
σ ∈ K
ϕ, ψ : K −→ L iki simpleksler dönü³üm olsun. Herhangi
ϕ(σ) ∪ ψ(σ) L de bir simpleks oluyorsa ϕ, ψ
simpleksi için,
dönü³ümleri kontgious dur denir
Sonuç 6.5.1.
ise tüm
q
için
ϕ, ψ : K −→ L
Hq (ϕ) = Hq (ψ)
iki simpleksler dönü³üm ve
dir.
spat:
Okuyucuya braklm³tr.
105
ϕ, ψ
ye kontgious
6.6 Lefschetz Sabit Nokta Teoremi
Cebirsel Topolo jide en önemli sabit nokta teoremi, 1884-1972 yllar arasnda
ya³am³ Solomon Lefschetz tarafndan bulunan Lefschetz sabit nokta teoremidir.
Tanm 6.6.1.
X
kompakt polihedron olmak üzere
dönü³üm olsun. Ayrca
h : |K| −→ X , X
olsun.
λ(f ) =
n
X
f : X −→ X
sürekli
in üçgenle³tirilmi³ dönü³ümü
(−1)q tr(h−1 ◦ f ◦ h)∗
q=0
(h−1 ◦ f ◦ h)∗
³eklinde tanmlanan sayya Lefschetz says denir. (Burada
homomorzmas
h−1 ◦ f ◦ h : |K| −→ |K|
dön³ümü tarafndan indirgenmi³
homomorzmadr.)
Teorem 6.6.1. Lefschetz Sabit Nokta Teoremi
olsun.
λ(f ) 6= 0
olacak ³ekilde
f : X −→ X
X
kompakt polihedron
bir sürekli dönü³üm ise
f
nin
sabit noktas vardr.
spat:
Okuyucuya braklm³tr.
Sonuç 6.6.1.
X
büzülebilir kompakt polihedron olsun. O zaman
f : X −→ X
nin bir sabit noktas vardr.
spat:
X
büzülebilir olmas durumunda
Hq (X) =


Z, q = 0


ndirgenmi³ homomorzm
Dolasyla
λ(f ) = 1 6= 0.
0,
q 6= 0.
f∗ : H0 (X) −→ H0 (X)
birim homomorzmasdr.
Lefschetz Sabit Nokta Teoreminden
f
nin bir sabit
noktas vardr.
f : S n −→ S n bir sürekl dönü³üm ise λ(f ) = 1+(−1)n deg (f ).
deg (f ) 6= ±1 ise f nin sabit noktas vardr.
Sonuç 6.6.2.
E§er
spat:
Hq (S n ) =


Z, q = 0, n


0,
106
q 6= 0, n.
f∗ : H0 (S n ) −→ H0 (S n ) dönü³ümü birim dönü³ümdür.
f∗ : Hn (S ) −→ Hn (S n ) dön³ümünün trace(izi), f nin derecesine
oldu§unu biliyoruz.
Ayrca
n
e³ittir. Böylece
λ(f ) = 1 + (−1)n deg (f ).
kinci ksmda hemen birinci ksmdan elde edilir.
6.7 Borsuk-Ulam Teoremi
Borsuk-Ulam Teoreminin bir sonucu olarak a³a§daki teoremi verbiliriz:
Teorem 6.7.1.
Sn
üzerindeki antipodal noktalarn,
f : S n −→ Rn
sürekli
dönü³ümü altnda görüntüleri ayndr.
Sonuç 6.7.1.
n≥1
Sonuç 6.7.2.
m 6= n
için
ise
S n , Rn
nin içine gömülemez.
Rm , Rn
ne homemorf olamaz.
spat:
m > n olsun. f : Rm −→ Rn nin homemorzma oldu§unu varsayalm. S n ⊂
Rm dir ve f : S n −→ Rn sürekli ve injektir, yani f gömme dönü³ümüdür.
Buda bir önceki sonuç ile çeli³ir.
f : S n −→ S n antipodal noktalar koruyan bir sürekli dönü³üm
Lefschetz says λ(f ) bir çift saydr.
Teorem 6.7.2.
olsun.
f
nin
spat:
Okuyucuya braklm³tr.
Teorem 6.7.3.
n ≥ 1
f : S n −→ S n antipodal noktalar
zaman deg f tek tamsydr.
için
sürekli dönü³üm olsun. O
koruyan bir
spat:
6.6.2 den λ(f ) = 1+(−1)n degf . Teorem 6.7.2 den λ(f ) bir çift saydr.
Böylece degf tek tamsaydr.
Sonuç
Teorem 6.7.4. Borsuk-Ulam Teoremi
noktalar koruyan
f :S
m
−→ S
n
m>n
olsun. O zaman antipodal
sürekli dönü³ümü yoktur.
spat:
Antipodal noktalar koruyan
varsayalm.
i : S n −→ S m
f : S m −→ S n sürekli dönü³ümünün var oldu§unu
kapsama dönü³ümü olmak üzere
i ◦ f : S m −→ S m
bile³keside antipodal noktalar korur. Teorem
saysdr. Di§er taraftan
(i ◦ f )∗
sfr dönü³üm
Bu bir çeli³kidir.
107
deg i ◦ f tek tamoldu§undan deg i ◦ f sfrdr.
6.7.3
den
f : S n −→ Rn antipodal nokatalar koruyan bir süreklü dönü³üm
f (x) = 0 olacak ³ekilde bir nokta x ∈ S n vardr.
Sonuç 6.7.3.
olsun.
spat:
∀x ∈ S n
için
f 6= 0
oldu§unu varsayalm.
g :S n −→ S n−1
x 7−→ g(x) =
g
(6.70)
f ()x
||f (x)||
(6.71)
dönü³ümü sürekli ve antipodal noktalar koruyan dönü³ümdür. Bu da
Borsuk-Ulam Teoremi'ne göre çeli³ir.
108
Bölüm 7
Singüler Kompleks ve Homoloji
Green Teoremi:
F (x, y) = P (x, y)i + Q(x, y)j olmak üzere,
Z
Z Z
δQ δP
−
)dxdy
P dx + Qdy =
(
δy
C
D δx
Stokes Teoremi:
F (x, y, z) = P (x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, x)k
ol-
mak üzere
I
Z Z
Z Z
δR δP
δQ δP
δR δQ
(− + )dxdz+
( − )dxdy
( − )dydz+
δz
δx δz
δy
D
D δx
D δy
Z Z
P dx+Qdy+Rdz =
Tanm 7.0.1.
∆n = [e0 , e1 , . . . , en ]
standart n-simpleks olsun. Bu simpleksin
kö³eleri üzerinde lineer(tam) sralama varsa
∆n
ye yönlü simpleks denir.
Orientasyon kö³eler üzerindeki turun yönünü verir. Örne§in
e0 < e1 < e2
orientasyonu saat yönünün tersi yönündedir.
109
∆2 2-simpleksinin
Tanm 7.0.2.
∆n
n- simpleks olsun.
e0 , e1 , . . . , en
noktalar üzerinde olu³tu-
rulan permütasyon gruplarnn derecesi ya her ikisi çift ya da her ikisi tek ise
∆n
üzerinde olu³turulan iki orientasyon ayndr denir. Aksi halde iki oryan-
tasyon zttr denir.
∆2 standart 2-simpleksini alalm.
∂∆2 = [e0 , e1 ] ∪ [e1 , e2 ] ∪ [e0 , e2 ]
= [e0 , e1 , eb2 ] ∪ [eb0 , e1 , e2 ] ∪ [e0 , eb1 , e2 ]
∆2 nin oriented snr;
[eb0 , e1 , e2 ] ∪ (−[e0 , eb1 , e2 ]) ∪ [e0 , e1 , eb2 ] = [e1 , e2 ] ∪ [e2 , e0 ] ∪ [e0 , e1 ] olur. Bu duBiz bunun oriented(yönlü) snrn yazmak istersek
rumda;
Standart n-simpleksin snr;
∂∆n = ∂([e0 , e1 , ..., e2 ]) =
n
[
[e0 , e1 , ..., ebi , ...en ]
i=0
Standart n-simpleksinin oriented snr;
n
∂∆ =
n
G
(−1)i [e0 , e1 , ..., ebi , ...en ]
i=0
X bir topolojik uzay ve ∆n standart n- simpleks olmak üzere,
σ : ∆n −→ X sürekli dönü³ümüne X üzerinde singüler n- simpleks
Tanm 7.0.3.
denir.
Tanm 7.0.4.
X
bir topolojik uzay olsun.
n≥0
için
erindeki singüler n-simpleks olan serbest abel gruptur.
kabul edilir.
Sn (x)
in elemanlarna
X
Sn (x); bazlar X üzn < 0 için Sn (x) = 0
de n-zincir denir.
z ∈ Sn (x) =⇒ z = c1 σ1 + . . . + ck σk
ci ∈ Z
,
i1 , 2, , , k
için
σi : ∆n −→ X
sürekli dönü³ümler
110
Tanm 7.0.5.
dönü³ümüne
εi = εni : ∆n−1 −→ ∆n
(e0 , ..., en−1 ) 7−→ εni (e0 , ..., en−1 ) = (e0 , e1 , ..., ei−1 , 0, ei , ..., en−1 )
i-nci
yüz dönü³ümü denir
ε2i : ∆1 −→ ∆2 yüz dönü³ümü için
ε20 (e0 , e1 ) = [e1 , e2 ] ε21 (e0 , e1 ) = [e0 , e2 ] ε22 (e0 , e1 ) = [e0 , e1 ]
Örnek 7.0.1.
Tanm 7.0.6.
n>0
için
σ : ∆n −→ X
dir.
singüler n-simpleks olsun.
∂n : Sn (X) −→ Sn−1 (X)
P
σ−
7 → ∂n (σ) = ni=1 (−1)i σεni dönü³ümüne σ singüler n-simpleksinin
snr denir.
∆n−1
εn
i
/ ∆n
σ
/
X
n = 0 ise ∂0 (σ) = 0 dr.
δ : δn −→ δn birim ise
Not 7.0.1. 1)
2)
X = δn
ve
n
n
X
X
i
n
∂n (δ) =
(−1) σεi =
(−1)i εni
i=0
Teorem 7.0.5.
n
σ : ∆ −→ X
i=0
singuler n-simpleks olsun.
∂n (σ) =
∀n ≥ 0
için
n
X
(−1)i σεni
i=0
olacak ³ekilde bir tek
Buradaki
∂n
... −→ Sn (X)
∂n : Sn (x) −→ Sn−1 (x)
homomorzmas vardr.
snr operatörüne snr operatörü denir.
∂n
/
∂n−1
Sn−1 (X)
/
...
∂/
S1 (X)
homomorzmalar ver serbest abel gruplar dizisine
pleksi denir ve
(S? (X), ∂)
ile gösterilir.
111
X
∂1
/
S0 (X)
∂0
/0
in singüler kom-
Teorem 7.0.6.
k<j
için
εn+1
εnk = εn+1
εnj−1
j
k
dir.
spat:
∆n−1
εn
k
/
εn+1
j
∆n
/
∆n+1
εkn+1 εnj−1 (t0 , ..., tn−1 ) = εn+1
(t0 , ..., 0j−1 , ..., tn−1 )
k
= (t0 , ..., 0k , ..., 0j−1 , ..., tn−1 ) = εn+1
εnk (t0 , ..., tn−1 )
j
Teorem 7.0.7.
n≥0
için
spat
∂n ∂n+1 = 0
dir.
n
X
∂n (σ) =
(−1)i σεni
i=0
P
)
(−1)i σεn+1
∂n ◦ ∂n+1 (σ) =P
∂n (∂n+1 (σ)) = ∂n ( n+1
i
i=0P
P
n
n+1
n+1
n+1
j
i
i
◦ εn+1
εni
= i=0 (−1) ∂n (σεi ) = i=0 (−1)
i
j=0 (−1)
P
P
P
εni−1
εnj + j<i (−1)i+j σεn+1
εnj = i≤j (−1)i+j σεn+1
= i,j (−1)i+j σεn+1
j
i
i
P
P
p+q+1
n
n
σεn+1
= p≤q (−1)p+q σεn+1
p+1 εq
p+1 εq +
p≤q (−1)
P
n
= p,q [(−1)p+q + (−1)p+q+1 ]σεn+1
p+1 εq = 0
Tanm 7.0.7.
X
deki n-devirlerin grubu
Zn (x) := Ker∂n = {σ ∈ Sn (x)|∂n (σ) =
0} X deki n-snrlarn grubu
Bn (x) := Im∂n+1 = σ ∈ Sn (x)|∂n+1 (γ) = σ, γ ∈ Sn+1 (x)
Sonuç 7.0.4.
Bn (x) ⊂ Zn (x) ⊂ Sn (x)
dir.
spat: β ∈ Bn (X) olsun. O zaman ∂n+1 (α) = β o.³. α ∈ Sn+1 (X) vardr.
β ∈ Zn (X) oldu§unu görelim.
∂n (β) = ∂n (∂n+1 (α)) = ∂n ∂n+1 (α) = 0 =⇒ β ∈ ker∂n = Zn (X)
Tanm 7.0.8.
n≥0
için
X
in n-inci homoloji grubu;
Hn (x) =
olarak tanmlanr.
clszn
zn + Bn (x)
Zn (x)
Bn (x)
yan kümesine ,
ile gösterilir.
112
zn
in homoloji snf denir ve
f : X −→ Y
σ ∈ Sn (X) ise f ◦ σ ∈ Sn (Y ) dir.
f] :P
Sn (X) −→ Sn (Y
)
P
P
mσ σ 7−→ f] ( mσ σ) =
mσ (f ◦ σ) homomorzmas
sürekli fonksiyon olsun.
iyi tanmldr.
Lemma 7.0.1.
f : X −→ Y
sürekli fonksiyon olsun. Bu durumda
∀n ≥ 0
için
∂n ◦ f] = f] ◦ ∂n
dir.
σ −→ f] (σ) = f ◦ σ
Sn (X)
∂n
Sn−1 (X)
spat:
σ ∈ Sn (X)
f]
f]
/
/
Sn (Y )
∂n
Sn−1 (Y )
için;
P
P
P
P
P
f] ◦ ∂n ( mσ σ) = f] ( ni=0 (−1)i mσ σ ◦ εni ) = ni=0 (−1)i ( mσ (f ◦ σ)) ◦ εni
∂n ◦ f] (
P
mσ σ) = ∂n (
P
mσ (f ◦ σ)) =
Pn
i=0 (−1)
i
P
( mσ (f ◦ σ)) ◦ εni
e³itlikleri elde edilir
Lemma 7.0.2.
f : X −→ Y
sürekli dönü³üm ise
∀n ≥ 0
için;
f] (Zn (X)) ⊂ Zn (Y )
f] (Bn (X)) ⊂ Bn (Y )
spat
α ∈ Zn (x) olsun. Bu durumda ∂n (α) = 0 dr. f] (σ) = f ◦σ ∈ Zn (Y ) oldu§unu
görelim:
∂n ◦f] (α) = f] ◦∂n (α) = f] (0) = 0 dr. O zaman ∂n ◦f] (α) = 0 oldu§undan
f] (α) ∈ Zn (Y )
113
β ∈ Bn (x)
f] (β) ∈ Bn (Y )
olsun. Bu durumda bir
γ ∈ Sn+1 (X)
için
∂n+1 (γ) = β
dr.
oldu§unu gösterelim:
f] (β) = f] (∂n+1 (γ)) = ∂n+1 f] (γ) =⇒ f] (β) ∈ Bn (Y )
Teorem 7.0.8.
∀n ≥ 0, Hn : T op −→ Ab
dir.
bir kovaryant funktordur.
spat
Hn : T op −→ Ab
f : X −→ Y
sürekli dönü³ümünü alalm.
Hn (f ) : Hn (X) −→ Hn (Y )
clszn 7−→ Hn (clszn ) = cls(f] (zn ))
zn + Bn (X) 7−→ f] (zn ) + Bn (Y )
olarak tanmlayalm.
• Hn (f )(clszn + clszn0 ) = f] (zn + zn0 ) + B( Y ) = f] (zn ) + f] (zn0 ) + Bn (Y )
= Hn (f )(cls(zn )) + Hn (f )(clszn0 )
=⇒ Hn (f )
homomorzmadr.
• Hn (1X ) = 1Hn (X)
midir?
1x : X −→ X
Hn (1x ) : Hn (X) −→ Hn (X)
zn +Bn (X) 7−→ Hn (1X )(zn +Bn (X)) = zn +Bn (X) = 1Hn (X)(zn +
Bn (X))
• f : X −→ Y ve g : Y −→ Z
Hn (g ◦ f ) = Hn (g) ◦ Hn (f ) midir?
f
f: X
Hn (g ◦ f ) : Hn (X)
/
sürekli dönü³ümler olmak üzere
Y
Hn (f )
/
g
/
Z
Hn (Y )
Hn (g)
/
Hn (Z)
Hn (g ◦ f )(zn + Bn (X) = (g ◦ f )] (zn ) + Bn (Z) = (g ◦ f ) ◦ zn )
114
Hn (g)◦Hn (f )(zn +Bn (X) = Hn (g)(f ◦zn +Bn (Y )) = g◦(f ◦zn )+Bn (Z)
e³itlikleri elde edilir.
Sonuç 7.0.5.
7.0.1
f : X −→ Y
homeomorzm ise
Hn (X) ∼
= Hn (Y ), ∀n ≥ 0
Eilenberg-Steenrod Aksiyomlar
1. Boyut Aksiyomu:
X
Hn (x) = 0, n > 0
tek noktal uzay ise
2. Homotopi Aksiyomu:
g, f : X −→ Y , homotopik ise Hn (f ) = Hn (g),
n≥0
3. Uzun Tam Dizi Aksiyomu
0 −→ S∗0 (X) −→ S∗ (X) −→ S∗00 (X) −→ 0
ksa tam dizi ise;
... −→ Hn (S∗0 (X)) −→ Hn (S∗ (X)) −→ Hn (S∗00 (X)) −→ Hn−1 (S∗0 (X)) −→
Hn−1 (S∗ (X)) −→ Hn−1 (S∗00 (X) −→ . . . −→ H0 (S∗0 (X)) −→ H0 (S∗ (X)) −→
H0 (S∗00 (X)) → 0
uzun tam dizisi vardr.
4. Excision Aksiyomu:
X
topolo jik uzay,
U ⊂ A olsun.
i : (X − U, A − U ) ,→ (X, A)
A⊂X
ve
Ū ⊂ IntA
³ekilde
kapsama fonksiyonu,
i∗ : H∗ (X − U, A − U ) −→ H∗ (X, A)
Teorem 7.0.9.
X
tek noktal uzay ise
izomorzmasn indirger.
n>0
için
Hn (X) = 0
dir.
spat
n≥
için
σn : ∆n −→ X
bir singular n-simpleks vardr.
Sn (X) =< σn >
∂n : Sn (X) −→ Sn−1 (X)
σn 7−→ ∂n (σn ) =
n
X
i
(−1) σn ◦
i=0
εni
n
X
= ( (−1)i )σn−1
i=0
115
olacak
∂n (σn ) =
n
çift iken
n>0
∂n+1
∂n
olsun.
0
n tek
σn−1 n çift ve
pozitif
bir izomorzm.
n
∂n = 0 =⇒ Zn (X) = Ker∂n = Sn (X)
tek ise
izomorzm (
n+1
çift) ve dolaysyla
∂n+1
örten.
Bn (X) = Im ∂n+1 = Sn (X)
n > 0, Hn (X) =
Tanm 7.0.9.
Zn (X)
Bn (X)
n≥1
=
Sn (X)
Sn (X)
için
=0
a³ikar grup.
Hn (X) = 0
ise
X
uzayna acyclic tir denir.
Not 7.0.2. Tek noktal uzay acyclictir.
Teorem 7.0.10.
{Xλ |λ ∈ Λ} , X
in yol bile³enler kümesi ise
Hn (X) ∼
=
X
∀n ≥ 0,
Hn (Xλ )
λ
5. Topolojik Toplam
X
ise
X
herhangi bir topolojik uzay için
X
ve
L
H∗ (Xi )
1.
abel gruptur.
3.
Xi H∗ (X) ∼
=
X bo³tan farkl yol ba§lantl ise H0 (X) ∼
= Z, λ0 , λ1 ∈
[λ0 ] = [λ1 ], H0 (X) üreticidir.
Teorem 7.0.11.
2.
X=
`
Y
{Xλ |λ ∈ Λ}
yol ba§lantl ve
H0 (X), rank = CardΛolan
yol bile³enler ailesi
f : X −→ Y
sürekli ise
f∗ : H0 (X) −→ H0 (Y )
[w] 7−→ f∗ ([w]) = [z]
spat
H0 (X) =
Ker∂0
,
Im ∂1
Ker∂0 = S0 (X)
B0 (X) = {Σmx x ∈ S0 (X) | Σmx = 0}
oldu§unu öne sürüyoruz.
θ : Z0 (X) −→ Z
Σmx x 7−→ Σmx
116
serbest
Kerθ = B0 (X), θ(Σmx x) = 0
Z0 (x)
Kerθ
Z0 (X)
B0 (X)
= Im θ = Z =⇒ H0 (X) =
γ=
k
X
∼
=Z
mi xi ∈ S0 (X)
i=0
ve
P
mi = 0
olsun.
x∈X
seçelim ve
x
den
xi
ye giden yol
σi
olsun.
∂1 (σi ) = σi (e1 ) − σi (e0 ) = x1 − x0
∂1 : S1 (X) −→ S0 (X)
Σmi σi 7−→ ∂i (Σmi σi ) = Σmi ∂i (σi ) = Σmi (xi − x) =
Σmi xi − (Σmi )x = γ − 0 = γ
γ = Σmi xi = ∂(Σmi ∂i ) ∈ B0 (X),
γ ∈ B0 (X), γ = ∂1 (Σnj τj ), nj ∈ Z , τj X
de 1-simpleks
γ : Σnj ∂1 (τj ) = Σnj (τj (e1 ) − τj (e0 )) = 0
x1 − x0 = γ ∈ B0 (X), B0 (X) = 0
x0 , x1 ∈ X
ve
σ , x0
dan
x1
e bir yol olsun.
∂1 (σ) = x1 − x0 ∈ B0 (X)
x0 + B0 (X) = x1 + B0 (X)
[γ], H0 (X)
in bir üreteci olsun.
γ = Σmi (xi =⇒ θ(γ) = γ(Σmi (xi ) = Σmi = ∓1
γ
y
−γ
ile de§i³tirirsek
Σmi = 1
varsayabiliriz.
x0 ∈ X , γ = x0 + (γ − x0 ) =⇒ γ − x0 ∈ B0 (X)
A, X in alt uzay ve j : A −→ X
j] : Sn (A) −→ Sn (X) injektiftir.
Lemma 7.0.3.
∀n > 0
için
spat
oldu§undan
γ = Σmi σi ∈ Sn (A), γ ∈ Kerj] ,
117
[γ] = [x0 ] = [x1 ]
kapsama fonksiyonu olsun.
0 = j] (γ) = j] (Σmi σi ) ∈ S1 (X) = Σmi (j ◦ σi )
i = 0, 1, . . . , n
Teorem 7.0.12.
için,
mi = 0, j ◦ σj
için
Hn (X) = 0
Lemma 7.0.4.
X
ve
σj
birbirinden farkldr.
öklit uzaynn snrl konveks alt kümesi olsun.
dir. Ayrca
n>0
f, g : X −→ Y
ve tüm
k
lar için,
k
Hn (∆ ) = 0
n ≥ 1
dir.
sürekli fonksiyonlar ve
0
Pn − Pn−1 ∂n
f] − g] = ∂n+1
olacak ³ekilde
Pn : Sn (X) −→ Sn+1 (Y )
homomorzmleri var olsun. Bu durumda;
Hn (f ) = Hn (g), n ≥ 0
spat
Hn (f ) : Hn (X) −→ Hn (Y )
Z + Bn (X) 7−→ Hn (f )(Z + Bn (X)) = f] (z) + Bn (Y )
∂n (z) = 0 =⇒ z ∈ Ker∂n
0
0
0
Pn (z) ∈
Pn (z) − Pn−1 ∂n (z) = ∂n+1
Pn − Pn−1 ∂n )(z) = ∂n+1
f] − g] (z) = (∂n+1
Bn (Y )
f] (z) + Bn (Y ) = g] (z) + Bn (Y ) =⇒ Hn (f ) = Hn (g)
Lemma 7.0.5.
X
bir uzay,
i = 0, 1,
λxi : X −→ X × I
x 7−→ (x, i)
Hn (λx0 ) = Hn (λx1 ) : Hn (X) −→ Hn (XxI)
ise
f, g
ye homotop iken
Hn (f ) ≈ Hn (g)
dir.
Hn (g) : Hn (X) −→ Hn (Y )
z 7−→ Hn (z) = g] (z) + Bn (Y )
118
Teorem 7.0.13. Homotopi Aksiyomu
f, g : X −→ Y
homotop ise
∀n ≥ 0, Hn (f ) = Hn (g)
Sonuç 7.0.6.
1.
X
ve
Y
ayn homotopi tipine sahip ise
Hn (X) ≈ Hn (Y ),
n≥0
2.
X
büzülebilir ise
7.0.2
Hurewicz Teoremi
Lemma 7.0.6.
f, X
de
Hn (X) = 0, n > 0
x0
ξ : ∆1 −→ I
homeomorzm olsun.
(1 − t)e0 + te1 −→ t
noktasnda kapal yol ise
ϕ : Π1 (x, x0 ) −→ H1 (X)
[f ] 7−→ cls(f ◦ ξ)
³eklinde tanml dönü³üm vardr.
spat
f ◦ ξ, X
de 1- simpleks
f ◦ ξ ∈ S1 (X)
∂1 (f ◦ ξ) = f ◦ ξ(e1 ) − f ◦ ξ(e0 ) = f (1) − f (0) = x0 − x0
cls(f ◦ g) ∈ H1 (X)
[f ] = [g]
iken
ϕ(f ) = ϕ(g)
yani
cls(f ◦ ξ) = cls(g ◦ ξ)
midir?
[f ] = [g] =⇒ f ' g =⇒ f 0 ' g 0
f∗0 : H∗ (S 0 ) −→ H∗ (X)
cls(Σmi σi ) 7−→ cls((Σmi )f 0 ◦ σi )
cls(f ◦ ξ) = cls(f 0 ◦ u ◦ ξ) = f∗0 (u ◦ ξ) = g∗0 (u ◦ ξ) = cls(g 0 ◦ u ◦ ξ) = cls(g ◦ ξ)
119
Tanm 7.0.10.
ϕ : Π1 (X, x0 ) −→ H1 (X)
dönü³ümüne Hurewicz Dönü³ümü
denir.
Teorem 7.0.14.
ϕ : Π1 (X, x0 ) −→ H1 (X)
Hurewicz Dönü³ümü bir homo-
morzmdir.
Π1 (X, x0 )
' H1 (X)
Kerϕ
Π1 (X, x0 )
n komutatör alt grubu
Teorem 7.0.15. Hurewicz
ϕ : Π1 (X, x0 ) −→ H1 (X)
X
{aba−1 b−1 | a, b ∈ G}
yol ba§lantl olsun. Çekirde§i
Π1 (X, x0 )
dönü³ümü surjektiftir. Dolaysyla;
Π1 (X, x0 )
' H1 (X)
Π1 (X, x0 )0
olur. Burada
Kerϕ = Π1 (X, x0 )0 , Π1 (X, x0 )
Πi (X, x0 ) = 0, 0 ≤ i < n
Sonuç 7.0.7.
2.
X
1.
ise
X
n-ba§lantldr.
H1 (S 1 ) ∼
=Z
basit ba§lantl ise
n komutator alt grubudur.
H1 (X) = 0
dr.
120
olan

ceb rsel topoloj ı

Related documents

Products

Support

ceb rsel topoloj ı

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib